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PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

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I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71


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AT

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Vetores e Geometria

Analítica no Espaço

Equipolência de segmentos orientados

EquipolênciaDois segmentos orientados são equipolentes

quando têm a mesma medida (módulo), a mesma direção e o mesmo sentido.

ΑA

B

C

D

Todos os segmentos nulos são equipolentes a) entre si.

Dois segmentos coincidentes são equipo-b) lentes.

Todos os segmentos equipolentes de mesma c) origem são coincidentes.

Classe de equivalênciaDe acordo com esta propriedade, vemos que,

dado um segmento orientado AB, é possível construir

infinitos segmentos equipolentes a AB, tendo por origem de cada um deles cada ponto do espaço.

Todos estes infinitos segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado AB e o próprio segmento AB constituem um conjunto de segmentos equipolentes entre si.

A este conjunto damos o nome de classe de equivalência do segmento orientado AB.

Todos os segmentos orientados que formam uma classe de equivalência têm o mesmo módu-lo, a mesma direção e o mesmo sentido, qualquer que seja sua origem.


2 EM

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Vetores

VetorRepresentamos uma classe de equivalência

formada por segmentos orientados equipolentes entre si por um ente geométrico chamado vetor (vetor livre).

Então, quando dizemos o vetor, estamos nos referindo a todos os segmentos orientados que constituem a classe de equivalência da qual o vetor é representante.

Qualquer elemento do conjunto de segmentos orientados equipolentes entre si pode ser usado para indicar o vetor.

Assim, AB, MN ou V representa o conjunto C.

A

B

P

Q

V V

Segmento AB ~ segmento PQ

Concluímos desta observação que “a soma de um ponto com um vetor é um ponto”.

P + V = Q ⇒ V = Q - P, notação devida a Grassmann (vetor como diferença de dois pontos).

Decorrem, imediatamente, desta representação, as considerações:

P + 0 = P ( 0 vetor nulo)1)

(P - V ) + V = P2)

Se 3) P + V = Q + V ⇒ P = Q

Se 4) P + V 1 = P + V 2 ⇒ V 1 = V 2

P + (P2 - P) = P25) é o mesmo que P2 - P = PP2

sendo P, P2 e Q pontos do plano.

Tipos de vetoresVetor livre – é o que pode ter por origem qual-

quer ponto do espaço.

Vetor deslizante – é o vetor cuja origem pertence, obrigatoriamente, a uma reta dada (reta suporte do vetor).

Vetor posição – sua origem é um ponto dado do espaço. O vetor posição, também chamado vetor aplicado, dá a posição de um segundo ponto em rela-

ção à origem. Vetor posição OP = P – O dá a posição de P em relação a O.

Vetor nulo – é o vetor de módulo zero.

AB = 0 ⇒ AB = 0 ou B - A = 0 ≡ A = B

Vetor unitário – é o vetor de módulo igual a uma unidade.

u vetor unitário se, e somente se, u = 1

Versor de um vetor V ou de um eixo (e) é um vetor unitário com a mesma direção e o mesmo sen-tido do vetor ou do eixo.

Provaremos mais adiante que o versor de um vetor V é obtido pela divisão do vetor V pelo seu módulo.

VV versor do vetor V

Vetor oposto de um vetor dado AB é o vetor BA, que tem o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário de AB.

Operações com vetoresAs operações com vetores diferem extraordina-

riamente das operações com os números reais, pois operamos com medida e direção orientada. Para um entendimento mais fácil, façamos a distinção entre grandezas vetoriais e grandezas escalares.

Grandezas vetoriais são grandezas que neces-sitam de uma medida e uma direção orientada para ficarem perfeitamente determinadas. Graficamente, são representadas por vetores.

Grandezas escalares são as que ficam perfeita-mente determinadas por números reais.

Produto de um número real (escalar) por um vetor

Sejam K um número real e V , então o produto K. V é um vetor que pode ter as seguintes caracte-rísticas:

possui mesmo sentido, mesma direção que I) V e módulo maior que V (isso só ocorre se K > 1)

k . V

V

Possui mesmo sentido e mesma direção de II) V , porém de módulo menor que V (isso só ocorre


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se 0 < K < 1).

k . V

V

possui mesma direção e sentido contrário III) ao de V e módulo maior que V (isso só ocorre se K < –1).

k . V

V

possui mesma direção e sentido contrário ao IV) de V e módulo menor que V (isso ocorre se –1 < K < 0).

k . VV

Se K = – 1, então o vetor K. V terá mesma direção e módulo de V , porém sentido contrário. (Este vetor chama–se oposto de V e é represen-tado por – V).

Soma vetorialSejam v (x1,y1) e u (x2, y2), definimos o vetor,

como S = v + u, como S (x1+x2, y1+y2). Note que S = u + v = v + u , ou seja, a soma vetorial é comu-tativa.

Exemplo: `

Sejam os vetores v (3,1) e u (–5,2), então:

S = u + v = (–2,3)

Interpretação geométrica: unindo os vetores u + v e, a partir de suas extremidades, traçamos segmentos paralelos aos vetores, temos um parale-logramo. A diagonal maior desse paralelogramo é o vetor soma.

S = v + u

Se considerarmos a diagonal menor BD, teremos o vetor diferença d, que pode ser u – v ou v– u, observe

d = v + u

Produto escalarEsta operação entre dois vetores u (x1y1) e

v (x2y2) dá como resultado um número real (escalar) e é definida como: u . v = x1x2 + y1y2.

