vibrações mecânicas - departamento de engenharia civil · movimento é composto apenas pela...

Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Vibrações mecânicas

1. Introdução Entende-se por vibração o movimento repetitivo de uma partícula, de um corpo ou do

conjunto de corpos em torno de uma posição de equilíbrio estático estável. Quando os

deslocamentos realizados por este sistema forem pequenos, a vibração designa-se pequena.

Usa-se assim a teoria das pequenas vibrações ou oscilações.

A origem das vibrações

Foi explicado no capítulo PTV que um sistema na posição de equilíbrio estável, quando sujeito

a uma perturbação desloca-se dessa posição, mas retirando a causa desta perturbação, volta à

sua posição de equilíbrio estável. Isso iria acontecer se essa volta fosse feita de maneira quase

estática, ou seja de modo lento, sem activação de efeitos de inércia. Na realidade isso não

acontece e o sistema volta à posição de equilíbrio estável, mas naquele instante tem um certa

velocidade que o obriga a ultrapassar essa posição (veja também o problema da dinâmica em

que foi calculada a velocidade do sistema na posição de equilíbrio estável). O sistema desloca-

se assim para outro lado até diminuir a velocidade a zero, depois tenta voltar novamente à

posição de equilíbrio estável e atinge esta posição novamente com uma certa velocidade, etc.

As vibrações em geral representam efeitos não desejáveis, porque induzem o aumento de

tensões, perdas de energia, desgaste de material, etc.

Termos

Os movimentos em função do tempo classificam-se em periódicos e não-periódicos. O

movimento harmónico é um caso particular do movimento periódico, em que a função de

deslocamento corresponde a uma função trigonométrica de seno, possivelmente com ângulo

de fase não nula, ou seja a função co-seno está também incluída.

O movimento periódico

Designa-se como período T o tempo (em segundos) necessário para completar um ciclo de

movimento. O inverso do período, a frequência f (cíclica) representa o número de ciclos

que o sistema completa num segundo.

-11s =Hzf

T ou seja a unidade da frequência cíclica é Hertz.

Período


O movimento não-periódico

O movimento harmónico

O deslocamento máximo chama-se a amplitude; num movimento periódico a amplitude dos

deslocamentos positivos pode ser diferente da amplitude dos deslocamentos negativos.

Os adjectivos: periódico, não-periódico e harmónico usam-se igualmente junto com as forças,

velocidades, aceleração, etc, porque apenas descrevem o andamento de alguma função em

relação ao tempo.

Neste capítulo apenas os mecanismos com 1GDL serão abordados. A equação que descreve o

movimento oscilatório é uma equação diferencial que corresponde à equação de movimento

(equilíbrio dinâmico na direcção da variável do movimento). As incógnitas neste caso serão

funções de variável tempo: u t , v t , a t ou t , t , t , no entanto a por razões

de simplificação o argumento t costuma-se omitir. Para se destacar a dependência no tempo e

assim indicar o grau da equação diferencial, costuma-se escrever

u , du

v udt

, 2

2

d ua u

dt e ,

d

dt

,

2

2

d

dt

Vibrações livres não amortecidas O movimento é mantido apenas pelas forças de restituição, ou seja pelas forças inerentes ao

sistema (que são por exemplo: as forças elásticas das molas e as forças gravíticas). A

perturbação que inicia o movimento corresponde a um deslocamento e/ou a uma

velocidade aplicada ao sistema, não há forças exteriores aplicadas ao sistema. Neste caso,

t

u

Amplitude


todos os termos envolvidos na equação que descreve o movimento tem que conter a

variável do movimento (equação homogénea). A vibração chama-se natural. Não se

considera qualquer tipo de atrito ou outra perda de energia, a vibração dura para sempre

sem qualquer alteração.

Vibrações forçadas não amortecidas Além das forças de restituição, existem as forças externas aplicadas ao sistema. Estas forças

serão somente consideradas na forma harmónica. As forças constantes que permanecem no

sistema afectam a posição de equilíbrio estável e não contribuem à manutenção do

movimento oscilatório. As forças de curta duração, constantes ou com outra evolução, ou seja

os impulsos das forças, ultrapassam o âmbito desta sebenta. O movimento oscilatório neste

regime corresponde à sobreposição de dois movimentos, um que corresponde à vibração

natural e outro à vibração forçada. Não se considera qualquer tipo de atrito ou outra perda

de energia, a vibração dura para sempre sem qualquer alteração. A vibração forçada pode ser

igualmente originada e mantida pelo movimento harmónico da base do sistema.

Vibrações livres amortecidas O movimento é mantido apenas pelas forças de restituição, no entanto consideram-se as

perdas de energia, via forças de atrito (interno ou externo) chamadas também as forças de

amortecimento, por isso o movimento vai diminuir a sua amplitude, até cessar. Teoricamente

cessa no tempo infinito, mas o decréscimo de amplitude é exponencial.

Vibrações forçadas amortecidas Além das forças de restituição existem as forças oscilatórias externas aplicadas ao sistema, no

entanto consideram-se as perdas de energia. As perdas de energia afectam principalmente a

vibração natural, que cessa passado algum tempo. O amortecimento afecta a amplitude da

vibração forçada, mas esta dura para sempre. Visto a vibração estar composta pela

sobreposição destas duas partes, costumam-se introduzir os termos: o regime transiente

(transitório) que corresponde ao intervalo de tempo inicial, em que ainda há vibração natural

não desprezável. O outro regime começa quando a vibração natural é desprezável, e assim o

movimento é composto apenas pela parte forçada, e por isso o regime chama-se estacionário,

ou seja representa a estabilização do sistema no movimento que se repete sem qualquer

alteração até quando actuarem as forças externas.

Vibração livre não-amortecida Vibração livre amortecida (período ligeiramente maior)

u

u


Vibração forçada não-amortecida

verde: contribuição natural

azul: contribuição forçada

vermelho: vibração total

Intervalo de tempo inicial (regime transitório)

Intervalo de tempo intermédio (regime transitório)

Vibração forçada amortecida

verde: contribuição natural

azul: contribuição forçada

vermelho: vibração total

Regime estacionário

u

u

u

u


2. Corpo rígido com único movimento

Vibrações lineares Quando um corpo rígido (possivelmente composto por vários corpos elementares) oscila sobre

uma posição de equilíbrio estável efectuando o movimento de translação, a vibração chama-se

linear. A variável que caracteriza este movimento é o deslocamento. A equação que rege a

vibração determina-se via equação de movimento, ou seja via equação do equilíbrio dinâmico,

que neste caso, contrariamente ao Capítulo Dinâmica, tem que se escrever na posição

deformada e apenas no sentido de movimento (somatório de forças).

