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DANIEL ALVES DE LIMA

DIMENSIONAMENTO AUTOMÁTICO DE PILARES DE

CONCRETO ARMADO

NATAL-RN

2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

i


Dimensionamento automático de pilares de concreto armado

Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do Título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Orientadora: Prof.ª. Dra. Fernanda Rodrigues

Mittelbach.

Natal-RN

2018

ii

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Lima, Daniel Alves de.

Dimensionamento automático de pilares de concreto armado / Daniel Alves de Lima. - 2018.

132 f.: il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Curso de Engenharia Civil.

Natal, RN, 2018.

Orientador: Prof.ª Dr.ª Fernanda Rodrigues Mittelbach.

1. Engenharia civil - Monografia. 2. Estruturas de concreto

armado - Monografia. 3. Pilares de concreto armado -

Monografia. 4. Cálculo estrutural - Monografia. 5. Código computacional - Monografia. I. Mittelbach, Fernanda Rodrigues.

II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 624.012.4

iii


Dimensionamento automático de pilares de concreto armado

Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Aprovado em 25 de junho de 2018:

___________________________________________________

Prof.ª Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach – Orientadora

___________________________________________________

Prof. Dr. Rodrigo Barros – Examinador interno

___________________________________________________

Eng. Pedro Mitzcun Coutinho – Examinador externo

Natal-RN

2018

iv

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à minha mãe, Maria do

Socorro Alves Lima, por todo o amor, cuidado,

dedicação e educação que foram fundamentais

para o meu sucesso.

v

AGRADECIMENTOS

À minha família, em especial minha mãe Socorro e meu pai Duda (in memoriam) por

todo o amor, carinho, cuidado e suporte que foram essenciais para tornar essa jornada possível,

minha avó Terezinha, minha tia Maria, minha tia e madrinha Diná, pelas orações, por cuidarem

de mim na infância e ainda hoje em dia quando estou passando alguns dias em Caicó.

À minha melhor amiga e namorada, Carla Mariana, por todo o amor, apoio e ótimos

momentos compartilhados nessa caminhada.

A todos os bons professores que tive durante a graduação, em especial à minha

orientadora Fernanda Mittelbach por toda a ajuda na realização deste trabalho e por ser uma

referência profissional para mim. Sua forma de ensinar, tratar e incentivar seus alunos me

encantam, espero um dia ser um professional como você..

Aos amigos de infância e adolescência de Caicó que levo até hoje: Gil Pablo Alves,

Enver Souza, Emmanuel Dantas, Clayson Bezerra, Lucas Dutra, Heitor Cabral, Judas Tadeu,

Agatha Christie, Bruna Lucena, Juliana Nóbrega e Valenia Mariz por toda a amizade e bons

momentos vividos que me deram alegria para continuar e pelos muitos que ainda virão!

Aos amigos que fiz na primeira parte do curso na UFCG, o Hulê: Gibran Holanda,

Vicenthe Marinho, Wagner Filho, João Victor Souza e Aryelle Azevedo por toda amizade,

momentos engraçados e bons aperreios que passamos (e ainda passaremos) em Campina

Grande!

Aos amigos que fiz na segunda parte do curso na UFRN: Josian Filho, Iasnara Chagas,

Wagno Júnior, Carlos Henrique, Danilo Barbosa, Nicole Nahara, Rafael Ângelo e Eduardo

Loami por toda a amizade nessa jornada, pela ajuda nos trabalhos e em vésperas de provas, aos

últimos cinco em especial por me acompanharem nas matérias de Estruturas quando todas as

pessoas fugiam destas!

Daniel Alves de Lima

vi

RESUMO

O objetivo deste trabalho é desenvolver um código computacional na linguagem

FORTRAN capaz de dimensionar seções de pilares de concreto armado de forma automática,

no que se diz respeito ao estado limite último de solicitações normais. O dimensionamento é

otimizado visando fugir do uso de ábacos e de outros métodos que possam gerar resultados

contra a segurança destes elementos que são as partes mais vitais de uma estrutura, sempre

respeitando os aspectos normativos da ABNT NBR 6118/2014. O cálculo se dá através de um

procedimento iterativo devido à própria natureza do problema. São apresentados resultados do

cálculo manual através de ábacos para as seções mais simples como retangular e circular, e

resultados de verificações obtidos do software CypeCAD 2018.j para as seções mais complexas,

para as quais não foram encontrados ábacos na literatura, como L, U, retangular vazada e coroa

circular, os resultados encontrados foram então comparados com os obtidos no programa.

Palavras-chave: pilares de concreto armado, dimensionamento de estruturas

de concreto armado, fortran, código computacional, dimensionamento automático

vii

ABSTRACT

Title: Automatic design of reinforced concrete columns

The objective of this work is developing a computational code in the FORTRAN

language capable of automatically designing sections of reinforced concrete columns to the

ultimate limit state of normal stresses. The design is optimized to avoid the use of tables and

other methods that can generate results against the safety of these elements, which are the most

vital parts of a structure, always respecting the normative aspects of ABNT NBR 6118/2014.

The calculation takes place through an iterative procedure due to the very nature of the problem.

Results are presented via manual calculation through tables for the simpler sections such as

rectangular and circular, and results of verifications obtained from the software CypeCAD

2018.j for the more complex sections, for which there were no tables in the literature, such as

L-shaped, U-shaped, voided rectangular and circular crown, the results were then compared to

those obtained in the program.

Keywords: reinforced concrete columns, reinforced concrete structures design,

fortran, computational code, automatic design

viii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 - Diagrama de tensão-deformação do concreto ............................................. 6

Figura 2 - Elemento de concreto armado do grupo I no estádio III ............................. 8

Figura 3 - Diagrama de tensão deformação do aço ...................................................... 9

Figura 4 - Domínios de deformação de uma seção transversal de concreto armado . 11

Figura 5 - Caminho das cargas em uma estrutura de concreto armado ...................... 13

Figura 6 - Tipos de flexão composta em pilares ........................................................ 14

Figura 7 - Tipos de excentricidade de primeira ordem .............................................. 15

Figura 8 - Excentricidade de forma ............................................................................ 15

Figura 9 - Pilar submetido a flexão composta oblíqua ............................................... 20

Figura 10 - Arranjos de barras disponíveis nos ábacos .............................................. 23

Figura 11 - Combinações disponíveis de posicionamento das barras ........................ 24

Figura 12 - Ábaco 10B ............................................................................................... 25

Figura 13 - Pontos da poligonal e barra de uma seção heptagonal vazada ................ 29

Figura 14 - Eixos locais para desenvolvimento do problema .................................... 30

Figura 15 - Variação periódica do parâmetro de deformação D ................................ 32

Figura 16 - Exemplo de arquivo de entrada para o Exemplo 1 .................................. 43

Figura 17 - Botão para verificação da seção .............................................................. 47

Figura 18 - Seção inserida no arquivo ........................................................................ 47

Figura 19 - Parte da composição bruta dos dados ...................................................... 48

Figura 20 - Dados da planilha tratados e prontos para o arquivo de entrada ............. 49

Figura 21 - Pilar retangular do Exemplo 1 ................................................................. 50

Figura 22 - Uso do ábaco 14B para determinação do ω ............................................. 51

Figura 23 - Arquivo de entrada do exemplo 1 ............................................................ 52

Figura 24 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 1 pelo programa computacional 53


Figura 26 - Uso do ábaco 5A com ν=0,6 para determinação do ω............................. 55

Figura 27 - Uso do ábaco 5B com ν=0,8 para determinação do ω ............................. 56




Figura 31 - Uso do ábaco 20A para determinação do ω ............................................ 60


ix



Figura 35 - Ábaco para seção circular ........................................................................ 64



Figura 38 - Pilar do Exemplo 5 .................................................................................. 67












x

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 - Classes de resistência do concreto .............................................................. 5

Tabela 2 - Resumo de características dos aços CA ...................................................... 9

Tabela 3 – Correspondência entre domínios e valores do parâmetro D ..................... 32

Tabela 4 - Derivadas das funções S (D) e i (D) em relação ao parâmetro D ............ 39

Tabela 5 – Tabela de dados iniciais ............................................................................ 44

Tabela 6 - Tabela de entrada dos vértices da seção .................................................... 45

Tabela 7 - Tabela de entrada das barras fixas ............................................................ 45

Tabela 8 – Tabela de entrada para as barras otimizáveis ........................................... 46

Tabela 9 - Tabela de entrada dos casos de carga e esforços solicitantes de cálculo .. 47

Tabela 10 - Comparação entre os resultados obtidos no trabalho .............................. 79

xi

SIMBOLOGIA

SÍMBOLO SIGNIFICADO

[DP] Matriz gradiente

[ER] Vetor de esforços resistente

[ES] Vetor de esforços solicitantes

[REv] Vetor de incremento das incógnitas

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

Ac Área de concreto da seção

Acc Área da seção de concreto comprimido

AcReg1 Área de concreto comprimida na região 1

AcReg2 Área de concreto comprimida na região 2

As Área de aço necessária para equilibrar a seção

Asi Área da seção transversal da barra genérica i

asi Área de cada barra fixa

asi Área de cada barra fixa

c Cobrimento do da seção

CG Centro geométrico da seção

D Parâmetro de deformação da seção

d’x Distâncias da borda da seção até o eixo da barra na direção X

d’y Distâncias da borda da seção até o eixo da barra na direção Y

dA Elemento infinitesimal de área

dx Dimensão x do elemento infinitesimal de área

dy Dimensão y do elemento infinitesimal de área

Eci Módulo de elasticidade longitudinal tangente do concreto

Ecs Módulo de elasticidade longitudinal secante do concreto

Es Módulo de elasticidade longitudinal do aço

ex Excentricidade ao longo do eixo x, que gera um momento em torno do

eixo Y

ey Excentricidade ao longo do eixo x, que gera um momento em torno do

eixo X

fcd Resistência de cálculo do Concreto à Compressão

fck Resistência Característica do Concreto à Compressão

xii

SIMBOLOGIA


fyd Resistência de cálculo do aço ao Escoamento

fyk Resistência Característica do aço ao Escoamento

hx Dimensão da seção na direção do eixo x

hy Dimensão da seção na direção do eixo y

k0 Curvatura do eixo do elemento estrutural no plano de flexão.

LN Linha neutra

MPa Megapascal

MxRd Momento fletor em torno do eixo X resistente de cálculo

MxSd Momento fletor em torno do eixo X solicitante de cálculo

MyRd Momento fletor em torno do eixo Y resistente de cálculo

MySd Momento fletor em torno do eixo Y solicitante de cálculo

MηRd Momento fletor em torno do eixo η resistente de cálculo

MξRd Momento fletor em torno do eixo ξ resistente de cálculo

n Número de barras

NBF Número de barras fixas

NBF Número de barras fixas

NBO Número de barras otimizáveis

NBO Número de barras otimizáveis

NBR Norma brasileira

NzRd Esforço normal na direção Z resistente de cálculo

NzSd Esforço normal na direção Z solicitante de cálculo

NζRd Esforço normal na direção ζ resistente de cálculo

pi Porcentagem de armadura de cada barra otimizável em relação ao

total

Rcc Resultante de compressão no concreto

Rs Resultante de tração no concreto

x Abscissa do elemento infinitesimal de área dx·dy

xsi Abscissa da barra genérica i

y Ordenada do elemento infinitesimal de área dx·dy

ysi Ordenada da barra genérica i

xiii

SIMBOLOGIA


α Ângulo de inclinação da linha neutra

αE Parâmetro de cálculo do Eci que faz referência ao tipo de agregado

usado no concreto

αi Coeficiente redutor do Eci função do fck tendo seu valor limitado em

1

γc Coeficiente de minoração da resistência do concreto

ϵ0 Deformação da fibra passando pelo CG;

ϵc2 Deformação específica de encurtamento do concreto no início da

plastificação

ϵcu Deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura

ϵi Deformação na fibra inferior da seção

ϵs Deformação específica no aço

ϵs Deformação na fibra superior da seção

ϵyd Deformação específica de escoamento do aço

η Distância da fibra em questão ao centro de gravidade (CG) da seção

medida no sentido perpendicular à linha neutra (LN);

ηi Coordenada da fibra inferior da seção

ηs Coordenada da fibra superior da seção

μx Momento fletor em torno de Y reduzido

μy Momento fletor em torno de X reduzido

ν Força normal reduzida

σcd Tensão no concreto comprimido

σsid Tensão na barra genérica i

Φl O diâmetro da barra longitudinal

Φt O diâmetro do estribo

ω Taxa de armadura mecânica da seção

xiv

ÍNDICE GERAL

Sumário 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 1

1.1 Considerações iniciais ................................................................................... 1

1.2 Objetivos ....................................................................................................... 2

1.2.1 Geral ......................................................................................................... 2

1.2.2 Específicos ................................................................................................ 2

1.3 Estrutura do trabalho ..................................................................................... 3

2 O CONCRETO ARMADO .................................................................................. 4

2.1 Concreto ........................................................................................................ 4

2.1.1 Resistência à compressão ......................................................................... 4

2.1.2 Resistencia à tração ................................................................................... 5

2.1.3 Diagrama de tensão-deformação .............................................................. 5

2.1.4 Módulo de elasticidade ............................................................................. 6

2.1.5 Estádios de tensão ..................................................................................... 7

2.2 Aço ................................................................................................................ 8

2.3 Concreto Armado ........................................................................................ 10

2.3.1 Domínios de deformação ........................................................................ 10

3 PILARES ............................................................................................................ 13

3.1 Definição ..................................................................................................... 13

3.2 Pontos a serem considerados no dimensionamento .................................... 13

3.3 Resolução da seção submetida a flexão composta oblíqua ......................... 19

3.4 Uso dos ábacos de flexão composta oblíqua ............................................... 21

4 O CÓDIGO COMPUTACIONAL ..................................................................... 27

4.1 Utilização .................................................................................................... 27

4.2 Sub-rotinas .................................................................................................. 28

4.3 Formulação para o programa....................................................................... 29

4.3.1 Hipóteses e mudança dos eixos locais .................................................... 29

xv

4.4 Parâmetros de descrição da deformada ....................................................... 30

4.5 Características mecânicas dos materiais ..................................................... 32

4.5.1 Concreto .................................................................................................. 33

4.5.2 Aço .......................................................................................................... 33

4.6 Esforços solicitantes e resistentes ............................................................... 34

4.6.1 Esforços solicitantes ............................................................................... 34

4.6.2 Esforços resistentes ................................................................................. 34

4.7 Formulações do problema ........................................................................... 36

4.7.1 Dimensionamento ................................................................................... 36

4.8 Manual de utilização do programa .............................................................. 42

5 RESULTADOS E DISCUSSÕES ...................................................................... 50

5.1 Exemplo 1 ................................................................................................... 50

5.1.1 Cálculo através de ábacos ....................................................................... 50

5.1.2 Cálculo automatizado com o programa .................................................. 52

5.2 Exemplo 2 ................................................................................................... 53



5.3 Exemplo 3 ................................................................................................... 58



5.4 Exemplo 4 ................................................................................................... 62



5.5 Exemplo 5 ................................................................................................... 66

5.5.1 Cálculo através do software comercial CypeCAD ................................. 67


5.6 Exemplo 6 ................................................................................................... 70



xvi

5.7 Exemplo 7 ................................................................................................... 72



5.8 Exemplo 8 ................................................................................................... 75



5.9 Comparação entre os resultados obtidos ..................................................... 78

6 CONCLUSÃO .................................................................................................... 80

7 REFERÊNCIAS ................................................................................................. 81

APÊNDICE A – INTEGRAÇÃO NÚMERICA ........................................................ 83

APÊNDICE B – RELATÓRIOS DE CÁLCULO DO CYPECAD ........................... 85

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações iniciais

O dimensionamento estrutural é um processo que demanda tempo e atenção, um erro

cometido no início do processo, e percebido nas etapas avançadas pode resultar em um imenso

retrabalho, sendo assim, o uso de ferramentas computacionais é adequado para essa atividade,

porém devemos sempre lembrar que o cálculo computacional veio para auxiliar a engenharia

de estruturas, e não para substituí-la.

O concreto armado é o sistema construtivo mais utilizado no Brasil e os engenheiros

constantemente se deparam com a necessidade de dimensionar pilares, que são as peças que

exigem maior atenção na análise da estrutura visto que estes têm seu carregamento

incrementado ao receberem as cargas de cada pavimento, diferente de lajes e vigas que recebem

as cargas somente de um pavimento, e nos quais não há possibilidade de redistribuição de

cargas, resultando em colapso.

A ABNT NBR6118/2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento define

pilares como: “Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as

forças normais de compressão são preponderantes.”, porém é sabido que os pilares

frequentemente estão submetidos também a momentos fletores o que joga os pilares no caso

que foi mencionado acima, as flexões compostas ou flexo-compressões.

Segundo Pinheiro (2009), a flexo-compressão oblíqua é muito comum em peças de

concreto armado, principalmente em pilares. Entretanto, nos problemas de dimensionamento,

como são desconhecidas a distância e a inclinação da linha neutra, obter uma solução geral é

praticamente impossível.

De acordo com Carvalho (2013), as incógnitas do sistema de equações são: a

inclinação α da linha neutra, sua profundidade e a taxa mecânica da armadura. A solução do

sistema, embora complicada, é possível utilizando-se um processo iterativo, bastante adequado

para programação em computador.

A ruptura de um pilar é algo extremamente indesejável pelos motivos já citados acima,

sendo assim devemos sempre ter um cuidado extra com pilares, procurando dimensiona-los

pelo método mais eficiente e menos passível de erros.

2

O dimensionamento de pilares atualmente, inclusive o que é abordado na graduação,

consiste no uso de ábacos em que o usuário entra com os esforços solicitantes, propriedades

dos materiais e disposição de barras, encontrando assim um valor de taxa mecânica de armadura

e muitas vezes, tendo que “interpolar” visualmente no ábaco que geralmente só contém as

isolinhas referentes a múltiplos de 0,1.

O trabalho tratará do desenvolvimento de um código computacional capaz de

dimensionar seções de pilares de concreto armado submetidos a flexão composta reta ou

oblíqua usando diversos parâmetros de entrada fornecidos pelo usuário como: resistência

característica a compressão do concreto, geometria da seção, quantidade e disposição das barras

de aço, resistência característica de escoamento do aço, coeficiente de minoração da resistência

do aço e do concreto e esforços solicitantes de cálculo atuantes na seção.

