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Universidade Federal do ABC

CMCC Centro de Matemática, Computação e Cognição

DISCIPLINAPráticas de Ensino de Matemática II

Ensino Médio1ª série

Dinheiro – aprender a lidar para não faltar

ALUNODiego Medeiros de Aguiar

Licenciatura em MatemáticaMatrícula 21002613

ORIENTAÇÃOProf. Dr. Claudio F. André

Santo André – SP3º. Quadrimestre de 2016

SUMÁRIO

UFABC – Prof. Dr. Claudio F. André - Disciplina: Práticas de Ensino de Matemática II – 3º. Quadrimestre/2016 2

1. PREPARAÇÃO E PROBLEMATIZAÇÃO.....................................................................................................................31.1. Perguntas Problematizadoras........................................................................................................................4

2. PESQUISA E PROPÓSITO....................................................................................................................................5

2.1. Conceituais..........................................................................................................................................52.2. Procedimentais....................................................................................................................................52.3. Atitudinais...........................................................................................................................................52.4. Pesquisa..............................................................................................................................................5

3. PLANEJAMENTO E PROTOTIPAÇÃO.......................................................................................................................6

3.1. Prazo................................................................................................................................................... 63.2. Produtos..............................................................................................................................................6

3.2.1. Critérios de avaliação dos produtos..............................................................................................63.3. Exercícios de fixação...........................................................................................................................63.4. Responsabilidades e Funções dos Alunos............................................................................................63.5. Fundamentação Teórica......................................................................................................................73.6. Biografias dos principais nomes relacionados ao tema.....................................................................15

4. PRODUÇÃO E PARCERIAS.................................................................................................................................16

4.1. Professores – Procedimentos em Sala...............................................................................................164.2. Alunos – Procedimentos para Atividades...........................................................................................17

5. PUBLICIDADE E PROPAGANDA...........................................................................................................................19

5.1. Produtos............................................................................................................................................196. PROCESSO E PERSONALIZAÇÃO.........................................................................................................................19

6.1. Auto-avaliação dos Alunos - Registro das Lições Aprendidas............................................................196.2. Avaliação - Exercícios de Fixação......................................................................................................206.4. Avaliação - Rubricas..........................................................................................................................29

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................................................................30

1. PREPARAÇÃO E PROBLEMATIZAÇÃO


DisciplinaMatemática

Nível de EnsinoEnsino Médio

Ano1ª série

EixoTema III: Números e operações/álgebra e funções

TítuloDinheiro – aprender a lidar para não faltar

Sinopse

Esta aula compõe uma visão ampla dos conteúdos de matemática sobre um de seus ramos aplicados: a matemática financeira. Pretende-se, para além da contextualização dos conteúdos de matemática aprendidos nesta série do ensino médio, a educação financeira, conceituando termos comuns do dia-a-dia como taxa de juros, inflação, rotativo, entre outros.

Recursos e ateriais de apoio

1. Softwares / Aplicativos Processador de texto: Word Software de apresentação: PowerPoint Ferramenta de pesquisa na internet: Google Software de matemática dinâmica: Geogebra Plataforma para criação de blog: Wordpress

2. Materiais de Apoio Smartphone, microcomputador ou tablet

Glossário (05 palavras / termos)

1. Dinheiro: Moedas ou cédulas utilizadas como meio de troca na aquisição de bens, serviços, força de trabalho e quaisquer outras transações financeiras, que são colocadas em circulação pelo governo de cada nação, o qual as emite e lhes fixa o valor; (Dicionário Michaelis)

2. Taxa de juros: Taxa percentual incidente sobre um capital investido em período de tempo determinado; remuneração que uma pessoa recebe pela aplicação de seu capital; interesse, rédito. (Dicionário Michaelis)

3. Crédito: Bem, serviço ou quantia em dinheiro postos à disposição de alguém por empresa, loja credora, estabelecimento bancário, financeira etc., mediante quaisquer tipos de provas (carnês, letras de câmbio, notas promissórias e outros) que configuram a oficialização de um compromisso de pagamento futuro. (Dicionário Michaelis)

4. Débito: Lançamento em uma conta que representa um aumento no valor do ativo ou na diminuição no valor das obrigações. (Dicionário Michaelis)

5. Inflação: Emissão excessiva de papel-moeda, que provoca a redução do valor real de uma moeda em relação a determinado padrão monetário estável ou ao ouro; Aumento dos níveis de preços; Carestia resultante desses desequilíbrios. (Dicionário Michaelis)

1.1. Perguntas Problematizadoras


Por que o cartão de crédito me permite comprar mesmo que eu não tenha dinheiro?

Por que quem deve ao banco costuma dever muito mais do que pediu emprestado?

Por que os preços em geral estão quase sempre subindo?

2. PESQUISA E PROPÓSITO


2.1. Conceituais

D15 – Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas entre grandezas. D16 – Resolver problema que envolva porcentagem. D22 – Resolver problema envolvendo PA/PG dada a fórmula do termo geral. D29 – Resolver problema que envolva função exponencial.

2.2. Procedimentais

Aplicar conhecimentos desenvolvidos ao longo de sua formação para compreender a realidade que o cerca.

Identificar e definir problemas autênticos e questões significativas para investigação. Usar os principais recursos dispositivos digitais e móveis, tais como: computador, notebook, netbook,

filmadora digital, câmera fotográfica, impressora, scanner, pendrive, smartphones e tablets. Desenvolver trabalhos como produto da expressão do conhecimento adquirido.