Vibrações rotacionais Quando um corpo rígido (possivelmente composto por vários corpos elementares) oscila sobre

uma posição de equilíbrio estável efectuando o movimento de rotação em torno de um ponto

fixo (CIR fixo, centro de rotação, C ), a vibração chama-se rotacional. A variável que

caracteriza este movimento é o ângulo de rotação, que neste caso chama-se a coordenada

generalizada. O movimento descreve-se com uma única equação que corresponde ao

equilíbrio dinâmico dos momentos em torno do ponto fixo C (equação do movimento na

posição deformada). Tal como explicado no capítulo de Dinâmica, quando não se usam as

equações que representam o equilíbrio das forças, há possibilidade de usar o único momento

de inércia na forma CI .

Durante as vibrações rotacionais, cada ponto do sistema faz igualmente a vibração linear. A

transferência faz-se do mesmo modo como se traduziam deslocamentos infinitesimais para a

rotação, e ainda será necessário alterar o equilíbrio dos momentos para o equilíbrio das

forças na direcção do movimento.

Métodos de resolução Para resolver as vibrações, escreve-se primeiro a equação de movimento (a equação do

equilíbrio dinâmico) na direcção da vibração. As equações de movimento explicadas no

capítulo de Dinâmica escreveram-se na posição indicada (analisada) sem alguma introdução

da deformada, neste capítulo o equilíbrio tem que se escrever na posição deformada, no

entanto esta deformação considera-se infinitesimal, porque as vibrações são pequenas, por

isso a deformada obedece às normas usadas para traçar o campo de deslocamentos virtuais.

A actuação de variáveis de movimento (deslocamento no caso das vibrações lineares e

ângulo no caso da vibrações rotacionais) e consequentemente de velocidade e aceleração ou

velocidade angular e aceleração angular assume-me com actuação num único sentido,

seleccionado como sentido positivo, porque isso é obrigatório para formalizar as deduções

matemáticas. Depois de ter a equação que rege a vibração, é necessário resolve-la para

obter as variáveis de movimento oscilatório em função de tempo. No entanto, para a

formalização dos campos de variáveis finais, podem usar-se fórmulas deduzidas da equação

genérica.


2.1 Vibrações lineares

2.1.1 Dedução da equação que rege a vibração

Assume-se uma partícula (massa concentrada) tal como se visualiza na figura abaixo

Equação do movimento (equilíbrio dinâmico) numa posição intermédia u

0estma mg k u u

Equilíbrio estático

0estmg ku

Juntando as duas equações

0ma ku ou seja

0mu ku

que é uma equação diferencial (ordinária) de segunda ordem homogénea. Neste caso notou-

se que o peso da partícula não contribuiu às forças de restituição, a única força de restituição é

a força elástica da mola. O facto de considerar o peso ou não será de grande importância. Em

casos de dúvida procede-se de duas maneiras: (i) escrevem-se as duas formas de equilíbrio,

estático e dinâmico e juntam-se as duas equações numa só; (ii) usa-se directamente o facto de

a equação resultante só poder conter os termos que contém a variável do movimento na sua

forma original ou sujeita a derivada de tempo; por esta razão é possível remover todos os

termos restantes (absolutos).

O caso seguinte mostra que em algumas situações o peso do sistema nem entra na equação

do movimento, que se escreve na direcção do movimento oscilatório. Nota-se que como se

trata de vibrações não-amortecidas, não há perdas de energia e por isso as forças de atrito

estão desprezadas. Neste caso na direcção do movimento actua apenas a força de inércia e a

força elástica da mola. Recorda-se que a equação de equilíbrio dinâmico deve-se escrever na

posição deformada, no entanto, no caso da partícula não se nota esta diferença.

Directamente

0mu ku

mg

N

maku


Realça-se que as forças de inércia e as forças elásticas das molas actuam sempre no sentido

de voltar o sistema à sua posição de equilíbrio.

2.1.2 Resolução da equação diferencial

A equação 0mu ku chama-se equação canónica. A sua resolução começa por divisão pela

massa:

0k

u um

Assume-se a solução na forma e tu . Substituindo e simplificando

2 0k

m que se chama a equação característica

As raízes da equação característica são: 1,2 ik

m , ou seja, designando n

k

m

frequência circular (angular) natural de unidade rad/s, a solução da equação acima tem a

forma:

1 2cos sinn nu C t C t

Para esta representação usou-se a fórmula de Euler:

ie cos isinx x x

ou seja a forma original da solução alterou-se de acordo com a dedução abaixo

i -i

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

C e +C e C cos iC sin +C cos -iC sin

C C cos +i C -C sin C cos +C sin

n n

n n n n

n n n n

Esta representação tem a vantagem de definir directamente o movimento harmónico no

domínio dos números reais. Ver-se-á em seguida que as constante 1C e

2C serão sempre

números reais.

A ligação entre a frequência cíclica e circular é 2n nf , porque 2 representa uma volta

completa medida em radianos.

A fórmula para o cálculo da frequência indica que: um aumento de massa e/ou a diminuição

de rigidez causa a diminuição da frequência ou seja, o aumento do período (oscilação mais

lenta), um aumento de rigidez e/ou a diminuição de massa causa o aumento da frequência,

ou seja a diminuição do período (oscilação mais rápida).

As constantes 1C e

2C determinam-se das condições iniciais do movimento. As condições

iniciais não podem ser ambas nulas, porque representam o “impulso” que iniciou o

movimento, este “impulso” pode ter a forma de deslocamento ou velocidade (ou ambos)

iniciais, designados 0u e

0v , ou seja

0 1 2 10 cos 0 sin 0n nu u C C C

0 1 2 1 2 20

0 cos sin sin 0 cos 0n n n n n nt

dv v C t C t C C C

dt

Assim

00 cos sinn n

n

vu u t t


A solução pode representar-se na forma compacta:

00

0

cos sin cos sin sin cos sinn n u n n u n

vu u t t A t t A t

2

20 0 0 00

0 0

cos & sin tan &nu

u n u

v u u vA u

A A v

Na formulação acima uA representa a amplitude dos deslocamentos e ângulo de fase.

