XIII SEMINARIO NACIONAL DE GRANDES BARRAGENS

RIO DE JANEIRO

ABRIL 1980

SIMULAcAO DE SUBPRESSAO EM BARRAGENS DE CONCRETO

TEMA IV

Paulo Salgado Machado Coelho

Eng4 do Setor de Computacao

ENGEVIX S/A.

RIO DE JANEIRO

1b I

1. OBJETIVO

Apresentar um modelo analiticamente fundamentado, formulado com o

emprego de elementos finitos, como contribuigao a solugao teori-

ca do problema da simulagao de cortina de pogos de drenagem sob

barragens de concreto.

0 trabalho e um arranjo e um resumo do extenso estudo que desen-

volvemos sobre o assunto e que se encontra detalhado em um rela-

torio de propriedade do Departamento de Engenharia Civil da Enge

vix - Rio de Janeiro.

2. A CORTINA DE POcOS DE DRENAGEM

Inicialmente consedere-se uma fundagao homog&nea, de permeabili-

dade isotropica (condigoes que nao invalidam a aplicagao do meto

do aos casos reais e as necessidades dos Projetos). Estando au-

sente a cortina de drenagem obtem-se um diagrama de subpressao ,

na linha do contato estrutura-fundagao, que possui equagao anali

tica (figura 1). As linhas de fluxo sao elipses com focos nos

pes de montante e jusante da estrutura (nao foram desenhadas).

Seja introduzir a cortina de drenagem. Suas caracteristicas sao:

a distancia "a" entre os drenos, cujo raio a rW a distancia "d"

da cortina ao pe de montante e a pressao no interior dos drenos

que varia hidrostaticamente desde zero (na boca do dreno) ate o

valor maximo na profundidade.

A superficie piezometrica cuja segao era o diagrama inicial rede

fine-se em complexa superficie no planificavel, para a qual nao

ha equagao analitica.

As linhas de fluxo transformam- se em tragetorias espaciais com

projegoes nos eixos X,Y,Z. A superficie piezometrica apresenta

um ponto umbilical em cada dreno. A figura 1 mostra ainda osdia

gramas obtidos pelo corte por um piano que passa por um dreno e

por um piano equidistante de dois drenos.

Chamamos SD a ordenada de pressao media na abscissa da cortina

(x=d). A superficie piezometrica conserva, em seus extremos,cur

vatura semelhante a do diagrama de subpressao plena.

2.1)Solugao Analitica de Muskat

A solugao analitica de uma cortina foi dada por Muskat em 1937 e

se aplica ao modelo fisico hipotetico de Muskat. Neste trabalho

no serao transcritas as consideragoes que tecemos sobre o mode-

lo. Limitaremo -nos a descreve - lo e a apresentar a fungao anali-

tica de Muskat.

ijr,x

0 modelo esti mostrado na figura 2. Consiste de uma fundacao

com permeabilidade isotropica limitada per fendas inundadas sob

os pes de montante e jusante da estrutura . As pressoes frontais

sao trapezoidais e hidrostaticamente variaveis. A superficie

piezometrica a semelhante a da figura 1 (sendo reta em seus ex -

tremos ) e possui equagio analltica a duas variaveis (x,z). As

linhas de fluxo dirigem- se radialmente para o dreno e nao ha flu

xo ascendente , isto e, qualquer linha de fluxo esta contida em

um piano horizontal.

A equagao da superficie e:

q cosh 27 ( x+d) - Cos 27Z

s (x, z) = 2TrkD loge a acosh 27(x-d ) - cos 27Z

onde qw = aqw

e = HM -J- kDd

a a

(1)

(2)

qw e a vazao total por unidade de espessura normal ao piano da

figura e que parte de montante.

A solugio de Muskat estabelece a superficie piezometrica em fun

cao dos pararetros HM, HJ, k, D , a, d de tal forma que nao exis

to fluxo a jusante da cortina . (Algum fluxo que passa para ju-

sante, nas proximidades do dreno , retorna e penetra no mesmo),0 monomio em (1) pode ser simplificado pela substituicao de (2)

tornando a fungao independente de k e D.

