introduÇÃo Às operaÇÕes com calculadoras hp48 · prefácio esta apostila foi elaborada a...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE SISTEMAS QUÍMICOS

INTRODUÇÃO ÀS OPERAÇÕES COM CALCULADORAS HP48 ©

Prof. José Vicente Hallak d’Angelo

Campinas - SP Julho/2004

Prefácio

Esta apostila foi elaborada a partir do material desenvolvido para o curso de

“Introdução às Operações com Calculadoras HP” oferecido aos alunos do curso de

Engenharia de Alimentos do Centro Universitário de Belo Horizonte (Uni-BH), em maio de

2001. Não se trata meramente de uma tradução do manual das calculadoras HP. Ela

aborda as principais aplicações e operações que podem ser realizadas em uma

calculadora HP (modelos 48G/G+/GX) utilizando exemplos da área de engenharia, de

modo a despertar o interesse dos alunos para o seu uso e para as disciplinas do curso.

Embora já existam modelos mais recentes, como as calculadoras da linha HP49, as

informações contidas neste material continuam válidas e podem ser utilizadas sem

problemas.

O principal objetivo do curso que foi desenvolvido foi fazer com que os alunos

passassem a utilizar com mais freqüência a calculadora científica, como um instrumento

de trabalho diário, aprendendo a manipulá-la correta e adequadamente, através de

demonstrações e exemplos simples, permitindo ao aluno dedicar maior tempo ao

raciocínio e compreensão dos exercícios e análise dos resultados obtidos, em problemas

das diversas disciplinas do curso de engenharia, reduzindo o tempo gasto com cálculos.

Ao incentivar o uso de uma calculadora científica, ao contrário do que possa

parecer, promove-se ainda mais o desenvolvimento do raciocínio e da capacidade crítica

dos alunos, pois os mesmos poderão realizar diversos cálculos em um curto intervalo de

tempo, podendo realizar uma análise dos problemas, sob o ponto de vista da engenharia.

Assim, a calculadora torna-se um instrumento indispensável na busca de melhores

soluções. Além do mais, os alunos estarão se atualizando com uma ferramenta de

trabalho que certamente os tornará mais competitivos perante o mercado de trabalho.

Este é um material que estará em constante atualização, para atender da melhor

maneira possível os objetivos propostos. Nesse sentido, toda e qualquer sugestão para a

melhoria/correção do conteúdo dessa apostila será sempre bem-vinda por parte do autor.

S U M Á R I O Conteúdo Página

1 – Noções Básicas ....................................................................................................................... 1 1.1 – Organização do visor.............................................................................................................. 1 1.2 – A pilha operacional................................................................................................................. 2 1.3 – A linha de comando............................................................................................................... 2 1.4 – Organização do teclado........................................................................................................... 2 1.4.1 – Teclado alfabético.................................................................................................. 3 1.4.2 – Caracteres especiais................................................................................................ 3 1.4.3 – Teclas de cursor...................................................................................................... 4 1.5 - Delimitadores......................................................................................................................... 4 2 – Operações Básicas.................................................................................................................... 5 2.1 – Soma, subtração, multiplicação, divisão.................................................................................... 5 2.2 – Exponenciação e radiciação..................................................................................................... 6 2.3 – Cálculos com expoentes fracionários, negativos e potências de 10............................................. 7 3 – Modos da HP........................................................................................................................... 9 3.1 – Modos do visor...................................................................................................................... 9 3.2 – Modos de ângulos.................................................................................................................. 10 3.3 – Modos de coordenadas........................................................................................................... 10 3.4 – Beep, relógio, data e marcação decimal.................................................................................... 11 3.5 – Flags ................................................................................................................................... 12 4 – Diretórios e Variáveis................................................................................................................ 12 4.1 – Criação de diretórios.............................................................................................................. 13 4.2 – Criação e armazenamento de variáveis...................................................................................... 14 4.3 – Seleção, edição e recuperação de variáveis............................................................................... 16 4.4 – Cópia, transferência e eliminação de variáveis........................................................................... 17 5 – Editor de Equações................................................................................................................... 19 5.1 – Construindo equações............................................................................................................ 19 6 – Editor de Matrizes..................................................................................................................... 22 6.1 – O ambiente Matrix Writer........................................................................................................ 22 6.2 – Sistema de equações lineares.................................................................................................. 25 6.3 – Operações básicas com matrizes.............................................................................................. 26 7 – Unidades................................................................................................................................. 27 7.1 – O aplicativo UNITS................................................................................................................. 27 7.2 – Menu de unidades.................................................................................................................. 27 7.3 – Conversão de unidades........................................................................................................... 29 7.4 – Cálculos com unidades........................................................................................................... 30 8 – Funções Matemáticas................................................................................................................ 33 8.1 – Funções pré-definidas............................................................................................................. 33 8.2 – Constantes simbólicas............................................................................................................ 33 8.3 – Funções definidas pelo usuário................................................................................................ 34 8.4 – Integração e derivação............................................................................................................ 36 8.4.1 – Integrais indefinidas................................................................................................. 36 8.4.2 – Integrais definidas................................................................................................... 37 8.4.3 – Derivada simbólica.................................................................................................. 38 8.4.4 – Derivada numérica................................................................................................... 39 9 – Raízes de Equações................................................................................................................... 40 9.1 – O aplicativo Solve Equation..................................................................................................... 40 9.2 – Raízes de polinômios.............................................................................................................. 43 9.3 – Resolvendo um sistema de equações lineares............................................................................ 44 9.4 – SOLVR, um ambiente alternativo.............................................................................................. 45 9.5 – Equações quadráticas............................................................................................................. 46 10 – Plotagem de Gráficos e Análise de Funções................................................................................ 47 10.1 – O aplicativo PLOT................................................................................................................ 47 11 – Probabilidade e Estatística........................................................................................................ 51 11.1 – O aplicativo STAT................................................................................................................ 51 12 – A Biblioteca de Equações......................................................................................................... 55 12.1 – O aplicativo Equation Library................................................................................................. 55 12.2 – Utilizando a Biblioteca de Equações........................................................................................ 57 Anexo – Funções Acessadas Diretamente pelo Teclado da HP 48......................................................... 58

Introdução às Operações com Calculadoras HP © 1

1 – Noções Básicas

1.1 – Organização do visor Na maior parte das operações realizadas com as calculadoras HP48 G/G+/GX o visor pode

ser dividido em três seções, conforme mostra a figura abaixo. Esta configuração é denominada visor da pilha.

Os rótulos de menu ficam localizados na parte inferior do vpressionando-se as teclas brancas que ficam localizadas imediatamentetecla aciona um único menu, que é aquele que está diretamente acima da

A área de estado apresenta as seguintes informações: • anunciadores: indicam o estado da calculadora (vide tabela abaixo); • diretório atual: indica o diretório em que se encontram as variáveis d

menu. Os diretórios dividem a memória em partes, tais como arquivos • mensagens: informam ao usuário quando um erro ocorre ou f

informação para ajudar ao usuário a utilizar a calculadora de modo ma

Tipos de Anunciadores Utilizados pela HP.

Símbolo Significado Símbolo S

% Shift-esquerdo ativado R ~ Z Modo de coopolares/cilínd

^ Shift-direito ativado R~~ Modo de coopolares/esfér

α Teclado alfabético ativado HALT Execução do

((•)) Alerta: bateria fraca 1 2 3 4 5Indica qual oativado

Ocupado – incapaz de receber nova entrada 1 USR

Teclado do uuma operaçã

Transmitindo dados para um dispositivo externo USER Teclado do u

RAD Módulo de ângulo em radiano ativado ALG

Modo algébrativado

GRAD Modulo de ângulo em grado ativado PRG Modo de pro

l

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Área de estado

Rótulos de menu
Linha de comandos
Pilha

Diretório atua

isor e são acionados abaixo do visor. Cada mesma.

ispostas nos rótulos de em um disquete; ornece qualquer outra is eficiente.

ignificado

rdenadas ricas ativado rdenadas icas ativado programa interrompida flag do usuário está

suário ativado para o

suário ativado

ico de entrada de dados

gramação ativado

Introdução às Operações com Calculadoras HP © 2 1.2 – A pilha operacional

A pilha operacional é um conjunto de endereços de armazenamento de memória para

números e outros objetos. Estes endereços são chamados de níveis 1, 2, 3, etc da pilha. O número de níveis muda de acordo com a quantidade de objetos armazenados na pilha, desde nenhum até centenas.

Quando a pilha se encontra vazia, o visor mostra seus quatro primeiros níveis, conforme a figura abaixo.

Na medida em que números ou objetos são colocados na pilha, a mesma cresce para poder acomodá-los, os novos dados ocupam o nível 1 da pilha e os demais sobem um nível cada um. Quando se utilizam dados da pilha, por exemplo realizando algum cálculo, os níveis da pilha decrescem e os dados descem na pilha. As figuras abaixo mostram exemplos de acomodação de dados na pilha operacional.

Tela com três níveis da pilha. Na linha inferior (linha de comando), o valor 25

está sendo digitado.

Tela com quatro níveis da pilha. Sendo que o valor 25 ocupa o nível 1 após ter entrado na pilha e os demais

subiram um nível.

Tela com quatro níveis da pilha, mostrando do 2o ao 5o nível.

1.3 – A linha de comando

A linha de comando aparece sempre que o usuário começa a teclar ou editar um texto. As

linhas da pilha sobem um nível de modo a criar um ambiente que é ocupado pela linha de comando. Se mais de 21 caracteres forem teclados, a informação irá rolar para o lado esquerdo do visor e reticências irão aparecer, indicando que existem mais informações naquela direção (vide figura).

1.4 – Organização do teclado O teclado da HP possui 6 níveis de funções, cada uma contendo um conjunto diferente de

teclas. Esses 6 níveis são classificados da seguinte maneira: a) Teclado primário: representado pelos rótulos impressos no primeiro plano de cada

tecla. Ex: os números de 0 a 9, as quatro operações básicas, as setas de deslocamento, etc.

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Introdução às Operações com Calculadoras HP © 3 b) Teclado com shift-esquerdo: é ativado pressionando-se a tecla púrpura %. As

teclas de shift-esquerdo são impressas em púrpura e se localizam acima e à esquerda da sua tecla primária correspondente.

c) Teclado com shift-direito: é ativado pressionando-se a tecla verde .̂ As teclas de shift-direito são impressas em verde e se localizam acima e à direita da sua tecla primária correspondente.

d) Teclado alfabético: é ativado pressionando-se a tecla ^ . As teclas alfabéticas são impressas em branco e localizadas abaixo e à direita da sua tecla primária correspondente. Os dois últimos níveis de teclado da HP são baseados nesse mesmo nível de teclado alfabético e possibilitam escrever letras minúsculas e acessar caracteres especiais (que são vistos no próximo item).

1.4.1 – Teclado alfabético Para digitar vários caracteres alfabéticos, basta pressionar ^^(tecla alfa 2 vezes) para

travar o modo de entrada alfabética (isso irá depender do estado do flag -60). Digite os caracteres e depois pressione ^novamente para destravar. Pode-se também manter pressionada a tecla ^ , digitar os caracteres e, em seguida, soltar a tecla ^ . Para obter letras minúsculas, pressionar a tecla ^seguida da tecla %. Abaixo são apresentados alguns resultados que se obtém no visor da HP após uma seqüência de teclas.

Resultados visualizados na HP após uma seqüência de teclas.

Seqüência Resultado no visor ^A ^ B ^ C ABC

^ (segure) ABC (solte) ABC

^ ^ ABC ^ ABC

^ A ^ % B ^C AbC

^ (segure) A %BC (solte) AbC

^^ A % BC ^ AbC

^^%^ ABC ^ abc

1.4.2 – Caracteres especiais As calculadoras HP 48 permitem escrever 256 caracteres diferentes. A maioria deles se encontra acessível no teclado da calculadora, mas para aqueles cuja seqüência de acesso não é tão fácil de ser memorizada, pode-se utilizar o aplicativo CHARS, que permite selecionar caracteres diretamente do visor e inseri-los na posição do cursor. Este aplicativo mostra 64 caracteres por vez, juntamente com o número de cada caractere e a seqüência de teclas usada para digitá-lo a partir do teclado. Para utilizar o aplicativo CHARS a fim de visualizar e/ou selecionar os caracteres, siga os seguintes passos: 1) Pressione ^h, irá aparecer um visor com 64 caracteres. 2) Use @-64 e @+64 para alternar entre as páginas de caracteres. 3) Utilize as teclas de setas (p, r, k, q) para selecionar um caractere. O número do

caractere selecionado é mostrado na parte inferior direita do visor e a seqüência de teclas para alcançar este número via teclado é mostrada no canto inferior esquerdo.

4) Para inserir o caractere selecionado no ponto do cursor pressione @ECHO. 5) Repita os passos 2, 3 e 4 para inserir caracteres adicionais. 6) Ao terminar pressione ! ou @CANCL para sair do aplicativo CHARS.

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Introdução às Operações com Calculadoras HP © 4 As figuras a seguir apresentam as quatro telas de caracteres especiais, 64 caracteres em

cada tela, disponíveis para serem inseridos na edição de textos, objetos, equações, etc, das calculadoras HP48.

1.4.3 – Teclas de cursor As seis teclas de cursor diferem-se das demais teclas porque seu comportamento depende do fato se o cursor se encontra visível no visor ou não. Quando o cursor estiver visível, o comportamento dessas teclas pode ser resumido da seguinte forma, de acordo com a Tabela 3 abaixo.

Comportamento das teclas de cursor.

Tecla Sem shift Shift direito p move o cursor para a esquerda move o cursor para o início r mover o cursor para a direita move o cursor para o final q move o cursor para baixo move o cursor para o fundo k move o cursor para cima move o cursor para o topo ^ deleta o caractere atual deleta todos os caracteres até o final # deleta o caractere anterior deleta todos os caracteres prévios até o início

Sempre que o cursor não estiver presente, ao se apertar uma das teclas da primeira coluna da tabela acima, a operação que será executada é aquela indicada pelo rótulo colorido que fica acima dessas teclas.

1.5 – Delimitadores Os números reais que são colocados no visor da calculadora representam um tipo de

objeto. Existem outros tipos de objeto que requerem delimitadores especiais que indicam qual o tipo de objeto que se está inserindo na calculadora. A tabela a seguir apresenta uma lista de diferentes tipos de objetos e seus delimitadores correspondentes.

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Lista de diferentes objetos e seus respectivos delimitadores.