Estes cálculos não aplicam todos os sinais correctamente e por isso de todas as soluções da

função arctan é necessário escolher a correcta. A escolha faz-se de acordo com o sinal da

função resultante no tempo nulo. Ou seja 0u tem que ter o mesmo sinal como sin .

Admitindo 0

0

arctan nu

v

: quando

0 0v , e quando 0 0v . Quando

0 0v , / 2 ou seja 0 cos nu u t já com o sinal correcto.

O movimento oscilatório pode ser representado registando a ordenada vertical do ponto

que está a fazer o movimento circular com o raio igual à amplitude, o ângulo inicial igual ao

ângulo de fase e a velocidade angular igual à frequencia circular natural. O movimento

chama-se movimento harmónico simples.

Os gráficos representados abaixo indicam as 4 posibilidades de sinais de 0u e

0v .

nT

0

0,2

0

,2

sin 0 sin 0

u u

0 00, 0u v 0 00, 0u v


2.1.3 Rigidez equivalente

Molas

Recorda-se que a actuação real da força elástica sobre a partícula (corpo) em que está

colocada é sempre contra o movimento efectuado (no sentido para voltar a partícula/corpo

à sua posição inicial). Por esta razão é indiferente de que lado da estrutura a mola está

colocada.

A ligação em paralelo implica o deslocamento igual em todas as molas; de equilíbrio segue que

a força elástica da mola equivalente é igual à soma das forças elásticas das molas envolvidas e

por isso a rigidez equivalente, equivale à soma de rigidezes envolvidas.

, 1 2 3e eq e e eF F F F

1 2 3 1 2 3eq eqk u k u k u k u k k k k

A ligação em série implica a força elástica igual em todas as molas, que também equivale à

força elástica da mola equivalente.

, 1 2e eq e eF F F , 1 1 2 2eqk u k u k u

0

,02

0 3

,2

sin 0 sin 0

u u0 00, 0u v 0 00, 0u v


O deslocamento total é igual à soma dos deslocamentos das molas envolvidas. A igualdade das

forças elásticas permite exprimir os deslocamentos

1 2

1 2

eq eqk ku u u u u u

k k

ou seja

1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 11eq eq

eq

k kk k

k k k k k k k

Pode-se assim concluir que o inverso de rigidez equivalente, equivale à soma de inversos de

rigidezes envolvidas (a flexibilidade equivalente equivale à soma de flexibilidades

envolvidas). Esta relação pode ser extendida a mais do que 2 molas

1 2 3

1 1 1 1...

eqk k k k

Elementos flexíveis

A oscilação da extremidade de uma consola pode ser também analisada via uma mola

equivalente. A rigidez desta mola define-se da analogia com a força elástica como o inverso do

deslocamento provocado pela força unitária. Como os deslocamentos assumem-se pequenos,

é válida a linearidade, ou seja o deslocamento é proporcional à força aplicada, tal como a força

elástica.

2.1.4 Sobre a resolução da equação diferencial

Todos os casos das vibrações lineares são regidos pela equação (a unidade dos termos

envolvidos na equação é a unidade da força [N ou kN]):

0eq eqm u k u

Após a determinação da equação de movimento que rege a vibração, basta agrupar os termos

para se determinar 0eqm [kg ou ton] e 0eqk [N/m ou kN/m] (ambos positivos), ou seja,

basta juntar os coeficientes das variáveis com a mesma ordem de derivada de tempo e usar

as resoluções pré-calculadas:

00 cos sinn n

n

vu u t t

ou

sinu nu A t , onde

2

2 00

0

u

vA u

e 0

0

arctan nu

v

(quando 0 0v , quando

0 0v )

Pelas derivadas em ordem de tempo obtem-se:


0 0sin cosn n nv u t v t ou

cosu n nv A t , ou seja v u nA A

2

0 0cos sinn n n na u t v t ou

2 sinu n na A t , ou seja 2

a v n u nA A A

Comparando o andamento de deslocamento, velocidade e aceleração, realça-se que neste

caso o período (ou frequência) e o ângulo de fase mantêm-se inalterados, apenas a

amplitude sofre alterações como indicado. A aceleração está descrita pela mesma função

como os deslocamentos, mas com o sinal oposto. Os extremos de deslocamentos e

acelerações ocorrem nos mesmos instantes de tempo, nomeadamente nos instantes em que

a velocidade é nula. Os extremos de velocidades ocorrem nos instantes em que os

deslocamentos e acelerações são nulos.

Na figura acima as rectas verticais pretas mostram que o máximo (no valor absoluto) de

velocidade ocorre nos tempos em que o deslocamento e a aceleração são nulos, ou seja

quando a estrutura passa pela posição de equilíbrio. As rectas pretas tracejadas mostram

que quando a velocidade é nula, o deslocamento e a aceleração são máximos (no valor

absoluto). Nestas posições a velocidade vira o seu sentido e a estrutura começa a voltar à

sua posição de equilíbrio. A aceleração actua na direcção do movimento, ou seja, o

movimento é acelerado, porque na posição do equilíbrio a velocidade tem que atingir o seu

máximo. Quando esta posição é ultrapassada, o movimento começa a desacelerar, até a

velocidade atingir o valor nulo, no lugar do próximo deslocamento máximo (no valor

absoluto).

...u verde

...v azul

...a vermelho

3muA

2rad/sn

0,2rad

3,14snT


Problema

Um bloco com massa 50kg está apoiado pelo conjunto de

molas tal como visualizado na figura ao lado, com k1= 10kN/m,

k2= 15kN/m e k3 = 8kN/m. O bloco é deslocado verticalmente

para baixo 3cm e em seguida libertado. Admitindo que não há

atrito entre o bloco e as paredes, determine:

a) o período e a frequência circular do movimento;

b) a velocidade máxima e a aceleração máxima do bloco.

Resolução

As várias molas aplicadas ao bloco podem ser substituídas por uma única mola equivalente, as

relações da sua definição não são necessárias deduzir novamente, basta utilizar as fórmulas já

preparadas, ou seja, na ligação em paralelo a rigidez final equivale à soma das rigidezes e na

ligação em série a inversa de rigidez final equivale à soma das inversas de rigidezes.

