variedades m-s´olidas de linguagenssecure site · 2019. 3. 26. · preliminares neste primeiro...

Universidade de Lisboa

Faculdade de Ciencias

Departamento de Matematica

Variedades M-solidas de Linguagens

Pedro Baltazar

Mestrado em Matematica

2005

Universidade de Lisboa

Faculdade de Ciencias

Departamento de Matematica

Variedades M-solidas de Linguagens

Dissertacao orientada pela Profª. Doutora Margarita Ramalho

Pedro Baltazar

Mestrado em Matematica

2005

iii

O severas matematicas, eu nao te esqueci desde que as tuas sabias

licoes, mais doces do que o mel, se infiltraram no meu coracao

como um onda refrescante; instintivamente e desde o berco, eu

desejava beber na tua fonte, mais antiga do que o sol, e continuo

ainda a deambular pelo sagrado vestıbulo do teu templo solene,

como o mais fiel dos teus iniciados.

Lautreamont, Cantos de Maldoror.

Agradecimentos

Comeco por agradecer a Professora Margarita Ramalho ter-me aceite como seu ori-

entando, mas principalmente, agradecer o apoio e disponibilidade mostrados ao longo do

tempo que elaborei esta tese, sobre sua orientacao. Aos meus pais, simplesmente por tudo.

v

Resumo

Motivado pela correspondencia entre linguagens livre de estrela e monoides aperio-

dicos, na decada de setenta, Eilenberg estabelece o isomorfismo entre o reticulado das

pseudovariedades de monoides e o reticulado das variedades de linguagens regulares. No

inıcio dos anos oitenta, Therien mostrou que estes dois reticulados sao tambem isomorfos

ao reticulado das variedades de congruencias do monoide livre. Estas correspondencias

foram estendidas a linguagens de arvore, independentemente, por Almeida e Steinby, ao

longo da decada de oitenta. Devido ao resultado inicial de Eilenberg, estes isomorfismos

denominam-se correspondencias tipo-Eilenberg.

Um modo de descrever a estrutura do reticulado das pseudovariedades e estudar os seus

subreticulados completos. Alguns dos subreticulados completos do reticulado das pseu-

dovariedades surgem a partir de pseudovariedades M -solidas. Dados os isomorfismos das

correspondencias tipo-Eilenberg, a cada subreticulado completo de pseudovariedades cor-

responde um subreticulado completo de variedades de linguagens e outro de variedades de

congruencias. Nesta dissertacao, apresenta-se uma caracterizacao das variedades de lingua-

gens correspondentes as pseudovariedades M -solidas, como tambem das correspondentes

variedades de congruencias. No caso das linguagens de arvore, apresentam-se mesmo as

restricoes das correspondencias tipo-Eilenberg ao subreticulado completo das pseudovar-

iedades M -solidas.

Palavras chave: Subrelacoes Galois-fechadas, variedades M -solidas, pseudovariedade M -

solidas, linguagens formais, correspondencias tipo-Eilenberg, variedades M -solidas de lin-

guagens.

vii

Summary

Motivated by the connection between star-free languages and aperiodic monoids Eilen-

berg establishes an isomorphism between the lattice of all monoid pseudovarieties and the

lattice of all varieties of regular languages. In the beginning of the eighties Therien proved

that this two lattices are also isomorphic to the lattice of all varieties of congruences of

the free monoids. These connections were independently extended to tree languages by

Almeida and Steinby during the eighties. Due to the original result achieved by Eilenberg

this kind of connections have come to be known as Eilenberg-type correspondences.

One way to describe the structure of the pseudovariety lattice is by studying their

complete sublattices. Some of this complete sublattices arise from M -solid pseudovari-

eties. Taking into account the isomorphisms of the Eilenberg-type correspondences, each

complete sublattice of pseudovarieties corresponds to a complete sublattice of language

varieties, and another one of congruence varieties. In this thesis, a characterization of the

language varieties and congruence varieties corresponding to the M -solid pseudovarieties is

presented. As for the tree language varieties, the actual restrictions of the Eilenberg-type

correspondences are presented to the complete sublattice of all M -solid pseudovarieties.

Keywords: Galois closed subrelations, M -solid varieties, M -solid pseudovarieties, formal

languages, Eilenberg-type correspondence, M -solid varieties of languages.

Conteudo

Introducao 1

0 Preliminares 5

0.1 Algebras, reticulados e variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.2 Termos, identidades e algebras livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.3 Pseudovariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

0.4 Operadores de fecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

0.5 Conexoes de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

0.6 Subrelacoes Galois-fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

0.7 Pares conjugados de operadores de fecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1 Variedades M-solidas de algebras 33

1.1 Hipersubstituicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2 Monoides de hipersubstituicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3 Variedades M -solidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4 Congruencias totalmente M -invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.5 Logica M -hiperequacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.6 Pseudovariedades M -solidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 Correspondencias tipo-Eilenberg 61

2.1 Algebras sintacticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2 Conjuntos reconhecıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3 Correspondencias tipo-Eilenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3 Variedades M-solidas de linguagens 81

3.1 Variedades M -solidas de linguagens e de congruencias . . . . . . . . . . . . 82

ix

x CONTEUDO

3.2 Linguagens de arvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4 Exemplos 89

4.1 Algebras rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Algebras diagonais e linguagens rotuladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3 Algebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4 Linguagens de arvore determinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Conclusao 98

Bibliografia 101

Indice remissivo 105

Introducao

O estudo algebrico das linguagens formais iniciou-se com Kleene, na decada de cin-

quenta, ao mostrar que as linguagens reconhecidas por automatos finitos sao exactamente

as linguagens racionais. Poucos anos mais tarde, na mesma decada, Rabin e Scott in-

troduzem a nocao de monoide sintactico de uma linguagem, que permite a caracter-

izacao puramente algebrica das linguagens reconhecıveis. Esta nova abordagem permi-

tiu que algumas classes de linguagens pudessem ser descritas por propriedades dos seus

monoides sintacticos. Um importante exemplo, e a ligacao entre linguagens livre de estrela

e monoides aperiodicos, determinada por Schutzenberger em meados dos anos sessenta.

Outros importantes exemplos se seguiram, mas foi Eilenberg [ES76] que encontrou as fer-

ramentas adequadas para formular este tipo de resultados. Eilenberg mostrou que existe

uma correspondencia bijectiva entre as pseudovariedades de monoides e as variedades de

linguagens regulares. Na realidade, esta bijeccao e um isomorfismo entre o reticulado

das pseudovariedades de monoides e o reticulado das variedades de linguagens regulares.

Outra caracterizacao das linguagens regulares foi dada por Therien [The80], em termos

de congruencias dos monoides livres, mostrou que os anteriores reticulados sao tambem

isomorfos ao reticulado das variedades de congruencias. Resultado que e bastante util, ja

que alguns importantes exemplos de linguagens sao descritos em termos de congruencias.

Devido ao resultado inicial de Eilenberg, estas bijeccoes sao denominadas correspondencias

tipo-Eilenberg.

A teoria dos automatos de arvore e das linguagens de arvore emergiu nos meados dos

anos sessenta tomando a perspectiva que os automatos finitos deterministas sao vistos

como algebras unarias, como advogado por Buchi e Wright. Nesta perspectiva, a gener-

alizacao das palavras para arvores e feita considerando uma algebra finita, de tipo finito,

como um automato para arvores. As linguagens de arvore comecaram por ser uma im-

portante ferramenta utilizada por Thomas e Wright, para mostrar a decidibilidade da

1

2 INTRODUCAO

logica monadica de segunda ordem. De modo a estabelecer resultados analogos as cor-

respondencias tipo-Eilenberg, agora para linguagens de arvore foi necessario encontrar

uma estrutura sintactica. A utilizacao de monoides sintacticos, introduzidos por Thomas,

revelou-se pouco satisfatoria. No caso das linguagens de palavras, as estruturas sintacticas

sao monoides, pois as linguagens sao subconjuntos de um monoide livre. Assim sendo,

como as linguagens de arvore sao subconjuntos de uma algebra de termos, as algebras

do mesmo tipo revelaram-se uma estrutura sintactica apropriada. Independentemente,

Almeida [Alm90] e Steinby [Ste79, Ste92] estenderam a correspondencia de Eilenberg e o

resultado de Therien para linguagens de arvore.

O conjunto de todas as variedades [resp. pseudovariedades] de um determinado tipo

forma um reticulado completo. O estudo destes reticulados e bastante importante mas

difıcil, quando sao reticulados infinitos nao numeraveis. Em ambos os casos de interesse, os

reticulados completos sao conjuntos de pontos fixos de um operador de fecho induzido por

uma conexao de Galois. Um modo de descrever estes reticulados e em estudar e analisar

alguns dos seus subreticulados completos. Assim, um problema importante e o de carac-

terizar todos os subreticulados completos de um dado reticulado completo. No contexto

da Analise Conceptual Formal, Ganter e Wille [GW96] encontram uma caracterizacao e

um meio de produzir subreticulados completos de um dado subreticulado completo asso-

ciado a uma conexao de Galois. Estas ferramentas foram utilizadas por Denecke e Reichel

[DR95] para provar que o conjunto de todas as variedades M -solidas forma um subretic-

ulado completo do reticulado das variedades. No caso das pseudovariedades, as mesmas

ferramentas foram utilizadas por Denecke e Pibaljommee [DP03] para obter subreticulados

completos do reticulado das pseudovariedades, a partir de conjuntos de pseudovariedades

M -solidas.

Tendo em conta os isomorfismos de reticulado das correspondencias tipo-Eilenberg,

a cada subreticulado completo do reticulado das pseudovariedades corresponde um sub-

reticulado completo de variedades de linguagens e outro de variedades de congruencias.

Logo, surge o problema de encontrar uma caracterizacao destes subreticulados. Nesta

tese, apresenta-se uma caracterizacao dos subreticulados completos correspondentes aos

reticulados completos das pseudovariedades M -solidas. No caso das linguagens de arvore,

obtem-se mesmo, a restricao dos isomorfismos das correspondencias tipo-Eilenberg ao

reticulado das pseudovariedades M -solidas.

No capıtulo inicial apresentam-se os principais resultados de Algebra Universal necessarios

para os capıtulos subsequentes. Nas duas ultimas seccoes do capıtulo introdutorio, desenvolvem-

INTRODUCAO 3

se as ferramentas necessarias para obter subreticulados completos de um dado reticulado

associado a uma conexao de Galois. Resultados estes, que serao fundamentais na obtencao

dos principais resultados do capıtulo seguinte. No capıtulo 1, apresenta-se a teoria das

estruturas M -solidas, nomeadamente variedades M -solidas e pseudovariedades M -solidas.

Dar-se-a uma caracterizacao tipo-Birkhoff das variedades M -solidas em termos de sat-

isfacao de equacoes e apresenta-se a logica equacional associada. No final deste Capıtulo, a

analoga caracterizacao das pseudovariedades M -solida em termos de satisfacao de filtros de

equacoes e apresentada. No capıtulo 2, apresentam-se as correspondencias tipo-Eilenberg

usando uma generalizacao que engloba o caso das linguagens de palavras e o caso das

linguagens de arvore. No capıtulo 3, definem-se as nocoes de variedade M -solida de lin-

guagens e de variedade M -solida de congruencias. Mostra-se que sao estas as variedades

de linguagens e as variedades de congruencias correspondentes as pseudovariedades M -

solidas. No caso das linguagens de arvore, prova-se que existe mesmo uma bijeccao entre

os membros M -solidos dos tres reticulados envolvidos nas correspondencias tipo-Eilenberg.

No final, sao apresentados alguns exemplos de variedades de linguagens M -solidas.

4 INTRODUCAO

Capıtulo 0

Preliminares

Neste primeiro capıtulo apresentam-se os principais conceitos e resultados de Algebra

Universal, que serao uteis nos capıtulos subsequentes.

0.1 Algebras, reticulados e variedades

Seja A um conjunto nao vazio e n > 1 um inteiro positivo. Uma funcao f : An → A

designa-se operacao n-aria ou de aridade n de A. No caso n = 0, convenciona-se que

A0 = ∅ e uma funcao constante f : ∅ → A diz-se uma operacao nularia de A. Para

n > 0, seja OnA o conjunto de todas as operacoes n-arias de A e OA := ∪∞

n=0OnA o conjunto

de todas as operacoes de aridade finita de A. Usualmente, as operacoes de aridade 1

dizem-se unarias e as operacoes de aridade 2 dizem-se binarias.

Por sobreposicao de operacoes entenda-se a construcao de uma operacao n-aria

g(f1, . . . , fm) : An → A, a partir de m operacoes n-arias f1, . . . , fm : An → A e de uma

operacao m-aria g : Am → A, em que a nova operacao e definida do seguinte modo:

g(f1, . . . , fm)(a1, . . . , an) = g(f1(a1, . . . , an), . . . , fm(a1, . . . , an)),

para todo a1, . . . , an ∈ A.

As operacoes projeccao de aridade n, no conjunto A, sao as operacoes pi,n : An → A,

tais que pi,n(a1, . . . , an) = ai, para todo a1, . . . , an ∈ A, com 1 6 i 6 n. Um conjunto de

operacoes C ⊆ OA que contenha as operacoes projeccao e seja fechado para a sobreposicao

de operacoes diz-se um clone de operacoes.

Definicao 0.1.1. Uma algebra e um par ordenado A = 〈A;FA〉, onde A e um conjunto

nao vazio e FA e um conjunto de operacoes de A, de aridade finita. O conjunto A diz-se

5

6 CAPITULO 0. PRELIMINARES

universo da algebra A e o conjunto FA diz-se o conjunto das operacoes fundamentais da

algebra A.

Usar-se-ao letras maiusculas em negrito A,B,C, . . . para representar algebras e as re-

spectivas letras maiusculas A,B,C, . . . para representar os seus universos. Seja I um

conjunto nao vazio tal que FA = fA

i : i ∈ I e fA

i e uma operacao de aridade ni em A,

entao A diz-se uma algebra do tipo τ = (ni)i∈I . Ao conjunto F = fi : i ∈ I onde fi

e um sımbolo operacional de aridade ni, diz-se um conjunto de sımbolos operacionais do

tipo τ = (ni)i∈I . Reserva-se a letra I para indexar o conjunto de sımbolos operacionais

de determinado tipo de algebras τ . Consideram-se apenas tipos nao vazios, ou seja, onde

I e um conjunto nao vazio. Uma algebra A diz-se finita se o seu universo e finito. Um

tipo de algebras τ diz-se finito se o conjunto I e finito. Uma algebra diz-se trivial se o seu

universo tem apenas um elemento.

Exemplo 0.1.2. 1. Um semigrupo e uma algebra A = 〈A; 〉 do tipo (2) tal que, para

qualquer a, b, c ∈ A,

(a b) c = a (b c). (propriedade associativa)

Um semigrupo diz-se comutativo se a b = b a.