Conforme mencionado anteriormente, o dimensionamento de pilares atualmente é

realizado através de ábacos, e erros nesse processo geram retrabalhos e consequentemente falta

de segurança no dimensionamento dos pilares, os elementos mais vitais de uma edificação,

desta forma o desenvolvimento desta rotina é extremamente válido, além disso temos o tempo

ganho no dimensionamento que é evidente.

1.2 Objetivos

1.2.1 Geral

Desenvolver uma rotina computacional usando a linguagem de programação

FORTRAN, capaz de resolver o sistema de equações de equilíbrio das forças provenientes das

tensões normais nas seções de pilares de concreto armado no estado limite último de acordo

com as recomendações normativas da ABNT NBR 6118/2014, obtendo a armadura exata

necessária para equilibrar a seção, sem os erros provenientes da leitura, interpolação e

arredondamentos da utilização de ábacos.

1.2.2 Específicos

a) Dimensionar armaduras de pilares

b) Otimizar o processo, gerando assim economia de tempo e dinheiro para o

engenheiro

3

c) Desenvolver uma ferramenta computacional de fácil manuseio para

engenheiros e discentes

1.3 Estrutura do trabalho

O trabalho é composto por seis capítulos, sendo o primeiro esta introdução.

No Capítulo 2, discute-se sobre os materiais e métodos envolvidos no

dimensionamento de pilares de concreto armado, no caso aço e concreto bem como as

prescrições normativas destes materiais.

O Capítulo 3, trata-se sobre o elemento estrutural pilar, seu procedimento de

dimensionamento segundo as normas e literatura apresentadas, a nível de graduação.

No Capítulo 4, descreve-se o programa desenvolvido, as sub-rotinas criadas, as

metodologias do dimensionamento automático e modo de utilização do programa.

No Capítulo 5, são mostrados os exemplos resolvidos com resultados obtidos pelos

métodos apresentados no Capítulo 3 e no Capítulo 4, além de exemplos resolvidos com auxílio

do software comercial CypeCad, finalmente são feitas comparações entre os modelos de

cálculo.

No Capítulo 6, apresentam-se as conclusões sobre o trabalho e sugestões de

continuidade do trabalho.

4

2 O CONCRETO ARMADO

Segundo a NBR 6118/2014, elementos de concreto armado são aqueles cujo

comportamento estrutural depende da aderência entre o concreto e a armadura, e nos quais não

se aplicam alongamentos inicias das armaduras antes da materialização dessa aderência.

Do texto anterior podemos verificar que o concreto armado é constituído por dois

materiais principais, o concreto e o aço, e a aderência mencionada faz com que estes materiais

trabalhem em conjunto. Com isso podemos afirmar que em uma determinada fibra da seção de

concreto armado, o aço e o concreto apresentam a mesma deformação.

A NBR 6118/2014 aborda concretos com resistência característica a compressão entre

20 e 90 MPa, sendo os que ficam abaixo de 50MPa considerados concretos do grupo I de

resistência e os que tem resistência característica de compressão maior ou igual a 55 MPa os

concretos do grupo II. Neste trabalho abordaremos somente os concretos do grupo I.

2.1 Concreto

O concreto simples é concebido a partir da mistura de cimento, agregado miúdo,

agregado graúdo e água, podendo também ter adições minerais e aditivos químicos que visam

melhorar as propriedades do concreto.

2.1.1 Resistência à compressão

A propriedade mais visada do concreto é sua resistência à compressão, já que ensaios

em laboratório constataram, ao longo do tempo, que esse material resiste extremamente bem a

esforços de compressão, mas muito pouco a esforços de tração (da ordem de 10% da resistência

a compressão), daí veio a necessidade de utilizar aço no concreto, para suprir a deficiência de

resistência à tração.

Essa resistência é obtida através de ensaios de curta duração em corpos de prova por

compressão centrada. São comprimidos vários corpos de prova até a ruptura e os resultados

obtidos para a carga de ruptura são tratados estatisticamente, visando obter a resistência

característica à compressão do concreto, que a partir de agora chamaremos de fck, sendo o

significado desse valor a probabilidade de 95% dos resultados obtidos para a resistência do

corpo de prova no ensaio sejam maiores que o fck. Os concretos então são batizados em função

do seu fck, conforme a tabela abaixo.

5

Tabela 1 - Classes de resistência do concreto

Nome fck (MPa)

C20 20

C25 25

C30 30

C35 35

C40 40

C45 45

C50 50

C55 55

C60 60

C70 70

C80 80

C90 90 Fonte: Autor (2018)

2.1.2 Resistencia à tração

Conforme mencionado anteriormente, a resistência à tração do concreto tem valor

baixo. Constantemente, a resistência do concreto à tração é desprezada visando deixar os

resultados a favor da segurança, porém tem importância em alguns casos, como na verificação

do cisalhamento em lajes e como parte da resistência ao cisalhamento. No caso desse trabalho,

esta resistência não será utilizada, devido ao fato de estarmos dimensionando seções a

solicitações normais no estado limite último, que representa o estádio 3 do concreto armado,

onde não é mais considerado nenhuma resistência a tração do concreto devido a existência de

fissuras.

2.1.3 Diagrama de tensão-deformação

O diagrama de tensão-deformação do concreto idealizado pela norma consiste de duas

regiões.

• Região 1

A tensão no concreto varia com a deformação ao longo da faixa de deformação maior

que 0‰ e menor que ϵc2

• Região 2

6

A tensão no concreto atinge seu valor de pico e segue constante a partir de ϵc2

até seu valor máximo de encurtamento ϵcu

Figura 1 - Diagrama de tensão-deformação do concreto

Fonte: Adaptado de ABNT NBR 6118/2014

Onde:

fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto definido por fck/γc, sendo γc o

coeficiente de minoração da resistência do concreto, que tem valor 1,4

ϵcu é a deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura

ϵc2 é a deformação específica de encurtamento do concreto no início da plastificação

Conforme dito anteriormente, trabalharemos com concretos do grupo I, que tem:

ϵc2 = 2‰

ϵcu = 3,5‰

n = 2

2.1.4 Módulo de elasticidade

O módulo de elasticidade é uma grandeza que relaciona a proporção entre tensão e

deformação de um material sólido.

7

A NBR 6118/2014 trata de dois módulos de elasticidade do concreto, o tangente inicial

e o secante. Sendo estes definidos pelas seguinte equações para concretos do grupo I.

𝐸𝑐𝑖 = 𝛼𝐸 × 5600 × √𝑓𝑐𝑘 (2.1)

𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 × 𝐸𝑐𝑖 (2.2)

Onde:

αE é um parâmetro que faz referência ao tipo de agregado usado no concreto

αi é um coeficiente redutor função do fck tendo seu valor limitado em 1

O cálculo desenvolvido nesse trabalho não utilizará os módulos supracitados, sendo

assim, não iremos nos aprofundar. Estes valores têm grande importância para análise das

estruturas em serviço, bem como para cálculo da estabilidade global de edifícios.

2.1.5 Estádios de tensão

Segundo Carvalho e Figueiredo Filho (2014), podem-se caracterizar três estádios em

um elemento de concreto.

Estádio I - Sob a ação de momentos fletores de baixa intensidade, a tensão de tração

no concreto não ultrapassa sua resistência característica à tração do concreto.

• A variação da tensão normal ao longo da direção perpendicular à linha neutra

da seção é linear

• As tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações,

correspondendo ao trecho linear do diagrama de tensão-deformação do

concreto

• Não há fissuras visíveis.

Estádio II - Aumentado o valor do momento fletor, as tensões de tração na maioria

dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terão valores superiores ao da resistência

característica à tração do concreto.

• Considera-se que apenas o aço passa a resistir aos esforços de tração.

8

• Admite-se que a variação da tensão de compressão no concreto ao longo da

direção perpendicular à linha neutra da seção permaneça linear.

• As fissuras de tração na flexão do concreto são visíveis.

Estádio III - Aumentado o valor do momento fletor até um valor próximo do momento

de ruptura, acontece, para os concretos do grupo I:

• A fibra mais comprimida do concreto começa a plastificar a partir da

deformação ϵc2, chegando a atingir, sem aumento de tensão, a deformação

específica ϵcu.

• Diagrama de tensões tende a ficar vertical em relação a linha neutra (uniforme),

com quase todas as fibras trabalhando com sua tensão máxima, ou seja,

praticamente todas as fibras atingem deformações superiores a ϵc2 e chegando

até ϵcu.

• A peça está bastante fissurada, com fissuras aproximando-se da linha neutra

• Supõe-se que a distribuição de tensões no concreto, em relação a linha neutra,

ocorra segundo um diagrama parábola-retângulo (Figura 1)

O estádio III corresponde a ruptura, ou estado limite último, da peça, sendo assim as

seções nesse estudo serão dimensionadas para resistir aos esforços atendendo as hipóteses deste

estádio.

Figura 2 - Elemento de concreto armado do grupo I no estádio III

Fonte: PINHEIRO, (2007)

2.2 Aço

9

O aço é uma liga de ferro-carbono com até cerca de 2% de carbono, porém os aços

utilizados em armaduras de concreto armado possuem, normalmente, teor de carbono entre

0,08% e 0,50% (Carvalho e Figueiredo Filho, 2014). É um material vastamente utilizado na

construção civil, seja para uso de perfis de aço para estruturas metálicas ou para o uso de

vergalhões e fios destinados a reforçar o concreto. O módulo de elasticidade longitudinal desse

material, ES, tem valor 210 GPa. Os aços utilizados como vergalhões e fios nas estruturas de

concreto armado tem denominação CA-25, CA-50 e CA-60, sendo CA a abreviatura de

concreto armado e o número seguinte a este a resistência característica do aço ao escoamento,

que iremos chamar a partir de agora de fyk, em kN/cm². Abaixo temos uma ilustração do

diagrama de tensão-deformação do aço e uma pequena tabela de resumo das propriedades dos

aços.

Figura 3 - Diagrama de tensão deformação do aço

Fonte: Adaptado de ABNT NBR 6118/2014

Tabela 2 - Resumo de características dos aços CA

Nome fyk (MPa) fyd (MPa) ϵyd (‰)

CA-25 250 217,39 1,04

CA-50 500 434,78 2,07

CA-60 600 521,74 2,48 Fonte: Autor (2018)

Onde:

10

fyd é a resistência de cálculo do aço ao escoamento, tendo seu valor definidor por fyk/γs

γs é o coeficiente de minoração da resistência do aço, tem valor 1,15

ϵyd é a deformação específica de escoamento do aço, tendo seu valor definido por

fyd/ES

2.3 Concreto Armado

Conforme dito anteriormente, quando garantida a aderência entre o aço e o concreto,

sendo o aço ausente de tensões iniciais, temos o concreto armado.

O concreto armado é um material excelente para a construção civil, porém tendo suas

vantagens e desvantagens como qualquer outro. Entre as vantagens podemos citar:

• Liberdade na forma dos elementos

• Resistência as agressões químicas do meio ambiente, desde que respeitados as

prescrições normativas relacionadas a cobrimentos

E entre as desvantagens:

• Elevado peso próprio

• Necessidade de formas para a execução, quando moldado in situ.

2.3.1 Domínios de deformação

A ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado limite último é

caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço, que atingem (uma

delas ou ambas) os valores últimos das deformações especificas destes materiais.

(CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO, 2014).

11

Figura 4 - Domínios de deformação de uma seção transversal de concreto armado

Fonte: ABNT NBR 6118/2014

O estudo dos domínios de deformação é fundamental para o cálculo em questão, já

que iremos calcular as tensões nos materiais a partir destes valores e então encontrar as áreas

de aço necessárias para o equilíbrio dos esforços resistentes e solicitantes da seção.

Conforme visto na Figura 4, existem diversos domínios nos quais a peça pode

trabalhar, estes domínios são classificado com suas devidas considerações e observações, da

seguinte forma:

a) Domínio 1

Ínicio: ϵs = 10‰ e ϵc = 10‰

Término: ϵs = 10‰ e ϵc = 0

Linha neutra não corta a seção, com a distância em relação à fibra mais comprimida

da seção variando de -∞ até 0

Aço resiste integralmente aos esforços, já que o concreto está tracionado e, portanto,

fissurado.

b) Domínio 2

Ínicio: ϵs = 10‰ e ϵc = 0

Término: ϵs = 10‰ e ϵc = -3,5‰

Linha neutra corta a seção, com a distância em relação à fibra mais comprimida da

seção variando de 0 até 0,259d, gerando esforços de tração e compressão na seção

Estado limite último caracterizada pelas grandes deformações do aço

12

c) Domínio 3

Ínicio: ϵs = 10‰ e ϵc = -3,5‰

Término: ϵs = ϵyd e ϵc = -3,5‰


seção variando de 0,259d até 0,0035𝑑

𝜖𝑦𝑑+0,0035, indicando tensões de tração e compressão na

seção. Observar que o valor limite do domínio varia de acordo com o tipo de aço

empregado.

Ruptura acontece com avisos, grandes deformações. A ruptura dos dois materiais

ocorre simultaneamente, ou seja, os materiais são aproveitados ao máximo.

d) Domínio 4

Ínicio: ϵs = ϵyd e ϵc = -3,5‰

Término: ϵs = 0 e ϵc = -3,5‰


seção variando de 0,0035𝑑

𝜖𝑦𝑑+0,0035 até d, indicando tensões de tração e compressão na seção.

Observar que o valor limite do domínio varia de acordo com o tipo de aço empregado.

Ruptura acontece de forma frágil devido ao rompimento do concreto comprimido e

sem avisos, já que o aço não está escoando.

e) Domínio 4a

Similar ao domínio 4, porém a linha neutra passa a cortar a região de cobrimento e a

seção fica com uma região mínima de concreto tracionado

Além disso, a seção resistente é composta por aço e concreto comprimidos.

Ruptura frágil e sem avisos, ausência total de fissuras no concreto

f) Domínio 5

Ínicio: ϵs < 0 e ϵc = -3,5‰

Término: ϵs = -2‰ e ϵc = -2‰

Linha neutra não corta a seção, com a distância em relação à fibra mais comprimida

variando de h até +∞. A seção está completamente comprimida.

Ruptura acontece de forma frágil devido ao rompimento do concreto comprimido e

sem avisos, já que o aço não está escoando.

13

3 PILARES

3.1 Definição

A definição de pilares pela NBR6118/2014 é “Elementos lineares de eixo reto,

usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são

preponderantes”. A norma em questão define ainda os pilares-parede que são pilares que

apresentam uma das dimensões pelo menos cinco vezes maior que a outra.

Os pilares são elementos vitais para a edificação visto que recebem incrementos de

carga a cada nível de pavimento, conforme é demonstrado na figura abaixo.

Figura 5 - Caminho das cargas em uma estrutura de concreto armado

Fonte: Adaptado de KIMURA, (2007)

3.2 Pontos a serem considerados no dimensionamento

O dimensionamento de pilares deve ser feito de modo que os esforços resistentes sejam

maiores que os seguintes esforços internos:

• Esforços normais

• Momentos fletores em torno dos eixos contidos na seção reta.

• Esforços cortantes na direção dos eixos contidos na seção reta, quando há

forças transversais incidindo sobre o pilar.

14

Nosso estudo só trata de solicitações normais, sendo assim dos esforços citados nos

resta a análise dos esforços normais e os momentos fletores.

Como mencionado anteriormente, frequentemente os pilares estão submetidos a

momentos fletores em uma ou ambas as direções principais, sendo os dois casos possíveis de

flexão composta ilustrados na figura abaixo.

Figura 6 - Tipos de flexão composta em pilares

Fonte: BASTOS (2015)

Em casos práticos, muito raramente iremos nos deparar com um caso de flexão

composta normal (reta), devido as excentricidades mínimas e iniciais, além dos efeitos de

segunda ordem local, que devem ser consideradas no estudo de pilares, entre elas temos:

• Excentricidade inicial ou de primeira ordem (𝑒1);

A excentricidade de primeira ordem, ou (𝑒1), é a excentricidade que ocorre devido aos

momentos fletores solicitantes externos ou devido ao ponto de aplicação da carga axial

no pilar ser deslocado do centro geométrico deste. Na Figura 7 são ilustrados os

possíveis casos de excentricidade inicial de primeira ordem.

15

Figura 7 - Tipos de excentricidade de primeira ordem

Fonte: BASTOS (2017)

• Excentricidade de forma (𝑒𝑓);

Trata-se da excentricidade resultante da não coincidência dos eixos de vigas e pilares,

conforme mostrado na Figura 8.

Figura 8 - Excentricidade de forma


16

• Excentricidade acidental (𝑒𝑎);

É a excentricidade levada em consideração devido as imperfeições geométricas do

pilar que são acumuladas durante a fase de execução, ou desaprumo do pilar. Essa

excentricidade é regida pelo angulo 𝜃1 que é função da altura do lance do pilar, conforme a

equação (3.1).

𝜃1 = 1

100 × √𝑙

(3.1)

Devendo θ1 respeitar os valores máximo e mínimo estabelecidos pela NBR

6118:2014, no item 11.3.3.4.1.

𝜃1,𝑚á𝑥 =1

200

𝜃1,𝑚𝑖𝑛 =1

300

(3.2)

Após a determinação do angulo 𝜃1, pode-se calcular a excentricidade acidental

na seção de extremidade e na seção intermediaria, respectivamente, do pilar, através das

equações:

𝑒𝑎 = 𝜃1 × 𝑙

𝑒𝑎 ∗ = 𝜃1 ×

𝑙

2

(3.3)

• Excentricidade mínima (𝑒1,𝑚𝑖𝑛)

No caso das excentricidades citadas anteriormente resultarem em valores de baixa

intensidade, devemos verificar ainda se o valor da excentricidade mínima é respeitado:

17

𝑒1𝑚í𝑛 = 0,015 + 0,03 ∙ ℎ (3.4)

Onde:

h é a dimensão da seção em cada uma das direções a serem analisadas

Lembrando que o h deve ser usado em ambas as direções da peça, de modo a gerar um

valor de momento mínimo, relativo a cada dimensão da peça.

• Excentricidade de segunda ordem (𝑒2);

A excentricidade de segunda ordem se manifesta em pilares cujo índice de esbeltez é

superior à esbeltez limite. Conforme a classificação do pilar, podem ser utilizados métodos

diferentes para o cálculo dessa excentricidade.

Sendo o índice de esbeltez definido em cada direção por:

𝜆𝑥 =𝑙𝑒,𝑥

𝑖𝑥 (3.5)

Onde,

𝜆𝑥 → Índice de esbeltez segundo a direção X;

𝑙𝑒,𝑥 → Comprimento de flambagem na direção X;

𝑖𝑥 → Raio de giração da seção reta na direção X;

Analogamente, para Y, tem-se:

𝜆𝑦 =𝑙𝑒,𝑦

𝑖𝑦 (3.6)

Segundo algumas bibliografias, como Carvalho (2013), os pilares são classificados

conforme sua esbeltez em: curtos, medianamente esbeltos, esbeltos, ou muito esbeltos.