Como já justificado, não é importante considerar a posição exacta das molas, podem

considerar-se todas as molas colocadas abaixo do bloco, a rigidez total das molas corresponde

às 4 molas em paralelo em que duas destas molas representam a ligação em série. Assim a

rigidez desta é:

1 2

1 2

1 2

1

1 1

k k

k k

k k

e assim:

1 22 3

1 2

2 35kN/meq

k kk k k

k k

a) Usando o formulário: 35000

26,46rad/s50

eq

n

k

M ,

20,237sn

n

T

b) Usando o formulário: 0 cos nu u t , ou seja 0 0,03muA u

a velocidade máxima corresponde à amplitude: 0 0,794m/sv nA u

a aceleração máxima corresponde à amplitude: 2 2

0 21m/sa nA u

2.2 Vibrações rotacionais

2.2.1 Centro de rotação fixo

Admite-se que um corpo rígido (possivelmente composto por vários corpos elementares)

oscila sobre uma posição de equilíbrio estável efectuando o movimento de rotação em torno

de um ponto fixo (CIR fixo, centro de rotação, C ). A variável que caracteriza este movimento é

o ângulo de rotação .

A equação que rege as vibrações corresponde à equação do equilíbrio dinâmico (equação de

movimento), na direcção da variável , ou seja, ao equilíbrio dos momentos em torno C , que

é também a única equação de equilíbrio que não envolve as reacções externas. Em primeiro

lugar é necessário colocar correctamente as forças de inércia, mas como justificado no capítulo

de Dinâmica, no movimento circular as componentes das forças de inércia resultantes das

componentes normais de aceleração têm as linhas de acção que passam pelo centro de

rotação. Neste caso, tal como explicado no capítulo de Dinâmica, quando não se usam as


equações que representam o equilíbrio das forças (o somatório das forças), há a possibilidade

de usar o único momento de inércia na forma CI , também designado

eqI .

A forma geral da equação diferencial será (a unidade dos termos envolvidos na equação é a

unidade do momento [Nm ou kNm]):

, 0eq eqI k

em que eqI representa o momento de inércia equivalente de unidade [kgm2 ou tonm2] e

,eqk

é a rigidez rotacional equivalente de unidade [Nm ou kNm]. Após a determinação da equação

de movimento que rege a vibração, basta agrupar os termos para se determinar 0eqI e

, 0eqk (ambos positivos), ou seja, basta juntar os coeficientes das variáveis com a mesma

ordem de derivada de tempo e usar as resoluções pré-calculadas. Visto a equação ter a

mesma forma como anteriormente, basta simplesmente usar eqI no lugar de

eqm , ,eqk no

lugar de eqk e no lugar de u . As condições iniciais habitualmente designam-se:

0 e 0 , ou

seja não se costuma usar 0 para a velocidade angular inicial para não se confundir com a

frequência circular.

Como já foi dito, durante as vibrações rotacionais cada ponto do sistema faz igualmente a

vibração linear. A transferência faz-se do mesmo modo como se traduziam deslocamentos

infinitesimais para a rotação. Assumindo a posição do ponto na distância d do centro de

rotação, esse ponto efectua o movimento linear u d . A equação de movimento tem que

se transferir para o equilíbrio de forças, e por isso

,

10eq eq

u uI k

d d d

a outra divisão por d transfere o momento para a força, o que seria mais claro se a equação

tivesse o lado direito diferente de zero. Em resumo, para este ponto: ,

2

eq

eq

kk

d

[N/m ou

kN/m] e 2

eq

eq

Im

d [kg ou ton]. Realça-se que o valor da frequência circular e do ângulo de

fase não se altera, considerando a vibração como rotacional ou como linear. Realça-se ainda

que a equação que rege a vibração é a equação de movimento, no entanto, contrariamente

do capítulo de Dinâmica, tem que se escrever na posição deformada. Verá se mais à frente

que esta exigência é ditada pela introdução correcta das contribuições dos pesos.

Pêndulo

Calcule a frequência circular de um pêndulo simples para as pequenas oscilações.

Resolução

Um pendulo simples está composto pelo fio de

comprimento L de massa desprezável e pela massa

concentrada m de raio desprezável. O movimento

oscilatório representa uma rotação em torno de um

ponto fixo C . Em primeiro lugar admite-se o sentido

positivo de ângulo e de aceleração angular .

CI

C C

L

m

mgL


Estes sentidos têm que ser iguais, porque está se deduzir uma equação. O momento de inércia

actua como indicado, na tentativa de voltar a estrutura à sua posição de equilíbrio. A

deformada obedece às regras da deformada infinitesimal.

O equilíbrio em torno do ponto C :

0CI mgL , onde 2

CI mL

Usando o formulário:

2n

C

mgL mgL g

I mL L

Nota-se que a equação deduzida não teve nenhum termo absoluto, o que comprova, que não

era necessário escrever primeiro o equilíbrio estático, porque o braço do peso contém apenas

a parte dinâmica. Este problema simples mostra claramente que o equilíbrio era necessário

escrever na posição deformada, se não, a linha de acção do peso passava pelo apoio e o braço

do peso seria nulo.

Problema

Considere novamente o pêndulo mas neste caso não despreze o peso do fio fm e o raio r da

massa concentrada que tem a forma de uma esfera.

Resolução

A resolução segue o mesmo procedimento como no problema anterior. As diferenças são no

momento de inércia

2 2 21 2

3 5C fI m L mr mL

e na contribuição do peso do fio que actua no centro de massa do fio, ou seja

1

02

C fI mg L r m gL

Usando o formulário:

2 2 2

30 15

10 12 30

f

n

f

mg L r m gL

m L mr mL

Problema

A barra uniforme AB está articulada em C e ligada em A a uma mola de

constante de rigidez k. Assuma que a posição visualizada na figura

corresponde à posição de equilíbrio. Se for imposto à extremidade A um

pequeno deslocamento horizontal e depois libertado, determine:

a) a frequência circular das pequenas oscilações;

b) o menor valor da constante de rigidez kmin para o qual ocorrerão

oscilações.

