versão 2010

UNIVERSIDADE DE COIMBRA Faculdade de Cincias e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil

Mtodos Numricos em Engenharia

Jos Manuel Abreu Jos Simo Antunes do Carmo

Coimbra Outubro de 2010

NDICE_______________________________________________________________________________________________________________

Captulo1ERROSEMCLCULONUMRICO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Introduo TiposdeerrosnaresoluonumricadeproblemasdeEngenharia Errosdearredondamentoearitmticacomputacional 3.1 Representaodenmerosinteiros 3.2 Representaodenmerosreais Valoresaproximados,errosepreciso. Propagaodoerro Errosdetruncatura.SriedeTaylor. Discretizao Mtodositerativos Exercciospropostos

1 3 4 5 9 14 20 26 30 32 33

Captulo2RESOLUODEEQUAESNOLINEARES 1. Introduo 2. Localizao,contagemeseparaodasraizes 2.1 Mtodosgrficos 2.2 Mtodosanalticos 2.2.1 MtododeNewton(delimitaodasrazes) 2.2.2 MtododeRolle 2.2.3 MtododeFourier 2.2.4 RegradesinaisdeDescartes 3. Mtodositerativosparaadeterminaoderazes 3.1 Introduo 3.2 Mtodositerativosdependentesdeumsponto 3.2.1 Mtododopontofixo 3.2.2 MtododeNewtonRaphson 3.3 Mtodositerativosdepontomltiplo 3.3.1 Mtododasecante 3.4 Mtodosqueenquadramaraiz 3.4.1 Mtododabisseco 3.4.2 Mtododafalsaposio Exercciospropostos 39 47 48 49 49 51 55 57 58 58 58 58 70 79 79 81 82 84 88

i

Captulo3INTERPOLAO 1. Introduo.InterpolaoeAproximao. 2. Interpolaopolinomial 2.1 Clculoeficientedeumpolinmio.AlgoritmodeHorner 2.2 PolinmiointerpoladordeNewton 2.3 PolinmiointerpoladordeLagrange 2.4 NewtonouLagrange? 2.5 Interpolaocompontosdebaseigualmenteespaados 2.6 Oproblemadasoscilaesnainterpolaopolinomial 2.7 Majorantedoerrocompontosigualmenteespaados 2.8 InterpolaocomrazesdeChebyshev 2.9 PolinmiointerpoladordeHermite 2.10 Interpolaocom"SPLINES"cbicos 2.11 Quadroresumodosesquemasdeinterpolao Exercciospropostos Captulo4APROXIMAO.MTODODOSMNIMOSQUADRADOS Introduo Ocritriodosmnimosquadrados Regressolinear Modelosdedoisparmetros Linearizao Modeloslinearesdenparmetros ndicededeterminao Exercciospropostos Captulo5INTEGRAONUMRICA 1. Introduo 2. Intervalosescolhidosouimpostospreviamente 2.1 Casogeral:pontosdebasecomespaamentoarbitrrio 2.2 Pontosdebaseequidistantes 2.2.1 RegradoTrapzio 2.2.2 RegradeSimpson 2.2.3 FrmulasdeNewtonCotes.Casogeral 3. QuadraturadeGauss Exercciospropostos 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 93 96 98 99 108 110 110 116 117 119 122 125 132 133

135 136 138 140 144 146 150 151

153 155 155 158 159 165 168 170 174

ii

Captulo6RESOLUODESISTEMASDEEQUAES 1. Prembulo 2. Intervalosescolhidosouimpostospreviamente 2.1 Introduo 2.2 Soluoporinversodematrizes.RegradeCramer 2.3 Mtodosdirectos 2.3.1 MtododeeliminaodeGauss 2.3.2 MtododeeliminaodeGaussJordan 2.3.3 Pivotagem 2.3.4 Sistemasmalcondicionados 2.3.5 Sistemastridiagonais 2.3.6 MtododafactorizaoLU 2.4 Mtodositerativos 2.4.1 MtododeJacobi 2.4.2 MtododeGaussSeidel 2.5 Comparaoentreosmtodosdirectoseiterativos 3. Sistemasdeequaesnolineares(breveintroduo) 3.1 Sistemasnolineares 2 2 3.2 MtododeNewtonRaphsonparasistemas 2 2 Exercciospropostos Captulo7EQUAESDIFERENCIAISORDINRIAS(EDO) 1. Introduo 2. Prembulomatemtico 2.1 Equaeslineares 2.2 Equaesnolineares 2.3 Equaessdiferenas 3. Integraonumricadeequaesdiferenciaisordinrias 3.1 Formulaesdeumpasso 3.1.1 MtodosbaseadosnasriedeTaylor 3.1.2 MtodosdeRungeKutta 3.2 Formulaescomvriospassos 3.3 Mtodosdeprevisocorreco 4. Estabilidadedosmtodosnumricos Exercciospropostos 177 177 177 180 181 182 190 192 195 198 202 205 205 208 210 211 211 213 216

219 219 220 222 223 224 224 224 230 236 238 243 248

iii

Captulo8EQUAESSDERIVADASPARCIAIS(EDP) 1. Introduo 2. Resoluonumricadeequaessderivadasparciais 2.1 Mtododasdiferenasfinitas 2.2 Mtododoselementosfinitos 2.2.1 Funesdeaproximaoparaelementosaumadimenso 2.2.2 Funesdeaproximaoparaelementosaduasdimenses 3. Estabilidade 3.1 Coeficientedeamplificao 3.2 Matrizdeamplificao 4. Formasdasequaessderivadasparciais 4.1 Equaodiferencialparablica 4.1.1 Casolinearaumadimenso 4.1.2 Casonolinearaumadimenso 4.1.3 Equaoparablicaaduasdimenses(x,y,t) 4.2 Equaodiferencialhiperblica 4.3 Equaodiferencialelptica 4.3.1 Resoluonumricapordiferenasfinitas 4.3.1 Resoluonumricaporelementosfinitos Exercciospropostos ANEXO(soluesdealgunsproblemaspropostos) 251 253 253 255 257 259 262 262 265 267 268 268 271 272 273 279 279 282 288 293

iv

CAPTULO 1_______________________________________________________________________________________________________________

ERROS EM CLCULO NUMRICO

1. IntroduoO estudo da matemtica introduz conceitos que auxiliam a resoluo dos mais diversos problemas cientficos. No entanto, existem numerosos problemas matemticos para os quais no se conhece nenhuma soluo analtica. A Anlise Numrica procura desenvolver processos de clculo (algoritmos), utilizando uma sequncia finita de operaes aritmticas bsicas, para que certos problemas matemticos se tornem exequveis numericamente, ou de mais simples execuo. Estes algoritmos envolvem em geral um grande nmero de clculos aritmticos e por isso no de estranhar que com o desenvolvimento de rpidos e eficientes computadores digitais, o papel dos mtodos numricos na resoluo de problemas de engenharia tenha sofrido grande incremento nas ltimas dcadas. Um algoritmo caracterizado por permitir resolver problemas matemticos usando uma sequncia finita e pr-definida de operaes de aritmtica. Um mtodo numrico um algoritmo que tem como objectivo determinar um ou mais valores numricos. Os valores obtidos por um mtodo numrico designam-se por solues numricas. A seleco ou construo de algoritmos eficientes, facilmente adaptveis implementao em computador, o objectivo da anlise numrica. Ao contrrio das solues analticas, que conduzem a solues exactas para os problemas, os mtodos numricos produzem, em geral, apenas solues aproximadas. Por este facto, antes da utilizao de qualquer mtodo numrico necessrio decidir qual a preciso com que se pretende obter a soluo numrica desejada. A preciso dos clculos numricos tambm, como veremos, um importante critrio para a seleco de um algoritmo particular na resoluo de um dado problema. Mesmo nos casos em que existe uma frmula disponvel, deve ter-se algum cuidado pois, como mostram os exemplos que se seguem, existem clculos matemticos que oferecem respostas correctas quando se efectuam utilizando nmeros reais exactos, mas do respostas erradas quando se realizam em computador com preciso finita.

Captulo 1

Erros em clculo numrico

Exemplo 1.1: Efectue um programa de clculo que adicione dez mil vezes o valor0.00001 a uma unidade. Compare o resultado obtido com o resultado exacto calculando a percentagem de erro. O resultado obtido num PC a trabalhar em simples preciso : SUM=1.100136. Como o resultado exacto SUM=1.1, vem1.1 1.100136 1 .1 100 0.0124 %

Exemplo 1.2: (Clculo de uma derivada). A definio de derivadaf ' ( x) = limx 0

f ( x + x) f(x) x

sugere que o quociente

f pode aproximar f ' ( x) , se existe, quando x 0 . No x entanto, tal no provvel que suceda se os clculos se realizam num computador, a no ser que f ' ( x) seja zero. Para o confirmar, suponha que queremos calcular a derivada da funo f ( x) = sin x para x=1.

Soluo analtica:

f ' ( x) = cos x f ' (1) = cos 1 0 .54030

Soluo numrica:

d=

sin (1 + x) sin (1) x

_______________________________________________________________

x

d

Valor exacto - d 0.042938 0.004212 0.000344 - 0.000312 - 0.002100 0.003860 0.540300

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.000000001

0.49736 0.53609 0.53996 0.54061 0.54240 0.53644 0.0 !

Ao longo do captulo procuraremos explicar a origem destes erros.

2

Captulo 1


2. Tipos de erros na resoluo numrica de problemas de EngenhariaA resoluo de um problema de Engenharia num computador utilizando um modelo numrico na resoluo do correspondente modelo matemtico produz, em geral, uma soluo aproximada do problema. A introduo de erros na resoluo do problema pode ser devida a vrios factores. Em funo da sua origem, e das fases de resoluo de um problema de Engenharia, podemos considerar essencialmente quatro tipos de erros (Fig. 1).

Figura 1 - Tipos de erros nas diferentes fases de resoluo de um problema de engenharia. 1) Erros inerentes ao modelo - Os modelos matemticos raramente constituem uma representao exacta dos fenmenos reais. Na grande maioria dos casos so apenas modelos idealizados, j que ao estudar os fenmenos da natureza vemo-nos forados, regra geral, a aceitar certas condies que simplificam o problema de forma a torn-lo tratvel. Os melhores modelos so os que incluem apenas aquelas caractersticas do problema real necessrias para reduzir os erros nesta fase a um nvel aceitvel. 2) Erros inerentes aos dados - Um modelo matemtico no contem apenas equaes e relaes; tambm contem dados e parmetros que, frequentemente, so medidos experimentalmente, e portanto, aproximados. As aproximaes nos dados podem ter grande repercusso no resultado final. 3) Erros de truncatura - Muitas equaes matemticas tm solues que apenas podem

3

Captulo 1


ser construdas no sentido que um processo infinito possa ser descrito como limite da soluo em questo. Por definio, um processo infinito no pode ser completado, por isso tem de ser truncado aps certo nmero finito de operaes. Esta substituio de um processo infinito por um processo finito, resulta num tipo de erro designado erro de truncatura. Em muitos casos, o erro de truncatura precisamente a diferena entre o modelo matemtico e o modelo numrico. 4) Erros de arredondamento - Quer os clculos sejam efectuados manualmente quer obtidos por computador somos conduzidos a utilizar uma aritmtica de preciso finita, ou seja, apenas podemos ter em considerao um nmero finito de dgitos. O erro devido a desprezar os outros e arredondar o nmero designado por erro de arredondamento. Os erros inerentes ao modelo e aos dados so erros iniciais do problema, exteriores ao processo de clculo; os erros de truncatura e de arredondamento ocorrem no processo de clculo duma soluo numrica no computador. pois a anlise destes dois ltimos, com especial relevncia para os erros de arredondamento, que constitui o objectivo principal deste captulo.

3. Erros de arredondamento e aritmtica computacionalOs nmeros so a entidade fundamental dos mtodos numricos. O primeiro tipo de erros que cometemos nos clculos surge do processo de representao dos nmeros. O conjunto dos nmeros reais infinito, contnuo e ilimitado. Pelo contrrio, o conjunto dos nmeros que se podem representar exactamente em computador, pelo facto destes utilizarem um nmero limitado de dgitos para aquela representao, finito, discreto e limitado. Isto significa que a utilizao de computadores na resoluo de problemas numricos origina o aparecimento de um certo tipo de erros, que no surgiriam se fosse possvel usar aritmtica exacta. Por outras palavras, quando usamos aritmtica computacional estamos constantemente a cometer erros de arredondamento na representao dos resultados das sucessivas operaes realizadas. Para compreender a natureza dos erros de arredondamento, necessrio saber de que forma os nmeros so armazenados e como so efectuadas as operaes em computador. Assim, a primeira parte do captulo descreve as principais caractersticas dos sistemas de numerao de computadores e as consequncias da sua utilizao em clculo numrico.

