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Próximas aulas:

Dia Tópico27 Fevereiro 4a Introdução ao curso e motivação da disciplina

11 Março 2a Cinemática Relativística e Transformações de Lorentz

13 Março 4a Dinâmica relativística: Força, energia cinética e energia total

18 Março 2a Exercícios

20 Março 4a Corpo Negro e Radiação Térmica Clássica

25 Março 2a Radiação Térmica Quântica

27 Março 4a Radiação Térmica Quântica

01 Abril 2a Efeito fotoelétrico e efeito Compton Exercícios

03 Abril 4a Fótons/ interação da radiação com a matéria

08 Abril 2a Raios X: produção e espectro, exercícios

10 Abril 4a Exercícios

15 Abril 2a Teste 1 - Exercícios

17 Abril 4a 1ª Prova

2

Aula 3

Relatividade Restrita

Mecânica Relativística

3

CronologiaUm pouco da história....

1881/1887 – Michelson & Morley e seu interferômetro;

1888 – Heaviside e deformação de corpos em movimento;

1889 – Fitzgerald e Lorentz contração dos comprimentos;

1892 – Lorentz: transformações (1ª ordem) e “tempo local” para explicar resultado nulo de Michelson & Morley;

1898 – Poincaré: simultaneidade, sincronização, invariância das leis da Física, transformações de Lorentz simétricas;

1905 – Einstein: dois postulados e Relatividade Especial;

1908 – Minkowski: geometrização da Relatividade, forma quadrática invariante para medir intervalos entre eventos.

1915 – Einstein: Relatividade Geral.

4

Se a luz é uma onda…

…o que está oscilando?

Ondas sonoras: perturbação ou vibração em meio sólido, líquido ou

gasoso (meios elásticos). Onde não há meio, não há som.

“No espaço, ninguém pode ouvir você gritando” (Alien, 1979)

Ondas na água: moléculas de água se movem para cima e para baixo.

E para as ondas luminosas: ???

Resposta dada no século 19: pensava-se no éter!

5

O éter

▪O éter era a substância hipotética através da qual as ondas

eletromagnéticas viajariam. O conceito era usado em diversas teorias

na Óptica, como uma forma de permitir a propagação da luz, o que se

acreditava ser impossível de acontecer no espaço “vazio”.

▪ Supunha-se que o éter preenchia o Universo inteiro e era um sistema

de referência estacionário que era rígido para ondas

eletromagnéticas, mas completamente permeável à matéria.

6

O éter

Suponha que o éter exista…

A Terra está se movendo em relação ao éter:

v da luz medida na Terra = v da luz + velocidade da Terra em

relação ao éter.

→ Nós, na Terra, deveríamos sentir o “vento do éter”.

vTerra

7

Experimento de Michelson-Morley (1)

Suponha que o éter exista… como o detectaríamos?

A existência do éter implicaria em que medidas da velocidade da luz resultariam

em valores diferentes na Terra dependendo se a luz se move paralelamente ou

perpendicularmente ao vento do éter. Interferômetro

vento do éter

8

Fonte de luz

Um parêntese: Interferômetro

▪ Uma fotografia e um desenho esquemático de um interferômetro padrão

utilizado em laboratórios de física são apresentados abaixo

9

Fonte de luz

Interferômetro de Michelson

10

Interferômetro de Michelson

11

Fonte

Franjas de interferência

Detector

Espelho móvel

Espelho fixo

CompensadorDivisor

Interferômetro

▪ A luz incidente no espelho m1 é

parcialmente refletida/transmitida

▪ A luz transmitida é totalmente

refletida de m2 de volta para m1

▪ A luz refletida é totalmente

refletida de m3 de volta para m1

▪ Parte da luz de m2 é refletida por

m1 em direção ao anteparo e

parte da luz é transmitida e

desconsiderada

▪ Parte da luz de m3 é transmitida

através de m1 e parte dela é

refletida e desconsiderada

12

Fonte de luz

Interferômetro

▪ A luz dos espelhos m2 e m3 interferem

com base na diferença de caminho

percorrido entre os dois caminhos de

chegada ao anteparo.