2.3. Atitudinais

Produzir conteúdo de acordo com as orientações, escopo e regras estabelecidas para cada tipo de gênero. Exercitar a atenção, memória, criatividade e pensamento crítico, e utilizar essas competências para

apresentar soluções por meio da argumentação e demonstração. Ser capaz de trabalhar colaborativamente e conviver de forma interativa a fim de promover um ambiente

harmonioso.

2.4. Pesquisa

1. Acesse o link http://www.infomoney.com.br/educacao/glossario, que é uma excelente ferramenta para entender alguns termos do mundo da economia e das finanças.

2. Acesse o link http://webcalc.com.br/ que é uma calculadora financeira online. Ela também traz outros conceitos que podem ser explorados, como a correção monetária.

3. Acesse o link http://www.procon.sp.gov.br/categoria.asp?id=248, que é um FAQ sobre cartão de crédito elaborado pela Fundação PROCON de São Paulo.

4. Para maiores explicações de como entender um extrato bancário, acesse o link https://www.creditooudebito.com.br/entenda-extrato-bancario/.

5. Para acompanhar os registros históricos da taxa de inflação no Brasil e em outros países, bem como as suas previsões, acesse http://pt.tradingeconomics.com/brazil/inflation-cpi.

3. PLANEJAMENTO E PROTOTIPAÇÃO

http://pt.tradingeconomics.com/brazil/inflation-cpi

https://www.creditooudebito.com.br/entenda-extrato-bancario/

http://www.procon.sp.gov.br/categoria.asp?id=248

http://webcalc.com.br/

http://www.infomoney.com.br/educacao/glossario


3.1. Prazo

5 aulas de 50 minutos

3.2. Produtos

Registro em blog Desenvolvimento de atividade interativa utilizando Geogebra com fins instrucionais

3.2.1. Critérios de avaliação dos produtos

Qualidade e precisão nos registros de bordo que serão colocados no blog; linguagem; didatismo. Clareza na atividade interativa e seu valor instrucional.

3.3. Exercícios de fixação

Os exercícios serão de ordem dissertativa, nos quais o aspecto avaliativo será subjetivo, levando em conta: Organização dos dados do enunciado, trabalhando-os na transcrição da linguagem corrente para a

linguagem matemática. Clareza na resolução e na disposição dos cálculos. Raciocínio empregado na resolução. Resposta obtida. Extrapolações do resultado obtido e sua contextualização no mundo real.

3.4. Responsabilidades e Funções dos Alunos

Os alunos deverão fazer um blog, de modo que devem inserir neles notícias sobre economia e finanças semanalmente. Para cada uma dessas notícias, eles devem ter a tarefa de esclarecer termos e fazer previsões utilizando os conteúdos matemáticos aprendidos ao longo dessas aulas.

Também haverá a execução de atividades utilizando Geogebra, além de exercícios para avaliação, a serem entreguei individualmente.

3.5. Fundamentação Teórica

3.5.1. INTRODUÇÃO


Poucos assuntos da matemática estão tão próximos da vida cotidiana (além da aritmética básica) quanto a matemática financeira. Muito por conta de nosso sistema econômico, tudo o que nos rodeia tem o conceito de preço, poder de compra, inflação, crédito, débito, taxa de juros, entre outros. No entanto, mesmo que a escola ofereça todo o substrato teórico para aprender a lidar com esses conceitos, não é nenhuma surpresa que o endividamento dos brasileiros chegue a quase 60% da população ativa (dados da PEIC/CNC – 2016), sobretudo o endividamento causado pelo cartão de crédito – 78% das dívidas contraídas (dados da mesma pesquisa).

Como podemos entender e planejar melhor nossas finanças à luz da matemática?

3.5.2. COMO ENTENDER ALGUNS TERMOS?

São poucos os brasileiros em condição assalariada regularmente, isto é, com carteira assinada, que recebem seus salários em dinheiro em espécie. Seja no funcionalismo público, ou no setor privado, por razões de segurança e praticidade muitas empresas preferem pagar seus funcionários através de contas correntes (criadas pela própria empresa ou pelo próprio trabalhador), ou depositar seus salários em contas poupança – sendo que todo trabalhador registrado tem uma poupança dita compulsória, o chamado fundo de garantia por tempo de serviço (FGTS).

No entanto, poucas coisas assustam mais o imaginário brasileiro quanto a inflação. No passado, padecíamos de taxas de inflação que chegavam aos 80% ao mês no fim dos anos 80. Os salários tinham de ser reajustados todos os meses, os preços no mercado chegavam ao ponto de mudarem ao longo do dia. A situação, após a implantação do plano real foi contornada, e desde então a inflação raramente ultrapassa os 10% ao ano.

Para impulsionar e facilitar as vendas no comércio, quase a totalidade das lojas oferecem opções de crédito, isto é, alternativas que te permitem adquirir certo bem ou serviço sem que você disponha propriamente do dinheiro no momento da compra. E as opções são várias: cartões de crédito, cartões, notas promissórias, parcelamentos...

E ainda, se você precisar de dinheiro, várias instituições dispõem de empréstimos, inclusive alguns bancos servem exclusivamente a este propósito. Compras de imóveis e veículos também geralmente são feitas por um tipo especial de financiamento na qual as parcelas vão decaindo ao longo do tempo. Várias áreas da economia brasileira são beneficiárias de linhas de crédito com taxas de juros mais baixas do que as oferecidas ao público em geral como o agronegócio ou financiamentos feitos pelo BNDES.