4

Captulo 1


3.1. Representao de nmeros inteiros Sistemas de numerao O sistema de numerao que utilizamos diariamente designado sistema decimal. Assim, por exemplo, o nmero inteiro 352 representado como

352 = 3 102 + 5 101 + 2 100em que 10 a base deste sistema. A base de um sistema de nmeros definida como sendo o nmero de diferentes dgitos que podem ser utilizados em cada posio de um nmero. Utilizando o smbolo di para representar o dgito decimal colocado na posio i a contar da direita, um inteiro positivo N com n+1 dgitos possui a seguinte representao decimal:N = ( d n d n 1 ... d 1 d 0 )10 = d n 10n + d n -1 10n 1 + ... + d 1 101 + d 0 100

(1)

com 0di9, i=0,1,...,n. No existe qualquer razo intrnseca para se usar a base 10. Outras bases foram utilizadas por diferentes civilizaes, tais como 5 (ndios Norte Americanos e Esquims), 20 (Celtas), 60 (na Mesopotmia). O sistema binrio adquiriu uma importncia especial com o advento dos computadores digitais. Os computadores lem impulsos enviados pelas suas componentes electrnicas. O estado de um impulso "on" ou "off". ento conveniente representar os nmeros em computador no sistema binrio. Sendo a base 2, os coeficientes inteiros podem tomar os valores 0 ou 1. No entanto, se olharmos para as linguagens das mquinas, rapidamente nos apercebemos que outros sistemas de nmeros, mltiplos de dois, particularmente os sistemas octal (base 8) e hexadecimal (base 16), so utilizados. A base de um nmero representada por um ndice: por exemplo (3.224)10 3.224 na base 10 (decimal), (1001.11)2 1001.11 na base 2 (binrio), e (18C7.90)16 18C7.90 na base 16 (hexadecimal). O sistema hexadecimal utiliza os 16 dgitos: 0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F em que os caracteres A,B,...,F representam 10,11,...,15, respectivamente. A generalizao de (1) a uma base b diferente de 10 imediata:N = ( d n d n 1 ... d 1 d 0 )b = d n b n + d n 1 b n 1 + ... + d 1 b1 + d 0 b0

(2)

com 0dib-1, i=0,1,...,n.

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Captulo 1


Torna-se frequentemente necessrio conhecer o equivalente, num dado sistema de numerao, de um nmero expresso noutro sistema diferente. A expresso (2) til para efectuar a converso de um nmero inteiro de qualquer base b para a base 10, conforme se ilustra no exemplo que se segue. Exemplo 1.3: Converter (7D3)16 base 10

(7D3)16 = 7 162 + 13 161 + 3 160 = 1792 + 208 + 3 = 2003

Consideremos agora o problema inverso, ou seja, pretendermos obter a representao na base b de um nmero N cuja representao decimal dada. fcil verificar que se dividirmos N, na forma (2), por b o quociente dnbn-1 + dn-1bn-2 + ... + d1 e o resto d0. Determina-se assim o dgito de menor ordem, d0, da representao de N na base b. Dividindo o quociente encontrado por b, obtm-se como resto o dgito d1, e assim sucessivamente. O quociente da ensima e ltima diviso dn. Exemplo 1.4: Converter 2003 base hexadecimal2003 040 083 03 |16 125 |16 13 7

Logo, (2003)10 = (7D3)16 Representao interna de inteiros

Passamos agora a expor de uma forma sinttica a forma como os nmeros inteiros so representados internamente num computador. Os computadores utilizam, para armazenarinformao, dispositivos fsicos que podem assumir dois estados distintos. Esta caracterstica privilegia a base 2 ou base binria para representao de nmeros nestas mquinas.

Os computadores armazenam nmeros utilizando o que pode imaginar-se como "janelas de base b" cada uma capaz de armazenar os dgitos de base b (0, 1,..., b-1), em que a aritmtica de base b pode ser 2 (binrio), 8 (octal) ou 16 (hexadecimal). Uma janela de base 2 designa-se por bit. Um "bit" um acrnimo de "binary digit" e representa o elemento de memria bsico que assume os dois estados que se associam aos dgitos 0 e 1. Os computadores dividem a

6

Captulo 1


memria em cadeias de bits designadas palavras. O nmero de bits por palavra o tamanho da palavra do computador. Os tamanhos de palavra variam com o tipo de computador (por exemplo, 16 bits para um IBM XT ou AT, 32 bits para um IBM PC ou VAX 11, 60 bits para um CYBER). O nmero de bits disponveis para a representao de nmeros inteiros determina qual o maior inteiro representvel. As formas como os bits so utilizados para armazenar valores depende do computador. No entanto, sendo finito e fixo para cada computador o nmero de bits utilizados, apenas inteiros num intervalo [-M,N] (M,N>0) faro parte do sistema de numerao de um computador. No caso, por exemplo, do IBM PC (FORTRAN), uma varivel declarada como INTEGER*2 utiliza 2 bytes (ou seja, 16 bits, que corresponde neste caso a meia palavra) para representar um inteiro. O primeiro bit armazena o sinal: positivo se 0, ou negativo se 1. Os restantes 15 bits so utilizados para armazenar os di's. Assim o maior inteiro positivo representvel : 0111 1111 1111 1111 sendo o correspondente valor decimal(1)14

2 i = 215 1 = 32768 1 = 32767i =0

A representao de um nmero inteiro negativo poder-se-ia efectuar utilizando os mesmos dgitos do correspondente nmero inteiro positivo excepto o primeiro bit que passaria a ser 1. No entanto, esta representao conduziria a que o inteiro zero fosse representado por duas configuraes de bits distintas (+0 e -0) o que constituiria um inconveniente. Assim, e porque facilita tambm as operaes, geralmente utilizada outra tcnica designada por "complemento para 2". Por exemplo, o complemento para dois de (-32767)10 : 1000 0000 0000 0001 em que os dgitos binrios foram obtidos substituindo cada bit 0 por 1 e cada 1 por 0 do inteiro positivo 32767 e somando 1. Esta converso extremamente fcil de efectuar em computador. Nesta forma, o valor decimal determinado supondo em primeiro lugar que o conjunto dos 16 bits expressa um nmero positivo. Se este nmero for menor que 215, ou seja 32768, ento o(1)n 1 i =0

a + a b + a b 2 + ... + a b n 1 = a

bn 1 , para qualquer b 1 . Para o caso particular: a=1 e b=2 obtm-se: b 1

2i = 2 n 1 . 7

Captulo 1


nmero interpretado como um inteiro positivo. No caso de ser maior ou igual, convertido num inteiro negativo por subtraco de 216. No exemplo anterior, o decimal equivalente a (1000000000000001)2 215+1=32769 > 32768, pelo que, de acordo com a regra anterior, representar o inteiro negativo: 32769 - 65536 = -32767 O menor inteiro negativo em valor absoluto ser representado como (1111 1111 1111 1111)2 que corresponde a -1 em decimal. Um INTEGER*4 utiliza 4 bytes (ou seja, uma palavra de 32 bits) para representar um inteiro. Neste caso, o maior inteiro positivo representvel (Fig. 2) ser o decimal30

2 i = 231 1= 2147483648 1= 2147483647i=0

Conjunto de inteiros representveisOverflow Overflow

...N min.-2 -1

...01 2

N max.

=

=-231

= - 2.147.483.648

231- 1 = 2.147.483.647

Figura 2 - Gama de inteiros representveis numa palavra de 32 bits. Em qualquer dos casos, importa sobretudo sublinhar que todos os computadores esto limitados na sua capacidade de representao de nmeros inteiros. Todos os inteiros entre zero e o valor mximo possuem representao exacta e tambm so exactas as operaes aritmticas cujos operandos e resultados sejam inteiros nesta gama. Inteiros fora do intervalo [M,N] no podero ser representados, e a tentativa de o fazer conduz conhecida condio de `overflow`. Uma limitao mais severa ocorre no armazenamento e manipulao de nmeros reais como veremos em seguida.

8

Captulo 1


3.2. Representao de nmeros reaisEste pargrafo apresenta a forma como os dispositivos digitais utilizam uma variante da notao cientfica (representao de ponto flutuante) para armazenar nmeros reais de uma forma eficaz e examina os erros introduzidos no processo. A representao de um nmero real X na base b efectuada como:X = (d n d n 1 ... d1 d 0 . d 1 d 2 ... d -k )b = d n bn + d n 1 bn 1 + ... + d1 b1 + d 0 b0 + d 1 b1 + d 2 b2 + ... + d -k b-k

(3)

na qual, o conjunto de dgitos ( d n d n1 , ... , d1 d 0 )b constituem a parte inteira e os dgitos

( d 1 d 2 ...d -k )b a parte fraccionria da representao do nmero X na base b.Vamos ver como se efectua, no caso de um nmero real, a mudana de base. A converso da base b para a base 10 efectuada, analogamente ao caso anterior, atravs da aplicao directa de (3). Exemplo 1.5: Converter (1.101)2 base 10

(1.101)2 = 1 20 + 1 21 + 0 22 + 1 23 = 1 + 0.5 + 0 + 0.125 = 1.625Suponhamos agora que pretendemos obter a representao na base b de um nmero decimal. Como a converso da parte inteira efectuada da mesma forma que vimos anteriormente, vamos admitir, para simplificar, que X um nmero fraccionrio puro, ou seja, sem parte inteira. Assim,

X = (d -1 d -2 ... d -k )b = d -1 b1 + d -2 b2 + ...+ d -k bkSe multiplicarmos X por b, verificamos que d-1 a parte inteira do resultado, enquanto b 1 + ... + d - k b k +1 a correspondente parte fraccionria. Multiplicando esta ltima

d -2

novamente por b e tomando a parte inteira do resultado obtemos d-2, e assim sucessivamente. Exemplo 1.6: Converter 0.625 base 20.625 0.250 0.500

2 = 1.250 o primeiro dgito 1 2 = 0.500 o segundo dgito 0 2 = 1.000 o terceiro dgito 1

Assim, (0.625)10 = (.101)2

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Captulo 1


Exemplo 1.7: Converter 0.1 base 20.1 0.2 0.4 0.8 0.6 0.2

2 = 0.2 o primeiro dgito 0 2 = 0.4 o segundo dgito 0 2 = 0.8 o terceiro dgito 0 2 = 1.6 o quarto dgito 1 2 = 1.2 o quinto dgito 1 2 = 0.4 o sexto dgito 0

Donde, (0.1)10 = (.000110011 ...)2 Representao de ponto flutuante normalizada Para resolver as dificuldades inerentes representao de nmeros muito grandes ou muito pequenos, conveniente utilizar a notao cientfica dos nmeros, que consiste em representar cada nmero X na forma:X = M bE

na qual, M um nmero real no negativo denominado mantissa, b2 um inteiro positivo denominado base e E um inteiro denominado expoente. Fixada a base b, esta representao no nica pois, por exemplo, X=0.1 pode ser escrito na base 10 de vrias formas:X = 0.1 = 0.1 100 = 1.0 101 = 0.01 101 = ...

Para resolver esta ambiguidade a mantissa dever satisfazer as seguintes condies:se X = 0 M = 0 1 b M < 1 se X 0

Diz-se, neste caso, que se trata de uma representao normalizada. Nesta representao o primeiro dgito da mantissa de um nmero diferente de zero sempre diferente de 0. obvio que a notao cientfica, tal como anteriormente apresentada, no pode ser implementada em computador, pois, para representar todos os nmeros reais, a mantissa e o expoente exigiriam um nmero infinito de dgitos. A notao cientfica ento modificada de forma a se utilizar um nmero finito de dgitos (t) para a mantissa e um nmero finito de dgitos (p) para o expoente. Obtm-se desta forma o denominado sistema de numerao de ponto flutuante normalizado caracterizado por quatro parmetros: a base (b), que um inteiro 2, o nmero de dgitos da mantissa (t) e os valores mnimo e mximo do expoente

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Captulo 1


(Emin

e

Emax,

respectivamente).