Objetos Delimitadores Teclas Exemplos Número real nenhum - 5,78

Número complexo ( ) % / (7,32;14,5) ou (7.32,14.5)

Frase || || ̂- || Engenharia ||

Matriz [ ] % * [ 5 -7 13]

Unidade _ ̂* 45,4_m3

Programa << >> % - << ¨ x y | x*y | >>

Algébrico | | k | C+D |

Lista { } % + { 7 8,4 || VAPOR || }

Comando embutido nenhum - FIX

Nome | | k AREA ou | AREA |

2 – Operações Básicas 2.1 – Soma, subtração, multiplicação, divisão As operações básicas sempre operam com os primeiros níveis da pilha operacional, ou seja, ao entrar com os números na pilha e teclar a tecla de adição, os dois primeiros níveis serão somados. Nova operação, se for acionada, será realizada com o resultado obtido na primeira operação e o próximo número da pilha operacional. Para entrar com os dados na pilha o usuário poderá optar pelo uso da tecla ! que irá armazenar um dado em cada nível da pilha operacional ou então poderá utilizar a tecla que irá alocar os números na linha de comando, separando-os com um espaço em branco. Veja os exemplos nas figuras abaixo. Exemplo: Calcular 78 + 34 Seqüência utilizando a tecla !: Seqüência utilizando a tecla : 78 ! 34 + 78 34 + obs: note que a tecla ! deve ser acionada apenas entre números, não sendo necessária ser acionada entre o último número e a operação (a menos que o usuário deseje). Exemplo: Calcular (15 + 5) x (2 + 3)

Seqüência de teclas Visor Comentários

1 5 ! 5 +

Mostra no nível 1 da pilha o resultado da adição de 15 e 5.

2 ! 3 +

Mostra no nível 2 da pilha o resultado anterior e no nível 1 o resultado da adição de 2 e 3.

*

Mostra no nível 1 da pilha o resultado da multiplicação dos dois resultados anteriores.

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Exemplo: calcular [ (45 – 5) x (90 + 10) ] ÷ 20


45!5- Mostra no nível 1 o resultado de (45 – 5)

90 ! 10 + * Mostra no nível 1 o resultado de (45 – 5) x (90 + 10)

20 / Mostra o resultado da divisão do número anterior por 20

2.2 – Exponenciação e radiciação As teclas que realizam as operações de exponenciação e radiciação, inclusive as que operam com logaritmos (base 10 e logaritmo natural), são as seguintes: V, W (a tecla X permite obter o inverso do número que está ocupando o nível 1 da pilha) que com o acionamento das teclas de shift (% e ^) permitem acessar as demais funções, que são: 1) Elevar ao quadrado o número que está no nível 1 da pilha: % V 2) Obter a n-ésima raiz (nível 1) de um número que está no nível 2 da pilha: ^ V 3) Obter o resultado de 10 elevado ao número que está no nível 1 da pilha: % W 4) Obter o valor do logaritmo (base 10) do número que está no nível 1 da pilha: ^ W 5) Obter o resultado de e (= 2,718282...) elevado ao número que está no nível 1 da pilha: % X 6) Obter o valor do logaritmo natural (base e) do número que está no nível 1 da pilha: ^ X obs: as teclas que utilizam apenas um número, x, podem ser acionadas sem a necessidade de entrar com esse número na pilha operacional. Basta digitá-lo na linha de comando e acionar a função.

Exemplo: calcular

−−+−+

3451ln)456(567log

714 3283

e


5!9! 4^V%X+

Mostra o valor do primeiro termo da expressão do exemplo

8VX-5 78^W-

Inverte o valor da raiz quadrada de 7, soma com o resultado anterior (29,5562), obtém o log10 de 567 e subtrai dessa soma. Notar que nessa seqüência não foi feito uso da tecla !

57%V5!4W--45 5X^X-

Calcula os dois últimos termos da expressão que são adicionado e subtraído, respectivamente, obtendo o resultado final da expressão. Notar que nessa seqüência, foi preciso usar a tecla ! para elevar 4 ao cubo, pois são 2 números distintos (y e x). Nesse caso, y deverá estar um nível acima de x, para que a tecla W seja usada corretamente.

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Introdução às Operações com Calculadoras HP © 7 2.3 – Cálculos com expoentes fracionários, negativos e potências de 10

Finalizando este item de operações elementares, serão abordados os cálculos com expoentes fracionários, negativos e como escrever números em potências de 10. A tecla Y é a responsável pela troca de sinal de um número, de positivo para negativo e vice-versa. Para criar um expoente negativo, basta digitar o número desejado e em seguida trocar o seu sinal, utilizando essa tecla. Para se operar com expoentes fracionários, basta obter o valor correspondente ao expoente e depois aplicar a função W.

Exemplo: calcular 5

22

8

15 +−


5!3YW

Entra com o valor 5 (y), digita-se o valor de x (= -2) e aplica-se a função W

9!3!50WX-

Entra com a base (8) prepara o expoente dividindo 2 por 5 (=0,4), eleva a base (y) a esse resultado (x), obtendo (2,2974), inverte esse valor e soma com o resultado anterior, obtendo o valor final da expressão.

Para operar com potências de 10, faz-se uso da tecla Z, que gera na tecla um número que representa 10 elevado a um expoente qualquer. Exemplo: calcular 5x104 + 6x103 Seqüência de teclas Visor Comentários

5Z5

Digita o valor 5x104 na linha de comando, devendo digitar primeiro o número que vem antes da potência de 10 e depois o expoente.

! Entre com o valor na pilha operacional

7Z4- Digita o valor do segundo termo e faz-se a adição entre os números

OBS: quando o número que multiplica a potência de 10 for igual à unidade, pode-se utilizar a seqüência de teclas % W para se obter esse número, como uma alternativa para a seqüência 2 Z. Exemplo: calcular 1x104 + 1x103 Seqüência de teclas Visor Comentários

2Z5!2Z4-

Calcula o resultado da expressão utilizando a tecla Z

5%W!4%W-

Obtém o mesmo resultado para a expressão, utilizando a função 10x da calculadora.

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Exercícios:

Calcule os valores das seguintes expressões, utilizando as operações básicas de sua calculadora HP 48:

1) 345 – 234 + (678 – 25).(25987 ÷ 134) = 126749,1418

2) [457 – 15.(2345 ÷ 12) + 234] = - 2240,25

3) 2x104 – (5x103).(7x10-2) + 3x102 = 19950,00

4) 34 – 52 + 2/(4-3) = 184,00

5) ( )

+−+−

−

8,561log124ln

4561765 5

4

5,2e = 765,1201

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3 – Modos da HP A HP 48 opera usando muitos modos diferentes, dependendo da natureza da operação que ela está realizando. Alguns desses modos são controlados automaticamente pelos comandos selecionados e outros são determinados pelo usuário. Os aplicativos escritos em letras verdes, como SOLVE, MODES, PLOT, STAT, TIME, etc, podem ser acessados utilizando a tecla ^. Os respectivos menus de comandos desses aplicativos são acessados utilizando a tecla %. O aplicativo MODES (^ “) e seu menu de comandos correspondentes (% “) dão acesso aos modos controlados pelo usuário. Nos campos dos aplicativos onde se deve escolher uma opção, é possível usar a tecla Y ou a tecla de menu CHOOS.

a

Modo do visor para oformato numérico

o

Bip ativado Modo de ângulo

Mo(ví

3.1 – Modos do visor

O modo do visor controla a forma com que a HP48 apresenta os ndiferentes: • Modo Standard (Std) – apresenta números que usam precisão comple

significativos à direita do ponto decimal são mostrados, até 12 dígitos. • Modo Fix (Fix) – apresenta números arredondados para um númer

decimais. Números reais são apresentados no visor com separador dtrês) e as casas decimais podem ser separados do número inteiro uponto. Os números inteiros que são separados em conjuntos de trêsinverso daquele que separa as casas decimais.

• Modo Scientific (Sci) – apresenta um número em notação científica, cum dígito à esquerda do ponto decimal e um número específico de expoente.

• Modo Engineering (Eng) – semelhante ao modo Sci, sendo que os múltiplos de três.

Para definir o modo do visor:

• pressione ^ “; • selecione o campo NUMBER FORMAT; • pressione Y várias vezes para percorrer a lista de opções e pare

aparecer no campo, ou então utilize a tecla CHOOS do menu para seleciopressione @OK@. Se o formato for FIX, ENG ou SCI, pressione r, digitdecimais e pressione >;

• pressione @OK@.

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Modo de coordenad

dos de marcador de decimal rgula, ao invés de ponto)

Comando para efetuar a mudança entre os modos

Relógio desativad

úmeros, sendo 4 tipos

ta. Todos os números

o específico de casas e dígitos (de três em

tilizando-se vírgula ou , utilizam o marcador

om uma mantissa com casas decimais e um

expoentes de 10 são

quando a sua opção nar o formato e depois e o número de casas

Introdução às Operações com Calculadoras HP © 10 A tabela a seguir apresenta os diversos formatos que podem ser escolhidos para um

número.

Tela da HP 48 obtida digitando-se ^ “ e em seguida a tecla de menu @CHOOS.

Visor da HP 48 para o valor da raiz quadrada de 500 em diversos modos.

Modo Std Modo Fix com 4 casas decimais

Modo Sci com 4 casas decimais

Modo Eng com 4 casas decimais

3.2 – Modos de ângulos Os modos de ângulo da HP 48 são apresentados na Tabela 6 a seguir.

Tabela 6 – Modos de ângulos da HP 48.

Modo Definição Anunciador

Graus 1/360 de um círculo nenhum

Radianos 1/2π de um círculo RAD

Grados 1/400 de um círculo GRAD

Para efetuar a mudança entre estes modos, basta proceder de maneira semelhante à demonstrada no item anterior, pressionando ^ “ selecionando agora o campo ANGLE MEASURE. Agora siga um desses procedimentos: pressione @CHOOS para mostrar a lista de opções, selecione sua opção e pressione @OK@; ou então pressione Y repetidamente até que sua opção apareça no campo. Finalmente, pressione @OK@ para confirmar sua escolha ou então @CANCL para cancelá-la. Você também pode selecionar o modo do ângulo diretamente do teclado, pressionando % g para radianos para alternar entre graus e radianos. Caso a opção para o modo grados tenha sido selecionada anteriormente no aplicativo MODES, essa seqüência de teclas alternará entre os modos radianos e grado. 3.3 – Modos de coordenadas O modo de coordenadas afeta como os números complexos e vetores são dispostos no visor. Números complexos são vetores bidimensionais e podem ser dispostos em coordenadas retangulares ((X,Y) ou [X Y]) ou polares ((R,~)ou [R ~]). Vetores tridimensionais podem ser dispostos em coordenadas retangulares ([X Y Z]), cilíndricas ([R~Z]) ou esféricas ( [R~~]). Para mudar o modo de coordenada o usuário pode usar o aplicativo MODES ou fazê-lo diretamente do teclado. Basta pressionar % g para alternar entre os modos de coordenada retangular e polar (cilíndrica). Mas caso o modo de coordenada esférica tenha sido selecionado anteriormente no aplicativo MODES, essa seqüência de teclas alterna entre os modos de coordenada retangular e esférica.

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3.4 – Beep, relógio, data e marcação decimal A HP 48 utiliza como padrão um beep sonoro sempre que um erro ocorre. O usuário tem a opção de deixar esse beep acionado ou não. . Para acionar o beep utilizando o aplicativo MODES: • pressione ^ “; • selecione o campo BEEP e pressione @/CHK (ou Y) até que a opção desejada seja mostrada

(quando aparecer o marcador de checagem na frente da palavra BEEP, significa que o sinal sonoro está ativado);

• pressione @OK@ para confirmar sua escolha ou @CANCL para cancelá-la.

Para fazer com que a HP 48 mostre no seu visor a data e a hora, prossiga da seguinte forma: • pressione ^ “; • selecione o campo CLOCK e pressione @/CHK (ou Y) até que a opção desejada seja mostrada

(quando aparecer o marcador de checagem na frente da palavra CLOCK, significa que o relógio está ativado);


Para editar a hora e a data da sua calculadora, siga os seguintes passos: Passo Ação Tela

1 Digite as teclas ^5 para acionar a caixa de opções de edição do tempo

2 Utilize as teclas q ou k para selecionar a opção desejada, escolhendo Set time, date ...

3 Pressione @OK@ para entrar na tela de edição da hora e data

4 Selecione os campos utilizando as setas de movimento do curso, entrando com os valores corretos da hora e data

5

Selecionando os campos que ficam após os valores da hora e data e usando a tecla @CHOOS do menu, é possível alterar o modo de apresentação da hora (entre AM, PM ou 24 horas) e o modo de apresentação da data (entre mês/dia/ano ou dia/mês/ano)

6

Para confirmar escolhas tecle @OK@, para cancelar tecle @CANCL e para sair do modo de edição da hora e data, tecle @OK@ novamente

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A marcação decimal separa a parte inteira da fracionária de um número real. Devido à diferença de convenções para a marcação decimal (ponto ou vírgula) dependendo do país, a HP 48 permite ao usuário escolher um dentre estes dois tipos de marcação. A escolha do tipo de marcação decimal determina também a marcação utilizada para separar dígitos (em números com mais de três algarismos na parte inteira) e argumentos. Veja os seguintes exemplos:

Marcação decimal Separador de dígitos Separador de argumentos . (5.768) , (50,000.00) , ((8,9))

, (5,768) . (50.000,00) ; ((8;9))

Para escolher o tipo de marcação decimal: • pressione ^ “; • selecione o campo FM e pressione @/CHK (ou Y) até que a opção desejada seja mostrada

(quando aparecer o marcador de checagem na frente da palavra FM, significa que a marcação decimal será a vírgula, sem o marcador de checagem será ponto);


3.5 – Flags A maior parte dos modos da calculadora é controlada pelo sistema de flags. A HP 48

possui 64 sistemas de flags, numerados de 1 a 64. Cada flag possui dois estados: ativado (valor 1) ou desativado (valor 0). O usuário deverá consultar o manual de sua HP 48 para conhecer os modos que o sistema de flags controla.

Para alterar modos da calculadora diretamente no menu de flags siga os seguintes passos: • pressione ^ “; • pressione @FLAG@ para abrir o diretório do sistema de flags; • utilize as setas do cursor para mover pelos flags. Uma marca de checagem ao lado do flag

indica que ele está ativado. O texto ao lado do número do flag indica qual o efeito sobre as funções da calculadora;

• para alterar o flag pressione @/CHK (notar que a descrição do texto se altera para indicar o novo efeito);

• pressione @OK@ para confirmar sua escolha ou @CANCL para cancelá-la. 4 – Diretórios e Variáveis Para facilitar cálculos e organizar melhor as variáveis na HP 48, o usuário poderá criar diversos diretórios e subdiretórios, nos quais serão armazenadas as variáveis de interesse. O diretório principal da HP 48 é o diretório HOME, que é uma seção da memória da calculadora que funciona da mesma maneira que um disquete de computador. Cada objeto ou variável inserido nesse diretório é análogo a um arquivo de computador em um disquete. Embora muitos diretórios e subdiretórios possam ser criados dentro do diretório HOME, apenas um único diretório pode estar ativado por vez e o seu nome é mostrado na área de estado do visor.

Diretório HP48

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4.1 – Criação de diretórios A seguir são apresentados os passos para criar o diretório HP48, o qual será utilizado para armazenar outros subdiretórios e variáveis que serão utilizados no decorrer deste curso. Passo Ação Tela

1

Digite ^ J para acessar o menu de subdiretórios e variáveis do diretório HOME (a tela em branco e demais opções de menu em branco na barra inferior indicam que não existem variáveis e subdiretórios em HOME)

2 Para criar um novo objeto (diretório ou variável) clicar em @NEW@

3

Digitar Q Q para deixar o cursor no campo do diretório e clicar em @/CHK ativar a criação do diretório. Em seguida digitar K para ativar o campo no qual será inserido o nome do diretório.