Note que ao longo desses parágrafos encontramos vários termos que, propositalmente, não foram muito explicados. Mas certamente, se você acompanha os jornais (nem precisa ser diariamente) ou conhece ao menos um pouquinho em como as finanças funcionam na sua casa, deve ter ouvido algum desses termos. Vamos explorar um pouco alguns desses termos e depois vamos nos concentrar nos aspectos matemáticos de cada um deles:

3.5.3. CONTA CORRENTE E POUPANÇA

A conta corrente é um instrumento que o banco dispõe para aqueles que querem um lugar para guardar seu dinheiro com segurança e que movimentam o dinheiro constantemente, isto é, onde há entrada e retirada de dinheiro. Normalmente cobra-se uma taxa do cliente para que ele usufrua de alguns serviços, como consulta de saldo, impressão de cheques, número de saques, entre outros. No entanto, por lei, há pacotes simplificados com uma gama simples de procedimentos que possam ser realizados e que possuem custo zero ao cliente.

Já a poupança é um instrumento chamado de investimento: o banco quer que você coloque seu dinheiro no banco e, em troca, paga a você uma quantidade em dinheiro mensalmente que depende do quanto você depositou: os chamados juros. Embora os juros que o banco paga ao cliente sejam muito pequenos, grande parte dos brasileiros prefere deixar suas economias nesta aplicação, pois o risco é baixíssimo, isso é, não há chance de você perder


dinheiro e o retorno, mesmo que baixo, é garantido.

Para ambas as modalidades descritas acima, os bancos disponibilizam ao cliente o chamado cartão de débito. Esse tipo de cartão leva esse nome porque, para cada operação realizada, ele só tem a propriedade de descontar dinheiro sobre o que você realmente possui, o chamado débito.

Alguns extratos de banco apresentam a situação das movimentações com entradas com o sinal positivo e retiradas com o sinal negativo:

Já alguns outros apresentam as retiradas com a letra D e as entradas com a letra C:

3.5.4. CRÉDITO

Crédito é uma disponibilidade de dinheiro feita por alguém sobre um meio de modo que este seja uma garantia de pagamento posterior. O que queremos dizer com isso é que algum ente te oferece um dinheiro que você propriamente não possui, mas por meio de algum instrumento você garante que pagará esse dinheiro em alguma


quantidade de tempo.

Esse é o mecanismo por trás do cartão de crédito. Você faz compras com o cartão, que propriamente é um dinheiro que você não possui, mas que através do cartão você garante que irá ressarcir a pessoa que te emprestou esse dinheiro através de uma fatura onde estará o valor que você tem que devolver à companhia que gerencia o cartão de crédito.

Embora seja a forma mais difundida de crédito nos tempos atuais, ela não é a única; muitas lojas vendem seus produtos por meio do crediário: dividem o valor da mercadoria em parcelas, de modo que devem ser pagas por meio de faturas ou por meio do popular carnê.

Entretanto, embora pareça muito simpática a ideia de que você possa comprar algo e pagar somente depois, a situação não é tão simples assim. Por ter emprestado esse dinheiro ela cobrará juros: uma porcentagem de quanto você tomou emprestado que deverá ser paga junto do que você pegou emprestado. O problema é que em alguns casos essa taxa pode chegar a valores muito grandes e que, passado o tempo, pode chegar a montantes muito grandes que nem se comparam ao que foi tomado emprestado inicialmente. Veremos como isso pode acontecer mais adiante.

3.5.5. TAXA DE JUROS

Falamos até agora sobre juros, vamos então defini-lo mais formalmente. Juros são uma quantia que se cobra sobre um valor que for emprestado por alguém. Em termos mais simples, é como se os juros fossem o “preço” de um empréstimo que alguém faz. Geralmente esse “preço” é uma porcentagem do valor que foi tomado emprestado, ao que chamamos isso de taxa de juros. Dependendo de como essa taxa é aplicada, os valores que uma pessoa passa a dever a quem empresta o dinheiro podem aumentar muito. Veremos como isso pode acontecer.

3.5.6. INFLAÇÃO

A inflação é um aumento dos preços em geral que ocorre por vários motivos. Mas antes de apresentar esses motivos, vamos explorar a chamada lei da oferta e da demanda:

“Se a oferta de um produto é escassa e a demanda por ele é alta, os preços do produto sobem.”

Praticamente todo produto no mercado obedece à lei da oferta e da demanda. Por exemplo, se numa feira as bananas estão acabando e haja muita gente interessada e que possa comprar banana, o vendedor aumentará o preço do produto, pois as pessoas realmente querem comprar banana. Agora, se nesta mesma feira haja muita laranja, e as pessoas não quiserem ou não puderem comprar laranja, o vendedor abaixará o preço da laranja para poder vendê-la a quem não puder comprar a laranja pelo preço original ou para estimular as vendas da laranja.

Existem vários fatores que podem reduzir a oferta do produto ou aumentar a demanda, ocasionando no aumento dos preços, isto é, causando a inflação dos mesmos, por exemplo:

Na agricultura, um momento de seca pode fazer com que a colheita seja menor; Um produto que tenha sazonalidade, por exemplo, morango, fica mais caro quando não é o período

tradicional da colheita; Interesses especulativos, como o provável aumento do crescimento de um país pode levar a um aumento

dos preços dos produtos que são vendidos a esse país.

Um aumento de preços de um produto nunca é isolado: como existe toda uma cadeia produtiva envolvida: salários, matérias-primas, gastos logísticos, etc, rapidamente se verifica o aumento em vários outros produtos. O aumento médio de todos os valores ao longo de um período de tempo é chamado de taxa de inflação.


3.5.7. JUROS SIMPLES

Dissemos anteriormente que há diversas maneiras de se calcular os juros. Vamos explorar duas dessas formas:

Os juros simples são uma forma de calcular juros onde, a cada período de tempo, é adicionado um valor que é a taxa de juros aplicada ao valor que foi emprestado inicialmente. Isto significa que, não importa quantos períodos de tempo se passem, os juros serão sempre os mesmos.