Representa–se produto escalar u por v como u. v.

Observe a seguinte situação:

Aplicando a lei dos cossenos, obtemos:

QP 2= OQ

2+ OP

2- 2. OQ OP .cos θ

(x1-x2)2 + (y1-y2)

2 = y2+y 2+x2+y2-2. OQ OP .cos θ2 2 1 1

x12+x2

2+y12+y2

2 -2(x1x2+y1y2) = x2

2+y22+x1

2+y12-2 u v .cosθ x1x2+y1y2

= u v cosθ ⇒ u.v = |u||v| cos

Essa é a 2.ª maneira de calcular o produto esca-lar de dois vetores.

É fácil perceber que para dois vetores serem perpendiculares é necessário e suficiente que o seu produto escalar seja nulo. Resumindo:

Se • u.v > 0, então θ é agudo.

Se • u.v = 0, então θ = 90°.

Se • u.v < 0, então θ é obtuso, onde θ é o ân-gulo entre uev.

Interpretação geométrica

Considere a situação a seguir:


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OP é o representante do vetor u e OR é o repre-sentante do vetor v. O ponto Q é a projeção ortogonal do ponto P.

Do triângulo OPQ:

cos θ = OQOP

→ OQ = OP .cos θ

|OQ| = |u| . cos , porém u.v = |u|.|v|.cos .

Logo: |OQ|= u . v|v|

Vetores no R3: Até o momento, trabalhamos no plano cartesiano; daqui para diante vamos estudar no espaço com três eixos coordenados: R3. Qualquer ponto P no espaço tem coordenadas em relação à ori-gem, que são x (abscissa), y (ordenada) e z (cota).

Tudo o que vimos até então será válido também no espaço, a única novidade é a inclusão de uma variável (z) nas fórmulas, por exemplo o vetor u = (x,y,z) possui módulo igual a u = x2 + y2 +z2 .

O produto escalarProduto escalar ou interno de dois vetores =

(x1,y1,z1) e V = (x2, y2, z2) é dado por:

x1x2 + y1y2 + z1z2 que é na verdade um n.o real.

Produto vetorialDados os vetores u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2),

chamamos de produto vetorial do vetor u pelo vetor v que representamos por u ∧ v ou u x v ao vetor:

(y1z2 – y2z1, x2z1 – x1z2, x1y2 – x2y1) ou

(y1z2 – y2z1) i + (x2z1 – x1z2) j + (x1y2 – x2y1) k.

Uma outra maneira de se obter o produto u ∧ v

é através do determinante: u ∧ v= i j kx1

x2 y2

y1 z1

z2

.

Exemplo: `

Determine o produto vetorial do vetor

u=2 i – j +3k e v =3 i +2 j +1k .

Solução: `

Sabemos que u = (2,–1,3) e v = (3,2,1), e usando o determinante temos:

u ∧ v =i j k23 2

-1 31

= – i +9 j +4k+3k–6 i –2 j

u ∧ v = –7 i +7 j +7k

Note que o produto vetorial não é comutativo como o produto escalar. Note que u ∧ v= −v ∧ u, isto é, são iguais em módulo, porém de sentidos opostos. A orientação do produto vetorial é equivalente a uma regra prática chamada de regra da mão direita.

O módulo do u ∧ v é dado por

u ∧ v = u . v senθ.Interpretação geométrica

Considere o paralelogramo abaixo:

Temos que senθ = h v ⇒ h = v sen θ (altura do

paralelogramo).

Logo, a área do paralelogramo é S = u . h ⇒ S = u v sen θ, mas u ∧ v = u . v sen θ, ou seja, chega-

mos à conclusão de que o módulo do produto vetorial entre os dois vetores u e v é igual à área do paralelo-gramo, cujos lados medem os vetores u e v .


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Equação vetorial da reta no espaço

Consideremos em R3 um sistema ortonormal {0, i, j, k}. Seja o ponto P1 (x1, y1, z1) ∈ R3. Ele é o centro de um feixe de retas (veja figura).

k

Para definirmos certa reta r desse feixe temos que considerar um segundo ponto P de R3 e perten-cente à reta (r).

Como P(x, y, z) é um ponto genérico de (r), sua distância a P1 é variável, e podemos obtê–lo nas suas infinitas posições aplicando sobre P1 um vetor mv // v ≠ 0 , ∀m ∈ R.

Então, ⇒ P = P1 + mv, equação vetorial da reta (r).

A equação P = P1 + mv define a reta (r) como sendo o conjunto dos pontos P∈R3, tais que, P1P = mv, ∀m ∈ R e v ≠ 0.

Para indicarmos que a reta (r) é definida pelo ponto P1 e o vetor diretor v ≠ 0, usaremos a notação.

r=[P1, v] e por definição r={P ∈ R3|P – P1 = mv, ∀m ∈ R}.

O1 O vetor diretor v é sempre não–nulo.

v ≠ 0

O2 Qualquer vetor não–nulo e paralelo ao vetor v é também vetor diretor da reta (r).

O3 Dadas as retas (r1) e (r2) assim definidas: r1=[P1, v1] e r2=[P2, v2], com v1//v2(v1=nv2) e P2 ∈ r1 ⇒ r1=r2.

