(x (x,y) (xi )) -...

Gráficos

Funções e Calculadoras Gráficas: análise de algumas inferências erróneas

107

5 Gráficos

5.1 Introdução

Dada uma função real de variável real16 f , o gráfico desta função é o

conjunto de pontos ( )yx, , onde x pertence ao domínio da função e ( )xfy = ,

ou seja,

( ) ( ){ }xfyDxyxG f =∧∈= :, .

A representação gráfica da função f produzida por uma calculadora

gráfica corresponde a um conjunto de pontos ( )( )ii xfx , , ni ...,1,0= . Como o

conjunto G é infinito, o gráfico da função f não poderá ser completamente

representado no ecrã da calculadora. Assim, em determinados casos, poderá

não ser possível encontrar uma representação computacional do gráfico da

função que permita analisar o seu comportamento global. Isto acontece, por

exemplo, quando o domínio ou o contradomínio da função são conjuntos não

limitados de números reais.

Se considerarmos, por exemplo, uma função f real de variável real,

contínua num intervalo [ ]ba, , então o gráfico de f é uma curva contínua que

deveria ser traçada “sem levantar o lápis do papel”. No entanto, esta “curva”

16 As máquinas Texas Instruments TI – 92 e Casio ClassPad 300 permitem a representação de funções de duas variáveis reais. No entanto, este assunto não será abordado uma vez que não faz parte do programa do Ensino Secundário.

Gráficos


108

traçada numa calculadora gráfica é na realidade um conjunto finito de pontos

que muitas vezes poderá ser uma representação pouco fiável da curva

verdadeira. A selecção do conjunto de pontos ( )( )ii xfx , desempenha por

conseguinte um papel essencial no estudo da função.

5.2 Representação gráfica de funções

Quer nos computadores quer nas calculadoras gráficas, os gráficos das

funções são representados num rectângulo ou janela de visualização. Se

escolhermos as variações de x de aX =min até bX =max e os valores de y de

cY =min até dY =max , então a parte do gráfico que está no rectângulo é

[ ] [ ] ( ){ }dycbxayxdcba ≤≤≤≤=× ,:,,, .

A definição do rectângulo de visualização é um aspecto fundamental na

obtenção da representação gráfica de uma função. Um conhecimento prévio

das características da função permite escolher o rectângulo de visualização

mais apropriado. Se a janela não for adequada, pode não ser possível detectar

descontinuidades da função, pontos de intersecção com os eixos coordenados,

extremos da função, variação da função, etc. A visualização gráfica das

principais propriedades de uma função exige normalmente que se observe

mais do que uma representação gráfica da função, o que corresponde a definir

várias janelas de visualização na calculadora. Em casos mais complicados,

mesmo com a definição de diversas janelas, este objectivo pode não ser

possível.

Vejamos as características principais de cada uma das máquinas

utilizadas neste estudo no que se refere à representação gráfica de funções.

Gráficos


109

5.2.1 Texas Instruments TI – 83 Plus

Nesta máquina, a janela de visualização é a parte do plano de

coordenadas definidas por minX , maxX , minY e maxY ([67]).

A distância entre as marcas é definida por Xscl (escala de X) no eixo

dos xx e Yscl (escala de Y) no eixo dos yy .

A opção Xres define a resolução de pixels17 (de 1 a 8) apenas para

gráficos de funções. A predefinição é 1. Esta calculadora possui 95 pixels

“horizontais” por 63 pixels “verticais”, num total de 5985 pixels. Em 1=Xres , a

função é calculada em cada pixel no eixo dos xx . Em 8=Xres , as funções são

calculadas e traçadas de oito em oito pixels ao longo do eixo dos xx , ou seja,

são calculados somente 12 pontos pertencentes ao gráfico e portanto a

precisão é muito menor. É claro que quantos mais pixels tiver o écran, melhor

será a sua resolução e apresentação gráfica.

As variáveis X∆ e Y∆18 definem a distância do centro de um pixel ao

centro de qualquer pixel adjacente num gráfico (precisão do gráfico). X∆ e Y∆

são calculados a partir dos valores de minX , maxX , minY e maxY no momento da

visualização do gráfico.

