weit 2013 introdução à lógica fuzzy -...

WEIT 2013Introdução à Lógica Fuzzy

Benjamın R. Callejas Bedregal

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN

Departamento de Informatica e Matematica Aplicada – DIMAp

Grupo de Logica, Linguagem, Informacao, Teoria e Aplicacoes – LoLITA

[email protected]

WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 1/111

AGENDA

Motivação;

Introdução;

Teoria dos Conjuntos Fuzzy;

Lógica Fuzzy;

Relações e Composição Fuzzy;

Sistemas Fuzzy Baseados em Regras;

Tomada de Decisão; e

Considerações Finais.


MOTIVAÇÃO


Imprecisão dos conceitos

Não se imagina que tudo é vago até que se tentafaze-lo de maneira precisa. Bertrand Russel

Quando as leis da matemática referem-se à realidadeelas não estão certas. Quando estas leis estão certaselas não se referem à realidade. Albert Einstein

Uma mente educada está satisfeita com o grau deprecisão que a natureza do sujeito admite e não buscaexatidão onde apenas aproximação é possível.Aristóteles


Teorias Matemáticas de Incertezas

As 3 mais importantes:

Teoria das probabilidades (Blaise Pascal em 1654):estudo matemático das probabilidades,

Matemática intervalar (Ramon Moore em 1959):Impossibilidade de se manipular o valor exato, e

Lógica fuzzy (Lotfi Zadeh em 1965): Imprecisãodos conceitos.

Outras teorias matemáticas que lidam com incertezas:Teoria Generalizada da Incerteza (Zadeh 2005),Shadow sets (Pedrycz 1998), teoria deDempster-Shafer (Dempster 1967 e Shafer 1976),rough sets (Pawlak 1991), etc.


Limitações da Lógica Aristotélica

Os predicados são sempre ou verdadeiros ou falsos(isto é conhecido como Lei do terceiro Excluído).

Quando associamos a um predicado P o conjunto A

de objetos do universo de discurso U que satisfazemP , então isto é equivalente a dizer que todo elementode U ou pertence ou não pertence ao conjunto A.

Ex: uma figura geométrica ou é um quadrado ou não,ou equivalentemente pertence ou não ao conjunto dosquadrados.

Existe uma estreita relação entre lógica Aristótelicacom a Teoria dos Conjuntos.


Paradoxo de Sorites

Embora a teoria clássica dos conjuntos seja a base damatemática moderna, tem problemas para modelar amaioria dos problemas reais.

O problema da escolha do limiar entre dois conjuntos(alto ou não alto), denominado de paradoxo de sorites(que em grego significa feixe ou monte), é atribuído aEubulides de Mileto, um dialético adversário deAristóteles.

“Quando um monte de areia deixa de ser um monte deareia, caso tiremos um grão de areia de cada vez?”


INTRODUÇÃO


Conjuntos fuzzy

Na teoria dos conjuntos fuzzy (TCF) todo objeto douniverso de discurso “pertence” ao conjunto em algumgrau. Tipicamente valores no intervalo [0, 1], onde 0significa que absolutamente não está e 1 que estácompletamente.

Graus intermediarios, refletem um grau de incertezaenquanto a pertinência ou não do objeto ao conjunto.Quanto mais próximo de 0.5, maior a incerteza.

TCF foi introduzida por Lotfali Askar-Zadeh (maisconhecido como Lotfi A. Zadeh) em 1965.


Aplicações de LF

1. Sistemas fuzzy que controlam nos carros a força comque os freios são acionados para evitar derrapagens, asuspensão, tração, caixa de câmbios, etc.

2. No controle e otimização do trafico em cidades,rodovias, aereo, etc.

3. Na determinação do risco de investimentos e deoutras naturezas.

4. No apoio à tomada de Decisão

5. Em medicina no diagnóstico de doenças, quantificaçãodo QI em adultos, em epidemiologia, etc..

6. etc.WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 10/111

Aplicações de LF


Lógica fuzzy não é probabilidade

Copo contendo um líquido com 0,5 de probabilidadede

ser letal.

Copo contendo um líquido que tem um grau de pertinência 0,5

aos líquidos letais.

Se você for obrigado a escolher um copo para beber, qual

escolherias?


TEORIA DOS CONJUNTOSFUZZY


Função característica

Universo de discurso

Em teoria dos conjuntos clássica todo conjunto A numdeterminado universo de discurso U pode seridentificado com a função χA : U → {0, 1} definida por:

χA(x) =

1 , se x ∈ A

0 , se x 6∈ A

χA é chamada função característica do conjunto A.


Exemplo Função característica

Objetos vs. Dados

Exemplo: O conjunto das pessoas consideradasidosas (idades) pela lei brasileira pode serrepresentado pelo seguinte gráfico:

χ idoso

1

Idade 65


Conjuntos fuzzy

Um conjunto fuzzy pode ser vista através dos graus depertinência associados a cada objeto do universo. Ouseja, sua melhor representação é através de umafunção que atribui a cada objeto do universo dediscurso um grau de pertinência

O universo de discurso é um conjunto clássico (Crisp),usualmente um subconjunto de R com alguma unidadede medida (graus, metros, kilos, percentagem, etc.).