A vazao em um dreno a dada per qw vezes a distancia " a". Obser

vando-se (1) vi-se que em principio a superficie piezometrica

nao depende do raio do dreno. Na verdade interessa o binomio

"cota da boca do dreno e raio do dreno", pois para x=d e z=a tHn

-se s=oo. Os valores limites para x e z devem ser tais que 0

ponto se projete sobre a circunferencia do dreno de raio rw e

nessa condigao deve-se usar ( 1) para calcular SO, distancia ver-

tical entre a boca do dreno e a altura de montante HM. A cota

da boca do dreno a HM- So e e a elevacao necessaria para que a va

zao a.qw se verifique e igualmente seja produzida a superficie

piezometrica de Muskat, sem fluxo a jusante. Se for conservado

o valor de rw mas a boca do dreno estiver abaixo ou acima da co

to HM So o diagrama nao sera o de Muskat, havendo fluxo a jusan

to da cortina.

Observacao : deve-se adotar rw < O,la e a < 3d para que So seja

praticamente constante para os pontos (x,z) que se projetam so-

16b

bre a circunferencia do dreno. Isto porque o infundibulo nao

tem secao circular, salvo proximo da descontinuidade (x=d,z=a).

Concluindo, o dreno de Muskat a um tubo de raio r cuja boca de-w

ve se elevar ate interceptar a superficie piezometrica de Muskat

cuja forma independe de r .w Pela boca fluira a.qw sendo qw dada

por (2). Nao se respeitando a cota, a superficie piezometrica

nao sera a de Muskat e a vazio nao sera a.qw.

2.2 SOLUcAO DO CASO GERAL

Casagrande apresenta na bibliografia 1, a sequencia dos progres-

ses matemiticos na solucao do problema da cortina de drenagem.

Termina ao exibir uma figura para a solucao do caso geral. Re -

estudamos o problema para o estabelecimento de uma figura condi-

zente com as (nossas ) formulas. No livro "Milestones in Soil

Mechanics" que reproduz o trabalho de Casagrande existe um erro

na formula da pressao media na abscissa da cortina. 0 caso ge -

ral a aquele em que a cota da boca do dreno a qualquer, dada por

Ahw acima do nivel do reservatorio de jusante. A superficie pie

zometrica nao e a de Muskat. A figura 3 ilustra a solugao e po-

de ser reproduzida pela construgao grifica, bastando determinar

os pontos A,B, e C.

A altura he a dada por uma expressao obtida a partir da (1), que

abaixo transcrevemos:

AH - Ah c

h =w b

c 1+ l a c log ae

2 TT d b 2 Tf rw

(3)

onde a,b,c,d,AH, Ahw, rw sao dados do Projeto da barragem.

A altura hc, determina o diagrama tracejado que a inicialmente a

solugao de Muskat para o nivel de jusante na posigao mostrada(a-

cima de H) e a cota da boca do dreno acima da dada por HJ+Ahw.

Segundo o texto de Casagrande, a solugao para o nivel de jusante

em Hi e a cota da boca um Hi+Ahw se obt&m atraves da superposi -

cao, sobre a solugao de Muskat, de um gradiente constante de mon

tante a jusante.

Em nosso trabalho este gradiente sera

it=AH-h Ahc w

c b

(4)

e nao a suficiente para representar o abaixamento total AH-hc do

nivel de jusante (ver fig. 3). Mas quando o bifurcarmos segundo

165

i e i.como segue , o problema fica resolvido para cada ramo dowdiagrama.

0 gradiente medic do ramo montante -cortina sera:

h Qhi = C + i + Ww d t b

0 gradiente medio do ramo cortina-jusante:

bhi = it + w

b

Pressao media na abscissa da cortina:

Sp= HJ + b.it + Ahw

(5)

(6)

(7)

Fazendo-se tihw= 0 nas expressoes (3) a (7) obtem-se a solugao pa

ra o caso da cota da boca do dreno coincidente com a do nivel de

jusante HJ.

Vazao total de montante contida na dimensao "a":

qwm = iw

a . k . D (8)

Vazao excedente (que passa para jusante por entre os drenos):

qwJ iJ

a.) .D

Vazao que penetra em um dreno:

q _(iw-ij) a.k.D

w

(9)

(10)

Com pequeno algebrismo mostra-se que(10) tambem se escreve:

q HM SD _ SD HJ)a.k.Dw d b

expressao esta que satizfaz analiticamente a solugao do caso ge-

ral, derivada da solugao de Muskat.