Um semi-reticulado e um semigrupo comutativo tal que

a a = a (propriedade de idempotencia).

Um semigrupo diz-se nilpotente se existe um n > 0, tal que a1 · · · an b =

b a1 · · · an = a1 · · · an, para todo a1, . . . , an, b ∈ A.

2. Um monoide e uma algebra A = 〈A; , e〉 do tipo (2, 0), tal que 〈A; 〉 e um semigrupo

e para todo a ∈ A,

e a = a e = a (elemento neutro).

3. Um grupo e uma algebra A = 〈A; ,−1 , e〉 do tipo (2, 1, 0) tal que 〈A; , e〉 e um

monoide e para todo a ∈ A,

a−1 a = a a−1 = e (elemento inverso).

Um semigrupo diz-se aperiodico se todo o seu subsemigrupo que e um grupo e trivial.

0.1. ALGEBRAS, RETICULADOS E VARIEDADES 7

4. Um reticulado e uma algebra A = 〈A;∧,∨〉 do tipo (2, 2) tal que 〈A;∧〉 e 〈A;∨〉 sao

semi-reticulados e para todo a, b ∈ A,

a ∨ (a ∧ b) = a;

a ∧ (a ∨ b) = a.

Um reticulado limitado e uma algebra A = 〈A;∧,∨, 0, 1〉 do tipo (2, 2, 0, 0) tal que

〈A;∧,∨〉 e um reticulado e para todo a ∈ A,

a ∧ 0 = 0, a ∨ 0 = a, a ∧ 1 = a e a ∨ 1 = 1.

Um reticulado diz-se distributivo se satisfaz

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c);

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Um conjunto parcialmente ordenado (abreviadamente c.p.o.) e um par 〈L; 6〉, onde

L e um conjunto nao vazio e 6 e uma relacao de ordem parcial em L. Um c.p.o.

〈L; 6〉 forma um reticulado se existe ınfimo e supremode quaisquer dois elementos

de L.

Por outro lado, a partir de um reticulado L forma-se sempre um conjunto parcial-

mente ordenado 〈L; 6〉, com a relacao de ordem parcial definida por a 6 b se a∧b = a,

para a, b ∈ L. Deste modo, a operacao ∧ e designada por ınfimo e a operacao ∨ e

designada por supremo.

Um reticulado L diz-se completo se existe ınfimo e supremo de qualquer subconjunto

de L. Um elemento a ∈ L diz-se compacto se, sempre que, para C ⊆ L, existe∨C

e a 6∨C, tem-se a 6

∨D, para algum subconjunto finito D ⊆ L. Um reticulado

L diz-se compactamente gerado se todo o elemento de L e supremo de elementos

compactos e L diz-se algebrico se e completo e compactamente gerado.

5. Uma algebra de Boole e uma algebra A = 〈A;∧,∨, ′, 0, 1〉 do tipo (2, 2, 1, 0, 0) tal

que 〈A;∧,∨, 0, 1〉 e um reticulado limitado e distributivo e para todo a, b ∈ A,

(a ∧ b)′ = a′ ∨ b′, (a ∨ b)′ = a′ ∧ b′, a′′ = a, a ∧ a′ = 0 e a′ ∨ a = 1.


A operacao ′ e denominada complementacao. Seja A um conjunto. Denota-se por

P(A) o conjunto das partes de A. Considerando as usuais operacoes sobre con-

juntos interseccao, reuniao e complementacao tem-se que 〈P(A);∩,∪, \, ∅, A〉 e uma

algebra de Boole. Qualquer algebra de Boole com estas operacoes e com o universo

constituıdo por subconjuntos de A e designada corpo de subconjuntos de A.

Definicao 0.1.3. Uma algebra B diz-se subalgebra de A se sao do mesmo tipo τ , B ⊆ A

e cada operacao fundamental fB

i e a restricao a B da operacao fundamental fA

i , para todo

i ∈ I. Escreve-se B ≤ A para indicar que B e uma subalgebra de A.

Um conjunto B ⊆ A, diz-se um subuniverso de A se e fechado para as operacoes

fundamentais de A.

Da definicao anterior, resulta que se B e subalgebra de A, entao B e um subuniverso de

A. O conjunto vazio e subuniverso de uma algebra se e so se a algebra nao tem operacoes

nularias.

Proposicao 0.1.4. Seja A uma algebra e S uma famılia nao vazia de subuniversos de

A. Entao⋂S e um subuniverso de A.

Seja A uma algebra e B ⊆ A. Define-se o subuniverso de A gerado por B como a

interseccao de todos os subuniversos de A que contem B. Representa-se esse subuniverso

por SgA(B), ou simplesmente por 〈B〉. Diz-se que o conjunto B ⊆ A gera a algebra A se

SgA(B) = A. Uma algebra diz-se finitamente gerada se e gerada por um conjunto finito.

Definam-se os conjuntos Bn, para n > 0, da seguinte forma:

B0 = B; Bn+1 = Bn ∪ fA

i (a1, . . . , ani) : i ∈ I e a1, . . . , ani

∈ Bn.

Proposicao 0.1.5. Seja A uma algebra e B ⊆ A. Entao

SgA(B) =⋃

n>0

Bn.

Proposicao 0.1.6. Seja A uma algebra. O conjunto SubA, de todos os subuniversos de

A, forma um reticulado algebrico SubA = 〈SubA,⊆〉 tal que:

∧S =

⋂S e

∨S = SgA(

⋃S),

para qualquer conjunto de subuniversos S ⊆ SubA.


Teorema 0.1.7 (Princıpio de inducao estrutural). [Wec92] Seja A uma algebra gerada

pelo conjunto B ⊆ A. Para provar que uma propriedade P e valida para todos os elementos

de A e suficiente mostrar a validade das condicoes (1) e (2):

(1) Caso base: a propriedade P e valida para todos os elementos de B;

(2) Passo indutivo: Se P e uma propriedade valida para a1, . . . , an ∈ A (hipotese indu-

tiva) entao a propriedade P e valida para fA

i (a1, . . . , an) e para todo i ∈ I.

Definicao 0.1.8. Sejam A e B algebras do mesmo tipo τ . Uma aplicacao ϕ : A → B e

um homomorfismo da algebra A para B se

ϕ(fA

i (a1, . . . , ani)) = fB

i (ϕ(a1), . . . , ϕ(ani)),

para todo a1, . . . , ani∈ A e i ∈ I. Denota-se por ϕ : A → B um homomorfismo da algebra

A para a algebra B.

Se a aplicacao ϕ e bijectiva entao diz-se que ϕ : A → B e um isomorfismo. Neste

caso, diz-se que as algebras A e B sao isomorfas e escreve-se A ∼= B. Se a aplicacao ϕ e

sobrejectiva diz-se que B e uma imagem homomorfa de A.

Um homomorfismo ϕ : A → A e designado por endomorfismo de A. Seja EndA o

conjunto de todos os endomorfismos de A e ϕid a aplicacao identidade, entao EndA =

〈EndA; , ϕid〉 e um monoide, onde a operacao e a usual composicao de aplicacoes.

Uma consequencia do Princıpio de inducao estrutural e o seguinte resultado.

Teorema 0.1.9. Seja A uma algebra gerada pelo conjunto C ⊆ A. Sejam ϕ1, ϕ2 : A → B

homomorfismos que coincidem em C, i.e. ϕ1(a) = ϕ2(a) para todo a ∈ C, entao ϕ1 = ϕ2.

Definicao 0.1.10. Sejam A e B algebras do mesmo tipo. Diz-se que B divide A, ou que

B e um divisor de A e escreve-se B A, se a algebra B e uma imagem homomorfa de

uma subalgebra de A.

Seja A uma algebra, uma relacao de equivalencia θ sobre A diz-se uma relacao de

congruencia de A, se para todo i ∈ I e para quaisquer (a1, b1), . . . , (ani, bni

) ∈ θ, tem-se

(fA

i (a1, . . . , ani), fA

i (b1, . . . , bni)) ∈ θ.


Denote-se por ConA o conjunto de todas as congruencias de A. As relacoes de

equivalencia ∆A = (a, a) : a ∈ A e ∇A = A × A sao, respectivamente, a menor e a

maior relacao de congruencia de A. Usar-se-a a notacao [a]θ = b ∈ A : (a, b) ∈ θ, para

designar a θ-classe de congruencia de a ∈ A e A/θ = [a]θ : a ∈ A, para representar o

conjunto de todas as θ-classes.

Proposicao 0.1.11. Seja A uma algebra e S uma famılia de relacoes de congruencia de

A. Entao,⋂S e uma relacao de congruencia sobre A.

Seja A uma algebra e B ⊆ A × A. A relacao de congruencia de A gerada por B e

a interseccao de todas as relacoes de congruencia de A que contem B. Representa-se tal

congruencia por CgA(B).

Proposicao 0.1.12. Seja A uma algebra. O conjunto ConA, de todas as congruencias

de A, forma um reticulado algebrico ConA = 〈ConA,⊆〉 tal que:

∧S =

⋂S e

∨S = CgA(

⋃S),

para qualquer famılia de congruencias S ⊆ ConA.

Definicao 0.1.13. Seja A uma algebra e θ uma relacao de congruencia de A. A algebra

quociente A/θ e a algebra do mesmo tipo de A, de universo A/θ e tal que

fA/θi ([a1]θ, . . . , [ani

]θ) = [fA

i (a1, . . . , ani)]θ,

para todo [a1]θ, . . . , [ani]θ ∈ A/θ e i ∈ I. Uma congruencia diz-se de ındice finito se o

conjunto A/θ e finito.

Dado um homomorfismo ϕ : A → B, a relacao igualdade de imagem de ϕ, denominada

kernel ou nucleo e definida por

Kerϕ = (a, b) ∈ A×A : ϕ(a) = ϕ(b)

e uma congruencia de A. Dada uma algebra A e θ ∈ ConA, existe um homomorfismo

sobrejectivo

ϕθ : A −→ A/θ

a 7−→ [a]θ

que se denomina homomorfismo canonico, tal que Kerϕθ = θ.


Teorema 0.1.14 (Teorema do Homomorfismo). [BS81] Sejam A e B algebras do mesmo

tipo τ e ϕ : A → B um homomorfismo sobrejectivo de A para B. Entao, existe um

isomorfismo ψ : A/Kerϕ → B, tal que ϕ = ψ ϕKerϕ, onde ϕKerϕ e o homomorfismo

canonico de Kerϕ.

Se L e um reticulado e a, b ∈ L, com a 6 b, entao [a, b] := c ∈ L : a 6 c 6 b e um

subuniverso de L.

Teorema 0.1.15 (Teorema da Correspondencia). [BS81] Seja A uma algebra e θ ∈ ConA.

Entao, a aplicacao

/θ : [θ,∇A] −→ Con(A/θ)

ϑ 7−→ ϑ/θ

e um isomorfismo de reticulados, onde ϑ/θ = ([a]θ, [b]θ) ∈ A/θ ×A/θ : (a, b) ∈ ϑ.

O seguinte Corolario e uma importante aplicacao dos dois resultados anteriores.

Corolario 0.1.16. Sejam A,B e C algebras do tipo τ . Seja ϕ : A → B um homomorfismo

sobrejectivo e ψ : C → B um qualquer homomorfismo. Entao, existe um homomorfismo

γ : C → A, tal que ϕ γ = ψ.

Definicao 0.1.17. Seja (Aj)j∈J uma famılia de algebras do mesmo tipo τ . O produto

directo A =∏j∈J Aj e a algebra do mesmo tipo τ , com universo

∏j∈J Aj e para cada

i ∈ I

fA

i ((a1j)j∈J , . . . , (anij)j∈J) = (fAj

i (a1j , . . . , anij))j∈J ,

para todo (a1j)j∈J , . . . , (anij)j∈J ∈∏j∈J Aj . O produto da famılia vazia e a algebra trivial

de universo ∅.

Para cada k ∈ J , a aplicacao k-projeccao

πk :∏j∈J Aj −→ Ak

(aj)j∈J 7−→ ak

e um homomorfismo sobrejectivo πk : A → Ak.

Para k > 1, sejam A1, . . . ,Ak,B1, . . . ,Bk algebras do tipo τ e ϕj : Aj → Bj um

homomorfismo, para cada j = 1, . . . , k. Define-se o homomorfismo produto

ϕ := ϕ1 × · · · × ϕk : A1 × · · · × Ak → B1 × · · · × Bk,


tal que ϕ(a1, · · · , ak) = (ϕ1(a1), . . . , ϕk(ak)), para todo a1 ∈ A1, . . . , ak ∈ Ak.

Definicao 0.1.18. Uma algebra A diz-se um produto subdirecto de uma famılia de algebras

(Aj)j∈J se A ≤∏j∈J Aj e πj(A) = Aj , para todo j ∈ J .

Um homomorfismo injectivo ϕ : A →∏j∈J Aj e uma imersao subdirecta se ϕ(A) e

um produto subdirecto de (Aj)j∈J . Se J = ∅ entao A e produto subdirecto da famılia

vazia se e so se A e uma algebra trivial.

Proposicao 0.1.19. Seja A uma algebra e θj ∈ ConA : j ∈ J uma famılia de con-

gruencias de A, tal que⋂j∈J θj = θ. Entao, a aplicacao

ϕ : A/θ −→∏j∈J A/θj

[a]θ 7−→ ([a]θj)j∈J

e uma imersao subdirecta.

Definicao 0.1.20. Uma algebra A diz-se subdirectamente irredutıvel, se para cada imersao

subdirecta

ϕ : A →∏

j∈J

Aj ,

existe k ∈ J , tal que πk ϕ : A → Ak e um isomorfismo.

Teorema 0.1.21. [BS81] Uma algebra A e subdirectamente irredutıvel se e so se A e triv-

ial ou existe uma congruencia minima em ConA\∆A. No segundo caso, a congruencia

minima e⋂ConA\∆A.

Corolario 0.1.22. Seja A uma algebra subdirectamente irredutıvel e θj : j ∈ J ⊆ ConA

um conjunto congruencias de A tal que⋂j∈J θj = ∆A, entao ∆A = θk, para algum k ∈ J .

Seja L um reticulado completo, a ∈ L diz-se completamente ∧-irredutıvel se, para cada

C ⊆ L tal que a =∧C, entao a ∈ C.

Proposicao 0.1.23. Seja A uma algebra e θ ∈ ConA. Entao, A/θ e subdirectamente

irredutıvel se e so se θ e completamente ∧-irredutıvel em ConA.


Teorema 0.1.24 (Birkhoff). [BS81] Toda a algebra A e isomorfa a um produto subdirecto

de algebras subdirectamente irredutıveis, que sao imagens homomorfas de A.

