Verificacao Experimental das Formulas de Fresnel

A. Ferreira (67893), A. Patrıcio (67898), M. Prata (67933), T. Coutinho(67957)LCET, Engenharia Fısica Tecnologica 2o ano,

IST, Av. Rovisco Pais 1049-001 Lisboa, Portugal(Dated: 19 de Maio de 2011)

Nesta actividade, determinamos a reflectancia e a transmitancia de um feixe laser(radiacao mono-cromatica no domınio do vısivel com λ = 632.8nm, sujeita a polarizacoes paralela e perpendicular.

Variando o angulo de incidencia da radiacao sobre a superfıcie de separacao, a reflectancia etransmitancia sao calculadas com base nas formulas de Fresnel.

O ındice de refraccao do polımero foi calculado com base no angulo de Brewster e o no angulocrıtico de reflexao total.

1. DESCRICAO E PROCEDIMENTOEXPERIMENTAL

O meio mais refringente usado nesta actividade experimentalconsiste num semi-cilindro de polımero colocado no centro deum goniometro com gonio, o qual esta acoplado a um sistema deposicionamento de um laser e um detector de radiacao, de formaa que um feixe de luz incidente atinja a superfıcie de separacaoar-polımero com um angulo de incidencia variavel:

Figura 1: Foto-esquema da montagem experimental.

O feixe laser(Helio-Neon) usado emite radiacao com compri-mento de onda λ = 632.8nm, cuja radicao pode ser polarizadolinearmente com um polarizador acoplado a lente do feixe.

Trabalhamos com um detector de estado solido, nao sensıvela polarizacao da radiacao incidente, que possui uma cabeca demedida e um corpo de processamento do sinal.

Devido a existencia de uma polarizacao, inerente ao funciona-mento do laser, variavel no tempo, foi necessario implementarum detector auxiluar que permitisse ler uma intensidade de re-ferencia I3 proveniente da uma reflexao parcial num momentoanterior a incidencia no semi-cilindro. Desta forma, reduzimosa contribuicao da polarizacao variavel.

Polarizamos o feixe laser na perpendicular e paralelamenteao plano de incidencia e, para cada direccao da polarizacao(docampo electrico), realizamos dois conjuntos de medidas, umacom o feixe incidente oriundo de um meio mais refringente (fig.2a)) e outra de um meio menos refringente(fig. 2b )).

(a) (b)

Figura 2: Duas situacoes de incidencia.

Em cada uma das series de medidas, variamos o angulo deincidencia desnte 0o a 85o, em intervalos igualmente espacadosde 5o e medimos a intensidade dos feixes reflectido e refractado.

Para cada angulo de incidencia, medimos duas intensidades I1e I2 no detector principal e I3 no auxiliar. As leituras sao feitasde forma alternada(na ordem I1, I2 e I3) e rapida, de formaa que a intensidade de referencia seja aproximadamente iguala intensidade media no intervalo de tempo da medicao. Saotambem realizadas aproximadamente num pico/vale(no tempo)de intensidade de forma a ser a variacao temporal minima.

A intensidade(relativa/adimensional) do raio reflectido/trans-mitido e, assim, calculado pela expressao:

I =I1 + I2

2I3(1)

No termino da experiencia, retiramos o semi-cilindro do go-niometro e fizemos incidir o feixe laser directamente sobre o de-tector. Deste modo, medimos a intensidade do feixe incidente.

Efectuamos ainda a medicao de dois angulos de Brewster bemcomo de um angulo crıtico de reflexao total na passagem do meiomais refringente para o menos refringente, de modo a podermosestimar o valor do ındice de refraccao η2 do semi-cilindro depolımero para o comprimento de onda λ = 632.8nm.

Relativamente ao calculo dos valores teoricos, usamos as for-mulas de Fresnel presentes em [3] e os valores experimentais paraa reflectancia R e transmitancia T foram obtidos pelos quocien-tes entre as intensidades relativas medidas para cada angulo e aintensidade de referencia.

2. RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Medimos a intensidade relativa da radiacao I com o feixe emincidencia directa no detector, valores registados na tabela I.

Polarizacao I1a I3 I2 I

Perpendicular 0.2090 ± 0.0005 0.0304 ± 0.0005 0.2100 ± 0.0005 6.89 ± 0.12Paralela 0.2269 ± 0.0005 0.0460 ± 0.0005 0.2272 ± 0.0005 4.94 ± 0.12

aMedida adimensional, visto ser obtida por comparacao a um valor dereferencia do proprio detector.