Este

sistema,

habitualmente

representado

por

F = F (b , t , E min , E max ) , constitudo pelo subconjunto dos nmeros racionais da forma:

X = M b

E

1 1 M 1 t em que : b b E | E | E max min

acrescido de uma representao especial para X = 0 . Supondo b=2X = M 2E

na qual a mantissa normalizada M satisfaz1 M 0

esse valor L ser um limite superior (ou limite excedente) das razes reais de f(x)=0, ou seja, qualquer das razes reais i (i=1,2...,n) verifica a relao iL. Demonstrao: Considere-se, para simplificar e por ser o caso mais corrente, que a funo f(x) um polinmio de grau n. Atravs do polinmio de Taylor, em torno de L, obtm-se' pn ( x ) = pn ( L ) + pn ( L ) ( x L ) + ' pn' ( L) p ( n ) ( L) ( x L) 2 + ... + n ( x L )n 2! n!

Ora, de acordo com enunciado do mtodo de Newton,( pnk ) ( L ) 0 , k = 0,1,2,..., n - 1

e

( pnn ) ( L) = an n! > 0

pelo que,' pn ( x) = pn ( L ) + pn ( L ) ( x L ) + ' p n' ( L ) p( n) ( L) ( x L ) 2 + ... + n ( x L )n > 0 2! n!

j que a soma de parcelas no negativas, para qualquer x L . O limite inferior ou deficiente das razes reais de f(x)=0 um nmero l tal que qualquer que seja essa raiz, i, se tem li. Para determinar este valor basta construir o transformado de f(x) em (-x), ou seja, o polinmio f *(x)= f (-x). De facto, f *(x)= f (-x) tem razes simtricas de f(x). Ento, se o limite excedente das razes reais de f *(x) for L*, teremos para limite deficiente das razes reais de f (x)=0 o valor l = - L*.

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Captulo 2

Resoluo de equaes no-lineares

Exemplo 2.4: Calcular um intervalo onde se encontrem todas as razes da equao p 4 ( x ) x 4 4 x 3 3 x 2 + 13 x 4 = 0x =1 p 4 ( x ) = x 4 4 x 3 3 x 2 + 13 x 4 x=3 x=4 0 0 + + + + + + + +

.

' p 4 ( x ) = 4 x 3 12 x 2 6 x + 13 ' p 4' ( x ) = 12 x 2 24 x 6 ' p 4'' ( x ) = 24 x 24 IV p 4 ( x ) = 24 ( = 4 !)

L = 4 limite superior das razes de p4(x)=0 (neste caso, =4 uma raiz da equao).x =1 p 4 ( x ) = x 4 + 4 x 3 3 x 2 13 x 4' p 4 ( x ) = 4 x 3 + 12 x 2 6 x 13 ' p 4' ( x ) = 12 x 2 + 24 x 6 ' p 4'' ( x ) = 24 x + 24 IV p 4 ( x ) = 24 ( = 4 !)

x=2 + + + + +

+ + + +

L = 2 limite superior das razes de p4(-x)=0, o que implica que l = - 2 limite inferior das razes de p4(x)=0.

i [2 , 4]l=-2 -1 0 1 2 3 L=4

Para no se ter que efectuar, como no exemplo anterior, um processo por tentativas sucessivas, pode utilizar-se o seguinte resultado para obter uma estimativa (majorante) de L :

50

Captulo 2


Seja pn(x) um polinmio cujos coeficientes satisfazem as condies:

a n > 0 , a n1 0 , ... , a m+1 0 , a m < 0ou seja, am o primeiro coeficiente negativo do polinmio. Ento:

a L 1 + max k a k 0 , x

f '( x) = e

x

(1 + x )

= 0 x = 1 pois : e

Assim, como no intervalo [0,1] a derivada no se anula, pode concluir-se pelo Corolrio 1 do teorema de Rolle que apenas pode existir uma raiz. Por outro lado, como no intervalo [0,1] existe pelo menos uma raiz (T. de Bolzano) pode concluir-se que a raiz nica em [0,1], c.q.d.

52

Captulo 2


Mtodo de Rolle: Aplica-se ao caso particular de f(x) ser regular em [a,b], em particular, um polinmio, e em que seja possvel determinar as razes reais de f'(x)=0. Sejam elas, j ordenadas s1 < s 2 < s 3 < ... < s k Denominam-se nmeros de Rolle da equao f(x)=0, definida em I R , aos elementos do conjunto formado pelos pontos fronteira de I (limites inferio, l , e superior, L , das razes de f(x)=0 calculados pelo mtodo de Newton) e pelos zeros da derivada de f, ou seja l , s1 , s2 , s3 , ... , sk , L O mtodo de Rolle afirma que: uma vez ordenados de forma crescente, entre dois nmeros de Rolle consecutivos existe no mximo uma raiz real da equao. Demonstrao: De facto, atravs do Corolrio 2, sabe-se que entre dois zeros consecutivos da derivada h quanto muito um zero da funo. Por outro lado, entre o limite inferior e o primeiro zero da derivada tambm s pode existir um zero da funo (j que de acordo com o Corolrio 1 entre dois zeros da funo existe pelo menos um zero da derivada). O mesmo raciocnio pode ser aplicado entre o ltimo zero da derivada e o limite inferior. A existncia ou no de raiz em cada um dos intervalos, formados por dois nmeros de Rolle consecutivos, ser determinada pelos sinais da sucesso de Rolle: f ( l ) , f ( s1 ) , f ( s 2 ) , f ( s3 ) , ... , f ( s k ) , f ( L ) Se entre dois nmeros de Rolle consecutivos a funo f mudar de sinal existir uma raiz no intervalo; caso contrrio, isto , se a funo no mudar de sinal, no existir qualquer raiz no intervalo.

53

Captulo 2


Exemplo 2.7: Utilizar o mtodo de Rolle para efectuar a separao das razes da equao p 4 ( x ) x 4 4 x 3 3 x 2 + 13 x 4 = 0 do exemplo 2.4. Como foi verificado no Exemplo 2.4, =4 uma raiz da equao, pelo que p 4 ( x ) = ( x 4 ) p3 ( x ) Utilizando a regra de Ruffini

1 4 1obtm-se:

4 4 0

3 0 3

13 12 1

4 4 0

p 4 ( x ) = ( x 4 ) ( x 3 3 x + 1) 14 244 4 3 p3 ( x )

Aplique-se ento o mtodo de Rolle equao polinomial p 3 ( x ) = x 3 3 x + 1 = 0 .' p3 ( x ) = 0 3x2 3 = 0 x = 1

Ns de Rolle: 2 , 1 , 1 , 2

(verifique que x=L=2 limite superior de p 3 ( x ) = 0 ).

Sucesso de Rolle: f ( 2 ) = 1, f ( 1 ) = 1 , f (1) = 1 , f ( 2 ) = 3 1 ] 2 , 1 [ , 2 ] 1 , 1 [ , 3 ] 1 , 2 [

Na prtica, o clculo dos zeros da derivada pode ser to complicado quanto o clculo dos zeros da funo original. essa a dificuldade que surge frequentemente na aplicao do mtodo de Rolle. Nesses casos h que utilizar um mtodo alternativo, como o mtodo de Fourier.

54

Captulo 2


2.2.3 Mtodo de Fourier O mtodo aplica-se a equaes algbricas e transcendentes sempre que as respectivas funes sejam contnuas e admitam derivadas contnuas at uma certa ordem (por exemplo, n) com a derivada dessa ordem de sinal constante no intervalo [a,b] considerado. Sucesso de Fourier a sucesso:

f ( x ) , f ' ( x ) , f ' ' ( x ) , ... , fem que n o grau de f(x)=0.

()

( x)

com n

Diz-se que dois termos consecutivos da sucesso de Fourier fazem entre si uma permanncia para x=xo se so do mesmo sinal e fazem uma variao se so de sinais contrrios. Teorema de Fourier - O nmero de razes reais de f(x)=0 em [a,b] igual ao nmero de variaes perdidas pela sucesso de Fourier de f(x) quando se passa de a para b, ou um nmero inferior mas da mesma paridade. O mtodo de Fourier para o clculo do nmero de razes de f(x)=0 em [a,b] consiste em contar o nmero de variaes da sucesso de Fourier de f(x) no ponto a (seja esse nmero V(a)) e no ponto b (seja esse nmero V(b)). O numero de razes reais de f(x)=0 em [a,b] igual a: V(a) - V(b) ou um nmero inferior mas da mesma paridade, i.e. V(a) - V(b) - 2 K , KZo+ O objectivo prtico do mtodo ento tentar construir sub-intervalos [ak, bk], k=1,2,... nos quais se verifique V(ak)-V(bk) = 1.

55

Captulo 2


Exemplo 2.8: Utilizar o mtodo de Fourier para efectuar a separao das razes da equao p 3 ( x ) x 3 3 x 2 + 1 = 0 do exemplo 2.6.p3 ( x ) = x 3 3 x + 1' p3 ( x ) = 3 x 2 3 ' p 3' ( x ) = 6 x ' p 3'' ( x ) = 6 ( = 3!)

' ' ' Para : a = l = 2 p 3 ( 2 ), p 3 ( 2 ), p 3' ( 2 ), p 3'' ( 2 ) II II II II 1 , 9 , 12 , 6 14 4 14 4 1 24 2 3 2 3 4 3 V V V ' ' ' Para : b = L = 2 p 3 ( 2 ), p 3 ( 2 ), p 3' ( 2 ), p 3'' ( 2 ) II II II II 3 , 9 , 12 , 6 1 24 1 24 1 24 4 3 4 3 4 3 P P P

V(-2) = 3

V(2)=0

N de raizes em ] - 2 , 2 [ V(-2) - V(2) = 3 - 0 = 3 3 ou 1 raizes ( 3 2 k , k Z + ) 0' ' ' Para : x = 0 p 3 ( 0 ), p 3 ( 0 ), p 3' ( 0 ), p 3'' ( 0 ) II II II II 3 , 0 , 1 , 6 1 24 1 24 1 24 4 3 4 3 4 3 V V P

V(0)=2

N de raizes em ] - 2 , 0 [ V(-2) - V(0) = 3 - 2 = 1 1 raiz' ' ' Para : x = 1 p 3 (1), p 3 (1), p 3' (1), p 3'' (1) II II II II 0 , 6 , 6 1 , 1 24 1 24 1 24 4 3 4 3 4 3 V P P

V(1)=1

N de raizes em ]0 ,1[ V(0) - V(1) = 2 - 1 = 1 1 raiz N de raizes em ]1, 2 [ V(1) - V(2) = 1 - 0 = 1 1 raiz

56

Captulo 2


2.2.4 Regra de sinais de Descartes

Aplica-se no caso particular da funo ser um polinmio de grau n, Teorema de Descartes - O nmero de razes reais positivas de um polinmio, suposto ordenado, igual ao nmero de variaes de sinal dos seus coeficientes ou um nmero inferior da mesma paridade (o zero , para este efeito, considerado par).Demonstrao: O teorema de Descartes corresponde aplicao do teorema de Fourier ao

intervalo [ 0 , + [ . De facto :V (0) V ( ) = V (0) j que : V ( ) = V ( L ) = 0

Por outro lado, como p ( k ) ( 0 ) = k ! a k , o nmero de variaes da sucesso de Fourier parax=0, V(0), igual ao numero de variaes de sinal dos coeficientes do polinmio.

E quanto ao nmero de razes negativas? Atendendo a que ele igual ao nmero de razes reais positivas do seu transformado em (-x), justifica-se o seguinte enunciado: O nmero de razes negativas de um polinmio igual ao nmero de variaes de sinal dos coeficientes do seu transformado em (-x) ou a um nmero inferior da mesma paridade. No caso particular do polinmio ser completo o mtodo de Descartes pode enunciar-se: " O nmero de razes reais positivas igual ao nmero de variaes de sinal dos seus coeficientes ou um nmero inferior da mesma paridade, e o nmero de razes negativas ser igual ao nmero de permanncias de sinal dos seus coeficientes ou um nmero inferior da mesma paridade (o zero , para este efeito, considerado par)."