𝜆 < 𝜆1 → Curto

𝜆1 < 𝜆 < 90 → Medianamente esbelto

90 < 𝜆 < 140 → Esbelto

140 < 𝜆 ≤ 200 → Muito esbelto

18

É importante frisar que a NBR 6118:2014 não recomenda o dimensionamento de

pilares que possuem índice de esbeltez igual ou superior a 200, exceto em casos onde o pilar

esteja comprimido por uma força normal de intensidade inferior a 0,10 𝑓𝑐𝑑𝐴𝑐.

Onde:

Ac é a área da seção de concreto

A esbeltez limite representa o ponto a partir do qual o pilar deixa de ser classificado

como curto e passa a ser medianamente esbelto.

De acordo com a NBR 6118:2014, o valor de 𝜆1 pode ser calculado pela expressão:

35 ≤ 𝜆1 =25 + 12,5 ∙

𝑒1ℎ⁄

𝛼𝑏≤ 90 (3.7)

Onde:

𝑒1 → Excentricidade de primeira ordem;

𝛼𝑏 → Parâmetro de instabilidade; varia conforme vinculação de peça e

intensidade das cargas que solicitam a peça;

Esses são efeitos de segunda ordem local, e podem ser calculadas de acordo com

métodos apresentados na NBR 6118/2014, entre os mais populares temos o método do pilar

padrão com curvatura aproximada e o método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, para

pilares medianamente esbeltos. Para o caso de pilares esbeltos e muito esbeltos devemos usar

métodos mais precisos como o método geral.

• Excentricidade suplementar (𝑒𝑐);

É a excentricidade devido a fluência a ser considerada quando o índice de esbeltez do

pilar for maior que 90.

Após calcular todas essas excentricidades, devemos combina-las de modo a procurar

o caso mais desfavorável para o pilar.

19

Para as seções de extremidade, deve-se considerar para efeito de combinação apenas

a soma das excentricidades iniciais e acidentais, a fim de comparar com o valor da

excentricidade mínima segundo a direção de interesse.

Para as seções intermediárias, é necessário efetuar a redução das excentricidades

iniciais, a fim de obter-se a excentricidade inicial reduzida na seção em análise. Havendo efeitos

de segunda ordem, estes serão considerados atuando na seção intermediária de modo que a

excentricidade total na seção intermediária será a parcela correspondente aos efeitos de segunda

ordem somada à maior entre a soma da inicial reduzida com a acidental ou a excentricidade

mínima.

𝑒𝑖𝑛𝑡 ≥ {𝑒∗ + 𝑒𝑎,𝑖𝑛𝑡

𝑒𝑚í𝑛 + 𝑒2 (3.8)

Esses efeitos não são calculados automaticamente pelo programa, devendo o usuário

fazer os cálculos, combinações e majorações prescritas por norma. Os dados de entrada do

programa serão os esforços solicitantes de cálculo.

Antes de fazer essas combinações, facilmente percebe-se que é muito comum que os

pilares resultem em flexões compostas oblíquas, o que torna a criação desta ferramenta

computacional adequada, já que, como foi dito anteriormente, o dimensionamento analítico de

seções submetidas à flexão composta oblíqua é extremamente trabalhoso e necessita de um

processo iterativo. A seguir, na Figura 9, temos uma foto da situação final de um pilar.

3.3 Resolução da seção submetida a flexão composta oblíqua

20

Figura 9 - Pilar submetido a flexão composta oblíqua

Fonte: Adaptado de PINHEIRO, (2009)

Conforme tratado anteriormente, para equilibrar uma seção desta natureza devemos

obter esforços resistentes maiores ou iguais aos esforços solicitantes, sendo assim:

𝑁𝑅𝑑 ≥ 𝑁𝑆𝑑

𝑀𝑥𝑅𝑑 ≥ 𝑀𝑥𝑆𝑑

𝑀𝑦𝑅𝑑 ≥ 𝑀𝑦𝑆𝑑

(3.9)

Onde:

𝑁𝑆𝑑 𝑒 𝑁𝑅𝑑 são os esforços normais solicitante de cálculo e resistente de cálculo,

respectivamente.

𝑀𝑥𝑆𝑑𝑒 𝑀𝑥𝑅𝑑 são os momentos fletores em torno do eixo X solicitante de cálculo e

resistente de cálculo, respectivamente.

𝑀𝑦𝑆𝑑 𝑒 𝑀𝑦𝑅𝑑 são os momentos fletores em torno do eixo Y solicitante de cálculo e

resistente de cálculo, respectivamente.

Os esforços solicitantes são obtidos da análise estrutural e das prescrições normativas,

enquanto que os resistentes podem ser obtidos através do equilibro da seção transversal,

utilizando as Equações (3.10), conforme prescreve Pinheiro (2009).

21

𝑁𝑅𝑑 = ∬𝜎𝑐𝑑. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦 + ∑𝐴𝑠𝑖 . 𝜎𝑠𝑖𝑑

𝑛

𝑖=1

𝐴𝑐𝑐

𝑀𝑦𝑅𝑑 = ∬𝜎𝑐𝑑. 𝑥. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦 + ∑𝐴𝑠𝑖 . 𝜎𝑠𝑖𝑑

𝑛

𝑖=1

. 𝑥𝑠𝑖

𝐴𝑐𝑐

𝑀𝑥𝑅𝑑 = ∬𝜎𝑐𝑑. 𝑦. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦 + ∑𝐴𝑠𝑖. 𝜎𝑠𝑖𝑑

𝑛

𝑖=1

. 𝑦𝑠𝑖

𝐴𝑐𝑐

(3.10)

Onde:

σcd: tensão no concreto comprimido

Acc: área da seção de concreto comprimido

n: número de barras

Asi: área da seção transversal da barra genérica i

σsid: tensão na barra genérica i

x: abscissa do elemento infinitesimal de área dx·dy

y: ordenada do elemento infinitesimal de área dx·dy

xsi: abscissa da barra genérica i

ysi: ordenada da barra genérica i

O processo iterativo consiste em variar a inclinação da linha neutra, a profundidade da

linha neutra e a área de aço na peça até que a condição de equilíbrio apresentada na página

anterior seja satisfeita. No caso de códigos computacionais, pode ser feita uma verificação de

modo a tornar o erro do processo quase zero e, desta forma, otimizar ao máximo o uso de aço,

o que não é possível com a utilização de ábacos.

3.4 Uso dos ábacos de flexão composta oblíqua

O uso dos ábacos consiste na transformação dos esforços solicitantes, dimensões dos

pilares e fck do concreto nos parâmetros adimensionais ν, μx e μy, que representam,

respectivamente, a força normal reduzida, momento fletor reduzido em torno do eixo y e

momento fletor reduzido em torno do eixo x. Observa-se que a nomenclatura é invertida, isso

22

se dá pelo fato de que quando estamos lidando com ábacos, os momentos são tratados na direção

do vetor curvo, por exemplo, um momento na direção x no ábaco seria um momento causado

por uma excentricidade ao longo do eixo x, o mesmo vale para o momento na direção y. Para

não causar confusão com os resultados que serão obtidos posteriormente no programa, iremos

desde já trabalhar com a nomenclatura dos vetores de seta dupla, que é a utilizada no código

computacional.

Cada um desses parâmetros adimensionais pode ser calculado segundo as Equações

(3.11).

ν =NSd

𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑

μx =𝑀𝑦𝑆𝑑

ℎ𝑥 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=

ν × ex

ℎ𝑥

μy =𝑀𝑥𝑆𝑑

ℎ𝑦 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=

ν × ey

ℎ𝑦

(3.11)

Onde:

Ac é a área da seção de concreto

hx é a dimensão da seção na direção do eixo x

hy é a dimensão da seção na direção do eixo y

ex é a excentricidade ao longo do eixo x, que gera um momento em torno do eixo Y

ey é a excentricidade ao longo do eixo x, que gera um momento em torno do eixo X

Em posse desses valores, devemos ainda estimar distâncias d’ da borda da seção até o

eixo da barra em cada direção, d’x e d’y, que é dada no caso geral por:

𝑑′ = 𝑐 + 𝜙𝑡 +𝜙𝑙

2 (3.12)

Onde:

c é o cobrimento da seção, obtido da norma de acordo com a classe de agressividade

ambiental.

23

Φt é o diâmetro do estribo

Φl é o diâmetro da barra longitudinal

Perceba que as incertezas do ábaco já começam nesta etapa, onde você estima um

diâmetro para a armadura longitudinal, sem saber se este realmente vai ser o diâmetro usado.

Procedendo com os cálculos, em posse dos valores de d’x e d’y devemos calcular

adimensionais relativos a distância da borda da seção até o eixo da armadura através de:

𝑑′𝑥

ℎ𝑥

𝑑′𝑦

ℎ𝑦

(3.13)

Com isso, temos todos os parâmetros necessários para utilizar o ábaco, só nos resta

escolher o arranjo de barras, usaremos como exemplo os ábacos do professor Libânio Miranda

Pinheiro, cujos arranjos se encontram ilustrados na Figura 10.

Figura 10 - Arranjos de barras disponíveis nos ábacos


24

Além do limitado arranjo de barras, não há valores de d’x e d’y para todos os casos, a

seguir, na Figura 11, podemos verificar as combinações disponíveis.

Figura 11 - Combinações disponíveis de posicionamento das barras

Fonte: PINHEIRO (2009)

Conforme pode ser visto, cada vez mais temos imprecisões se acumulando, no caso de

posições relativas diferentes dos valores tabelados, temos que adotar alguma combinação

próxima, além disso, não há arranjos que possuam entre 5 e 9 barras por face, sendo nesse caso

preciso trabalhar com o ábaco de 10 barras por face, obter uma armadura daquele arranjo e

distribuir em diâmetros de modo que a quantidade não ultrapasse 10 barras por face. O

recomendado é que se use uma quantidade menor ou igual de barras em relação ao arranjo

escolhido.

Após escolhido o arranjo de barras, e calculados os parâmetros podemos proceder para

visualização do ábaco escolhido, usando como exemplo o ábaco 10B. (Figura 12)

25

Figura 12 - Ábaco 10B


Para obter o valor da armadura, devemos utilizar primeiramente o valor da força

normal reduzida, supondo que neste caso o valor da força normal reduzida está entre 0,8 e 1,4,

estamos com o ábaco correto, no caso da força normal reduzida entre 0 e 0,6, precisaríamos

consultar o ábaco 10A. Supondo que o valor de ν foi 0,8 , usaríamos o quadrante superior direito

do ábaco e traçaríamos duas retas, uma paralela a direção vertical passando pelo ponto de μx

calculado e outra paralela a direção horizontal passando pelo ponto de μy calculado. No caso de

ν não coincidente com algum dos valores da tabela é recomendado calcular a área necessária

26

para os dois valores mais próximos do ν real e interpolar linearmente o valor da armadura

encontrada. O ponto de encontro dessas duas retas será a taxa de armadura mecânica, ω,

necessária, caso o ponto coincida com alguma das isolinhas do gráfico, o valor do ω será o valor

da isolinha em questão, caso fique entre duas isolinhas, precisamos interpolar o valor

visualmente e estima-lo a partir da sua posição, por exemplo: ponto entre a isolinha de ω = 0,3

e ω = 0,4, de acordo com a proximidade do ponto de cada uma das linhas estimar um valor

intermediário.

Em posse do valor de ω podemos então calcular a área de aço, As, necessária para

equilibro da seção, isolando-a da equação apresentada na parte superior do ábaco:

𝜔 =𝐴𝑠 × 𝑓𝑦𝑑

𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑→ 𝐴𝑠 =

𝜔 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑𝑓𝑦𝑑

(3.14)

A partir daí, escolheríamos um diâmetro de armadura longitudinal e calcularíamos a

quantidade de barras necessárias para atender o calculado, lembrando que se a quantidade de

barras resultasse em uma quantidade maior que 4 barras, precisaríamos repetir o cálculo com

outro ábaco, gerando retrabalho para o usuário.

27

4 O CÓDIGO COMPUTACIONAL

Como mencionado anteriormente, o programa foi desenvolvido na linguagem

FORTRAN, o código consiste em um programa principal (DIMEN) e várias sub-rotinas e

módulos.

4.1 Utilização

Para utilizar o programa, deve ser criado um arquivo de entrada, usualmente feito no

bloco de notas.

Cada linha do arquivo de texto é lida e interpretada pelo programa, sendo eles:

a) Quantidade de vértices da seção mais um, isso se dá pelo fato de precisarmos

de um contorno fechado para a seção de concreto, desta forma o último vértice

sempre será igual ao primeiro, a entrada dos vértices é realizada no sentido

anti-horário. Vale ressaltar que na existência de furos na seção, este contorno

deve ser feito no sentido horário.

b) Indicação do vértice (1, 2, 3, … n), coordenada X, coordenada Y, raio de

geração de pontos (caso não utilizado, 0).

c) Quantidade de barras fixas (não dimensionadas)

d) Indicação da barra fixas (1, 2, 3, … n), coordenada X, coordenada Y, raio de

geração de pontos (caso não utilizado, recebe o valor 0), área da barra fixa,

resistência característica do aço ao escoamento.

e) Quantidade de barras otimizáveis

f) Indicação da barra otimizável (1, 2, 3, … n), coordenada X, coordenada Y, raio

de geração de pontos (caso não utilizado, recebe o valor 0), Porcentagem de

armadura no ponto, resistência característica do aço ao escoamento.

g) Coeficiente de minoração da resistência do aço

h) Coeficiente de minoração da resistência do concreto

i) Módulo de elasticidade longitudinal do aço

j) Resistência característica do concreto à compressão

k) Número de casos de carga

28

l) Indicação do caso de carga (1, 2, 3, … n), momento fletor em torno do eixo X

do caso, momento fletor em torno do eixo Y do caso, esforço Normal do caso,

tipo de flexão (fcr ou fco)

4.2 Sub-rotinas

O programa Dimen é a implementação computacional para o dimensionamento e

verificação da segurança da seção de concreto armado descrita neste trabalho.

Segue-se um pequeno resumo com as principais sub-rotinas e suas funções no

programa:

• Sub-rotina cria_dados:

Cria o arquivo de dados do programa de maneira iterativa, imprimindo todos os dados

referentes ao problema.

• Sub-rotina Leitura:

Lê os dados de um arquivo, cujo nome é fornecido pelo usuário. Caso o arquivo tenha

sido gerado o programa o considera, automaticamente, como o arquivo de entrada de dados

• Sub-rotina Características:

Calcula as características geométricas da seção de concreto, tais como: área, momentos

estáticos e de inércia, produto de inércia, coordenadas do CG.

• Sub-rotina Estima:

Através das características da seção e dos esforços aplicados faz a estimativa inicial

da inclinação da linha neutra (α) e do parâmetro de deformação (D).

• Sub-rotina Esforços:

Calcula os esforços resistentes e forma a matriz gradiente. Para isso faz uso de várias

sub-rotinas menores que calculam tensões, deformações e contribuições nos esforços e na

formação da matriz para as diferentes regiões de compressão do concreto.

• Sub-rotina Asmi:

Calcula a área mínima e máxima de armadura para a seção.

• Sub-rotina resolução:

Resolve o problema de dimensionamento pelo método iterativo de Newton-Raphson,

para a resolução do sistema de equação lineares gerado faz uso da sub-rotina Gauss.

• Sub-rotina Segurança:

29

Calcula a reserva de segurança da seção pelo método iterativo de Newton-Raphson,

para a resolução do sistema de equação lineares gerado faz uso da sub-rotina Gauss.

• Sub-rotina Cria_saída:

Imprime os resultados em um arquivo de saída.

4.3 Formulação para o programa

4.3.1 Hipóteses e mudança dos eixos locais

A seção de concreto será definida por um contorno, uma poligonal fechada onde o

último ponto se sobrepõe ao primeiro, no sentido anti-horário para a o contorno externo e

horário para contorno interno, no caso de furos na seção.

As barras são definidas como pontos internos a esta seção, possuindo área no caso de

barras fixas ou porcentagem da área total no caso de barras otimizáveis.

Um exemplo de pontos da seção e barras pode ser visto na Figura 13.

Figura 13 - Pontos da poligonal e barra de uma seção heptagonal vazada

Fonte: MITTELBACH, (2000)

Para o desenvolvimento deste trabalho, considera-se que as seções transversais

solicitadas a flexão composta obliqua trabalham conforme a hipótese de Navier, ou seja, as

seções transversais, que são planas e perpendiculares ao eixo médio antes da deformação,

continuam, após a deformação, planas e perpendiculares ao eixo médio encurvado, sendo assim

ϵ(n) de uma fibra da seção pode ser descrita como

30

𝜖(𝜂) = 𝑘0 × 𝜂 + 𝜖0 (4.1)

Onde:

η é a distância da fibra em questão ao centro de gravidade (CG) da seção, medida na

direção perpendicular à linha neutra (LN);

ϵ0 é a deformação da fibra passando pelo CG;

k0 é a curvatura do eixo do elemento estrutural no plano de flexão.

Outra hipótese adotada, é a da perfeita aderência entre aço e concreto, o que garante

que em uma determinada fibra que contem uma barra de aço, esta terá a mesma deformação do

concreto.

Com isso, estabelece-se que a configuração deformada que corresponde a um domínio

de deformação de ruína por ruptura do concreto ou deformação excessiva da armadura, de

acordo com a NBR6118.

Figura 14 - Eixos locais para desenvolvimento do problema


4.4 Parâmetros de descrição da deformada

31

De acordo com Mittelbach, (2000), são necessários alguns elementos para descrição

da deformada:

- Determinação de um plano normal à LN;

- Caracterização de um estado limite último.

Para a determinação do plano o parâmetro adotado é o ângulo de inclinação da LN (α).

Na caracterização do estado limite último será utilizado um parâmetro de deformação

D.

• Ângulo α de inclinação da linha neutra

Define-se um eixo local (x, y), paralelo ao eixo global (X, Y), com a origem no C.G.

da seção de concreto.

O ângulo que a linha neutra forma com o eixo x local é denominado α.

Tendo-se o ângulo de inclinação α, é possível se definir um terceiro sistema de eixos

(ξ,η), com origem no C.G. da seção, onde ξ é o eixo na direção da linha neutra e η é

perpendicular a ξ.

