“FILOSOFIA, MATEMÁTICA, FÍSICA E O PENSAMENTO CIENTÍFICO”

Prof. Alberto LuísEngenharia – Ciclo Básico

Discentes: Eduardo Augusto Samponi, B229020Felipe Lucano, B05DAH-9

Osvande Xavier Neto, B316AA-5Rafael de Souza Manzano, B24JCJ-1

Vinicius Marques de Oliveira, B41DBC-1

Assis

2012

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO..........................................................................................................02

1. Biografia de Arquimedes ....................................................................................03

2. Ciência de Arquimedes- Invenções e Idéias .....................................................052.1. Lei da Alavanca ..................................................................................................052.2. Princípio Hidrostático ..........................................................................................06

3. As Contribuições de Arquimedes para a Matemática e Física .......................08

CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................11REFERÊNCIAS .........................................................................................................13

INTRODUÇÃO

O presente trabalho traz uma pequena biografia de Arquimedes (287-212 A.C),

apresentando também, alguns de seus feitos e pesquisas nas diversas áreas

das ciências exatas. Daremos ênfase em dois pontos de seus estudos, sendo

eles a lei da alavanca e o princípio hidrostático.

Arquimedes e suas descobertas são de fundamental importância para

matemática e física no seu desenvolvimento e avanço. Nos dias de hoje, seus

estudos, apesar de terem atravessado por séculos, continuam atuais e

essências na área das exatas.

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1. Biografia de Arquimedes

Arquimedes de Siracusa nasceu por volta de 287 a.C. na cidade portuária de

Siracusa, na Sicília, naquele tempo uma colônia auto-governante na Magna

Grécia. A data de nascimento é baseada numa afirmação do historiador grego

bizantino João Tzetzes, de que Arquimedes viveu 75 anos. Em sua obra “O

Contador de Areia”, Arquimedes conta que seu pai se chamava Fídias, um

astrônomo sobre quem nada se sabe atualmente. Plutarco escreveu em “Vidas

Paralelas” que Arquimedes era parente do Rei Hierão II, o governante de

Siracusa. Uma biografia de Arquimedes foi escrita por seu amigo Heráclides,

mas esse trabalho foi perdido, deixando os detalhes de sua vida obscuros, é

desconhecido, por exemplo, se ele se casou ou teve filhos. Durante sua

juventude, Arquimedes talvez tenha estudado em Alexandria, Egito, onde

Conon de Samos e Eratóstenes de Cirene foram contemporâneos. Ele se

referiu a Conon de Samos como seu amigo, enquanto dois de seus trabalhos

(“O Método dos Teoremas Mecânicos” e o “O Problema Bovino”) têm

introduções destinadas a Eratóstenes.

Arquimedes morreu em Circa. 212 a.C. durante a Segunda Guerra Púnica,

quando forças romanas sob o comando do General Marco Cláudio Marcelo

capturaram a cidade de Siracusa após um cerco de dois anos. Existem

diversas versões sobre sua morte. De acordo com o relato dado por Plutarco,

Arquimedes estava contemplando um diagrama matemático quando a cidade

foi invadida, um soldado romano ordenou que ele fosse conhecer General

Marcelo, mas ele se recusou, dizendo que ele tinha que terminar de trabalhar

no problema. O soldado ficou furioso com isso, e matou Arquimedes com sua

espada. Plutarco também oferece um relato menos conhecido da morte de

Arquimedes, que sugere que ele pode ter sido morto enquanto tentava se

render a um soldado romano. De acordo com essa história, Arquimedes estava

carregando instrumentos matemáticos, e foi morto porque o soldado pensou

que fossem itens valiosos. General Marcelo teria ficado irritado com a morte de

Arquimedes, visto que o considerava uma posse científica valiosa, e tinha

ordenado que ele não fosse ferido.

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Durante a conquista da Sicília pelos Romanos esteve a serviço das autoridades

do governo local colocando suas invenções mecânicas a disposição do exército

para a defesa de Siracusa.