▪ Ambos os caminhos perfazem duas

reflexões, cada um resultando em uma

mudança de fase de meio comprimento

de onda; assim, a condição para a

interferência construtiva é

▪ A diferença entre os dois caminhos é

13

Fonte de luz

Interferômetro

▪ O anteparo mostra círculos

concêntricos de franjas lineares

correspondendo à interferência

construtiva e destrutiva dependendo

do tipo de lente desfocalizadora.

▪ Se o espelho móvel m2 é deslocado

de uma distância de /2, as franjas se

deslocam por uma franja inteira.

▪ Logo, esse tipo de interferômetro pode

ser usado para medir alterações nas

distâncias da ordem de uma fração

do comprimento da onda de luz,

dependendo da precisão com a qual

pode ser medido o deslocamento das

franjas de interferência.

14

Fonte de luz

Deslocamento

de franjas

de interferência

Deslocamentos de franjas podem

ser produzidos por movimento

relativo ou da fonte ou dos

espelhos, o que modifica os trajetos

da luz.

Um deslocamento de franja de /2

Nenhum movimento relativo, nenhum deslocamento de franja observado.

Um deslocamento de franja de /2 na direção oposta a 2.

15

Fim do parêntese.

Experimento de Michelson-Morley (2)

Interferômetro

c : velocidade da luz

v : vento do éter (v da terra em relação ao éter)

Braço 1:

Braço 2:

As diferenças de tempo causam

uma diferença de fase e, assim,

um padrão de interferência. O

padrão de interferência deveria

mudar quando o interferômetro é

girado de 90°.

Braço 2 L

Braço 1

L

vento do éter v

c vu

v

16

O experimento de Michelson & Morley (1887)

,

L=11 m, 500 nm, v/c 10−4 => n0.44

Wikipedia

Antes de rodar:

Depois de rodar:

Diferença de caminho/ =

17https://en.wikipedia.org/wiki/Michelson%E2%80%93Morley_experiment#/media/File:Michelson-morley_calculations.svg

Resultados de Michelson & Morley

▪ Se há movimento da Terra em relação ao éter, então a velocidade da

luz observada deveria ser diferente para a luz em direções diferentes.

▪Michelson & Morley usaram seu interferômetro e não encontraram…

nenhum deslocamento das franjas!

▪De onde Michelson & Morley concluíram que a velocidade da luz é a

mesma em qualquer direção. Havia também outras explicações para o

resultado nulo (p. ex. Fitzgerald e a contração dos comprimentos).

18

▪ Michelson ainda mostrou que o metro padrão era equivalente a

1.553.163,5 comprimentos de onda de uma luz monocromática

emitida por uma fonte luminosa de cádmio. Por esta medida, ele

ganhou o Prêmio Nobel de Física de 1907.

▪ Um aparato como este foi usado para testar a existência do

“éter”, o meio onde a luz supostamente se propagaria. O

resultado foi negativo, não sendo observado nenhum efeito de

deslocamento nas franjas de interferência para diferentes

posicionamentos dos braços do interferômetro.

▪ Esse fato levou à conclusão de que o “éter” não existia.

Interferômetro de Michelson

19

Einstein

O éter não existe, e a velocidade da luz no

vácuo é constante para todos os

observadores, independentemente do

movimento da fonte ou do observador.

Einstein introduziu um novo princípio, o

princípio da relatividade especial e construiu

a sua teoria baseando-se em dois postulados,

como vimos na aula passada.

20

• Se, no referencial S, dois eventos estão separados por uma diferença de coordenada e ocorrem em dois instantes de tempo separados por , no referencial S’ teremos:

• Vemos que as noções de espaço e tempo, como entes independentes, não têm mais sentido; o que temos é um

ente único: o espaço-tempo.