Exemplo 2.9: Utilizar a regra de sinais de Descartes para a contagem das razes

positivas e negativas da equao x 4 4 x 3 3 x 2 + 13 x 4 = 0 do exemplo 2.4. Como o polinmio completo: n de variaes de sinal de f(x)= 3 3 ou 1 razes positivas n de permanncias de sinal de f(x)= 1 1 raiz negativa

57

Captulo 2


3. Mtodos iterativos para a determinao de razes3.1 Introduo

Localizada a raiz que se pretende determinar, ou seja, encontrado um intervalo [a,b] que contenha essa e apenas essa raiz, pretende-se agora, atravs de um mtodo iterativo, calcular o valor dessa raiz com uma determinada preciso. Os mtodos para resolver este problema podem ser classificados em dois grandes grupos. Os mtodos de intervalo aberto, para os quais partida no estritamente necessrio definir um intervalo que contenha a raiz, j que a sua filosofia se baseia no conceito de aproximao inicial. O processo iterativo pode ser iniciado, no caso mais simples, com uma nica aproximao raiz (mtodos iterativos dependentes de um s ponto). No entanto, a convergncia dos mtodos deste grupo depende dos valores iniciais atribudos na primeira iterao, razo pela qual ter obtido previamente o intervalo onde se encontra a raiz constitui uma ajuda preciosa na seleco dos valores que iro inicializar o processo. Como exemplos deste tipo de mtodos tem-se o mtodo do ponto fixo, o de Newton-Raphson e o da secante. O segundo grupo engloba os mtodos de intervalo fechado (tambm designados como de encaixe ou mtodos que enquadram a raiz) como so os mtodos da bisseco e da falsa posio. So caracterizados por definirem, em cada iterao, um intervalo que contm a raiz e construir, para a iterao seguinte, outro intervalo encaixado (includo) neste e que continue a conter a raiz. Os intervalos, como aparecem encaixados uns nos outros, tero amplitudes sucessivamente menores.

3.2 Mtodos iterativos dependentes de um s ponto 3.2.1 Mtodo do ponto fixo

sempre possvel transformar algebricamente de inmeras (infinitas) formas a equao f(x)=0 numa outra equao equivalente do tipox = g ( x)

(5)

Uma soluo de (5) dita um ponto fixo de g, ou seja, um ponto fixo de g se e s se = g ( ) (o ponto permanece invariante sob a transformao g). claro que se um ponto

fixo de g ento ser zero de f e vice-versa, j que a equao (5) equivalente a f(x)=0.

58

Captulo 2


Geometricamente tem-se a situao representada na Fig. 8.y

y=x

y=g(x)

g ()

ponto fixo de g

x

Figura 8 Ilustrao grfica de um ponto fixo da funo g.

A equao (5) tem a mesma soluo que f(x)=0, pelo que: = g ( )

(6)

Teorema (existncia de um ponto fixo): Seja I=[a,b] um intervalo e g uma funo

satisfazendo: i) g continua em I ; e ii) g I Ento existe pelo menos um I tal que g ( ) = , ou seja, g contm pelo menos um ponto fixo no intervalo I .Demonstrao: A condio g I significa que: a g ( x ) b para x I , ou seja, o grfico

de g est contido no quadrado (amarelo) da Fig. 9. Intuitivamente verifica-se que para ir de A a B o grfico de g tem de interceptar a recta y=x pelo menos uma vez. Matematicamente, podemos ter as duas seguintes situaes: No caso de g(a)=a ou g(b)=b ter-se- encontrado um ponto fixo de g ; Excluindo este caso trivial, ter que verificar-se que g ( a ) > a e g (b ) < b , ou seja,g ( a ) a > 0 e g (b ) b < 0 . A funo h ( x ) = g ( x ) x ter ento sinais contrrios em

a e b. Como h(x) continua, pelo teorema de Bolzano, existe pelo menos um ponto [ a , b ] tal que h ( x ) = 0 , ou seja, g ( ) = . Logo, ponto fixo de g.

59

Captulo 2


y y=xb g() a ay=g(x)

A

B

b

x

Figura 9 Ilustrao grfica do teorema da existncia do ponto fixo.

Dada uma aproximao inicial x0 , a igualdade (5) sugere o processo iterativo

xk = g ( xk 1 ) ,

k = 1, 2, ...

(7)

denominado iterao de ponto fixo. O mtodo do ponto fixo um mtodo iterativo a um passo (dependente de apenas um ponto). A Fig. 10 ilustra graficamente trs iteraes deste processo iterativo.y y=x g(x0) g() y=g(x) y g() g(x0) y=g(x)

y=x

x 2 x1(a)

x0

x(b)

x 2 x1 x0

x

Figura 10 - Mtodo do ponto fixo: (a) convergente; (b) divergente.

Como foi referido, a equao x=g(x) pode ser definida de inmeros modos a partir def(x)=0. A forma geral de g(x) :g ( x) = x c( x) f ( x)

(8)

na qual c(x) uma funo contnua, no nula em [a,b]. Para diferentes, mas apropriadas,

60

Captulo 2


funes c(x) teremos diferentes funes de iterao g(x) e diferentes mtodos iterativos. As perguntas bvias neste momento so: Como encontrar uma funo g(x) adequada ? Como saber se o mtodo convergente ? Com que rapidez converge ?Vamos comear por responder a estas questes atravs da anlise dos exemplos que se seguem.

Exemplo 2.10: Dada a equao: f ( x) = x 3 7 x 6 = 0 , verifique que as funes g(x)

abaixo listadas podem ser utilizadas como funes de iterao do mtodo do ponto fixo: (a) g1 ( x) =7x+6 x3 6 2 x3 + 6 ; (b) g 2 ( x) = 2 ; (c) g 3 ( x) = 2 7 x 3x 7

A forma de obter as duas primeiras imediata: no primeiro caso, h( x) = 1 / 7 ; no segundo,h( x ) = 1 / x 2 .

Em

relao

a

(c),

embora

seja

fcil

comprovar

ser

correcta

( x = g ( x) f ( x) = 0 ), a forma como foi obtida ser melhor compreendida posteriormente.

Exemplo 2.11: A equao utilizada no exemplo anterior pode escrever-se na forma

equivalente x 3 7 x 6 = ( x + 1) ( x + 2) ( x 3) , pelo que ter trs razes reais 1 = 2 , 2 = 1 e 3 = 3 . Efectuar o processo iterativo, utilizando o mtodo do ponto fixo e as trs funes de iterao ( g1 , g 2 e g3 ), para determinar valores aproximados das duas razes negativas 1 = 2 e 2 = 1 .

O processo iterativo foi iniciado com x0 = 2.2 (para a raiz 1 = 2 ) e x0 = 1.1 (no caso da raiz 2 = 1 ). Os Quadros 2.1 e 2.2 apresentam os resultados daquele processo. As condies de paragem utilizadas foram: i) xi+1 - xi 10-5 (convergncia) (divergncia)

ii) xi+1 > 105

iii) Nmero mximo de iteraes = 20

61

Captulo 2


Exemplo 2.11 (continuao): g(x) k0 1 2 3 4 5 6 7 8 9g1 ( x ) = x3 6 7

g 2 ( x) =

7x+ 6 x2

g 3 ( x) =

2 x3 + 6 3 x2 7

-2.20000 -2.37829 -2.77888 -3.92271 -9.48022 -12.25766 -2.6 E+5

-2.20000 -1.94215 -2.01356 -1.99656 -2.00086 -1.99979 -2.00005 -1.99999 -2.00000 -2.00000

-2.20000 -2.03404 -2.00130 -2.00000 -2.00000

Quadro 2.1 - Resultados do processo iterativo para a raiz 1 = 2 . g(x) k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12g1 ( x ) = x3 6 7

g 2 ( x) =

7 x+ 6 x2

g 3 ( x) =

2 x3 + 6 3 x2 7

-1.10000 -1.04729 -1.02124 -1.00930 -1.00402 -1.00173 -1.00074 -1.00032 -1.00014 -1.00006 -1.00003 -1.00001 -1.00000

-1.10000 -1.40496 -1.94270 -2.01344 -1.99659 -2.00085 -1.99979 -2.00005 -1.99999 -2.00000 -2.00000

-1.10000 -0.99050 -0.99993 -1.00000

Quadro 2.2 - Resultados do processo iterativo para a raiz 2 = 1 .

Os resultados permitem concluir que as trs funes de iterao no so igualmente bem sucedidas, originando processos iterativos com distintos comportamentos. Ao usar g 3 ( x ) os processos so convergentes tanto para 1 como para 2 . A funo g1 ( x ) d origem a um processo divergente para 1 , embora permita calcular 2 . Pelo contrrio, a funog 2 ( x ) d origem a um processo convergente para a raiz

1 , e no permite calcular 2 .

62

Captulo 2


Uma vez que h grande liberdade na escolha da funo de iterao, importante conhecer algum tipo de critrio que permita avaliar se uma dada funo g(x) gerar ou no uma sucesso convergente para a soluo pretendida. A explicao dos resultados anteriores dada pelo seguinte teorema:Teorema da contraco ou do ponto fixo: se existir um intervalo fechado I,I = [ a , b ] e uma funo g tal que:

i) x I a g ( x ) b ii) g diferencivel e | g ( x ) | < L < 1 para todo x I ento existe um nico ponto fixo em I, e a sucesso gerada por xk = g ( xk 1 ) converge para qualquer que seja a escolha do valor inicial x0 em I.Demonstrao: A existncia de pelo menos um ponto fixo j foi provada. Para mostrar a sua unicidade, suponha-se que existiam em I dois pontos fixos, 1 e 2 , distintos. Por definio,

ter-se-ia: g (1 ) = 1 e g ( 2 ) = 2 . Logo, g (1 ) g ( 2 ) = 1 2 . Por outro lado, utilizando o teorema do valor mdio diferencial de Lagrange,

g (1 ) g ( 2 ) = g ' ( ) (1 2 ) .Assim,

1 2 max g ' ( x) 1 2 L 1 2x[ a ,b ]

Como de acordo com a condio ii) 0 < L < 1 , a hiptese 1 2 conduz ao absurdo 1 2 < 1 2 , donde se conclui da unicidade do ponto fixo. Para demonstrar a convergncia, comea-se por notar que pode escrever-se,

xk = g ( xk 1 ) g ( ) L xk 1 Aplicando n vezes a desigualdade anterior, conclui-se que

xk Ln x0 Como Ln 0 quando n , pois de acordo com o teorema 0 < L < 1 , resulta que xk 0 , ou seja, xk . Fica assim demonstrado o teorema. A Figura 11 apresenta a interpretao grfica do mtodo para quatro casos distintos. As setas indicam a sequncia das iteraes. Observa-se que nas Figuras 11 (a) e (c) a sequncia {xk} convergente, e que g'(x) 0

y

y

y= f (x)

y= f (x)

x0

x2

x1

xx2

x1

x0

x

y

y= f (x)x0 x 1 x2

y

y= f (x)

x1

x

x2

x0

x

Figura 17 Extremo favorvel. Convergncia a partir do extremo x0=a e x0=b.

75

Captulo 2


Exemplo 2.15: Verificar, considerando a funo utilizada no exemplo 2.11x 3 7 x 6 = ( x + 1) ( x + 2) ( x 3) , se possvel garantir a convergncia do mtodo de

Newton-Raphson para a raiz = 1 para qualquer valor x 0 [ 1.5 , 0.5 ] . Verificao das condies globais de convergncia i) ii)f ( 1.5) f ( 0.5) = 1.125 ( 2.625) < 0

f ' ( x ) = 3 x 2 + 7 0 , x [ 1.5 , 0.5 ] , pois:

f ' ( x) = 0 x =

7 1.528 3

iii) iv)

f ' ' ( x ) = 6 x < 0 , x [ 1.5 , 0.5 ]f ( 1.5 ) 1.125 = = 4.5 > 1 no verifica ! f ' ( 1.5 ) 0.25 f ( 0 .5 ) 2.625 = 0.42 < 1 = 6.25 f ' ( 0.5 )

Concluso: no possvel garantir a convergncia do mtodo de Newton-Raphson para a raiz = 1 para qualquer valor x 0 [ 1.5 , 0.5 ] . Iniciando o processo iterativo comx 0 = 1.5 pode-se verificar o fenmeno de divergncia por overshoot.

Exemplo 2.16: Verificar, se no caso do exemplo anterior, iniciando o clculo pelo extremofavorvel possvel garantir a convergncia do mtodo de Newton-Raphson para a raiz = 1 .

Extremo favorvel:

f ( 0.5) f ' ' ( 0.5) = 2.625 ( 3 ) > 0

, logo x0 = b = 0.5

extremo favorvel. A nica condio de convergncia que no foi verificada no exemplo 2.15 era a referente convergncia a partir de x=a. Como sabemos, teoricamente, que a convergncia a partir do extremo favorvel montona para a raiz, apenas ir ocorrer, no caso presente, no ramo da curva esquerda da raiz. Logo possvel garantir a convergncia do mtodo de Newton-Raphson para a raiz = 1 a partir de x 0 = b = 0.5 .