Entre os vários aparatos militares cuja invenção lhe é atribuída, encontram-se a

catapulta e um sistema de espelhos que incendiava embarcações inimigas ao

focá-las com os raios do sol. Esta ultima invenção é considerada por muitos

como uma lenda, pois já se tentou reproduzir este fato com diversos espelhos

planos e esféricos sem sucesso.

As versões conhecidas a respeito da vida de Arquimedes foram escritas muito

tempo depois de sua morte pelos historiadores da Roma Antiga. O relato do

cerco a Siracusa dado por Políbio em seu História Universal foi escrito por volta

de setenta anos depois da morte de Arquimedes, e foi utilizado posteriormente

como fonte por Plutarco e Lívio. Ele esclarece pouco sobre Arquimedes como

uma pessoa, e centra-se nas máquinas de guerra que ele supostamente

construiu a fim de defender a cidade.

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2. Ciência de Arquimedes- Invenções e Idéias

Arquimedes desenvolveu vários trabalhos na área das ciências exatas, dentre

seus estudos destacaremos a lei da alavanca e o princípio hidrostático.

2.1. Lei da alavanca

Em mecânica, um de seus maiores destaque é a alavanca, máquina simples

que consiste normalmente em uma barra rígida móvel em torno de um ponto

fixo, denominado fulcro ou ponto de apoio. O efeito de qualquer força aplicada

à alavanca faz com que esta gire em relação ao ponto de apoio. A força

rotativa é diretamente proporcional à distância entre o ponto de apoio e a força

aplicada.

A equação fundamental das alavancas é: , onde:

Fp é a força potente; Fr é a força resistente; BP é o braço potente; BR é o

braço resistente.

Através dessa lei, pode-se constatar que, com uma força de pequena

intensidade aplicada a uma alavanca, é possível equilibrar uma força muito

mais intensa.

A figura acima demonstra o princípio do funcionamento de uma alavanca.

O mecanismo das alavancas é encontrado facilmente no nosso dia-a-dia,

mesmo que quase despercebido; como por exemplo, existe a aplicação da lei

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da alavanca na tesoura, no abridor de garrafas, no alicate, no pé de cabra, na

chave de fenda e no quebrador de nozes.

2.2. Princípio hidrostático

O princípio de Arquimedes afirma que todo corpo submerso num fluido

experimenta uma força para cima igual ao peso do fluido deslocado por aquele

corpo. Isso permite determinar a densidade de um objeto cuja forma seja tão

irregular que seu volume não possa ser medido diretamente.

Em outras palavras, Arquimedes afirma que um corpo sólido imerso

num fluido sofre a ação de uma força dirigida para cima igual ao peso do fluido

deslocado, isto é devido à pressão hidrostática no fluido.

A formula usada é: FE = Wfluido = ρfluido . Vdeslocado . g

A figura acima ilustra o principio hidrostático de Arquimedes.

No caso de um navio, por exemplo, o seu peso é contra-balançado por uma

força de impulsão igual ao volume de água que desloca, que corresponderá ao

volume submerso do navio. Se lhe for acrescentada mais carga, esse volume

submerso vai aumentar, e, com ele, a força de impulsão, permitindo ao barco

flutuar. No Brasil, dá-se o nome de empuxo a esta força.

Mecânica de fluidos, parte da física que se ocupa da ação dos fluidos em

repouso ou em movimento, assim como das aplicações e mecanismos de

engenharia que os utilizam. A mecânica de fluidos é fundamental em campos

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tão diversos como a aeronáutica, a engenharia química, civil e industrial, a

meteorologia, a construção naval e oceanografia.

Pode ser subdividida em dois campos principais: a estática dos fluidos, ou

hidrostática, que se ocupa de fluidos em repouso, e a dinâmica de fluidos, que

trata de fluidos em movimento. O termo "hidrodinâmica" aplica-se ao fluxo de

líquidos ou ao fluxo de gases a baixa velocidade em que o gás é

essencialmente incompressível. A hidráulica lida principalmente com a

utilização da pressão da água ou do óleo em engenharia.

Entre as aplicações da mecânica de fluidos estão a propulsão a jato, as

turbinas, os compressores e as bombas.