Diagramas de Venn (Fuzzy)

Conjunto Crisp Conjunto Fuzzy

x

U

x ∈ A µA(x) = 0, 6


Exemplo

O conjunto dos idosos (idades) descritos de maneirafuzzy (segundo meu ponto de vista) pode ser oseguinte:

µIdoso(x) =

1 , se x ≥ 70 anos

0 , se x ≤ 50 anosx−5020

, se 50 < x < 70


Exemplo de Idoso

Graficamente:

50 70

1

Anos


Variáveis e Termos Lingüísticos

Criança Jovem Adulto Idoso

Idade

1

50 70 60 30 45 1215 17 20 25

35

Semântica

Termos Ligüísticos

Idade Variável Lingüística

Conjunto de Termos

Ligüísticos


Funções de pertinência Lineares

São as mais fáceis de serem descritas,implementadas e manipuladas.

Triangulares, trapezoidais e semi-trapezoides.

µ

1

U


Funções de pertinência curvas

Sigmoidais

Graficamente:

µ

1

U


α-cortes

Dado um α ∈ (0, 1]. O α-corte de um conjunto fuzzy Asobre um universo U é o conjunto crisp

Aα = {x ∈ U : µA(x) ≥ α}

U

1

A -

α

A + α α

A

A α


Suporte e Núcleo de Conjuntos fuzzy

O conjunto suporte de um conjunto fuzzy A é

SA = {x ∈ U : µA(x) > 0}

O núcleo de um conjunto fuzzy A é o conjunto crisp

NA = {x ∈ U : µA(x) = 1}

Um conjunto fuzzy A é normal se NA 6= ∅


União, Intersecção e Complemento

Todo conjunto clássico (crisp) A num universo U podeser visto como um conjunto fuzzy A sobre U cujafunção de pertinencia é µA(x) = 1 para todo x ∈ A eµA(x) = 0 para todo x ∈ A.

Em particular U={(x, 1) : x ∈ U} e ∅={(x, 0) : x ∈ U}.

Sejão A e B dois conjuntos fuzzy sobre um universo U

com funções de pertinência µA e µB. Para todo x ∈ U :

União: µA∪B(x) = max(µA(x), µB(x))

Interseção: µA∩B(x) = min(µA(x), µB(x))

Complemento: µA(x) = 1− µA(x)


União, Interseção e Complemento

União

Interseção

Complemento


Propriedades da⋃

,⋂

e −

Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ AAssociatividade: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C eA∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ CInvolução: A = AIdempotência: A ∪A = A e A ∩A = AElemento Neutro: A ∩ U = A e A ∪ ∅ = AElemento Absorvente: A ∩ ∅ = ∅ e A∪ U = U


Propriedades da⋃

,⋂

e −

Distributividade: A ∪ (B ∩ C) = (A∪ B) ∩ (A ∪ C) eA∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A∩ C)Leis de De Morgan: A ∪ B = A ∩ B e A ∩ B = A ∪ BLeis da Absorção: A ∪ (A ∩ B) = A e A ∩ (A ∪ B) = A(A∪ B)α = Aα ∪ Bα, (A∩ B)α = Aα ∩ Bα e Aα = Aα

para todo α ∈ (0, 1]


Propriedades negativas

Não satisfaz nem a lei do terceiro excluído (A∪A = U )nem a lei da contradição (A ∩A = ∅).

A A

AUA

A A

U


Inclusão de Conjuntos Fuzzy

A ⊆ B se µA(x) ≤ µB(x) para todo x ∈ U

B A

U WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 30/111

Propriedades da Inclusão

A ⊆ B sss A ∪ C ⊆ B ∪ C e A ∩ C ⊆ B ∩ C∅ ⊆ A ⊆ UA ⊆ AA = B sss A ⊆ B e B ⊆ AA ⊆ B sss B ⊆ ASe A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ CSe A ⊆ B então Aα ⊆ Bα para todo α ∈ (0, 1].


LÓGICAS FUZZY


Conjunção/Intersecção clássica

Tabela da conjunção:

α β α ∧ β

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Propriedades da conjunção:

α ∧ β = β ∧ α

α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ

α ∧ 1 = α e α ∧ 0 = 0


T-normas

Normas triangulares (t-norms) foram introduzidas em1942 por Menger para modelar distancia em espaçosmétricos probabilísticos

Em 1962 Schweizer e Sklar deram uma axiomatizaçãoe dividiram as Normas triangulares entre t-normas et-conormas.

Alsina, Trillas e Valverde em 1980 usaram t-normaspara modelar conjunção fuzzy generalizando diversasinterpretações para conjunção fuzzy dadas até esseentão.


T-normas

T : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1] é uma t-norma se

é comutativa, i.e. T (x, y) = T (y, x)

é associativa, i.e. T (x, T (y, z)) = T (T (x, y), z)

é isotônica, i.e. se x ≤ x′ e y ≤ y′ entãoT (x, y) ≤ T (x′, y′)

1-identidade, i.e. T (x, 1) = x

Seja T uma t-norma, então T (x, y) = x ∧ y sex, y ∈ {0, 1}.