4 Clicar na opção @EDIT@ para editar o nome do diretório que será criado. Digitar $$ para travar o teclado alfabético e digitar H P 48 $@OK@

5

Digitar @OK@ novamente para sair do menu de criação de novos diretórios. Agora o subdiretório HP48 aparece como um dos objetos do diretório HOME. A indicação DIR END mostra que HP48 é um diretório.

6

Clicar L e em seguida @OK@ para voltar ao visor com a pilha operacional. Agora o diretório HP48 aparece na barra inferior de menus do diretório HOME. Para acessar o diretório HP48, basta digitar a tecla branca correspondente ao diretório.

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4.2 – Criação e armazenamento de variáveis Para criar variáveis que serão armazenadas em diretórios, segue-se um procedimento semelhante ao da criação de diretórios. Como exemplo será criada a variável TC, dentro do diretório HP 48, que conterá o valor da temperatura crítica da água. Os passos utilizados nesse procedimento são apresentados a seguir. Passo Ação Tela

1

Clicar na tecla branca referente ao diretório HP48 para ativar este diretório. Note que na área de estado aparecerá entre chaves o diretório atual. A barra de menu está toda em branco pois ainda não existe nenhuma variável nesse diretório.

2 Digitar ^ J para acessar o menu de subdiretórios e variáveis do diretório HP48 (a tela em branco e demais opções de menu em branco na barra inferior indicam que não existem variáveis e subdiretórios em HP48)

3 Para criar um novo objeto (diretório ou variável) clicar em @NEW@. Poderia ser criado um novo subdiretório dentro de HP48, mas nesse exemplo será criada uma nova variável.

4

Com o campo OBJECT selecionado, clicar em @EDIT@ para fazer a edição do novo objeto, no caso, a nova variável (temperatura crítica da água = 647,4 K). Digitar 758/5 na linha onde está o cursor. Em seguida, teclar @OK@ ou ! para entrar com o valor numérico no campo OBJECT. Automaticamente será ativado o campo NAME para que o usuário possa digitar o nome da variável.

5

Para entrar com o nome da variável, teclar novamente @EDIT@. O cursor muda para a linha inferior da tela e o nome da variável pode ser teclado, por exemplo travando-se o teclado alfabético. Digitar $$ T C e em seguida @OK@ ou !para entrar com o nome da variável (TC). Se optar por teclar @OK@ lembrar de teclar $ antes, para poder destravar o teclado alfabético, caso contrário, aparecerá a letra F no nome da variável.

6 Clicando novamente em @OK@ irá aparecer a tela que contém as variáveis e subdiretórios do diretório HP48. No caso, a única variável é TC e ao lado dela aparecerá seu valor.

7

Clicar L e em seguida @OK@ para voltar ao visor com a pilha operacional. Agora a variável TC aparece na barra inferior de menus do diretório HP48. Para recuperar o valor da variável na tela, colocando-o no primeiro nível da pilha operacional, basta digitar a tecla branca correspondente à variável.

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O usuário poderá ter acesso imediato a todas as variáveis e subdiretórios armazenados em um diretório, bastando para isso pressionar j para que elas sejam exibidas na barra de menus na parte inferior do visor. Se houver mais de seis objetos no diretório em questão, pressionar l para acessar os demais. Dicas para armazenamento e uso de variáveis: • armazene no diretório HOME variáveis que você deseja acessar de qualquer diretório; • armazene variáveis específicas, utilizadas apenas em alguns casos, em diretórios específicos

que utilizem essas variáveis; • podem existir variáveis com nomes iguais, desde que em diretórios diferentes; • o nome das variáveis não pode conter mais que 127 caracteres; • nomes de variáveis podem conter letras e dígitos, mas não podem conter caracteres que

separam objetos (espaço, período, vírgula, @); nem delimitadores e nem funções matemáticas;

• letras minúsculas e maiúsculas são diferenciadas pela HP 48, portanto uma variável chamada de PMW é diferente de outra denominada Pmw, por exemplo;

• nomes de variáveis não podem começar com dígitos; • nomes de variáveis não podem utilizar nomes de comandos (ex: COS, π); • o nome PICT não pode ser utilizado para variáveis. OBS: na linha de rótulos de menu, para diferenciar o que é um diretório e o que é uma variável, basta observar aquele que contém uma barra horizontal em cima do nome. Os que contêm essa barra são diretórios e ao digitar a tecla correspondente a esse diretório, novos menus serão apresentados. Um método rápido para criação de subdiretórios e variáveis também pode ser utilizado. Como exemplo, será criado o subdiretório AGUA dentro do diretório HP48 e a variável MM (massa molar da água) dentro desse novo diretório. Passo Ação Tela

1

Estando dentro do diretório HP48 (veja endereço na área de estado), clicar M $$ A G U A !%J @@DIR@@ @CRDIR@ J. Este procedimento cria o diretório AGUA, mostrando-o na tela.

2

Para criar a variável MM no diretório AGUA, primeiro aciona-se esse diretório, clicando na tecla branca correspondente. Notar o novo endereço do diretório na área de estado e também que não existem variáveis na linha de menus.

3

Para criar a variável MM pelo método rápido, digita-se 29 (valor da massa molar da água), ! para entrar com esse valor e M $$ K K para dar nome à variável.

4 Digita-se P para armazenar o valor 18 na variável MM, que irá aparecer automaticamente na linha de menus.

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4.3 – Seleção, edição e recuperação de variáveis Para selecionar uma variável no diretório atual, pressione ^J e utilize as teclas de cursor ( K e Q) para selecionar a variável desejada. Quando o diretório possui muitas variáveis, o usuário poderá pressionar a tecla $ e uma letra qualquer do alfabeto, para que o cursor vá diretamente até a primeira variável que começa com a letra digitada. O usuário também poderá selecionar um grupo de variáveis, bastando para isso pressionar @/CHK (ou Y) para incluir a variável no grupo que está sendo selecionado, repetindo os mesmos passos para incorporar mais variáveis à seleção. Uma vez selecionada uma variável ou um grupo de variáveis, podem ser realizadas diversas operações. Para selecionar variáveis em um diretório diferente do que está na área de estado, proceder da seguinte maneira: teclar ^Je em seguida pressionar @CHOOS@ para fazer com que apareça no visor todos os diretórios e subdiretórios de HOME. Selecione o diretório ou subdiretório, conforme explicado anteriormente.

Para editar uma variável uma variável pressione ^Je selecione a variável que se deseja alterar. Pressionar @EDIT@ @EDIT@ e edite a variável usando o ambiente de edição. Pressione @OK@ @OK@ para terminar. Exemplo: editar a variável MM criada, substituindo o valor 18 para 98 (massa molar do ácido sulfúrico). Passo Ação Tela

1 Estando no diretório HOME, tecle ^Jpara acessar a tela de diretórios e variáveis de HOME

2 Utilize o menu @CHOOS para que apareçam os subdiretórios e variáveis de HP48

3 Posicione o cursor em AGUA, que é o diretório que contém a variável MM e clique em @OK@ para entrar nesse diretório

4 Clicar @EDIT @EDIT e substituir o valor 18 por 98. Em seguida clicar em @OK@ e @OK@ novamente. O valor da variável MM agora será 98.

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Para recuperar uma variável e alterar seu valor pode-se utilizar os seguintes passos: Passo Ação Tela

1 Recupera o valor da variável, pressionando a tecla branca correspondente à variável

2 Recupera o nome da variável, digitando M @@MM@@ !

3 Muda o valor da variável novamente para 18, digitando 2 9 % @@MM@@ @@MM@@

Pode-se também não só alterar o valor da variável como também realizar operações aritméticas com ele e armazenar o resultado na mesma variável. Isso pode ser feito através de comandos que podem ser acionados pela seguinte seqüência de teclas: % J @ARITH@. Para verificar as funções dos comandos que podem ser acionados nesse menu, consultar o manual da calculadora. 4.4 – Cópia, transferência e eliminação de variáveis Para apagar um diretório, podem-se utilizar duas vias: 1) Colocar o nome do diretório no nível 1 da pilha, pressionar % J @DIR@ @PGDIR@. 2) Pressionar ^J, selecionar o diretório desejado, pressionar L e teclar @PURG@. OBS: para deletar variáveis, somente pode ser utilizada a segunda via descrita acima. Para copiar variáveis seguir os passos abaixo: 1) Pressionar ^J. 2) Selecionar o variável ou variáveis que se deseja copiar. 3) Pressionar @COPY@

Escolhendo a variável TC Escolhendo o diretório para o qual

ela será copiada Diretório AGUA contendo a

variável TC após cópia

4) No campo COPY TO:, digitar um novo nome de variável ou de uma variável já existente (para substituir seu conteúdo) ou um endereço de um diretório para armazenar a variável com um mesmo nome só que em outro diretório. Para isso, usar o menu @CHOOS@ e teclar @OK@ @OK@.

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Introdução às Operações com Calculadoras HP © 18 Para mover uma variável:

1) Pressionar ^J. 2) Selecionar o variável ou variáveis que se deseja mover. 3) Pressionar @MOVE@. 4) Entrar no campo de MOVE TO: com um dos seguintes itens: um novo nome de variável, uma

variável existente ou um diretório. 5) Pressionar @OK@.

Selecionando a variável MM para

ser movida. Escolhendo o diretório HP 48 para

mover a variável MM. Diretório HP 48 agora contendo a variável TC que não está mais no

diretório anterior AGUA. OBS: para sair de um subdiretório qualquer e ir diretamente para o diretório raiz HOME, basta teclar ^M. Utilizando a seqüência % M, muda-se para o diretório que contém o subdiretório atual, subindo um nível na escala. Veja os exemplos:

Para sair do subdiretório AGUA e ir para HP48, pode-se teclar % M

Ou então se pode ir diretamente para o diretório HOME teclando-se ^M

Exercícios: 1) Criar o diretório HAC para armazenar variáveis (propriedades físico-químicas) do ácido

acético.

2) No diretório HAC criar as seguintes variáveis: ω (fator acêntrico), TC (temperatura crítica - K) e PC (pressão crítica - bar), armazenando os valores 0,467; 719,7 e 77 respectivamente.

3) Criar um subdiretório em HAC, denominado CEQ, para armazenar futuramente equações que calculem as constantes de uma equação de estado utilizando as grandezas físico-químicas do diretório HAC.

4) Copiar nesse diretório recém-criado as variáveis contidas no diretório HAC.

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5 – Editor de Equações A HP 48 possui um editor de equações, que é um aplicativo para introduzir e revisar equações e expressões algébricas da forma mais familiar para o usuário, ou seja, do modo como ele geralmente visualiza a impressão desses objetos ou da forma como ele escreveria. Por exemplo, seja a expressão:

∫+=δ2V

1V

PdVQH

na pilha operacional esta equação ficaria da seguinte forma

e no ambiente do aplicativo Equation Writer, o usuário veria

.

5.1 – Construindo equações O aplicativo Equation Writer consiste de três modos diferentes, cada qual com um propósito especial: 1. Modo de entrada: para entrar e editar equações. 2. Modo de rolagem: para visualizar equações extensas. 3. Modo de seleção: para editar expressões dentro de equações.

Para entrar no aplicativo Equation Writer, pressione % !. Para sair do aplicativo, o usuário pode optar por colocar a equação digitada na pilha operacional, pressionando ! ou então poderá descartar a atual equação e sair, pressionando CANCEL (equivalente à tecla &). Dicas para incluir operações:

• Adição, subtração e multiplicação são incluídas entrando com os sinais +, - e . (multiplicação implícita pode ser usada, sem precisar entrar com o sinal, quando: um número for seguido de um caractere alfabético, um parênteses direito for seguido de um esquerdo ou existir uma função pré-fixada pela calculadora (ex: % V, equivalente a x2).

• Divisão e frações: deve-se pressionar K para entrar com o numerador, R para finalizar o numerador e iniciar o denominador (pode-se usar Q também) e em seguida R para finalizar o denominador.

• Expoentes são incluídos pressionando W para iniciar o expoente e então R ou Q para terminar o expoente.

• Raízes quadradas são incluídas pressionando V para colocar o símbolo de raiz quadrada e já permitir a edição do termo e para terminar, pressione R. Para incluir a n-ésima raiz, pressione ^ V para entrar com o termo fora da raiz e então R para começar a entrar com o radicando, pressionando novamente R para encerrar.

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• Funções com termos entre parênteses pressione a tecla da função ou o nome dessa função e então pressione % 0 e em seguida R para encerar o argumento. Para colocar termos entre parênteses, pressione % 0 para colocar o parêntese esquerdo e depois de entrar com o termo pressione R para colocar o parêntese direito e encerrar.

• Potências de 10 são incluídas pressionando Z. Se o expoente for negativo, pressione Y. Tecle os dígitos da potência e depois qualquer outra tecla de função para encerrar sair do expoente.

• Derivadas são incluídas pressionando ^ U, em seguida digite a variável da derivação, pressione R para encerrar o termo da diferenciação e abrir o parêntese esquerdo. Tecle a expressão a ser diferenciada e pressione R para encerrar e fechar o parêntese direito. Para incluir integrais pressione ^ T para mostrar o símbolo da integral, com o cursor posicionado no limite inferior. Digite o limite inferior e em seguida R. Digite o limite superior e depois R. Tecle o termo do integrando e pressione R para mostrar d. Digite então a variável da integração. Pressione R para completar a integral.

• Somatórios são incluídos pressionando Û, já com o cursor posicionado para incluir o índice do somatório. Após teclar o índice, pressione ^ (ou %1) para teclar o sinal de igual. Tecle o valor inicial do índice e pressione R, depois tecle o valor final do índice e pressione R. Tecle a expressão do somatório e em seguida R para encerrar.

• Unidades são incluídas teclando inicialmente a parte numérica, em seguida, pressione ^ + para começar a expressão da unidade. Tecle a unidade e pressione R para encerrar a expressão.

Exemplos:

Expressão Seqüência de teclas Tela da calculadora

x2525 Bxx +=+

$XW5R-$XW305RR%1$B W3-$XR!

∫−++∂

∂5

4

33

dx)x3cos(4xx

x

Û$XR$XW4RR-^V4R$X-5R-^T5R5RT4$xRR$x!

hkg10.8,1i 2

4

1i

+∑=

Û$IR2R5R$I-2/93Z3^+K$K$GR$HR!

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Introdução às Operações com Calculadoras HP © 21 Qualquer expressão que for editada no aplicativo Equation Writer pode ser armazenada

numa variável dentro do corrente diretório, após sair do editor. Para tanto, basta armazenar a expressão, criando uma variável de acordo com os seguintes passos: tecle ! para sair do ambiente do editor, M para digitar o nome da variável, usando o teclado alfabético e em seguida tecle P para armazenar a equação na variável criada. O aplicativo Equation Writer também oferece várias opções para editar equações: 1. Edição com retrocesso (backspace): pressione P até que o erro seja apagado e depois

complete a expressão corretamente. 2. Edição de uma equação completa: se a equação termina numa subexpressão incompleta,

complete-a, pressionando % Y. Edite a equação na linha de comando. Pressione ! para gravar as alterações (ou & para descartá-las) e retorne ao aplicativo Equation Writer.

3. Visualizar uma equação extensa: pressione %P para ativar o modo de rolagem e as teclas de cursor para mover a janela de visualização. Pressione %P para retornar ao modo anterior.