Corolario 0.1.25. Toda a algebra finita e isomorfa a um produto subdirecto de um numero

finito de algebras finitas subdirectamente irredutıveis, que sao suas imagens homomorfas.

Seja Alg(τ) a classe de todas as algebras do tipo τ . Definam-se os seguintes operadores

sobre classes de algebras do mesmo tipo. Seja K ⊆ Alg(τ) uma classe de algebras, entao

A ∈ I(K) se e so se A e isomorfa a alguma algebra de K;

A ∈ S(K) se e so se A e uma subalgebra de alguma algebra de K;

A ∈ H(K) se e so se A e uma imagem homomorfa de alguma algebra de K;

A ∈ P(K) se e so se A e um produto directo de uma famılia nao vazia de algebras

de K;

A ∈ Pf (K) se e so se A e um produto directo de uma famılia finita nao vazia de

algebras de K.

Proposicao 0.1.26. [BS81] Seja K ⊆ Alg(τ) uma classe de algebras do tipo τ . Tem-se

as seguintes inclusoes

SH(K) ⊆ HS(K), PS(K) ⊆ SP(K), PH(K) ⊆ HP(K).

Alem disso, os operadores H,S e IP sao idempotentes.

Definicao 0.1.27. Uma classe nao vazia de algebras K ⊆ Alg(τ), do tipo τ , diz-se uma

variedade se e fechada para subalgebras, imagens homomorfas e produtos directos, i.e.

S(K) ⊆ K, H(K) ⊆ K e P(K) ⊆ K.

Para uma classe de algebras K ⊆ Alg(τ), define-se V (K) como a menor variedade que

contem K e diz-se a variedade gerada por K. Seja L(τ) a classe de todas as variedades

do tipo τ , que mais a frente se verificara ser um conjunto.

Teorema 0.1.28 (Tarski). [BS81] Dada uma classe K ⊆ Alg(τ) de algebras do tipo τ .

Tem-se que V (K) = HSP(K).

Teorema 0.1.29. Seja K uma variedade de algebras do tipo τ . Entao, a variedade K e

gerada pela classe de todas as suas algebras subdirectamente irredutıveis.


0.2 Termos, identidades e algebras livres

Seja n > 1 um inteiro positivo e Xn = x1, . . . , xn um conjunto de elementos distintos

denominados variaveis. Seja Xω = x1, . . . , xn, . . . um conjunto infinito numeravel de

variaveis e X um qualquer dos anteriores conjuntos de variaveis.

Seja τ = (ni)i∈I um tipo de algebras e F = fi : i ∈ I um conjunto de sımbolos

operacionais do tipo τ , disjunto de Xω, tal que fi e um sımbolo operacional de aridade

ni > 1, para i ∈ I. Por questoes tecnicas, consideram-se tipos de algebras sem operacoes

nularias, ou seja, onde as operacoes nularias sao consideradas como operacoes unarias

constantes.

Os termos n-arios do tipo τ sao definidos indutivamente por:

(1) as variaveis x1, . . . , xn sao termos n-arios;

(2) se t1, . . . , tnisao termos n-arios, entao fi(t1, . . . , tni

) e um termo n-ario, para todo

i ∈ I.

Seja Tτ (Xn) o conjunto de todos os termos n-arios do tipo τ , ou seja, o menor conjunto

que contem as variaveis x1, . . . , xn e e fechado para finitas aplicacoes de (2).

De outro modo, definam-se os conjuntos

T (0)τ (Xn) = Xn e

T (k+1)τ (Xn) = T (k)

τ (Xn)⋃

fi(t1, . . . , tni) : i ∈ I e t1, . . . , tni

∈ T (k)τ (Xn),

para k > 1. Entao, o conjunto dos termos n-arios do tipo τ , ou termos do tipo τ sobre

Xn, e

Tτ (Xn) =⋃

k>0

T (k)τ (Xn).

Define-se o conjunto dos termos do tipo τ sobre Xω como

Tτ (Xω) =⋃

n>1

Tτ (Xn).

Para um termo t ∈ Tτ (Xω), escreve-se t(x1, . . . , xn) para indicar que as variaveis que

ocorrem no termo t estao entre x1, . . . , xn e portanto t ∈ Tτ (Xn) e um termo n-ario. Alem

0.2. TERMOS, IDENTIDADES E ALGEBRAS LIVRES 15

disso, sejam t1, . . . , tn ∈ Tτ (Xm) termos m-arios, entao t(t1, . . . , tn) representa o termo

m-ario que se obtem substituindo simultaneamente em t cada variavel xk pelo termo tk,

para todo k ∈ 1, . . . , n.

Seja A uma algebra do tipo τ . Cada termo t ∈ Tτ (Xn) define uma operacao tA em A

de aridade n, do seguinte modo:

(1) se t = xk, para 1 6 k 6 n, entao tA = xA

k = pk,n e a operacao k-projeccao n-aria;

(2) se t = fi(t1, . . . , tni), para i ∈ I, entao tA = fA

i (tA1 , . . . , tAni

).

Uma operacao tA de A, para um termo t ∈ Tτ (Xω), diz-se uma operacao termo da

algebra A. O conjunto CloA de todas as operacoes termo de A e um clone de operacoes

de A. Para n > 1, ClonA denota o clone das operacoes termo n-arias de A.

Para cada elemento a ∈ A, seja ca a operacao nularia constante igual a a. O clone

de operacoes de A, que contem todas as operacoes termo de A e o conjunto de operacoes

constantes ca : a ∈ A, diz-se o clone polinomial de A e denota-se PolA. Denota-se

PolnA o clone das operacoes polinomiais n-arias de A, para n > 0.

O resultado seguinte permite obter qualquer operacao polinomial a partir de uma

operacao termo.

Teorema 0.2.1. [MMT87] Seja A uma algebra do tipo τ . Se t(x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xn)

e um termo n-ario do tipo τ e ak+1, . . . , an ∈ A entao

p(x1, . . . , xk) = tA(x1, . . . , xk, ak+1, . . . , an) (∗)

define uma operacao polinomial k-aria de A. Por outro lado, se p ∈ PolkA e uma

operacao polinomial k-aria de A, existe n > k, uma operacao termo n-aria tA ∈ ClonA e

ak+1, . . . , an ∈ A que satisfazem (∗).

Definicao 0.2.2. Seja τ um tipo de algebras e X um conjunto de variaveis. A algebra dos

termos do tipo τ sobre X, que se representa por Tτ (X), e a algebra com universo Tτ (X)

e com operacoes fundamentais definidas por

fTτ (X)i (t1, . . . , tni

) = fi(t1, . . . , tni),

para cada i ∈ I e todo t1, . . . , tni∈ Tτ (X).


As algebras de termos sao o exemplo mais simples de algebras com a seguinte proprie-

dade. Se K ⊆ Alg(τ) e uma classe de algebras do tipo τ e U(Y ) e uma algebra do tipo τ

gerada por Y . Diz-se que a algebra U(Y ) tem a propriedade universal para K sobre Y ,

se para cada algebra A ∈ K e cada aplicacao α : Y → A, existe um unico homomorfismo

α : U(Y ) → A que estende α, i.e. α(y) = α(y) para todo y ∈ Y . Neste caso, diz-se que Y

e um conjunto de geradores livres de U(Y ) e U(Y ) diz-se livremente gerada por Y .

Teorema 0.2.3. [BS81] Seja τ um tipo de algebras e X um conjunto de variaveis. Entao,

a algebra Tτ (X) tem a propriedade universal para a classe Alg(τ) sobre X.

A propriedade universal da algebra dos termos do tipo τ permite definir medidas de

complexidade dos termos, vejam-se alguns exemplos.

Exemplo 0.2.4. Os seguintes exemplos mostram a aplicacao da propriedade universal de

Tτ (X) na definicao de algumas conhecidas aplicacoes sobre termos.

1. Seja Tτ (X) a algebra dos termos dos tipo τ sobre X e N = 〈N ; (fN

i )i∈I〉 a algebra

do tipo τ , onde N = 0, 1, 2, . . . e o conjunto de todos os inteiros nao negativos e

fN

i (a1, . . . , an) = 1 +maxa1, . . . , ani,

para todo i ∈ I. Assim sendo, existe um unico homomorfismo hg : Tτ (X) → N, tal

que

hg(x) = 0, para todo x ∈ X e com

hg(fi(t1, . . . , tni) = 1 +maxhg(t1), . . . , hg(tni

),

para todo i ∈ I. A altura de um termo t ∈ Tτ (X) e definida como sendo hg(t).

2. Seja N = 〈N ; (fN

i )i∈I〉 a algebra do tipo τ , onde N = 0, 1, 2, . . . e o conjunto de

todos os inteiros nao negativos e

fN

i (a1, . . . , an) = 1 + a1 + · · · + ani,

para todo i ∈ I. Pelo propriedade universal de Tτ (X), existe um unico homomor-

fismo op : Tτ (X) → N tal que

op(x) = 0, para todo x ∈ X e com

op(fi(t1, . . . , tni) = 1 + op(t1) + · · · + op(tni

),


para todo i ∈ I. A imagem op(t) da o numero de sımbolos operacionais que ocorrem

no termo t. Para termos t, t1, . . . , tn ∈ Tτ (X), prova-se por inducao estrutural que

op(t(t1, . . . , tn)) = op(t) + op(t1) + · · · op(tn).

Seja K ⊆ Alg(τ) uma classe de algebras do tipo τ . Dado um conjunto de variaveis X,

define-se o conjunto

ΦK(X) := θ ∈ ConTτ (X) : Tτ (X)/θ ∈ IS(K)

e a congruencia θK(X) de Tτ (X) por θK(X) =⋂

ΦK(X). Entao, sendo X = [x]θK(X) :

x ∈ X, a algebra K-livre sobre X e a algebra FK(X) = Tτ (X)/θK(X).

Nota 0.2.5. Observe-se os seguintes factos.

1. Relativamente a congruencia definida anteriormente tem-se que

θK(X) :=⋂

ΦK(X) =⋂

Kerϕ : ϕ : Tτ (X) → A e um homomorfismo e A ∈ K.

2. Se K e uma classe de algebras nao trivial, entao |X| = |X|, ou seja, X e X tem o

mesmo numero de elementos.

3. Se |X| = |Y |, entao FK(X) ∼= FK(Y ).

Dado isto, para um inteiro n > 1, denota-se FnK a algebra K-livre gerada livremente

por um conjunto de n elementos.

Teorema 0.2.6. [BS81] Seja K uma classe de algebras do tipo τ e X um conjunto de

variaveis. Entao, a algebra FK(X) tem a propriedade universal para K sobre X.

Um dos resultados mais importantes em Algebra Universal, obtido por Birkhoff, afirma

que uma variedade e o mesmo que uma classe equacional de algebras.

Definicao 0.2.7. Seja τ um tipo de algebras e X um conjunto de variaveis. Uma equacao

do tipo τ sobre X e uma formula

t ≈ s,

onde t, s ∈ Tτ (X) sao termos do tipo τ sobre X. Seja EqX(τ) o conjunto de todas as

equacoes do tipo τ sobre X e por Eq(τ) denota-se o conjunto de todas as equacoes do tipo

τ , i.e. as equacoes do tipo τ sobre Xω.

Uma algebra A do tipo τ satisfaz a equacao t ≈ s se tA = sA. Neste caso, diz-se que

a equacao t ≈ s e uma identidade em A e escreve-se A |= t ≈ s.


Para uma classe de algebras K ⊆ Alg(τ), diz-se que a classe K satisfaz a equacao

t ≈ s se todas as algebras de K satisfazem t ≈ s e escreve-se K |= t ≈ s. Para um

conjunto de equacoes Σ ⊆ Eq(τ), escreve-se K |= Σ se a classe de algebras K satisfaz

todas as equacoes de Σ. Denota-se por Id(K) o conjunto de todas as identidades de K e

por IdX(K) = Id(K)⋂EqX(τ) o conjunto das identidades de K de entre as equacoes de

EqX(τ).

Nota 0.2.8. Observe-se os seguintes factos.

1. Dado um algebra A do tipo τ e uma equacao t ≈ s sobre X, tem-se que

A |= t ≈ s se e so se ϕ(t) = ϕ(s),

para todo o homomorfismo ϕ : Tτ (X) → A.

2. Seja K ⊆ Alg(τ) uma classe de algebras do tipo τ e X um conjunto de variaveis.

Entao, tem-se que

IdX(K) = t ≈ s ∈ EqX(τ) : (t, s) ∈ θK(X).

Teorema 0.2.9. Seja K ⊆ Alg(τ) uma classe de algebras do tipo τ e X um conjunto de

variaveis. Entao, as classes de algebras K, I(K), S(K), H(K), P(K) e V (K) satisfazem

as mesmas equacoes do tipo τ sobre X.

Teorema 0.2.10. Seja K ⊆ Alg(τ) uma classe de algebras do tipo τ e t, s ∈ Tτ (Xn).

Entao,

K |= t ≈ s se e so se FnK |= t ≈ s se e so se (t, s) ∈ θK(Xn).

Seja Σ ⊆ Eq(τ) um conjunto de equacoes do tipo τ . Define-se Mod(Σ) como a classe

das algebras do tipo τ que satisfazem todas as equacoes de Σ. Neste caso, a classe de

algebras K = Mod(Σ) diz-se uma classe equacional e Σ diz-se uma base equacional de K.

Teorema 0.2.11 (Birkhoff). [BS81] Seja K ⊆ Alg(τ) uma classe de algebras do tipo τ .

Entao K e uma variedade se e so se K e uma classe equacional. Em particular, se K e

uma variedade, entao K = Mod(Id(K)).


A caracterizacao dos conjuntos de identidades de uma classe de algebras e feita us-

ando regras de inferencias e estabelecendo uma ligacao com as denominadas congruencias

completamente invariantes.

Definicao 0.2.12. Uma congruencia θ ∈ ConA de uma algebra A diz-se completamente

invariante se para todo o endomorfismo ϕ de A,

(a, b) ∈ θ ⇒ (ϕ(a), ϕ(b)) ∈ θ.

Seja ConfiA o conjunto de todas as congruencias completamente invariantes de A.

Proposicao 0.2.13. O conjunto das congruencias completamente invariantes de A forma

um subreticulado algebrico do reticulado das congruencias de A.

Para um conjunto de equacoes Σ ⊆ EqX(τ), define-se a relacao em Tτ (X)

Θ(Σ) = (t, s) ∈ Tτ (X) × Tτ (X) : t ≈ s ∈ Σ.

Proposicao 0.2.14. [BS81] Seja K ⊆ Alg(τ) uma classe de algebras do tipo τ e X um

conjunto de variaveis. Entao, Θ(Id(K)) e uma congruencia completamente invariante de

Tτ (X).