Resolução

A barra pode fazer movimento de rotação em torno do ponto fixo C,

definindo assim uma vibração rotacional. Introduzindo as forças ,

CI

ku

mg


actuantes na posição deformada que obedece às regras da deformada

infinitesimal, o equilíbrio dos momentos em torno do apoio dita:

02

C

LI ku d mgd

Visto que 2

Lu d

2

02

C

LI k d mgd

Realça-se que a aceleração angular tem que ser introduzida no mesmo sentido como a

rotação, e assim, as forças elásticas actuam contra o movimento introduzido e o momento de

inércia contra a aceleração angular, e por isso as suas contribuições têm o mesmo sinal. A

inércia da estrutura e as forças de restituição das molas actuam no sentido para voltar a

estrutura à sua posição do equilíbrio. No entanto, a contribuição do peso pode ajudar (como

no pêndulo) ou retardar a vibração (como neste problema). Isso depende do facto se o

centro de gravidade (o ponto de actuação do peso) está posicionado abaixo (pêndulo) ou

acima (neste problema) da linha horizontal que passa pelo centro de rotação.

A contribuição da força elástica nas vibrações rotacionais obedece às certas regras. Como o

deslocamento no lugar da mola equivale ao ângulo de rotação vezes a distância deste lugar

ao centro de rotação, e essa mesma distância (braço da força elástica) é depois utilizada no

equilíbrio dos momentos, na equação da vibração vai estar esta distância sempre ao

quadrado.

Concluiu-se que: 2

,2

eq

Lk k d mgd

2 21

12eq CI I mL md

a) usando o formulário:

2

,

2 2

3 2 12

12

eq

n

eq

k k d L mgd

I m L d

Confirma-se mais uma vez que neste caso o peso reduz a rigidez equivalente, e por isso reduz a

frequência, ou seja aumenta o período, ou seja abranda a vibração.

b) Para que possa ocorrer a vibração, a rigidez equivalente tem que ser positiva, ou seja 2

, 02

eq

Lk k d mgd

2

4

2

mgdk

d L

min 2

4

2

mgdk

d L

Para rigidezes menores que a mínima, a barra continua a deformar-se depois de ser deslocada.

Isso também significa que a estrutura esteve na sua posição inicial em equilíbrio instável.


Problema

Considere a estrutura da figura ao lado. Assuma que a

posição representada corresponde à posição do

equilíbrio estático estável.

a) Calcule o deslocamento que a mola sofreu a partir da

sua posição indeformada.

b) Escreva a equação que rege as pequenas vibrações

rotacionais.

c) Escreva a equação que rege as pequenas vibrações

lineares do ponto A.

Resolução

a) Posição do equilíbrio estável: o deslocamento da mola

que foi necessário introduzir devido à actuação do peso

da estrutura deduz-se na posição deformada, tal como

visualizada na figura, porque esta deformação pode não

ser infinitesimal.

Equilíbrio dos momentos em torno do apoio:

2 2 02

est B AB D

aku a m g a m g m ga , ou seja,

4 2

4

B AB Dest

m m mu g

k

b) Arbitrando o sentido positivo da rotação, a posição deformada visualiza-se abaixo. Como a

vibração é pequena, esta deformada obedece às regras da deformada infinitesimal.

Equilíbrio dos momentos em torno do apoio:

2 2 2 02

C est B AB D

aI k u a a m g a m g m g a b

Combinando a equação com o equilíbrio estático, obtém-se:

22 0C DI k a m gb

Realça-se que as forças de inércia a as forças elásticas das

molas actuam sempre no sentido de voltar a estrutura à sua

posição de equilíbrio. Isso também implica que na equação

da vibração tem que entrar com o mesmo sinal.

Nota-se também que o termo que envolve o momento da força elástica tem sempre o braço

ao quadrado. Isso porque o braço foi utilizado uma vez para representar o deslocamento no

lugar da mola e segunda vez para definir o momento da força elástica.

Os momentos dos pesos cuja actuação está acima (ou abaixo) da recta horizontal que passa

pelo apoio têm uma parte do braço estática e outra dinâmica. A parte estática corta quando

se introduz o equilíbrio estático. A parte dinâmica depende na variável da deformação e por

isso fica na equação que rege a vibração. Esta contribuição reduz (ou aumenta) a rigidez

equivalente da estrutura.

Em resumo, a rigidez equivalente da estrutura é:

2

, 2eq Dk k a m gb

E o momento de inércia:

A

k

a

C B

D

Bm

,D Dm r

ABm

a a

b

a

C

Bm g

Dm g

ABm g

a a

estk u u

,

CI

a

C

Bm g

Dm g

ABm g

a aestku


22 2 2 2 2

2 2 2 2

1 13 2

12 2 2

14

2

eq C AB AB B D D D

AB B D D

aI I m a m m a m r m a b

m m a m r a b

Realça-se que a equação 22 0C DI k a m gb

poder-se-ia obter directamente seguindo a regra que a

equação canónica só pode conter os termos que

envolvam a variável de deformação.

Pode-se assim concluir que todos os pesos que na

estrutura deformada não envolvam no seu braço a

variável de deformação, contribuem apenas para a

posição do equilíbrio estático. Os pesos que

contribuem à vibração têm que ter a sua contribuição

simétrica relativamente à posição do equilíbrio, ou seja

o termo Dm gb tem que manter o seu efeito na

posição oposta da barra (figura ao lado). Estes pesos

são os pesos que alteram a sua linha de acção mesmo

na deformada infinitesimal.

Ou seja juntando as figuras, o movimento da massa Dm visualiza-se acima.

Recorda-se que ambos os termos, eqI e

,eqk , na equação canónica têm que ser positivos, ou

seja, 2

2 Dk a m gb . Se a massa Dm fosse muito grande após o impulso a estrutura não

vibrava, mas continuava a deformar-se. Isso também significa, que a posição inicial era uma

posição de equilíbrio instável, contrariamente ao que foi dito no enunciado.