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3. As Contribuições de Arquimedes para a Matemática e Física

Arquimedes contribuiu para a matemática através dos seus estudos sobre

matemática pura e calculo integral. Destacou-se também na geometria

estudando áreas e volumes de figuras sólidas curvas e sobre as áreas de

figuras planas.

Na Física Arquimedes também realizou estudos importantes. Em mecânica,

definiu a lei da alavanca e é considerado o inventor da polia composta. Durante

a sua permanência no Egito, inventou o “parafuso sem fim” para elevar o nível

da água, porém é conhecido principalmente por ter enunciado a lei da

hidrostática, o chamado Principio de Arquimedes.

Embora seja popularmente mais conhecido como um inventor de dispositivos

mecânicos, Arquimedes também fez importantes contribuições para o campo

da matemática. Plutarco escreveu: "Ele colocou todo o seu afeto e ambição

nessas especulações puras onde não há referência às necessidades vulgares

da vida."

Arquimedes foi capaz de usar infinitesimais de uma maneira que é semelhante

ao moderno cálculo integral. Através de provas por contradição (reductio ad

absurdum), ele encontrou respostas aproximadas para problemas diversos,

especificando os limites entre os quais se encontrava a resposta correta. Esta

técnica é conhecida como o método da exaustão, e ele empregou-o para

aproximar o valor de π (pi). Ele conseguiu isso desenhando um polígono

regular inscrito e outro circunscrito a um mesmo círculo. Aumentando-se o

número de lados do polígono regular, ele se torna uma aproximação mais

precisa de um círculo. Quando os polígonos tinham 96 lados cada um, ele

calculou os comprimentos de seus lados e mostrou que o valor de π está entre

31⁄7 (aproximadamente 3,1429) e 310⁄71 (aproximadamente 3,1408), consistente

com o seu valor real de cerca de 3,1416. Ele também mostrou que a área de

um círculo é igual a π multiplicado pelo quadrado do raio do círculo. Em Sobre

a “Esfera” e o “Cilindro”, além dos resultados principais, Arquimedes postulou

que qualquer grandeza quando adicionada e ela mesma suficientes vezes

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excederá qualquer grandeza dada. Este é o axioma de Arquimedes dos

números reais.

A figura acima ilustra a teoria de Arquimedes afirmando que a área de um círculo é igual a π multiplicado pelo quadrado do raio do círculo.

Em Sobre as “Medidas do Círculo”, Arquimedes informa o valor da raiz

quadrada de 3 como estando entre 265⁄153 (aproximadamente 1,7320261)

e 1351⁄780 (aproximadamente 1,7320512). O valor real é de aproximadamente

1,7320508, portanto foi uma estimativa muito precisa. Ele apresentou o

resultado sem dar qualquer explicação sobre o método utilizado para obtê-lo.

Este aspecto da obra de Arquimedes fez John Wallis comentar que ele estava:

“... como se houvesse um firme propósito de encobrir os passos de sua

investigação, como se ele negasse à posteridade o segredo de seu método de

investigação ao mesmo tempo que desejava extrair dela o consentimento com

os seus resultados."

Em  “A Quadratura da Parábola”, Arquimedes provou que a área delimitada por

uma parábola e uma linha reta é 4⁄3 vezes a área do triângulo inscrito

correspondente, como mostrado na figura à direita. Ele expressou a solução do

problema como uma série geométrica infinita com a razão comum de 1⁄4:

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Como mostrado por Arquimedes, a figura ilustra a área do

segmento parabólico na figura de cima é igual a 4/3 da do triângulo inscrito na

figura de baixo.

Se o primeiro termo desta série é a área do triângulo, então o segundo é a

soma das áreas de dois triângulos cujas bases são as duas linhas secantes

menores, e assim por diante. Esta prova utiliza uma variação da série 1/4 +

1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · cujo resultado é1⁄3.