Um conjunto de equacoes Σ ⊆ EqX(τ) diz-se uma teoria equacional sobre X, se existe

uma classe de algebras K ⊆ Alg(τ), tal que Σ = IdX(K). Denote-se E(τ) o conjunto de

todas as teorias equacionais do tipo τ sobre Xω.

Teorema 0.2.15. [BS81] Um conjunto de equacoes Σ ⊆ EqX(τ) e uma teoria equacional

se e so se Θ(Σ) e uma congruencia completamente invariante de Tτ (X).

Teorema 0.2.16. O conjunto das teorias equacionais sobre X forma um reticulado algebrico

que e isomorfo ao reticulado das congruencias completamente invariantes de Tτ (X).

Seja Σ ⊆ EqX(τ) um conjunto de equacoes e t ≈ s ∈ EqX(τ) uma equacao. Escreve-se

Σ |= t ≈ s se A |= Σ implica que A |= t ≈ s, para toda a algebra A ∈ Alg(τ). Escreve-se

Σ ⊢ t ≈ s se existe uma deducao formal da equacao t ≈ s, comecando com as equacoes de

Σ e usando as seguintes regras de inferencia:


(1) ⊢ t ≈ t;

(2) t ≈ s ⊢ s ≈ t;

(3) t ≈ s, s ≈ r ⊢ t ≈ r;

(4) tj ≈ sj : 1 6 j 6 ni ⊢ fi(t1, . . . , tni) ≈ fi(s1, . . . , sni

), para todo i ∈ I;

(5) sejam t′ e s′ os termos obtidos de t e s, substituindo todas as ocorrencias de uma

variavel x ∈ X pelo termo r, entao t ≈ s ⊢ t′ ≈ s′, para termos t, s, r ∈ Tτ (X) (regra

da substituicao).

O seguinte Teorema estabelece a correccao e adequacao do sistema dedutivo da logica

equacional.

Teorema 0.2.17 (Birkhoff). [BS81] Dado um conjunto Σ ⊆ EqX(τ) e t ≈ s ∈ EqX(τ),

entao

Σ |= t ≈ s se e so se Σ ⊢ t ≈ s.

Corolario 0.2.18. Seja Σ ⊆ Eq(τ) um conjunto de equacoes. Entao, Σ e uma teoria

equacional se e so se Σ e fechado para as regras de inferencia (1) − (5).

0.3 Pseudovariedades

Seja Algf (τ) a classe de todas as algebras finitas do tipo τ .

Definicao 0.3.1. Uma classe de algebras finitas K ⊆ Algf (τ) diz-se uma pseudovariedade

se e fechada para subalgebras, imagens homomorfas e produtos directos finitarios, i.e. se

S(K) ⊆ K, H(K) ⊆ K e Pf (K) ⊆ K.

Seja K uma variedade do tipo τ , entao a classe Kf de todos os elementos finitos de

K forma uma pseudovariedade do tipo τ . As pseudovariedades obtidas desta forma sao

definidas por equacoes e denominam-se pseudovariedades equacionais. No entanto, nem

todas as pseudovariedade surgem desta forma. Exemplos disso sao as pseudovariedades

do tipo (2) dos grupos, dos semigrupos aperiodicos ou dos semigrupos nilpotentes.

Para uma classe de algebras finitas K ⊆ Algf (τ), denota-se Vf (K) a menor pseudovar-

iedade do tipo τ que contem a classe K.

0.3. PSEUDOVARIEDADES 21

Proposicao 0.3.2. Seja K ⊆ Algf (τ) uma classe de algebras. Entao, Vf (K) = HSPf (K).

Proposicao 0.3.3. Seja K uma pseudovariedade do tipo τ e A ∈ Algf (τ) uma algebra

finita. Entao, A ∈ K se e so se existem algebras subdirectamente irredutıveis

A1, . . . ,Ak ∈ K, para k > 1, tal que

A A1 × · · · × Ak.

Seja L um reticulado, um conjunto F ⊆ L diz-se um filtro se

(i) a, b ∈ F entao a ∧ b ∈ F e

(ii) a ∈ F , b ∈ L e a 6 b entao b ∈ F .

Seja D ⊆ L um subconjunto. O filtro gerado por D, que se representa [D), e o conjunto

dos elementos a ∈ L, para os quais existem b1, . . . , bk ∈ D, tais que a > b1 ∧ . . . ∧ bk, para

k > 1, i.e. [D) = a ∈ L : ∃b1, . . . , bk ∈ D, a > b1 ∧ . . . ∧ bk.

Um filtro de equacoes do tipo τ e um filtro do reticulado 〈P(Eq(τ));⊆〉. O conjunto

FEq(τ) de todos os filtros de equacoes do tipo τ forma um reticulado completo.

Definicao 0.3.4. Seja A uma algebra do tipo τ . Diz-se que a algebra A ultimamente

satisfaz o filtro de equacoes Ω ∈ FEq(τ), se existe um conjunto Σ ∈ Ω, tal que A |= Σ,

i.e.

A |=u

Ω se e so se ∃Σ ∈ Ω tal que A |= Σ.

Teorema 0.3.5. [Alm94] Para cada filtro de equacoes Ω ∈ FEq(τ), a classe de algebras

que ultimamente satisfaz Ω e uma pseudovariedade do tipo τ . Reciprocamente, para toda

a pseudovariedade K, existe um filtro de equacoes Ω ∈ FEq(τ), para o qual K e a classe

de algebras finitas do tipo τ que ultimamente satisfaz Ω.

Seja Lps(τ) o conjunto de todas as pseudovariedades do tipo τ . A Proposicao anterior

estabelece uma correspondencia bijectiva entre as pseudovariedades do tipo τ e os filtros

de equacoes, o que permite concluir o seguinte resultado.

Corolario 0.3.6. Seja τ um tipo de algebras. Entao, Lps(τ) e um reticulado completo.


0.4 Operadores de fecho

SejaA um conjunto e P(A) o conjunto das partes deA. Uma aplicacao µ : P(A) → P(A)

diz-se um operador de fecho em A, se para todos os subconjuntos X e Y ⊆ A, valem as

seguintes propriedades:

(i) X ⊆ µ(X) (extensividade)

(ii) X ⊆ Y ⇒ µ(X) ⊆ µ(Y ) (monotonia)

(iii) µ(X) = µ(µ(X)) (idempotencia)

Os conjuntos X ⊆ A, tais que µ(X) = X designam-se por conjuntos fechados, ou

pontos fixos, do operador µ. Denota-se Hµ o conjunto de todos os pontos fixos de µ. A

definicao de operador de fecho aplica-se tambem a operadores sobre classes.

Sejam 〈L; 6〉 e 〈D; 6〉 conjuntos parcialmente ordenados. Uma aplicacao δ : L → D

diz-se

(1) isotona ou monotona se a 6 b implica δ(a) 6 δ(b);

(2) um isomorfismo de ordem se a 6 b se so se δ(a) 6 δ(b) e δ e bijectiva;

(3) anti-isomorfismo de ordem se a 6 b se e so se δ(b) 6 δ(a) e δ e bijectiva (neste caso

diz-se que L e D sao dualmente isomorfos);

para todo a, b ∈ L.

Proposicao 0.4.1. [BS81] Sejam L e D reticulados e δ : L → D uma aplicacao. As

seguintes condicoes sao equivalentes.

(i) δ : L → D e um isomorfismo de reticulados;

(ii) δ e uma bijeccao, com δ e δ−1 isotonas;

(iii) δ e um isomorfismo de ordem.

O seguinte Corolario sera bastante util.

Corolario 0.4.2. Sejam L e D reticulados. Se δ : L → D e δ′ : D → L sao aplicacoes

isotonas tais que δ δ′ = idD e δ′ δ = idL, i.e. mutuamente inversas. Entao, δ e δ′ sao

isomorfismos de ordem.

0.4. OPERADORES DE FECHO 23

De modo a caracterizar os pontos fixos de um operadores de fecho, define-se sistema

de fecho.

Definicao 0.4.3. Seja A um conjunto. Um subconjunto H ⊆ P(A) diz-se um sistema de

fecho de A se satisfaz as seguintes condicoes:

(i) A ∈ H,

(ii) ∩B ∈ H, para todo o subconjunto nao vazio B ⊆ H.

Um sistema de fecho H, com a relacao de ordem parcial inclusao de conjuntos, e um

conjunto parcialmente ordenado 〈H,⊆〉.

Seja A um conjunto. Para um qualquer sistema de fecho H ⊆ P(A), define-se o

operador

µH : P(A) → P(A)

em A, por

X 7→ µH(X) := ∩Y ∈ H : X ⊆ Y ,

para todo X ⊆ A.

O seguinte teorema explicita as estreita relacao entre sistemas de fecho e operadores

de fecho.

Teorema 0.4.4. [DW02] Seja H um sistema de fecho e µ um operador de fecho no

conjunto A. Entao para µH e Hµ valem as seguintes propriedades:

(1) µH e um operador de fecho em A e Hµ e um sistema de fecho em A.

(2) O subconjunto X ⊆ A pertence a Hµ se e so se µH(X) = X.

(3) µHµ = µ e HµH = H.

Proposicao 0.4.5. [DW02] Se µ : P(A) → P(A) e um operador de fecho no conjunto A,

entao Hµ e um reticulado completo, tal que para qualquer subconjunto Xi : i ∈ I ⊆ Hµ,

o ınfimo e supremo sao dados por

∧Xi : i ∈ I =

⋂

i∈I

Xi, e∨

Xi : i ∈ I = µ(⋃

i∈I

Xi ), respectivamente.


No caso de operadores de fecho sobre classes e necessario outras propriedades para

garantir que os seus pontos fixos formam um conjunto e consequentemente um reticulado

completo.

Exemplo 0.4.6. Seja τ um tipo de algebras e A ∈ Alg(τ).

1. O operador SgA : P(A) → P(A), tal que para cada B ⊆ A, SgA(B) e o subuniverso

gerado por B em A e um operador de fecho em A. Os pontos fixos de SgA sao os

subuniversos de A e portanto 〈SubA;⊆〉 e um reticulado completo.

2. O operador CgA : P(A × A) → P(A × A), tal que para cada C ⊆ A × A, CgA(C)

e a congruencia de A gerada por C, e um operador de fecho em A. Os seus pontos

fixos sao as congruencias de A e portanto 〈ConA;⊆〉 e um reticulado completo.

3. O conjunto L(τ) de todas as variedades do tipo τ forma um reticulado completo.

Considere-se o operador V ( ), em Alg(τ), que a cada classe de algebras K ⊆ Alg(τ)

faz corresponder V (K) a variedade do tipo τ gerada por K (i.e. a menor variedade

que contem K). Verifica-se que V ( ) e um operador de fecho em Alg(τ) e que o

conjunto dos seus pontos fixos e exactamente o conjunto de todas as variedades do

tipo τ .

De modo analogo, os pontos fixos do operador de fecho Vf ( ), em Algf (τ), sao

exactamente as pseudovariedades do tipo τ . Dado isto, a Proposicao anterior, da o

modo de calcular o ınfimo e supremo de qualquer conjunto de variedades ou pseu-

dovariedades.

0.5 Conexoes de Galois

Sejam A e B conjuntos e sejam P(A) e P(B), respectivamente, os seus conjuntos das

partes. Uma conexao de Galois entre os conjuntos A e B e um par de aplicacoes (γ, ρ),

com γ : P(A) −→ P(B) e ρ : P(B) −→ P(A), que satisfazem as seguintes condicoes:

(1) X ⊆ X ′ ⇒ γ(X) ⊇ γ(X ′) e Y ⊆ Y ′ ⇒ ρ(Y ) ⊇ ρ(Y ′);

(2) X ⊆ ρ γ(X) e Y ⊆ γ ρ(Y ),

para todo X,X ′ ⊆ A e Y, Y ′ ⊆ B.

Denote-se a composicao de operadores γ ρ, simplesmente por γρ.

0.5. CONEXOES DE GALOIS 25

Proposicao 0.5.1. [DW02] Seja (γ, ρ) uma conexao de Galois, entre os conjuntos A e B

entao

i) os operadores ργ e γρ sao operadores de fecho em A e B, respectivamente;

ii) os conjuntos fechados para o operador ργ sao os conjuntos da forma ρ(Y ), para

Y ⊆ B;

iii) os conjuntos fechados para o operador γρ sao os conjuntos da forma γ(X), para

X ⊆ A;

iv) os sistemas de fecho Hγρ e Hργ formam reticulados completos dualmente isomorfos,

com respeito a inclusao de conjuntos.

Se na definicao de conexao de Galois se permitir que A seja uma classe, o Teorema

anterior permanece valido. As conexoes de Galois, entre conjuntos A e B, surgem a partir

de relacoes R ⊆ A×B e vice-versa, como se afirma na Proposicao seguinte.

Proposicao 0.5.2. [DEW04] Seja R ⊆ A × B uma qualquer relacao entre os conjuntos

A e B. Entao, o par de aplicacoes (γR, ρR) definidas em P(A) e P(B), respectivamente,

do seguinte modo

γR(X) = y ∈ B : ∀x ∈ X, (x, y) ∈ R

e

ρR(Y ) = x ∈ A : ∀y ∈ Y, (x, y) ∈ R,

para todo X ⊆ A e Y ⊆ B, e uma conexao de Galois entre A e B. Diz-se que (γR, ρR) e

a conexao de Galois definida por R.

Reciprocamente, para uma conexao de Galois (γ, ρ), entre os conjuntos A e B, a relacao

que define esta conexao de Galois e dada por

R(γ,ρ) :=⋃

X × γ(X) : X ⊆ A.

ou seja, (γR(γ,ρ), ρR(γ,ρ)

) = (γ, ρ).

Exemplo 0.5.3. Vejam-se algum exemplos vindos da Algebra Universal.


1. Um caso importante de uma conexao de Galois e (Id,Mod), entre o conjunto das

equacoes do tipo τ e a classe de todas as algebras do tipo τ . Considere-se a relacao

satisfazer uma equacao R|= ⊆ Alg(τ) × Eq(τ), onde

(A, t ≈ s) ∈ R|= se e so se A |= t ≈ s,

para qualquer algebra A ∈ Alg(τ) e equacao t ≈ s ∈ Eq(τ).

Deste modo, facilmente se observa que R|= define a conexao de Galois (Id,Mod),

pois

Mod(Σ) = A ∈ Alg(τ) : ∀t ≈ s ∈ Σ,A |= t ≈ s e

Id(K) = t ≈ s ∈ Eq(τ) : ∀A ∈ Alg(τ),A |= t ≈ s,

para K ⊆ Alg(τ) e Σ ⊆ Eq(τ).

Logo, os operadores ModId e IdMod sao operadores de fecho e os seus pontos fixos

sao, respectivamente, as variedades e as teorias equacionais do tipo τ . Assim sendo,

os conjuntos L(τ) e E(τ) formam reticulados completos dualmente isomorfos.