Tabela I: Intensidade da radiacao directa incidente.

As medicoes relativas a cada uma das series de medidas atrasreferidas, dada a sua extensao e a limitacao de espaco, nao seexpoem aqui de forma directa. Para acessar a totalidade dosdados experimentais, bastara aceder ao url em [5].

Registamos tambem os dois angulos de Brewster e crıtico paracada uma das condicoes de incidencia presetes na tabela II.

Angulo Sup.Incidencia Ang.Inferior(o) Ang.Superior(o) Ang.Medio(o)a

Brewster Polımero-Ar 34.0 34.7 34.3 ± 0.3Brewster Ar-Polımero 55.6 56.4 56.0 ± 0.5Critico Polımero-Ar 42.0 42.7 42.3 ± 0.3

aErro medio obtido por registo dos limites de deteccao para cada angulo.

Tabela II: Valores registados para calculo de η2.

3. ANALISE DE RESULTADOS

3.1. Determinacao do Indice de refraccao η2 do polımero.

Para determinacao da reflectancia e transmitancia do feixelase na passagem pelas superfıcies de separacao ar-polımero epolımero-ar a partir das leis de Fresnel, determinamos o ındicede refraccao do polımero com base nos angulos de Brewster θb ede reflexao total θc apresentados na tabela II.

Este calculo foi feito com base nas formulas da optica larga-mente conhecidas que se seguem

η2 = tan(θb) (2)

η2 = cot(θb) (3)

η2 = cosec(θc) (4)

sendo a formula 2 referente a transicao ar-polımero(fig.2b)) ea formula 3 referente a transicao polımero-ar(fig.2a)).

Os valores obtidos de η2 para cada angulo bem como o seuvalor medio apresentam-se na tabela III.

Angulo Sup.Incidencia η2 η2medioBrewster Polımero-Ar 1.46 ± 0.02

1.48 ± 0.01Brewster Ar-Polımero 1.48 ± 0.02Critico Polımero-Ar 1.48 ± 0.01

Tabela III: Valores determinados para o ındice de refraccao η2.

Note-se que, apesar do valor obtido para η2 com base no an-gulo de Brewster para a superfıcie Polımero-Ar ser inferior aosrestantes dois valores, a diferenca entre estes e suficientementepequena para o erro experimental praticamente a cobrir. Assim,decidimos daqui em diante adoptar para o ındice de refraccao ovalor medio aqui obtido.

3.2. Verificacao das Leis de Fresnel

Realizado o calculo do ındice de refraccao experimental parao polımero, pudemos entao determinar os valores experimentaisda transmitancia e reflectancia para as diferentes condicoes deincidencia e polarizacao do feixe laser, de acordo com as formulas?? e ??, e compara-los com os teoricos.

Abaixo analisamos cada uma das direccoes de polarizacao.

3.2.1. Polarizacao Perpendicular

No caso da polarizacao perpendicular ao plano de incidencia,comparamos os valores experimentais da reflectancia R e trans-mitancia T com os teoricos.

Este estudo grafico comparativo apresenta-se nas figuras 3 e4.

Tambem foi interessante para a analise a representacao graficada soma R + T em funcao do angulo de incidencia e para cadacondicao de incidencia, que se concretiza nas figuras 5 e 6.

Estes resultados graficos permitem-nos tirar varias conclusoesque serao aprofundadas na conclusao.

Relativamente a face plana, notamos claramente que a ade-quacao dos dados as formulas de Fresnel usadas e bastante su-perior no caso da reflectancia R, sendo que a adequacao de T ateoria e inicialmente boa passando a diminuir com o aumento doangulo de incidencia. Tal podera justificar-se quer pela nao pon-tualidade da fonte, quer pela existencia de multiplas reflexoes nointerior do polımero, fenomenos de absorcao e imperfeicoes domesmo.

Nao sendo pontual, o feixe laser alargou quando atravessoua fronteira entre ar e polımero, o que atribuiu ao feixe uma

Figura 3: Polarizacao perpencidular e incidencia na face plana.

Figura 4: Polarizacao perpencidular e incidencia na face curva.

Figura 5: Soma R+ T relativa a Face Plana e Polarizacao Perpendi-cular.

largura muito superior aquela que o detector consegue captar.2

Figura 6: Soma R+ T relativa a Face Curva e Polarizacao Perpendi-cular.