Em nosso relatorio apresentamos exemplos de cilculo da pressao

media SD obtendo bons resultados e para caracterizar o erro na

formula reproduzida em "Milestones in Soil Mechanics".

Ao se estudar a fungao de Muskat conclui-se que a pressao media

SD nunca pode se anular pelo efeito de uma cortina de drenagem.

3. EFICIENCIA DE DRENAGEM

Pode ser definida de diversas maneiras independentes entre si:

166

3.1 Em termos de vazao drenada

K =gwm

qW(12)

qW a vazao drenada e qwm e a que parte de montante , logo K defi

ne-se como a fragao drenada da vazao total.

Com (8 ), (10) e (11) a expressao (12) fica:

d S - H

K'= 1 - - D J (13)

b HM - SD

(Ver os parametros em diversas figuras do trabalho).

Esta expressao fornece a eficiencia K em funcao da pressao SD

desejada.

S =D

(1-K ).b.HM+d.HJ

(1-K ).b + d (14)

Esta expressao fornece a pressao media SD na abscissa da corti-

na correspondente a eficiencia K que se desejar.

Nestas expressoes e nas seguintes, SD, K', K'' e K sao estabele

cidos a priori. Escolhido SD torna-se necessario dimensionar

os drenos de tal forma que SD seja produzido teoricamente.

Isto pode ser feito por tentativasusando-se o item 2.2 desde que

se admita a existencia de, pelo menos, a fenda de montante para

que o modelo se aproxime do de Muskat.

Atengao: o item 2.2 nao fornecera solugao se for escolhido SD me

nor que HJ.

3.2 Em termos de redugao de sub-pressao

AK'' = 1 - r (15)

A

K'' 6 a fracao de que se reduz a subpressao trapezoidal.

Ar e a area do diagrama de subpressao apos instalada a cortina

e A a area do diagrama trapezoidal.

Pelo efeito de uma cortina de drenagem nao se poder ter K ''=O.

Calculando as areas e levando em (15):

c.SD+d.HM+b.HJ (16)

c(HM+HJ)

Esta expressao fornece a eficiencia K'' para ser atendida a or-

denada SD que se desejar na abscissa da cortina.

(H +H ) . (1-K' ' ) -d.HM+b.Hi

SD= M J c(17)

167

Esta expressao fornece a ordenada SD correspondente a eficiencia

K'' que se desejar.

3.3 Segundo o Bureau of Reclamation

0 Bureau estabeleceu uma expressao na qual aparece uma variavel

K chamada de eficiencia de drenagem:

SD= H J+ (1-K) . (.HM-H J ) (18)

ou ainda:SD= (1-K)HM+K.HJ (18.a)

Isolando-se K:

K=HM SD

AH (19)

onde OH= HM HJ. A expressao (19) permite dizer que a eficiencia

de drenagem do Bureau e a fracao de redurao do valor 4H apos ins

talacao da cortina de drenagem.

0 Bureau recomenda para K o valor 0,67 para efeito de se obter

um diagrama de subpressao conservativo para use em calculos de es

tabilidade.

A expressao (18) e de aceitagao geral com K=0,67.

Calculando-se SD pode-se usar as expressoes (13) e (16)para ter

as eficiencias de drenagem correspondentes em termos de vazao e

subpressao. Portanto K, K' e K'' sao diferentes entre si para

uma dada condigao de subpressao . No item 6 ha um complemento so

bre eficiencias de drenagem.

4. DIAGRAMAS ANTERIORES AO ATUAL METODO

Eram produzidos pelo mau use de elementos finitos bidimensionais

ou em outras palavras, produzidos por "malha plana" quando se es

quecia que a cortina de drenagem 6 um problema tridimensional.

A exibigao destes diagramas se justifica didaticamente e como ad

vertencia. Resultados de forgas de percolagao que recaem nos dia

gramas errados tem sido frequentemente usados em anilises de ten

soes de conjuntos estrutura-fundagao nos projetos de nossas hidre

letricas.

