- Escoamentos c/ Ausência de Parede -

‘Free Shear Flows’

Caracterização (I)

JATO 2D - Taxa de Abertura Experimental: /x 0.100 a 0.110

ESTEIRA 2D - Taxa de Abertura Experimental: /x 0.365

CORRENTES PARALELAS - Taxa de Abertura Experimental: /x 0.115

Jato Axi-simétrico,Re = 2300

Esteira Cilindro:dist. origem 50 D & ReD=1770)

Camada Mistura

Caracterização (II)

Deve-se destacar:

• As grandes escalas;

• As pequenas escalas;

• Estruturas coerentes;

• Proporção: largura x

tamanho grande escala;

• Taxa abertura das

camadas;

Similaridade (I)

• A transformação de similaridade reduz: o número de variáveis independentes do problema, a ordem da EDP, e o número de condições de contorno.

• Nem todos os problemas permitem solução por similaridade, aqueles que permitem satisfazem as três condições acima.

• Problemas 2D ou axi-simétricos pode-se buscar sol. similar expressando a velocidade na direção principal do escoamento por:

x

yF

xU

yxU

R ;

, '

Similaridade (I)

• (x,y) - direções paralela (principal) e ortogonal ao escoamento

•U(x,y) - velocidade na direção principal

•UR(x) - velocidade de referência, varia ao longo da direção principal

• (x) - escala característica para direção transversal ao escoamento

• (x,y) - variável similar

• F() - função similar a ser determinada

Similaridade (II)

• A transformação de similaridade é aplicada com sucesso em problemas parabólicos típicos em camada limite hidrodinâmica.

y

U C. C. ( = 0)

C. C. ( )

xC. C. (y = 0)

C. C. (y )

Não requer C.C.

C. C. Entrada(x = xe)

EDP ParabólicaU = U(x,y)Satisfaz 3 C.C.

• EDO: variável independente ()• U = U() produz um único perfil de velocidadessimilar. A velocidade em qualquer posição (x,y)é mapeada por • Satisfaz 2 C.C. ( a 3a c.c. do problema parabólica deve ser similar as 2 c.c. já satisfeitas.

yx

Escalas Características ( Jatos 2D)Velocidade linha de centro: depende do fluxo de momento,densidade e distância da origem

1

CT

L

T Udy/du'v'u

dyy,xUM 2

xy

;FxUy,xU '

C

d'FxxUM

C

1

1

22

x

x,,MUU CC constMx

UC 2

1 xUC

Análise Dimensional

Var. Vel.Linha Centro

UC não depende da visc.molecular desde que:Ausência de paredes causa um fluxo de Momento constante:

Transf.Similar

.constU C

2

Escalas Características ( Esteiras 2D)Déficite de Vel. linha de centro: depende do arrasto do corpo, densidade e distância da origem

1

CT

L

T Udy/du'v'u

x,,DUU CC constDx

UC

21

xUC

Análise Dimensional

Var. Vel.Linha Centro

UC não depende da visc.molecular desde que:

Ausência de paredes causa um fluxo de Momento constante:

Transf.Similar

dyUUUD 0

d'FxxUUD C

1

10 .constU

C

xy

;FxU

y,xUU '

C

0

21

x

Escalas Características ( Camadas de Misturas)• A camada rápida induz velocidade na camada lenta por meio da difusão turbulenta da quantidade de movimento.

• Não há propriedade integral a ser conservada (distintamente do jato e esteira).

• Para os extremos, y , as vel. são constantes e iguais a de cada camada!

• A velocidade referência é uma constante dada pela diferença de velocidade entre camadas:

1

CT

L

T Udy/du'v'u

UC não depende da visc.molecular desde que:

Observações experimentais mostram que a razão entre a espessura da camada limite e a distância da origem variam é constante:

.constUUUU CR 01

x constx

Escalas Características Quadro Resumo

Vel. ReferênciaUR

Espessura C.L.