Dado o rectângulo de visualização do [ ] [ ]maxminmaxmin ,, YYXX × , a máquina

calcula 94

minmax XXX

−=∆ e

62

minmax YYY

−=∆ . Nestas condições, o gráfico de

uma função será um subconjunto dos pontos ( )ji yx , tal que XiXxi ∆+= min ,

com 94,...,1,0=i e YjYy j ∆+= min , com 62,...,1,0=j . Nesta máquina, o gráfico

de uma função terá no máximo 95 pontos.

Uma das principais limitações da calculadora gráfica é que o que é

visualizado no écran está condicionado pela janela de visualização que é

definida. Assim, o que poderia ser uma das grandes vantagens da calculadora

gráfica – fornecer uma ideia global do comportamento de uma função – nem

sempre é conseguido.

17 A palavra pixel é a contracção das palavras Picture Element, ou seja, elemento de imagem. 18 Itens 8 e 9 no menu secundário VARS(1:Window) X/Y.

Gráficos


110

Para representar o gráfico de uma função f , para cada valor de ix , a

máquina calcula a imagem correspondente ( )ixf . Os pontos representados no

ecrã são aqueles cuja ordenada está dentro dos limites do intervalo [ ]maxmin ,YY .

No caso de ( )ixf não coincidir com nenhum dos valores jy , a calculadora

escolhe o valor mais próximo com um erro inferior a Y∆ (o que faz com que

algumas zonas da representação do gráfico sejam visualizadas como

segmentos de recta horizontais).

Se a calculadora estiver a trabalhar em Mode Dot apenas os pixels

correspondentes aos pontos ( )( )ii xfx , são “acesos”; se estiver a trabalhar em

Mode Connected a calculadora “une os pontos através de segmentos de recta”

e, neste caso, “acende” mais pixels para efectuar essa ligação (o que pode

fazer com que algumas zonas do gráfico sejam visualizadas como segmentos

de recta verticais). Vejamos um exemplo.

Exemplo 1

Seja f a função real de variável real definida por

( ) 2xxf = .

Consideremos o rectângulo de visualização [ ] [ ]1.3,1.37.4,7.4 −×− . Então

1.0=∆X e 1.0=∆Y e o conjunto de pontos ( )ji yx , disponível para representar

o gráfico da função f é tal que ixi 1.07.4 +−= , com 94,...,1,0=i e

jy j 1.01.3 +−= , com 62,...,1,0=j . Na tabela 5.1 encontram-se alguns dos

59856395 =× pontos que a máquina disponibiliza para o gráfico da função f .

Gráficos


111

ixi 1.07.4 +−= jy j 1.01.3 +−= ( )ji yx ,

0,0 == ji 7.40 −=x 1.30 −=y ( )1.3,7.4 −−

0,1 == ji 6.41 −=x 1.30 −=y ( )1.3,6.4 −−

0,2 == ji 5.42 −=x 1.30 −=y ( )1.3,5.4 −−

... ... ... ...

0,94 == ji 7.494 =x 1.30 −=y ( )1.3,7.4 −

1,0 == ji 7.40 −=x 0.31 −=y ( )0.3,7.4 −−

1,1 == ji 6.41 −=x 0.31 −=y ( )0.3,6.4 −−

1,2 == ji 5.42 −=x 0.31 −=y ( )0.3,5.4 −−

... ... ... ...

1,94 == ji 7.494 =x 0.31 −=y ( )0.3,7.4 −

... ... ... ...

62,94 == ji 7.494 =x 1.362 =y ( )0.3,7.4

Tabela 5.1

Neste caso, a máquina calcula as imagens de ixi 1.07.4 +−= , com 94,...,1,0=i

e marca os pontos desde que a ordenada seja tal que ( ) 1.31.3 ≤≤− ixf , ou

seja, a máquina considera apenas 7.17.1 ≤≤− ix uma vez que ( ) 89.20 ≤≤ ixf ,

como podemos observar nas tabelas seguintes:

Gráficos


112

Assim, a máquina só irá marcar correctamente os pontos ( )1,1− , ( )0,0 e ( )1,1 .