A figura 4 mostra a malha de elementos responsavel pelos maus re

sultados. Costumava-se simplesmente simular a cortina por uma co

luna de elementos com permeabilidade bem maior que a do macigo.

Na malha plana a coluna em questao funciona como uma trincheira

drenante estreita e profunda que capta toda a vazao de montante.

Na cortina de drenagem real o fluxo pode passar por entre os dre

168

nos, causando subpressao a jusante destes.

A pressao na boca do dreno a uma " condicao de contorno" que se

der ao programa automatico de percolacao.

Normalmente usava-se o valor zero ou da ordem de 3m.c.a. (espes-

sura da laje da galeria ). A figura 5 ( a) mostra o diagrama obti-

do com a malha da 4.

A figura 5(b) mostra o diagrama obtido quando se colocava a "trip

cheira" de jusante.

Em 5(c ) tem-se o que resultava se HJ=0.

Em 5(d ) um diagrama negativo a jusante da trincheira como resul-

tado produzido pela linha de escavarao descendente e por HJ=O.

Em todos estes diagramas obtinha-se SD=O, o que a um erro, pois

SD a um valor medio.

Finalmente em 5(e ), a situagio que se tinha para uma barragem na

beira de escavagao. A linha freatica ester numa posigao incorre-

ta. Nero se pode admitir que nao haja passagem de fluxo entre os

drenos, principalmente no topo, perto do pe de montante.

A posigao correta da linha freatica e a superior, mesmo se a bar

ragem fosse de contrafortes. Os resultados da analise de ten-

soes, com a linha freatica inferior, sio contririos a seguranga

porque o macigo acima desta fica submerso (portanto "mais leve").

5. 0 MtTODO DO DRENO UNITARIO

0 metodo em si a simples, nao precisando ser alvo de estudo tao

extenso. Mas assim foi necessario para se ter seguranga dos re

sultados. Deve-se lembrar que o Metodo dos Elementos Fintos nao

e um colega de trabalho; a uma sofisticada ferramenta cujo use

requer maior responsabilidade do que a simples feitura da malha

(bibliografia 4).

A chave do metodo e a simulagao da drenagem que a feita por uma

carreira de elementos que constitui o dreno unitario. Ela se su

perpoe a malha principal a qual se liga por uma aresta na abscis

sa da cortina de drenagem.

A figura 6 ilustra como pode ser feita a malha. 0 dreno units -

rio ester em linha tracejada, destacado (em perspectiva ) para me-

lhor visualizagao , mas verdadeiramente pertence ao plano da ma -

lha principal. Sua largura 9. a qualquer a sua permeabilidade Kd

(essencia do metodo) a fungao de 9 e de uma pressao P que depen-

de da cota da boca do dreno.

Para elementos de gradiente constante pode-se usar 9. pequeno em

relagao a altura do elemento.

169

5.1 Aplicacao ao Modelo de Muskat

"Metodo do Dreno Unitario" a um nome apropriado porque o primei-

ro passo a dividir a vazao dada por (11) pela distancia entre os

drenos e pela altura do meio permeavel obtendo-se um fluxo q. 0

fluxo q e constante com D conforme a teoria de Muskat e e a parts

efetivamente drenada do fluxo total. Sob q, a pressao media na

abscissa da cortina torna-se igual a SD.

0 fluxo q fluira pelos elementos do dreno unitario, cuja permea-

bilidade Kd se calcula por:

K=^d SD-P

ouK - ( HM SD - SD-HJ ) k.Q (20)

S-Pd d b D

Deve-se impor pressao hidrostaticamente variavel, partindo do va

for P, na aresta livre do dreno unitario.

5.1.1 Observag6es para Utilizacao do Metodo

a) A aresta livre do dreno unitario a para ser considerada como

o interior do dreno real.

Ao no superior aplica-se a pressao P que houver dentro do dreno,

na cota da linha de fundagao ou diretriz montante-jusante.

b)A permeabilidade Kd deve ser dada para a diregio horizontal e

o valor zero para a direrao vertical. Nos modelos derivados,a

comunicabilidade entre horizontes de fundagio fica assegurada

pela pressao hidrostitica imposta a aresta do dreno unitario.