A partir do sistema de eixos (ξ,η) são definidas as fibras extremas da seção: a fibra

superior é aquela que apresenta a máxima ordenada η = ηs; analogamente, a fibra inferior é

aquela que possui mínima ordenada η = ηi. Como está sendo desconsiderada a resistência à

tração do concreto, para deformação de encurtamento as fibras extremas se associam a pontos

do contorno da seção de concreto, no caso de deformação de alongamento as fibras extremas

estarão relacionadas com as barras de aço.

• Parâmetro de Deformação (D)

As coordenadas das fibras extremas da seção (ηs e ηi) estão associadas às deformações

extremas (ϵs e ϵi).

A partir destes quatro parâmetros define-se a curvatura da seção e sua deformação em

seu centro de gravidade (k0 e ϵ0 respectivamente):

𝑘0 = (𝜂𝑠 – 𝜂𝑖) / (𝜖𝑠 − 𝜖𝑖)

𝜖0 = 𝜖𝑠 − 𝑘0 × 𝜂𝑠 (4.2)

32

Num estado limite último as deformações extremas podem ser expressas como funções

periódicas de um parâmetro D, ϵs(D) , ϵi(D), conforme apresentado Figura 15 para um período

arbitrário de D = 26.

Figura 15 - Variação periódica do parâmetro de deformação D


Na Tabela 3, temos a correspondência entre os domínios de deformação e o valor do

parâmetro de deformação D.

Tabela 3 – Correspondência entre domínios e valores do parâmetro D

ESTADO DOMÍNIO D S (D) ‰ i (D) ‰

Tração Centrada - D = 0 10 10

Flexo - Tração 1 0 < D < 2 10 - 5D 10

F. Simples/Comp. 2 2 D < 7 1,4 - 0,7D 10

F. Simples/Comp. 3/4 7 D < 12 -3,5 24 - 2D

Flexo - Compressão 5 12 D <

13 1,5D - 21,5 24 - 2D

Compressão Centrada - D = 13 -2 -2

Fonte: MITTELBACH (2000)

4.5 Características mecânicas dos materiais

33

4.5.1 Concreto

Conforme mostrado anteriormente, para o problema de flexão o concreto pode

trabalhar na região 1 ou 2 do seu diagrama de tensão-deformação, além de uma região 0, onde

o concreto não seria solicitado, podendo isso ser devido a fibra em análise estar tracionada ou

com deformação igual a 0. Sendo assim, os possíveis valores para a tensão no concreto são:

𝜎𝑐(𝜖) = {

0 | 0 ≤ 𝜖

[0,85 × 𝑓𝑐𝑑 × (250000𝜖2 + 1000𝜖)] | − 2‰ < 𝜖 < 00,85 × 𝑓𝑐𝑑 | − 3,5‰ < 𝜖 < −2‰

(4.3)

Sendo os valores acima obtidos a partir da manipulação da equação apresentada na

NBR 6118 para a curva do diagrama de tensão-deformação do concreto, apresentada na Figura

1.

A tensão no concreto também pode ser escrita em função dos eixos auxiliares criados

para resolução do problema, utilizando a equação apresentada no item 4.3.1,

𝜖(𝜂) = 𝑘0 × 𝜂 + 𝜖0

𝜎𝑐(ξ, 𝜂) = {

0 | 0 ≤ 𝜖

[0,85 × 𝑓𝑐𝑑 × (𝐷0 + 𝐷1𝜂 + 𝐷2𝜂2)] | − 2‰ < 𝜖 < 0

0,85 × 𝑓𝑐𝑑 | − 3,5‰ < 𝜖 < −2‰

(4.4)

Onde:

D0 = 1000ϵ0 + 250000 ϵ0²

D1 = 1000 k0 + 500000 k0ϵ0

D2 = 250000 k0²

4.5.2 Aço

O aço trabalha em três regiões distintas, sendo uma delas com tensão igual 0, quando

a deformação for igual a zero, e as outras duas mostradas na Equação (4.5).

34

𝜎𝑠(𝜖) = {𝐸𝑆 × 𝜖 | |𝜖| < 𝜖𝑦𝑑

𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙(𝜖) × 𝑓𝑦𝑑 | 𝜖𝑦𝑑 ≤ 𝜖 < 10‰ (4.5)

Onde:

ϵyd = fyd/ES

Na ausência de ensaios pode-se adotar o módulo de elasticidade longitudinal do aço

igual a 210 GPa, conforme permite a NBR 6118.

4.6 Esforços solicitantes e resistentes

4.6.1 Esforços solicitantes

Os esforços solicitantes são MxSd, MySd e NzSd, tendo estas siglas os mesmos

significados já mostrados anteriormente, referidos ao centro da gravidade da seção de acordo

com o sistema local de eixos (x, y, z), sendo o eixo z orientado na direção normal a seção de

concreto, sendo assim o esforço de tração terá sinal positivo e o de compressão sinal negativo.

O conjunto dos três valores denomina-se caso de carga.

4.6.2 Esforços resistentes

Com orientação similar aos esforços solicitantes, temos os esforços resistentes, MxRd,

MyRd e NzRd, obtidos da integração das tensões na seção de concreto e barras de aço para uma

determinada configuração de deformada de ruptura.

A obtenção destes esforços passa pela determinação dos esforços atuantes no sistema

local de eixos (ξ, η, ζ), através da matriz da rotação a seguir.

[𝑀𝑥𝑅𝑑

𝑀𝑦𝑅𝑑

𝑁𝑧𝑅𝑑

] = [𝑐𝑜𝑠 𝛼 −𝑠𝑒𝑛 𝛼 0𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 0

0 0 1] × [

𝑀ξ𝑅𝑑

𝑀η𝑅𝑑

𝑁ζ𝑅𝑑

] (4.6)

35

Sendo os valores de MξRd, MηRd e NζRd determinados de forma análoga ao mostrado

no item 3.3, fazendo as devidas alterações nas integrais referentes aos eixos x, y e z para ξ , η e

ζ, bem como separando o aço em barras fixas e otimizáveis.

𝑁ζ𝑅𝑑 = ∬𝜎𝑐𝑑(𝜖). 𝑑𝐴 + ∑ 𝑎𝑠𝑖. 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)

𝑁𝐵𝐹

𝑖=1

+ ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠. 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)

𝑁𝐵𝑂

𝑖=1

𝐴𝑐𝑐

𝑀η𝑅𝑑 = ∬𝜎𝑐𝑑(𝜖). ξ. 𝑑𝐴 + ∑ 𝑎𝑠𝑖 . 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖). ξi

𝑁𝐵𝐹

𝑖=1

+ ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠. 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖). ξi

𝑁𝐵𝑂

𝑖=1

𝐴𝑐𝑐

𝑀ξ𝑅𝑑 = ∬ 𝜎𝑐𝑑(𝜖). η. 𝑑𝐴 + ∑ 𝑎𝑠𝑖 . 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖). ηi

𝑁𝐵𝐹

𝑖=1

+ ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠. 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖). ηi

𝑁𝐵𝑂

𝑖=1

𝐴𝑐𝑐

(4.7)

Onde:

NBO é o número de barras otimizáveis

NBR é o número de barras fixas

pi é a porcentagem de armadura de cada barra otimizável em relação à área otimizável

total

asi é a área de cada barra fixa

As é área total de aço otimizada para equilibrar a seção

Pode-se ainda reescrever as parcelas das integrais que envolvem o concreto em função

da formulação apresentada no item 4.5.1, que descreve as tensões no concreto em função da

deformação.

𝑁ζ𝑅𝑑𝑐= 0,85𝑓𝑐𝑑 ( ∫ (𝐷0 + 𝐷1𝜂 + 𝐷2𝜂

2). 𝑑𝐴

𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔1

+ ∫ 𝑑𝐴


) (4.8)

36

𝑀η𝑅𝑑𝑐= 0,85𝑓𝑐𝑑 ( ∫ (𝐷0 + 𝐷1𝜂 + 𝐷2𝜂

2). ξ. 𝑑𝐴


+ ∫ ξ. 𝑑𝐴


)

𝑀ξ𝑅𝑑𝑐= 0,85𝑓𝑐𝑑 ( ∫ (𝐷0 + 𝐷1𝜂 + 𝐷2𝜂

2). η. 𝑑𝐴


+ ∫ η. 𝑑𝐴


)

4.7 Formulações do problema

O sistema de equações a ser resolvido será:

[DP][REv] = [ES]- λ[ER] (4.9)

Onde:

[DP] é a matriz gradiente

[REv] é o vetor de incremento das incógnitas

[ES] é o vetor de esforços solicitantes

[ER] é o vetor de esforços resistente

4.7.1 Dimensionamento

Os dados do problema de dimensionamento são as características dos materiais, as

características geométricas da seção de concreto armado, as áreas das armaduras fixas e a

distribuição percentual das armaduras otimizáveis.

As incógnitas são a inclinação da linha neutra (α), o parâmetro D e a armadura total

dimensionada (As).

Sendo assim a matriz gradiente pode ser escrita da seguinte forma:

[𝐷𝑃] =

[ 𝜕𝑀𝑥𝑅𝑑

𝜕𝛼+ 𝑀𝑦𝑅𝑑

𝜕𝑀𝑥𝑅𝑑

𝜕𝐷

𝜕𝑀𝑥𝑅𝑑

𝜕𝐴𝑠

𝜕𝑀𝑦𝑅𝑑

𝜕𝛼− 𝑀𝑥𝑅𝑑


𝜕𝐷


𝜕𝐴𝑠

𝜕𝑁𝑧𝑅𝑑

𝜕𝛼


𝜕𝐷


𝜕𝐴𝑠 ]

= [𝑅] ×

[ 𝜕𝑀ξ𝑅𝑑

𝜕𝛼

𝜕𝑀ξ𝑅𝑑

𝜕𝐷

𝜕𝑀ξ𝑅𝑑

𝜕𝐴𝑠

𝜕𝑀𝜂𝑅𝑑

𝜕𝛼


𝜕𝐷


𝜕𝐴𝑠

𝜕𝑁𝜁𝑅𝑑

𝜕𝛼


𝜕𝐷


𝜕𝐴𝑠 ]

(4.10)

37

Onde:

[𝑅] = [𝑐𝑜𝑠 𝛼 −𝑠𝑒𝑛 𝛼 0𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 0

0 0 1]

Tem-se então, um sistema de três equações e três incógnitas resolvido de maneira

iterativa, já que os esforços resistentes dependem da inclinação da linha neutra, da armadura

total otimizada e do parâmetro de deformação.

O problema foi resolvido através do método de Newton-Raphson e, a cada iteração

deste solucionou-se o sistema de equações pelo método de Gauss com pivoteamento.

Para o cálculo do matriz gradiente é necessária a determinação das derivadas parciais

dos esforços resistentes.

Derivando as equações dos esforços resistentes na seção de concreto armado tem-se:

𝜕𝑀ξ𝑅𝑑

𝜕𝛼= ∫

𝜕𝜎𝑐𝑑(𝜖)

𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝛼. η. 𝑑𝐴

𝐴𝑐𝑐

+ ∑ 𝑎𝑠𝑖 .𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)

𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝛼. ηi

𝑁𝐵𝐹

𝑖=1

+ ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠 .𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)

𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝛼

𝑁𝐵𝑂

𝑖=1

. ηi

𝜕𝑀η𝑅𝑑

𝜕𝛼= − ∫


𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝛼. ξ. 𝑑𝐴

𝐴𝑐𝑐

− ∑ 𝑎𝑠𝑖 .𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)

𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝛼. ξi

𝑁𝐵𝐹

𝑖=1

− ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠.𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)

𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝛼. ξi

𝑁𝐵𝑂

𝑖=1

𝜕𝑁ζ𝑅𝑑

𝜕𝛼= ∫


𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝛼. 𝑑𝐴

𝐴𝑐𝑐

+ ∑ 𝑎𝑠𝑖.𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)

𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝛼

𝑁𝐵𝐹

𝑖=1


𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝛼

𝑁𝐵𝑂

𝑖=1

𝜕𝑀ξ𝑅𝑑

𝜕𝐷= ∫


𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝐷. η. 𝑑𝐴

𝐴𝑐𝑐


𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝐷. ηi

𝑁𝐵𝐹

𝑖=1


𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝐷

𝑁𝐵𝑂

𝑖=1

. ηi

𝜕𝑀η𝑅𝑑

𝜕𝐷= − ∫


𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝐷. ξ. 𝑑𝐴

𝐴𝑐𝑐

− ∑ 𝑎𝑠𝑖 .𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)

𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝐷. ξi

𝑁𝐵𝐹

𝑖=1

− ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠.𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)

𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝐷. ξi

𝑁𝐵𝑂

𝑖=1

𝜕𝑁ζ𝑅𝑑

𝜕𝐷= ∫


𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝐷. 𝑑𝐴

𝐴𝑐𝑐


𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝐷

𝑁𝐵𝐹

𝑖=1

+ ∑ 𝑝𝑖. 𝐴𝑠.𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)

𝜕𝜖.𝜕𝜖

𝜕𝐷

𝑁𝐵𝑂

𝑖=1

𝜕𝑀ξ𝑅𝑑

𝜕𝐴𝑠= 𝑝𝑖. 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖). ηi

𝜕𝑀η𝑅𝑑

𝜕𝐴𝑠= −𝑝𝑖 . 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖). ξi

𝜕𝑁ζ𝑅𝑑

𝜕𝐴𝑠= 𝑝𝑖 . 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)

(4.11)

38

Precisamos agora encontrar valores para as derivadas parciais da tensão no concreto

em relação a deformação e da tensão no aço em relação a deformação, para isso derivaremos

as equações já mostradas anteriormente.

4.7.1.1 Concreto

𝜕𝜎𝑐(𝜖)

𝜕𝜖= {

0 | 0 ≤ 𝜖[0,85 × 𝑓𝑐𝑑 × (500000𝜖 + 1000)] | − 2‰ < 𝜖 < 0

0 | − 3,5‰ < 𝜖 < −2‰ (4.12)

Substituindo para os termos em função de ξ e η, conforme mostrado no item 4.5.1,

tem-se:

𝜕𝜎𝑐(ξ, 𝜂)

𝜕𝜖= {

0 | 0 ≤ 𝜖

[0,85 × 𝑓𝑐𝑑 × (𝑏𝜖′𝜂 + 𝑐′𝜖)] | − 2‰ < 𝜖 < 0

0,85 × 𝑓𝑐𝑑 | − 3,5‰ < 𝜖 < −2‰ (4.13)

Onde:

b'ϵ = 500000k0

c'ϵ = 500000ϵ0 + 1000

4.7.1.2 Aço

𝜕𝜎𝑠(𝜖)

𝜕𝜖= {

𝐸𝑆 | |𝜖| < 𝜖𝑦𝑑

0 | 𝜖𝑦𝑑 ≤ 𝜖 < 10‰ (4.14)

4.7.1.3 Determinação da função ∂ϵ/∂D

Substituindo as Equações (4.2) na Equação (4.1), temos:

39

𝜖(ξ, η) = |𝜖𝑠 − 𝜖𝑖

𝜂𝑠 − 𝜂𝑖| 𝜂 + 𝜖𝑠 − |

𝜖𝑠 − 𝜖𝑖

𝜂𝑠 − 𝜂𝑖| 𝜂𝑠 (4.15)

Derivando a Equação (4.15) em relação ao parâmetro D, tem-se:

𝜕𝜖(ξ, η)

𝜕𝐷= 𝑏𝐷

′ 𝜂 + 𝑐𝐷′ (4.16)

Onde:

𝑏𝐷′ = |

1

𝜂𝑠 − 𝜂𝑖| . |

𝜕𝜖𝑠 − 𝜕𝜖𝑖

𝜕𝐷|

𝑐𝐷′ =

𝜕𝜖

𝜕𝐷− |

𝜂𝑠

𝜂𝑠 − 𝜂𝑖| . |

𝜕𝜖𝑠 − 𝜕𝜖𝑖

𝜕𝐷|

E ∂ϵs/∂D e ∂ϵi/∂D são as derivadas em relação a D das funções S (D) e i (D),

apresentadas na Tabela 4

Tabela 4 - Derivadas das funções S (D) e i (D) em relação ao parâmetro D

D S (D) ‰ i (D) ‰ ∂S/ ∂D ∂i/ ∂D

D = 0 10 10 0 0

0 < D < 2 10 - 5D 10 -5 0

2 D < 7 1,4 - 0,7D 10 -0,7 0

7 D < 12 -3,5 24 - 2D 0 -2

12 D < 13 1,5D - 21,5 24 - 2D 1,5 -2

D = 13 -2 -2 0 0


4.7.1.4 Determinação da função ∂ϵ/∂α

A Equação (4.15) pode ser reescrita da seguinte forma:

40

𝜖(ξ, η) = |𝜖𝑠 − 𝜖𝑖

𝜂𝑠 − 𝜂𝑖| (𝜂 − 𝜂𝑠) + 𝜖𝑠 (4.17)

Derivando a Equação (4.17) em relação a α e considerando-se que as deformações nas

fibras extremas da seção, ϵs e ϵi, não mudam para incrementos infinitesimais de α, tem-se:

𝜕𝜖(ξ, η)

𝜕𝛼= (𝜖𝑠 − 𝜖𝑖). |

(𝜂𝑠 − 𝜂𝑖).𝜕(𝜂 − 𝜂𝑠)

𝜕𝛼− (𝜂 − 𝜂𝑖).

𝜕(𝜂𝑠 − 𝜂𝑖)𝜕𝛼

(𝜂𝑠 − 𝜂𝑖)²| (4.18)

As coordenadas (ξ,η) se relacionam com as coordenadas locais (x,y) através de:

ξ = x. cosα + y. senα

η = −x. senα + y. cosα (4.19)

Destas relações, tem-se:

𝜕(𝜂 − 𝜂𝑠)

𝜕𝛼= ξs − ξ

𝜕(𝜂𝑠 − 𝜂𝑖)

𝜕𝛼= ξi − ξs

(4.20)

Substituindo na derivada principal e rearranjando os termos tem-se:

𝜕𝜖

𝜕𝛼= 𝑎𝛼

′ ξ + bα′ 𝜂 + 𝑐𝛼

′ (4.21)

Onde:

𝒂𝜶′ = −(

𝝐𝒔 − 𝝐𝒊

𝜼𝒔 − 𝜼𝒊)

41

𝐛𝛂′ =

(𝝐𝒔 − 𝝐𝒊). (𝛏𝒔 − 𝛏𝒊)

(𝜼𝒔 − 𝜼𝒊)²

𝒄𝜶′ =

(𝝐𝒔 − 𝝐𝒊). (𝜼𝒔𝛏𝒊 − 𝛈𝐢𝛏𝒔)

(𝜼𝒔 − 𝜼𝒊)²

Agora temos todos os valores de derivadas necessários para resolução da formulação

principal apresentada no item 4.7.1, podemos reescrever as parcelas referentes conforme o item

seguinte.