Equações paramétricas da reta

Seja a reta (r) referida num sistema ortonormal {0, i , j , k} e definida pelo ponto P1 (x1, y1, z1) e o vetor diretor v = (f, g, h).

A equação vetorial de (r) é:

P = P1+ mv (1)

onde P(x, y, z) é um ponto genérico.

Da equação (1) ⇒ P – P1= mv ou

(x – x1, y – y1, z – z1) = m(f, g, h),

mas dois vetores são iguais se, e somente se, forem iguais suas coordenadas homônimas, logo

x – x1 = mfy – y1 = mgz – z1 = mh

x = x1 + mfy = y1 + mgz = z1 + mh

Equações paramétricas de r = [P1, v].

Equações simétricas ou canônicas

Sendo f, g, h ≠ 0, podemos tirar das equações pa-ramétricas:

m = x – x1 = y – y1 = z – z1

f g h x – x1 =

y – y1 = z – z1

f g h

Equações simétricas ou canônicas da reta r=[P1, v].

O • 1. Se uma das coordenadas do vetor diretor for nula consideramos nulo o an-tecedente da razão correspondente nas equações simétricas.

O • 2. As equações x – x1 =

y – y1 = z – z1

f g h

podem representar as equações de um

feixe de retas de centro P1 quando f, g e h forem parâmetros livres.

O • 3. Se (r) passar pela origem podemos considerar:

xf =

yg =

zh


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Reta definida por dois pontos distintos

Equações da reta determinada por dois pontos distintosSejam os pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) com P1 ≠ P2,

∈ R3 e referidos num sistema ortonormal {0, i, j, k}.

O vetor diretor da reta P1P2 poderá ser o vetor v = P1P2 = P2 – P1 = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).

Substituindo nas equações simétricas da reta f, g e h, respectivamente, por estas coordenadas ⇒

x – x1

x2 – x1

= y – y1

y2 – y1

= z – z1

z2 – z1

Equações da reta definida por dois pontos.

Condição de alinhamento de 3 pontos

Sejam os pontos P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) e P3(x3, y3, z3), três pontos distintos de R3.

As equações da reta determinada pelos pontos P1 e P2 são:

x – x1

x2 – x1

= y – y1

y2 – y1

= z – z1

z2 – z1

O ponto P3 pertencerá à reta (r) = [P1, P2] se, e somente se, suas coordenadas verificarem as equa-ções da reta (r), então ⇒

x3 – x1

x2 – x1

= y3 – y1

y2 – y1

= z3 – z1

z2 – z1

Condição de alinhamento de três pontos.

Retas paralelasAs r1= [P1, v1] e r2= [P2, v2] são paralelas se, e

somente se, v1//v2, portanto têm a mesma direção Δ1 = Δ2.

Da definição decorre a condição de paralelismo de duas retas. De fato:

Sejam

r1 = [P1(x1, y1, z1), v1 – (f1, g1, h1)] e

r2 = [P2(x2, y2, z2), v2 – (f2, g2, h2)]

se r1//r2 ⇒ v1//v2 ⇒ f1

f2

= g1

g2

= h1

h2

Duas retas são paralelas quando são pro-porcionais às coordenadas homônimas de seus vetores diretores.

Ângulos de duas retasDadas as retas r1= [P1, v1] e r2= [P2, v2] (reversas

ou coplanares). Elas determinam dois ângulos suple-mentares, compreendidos entre 0 e π radianos.

Ao menor destes dois ângulos damos o nome de “ângulo das retas”.

Sejam os vetores diretores v1 = (f1, g1, h1) e v2 = (f2, g2, h2) pelo produto escalar dos dois vetores determinamos θ.

v1 . v2 = |v1||v2| cos θ 0 < θ < π2

⇒ cos θ = v1 . v2

|v1| |v2| ⇒

⇒ cos θ = f1f2 + g1g2 + h1h2

f12 + g1

2 + h12 f2

2 + g22 + h2

2

= 0

Condições de paralelismo e de perpendicularidade

Condição de paralelismoSe r1//r2 ⇒ θ = 0 ⇒ cos θ =1 ⇒ v1 = mv2, m ∈ R

e vimos que f1

f2

= g1

g2

= h1

h2

r1//r2

Condição de perpendicularidade

Se r1 é perpendicular a r2 ⇒ θ = 90º e cos θ =0 ⇒

f1f2 + g1g2 + h1h2

f12 + g1

2 + h12 f2

2+ g22 + h2

2 = 0 ⇒

f1f2 + g1g2 + h1h2 = 0 r1 ⊥ r2

Retas coplanaresDuas retas r1 e r2 dizem–se coplanares quando

estão contidas num mesmo plano.

Para isto, os vetores v1, v2 (diretores) e v deverão

ser coplanares, então f1

f2

x2– x1

g1

g2

y2– y1

h1

h2

z2– z1

= 0


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Condição de coplanaridade de duas retas (o produto misto dos três vetores é nulo.)

Duas retas r1= [P1, v1] e r2= [P2, v2] coplanares podem ser:

I. Concorrentes: r1 ∩ r2 = {P}

II. Paralelas: r1 ∩ r2 = Ø

III. Coincidentes ou idênticas: r1 ∩ r2 = r1 = r2 Nesse caso, v1//v2//v.

Retas reversasDuas retas r1 e r2 dizem–se reversas quando não

estão contidas num mesmo plano.