Taxa abertura(experimental)

Jato 2D UC x -1/2 x 1 0.100 a 0.110Esteira 2D UC x -1/2 x 1/2 0.365Camada Mistura UC x 0 x 1 0.115Jato Axisimétrico UC x -1 x 1 0.086 a 0.096Esteira Axisimétrica UC x –2/3 x 1/3 ----Taxa de abertura da C.L. é definida como sendo o arco tangente da razão y/x onde y é:

Jato - a distância onde a vel. U é igual a 1/2 da velocidade da linha de centro;Esteira - a distância y onde o déficite de velocidade é igual 1/2 de seu máximo;Camada Mistura - usualmente definida entre os valores de y/x onde

(U-U1)2/(U0-U1)2 é 9/10 e 1/10, e U0 e U1 são as velocidades das correntes.

Modelo de Comprimento de Mistura

• Para escoamentos com ausência de parede, o comprimento de mistura é proporcional a largura da região de mistura da camada limite (Prandtl).

.constxx

Const.

Comp. Mist.l

Jato 2D 0.098 x 1

Esteira 2D 0.180 x 1/2

Camada Mistura 0.071 x 1

Jato Axisimétrico 0.080 x 1

Esteira Axisimétrica x 1/3

onde a é uma constante de fechamento do modelo.

Modelo de Comprimento de Mistura

• Os valores da constante foram obtidos por otimização numérica do modelo contra dados experimentais.

• O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante ,

• varia para cada tipo de escoamento e constitui uma das deficiências do modelo pois não tem universalidade, isto é, ela varia de escoamento para escoamento!

Modelo de Viscosidade Turbulenta

• Para escoamentos com ausência de parede, Prandtl propôs um modelo de viscosidade turbulenta.

•O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante • A velocidade de referência é dada pela diferença: UR = Umáx - Umín

•Este modelo permite generalizar as soluções em regime laminar e turbulento para escoamentos livres com pequenas modificações.

dydU

T2

• Reconhecendo-se que T pode ser expressa em função do comprimento de mistura:• Estimando-se o gradiente de velocidadepor meio da vel. de referência e da espessura da camada limite• Chega-se ao modelo da visc. turbulenta.Ele não contêm grad. vel. Associado mas, somente o produto UR

RU

dydU

RT U

Equação Similar p/ Comprimento Mistura

• Equação Movimento: • Transformação Similar:

• Modelo p/ tensão:

• Para haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1 e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de variáveis (x,y)

• Isto impõe restrições a variação de UR e e somente alguns escoamentos podem satisfazer.

• A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de reduzir o número de C.C.

• Equação Transformada:

yyU

VxU

U

y & 'F*xUy,xU R

''F''FUx

''FUx

''FUx

dydU

dydU

RRR

22222

''FF

U

U'F

U

'U''F''F

R

'R

R

R

22

2

C1 C2

muita álgebra

...

Modelo de Comprimento de Mistura

• Para escoamentos com ausência de parede, o comprimento de mistura é proporcional a largura da região de mistura da camada limite (Prandtl).

.constxx

Const.

Comp. Mist.l

Jato 2D 0.098 x 1

Esteira 2D 0.180 x 1/2

Camada Mistura 0.071 x 1

Jato Axisimétrico 0.080 x 1

Esteira Axisimétrica x 1/3

onde a é uma constante de fechamento do modelo.

• Os valores da constante foram obtidos por otimização numérica do modelo contra dados experimentais.

• O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante ,

• varia para cada tipo de escoamento e constitui uma das deficiências do modelo pois não tem universalidade, isto é, ela varia de escoamento para escoamento!

Modelo de Viscosidade Turbulenta• Para escoamentos com ausência de parede, Prandtl propôs um modelo de viscosidade turbulenta.

•O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante

• A velocidade de referência é dada pela diferença: UR = Umáx - Umín

•Este modelo permite generalizar as soluções em regime laminar e turbulento para escoamentos livres com pequenas modificações.