4.7.1.5 Parcelas referentes ao concreto

𝜕𝑀ξ𝑅𝑑

𝜕𝛼= 0,85𝑓𝑐𝑑 ∫ (𝐹0𝜂 + 𝐹1𝜂

2 + 𝐹2𝜂3 + 𝐻0ξη + 𝐻2ξη

2). 𝑑𝐴𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔1

𝜕𝑀η𝑅𝑑

𝜕𝛼= −0,85𝑓

𝑐𝑑∫ (𝐹0ξ + 𝐹1ξ𝜂 + 𝐹2ξ𝜂

2 + 𝐻0ξ² + 𝐻2ξ²η) . 𝑑𝐴𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔1

𝜕𝑁ζ𝑅𝑑

𝜕𝛼= 0,85𝑓𝑐𝑑 ∫ (𝐹0 + 𝐹1𝜂 + 𝐹2𝜂 + 𝐻0ξ + 𝐻2ξη). 𝑑𝐴


(4.22)

Onde:

𝐹0 = 𝑐𝜖′ . 𝑐𝛼

′

𝐹1 = 𝑏𝜖′ . 𝑐𝛼

′ + 𝑐𝜖′ . 𝑏𝛼

′

𝐹2 = 𝑏𝜖′ . 𝑏𝛼

′

𝐻0 = 𝑐𝜖′ . 𝑎𝛼

′

𝐻2 = 𝑏𝜖′ . 𝑎𝛼

′

e

𝜕𝑀ξ𝑅𝑑

𝜕𝐷= 0,85𝑓𝑐𝑑 ∫ (𝐸0𝜂 + 𝐸1𝜂

2 + 𝐸2𝜂3). 𝑑𝐴


𝜕𝑀η𝑅𝑑

𝜕𝐷= −0,85𝑓

𝑐𝑑∫ (𝐸0ξ + 𝐸1ξ𝜂 + 𝐸2ξ𝜂

2) . 𝑑𝐴


(4.23)

42

𝜕𝑁ζ𝑅𝑑

𝜕𝐷= 0,85𝑓𝑐𝑑 ∫ (𝐸0 + 𝐸1𝜂 + 𝐸2𝜂²). 𝑑𝐴


Onde:

𝐸0 = 𝑐𝜖′ . 𝑐𝐷

′

𝐸1 = 𝑏𝜖′ . 𝑐𝐷

′ + 𝑐𝜖′ . 𝑏𝐷

′

𝐸2 = 𝑏𝜖′ . 𝑏𝐷

′

As expressões resultantes são apenas definidas para o concreto comprimido na região

1 (AcReg1), uma vez que, para a região 2, a função (∂σc(ϵ))/∂ϵ é nula. Observa-se, também que

são integrais de polinômios sobre a área AcReg1, podendo ser numericamente avaliadas através

da técnica que será apresentada no apêndice 1.

4.8 Manual de utilização do programa

Finalmente, trata-se da resolução de seções com o auxílio do programa. Para iniciar,

indica-se como funciona o arquivo de entrada de dados do exemplo 1 que terá seu cálculo

manual apresentado no item 5.1.1 e terá seu cálculo automatizado mostrado no item 5.1.2.

O arquivo de entrada para a seção, com vinte barras, resulta:

43

Figura 16 - Exemplo de arquivo de entrada para o Exemplo 1

Fonte: Autor (2018)

44

O processo de criação do arquivo de entrada pode ser um pouco trabalhoso e extenso,

além da possibilidade de entrada de dados incorretos que não podem ser visualizados pelo

usuário no ambiente do FORTRAN. Para combater essa ineficiência foi desenvolvida pelo

autor, uma planilha no Microsoft Excel para auxiliar a criação do arquivo de entrada, a planilha

será mostrada a seguir:

Começamos inserindo alguns dados iniciais do problema na primeira tabela da

planilha.

Tabela 5 – Tabela de dados iniciais

Tipo de

cálculo Dimensionamento

Número de

Vértices mais

um

5

Número de

barras fixas 0

Número de

barras

otimizáveis

20

γs 1,15

γc 1,4

fck (MPa) 20

Es (MPa) 210000

Número de

casos de

carga

1

Fonte: Autor (2018)

O número de vértices mais um se dá pelo fato do código necessitar de uma poligonal

fechada para definição da seção, sendo assim o último ponto deve ser igual ao primeiro,

conforme pode ser visto na Figura 13.

Depois, há quatro tabelas onde o usuário irá inserir as coordenadas dos vértices das

seções, das barras fixas e das barras otimizáveis além de descrever os casos de cargas através

dos esforços solicitantes na seção.

45

Tabela 6 - Tabela de entrada dos vértices da seção

Coordenadas dos vértices

Vértice Coordenada

X (cm)

Coordenada

Y (cm) Raio (cm)

1 0 0 0

2 20 0 0

3 20 50 0

4 0 50 0

5 0 0 0 Fonte: Autor (2018)

Após isso, temos a tabela das barras fixas, neste caso está vazia porque não utilizamos

barras fixas para este exemplo.

Tabela 7 - Tabela de entrada das barras fixas

Coordenadas / Características das Barras fixas

Nº Barra

Fixas

Coordenada

X (cm)

Coordenada

Y (cm) As (cm²) fyk (MPa)

Fonte: Autor (2018)

Depois temos a tabela das barras otimizáveis a serem inseridas na seção

46

Tabela 8 – Tabela de entrada para as barras otimizáveis

Coordenadas / Características das Barras otimizáveis

Nº Barra

Otimizável

Coordenada

X (cm)

Coordenada

Y (cm)

Raio

(cm)

Porcentagem

de armadura fyk (MPa)

1 4 4 0 0,0500 500

2 16 4 0 0,0500 500

3 16 8,67 0 0,0500 500

4 16 13,33 0 0,0500 500

5 16 18,00 0 0,0500 500

6 16 22,67 0 0,0500 500

7 16 27,33 0 0,0500 500

8 16 32,00 0 0,0500 500

9 16 36,67 0 0,0500 500

10 16 41,33 0 0,0500 500

11 16 46,00 0 0,0500 500

12 4 46 0 0,0500 500

13 4 41,33 0 0,0500 500

14 4 36,67 0 0,0500 500

15 4 32,00 0 0,0500 500

16 4 27,33 0 0,0500 500

17 4 22,67 0 0,0500 500

18 4 18,00 0 0,0500 500

19 4 13,33 0 0,0500 500

20 4 8,67 0 0,0500 500 Fonte: Autor (2018)

Vale salientar que estas tabelas também permitem que o usuário insira fórmulas para

preencher mais rapidamente, pode-se, por exemplo, calcular o espaçamento entra barras e gerar

várias somas da coordenada anterior mais ou menos o espaçamento entre barras.

Por último, temos a tabela de casos de carga e esforços solicitantes de cálculo de cada

um destes.

47

Tabela 9 - Tabela de entrada dos casos de carga e esforços solicitantes de cálculo

Tabela de casos de carga

N Caso de

Carga MxSd (kN.m) MySd (kN.m) NzSd (kN)

Tipo de

solicitação

1 34,440 41,420 -1148 fco

Fonte: Autor (2018)

Desta forma, finalizamos a inserção de dados na planilha. A seção inserida pode ser

verificada ao clicar em um dos botões da planilha “Verificar desenho da seção”

Figura 17 - Botão para verificação da seção

Fonte: Autor (2018)

O usuário então é movido para outra aba da planilha onde os dados são transformados

em um gráfico e então pode-se verificar os dados inseridos e confirmar se estão corretos.

Figura 18 - Seção inserida no arquivo

Fonte: Autor (2018)

48

Verifica-se que a seção está correta com hx=20cm e hy=50cm e temos as vinte barras

otimizáveis desejadas.

Neste ponto os dados estão inseridos de forma bruta na planilha, conforme a imagem

a seguir:

Figura 19 - Parte da composição bruta dos dados

Fonte: Autor (2018)

Ao clicar no botão “Formatar”, os dados são tratados e transformados em uma

sequência que pode ser copiada e colada em um arquivo de texto e teremos então um arquivo

igual ao apresentado na Figura 16.

A seguir temos os dados após o uso do botão “Formatar”

49

Figura 20 - Dados da planilha tratados e prontos para o arquivo de entrada

Fonte: Autor (2018)

50

5 RESULTADOS E DISCUSSÕES

Neste capítulo apresentam-se os cálculos manuais, os do programa comercial e os

exemplos computacionais e a comparação dos resultados.

5.1 Exemplo 1

Exemplo adaptado da apostila de Bastos (2015).

Figura 21 - Pilar retangular do Exemplo 1

Fonte: Autor (2018)

Calcular a área de aço necessária para equilibrar a seção de um pilar de hx =20cm e

hy=50cm, fck = 20MPa, aço CA-50, distância do eixo de armadura até a face da seção igual a 4

cm e os seguintes esforços solicitantes de cálculo: NSd = 1148 kN, MxSd = 34,44 kN.m e MySd

= 41,42 kN.m.

5.1.1 Cálculo através de ábacos

fcd =fck1,4

=20

1,4= 14,29 𝑀𝑃𝑎 = 1,43 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

40

20

30

50

20

30

80

100

40

60

40

20

20

60

y

x

y

xy

xNz = -980 kN

fck = 25 MPa

Nz = -1409,79 kN

fck = 25 MPa

Nz = -849,27 kN

fck = 25 MPa

Nz = -4957,58 kN

fck = 25 MPa

y

x

4020

50

y

x

Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14

50

y

x

Nz = -1148 kN

fck = 35 MPa

y

xNz = -504 kN

fck = 20 MPa

y

x

Nz = -2000 kN

fck = 25 MPa30

20

MxSd = 34,44 kN.m

MxSd = 34,44 kN.m

MySd = 41,42 kN.m

MySd = 70,82 kN.mMySd = 26,83 kN.m

MxSd = 11,05 kN.m

MySd = 90,00 kN.m

MxSd = 70,00 kN.m

MySd = 114,80 kN.m

MxSd = 49,00 kN.m

MxSd = 1400,00 kN.m

MySd = 2100,00 kN.m

MxSd = 93,39 kN.m


MxSd = 95,20 kN.m

51

fyd =𝑓𝑦𝑘

1,15=

500

1,15= 434,78 𝑀𝑃𝑎 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

ν =NSd

𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=

1148

20 × 50 × 1,43= 0,80



ν × ex

ℎ𝑥=

4142

20 × 20 × 50 × 1,43= 0,14



ν × ey

ℎ𝑦=

3444

50 × 20 × 50 × 1,43= 0,05

𝑑′𝑥

ℎ𝑥=

4

20= 0,20

𝑑′𝑦

ℎ𝑦=

4

50= 0,08 → 𝑈𝑠𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 0,10 (𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 á𝑏𝑎𝑐𝑜𝑠)

Utilizando o ábaco 14B de Pinheiro (2009), que tem geometria de 10 barras por face e

contém o valor da força normal reduzida igual a 0,8, para evitar que tenhamos que voltar e usar

outro ábaco dependendo do resultado, temos:

Figura 22 - Uso do ábaco 14B para determinação do ω

Fonte: Adaptado de PINHEIRO (2009)

52

Verificamos que o encontro das retas está um pouco abaixo, porém muito próximo, da

isolinha de ω = 0,5, sendo assim usaremos esse valor, visto que não gerará resultados contra a

segurança, com esse valor podemos então calcular a armadura.

𝐴𝑠 =𝜔 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑦𝑑=

0,5 × 20 × 50 × 1,43

43,48= 16,44 𝑐𝑚²

5.1.2 Cálculo automatizado com o programa

Arquivo de entrada para este exemplo:

Figura 23 - Arquivo de entrada do exemplo 1

Fonte: Autor (2018)

Após construção do arquivo de entrada e execução do programa, obtêm-se os

resultados apresentados na Figura 24.

53

Figura 24 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 1 pelo programa computacional

Fonte: Autor (2018)

O valor da armadura encontrado pelo programa foi 16,31 cm², valor bem próximo se

comparado ao encontrado pelo ábaco.

5.2 Exemplo 2


54


Fonte: Autor (2018)



cm e os seguintes esforços solicitantes de cálculo: NSd = 1148 kN, MxSd = 34,44 kN.m e MySd

= 70,82 kN.m.


fcd =fck1,4

=35

1,4= 25 𝑀𝑃𝑎 = 2,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

fyd =𝑓𝑦𝑘

1,15=

500

1,15= 434,78 𝑀𝑃𝑎 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

ν =NSd


1148

14 × 50 × 2,5= 0,66



ν × ex

ℎ𝑥=

7082

14 × 14 × 50 × 2,5= 0,29



ν × ey

ℎ𝑦=

3444

50 × 14 × 50 × 2,5= 0,04

40

20

30

50

20

30

80

100

40

60

40

20

20

60

y

x

y

xy

xNz = -980 kN

fck = 25 MPa

Nz = -1409,79 kN

fck = 25 MPa

Nz = -849,27 kN

fck = 25 MPa

Nz = -4957,58 kN

fck = 25 MPa

y

x

4020

50

y

x

Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14

50

y

x

Nz = -1148 kN

fck = 35 MPa

y

xNz = -504 kN

fck = 20 MPa

y

x

Nz = -2000 kN

fck = 25 MPa30

20

MxSd = 34,44 kN.m

MxSd = 34,44 kN.m

MySd = 41,42 kN.m


MxSd = 11,05 kN.m

MySd = 90,00 kN.m

MxSd = 70,00 kN.m

MySd = 114,80 kN.m

MxSd = 49,00 kN.m

MxSd = 1400,00 kN.m

MySd = 2100,00 kN.m

MxSd = 93,39 kN.m


MxSd = 95,20 kN.m

55

𝑑′𝑥

ℎ𝑥=

4

14= 0,29 → → 𝑈𝑠𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 0,25 (𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 á𝑏𝑎𝑐𝑜𝑠)

𝑑′𝑦

ℎ𝑦=

4


Utilizando os ábacos 5A e 5B de Pinheiro (2009), que tem geometria de 4 barras por

face e contém os valores das forças normais reduzidas iguais a 0,6 e 0,8, respectivamente, tem-

se:

Figura 26 - Uso do ábaco 5A com ν=0,6 para determinação do ω


56

Figura 27 - Uso do ábaco 5B com ν=0,8 para determinação do ω


Verificamos que o encontro das retas no primeiro caso está entre isolinha de ω = 1,1 e

ω = 1,2, sendo assim usaremos o valor ω = 1,15, e no segundo caso entre isolinha de ω = 1,2 e

ω = 1,3, sendo assim usaremos o valor ω = 1,25, devemos então interpolar linearmente o valor

de ω, já que nosso ν tem valor 0,66, com esse valor podemos então calcular a armadura.

𝜔0,66 = 𝜔0,6 + [(𝜔0,8 − 𝜔0,6

0,8 − 0,6) × (0,66 − 0,6)] = 1,18


𝑓𝑦𝑑=

1,18 × 14 × 50 × 2,5

43,48= 47,49 𝑐𝑚²



57


Fonte: Autor (2018)



58


Fonte: Autor (2018)

O valor da armadura encontrado pelo programa foi 59,01 cm², valor ligeiramente

superior ao encontrado pelo ábaco.

5.3 Exemplo 3


59


Fonte: Autor (2018)



cm e os seguinte esforços solicitantes de cálculo: NSd = 504 kN, MxSd = 11,05 kN.m e MySd =

26,83 kN.m.


fcd =fck1,4

=20

1,4= 14,29 𝑀𝑃𝑎 = 1,43 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

fyd =𝑓𝑦𝑘

1,15=

500

1,15= 434,78 𝑀𝑃𝑎 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

ν =NSd


504

30 × 20 × 1,43= 0,59



ν × ex

ℎ𝑥=

2683

30 × 30 × 20 × 1,43= 0,10

40

20

30

50

20

30

80

100

40

60

40

20

20

60

y

x

y

xy

xNz = -980 kN

fck = 25 MPa

Nz = -1409,79 kN

fck = 25 MPa

Nz = -849,27 kN

fck = 25 MPa

Nz = -4957,58 kN

fck = 25 MPa

y

x

4020

50

y

x

Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14

50

y

x

Nz = -1148 kN

fck = 35 MPa

y

xNz = -504 kN

fck = 20 MPa

y

x

Nz = -2000 kN

fck = 25 MPa30

20

MxSd = 34,44 kN.m

MxSd = 34,44 kN.m

MySd = 41,42 kN.m


MxSd = 11,05 kN.m

MySd = 90,00 kN.m

MxSd = 70,00 kN.m

MySd = 114,80 kN.m

MxSd = 49,00 kN.m

MxSd = 1400,00 kN.m

MySd = 2100,00 kN.m

MxSd = 93,39 kN.m


MxSd = 95,20 kN.m

60



ν × ey

ℎ𝑦=

1105

20 × 30 × 20 × 1,43= 0,06

𝑑′𝑥

ℎ𝑥=

4


𝑑′𝑦

ℎ𝑦=

4

50= 0,2

Utilizando o ábaco 20A de Pinheiro (2009), que tem geometria de duas barras por face

e contém o valor da força normal reduzida igual a 0,6, temos:

Figura 31 - Uso do ábaco 20A para determinação do ω


Verificamos que o encontro das retas está um pouco abaixo, porém muito próximo, da

isolinha de ω = 0,2, sendo assim usaremos esse valor, visto que não gerará resultados contra a

segurança, com esse valor podemos então calcular a armadura.


𝑓𝑦𝑑=

0,2 × 30 × 20 × 1,43

43,48= 3,95 𝑐𝑚²

61




Fonte: Autor (2018)



62


Fonte: Autor (2018)

O valor da armadura encontrado pelo programa foi 3,806 cm², valor bem próximo se

comparado ao encontrado pelo ábaco.

5.4 Exemplo 4

Calcular a área de aço necessária para equilibrar a seção de um pilar seção circular de

diâmetro igual a 40 cm, fck = 25MPa, aço CA-50, distância do eixo de armadura até a face da

seção igual a 2 cm e os seguintes esforços solicitantes de cálculo: NSd = 2000 kN, MxSd = 70

kN.m e MySd = 90 kN.m.