Todos os outros 32 pontos terão de ser aproximados. Vejamos o gráfico da

função obtido no modo Connected e no modo Dot (foram excluídos os eixos):

Fig. 5.1 – Gráfico de f no modo Connected Fig. 5.2 – Gráfico de f no modo Dot

Após uma análise atenta destes dois gráficos podemos verificar que:

• os pontos de abcissa ix 1.0,0,1.0,2.0 −− e 2.0 têm todos ordenada igual a

zero (uma vez que o valor de jy mais próximo é zero; para 3.0±=x , cuja

imagem é 09.0 o valor de jy mais próximo já é 0.1), por conseguinte, a

representação gráfica desta função sugere que f é constante para

2.02.0 ≤≤− x ;

• a utilização do modo Connected, para criar a ilusão da função ser contínua,

leva à existência de segmentos de recta verticais e portanto, o gráfico deixa

de representar uma função.

• a janela utilizada não é a mais adequada uma vez que utiliza somente 35

dos 95 pontos disponíveis.

Considerando a janela de visualização (obtida utilizando o ZoomFit –

definiremos posteriormente esta janela)

Gráficos


113

obtemos, no modo Dot, o seguinte gráfico:

Fig. 5.3 – Gráfico de f no modo Dot

Com esta janela já são utilizados os 95 pontos disponíveis. ‡

Esta calculadora possui alguns rectângulos de visualização

pré-definidos que são seleccionados no menu ZOOM:

- ZDecimal (gráfico com a mesma escala nos dois eixos, isto é,

monométrico)

Gráficos


114

- ZTrig (janela trigonométrica – modo radianos, é adequada para as

funções trigonométricas)

- ZStandard

- ZSquare (altera uma janela existente numa outra com a mesma escala

nos dois eixos).

No menu ZOOM existem ainda dois outros comandos: o comando

ZoomStat e o comando ZoomFit. O primeiro, com interesse para a estatística,

define uma janela adequada aos dados introduzidos e o segundo, com

interesse para as funções, define uma janela ajustada à função em estudo.

Normalmente a janela de visualização obtida com o ZoomFit é a mais

adequada (como vimos no exemplo anterior); no entanto, este Zoom nem

sempre nos dá a janela mais apropriada para termos uma ideia das

características da função (ver exemplo 3). Em qualquer dos casos, observa-se

que estes permitem definir janelas diferentes para dados ou funções

diferentes. Já no caso dos comandos anteriores, cada um define sempre a

mesma janela de visualização, independentemente dos dados ou funções

consideradas. Vejamos o exemplo do gráfico de uma função nos zoom’s mais

usuais.

Gráficos


115

Exemplo 2

Seja f a função real de variável real definida por

( ) ,ln xxf = com +ℜ∈x .

Fig. 5.4 – Gráfico de f no ZDecimal Fig. 5.5 – Gráfico de f no ZoomFit

Fig. 5.6 – Gráfico de f no ZStandard

Neste caso ambos os gráficos das figuras 5.4 e 5.5 são mais

satisfatórios do que o gráfico da figura 5.6. ‡

Exemplo 3

Consideremos a função quadrática definida por ( ) 12

1 2 += xxg , cujo

gráfico é uma parábola de vértice ( )1,0V .

Fig. 5.7 – Gráfico de f no ZDecimal Fig. 5.8 – Gráfico de f no ZStandard

Gráficos


116

Fig. 5.9 – Gráfico de f no ZoomFit

O gráfico da figura 5.9 sugere, por exemplo, que o vértice da parábola é

a origem do referencial. Por conseguinte, a janela definida pelo ZoomFit, não é

a mais indicada para ilustrar o gráfico da função g .‡

5.2.2 Casio CFX – 9850 GB Plus

As características desta máquina são muito semelhantes à da Texas

TI – 83. De facto, esta máquina também possui rectângulos de visualização,

designados por “View Window”, onde surgem minX valor mínimo, maxX valor

máximo e scaleX incremento do eixo dos xx (análogo para o eixo dos yy ). Os

rectângulos de visualização pré-definidos desta calculadora são:

- INIT: inicial (gráfico monométrico)

- TRIG: trigonométrico (modo em radianos)

Gráficos


117

- STD: standard

Nesta calculadora é também possível escolher a configuração (em Draw

Type) do gráfico: connect (os pontos são “ligados”) e plot (os pontos não são

“ligados”). Esta calculadora possui 127 por 63 pixels (num total de 8001 pixels,

ou seja, mais 2016 pixels que a Texas TI – 83).

Analogamente à Texas TI – 83, é também possível definir uma janela

que utiliza o maior número de pontos (neste caso 127), através dos comandos

Zoom Auto.