Então f1

f2

x2– x1

g1

g2

y2– y1

h1

h2

z2– z1

≠ 0

As retas r1 e r2 não são concorrentes e nem paralelas.

Equação do planoUm plano fica determinado por três pontos

não–colineares. Tomemos os pontos P1(x1, y1, z1), P2 (x2, y2,z2) e P3(x3 y3, z3), não–colineares.

O plano determinado por estes três pontos é o

mesmo plano definido pelo ponto P1 e pelos vetores

P1P2 e P1P3

Para chegarmos à equação vetorial desse plano, vamos considerar um ponto genérico P(x, y, z).

O plano ( ) é o conjunto dos pontos P do espaço, tais que,

P1P =m .. P1P2+n . P1P3

A equação vetorial do plano ( ), como vimos, é:

P=P1+m V1+n V2

ou (x, y, z) = (x1, y1, z1) +m (f1,

g1, h1).+n (f2, g2, h2) que nos dá:

x = x1 + mf1 + nf2

y = y1 + mg1 + ng2

z = z1 + mh1 + nh2

Equações paramétricas do plano ( ), sendo m e n os parâmetros.

Nota–se: f1= x2– x1, g1 = y2 – y1, h1 = z2– z1 e

f2= x3– x1, g2 = y3 – y1, h2 = z3– z1

Da condição de coplanaridades dos três vetores, resulta:

P1P

V1

V2

x – x1 y – y1 z – z1

x2 – x1 y2 – y1 z2 – z1

x3 – x1 y3 – y1 z3 – z1

t=0

y1 z1 1

y2 z2 1

y3 z3 1

x – x1 z1 1

x2 z2 1

x3 z3 1

y + x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

z –x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

= 0

Fazendo os determinantes coeficientes de x, y e z e o termo independente, respectivamente iguais a A, –B, C e –D, temos a equação: Ax + By + Cz + D=0 (Equação geral ou cartesiana do plano).

Vetor normal do planoUm vetor é ortogonal a um plano quando o vetor é

ortogonal a dois vetores não–paralelos deste plano.

Chamamos de vetor normal do plano ( ) Ax + By + Cz + D = 0 ao vetor n , isto é, n=(A,B,C) ou n= Ai+B j+C k .

Planos paralelosCondição de paralelismo de 2 planos: n1

// n2

( 1) A1x+B1y+C1z+D1=0 e ( 2) A2x+B2y+C2z+D2=0,

se, além de verificarem a condição, satisfazem essa condição:

A1

A2

B1

B2

C1

C2

D1

D2

= = =

Posições relativas de um plano e uma reta

Sejam, a reta (r)

x = x1 + fm

y = y1 + gm

z = z1 + hm

e o plano ( ) Ax + By + Cz + D = 0


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O vetor diretor da reta (r) é V=(f, g, h) e o ve-tor normal do plano ( ) é n = (A, B, C), portanto a expressão Af + Bg + Ch é o produto V. n.

Reta e plano concorrentes

Af+Bg+Ch 0

Reta e plano paralelosSe a reta (r) for paralela ao plano ( ), seu vetor

diretor V é ortogonal ao vetor normal n do plano ( ), e então V. n= 0 resultando em:

Ax1+By1+Cz1+D 0

e Af +Bg+Ch=0

Planos concorrentesDois planos concorrentes se interceptam, e

fazem–no segundo uma reta:

Ax1+By1+Cz1+D=0

e Af +Bg+Ch=0

Ângulo de dois planosO ângulo de dois planos é o ângulo das retas

normais perpendiculares a esses planos, traçadas de um ponto qualquer do espaço.

P

Sejam os planos:

( 1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0

( 2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Seus vetores normais são, respectivamente, n1= (A1, B1, C1) e n2 = (A2, B2, C2), portanto,

cos = n1 n2.n1 n

cos = A1A2+B1B2+C1C2

A B C A B C+ + + +Como decorrência imediata tiramos a condi-

ção para dois planos serem perpendiculares.

= 2 , cos =cos 2

=0 A1A2+B1B2+C1C2 =0

n1 n2( )

Dois vetores 1. a e b têm módulos iguais a 5 e 6, respecti-vamente, e formam o ângulo de 60º. Calcule:

a . b; a . a; (a . b).(a + b) e (a – b).(a + b)

Solução: `

1.º) a . b = | a||b| cos θ ⇒ a . b = 5 . 6 . 12

=15

2.º) a . a = |a|2 = 25

3.º) (a + b).(a + b) = (a + b)2=|a|2+2a . b + |b|2=

25+2x15+36 = 91 1°

4.º) (a – b) . (a+ b) = |a|2–|b|2 = 25–36 = –11

Os vértices de um triângulo são os pontos: A(–1, 2, 4); 2. B(3, –3, 4) e C(–1, 6, 1). Determine a altura relativa ao lado AC.

Solução: `

Calculemos a área do triângulo ABC. Seu valor é igual à metade da área do paralelogramo ABCD.

A = AABCD

2 =

|BA ^ BC|

2

BA = A – B = (–4, 5,0) e

BC = C –B = (–4, 9, –3)


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j ki

Tomemos o módulo deste vetor:

Então a

(r2 ) = P2 (3, 4, –1) e v 2 = (–2, 2, 4)

P1 P2 = (4, 2, –6)

Verifiquemos primeiramente se as retas são coplanares:

v1

v2

P1 P2

2–2 4

122

–3 4–6

= 0

(1ª e 3ª linha proporcionais) as retas r1 e r2 são coplanares e não paralelas porque v 1 ≠ mv 2 (são concorrentes).