No relatorio original trata- se deste assunto com detalhes.

c) De acordo com a teoria, o modelo de Muskat produz diagramas

de subpressao retilineos e paralelos entre si para quaisquer ho

rizontais tragadas sobre a malha.

Esta propriedade torna o modelo especialmente indicado para o ob

tengao de diagramas de subpressio para cilculos isostaticos de

estabilidade.

d) 0 metodo requer o conhecimento previo da pressao media SD na

abscissa da cortina, quando P for dado. SD deve ser calculado

por (3), (4) e (7).

No caso inverso (quando SD for dado ) o metodo requer o cilculo

da pressao P. Para tanto a preciso calcular analiticamente a co

to da boca dos drenos , dada por ihw acima de HJ, o que se faz

iterativamente por (3), (4), (7) com pequeno artificio. Ver a

170

I

vonclusao n4 5, item 6.

Nota: SD nao a imposta ao no em que aparece. Resulta pelo prooes

samento do modelo de elementos finitos.

5.1.2 Modelos Derivados

Denominamos modelos derivados aos que apresentam outros disposi-

tivos de drenagem alem do dreno unitario, ortotropia de per

ineabilidade, geometria arbitraria etc.

Para obter um modelo derivado deve-se previamente obter o primi-of to

tivo, apos o que, mantendo-se Kd e P. , modifica-se a malha pela

introducao dos dispositivos ou modificacoes desejadas.

Consideramos alguns modelos derivados:

a) Com Tunel

Suponhamos um tunel que intercepta a cortina de drenagem. Para

simular esta situacao deve-se inicialmente calcular Kd para a ma

lha sem o tunel e obter o diagrama primitivo (por exemplo o do

Bureau). Colocar entao o tunel, cujos nos terao pressoes nulas.

Lembrando que a aresta livre do dreno unitario simula o interior

do dreno real, deve-se impor pressoes nulas a mesma , no trecho

que vai do tunel ate a linha de fundacao. Impor pressao hidros-

titica ao trecho abaixo do tunel.

b) Cortina de jusante

Um criterio a colocar a carreira de elementos do dreno unitario

de jusante com osmesmos Kd e P. do de montante.

Este criterio encontrara justificativa no item 6.

Os diagramas, em diversos niveis, sao retilineos e paralelos en-

tre si.

c) Outros modelos

No relatorio original sao tratados com detalhes os casos de per-

meabilidade ortotropica, fundacao com diversos horizontes, linha

de escavacao irregular e surgimento de linha freatica. Observar

que os modelos derivados com ortotropia e tunel nao mais apresen

tam diagramas retilineos e paralelos entre si para diversos nive

is na fundacao.

5.2 AplicaFao do Metodo a uma Fundagao sem Fenda de Tragao

A fundacao a como a da figura 1, devendo a malha de elementos se

prolongar suficientemente para montante ou jusante. Em se dese-

jando, esta fundacao pode ser apenasmais um modelo derivado, tor

nando desnecessario o presente item.

Caso contrario, a possivel obter a pressao SD pre-fixada no con-

tato estrutura-fundagao, na abscissa da cortina de drenagem.

171

Basta calcular a permeabilidade dos elementos do dreno unitario

a qual, neste caso, sera denominada Km.

Inicialmente adota -se um valor estimado , usando-se a expressao:

1 HM SD SD-HJ K.kK =ml2 d b SD-P

(20.a)

Processa-se malha de elementos , obtendo- se o valor SFEM no n6 on

de se deseja SD . Corrige -se Kml pela expressao:

Km2= Km1MaD.JO

onde:

a= 212633 S = - 0120676

M= M- S D D= SFEM-P J= SFEM-HJH

HM SFEM SD - P SD-HJ

(21)

A expresso ( 21) pode ser usada iterativamente e e independente

da forma da linha de escavagao. Na primeira iteracao obtem-se

Km capaz de fornecer SFEM no segundo processamento do modelo,

corn menos de 5% de erro sobre SD. Nota: so testamos a expressao

com P=O.