Exercícios:

Utilize o aplicativo Equation Writer para entrar com as seguintes equações na pilha operacional:

1) TTVVV o

∂∂

+= (eq. Gay-Lussac) 2) 2Va

bVRTP −−

= (eq. de van der Waals)

3) Pc8

RTcb = (cte. da Eq. 2) 4) ( )

Pc64RTc27a

2= (cte. da Eq. 2)

5) dVV

nRTWvf

vi∫=

(trabalho de expansão de um gás ideal)

6) dVVUU

2v

1v∫

∂∂

=δ

(variação de energia numa variação isotérmica de volume)

7) (calor específico do monóxido de carbono))T10.410,1T10.9241,01916,3(RCp 273 −− −+=

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6 – Editor de Matrizes 6.1 – O ambiente Matrix Writer O ambiente do aplicativo Matrix Writer da HP 48 permite ao usuário a entrada e manipulação de matrizes (tanto unidimensionais – vetores, como bidimensionais). A tela desse ambiente mostra os elementos da matriz em células individuais, dispostas em linhas e colunas, como mostra a figura abaixo.

Para entrar numa matriz utilizando o apl1. Pressione ^!. 2. Tecle os números na primeira linha, e press3. Pressione Q para marcar o fim da primeira l4. Tecle os números restantes da matriz, sem

que quando você entra com o último númmove para o começo da próxima linha.

5. Após ter entrado com todos os números naa matriz na pilha operacional.

Exemplo: entrar na calculadora com a seguinte

Passo Ação

1 Selecione o aplicativo Matrix Writer dig

2 Entre com os três elementos da pmatriz, (células 1-1 a 1-3) digitando ! 7 !

3 Utilize Q para encerrar a primeira linresto da matriz, digitando 2 ! 13 ! 8 ! 9 Y !

4 Digite ! novamente para entrar pilha operacional

s Tamanho da matriz

Linhas

Coordenadas da célula

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Coluna

icativo Matrix Writer, siga os passos:

ione ! após cada um. inha. pre pressionando ! após cada um deles. Note ero de cada linha, o cursor automaticamente se

matriz, pressione ! novamente para introduzir

matriz

−

−

8 7 24 0 16 5 4

Tela

itando ^!

rimeira linha da 5 ! 5 Y

ha e entre com o ! 5 !

com a matriz na

Cursor


Na pilha operacional a matriz é mostrada na forma de número entre limitadores, representados por colchetes. Um par de colchetes delimitam toda a matriz e pares adicionais de colchetes delimitam cada linha da matriz. Vetores, também denominados matrizes de uma coluna, aparecem na pilha como números dentro de um único nível de delimitadores (colchetes). Quando os vetores forem matrizes de uma linha, eles irão aparecer na pilha delimitados por dois pares de colchetes. Para editar matrizes que já foram introduzidas na calculadora, proceda da seguinte forma: 1. dentro do ambiente do Matrix Writer pressione as teclas de movimento do cursor (P R K

Q) para mover o cursor; 2. utilize as operações do aplicativo listadas na tabela abaixo; 3. pressione ! para gravar as alterações ou pressione & para descartá-las e retornar à pilha

operacional.

Resumo das Teclas de Operações do Menu do Matrix Writer.

Tecla Descrição

@@EDIT@@ Posiciona o conteúdo da célula atual no campo de entrada de dados para poder ser editado.

@@VEC@@ Para matrizes de uma linha alterna entre o modo de entrada de vetor e o modo de entrada de matriz.

←@@WID@@ Estreita todas as células, de modo que uma coluna adicional possa aparecer.

@@WID@→ Alarga todas as células, de modo que uma coluna a menos possa aparecer.

?GO?→ Seleciona o modo de entrada esquerda para direita. O cursor da célula move-se para a próxima coluna após a entrada de um dado.

?GO?↓ Seleciona o modo de entrada topo para fundo. O cursor da célula move-se para a próxima linha após a entrada de um dado.

@+ROW@ Introduz uma linha de zeros na posição atual do cursor.

@-ROW@ Apaga a linha atual.

@+COL@ Introduz uma coluna de zeros na posição atual do cursor.

@-COL@ Apaga a coluna atual.

→@STK@ Copia a célula atual para o nível 1 da pilha operacional.

↑@STK@ Ativa a pilha interativa, a qual pode copiar objetos da pilha para a linha de comando.

^! Restaura o menu do Matrix Writer caso outro menu esteja na tela da calculadora.

OBS: quando estas teclas de operação forem acionadas, aparecerá no campo das mesmas um pequeno quadrado, indicando que a operação está ativada.

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Exemplo de edição de matrizes: alterar a matriz anterior para

−

9 0 7 23 0 0 12 0 5 4

Passo Ação Tela

1

Se a matriz já tiver sido introduzida na pilha operacional e estiver no primeiro nível da mesma, tecle Q para voltar ao ambiente do Matrix Writer. Caso contrário, certifique-se de colocar a matriz no nível 1 da pilha e então aperte Q.

2

Primeira, será editada a última coluna, que contém os números 6, 4 e –8 para substituí-los por 2, 4 e 9; respectivamente. Utilizando as teclas do cursor, coloque-o sobre o número que deve ser alterado e introduza o novo número na linha de comando, pressionando em seguida a tecla !

3

Tecle 3 ! para substituir o número 6 por 2. Note que o cursor se posicionará na próxima linha, primeira coluna, porque a operação GO→ está ativada.

4

Leve o cursor sobre o algarismo 4 e ative a opção GO↓ para que agora, após teclar ! o cursor vá diretamente para a próxima linha, porém na mesma coluna. Tecle 4 para editar a posição 2-3 da matriz.

5 Agora a posição 2-3 da matriz já foi editada e o cursor se encontra na posição 3-3 já pronta para ser feita a última alteração.

6 Digite 9 e tecle ! para terminar a edição dos números da matriz.

9

Para inserir uma coluna inteira com zeros, no caso, a terceira coluna, posicione o cursor na posição 1-3, tecle L para acessar mais opções do menu do aplicativo e em seguida tecle @+COL@ para introduzir uma coluna inteira com zeros e fazer com que a terceira coluna se transforme na quarta coluna, obtendo finalmente a matriz que se desejava.

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6.2 – Sistema de equações lineares Um sistema linear de n x n é um conjunto de n (n ≥ 2) equações lineares e n incógnitas. Este sistema linear pode ser colocado em sua forma matricial A.X = B. A HP 48 usa essa representação matricial para resolver sistemas de equações lineares de forma rápida e eficiente. Sistema de equações lineares podem cair em três categorias:

1. Sistemas sobre-determinados: são aqueles que possuem mais equações lineares independentes do que variáveis independentes. Não existe uma solução exata para esses sistemas, de modo que a melhor solução é procurada, utilizando o método dos mínimos quadrados.

2. Sistemas sub-determinados: são aqueles que possuem mais variáveis independentes do que equações lineares independentes. Também não há solução para esses sistemas ou então há um número infinito de soluções.

3. Sistemas determinados: são aqueles que possuem um número igual de equações e variáveis independentes. Em geral, mas nem sempre, há uma única solução exata para esse sistema.

Um sistema de equações lineares pode ser transformado em forma matricial, do modo demonstrado a seguir:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a11 a12 ... a1n x1 b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 a21 a22 ... a2n x2 b2 . = ... ... ... ... ... ... ... ... ... an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn an1 an2 ... ann xn bn Para calcular a melhor solução de um sistema de equações lineares, proceda de acordo

com os seguintes passos:

1. Pressione ^8 KK para abrir @OK@ para abrir o ambiente de solução de equações lineares.

2. No campo onde está a letra A entre com a matriz dos coeficientes do sistema linear. Para isso, tecle @EDIT@ no menu do visor ou então digite %+ para entrar com os delimitadores de matrizes (colchetes) e então digite os números correspondentes aos coeficientes. Optando por usar a tecla @EDIT@ a HP48 automaticamente irá acionar o ambiente do aplicativo Matrix Writer para que você possa entrar com os valores dos coeficientes.

3. No campo onde está a letra B entre com a matriz (ou vetor) das constantes (também por um dos dois modos citados no item anterior).

4. Pressione @SOLVE@ para calcular a melhor solução para o sistema de equações lineares, que será armazenada no campo das variáveis, X.

Para resolver sistemas sobre ou sub-determinados siga os procedimentos descritos no

manual da sua calculadora. Para resolver sistemas lineares exatamente determinados pode-se entrar com o vetor das constantes na pilha operacional, utilizando os delimitadores, em seguida entrar com a matriz quadrada dos coeficientes, ou seja, número de colunas (variáveis) deve ser igual ao número de elementos do vetor. Pressione 0 e o resultado será apresentado na forma de um vetor de mesmo tamanho do vetor das constantes.

Exemplos de solução de sistemas lineares serão dados no item 9.3 dessa apostila.

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Introdução às Operações com Calculadoras HP © 26 6.3 – Operações básicas com matrizes Os procedimentos para a realização de algumas operações básicas com matrizes são

apresentados neste item. Para tal, será tomada a matriz mostrada no item 6.1, dada por:

−

−

8 7 24 0 16 5 4

Em todas as operações citadas a seguir, o primeiro passo consiste em colocar a matriz no nível 1 da pilha operacional, para tanto, proceda com a seguinte seqüência de teclas:

Seqüência Tela

% + % + 5 * 5 Y * 7 R % + 2 * 1 * 5 R % + 3 * 8 * 9 Y !

Determinante de uma matriz quadrada:

Para obter o determinante da matriz, pressione G @MATR@ @NORM@ L @DET@ (ou $ $ D E R !).

Matriz transposta:

Para obter a matriz transposta, pressione G @MATR@ @MAKE@ @TRN@ (ou $ $ r p l !).

Matriz inversa:

Pressione X. Note que a inversa de uma matriz A só existe se seu determinante for diferente de zero.

Multiplicação (ou divisão) de matriz por escalar:

Entre com o escalar (número real ou complexo) e digite + ou 0. Multiplicando a matriz por 5 obtém-se a seguinte tela.

Matriz oposta:

Pressione Y.

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Para obter o produto de duas matrizes, entre com as mesmas nos níveis 1 e 2 da pilha operacional e pressione + (note que o produto só será efetuado se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz).


7 – Unidades 7.1 – O aplicativo UNITS O aplicativo UNITS da HP 48 possui um catálogo de 147 unidades que o usuário pode combinar com números reais para criar objetos. Com este aplicativo, o usuário poderá: • converter unidades; • fatorar unidades; • realizar cálculo com unidades.

O aplicativo UNITS consiste de dois menus:

• o menu catálogos (^7), contendo as unidades organizadas por tipo. Este menu permite criar objetos contendo unidades e convertê-los com relação a outras unidades no catálogo;

• o menu de comandos %7), contendo comandos para converter unidades e gerenciar objetos.

O aplicativo UNITS da HP 48 é baseado no Sistema Internacional de Unidades (SI) que

possui 7 unidades básicas específicas: m (metro) kg (quilograma) s (segundo) A (ampére) K (kelvin) Cd (candela) mol (moles) A HP 48 também faz uso de duas outras unidades básicas que são o r (radiano) e sr

(esteroradiano). O menu de catálogos contém estas nove unidades básicas e 141 unidades compostas, derivadas dessas unidades básicas.

Um objeto de unidade possui duas partes: um número real e a unidade (ou combinação de unidades). Essas duas partes são ligadas pelo caractere “ _ “ que é acessado teclando-se ^+. Por exemplo: 2_m (2 metros) e 45_l/h (45 litros por hora). Um objeto de unidade pode ser colocado na pilha operacional, armazenado numa variável ou ser utilizado em expressões e programas. A ordem de prioridade das operações num objeto de unidade é a seguinte: 1. ( ) (prioridade mais alta) 2. ^ 3. * e /

Por exemplo, 25_m/s^2 são 25 metros por segundo ao quadrado e 25_(m/s)^2 são 25 metros quadrados por segundo ao quadrado.

7.2 – Menu de unidades O menu de catálogo de unidades é composto por 3 páginas de teclas, apresentando

diferentes grandezas, que podem ser acessadas utilizando-se a tecla L. Cada tecla, quando pressionada, permite acessar submenus que contêm as unidades relacionadas àquela grandeza. A seguir são apresentadas as 3 telas (páginas de teclas) principais do menu de unidades, que pode ser acessado digitando-se ^+.

comprimento volume velocidade

força potência temperatura

ângulo radiação

área tempo massa

energia pressão eletricidade

luz viscosidade

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Um objeto de unidade pode ser criado no nível 1 da pilha operacional ou então na linha de comando. Para o primeiro caso: 1. tecle a parte numérica do objeto de unidade; 2. pressione ^7 e selecione o menu de unidades apropriado; 3. pressione a tecla do menu para a unidade desejada (se desejar o inverso da unidade que o

menu apresenta, tecle ^ e a tecla do menu); 4. para unidades compostas repetir os passos 2 e 3 para cada unidade individual a ser

introduzida na expressão da unidade. No segundo caso: 1. tecle o número; 2. tecle o caractere _ pressionando ^+, que ativa o modo de entrada algébrica; 3. tecle a expressão da unidade como você faria com uma expressão algébrica. Para teclar o

nome da unidade utilize o teclado alfabético e para unidades compostas, pressione + 0 W e % 0 [ = ( ) ] conforme requerido.

Exemplo: criar o objeto de unidade 4,18 J/(g.oC) correspondente ao calor específico da água pura, (sem considerar a influência da temperatura) e armazenar este valor numa variável CPA. O objeto de unidade será introduzido via linha de comando, já que é possui uma unidade composta que não está disponível no menu de unidades. Passo Ação Tela

1 Entrar com a parte numérica teclando 5/29 e em seguida teclar ^+ separar a parte numérica da unidade.

2 Digite $J0 para entrar com o numerador do objeto de unidade.

3 Digite %0 para abrir o parêntesis do denominador do objeto de unidade, para poder digitar g.oC e digite $%g +, obtendo o primeiro termo.

4

Para entrar com o símbolo de graus Celsius, utilize o menu de unidades, digitando ^ 7 L @TEMP@ @@C@ e em seguida tecle ! para introduzir o objeto na pilha operacional

5

Tecle M para abrir o delimitador de variáveis e digite $ $ para travar o teclado e tecle C P A . Digite $ para destravar o teclado e tecle P para armazenar o calor específico da água na variável CPA. Digite J para mostrar as variáveis do diretório atual e veja que a variável recém-criada se encontra presente. Agora esse valor com as unidades respectivas pode ser recuperado sempre que desejado, digitando-se a tecla branca correspondente à variável CPA.

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7.3 – Conversão de unidades A HP 48 possui basicamente três formas diferentes para a conversão de objetos de unidade, que são: • o menu de catálogos UNITS, que converte somente as unidades embutidas na HP; • o comando CONVERT, que converte para qualquer unidade; e • o comando UBASE, que converte uma unidade composta em suas unidades básicas

equivalentes do SI, fatorando-a. A seguir são apresentados exemplos dessas três formas de conversão.