Procuremos o ponto de interseção:

⇒

(2)

e de z = 2y = 9 z = 8 – 9 = –1 ou de

z = – 2x z = 5 – 6 = –1.

O ponto de interseção é o próprio P(3, 4, –1).

Determine as equações simétricas da reta que passa 5. pelo baricentro do triângulo de vértices A(3, 4, –1), B(1, 1, 1) e C(2, 4, 3) e é paralela à reta suporte do lado AB do triângulo.

Solução: `Determinemos G (baricentro)

G(2, 3, 1)

Um avião sai de um mergulho percorrendo um arco 3. de circunferência de 300m de raio. Sabendo–se que sua aceleração centrípeta no ponto mais abaixo do arco vale 8,33m/s2, conclui–se que sua velocidade, nesse ponto, é:

8,33m/s na direção horizontal.a)

1,80×10b) 2 km/h na direção horizontal.

1,80×10c) 2 km/h na direção vertical.

2,50×10d) 3 m/s na direção horizontal.

2,50×10e) 3 m/s na direção vertical.

Solução: ` B

aCP = v2

R 8,33 = v2

300 v = 50m/s

v = 180km/h = 1,80 . 102km/h

A

V

acp C

B

0

V

A aceleração centrípeta aponta sempre para o centro.

No ponto mais baixo da trajetória (B), a aceleração centrípeta tem direção vertical.

Verifique a posição da reta 4. r1 = [P1 (–1, 2, 5), v1 = (2, 1, –3)]

em relação à (r2) = x – 3

= y – 4

= z + 1

–2 2 4Solução: `(r1 ) = P1(–1, 2, 5) e v 1 = (2, 1, –3)


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Escrevamos a equação do feixe de retas de centro G.

Calculemos f, g e h para r ser paralela à reta AB.

O vetor diretor de r pode ser o próprio vetor AB então,

f = xB – xA = 1 – 3 = –2

g = yB – yA = 1 – 4 = –3

h = zB – zA = 1 +1 = 2

As equações da reta (r) são ⇒

Verifique se as retas:6.

Solução: `

Seja v 1 o vetor diretor da primeira reta e v 2 o vetor diretor da segunda reta. P1→ ponto da 1.ª reta P2→ ponto da 2.ª reta

v 1 = (1, –2, 3)

v 2 = (4, –1, 2)

P1 = (2, 4 , 1)

P2 = (–1, 3, 2)P 1P2 = P2 – P1 = (–3, –1, + 1)

Verifiquemos se as retas são coplanares:

v1

v2

14–3

–2–1–1

32

+1

= –1 – 12 + 12 – 9 + 2 = 0 ⇒

P1P2

São coplanares.

Verifique se o ponto A(1, 2, –1) pert8. ence aos planos 4x + 2y – 3z – 11 = 0; x + y – z – 4 = 0 e 2x – y – 3z – 3 = 0.

Solução: `Apliquemos a condição:

(4 + 1 + 2) . 1 + (2 + 1 – 1) . 2 + (–3 – 1 – 3) . (–1) + (–11 – 4 – 3) = 7 + 4 + 7 – 18 = 0

O ponto pertence aos três planos.

Escreva a equação cartesiana do plano determinado 9.

pelas retas: .

Solução:7x – 3y – 9z + 13 = 0

Dados os pontos P10. 1 (3, 2, 0), P2 (1, 2,– 2) e P3 (1, 2 , –1), determine:

a equação vetorial;1.º)

as equações paramétricas;2.º)

a equação cartesiana;3.º)

a equação segmentária, que eles definem.4.º)

Solução: `

P = P1.º) 1+ m P1P2+ n P1P3

P = (3, 2, 0) + m(–2, 0, – 2 ) + n(–2, 2 , –1) equação vetorial

2.º)

x = 3 – 2m – 2n

y = 2 + ( 2 )n Equações paramétricas.

z = – 2 m – n

Determine os cossenos diretores da reta definida 7. pelos pontos A(3, –3, 2) e B(4, –1, 0).

Solução: `r: A(3, –3, 2) e B(4, –1, 0)

Façamos a equação de r:

(outra forma da condição de alinhamento entre três pontos)

(2, 8, 9) é o vetor normal à vista.

(2, 8, 9) . (a, b, c) = 0, (a, b, c) é o vetor diretor.

Peguemos, por exemplo,

a = 1

b = 2 ⇒ (2, 8, 9).(1, 2, –2) = 2+ 6 –18 = 0

c = –2

Agora, como queremos os cossenos, façamos:

u v

i v

•

•

•


11EM

_V_M

AT

_022

3.º)

x y z 1

3 2 0 1

1 2 – 2 1

1 2 –1 1

= 0 ou

(2 – 2 2 )x–(2–2 2 ) y+2 (2– 2 ) z– (2–2 2 )=0

x–y+2(2– 2 )

2(1– 2 )z–1=0 ou

x–y+(2– 2 )(1+ 2 )

z–1=0(1– 2 )(1 + 2 )

x–y– 2 z –1= 0

x2º) –y– 2 z = 1 ou

Equações segmentárias.

Determine os ângulos que o plano Ax + By + Cz + D 11. = 0 determina com os planos coordenados.