Se a pressao SD for calculada pela expressao (18) com K=0,67 ob-

tem-se, no contato estrutura- fundacao ou diretriz montante-jusan

te, o diagrama do Bureau . Porem ele conservara , nos extremos,

curvaturas proporcionais as do diagrama de subpressao plena da

figura l.Sugerimos tambem obter SD no modelo primitivo e conside

rar a fundagao sem fendas como derivada , apreciando a razoivel

reducao na sub-pressao.

6. CRITICA E CONCLUSAO

Seja a seguinte indagagao : Com que base se afirma , neste traba-

lho, que o metodo do dreno unitario simula teoricamente uma cor-

tina de drenagem?

Esta questao sera respondida atraves do problema teste que se se

gue.

Dados ( dimensoes em metros):

HM = 60,0 ( altura de montante)

Hi = 15,0 (altura de jusante)

AH = 45 , 0 (diferenga de niveis)

rW = 0,0125 (raio dos drenos - para o teste)

172

a = 6,0 (.distancia entre drenos)'

c = 138,0 (dist. montante-jusante)

Ahw= 0,0 (distancia entre a boca do dreno e o nivel de ju

sante ) (logo: P=15,0)

d = 8,0 (dist. montante-cortina)

b = 130,0 (dist. cortina-jusante)

k = 0.001 (permeabilidade do macico)

Calculo da pressao media SD na linha de fundacao na abscissa da

cortina, pelo item 2.2:

hC

45 45_ = 29,04

1+ 1 6 138 logn 6 1,5494

27r 8 130 27 0,0125

it= 45- 29,04= 0,1156

138

SD= 15+130x0,1156=30,03

Em tempo - cilculo das eficiencias de drenagem:

Por (13): K'=1- 8 30,03-15 = 0,969 = 96,9%130 60-30,03

Por (16):K''=1 - 138x30,03+8x60+130x15=0,365=36,5%

138(60+15)

Por (19):K= 60-30,03= 0

, 666 = 66,6%45

Propositalmente a cortina foi arbitrada para apresentar pratica

mente a eficiencia do Bureau ( 67%). A subpressao , portanto, se

ra intensa . Ve-se pois que a expressio 13 ainda que correta, nk

e agradavel, porque conduz a uma eficiencia alta, embora o pro-

jeto da cortina seja pessimo.

Calculo da permeabilidade Kd do dreno unitirio:

Seja k = 3 na malha de elementos. A altura D nao influi.

Por (20): Kd =(60-30,03 _ 30,03-15) 0,001x3 = 0,00072468

8 130 30,03-15

Resposta parcial: Se processarmos a malha escontraremos SFEM

SD=30,03 o que mostra que foi "fotografado " um determinado esta

do da cortina real.

Pergunta-se: Se o nivel de montante sofrer uma sobreelevacao per

manente de 15 m.c.a, a nova pressao SD na cortina sera obtida

173

tambam pelo modelo?

Solugao - Calculo da nova pressao SD para HM= 60 +15=75.

LH=75-15=60. Pelo item 2.2 teremos:

h = 60 = 38,73c 1,5494

SD = 15+0,1542x130=35,04

it = 60-38,73 0,1542

138

Em tempo:

Por (13): K'= 1- 8 35,04-15 = 0,969 ( invariante)130 75-35,04

Por (16): K''= 1- 138x35,04+8x75+130x15 = 0,405

138(75+15)

Por (19): K = 75-35,04 = 0,666 (invariante)60

0 resultado de (16) mostra que a eficiencia K'' e instantanea

dependente de HM.

Resposta Final: 0 modelo fornecera a nova pressao SD=35,04 por-

que recalculando-se Kd para os novos HM e SD encontra -se o mes-

mo valor:

_ 75-35,04 _ 35,04-15 0,001x3 _Por (20) : Kd 8 130 ) 35,04-15 0,00072468

Conclusoes:

1. 0 modelo simula completamente uma Cortina, com abrangencia

total, pois o segundo estado "fotografado" foi arbitrariamente

escolhido.

2. Uma vez que a cortina foi transformada em modelo de elemen -

tos finitos , ficari por conta dos mesmos (.e do "input " correto!)

a simulagao dos modelos derivados para os quais 6 impossivel ob

ter equag6es analiticas.