Suponha que você tome emprestada a quantia de R$ 1000,00 a uma taxa de 10% ao mês a juros simples. Ao longo dos meses nós teríamos a seguinte situação:

Primeiramente, calculamos qual quantia de juros que será adicionada todos os meses:

Logo, ao longo dos meses, as quantias devidas seriam

Note que nós temos um tipo de sequência onde temos um valor inicial e sempre somamos um valor fixo – isto é uma progressão aritmética onde o primeiro termo é 1000 e a razão é 200. O que isto significa? Que exatamente tudo o que vimos sobre progressão aritmética serve para modelar um problema de juros simples. Mas antes de fazermos isso, vamos fazer algumas adaptações e adotar alguns termos que são importantes:

No estudo de sequências, chamávamos o primeiro termo de . Para evitar confusões, o valor que nós tomamos

inicialmente nós chamaremos de . Sendo assim, fazemos uma pequena mudança na fórmula do termo geral de uma progressão aritmética:

O valor que você deve após n períodos de tempo é geralmente chamado de montante (M); já o valor que se tomou emprestado é chamado de capital (C). Os juros que são adicionados a cada período de tempo nós já vimos que é a taxa de juros, que chamaremos de i , multiplicada pelo valor inicial. Teremos então:

Pronto, encontramos uma relação para encontrar o valor que se deve após n períodos de tempo sem precisar conhecer os valores de cada mês: nos basta conhecer quanto se foi emprestado, a qual taxa de juros e durante quanto tempo.

No exemplo citado acima, se quiséssemos saber qual era a quantidade devida após um ano, isto é, 12 meses, teríamos o capital de R$ 2000,00, a uma taxa de 10% ao mês durante 12 meses:


Ao final de 12 meses a dívida seria de R$ 4400,00. Coloquemos a evolução num gráfico:

n

0 20001 22002 24003 26004 28005 30006 32007 34008 36009 3800

10 400011 420012 4400

Note que os pontos em questão se dispõem ao longo de uma reta, isto é, uma função do 1º grau.

3.5.8. JUROS COMPOSTOS

Neste caso em específico, estes são os juros mais utilizados no sistema bancário em todo o mundo. A ideia desse sistema é que a taxa de juros aja sempre sobre o montante imediatamente anterior, gerando novos montantes que servirão como base para que a taxa aja novamente. Complicado? Vejamos então com um exemplo como funciona.

Tomemos como base o mesmo exemplo que usamos para os juros simples:Vamos supor um empréstimo feito de R$ 2000,00, a uma taxa de juros de 10%, só que dessa vez a juros compostos.

O primeiro passo é idêntico ao de juros simples: calculamos 10% do empréstimo (que vamos chamá-lo de capital daqui em diante):

Então, o novo montante será de 2000 + 200 = 2200.


Agora, a diferença fica pelo fato de que calcularemos novamente 10%, mas calculamos em cima do montante que acabamos de obter, isto é, 10% de 2200:

Esse é o valor que gerará o novo montante de 2200 + 220 = 2420.

Fazemos novamente 10%, só que agora calculado sobre 2420:

E o novo montante será de 2420 + 242 = 2662.

Note que, ao calcular 10% de um valor, e depois somar ao valor inicial, estamos, na prática, multiplicando o valor inicial por 100% + 10%. Por exemplo:

Ou seja, se temos uma taxa de juros i, sempre multiplicamos o montante anterior por (100% + i) ou (1 + i).Para cada mês, multiplicamos o valor anterior sempre por (1 + i). Repetindo isso para n períodos de tempo, teremos:

Note que estamos sempre multiplicando um valor inicial (neste caso, o capital), por um mesmo valor, que é (1 + i). Isto se comporta realmente como uma progressão geométrica.

Mostremos a evolução da dívida devida ao banco ao longo de 12 meses, para aquele capital emprestado de R$ 2000,00 e taxa de juros de 10% ao mês.

n

0 20001 22002 24203 26624 2928,205 3221,026 3543,127 3897,438 4287,189 4715,90

10 5187,4811 5706,2312 6276,86

O gráfico será:


Vamos perceber agora a diferença do montante em 12 meses em juros simples e em juros compostos:

n

0 2000 20001 2200 22002 2420 24003 2662 26004 2928,20 28005 3221,02 30006 3543,12 32007 3897,43 34008 4287,18 36009 4715,90 3800

10 5187,48 400011 5706,23 420012 6276,86 4400

Enquanto no 2º mês a diferença é de apenas R$ 20,00, no 12º mês chega a R$ 1876,00. Enquanto a juros simples, a dívida ao fim de 12 meses é 2,2 vezes o valor emprestado, a juros compostos chega a 3,14 vezes.

Você consegue imaginar por que os bancos preferem esse tipo de juros?

3.5.9. INFLAÇÃO

Já comentamos que inflação é o aumento de preços, podendo ser esse aumento concretamente justificado ou especulado. Se, em geral, os preços retraírem, isto é, diminuírem, nós chamaremos isso de inflação. Também dissemos que, num geral, tudo está interconectado, ou seja, quando algum produto aumenta de preço, isto se reflete em toda a cadeia produtiva, tudo aumentará de preço, alguns de uma forma mais intensa, outros menos.

Vamos pensar matematicamente o que está ocorrendo quando há um processo inflacionário.

Você deve ter percebido que, em geral, que os trabalhadores recebem um reajuste salarial, que em muitas notícias


vem acompanhado das expressões “reposição salarial” ou “aumento real”. Essas questões existem por conta da inflação.

Suponhamos que você receba um salário de R$ 1000,00. Esse salário te permite comprar o que quer que haja no mercado, desde que no total seja um valor menor ou igual a R$ 1000,00.