• Podemos também inverter as transformações acima:

)( tvxx −= )(2

xc

vtt −=

)( tvxx += )(2

xc

vtt +=

As transformações de Lorentz

H. A. Lorentz(1853 – 1928)

21

A relatividade das velocidades

Vimos que:

Logo:

Na transformação clássica de Galileu teríamos :

)( tvxx −= )(2

xc

vtt −=

Portanto: )( v d td xxd −= )(2

dxc

vdttd −=

21

c

uv

vu

td

xdu

x

xx

−

−=

=

vutd

xdu xx −=

=

(v << c)

22

Podemos ainda deduzir expressões para as relações entre as demais componentes nos outros eixos:

➢ Portanto, a transformação está coerente com o fato da velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais, e nenhuma velocidade poder excedê-la.

• As transformações podem ser invertidas, trocando os índices com linha sem linha e v por –v :

2

2

1

)1(

c

uv

u

td

ydu

x

y

y

−

−=

=

2

2

1

)1(

c

uv

u

td

zdu

x

z

z

−

−=

=

c

c

uv

vuu

x

xx =

+

+=

21

cu x = teremos:

A relatividade das velocidades

• Se:

23

• No efeito Doppler do som, é necessário distinguir as situações em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector, podem ter velocidades relativas ao ar. • Já para a luz, que se propaga no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o detector.

O efeito Doppler da luz

Som

24

• No efeito Doppler do som, é necessário distinguir as situações em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector, podem ter velocidades relativas ao ar. • Já para a luz, que se propaga no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o detector.

O efeito Doppler da luz

●

Fonte vDetector

v a

25

• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector, podem ter velocidades relativas a esse. •Já para a luz, que se propaga no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o detector.

O efeito Doppler da luz

●

Fonte vDetector

v a

26

Se o observador O, parado em S, descreve o campo de uma onda

eletromagnética como ,

o observador O’, em S’, deverá observar o campo como:

Pelo princípio da relatividade, devemos ter invariância de fase (a fase é uma grandeza escalar, portanto invariante): tk x − txk − =

)( tvxx += )(2

xc

vtt += Então, usando e

podemos mostrar que:

−=

2c

vkk

( )vk−= e

O efeito Doppler da luz

)tkx(senE)t,x(E −= 0

)txk(senE)t,x(E −= 0

27

Mas:

cf

kkc =

== ;

( ) −= 1kk ( ) −= 1e

O efeito Doppler da luz

Esta expressão é válida no caso da fonte estar se afastando( > 0) do observador falamos em desvio para o vermelho (frequências mais baixas). Veja a dedução feita na lousa.

1

1obs fontef f

−=

+

●Fonte v´, f ´

c

v=;

28

Esta expressão é válida no caso da fonte estar se aproximando( > 0) do observador falamos em desvio para o azul (frequências mais altas). Veja a dedução feita na lousa.

Mas:

cf

kkc =

== ;

( ) −= 1kk ( ) −= 1e

1

1obs fontef f

+=

−

O efeito Doppler da luz

●Fonte v ´, f ´

c

v=;

29

• Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma velocidade relativamente pequena, << 1. Neste caso temos:

Em termos dos comprimentos de onda, temos:

• Se a estrela estiver se afastando ( > 0 ) teremos 0

Deslocamento da luz para o vermelho

• Se a estrela estiver se aproximando

( < 0) teremos < 0

O efeito Doppler na Astronomia

Deslocamento daluz para o azul

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/XYCoordinates.gif 30

Observações experimentais e suas implicações para a Cosmologia:

Em 1929, Edwin Hubble propôs que o desvio para o vermelho observado para as

linhas espectrais originadas de átomos de cálcio de galáxias distantes era devido ao

efeito Doppler: as galáxias estariam se afastando de nós.

É possível medir a velocidade de recessão V de várias galáxias e

Hubble encontrou V = H0 r , com H0 é a constante de Hubble = 70.4 ± 1.4

km/s/Mpc.

Esta foi a primeira evidência experimental

da expansão do Universo!31