3. Fica solucionado portanto , o modelo quase -derivado, que se

obt6m quando se variar arbitrariamente o valor de P na expres -

sao (20 ), ou seja, desrespeitar a cota teoricamente calculada

para os drenos (Obs: Obter antes o modelo primitivo).

4. Se a jusante se colocar uma cortina com o mesmo "a" e rW da

de montante , com a boca do dreno distante p' da linha de funda-

cao, a subpressao sera a dada pelo modelo colocando-se a jusan-.

to o dreno unitario com Kd e "2." do de montante e aplicando-se

a sua aresta livre a pressao hidrostatica partindo de p'.

5. 0 diagrama do Bureau ( por exemplo ) pode ser obtido sob o pro

totipo por 2 crit6rios : a) Pela eleyagao da cota da boca dos dre

174

nos, significando, para o modelo, maiores valores de P e Kd.b)

Mantendo a cota e o esparainento "a" e diminuindo o raio dos dre-

nos (baixos P e Kd no modelo). A simulacao destes dois casos le-

va a iguais diagramas (do Bureau) no modelo primitivo , mas os mo-

delos derivados compotar- se-ao distintamente. A diminuicao do

raio e a reducao do raio efetivo por colmatacao. Para ilustra-

gao, a expressao que fornece rwem funcao da eficiencia K (defini

-da em 3.3) e:

r = a (restricao: d < K < 1)w2ir ea c

onde:

1 - K - Ah_

tHa =

a 2 ) (K - 1 + b )

d b c

(22)

6.Mesmo que a permeabilidade k do macigo seja desconhecida, o me

todo pode ser aplicado , porque a subpressao independe de k. (So-

mente as vazoes dependem de M. A unica exigencia a que k seja

constante no percurso montante - jusante.

7.Cremos cumprido o objetivo de apresentar um modelo matematico.

0 trabalho se limita ao aspecto teorico, por falta de espago para

ilustracao pritica, mas ji tivemos a oportunidade de processar di

versos exemplos. Obtivemos resultados que nos mostram a versa-

tilidade e coerencia do metodo.

Estejamos cientes de que a aplicagio do metodo dos Elementos Fini

tos requer previa analise dos dados junto aos consultores para

que o "output" nao seja apenasmente o produzido pelo "input" arbi

tririo. Os resultados devem ser interpretados , criticados e obti

dos por analises parametricas , com atenrao aos limites de aplica-

cao dos metodos (bibliografia 4).

7. ADVERTENCIA

Os programas automaticos que calculam forgas resultantes dos efei

tos da percolarao nao podem computar as resultantes de subpressao

175

na linha de fundacao se a secao da estrutura (mesmo "impermeavel")

nao integrar a malha.

A menos que lhes seja informada a sequencia de nos pertencentes a

linha ( o que no e feito pela simples incidencia dos elementos),

a subpressao nao entrari na fase de analise elastica. Sugerimos

testar os progr amas: processar uma estrutura simples (corn o peso

especifico do concreto igual a zero) para 2 niveis de montante.

Somando algebricamente os deslocamentos verticals dos nos do con-

tato teremos resultados praticamente iguais nos 2 casos. 0 tes-

te pode ser feito para a subpressio total (sem Cortina de drena -

gem) (bibliografia 5).

8. AGRADECIMENTO

Somos gratos a ENGEVIX S.A. (Rio de Janeiro) na pessoa do Sr. Che

fe do Departamento de Engenharia Civil, Eng. Roberto Monteiro de

Andrade, pela oportunidade e recursos para desenvolver este estu-

do. 0 Dr. Roberto foi quern nos fez notar a insconsistencia dos

resultados de subpressao anteriores a este metodo e nos sugeriu

conseguir a subpressao do Bureau atraves de programa de Elementos

Finitos.

9. BIBLIOGRAFIA

l.Prof. A. Casagrande - Control of Seepage through foudations and

abutments of dams (1. ST Rankine Lecture). Harvard University

(1961) (Consultado em: "Milestones in Soil Mechanics").

2.Prof. J.L. Serafim - A subpressao em Barragens. LNEC, Lisboa,

1954.