76

Captulo 2


Estimativa do erro do mtodo de Newton-RaphsonPretende-se deduzir uma expresso que permita majorar o erro em cada iterao do processo iterativo, admitindo que conhecido um majorante do erro na iterao anterior. O desenvolvimento de f em srie de Taylor, em torno de xk-1, permite escreverf ( x ) = f ( x k 1 ) + ( x x k 1 ) f ' ( x k 1 ) + ( x x k 1 ) 2 f ' ' ( k ) 2

onde k int ( xk 1 , x) . Escrevendo o desenvolvimento anterior em x = , como f ( ) = 0 , obtm-se( x k 1 ) 2 f ( ) = f ( x k 1 ) + ( x k 1 ) f ' ( x k 1 ) + f ' ' ( k ) = 0 2

onde k int ( xk 1 , ) . Uma vez que f ' ( xk 1 ) 0 , podemos dividir a equao anterior por f ' ( xk 1 ) , i.e.,f ( xk 1 ) f ' ' ( k ) + ( xk 1 ) + ( xk 1 )2 = 0 f ' ( xk 1 ) 2 f ' ( xk 1 )

ou ainda,

= xk 1

f ( xk 1 ) f ' ' ( k ) ( xk 1 )2 2 f ' ( xk 1 ) f ' ( xk 1 )

Recordando a frmula de iterao do mtodo de Newton-Raphson, resulta

xk =

f ' ' ( k ) ( xk 1 )2 2 f ' ( xk 1 )

que mostra a relao entre o erro da iterao k ( xk ) e o erro na iterao anterior, k-1 ( xk 1 ). No segundo membro da equao anterior aparece o valor f ' ' ( k ) , o qual no se pode calcular, j que sabemos apenas que k um ponto situado no intervalo entrexk 1 e . No entanto, se calcularmos o mximo valor da 2 derivada naquele intervalo, ou

seja, M 2 = max f ' ' ( x) , poderemos escreverx[ a ,b ]

xk

M2 xk 1 2 f ' ( xk 1 )

2

Esta desigualdade pode ainda ser reforada se calcularmos o valor m1 = min f ' ( x) , pelox[ a ,b ]

que:

77

Captulo 2


xk ou ainda, mais simplificadamente xk M xk 1

M2 xk 1 2 m1

2

2

com M =

M2 2 m1

(12)

a qual tem a vantagem de no depender do valor particular de k.

Exemplo 2.16: Estimar os erros associados s iteradas obtidas em cada iterao doprocesso iterativo efectuado no exemplo 2.11, atravs do mtodo de Newton-Raphson para a raiz = 1 (supondo [ 1 .1 , 0 .9 ] ), que so resumidas no quadro seguinte:2 x3 + 6 3 x2 7

k 0 1 2 3

g 3 ( x) =

-1.10000 -0.99050 -0.99993 -1.00000

Como f ' ( x ) = 3 x 2 + 7 0 e f ' ' ( x ) = 6 x obtm-se:m1 = min f '( x) =

x[ a ,b ]

x[ 1.1, 0.9 ]

min

3 x 2 7 = 3.376 x = 6 .6

M 2 = max

x[ a ,b ]

f ''( x) =

x[ 1.1 , 0.9 ]

max

pelo que, aplicando (12), obtm-se:k = 1: k = 2: k = 3:

x1

6.6 0.9 ( 1.1) 2 3.37 6.6 x2 0.392 10 1 2 3.37 6.6 x3 0.150 10 2 2 3.37

2 2 2

0.392 10 1 0.150 10 2 0.221 10 5

Como se verifica, atravs dos resultados apresentados no quadro, a expresso (12) fornece estimativas conservadoras do erro.

78

Captulo 2


Aplicando sucessivamente (12); em particular para k=1, 2, , vem x1 M x2 M 3 x3 M 7 ... xk 1 M M ( x 0 )2k

( x 0 )

2 4 8

( x 0 ) ( x 0 )

Exemplo 2.17: Nas condies do exemplo 2.16, quantas iteraes sero necessrias paraobter, atravs do mtodo de Newton-Raphson, a raiz = 1 com erro no superior a0.5 10 6 ?

Aplicando a expresso anterior, pode obter-se: xk 2 3.37 6.6 0.2 6.6 2 3.372k

0.5 10 6

2 k 8.9 k 3.16

ou seja, ser necessrio efectuar 4 iteraes.

3.3 Mtodos iterativos de ponto mltiploConsidera-se agora um exemplo de uma funo de iterao de ponto mltiplo (mtodo da secante) funes que, em geral, reutilizam valores de funes j calculados em estgios anteriores do processo iterativo (conhecidos tambm como mtodos iterativos com memria). O objectivo em reutilizar informao anterior obter um mtodo mais eficiente no sentido que usualmente mais fcil e rpido aceder a um valor armazenado em memria da funo f(x) do que calcular, por exemplo, um valor de f ' (x).

3.3.1 Mtodo da secanteEste dos mtodos conhecidos para a soluo de f(x)=0 um dos mais antigos, mas havia sido preterido at que recentemente, com a utilizao dos computadores, adquiriu novamente grande importncia.

79

Captulo 2


Como vimos a grande desvantagem do mtodo de Newton-Raphson reside na necessidade do clculo de f ' (x). Em alguns casos f ' (x) pode no ser dada explicitamente ou requerer considervel esforo de clculo. Uma estimativa de f ' ( x k ) pode ser obtida pela expressof '( xk ) f ( x k ) f ( x k 1 ) x k x k 1

que corresponde, em termos grficos, a aproximar localmente a curva y=f(x) por uma sua secante (ver Fig. 18). Substituindo a expresso anterior na frmula iterativa x k +1 = x k de Newton-Raphson, obtm-se x k x k 1 x k +1 = x k f ( x k ) f ( x k ) f ( x k 1 ) , k = 1, 2 , ... f ( xk ) do mtodo f '( xk )

que a frmula iterativa do mtodo da secante. que requer apenas uma avaliao da funo em cada passo do processo iterativo. Por outro lado, necessitamos de partir sempre de duas aproximaes iniciais x0 e x1. Do ponto de vista geomtrico (Fig.18) a funo aproximada no intervalo de clculo por uma recta, cuja intercepo com o eixo Ox gera a nova aproximao. Assim, o ponto x2 definido pela recta que une (x0,y0) e (x1,y1) ; o ponto x3 pela recta que une (x1,y1) e (x2,y2), etc.

y

y= f (x)

x3

x2

x1

x0

x

Figura 18 - Ilustrao grfica do mtodo da secante.

80

Captulo 2


O mtodo das secantes utiliza claramente uma funo de iterao da forma (frmula de iterao de dois pontos)x k +1 = g ( x k , x k 1 ) , k = 1 ,2 ,...

Este mtodo necessita de duas aproximaes iniciais: x0 e x1, embora efectue apenas uma avaliao da funo em cada passo do processo iterativo (o mtodo de Newton-Raphson requer avaliao da funo e da derivada). A ordem de convergncia do mtodo dep= 1 (1 + 5 ) 1.618 2

O preo a pagar pela aproximao numrica da derivada que a convergncia deixa de ser quadrtica passando apenas a ser supra-linear. Tal facto permite concluir que para obter um valor da raiz com idntica preciso o mtodo das secantes requer, em geral, um maior nmero de iteraes que o mtodo de Newton.

3.4 Mtodos que enquadram a raizDiz-se que uma raiz est enquadrada no intervalo [a,b] se f(a) e f(b) tiverem sinais contrrios (f(a).f(b)0 so tolerncias pr-definidas, que podero ser distintas ou no.

Figura 22 - Mtodo da falsa posio para funes convexas.

Pode tambm demonstrar-se que no caso anterior (funes cncavas ou convexas no intervalo [a,b]) a ordem de convergncia do mtodo da falsa posio p=1, ou seja a

convergncia linear. Este o "preo" resultante da garantia de convergncia do mtodo emrelao ao mtodo da secante: menor rapidez de convergncia.

86

Captulo 2


Exemplo 2.18: Pretende-se determinar um valor aproximado, com 6 algarismossignificativos correctos, da raiz positiva da equao (Fig. 23):sen x x =0 2

Determinar o nmero de iteraes necessrias utilizando os mtodos de Newton, secantes e falsa posio.

Figura 23 - Grfico da equao sen x

x =0. 2

____________________________________________________________________________________________________________

M. de Newton-Raphson

M. das secantes

M. da falsa posiox0= /2 x1= x2=1.75960 x3=1.84420 x4=1.87701 x5=1.88895 x7=1.89469 x8=1.89521 x9=1.89540 x10=1.89546 x11=1.89548 x12=1.89549

x0= /2 x1=2.00000 x2=1.90100 x3=1.89551 x4=1.89549

x0= x1=2.09440 x2=1.91322 x3=1.89567 x4=1.89549

x0= /2 x1= x2=1.75960 x3=1.93200 x4=1.89242 x5=1.89543

Quadro 4 - Resultados do processo iterativo.

87

Captulo 2


Exerccios propostos:1. Considerar a funo polinomial: f ( x ) = 12 x + 76 x + 157 x + 35 a) Qual o nmero de razes reais positivas e negativas de f(x)=0. b) Efectuar analiticamente a separao dessas razes reais. Justificar. 2. Considere a equao polinomial: p(x) = 0, com5 4 3 3 2 x x +7 x 6x+ 2 2 a) Diga o que sabe sobre o nmero de razes reais (positivas e negativas) de f(x)=0. p( x) = x 5

3

2

b) Determine os sinais dos termos da sucesso de Fourier de f(x) para x=1 e, em face do resultado, justifique o que poder afirmar acerca do grau de multiplicidade de x=1. c) Utilizando a regra de Ruffini baixe o grau do polinmio. Em seguida faa a separao das restantes razes reais positivas para a equao polinomial resultante do abaixamento de grau do polinmio dado. 3. Considere a seguinte equao: 3 x 4 4 x3 12 x 2 + 1 = 0 a) Aplicando o teorema de Descartes o que pode dizer acerca do nmero de razes positivas b) Mostre, analiticamente, que qualquer raiz da equao raiz pertence a [ 2, 3 ] . c) Verifique, atravs do mtodo de Rolle, que a equao tem 4 razes reais. 4. Dada a seguinte funo: f ( x ) = 2.sin( x ) + x + 2 pretende-se determinar a raiz da equao f ( x ) = 0 pelo mtodo do ponto fixo. a) Localize graficamente a raiz da funo f ( x ) = 0 num intervalo de amplitude / 8. b) Determine uma funo de iterao adequada, verificando as condies de convergncia. c) Calcule um valor aproximado dessa raiz pelo processo iterativo do mtodo do ponto fixo, com um erro no superior a 1%. 5. Confirme que a equao x + ln x = 0 tem uma raiz real entre x=0.5 e x=0.6. Com oobjectivo de determinar um valor aproximado dessa raiz, atravs do mtodo iterativo simples, poderemos seleccionar, entre outras, as seguintes frmulas iterativas:a) xk = ln xk 1 ; b) xk = e x k 1 ; c) xk = xk 1 + e x k 1 2

e negativas da equao?

Diga qual delas escolheria para obter o mais eficientemente possvel o referido valor aproximado. Justifique.

88

Captulo 2


6. Considere a funo: f(x) = 1.5 x - tg(x) - 0.1 a) Separe as razes reais da equao f(x)=0 em ]-,/2[. b) Para o clculo aproximado da menor raiz real positiva da equao f(x)=0, por um processoiterativo, considere a funo:g ( x) = 0.1 + tg ( x) 1 .5

Verifique se esta funo pode ser utilizada como funo de iterao do processo, qualquer que seja a aproximao inicial, no intervalo que contm essa raiz. c) Utilizando o mtodo de Rolle, verifique se a equao x e x 1 = 0 tem uma e uma s raiz real positiva no intervalo [0,1].