Em “O Contador de Areia”, Arquimedes se dispôs a calcular o número de grãos

de areia que o universo poderia conter. Ao fazê-lo, desafiou a idéia de que o

número de grãos de areia era grande demais para ser contado. Ele escreveu:

"Existem alguns, Rei Gelão (Gelão II, filho de Hierão II), que pensam que o

número de grãos de areia é infinito em multitude; e eu me refiro a areia não só

a que existe em Siracusa e no resto da Sicília, mas também a que é

encontrada em qualquer região, seja habitada ou inabitada." Para resolver o

problema, Arquimedes inventou uma forma de escrever números baseada

na miríade. A palavra corresponde a palavra grega μυριάςmyriás, para o

número 10 000. Propôs um sistema em que se utilizava uma potência de uma

miríada elevada a um miríada (100 milhões) e concluiu que o número de grãos

de areia necessários para preencher o universo seria 8 vigintilhões, isto é,

8×1063.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Contudo, podemos perceber que Arquimedes foi um importante e um genial

matemático que dedicou sua vida a grandes invenções e a estudos que marcou

sua época refletindo na nossa.

Ele nasceu em Siracusa, na Sicília, e estudou em Alexandria, no Egito.

Antecipou-se a muitas das descobertas da ciência moderna no campo da

matemática pura, como o cálculo integral, com seus estudos sobre áreas e

volumes de figuras sólidas curvas e sobre as áreas de figuras planas.

Demonstrou também que o volume de uma esfera equivale a dois terços do

volume do cilindro que a circunscreve.

Em mecânica, definiu a lei da alavanca e é considerado o inventor da polia

composta. Durante sua estada no Egito, inventou o "parafuso sem fim" para

elevar o nível da água. Mas é conhecido principalmente por ter enunciado a lei

da hidrostática, o chamado princípio de Arquimedes. Essa lei estabelece que

todo corpo submerso em um fluido experimenta perda de peso igual ao peso

do volume do fluido que o corpo desloca.

Felizmente muitas das suas obras sobre matemática e mecânica foram

preservadas, entre elas o Tratado dos Corpos Flutuantes (princípio

hidrostático), Sobre o Equilíbrio dos Planos (onde se encontra a lei da

alavanca) e O contador de Areia (cálculos baseados em miríade).

Ao redor da vida de Arquimedes existem muitas lendas e até hoje não se sabe,

de forma certa, como ele morreu. Uma das varias versões da sua morte é

citada no artigo do site Biblioteca Virtual: “Durante a conquista da Siracusa, na

Segunda Guerra Púnica, foi assassinado por um soldado romano que o

encontrou desenhando um diagrama matemático na areia. Conta-se que

Arquimedes estava tão absorto em suas operações que ofendeu o intruso ao

dizer-lhe: “Não desmanche meus diagramas”.

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Enfim, Arquimedes foi um estudioso impar, que deixou marcas na humanidade.

Superou por meio das suas invenções as limitações de sua época, facilitando a

vida de seu povo. Ele ultrapassava as barreiras da pouca tecnologia, sempre

enxergava uma oportunidade de inovar, inventar e descobrir diante de um

problema ou pedido que lhe era feito.

A trajetória de vida de Arquimedes pode ser resumida em uma de suas

renomadas frases: "Aquele que tentou e não conseguiu é superior aquele que

nada tentou."

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REFERÊNCIAS

KORCH T. ASSIS, André; Arquimedes, o Centro de Gravidade a Lei da Alavanca. Montreal: C. Roy Keys, primeira edição 2008.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Arquimedes (Acessado dia 18 de maio de 2012, às

21h23min.)

http://www.artigonal.com/educacao-artigos/a-contribuicao-de-arquimedes-para-

as-ciencias-exatas-945001.html (Acessado dia 18 de maio de 2012, às

22h13min.)

http://www.colegioweb.com.br/fisica/arquimedes1.html ((Acessado dia 18 de

maio de 2012, às 22h17min.)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hidrost%C3%A1tica (Acessado dia 25 de maio de

2012, às 19h49min.)

http://www.cienciamao.usp.br/dados/t2k/_ciencias_cie52b.arquivo.pdf

(Acessado dia 25 de maio de 2012, às 20h00min.)

BIBLIOTECA VIRTUAL. Arquimedes. Disponível em:

http://www.bibliotecavirtual.com.br. Acesso em: 30 set. 2007 (Acessado dia 27

de maio de 2012, às 15h33min)

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