Agora vamos supor que todos os produtos, de uma maneira geral, aumentem 5%.

Então o total de tudo o que você poderia comprar aumentou para .Se o seu salário continua sendo de R$ 1000,00, aconteceu o que se chama de perda de poder de compra. O seu salário, que te permitia comprar esses produtos ou serviço no total de R$ 1000,00, agora custam R$ 1050,00. Ou seja, você tem que comprar menos para chegar ao limite de R$ 1000,00.

Isso nos leva a imaginar o que acontece com um produto que custava R$ 20,00 em 2007. Vejamos a evolução da inflação nestes últimos dez anos no Brasil:

Período Taxa de inflaçãoSetembro/2007 4,146%Setembro/2008 6,251%Setembro/2009 4,343%Setembro/2010 4,704%Setembro/2011 7,311%Setembro/2012 5,282%Setembro/2013 5,859%Setembro/2014 6,746%Setembro/2015 9,493%Setembro/2016 8,476%

Note que para cada vez que há um aumento de um ano para o outro, a taxa de inflação age em cima do ano imediatamente anterior, exatamente como nos juros compostos. O preço do produto é dado pelo valor inicial, vezes (1 + i), sendo que, diferentemente dos juros compostos, a taxa i varia para cada período de tempo.

O preço do produto que custava R$ 20,00 seria de:

Ou seja, para comprar o mesmo produto dez anos depois você precisaria gastar aproximadamente R$ 36,66.


3.6. Biografias dos principais nomes relacionados ao tema

JOHN NAPIER (1550-1617)Matemático, físico e astrônomo escocês

Inventor dos logaritmos (com base e)Popularizou a separação de inteiros e decimais com ponto

O lugar onde nasceu hoje é uma universidade que leva seu nomeCriou um método alternativo de multiplicação: os ossos de Napier

LEONHARD EULER (1707 – 1783)Matemático, físico, astrônomo, lógico e engenheiro suíçoUm dos matemáticos mais prolíficos de todos os tempos

Contribuiu para a notação moderna de funções, análise, teoria dos números,Pioneiro da teoria dos grafos

Continuou produzindo mesmo após de ficar cego


4. PRODUÇÃO E PARCERIAS


4.1. Professores – Procedimentos em Sala


Caro professor, seguem as orientações para o desenvolvimento das aulas deste plano. Ressaltamos que possíveis adaptações podem ser feitas quanto ao tempo de aula que for disponível. A sugestão é que se leve 6 aulas, mas há uma margem de erro de uma aula para mais ou para menos.

Orientação programática

Esta aula foi pensada para ser um fechamento das atividades de matemática da 1ª série do ensino médio. De fato, esta aula recupera conceitos que estão planejados na Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Pretende-se, neste conjunto de aulas, que a todo o momento os conceitos relacionados às funções, sobretudo do 1º grau e exponencial, bem como as equações exponenciais e logarítmicas e as progressões aritméticas e geométricas. Reside neste conjunto de aulas uma oportunidade de retomar, revisar, e mais importante, contextualizar todos esses conteúdos que permeiam esta série do ensino médio.

Orientação metodológica

Por se tratar de temas que estão muito próximos da vida cotidiana, este plano não demanda aulas num padrão meramente expositivo. Posteriormente entraremos em mais detalhes aula a aula, mas o enfoque das aulas iniciais é explorar o que o aluno sabe sobre o tema, isto é, o que ele conhece sobre juros, inflação, permitir que ele expresse alguma situação que ele tenha vivido em sua família acerca do tema, entre outros. Recomenda-se também o uso de tecnologias. Neste plano em específico trabalharemos o Geogebra para a exploração do gráfico de funções, tabelas e busca de padrões e inferência de resultados na 5ª aula. Orientações acerca da utilização do software para além do explorado neste plano de aula estarão nos links para pesquisa no item 2.4.

PLANEJAMENTO SUGERIDO DAS AULAS

AULA 1

Nesta aula prevemos uma discussão inicial acerca dos temas norteadores do plano de aula: juros e inflação. Sugere-se que neste momento uma matematização dos conceitos em questão seja deixada de lado. Embora seja muito instrutivo, pedir aos alunos que tragam elementos de matemática financeira tais como extratos bancários ou faturas de cartão de crédito podem acarretar algum tipo de constrangimento durante a realização das atividades, por isso não se recomenda. No entanto, pede-se para que os alunos pensem sobre os conceitos trabalhados em aula e analisem tais documentos bancários em casa.

AULA 2

Esta aula será dedicada à conceituação dos juros simples. Recomenda-se que, neste caso, que haja a apresentação de exemplos a partir do conceito do que seriam juros simples: primeiramente apresentados pelo professor, e os demais trabalhados junto com os alunos. Pede-se também que a fórmula de juros simples não seja somente apresentada e de preferência que seja construída com os alunos. Neste plano de aula em específico foi abordada a construção da fórmula dos juros simples a partir da fórmula da progressão aritmética, a partir de um dos exemplos recomendados. Recomenda-se também que alguns exercícios envolvendo casos diferentes que estarão discriminados dos exercícios de avaliação.Esta aula costuma ser mais curta que as aulas de juros compostos. Nesta aula, a proposta do blog deverá ser feita aos alunos e suas orientações serão descritas no item Produtos.

AULA 3

Esta aula se dedica à conceituação de juros compostos. A abordagem é a mesma da aula dos juros simples, claro, fazendo ressalva pela construção da expressão dos juros compostos através das progressões geométricas. Alguns


outros exercícios sobre juros compostos a serem trabalhados em sala de aula também estarão separados dos exercícios para avaliação.