2. Outra conexao de Galois importante surge da relacao de ultimamente satisfaz um

filtro de equacoes. Seja R|=u

⊆ Algf (τ) × FEq(τ) a relacao definida por

(A,Ω) ∈ R|=u

se e so se A |=u

Ω,

para qualquer algebra A ∈ Algf (τ) e filtro de equacao Ω ∈ FEq(τ). Pelo observado

acima, a relacao R|=u

define a conexao de Galois dada pelos operadores

FMod(F) := A ∈ Algf (τ) : ∀Ω ∈ F , A |=u

Ω e

FId(K) := Ω ∈ FEq(τ) : ∀A ∈ K, A |=u

Ω,

para K ⊆ Algf (τ) e F ⊆ FEq(τ).

Logo, os pontos fixos dos operadores de fecho FModFId e FIdFMod formam retic-

ulados completos dualmente isomorfos. Para um conjunto de filtros de equacoes

F ⊆ FEq(τ) tem-se que

FMod(F) =⋂

Ω∈F

FMod(Ω),

0.6. SUBRELACOES GALOIS-FECHADAS 27

e um ponto fixo de FModFId, onde cada classe FMod(Ω) e a uma pseudovariedade

do tipo τ . O conjunto Lps(τ) de todas as pseudovariedades do tipo τ forma um

reticulado completo e portanto FMod(F) e tambem uma pseudovariedade do tipo

τ . Por outro lado, facilmente se observa que qualquer pseudovariedade do tipo τ e

um ponto fixo de FModFId e portanto os pontos fixos do operador FModFId sao

exactamente as pseudovariedades do tipo τ .

0.6 Subrelacoes Galois-fechadas

Nestas duas ultimas seccoes deste capıtulo, apresentam-se caracterizacoes de todos

os subreticulados completos dos reticulados completos associados a uma conexao de Ga-

lois. Pelo facto de os reticulados completos associados a uma conexao de Galois serem

dualmente isomorfos, a cada subreticulado completo de um corresponde um subreticu-

lado completo do outro e portanto os subreticulados completos vem aos pares. Na seccao

0.6 mostrar-se-a que a cada par de subreticulados esta associada uma conexao de Ga-

lois, definida por uma subrelacao da relacao original. Na seccao 0.7 estudar-se-a um caso

especial destas subrelacoes que surgem a partir de pares de operadores de fecho.

Exemplos da aplicacao destes resultados nao sao apresentados aqui, ja que no capıtulo

seguinte aplicar-se-a esta teoria ao reticulado completo das variedades e ao reticulado

completo das pseudovariedades.

Estes resultados surgem originalmente no contexto da Analise Conceptual em [GW96]

e surgem inicialmente na forma como sao aqui apresentados em [Den99]. Os resultados

que se seguem nao sao propriamente resultados basicos. Apesar disso, serao aqui enun-

ciados sem se apresentar as suas demonstracoes. O facto de ja terem sido amplamente

divulgados em varias publicacoes e livros, com tambem, o elevado grau de tecnicidade das

demonstracoes, esteve na base desta opcao. Os resultados apresentados seguem [Den98],

[DW02] e [Arw01].

No que se segue, sejam A e B conjuntos nao vazios e R uma relacao binaria entre A e

B. A relacao R induz a conexao de Galois (γ, ρ) a partir da qual se obtem os reticulados

completos Hργ e Hγρ dos pontos fixos em A e em B dos operadores de fecho ργ e γρ,

respectivamente. Considera-se uma subrelacao R′ da relacao original R, a partir da qual

se obtem uma nova conexao de Galois e dois novos reticulados completos. Apresenta-se

uma propriedade da relacao R′ que e suficiente para garantir que os novos reticulados

completos sao subreticulados completos dos reticulados originais. Mostrar-se-a que todos


os subreticulados completos surgem desta forma.

A definicao seguinte estabelece a propriedade que caracteriza as subrelacoes pretendi-

das.

Definicao 0.6.1. Seja R ⊆ A×B uma relacao entre A e B e (γ, ρ) a conexao de Galois

definida por R. Seja R′ ⊆ R e (γ′, ρ′) a correspondente conexao de Galois. Diz-se que

R′ e uma subrelacao Galois-fechada de R, se para X ⊆ A e Y ⊆ B, com γ′(X) = Y e

ρ′(Y ) = X entao γ(X) = Y e ρ(Y ) = X.

Caracterizacoes alternativas de subrelacoes Galois-fechadas sao dadas pela proposicao

seguinte.

Proposicao 0.6.2. [DW02] Sejam R,R′ ⊆ A × B relacoes entre A e B, com (γ, ρ) e

(γ′, ρ′) as conexoes de Galois definidas por R e R′, respectivamente. Se R′ ⊆ R, entao as

seguintes propriedades sao equivalentes:

(i) R′ e uma subrelacao Galois-fechada de R;

(ii) ρ′γ′(X) = X ⇒ γ′(X) = γ(X) e γ′ρ′(Y ) = Y ⇒ ρ′(Y ) = ρ(Y );

(iii) γ′ρ′(Y ) = γρ′(Y ) e ρ′γ′(X) = ργ′(X);

para todo X ⊆ A e Y ⊆ B.

O Teorema seguinte e o resultado principal que estabelece a bijeccao entre as sub-

relacoes Galois-fechadas e os subreticulados completos de Hργ e Hγρ. Neste Teorema

prova-se que a qualquer subrelacao Galois-fechada R′ corresponde um subreticulado com-

pleto de Hργ de subconjuntos de A. Reciprocamente, prova-se que qualquer subreticu-

lado completo de Hργ e induzido por uma subrelacao Galois-fechada de R e que estas

correspondencias sao bijectivas. Pelo processo analogo, encontram-se os subreticulados

completos de Hγρ.

Teorema 0.6.3. [DW02, Arw01] Seja R ⊆ A × B uma relacao e (γ, ρ) a conexao de

Galois definida por R. Se R′ ⊆ R e uma subrelacao Galois-fechada de R e (γ′, ρ′) e a

conexao de Galois definida por R′. Entao, o conjunto UR′ := Hρ′γ′ e um subreticulado

completo de Hργ.

0.7. PARES CONJUGADOS DE OPERADORES DE FECHO 29

Reciprocamente, se U e um subreticulado completo de Hργ, entao a relacao

RU :=⋃

Z × γ(Z) : Z ∈ U

e uma subrelacao Galois-fechada de R. Ainda, URU= U e RUR′ = R′.

O seguinte resultado mostra o modo como se relacionam as varias subrelacoes Galois-

fechadas.

Proposicao 0.6.4. Sejam R′, R′′ ⊆ R subrelacoes Galois-fechadas de R. Se R′′ ⊆ R′,

entao R′′ e uma subrelacao Galois-fechada de R′.

0.7 Pares conjugados de operadores de fecho

Apresenta-se um modo de obter subreticulados completos de Hργ e de Hγρ a partir de

subrelacoes de Galois-fechadas induzidas por pares de operadores de fecho introduzidos

em [DR95]. Os resultados apresentados seguem [DR95], [Den98] e [DW02].

Definicao 0.7.1. Seja µ : P(A) → P(A) um operador em A. O operador µ diz-se aditivo

se, para todo B ⊆ A, satisfaz

µ(B) =⋃

b∈B

µ(b).

Note-se que por µ(b), entende-se µ(b).

Definicao 0.7.2. Seja µ um operador em A e ν um operador em B. Seja R ⊆ A×B uma

relacao entre os conjuntos A e B. Os operadores µ e ν dizem-se conjugados, com respeito

a R, se para todo a ∈ A e b ∈ B

µ(a) × b ∈ R se e so se a × ν(b) ∈ R.

Claramente, se (µ, ν) e um par de operadores aditivos em A e B, respectivamente,

conjugados com respeito a relacao R ⊆ A × B, entao, para todo X ⊆ A e Y ⊆ B,

verifica-se

X × ν(B) ⊆ R se e so se µ(X) × Y ⊆ R.


Nota 0.7.3. Se (γ, ρ) e a conexao de Galois definida por uma relacao R ⊆ A × B, entao

(γρ, ργ) e um par de operadores de fecho conjugados, com respeito a R, nao necessaria-

mente aditivos.

Seja (µ1, µ2) um par de operadores em A e B, respectivamente. Definam-se as relacoes

Rµ1 := (a, b) ∈ A×B : µ1(a) × b ⊆ R

e

Rµ2 := (a, b) ∈ A×B : a × µ2(b) ⊆ R.

Se (µ1, µ2) e um par de operadores conjugados, com respeito a R, entao µ1(a)×b ⊆ R

se e so se a × µ2(b) ⊆ R e portanto Rµ1 = Rµ2 .

Definicao 0.7.4. Seja µ := (µ1, µ2) um par conjugado de operadores, com respeito a

relacao R ⊆ A×B. Seja Rµ a relacao entre A e B definida por

Rµ := Rµ1 = Rµ2 .

Seja (γ, ρ) a conexao de Galois definida pela relacao R e (γµ, ρµ) a conexao de Galois

definida pela relacao Rµ.

Verificam-se as seguintes propriedades relacionadas com as conexoes de Galois (γµ, ρµ)

e (γ, ρ).

Proposicao 0.7.5. [DR95, DW02] Seja µ := (µ1, µ2) um par conjugado de operadores de

fecho aditivos, com respeito a relacao R ⊆ A × B. Entao, para todo X ⊆ A e Y ⊆ B,

valem as seguintes propriedades:

(1) γµ(X) = γµ1(X), (1’) ρµ(Y ) = ρµ2(Y );

(2) γµ(X) ⊆ γ(X), (2’) ρµ(Y ) ⊆ ρ(Y );

(3) µ2γµ(X) = γµ(X), (3’) µ1ρµ(Y ) = ρµ(Y );

(4) µ1ργµ(X) = ργµ(X), (4’) µ2γρµ(Y ) = γρµ(Y );

(5) γµρµ(Y ) = γρµ2(Y ), (5’) ρµγµ(X) = ργµ1(X).

O teorema seguinte e o principal resultado relativamente aos pares conjugados de

operadores de fecho. Prova que para os pontos fixos da conexao de Galois original, o facto

de serem pontos fixos dos novos operadores e equivalente a outras tres condicoes.

0.7. PARES CONJUGADOS DE OPERADORES DE FECHO 31

Teorema 0.7.6. [DR95, DW02] Seja µ := (µ1, µ2) um par conjugado de operadores de

fecho aditivos, com respeito a relacao R ⊆ A×B. Seja (γ, ρ) a conexao de Galois definida

por R. Entao, para todo o X ⊆ A e Y ⊆ B, tal que ργ(X) = X e γρ(Y ) = Y , as pro-

priedades (i) − (iv) sao equivalentes, dualmente sao tambem equivalentes as propriedades

(i′) − (iv′):

(i) ρµγµ(X) = X (i’) γµρµ(Y ) = Y

(ii) µ1(X) = X (ii’) µ2(Y ) = Y

(iii) γ(X) = γµ(X) (iii’) ρ(Y ) = ρµ(Y )

(iv) µ2γ(X) = γ(X) (iv’) µ1ρ(Y ) = ρ(Y )

A equivalencia das condicoes (i) e (ii), dualmente (i′) e (ii′), no Teorema anterior

traduz-se no facto que para os pontos fixos dos operadores fecho da conexao de Galois

original, ser ponto fixo dos operadores conjugados e equivalente a serem pontos fixos dos

operadores da conexao de Galois induzida por Rµ.

No Teorema seguinte prova-se de facto que Rµ e uma subrelacao Galois-fechada de R.

Teorema 0.7.7. [Den98] Seja µ := (µ1, µ2) um par conjugado de operadores de fecho

aditivos, com respeito a R. Entao Rµ e uma subrelacao Galois-fechada de R.

Aplicando o Teorema 0.6.3 a subrelacao Rµ conclui-se o seguinte resultado.

Corolario 0.7.8. [DW02] Seja µ := (µ1, µ2) um par conjugado de operadores de fecho

aditivos, com respeito a relacao R ⊆ A×B. Seja (γ, ρ) a conexao de Galois definida por R.

Entao, Hγµρµ e Hρµγµ sao subreticulados completos de Hγρ e Hργ, respectivamente. Com

Uµ1 := Hρµγµ = Hµ1 ∩Hγρ e Uµ2 := Hγµρµ = Hµ2 ∩Hργ.

Sejam µ := (µ1, µ2) e ν := (ν1, ν2) pares conjugados de operadores de fecho, com re-

speito a relacao R ⊆ A×B. Define-se uma ordem entre os pares conjugados de operadores

de fecho, com respeito a uma mesma relacao, do seguinte modo

µ ν se e so se µ1(X) ⊆ ν1(X) e µ2(Y ) ⊆ ν2(Y ),

para todo X ⊆ A e Y ⊆ B.

Proposicao 0.7.9. [DW02] Sejam µ := (µ1, µ2) e ν := (ν1, ν2) pares conjugado de op-

eradores de fecho, com respeito a relacao R ⊆ A × B, tal que µ ν. Entao, Uν1 e um

subreticulado completo de Uµ1 e Uν2 e um subreticulado completo de Uµ2. Como tambem,

a relacao Rν e uma subrelacao Galois-fechada de Rµ.


No proximo capıtulo, usar-se-ao estas ferramentas para encontrar alguns dos subretic-

ulados completos do reticulado das variedades e do reticulado das pseudovariedades.

Capıtulo 1

Variedades M-solidas de algebras

O objectivo deste capıtulo e obter alguns dos subreticulados completos, dos reticulados

L(τ) e Lps(τ), usando a nocao de hiperidentidade. Para definir de modo mais rigoroso

hiperidentidade, na seccao 1.1, define-se hipersubstituicao e prova-se que as hipersubsti-

tuicoes constituem um monoide. Usando a nocao de hipersubstituicao, descreve-se a con-

strucao de algebras derivadas e relaciona-se esta construcao algebrica com outras. Alguns

subconjuntos de hipersubstituicoes, que formam submonoides, sao apresentados na seccao

1.2. Na seccao 1.3, define-se hiperidentidade e da-se uma caracterizacao tipo-Birkhoff das

classes hiperequacionais. A partir dos resultados da seccao 0.7 e usando submonoides de

hipersubstituicoes, descreve-se o modo de obter subreticulados completos de L(τ). Nas

seccoes 1.4 e 1.5, apresenta-se a caracterizacao das teorias hiperequacionais em termos

de congruencias e tambem atraves de regras de inferencia. Por ultimo, na seccao 1.6,

aplicando agora os resultados da seccao 0.6, descreve-se o modo de obter subreticulados

completos de Lps(τ).