Menu de catálogos UNITS

1

Entre no nível 1 da pilha com o objeto de unidade com suas unidades originais. Exemplo: 100 km/h. Digite 2 1 1 ^+ $ $ % $ I K 0 H (note que é importante entrar com as unidades em letras minúsculas, pois a HP difere minúsculas de maiúsculas).

2 Pressione ^7 e selecione o tipo de menu que contém a unidade desejada, no caso @SPEED@

3

Pressione % e a tecla de menu para a unidade desejada. No caso, iremos converter 100 km/h para cm/s. Na tela irá aparecer automaticamente a unidade já convertida.

OBS:

quando se tratar de uma unidade que já existe no menu de unidades da HP, o usuário poderá optar por apenas digitar o valor da grandeza, utilizando ^ 7para entrar com a unidade desejada. No caso desse exemplo o mesmo resultado poderia ser alcançado, com a seguinte seqüência de teclas: 2 1 1 ^ 7 E D , obtendo a tela mostrada à direita (kph = km/h). O passo 2 é eliminado, indo direto para o passo 3, obtendo a conversão desejada.

Comando CONVERT

1

Entre no nível 1 da pilha operacional com o objeto de unidade que você deseja converter com suas unidades originais. No caso será feita a conversão de 30 m3/h para l/min. Digite 4 1 ^ + $ % K W 4 0 $ % h !

2

Entre com qualquer número, tal como 1, e coloque nesse número as unidades para as quais você deseja converter o número anterior (no caso 30 m3/h). Digite 2 ^+$ %J 0$$ % $ K G L !

3

Digite % 7 e a tecla correspondente ao menu @CONV@ para converter o valor do segundo nível da pilha operacional para as unidades do valor do primeiro nível da pilha.

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Comando UBASE

1

Entre no nível 1 da pilha operacional com o objeto de unidade com suas unidades originais que você deseja converter para unidades do SI. No caso será feita a conversão de 450 Btu/h. Digite 551 ^ + $B $% R $ %U /$%H !

2

Digite %7 @UBASE@ para converter Btu/h em unidades do SI. Note que no SI a unidade de energia é o joule (J), que é definido como newton x metro = (kg).(m/s2).(m), resultando então na unidade final = (kg.m2)/s3

7.4 – Cálculos com unidades A HP 48 permite ao usuário executar muitas operações aritméticas com objetos de

unidade, da mesma forma como se faria com números reais, bastando respeitar as seguintes observações: • adição, subtração, cálculos com porcentagem e comparação de valores; só podem ser

realizados com unidades dimensionalmente consistentes; • multiplicação, divisão, inversão e elevação a potências, podem ser feitas com qualquer

unidade; • operações trigonométricas (seno, coseno e tangente) só podem ser realizadas com unidades

planares.. Para calcular com objetos de unidade, basta entrar com os objetos na pilha operacional e

executar os comandos desejados. As unidades são automaticamente convertidas e combinadas durante os cálculos, sendo que o usuário deverá estar atento para as operações que requerem unidades consistentes.

Exemplos:

1) Subtrair 25 cm de 1m:

Digitar ^ 7 @LENG@ 2 @M@ 3 5 @CM@ que irá colocar na tela os dois valores a serem operados. Digitar - para obter o resultado da subtração. Note que a unidade da resposta corresponde à menor unidade dos valores utilizados (no caso, centímetros), que foi a última unidade a dar entrada na tela.

obs: por unidades coerentes na adição e subtração, entende-se unidades de mesma natureza (comprimento, volume, temperatura, energia, etc.). Podem ser adicionados ou subtraídos valores mesmo de sistemas diferentes (SI ou sistema americano), lembrando-se que a resposta final sempre será dada nas unidades do último valor que foi colocado na pilha operacional. Veja o exemplo a seguir.

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2) Subtrair 4 in (in = inch = polegadas) de 15,24 cm (equivalente a 6 in)

Digitar ^ 7 @LENG@ 25/35 @@CM@@ 5 @@IN@@ que irá colocar na tela os dois valores a serem operados.

Digitar - para obter o resultado da subtração. A resposta final, mostrada no visor, é igual a 2 in, equivalente a 6 in (15,24 cm) – 4 in. 3) Calcule o valor do calor necessário para aquecer 50 kg de água pura, de uma temperatura de 25 oC para 70 oC, considerando o calor específico da água igual a 4,18 kJ/(kg.oC), utilizando a equação Q = m.Cp.∆T. Entre na pilha operacional com os valores de todas as variáveis e suas respectivas unidades, digitando a seguinte seqüência de teclas: 5 1 ^ 7 @MASS@ @@KG@@ 5 / 2 9 ^+ $ % I $ H 0 % 0 $ % I $ % G + ^7 L @TEMP@ @@C@@ ! 8 1 @@C@@ 35 @@C@@

Agora efetue as operações para obter o valor do calor, calculando primeiro o valor do ∆T, digitando -

Agora digite + +, obtendo o valor final do calor, em unidades de energia (J) 4) Calcule o volume ocupado por 1 mol de um gás nas condições normais de temperatura e pressão (CNTP: 0 oC e 1 atm), considerando válida a equação dos gases ideais (PV = nRT). A constante universal dos gases ideais, R, é igual a 0,082 (litros.atm)/(kelvin.mol).

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Entre na pilha operacional com os valores de todas as variáveis e suas respectivas unidades, digitando: 2 ^ 7 @MASS@ L L@MOL@ 1 ! 3 8 4 / 2 5 -^7 L@TEMP@ @@K@@ 1 / 1 9 3 ^ + % 0 ^ 7 @VOL@ L @@L@@ + ^ 7 L @TEMP@ @@K@@ R 0 % 0 ^ 7 @MASS@ L L @MOL@ + ^ 7 L @TEMP@ @@K@@ !

Realiza o produto nRT digitando + +

Obtém o valor do volume de 1 mol de gás ideal nas CNTP, introduzindo o valor da pressão, digitando 2 ^7 L @PRESS@ @ATM@ e teclando /obtendo o valor aproximado de 22,4 litros.


Quando trabalhando com o aplicativo UNITS para converter temperaturas, o usuário deverá estar ciente da diferença entre nível de temperatura e diferença de temperatura. Por exemplo, uma temperatura de nível igual a 0 oC indica o valor da temperatura (ponto de congelamento da água pura a 1 atm, por exemplo), mas uma diferença de temperatura de 0 oC indica que não houve mudança na temperatura de um sistema, por exemplo. Quando oC ou oF representam um nível de temperatura, a transformação de graus Celsius para kelvin (K) se dá somando 273,15 ao valor da temperatura e de graus fahrenheit para rankine (R), somam-se 459,67. Mas quando se trata de uma diferença de temperatura, não se adiciona nenhum valor, pois ∆oC = ∆K e ∆oF = ∆R. O menu de catálogos UNITS ou o comando CONVERT irão considerar nível de temperatura na conversão, sempre que houver como unidade de um número, somente a temperatura, isoladamente. Caso haja qualquer outra unidade combinada com a temperatura, o comando CONVERT irá considerar como uma diferença de temperatura (relativa). Veja as diferenças nos exemplos a seguir: 1) Converter 25 oC para oF.

Digitar 35 ^7 L @TEMP@ @@C@ para introduzir a temperatura de 25 oC no primeiro nível da pilha operacional.

Tecle % @@F@@ para converter para graus fahrenheit

2) Converter 25 oC/h para oF/h

Digitar 35 ^7 L @TEMP@ @@C@ ^7 @TIME@ ^ @@H@@ para introduzir a taxa de temperatura de 25 oC/h no primeiro nível da pilha operacional.

Entre com um novo objeto contendo as novas unidades desejadas. Tecle ^ L 2 @@F@@ ^ L ^ @@H@@ para introduzir o objeto em oF/h.

Realize a conversão pressionando % 7 @CONV@

Exercícios: 1) Converter o valor de uma aceleração de 15 cm/s2 para km/ano2.

2) Converter 23 lbm.ft/min2 para kg.cm/s2.

3) Converter 4,18 J/(g.oC) para cal/(g.oC), J/(lbm.oC), Btu/(lbm,oC), J/(g.oF).

4) Um fluido escoa em uma tubulação de 2,067 in de diâmetro (D), a uma velocidade 0,048 ft/s (v), com uma viscosidade (µ) de 0,43 cP (centipoise) e esse fluido possui uma massa específica (ρ) de 0,805 g/cm3. Calcule o número de Reynolds (Re = ρvD/µ) desse fluido, utilizando a função UBASE para transformar todas as grandezas em unidades do SI.

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8 – Funções Matemáticas 8.1 – Funções pré-definidas Funções e comandos pré-definidos da HP 48 são operações que já vêm embutidas na calculadora e por operações entende-se qualquer ação que a calculadora pode realizar. Elas se dividem nas seguintes categorias: • Operação: qualquer ação embutida na HP 48 representada por um nome ou tecla. • Comando: qualquer operação programável. • Função: qualquer comando que pode ser incluído em objetos algébricos. • Função analítica: qualquer função para a qual a HP 48 possa fornecer seu inverso e sua

derivada. Por funções pré-definidas entende-se as várias operações (adição, subtração,

multiplicação, divisão, exponenciação, radiciação, funções trigonométricas, etc.) As funções da HP 48 possuem a seguinte prioridade algébrica, a partir da de mais alta

prioridade: 1. expressões com parênteses. Quando existirem vários parênteses, a calculadora resolve do

mais interno para o mais externo. 2. Funções pré-fixadas, tais como seno (SIN) e logaritmo (LOG). 3. Funções pós-fixadas, tal como fatorial (!) 4. Potências. 5. Negação, multiplicação e divisão. 6. Adição e subtração. 7. Operadores de comparação. 8. Operadores lógicos (AND ou NOT). 9. Operadores lógicos (OR ou XOR). 10. Delimitador esquerdo de listas. 11. Igualdade ( = ).

8.2 – Constantes simbólicas A HP 48 possui 5 constantes embutidas que podem ser incluídas em expressões

algébricas como constantes simbólicas ou então como números com uma aproximação de 12 dígitos. As constantes são: • π (3,14159265359), que é a razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro. • e (2,71828182846), que é a base dos logaritmos naturais. • i [(0,1)], número complexo que é a raiz quadrada de (-1). • MAXR (9,99999999999E499), é o maior número positivo que pode ser representado na HP 48 • MINR (1.E-499) é o menor número positivo que pode ser representado na HP 48.

Essas 5 constantes estão disponíveis tanto na forma simbólica como numérica no menu

de constantes matemáticas, que pode ser acessado teclando-se G L @CONS@. Três dessas constantes também podem ser obtidas diretamente no teclado principal, digitando % * para obter π, $ % E para obter e e $ % G para obter i.

Quando o flag 02, relacionado com as constantes, estiver indicando num no visor, ao teclar as teclas correspondentes acima, será mostrado no visor o valor numérico da constante, caso contrário, se ele estiver indicando symb, será mostrado o símbolo da constante, ao pressionar a tecla respectiva. Quando a constante aparece no visor na forma simbólica, ela é mostrada entre apóstrofos ( ‘π’ ), assim como toda a expressão algébrica que contém uma ou mais constantes. Para obter o valor numérico da constante ou da expressão, apresentada no visor, basta pressionar % O, obtendo o número desejado.

A HP 48 também fornece 40 constantes físicas (juntamente com suas unidades) através do acesso feito pela biblioteca de constantes, teclando-se % 4 @COLIB@ @CONLI@.

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Introdução às Operações com Calculadoras HP © 34 8.3 – Funções definidas pelo usuário O usuário poderá adicionar suas próprias funções que irá se comportar como uma função

embutida da HP 48. O comando DEFINE permite a criação de uma função definida pelo usuário, diretamente de uma equação. Este comando é bastante útil, especialmente quando se quer calcular o valor numérico de uma função para diversos valores de uma dada variável, sem ter que digitar a mesma seqüência de teclas toda vez que se deseja realizar o cálculo. A equação que representa esta função pré-definida pelo usuário deve ter, necessariamente, a seguinte forma:

‘ nome (argumentos) = expressão ‘

Para criar uma função, proceda com os seguintes passos: 1. entre com uma equação que especifica o nome da função e seus argumentos no lado

esquerdo do sinal de igualdade e a expressão que define o cálculo, do lado direito. No lado esquerdo, utilize vírgula para separar múltiplos argumentos;

2. pressione % P (comando define – tecla DEF).

Exemplos: 1) Cria a função DELTA que calcula o valor de ∆ para equações do segundo grau Passo Ação Tela

1

Digite M para abrir o delimitador de expressões de funções e em seguida digite o nome da função e os seus argumentos, pressionando $ $ D E J R A % 0 A % / B % / C $

2

Entre com o sinal de igualdade, pressionando % 1 e em seguida com a expressão do cálculo de delta para as equações de segundo grau, digitando B W 3 - 5 + A * C e tecle ! para colocar a expressão da função no nível 1 da pilha operacional.

3 Execute o comando DEFINE pressionando % P. Note que agora a função recém-criada aparece no menu de teclas do visor da calculadora.

4

Calcule o ∆ da equação 2x2 – 5x + 8, entrando com os valores dos coeficientes um em cada nível da pilha ou com todos na linha de comando, utilizando * para separá-los, seguindo a mesma ordem dos argumentos contidos entre os parênteses da função. Digite 3 * 5 Y * 9

5 Pressione @DELTA@ para acionar a função que foi definida e obter diretamente a resposta no visor.

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2) Cria a função BVDW que calcula o valor do parâmetro b da equação de van der Waals. Passo Ação Tela

1

Digite M para abrir o delimitador de expressões de funções e em seguida digite o nome da função, seus argumentos, o sinal de igualdade e o valor da expressão, pressionando $ $ b v d U % 0 P % / R % / P $ R % 1$ $ P + R 0 % 0 9 + P !

2 Execute o comando DEFINE pressionando % P. Note que agora a função recém-criada aparece no menu de teclas do visor da calculadora.

3

Calcule o valor de b para o álcool etílico, cujas grandezas críticas são Tc = 516,3 K e Pc = 63 atm. O valor de R não foi fixado para permitir sua adequação às unidades das grandezas críticas (temperatura e pressão). Nesse caso, o R mais adequado é igual a 82,06 (cm3.atm)/(gmol.K). Entre com os valores dos argumentos um em cada nível da pilha ou com todos na linha de comando, utilizando * para separá-los, seguindo a mesma ordem dos argumentos contidos entre os parênteses da função. Digite 9 3/ 1 7! 5 2 7 / 4 ! 7 4

4 Pressione @BVDW@ para acionar a função que foi definida e obter diretamente a resposta no visor.

Exercícios:

1) Crie a função AVDW que calcula o parâmetro a da equação de estado de van der Waals, dada

pela seguinte equação: ( )

c

2c

P64RT27

=a e teste com os valores das grandezas críticas do

álcool etílico, fornecidas no exemplo anterior. 2) Crie a função VCIL que calcula o volume de um cilindro de raio r e altura h. 3) Crie a função TITU que calcula o título de uma mistura (L + V)sat a partir de grandezas do

líquido e vapor saturados e da grandeza total da mistura. 4) Crie a função GRT que calcula uma grandeza termodinâmica qualquer, a partir dos valores do

título de uma mistura de ( L + V )sat e das grandezas do líquido e vapor saturados.