Exemplos de t-normas

As t-normas mais conhecidas são:

Gödel: TG(x, y) = min(x, y)

Łukaciewisz: TL(x, y) = max(x+ y − 1, 0)

Produto: TP (x, y) = xy

Fraca: TW (x, y) = min(x, y) se max(x, y) = 1 eTW (x, y) = 0 caso contrário

Hamacher: Seja γ ≥ 0, TH,γ(x, y) =xy

γ+(1−γ)(x+y−xy)


Propriedades de t-normas

É possível estabelecer uma ordem entre t-normas.Sejam T e T ′ duas t-normas quaisquer, entãoT ≤ T ′ se ∀x, y ∈ [0, 1], T (x, y) ≤ T ′(x, y)

Proposição: Seja T uma t-norma. TW ≤ T ≤ TG.

Proposição: Existe uma quantidade não-contável det-normas (Ex: a familia TH,γ)


Disjunção clássica

Tabela verdade da disjunção clássica:

α β α ∨ β

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0


t-conormas

são funções S : [0, 1]2 → [0, 1] é uma conormatriangular(t-conormas) se

Comutatividade: S(x, y) = S(y, x)

Associatividade: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z)

Isotonicidade: Se x ≤ x′ e y ≤ y′ entãoS(x, y) ≤ S(x′, y′)

0-identidade: S(x, 0) = x

Se x, y ∈ {0, 1}, então S(x, y) = x ∨ y.

x ∈ (0, 1) é 1-divisor não trivial de S se existe y ∈ (0, 1)

tal que S(x, y) = 1.


Exemplos de t-conormas

Dada uma t-conorma S entãoTS(x, y) = 1− S(1− x, 1− y) é uma t-norma

Dada uma t-norma T entãoST (x, y) = 1− T (1− x, 1− y) é uma t-conorma

Claramente STS= S e TST

= T

STG(x, y) = max(x, y)

STP(x, y) = x+ y − xy

STL(x, y) = min(x+ y, 1)


Distributividade

Seja uma t-norma T e uma t-conorma S. Então:

T distribui sobre S seT (x, S(y, z)) = S(T (x, y), T (x, z)).

S distribui sobre T , seS(x, T (y, z)) = T (S(x, y), S(x, z))

Proposição: S distribui sobre T sss T = TG e T

distribui sobre S sss S = STG

Corolário: O único par (T, S) tal que T distribui sobre S

e S distribui sobre T é (TG, STG).


Negação Fuzzy

A negação clássica é definida por ¬0 = 1 e ¬1 = 0

Enric Trillas em 1979 unifica as definições denegações fuzzy existente na época numa classe defunções:

N : [0, 1] −→ [0, 1] é uma negação fuzzy se

N(0) = 1 e N(1) = 0

Se x ≥ y então N(x) ≤ N(y)

Uma negação fuzzy é forte se satisfaz a propriedadeinvolutiva, isto é N(N(x)) = x.

Toda negação forte é contínua e estritamentedecrescente.


Ponto de equilíbrio

e ∈ [0, 1] é um ponto de equilíbrio de uma negaçãofuzzy N se N(e) = e.

Se e é um ponto de equilíbrio de N e x ≤ e ≤ y entãoN(y) ≤ e ≤ N(x).

Se N tem um ponto de equilíbrio este é único.

Toda negação contínua tem exatamente um ponto deequilíbrio.

Sejão negações fuzzy N1 e N2 com pontos deequilíbrio e1 e e2. Se N1 ≤ N2 então e1 ≤ e2


Negações Naturais de t-(co)normas

Dada um t-norma T . A negação natural induzida por Té NT (x) = sup{y : T (x, y) = 0}Dada um t-conorma S. A negação natural induzida porS é NS(x) = inf{y : S(x, y) = 1}Proposição: NTS

(x) = 1−NS(1− x) eNST

(x) = 1−NT (1− x).

NTL(x) = 1− x e NSTL

(x) = 1− x. Neste caso e = 0.5.

NTP(x) = NTG

(x) =

1 se x = 0

0 caso contrário


Outros exemplos

Outros exemplos são:

Negação de Sugeno (generalizada por Hamacher)NS(x) =

1−x1+λx

com λ ∈ [1,∞) tem√λ+1−1λ

comoponto de equilíbrio

Negação intuicionistica ou de Yager:NY (x) = (1− xα)

1

α com α ∈ (0,∞) tem α√0.5 como

ponto de equilíbrio.

Negação de Bedregal: NB(x) = 1− x2 tem√1.25− 0.5 como ponto de equilíbrio.

Maior negação: N⊤(1) = 0 e N⊤(x) = 1 para todox ∈ [0, 1).


Triplas De Morgan

〈T, S,N〉 é uma tripla de De Morgan se satisfaz

1. N(S(x, y)) = T (N(x), N(y))

2. N(T (x, y)) = S(N(x), N(y))

Se só satisfaz uma delas é dita semi-tripla de DeMorgan

Exemplos de triplas de De Morgan:

〈TG, STG, NTG

〉〈TL, STL, NTL

〉〈TP , STP

, NTP〉〈TP , STP

, NTL〉

Exemplos de semi-triplas de De Morgan:

〈TP , STP, NB〉 satisfaz 1 mas não 2.


