A B

C

D

1ª Lista de Exercícios

1)Com base na figura ao lado, escreva cada combinação de vetores como um único vetor:

a) b)

c) d)

2) Na figura ao lado . Exprimir em função de e .

3) Na figura ao lado, e , escrever o vetor em função de .

4) A figura ao lado apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango. Nestas condições,determine os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j)

5) Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semi-soma.

6)Ache o vetor de IR2 que corresponda a . Grafe e o vetor posição de .

a)P(1, –4) ; Q(5, 3) b)P(2, 5) ; Q(–4,5) c)P(–3,–1) ; Q(6,–4) d)P(7, –3) ; Q(–2,4).

7)Determine um vetor unitário que tenha:(I)mesma direção e sentido de ;(II)mesma direção e sentido oposto ao de .

a) b)<2, –5> c)

8)Ache um vetor de mesma direção e sentido que < –6, 3 > e que tenha:

a)o dobro do módulo de < –6, 3> b)metade do módulo de < –6, 3>

BC

A

D

A B

C D

M N

A B

CD

E

F

G

H

O

9)Ache um vetor de módulo 6 que tenha a mesma direção e sentido que

10)Nos itens a seguir determine todos os números reais c tais que :

(I) ; (II)

a) b)< –5,12 >.

11)Na navegação aérea, as direções são dadas tomando-se as medidas a partir do norte em sentido horário. Suponhamos que um avião esteja voando a 200 km/h na direção 60o e que o vento sopre diretamente do oeste a 40 km/h. Essas velocidades podem ser representados por vetores e , respectivamente. A direção da resultante é a “trajetória real” do avião em relação ao solo e o módulo de é a “ velocidade no solo” do avião. Aproxime a velocidade no solo e o verdadeiro curso do avião.

12)Resolva o exercício 11) supondo que o avião voa na direção 150o a uma velocidade no ar de 300 km/h e que o vento sopra a 30 km/h na direção 60o .

13)Dois rebocadores estão rebocando um grande navio para o porto, conforme a figura. O rebocador maior exerce uma força de 1800 N (Newtons) sobre o cabo, e o rebocador menor exerce uma força de 1440 N sobre seu cabo. Se o navio deve percorrer uma reta de A a B, determine o ângulo

que o rebocador maior deve fazer com .

14)Um automóvel percorre 30 km para leste , numa estrada planta. Num cruzamento ele vira para o norte e percorre mais 40 km. Achar o deslocamento resultante do automóvel (módulo e ângulo com a horizontal).

15)Ache o vetor que tem:(I)a mesma direção e sentido de e duas vezes o módulo de ;(II)mesma direção de , sentido oposto e um terço do módulo de ;(III)mesma direção e sentido de e módulo 2.

a) b)

16)Ache o vetor de IR3, que corresponde a . Grafe e o vetor posição de .

a)P(2, 4, –5) e Q(4, –2, 3) b)P(–4, 0, 1) e Q(3, –2, 1) c)P(1, 0, 0) e Q(0, 1, 1).

17)Determine a soma dos vetores dados e ilustre geometricamente:

a)< 3, –1 > e < –2, 4 > b)<–1, 2> e <5, 3> c)< 1, 0, 1 > e < 0, 0, 1 > d)<0, 3, 2> e <1, 0, –3>

18)Determine: (I) , (II) , (III) , (IV) , onde:

a) =<–4, 3> ; =<6, 2> b) =<6, 2, 3> ; =<–1, 5, –2> c) ;

19) Dados os vetores = (3, -1) e = (-1,2), determinar o vetor tal que:

30O

BA

a) b)

20) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor =(-1, 3), sabendo que sua extremidade está em (3,1)?

21) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para:

a) A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5)b) A(5, 1), B(7, 3) e C(3, 4).

22) Sabendo que A(1, -1), B(5, 1) e C(6, 4) são vértices de um paralelogramo, determinar o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.

23) Sendo A(-2,3) e B(6,-3), extremidades de um segmento, determinar:

a) Os ponto C, D e E que dividem o segmento em quatro partes de mesmo comprimento;b) Os pontos F e G que dividem o segmento em três partes de mesmo comprimento.

24) Dados os pontos A(3, -4, -2) e B(-2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento tal

que .

25) Dados os vetores = (2, 3, -1) e = (1,-1, 1) e = (-3, 4, 0) , determinar o vetor tal que .

26) Sendo A(2, -5, 3) e B(7, 3, -1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, -3, 3) o ponto de interseção de suas diagonais, determinar os vértices C e D.