63


Fonte: Autor (2018)


Não foram encontrados ábacos na literatura que calculassem pilares circulares

submetidos a flexão composta oblíqua, porém sabe-se que se este tipo de pilar tem armadura

simétrica, a flexão pode ser tratada como uma flexão composta reta com momento atuante igual

a:

𝑀𝑆𝑑 = √𝑀𝑥𝑆𝑑2 + 𝑀𝑦𝑆𝑑

2 = √702 + 902 = 114,02 𝑘𝑁. 𝑚

fcd =fck1,4

=25

1,4= 17,86 𝑀𝑃𝑎 = 1,79 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

fyd =𝑓𝑦𝑘

1,15=

500

1,15= 434,78 𝑀𝑃𝑎 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

A partir daqui os parâmetros mudam um pouco

ν1 =NSd

𝐷2 × 𝑓𝑐𝑑=

2000

402 × 1,79= 0,69

40

20

30

50

20

30

80

100

40

60

40

20

20

60

y

x

y

xy

xNz = -980 kN

fck = 25 MPa

Nz = -1409,79 kN

fck = 25 MPa

Nz = -849,27 kN

fck = 25 MPa

Nz = -4957,58 kN

fck = 25 MPa

y

x

4020

50

y

x

Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14

50

y

x

Nz = -1148 kN

fck = 35 MPa

y

xNz = -504 kN

fck = 20 MPa

y

x

Nz = -2000 kN

fck = 25 MPa30

20

MxSd = 34,44 kN.m

MxSd = 34,44 kN.m

MySd = 41,42 kN.m


MxSd = 11,05 kN.m

MySd = 90,00 kN.m

MxSd = 70,00 kN.m

MySd = 114,80 kN.m

MxSd = 49,00 kN.m

MxSd = 1400,00 kN.m

MySd = 2100,00 kN.m

MxSd = 93,39 kN.m


MxSd = 95,20 kN.m

64

μ1 =ν1 × e

𝐷=

𝑀𝑆𝑑

𝐷3 × 𝑓𝑐𝑑=

11402

403 × 1,79= 0,10

Não é necessário calcular o d’x e d’y pois o ábaco escolhido já considera a distância

igual a 0,05D = 2 cm.

Entrando no ábaco:

Figura 35 - Ábaco para seção circular

Fonte: Retirado de http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAYkYAK/abaco-concreto-armado-pilar

Do ábaco podemos extrair o valor de ω que é 0,35, e assim podemos calcular a

armadura necessária, através das equações apresentadas no ábaco.

𝐴𝑠 = 𝜔 ×𝑓𝑐𝑑𝑓𝑦𝑑

×𝜋𝐷2

4= 0,35 ×

1,79

43,48×

𝜋 × 402

4= 18,10 𝑐𝑚²


Para seções circulares, aproximamos a seção através de um icoságono, polígono

regular de 20 lados.

65



Fonte: Autor (2018)



66


Fonte: Autor (2018)

O valor da armadura encontrado pelo programa foi 23,39 cm², valor maior do que o

encontrado pelo ábaco.

5.5 Exemplo 5

O exemplo 5 trata de um pilar com seção em L e fck=25MPa, conforme a Figura 38.

De forma semelhante aos exemplos acima as distâncias entre o eixo das barras e a face da seção

em cada direção, d’x e d’y, valem 4 cm, assim como nos itens subsequentes.

67

Figura 38 - Pilar do Exemplo 5

Fonte: Autor (2018)

O pilar está submetido aos seguintes esforços:

𝑁𝑧𝑆𝑑 = −980𝑘𝑁

𝑀𝑥𝑆𝑑 = −95,20 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑦𝑆𝑑 = 109,20 𝑘𝑁𝑚

5.5.1 Cálculo através do software comercial CypeCAD

O módulo de pilares com seção genérica do CypeCAD não dimensiona a armadura,

porém verifica a armadura introduzida pelo usuário, para esse exemplo introduzimos na seção

16 barras com 12,5mm de diâmetro o que resulta uma armadura de 19,63 cm² e o fator de

segurança calculado para a seção com essa armadura foi de 0,997, valor muito próximo de 1,00

que é o caso de verificação que se iguala ao dimensionamento. Vale salientar que para estas

seções calculadas no CypeCAD sempre foram utilizadas barras de mesmo diâmetro para

facilitar a entrada de dados do programa (porcentagem igual para todas as barras). Os relatórios

de dimensionamento gerados pelo programa podem ser encontrados no apêndice B


40

20

30

50

20

30

80

100

40

60

40

20

20

60

y

x

y

xy

xNz = -980 kN

fck = 25 MPa

Nz = -1409,79 kN

fck = 25 MPa

Nz = -849,27 kN

fck = 25 MPa

Nz = -4957,58 kN

fck = 25 MPa

y

x

4020

50

y

x

Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14

50

y

x

Nz = -1148 kN

fck = 35 MPa

y

xNz = -504 kN

fck = 20 MPa

y

x

Nz = -2000 kN

fck = 25 MPa30

20

MxSd = 34,44 kN.m

MxSd = 34,44 kN.m

MySd = 41,42 kN.m


MxSd = 11,05 kN.m

MySd = 90,00 kN.m

MxSd = 70,00 kN.m

MySd = 114,80 kN.m

MxSd = 49,00 kN.m

MxSd = 1400,00 kN.m

MySd = 2100,00 kN.m

MxSd = 93,39 kN.m


MxSd = 95,20 kN.m

68



Fonte: Autor (2018)



69


Fonte: Autor (2018)

O valor da armadura encontrado pelo programa foi 20,74 cm², valor relativamente

próximo do encontrado no programa computacional comercial.

70

5.6 Exemplo 6

O exemplo 6 trata de um pilar com seção em U e fck=25MPa, conforme a Figura 41.


Fonte: Autor (2018)


𝑁𝑧𝑆𝑑 = −849,27𝑘𝑁




Para esse exemplo introduzimos na seção 36 barras com 10mm de diâmetro o que

resulta uma armadura de 28,26 cm² e o fator de segurança calculado para a seção com essa

armadura foi de 0,997.



40

20

30

50

20

30

80

100

40

60

40

20

20

60

y

x

y

xy

xNz = -980 kN

fck = 25 MPa

Nz = -1409,79 kN

fck = 25 MPa

Nz = -849,27 kN

fck = 25 MPa

Nz = -4957,58 kN

fck = 25 MPa

y

x

4020

50

y

x

Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14

50

y

x

Nz = -1148 kN

fck = 35 MPa

y

xNz = -504 kN

fck = 20 MPa

y

x

Nz = -2000 kN

fck = 25 MPa30

20

MxSd = 34,44 kN.m

MxSd = 34,44 kN.m

MySd = 41,42 kN.m


MxSd = 11,05 kN.m

MySd = 90,00 kN.m

MxSd = 70,00 kN.m

MySd = 114,80 kN.m

MxSd = 49,00 kN.m

MxSd = 1400,00 kN.m

MySd = 2100,00 kN.m

MxSd = 93,39 kN.m


MxSd = 95,20 kN.m

71


Fonte: Autor (2018)

72


resultados mostrados na Figura 43.


Fonte: Autor (2018)

O valor da armadura encontrado pelo programa foi 29,14 cm², valor relativamente

próximo do encontrado no programa computacional comercial

5.7 Exemplo 7

73

O exemplo 7 trata de um pilar com seção retangular vazada e fck=25MPa, conforme a

figura mostrada abaixo.


Fonte: Autor (2018)


𝑁𝑧𝑆𝑑 = −4957,68 𝑘𝑁

𝑀𝑥𝑆𝑑 = −1400,00 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑦𝑆𝑑 = 2100,00 𝑘𝑁𝑚


Para esse exemplo introduzimos na seção 32 barras com 25mm de diâmetro o que



40

20

30

50

20

30

80

100

40

60

40

20

20

60

y

x

y

xy

xNz = -980 kN

fck = 25 MPa

Nz = -1409,79 kN

fck = 25 MPa

Nz = -849,27 kN

fck = 25 MPa

Nz = -4957,58 kN

fck = 25 MPa

y

x

4020

50

y

x

Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14

50

y

x

Nz = -1148 kN

fck = 35 MPa

y

xNz = -504 kN

fck = 20 MPa

y

x

Nz = -2000 kN

fck = 25 MPa30

20

MxSd = 34,44 kN.m

MxSd = 34,44 kN.m

MySd = 41,42 kN.m


MxSd = 11,05 kN.m

MySd = 90,00 kN.m

MxSd = 70,00 kN.m

MySd = 114,80 kN.m

MxSd = 49,00 kN.m

MxSd = 1400,00 kN.m

MySd = 2100,00 kN.m

MxSd = 93,39 kN.m


MxSd = 95,20 kN.m

74




Fonte: Autor (2018)

75

Neste exemplo pode-se perceber a orientação no sentido horário da abertura na seção,

conforme mencionado nos itens anteriores.

Após construção do arquivo de entrada e execução do programa, obtém-se os

resultados ilustrados na Figura 46.


Fonte: Autor (2018)

O valor da armadura encontrado pelo programa foi 155,83 cm², valor próximo do

encontrado no programa computacional comercial.

5.8 Exemplo 8

O exemplo 8 trata de um pilar com seção em forma de coroa circular e fck=25MPa,

conforme a Figura 47.

76


Fonte: Autor (2018)


𝑁𝑧𝑆𝑑 = −1409,79 𝑘𝑁




Para esse exemplo introduzimos na seção 20 barras com 12,5mm de diâmetro o que





40

20

30

50

20

30

80

100

40

60

40

20

20

60

y

x

y

xy

xNz = -980 kN

fck = 25 MPa

Nz = -1409,79 kN

fck = 25 MPa

Nz = -849,27 kN

fck = 25 MPa

Nz = -4957,58 kN

fck = 25 MPa

y

x

4020

50

y

x

Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14

50

y

x

Nz = -1148 kN

fck = 35 MPa

y

xNz = -504 kN

fck = 20 MPa

y

x

Nz = -2000 kN

fck = 25 MPa30

20

MxSd = 34,44 kN.m

MxSd = 34,44 kN.m

MySd = 41,42 kN.m


MxSd = 11,05 kN.m

MySd = 90,00 kN.m

MxSd = 70,00 kN.m

MySd = 114,80 kN.m

MxSd = 49,00 kN.m

MxSd = 1400,00 kN.m

MySd = 2100,00 kN.m

MxSd = 93,39 kN.m


MxSd = 95,20 kN.m

77


Fonte: Autor (2018)

78

Neste exemplo pode-se perceber a orientação no sentido horário da abertura na seção,

conforme mencionado nos itens anteriores, além disso de forma semelhante ao exemplo 4, os

círculos foram aproximados através de icoságonos.


resultados ilustrados na Figura 49.


Fonte: Autor (2018)

O valor da armadura encontrado pelo programa foi 24,76 cm², valor bem próximo do

encontrado no programa computacional comercial.

5.9 Comparação entre os resultados obtidos

79

Os resultados obtidos do programa são resumidos, apresentados e comparados com os

calculados através da tabela abaixo.

Tabela 10 - Comparação entre os resultados obtidos no trabalho

Exemplo As, ábacos

(cm²)

As,CypeCAD

(cm²)

As,Programa

(cm²)

Diferença

Percentual

Exemplo 1 16,44 - 16,31 0,791%

Exemplo 2 47,49 - 59,01 -24,258%

Exemplo 3 3,95 - 3,81 3,544%

Exemplo 4 18,1 - 23,39 -29,227%

Exemplo 5 - 19,63 20,74 -5,655%

Exemplo 6 - 28,26 29,14 -3,114%

Exemplo 7 - 157,09 155,83 0,802%

Exemplo 8 - 24,54 24,76 -0,896% Fonte: Autor (2018)

Percebe-se que os resultados de forma geral resultaram próximos, as maiores

diferenças foram nos exemplos 2 e 4, que são resolvidos através de ábacos. No exemplo 2

aproximamos o d’x/hx que resultava em 0,29 para 0,25 devido a uma limitação da lista de

ábacos, e essa direção é a qual atua o maior momento deste exemplo, o que potencializa o erro.

No exemplo 4 transformamos uma flexão oblíqua em flexão reta e além disso a seção circular

foi aproximada através de um polígono de vinte lados, essas aproximações podem ter acarretado

no erro um pouco maior. Porém, pode-se checar os esforços resistentes nas telas de saída do

programa apresentadas no trabalho e verificar que estes estão extremamente próximos aos

esforços solicitantes, quando não idênticos. Sendo assim o programa está gerando resultados

satisfatórios.

80

6 CONCLUSÃO

O código desenvolvido comprova, através dos exemplos realizados e comparados,

eficácia e precisão no cálculo de pilares com seções usuais que podem ser encontradas em

ábacos e expande o leque de possibilidades do engenheiro estrutural para o uso de pilares de

seções diversas.

A montagem da seção e introdução nas barras no programa é simplificada através da

planilha auxiliar criada, porém ainda é um pouco trabalhosa se comparada ao uso de ábacos.

No entanto percebemos que nos exemplos 2 e 4 tivemos uma diferença de esforços solicitantes

e resistentes relativamente alta, sendo assim a praticidade do uso dos ábacos pode levar a

resultados contra a segurança, sendo o uso do programa também indicado para as seções

simples. Já para as seções mais complexas, as quais não existem ábacos disponíveis, o uso do

programa é extremamente válido, já que os resultados apresentaram diferenças percentuais

muito baixas, a maior delas foi em torno 5% para a seção em forma de “L” em relação a

programas comerciais que realizam a verificação da seção.

Espera-se que esse programa computacional possa ser utilizado por estudantes e

projetistas de modo a ajuda-los no dimensionamento de pilares além de ser uma fonte extra para

comparação dos resultados obtidos dos ábacos, visto que nem sempre temos um software

comercial disponível para este auxilio e os resultados do programa ficaram bastante

semelhantes aos obtidos do CypeCAD. Vale ressaltar que o programa comercial realiza

somente a verificação da seção e não o dimensionamento da área de aço.

Como sugestão para próximos trabalhos podemos citar a inclusão de uma formulação

extra para determinação das tensões atuantes nos concreto do grupo II da NBR 6118 que se

refere aos concretos de fck ≥ 55 MPa, implementação das sub-rotinas de verificação de seção e

criação das sub-rotinas para geração de superfícies de interações, ou ábacos, de seções não

convencionais como as abordadas neste trabalho nos exemplos 5, 6, 7 e 8. Desta forma, não

seria necessário fazer uso de um software comercial para comparação dos resultados.

81

7 REFERÊNCIAS

ARAÚJO, JOSÉ MILTON DE. Curso de Concreto Armado. Rio Grande:

Dunas, 2014. v.3, 4.ed.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2014). NBR

6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro.

BASTOS, P. S. S. Pilares de Concreto Armado. Disciplina 2333 – Estruturas

de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia -

Universidade Estadual Paulista (UNESP): agosto/2015, 104p.

CARVALHO, R.C., FIGUEIREDO FILHO, J.R. Cálculo e Detalhamento de

Estruturas Usuais de Concreto Armado. Volume 1. São Carlos, 4ª edição, EdUFSCar,

2014.

CARVALHO, R.C; PINHEIRO, L.M. Cálculo e detalhamento de estruturas

usuais de concreto armado: volume 2. São Paulo: PINI, 2013.

FUSCO, P.B. Estruturas de concreto - Solicitações normais. Rio de Janeiro,

Ed. Guanabara Dois, 1981, 464p.

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Disponível em: <http://www.eq.ufc.br/MD_Fortran.pdf>. Acesso em: 04 dez. 2017.

Introducão ao Fortran 90/95. 2010. Disponível em:

<http://wp.ufpel.edu.br/diehl/files/2016/10/Apostila_links.pdf>. Acesso em: 04 dez. 2017.

KIMURA, A. Informática aplicada em estruturas de concreto armado:

cálculo de edifícios com o uso de sistemas computacionais. São Paulo: PINI, 2007.

MITTELBACH, F.R . Projeto Final de Graduação. Rio de Janeiro/RJ,

Departamento Engenharia Civil, Escola Politécnica da UFRJ: agosto/2000, 64p.

http://www.eq.ufc.br/MD_Fortran.pdf

82

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Ábacos para flexão oblíqua. São Carlos, Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola

de Engenharia de São Carlos – USP, 1994.

PINHEIRO, L.M. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios. São

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VENTURINI, W.S. Dimensionamento de peças retangulares de concreto

armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, Departamento de Engenharia de Estruturas,

Escola de Engenharia de São Carlos – USP, 1987.

83

APÊNDICE A – INTEGRAÇÃO NÚMERICA

Pela aplicação do Teorema de Green, pode-se transformar uma integral de domínio em

uma integral de contorno. Sendo o termo polinomial genérico, tem-se:

∫ξk. 𝜂𝑚. 𝑑Ω

Ω

= ∮(ξk+1. 𝜂𝑚)

𝑘 + 1. 𝑑𝜂 = ∑𝐺𝑘𝑚𝑖

𝑁𝑆

𝑖=1

𝐶

Esta integral pode ser discretizada pelos NS segmentos que forma a poligonal de

contorno, de forma que:

𝐺𝑘𝑚𝑖=

1

𝑘 + 1 . ∫ ξk+1. 𝜂𝑚. 𝑑η

𝜂𝑖+1

ηi

Sendo 𝐺𝑘𝑚𝑖 a parcela da integração sobre o segmento i, definido e orientado do vértice

i ao i+1.

Considerando a parametrização das coordenadas (ξ, η ) sobre este segmento i, definido

por:

𝜂 = 𝜂𝑖 + 𝑡

ξ = ξi +ΔξiΔ𝜂𝑖

. 𝑡

Onde:

0 ≤ 𝑡 ≤ Δ𝜂𝑖

Δξi = ξi+1 − ξi

Δηi = ηi+1 − ηi

Com isso o termo 𝐺𝑘𝑚𝑖 pode ser escrito como:

𝐺𝑘𝑚𝑖=

1

𝑘 + 1 . ∫ [(ξi +

ΔξiΔ𝜂𝑖

. 𝑡)𝑘+1

× (𝜂𝑖 + 𝑡)𝑚] . 𝑑t

Δ𝜂𝑖

0

84

A seguir, apresentamos os polinômios equivalentes à integração dos termos ξk ηm sobre

Ω, para diversos valores de k e m:

𝐺00 = (𝜉𝑖 +Δ𝜉𝑖

2)Δ𝜂𝑖

𝐺01 = (𝜉𝑖 (𝜂𝑖 +Δ𝜂𝑖

2) + Δ𝜉𝑖 (

𝜂𝑖

2+

Δ𝜂𝑖

3))Δ𝜂𝑖

𝐺02 = (𝜉𝑖 (𝜂𝑖2 + 𝜂𝑖Δ𝜂𝑖 +

Δ𝜂𝑖2

3) + Δ𝜉𝑖 (

𝜂𝑖2

2+

2𝜂𝑖Δ𝜂𝑖

3+

Δ𝜂𝑖2

3))Δ𝜂𝑖

𝐺03 = (𝜉𝑖 (𝜂𝑖3 +

3𝜂𝑖2Δ𝜂𝑖

2+ 𝜂𝑖Δ𝜂𝑖

2 +Δ𝜂𝑖

3

4) + Δ𝜉𝑖 (

𝜂𝑖3

2+

3𝜂𝑖Δ𝜂𝑖2

4+

Δ𝜂𝑖3

5))Δ𝜂𝑖

𝐺10 = (𝜉𝑖(𝜉𝑖 + Δ𝜉𝑖) +Δ𝜉𝑖

2

3) .