Solução: `Vimos que o ângulo de dois planos é o ângulo das retas normais perpendiculares a esse plano, traçadas de um ponto qualquer do espaço.

j

k

O vetor normal do plano dado é n = (A,B,C). Aplique–o à origem dos eixos.

Os vetores i =(1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) são, respectivamente, os vetores normais dos planos cartesianos yOz, xOz, e xOy.

Os ângulos diretores da normal ao plano são , , e , iguais aos ângulos procurados.

De fato, o ângulo de 2 planos nos é dado pela fórmula:

cos = A1 A2 + B1 B2 + C1 C2

A12 + B1

2 + C12 A2

2 + B22 + C2

2

(produto escalar dos vetores normais dos 2 planos)

Ângulo de ( ) com yOz é n x i cos =

Ângulo de ( ) com yOz é n x j cos =

Ângulo de ( ) com yOz é n x j cos =

O sinal do radical é contrário ao de D.

Dados os pontos P(2, 4, 5) e Q(1, 2, 3), determine:1.

o vetor ligando a) PQu ruu

(vetor posição de Q em rela-ção a P)

o vetor b) r u ruu

W PQ// tal que | | .| |

ru ruu

u ruuWPQ

PQ= 6

Da2. dos os vetores r r r r r r ru 10 i 3 j 5k e v 2 j 3k= + + = + , achar o

vetor rw , paralelo a

rv de mesmo módulo que

ru x x= ( , , )2 2.

Determine x para que o vetor 3. ru x x= ( , , )2 2 tenha mó-

dulo 7.

Determine os cossenos diretores do vetor 4. r

V = −( , , ).5 5 2 5

Consideram–se os vetores 5. ra = (1, m, 5) e

rb = (–6m,

m, 1). Determine m de modo que o ângulo ( , )r ra b seja,

respectivamente, reto, agudo e obtuso e as expressões cartesianas de r r

a e b quando seu produto escalar for mínimo.

Os módulos dos vetores 6. r ra e b são, respectivamente, 4

e 2 e o ângulo por eles formado mede 60º. Calcule o ângulo de

r ra b+ com

r ra b− .

Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 7. ra =

(2, 6, –1) e rb = (0, –2, 1).

Mostre que os pontos A(–2, 1, 3); B(7, –2, 3); C(–4, 3, 8. 1) e D(–1, 0, 4) são coplanares.

Determine a equação vetorial da reta definida pelos 9. pontos P1(3, 4, 1) e P2(2, 1, 3).

Escreva as equações paramétricas da reta que passa 10. pela origem dos eixos e é paralela à reta:


12 EM

_V_M

AT

_022

x 2 3m

y 1

z 1 2m

= −

=

= − +

Escrev11. a as equações simétricas da reta do feixe de centro A (5, –3, 2) e paralela ao eixo 0z.

Determine os traços, em relação aos planos coorde-12. nados, da reta definida pelos pontos P(–1, 1,3) e Q(4, –2, 1).

Verifique o paralelismo das retas (r) e (s) nos seguintes 13. casos:

(r) P = Pa) 1 + m(3, –4, 2) e (s) x 2 y 3 z 1

.6 8 4

+ − −= =

−

(r) b) x 1 3y 6 3z 3

1 4 2

− − −= =

− e

x 4 6m

(s) y 1 8m

z 2 4m

= +

= −

= +

x 2 4m

(r ) y 3 2m

z 1 m

= −

= +

= +

c) e (s) P = (2, 3, 1) + m(–2, 1, 2).

D14. etermine as equações simétricas e o comprimento da mediana AM do triângulo ABC com A(–3, –1, 4), B(2, 4, 5) e C(0, –2, 1).

Verifique se os pontos A(3, –2, 1) e B(–1, 2, 0) per-15. tencem à reta determinada pelos pontos C(2, 1, –1) e D(4, –5, 3).

Verifique as retas:16. x 1 4m

x 2 y 4 z 1e y 3 m

1 2 3z 2 2m

= − +− − −

= = = −−

= +

São coplanares?

Verificar se os pontos:17.

P1 = (4, 5, 4), P2 = (3, 4, 1), P3 = (1, 1, 4) e P4 = (7, 9, 4) são coplanares.

Determinar 18. λ∈ℜ para que os pontos A = (λ,3,4), B = (λ,–1,8), C = (–2,2,–1) e D = (–λ,2,3) sejam coplana-res.

Escreva a equação cartesiana do plano determinado 19.

pelas retas x y z−

= =−2

3 1

3

2 e

x y z+=

−=

1

6

2

2 4

Det20. ermine, na forma simétrica, a equação da reta que passa pelo ponto P1(2, 3, –1) e é paralela aos planos (p1) 2x – 3y + z – 1 = 0 e (p2) x + 2y + 3z +8 = 0.

Ache a equação cartesiana do plano que passa pelo 21. ponto M(3, 0, –4) e é perpendicular aos planos (p1) 2x – y – z = 0 e (p2) x + 3y – z + 12 = 0.

Determine, na forma simétrica, a equação da reta que passa 22. pelo ponto P(3, –2, 0) e é perpendicular ao plano 4x – 8y + 6z – 7 = 0.

Determine a equação geral do plano que passa pela reta 23. x y z−

= =−1

2 2

1

1 e é paralelo à reta x y z−

=−

−=

−3

2

2

1

4

4.

Dê a equa24. ção da reta interseção dos planos 3x – 4y + z – 16 = 0 e 2x + 4y – 2z + 4 = 0.