3.Borges, C. Martins-Fluxo Estacionario Plano ou Axissimetrico em

meios Porosos pelo M.E.F. Tese apresentada a PUC-RJ para o titu-

lo de Mestre em Ciencias-1975).

4.Souza Lima, V.M.; Zagottis, D.; Cyro Andre, J. - As Tensoes de

Origem Termica nas Barragens e o comportamento Visco-elastico do

Concreto - XI Seminirio de Barragens - 1976. (Item 5.4).

5.Zienkiewicz , O.C. and Cheung , Y. K. - Stresses in Buttress Dams.

Artigo publicado na revista "Water Power" em fevereiro de 1965.

176

9. RESUMO

Apresenta- se um novo metodo , denominado "Metodo do Dreno Unita-

rio", para a solucao numerica do problema de simulagio de corti

na de drenagem e seus efeitos sob barragens de concreto. 0 mo-

delo que se obtem aceita qualquer e ficiencia de drenagem, inclu

sive a do Bureau of Reclamation . Fornece vazoes e dados para

calculo de estabilidade ou para analises elasticas do conjunto

estrutura- fundagao.

Possui dois meritos sobre os metodos puramente analiticos: o

primeiro , trazer para o dominio bidimensional a solugao de um

problema tridimensional; o segundo , aceitar a introdugio de ou-

tros dispositivos de drenagem apos instalada a cortina de mon -

tante, surgindo assim os ( entao ) chamados modelos derivados.

0 objetivo principal do metodo a possibilitar a solugio numeri-

ca (por Elementos Finitos ) dos modelos derivados , os quais sao

analiticamente insoluveis.

177

SUBPRESSAO REDUZIDA

SUBPRESSAO PLENA

10W

IHM -so

Figura 1 - CORTINA DE POCOS DE DRENAGEM

SD = Hi,

71,k77

I- H M

Ty

FENDAINUNDADA

"1 4111". 10,11, li mmHM+D

0 20 40 60 80m

(*) FORA DE ESCALA ESCALA GRAFICA

R\^gw ° Oqw

b-C

( * ) Fora d• sscolo

0 20 40 60 80m

ESCALA GRAFICA

Figura 2- MODELO FISICO HIPOTETICO DE MUSKAT

EOUAcAO DA SUBPRESSAO PLENA

Y: Hj + AH OCOS(2x-c)

A c

DESVIOS DA TANGENTE

AREA SOB A CURVA

R= l( Hm - of) + (H j + at)]

(s AREA DO TRAPEZIO )

SD m SUBPRESSAO MEDIA EM x : d

SUPERFICIE PIEZOMETRICA

DE MUSKAT s:f(x,z)

(NAO HA FLUXO A JUSANTE)

I H J

FENDA

INUNDADA

HJ+D

179

AhC. it

6hw .b C

Hj

d. i tt

b.it1

FENDA

r2rw(*)

IMPERMEAVEL 11 I I I(

1Hj

FENDA

if if III I /if 1111fll III//// I it fill I//// I///

d -^ bc (^E) Fora de eecala

0 10 20 30 40m

ESCALA GRAFICA

Figura 3 - SOLUcAO DO CASO GERAL APLICAiVEL

AO MODELO DE MUSKAT

HJ

PERMEABILIDADE„k„

ELEMENTOS " DRENANTES"

COM PERMEABILIDADE

kd >> k

0 20 40 60 80m

ESCALA GRAFICA

Figura 4 - MALHA DE ELEMENTOS FINITOS RESPONSAVELPOR MAUS RESULTADOS

180

POSIc40 CORRETA

DA LINHA FREATICA

0 20 40 60 80m

ESCALA GRAFICA

Figura 5 - DIAGRAMAS IMPROPRIOS PARA CALCULOS DE ESTABILIDADEOU ANALISE DE TENSOES DO CONJUNTO ESTRUTURA - FUNDACAO

181

0 20 40

ESCALA GRAFICA

ON 2 NO ONDE RESULTA A PRESSAO SD

kd z PERMEABILIDADE DO DRENO UNITARIO

t = DIMENSAO ARBITRARIA

F igura 6 - METODO DO DRENO UNITARIO APLICADO AOMODELO DE MUSKAT - MALHA DE ELEMENTOS ( exemplo)

6Om

182