5.3 Limitações da calculadora gráfica

Existem diversas situações em que os gráficos na calculadora poderão

levar a vários enganos. Nesta secção pretendem-se ilustrar algumas das

limitações que devemos ter em conta quando recorremos às capacidades

gráficas das calculadoras. É muito importante que quer o professor quer o

aluno tenham consciência deste facto, para que não tirem conclusões

erróneas. Como refere M. Consciência ([12]),

a principal limitação da calculadora ao construir a representação do

gráfico de uma função prende-se com a resolução do écran, uma vez

que se passa de uma “aritmética contínua” para uma aritmética

discreta” e, portanto, não se sabe qual o comportamento da função

para os valores de x entre dois pixels consecutivos. Esta limitação faz

com que se possam visualizar representações do gráfico bastante

distintas para uma mesma função.

Gráficos


118

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1

Consideremos a função 424612)( 23 −+−= xxxxf ([64] p. 31), cuja

representação gráfica, com o rectângulo de visualização ZDecimal é (gráfico

obtido na Texas TI – 83):

Fig. 5.10 – Gráfico de f no ZDecimal

Utilizando o ZoomFit obtemos o seguinte gráfico:

Fig. 5.11 – Gráfico de f no ZoomFit

Certamente estes não são os rectângulos de visualização mais adequados.

Para encontrar o rectângulo de visualização que permite um melhor

conhecimento da função é necessário conhecer a imagem de alguns objectos

da função. Por exemplo, se definirmos que 103 ≤≤− x , entre que valores varia

y ? Para isso recorremos à opção Table que permite determinar o valor da

função para determinados objectos:

Gráficos


119

E portanto, podemos concluir que 218315 ≤≤− y . Assim sendo podemos

utilizar, por exemplo, o rectângulo de visualização [ ] [ ]150,20010,3 −×− :

Fig. 5.12 – Gráfico de f em [ ] [ ]150,20010,3 −×−

Por comparação com os gráficos das figuras 5.10 e 5.11, o gráfico

obtido agora com esta janela de visualização dá-nos uma ideia melhor do

comportamento global da função; é curioso observar que um destes gráficos

se aproxima de uma recta vertical (figura 5.10) enquanto que o gráfico da

figura 5.12, por exemplo, sugere que para 9.52.2 << x , o gráfico é horizontal.

Estas duas situações surgem pelas razões já apontadas no exemplo 1 da

secção 5.2.1. ‡

No exemplo anterior foi possível encontrar um rectângulo de

visualização que permite ter uma ideia do comportamento global da função. No

entanto isto nem sempre é possível, como ilustra o exemplo seguinte.

Exemplo 2

Como representar graficamente a função polinomial do terceiro grau que

tem raízes 0=x , 1=x e 300=x , em que o coeficiente do termo de grau 3 é

Gráficos


120

igual a 1? ([64] p. 20) Por outras palavras, como representar graficamente a

função

( )( )3001)( −−= xxxxf ?

Apresentam-se a seguir os gráficos obtidos na Casio CFX – 9850:

Fig. 5.13 - Gráfico de f na janela STD Fig. 5.14 - Gráfico de f na janela INIT

Fig. 5.15 - Gráfico de f na janela Zoom Auto

Em nenhuma destas janelas foi possível ter uma ideia do

comportamento global da função. De facto, uma vez que esta função possui os

três zeros “muito afastados”, não é possível obter uma representação gráfica

que inclua simultaneamente os zeros; para captar no gráfico os três zeros de

f , tem de ser 0min ≤X e 300max ≥X e portanto o espaçamento entre os

pontos é 2362.2127

300>≈≥∆X . Então, neste caso, não é possível representar

simultaneamente os zeros 0=x e 1=x , como podemos constatar no gráfico

da figura 5.16.

Fig. 5.16 - Gráfico de f na janela [ ] [ ]66 106,104350,100 ××−×−

Gráficos


121

Este gráfico que parece permitir ter uma ideia do comportamento global

da função no que diz respeito aos extremos, leva-nos a uma conclusão errada:

o zero é um máximo relativo.