Implicações clássicas

Tabela da implicação clássica

α β α → β

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1


Implicações fuzzy

I : [0, 1]2 → [0, 1] é uma implicação fuzzy se

Se x ≤ z então I(x, y) ≥ I(z, y)

Se y ≤ z então I(x, y) ≤ I(x, z)

I(0, y) = 1, I(x, 1) = 1 e I(1, 0) = 0

Trivialmente, se x, y ∈ {0, 1}, I(x, y) = x → y.

Seja I uma implicação fuzzy, então NI(x) = I(x, 0) éuma negação fuzzy

Seja T uma t-norma. IT (x, y) = Sup{z : T (x, z) ≤ y} éuma implicação fuzzy, conhecida como resíduo de T .


Exemplos de R-implicações

ITP(x, y) =

1 se x ≤ y

y

xcaso contrário

ITG(x, y) =

1 se x ≤ y

y caso contrário

ITL(x, y) =

1 se x ≤ y

1 + y − x caso contrário


Bi-implicações fuzzy

A bi-implicação clássica é definida como: x ↔ y = 1

sss x = y.

B : [0, 1]2 → [0, 1] é uma bi-implicação fuzzy se

B1: B(x, y) = B(y, x),

B2: Se x = y então B(x, y) = 1 ,

B3: B(0, 1) = 0,

B4: Se x ≤ y ≤ z então B(x, y) ≥ B(x, z) eB(y, z) ≥ B(x, z).

BT,I(x, y) = T (I(x, y), I(y, x)) é uma bi-implicação.

Denotaremos BT,IT por BT (bi-residuo de T ).


Exemplo de Bi-implicações fuzzy

BTG(x, y) =

1 se x = y

min(x, y) senão

BTP(x, y) =

1 se x = y

min(x,y)max(x,y)

senão

BG′(x, y)[

min(x, y) se max(x, y) = 1

1 senão


Lógicas Proposicionais

Seja P um conjunto de símbolos proposicionais. Alinguagem LP é o menor conjunto tal queP ∪ {0} ⊆ LP e se α, β ∈ LP então¬α, (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β), (α ↔ β) ∈ LP .

Lógicas proposicionais são pares 〈LP , |=〉 onde|=⊆ ℘(L)× L é uma relação, chamada deconseqüência lógica, que satisfaz:

Reflexividade: Γ |= α se α ∈ Γ

Monotonicidade: Se Γ |= α então Γ ∪∆ |= α

Transitividade (ou corte): Se Γ |= α e Γ ∪ {α} |= β

então Γ |= β


Semântica Fuzzy paraLP

F = 〈T, S, I,N,B〉 é chamada de semântica fuzzy deLP .

Seja θ : P → [0, 1]. Defina θF : LP → [0, 1] por

θF(p) = θ(p)

θF(0) = 0

θF(¬α) = N(θF(α))

θF(α ∧ β) = T (θF(α), θF(β))

θF(α ∨ β) = S(θF(α), θF (β))

θF(α → β) = I(θF(α), θF(β))

θF(α ↔ β) = B(θF(α), θF(β))


F-Tautologias

Dado um t ∈ (0, 1], uma formula α ∈ LP é umat-tautologia em F , denotado por |=F α, se para cadaevaluation fuzzy θ, θF(α) ≥ t. t-tautologias em F sãochamadas de F -tautologias,

Denotaremos o conjunto das F -tautologias de LP porTautF(LP ) e o conjunto das tautologias clássicas porTaut(LP ).

Proposition: Para toda semântica fuzzy F temos queTautF(LP ) ⊆ Taut(LP ).


Semânticas Fuzzy Tipo Clássica

Seja F uma semântica fuzzy. F é uma semânticatipo clássica se Taut(LP ) ⊆ TautF(LP ).

Uma semântica fuzzy F = 〈T, I,N, S,B〉 é tipoclássica sse

1. S não tem 1-divisores;

2. I(x, y) = 1 sse x < 1 ou y = 1;

3. N = N⊤; e

4. B = BG′ .


Consequências Semânticas

A noção clássical de consequência lógica pode sergeneralizada em duas formas:

1. Considerando elas como relações fuzzy

2. Considerando elas como uma relação clássical.

Aqui seguiremos a segunda linha.

Uma fórmula α ∈ LP é uma consequ encia l ogica deΓ ⊆ LP com respecto a uma semântica fuzzy F ,denotado por Γ |=F α, se para cada evaluação θ ouθF(α) = 1 ou existe γ ∈ Γ tal que θF(γ) 6= 1.