7. Pretende-se determinar as razes da equao: x( x 2 3x + 2) = 0 , utilizando como funo de3x 2 x 3 2 a) Verifique que a convergncia para a raiz x=0 garantida qualquer que seja o valor inicial x0[-0.25,0.25]. b) Determine um intervalo para o qual esteja garantida a convergncia para a raiz x=2. c) Mostre que no existe nenhum intervalo para o qual possa ser garantida a convergncia para a raiz x=1. iterao: g ( x) =

d) Mostre que x=0 uma raiz tripla da equao: tan ( x) x e x = 0 . 8. a) Confirme que a equao e 4 x 2 = 0 tem uma raiz real entre x=4 e x=5 e mostre,analiticamente, porque no possvel determinar essa raiz atravs do mtodo iterativo simples 1 x utilizando como funo de iterao g ( x) = e 2 . 2 b) Tente obter uma outra funo de iterao, g(x), para a qual tenha a garantia de convergncia do mtodo para a raiz pretendida, e determine o seu valor com 3 algarismos significativos correctos.4 3 2 9. Considere a seguinte equao: x 1.3 x 4 x + 5.4 x + 0.4 = 0x

2

a) Mostre, analiticamente, que qualquer raiz da equao pertence a [ 2 , 2 ] . b) Verifique, atravs do mtodo de Rolle, que a equao tem 4 razes reais. c) Suponha que pretende calcular a menor raiz positiva. Efectue uma iterao atravs do mtodo de Newton-Raphson, partindo de x0=0.55. Explique a razo do resultado obtido.

89

Captulo 2


d) Partindo do extremo favorvel de um intervalo que garanta a convergncia para a raiz referida em c) efectue duas iteraes pelo mtodo de Newton-Raphson. Quantas casas decimais correctas poder garantir no resultado obtido? Justifique. 10. A funo f ( x ) = 0,1 x + x e 1 tem duas razes reais.2

x

a) Sabendo que uma das razes est localizada entre [ 4.5,1.5] , determine, atravs domtodo de Fourier, o intervalo de amplitude unitria onde se encontra essa raiz.

b) Determine, atravs do mtodo de Newton-Raphson, verificando previamente ascondies de convergncia, a raiz localizada em a.) com um erro no superior a 0 .5 10 2 .

11. Considere a funo: f ( x ) = x + 4 ln x 4 a) Separe graficamente as razes reais da equao f(x)=0. b) Calcule uma aproximao da menor raiz real utilizando o mtodo de Newton-Raphson apsduas iteraes. Verifique previamente as condies de convergncia.

2

12. Considere a funo: f ( x ) = e x sec x 1 a) Utilizando o mtodo mais adequado, faa a separao e contagem das razes reais daequao f(x)=0.

b) Utilizando o mtodo de Newton-Raphson determine, verificando as condies deconvergncia, o valor da menor raiz positiva da equao f(x)=0, com um erro no superior a 0.5*10-2.

13. Considere a seguinte equao: e

x

2

x 2x + 2 = 0

2

a) Localize graficamente (f1(x)=f2(x)) as razes em intervalos de amplitude unitria. b) Suponha que pretende calcular a menor raiz positiva da equao anterior. Utilizando omtodo de Newton-Raphson verifique (analiticamente) se possvel garantir a convergncia para qualquer que seja o valor inicial x0 pertencente ao intervalo determinado em a). Partindo de um valor de x0 que garanta a convergncia determine o valor de com duas casas decimais correctas.e x x2 c) Considere a funo de iterao g ( x ) = + 1 . Verifique analiticamente, atravs das 2 condies de convergncia do respectivo mtodo, que no possvel utilizar g(x) para garantir a convergncia para o intervalo considerado em a).2

90

Captulo 2


14. a) Utilizando o mtodo de Newton-Raphson determine, verificando previamente as 10 | cos x | condies de convergncia, o valor da maior raiz positiva da equao: = 1 com 2 xum erro no superior a 0.5*10-3. Previamente localize graficamente a raiz num intervalo de amplitude / 4 .

b) Verifique o que ocorre no processo de convergncia do mtodo de Newton-Raphson quandotoma x0=2.6 para aproximao inicial. Explique a razo de tal facto.

15. Suponha que pretende calcular com grande preciso a constante , sabendo apenas que I=[0,5] e que tan = 1 . Para o efeito: 4 x a) Utilizando um mtodo grfico, localize o zero da funo f ( x ) = tan 1 em I, e prove 4analiticamente que existe um nico zero no intervalo I0 = [3.0, 3.2].

b) Use o mtodo da bisseco para obter uma aproximao de , tal que | f( ) | < 0.01 . c) Prove que o mtodo de Newton converge para a raiz , quando se toma para aproximaoinicial x0 = .

d) Execute duas iteraes do mtodo de Newton para obter uma aproximao de . 16. Num dado circuito elctrico uma corrente oscilatria I(t) descrita pela equao: I (t ) = 10 e t sin (2 t ) , onde t o tempo em segundos. a) Utilizando um mtodo grfico, localize em intervalos de amplitude inferior a 0.5 segundosos valores positivos de t para os quais I=2.

b) Seja t= o menor valor positivo de t localizado na alnea anterior. Determine, atravs domtodo de Newton-Raphson, verificando previamente as condies de convergncia, o valor de com um erro no superior a 0.5*10-2.

17. Considere a funo: f ( x) = ln (4 x 2 ) x a) Utilizando o mtodo mais adequado, faa a separao e contagem das razes reais daequao f(x)=0.

b) Atravs do mtodo de Newton-Raphson, verificando as condies de convergncia, calculeo valor da maior raiz real da equao f(x)=0, com um erro no superior a 0.5*10-2.

91

Captulo 2


18. Considere a equao: x 2 | sin x | = 4.1 a) Utilizando o mtodo mais adequado, faa a separao e contagem das razes reais daequao f(x)=0.

b) Utilizando o mtodo de Newton-Raphson determine, verificando as condies deconvergncia, o valor da menor raiz real positiva da equao f(x)=0, com um erro no superior a 0.5*10-2.

19. Considere a funo definida por: f (x) = e x cos ec ( x) 1 a) Utilizando um mtodo grfico, localize as razes da equao f(x)=0. b) Determine, atravs do mtodo de Newton-Raphson, verificando previamente as condiesde convergncia, o valor da maior raiz inferior a com um erro no superior a 0.5*10-3. Comente e justifique as dificuldades que podero surgir no clculo da referida raiz.

20. Considere a equao polinomial: 0.006 x 4 0.014 x 3 0.22 x 2 + 0.32 x + 0.47 = 0 . a) Separe atravs do mtodo de Fourier, considerando intervalos de amplitude igual a duasunidades, as razes positivas da referida equao.

b) Determine, atravs do mtodo de Newton-Raphson, verificando previamente as condiesde convergncia, o valor aproximado da menor raiz localizada em a), com um erro no superior a 0.5*10-2.

21. A funo f ( x) = 0.1x 2 + x e x 1 tem duas razes reais. a) Sabendo que uma das razes est localizada entre [ 4.5, 1.5] , determine, atravs domtodo de Fourier, o intervalo de amplitude unitria onde se encontra essa raiz.

b) Determine, atravs do mtodo de Newton-Raphson, verificando previamente ascondies de convergncia, o valor aproximado da raiz localizada em a), com um erro no superior a 0.5*10-2.

22. Considere a seguinte equao: e 2 x x = 0 . Determine, em 2 aproximao,utilizando os mtodos da falsa posio e das secantes, a menor das suas razes reais.

x

2

23. Determine, pelo mtodo da bisseco, a menor raiz positiva de f ( x ) = x e x 2 , com umerro no superior a 0.005.

92

CAPTULO 3_______________________________________________________________________________________________________________

INTERPOLAO

1. Introduo. Interpolao e Aproximao.No Captulo 1 vimos que, quando se conhece o valor de uma funo e das suas derivadas numa determinada abcissa x0, possvel aproximar essa funo por uma srie de potncias para pontos numa vizinhana de x0.Neste captulo trataremos do problema de aproximar funes tambm para pontos de certo intervalo, pelo processo da interpolao que, como a srie de Taylor, tem importantes aplicaes em outros algoritmos da Anlise Numrica, como os da derivao e integrao numrica (Cap.5) e integrao de equaes diferenciais ordinrias (Cap.7).

Na Teoria da Aproximao, partindo dos seguintes dados: intervalo finito [a,b] no qual se pretende aproximar uma funo y=f(x) ; n+1 pontos distintos (xi,yi), i=0,1,...,n tais que xi[a,b], procura-se resolver um dos seguintes problemas:i) Conhecida a funo s nesses n+1 pontos, conhec-la aproximadamente em qualquer outro ponto x[a,b]; ii) Conhecida a expresso analtica de f(x), cuja forma analtica complicada ou de difcil clculo, aproxim-la por outra expresso mais simples com base num nmero finito de n+1 pontos.

Em qualquer dos dois casos o problema, em termos matemticos, anlogo: com base em pontos conhecidos, construir uma funo que "substitua" uma outra dentro de algum limite de preciso. Uma tal funo designa-se por funo aproximante e a sua forma , em geral, uma combinao de funes elementares. Consideraremos apenas o caso particular da combinao linear destas funes. De acordo com esta restrio, toda a funo aproximante g(x) ter por forma geral:

93

Captulo 3

Interpolao

g ( x ) = a i g i ( x ) = a 0 g 0 ( x ) + a 1 g 1 ( x ) + ... + a m g m ( x )i =0

m

(1)

onde gj(x) (j=0,..., m) so funes elementares preestabelecidas e aj (j=0,..., m) so parmetros a determinar. A escolha da funo g(x) que aproximar a funo f(x) depende de vrios factores tais como o conhecimento que se tem de f(x), a preciso com que se obtiveram os valores de xi e yi, a utilizao que se pretende dar a g(x) e o grau de preciso pretendido. intuitivo que quanto melhor for o conhecimento de f(x), ou do fenmeno que representa, maior a facilidade em escolher a forma apropriada para g(x). As classes de funes elementares mais correntemente utilizadas so: funes monmias {xj}, j=0,1,..., m cuja combinao linear, de acordo com (1) conduz a polinmios de grau m, pm(x)g ( x ) = p m ( x) = ai x i = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a m x mi =0 m

funes trigonomtricas {sen kx, cos kx}, k=0,1,..., m que conduzem a sries do tipo Fourier:g ( x ) = a 0 + ( a k cos kx + b k sin kx)k =1 m

funes exponenciais { e b i x }, j=0,1,..., mg ( x ) = a i e b i x = a 0 e b 0 x + a 1 e b 1 x + ... + a m e b m xi =0 m

Aps seleccionar a classe de funes {gi(x)} a utilizar, h que escolher o critrio para "ajustar" a funo aproximante, g(x), aos pontos. Esta segunda fase equivalente a estabelecer o mtodo de clculo dos coeficientes a0,a1,..,am. O critrio talvez mais natural consiste em impor que a funo aproximante g(x) tome nas abcissas x0,x1,...,xn dos pontos de base os valores y0,y1,...,yn da funo f(x). Neste caso, o problema passa a designar-se por interpolao. Ou seja, a interpolao um caso particular de aproximao em que o critrio de determinao dos parmetros consiste em fazer com que os pontos (xi,yi) (i=0,...,n) sejam tambm pontos de g(x), isto ,

g ( x i ) = f ( x i ) = y i , i = 0 ,1 ,... , n

(2)

94

Captulo 3

Interpolao

A Fig. 1 apresenta uma ilustrao do problema. A funo a cheio a que desejamos aproximar, conhecida ou no; a funo a tracejado a funo aproximante (funo interpoladora).

y f(xn) f(x1) f(x0) f(x2)y= g(x) y= f (x)

x0

x1

x2

...

xn

x

EXTRAPOLAO

INTERPOLAO

EXTRAPOLAO

Figura 1 - Exemplo de um problema de interpolao.O critrio definido pelas equaes (2) conduz ao sistema linear (n+1).(m+1) nas incgnitas a0,a1,..,am (n+1 pontos dados; m+1 coeficientes ou parmetros a determinar). a 0 g 0 ( x 0 ) + a 1 g 1 ( x 0 ) + ... + a m g m ( x 0 ) = y 0 a 0 g 0 ( x 1 ) + a 1 g 1 ( x 1 ) + ... + a m g m ( x 1 ) = y 1 M a g ( x ) + a g ( x ) + ... + a g ( x ) = y n m m n 1 1 n 0 0 n

(3)

Como a matriz deste sistema (n+1).(m+1) podemos considerar trs casos: 1) nm: no caso geral o problema impossvel, ou seja, no se pode fazer com que uma curva com m+1 parmetros a determinar passe por n+1 pontos dados. De facto, uma funo aproximante para este caso dever obedecer a outros critrios distintos de (2) e apenas poder ajustar g(x) para "passar" o mais prximo possvel dos pontos dados. Um exemplo o da

aproximao de mnimos quadrados a ser estudada no Cap. 4.