1.1 Hipersubstituicoes

A nocao de hipersubstituicao aparece ja de forma intuitiva em [GS90], sendo in-

troduzida em [DLPS91]. A sua utilizacao na definicao das hiperidentidades, ate entao

definidas intuitivamente, tem como objectivo expressar a substituicao das operacoes fun-

damentais por termos da mesma aridade. Um nocao central nesta teoria e a de algebra

derivada. Dada uma algebra, utilizando uma hipersubstituicao e possıvel definir uma

nova algebra, com o mesmo universo e onde as operacoes fundamentais sao substituıdas

por operacoes termo da algebra inicial. Os resultados seguintes seguem [DLPS91], [DR95]

33

34 CAPITULO 1. VARIEDADES M -SOLIDAS DE ALGEBRAS

e [Sch98].

Definicao 1.1.1. Seja fi : i ∈ I o conjunto dos sımbolos operacionais do tipo τ . Uma

hipersubstituicao do tipo τ e uma aplicacao σ : fi : i ∈ I → Tτ (Xω) que preserva

aridades, ou seja, o sımbolo operacional fi de aridade ni e aplicado no termo σ(fi) de

aridade ni, para todo i ∈ I.

Pode-se entender um hipersubstituicao como um aplicacao dos termos fundamentais

fi(x1, . . . , xni), para i ∈ I, em Tτ (Xω). Portanto, devido a estrutura indutiva de Tτ (X),

cada hipersubstituicao induz uma aplicacao σ : Tτ (X) → Tτ (X), tal que para t ∈ Tτ (X),

a imagem σ[t] e definida do seguinte modo:

(1) σ[x] := x, para todo o x ∈ X;

(2) σ[fi(t1, . . . , tni)] := σ(fi)(σ[t1], . . . , σ[tni

]), para t = fi(t1, . . . , tni), com i ∈ I.

Em que o lado direito da expressao (2) e interpretado como a sobreposicao do termo

σ(fi) com os termos σ[t1], . . . , σ[tni]. Pela definicao de extensao de uma hipersubstituicao,

conclui-se que σ[fi(xi, . . . , xni)] = σ(fi). Por inducao estrutural nos termos, conclui-se

facilmente que σ[t(t1, . . . , tn)] = σ[t](σ[t1], . . . , σ[tn]), para t ∈ Tτ (Xn) e t1, . . . , tn ∈ Tτ (X).

Seja Hyp(τ) o conjunto de todas as hipersubstituicoes do tipo τ . Defina-se a multi-

plicacao h em Hyp(τ), da seguinte forma

σ1, σ2 ∈ Hyp(τ) σ1 h σ2 := σ1 σ2,

onde denota a composicao usual de aplicacoes e onde σ1 σ2 e a hipersubstituicao

que aplica o sımbolo fi no termo σ1[σ2(fi)], para todo i ∈ I. Seja σid a denominada

hipersubstituicao identidade , que aplica o sımbolo fi no termo fundamental correspondente

fi(xi, . . . , xni), para todo i ∈ I.

Proposicao 1.1.2. [DR95] Seja τ um tipo de algebras. Valem as seguintes propriedades:

(i) Para quaisquer hipersubstituicoes σ1 e σ2 do tipo τ , tem-se

(σ1 h σ2) = (σ1 σ2) = σ1 σ2;

(ii) a operacao binaria h e associativa;

(iii) Hypτ = 〈Hyp(τ); h, σid〉 e um monoide.

1.1. HIPERSUBSTITUICOES 35

Demonstracao: (i) Prova-se por inducao estrutural nos termos. Seja t ∈ Tτ (Xn) um

termo n-ario, para n > 1. Se t = xi, para 1 6 i 6 n, entao (σ1 h σ2) [xi] = (σ1 σ2) [xi] =

σ1 σ2[xi], pela definicao de extensao de uma hipersubstituicao. Seja t = fi(t1, . . . , tni)

e por hipotese de inducao (σ1 h σ2) [tj ] = (σ1 σ2) [tj ] = σ1 σ2[tj ], para todo 1 6

j 6 ni. Entao, (σ1 h σ2) [t] = (σ1 h σ2)(fi)((σ1 h σ2) [t1], . . . , (σ1 h σ2) [tni]) = (σ1

σ2(fi))((σ1 σ2) [t1], . . . , (σ1 σ2) [tni]) = (σ1 σ2) [t]. Do mesmo modo, (σ1 σ2) [t] =

(σ1σ2)(fi)((σ1σ2) [t1], . . . , (σ1σ2) [tni]) = (σ1σ2(fi))((σ1σ2)[t1], . . . , (σ1σ2)[tni

]) =

σ1[σ2(fi)(σ2[t1], . . . , σ2[tni])] = σ1 σ2[t]. Portanto, (σ1 hσ2) [t] = (σ1 σ2) [t] = σ1 σ2[t],

para todo t ∈ Tτ (Xn).

(ii) Sejam σ1, σ2 e σ3 ∈ Hyp(τ) hipersubstituicoes do tipo τ . Entao, σ1 h (σ2 h σ3) =

σ1 (σ2 σ3) = (σ1 σ2) σ3 = (σ1 σ2) σ3 = (σ1 h σ2) h σ3, usando o facto de ser

associativa e as igualdades de (i).

(iii) Seja σ ∈ Hyp(τ), entao σhσid = σσid = σ e σidhσ = σidσ = σ, simplesmente

pela definicao de h. Portanto, como a operacao h e associativa, por (ii), e como σid se

comporta como elemento neutro, conclui-se que 〈Hyp(τ); h, σid〉 e um monoide.

Usando as hipersubstituicoes, define-se a seguinte construcao algebrica.

Definicao 1.1.3. Seja A uma algebra e σ ∈ Hyp(τ) uma hipersubstituicao do mesmo

tipo τ . A algebra σ[A] := 〈A; (σ(fi)A)i∈I〉 e uma algebra do tipo τ , denominada algebra

derivada de A pela hipersubstituicao σ. A algebra σ[A] diz-se uma algebra M -derivada

de A se σ ∈M , para M ⊆ Hyp(τ).

Exemplo 1.1.4. Seja Z3 = 〈0, 1, 2; +〉 o grupo cıclico de ordem 3, onde + denota a adicao

modulo 3.

Como a operacao + e associativa e comutativa, logo Z3 pertence a variedade de todos

os semigrupos comutativos. Para t ∈ T(2)

(X2), seja σt ∈ Hyp(2) a hipersubstituicao que

aplica o sımbolo operacional binario f no termo t e σt[Z3] = 〈1, 2, 3; tZ3〉 a algebra

derivada de Z3, pelo hipersubstituicao σt. Se t = f(x, f(y, y)), entao tZ3(a, b) = a + 2b,

para todo a, b ∈ Z3. Mas como tZ3(0, tZ3(1, 2)) = tZ3(0, 2) = 2 e tZ3(tZ3(0, 1), 2) =

tZ3(2, 2) = 0, conclui-se que tZ3 nao e associativa. Portanto, σt[Z3] nao e um semigrupo

e portanto nao pertence a variedade dos semigrupos comutativos. Contudo, se t(x, y) =

f(y, x), entao σt[Z3] = Z3, devido ao facto de + ser comutativa.


Lema 1.1.5. [Sch98] Sejam A e B algebras do tipo τ e σ ∈ Hyp(τ) uma hipersubstituicao.

Cada homomorfismo (resp. isomorfismo) ϕ : A → B e tambem um homomorfismo (resp.

isomorfismo) ϕ : σ[A] → σ[B], entre as algebras derivadas σ[A] e σ[B].

Demonstracao: Pelo facto de ϕ : A → B ser um homomorfismo e por inducao estrutural

nos termos, prova-se que, para todo t ∈ Tτ (Xω), ϕ(tAi (a1, . . . , ani)) = tBi (ϕ(a1), . . . , ϕ(ani

)),

para todo a1, . . . , ani∈ A. Em particular, ϕ(σ(fi)

A

i (a1, . . . , ani)) = σ(fi)

B

i (ϕ(a1), . . . , ϕ(ani)),

para todo i ∈ I e a1, . . . , ani∈ A. Portanto, tem-se o homomorfismo ϕ : σ[A] → σ[B].

Corolario 1.1.6. [Sch98] Seja A uma algebra do tipo τ e σ ∈ Hyp(τ) uma hipersubsti-

tuicao. Entao, ConA e um inf-subsemirreticulado de Conσ[A].

Demonstracao: Pelo Lema anterior, conclui-se que ConA ⊆ Conσ[A], para qualquer

σ ∈ Hyp(τ). Pelo facto de o ınfimos de ConA e Conσ[A] coincidirem com a interseccao

das relacoes, conclui-se que ConA e um inf-subsemirreticulado de Conσ[A].

O Lema seguinte descreve o modo como as algebras derivadas se relacionam com out-

ras construcoes algebricas, nomeadamente imagens homomorfas, subalgebras e produtos

directos.

Lema 1.1.7. [Sch98] Sejam A e B algebras do tipo τ e σ ∈ Hyp(τ) uma hipersubstituicao.

Valem as seguintes propriedades:

(i) para toda a congruencia θ ∈ ConA, vem σ[A/θ] = σ[A]/θ;

(ii) se B e uma subalgebra de A entao σ[B] e uma subalgebra de σ[A] e SubA e um

inf-subsemirreticulado de Sub σ[A];

(iii) seja Ajj∈J uma famılia de algebras, entao σ[∏j∈J Aj ] =

∏j∈J σ[Aj ].

Demonstracao: (i) Seja A uma algebra do tipo τ e σ ∈ Hyp(τ) uma hipersubstituicao.

Seja θ ∈ ConA uma congruencia de A. Entao, pelo Lema 1.1.6, vem que θ ∈ Conσ[A] e

portanto existe a algebra quociente σ[A]/θ. Ambas as algebras, σ[A/θ] e σ[A]/θ, tem como

1.1. HIPERSUBSTITUICOES 37

universo as θ-classes do conjunto A. Para que σ[A/θ] = σ[A]/θ e necessario, tambem, que

as operacoes de ambas as algebras coincidam. Tem-se que

fσ[A/θ]i ([a1]θ, . . . , [ani

]θ) = [σ(fi)A(a1, . . . , ani

)]θ =

= [fσ[A]i (a1, . . . , ani

)]θ = fσ[A]/θi ([a1]θ, . . . , [ani

]θ),

para todo [a1]θ, . . . , [ani]θ ∈ A/θ e i ∈ I. Portanto, σ[A/θ] = σ[A]/θ.

(ii) Sejam A e B algebras do tipo τ , tal que B e uma subalgebra de A. Seja σ ∈ Hyp(τ)

uma hipersubstituicao. Claramente, o universo de σ[B] e um subuniverso nao vazio de

σ[A]. Para que σ[B] seja uma subalgebra de σ[A] e necessario que fσ[B]i = f

σ[A]i|B

, para

todo i ∈ I. Tem-se que fσ[B]i (b1, . . . , bni

) = σ(fi)B(b1, . . . , bni

) = σ(fi)A(b1, . . . , bni

) =

fσ[A]i (b1, . . . , bni

), para todo b1, . . . , bni∈ B e i ∈ I. Portanto, σ[B] ∈ Sub σ[A]. Deste

modo, prova-se que SubA ⊆ Sub σ[A] e pelo facto de os ınfimos dos reticulados SubA e

Sub σ[A] coincidirem, conclui-se SubA e um inf-subsemirreticulado de Sub σ[A].

(iii) Seja Ajj∈J uma famılia de algebras do tipo τ e σ ∈ Hyp(τ) uma hipersub-

stituicao. Tanto a algebra P = σ[∏j∈J Aj ] como a algebra P′ =

∏j∈J σ[Aj ], tem como

universo o produto cartesiano∏j∈J Aj . E necessario provar que as operacoes fundamen-

tais, de ambas as algebras, tambem coincidem. Tem-se que

fP

i (a1, . . . , ani) = σ(fi)

Q

j∈J Aj (a1, . . . , ani) = (σ(fi)

Aj (a1,j , . . . , ani,j))j∈J =

= (fσ[Aj ]i (a1,j , . . . , ani,j))j∈J = f

Q

j∈J σ[Aj ]

i (a1, . . . , ani) = fP

′

i (a1, . . . , ani),

para todo a1, . . . , ani∈

∏j∈J Aj e i ∈ I. Consequentemente, σ[

∏j∈J Aj ] =

∏j∈K σ[Aj ].

Relacionando a propriedade universal de Tτ (X) com as algebras derivadas, estabelece-

se a seguinte propriedade.

Lema 1.1.8. [DLPS91] Seja A uma algebra do tipo τ e σ ∈ Hyp(τ) uma hipersubstituicao.

Para todo o homomorfismo ϕ : Tτ (X) → A, vem que ψ = ϕ σ e o unico homomorfismo

ψ : Tτ (X) → σ[A], tal que ϕ(x) = ψ(x), para todo x ∈ X. Reciprocamente, para todo o

homomorfismo ψ : Tτ (X) → σ[A], vem que ψ = ϕ σ, onde ϕ : Tτ (X) → A e o unico

homomorfismo tal que ϕ(x) = ψ(x), para todo x ∈ X.


Demonstracao: Seja A uma algebra do tipo τ , σ ∈ Hyp(τ) uma hipersubstituicao e

ϕ : Tτ (X) → A um homomorfismo. Seja σ : Tτ (X) → Tτ (X) a aplicacao que estende a

hipersubstituicao σ ao conjunto de todos os termos do tipo τ , sobre X. Como

σ(fTτ (Xn)i (t1, . . . , tni

)) = σ(fi)Tτ (Xn)(σ[t1], . . . , σ[tni

]) ∈ Tτ (X),

para todo t1, . . . , tni∈ Tτ (X) e i ∈ I, entao σ e um homomorfismo entre as algebras

Tτ (X) e σ[Tτ (X)]. Pelo Lema 1.1.5, temos o homomorfismo ϕ : σ[Tτ (X)] → σ[A]. Seja

ψ : Tτ (X) → σ[A] o homomorfismo ψ = ϕ σ, entao ψ(x) = ϕ(x), para todo x ∈ X.

Pela propriedade universal de Tτ (X), a aplicacao ψ e o unico homomorfismo que estende

a aplicacao ψ|X : X → A. Reciprocamente, seja ψ : Tτ (X) → σ[A] um homomorfismo.

Seja ϕ : Tτ (X) → A o unico homomorfismo que estende a aplicacao ψ|X : X → A, a

um homomorfismo de Tτ (X) para A. Como ϕ σ(x) = ψ(x), para todo x ∈ X, entao

ϕ σ = ψ.

A Proposicao seguinte descreve o modo como as identidades de uma algebra estao

relacionadas com as identidades das suas algebras derivadas. Esta propriedade tem um

papel central na aplicacao dos resultados da seccao 0.7.

Proposicao 1.1.9. [DR95] Seja A uma algebra e σ ∈ Hyp(τ) uma hipersubstituicao, do

mesmo tipo τ . Para todo s, t ∈ Tτ (X),

A |= σ[s] ≈ σ[t] se e so se σ[A] |= s ≈ t.