Δ𝜂𝑖

2

𝐺11 = (𝜉𝑖2 (𝜂𝑖 +

Δ𝜂𝑖

2) + 𝜉𝑖Δ𝜉𝑖 (𝜂𝑖 +

2Δ𝜂𝑖

3) + Δ𝜉𝑖

2 (𝜂𝑖

3+

Δ𝜂𝑖

4)) .

Δ𝜂𝑖

2

𝐺12 = (𝜉𝑖2 (𝜂𝑖

2 + 𝜂𝑖Δ𝜂𝑖 +Δ𝜂𝑖

2

3) + 𝜉𝑖Δ𝜉𝑖 (𝜂𝑖

2 +4ηiΔ𝜂𝑖

3+

Δ𝜂𝑖2

2) + Δ𝜉𝑖

2 (𝜂𝑖

2

3+

ηiΔ𝜂𝑖

2+

Δ𝜂𝑖

5)) .

Δ𝜂𝑖

2

𝐺20 = (𝜉𝑖3 +

3𝜉𝑖2Δ𝜉𝑖

2+ 3𝜉𝑖Δ𝜉𝑖

2 +Δ𝜉𝑖

3

4) .

Δ𝜂𝑖

3

𝐺21 = (𝜂𝑖 (𝜉𝑖3 +

3𝜉𝑖2Δ𝜉𝑖

2+ 𝜉𝑖Δ𝜉𝑖

2 +Δ𝜉𝑖

3

4) + Δ𝜂𝑖 (

𝜉𝑖3

2+ 𝜉𝑖

2Δ𝜉𝑖 +3𝜉𝑖Δ𝜉𝑖

2

4+

Δ𝜉𝑖3

5)) .

Δ𝜂𝑖

3

85

APÊNDICE B – RELATÓRIOS DE CÁLCULO DO CYPECAD

1.- PISO 1 (0 - 3 M)

Dados do pilarGeometria

Seção : Pilar LTramo : 0.000/3.000 mAltura livre : 3.00 mTamanho máximo agregado : 15 mm

Materiais Comprimento de flambagemConcreto : C25, em geralAço das barras : CA-50 e CA-60

Plano ZX : 3.00 mPlano ZY : 3.00 m

LongitudinalTaxa : 1.23 %Armadura longitudinal : Cantos: 8Ø12.5 + Faces: 7Ø12.5 + Face: 1Ø12.5

Armadura mínima e máxima (ABNT NBR 6118:2014, Artigo 17.3.5.3)

A área total de armadura longitudinal As não deverá ser inferior a As,min

(Artigo 17.3.5.3.1):

19.63 cm² ≥ 6.40 cm²

Onde:As: Área da armadura longitudinal. As : 19.63 cm²

As,min : 6.40 cm²

Sendo:Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 1600.00 cm²

A área da armadura longitudinal As não deverá ser superior a As,max

(Artigo 17.3.5.3.2):

19.63 cm² ≤ 64.00 cm²


As,max : 64.00 cm²



(Artigo 17.3.5.3.1):

19.63 cm² ≥ 3.44 cm²

Onde:As: Área total de armadura comprimida. As : 19.63 cm²

As,min : 3.44 cm²

Sendo:Nd: Esforço axial de compressão de cálculo. Nd : 996.48 kNfyd: Resistência ao escoamento do aço da armaduralongitudinal. fyd : 434.78 MPa

Verificações do pilar P5

Página 1 - 7

Estado limite de ruptura frente a solicitações normais (ABNT NBR 6118:2014, Artigos 11.3.3.4.3,15.8 e 17)

Os esforços de cálculo desfavoráveis são obtidos em 'Ext.Superior', para a combinaçãode hipóteses "1.4·PP+1.4·CP".Deve satisfazer:

η : 0.997

(109.2;95.2;980)

(109.51;95.47;982.75)

Myy

(kN

·m)

Mxx (kN·m)

N (kN)

Volume de capacidade

(109.2;95.2;980)

(109.51;95.47;982.75)

(-3.6;-7.87;-853.57)

(3.6;7.87;3282.18)

M (kN·m)

N (kN)

Vista N, M

(109.2;95.2;980)

(109.51;95.47;982.75)

(56.98;-284.07;1402.3)

(-56.51;277.03;650.34)

(-169.82;114.41;1402.3)

(153.43;-105.32;650.34)

Myy (kN·m)

Mxx

(kN

·m)

N (kN)

Vista Mx, My

Verificação de resistência da seção (η1)N1d,M1d são os esforços de cálculo de primeira ordem, incluindo, no seucaso, a excentricidade mínima segundo 11.3.3.4.3:

N1d: Esforço normal de cálculo. N1d : 980.00 kNM1d: Momento de cálculo de primeira ordem. M1d,x : 95.20 kN·m

M1d,y : 109.20 kN·mNRd,MRd são os esforços resistentes da seção com as mesmasexcentricidades que os esforços atuantes de cálculo, desfavoráveis.

NRd: Esforço normal resistente. NRd : 982.75 kNMRd: Momento resistente MRd,x : 95.47 kN·m

MRd,y : 109.51 kN·m

Onde:

Sendo:ee: Excentricidade de primeira ordem. Calcula-se levandoem conta a excentricidade mínima ea segundo o ponto11.3.3.4.3.

ee,x : 111.43 mm

ee,y : 97.14 mmNeste caso, as excentricidades e0,x e e0,y sãosuperiores à mínima.

Onde:No eixo x:

ea : 33.00 mm


Página 2 - 7

Sendo:h: Altura da seção no plano de flexãoconsiderado. h : 600.00 mm

e1 : 97.14 mm

Onde:Md: Momento de cálculo de primeiraordem. Md : 95.20 kN·mNd: Esforço normal de cálculo. Nd : 980.00 kN

No eixo y:

ea : 27.00 mm


e1 : 111.43 mm


Verificação do estado limite de instabilidadeNo eixo x:Os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados, já que a esbeltezmecânica do pilar λ é menor que a esbeltez limite inferior λ1 indicada em15.8.2.

λ : 20.50

Onde:

le : 3.600 m

Sendo:l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexão considerado. h : 600.00 mml: Distância entre as faces internas dos elementosestruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m

Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 1600.00 cm²Ic: Inércia. Ic : 493333.33 cm4

λ1 : 35.00Onde:

e1: Excentricidade relativa de primeira ordem. e1 : 97.14 mm

No eixo y:Os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados, já que a esbeltezmecânica do pilar λ é menor que a esbeltez limite inferior λ1 indicada em15.8.2.

λ : 32.67

Onde:

le : 3.400 m

Sendo:


Página 3 - 7

l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexão considerado. h : 400.00 mml: Distância entre as faces internas dos elementosestruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m


λ1 : 35.00Onde:


Cálculo da capacidade resistenteO cálculo da capacidade resistente última das seções é efetuado a partir dashipóteses gerais seguintes (Artigo 17):

(a) A ruptura caracteriza-se pelo valor da deformação emdeterminadas fibras da seção, definidas pelos domínios dedeformação de ruptura.

(b) As seções transversais se mantêm planas após deformação.

(c) A deformação εs das barras passivas aderentes deve ser o mesmodo concreto em seu entorno.

(d) A distribução de tensões no concreto se faz de acordó com odiagrama parábola-retângulo, definido em 8.2.10.O diagrama de cálculo tensão-deformação do concreto é do tipoparábola retângulo. Não se considera a resistência do concreto àtração.

εcu: Deformação de ruptura do concreto em flexão. εcu : 0.0035εc0: Deformação de ruptura do concreto em compressão simples. εc0 : 0.0020fcd: Resistência de cálculo à compressão do concreto. fcd : 15.18 MPa

Sendo:fck: Resistência característica à compressão do concreto. fck : 25.00 MPaγc: Coeficiente parcial de segurança para o concreto. γc : 1.4

(e) A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramastensão-deformação, com valores de cálculo, definidos em 8.3.6.


Página 4 - 7

εuk: Deformação de ruptura do concreto em flexão. εuk : 0.0200fyd: Resistência ao escoamento do aço. fyd : 434.78 MPa

Sendo:fyk: Resistência característica do aço. fyk : 500.00 MPaγs: Coeficiente parcial de segurança para o aço. γs : 1.15

(f) Aplicam-se às resultantes de tensões na seção as equações gerais deequilíbrio de forças e de momentos.

Equilíbrio da seção para os esforços de ruptura, calculados com as mesmas excentricidades queos esforços de cálculo desfavoráveis:

CcCs

T

1

2

3

4

5

6

7

8

910

11

1213

14

15

16

εmáx = 3.48 ‰

εmín = -4.19 ‰

σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰

ε = 2.0 ‰

ε = 0.0 ‰x =

202.

86 m

m

Barra Designação Coord. X(mm)

Coord. Y(mm)

σs

(MPa) ε

1 Ø12.5 -113.75 -213.75 -434.78 -0.0033622 Ø12.5 13.75 -213.75 -293.17 -0.0013963 Ø12.5 213.75 -213.75 +354.45 +0.0016884 Ø12.5 213.75 -86.25 +434.78 +0.0026505 Ø12.5 13.75 -86.25 -91.12 -0.0004346 Ø12.5 13.75 313.75 +434.78 +0.0025857 Ø12.5 -113.75 313.75 +129.91 +0.0006198 Ø12.5 -113.75 -86.25 -434.78 -0.0024009 Ø12.5 -113.75 220.00 -18.66 -0.00008910 Ø12.5 -113.75 120.00 -177.13 -0.000843


Página 5 - 7


Coord. Y(mm)

σs

(MPa) ε

11 Ø12.5 -113.75 20.00 -335.60 -0.00159812 Ø12.5 13.75 20.00 +77.26 +0.00036813 Ø12.5 13.75 120.00 +235.73 +0.00112314 Ø12.5 13.75 220.00 +394.20 +0.00187715 Ø12.5 120.00 -86.25 +252.93 +0.00120416 Ø12.5 120.00 -213.75 +50.87 +0.000242

Resultante(kN)

e.x(mm)

e.y(mm)

Cc 911.62 71.65 62.10Cs 290.17 87.14 62.49T 219.05 -86.30 -94.60

NRd : 982.75 kN

MRd,x : 95.47 kN·m

MRd,y : 109.51 kN·m

Onde:Cc: Resultante de compressões no concreto. Cc : 911.62 kNCs: Resultante de compressões no aço. Cs : 290.17 kNT: Resultante de tração no aço. T : 219.05 kNecc: Excentricidade da resultante de compressão no concreto na direção doseixos X e Y.

ecc,x : 71.65 mm ecc,y : 62.10 mm

ecs: Excentricidade da resultante de compressão no aço na direção dos eixosX e Y.

ecs,x : 87.14 mm ecs,y : 62.49 mm

eT: Excentricidade da resultante de tração no aço na direção dos eixos X e Y. eT,x : -86.30 mm eT,y : -94.60 mm

εcmax: Deformação na fibra de concreto mais comprimida. εcmax : 0.0035εsmax: Deformação da barra de aço mais tracionada. εsmax : 0.0034σcmax: Tensão na fibra de concreto mais comprimida. σcmax : 15.18 MPaσsmax: Tensão da barra de aço mais tracionada. σsmax : 434.78 MPa

Equilíbrio da seção para os esforços atuantes de cálculo, desfavoráveis:

CcCs

T

1

2

3

4

5

6

7

8

910

11

1213

14

15

16

εmáx = 3.45 ‰

εmín = -4.15 ‰

σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰

ε = 2.0 ‰

ε = 0.0 ‰x =

202.

98 m

m


Página 6 - 7


Coord. Y(mm)

σs

(MPa) ε

1 Ø12.5 -113.75 -213.75 -434.78 -0.0033252 Ø12.5 13.75 -213.75 -289.66 -0.0013793 Ø12.5 213.75 -213.75 +351.14 +0.0016724 Ø12.5 213.75 -86.25 +434.78 +0.0026245 Ø12.5 13.75 -86.25 -89.75 -0.0004276 Ø12.5 13.75 313.75 +434.78 +0.0025597 Ø12.5 -113.75 313.75 +128.90 +0.0006148 Ø12.5 -113.75 -86.25 -434.78 -0.0023739 Ø12.5 -113.75 220.00 -18.09 -0.00008610 Ø12.5 -113.75 120.00 -174.88 -0.00083311 Ø12.5 -113.75 20.00 -331.67 -0.00157912 Ø12.5 13.75 20.00 +76.84 +0.00036613 Ø12.5 13.75 120.00 +233.63 +0.00111314 Ø12.5 13.75 220.00 +390.43 +0.00185915 Ø12.5 120.00 -86.25 +250.68 +0.00119416 Ø12.5 120.00 -213.75 +50.76 +0.000242

Resultante(kN)

e.x(mm)

e.y(mm)

Cc 909.04 71.74 62.10Cs 288.58 87.21 62.63T 217.62 -86.48 -95.00

N1d : 980.00 kN

M1d,x : 95.20 kN·m

M1d,y : 109.20 kN·m


ecc,x : 71.74 mm ecc,y : 62.10 mm


ecs,x : 87.21 mm ecs,y : 62.63 mm

eT: Excentricidade da resultante de tração no aço na direção dos eixos X e Y. eT,x : -86.48 mm eT,y : -95.00 mm



Página 7 - 7

1.- PISO 1 (0 - 3 M)


Seção : U MenorTramo : 0.000/3.000 mAltura livre : 3.00 mTamanho máximo agregado : 15 mm



LongitudinalTaxa : 3.14 %Armadura longitudinal : Canto: 12Ø10 + Face: 24Ø10



(Artigo 17.3.5.3.1):

28.26 cm² ≥ 3.60 cm²


As,min : 3.60 cm²



(Artigo 17.3.5.3.2):

28.26 cm² ≤ 36.00 cm²


As,max : 36.00 cm²



(Artigo 17.3.5.3.1):

28.26 cm² ≥ 2.93 cm²


As,min : 2.93 cm²



Página 1 - 9


Os esforços de cálculo desfavoráveis são obtidos em 'Ext.Inferior', para a combinaçãode hipóteses "1.4·PP+1.4·CP".Deve satisfazer:

η : 0.884

η : 0.997

(70;93.39;849.27)

(70.21;93.67;851.87)

Myy (k

N·m)

Mxx (kN·m)

N (kN)


(70;93.39;849.27)

(70.21;93.67;851.87)

(0;-12.97;-1228.7)

(0;12.97;2594.79)

M (kN·m)

N (kN)

Vista N, M

(70;93.39;849.27)

(70.21;93.67;851.87)

(0;-129.03;856.84)

(0;119.88;161.66)

(-294.85;-1.18;509.25)

(294.85;-1.18;509.25)

Myy (kN·m)

Mxx

(kN

·m)

N (kN)

Vista Mx, My





MRd,y : 79.15 kN·m

Onde:


ee,x : 82.42 mm



Página 2 - 9

Onde:No eixo x:

ea : 24.00 mm


e1 : 92.31 mm


No eixo y:

ea : 30.00 mm


e1 : 82.42 mm


Verificação do estado limite de instabilidade (η2)NSd,MSd esforços atuantes de cálculo desfavoráveis, obtidos a partir dosesforços de primeira ordem incrementados para levar em conta osefeitos de segunda ordem, em função da esbeltez.

NSd: Esforço axial atuante de cálculo desfavorável. NSd : 849.27 kNMSd: Momento fletor solicitante de cálculo, desfavorável. MSd,x : 93.39 kN·m

MSd,y : 70.00 kN·mNRd,MRd são os esforços resistentes da seção com as mesmasexcentricidades que os esforços atuantes de cálculo, desfavoráveis.


MRd,y : 70.21 kN·mNo eixo x:Os efeitos de segunda ordem não podem ser desprezados, já que aesbeltez mecânica do pilar λ é maior que a esbeltez limite inferior λ1

indicada em 15.8.2.

λ : 38.11

Onde:

le : 3.300 m


Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 900.00 cm²


Página 3 - 9

Ic: Inércia. Ic : 67500.00 cm4

λ1 : 35.00Onde:


A verificação do estado limite de instabilidade realiza-se segundo oscritérios do artigo 15.8.3.3.2, somando à excentricidade de primeiraordem uma excentricidade fictícia, que representa os efeitos de segundaordem, como se detalha em seguida:

NSd : 849.27 kN

MSd : 93.39 kN·m

Onde:

etot : 109.96 mm

Sendo:ee: Excentricidade de primeira ordem. Calcula-se levando emconta a excentricidade mínima ea segundo o ponto 15.8.2. ee : 92.31 mme2: Excentricidade para levar em conta os efeitos de segundaordem (Artigo 15.8.3.3.2). e2 : 17.65 mm

Onde:

le : 3.300 m

Sendo:l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexãoconsiderado. h : 300.00 mml: Distância entre as faces internas doselementos estruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m

1/r : 0.016 m

Sendo:

ν : 0.53

Onde:Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 900.00 cm²fcd: Resistência de cálculo à compressão doconcreto. fcd : 17.86 MPa


λ : 20.30

Onde:

le : 3.500 m

Sendo:l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexão considerado. h : 500.00 mm


Página 4 - 9

l: Distância entre as faces internas dos elementosestruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m


λ1 : 35.00Onde:











Página 5 - 9





CcCs

T

1

2

3

45

67

8

9

1011

12

1314

1516

17181920

2122

2324

25262728

29 30 31 32

33343536

εmáx = 3.48 ‰

εmín = -1.68 ‰

σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰

ε = 2.0 ‰

ε = 0.0 ‰

x =

266.