2. Interpolao polinomialUm caso particular de interpolao que requer um estudo pormenorizado, dada a sua grande gama de aplicaes, aquele em que a funo interpoladora um polinmio. O facto dos polinmios serem frequentemente utilizados como funes interpoladoras explicado, por um lado, por ser relativamente fcil operar sobre polinmios, quer nas operaes algbricas quer na diferenciao e integrao, operaes estas que conduzem a outros polinmios. Por outro lado, existe justificao terica para o facto dos polinmios produzirem boas aproximaes da funo f(x) que se pretende interpolar. Assim, qualquer funo contnua pode ser aproximada num dado intervalo fechado por um polinmio podendo o erro ser to pequeno quanto se queira. Este princpio traduzido pelo seguinte teorema:

Teorema de Aproximao de Weierstrass: se f(x) uma funo contnua nointervalo fechado [a,b], ento, dado um erro qualquer >0, existe algum polinmio pn(x) de grau n [n()], tal que:

| f ( x) p n ( x) | < , a x bO problema reside em saber se o polinmio pn(x) encontrado em cada caso o polinmio a que se refere o teorema de Weierstrass, pois geralmente desconhece-se a funo f(x). No entanto, resta a consolao de que de facto existe um tal polinmio.

96

Captulo 3

Interpolao

O problema da interpolao polinomial pode ento ser formulado da seguinte forma:

dado um conjunto de n+1 pontos (xi,yi), {i=0,1,...,n} que designaremos por suporte da interpolao, determinar um polinmio pn(x) de grau n tal que:

pn ( xi ) = f ( xi ) = yi , i = 0,1,...,nO polinmio pn(x) pode ser expresso sob vrias formas: srie de potncias

(4)

pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n forma de ordenadas (polinmio interpolador de Lagrange)

p n ( x) = y 0 l 0 ( x) + y1 l1 ( x) + ... + y n l n ( x) forma de diferenas (polinmio interpolador de Newton)p n ( x) = b0 + b1 ( x x0 ) + b2 ( x x0 ) ( x x1 ) + ... + bn ( x x0 ) ( x x1 ) ... ( x xn )

em que os coeficientes ak, lk(x) e bk (k=0,...,n) so determinados satisfazendo as restries (4).Dado um suporte para a interpolao, todas estas formas representam o mesmo polinmio interpolador. De facto, se escrevermos o polinmio sob a forma de srie de potncias, o sistema de equaes (3) escreve-se:

a0 + a1 x0 + ... + an x0n = y 0 a0 + a1 x1 + ... + an x1n = y1 ... n a0 + a1 xn + ... + an xn = y n

(5)

sendo este sistema um caso particular de (1), em que gj(x) (j=0,...,n) so as funes monmias: g 0( x) = 1 , g1( x) = x , ... , g n ( x) = x n e m=n. Pode demonstrar-se (Mrio Rosa,1992) que o determinante do sistema (5), conhecido como determinante de Vandermonde, nunca se anula se xixj , ij. Portanto, existe um nico conjunto de valores ai soluo do sistema. Por outras palavras, existe um nico polinmio pn(x) que reproduz exactamente f(x) nos pontos xi, i=0,1,...,n. Desta forma, para conhecer o polinmio pn(x), bastaria resolver o sistema de equaes (5) no sendo necessrio recorrer a frmulas interpoladoras. No entanto, por um lado, a resoluo daquele sistema de equaes, principalmente se o nmero de pontos for de dimenso

97

Captulo 3

Interpolao

aprecivel, no fcil de efectuar particularmente por mtodos manuais ( a soluo por computador pode no ser muito precisa, pois as potncias de xi nas equaes podem ser nmeros muito grandes e, nesse caso, os efeitos dos erros de arredondamento podem ser apreciveis). Por outro lado, e talvez mais importante, associado interpolao existe um erro {f(x)-pn(x)} (Fig. 1). Embora este erro no possa ser avaliado de uma forma exacta atravs das frmulas interpoladoras, frequentemente possvel calcular um limite superior para o mesmo ou, pelo menos, conseguir uma estimativa. Como lgico, quanto menor o erro maior o grau de confiana que se tem no polinmio de interpolao.

2.1 Clculo eficiente de um polinmio. Algoritmo de HornerO clculo eficiente do valor numrico de um polinmio,p n ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n

pode ser recomendvel se pn(x) tiver que ser calculado vrias vezes para diferentes valores dex. De facto, o respectivo clculo termo a termo ineficiente, especialmente para valores

elevados de n. Se cada termo xk for calculado atravs de k-1 multiplicaes de x, ento so necessrias

n(n+1)/2 multiplicaes e n somas para calcular pn(x). No entanto, utilizando a seguinteforma de pn(x),

p n ( x) = a0 + x(a1 + x (a 2 + ... + x(a n 1 + x a n)...))

(6)

apenas so necessrias n multiplicaes e n somas. O mtodo de clculo de um polinmio descrito por (6) designado por algoritmo de Horner. Como o clculo do parntesis mais interior o primeiro a ser efectuado, o procedimento de clculo para avaliar pn(x) pode ser melhor visualizado escrevendo o segundo membro da expresso (6) na forma inversa, isto ,

p n ( x ) = (( ... ( a n x + a n1 ) x + a n2 ) x + ... + a 1 ) x + a 0Por exemplo, para n=4p 4( x) = (((a4 x + a3 ) x + a2 ) x + a1 ) x + a0

98

Captulo 3

Interpolao

2.2 Polinmio interpolador de NewtonApresentam-se inicialmente os elementos que constituem a base para a compreenso da frmula de Newton, ou seja, a definio de diferenas divididas, correspondente notao e a sua relao com as derivadas da funo.

Diferenas DivididasConsidere-se a definio de derivada: d f ( x) f ( x) f ( x0 ) = f '( x0 ) = lim x x0 x x0 d x x0

Na aproximao do contnuo pelo discreto, utiliza-se a seguinte aproximao para a derivada,f ( x ) f ( x0 ) , x x0 x x0 na qual f [ x0 , x] designada por diferena finita dividida de 1 ordem em relao aos f [ x0 , x ] =

argumentos x, x0.A relao entre a diferena finita dividida de 1 ordem e a derivada de 1 ordem dada pelo seguinte teorema:

Teorema do valor mdio diferencial: seja f(x) uma funo contnua para axb e diferencivel para a 0

a) Determine o polinmio de grau 2 que interpola f(x) em pontos igualmente espaadospara x [ 2, 2 ] .

b) Calcule o valor aproximado do integral I =

2 2

f ( x) dx , usando a regra de Simpson

simples. Determine o erro do valor numrico calculado e represente-o graficamente.

c) Que espaamento h ter de usar na regra de Simpson composta ao aproximar I paragarantir um erro 0. Justifique.

9. A velocidade em queda livre de um paraquedista descrita pela equao:V (t ) =c t gm 1 e m c

na qual, V a velocidade em m/s, m a massa em kg, g a acelerao da gravidade (9.8 m/s2) e c uma constante habitualmente designada por coeficiente de resistncia. Considere m=68 Kg, c=12.5 Kg/s e que o paraquedista abre o paraquedas 10 segundos aps ter saltado do avio. Determine, por aplicao da regra de Simpson com erro inferior a 0.50 metros, um valor aproximado da distncia percorrida em queda livre pelo paraquedista at ao momento da abertura do paraquedas. Recorde que: d = V (t ) dt0 t

175

Captulo 5

Integrao numrica

10. Considerar a funo erf(x) definida por: erf(x) =

2

e0

x

-t 2

dt

a) Utilizar a regra de Simpson composta para obter o valor de erf(0.5) com 4 casasdecimais correctas. Comparar o resultado obtido com o valor erf(0.5)=0.520499876.

b) Utilizar a quadratura de Gauss-Legendre, com N=3, para determinar o valor de erf(0.5). 11. Considerar o integral: I = 0 log10 | x2 - 3 | x dx , cujo valor aproximado se pretendecalcular com erro no superior a 0.5*10-3.1

a) Calcular o nmero de pontos necessrio para garantir aquela preciso pela regra dostrapzios composta.

b) Considerando 4 intervalos calcular o valor aproximado de I pela regra de Simpson. c) Comparar o valor da alnea b) com o dado pela quadratura de Gauss considerando N=3.

12. Considere o integral definido: I =

e0

x

cos( x) dx

a) Determine qual o nmero de pontos a utilizar na frmula dos trapzios para se obter umvalor aproximado de I com erro absoluto inferior a 0.5*10-3. Justifique os clculos.

b) Sem calcular o valor exacto do integral I, diga, justificando se a aproximao obtida naalnea anterior por excesso ou por defeito.

c) Compare os resultados obtidos pelas seguintes tcnicas de integrao:i) Frmula dos Trapzios com n=4 ii) Frmula de Simpson com n=2 iii)Quadratura de Gauss com n=2 (3 pontos) com o valor exacto do integral: I= - (e +1)/2. e comente os mesmos.-

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CAPTULO 6_______________________________________________________________________________________________________________

RESOLUO DE SISTEMAS DE EQUAES

1. PrembuloNeste captulo abordam-se os mtodos de resoluo de sistemas de n equaes simultneas a n incgnitas xi , i =1, 2 , ... , n . No caso geral estes sistemas so representados por: f 1 ( x1 , x 2 , ..., x n ) = 0 f 2 ( x1 , x 2 , ..., x n ) = 0 M f n ( x1 , x 2 , ..., x n ) = 0

r sendo as funes f i ( x ) , i =1, 2 , ... , n , quaisquer. Inicialmente (parte 1) analisa-se o caso em

que estas funes so lineares, efectuando-se no final do captulo (parte 2) uma introduo resoluo de sistemas no lineares.

2. Sistemas de equaes lineares2.1. IntroduoUm sistema de m equaes lineares em n incgnitas x1 , x2 , ... , xn um conjunto de equaes do tipo: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2 M a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm

(1)

Os aij so os coeficientes das incgnitas e os bi so designados por termos independentes. Se todos os bi so nulos, ento (1) designado por sistema homogneo. Se pelo menos um dos bi for diferente de zero, ento (1) designado por sistema no homogneo.

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Captulo 6

Sistemas de equaes

A descrio dos sistemas lineares bastante simplificada com a introduo de matrizes, pois permite representar o sistema (1) de forma concisa atravs de uma simples equao vectorial:A x=b

em que a matriz dos coeficientes A a matriz m n , a11 a12 a a A = 21 22 ... am1 am 2 ... a1n x1 ... a2 n x , x = 2 ... M ... amn xn e b= b1 b2 M bm

x o vector das incgnitas e b o vector dos termos independentes. Por outro lado, a lgebra dematrizes proporciona as ideias e notao necessrias para descrever os diversos mtodos de resoluo de (1). Antes de desenvolvermos alguns algoritmos especficos, analisemos o que queremos dizer com uma soluo e as condies sob as quais a soluo existe (no adianta querer calcular uma soluo se ela no existir). Uma soluo de (1) qualquer conjunto de valores x1 , x2 , ... , xn que satisfazem simultaneamente as m equaes. Se o sistema (1) homogneo, ele possui pelo menos a soluo trivial: x1 = 0 , ... , xn = 0 . Os sistemas lineares podem ter uma soluo nica, mais que uma soluo ou nenhuma soluo. Vamos analisar as condies para que exista uma soluo e para que esta seja nica. O nosso interesse em solues nicas justificado por razes de ordem prtica. Em geral estamos interessados em resolver problemas relacionados com a modelao de processos contnuos para os quais se pretende obter um mximo, mnimo ou posio de equilbrio. Estas posies so em geral determinadas por uma combinao nica de acontecimentos. Uma condio necessria para um sistema de equaes linear ter uma soluo nica possuir pelo menos tantas equaes como incgnitas (mn). Um sistema que tenha mais incgnitas do que equaes (n>m) nunca ter soluo nica. Por outro lado, um sistema com mais equaes que incgnitas (m>n) pode ter uma soluo nica apenas para um valor particular de b. Por exemplo,=1 x1 x2 = 1 + =2 x1 x 2

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Captulo 6

Sistemas de equaes

tem a soluo nica x1 = 1 , x2 = 1 , enquanto que:=1 x1 x2 = 1 + =3 x1 x 2

no tem soluo. Em resumo para que um sistema linear A x = b tenha uma soluo nica para qualquer valor possvel de b necessrio que o nmero de equaes seja igual ao nmero de incgnitas (m=n). No entanto, esta condio no suficiente como se demonstra em seguida para o caso bidimensional. No caso de um sistema 2 2 cada equao representada por uma recta no plano xOy (x1Ox2). As coordenadas do ponto de interseco das duas rectas constituem a soluo do sistema. Ento existem 3 casos possveis: (a) No existe soluo no caso das rectas serem paralelas. (b) Existe uma soluo nica se as rectas se interceptam. (c) Nmero infinito de solues se as rectas so coincidentes. x + y =1 x + y = 0 x + y =1 x y = 0 x + y =1 2x+2 y=2

Caso (a)

Caso (b)

Caso (c)

Se o sistema for homogneo, o caso (a) no pode ocorrer, porque as duas rectas passam pela origem, cujas coordenadas (0,0) constituem a soluo trivial. De forma intuitiva, um sistema indeterminado (caso c) se uma das equaes impe uma restrio que j foi imposta pelas outras (equao linearmente dependente) e impossvel (caso a) se uma das equaes impe uma restrio que incompatvel com as impostas por outras. Em trs ou mais dimenses a representao grfica (planos, hiperplanos) no to evidente. No entanto fcil constatar que tanto no caso (a) como no caso (c) o determinante do sistema nulo. Em geral, quando det (A)=0 a matriz A (e o sistema) dita singular.