• Reconhecendo-se que T pode ser expressa em função do comprimento de mistura:• Estimando-se o gradiente de velocidadepor meio da vel. de referência e da espessura da camada limite• Chega-se ao modelo da visc. turbulenta.Ele não contêm grad. vel. Associado mas, somente o produto UR

dydU

T2

RU

dydU

RT U

Equação Similar p/ Comprimento Mistura

• Equação Movimento: • Transformação Similar: • Modelo p/ tensão:

• Para haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1 e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de variáveis (x,y)

• Isto impõe restrições a variação de UR e e somente alguns escoamentos podem satisfazer.

• A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de reduzir o número de C.C.

• Equação Transformada:

yyU

VxU

U

y & 'F*xUy,xU R

''F''FUx

''FUx

''FUx

dydU

dydU

RRR

22222

''FF

U

U'F

U

'U''F''F

R

'R

R

R

22

2

C1 C2

muita álgebra

...

Jato Plano Livre I (comprimento mistura)

Axx xx

222

11

2

'UMU &

xM

U C'CC

22

2222

2

22

1

21

A'C

A'U

U

U

'UC

C

C

R

R

022

22

22

''FFA

'FA

'''F''F

• A largura do jato e o comprimento de mistura são proporcionais às constantes A e , respectivamente

tetanconsd'F

0

2

• A velocidade na linha de centro e sua derivada são determinadas pelas expressões e • A transf. Similar têm

êxito, parâmetros C1 e C2 são constantes!

A equação da quantidade de movimento transformada

0

''FU

dydU

''F''F C

'''F''F''F''F''F 22

u

Solução Similar Jato Plano Livre II (comprimento mistura)

022

22

22

''FFA

' FA

'''F''F

Eq. Momento Sujeita a satisfazer apenas 3 c.c.

Y=0 V=0 e U = máx F(0)=0, F’(0)=1 e F’’(0)=0

Y U = 0 então F’() = 0• Necessário encontrar melhor ajusta-se aos dados experimentais do perfil médio de velocidades.

• Como F(0) = F’’(0) = 0, então F’(0) = 0 para que seja satisfeita a equação da quantidade de movimento. Isto implica em dizer que a vel. na linha de centro do jato é nula!

• Isto sugere que o modelo de comp. mistura não pode atender a todas as c.c. especificadas.

• Notando-se que a Eq. Momento pode ser integrada analiticamente uma ordem reduzindo a EDO de 3a para 2a ordem:

02 2

2

'FF

A''F

dd

Solução Similar Jato Plano Livre III (comprimento mistura)

Eq. Momento Sujeita a satisfazer apenas 2 c.c.

04

22

2

FddA

''F = 0 F(0) = 0 e F’(0) = 1

• A EDO não apresenta solução analítica. Ela é obtida por meio de rotinas numéricas de integração (Runge-Kutta por exemplo).

• Comparação entre a solução de Reichardt e a do modelo de comprimento de mistura

CUU

Reichardt

Esteira 2D I (comprimento mistura)• O déficite de velocidade é definido como sendo a dif. entre a vel. da corrente livre e a do fluido na esteira:

0 UUUd U

U

Ud• Para uma região suficientemente afastada da origem, a eq. do momento pode ser aproximada por:

yxU

U d

U = Uinf-Ud. O termo inercial (Uinf-Ud)dUd/dx+VdUd/dy = UinfdUd/dx

-UddUd/dx+VdUd/dy,

mas Eq. massa -> V Ud/L e para distâncias grandes Ud -> 0 e

os termos: UddUd/dx+VdUd/dy são da mesma ordem de

magnitude porém menores que UinfdUd/dx

doespecifica valor U xxlivre corrente 0F' U y

mínimo de ponto 00'F' y

dref

d

yUd

0

00• A Eq. da quantidade de movimento deve satisfazer as C.C.:

Esteira 2D II (comprimento mistura)

Equação do Momento Transformada

Isolando-se o termo de derivada superior e após manipulações algébricas, onde ‘a’ é uma constante.