Demonstracao: (⇒) Seja A uma algebra e σ ∈ Hyp(τ) uma hipersubstituicao. Suponha-

se que A |= σ[s] ≈ σ[t]. Pelo lema 1.1.8, para qualquer homomorfismo ψ : Tτ (X) → σ[A],

vem que ψ = ϕ σ, onde ϕ : Tτ (X) → A e o homomorfismo que estende a aplicacao

ψ|X : X → A a um homomorfismo para A. Desde modo, ψ(t) = ϕ(σ(t)) = ϕ(σ(s)) = ψ(s).

Portanto, σ[A] |= t ≈ s.

(⇐) Reciprocamente, suponha-se que σ[A] |= s ≈ t. Pelo Lema 1.1.8, para qualquer

homomorfismo ϕ : Tτ (X) → A, ϕ σ e o unico homomorfismo que estende a aplicacao

ϕ|X : X → A, a um homomorfismo para σ[A]. Consequentemente, ϕ(σ[t]) = ψ(t) =

ψ(s) = ϕ(σ[s]) e portanto A |= σ[s] ≈ σ[t].

Como consequencia da Proposicao tira-se que tσ[A] = σ[t]A, para todo t ∈ Tτ (X).

1.2. MONOIDES DE HIPERSUBSTITUICOES 39

1.2 Monoides de hipersubstituicoes

Em [DR95], mostrou-se o papel relevante dos submonoides de hipersubstituicoes, na

obtencao de subreticulados completos de L(τ). Existem varios submonoides de hiper-

substituicoes de Hyp(τ), que se obtem de modo natural, baseadas em propriedades das

hipersubstituicoes. Os resultados seguinte baseiam-se em [DW00].

Definicao 1.2.1. Seja σ ∈ Hyp(τ) uma hipersubstituicao do tipo τ . A hipersubstituicao

σ diz-se:

(i) regular se todas as variaveis x1, . . . , xniocorrem em σ(fi), para todo o i ∈ I. Seja

Reg(τ) o conjunto de todas as hipersubstituicoes regulares do tipo τ .

(ii) simetrica se existe uma permutacao αi, do conjunto 1, . . . , ni, tal que

σ(fi) = fi(xαi(1), . . . , xαi(ni)),

para todo i ∈ I. Seja Sim(τ) o conjunto de todas as hipersubstituicoes simetricas

do tipo τ .

(iii) pre-hipersubstituicao se σ(fi) nao e uma variavel, para todo o i ∈ I. Seja Pre(τ) o

conjunto de todas as pre-hipersubstituicoes do tipo τ .

(iv) alfabetica se σ(fi) = fj(x1, . . . , xnj), para algum j ∈ I, com nj = ni, para todo o

i ∈ I. Seja Alf(τ) o conjunto de todas as hipersubstituicoes alfabeticas do tipo τ .

(iv) ordem k se o numero de operacoes em σ(fi) e menor ou igual que k > 0, ou seja

op(σ(fi)) 6 k para todo o i ∈ I. Seja Hypk(τ) o conjunto de todas as hipersubsti-

tuicoes de ordem k.

O conjunto Hyp0(τ) e constituıdo pelas hipersubstituicao para a quais

σ(fi) ∈ x1, . . . , xni, para todo i ∈ I, que se denominam hipersubstituicoes projeccao.

Assim sendo, vem que Pre(τ) ⊆ Hyp(τ)/Hyp0(τ).

Proposicao 1.2.2. [DW00] Para todo o tipo τ , os conjuntos Reg(τ), Sim(τ), Pre(τ),

Alf(τ) e Hyp1(τ) sao subuniversos do monoide Hyp(τ).

Demonstracao: Facilmente se conclui que a hipersubstituicao identidade σid pertence a

qualquer um dos conjuntos. Seja σ ∈ Reg(τ) e t ∈ Tτ (Xω) um termo. Pretende-se provar


que as variaveis que ocorrem em t e σ[t] sao as mesmas. Prove-se por inducao estrutural.

O caso base t = x e obvio. Suponha-se que t = fi(t1, . . . , tni) e para todo o j = 1, . . . , ni,

as variaveis que ocorrem em tj e σ[tj ] sao as mesmas. Como σ[t] = σ(fi)(σ[t1], . . . , σ[tni])

e σ e regular, conclui-se que em t e σ[t] ocorrem as mesmas variaveis. Usando este facto

para hipersubstituicoes σ1, σ2 ∈ Reg(τ), vem que em σ1 h σ2(fi) = σ1[σ2[fi]] ocorrem as

mesmas variaveis de fi(x1, . . . , xni), para todo i ∈ I. Logo, σ1 h σ2 ∈ Reg(τ) e portanto

Reg(τ) e um subuniverso de Hyp(τ).

Sejam σ1, σ2 ∈ Sim(τ) hipersubstituicoes simetricas, com as respectivas famılias de

permutacoes (αi)i∈I e (α′i)i∈I . Para todo o i ∈ I, vem que

σ1 h σ2(fi) = σ1[fi(xα′i(1)

, . . . , xα′i(ni))] = fi(xαi(α′

i(1)), . . . , xαi(α′

i(ni))).

Como αi α′i e uma permutacao do conjunto 1, . . . , ni, para todo i ∈ I, entao σ1 h σ2

e uma hipersubstituicao simetrica e portanto Sim(τ) e um subuniverso de Hyp(τ).

Para os conjuntos Pre(τ) e Alf(τ), conclui-se facilmente das suas definicoes que sao

subuniversos.

Sejam σ1, σ2 ∈ Hyp1(τ). Para todo i ∈ I, pretende-se verificar que σ1 h σ2(fi) tem

no maximo uma operacao. Prove-se por inducao estrutural, que para σ ∈ Hyp1(τ) e

qualquer termo t ∈ Tτ (Xω), vem op(σ[t]) 6 op(t). O caso base t = x e obvio. Suponha-se

que t = fi(t1, . . . , tni) e que a propriedade se verifica para os termos t1, . . . , tni

. Tem-se que

op(fi(t1, . . . , tni)) = 1 +op(t1) + · · ·+op(tni

) e que op(σ[t]) = op(σ(fi)(σ[t1], . . . , σ[tni])) =

op(σ(fi)) + op(σ[t1]) + · · · + op(σ[tni]) 6 1 + op(t1) + · · · + op(tni

) = op(t). Usando esta

facto, vem que op(σ1 h σ2(fi)) = op(σ1[σ2(fi)]) 6 op(σ2(fi)) 6 1, para todo i ∈ I, e

portanto σ1 h σ2 ∈ Hyp1(τ). Donde se conclui que Hyp1(τ) e um subuniverso de Hyp(τ).

As relacoes entre estes diferentes submonoides de hipersubstituicoes sao descritas na

Proposicao seguinte.

Proposicao 1.2.3. [DW00] Seja τ um tipo de algebras. Entao, valem as seguintes

condicoes:

i) Sim(τ) ⊂ Reg(τ) ⊆ Pre(τ) ⊂ Hyp(τ);

ii) Alf(τ) ⊂ Reg(τ), Alf(τ) ⊂ Hyp1(τ) e Sim(τ) ⊂ Hyp1(τ);

1.2. MONOIDES DE HIPERSUBSTITUICOES 41

iii) Sim(τ) ∨Alf(τ) = Hyp1(τ) ∧Reg(τ).

Demonstracao: i), ii) As inclusoes concluem-se directamente das definicoes. Como

Pre(τ) ⊆ Hyp(τ)/Hyp0(τ), entao Pre(τ) ⊂ Hyp(τ).

A hipersubstituicao σ(fi) = fi(fi(x1, . . . , xni), . . . , fi(x1, . . . , xni

)) e regular mas nao e

simetrica nem alfabetica, logo Sim(τ) ⊂ Reg(τ) e Alf(τ) ⊂ Reg(τ). Por ultimo, Alf(τ) ⊂

Hyp1(τ) e Sim(τ) ⊂ Hyp1(τ) visto que Hyp0(τ) ⊆ Hyp1(τ), mas Hyp0(τ) * Alf(τ) e

Hyp0(τ) * Sim(τ).

ii) Pelas inclusoes de i) e ii), vem que Sim(τ) ∨ Alf(τ) ≤ Hyp1(τ) ∧ Reg(τ). Por

outro lado, toda a hipersubstituicao σ de Hyp1(τ) ∧ Reg(τ) e da forma σ1 h σ2, para

algum σ1 ∈ Sim(τ) e σ2 ∈ Alf(τ). Assim, conclui-se a outra inclusao e portanto

Sim(τ) ∨ Alf(τ) = Hyp1(τ) ∧ Reg(τ).

Exemplo 1.2.4. Considere-se o conjunto Hyp(2) das hipersubstituicoes do tipo (2). Seja

σt ∈ Hyp(2) a hipersubstituicao que aplica a operacao binaria no termo t ∈ T(2)(X2).

Existem apenas duas hipersubstituicoes projeccao σx e σy. Tem-se a pre-hipersubstituicao

σxx, que nao e regular. A unica hipersubstituicao simetrica alem da hipersubstituicao

identidade e σyx. Nao existem hipersubstituicao alfabeticas, alem da hipersubstituicao

identidade, visto que ha apenas um sımbolo operacional.

Seja Id(τ) o monoide trivial, constituıdo apenas pela hipersubstituicao identidade. O

seguinte diagrama de Hasse ilustra a Proposicao anterior.


s

ss

s

s

s

s

s

@@

@@@

@@

@@@

@@

@@@

JJ

JJ

JJJ

Id(τ)

Alf(τ)Sim(τ)

Sim(τ) ∨ Alf(τ)

Reg(τ)

Pre(τ)

Hyp(τ)

Hyp1(τ)

No Capıtulo 4, mostra-se como alguns destes submonoides de hipersubstituicoes tem

aplicacao na teoria das linguagens de arvore.

1.3 Variedades M-solidas

No que se segue, M ⊆ Hyp(τ) denota o universo de um submonoide de hipersubsti-

tuicoes de Hyp(τ). Comeca-se por definir hiperidentidade, a satisfacao de uma hiperiden-

tidade e variedade M -solida. De seguida, consideram-me dois operadores fecho e prova-se

que sao conjugados relativamente a relacao R|=. Utilizando os resultados da seccao 0.7,

da-se uma caracterizacao tipo-Birkhoff das variedades M -solidas, a custa das hiperidenti-

dades. Para cada M ⊆ Hyp(τ), prova-se que o conjunto das variedades M -solidas forma

1.3. VARIEDADES M -SOLIDAS 43

um subreticulado completo de L(τ). Os resultados da seccao baseiam-se em [DR95],

[Gra98] e [DW00].

Definicao 1.3.1. Seja A uma algebra do tipo τ e s ≈ t ∈ Eq(τ). Diz-se que a algebra A

M -hipersatisfaz a equacao s ≈ t, ou que s ≈ t e uma M -hiperidentidade em A, se para

qualquer hipersubstituicao σ ∈ M , a equacao σ[s] ≈ σ[t] e uma identidade na algebra A.

Denota-se por A |=M -h

s ≈ t.

Uma algebra M -hipersatisfaz um conjunto de equacoes, se M -hipersatisfaz todas as

suas equacoes. Uma classe M -hipersatisfaz um conjunto de equacoes, se todas as suas

algebras M -hipersatisfazem o conjunto de equacoes. Denote-se por IdMh (A) o conjunto

de todas as M -hiperidentidades de A e, para uma classe de algebras K, seja IdMh (K) o

conjunto de todas as equacoes M -hipersatisfeitas por K, que se designa teoria M -hiper-

equacional. Para um conjunto de equacoes Σ ⊆ Eq(τ), denote-se por ModMh (Σ) a classe

de todas as algebras que M -hipersatisfazem todas as equacoes de Σ, denominada classe

M -hiperequacional, ou de M -hipermodelos de Σ. A definicao de M -hiperidentidade induz

a relacao binaria R |=M-h

⊆ Alg(τ) × Eq(τ), tal que para (A, t ≈ s) ∈ Alg(τ) × Eq(τ),

tem-se que (A, t ≈ s) ∈ R |=M-h

se A |=M -h

t ≈ s. Deste modo, facilmente se observa que

(IdMh ,ModMh ) e o par operadores em Alg(τ) e Eq(τ), que forma a conexao de Galois

induzida pela relacao R |=M-h

. Portanto, as classe M -hiperequacionais sao os pontos fixos do

operador de fecho ModMh IdMh , assim como, as teorias M -hiperequacionais sao os pontos

fixos do operador IdMh ModMh .

Segue-se a definicao de dois operadores sobre classes de algebras e conjuntos de equacoes.

Definicao 1.3.2. Seja K ⊆ Alg(τ) uma classe de algebras e A uma algebra do tipo τ .

Denote-se por XMa [A] := σ[A] : σ ∈M o conjunto de todas as algebras M -derivadas de

A; e por XMa [K] :=

⋃A∈K

XMa [A] a classe de todas as algebras M -derivadas de K.

Seja Σ ⊆ Eq(τ) um conjunto de equacoes do tipo τ e s ≈ t ∈ Σ uma equacao. Denote-

se por XMe [s ≈ t] := σ[s] ≈ σ[t] : σ ∈ M conjunto de todas as equacoes M -derivadas

da equacao s ≈ t; seja XMe [Σ] :=

⋃s≈t∈Σ

XMe [s ≈ t] o conjunto de todas as equacoes

M -derivadas de Σ.

Lema 1.3.3. [DR95] Os operadores XMa e XM

e sao operadores de fecho aditivos sobre a

classe de todas as algebras do tipo τ e sobre o conjunto de todas as equacoes do tipo τ ,

respectivamente.


Demonstracao: Seja K ⊆ Alg(τ) uma classe de algebras. Claramente, XMa [K] e uma

classe de algebras do tipo τ . Como σid ∈M e σid[A] = A, entao K ⊆ XMa [K] e portanto

XMa e um operador extensivo. Pela definicao de XM

a , conclui-se que se K1 ⊆ K2 ⊆ Alg(τ)

sao classes de algebras, entao XMa [K1] ⊆ XM

a [K2] e portanto XMa e um operador monotono.

Pela extensividade de XMa , conclui-se que XM

a [K] ⊆ XMa [XM

a [K]]. Seja B ∈ XMa [XM

a [K]],

entao B = σ2[σ1[A]], para A ∈ K e σ1, σ2 ∈ M . Ou seja, B = 〈A, (σ2(fi)σ1[A])i∈I〉.