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Introdução às Operações com Calculadoras HP © 36 8.4 – Integração e derivação 8.4.1 – Integrais indefinidas Integrais indefinidas são aquelas cujos limites de integração não foram definidos e

portanto, necessariamente, o resultado da integração é sempre simbólico, não havendo como obter um valor numérico. Para encontrar a integral indefinida de uma função, pressione ^ 9 e escolha o campo Integrate ... na tela do visor, posicionando o cursor sobre esse campo e apertando a tecla @@OK@@ .

Exemplo: calcular a integral indefinida dxx3∫

Passo Ação Tela

1 Entre no ambiente para teclar a expressão da integral, digitando ^9 e pressionando @@OK@@

2

Agora a tela mostra o ambiente para edição da expressão da integral. Comece a entrar diretamente com a expressão da função, que irá ocupar a linha onde está escrito ENTER EXPRESSION

3

Digite $ V W 4 !(expressão sem o sinal da integral) $ V !(variável de integração - VAR) 1 ! (limite inferior – LO) $ V ! (limite superior – HI, que é a própria variável de integração). Certifique-se que a variável da integração não existe como variável no diretório atual.

4

Se o campo RESULT estiver apresentando a palavra Symbolic pressione @OK@ para efetuar a integração e retornar à pilha operacional, caso contrário, digite Y até que essa palavra apareça no campo RESULT.

5

Para visualizar melhor o resultado da expressão da integral, digite % ! para entrar no ambiente do aplicativo Equation Writer e então resgate a equação que está na pilha operacional pressionando ^ P.

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8.4.2 – Integrais definidas A integração numérica na HP 48 utiliza um procedimento numérico iterativo para obter o resultado exato ou uma boa aproximação. Ao selecionar a integração numérica, o formato standard – STD fornece uma maior precisão no cálculo de integrais. Após o cálculo da integração a incerteza da integração é armazenada na variável IERR e pode ser acessada pelo usuário para verificar o grau de precisão do cálculo realizado.

Exemplo: calcular a integral definida dxx31

0∫

Passo Ação Tela

1 Entre no ambiente para teclar a expressão da integral, digitando ^9 e pressionando @@OK@@

2

Agora a tela mostra o ambiente para edição da expressão da integral. Comece a entrar diretamente com a expressão da função, que irá ocupar a linha onde está escrito ENTER EXPRESSION

3

Digite $ V W 4 !(expressão sem o sinal da integral) $ V !(variável de integração - VAR) 1 ! (limite inferior – LO) 2 ! (limite superior – HI, que é a própria variável de integração). Certifique-se que a variável da integração não existe como variável no diretório atual.

4

Se o campo RESULT estiver apresentando a palavra Numeric pressione @OK@ para efetuar a integração e retornar à pilha operacional, caso contrário, digite Y até que essa palavra apareça no campo RESULT ou então utilize o menu @CHOOS@ . Note que o formato do resultado da integração está especificado no campo NUMBER FORMAT

5 O resultado da integração é mostrado no nível 1 da pilha operacional depois de realizada a operação.

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8.4.3 – Derivada simbólica Do mesmo modo como explicado para a integral indefinida, também a derivação simbólica de uma função pode ser obtida por meio da sua HP 48. Uma expressão simbólica pode ser diferenciada passo-a-passo, de modo que o usuário possa acompanhar as substituições, ou então pode ser feita de uma só vez, indo direto para o resultado final. Se a expressão contiver apenas funções analíticas (aquelas para as quais a HP 48 fornece o inverso e a derivada) então se pode obter um resultado explícito para a derivada. Os passos para se obter a derivada de uma função são semelhantes aos descritos no item anterior: • pressione ^9 Q @@OK@@ para abrir o ambiente DIFFERENTIATE; • entre com a função no campo EXPR: ; • entre com a variável a ser diferenciada no campo VAR: ; • pressione Y se necessário, para mudar o resultado para o tipo simbólico; • pressione @@OK@@ para colocar a expressão da derivada da função no nível 1 da pilha. Exemplo: derivar a função y = x3. Passo Ação Tela

1 Entre no ambiente para teclar a expressão da derivada, digitando ^9Q e pressionando @@OK@@

2

Agora a tela mostra o ambiente para edição da expressão da derivada. Comece a entrar diretamente com a expressão da função, que irá ocupar a linha onde está escrito ENTER EXPRESSION

3

Digite $ V W 4 !(expressão a ser derivada) $ V !(variável da derivação - VAR). Certifique-se que a variável da integração não existe como variável no diretório atual.

4

Se o campo RESULT estiver apresentando a palavra Symbolic pressione @OK@ para efetuar a derivação e retornar à pilha operacional, caso contrário, digite Y até que essa palavra apareça no campo RESULT.

Para realizar a derivação passo-a-passo, pressione @STEP@ no menu do ambiente de diferenciação. O primeiro passo da derivação será computado e retornado para a pilha operacional. Pressione O repetidamente para avançar com a avaliação da derivada passo-a-passo.

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8.4.4 – Derivada numérica Para realizar a derivada numérica de uma expressão, siga os mesmos passos do item anterior, com a diferença que no campo RESULT deverá constar a palavra Numeric. Esse procedimento abrirá o campo VALUE: no qual deverá ser digitado o valor para o qual se deseja computar a derivada. Em seguida, pressione @@OK@@ para colocar o resultado no nível 1 da pilha operacional. Veja como ficaria a derivada numérica do exemplo do item anterior no ponto x = 4.

Depois de mudar o campo RESULT: para Numeric, aparece o campo VALUE: no qual foi digitado o valor 4.

Pressionando @@OK@@ obtém-se o resultado da derivada para x = 4.

OBS: a HP 48 também resolve equações diferenciais, mas este item não será abordado neste curso. Para tal, consulte o manual da sua calculadora no capítulo de Equações Diferenciais. Exercícios:

Calcule as integrais e derivadas (simbólicas ou numéricas, dependendo do caso) das

funções a seguir.

1) ( )dx8x6x2∫ −+ 2) dT)T593,3T7604,0T688,046,33( 3230

20

−++∫3) 20x90x45y 2 +−= 4) )x5ln(ey x +=

5) x5xy 3 −= no ponto x = 2 6)

−

= 2x6x3lny no ponto x = 4

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9 – Raízes de Equações 9.1 – O aplicativo Solve Equation Para resolver uma equação rapidamente, obtendo respostas numéricas, você normalmente utiliza o seguinte procedimento: • escreve a equação que deseja resolver; • se possível, manipula a equação de modo a isolar a variável desconhecida (incógnita); • substitui valores conhecidos para as demais variáveis; • calcula o valor da incógnita.

Com o aplicativo SOLVE da HP 48 você irá seguir um procedimento semelhante, exceto que você não precisa isolar a incógnita, o que simplifica bastante o processo.

Para resolver uma equação com uma incógnita, siga os passos:

1. pressione ^8 @@OK@@; 2. entre ou escolha a equação que você deseja resolver; 3. entre com os valores de todas as demais variáveis presentes na equação; 4. você pode optar por entrar com uma estimativa inicial para a incógnita, o que poderá fazer

com que o processo de resolução da equação seja mais rápido ou então que não corra o risco de convergir para outra raiz, quando for o caso de haver várias soluções possíveis para a equação;

5. mova o cursor para o campo da variável desconhecida e pressione @SOLVE@.

O aplicativo SOLVE pode ser utilizado para obter o valor numérico de uma variável em uma equação, expressão ou programa. Uma equação é um objeto algébrico que contém o sinal de igualdade (ex: ‘X+Y=Z’ ), nesse caso, a solução é um valor da variável desconhecida que faz com que ambos os lados da igualdade tenham o mesmo valor numérico. Uma expressão é um objeto algébrico que não contém o sinal de igualdade (ex: ‘X+Y+Z’ ) e a solução é uma raiz da expressão para a qual a incógnita faz com que a expressão seja igual a zero. Um programa que deve ser resolvido retorna como resposta uma número real, nesse caso, a solução é um valor para a incógnita que faz com que o programa retorne zero.

Ao entrar no aplicativo SOLVE digitando ^8o usuário depara com o seguinte menu de

opções:

Por esta tela, o usuário tem a opção de escolher a resolução para achar a(s) raiz(es) de: equações; equações diferenciais; polinômios, sistemas lineares e cálculos financeiros. Neste item será analisada a resolução de equações e nos itens a seguir a resolução de polinômios e sistemas lineares. A resolução de equações diferenciais e cálculos financeiros não será abordada neste curso. Para entrar com uma nova equação e achar sua raiz, utilize os passos a seguir: • abra o aplicativo SOLVE e se o cursor estiver sobre o campo Solve equation... tecle

@@OK@@, para entrar no ambiente de resolução de equações; • no campo EQ: pode haver ou não uma equação; • com o cursor neste campo digite na linha de comando a equação, expressão ou programa

(com os delimitadores apropriados) e pressione ! ou então pressione % ! e então digite a equação, expressão ou programa no ambiente do Equation Writer e então pressione !.

Para selecionar uma equação já previamente criada de modo a achar sua raiz:

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• abra o aplicativo SOLVE, se necessário, pressionando ^8; • certifique-se que o cursor esteja no campo EQ: e então pressione @CHOOS@; • utilize as setas do cursor para encontrar a variável desejada no diretório corrente. Caso ela

não esteja no diretório atual, pressione @CHOOS@ novamente, selecione então o diretório apropriado e pressione @@OK@@. Então encontre a variável desejada e pressione @@OK@@ uma vez mais para entrar com a variável no campo EQ:.

Exemplos: 1) Achar a raiz da equação da velocidade de um corpo (v = vo + at) editando esse equação no

ambiente do aplicativo SOLVE. Calcular o valor da aceleração a para um corpo que se encontra a 50 m/s, com uma velocidade inicial de 15 m/s decorridos 40 s.

Passo Ação Tela

1 Entre no aplicativo SOLVE pressionando ^8 e pressione @@OK@@

2 Digite a equação na linha de comando de acordo com a seqüência de teclas: M $ T % 1 $ T 1 - $ % A + $ % R

3

Entre com a equação no campo EQ: pressionando !. Automaticamente aparecerão campos correspondentes às variáveis. Entre então com os valores das variáveis conhecidas. Digite 5 1 ! 2 5 ! R 5 1 !Q Q(para deixar o cursor no campo da variável A: ) @SOLVE@

4 No campo A: irá aparecer o resultado obtido para a incógnita desejada.

5 Teclando & o visor volta a apresentar a pilha operacional com o nome da incógnita e seu valor ocupando o nível 1 da pilha.

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2) Neste exemplo, será utilizada uma equação que já se encontra previamente criada. Para tanto, entre com a equação H = U + PV, que calcula a entalpia de uma substância e armazena-a na variável ENTAL. Então, calcule o valor do volume específico para uma entalpia de 2977 kJ/kg, uma pressão de 100 kPa e uma energia interna de 2736 kJ/kg.

Passo Ação Tela

1 Digite M $ H % 1 $ U - P + $ V ! M $$ E L R A J $

2 Agora a equação recém-criada aparece no menu do diretório, com o nome ENTA, devido ao espaço não ter sido suficiente para aparecer todo o nome da equação.

3

Entre no aplicativo SOLVE pressionando ^8 e pressione @@OK@@. Note que agora o visor pode estar apresentando a equação e as variáveis utilizadas na última vez em que o aplicativo foi acionado.

4

Pressione @CHOOS@ para ter acesso às variáveis contidas no diretório atual, que está sendo mostrado na linha superior da janela que contém as variáveis. No caso, o diretório atual é o { HOME }. Mova o cursor até a equação desejada (se for o caso) e pressione @@OK@@.

5

Automaticamente aparecerão campos correspondentes às variáveis. Entre então com os valores das variáveis conhecidas. Digite 3 9 8 8 ! 3 8 4 7 ! 2 1 1 !(o cursor já irá parar na variável que se deseja calcular V: ) @SOLVE@

6 No campo V: irá aparecer o resultado obtido para a incógnita desejada.

7 Teclando & o visor volta a apresentar a pilha operacional com o nome da incógnita e seu valor ocupando o nível 1 da pilha.

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9.2 – Raízes de polinômios

Para calcular todas as raízes de um polinômio cuja forma geral pode ser dada por:

0axaxa...xaxa 012

21n

1nn

n =+++++ −−

o processo é bastante simples. Basta construir um vetor com os coeficientes do polinômio, em ordem decrescente do grau da incógnita dentro do ambiente do SOLVE que calcula todas as raízes de um polinômio. Exemplo: achar as raízes do polinômio x3 – 5x + 18 = 0. Passo Ação Tela

1 Entre no aplicativo SOLVE pressionando ^8 e pressione Q Q @@OK@@ para entrar no ambiente de resolução de raízes de polinômios.

2

Se o campo COEFFICIENTS estiver acionado comece a digitar os coeficientes do polinômio na linha de comando (não se esquecendo de digitar os delimitadores apropriados). Digite % + 2 * 1 * 5 Y * 29 ! (não esquecendo de colocar 0 para o coeficiente do termo x2). Agora com o campo ROOTS: acionado pressione @SOLVE@.

3 Uma matriz com as raízes do polinômio irá aparecer no campo ROOTS: e uma cópia dessa matriz é enviada para a pilha operacional.

4

Pressionando & retorna à pilha operacional, podendo visualizar as raízes do polinômio. Para visualizar melhor os resultados, digite % K e utilize os comandos de rolagem da pilha operacional.

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9.3 – Resolvendo um sistema de equações lineares

A HP 48 é capaz de resolver um sistema de equações lineares. Para criar seu próprio sistema de equações, você pode escolhê-las a partir de equações que você já criou e armazenou em sua calculadora ou então você pode entrar com elas diretamente na calculadora. Comentários sobre sistemas de equações lineares foram realizados no item 6.2 desta apostila. Neste item será dado apenas um exemplo numérico para ilustrar a resolução de sistemas de equações lineares utilizando a HP 48. Exemplo: deseja-se preparar 500 lbm uma solução de soda cáustica (NaOH) com uma concentração de 32 % em massa a uma temperatura de 180 oF, utilizando-se para isso três outras soluções que se encontram a temperaturas e concentrações diferentes, conforme a tabela abaixo. Qual a massa de cada uma das soluções a ser utilizada para preparar a solução desejada ? Nas condições dadas, a solução final possui uma entalpia específica de 135 Btu/lbm.

Solução Concentração (% em massa)

T (oF)

Entalpia (Btu/lbm)

1 20 150 100

2 40 190 150

3 50 170 200 OBS: dados obtidos do diagrama entalpia-concentração para soluções de NaOH.

Utilizando-se as informações fornecidas, pode-se montar o seguinte sistema de equações: Balanço de massa total: m1 + m2 + m3 = 500 Balanço de massa p/ NaOH: 0,2m1 + 0,4m2 + 0,5m3 = 160 (32 % de 500 lbm) Balanço de energia total: 100m1 + 150m2 + 200m3 = 67500 (500 lbm x 135 Btu/lbm) Colocando esse sistema de equações na forma matricial, tem-se:

=

67500160 500

3m2m1m

. 200 150 100

0,5 0,4 0,21 1 1

Para resolver este sistema linear na HP 48, siga os passos abaixo: Passo Ação Tela

1 Entrar no ambiente do aplicativo Solve linear system, digitando ^8 Q Q Q e então pressione @@OK@@

2

No ambiente de resolução de sistemas lineares, com o cursor no campo A: clique em @EDIT@ para abrir o ambiente de edição de matrizes, ative a tecla @@GO@@ → e entre com a matriz A dos coeficientes.