Os problemas nesta secção permitem concluir que os pesos actuantes acima da linha

horizontal que passa pelo centro de rotação reduzem a rigidez equivalente e por isso

retardam a vibração. Os que estão colocados a abaixo desta linha aumentam a rigidez

equivalente e assim apressam a vibração. Nota-se que este efeito não depende da distância

horizontal do ponto de actuação do peso ao centro de rotação, mas apenas da distância

vertical. Assim a rigidez global da estrutura está inalterada se uma das massas concentradas

for deslocada na direcção horizontal. No entanto, esta alteração afectava o momento de

inércia, ou seja, concentrando as massas destes pesos mais longe do centro de rotação, o

momento de inércia aumenta e a frequência baixa. Concentrando os perto do centro de

rotação, o momento de inércia diminui e a frequência aumenta.

c) A equação deduzida foi:

22 0C DI k a m gb

Au a

Por isso 22 0A A

C D

u uI k a m gb

a a

Alteração para equilíbrio de forças: 2 2

4 0CA D A

I bu k m g u

a a

a

C Bm gDm g

ABm g

a a

estk u u

,

CI

Dm g

Dm g


2.2.2 Centro de rotação móvel

Quando o ponto em torno do qual a estrutura está a rodar, mudar a sua posição ao longo da

vibração, com uma pequena alteração, tal como se verifica nos casos em que o centro de

rotação é representado pelo CIR móvel, é possível considerar esta vibração como rotacional e

simplificar a construção da equação que rege o movimento oscilatório como explicado em

seguida. Em primeiro lugar realça-se que as vibrações são consideradas pequenas e por isso

estão descritas por uma equação diferencial linear, o que significa que todos os termos da

equação são formados por um coeficiente multiplicado pela variável ou pela primeira ou

segunda derivada segundo o tempo da variável com expoente 1 (para as vibrações livres não-

amortecidas apenas os termos ~ ou ~ são possíveis, termos de ordem maior como

~ , 2~ , 2~ etc. são desprezáveis). Se a alteração da posição do centro de rotação for

descrita via termos pequenos, estes envolveriam a variável e consequentemente os termos

referentes à inercia e às forças elásticas iriam acrescentar os termos de ordem maior. No

entanto, as partes dos pesos que pertencem às forças de restituição, representam valores sem

dependência da variável, e por isso devem ser utilizados em conjunto com valores que contém

. Esta análise permite concluir que, os efeitos de inércia e das forças elásticas é possível

escrever na posição indeformada. A contribuição dos pesos pode ser incluída posteriormente

usando o equilíbrio na posição deformada. As componentes normais de aceleração são

definidas em função de 2 que representa o termo de ordem maior. Por esta razão as

respectivas componentes de forças de inércia são desprezáveis, e consequentemente as

componentes de aceleração podem ser determinadas usando os CIRs, semelhante como no

capítulo de Dinâmica no caso das estruturas que iniciam movimento do repouso.

Problema

Uma barra AB de massa ABm e comprimento L está

rebitada a um disco com massa Dm e raio r . Uma mola

de constante de rigidez k está ligada ao centro do disco

em A e à parede em C. Sabendo que o disco rola sem

escorregar, determine o período das pequenas

oscilações do sistema.

Resolução

Para uma melhor visualização a barra representa-se mais comprida.

Equilíbrio dos momentos em torno do ponto D (CIR na posição nova):

D

cinemática

rG

a r

/ 2L

2 / 2L

forças

kr

ABm g

N

Dm rDI

GI ABm r

2 / 2ABm L/ 2ABm L

Dm g

deformada

u

u r

aF


2 2

22 2 2

/ 2 cos / 2 / 2 / 2 cos

3 1/ 2 / 2 0

2 12

D D G AB AB AB

D AB AB AB

kr I m r I m gL m r L r m L L r

m r m L m L r kr m gL

Foram utilizadas as regras de deformada infinitesimal e desprezados termos de ordem maior,

por isso o termo que envolve a contribuição da aceleração normal 2 / 2ABm L não entrou na

equação, porque contem o termo pequeno ao quadrado e por isso corresponde ao termo de

ordem maior.

Tal como justificado acima, verifica-se que era possível simplificar as deduções da seguinte

maneira.

Na primeira posição é possível usar o CIR na parte de cinemática para indicar a distribuição

dos deslocamentos e acelerações. Isso permite definir os sentidos e os valores das forças

elásticas e de inércia. O equilíbrio dos momentos em torno do CIR escreve-se na posição

indeformada. Isso não viola nenhum pressuposto, apesar de estar claro que na posição

indeformada a aceleração angular é nula e a contribuição dinâmica da força elástica também,

mas e representam funções e não valores, por isso devem verificar a equação que rege a

vibração em qualquer posição, incluído a posição quando o valor da função é nulo. Neste caso

o CIR do conjunto serve como o centro de rotação. 2

CIRkr I

A segunda posição é deformada. Esta posição é necessária para introduzir correctamente os

efeitos dos pesos, e o equilíbrio escreve-se em torno do CIR na posição nova (no mesmo

sentido como na primeira posição). Esta deformada faz-se como finita, mas os braços são

simplificados usando as normas das deformações infinitesimais ( cos 1 , sin ). Assim:

/ 2ABm gL

Juntando as duas partes: 2 10

2CIR ABI kr m gL

em que 2 2

2 2 2 2 21 1 3 1

2 12 2 2 12 2CIR D D AB AB D AB AB

L LI m r m r m L m r m r m L m r

o que confirma o resultado anterior. De acordo com o formulário

2

,

2

2 2

1

2

3 1

2 12 2

ABeq

n

eq

D AB AB

kr m gLk

I Lm r m L m r

indeformada

CIRCIRI

kr

deformada

ABm g

D


Pode se assim concluir que não há significativas diferenças na construção da equação que

rege as pequenas vibrações rotacionais em torno do CIR fixo e móvel. As equações dos

problemas resolvidos no início deste capítulo poder-se-iam obter da mesma maneira. Mas

no caso do CIR fixo não é complicado resolver a equação na posição deformada e por isso

não se justifica esta separação. Mais uma vez realça-se que a separação de contribuições

deve-se ao facto que as forças de inércia e elásticas já envolvem o parâmero da vibração,

e , respectivamente, e por isso podem entrar na equação apenas com braços de rotação

definidos pelos parâmetros geométricos sem envolvimento do ângulo de rotação . Ao

contrário os pesos necessitam o braço dependente da rotação para contribuir à vibração,

o que exige a posição deformada da estrutura. Excepto dos casos em que o peso representa

única força de restituição, a sua contribuição é geralmente pequena e por isso muitas vezes

desprezada. Nestes casos usa-se apenas a primeira deformada e a resolução torna-se muito

mais simples.