Esta noção de consequência semântica é reflexiva,associativa e transitiva


Teorema da Dedução

Teorema: Seja F uma semântica fuzzy tal queI(x, y) = 1 sse x < 1 e y = 1. Então para cada Γ ⊆ LP

e α, β ∈ LP ,

Γ, β |=F α sse Γ |=F β → α


F-Operações de Conjuntos fuzzy

Dada uma semântica fuzzy F podemos definir:

µA∪SB(x) = S(µA(x), µB(y))

µA∩TB(x) = T (µA(x), µB(y))

µAN(x) = N(µA(x))

IncI(A,B) =∧

x∈UI(µA(x), µB(x)) (grau de inclusão)

SimB(A,B) =∧

x∈UB(µA(x), µB(x)) (grau de

similaridade)


RELAÇÕES E COMPOSIÇÃOFUZZY


Relações fuzzy sobre conjuntos crisp

O producto cartesiano dos conjuntos (crisp) A e B, é oconjunto crisp

A× B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}

Uma relação fuzzy entre A e B é qualquer conjuntofuzzy sobre o universo A× B

Exemplo:

B b1 b2 b3 b4

A

a1 0 0, 1 0, 2 0, 8

a2 0, 7 0, 2 0, 3 0, 4

a3 1 0, 6 0, 2 1


Relações fuzzy sobre conjuntos fuzzy

Dada uma t-norma o producto cartesiano dosconjuntos fuzzy A sobre universo X e B sobre ouniverso Y , é o conjunto fuzzy sobre o universo X × Y

definido por

µA×TB(x, y) = T (µA(x), µB(y))

Uma relação fuzzy entre os conjuntos fuzzy A e B équalquer conjunto fuzzy R sobre o universo X × Y , talque R ⊆ A×T B.


Operações sobre Relações fuzzy

Como relações fuzzy são conjuntos fuzzy, podemosopera-las com união, intersecção e complemento,além da ordem de inclusão entre elas.

Seja a relação fuzzyR = {((x, y), µR(x, y)) : x ∈ A e y ∈ B}.

Primeira projeção de R:R(1) = {(x,max

y∈BµR(x, y)) : x ∈ A}

Segunda projeção de R:R(2) = {(y,max

x∈AµR(x, y)) : y ∈ B}

Projeção total de R: R(T ) = maxx∈A

maxy∈B

µR(x, y)


Exemplo de Projeções

y1 y2 y3 y4 y5 R(1)

x1 0, 1 0, 3 1 0, 5 0, 3 1

x2 0, 2 0, 5 0, 7 0, 9 0, 6 0, 9

x3 0, 3 0, 6 1 0, 8 0, 2 1

R(2) 0, 3 0, 6 1 0, 9 0, 6 1 = R(T )


Composição Max-min e Min-Max

Seja R1 uma relação fuzzy entre A e B e R2 umarelação fuzzy entre B e C. A composição max-min deR1 com R2 é a siguiente relação fuzzy entre A e C:

R1◦R2 = {((x, z),maxy∈B

min{µR1(x, y), µR2

(y, z)}) : x ∈ A e z ∈ C}

Analogamente, a composição min-max de R1 com R2

é a siguiente relação fuzzy entre A e C:

R12R2 = {((x, z),miny∈B

max{µR1(x, y), µR2

(y, z)}) : x ∈ A e z ∈ C}

A composição min-max de relações crisp em geral nãoresulta na composição crisp dessas relações.

Proposição: R12R2 = R1 ◦ R2WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 64/111

Exemplo de Composição Max-min

R1 y1 y2 y3 R2 z1 z2 z3 R1 ◦ R2 z1 z2 z3

x1 0, 1 0, 3 0 y1 0, 8 0, 2 0 x1 0, 2 0, 3 0, 3

x2 0, 8 1 0, 4 y2 0, 2 1 0, 6 x2 0, 8 1 0, 6

y3 0, 5 0 0, 4

min{µR1(x1, y1), µR2

(y1, z1)} = min{0, 1; 0, 8} = 0, 1


(y2, z1)} = min{0, 3; 0, 2} = 0, 2


(y3, z1)} = min{0; 0, 5} = 0


Composição Max-minA ◦ RSeja A uma conjunto fuzzy de universo A e R umarelação fuzzy entre A e B. A composição max-min deA com R é o siguiente conjunto fuzzy B:

A ◦R = {(y,maxx∈A

min{µA(x), µR(x, y)}) : x ∈ A e y ∈ B}

A µA R y1 y2 y3 A ◦R µA◦R

x1 0, 1 x1 0, 8 0, 2 0 y1 0, 2

x2 0, 3 x2 0, 2 1 0, 6 y2 0, 8

x3 0 x3 0, 5 0 0, 4 y3 0, 3


T -Composição

Seja R1 uma relação fuzzy entre A e B, R2 umarelação fuzzy entre B e C, e T uma t-norma. AT -composição de R1 com R2 á a siguiente relaçãofuzzy entre A e C:

R1◦TR2 = {((x, z), supy∈B

T (µR1(x, y), µR2

(y, z)) : x ∈ A e y ∈ B}

Assim,

µR1◦TR2(x, z) = sup{T (µR1

(x, y), µR2(y, z)) : y ∈ B}


Modus Ponens Clássico

Modus Ponens Clássico: p, p → q |= q ou

Premisa 1 x é A

Premisa 2 se x é A então y é B

Conclusão y é B

Exemplo:

Premisa 1 a água está burbulhando

Premisa 2 Se a água está burbulhando então

a água está fervendo

Conclusão a água está fervendo


Modus Ponens Fuzzy

Toda implicação fuzzy I determina uma relação fuzzyRI entre conjuntos fuzzy A e B, onde

µRI(x, y) = I(µA(x), µB(y))

Assim, dada uma t-norma T o MP fuzzy é nada maisque uma T -composição entre A e RI

Mas A ◦T RI 6= B.