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3 Digite 1 1 1!Q0 - 2 0 - 4 0 - 5 ! 1 0 0 1 5 0 2 0 0 !!

4 Entrar com a matriz B de constantes, digitando Q e @EDIT@ @@GO@@↓ 5 1 1 * 2 7 1 * 7 8 5 1 1 !!

5 Agora leve o cursor para o campo X: e pressione @SOLVE@ para achar os valores das variáveis

6

Para visualizar melhor a resposta, pressione @EDIT@ ou então L @@OK@@ para inserir o vetor de resposta das massas das soluções na pilha operacional. Conforme se pode observar, a resposta seria misturar 250 lbm da solução 1, 150 lbm da solução 2 e 100 lbm da solução 3.

9.4 – SOLVR um ambiente alternativo Existe um ambiente alternativo para resolução de equações na HP 48 que utiliza as mesmas rotinas para cálculo de raízes de equações que o aplicativo Solve Equation, mas que permite ao usuário continuar visualizando e utilizando a pilha operacional simultaneamente. Veja o exemplo a seguir: Exemplo: em um secador industrial, a quantidade de calor total transferido pode ser dada pela

equação na qual: m67,0 tLDG4,0Q ∆=

Q = calor transferido (Btu/h); L = comprimento do secador (ft); D = diâmetro do secador (ft); G = velocidade mássica do gás (lbm/h.ft2); ∆tm = média logarítmica entre a temperatura de bulbo úmido na entrada e saída do secador (oF). Calcule o valor de G quando: Q = 4.000 Btu/h; L = 30 ft; D = 5 (ft) e ∆tm = 250 oF.

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Passo Ação Tela

1

Digite a equação na linha de comando (ou no editor de equações) e coloque-a no nível 1 da pilha operacional, de acordo com a seguinte seqüência de teclas: M $ O % 1 1 / 5 + $ J + $ D + $ G W 1 / 7 8 + $ D $ R !

2

Armazene a equação na variável EQ (necessariamente a variável deve ter este nome) e entre no ambiente SOLVR (certifique-se que não exista nenhum objeto no diretório atual com os mesmos nomes das variáveis que você está utilizando. Digite M $ $ E Q $ O % 8 @ROOT@ @@EQ@@

3

Agora digite @SOLVR@. Você verá as variáveis da equação atual dispostas como menus de fundo branco na linha inferior da tela e a equação atual aparecerá na parte superior do visor.

4

Armazene os valores das variáveis conhecidas, digitando 5 1 1 1 A 4 1 B 5 C 3 5 1 E . Note que na parte superior aparece o nome da variável com seu respectivo valor.

5 Calcule a incógnita (G) digitando % D

6 Como último passo, verifique os dois lados da equação para se certificar do resultado, pressionando @EXPR=@

9.5 – Equações quadráticas Para resolver rapidamente equações quadráticas utilizando sua HP 48 utilize os passos a seguir: 1. pressione ^9 K K @@OK@@ para abrir o ambiente @SOLVE@QUADRATIC@; 2. entre com uma equação quadrática ou expressão que deseja resolver no campo EXPR:; 3. entre com a variável que você deseja resolver no campo VAR:; 4. o usuário poderá optar pelo resultado na forma numérica ou simbólica; 5. dê um check no campo PRINCIPAL se você desejar ver apenas a solução principal; 6. pressione @@OK@@ para resolver a equação quadrática.

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mailto:QUADRATIC@;


10 – Plotagem de Gráficos e Análise de Funções 10.1 – O aplicativo PLOT O aplicativo PLOT permite desenhar gráficos de uma ou mais funções em vários formatos, calcular raízes e outros parâmetros, plotar dados estatísticos e personalizar gráficos com elementos adicionais. O menu PICTURE FCN (acionado pelas teclas % P @FCN@) permite a análise do comportamento matemático de funções plotadas. É possível calcular valores de funções, coeficiente angular, áreas sob curvas, raízes, extremos e outros pontos críticos e interseções de duas curvas. É possível também plotar derivadas de funções plotadas. Exemplo: plote o gráfico da função y = x3 - 2x2 – 5x + 6 e encontre todas as suas raízes reais (pontos nos quais o gráfico toca o eixo x). Passo Ação Tela

1

Inicie o aplicativo PLOT digitando ^9 e escolha o tipo de função, digitando K $ F O , deixando o cursor em posição de reinicializar os padrões de plotagem.

2

Tecle B Q ! para reinicializar os padrões. Em seguida tecle % ! para abrir o ambiente do Equation Writer a fim de digitar a equação desejada. Pressione $ X W 4 Q - 3 $ X W 3 Q - 5$X-7 !

3

Apague o conteúdo da tela gráfica (que poderia conter alguma função já plotada anteriormente) e plote a função correspondente à equação que você acabou de entrar, pressionando @ERASE@ @DRAW@

4

Você pode verificar que existe apenas uma única raiz real para esta equação (função). Faça um zoom no eixo vertical para ver melhor o gráfico, digitando @ZOOM@ L @VZOUT@ (que é um dos 15 diferentes tipos de zoom da sua HP 48).

5

Para encontrar a raiz da função, utilize as teclas de cursor para posicioná-lo próximo à raiz desejada (quando houver mais de uma) e pressione @FCN@ @ROOT@. Na parte de baixo do visor aparecerá o valor da raiz.

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6 Para encontrar uma outra raiz mova, por exemplo, o cursor até a raiz mais à esquerda e pressione L @ROOT@.

7 Para encontrar a terceira raiz (mais à direita) mova novamente o cursor e pressione uma vez mais L @ROOT@.

8

Para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função num ponto qualquer, por exemplo, x = -2, ative o modo TRACE pressionando L L @PICT@ @TRACE@ e use as teclas de cursor (P ou R) para posicioná-lo no ponto x = -2 e y = 0. Para isso, ative o modo que mostra as coordenadas do cursor, pressionando @(X,Y)@.

9 Quando o valor da abscissa for igual a – 2 encontre a inclinação da tangente nesse ponto pressionando L @FCN@ @SLOPE@

10

Mova agora o cursor até o ponto x = 2 e plote a linha tangente ao gráfico da função nesse ponto, pressionando L L @PICT@ @(X,Y)@ R (se necessário) L (para o menu reaparecer) e @FCN@ L @TANL@. Certifique-se que a função TRACE continua acionada.

11

Para determinar o ponto de mínimo local, já próximo do ponto atual do cursor, pressione L L @EXTR@, que mostrará na parte inferior da tela o ponto de mínimo local (2,12 ; 4,06).

12

Para determinar o ponto de máximo local, mova o cursor para próximo desse ponto pressionando L e as teclas do cursor e em seguida pressione @EXTR@ novamente.

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13

Para determinar os pontos de inflexão que são os pontos críticos do gráfico da derivada primeira, desenhe o gráfico da derivada da função e em seguida encontre seu ponto crítico. Pressione L L @@F@@ @FCN@ @EXTR@.

14 Calcule agora os pontos de interseção entre os gráficos da função e de sua derivada. Pressione L @ISECT@

15 Posicione o cursor próximo do outro ponto de interseção e ache esse ponto, pressionando L, teclas do cursor e novamente @ISECT@.

Exemplo: calcular a área sob o gráfico de f(x) = 1/x entre x = 2 e x = 0,5. Hachure a área e faça um zoom na mesma. Passo Ação Tela

1

Reinicialize todos os padrões do aplicativo PLOT e construa o gráfico da função do exemplo, pressionando ^ 9 K $ F Q B Q ! M 2 0 $ X !

2 Pressione @ERASE@ @DRAW@ para apagar qualquer gráfico já traçado previamente e para traçar o gráfico da função atual (1/x).

3

Use o zoom decimal para forçar o escalonamento do eixo horizontal para que cada pixel se iguale exatamente a unidade de 0,1, pressionando @ZOOM@ L L @ZDECI@ @(@X,Y@)@

4 Leve o cursor até o x = 0,5 e pressione + para marcar a posição do cursor.

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5

Agora leve o cursor até x = 2 e pressione L @FCN@ @AREA@ para obter o valor da área sob a curva entre os pontos x = 0,5 e x = 2. Note que o valor da área é

exatamente o valor de: 3863,15,0ln2lndxx1

2

5,0

=−=∫

6 Para hachurar a área calculada, pressione L @SHADE@

7

Agora para dar um zoom na área hachurada, mova o cursor para um canto escolhido da região de interesse e use o zoom retangular, clicando @ZOOM@ @BOXZ@ marcando a região com as teclas de cursor.

8 Agora clique em @ZOOM@ para ver a área de perto (note que o hachurado desaparece).

Exercícios: 1) Construa o gráfico da função f(x) = x2 e determine o ponto mínimo dessa função. 2) Construa o gráfico da função f(x) = 2x2 – 3x e determine a equação da reta tangente no ponto

x = 2 e o ponto de mínimo dessa função. 3) Verifique a localização dos pontos de pico do gráfico da seguinte função: f(x) = x/(x2 – 3x + 2). 4) Ache a equação da reta tangente a y = 6/(x + 2) no ponto x = 1. 5) Calcular e hachurar a área sob a curva da função dada por y = x4/(7 + x5)1/3 entre x = 0 e x = 1. 6) Calcular e hachurar a área delimitada pela curva dada por y = x2 entre x = -2 e x = 3.

7) Calcule o valor da integral dxx1x

2

1

2

∫

+ .

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11 – Probabilidade e Estatística 11.1 – O aplicativo STAT Na calculadora HP 48 os dados podem ser armazenados na forma de dois objetos diferentes: matrizes ou listas. Em geral, as listas são mais adequadas para análise estatística de uma variável e matrizes para várias variáveis. Matrizes só podem conter dados numéricos, mas listas podem conter qualquer tipo de dado. O aplicativo STAT sempre utiliza dados na forma de matrizes, que ficam armazenados na matriz estatística corrente, denominada ΣDAT. O aplicativo STAT é iniciado com a seqüência de teclas ^ 5. Os submenus correspondentes podem ser acessados com % 5.

Menus do aplicativo Estatísticas de variável simples

Freqüência de distribuição de dados

Ajuste de dados a modelos pré-definidos

Tela inicial do aplicativo STAT

Resumo estatístico

Para entrar com dados estatísticos na forma de lista, pressione % - para começar a lista e digite cada dado seguido por *. Pressione ! após digitar o dado final. Essa lista poderá ser armazenada numa variável que você pode criar, a fim de gravá-la para ser usada posteriormente. A seguir serão dados alguns exemplos de utilização do aplicativo STATS.

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Exemplo: um termopar com mostrador digital de temperatura foi utilizado para monitorar a corrente de vapor de saída de uma caldeira, durante sua partida, realizando uma medida da temperatura a cada hora, durante 5 horas. A tabela a seguir apresenta os resultados obtidos:

Amostra Temperatura (oC)1 100 2 110 3 122 4 135 5 160

Determinar: a) a média e o desvio padrão amostral dos valores x e y; b) o modelo de regressão linear (calculando por extrapolação, y para x = 7); c) o melhor modelo de regressão y = f(x) para este exemplo; d) resumo estatístico (Σx, Σy, Σx2

, Σy2). Passo Ação Tela

1 Entrar com a matriz dos dados, apagando alguma matriz anterior se for o caso. Digite ^5 ! ou @@OK@@ e B ! (se necessário)

2 Pressione @EDIT@ ative @@GO@@→ e entre com os dados, pressionando 2 * 2 1 1 ! Q 3 * 2 2 1 * 4 * 2 3 3 * 5 * 2 4 5 * 5 * 2 7 1 !

3 Tecle ! novamente para voltar ao menu anterior.

4

Para processar a coluna 1 da matriz ΣDAT e obter a média e desvio padrão amostral dos valores de x digite R 2 ! $ U R @@CHK@@ R @@CHK@@ @@OK@@ e pressione % I @FMT@ 5 @@FIX@@ (para mudar o modo numérico para fixo com quatro casas decimais).

5 Processar agora a coluna 2 da matriz e obter sua média e desvio padrão. Pressione ^5 ! R 3 ! R @CHK@ R @CHK@ @@OK@@

6 Para calcular o resumo das estatísticas pressione ^ 5 K ! Q 2 ! 3 ! @CHK@ R @CHK@ R @CHK@ R @CHK@ @@OK@@

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Para fazer a regressão linear e estimar y para x = 7 é preciso ativar o menu de ajuste de dados, pressionando ^5 QQ ! QQ @CHOOS@ . Este procedimento levará ao seguinte ambiente do visor:

Neste visor o usuário poderá optar por 5 modelos diferentes para realizar a regressão dos dados armazenados na matriz, conforme mostrado a seguir:

Nome do modelo Equação do modelo Ajuste linear (linear fit) y = a + bx Ajuste logarítmico (logarithmic fit) y = a + b.ln(x) Ajuste exponencial (exponential fit) y = a.ebx Ajuste polinomial (power fit) y = a.xb Melhor ajuste (best fit) usa o modelo que melhor se ajusta aos dados

Prosseguindo então com a regressão, siga os passos abaixo: Passo Ação Tela

1

Digite ! @PRED@ K 8 ! . Após essa seqüência de teclas o cursor estará no campo Y: que é a variável para a qual se pretende calcular o valor por extrapolação, utilizando o modelo de regressão linear.

2 Pressione então @PRED@ para que o modelo faça a predição do valor de y.

3 Para visualizar na pilha operacional a equação do modelo juntamente com o seu coeficiente de correlação e a covariância pressione & (cancel) @@OK@@.

Conforme observado na tela de sua HP 48, o coeficiente de correlação (símbolo r) foi de 0,9813, indicando que os dados se ajustam bem a uma reta, pois quanto mais próximo de 1,0 melhor será o ajuste. É possível porém verificar se o modelo linear escolhido é realmente aquele que tem o maior coeficiente de correlação, ou seja, se é o que melhor ajusta (modela) os dados. Para tal, basta digitar a seguinte seqüência de teclas: % 5 @+PAR@ @MODL@ @BESTF@, obtendo então:

que indica ser o modelo exponencial dado por y = 87,758.e0,1145 o que tem o maior coeficiente de correlação, r = 0,9925, que pode ser verificado digitando-se % 5 @FIT@ @CORR@.

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O aplicativo STATS também realiza cálculos de probabilidade e estatísticas de teste. No primeiro caso, utilizando os comandos do menu PROB ( G L @PROB@ ) tem-se acesso aos menus que calculam combinações, permutações, fatoriais e números aleatórios. Clicando-se em L tem-se acesso aos menus de cálculos de probabilidades upper-tail de variáveis estatísticas de teste. Aqui serão abordados apenas os comandos de probabilidade, ficando a cargo do usuário a leitura do manual da calculadora para maiores informações sobre os comandos das estatísticas de teste. A tabela a seguir apresenta os comandos de probabilidade e sua descrição, em seguida, apresenta-se um exemplo.