Este efeito amplificou-se com o aumento do angulo de incidenciao que, em parte, explica a ‘descida’ nos valores de T com o angulode incidencia.

O mesmo nao aconteceu tao notoriamente com R, pelo que adiminuicao de R face ao previsto teoricamente com o aumentodo angulo de incidencia e apenas muito ligeira.

Esta ligeira diferenca deve-se sobretudo a a existencia de ou-tros fenomenos opticos nao considerados nas formulas de Fresnelusadas para analise, como fenomenos de absorcao e de reflexoesinternas(bem observaveis ao realizar a experiencia). Fenomenosde absorcao, conseguir visualizar o ‘rastro’ do laser e um bom in-dicador, poderao justificar um desvio sistematico em relacao aoprevisto teoricamente. A existencia de imperfeicoes, por outrolado, podera ter um papel importante no aumento das perdasde energia reflectida e transmitida com o aumento do angulo deincidencia, uma vez que este aumento angular amplifica o efeitodas imperfeicoes ja existentes.

O grafico R+T = f(θi) ilustra claramente as perdas de energiaexistentes no processo e a analise efectuada.

Para a face curva, a adequacao dos dados de R aos teoricostambem e superior a dos dados de T , mas apenas nos 5 primeirospontos experimentais de R.

Verificamos que a diferenca entre o valor teorico e experi-mental de T se mantem aproximadamente constante(aumentaligeiramente com o angulo de incidencia) para todos os pontosexperimentais com excepcao do ultimo. A diferenca entre valo-res experimentais e teoricos justifica-se para este caso de formaidentica a indicada para R na face plana, sendo que agora existeum factor de absorcao no polımero bastante superior ao quaseinexistente no caso da reflectancia na face plana.

Relativamente a reflectancia, observamos que, apesar de numafase inicial a diferenca entre a curva teorica e os pontos experi-mentais ser pequena, isto se deve ao pequeno valor dos pontosexperimentais. Porem, apos a passagem pelo angulo crıtico θcverificamos que continua a ocorrer um padrao de diminuicaode R com o angulo de incidencia com uma diferenca a teoriaum pouco superior ao dobro da diferenca entre teoria e valorespraticos para T . Isto pode tentar justificar-se notando que ofeixe laser percorre o dobro do trajecto relativamente ao caso datransmissao.

3.2.2. Polarizacao Paralela

Para a polarizacao paralela ao plano de incidencia, compara-mos os valores experimentais de reflectancia R e transmitancia

T com os teoricos, tal como na alınea anterior.O estudo grafico comparativo analogo mostra-se nas figuras 7

e 8.

Figura 7: Polarizacao paralela e incidencia na face plana.

Figura 8: Polarizacao paralela e incidencia na face curva.

A representacao grafica da soma R + T em funcao do angulode incidencia e para cada condicao de incidencia, apresenta-senas figuras 9 e 10.

Relativamente a face plana, vemos novamente que a adequa-cao dos dados as formulas de Fresnel usadas e superior no casoda reflectancia R, mas agora a adequacao de T a teoria ja nao einicialmente boa, passando a existir uma diferenca entre teoriae pratica pouco variavel. Como anteriormente, esta diferencadiminui abruptamente para valores do angulo de incidencia su-periores a 50/60 o. Tal podera justificar-se pelos mesmos moti-vos atras apontados para o caso da polarizacao perpendicular,excepto o facto de existir uma diferenca inicial entre teoria e ex-periencia pouco variavel com o angulo de incidencia, que poderadever-se a uma maior absorcao/papel das impurezas par estapolarizacao.

Novamente se observa uma ligeira diminuicao de R face acurva teorica.

Em geral, tambem para esta direccao de polarizacao a somaR + T diminuiu com o angulo de incidencia, novamente pelosmotivos atras apontados.

3

Figura 9: Soma R+ T para a incidencia na Face Plana e PolarizacaoParalela.

Figura 10: Soma R+T para a incidencia na Face Curva e PolarizacaoParalela.

Para a face curva, os resultados sao semelhantes aos analogospara a polarizacao perpendicular, excepto numa vizinhanca doangulo de Brewster θb. Verificamos que nesta vizinhanca quenao se detecta um maximo visivel de intensidade experimentalcomo previsto por teoria. Tal facto podera justificar-se pela evi-dencia experimental de que nao e detectavel um ponto, tal comoprevisto teoricamente, em que a intensidade do feixe reflectidoe nula. Apenas se detecta um mınimo de intensidade pois ofeixe e nao pontual e o semi-cilindro tem imperfeicoes quer deforma quer de rugosidades. A inexistencia deste maximo vısivelde intensidade e ainda em parte devido a atenuacao do feixe nointerior do polımero.