Modus Ponens Fuzzy Generalizado

Modificadores linguísticos são funções que modificãoos graus de pertinência de qualquer conjunto fuzzy.

µm(A)(x) = m(µA(x))

Premisa 1 x é m1(A)

Premisa 2 se x é A então y é BConclusão y é m2(B)Premisa 1 Se a garrafa tem o fundo profundo então

o vinho é de boa qualidade

Premisa 2 A garrafa tem o fundo muito profundo

Conclusão O vinho é de muito boa qualidade


SISTEMAS FUZZYBASEADOS EM REGRAS


Arquitetura de um sistemas fuzzy

valor de

saída

Valor de

entrada

Base de Regras

Gerente de Informações

Máquina de Inferência

Fuzz

ifica

dor

Des

fuzz

ifica

dor


Componentes de um SF

Fuzzificador: Contem as funções de pertinência dasvariáveis lingüísticas de entrada. Recebe um valor douniverso de discurso e retorna o grau de pertinênciaao respectivo conjunto fuzzy

Máquina de inferência: Faz todos os cálculos

Gerente de Informações: Obtém da base de regras asregras aplicáveis para essas entradas.

Base de Regras: Contém as regras do sistema.

Desfuzzificador: Contem as funções de pertinênciadas variáveis lingüísticas de saída. Recebe graus depertinência para uma variável lingüísticas de saída eretorna um valor para essa variável.


Como construir um sistema fuzzy

Definir as variáveis de entrada, saída e intermediárias(se for o caso)

Definir faixas de valores (universo de discurso dasvariáveis lingüísticas)

Dividir o universo de discurso em conjuntos fuzzy(termos lingüísticos)

Definir a semântica dos conjuntos fuzzy (funçõesde pertinência)

Construir a base de regras


Como construir um sistema fuzzy

Definir o método de inferência e o método dedefuzzificação a ser usado.

Simular o sistema

Testar o sistema


Método de Inferência de Mandami

Cada regra assim como o conectivo e é modelada pelat-norma do mínimo (∧). Para o conectivo ou queconecta as regras usa-se o máximo (∨) .

Exemplo: Seja a seguinte base de regras RR1: Se x é A11 e y é A12 então z é B1

R2: Se x é A21 e y é A22 então z é B2

A relação fuzzy determinada por R é µR(x, y, z) =

(µA11(x)∧µA12

(y)∧µB1(z)))∨({µA11

(x)∧µA12(y)∧µB1

(z)))

Dado conjuntos fuzzy A1 e A2 a composiçãoµA1×minA2

◦ µR determina um conjunto fuzzy B quepode ser visto como a união das saídas parciais dasregras R1 e R2.


EXEMPLO DE SISTEMAFUZZY BASEADOS EM

REGRAS


Características gerais do sistema

A máquina de inferência vai usar a regra de inferênciaMAX-MIN para determinar a superfície dos conjuntosfuzzy de saída. MAX-MIN para cada grau de saída ecada conjunto fuzzy de saída considera o menor grau,e depois o máximo das intersecções entre termoslingüísticos.

Conjunções: t-norma de Gödel (mínimo)

Para extrair dessa superfície o valor desejado(defuzzificação) será usado o método do centro degravidade


Análise da qualidade da agua potável

A qualidade da água potável será analisadoconsiderando somente os seguintes fatores:Aparência da cor, medida em UH (Unidade Hazen);potencial hidrogeniônico, medida em pH, ou sejaconcentração dos íons de hidrogênio; e turbidez,medida em UT, causada pela presença de substânciassuspensas e coloidais e que é determinada pelaquantidade de luz dispersada quando passa atravésde uma amostra.

Outras variáveis que poderiam ter sido consideradassão: odor e sabor, nível de fluor, quantidade decoliformes fecais, etc.


Variável lingüística de entrada

Aparência da água

4 8 12 20 24 16 28 UH

1

Boa Adequada Inadequada



Potencial hidrogeniônico

2 4 6 10 12 8 14 pH

1

Boa

Adequada Inadequado

baixo

Inadequado alto



Turbidez

1 2 3 5 6 4 7 UT

1


9 8 10


Regras Fuzzy

Considerando a “Aparência da agua” como sendo “boa”.

Turbidez boa adequada inadequada

pH

Inadequado baixo inadequada inadequada inadequada

Adequado adequada adequada inadequada

Bom boa boa inadequada

Inadequado alto inadequada inadequada inadequada


Regras Fuzzy

Considerando a “Aparência da agua” como sendo“adequada”.


pH


Adequado adequada adequada inadequada

Bom boa adequada inadequada



Regras Fuzzy

Considerando a “Aparência da agua” como sendo“inadequada”.


pH


Adequado inadequada inadequada inadequada

Bom adequada adequada inadequada



Valores de entrada

Suponha que num determinado momento a aparência daágua está em 15 UH. Então

4 8 12 20 24 15 28 UH

1


0,25

0,75


Valores de entrada

Suponha que nesse mesmo momento o potencialhidrogeniônico da água está em 7 pH. Então