A Eq. da quantidade de movimento apresenta a solução analítica:

02

22

dyd

C

dxdu

U

CC ''Fdd

xU

''F'

UU'F'UU

d

02

2

'F

U

'U''F

dd

a

C

Sujeita as C.C.:

F’’(0)=0

F’(1)=0

A constante ‘a’ e o déficite de velocidade na linha de centro são determinados com o auxílio da integral do arrasto. O parâmetro a deve ser determinado pelo melhor ajuste aos dados experimentais.

a

'F

2

2

3

19

xD

UUC

Ua

5

Esteira 2D III (comprimento mistura)

Resultados do modelo: Tese de Doutorado do Schilichting (1930)

Perfil de Velocidades:

Largura da esteira:

Coeficiente de Arrasto:

0.247 A e . ,xCx D 18010

LU

DCD

2

21

x

Cy,xU x

yDd

22

3

118

10

Comparação entre as soluções

similares obtidas resultantes do

modelo de comprimento de mistura,

(vermelha) e da viscosidade

turbulenta, (linha verde).

C

d

U

U

y

Camada de Mistura I (comprimento mistura)

Perfil de velocidades, velocidade de referência e condições de contono:

0UUU 21R

U1

U2

x

y

simetria 00F0v,0y

0 (-1)'F' e UU)1('F0y e Uu,y C22

0 (1)'F' e UU)1('F0 y e Uu,y R11

Camada de Mistura I (comprimento mistura)

C1 é nula, dU/dy > 0 logo | F’’| = F’’ e a eq. transformada passa a ser:

0F2

''''F

2

Equação linear e têm solução analítica porém sua forma é complexa e envolve diversos termos.

Mais conveniente buscar solução numérica (Runge-Kutta).

Comparação da solução com o ajuste proposto por

Reichardt aos dados experimentais do perfil médio de velocidades

Reichardt

Equação Similar p/ Viscosidade Turbulenta

yyU

VxU

U

• Equação Movimento:

• Transformação Similar: • Modelo p/ tensão:

• Para haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1 e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de variáveis (x,y)

• Isto impõe restrições a variação de UR e e somente alguns escoamentos podem satisfazer.

• A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de reduzir o número de C.C.

• Equação Transformada:

C2

muita álgebra

...

y & 'F*xUy,xU R

C1

''FUx

''FUU

dy

dUU 2

RR

RR

T

''FF'

''FF'FU

'U'''F 2

R

R

Jato Plano Livre (mod. visc. turbulenta)

• A velocidade na linha de centro e sua derivada são definidas pelas escalas características.

• A Equação transformada da Q. Mov. apresenta um termo isolado de derivada de terceira ordem enquanto que no modelo de comprimento de mistura ele vem multiplicado pela derivada de segunda ordem.

• A transf. Similar têm êxito, parâmetros C1 e C2 são constantes!

A'C2 &

2

A

U

'U1C

R

R

0''FF2

A'F

2

A'''F 2

Jato Plano Livre (mod. visc. turbulenta)

As condições de contorno satisfeitas pela equação transformada são:

F(0) = 0 (simetria com a linha de centro, V = 0)

F’() = 0 (afastado da linha de centro a velocidade decai p/ 0)

F’’(0) = 0 (velocidade é máxima na linha de centro)Na linha de centro o modelo. não apresenta a inconsistência física do modelo de comprimento de mistura, isto é, F’(0)0. De fato p/, =0, encontra-se que [F’(0)]2 = -2/A.F’’’(0)

y

3

2Tanh1

x

M426.1

U

U

x246.0

138.0

2

c

• O valor do parâmetro , espessura C.L. e a solução da EDO tem solução analítica com perfil de velocidades no Jato plano

Esteira 2D (mod. visc. turbulenta)

• A aproximação a equação da Q. Mov. aplica-e para escoamentos distantes do corpo, L/x > 200 (L dim. corpo) . Equação transformada da Q. Mov. passa a ser, onde o parâmetro ‘a’ é uma constante. As condições de contorno satisfeitas pela equação transformada são:

F(0) = 0 (simetria com a linha de centro, V = 0)F’(0) = 1 (vel. Na linha de centro, Ud=UC)F’() = 0 (afastado da linha de centro a velocidade

decai p/ 0)F’’(0) = 0 (velocidade é máxima na linha de centro)

Sendo um diferencial perfeito a EDO pode ser integrada sucessivamente até chegar-se aos valores dos parâmetros e perfis que melhor representam os dados médios experimentais

0''F'FU

UU'''F

a

2

'

C

C

x

D38.1

U

U

U

Dx805.0x

88.3ExpU

U

76.7a 0836.0

c

2

2y

c

d

Camada de Mistura (mod. visc. turbulenta)

•Equação transformada da Q. Mov. passa a ser:•Sujeita às condições de contorno:• F(0) = 0 (simetria com a linha de centro,

V = 0)

F’(1) = U1/UC (vel. em y = , U=U1)

F’(-1) = U2/UC (vel. em y = -, U=U2)• A EDO não tem solução analítica conhecida requerendo portanto integração numérica.

• Reichardt propôs uma aproximação à solução numérica por meio do ajuste:

''FF'

'''F

xymimmax erf1

2

UUU

onde o parâmetro que melhor se ajusta aos dados experimentais é, = 13.5.

Estimativas Grandezas Turbulentas I

dy

dU'v'u T

T

A tensão turbulenta é determinada, para ambos os modelos, com o auxílio da viscosidade turbulenta:

'v'uk A energia cinética do escoamento também pode ser estimada a partir da tensão turbulenta, onde a constante de proporcionalidade vêm dos dados experimentais, 0.09.

dy

dU2T mimmaxT UU Os modelos para viscosidade

turbulenta: comprimento de mistura e Prandtl-Reichardt

A aproximação para k não é válida próx. linha de centro pois u’v’=0 porém k0. Para y/d > 0.4ela se constitui uma boa aproximação.

Estimativas Grandezas Turbulentas - Esteira 2D Mod. Comprimento de Mistura

medido • O modelo não atende o comportamento assintótico, y+ u’v’ =0, nem tão pouco da velocidade média

•A viscosidade turbulenta varia somente na direção transversal ao escoamento.

• Na direção paralela ela é constante e independe da distância da origem.

• Isto não representa físicamente o que ocorre para regiões muito afastadas da origem pois espera-se que o escoamento se relaminarize!

• O modelo dá T=0 p/ y=0, porém é fato que T 0. Isto gera problemas em transferência de calor e massa.

Estimativas Grandezas Turbulentas II

• Para regiões afastadas da origem, o termo convectivo da equação de k pode ser aproximado por:

• Estimativas para um balanço dos mecanismos de produção, dissipação, transporte e destruição de k.

'p

21 k'v

dy

d

dy

dU'v'u

dx

dkU

dy

dk

dy

dk'v

dy

d (Difusão)

dy

dU

dy

dU'v'u (Produção)

dy

dU

dx

dU'v'u

dx

dU

dx

dkU (Conveção)

T'p

21

2

T

T

finalmente o termo de dissipação, , é estimado como a diferença da soma algébrica dos demais termos.

• Aproximações (modelos) para cada termo da eq. transporte de k:

Estimativas Grandezas Turbulentas - Esteira 2D Mod. Comprimento de Mistura

• Na região central, y/< 0.6 dk/dx = P - e - (-D) O valor de k atinge um máximo, Produção e dissipação são aproximadamente iguais e intensas ; e a difusão transporta k [-(-D)>0] para o centro e para a periferia da esteira. ‘C’ transporta paralelo ao escoamento enquanto “D” transversalmente

• Na região y/> 0.6 dk/dx = - (D) os mecanismos ‘C’ e ‘D’ se invertem. A difusão remove k pq. a esteira se propaga num ambiente de fluido não perturbado.

PkD

C

Representação qualitativa do balanço de energia cinética. Linhas pontilhadas são baseadas em medidas exp.