Tecla Descrição

@@COMB@@ número de combinações de n elementos (no nível 2) tomados m (no nível 1) por vez

@@PERM@@ número de permutações de n elementos (no nível 2) tomados m (no nível 1) por vez

@@@@I@@@@ fatorial de um número inteiro positivo. Para números não-inteiros, retorna Gama de x+1

@RAND@ retorna o próximo número real n (0 ≤ n ≤ 1) em uma seqüência numérica pseudo-randômica. Cada número real se torna a origem do próximo número randômico

@@RDZ@@ toma o número real do nível 1 como uma origem do próximo número randômico

Exemplo: calcular a probabilidade de acertar a Mega Sena (6 dezenas em 60) com apenas 1 cartão. Digite a seguinte seqüência de teclas: B (para limpar a tela) 7 1 * 7 G L @PROB@ @COMB@

ou seja, 1 em mais de 50 milhões ! Boa sorte ! Exercícios: 1) Amônia é comprimida em um dispositivo pistão-cilindro de um estado inicial de 30 oC e 500 kPa até uma pressão final de 1400 kPa. Os dados abaixo foram obtidos durante esse processo de compressão:

P (kPa) 500 653 802 945 1100 1248 1400 V (L) 1,25 1,08 0,96 0,84 0,72 0,60 0,50

Faça uma análise estatística completa desses dados, determinando médias, desvios-padrão, resumo estatístico, ajuste de dados (utilizando todos os modelos disponíveis em sua HP e determinando o melhor a ser utilizado) e também calcule qual seria o volume a 1000 kPa, utilizando a correlação obtida no seu modelo. 2) A pressão de vapor (pressão de saturação) da água, foi medida para diversas temperaturas diferentes, obtendo-se o seguinte conjunto de dados: P (mmHg) 5 24 93 289 760

T (oC) 0 25 50 100 75 repita todo o procedimento de análise estatística, realizado no exercício anterior e calcule qual a pressão de vapor a 80 oC utilizando a correlação obtida no seu modelo de ajuste. Compare o valor calculado com o valor obtido em uma tabela de vapor, calculando o desvio entre esses dados.

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12 – A Biblioteca de Equações 12.1 – O aplicativo Equation Library A Biblioteca de Equações (Equation Library) de sua HP 48 é uma coleção de equações e comandos que permitem ao usuário resolver problemas comuns de engenharia e ciências. Ela possui mais de 300 tipos de equações, agrupadas em 15 tópicos técnicos que contêm mais de 100 títulos de problemas. Cada problema contém uma ou mais equações que ajudam a resolver aquele tipo de problema. No manual do usuário da HP 48 o Apêndice F apresenta uma tabela desses grupos e de suas equações. Para resolver um problema utilizando a biblioteca de equações utilize os seguintes passos: 1. pressione ^4 para iniciar a biblioteca; 2. selecione a opção do sistema de unidades que você deseja trabalhar pressionando @@SI@@ ou @ENGL@ e em

seguida as teclas do menu @UNITS@; 3. escolha o campo que você deseja, utilizando K ou Q e depois pressione !; 4. selecione o título desejado; 5. para cada variável conhecida da equação digite o seu valor e pressione o menu correspondente.

Pressione L se necessário para acessar variáveis adicionais; 6. pressione @SOLV@ para iniciar a resolução do problema; 7. quando possível, forneça uma estimativa inicial da variável desconhecida (incógnita) pois isso poderá

acelerar o processo de resolução; 8. pressione % seguido da tecla de menu da variável para a qual você deseja resolver. Se você estiver

resolvendo um sistema de equações, você pode pressionar % @ALL@ para resolver as incógnitas remanescentes, ou seja, as variáveis que ainda não foram previamente definidas.

Quando você aciona o menu a calculadora abandona o menu da Biblioteca de Equações e começa

a resolver a equação selecionada, fazendo o seguinte: • a(s) equação(ões) são armazenadas numa variável apropriada: EQ quando for uma só equação e EQ e

Mpar para mais de uma equação (Mpar é um nome reservado). • Cada variável é criada e a ela é atribuído o valor zero, a menos que ela já exista. • As unidades de cada variáveis são condicionadas ao sistema de unidade escolhido (SI ou Sistema

Inglês), a menos que a variável já exista e possua unidades consistentes especificadas pelo usuário. • A resolução da equação é iniciada, utilizando o ambiente do aplicativo SOLVR (ver item 9.4).

Quando você seleciona um campo e um título na Biblioteca de Equações, você especifica um

conjunto de uma ou mais equações, a partir da(s) qual(is) você pode obter as seguintes informações: • o formato da equação em si e o número de equações existentes para o campo selecionado; • as variáveis utilizadas e suas unidades (as quais podem ser alteradas); • uma figura do sistema físico em questão (para grande parte das equações existentes).

Para visualizar a biblioteca de constantes envolvendo grandezas físicas, números matemáticos, etc,

pressione % 4 @COLIB@ @CONLI@. O usuário poderá optar por visualizar a descrição do símbolo da constante ou o seu valor, pressionando para isso o menu @VALUE@. Poderá também escolher as unidades dessas constantes (SI ou sistema inglês) e poderá enviar para a pilha operacional qualquer uma dessas constantes, conforme mostram as telas abaixo:

Tela com a definição das

constantes Tela com os valores numéricos

das constantes Constante ocupando o nível 1 da

pilha após teclar →@STACK@

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Introdução às Operações com Calculadoras HP © 56 Exemplo: para o escoamento de fluidos em dutos fechados, visualizar as equações que

calculam as variáveis envolvidas nesse escoamento e também as figuras que esquematizam as variáveis envolvidas. Passo Ação Tela

1

Entre na biblioteca de equações de sua HP 48 pressionando ^4 e em seguida pressione Q Q para selecionar o campo relativo a fluidos. Verifique se o sistema de unidades desejado está com a marca de checagem e então tecle ! para entrar no ambiente de equações de fluidos.

2 Pressione K para selecionar o campo de escoamento em dutos fechados e então pressione ! para acessar as equações dessa área.

3 A tela mostra agora a primeira de oito equações (1 OF 8 *) utilizadas em cálculos de escoamento de fluidos em dutos fechados.

4 Para visualizar as variáveis que estão presentes nessas equações, pressione @VARS@.

5 Pressionando @PIC@ será mostrada na tela da calculadora um esquema físico do assunto em questão, com suas variáveis.

6 Pressionando @EQN@ ou @NXEQ@ o visor mostrará a forma da equação no formato do ambiente Equation Writer.

7 Pressionando ! volta a mostrar a forma da equação atual como um objeto algébrico.

8

Pressionando ! novamente ou então se utilizando as teclas K ou Q, as próximas equações podem ser visualizadas. Por exemplo, após teclar ! 6 vezes ou pressionar K 2 vezes tem-se a tela ao lado.

9 Pressionando →@STK@ mostra a forma da equação colocando na pilha operacional.

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Introdução às Operações com Calculadoras HP © 57 12.2 – Utilizando a biblioteca de equações

Exemplo: utilize a biblioteca de equações para introduzir na sua calculadora o ambiente de resolução que permite calcular o volume de um cone e calcule seu volume para um raio de 4 cm e uma altura de 9 cm. Passo Ação Tela

1 Entre na biblioteca de equações de sua HP 48 pressionando ^4 e em seguida pressione K 4 vezes para selecionar o campo relativo à geometria de sólidos.

2 Tecle ! para entrar nesse ambiente.

3 Pressione ! novamente para selecionar as equações ligadas ao cone. A tela mostra agora a primeira de cinco equações (1 OF 5 *) que no caso é a equação desejada, para calcular o volume de um cone.

4 Pressionando @SOLV@ a calculadora abrirá o ambiente do SOLVR para o cone, com as variáveis envolvidas na equação do volume ocupando o menu inferior da tela, no formato com fundo branco, que caracteriza esse ambiente.

5

Entre com os valores do raio e da altura pressionando 5 e a tecla branca correspondente à variável raio (R) e em seguida pressione 9 e a tecla correspondente à variável altura (H). Note que agora as teclas das variáveis para as quais foram atribuídos valores estão com o fundo preto.

6

Para calcular o volume, tecle % e a tecla correspondente a essa variável. O valor do resultado irá aparecer no nível 1 da pilha operacional e pequenas marcas aparecem ao lado das variáveis, mostrando que já existem valores atribuídos a elas. Note que a unidade do volume está em cm3, coerente com as unidades da altura e do raio.

Exercício: Utilizando a biblioteca de equações de sua HP 48, calcule o número de moles de um gás ideal que está contido em um cilindro que se encontra a uma pressão de 200 kPa, a uma temperatura de 20 oC e que possui um volume de 0,1 m3.

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Anexo – Funções Acessadas Diretamente pelo Teclado da HP 48

Função Descrição

Adiciona uma nova linha na linha de comando.

Indica o início de uma lista de variáveis utilizadas em um programa.

x Retorna a raiz quadrada do número que está no nível 1 da pilha operacional.

x y Extrai a raiz x (nível 2 da pilha) do número y (nível 1 da pilha).

% Tecla de shift esquerdo, que permite acessar as funções em roxo no teclado da calculadora

α Aciona o teclado alfabético da calculadora, permitindo digitar as letras.

∠ Entra com o símbolo de ângulo na linha de comando.

∂ Calcula a derivada de uma expressão (y) com relação a uma variável especificada (x).

∫ Integra uma expressão (y) dentro de limites especificados com relação a uma variável de integração (x).

# Introduz o símbolo # na linha de comando.

π Retorna o valor da constante pi (simbólico ou numérico, dependendo do flag -2).

Σ Calcula o somatório de uma expressão (x) avaliada várias vezes com relação a um índice que varia num intervalo determinado.

( ) Introduz delimitadores de parênteses, utilizados em equações e números complexos.

, Insere uma vírgula para compor números complexos.

: : Utilizado em linguagem de programação.

B Apaga todo o conteúdo da pilha operacional.

[ ] Delimitadores de colchetes, utilizados na composição de vetores e matrizes.

^ Tecla de shift direito, para acessar as funções em verde no teclado da calculadora.

__ Utilizado para separar um número de sua unidade.

{ } Delimitadores de chaves, utilizados na criação de listas.

“ ” Aspas, utilizadas em linguagem de programação.

+/– Inverte o sinal de um número de positivo para negativo e vice-versa. Também altera o padrão do cursor de escuro com fundo claro e claro com fundo escuro.

<< >> Delimitadores que marcam o início e o fim de um programa.

= Sinal de igualdade utilizado em equações.

1/X Calcula o inverso de um número x que ocupa o nível 1 da pilha operacional.

1OX Calcula o valor de 10 elevado a um número x que ocupa o nível 1 da pilha.

ACOS Retorna o valor do arco seno do número que ocupa o nível 1 da pilha.

ARG Retorna o ângulo polar (θ) de um número complexo (x).

ASIN Retorno o valor do arco coseno de um número que ocupa o nível 1 da pilha.

ATAN Retorna o valor do arco tangente de um número que ocupa o nível 1 da pilha.

CHARS Acessa as telas com caracteres especiais da calculadora.

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CLEAR Limpa a pilha operacional.

CMD Mostra os quatro últimos valores entrados na linha de comando.

CONT Reinicia um programa que teve sua execução suspensa.

COS Retorna o valor do co-seno de um número que ocupa o nível 1 da pilha.

CST Retorna o conteúdo da variável CST.

DEF Cria uma variável ou uma função definida pelo usuário.

DROP Apaga o objeto do nível 1 da pilha operacional e move os objetos remanescentes um nível para baixo.

EDIT Introduz o menu de edição da pilha operacional.

EEX Faz com que um número da linha de comando seja multiplicado por 10 elevado a um outro número a ser digitado.

ENTER Entra com dados na calculadora.

ENTRY Alterna entre entrada imediata e entrada de programa e entre entrada de programa e entrada algébrica de dados.

EQ LIB Acessa a biblioteca de equações da calculadora.

EQUATION Entra no ambiente de edição de equações.

EVAL Calcula o valor de uma expressão.

eX Retorna o valor da constante e (base do logaritmo natural) elevada a um número x que ocupa o nível 1 da pilha operacional.

HOME Retorna ao diretório HOME.

I Delimitador para introduzir expressões e equações.

I/O Acessa o ambiente de transmissão de dados.

LIBRARY Acessa bibliotecas de dados introduzidas na calculadora.

LN Retorna o valor do logaritmo natural do número que ocupa o nível 1 da pilha operacional.

LOG Retorna o valor do logaritmo (base 10) do número que ocupa o nível 1 da pilha.

MATRIX Entra no ambiente de edição de matrizes.

MEMORY Apresenta todos os objetos do diretório atual.

MENU Apresenta o menu do diretório atual.

MODES Entra no ambiente de seleção dos modos da calculadora.

MTH Apresenta na tela o menu matemático da calculadora.

NUM Transforma um objeto simbólico em numérico.

NXT Apresenta a próxima lista de opções de menu.

OFF Desliga a calculadora.

ON Liga a calculadora e também cancela alguma operação quando a mesma já está ligada.

PICTURE Acessa uma figura para realizar edição.

PLOT Entra no ambiente de edição de gráficos.

POLAR Seleciona modo de plotagem de gráficos no sistema de unidades polares.

PREV Alterna o menu da tela para o menu previamente utilizado.

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PRG Apresenta na tela o menu de funções utilizadas em programação.

PURG Elimina uma ou mais variáveis especificadas.

RAD Seleciona modo de ângulo em radianos.

RCL Recupera um objeto armazenada na variável especificada, colocando-o na pilha operacional.

SIN Retorna o valor do seno do número que ocupa o nível 1 da pilha operacional.

SOLVE Inicia o procedimento de resolução para um problema corrente.

STACK Introduz o menu de edição dos valores contidos na pilha operacional e permite deslizar com o cursor pelos diversos níveis da pilha, utilizando as teclas de cursor.

STAT Entra no ambiente de análise estatística e ajuste de dados.

STO Armazena o objeto (nível 2) numa variável específica (nível 1).

SWAP Troca os objetos dos níveis 1 e 2 da pilha operacional de lugar, entre si.

SYMBOLIC Entra no ambiente de solução de equações, equações diferenciais, integrais e derivadas.

TAN Retorna o valor da tangente do número que está no nível 1 da pilha operacional.

TIME Entra no ambiente para edição das horas, data e alarme da calculadora.

UNDO Desfaz a última operação realizada.

UNITS Introduz o menu de unidades na tela da calculadora.

UP Sobe um nível na grade de diretórios da calculadora.

USER Ativa o modo do usuário.

VAR Lista todas as variáveis do diretório atual.

VIEW Copia o objeto que está no nível atual da pilha para um ambiente apropriado para melhor visualizá-lo.

x2 Eleva o número que está no nível 1 da pilha ao quadrado.

yX Ele o número que está no nível 1 da pilha ao número que está no nível 2.

Bibliografia:

• FILHO, G. P.; “Guia Prático Calculadoras HP 48 G/G+/GX”, editoração eletrônica pelo próprio autor, 2000.

• HEWLETT PACKARD; “HP 48G Series – User’s Guide”, 8a edição, 1994.

• PERRY & CHILTON; “Manual de Engenharia Química”, 5a edição, Guanabara Dois, 1984.

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introduÇÃo Às operaÇÕes com calculadoras hp48 · prefácio esta apostila foi elaborada a...

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