2 4 6 10 12 8 14 pH

1

0,65625

Boa

Adequada Inadequado

baixo

Inadequado alto

7


Valores de entrada

Suponha que nesse mesmo momento a turbidez da águaestá em 3 UT. Então

1 2 3 5 6 4 7 UT

1


9 8 10


Regras que se aplicam

Se aparência é adequada , o pH é adequado e aturbidez adequada então a potabilidade é adequadamin{0.75, 1, 1} = 0, 75

Se aparência é adequada , o pH é bom e a turbidezadequada então a potabilidade é boamin{0.75, 0.65625, 1} = 0, 65625

Se aparência é inadequada , o pH é adequado e aturbidez adequada então a potabilidade é adequadamin{0.25, 1, 1} = 0, 25

Se aparência é inadequada , o pH é bom e a turbidezadequada então a potabilidade é boamin{0.25, 0.65625, 1} = 0, 25


Variável de saída

Qualidade da potabilidade da água

0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.4 0.7

1

0,5


0.9 0.8 1


Cortes na variável de saída

Regra 1: gera a seguinte região para o termolingüístico “potabilidade da água adequada”:µPA′(z) = min{0.75, µPA(z)}Regra 2: gera a seguinte região para o termolingüístico “potabilidade da água boa”:µPB′(z) = min{0.65625, µPB(z)}Regra 3: gera a seguinte região para o termolingüístico “potabilidade da água adequada”:µPA′(z) = min{0.25, µPA(z)}Regra 4: gera a seguinte região para o termolingüístico “potabilidade da água boa”:µPB′(z) = min{0.25, µPB(z)}


Cortes na variável de saída

0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.4 0.7

1


0.9 0.8 1

0.75 0.65625

0.25


Região Solução

A utilização da regra MAX-MIN gera a seguinteregião solução

0.1 0.2 0.3 0.6

0.45

0.725

1


0.9 1

0.75 0.65625

0.5

0.475

0.75

0.76


Centro de Gravidade

Dessa região se extrai o valor pelo método do Centrode Gravidade usando a seguinte fórmula

RA =Σn

i=0xiµA(xi)Σn

i=0µA(xi)

Na medida que escolhermos mais x′is mais próximos

do centro de gravidade estaremos.

É o método mais usado pois os valores defuzzificadostendem a se mover mais suavemente entre doiscálculos com pequenas variações nas entradas.

Pode ser aplicado a projetos que usamrepresentações discretas de funções de pertinência


Cálculo do Centro de Gravidade

Um método simplificado é considerar somente ospontos de inicio e de fim de uma curva.

Assim

Potabilidade = 0·0.4+0.75·0.475+0.75·0.725+0.5·0.75+0.65625·0.76+0.65625·1.10+0.75+0.75+0.725+0.5+0.65625+0.65625

≈ 2.50000218753.7125

= 0.67340126

Logo a água estaria adequada.


LÓGICA FUZZY NO APOIO ÀTOMADA DE DECISÃO


Tomada de Decisão

Tomada de decisão se resolve um problemaenvolvendo a perseguição de metas sobre certasrestrições.

A decisão tomada deveria resultar numa ação.

Tomada de decisão tem um role importante emeconomia, administração, engenharia, ciências sociaise políticas, estratégia militar, etc.

A dificuldade reside em que as informações podem serincompletas, imprecisas, subjetivas, etc. Assim esteprocesso pode ser realizado num ambiente “fuzzy”onde as metas e restrições sejam modeladas porconjuntos fuzzy.


Restrições e metas

Cada Restrição e meta podem ser encaradas comoconjuntos fuzzy só que em sentidos opostos, ou sejaque enquanto o grau de pertinência a uma meta seaproxima de 1, o grau de pertinência à restrição seaproxima de 0.

x

1


Restrições, metas e Decisões

A decisão é caracterizada pela seleção o escolha deuma alternativa entre várias possíveis.

A melhor decisão é dada por aquele ponto de maiorgrau de pertinência à intersecção das restrições emetas.

x

1

x opt


Restrições, metas e Decisões

Assim, D = {(x, y) : x ∈ A e y = min{µC(x) : C ∈ C}},onde C é o conjunto de restrições e metas fuzzy.

xopt = {x ∈ A : µD(x) ≥ µD(y) para todo y ∈ A}, ondeA é o conjunto de alternativas.


Exemplo: Descrição do problema

Uma empresa espera preencher uma vaga para umdeterminado cargo. Existem 5 candidatos c1, . . . , c5

que formam o conjunto de alternativas A = {c1, . . . , c5}.

As metas são

1. Experiência no cargo (M1)

2. Conhecimento em computação (M2)

3. jovem (M3)

só há uma única restrição: o salário oferecido deve sermodesto (R1).