Fig. 5.17 - Gráfico de f em [ ] [ ]100,102,1 −×−

De facto, considerando uma janela de visualização mais apropriada,

verificamos que o máximo da função é 875.742

1=

f (figura 5.17). ‡

Assim sendo, é necessário recorrer a diversos rectângulos de

visualização, estudando a função por partes, para se poderem conhecer as

características gerais da função.

Os alunos deverão ser sempre incentivados a experimentar diversos

rectângulos de visualização e a ter em conta as propriedades conhecidas ou

que decorrem da expressão analítica das funções que estão a estudar.

Em certos casos, o gráfico poderá levar a concluir que alguns valores

pertencem ao domínio da função quando isso não acontece. É muito

importante que desde o princípio os alunos sejam confrontados com exemplos

que lhes permitem perceber a vantagem da informação dada pela expressão

analítica da função, como podemos constatar pelos exemplos 3, 4 e 5. De um

modo geral, nem as calculadoras, nem o software para gráficos em

computador, desenham as assimptotas ou assinalam os domínios com as

convenções estabelecidas.

Gráficos


122

Exemplo 3

As calculadoras apresentam o gráfico da função ( )xy int= , função

característica de x , por vezes denotada por ( )xC , que a cada número real x

faz corresponder o maior inteiro não superior a x , com o seguinte aspecto

([64] p. 32):

Fig. 5.18 - Gráfico obtido na Texas TI – 83 com a janela ZDecimal

O gráfico sugere que a função é contínua e isto resulta do facto da

calculadora unir os pontos quando se utiliza a opção no modo Connected. Para

se obter uma representação gráfica mais correcta, é necessário colocar a

calculadora em modo Dot, chamando a atenção dos alunos para este facto.

Obtemos assim a seguinte representação:

Fig. 5.19 - Gráfico da função com a janela ZDecimal

No entanto, este ainda não é o gráfico correcto de ( )xy int= , pelo que

os alunos deverão corrigi-lo apresentando o gráfico:

Gráficos


123

Fig. 5.20 - Gráfico da função ( )xy int= ‡

Exemplo 4

Para a função 1

2

+

+=x

xxy de domínio { }1\ −ℜ , a calculadora apresenta

um gráfico igual ao de xy = de domínio ℜ (figura 5.21 - gráfico realizado com

a Casio CFX – 9850 19), excepto se 1−=x for um dos valores ix da janela de

visualização, como se pode apreciar na figura 5.22.

Fig. 5.21 - Gráfico da função na janela standard Fig. 5.22 - Gráfico da função na janela inicial

Nestes casos, os alunos deverão corrigir as representações gráficas

fornecidas pela calculadora, introduzindo nomeadamente a bola aberta nos

pontos que não pertencem ao domínio.

No entanto, qualquer que seja o rectângulo de visualização, estamos

sempre a representar uma curva contínua por um conjunto discreto de pontos

e isto é claro tem consequências importantes. Por exemplo ([54]),

consideremos a função definida por

19 Com a máquina Texas TI – 83 obtinham-se gráficos semelhantes.

Gráficos


124

( )( )( )

( )221

−

−−=

x

xxxg .

Apresentam-se a seguir o gráfico da função obtido pelas duas máquinas

utilizadas neste trabalho.

Fig. 5.23 - Gráfico de g na Casio CFX-9850 Fig. 5.24 - Gráfico de g na Texas TI - 83

Temos que o gráfico de g é a recta 1−= xy “puncturada” no ponto de

abcissa 2 . Uma vez que 2=x não é uma das abcissas dos pontos do

gráfico, é claro que a calculadora não detectará a descontinuidade (figuras

5.23 e 5.24).‡

Exemplo 5

Consideremos agora a função ( )3

2

−

+=x

xxf , de domínio { }3\ℜ , cujo

gráfico possui uma assimptota vertical de equação 3=x . Representando esta

função nas duas máquinas utilizadas neste trabalho e utilizando a janela

standard, obtemos resultados diferentes (figuras 5.25 e 5.26).