AULA 4

Esta aula em questão se dedicará ao estudo da inflação. Para a construção desse conceito, vale a pena relacionar os conceitos de taxa e de fator de atualização para a execução. Os alunos devem perceber que não há mudanças significativas entre as fórmulas de juros compostos e a atualização de valor. De fato não muda mesmo, basta uma mudança de incógnitas. Também consta de exercícios a serem trabalhados em aula.

AULA 5

Esta aula se dedica ao trabalho de exercícios utilizando o Geogebra. Para estes exercícios, a serem executados pelos alunos, haverá um pequeno manual de como executá-los. O papel do professor para estes exercícios é meramente supervisionar a atividade realizada pelos alunos, orientando e tirando dúvidas acerca da teoria desenvolvida.

4.2. Alunos – Procedimentos para Atividades

Vamos começar?O conhecimento escolar não traz nenhuma grande utilidade se não pudermos levá-lo para nossa vida, não é? Nosso objetivo aqui neste trabalho é pensar um pouco mais sobre como traduzir todo o nosso conhecimento da matemática financeira até agora para interpretar melhor o cotidiano.

E o que devemos fazer?O trabalho que deveremos fazer é um blog. E para que ele servirá?Neste blog vocês deverão selecionar, semanalmente, notícias que envolvam os vários temas da matemática financeira que estão disponíveis em revistas, jornais impressos e digitais, portais de notícias, etc.Para cada uma das notícias que forem reportadas em seus posts, será necessário fazer uma análise crítica do que está acontecendo e fazer previsões. Mostremos um exemplo:

Banco Central projeta inflação de 7,3% este ano e recuo para 4,4% em 201727/09/2016 09h19 - BrasíliaKelly Oliveira – Repórter da Agência Brasil

O Banco Central (BC) aumentou a projeção para a inflação este ano. Na estimativa, a inflação, medida pelo Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), deve ficar em 7,3% em 2016, ante 6,9% previstos em junho. O cálculo está no Relatório Trimestral de Inflação, divulgado hoje (27) em Brasília.

A projeção estoura o teto da meta de inflação de 6,5% e fica longe do centro da meta (4,5%), que deve ser perseguida pelo BC.

Em 2017, a inflação deve recuar e encerrar o período em 4,4%, ante 4,7% previstos anteriormente. O limite superior da meta no próximo ano é 6%, com centro em 4,5%. Para 2018, a projeção é 3,8%.

Essas projeções são do cenário de referência, em que o BC levou em consideração informações disponíveis até o último dia 22 para fazer as estimativas. Nesse cenário, foram considerados o dólar a R$ 3,30 e a taxa básica de juros, a Selic, atualmente em 14,25% ao ano.

Comentário do grupo:

A inflação é um aumento nos preços de uma maneira generalizada. Ela acontece quando por um número grande de


razões, os preços encarecem tendo em vista a lei da oferta e demanda. Vamos dar um exemplo.

Suponhamos que tenha havido fortes chuvas num dado período de tempo. Isto acarreta em que os vegetais estragam na plantação, sobretudo os folhosos, como alface. Se de uma semana para a outra a demanda por alface continue a mesma, mas tenha menos alface que possa ser vendido no mercado, as pessoas se disporão a pagar mais para poder levar o alface para casa. De uma maneira geral, como toda a cadeia de produção é interligada, o aumento de um produto acarreta no aumento de outros produtos, como um efeito dominó.

A inflação que o Banco Central previu para este ano, acumulada, é de 7,3%. Mas o que isto significa?Vamos supor que um produto custe R$ 50,00 em janeiro. Ao final do ano, ele custará os mesmos R$ 50,00, mais 7,3% de R$ 50,00. Teremos então:

Isto é, o produto, de maneira geral, ficou R$ 3,65 mais caro.

5. PUBLICIDADE E PROPAGANDA


5.1. Produtos

Blog.

Exercício utilizando Geogebra.

Exercícios de avaliação.

6. PROCESSO E PERSONALIZAÇÃO

6.1. Auto-avaliação dos Alunos - Registro das Lições Aprendidas

CritériosDesempenho

MínimoDesempenho

MédioDesempenho

Alto

Consegui compreender os conceitos de juros simples, juros compostos e inflação.

Consegui utilizar as ferramentas matemáticas envolvidas no âmbito da matemática financeira –

porcentagens, progressões e logaritmos.

Consegui identificar e definir problemas e questões significativas para investigação

Consegui usar os principais recursos dispositivos digitais e móveis necessários para a execução das atividades e

realização do blog.

Consegui relacionar os conceitos descritos acima e relacioná-los com a realidade – cartões de débito e

crédito e empréstimos.

Consegui produzir conteúdos de acordo com as orientações, escopo e regras estabelecidas para cada

tipo de gênero.

Consegui trabalhar colaborativamente e cooperativamente, de acordo com regras de convivência

que contribuíram para favorecer ambientes harmoniosos.


6.2. Avaliação - Exercícios de Fixação

GRUPO 1 – EXERCÍCIOS DE EXEMPLO PARA AS AULAS

JUROS SIMPLES

1. Um capital de R$ 530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses?

Temos que C = 530, i = 3% = 0,03 e n = 5. Aplicamos então na fórmula dos juros simples:

2. Um capital de R$ 600,00, aplicado à taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo?

Neste exercício, temos que C = 600, M = 1080 e i = 20% = 0,02. Aplicamos na fórmula:

Como a taxa dada está dada em anos, a quantidade de tempo é dada em anos. Logo, 4 anos.

JUROS COMPOSTOS

3. Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 6000,00, à taxa de 1% ao mês?