Exemplo: O processo de decisão fuzzy

Suponha que a comissão de seleção avaliou cadacandidato do ponto de vista das metas e restriçãosalarial. Chegando-se aos seguintes conjuntos fuzzy

M1 = {(c1, 0.8), (c2, 0.6), (c3, 0.3), (c4, 0.7), (c5, 0.5)}M2 = {(c1, 0.7), (c2, 0.6), (c3, 0.8), (c4, 0.2), (c5, 0.3)}M3 = {(c1, 0.7), (c2, 0.8), (c3, 0.5), (c4, 0.5), (c5, 0.4)}R1 = {(c1, 0.4), (c2, 0.7), (c3, 0.6), (c4, 0.8), (c5, 0.9)}

Fazendo a intersecção fuzzy usual (mínimo) temos oseguinte conjunto fuzzy decisão:D = {c1, 0.4), (c2, 0.6), (c3, 0.3), (c4, 0.2), (c5, 0.3)}Portanto copt = c2


Relações de Preferência Fuzzy

Uma Relações de Preferência Fuzzy (RPF) sobre umconjunto de alternativas A é uma relação fuzzy Rsobre A que satisfaz as seguintes condições:

Para a ∈ A, µR(a, a) = 0.5 e

Para cada a, b ∈ A, µR(a, b) + µR(b, a) = 1

µR(a, b) indica quanto a alternativa a é melhor que aalternativa b.


Tomada de Decisão baseado em RPF

Considere um conjunto de alternativas A; um conjuntode critérios C; um vetor de pesos P associados aoscritérios, tal que

∑

c∈Cpc = 1; e uma familia de RPF

indexada por C.

Determinar a RPF colletiva R sobre A da seguinteforma: Para cada a, b ∈ A, calculeµR(a, b) =

∑

c∈Cpc · µRc

(a, b)

Seja V : A → [0, 1] definida por V (a) =(∑

b∈A

µR(a,b))+0.5

#A

Ordenar as alternativas de acordo com o valor dadopela função V .


Exemplo

Considere 4 alternativas, dois critérios com o peso 0.4

e 0.6 e as seguintes RPF para cada um dos criterios.

Rc1 a1 a2 a3 a4 Rc2 a1 a2 a3 a4

a1 0.5 0.6 0.7 0.6 a1 0.5 0.6 0.3 0.8

a2 0.4 0.5 0.6 0.4 a2 0.4 0.5 0.4 0.7

a3 0.3 0.4 0.5 0.2 a3 0.7 0.6 0.5 0.8

a4 0.4 0.6 0.8 0.5 a4 0.2 0.3 0.2 0.5


Exemplo

RPF coletiva:R a1 a2 a3 a4

a1 0.5 0.6 0.46 0.72

a2 0.4 0.5 0.48 0.58

a3 0.54 0.52 0.5 0.56

a4 0.28 0.42 0.44 0.5

Calculando V : V (a1) =2,784

= 0, 695,V (a2) =

2,464

= 0, 615, V (a3) =2,624

= 0, 655 eV (a4) =

2,144

= 0, 535

Então: a1 > a3 > a2 > a4.


CONSIDERAÇÕES FINAIS


Direções em LF

Direções no estudo da lógica fuzzy1. Lógica Fuzzy no sentido amplo: Desenvolvimento de

sistemas baseados no raciocínio aproximado. Ex.:sistemas de apoio à tomada de decisão, sistemascontroladores e de agrupamento/classificação.

2. Lógica Fuzzy no sentido restrito: Estudo da LFenquanto lógica simbólica e portanto aqui apreocupação é determinar teorias formais, formasnormais, estruturas algébricas dos conectivos lógicos

3. Fuzzyficação de conceitos formais, tais como grupos,reticulados, métricas, linguagens formais,computabilidade, etc.


Revistas Internacionais – Qualis-CC

IEEE Transactions on Fuzzy Systems - Qualis-CC= A1

Fuzzy Sets and Systems (Elsevier) - Qualis-CC= A1

Approximate Reasoning - Qualis-CC= A2

Knowledge-Based Systems - Qualis-CC= A2

Soft Computing - Qualis-CC=

Applied Soft Computing - Qualis-CC=

Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-BasedSystems (World Scientific) - Qualis-CC= B1

Intelligent and Fuzzy Systems (IOS Pres) - Qualis-CC=B2

International J. on Fuzzy Systems - Qualis-CC=

Fuzzy Optimization and Decision Making (Springer) -WEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 109/111

Congressos sobre LF

FUZZ-IEEE (Qualis-CC A2)

IPMU (Qualis-CC B2)

IFSA (Qualis-CC B1)

CBSF

EUSFLAT

FLINS (Qualis-CC B4)

FSKD (Qualis-CC B2)

NAFIPS (Qualis-CC B2)

GEFS (Qualis-CC B4)

EUROFUSEWEIT 2013Introducao a Logica Fuzzy – p. 110/111

Lógica Fuzzy no Brasil

Rosana S.M. Jafelice, Laécio C. de Barros, e Rodney C. Bassanezi. Teoria dosConjuntos Fuzzy com Aplicações. Notas em Matemática Aplicada 17. SociedadeBrasileira de Matemática Aplicada e Computacional São Carlos - SP, 2005.http://www.sbmac.org.br/notas.php

Livro Laécio C. de Barros, e Rodney C. Bassanezi. Tópicos de Lógica Fuzzy eBiomatemática. Editora UNESP, 2a ed., 2010

Minissimposio sobre lógica fuzzy no CNMAC de 2009

3o Congresso Brasileiro de Sistemas Fuzzy: Em João Pessoa-PB, 17–20 deAgosto de 2014, junto com o FLINS

Criação do Comitê temático sobre Sistemas Fuzzy no CNMAC 2010.


weit 2013 introdução à lógica fuzzy -...

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