Apesar do pequeno numero de pontos usados, o grafico de va-riacao de R+T com o angulo de incidencia indica uma tendencia

de aumento das perdas com o angulo de incidencia.

4. ANALISE SUMARIA E CONCLUSOESEm geral, os resultados experimentais adequaram-se as pre-

visoes teoricas, pelo que, sendo possıvel prever teoricamente osresultados experimentais ou, pelo menos, a sua variacao qualita-tivamente identica, podemos dizer que a validade das formulasde Fresnel foi comprovada.

O sucesso da experiencia assenta na semelhanca entre a evo-lucao de valores teoricos e experimentais para as diferentes po-larizacoes e orcondicoes de incidencia observadas.

No entanto, estes resultados sao positivos apenas qualitativa-mente, dado que os desvios a exactidao sao muitas vezes bastanteconsideraveis, nomeadamente nos resultados relativos a trans-mitancia T , que se apresentam normalmente abaixo da curvateorica.

Esta subestimacao de valores podera ser explicada por naoconsiderarmos na analise teorica a nao pontualidade do feixe e aexistencia de fenomenos de abosrcao e de multiplas reflexoes in-ternas. A aproximacao do feixe por uma onda plana nao devera,a partida, constituir factor de erro mensuravel.

O facto deo feixe nao ser pontual e de alargar na fronteira entreos dois meios impossibilita uma correcta medicao da intensidadetransmitida para valores do angulo de incidencia sucessivamentemais proximos de 90o.

Tal facto nao ocorre tao visivelmente com a intensidade dofeixe reflectido, uma vez que este nao resulta da transmissaonuma superifice entre meios opticamente distintos.

Outros factores que contribuem para a diferenca entre os va-lores teoricos e experimentais sao essencialmente fenomenos op-ticos como a absorcao, existencia de imperfeicoes e multiplasreflexoes internas no polımero. Tais factores fazem com que aintensidade medida seja inferior a esperada. Os resultados expe-rimentais parecem indicar que estes fenomenos sao mais signifi-cativos no caso da polarizacao paralela ao plano de incidencia.

A analise da soma R + T , consequentemente da conservacaoda energia, veio a confirmar as hipoteses anteriores, na medidaem que a energia ‘medida’ experimental nao se conservou, sendonecessario considerar os factores de perdas atras mencionados.

Esta actividade experimental poderia ser melhorada com autilizacao de um semi-cilindro de polımero que se garanta teruma forma mais proxima da ideal e que possua um polimentoadequado(menos rugosidades e imperfeicoes). Por outro lado,verificamos claramente que este apresentava sujidades na suasuperfıcie, as quais poderiam ser evitadas com uma simples lim-peza pre-experiencia com produto adequado.

Por outro lado, sugere-se um tratamento de erros que sobres-time os erros de medicao. De facto, o calculo de erros aquiefectuado baseou-se na escala digital do detector mas, porem, oerro experimental e bastante superior ao introduzido por esta,uma vez que o metodo de medicao usado exige uma rapidez deanotacao dos valores muito elevada, com o prejuızo da variacaoentre I1 e I2 ser demasiado elevada para ser aceitavel, uma vezque a variacao ciclica da polarizacao do feixe laser faz tambemvariar ciclicamente a intensidade da radiacao incidente para apolarizacao em estudo.

Seria tambem interessante verificar se os desvios a teoria, econsequentemente os valores experimentais evoluiam de igualforma para um polımero com as mesmas dimensoes e acaba-mento semelhante, mas com diferente ındice de refraccao. Talconsolidaria possivelmente as conclusoes aqui retiradas.

[1] D.J.Griffiths,Introduction to Electrodynamics, 3a ed., Reed College[2] J. L. Figueirinhas, Aula de apresentacao sobre as Formulas de

Fresnel.[3] J.L.Figueirinhas, http://www.ciul.ul.pt/~figuei/fresnel.pdf[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Transmittance, Transmittance

Article @ Wikipedia[5] https://spreadsheets.google.com/spreadsheet/ccc?key=

0Amew-ACrohMOdEhSb0xYcWNrc2g1ZElKMXF1SFdDQlE&hl=pt_

PT&authkey=CLezx78P, Dados Experimentais

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