Sendo 1. | | | |

a b = =2 3 , calcule | |3 2

a b− sabendo–se que o ângulo ( , )

a b = 30º.

Dados os pontos A(2, 2, –1) e B(3, –2, 6), determine o 2. versor do vetor AB

.

13. Dados os ve to res

V i j k1 2= + − ;

V i j2 2= − e

V i j k3 3 4= − + , determine o vetor unitário, paralelo e de sentido contrário ao do vetor

V V V V= − +2 1 2 3 .

Determine os vetores de módulo 14 e paralelos ao vetor, re-4. sultante dos vetores

V i j k e V i j k1 22 3 4 3 6= + − = − + .

Qual é o valor de x para que os vetores 5.

a x= − −( , , )3 2

b x= ( , , )3 2 e

c = −( , , )1 3 1 sejam coplanares?

Determine os vetores unitários ortogonais aos vetores 6.

V e V1 24 4 2 2 2 1= − = −( , , ) ( , , ) .

Dados os vetores7.

V i j k V i j k1 22 2 5 4= + − = − +, e

V i j k3 3 2 6= − + , verifique qual o triângulo determinado por estes vetores e qual a natureza dele.

No trapézio ABCD da figura 8. AB a DC a DA b e BE BC= = = =

, , 213

AB a DC a DA b e BE BC= = = =

, , 213

. Expressar os vetores AC e DE em função

dos vetores

a e b .

A figura a seguir mostra a trajetória da bola lançada pelo 9. goleiro Dida, no tiro de meta. Desprezando o efeito do ar, um estudante afirmou:


13EM

_V_M

AT

_022

A aceleração vetorial da bola é constante.I.

O componente horizontal da velocidade da bola é II. constante.

A velocidade da bola no ponto mais alto de sua tra-III. jetória é nula.

Dessas afirmativas, é(são) correta(s) somente:

Ia)

IIb)

I e IIc)

II e IIId)

Calcular o volume de tetraedro ABCD, sendo: 10. A = (1,2,1), B = (0,1,5), C = (–1,2,1), D = (2,–1,3).

Determine o ponto O’ simétrico da origem O dos eixos 11.

em relação à reta x 2 y 1 z 4

1 1 2

− + −= =

− −

Determine as equações simétricas da reta que passa 12. pelo ponto M(2, 1, –1) e é perpendicular à reta (r )1 de equação vetorial P = (2, 0, 0) + m(3, 1, –1).

P1 (2, 0, 0)M (2, 1, -1)

(r1)

(r)

P (x, y, z)v = (f, g, h)

v1

Dados A(2, 4, 5), B(–1, 2, 3), C(4, –2, 1) e D(1, 2, –3), 13. determine a reta MN, tal que M seja ponto médio do segmento AB e N divida o segmento orientado CD

na

razão 1.

2

Determine as equações vetorial e paramétricas da reta 14.

que passa por P1 (2, 3, 1) e que forma com os eixos 0x, 0y e 0z ângulos de 60°, 60° e 135°, respectivamente.

y

z

x

α

β

γ

r

0

P (x, y, 2)

P (2, 3, 1)

v

u

Escreva as equações paramétricas e simétricas da reta 15. que passa pelo ponto A(2, –1, 3) e é paralela à reta de-terminada pelos pontos P(3, 1, 4) e Q(5, 3, 4).

Determine as equações da reta definida pelos pontos 16.

A(2, –1, 4) e B = r1 Ç r2 com x 1 y 3 z 1

(r )12 4 2

− − −= =

− e

x 3m

(r ) y 1 2m2z 2 m

=

= +

= +

Um vetor diretor de uma reta (r) é o vetor 17. v

= (f, g, h) e tal, que //V w

e V ^ s 4 j 8k.= − −

Sendo w 4 i 4 j 2k= − +

e s (2, 6, 3)= −

, determine o ângulo da reta (r) com o vetor s

.

Dados os pontos médios M18. 1(2, 1, 3), M2(5, 3, –1) e M3(3, –4, 0) dos lados de um triângulo ABC, determine as equações paramétricas do lado desse triângulo, cujo ponto médio é o ponto M1.

Determine o ângulo das retas, cujos vetores diretores 19. V ( f , g , h )1 1 1 1=

e V ( f , g , 2h )2 2 2 1=

são parcelas do vetor diretor da reta AB, na qual A(2, 3, –1) e B(4, –3, 5), sabendo–se que V i 11 × =

e V ^k 8 i j2 = − −

Determine os cossenos diretores da reta definida pelos 20. pontos A(3, –3, 2) e B(4, –1, 0).

Dê o ponto P’, simétrico de P(1, 6, –1) em relação ao 21. plano (p) 2x – 6y + 4z – 18 = 0.

Dê a equação da reta (s) s imétr ica de (22. p)

( )rx y z−

=−

=−

3

1

2

2 1 em relação ao plano (p2) 2x +

y – z + 2 = 0.

Dê a equação do plano (23. p1), simétrico do plano (p) 2x – 3y + z – 12 = 0 em relação à reta (p)

( ) .rx y z−

=−

=−2

2

1

3

2

5Determine a equação do plano mediador do segmento 24. de extremos P(3, –1,5) e Q(1, –5, –1).

Determine a, b, c para que os planos (25. p2) 4x + by + 8z + c = 0 e (p1) 2ax – y +4z + 2 = 0 sejam paralelos coincidentes.