Aplicando na fórmula, temos:

Observe que esse é o montante, e não a quantidade de juros. Para obter os juros basta subtrair o capital do montante.


4. O capital de R$ 2000,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 4 meses, juros de R$ 165,00. Qual foi a taxa de juros?

Nesse caso, não temos o montante. Mas o montante nada mais é do capital + juros. Então temos:

5. Qual deve ser o tempo gasto para que a quantia de R$ 30000,00 gere o montante de R$ 32781,81, quando aplicada à taxa de 3% ao mês, no sistema de juros compostos?

Vamos aplicar a fórmula:

Observe que temos uma equação exponencial. Então usamos a operação contrária, o logaritmo. Pode-se aplicar o logaritmo de qualquer base, mas, para o uso em calculadora, usaremos o logaritmo na base 10.

INFLAÇÃO

6. Um produto custava R$ 500,00 em 2012. Considerando que em 2013 a inflação registrada para o ano de 2012 foi de 6% e em 2014 foi de 7% para o ano de 2013, qual será o custo desse mesmo produto em 2014?

Primeiro vamos calcular a inflação acumulada para o período de dois anos. Vamos fazer 1 + i, sendo i a taxa de inflação para cada uma das taxas e depois multiplicar esses dois valores:

Multiplicamos então esse valor pelos R$ 500,00. Então temos O produto custará R$ 567,00


7. Um produto custa hoje R$ 3500,00. Considerando que a inflação nos últimos 5 anos, para cada um dos anos, foi de 2%, quanto custava esse mesmo produto há 5 anos?

Vamos chamar de A o valor atual do produto e de V o valor há 5 anos. Sabemos que o valor há cinco anos foi

multiplicado pelo valor cinco vezes. Então temos:

8. Sabendo que ao longo de 10 anos um produto dobrou de valor, qual é a taxa de inflação anual para esse produto?

Vamos chamar de A o valor atual do produto e de V o valor há 10 anos. O valor de hoje é o dobro do de 10 anos atrás, isto é, é 2V. Então:

Logo, concluímos que a uma taxa de inflação aproximada de 7,2%, um produto dobra de preço em 10 anos.

GRUPO 2 – EXERCÍCIOS PARA AVALIAÇÃO

1. Quanto rendeu a quantia de R$ 60,00, aplicada à juros simples, coma taxa de 2,5% ao mês, ao final de 1 ano e 3 meses?

Temos C = 60 e i = 2,5% = 0,025. Temos que tomar cuidado com a quantidade de tempo. Como a taxa está registrada em meses, temos que fazer a conversão devida: 1 ano e 3 meses é igual a 12 meses + 3 meses = 15 meses. Agora aplicamos na fórmula:

Encontramos o montante. Os juros são a diferença desse montante e o capital: Então 82,50 – 60 = R$ 12,50.

2. Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$ 880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?


Aplicamos na fórmula os dados C = 800, i = 2% = 0,02 e M = 880:

Como a taxa está dada em meses, o tempo então é dado em meses. Portanto, o tempo de aplicação é de 5 meses.

3. Um valor emprestado de R$ 750,00 foi paga 8 meses depois de contraído e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?

Vamos primeiramente modificar a fórmula dos juros compostos para deixá-la em função dos juros:

Portanto, a taxa seria de 1% ao mês.

4. Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital?

Vamos utilizar a fórmula deduzida do exercício anterior:Note que o tempo está em meses e a taxa em anos. Façamos a correção: 24 meses = 2 anos.

Logo, o capital é de R$ 220,00.

5. Aplicando certa quantia na poupança, a juros mensais de 1% durante dois meses, os juros obtidos serão de R$ 200,00 no sistema de juros compostos. Qual é essa quantia?

Neste caso, não conhecemos o montante. Mas sabemos que ele é a soma dos juros com o capital. Então temos:


Portanto, o capital é de R$ 9950,25, aproximadamente.

6. Em qual situação a aplicação de R$ 4000,00 terá maior rendimento e de quanto a mais: Sistema de juros simples, à taxa de 3% ao mês, durante 2 meses? Sistema de juros compostos, à taxa de 2% ao mês durante 3 meses?

Precisamos verificar cada um dos casos:1) Sistema de juros simples à taxa de 3% ao mês durante 2 meses:

2) Sistema de juros compostos à taxa de 2% ao mês durante 3 meses:

Assim, o sistema de juros compostos rende mais na quantidade de R$ 4,832.

7. Tomando emprestado de um banco um capital a juros compostos mensais de 4%, em quanto tempo se triplicará o a dívida contraída?

A dívida será triplicada, então se tivermos um capital C emprestado, então o montante da dívida será de 3C, Temos então:

Como a taxa de juros está em meses, o tempo também estará. Portanto, são 28 meses.

8. Guto precisará de R$ 800,00 daqui a 8 meses. Sabendo que o banco está pagando 1,5% ao mês, quanto ele deve aplicar hoje para ter essa quantia?


Como ele precisa de R$ 800,00 daqui a 8 meses, este será o montante desejado para um certo capital C, teremos:

9. Certo país registrou uma taxa de inflação de 3% em certo ano e se eleva em 1 ponto percentual em cada ano. Passados três anos, os preços teriam aumentado em quantos pontos percentuais?

Se ela se eleva em 1 ponto percentual, teremos 3, 4 e 5% nos três anos. Assim, a inflação acumulada é:

Assim, será de 0,12476, ou seja, 12,476%.

10. Um país apresentou ao longo de quatro anos as taxas de inflação de 4%, 6%, 5,5% e 2%. Uma pessoa fez uma aplicação no banco no início desta série de taxas de inflação. Qual deve ser a taxa de juros do investimento para que pelo menos se mantenha o mesmo poder de compra?