Fig. 5.25 - Gráfico de f na Casio CFX - 9850 Fig. 5.26 - Gráfico de f na Texas TI - 83

Por que razão surge na máquina Texas TI – 83 um segmento de recta

vertical? Como o gráfico da função foi obtido com o Mode Connected (para dar

Gráficos


125

a ideia da função ser contínua, como já foi referido), a calculadora “une” os

pontos calculados. Assim, uma vez que a função f admite uma assimptota

vertical em 3=x , a máquina calcula as imagens dos valores de x próximos

de 3. Neste caso, para 9787234.2≈x tem-se 234−=y e para 1914894.3≈x

tem-se )1.(27=y . Ao efectuar a ligação destes dois pontos surge aquele

segmento de recta vertical. É de notar que a máquina não apresenta o

segmento de recta pelo facto do gráfico da função possuir uma assimptota

vertical. De facto, utilizando o modo Dot (figura 5.27) ou mesmo com a escolha

de um outro rectângulo de visualização (figura 5.28), já não surge no ecrã da

calculadora um segmento de recta vertical.

Fig. 5.27 - Gráfico de f obtido pela Texas TI – 83 no Mode Dot

Fig. 5.28 - Gráfico de f obtido pela Texas TI – 83 com a janela [ ] [ ]30,307.6;7.2 −×−

Fig. 5.29 - Gráfico da função f obtido pela Casio CFX – 9850

O aparecimento do segmento de recta vertical não surge somente na

máquina Texas TI – 83. De facto, considerando na Casio CFX – 9850 a função

Gráficos


126

f , com a janela de visualização [ ] [ ]40,4010,10 −×− obtemos o gráfico da

figura 5.29. ‡

Os alunos deverão ser alertados para os casos em que as duas

máquinas apresentam gráficos distintos (já ilustrado pelo exemplo anterior). De

facto, apesar da construção do gráfico ser semelhante, o número de pixels

disponível por cada uma das máquinas é diferente. Vejamos exemplos

ilustradores deste aspecto.

Exemplo 6

Consideremos a função real de variável real ( ) 236 xxf −= , com

[ ]6,6−=D e [ ]6,0' =D (em [64] p. 34 surge um exemplo semelhante, não

sendo todavia apresentada uma justificação pormenorizada e não havendo

qualquer comparação entre as duas máquinas).

A representação gráfica desta função é uma semicircunferência de

centro na origem e raio 6. No entanto, a representação gráfica obtida, com a

janela standard, só está correcta na Texas TI – 83 (figuras 5.30 e 5.31). Assim

não poderíamos, por exemplo, determinar o domínio e o contradomínio desta

função com base na análise da representação gráfica obtida na Casio

CFX – 9850.

Fig. 5.30 - Gráfico da função f na Casio CFX – 9850 Fig. 5.31 - Gráfico da função f na Texas TI -83

Qual a razão pela qual o gráfico da função obtido na Casio CFX – 9850

não intersecta o eixo das abcissas nos pontos 6=x e 6−=x ? Isto deve-se ao

facto dos zeros da função não corresponderem a nenhum dos valores ix . De

Gráficos


127

facto, com a janela [ ] [ ]10,1010,10 −×− , tem-se 63

1010 ixi +−= , com 126,...,0=i .

Para 6−=x , por exemplo, tinha-se que 2,25=i . Uma vez que a função não

está definida à esquerda de 6− escolhe-se 26=i e portanto,

873.563

37026 −≈−=x (figura 5.32).

Fig. 5.32 - Gráfico da função f na Casio CFX – 9850

Se considerarmos, por exemplo, a janela inicial (onde 6=x e 6−=x

são dois dos valores de ix disponíveis), a representação gráfica obtida já nos

mostra os zeros da função (figura 5.33).

Fig. 5.33 - Gráfico da função f na Casio CFX – 9850

É claro que também podemos constatar que a forma da representação

gráfica sugerida é a de uma elipse. Esta situação deve-se ao facto de

YX ∆≠∆ , podendo todavia ser corrigida utilizando o zoom Zsquare (na Texas

TI – 83) ou o ZoomSQR (na Casio CFX – 9850). ‡

Gráficos


128

Exemplo 7

Consideremos a função trigonométrica ( )xxf 48cos)( = ([12]). Com o auxílio

da calculadora gráfica e, utilizando a janela trigonométrica20, poderemos

deduzir qual o período desta função? Vejamos o gráfico da função obtido nas

duas máquinas que estamos a utilizar neste estudo:

Fig. 5.34 - Gráfico de f na Casio CFX – 9850 Fig. 5.35 - Gráfico de f na Texas TI – 83

Claramente, o gráfico obtido pela Texas TI – 83 não nos dá uma visão

correcta do gráfico da função. Porque é que isto ocorreu? Na janela

trigonométrica da Texas TI – 83 tem-se 152285613.6min −=X e

152285613.6max =X . Então 13.094

30457123.12≈=∆X e, por conseguinte,

ixi 13.0152286.6 +−≈ . Como o período mínimo positivo da função é

13.048

2≈

π=p , então, para cada pixel ix , tem-se ( ) 1=ixf .