3. Conjuntos de corpos rígidos com movimentos dependentes Quando são considerados conjuntos de corpos com 1GDL, ou seja corpos com movimentos

dependentes, é vantajoso escrever a equação que rege a vibração usando o PTV, porque isso

permite eliminar directamente as reacções externas do sistema. O trabalho virtual escreve-se

na posição deformada, ou seja, primeiro introduz-se a deformada que corresponde ao

parâmetro de vibração, depois colocam-se as forças actuantes, e em seguida perturba-se esta

deformada com uma deformada virtual. O trabalho virtual tem que ser nulo porque o sistema

de forças aplicadas representa o sistema em equilíbrio a actuar num mecanismo. Recorda-se

que as componentes normais de aceleração são desprezadas, e por isso a inércia de cada

corpo pode ser reduzida ao CIR indiferente do facto de este ser fixo ou móvel.

Problema

Considere a estrutura da figura ao lado composta por

três barras a vibrar com pequenas oscilações. Sabe-se

que a posição mostrada corresponde à posição de

equilíbrio estático. Escreva a equação canónica de

vibração livre.

Resolução

Em primeiro lugar a estrutura separa-se em corpos de

movimentos diferentes e determinam-se os seus CIRs.

Depois traça-se a deformada infinitesimal (azul) em que se

define o parâmetro que vai caracterizar a vibração. Visto a

estrutura ser um mecanismo com 1GDL, a deformada

infinitesimal está caracterizada pelo único parâmetro. No

presente caso escolheu-se o ângulo de rotação que é

igual para os corpos I e III, corpo II faz translação e a sua

deformação pode ser definida por u h , e assim, a

vibração pode ser caracterizada pela equação que rege a

vibração rotacional.

L

h

2m

1m 1m

1CIR 3CIR

2,CIR

I

II

III

11,CIRI 33,CIRI

2m h2m g

1m g 1m g


No passo seguinte introduzem-se na posição deformada as forças actuantes, neste caso os

pesos e as forças e os momentos de inércia. Para resolver o equilíbrio e não envolver as

reacções externas, usa-se o PTV, ou seja a partir da posição deformada (azul), traça-se a

deformada virtual (vermelha) caracterizada pelo ângulo virtual . Neste caso as forças de

inércia podem ser simplificadas, tal como explicado no capítulo de Dinâmica. A inércia de cada

corpo pode ser reduzida ao seu CIR, excepto dos corpos em translação.

Ao lado visualiza-se melhor a projecção das forças no corpo II

consoante à deformada virtual. O termo 2m h projectou-se

à direcção da translação com cos 1 . O termo 2m g

projectou-se à direcção da translação com sin . Em

resumo:

1 21, 1 2, 1

2 2

2 2

0

CIR CIR

h hI m g I m g

m h h m g h

Para o trabalho das forças no corpo II poder-se-iam usar

directamente as componentes do deslocamento virtual, tal

como está explicado na figura ao lado.

A equação final é:

1 2

2

1, 2, 2 1 2 0CIR CIRI I m h m m gh

2 2

1 2 1 2

20

3m h m h m m gh

A equação final não revela nenhum termo absoluto, o que significa, que não foi necessário

utilizar o equilíbrio estático.

Realça-se que tal como no problema do CIR móvel, poder-se-iam usar duas posições. Na

primeira, indeformada, actuavam as forças (momentos) de inércia. Pode-se facilmente

verificar, que os termos já obtidos não se alteravam. A segunda posição, deformada, era

somente necessária para contabilizar correctamente os pesos.

Salienta-se que todas as simplificações dever-se-iam justificar a posteriori, ou seja a dedução

da equação que rege a vibração dever-se-ia fazer na posição deformada real (finita). Apenas

depois a equação poder-se-ia simplificar comparando os termos da mesma ordem. Os

termos absolutos representam o equilíbrio estático, os termos lineares regem a vibração

pequena e com o envolvimento de mais termos aumenta-se a precisão da equação que rege

as vibrações o que permite analisar as vibrações grandes. Para as vibrações pequenas

desprezam-se todos os termos de ordem maior que linear. Apenas depois pode-se concluir

que isso significa utilizar a deformada infinitesimal, e por isso as deduções nesta parte da

matéria foram feitas directamente nas deformadas infinitesimais.

2,CIR

2m h2m g

2m h

2m g

h

h

h


4. Conservação da energia mecânica O princípio da conservação da energia mecânica pode ser utilizado para o cálculo da

frequência natural do sistema não amortecido. Visto o valor da energia mecânica ser

constante, admitindo valores positivos para a energia potencial é fácil de justificar que,

quando uma das partes, energia potencial ou cinética é nula, a outra é máxima, e vice-versa.

1 1 2 2V T V T ou seja max max0 0T V

A resolução da frequência natural auxilia-se pela propriedade do movimento harmónico que

dita: os extremos de velocidades ocorrem nos instantes de deslocamentos (dinâmicos) nulos

e os extremos de deslocamentos ocorrem nos instantes em que a velocidade é nula. Para a

comparação energética escolhem-se assim estas duas posições extremas, uma que

corresponde à posição nula em que se verifica a velocidade máxima, e outra de deformada

máxima em que a velocidade vira o seu sinal, ou seja é nula. Ainda usa-se que os valores

máximos de deslocamentos e de velocidades correspondem às suas amplitudes e a relação

entre as amplitudes foi identificada na forma:

v n uA A para a vibração linear e nA A

para a vibração rotacional, ou seja:

max maxnu u para a vibração linear e max maxn para a vibração rotacional,

A primeira posição corresponde à posição do equilíbrio estático estável, é por isso

indeformada, ou seja para as vibrações rotacionais há 0 , para as lineares 0u , e assim

esta posição pode arbitrar-se como nível zero da energia potencial:

1 0V

Quando a estrutura passa pela posição do equilíbrio, a velocidade atinge o seu máximo, tal

como especificado acima, e por isso a energia cinética é máxima. Por exemplo para 1 corpo em

vibração rotacional verifica-se:

2

1 max

1

2CIRT I

sendo o CIR fixo ou móvel.

Apenas quando é necessário envolver o equilíbrio estático, por exemplo, para uma correcta

separação da contribuição dos pesos, consideram-se nesta primeira posição as energias

acumuladas nas molas lineares ou rotacionais devido às deformações estáticas, e por isso

podem existir termos por exemplo na forma

2

1

1

2estV ku

ou seja a energia potencial pode ser considerada não nula.

A segunda posição é a posição da máxima deformada: para vibrações rotacionais max ,

para as lineares maxu u . O campo de velocidades é nulo, e por isso

2 0T .