A taxa de investimento tem que cobrir a inflação. Como juros compostos e inflação são calculadas da mesma forma, então a taxa de investimento desejada é inflação acumulada no período:

A taxa acumulada de investimento deve ser de, aproximadamente, 18,6% para repor a inflação.

GRUPO 3 – EXERCÍCIOS PARA GEOGEBRA

1. Vamos supor que alguém precise tomar um empréstimo de R$ 4000,00. Ciente dos problemas das pessoas que se endividam gravemente ao tomar empréstimos, essa pessoa colheu as seguintes informações de taxa de juros para vários bancos:

Banco Taxa de juros ao mêsA 2%B 4%C 3,5%D 3%E 4,5%

a) Construa as funções que representem o montante devido para cada um dos bancos.

Utilize a linguagem f(x)=a(1+i)^x.Atente-se ao fato de que os números decimais devem ser expressos com ponto ao invés de vírgula.Baseando-se na fórmula de juros compostos, teremos:

.

Construindo no Geogebra, teremos:


b) Para o prazo de 1 ano, qual é a taxa de juros devida aos bancos A, B, C, D e E?Pense em alternativas: como saber esse dado tendo em vista os gráficos?

Temos duas alternativas: colocar no campo de entrada a(12), b(12), c(12), d(12) e e(12). Teremos os números f a j indicados na Janela de Álgebra.

Se quisermos uma visão geométrica, basta traçar uma reta paralela ao eixo y passando pela coordenada x = 12. Basta colocar este mesmo comando. Em cada encontro da reta x = 12 com cada um dos gráficos, basta-nos colocar um ponto em cada uma das intersecções. O resultado é absolutamente o mesmo:


c) Para o montante devido de R$ 8000,00, quanto tempo de empréstimo é suficiente nos bancos A, B, C, D e E?Dica: apele neste item para entidades geométricas – ponto e reta.

Fazemos agora algo semelhante. Agora nos basta traçar uma reta paralela ao eixo x na coordenada y = 8000 e traçar os pontos das intersecções:

Basta observar as coordenadas dos pontos F a J na variável x e a resposta está dada.

2. Agora, queremos prever um comportamento variando a taxa de juros. Mantenha o capital que foi emprestado, de R$ 4000,00. Crie um controle deslizante para a taxa de juros entre 0 e 15%, com intervalo de meio ponto. Estipule


uma meta para o montante devido e trace uma função que o descreva. Para todas as taxas descritas, qual o tempo necessário para alcançar esse montante?

Primeiro passo é criar um controle deslizante como pedido no exercício. Nomeie-o de i. O resultado será:

Depois, criar a função . Ao inseri-la no comando, a taxa colocada tem que ser a variável i, que se conectará ao controle deslizante. O resultado será:

Agora, fixemos um montante qualquer. Seja, por exemplo, 6000. Então inserimos a reta y = 6000. No encontro da reta com o gráfico, coloquemos um ponto. Teremos o seguinte resultado:


Agora basta deslizar o controle e ver como a coordenada do ponto A varia. Também é possível deslocar a reta do montante para cima ou para baixo.

Orientações sobre o Geogebra Para ambas as atividades, ajuste a proporção dos eixos. Clique com o botão direito do mouse sobre o plano

cartesiano, selecione EixoXEixoY e selecione 1:200. Para criar um controle deslizante: no menu superior, selecione o botão Clique em qualquer lugar do plano: em min coloque 0, em max 15 e incremento 0.5. Ajuste o arredondamento para 5 casas decimais em Opções > Arredondamento > 5 casas decimais.

6.4. Avaliação - Rubricas

Rubrica para avaliação da produção das atividades em grupo.

Insatisfatório Aceitável Avançado

Categoria e PesoAbaixo dos padrões esperados.

Desempenho aceitável.Demonstra desempenho excelente.

1Organização (50%)

A organização da postagem, texto, tipografia, escrita matemática é confusa e /ou incompreensível.

A organização da postagem, texto, tipografia, escrita matemática é minimamente organizada e agradável.

A distribuição de todos os elementos visuais do blog é satisfatória e colabora para o entendimento da mensagem.

2Mensagem / Conteúdo (50%)

Mensagem confusa e /ou incorreta a partir do que a notícia propõe.

Mensagem clara que traduz as principais ideias da notícia, no entanto, sem muita profundidade teórica.

Mensagem clara e memorável que traduz perfeitamente a notícia e oferece oportunidades ao leitor de conhecer mais sobre o assunto.


Rubrica para avaliação dos exercícios:

Iniciante Insatisfatório Aceitável Avançado

Categoria e Peso Abaixo dos padrões esperados

Desempenho aceitável Demonstra desempenho excelente

1 Organização(50%)

A distribuição dos elementos (texto e linguagem matemática) está confusa.

A distribuição dos elementos (texto e linguagem matemática) é satisfatória.

A distribuição dos elementos (texto e linguagem matemática) é correta, clara e permite o entendimento de qualquer leitor.

2 Mensagem / Conteúdo(50%)

Conteúdo pouco claro ou demonstração incorreta por erros conceituais ou operatórios e/ou não conseguiu criar uma charada com demonstração correta.

Conteúdo com alguma clareza, mas apresenta alguns erros conceituais que podem comprometer o entendimento.

Demonstrações claras e notável conhecimento da fundamentação matemática.

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DANTE. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2010, 1ª edição.

SPINELLI, SOUZA & REAME. Matemática: ensino médio: volume 1. São Paulo: Nova Geração, 2005, 1ª edição.

IEZZI et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual Editora, 2001, 1ª edição.

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