10 m

m


Coord. Y(mm)

σs

(MPa) ε

1 Ø10 -215.00 -81.67 -239.18 -0.0011392 Ø10 -185.00 -81.67 -222.59 -0.0010603 Ø10 185.00 -81.67 -18.04 -0.0000864 Ø10 215.00 -81.67 -1.45 -0.0000075 Ø10 215.00 -51.67 +79.32 +0.0003786 Ø10 215.00 148.33 +434.78 +0.0029427 Ø10 185.00 148.33 +434.78 +0.0028638 Ø10 185.00 -51.67 +62.73 +0.0002999 Ø10 -185.00 -51.67 -141.83 -0.00067510 Ø10 -185.00 148.33 +396.61 +0.001889


Página 6 - 9


Coord. Y(mm)

σs

(MPa) ε

11 Ø10 -215.00 148.33 +380.02 +0.00181012 Ø10 -215.00 -51.67 -158.41 -0.00075413 Ø10 215.00 -6.67 +200.46 +0.00095514 Ø10 215.00 33.33 +308.15 +0.00146715 Ø10 215.00 73.33 +415.84 +0.00198016 Ø10 215.00 113.33 +434.78 +0.00249317 Ø10 185.00 113.33 +434.78 +0.00241418 Ø10 185.00 73.33 +399.25 +0.00190119 Ø10 185.00 33.33 +291.56 +0.00138820 Ø10 185.00 -6.67 +183.88 +0.00087621 Ø10 -185.00 -6.67 -20.68 -0.00009822 Ø10 -185.00 33.33 +87.01 +0.00041423 Ø10 -185.00 73.33 +194.69 +0.00092724 Ø10 -185.00 113.33 +302.38 +0.00144025 Ø10 -215.00 113.33 +285.80 +0.00136126 Ø10 -215.00 73.33 +178.11 +0.00084827 Ø10 -215.00 33.33 +70.42 +0.00033528 Ø10 -215.00 -6.67 -37.26 -0.00017729 Ø10 -108.00 -81.67 -180.02 -0.00085730 Ø10 -36.00 -81.67 -140.22 -0.00066831 Ø10 36.00 -81.67 -100.41 -0.00047832 Ø10 108.00 -81.67 -60.61 -0.00028933 Ø10 108.00 -51.67 +20.16 +0.00009634 Ø10 36.00 -51.67 -19.65 -0.00009435 Ø10 -36.00 -51.67 -59.45 -0.00028336 Ø10 -108.00 -51.67 -99.26 -0.000473

Resultante(kN)

e.x(mm)

e.y(mm)

Cc 530.30 51.17 85.68Cs 439.25 64.56 91.29T 117.68 -125.13 -69.19

NRd : 851.87 kN

MRd,x : 93.67 kN·m

MRd,y : 70.21 kN·m


ecc,x : 51.17 mm ecc,y : 85.68 mm


ecs,x : 64.56 mm ecs,y : 91.29 mm

eT: Excentricidade da resultante de tração no aço na direção dos eixos X eY.

eT,x : -125.13 mm eT,y : -69.19 mm

εcmax: Deformação na fibra de concreto mais comprimida. εcmax : 0.0035εsmax: Deformação da barra de aço mais tracionada. εsmax : 0.0011


Página 7 - 9

σcmax: Tensão na fibra de concreto mais comprimida. σcmax : 15.18 MPaσsmax: Tensão da barra de aço mais tracionada. σsmax : 239.18 MPa


CcCs

T

1

2

3

45

67

8

9

1011

12

1314

1516

17181920

2122

2324

25262728

29 30 31 32

33343536

εmáx = 3.45 ‰

εmín = -1.67 ‰

σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰

ε = 2.0 ‰

ε = 0.0 ‰

x =

266.

08 m

m


Coord. Y(mm)

σs

(MPa) ε

1 Ø10 -215.00 -81.67 -237.04 -0.0011292 Ø10 -185.00 -81.67 -220.61 -0.0010513 Ø10 185.00 -81.67 -17.91 -0.0000854 Ø10 215.00 -81.67 -1.48 -0.0000075 Ø10 215.00 -51.67 +78.63 +0.0003746 Ø10 215.00 148.33 +434.78 +0.0029187 Ø10 185.00 148.33 +434.78 +0.0028398 Ø10 185.00 -51.67 +62.20 +0.0002969 Ø10 -185.00 -51.67 -140.50 -0.00066910 Ø10 -185.00 148.33 +393.57 +0.00187411 Ø10 -215.00 148.33 +377.14 +0.00179612 Ø10 -215.00 -51.67 -156.93 -0.00074713 Ø10 215.00 -6.67 +198.80 +0.00094714 Ø10 215.00 33.33 +305.61 +0.00145515 Ø10 215.00 73.33 +412.42 +0.00196416 Ø10 215.00 113.33 +434.78 +0.00247317 Ø10 185.00 113.33 +434.78 +0.00239418 Ø10 185.00 73.33 +395.99 +0.00188619 Ø10 185.00 33.33 +289.18 +0.00137720 Ø10 185.00 -6.67 +182.36 +0.00086821 Ø10 -185.00 -6.67 -20.33 -0.00009722 Ø10 -185.00 33.33 +86.48 +0.00041223 Ø10 -185.00 73.33 +193.30 +0.00092024 Ø10 -185.00 113.33 +300.11 +0.00142925 Ø10 -215.00 113.33 +283.67 +0.00135126 Ø10 -215.00 73.33 +176.86 +0.00084227 Ø10 -215.00 33.33 +70.05 +0.00033428 Ø10 -215.00 -6.67 -36.77 -0.00017529 Ø10 -108.00 -81.67 -178.42 -0.000850


Página 8 - 9


Coord. Y(mm)

σs

(MPa) ε

30 Ø10 -36.00 -81.67 -138.98 -0.00066231 Ø10 36.00 -81.67 -99.54 -0.00047432 Ø10 108.00 -81.67 -60.10 -0.00028633 Ø10 108.00 -51.67 +20.01 +0.00009534 Ø10 36.00 -51.67 -19.43 -0.00009335 Ø10 -36.00 -51.67 -58.87 -0.00028036 Ø10 -108.00 -51.67 -98.31 -0.000468

Resultante(kN)

e.x(mm)

e.y(mm)

Cc 528.97 51.23 85.81Cs 436.89 64.82 91.39T 116.59 -125.09 -69.21

NSd : 849.27 kN

MSd,x : 93.39 kN·m

MSd,y : 70.00 kN·m


ecc,x : 51.23 mm ecc,y : 85.81 mm


ecs,x : 64.82 mm ecs,y : 91.39 mm


eT,x : -125.09 mm eT,y : -69.21 mm



Página 9 - 9

1.- PISO 1 (0 - 3 M)


Seção : Retangular VazadaTramo : 0.000/3.000 mAltura livre : 3.00 mTamanho máximo agregado : 15 mm



LongitudinalTaxa : 2.81 %Armadura longitudinal : Canto: 4Ø25 + Face: 28Ø25


A área total de armadura longitudinal As não deverá ser inferior a As,min (Artigo 17.3.5.3.1):

157.09 cm² ≥ 22.40 cm²


As,min : 22.40 cm²



(Artigo 17.3.5.3.2):

157.09 cm² ≤ 224.00 cm²


As,max : 224.00 cm²


A área total de armadura longitudinal As não deverá ser inferior a As,min (Artigo 17.3.5.3.1):

157.09 cm² ≥ 17.10 cm²


As,min : 17.10 cm²



Página 1 - 6



η : 0.999

(2100;1400;4957.68)

(2101.77;1401.19;4961.85)

Myy

(kN

·m)

Mxx (kN·m)

N (kN)


(2100;1400;4957.68)

(2101.77;1401.19;4961.85)

(0;0;-6829.92)

(0;0;15330.1)

M (kN·m)

N (kN)

Vista N, M

(2100;1400;4957.68)

(2101.77;1401.19;4961.85)

(0;-3348.62;3242.81)

(0;3348.62;3242.81)

(-2848.73;0;3242.81)

(2848.73;0;3242.81)

Myy (kN·m)

Mxx

(kN

·m)

N (kN)

Vista Mx, My





MRd,y : 2101.77 kN·m

Onde:

Sendo:ee: Excentricidade de primeira ordem. Calcula-selevando em conta a excentricidade mínima ea segundo oponto 11.3.3.4.3.

ee,x : 423.58 mm


Onde:No eixo x:

ea : 45.00 mm


Página 2 - 6

Sendo:h: Altura da seção no plano deflexão considerado. h : 1000.00 mm

e1 : 282.39 mm


No eixo y:

ea : 39.00 mm

Sendo:h: Altura da seção no plano deflexão considerado. h : 800.00 mm

e1 : 423.58 mm


Verificação do estado limite de instabilidadeNo eixo x:Os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados, já que a esbeltezmecânica do pilar λ é menor que a esbeltez limite inferior λ1 indicadaem 15.8.2.

λ : 12.27

Onde:

le : 4.000 m



λ1 : 35.00Onde:


No eixo y:Os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados, já que a esbeltezmecânica do pilar λ é menor que a esbeltez limite inferior λ1 indicadaem 15.8.2.

λ : 14.31

Onde:

le : 3.800 m

Sendo:


Página 3 - 6



λ1 : 35.00Onde:











Página 4 - 6





CcCs

T

1

2

3

45

67

89

1011

12

1314

1516

1718

1920

2122

2324

2526

2728

2930

3132

εmáx = 3.48 ‰

εmín = -2.59 ‰

σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰

ε = 2.0 ‰

ε = 0.0 ‰

x =

670.

18 m

m


Coord. Y(mm)

σs

(MPa) ε

1 Ø25 -357.50 -457.50 -434.78 -0.0022932 Ø25 357.50 -457.50 +212.52 +0.0010123 Ø25 357.50 457.50 +434.78 +0.0031854 Ø25 -357.50 457.50 -25.10 -0.0001205 Ø25 -357.50 365.56 -70.95 -0.0003386 Ø25 -357.50 261.11 -123.05 -0.0005867 Ø25 -357.50 156.67 -175.14 -0.0008348 Ø25 -357.50 52.22 -227.23 -0.0010829 Ø25 -357.50 -52.22 -279.32 -0.00133010 Ø25 -357.50 -156.67 -331.42 -0.001578


Página 5 - 6


Coord. Y(mm)

σs

(MPa) ε

11 Ø25 -357.50 -261.11 -383.51 -0.00182612 Ø25 -357.50 -365.56 -434.78 -0.00207413 Ø25 357.50 -365.56 +258.38 +0.00123014 Ø25 357.50 -261.11 +310.47 +0.00147815 Ø25 357.50 -156.67 +362.56 +0.00172616 Ø25 357.50 -52.22 +414.65 +0.00197517 Ø25 357.50 52.22 +434.78 +0.00222318 Ø25 357.50 156.67 +434.78 +0.00247119 Ø25 357.50 261.11 +434.78 +0.00271920 Ø25 357.50 365.56 +434.78 +0.00296721 Ø25 264.29 457.50 +434.78 +0.00275422 Ø25 158.57 457.50 +434.78 +0.00226623 Ø25 52.86 457.50 +373.19 +0.00177724 Ø25 -52.86 457.50 +270.59 +0.00128925 Ø25 -158.57 457.50 +167.98 +0.00080026 Ø25 -264.29 457.50 +65.38 +0.00031127 Ø25 -264.29 -457.50 -390.98 -0.00186228 Ø25 -158.57 -457.50 -288.38 -0.00137329 Ø25 -52.86 -457.50 -185.77 -0.00088530 Ø25 52.86 -457.50 -83.17 -0.00039631 Ø25 158.57 -457.50 +19.44 +0.00009332 Ø25 264.29 -457.50 +122.04 +0.000581

Resultante(kN)

e.x(mm)

e.y(mm)

Cc 3888.20 217.59 133.76Cs 2759.19 269.55 168.20T 1685.54 -303.76 -247.41

NRd : 4961.85 kN

MRd,x : 1401.19 kN·m

MRd,y : 2101.77 kN·m


ecc,x : 217.59 mm ecc,y : 133.76 mm

ecs: Excentricidade da resultante de compressão no aço na direção doseixos X e Y.

ecs,x : 269.55 mm ecs,y : 168.20 mm


eT,x : -303.76 mm eT,y : -247.41 mm



Página 6 - 6

1.- PISO 1 (0 - 3 M)


Seção : Coroa CIrcular (polig 20 lados)Tramo : 0.000/3.000 mAltura livre : 3.00 mTamanho máximo agregado : 15 mm



LongitudinalTaxa : 2.58 %Armadura longitudinal : 20Ø12.5



(Artigo 17.3.5.3.1):

24.54 cm² ≥ 3.80 cm²


As,min : 3.80 cm²



(Artigo 17.3.5.3.2):

24.54 cm² ≤ 38.01 cm²


As,max : 38.01 cm²



(Artigo 17.3.5.3.1):

24.54 cm² ≥ 4.86 cm²


As,min : 4.86 cm²



Página 1 - 8



η : 0.999

(114.8;49;1409.79)

(114.93;49.06;1411.39)

My y ( k N · m

)

Mxx (kN·m)

N (kN)


(114.8;49;1409.79)

(114.93;49.06;1411.39)

(0;0;-1066.96)

(0;0;2509.41)

M (kN·m)

N (kN)

Vista N, M

(114.8;49;1409.79)

(114.93;49.06;1411.39)

(0;-170.09;558.67)

(0;170.09;558.67)

(-170.09;0;558.67)

(170.09;0;558.67)

Myy (kN·m)

Mxx

(kN

·m)

N (kN)

Vista Mx, My





MRd,y : 114.93 kN·m

Onde:


ee,x : 81.43 mm


Onde:No eixo x:

ea : 27.00 mm


Página 2 - 8


e1 : 34.76 mm


No eixo y:

ea : 27.00 mm


e1 : 81.43 mm


Verificação do estado limite de instabilidadeNo eixo x:Os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados, já que a esbeltezmecânica do pilar λ é menor que a esbeltez limite inferior λ1 indicada em15.8.2.

λ : 30.28

Onde:

le : 3.400 m



λ1 : 35.00Onde:



λ : 30.28

Onde:

le : 3.400 m

Sendo:


Página 3 - 8



λ1 : 35.00Onde:











Página 4 - 8





CcCs

T1

2

3

4

5

678

910

11

12

13

14

15

1617 18

19

20

εmáx = 3.48 ‰

εmín = -1.00 ‰

σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰

ε = 2.0 ‰

ε = 0.0 ‰

x =

313.

69 m

m


Coord. Y(mm)

σs

(MPa) ε

1 Ø12.5 -25.94 -163.75 +54.81 +0.0002612 Ø12.5 25.94 -163.75 +166.02 +0.0007913 Ø12.5 75.27 -147.72 +286.46 +0.0013644 Ø12.5 117.23 -117.23 +404.35 +0.0019255 Ø12.5 147.72 -75.27 +434.78 +0.0024206 Ø12.5 163.75 -25.94 +434.78 +0.0027987 Ø12.5 163.75 25.94 +434.78 +0.0030258 Ø12.5 147.72 75.27 +434.78 +0.0030769 Ø12.5 117.23 117.23 +434.78 +0.00294810 Ø12.5 75.27 147.72 +434.78 +0.002652


Página 5 - 8


Coord. Y(mm)

σs

(MPa) ε

11 Ø12.5 25.94 163.75 +434.78 +0.00221812 Ø12.5 -25.94 163.75 +354.64 +0.00168913 Ø12.5 -75.27 147.72 +234.19 +0.00111514 Ø12.5 -117.23 117.23 +116.30 +0.00055415 Ø12.5 -147.72 75.27 +12.52 +0.00006016 Ø12.5 -163.75 25.94 -67.02 -0.00031917 Ø12.5 -163.75 -25.94 -114.50 -0.00054518 Ø12.5 -147.72 -75.27 -125.30 -0.00059719 Ø12.5 -117.23 -117.23 -98.35 -0.00046820 Ø12.5 -75.27 -147.72 -36.29 -0.000173

Resultante(kN)

e.x(mm)

e.y(mm)

Cc 892.21 65.85 28.12Cs 573.35 84.61 35.90T 54.17 -141.56 -62.41

NRd : 1411.39 kN

MRd,x : 49.06 kN·m

MRd,y : 114.93 kN·m


ecc,x : 65.85 mm ecc,y : 28.12 mm


ecs,x : 84.61 mm ecs,y : 35.90 mm


eT,x : -141.56 mm eT,y : -62.41 mm



Página 6 - 8


CcCs

T1

2

3

4

5

678

910

11

12

13

14

15

1617 18

19

20

εmáx = 3.45 ‰

εmín = -0.99 ‰

σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰

ε = 2.0 ‰

ε = 0.0 ‰

x =

313.

88 m

m


Coord. Y(mm)

σs

(MPa) ε

1 Ø12.5 -25.94 -163.75 +54.83 +0.0002612 Ø12.5 25.94 -163.75 +165.09 +0.0007863 Ø12.5 75.27 -147.72 +284.49 +0.0013554 Ø12.5 117.23 -117.23 +401.35 +0.0019115 Ø12.5 147.72 -75.27 +434.78 +0.0024016 Ø12.5 163.75 -25.94 +434.78 +0.0027767 Ø12.5 163.75 25.94 +434.78 +0.0030018 Ø12.5 147.72 75.27 +434.78 +0.0030519 Ø12.5 117.23 117.23 +434.78 +0.00292410 Ø12.5 75.27 147.72 +434.78 +0.00263111 Ø12.5 25.94 163.75 +434.78 +0.00220112 Ø12.5 -25.94 163.75 +351.92 +0.00167613 Ø12.5 -75.27 147.72 +232.51 +0.00110714 Ø12.5 -117.23 117.23 +115.65 +0.00055115 Ø12.5 -147.72 75.27 +12.78 +0.00006116 Ø12.5 -163.75 25.94 -66.04 -0.00031417 Ø12.5 -163.75 -25.94 -113.10 -0.00053918 Ø12.5 -147.72 -75.27 -123.78 -0.00058919 Ø12.5 -117.23 -117.23 -97.03 -0.00046220 Ø12.5 -75.27 -147.72 -35.49 -0.000169

Resultante(kN)

e.x(mm)

e.y(mm)

Cc 891.18 65.93 28.14Cs 572.04 84.74 35.99T 53.43 -141.62 -62.36

N1d : 1409.79 kN

M1d,x : 49.00 kN·m

M1d,y : 114.80 kN·m

Onde:Cc: Resultante de compressões no concreto. Cc : 891.18 kN


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Cs: Resultante de compressões no aço. Cs : 572.04 kNT: Resultante de tração no aço. T : 53.43 kNecc: Excentricidade da resultante de compressão no concreto na direção doseixos X e Y.

ecc,x : 65.93 mm ecc,y : 28.14 mm


ecs,x : 84.74 mm ecs,y : 35.99 mm


eT,x : -141.62 mm eT,y : -62.36 mm



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monografias.ufrn.br · created date: 7/3/2018 2:26:03 pm

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