Para obtermos um gráfico mais apropriado na Texas TI – 83, teríamos

de escolher uma janela de visualização em que X∆ fosse suficientemente

pequeno para se poder “captar” o período da função (figura 5.36).

Fig. 5.36 - Gráfico de f com a janela [ ] [ ]2.1,2.125.0,25.0 −×− , com 005.≈∆X

20 Ao representarmos as funções trigonométricas devemos ter sempre em consideração o modo da calculadora: graus ou radianos.

Gráficos


129

Existem diversos gráficos surpreendentes de funções trigonométricas,

como por exemplo ( )xxg 49sin)( = e ( ) ( )xxh 23cos= (figuras 5.37 a 5.40).

Fig. 5.37- Gráfico de g na Casio CFX – 9850 Fig. 5.38- Gráfico de g na Texas TI – 83

Fig. 5.39 - Gráfico de h na Casio CFX – 9850 Fig. 5.40 - Gráfico de h na Texas TI – 83

Todavia, em todos estes exemplos é possível escolher uma janela

apropriada de modo a ter uma visão correcta do gráfico da função. No entanto,

esta solução nem sempre é possível. ‡

Um outro aspecto a ter em consideração, quando se trabalha com uma

calculadora gráfica, diz respeito ao modo como as funções são calculadas nas

máquinas. Apesar de não ter sido possível ter conhecimento, uma vez que os

manuais de ambas as máquinas não referem, presume-se que o modo de

construção das diversas funções é muito semelhante. Contudo, como

podemos verificar pelo exemplo seguinte, existe uma função para a qual a

afirmação anterior não é verdadeira.

Exemplo 8

Consideremos a função ( ) 32

xxf = (exemplo apresentado em [1] com a

máquina Texas Instruments TI-81, não havendo qualquer comparação com

Gráficos


130

uma máquina da marca Casio) e representemos graficamente usando as duas

máquinas gráficas. Temos

Fig. 5.41 - Gráfico de f na Casio CFX – 9850 Fig. 5.42 - Gráfico de f na Texas TI – 83

Ou seja, o gráfico obtido pela Casio CFX – 9850 não está correcto, uma

vez que nesta máquina, para 0>x , 32

x é calculado como ( ) xe

ln32

e xln não

está definida para 0<x . A Texas TI – 83, deverá utilizar uma das seguintes

expressões 2

31

= xy ou ( ) 3

12xy = .

Fig. 5.43 - Gráfico de f obtido pela Casio CFX – 9850 ‡

Existem funções cuja representação gráfica não é possível realizar numa

calculadora ou num computador. Vejamos um exemplo que ilustra o que acaba

de ser afirmado.

Exemplo 9

Consideremos a função ℜ→ℜ:g , definida por

( )

∉−

∈=

Qxse

Qxsexg

1

1.

Gráficos


131

Uma vez que na calculadora todos os valores de ix são racionais, a ser

possível representar graficamente esta função, o seu gráfico seria a recta

1=y . Assim sendo, a função seria, por exemplo, contínua e diferenciável em

todo o seu domínio!‡

Em síntese, todos os exemplos apresentados levam a concluir que os

gráficos obtidos através das máquinas gráficas podem ajudar à compreensão

do gráfico de uma função, mas deverão ser cuidadosamente interpretados.

Não nos devemos esquecer que um dos grandes trunfos do cálculo é a

possibilidade de analisar o gráfico de uma função sem recorrer aos

computadores ou calculadoras e sem determinar muitos pontos desse gráfico.

Como refere R. Ralha ([54]) a utilização de ferramentas computacionais

deverá ser efectuada com cautela, pois apesar de serem

uma ajuda preciosa no estudo de funções (...) não podemos confiar

cegamente nos resultados que nos oferecem, sejam eles numéricos ou

gráficos.

Gráficos


132

(x (x,y) (xi )) -...

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