Determine a e b para que os planos (26. p1) 4x – 3ay + 6z – 8 = 0 e (p2) 2x – 6y + bz + 10 = 0 sejam paralelos disjuntos.

Determine 27. a para que os planos (p1) 2x – 3y – az + 5 = 0 e (p2) 4x + ay + 5z – 3 = 0 sejam perpendiculares.

Determine a equação do plano (28. p), que passa pelo ponto P1(2, 5, 3) e é perpendicular à reta (r) intersecção dos planos (p1) x – y – 2z = 0 e (p2) 2x + 3y + z + 1 = 0.

Verifique se a reta 29. x y z−

=+

=1

3

2

2 5 é paralela ao plano

x + 2y – 2z – 4 = 0.


14 EM

_V_M

AT

_022

Ache a equação do plano inclinado pelas retas30.

(a) p1) ( )rx y z

11

2

3

4

1

6

−=

−=

+

−

(b) p2) ( )r

x m

y m

z m2

3

1 2

4 3

= +

= − +

= −


15EM

_V_M

AT

_022

1.

PQa) = – i – 2j – 2k

W = – 6u – 2i – 4j – 4kb)

wur

= ± 13413

0 2 3.( ; ; ) 2.

⇒=++⇒=++ 449x44x7x44x|u| 2222 =3.

⇒ x2 = 9 ⇒ x = ±3

Co4. mo cos = x

|V|, cos =

y

|V| e cos γ =

x

|V|Calculemos o elemento que nos falta, que é

⇒=++= 550 10225225|V|

cos arccos2 510

12

12

60α β= ⇒ =

== o

cos arccos

cos

2

2

5 210

222

22

135

510

12

β β

γ

= − − ⇒ = −

= −

= ⇒

=

=

o

λ =

=arccos12

60o

m5. = 1 ou m = 5; m < 1 ou m > 5; 1 < m < 5; a = (1, 3, 5)

e b = (-18; 3; 1).

θ = arccos217

θ = arccos217

6.

1

3 (2i – j – 2k)7.

Serão coplanares se o tetraedro ABCD tiver volume nulo, 8. consequentemente o produto misto AB AC AD

u ruu u ruu u ruu( ) ( )

=. . 0 .

P = (3, 4, 1) + m(–1, –3, 2)9.

x 3m

y 0

z 2m

= −

=

=

10.

x 5

y 3

z 2 m

=

= −

= +

11. e z 2

m1

−= x 5 y 3 0− = + =

13 7A , , 0 ;

2 2−

12.

2 7B , 0,

3 3

e

2 13C 0, , .

3 5

13.

Paralelasa)


16 EM

_V_M

AT

_022

Paralelasb)

Não paralelasc)

x 3 y 1 z 4

4 2 1

+ + −= =

−14. e | AM | 21.=

uur

A r∈15. e B r∉

São concorrentes no ponto (3,2,4), logo são coplanares.16.

Sim 17.

λ =2918.

7x – 3y – 9z + 13 = 019.

x y z−=

−=

+

−

2

11

3

5

1

720.

4x + y + 7z + 16 = 021.

x y z−=

+

−=

3

2

2

4 322.

3x – 2y – 2z – 1 = 023.

xy z

=+

=+7

2

12

524.

21. 3

2. 1

664 7i j k

r r r− +( )

V i j kur r r r

= − − +( )13

2 23.

2(6i – 2j + 3k)4.

14 ou –25.

Um dos vetores ortogonais aos vetores 6. v1 e v2 é o seu

produto vetorial, então: V i kur r r

= − −( ) ±

8 161

8 5. .

O triângulo 7. v2 = v1 + v3 é acutângulo.

AC a b= −2r r

8. e DE b au ru r r

= +23

43

C9.

V u v= 103

. .10.

1 5 2O' , ,

3 3 3

11.

x 2 y 1 z 1

3 3 3

− − += =

−12.

2x 1 3y 9 3z 12

5 11 13

− − −= =

− −13.

P = (2, 3, 1) + m14.

122

1 1 2 1, , 32 2 2 2

212

x m

ou y m

z m

= +

− = +

= −Solução:15.

O ponto A determina um feixe de retas de equações

x 2 mf

(r) y 1 mg

z 3 mh

= +

= − +

= +

ou − + −

= =x 2 y 1 z 3

f g h

A reta procurada é definida pelo ponto A e pelo vetor diretor v PQ=

uuurr (r//PQ).

v = ( , , )2 2 0

x 2 2m

y 1 2m

z 3

= + = − + =

x 2 y 1

2 2

− += ou x – 2 = y + 1

(A reta r é paralela ao plano xOy).

P = (2, –1, 4) + m(–2, 2, –2)16.

19arc cos

21θ =17.

x 2 2m

y 1 7m

z 3 m

= +

= +

= −

18.

7arc cos

27θ = −

19.

2cos .

3γ = −

1cos

3α =20. ,

2cos

3β = e cos γ = −

23

P’(5, –6, 7)21.

x y z−

−=

+=

−1

7

2

1

2

222.

(23. π1) 2x – 3y + z + 2= 0

x + 2y + 3z – 2 = 024.

a = 1, b = –2, c = 425.

a = 4, b = 326.

a = 127.

x – y + z = 028.

A reta é paralela ao plano.29.

2 11 8 27 0x y z+ + − =30.


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