27) Dados os pontos A(1, -1, 3) e B(3, 1, 5), até que ponto se deve prolongar o segmento , no sentido de A para B, para que seu comprimento quadriplique de valor.

28) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(-1, -2, 3) e B(2, 1, -5), calcular me e n.

29)Se várias forças estão agindo em um objeto, a “força resultante” experimentada pelo objeto é o vetor soma dessas forças. Duas forças e com magnitudes 10 lb e 12 lb agem sobre um objeto num ponto P como mostrado na figura. Determine a força resultante agindo em P assim como sua magnitude, direção e sentido.

30)Um peso de 100 lb está pendurado entre dois fios, como mostrado na figura. Determine as tensões (forças) T1 e T2 em ambos os fios e suas normas.

31)A lei de Coulomb afirma que o módulo da força de atração entre duas partículas com cargas opostas é diretamente proporcional ao produto dos módulos q1 e q2 das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da

45o30o

F1

F2

50o 32o

T2T1

A

B

+q

–1

distãncia d entre elas. Mostre que se uma partícula com carga +q é fixada em um ponto A e uma partícula com carga –1 é colocada em B, então a

força de atração em B é dada por: .

32)Considere partículas de carga +q C colocadas e mantidas fixas nos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Coloca-se então uma carga de –1C em P(x,y,z).

a)Se , mostre que a força resultante na partícula carregada negativamente é dada por :

.

b)A partícula carregada negativamente deve ser colocada em um ponto P(x, y, z) equidistante das três cargas positivas, de modo que a força líquida que atua sobre a partícula seja nula. Ache as coordenadas de P.

33) Considere a equação , mostre que:

a) Se são L.I. então x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2;b) Se são L.D., então não podemos concluir que x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.

34) Suponha que e sejam L.I.. Como devem ser o escalares x e y de modo que o vetor seja paralelo ao vetor , mas de sentido contrário?

35) Verifique se os vetores dados são L.I. ou L.D.:

a)b)c)d)

36) Os vetores , são L.I. ou L.D. ? Eles formam uma base de IR3? Caso formem um base, determine as coordenadas do vetor nessa base.

37) Sejam . Mostre que é uma base de IR3 e determine as coordenadas de nessa base.

38) Seja uma base de IR3. Verifique se é base.

39) Escreva o vetor como combinação linear dos vetores .

40) Sejam , onde são vetores L.I.. Mostre que o vetor é combinação linear de e determine os coeficientes dessa combinação linear.

Respostas:

1)a) b) c) d) 2) 3) 2

4) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

6) a)<4,7> b)<–6,0> c)<9,–3>

d)<–9,7>

7) a)(I)–8/17 + 15/17 , (II) )8/17 – 15/17 b)(I) , (II) c)(I) , (II)

8) a)<–12, 6> b)<–3, 3/2> 9) 10) a)(I) (II)0 b) (I) (II) 0 11)235 km/h , 65o 12)301,5 km/h , 144,3o 13)arcsen(0,4) 23,6o 14)50 km, 53o

15)a)(I) (II) (III)

b)(I) (II) (III)

16)a)<2,–6,8> b)<7, –2, 0> c)<–1, 1, 1>

17)a)<1,3> b)<4,5> c)<1,0,2> d)<1,3,–1> 18)a)5, <2,5>, <–10,1>, <12,17> b)7, <5,7,1>, <7,–3,5>, <14,26,1> c) , , , 19) a) (-15/2, 15/2) b) (23/5,-11/5) 20) (4, -2) 21) a) D(-2, 2) b) D(1, 2) 22) (2, 2), (0, -4) e (10,6) 23) a) C(0, 3/2), D(2, 0), E(4, -3/2) b) F(2/3, 1), G(10/3, -1)24) N(1, -2, -6/5) 25) = (11/3, 2/3, 4/3) 26) C(6, -1, 3) e D(1, -9, 7) 27) (9, 7, 11)

28) m = 5 e n = -13 29) , 13,5 lb ,

y

x0

7

4 –6x 0

yy

x

y

x0

30) , 64,91 lb. , , 85,64 lb

32) b) (1/3,1/3,1/3) 34) x<0 e y = 0 35) a) L.I. b) L.D. c) L.I. d) L.D.

36) Formam uma base; 37) Formam uma base;

38) É base 39) 40)

Bibliografia:

SWOKOWSKI, Earl W., Cálculo com Geometria Analítica – Volume 2, Makron Books, São Paulo – SPWINTERLE. Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson, 2009DUARTE FILHO. Jorge costa. Maria Silvia C. Favareto. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. UFPB-CCEN/DM