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Captulo 6

Sistemas de equaes

Ento um sistema linear de n equaes a n incgnitas A x = b tem uma soluo nica para qualquer b se e s se A no singular, ou seja, det (A)0.Dado o nosso interesse em sistemas que tenham soluo nica vamos a partir de agora restringir a nossa ateno a sistemas n n .

2.2 Soluo por inverso de matrizes. Regra de CramerComo vimos, o sistema de n equaes lineares no-homogneas a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2 M a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = bn ou simplesmenteA x=b

(2)

(3)

no caso do determinante da matriz A, det (A) =A, ser diferente de zero, tem uma soluo nica. De facto, supondo que det (A) 0 existe uma matriz inversa A-1. Multiplicando esquerda ambos os membros de (3) pela matriz inversa A-1, obtemosA 1 A x = A 1 b

ou,x = A 1 b

(4)

Vemos ento que a soluo de um sistema linear pode ser obtido calculando a inversa e formando o produto A 1 b . Infelizmente, quando n>2, o clculo directo da inversa A-1 computacionalmente mais lento que a resoluo do sistema linear A x = b por um mtodo directo.Utilizando (4), fcil obter frmulas para as incgnitas do sistema (3). De facto de (4) e da relao:1 A =

1 Adj (A) | A|

obtm-se:

x=

1 Adj (A) b | A|

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Sistemas de equaes

que permite deduzir a regra de Cramer:x1 = | A1 | |A | |A | , x 2 = 2 , ... , x n = n | A| | A| | A|

na qual Ak o determinante obtido de A substituindo em A a sua k-sima coluna pela coluna dos termos independentes (b1, ...,bn). Teoricamente, a soluo definida atravs da regra de Cramer pode ser utilizada para resolver sistemas n n no homogneos. No entanto, este mtodo de soluo requer a determinao de n+1 determinantes de ordem n, e resulta impraticvel para n maior que 3 ou 4. Na prtica, existem mtodos mais eficientes (apresentados nos prximos pargrafos) para a resoluo de grandes sistemas de equaes. Estes mtodos podem dividir-se em dois grupos: mtodos directos, que so algoritmos finitos, e mtodos iterativos, os quais permitem obter a soluo de um sistema com uma dada preciso mediante processos infinitos convergentes. Naturalmente nenhuma tcnica prtica pode realmente ser infinita. O que se pretende dizer que os mtodos directos em princpio (ou seja, desprezando os erros de arredondamento) produziro uma soluo exacta com um nmero finito de operaes aritmticas. Um mtodo iterativo, pelo contrrio, iria requerer em princpio um nmero infinito de operaes aritmticas para produzir uma soluo exacta. Em outros termos, um mtodo iterativo tem um erro de truncatura, enquanto um mtodo directo no tem. Aps estudarmos os exemplos mais comuns de ambos os mtodos iremos efectuar a sua comparao. Veremos que ambos so teis; ambos tm vantagens e limitaes.

2.3 Mtodos directosOs mtodos directos podem classificar-se em duas categorias: mtodos de eliminao e mtodos de factorizao. Um mtodo de eliminao consiste na anulao de certos coeficientes aij atravs de 3 operaes elementares: (a) reordenao de equaes (Ei Ej) ; (b) multiplicao de uma equao por um escalar (Ei Ei); (c) substituio duma equao pela sua soma algbrica com outra multiplicada por um escalar (Ei+Ej Ei). que embora modificando o aspecto inicial do sistema, o transformam num sistema equivalente

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Captulo 6

Sistemas de equaes

(dois sistemas de equaes lineares designam-se equivalentes se tm as mesmas solues) de soluo simples ou imediata.

2.3.1 Mtodo de eliminao de GaussIntroduo. Soluo de um sistema triangular. Uma matriz quadrada designa-se por triangular inferior se todos os elementos localizados acima da sua diagonal principal so nulos, triangular superior se todos os elementos localizados abaixo da sua diagonal principal so nulos, e simplesmente triangular se triangular superior ou inferior. Um sistema linear designa-se por triangular (superior, inferior) se a sua matriz de coeficientes triangular (superior, inferior). Os sistemas triangulares so muito fceis de resolver, como se ilustra com o seguinte exemplo.

Exemplo 6.1: Resolva os seguintes sistemas triangulares 3x3:(a) Sistema triangular inferior=8 2 x1 = 11 x1 + 3 x 2 2 x x +6 x =9 3 1 2

(b) Sistema triangular superior 2 x1 5 x 2 8 x3 = 7 x 2 + 3 x3 = 6 4 x3 = 4

Soluo (a)Resolvemos a 1 equao em ordem a x1, depois a 2 em ordem a x2 e finalmente a 3 em ordem a x3 como se segue:x1 = 8 11 + x1 11 + 4 9 2 x1 + x 2 9 8 + 5 = 4 ; x2 = = = 5 ; x3 = = =1 2 3 3 6 6

Soluo (b)Resolvemos a 3 equao em ordem a x3, depois a 2 em ordem a x2 e finalmente a 1 em ordem a x1 como se segue:x3 = 7 + 5 x 2 + 8 x3 7 + 15 8 4 6 3 x3 6 + 3 = 1 ; x2 = = = 3 ; x1 = = =0 1 4 1 2 2

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Sistemas de equaes

O mtodo de resoluo do exemplo 6.1(a) designa-se por substituio progressiva porque determina as incgnitas de qualquer sistema triangular inferior n n Lx=b (L=[lij] matriz triangular inferior), em ordem progressiva:x1 = b (l i1 x1 + l i 2 x2 + ... + l i,i1 xi1 ) b1 ; xi = i i = 2 ,...,n l11 l ii

sempre que li,i0 para qualquer i. De forma anloga, o mtodo de resoluo do exemplo 6.1(b) designa-se por substituio regressiva porque determina as incgnitas de qualquer sistema triangular superior n n Ux=c (U=[uij] matriz triangular superior), em ordem regressiva:xn = c (u i,i +1 xi +1 + ... + u i,n x n ) cn ; xi = i i = n 1,...,1 u nn u ii

sempre que uii0 para qualquer i.

Eliminao gaussiana bsica A estratgia para resolver um sistema linear geral A x = b pelo mtodo de Gauss consiste em reduzi-lo coluna por coluna a um sistema equivalente triangular superior Ux=c, e completar a sua soluo utilizando o anterior algoritmo de substituio regressiva. Neste pargrafo apresenta-se o algoritmo bsico, ou seja, sem efectuar pivotagem. O tema da pivotagem ser apresentado posteriormente. Considere-se o sistema genrico n n a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2 M a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = bn

Estgio 1 (1 eliminao)Comeamos as transformaes anulando os primeiros termos de todas as equaes abaixo da primeira, ou seja, eliminando de todas elas a incgnita x1. A isto chamamos 1 eliminao; o elemento a11, que por hiptese assumimos diferente de zero, designado pivot dessa eliminao, que realizada da seguinte forma:

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Sistemas de equaes

define-se um multiplicador:r2 = a 21 a11

e a primeira equao multiplicada por r2 subtrada da segunda equao para eliminar desta equao a incgnita x1. De facto,

(a 21 r 2 a11) x1 + (a22 r 2 a12) x2 + ... + (a 2 n r 2 a1,n) xn = b2 r 2 b1mas,a 21 r 2 a11 = a 21 a 21 a11 = 0 a11

ou seja, a nova segunda equao pode escrever-se,a 22 x2 + ... + a 2 n xn = b2(1) (1) (1)

com:a 2 j = a 2 j r 2 a1 j(1) (1) b2 = b2 r 2 b1

j = 2 ,..., n

de forma idntica, o primeiro termo de cada uma das equaes posteriores, i>2, eliminado definindo multiplicadoresri = ai1 , i = 3,..., n a11

e subtraindo a primeira equao multiplicada por ri da i-sima equao. No final da 1 eliminao o sistema escreve-se, a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 (1) a 22 x 2 + ... + a (21n) x n = b(21) M (1) 1 a n 2 x 2 + ... + a(nn) x n = b(n1)

em que:(1) aij = aij r i a1 j (1) bi = bi - r i b1

( i = 2,...,n) ( i = 2,...,n )

( j = 2 ,...,n )

Note-se que a primeira equao permanece inalterada.

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Sistemas de equaes

Estgio 2 (2 eliminao)Consiste na eliminao de x2 da 3 at ltima equao, definindo os multiplicadoresri = ai 2 , i = 3,..., n (1) a22(1)

e subtraindo a segunda equao multiplicada por ri da i-sima equao (i=3,...,n). O elemento a220, o pivot desta eliminao.

Estgios 3, 4,..., n-1Os prximos estgios so agora bvios. No 3 passo eliminamos x3, no 4 passo x4,etc. Em resumo, cada estgio genrico k, consiste em eliminar xk das equaes (k+1), (k+2),...,n por subtraco de apropriados mltiplos da equao k. Aps o estgio k=n-1, o sistema de equaes estar na seguinte forma: a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 (1) 1 a 22 x 2 + a(23) x3 + ... + a(21n) xn = b(21) ( 2) ( ( a33 x3 + ... + a32) x n = b32) n M ( n 1) a nn xn = b(nn 1)

ou seja, um sistema triangular superior, cuja soluo calculada por substituio regressiva.

Formulao matricial. Algoritmo computacional. A eliminao de Gauss pode ser efectuada escrevendo apenas os coeficientes aij e os termos independentes bi utilizando uma formulao matricial. De facto, isto exactamente que um programa de computador faz ao utilizar a eliminao de Gauss. Mesmo para clculo manual, a formulao matricial mais conveniente que a escrita de todas as equaes. Para simplificar ainda mais a notao formemos a matriz ampliada n ( n + 1)

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Captulo 6

Sistemas de equaes

a11 a12 ... a1n a1,n +1 a21 a22 ... a2 n a2,n +1 M M am1 am 2 ... amn an ,n +1

em que atribumos os valores de bi aos coeficientes ai,n+1.A reduo (Fase 1) produz como resultado uma matriz ampliada com o seguinte aspecto:a11 o 0 0 a11 a12 a13 ... a12 a13 ... 0 M 0 0 ... an 1,n 0 a12 a13 ... a13 ... ... ... ... a1n a2 n a3n M an 1,n ann a1,n +1 a2,n +1 a3,n +1 an 1,n +1 an ,n +1

No utilizamos os ndices superiores como anteriormente por comodidade de escrita e tambm porque em termos de programao eles so desnecessrios. Isto permite estabelecer somente uma nica varivel bidimensional A(I,J) para descrever todos os coeficientes, antes e depois das operaes de eliminao. O algoritmo, em Fortran, correspondente a esta fase (reduo) pode escrever-se: DO 30 K=1,N-1 DO 20 I=K+1,N R=A(I,K)/A(K,K) DO 10 J=K+1,N+1 A(I,J)=A(I,J)-R*A(K,J) 10 CONTINUE 20 CONTINUE 30 CONTINUE O diagrama de blocos correspondente encontra-se representado na Fig.1. O bloco marcado com * refere-se ao processo de pivotagem que consideraremos posteriormente.

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Captulo 6

Sistemas de equaes

Figura 1 - Diagrama de blocos do mtodo de eliminao de GaussO significado atribudo aos ndices o seguinte: - K refere-se ao nmero da eliminao (ou estgio) ; tambm o ndice correspondente varivel que est a ser eliminada das n-k ltimas linhas; - I refere-se ao nmero da linha da qual uma varivel est a ser eliminada; - J refere-se ao nmero de uma coluna. Com o objectivo de reduzir o nmero de operaes aritmticas a realizar, j que no h int

versão 2010

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