Consequentemente a energia potencial é máxima. Na determinação de 2V é necessário ter

cuidado com a ordem de termos considerados. Visto 1T conter apenas termos quadráticos de

velocidade, a simplificação de funções trigonométricas tem que assegurar que na energia

potencial não há termos absolutos, os termos que representam o equilíbrio estático entram


como termos lineares, e os termos que regem as vibrações como termos quadráticos. Para isso

não é suficiente substituir as funções trigonométricas pelo primeiro termo da expansão Taylor,

tal como na deformada infinitesimal, mas as funções de aproximação têm que chegar até aos

termos quadráticos, ou seja:

sin e 2

cos 12

Recorda-se que esta simplificação já foi introduzida no capítulo PTV no cálculo da força crítica.

Nesse contexto os deslocamentos correspondentes foram designados pequenos mas não

infinitesimais.

Na comparação energética a grandeza dos termos é diferente porque não se consideram

forças ou momentos, mas termos energéticos.

Problema

Calcule a frequência circular de um pêndulo simples para as pequenas oscilações. Apresente a

resolução usando o princípio da conservação de energia mecânica.

Resolução

Um pendulo simples está composto pelo fio de

comprimento L de massa desprezável e pela massa

concentrada m de raio desprezável. Para a utilização do

princípio da conservação da energia mecânica é

necessário apresentar a deformada como real (finita) e

apenas depois simplificar as expressões, tal como

explicado acima.

1 0V

2

1 max

1

2CIRT I , onde 2

CIRI mL

Única força que faz trabalho para a posição 2 é o peso, o

trabalho é negativo, por isso a energia potencial é

positiva

2 max1 cosV mgL

2 0T

Juntando as expressões

2 2

max max

11 cos

2mL mgL

Simplificando e substituindo 2

maxmaxcos 1

2

e

max maxn

2 22 2 max max

max

11 1

2 2 2nL g g

max

max

1posição

CIR

L

mg

max

0

mg

2posição

0


Tal como esperado max corta da equação porque a amplitude do movimento não afecta a

frequência natural. Isso até serve para a verificação do cálculo, pode-se concluir que todos os

termos na equação final tem que conter 2

max . Finalmente:

n

g

L

o que confirma o resultado anterior.

Problema

Considere novamente o pêndulo mas neste caso não despreze o peso do fio fm e o raio r da

massa concentrada que tem a forma de uma esfera. Calcule a frequência circular. Apresente a

resolução usando o princípio da conservação de energia mecânica.

Resolução

A resolução segue o mesmo procedimento como no problema anterior. As diferenças são no

momento de inércia

2 2 21 2

3 5CIR fI m L mr mL

e na contribuição do peso do fio que actua no centro de massa do fio, ou seja

2 2

max max2 max max1 cos 1 cos

2 2 2 2f f

L LV mg L r m g mg L r m g

Confirma-se novamente:

2 2 2

30 15

10 12 30

f

n

f

mg L r m gL

m L mr mL

Problema

Considere a estrutura da figura ao lado cujo eixo de

simetria corresponde ao eixo vertical que passa pelo

apoio. A massa não desprezável está nas barras inclinadas

(na figura visualizada pela espessura mais grossa) e nos

discos. Admita que as molas encontram-se indeformadas

na posição visualizada e que os discos estão rigidamente

ligados às barras. Calcule a frequência circular. Apresente

a resolução usando o princípio da conservação de energia

mecânica.

Resolução

A primeira posição corresponde à posição visualizada. Nesta posição as molas estão

indeformadas e a velocidade angular é máxima, por isso:

1 0V

2

1 max

1

2CIRT I , onde

k k

k

BmBm

,D Dm r,D Dm r 12d

22d

1 / 2h

1 / 2h

2h


2 22 2 2 1 2 1

2 1 2 1

2 2 2

2 2

12

12 2 2

12

2

CIR B B

D D d

d d h hI m h h d d m

m r m d h

Antes de representar a segunda posição vale a pena

introduzir algumas simplificações. Uma

simplificação pode ser feita da seguinte maneira: é

possível juntar os corpos simetricamente

posicionados relativamente ao eixo vertical da

estrutura, isso permite que o centro de massa do

conjunto fica colocado no eixo vertical da estrutura

e consequentemente a determinação do trabalho

dos pesos torna-se mais fácil. Também é possível

substituir as molas lineares por uma mola cuja

rigidez equivale a 2k . Depois:

2 12 max 2 max

2 22 2 2 2 21 2 1 1

max max max 2 max max max

2 1 cos 1 cos2

1 1 12 sin

2 2 2 2 4 2

B D

B D

h hV m m h

h h h hk k m m h k k

Juntando as expressões e substituindo max maxn :

2

2 1 12

2 22 2 2 2 22 1 2 1

2 1 2 1 2 2

1

2 4 2

1 1

12 2 2 2

B D

n

B B D D d

h h hm m h k k

d d h hm h h d d m m r m d h

Problema

Considere a estrutura da figura ao lado composta por

três barras a vibrar com pequenas oscilações. Sabe-se

que a posição mostrada corresponde à posição de

equilíbrio estático. Determine a frequência circular de

vibração pequena usando o princípio da conservação de

energia mecânica.

Resolução

Em primeiro lugar a estrutura separa-se em corpos de

movimentos diferentes e determinam-se os seus CIRs.

Depois traça-se a deformada infinitesimal (azul) em que se

define o parâmetro que vai caracterizar a vibração. Visto a

estrutura ser um mecanismo com 1GDL, a deformada

infinitesimal está caracterizada pelo único parâmetro.

2k

k

2 Bm g

2 Bm g

2 Dm g2 Dm g

L

h

2m

1m 1m

max

1CIR 3CIR

2,CIR

I

II

III

2m g

1m g1m g

max


No presente caso escolheu-se o ângulo de rotação que é igual para os corpos I e III, corpo II

faz translação e a sua deformação está ligada via u h .

Posição 1 (cinzenta)

1 0V

1 2

2 2

1 1, 2, 2 max

1

2CIR CIRT I I m h

Posição 2 (azul)

2 2

max max2 1 max 2 max 1 22 1 cos 1 cos

2 2 2

hV m g m gh m gh m gh

2 0T

Consequentemente

1 2

1 2

2 3

3n

m m h

m m g

O que confirma o resultado já obtido na secção 3.

vibrações mecânicas - departamento de engenharia civil · movimento é composto apenas pela...

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