Usando o facto de, para σ ∈ Hyp(τ), se ter fσ[A]i = σ(fi)

A, para todo i ∈ I, e por

inducao estrutural, prova-se que tσ[A] = σ[t]A, para todo t ∈ Tτ (Xω). Em particular,

σ2(fi)σ1[A] = σ1[σ2(fi)]

A, para todo i ∈ I. Deste modo, aplicando o Lema 1.1.2, vem

que σ1[σ2(fi)]A = σ1 h σ2(fi)

A, para todo i ∈ I, e portanto B = σ1 h σ2[A]. Como

σ1 h σ2 ∈M , entao B ∈ Xa[K] e portanto XMa [XM

a [K]] ⊆ XMa [K]. De ambas as inclusoes

conclui-se que XMa [XM

a [K]] = XMa [K], ou seja, XM

a e um operador idempotente. Da

definicao de XMa conclui-se que e aditivo. Portanto, XM

a e uma operador de fecho aditivo.

De modo analogo, prova-se que XMe e tambem um operador de fecho aditivo.

Definicao 1.3.4. Seja V uma variedade do tipo τ . A variedade V diz-se uma variedade

M -solida se for fechada para algebras M -derivadas de algebras de V , ou seja, XMa [V ] ⊆ V .

Seja Σ ⊆ Eq(τ) uma teoria equacional. A teoria equacional Σ diz-se M -solida se

XMe [Σ] ⊆ Σ, ou seja, se Σ e um conjunto fechado para equacoes M -derivadas.

Para uma variedade M -solida V , tem-se de facto que X aM [V ] = V , pois M contem a

hipersubstituicao identidade. As variedades Alg(τ) e I(τ) sao M -solidas e sao, respectiva-

mente, a maior e a menor variedade M -solida do tipo τ . Seja SM (τ) o conjunto de todas

as variedades M -solidas, do tipo τ . Claramente, a interseccao de variedades M -solidas

e uma variedade que e tambem M -solida. Dado isto, para uma classe K ⊆ Alg(τ) de

algebras do tipo τ , denote-se por VMh (K) a menor variedade M -solida que contem a classe

K, ou seja, a variedade M -solida gerada por K.

Teorema 1.3.5. [DW00, Gra98] Seja K uma classe de algebras do tipo τ . A classe K e

uma variedade M -solida se e so se K = HSPXMA [K].

Demonstracao: (⇐) Seja K um classe de algebras do tipo τ e suponha-se que K =

HSPXMa [K]. A classe K e claramente uma variedade. Prove-se que a variedade K e

fechada para algebras M -derivadas de K.


(1) XMa [P(K)] ⊆ P(XM

a [K]). Seja B ∈ XMa [P(K)], entao B = σ[

∏j∈J Aj∈J ], para

σ ∈ M e Aj ∈ K, para todo j ∈ J . Pelo Lema 1.1.7 (iii), vem que B =∏j∈J σ[Aj ] e

portanto B ∈ P(XMa [K]).

(2) XMa [S(K)] ⊆ S(XM

a [K]). Seja C ∈ XMa [S(K)], entao C = σ[B], com B 6 A, para

σ ∈M e A ∈ K. Pelo Lema 1.1.7 (ii), vem que C 6 σ[A] e portanto C ∈ S(XMa [K]).

(3) XMa [H(K)] ⊆ H(XM

a [K]). Seja C ∈ XMa [H(K)], entao C = σ[B], para σ ∈ M

e B ∼= A/θ, tal que A ∈ K e θ ∈ ConA. Pelos Lemas 1.1.7 (i) e 1.1.5, vem que

σ[B] ∼= σ[A/θ] = σ[A]/θ. Portanto, C ∈ H(XMa [K]).

Deste modo, XMa [K] = XM

a [HSPXMa (K)] ⊆ H(XM

a [SPXMa [K]] ⊆ HS(XM

a [PXMa [K]]) ⊆

HSPXMa [XM

a [K]] = HSPXMa [K] = K, pelas propriedades (1) (2) (3) e pela idempotencia

do operador XMa . Conclui-se que a variedade K e M -solida.

(⇒) Seja K uma variedade M -solida. Da definicao de variedade M -solida, vem que

HSPXMa [K] = HSP(K) = K.

Da demonstracao do Teorema anterior, conclui-se o seguinte resultado.

Corolario 1.3.6. Para uma classe de algebras K ⊆ Alg(τ), vem que X aM [P(K)] ⊆

P(X aM [K]), X a

M [S(K)] ⊆ S(X aM [K]) e X a

M [H(K)] ⊆ H(X aM [K]).

Corolario 1.3.7. [Gra98] Seja K uma classe de algebras. Entao, VMh (K) = HSPXM

A (K).

Demonstracao: Pelo Teorema anterior, HSPXMA (K) e uma variedade M -solida e pela

extensividade dos operadores H,S,P e XMa , vem que K ⊆ HSPXM

A (K). Seja V uma

variedade M -solida, tal que K ⊆ V . Entao, XMa [K] ⊆ V , PXM

a [K] ⊆ V , SPXMa [K] ⊆ V

e HSPXMa [K] ⊆ V . Portanto, HSPXM

a [K] e a menor variedade M -solida que contem a

classe K.

O seguinte resultado sera bastante util no tarefa de verificar se uma determinada

variedade e M -solida.

Corolario 1.3.8. Seja V = HSP(K) uma variedade do tipo τ , gerada pela classe de

algebras K ⊆ Alg(τ). Entao, a variedade V e M -solida se e so se XMa [K] ⊆ V .


Demonstracao: (⇒) Pelo facto de XMa ser um operador de fecho e V ser M -solida, vem

que XMa [K] ⊆ XM

a [V ] = V .

(⇐) Pelo Corolario 1.3.6, vem que XMa [V ] = XM

a [HSP(K)] ⊆ HSPXMa [K] ⊆ HSP(V ) =

V . Donde se conclui que V e uma variedade M -solida.

A Proposicao seguinte e o resultado chave na aplicacao dos resultados da seccao 0.7.

Proposicao 1.3.9. [DR95] Os operadores XM := (XMa ,XM

e ) formam um par de op-

eradores de fecho conjugados relativamente a relacao R|= e a subrelacao Galois-fechada

definida por XM e a relacao R |=M-h

.

Demonstracao: Pelo Lema 1.3.3, XM := (XMa ,XM

e ) e um par de operadores de fecho

aditivos. De acordo com a Definicao 0.7.2, para que XM seja um par de operadores

conjugados, com respeito a R|=, e necessario que

XMa [A] × t ≈ s ⊆ R|= se e so se A × XM

e [t ≈ s] ⊆ R|=,

para qualquer A ∈ Alg(τ) e t ≈ s ∈ Eq(τ). Suponha-se que XMa [A] × t ≈ s ⊆ R|=,

para A ∈ Alg(τ) e t ≈ s ∈ Eq(τ). Deste modo, (σ[A], t ≈ s) ∈ R|=, para todo σ ∈ M .

Pela Proposicao 1.1.9, vem que (σ[A], t ≈ s) ∈ R|= se e so se (A, σ[t] ≈ σ[s]) ∈ R|=, para

σ ∈ M . Ou seja, A × XMe [t ≈ s] ⊆ R|=. Seja RXM a relacao definida pelo par de

operadores XM , entao

RXM := (A, t ≈ s) ∈ Alg(τ) × Eq(τ) : (A,XMe [t ≈ s]) ∈ R|=.

Pela Proposicao 0.7.7, RXM e uma subrelacao Galois-fechada deR|=. Seja (A, t ≈ s) ∈ RXM ,

entao A |= σ[t] ≈ σ[s] , para todo σ ∈M . Portanto, A |=M -h

t ≈ s, ou seja, (A, t ≈ s) ∈ R |=M-h

.

Do mesmo modo, se (A, t ≈ s) ∈ R |=M-h

, entao A |= σ[t] ≈ σ[s] , para todo σ ∈ M e por-

tanto (A, t ≈ s) ∈ RXM . Logo, conclui-se que RXM= R |=

M-h

, ou seja, R |=M-h

e a subrelacao

Galois-fechada de R|=, definida pelo par de operadores XM .

O Teorema seguinte e consequencia directa do Teorema 0.7.6, para a relacao R|= e o

par de operadores conjugados XM := (XMa ,XM

e ).


Teorema 1.3.10. [DR95] Seja V uma variedade do tipo τ . Entao, as seguintes afirmacoes

sao equivalentes:

(i) V = ModMh (IdMh (V )), V e uma classe M -hiperequacional;

(ii) V e uma variedade M -solida;

(iii) Id(V ) = IdMh (V ), toda a identidade de V e M -hipersatisfeita em V ;

(iv) XMe [Id(V )] = Id(V ), Id(V ) e uma teoria equacional M -solida.

Seja Σ ⊆ Eq(τ) uma teoria equacional do tipo τ . Entao, as seguintes condicoes sao

equivalentes:

(i’) Σ = IdMh (ModMh (Σ)), Σ e uma teoria M -hiperequacional;

(ii’) Σ e uma teoria equacional M -solida;

(iii’) Mod(Σ) = ModMh (Σ);

(iv’) XMa [Mod(Σ)] = Mod(Σ), Mod(Σ) e uma variedade M -solida.

Como consequencia da Proposicao 0.7.9, obtem-se o seguinte Teorema.

Teorema 1.3.11. [DR95] Sejam N 6 M submonoides de hipersubstituicoes. Entao, S(τ)

e SM (τ) formam subreticulados completos de L(τ) com SM (τ) ⊆ SN (τ).

Demonstracao: Pelo facto de XN := (XNa ,X

Ne ) e XM := (XM

a ,XMe ) serem pares conju-

gados, com respeito a relacao R|=, e pelo corolario 0.7.8, conclui-se que SN (τ) e SM (τ) for-

mam subreticulados completos de L(τ). Se N ⊆M , entao para K ⊆ Alg(τ) e Σ ⊆ Eq(τ),

vem que XNa [K] ⊆ XM

a [K] e XNe [Σ] ⊆ XM

e [Σ], pelo facto de os operadores serem aditivos.

Desde modo, tem-se que XN XM . Pelo enunciado na Proposicao 0.7.9, vem que SM (τ)

e um subreticulado completo de SN (τ).


Por exemplo, se M = σid, entao Sσid(τ) = L(τ). No caso em que M = Hyp(τ),

deixa-se cair a letra M de prefixo das definicoes e escreve-se apenas S(τ) para o reticulado

completo das variedades solidas, que e o menor subreticulado completo de L(τ), que se

obtem desta forma.

Como observado no Teorema 1.3.10, os conjuntos fechados para o operador IdMh ModMh

sao os mesmos, que sao fechados simultaneamente para os operadores XMe e IdMod. Ou

seja, as teorias M -hiperequacionais sao as teorias equacionais que sao M -solidas. Pelo

enunciado na Proposicao 0.7.8, vem que o conjunto das teorias M -hiperequacionais forma

um subreticulado completo do reticulado das teorias equacionais. Consequentemente, dao

origem a um subreticulado completo de ConciTτ (Xω). De seguida, dar-se-a a caracter-

izacao destas congruencias, o que possibilitara a descricao das teorias M -hiperequacionais

atraves de regras de inferencia.

1.4 Congruencias totalmente M-invariantes

Seja V um variedade do tipo τ . Ao conjunto Id(V ) de todas identidades satisfeitas por

V , corresponde a congruencia completamente invariante Θ(Id(V )), da algebra de termos

Tτ (Xω). No entanto, se V for uma variedade M -solida e normal que Θ(Id(V )) satisfaca

condicoes adicionais. Comeca-se por definir uma nocao mais fraca de endomorfismo, intro-

duzida em [Kol84]. Introduz-se a nocao de congruencias totalmente invariante, que surge

originalmente em [DLPS91], apresentando uma generalizacao a submonoides contida em

[Gra98]. Os resultados desta seccao seguem [DLPS91] e [Gra98]

A nocao de semi-homomorfismo fraco introduzida por Kolibiar [Kol84] e refinada, em

[Gra98] por Graczynska, utilizando hipersubstituicoes.

Definicao 1.4.1. Sejam A e B algebras do tipo τ . A aplicacao ϕ : A → B diz-se um

semi-homomorfismo fraco se se tem o homomorfismo ϕ : A → σ[B], para alguma hiper-

substituicao σ ∈ M . No caso em que σ ∈ M , diz-se que ϕ e um M -semi-homomorfismo

fraco. Escreve-se ϕ : Asw−→ B.

Um semi-homomorfismo fraco ϕ : Asw−→ A denomina-se semi-endomorfismo fraco.

Denote-se por Endsw(A) o conjunto de todos os semi-endomorfismos fracos de A e por

EndMsw(A) o subconjunto de todos os M -semi-endomorfismos fracos de A.

Facilmente se observa que um usual homomorfismo satisfaz a definicao anterior. Tem-

se os seguintes resultados.

1.4. CONGRUENCIAS TOTALMENTE M -INVARIANTES 49

Lema 1.4.2. Seja A um algebra do tipo τ e ϕ1, ϕ2 M -semi-endomorfismos fracos de A.

Valem as seguintes propriedades:

(i) ϕ1 ϕ2 e tambem um M -semi-endomorfismo fraco de A;

(ii) 〈EndMsw(A); , ϕid〉 e um monoide, onde ϕid e o endomorfismo identidade.

Demonstracao: (i) Se ϕ1, ϕ2 ∈ EndMsw(A) sao M -semi-endomorfismos fracos de A, entao

existem hipersubstituicoes σ1, σ2 ∈M , tal que

ϕ1(fA

i (a1, . . . , ani)) = σ1(fi)

A(ϕ1(a1), . . . , ϕ1(ani)) e

ϕ2(fA

i (a1, . . . , ani)) = σ2(fi)

A(ϕ2(a1), . . . , ϕ2(ani)),

para todo a1, . . . , ani∈ A e i ∈ I. Usando este facto e por inducao estrutural, prova-se

que

ϕ1(tA(a1, . . . , an)) = σ1[t]A(ϕ1(a1), . . . , ϕ1(an)),

para todo o a1, . . . , ani∈ A e t ∈ Tτ (Xω). Deste modo, vem que ϕ1ϕ2(fA

i (a1, . . . , ani)) =

ϕ1(σ2(fi)A(ϕ2(a1), . . . , ϕ2(ani

))) = σ1[σ2(fi)]A(ϕ1 ϕ2(a1), . . . , ϕ1 ϕ2(an)), para todo

a1, . . . , ani∈ A e i ∈ I. Portanto, ϕ1 ϕ2 e um semi-endomorfismo fraco de A. Pela

Proposicao 1.1.2, tem-se que σ1 σ2 = σ1 h σ2 e como σ1 h σ2 ∈M , entao ϕ1 ϕ2 e em

particular um M -semi-endomorfismo fraco de A.

(ii) Por (i), vem que EndMsw(A) e um conjunto fechado para a composicao de aplicacoes.

A composicao de aplicacoes e associativa e ϕϕid = ϕidϕ = ϕ, para todo ϕ ∈ EndMsw(A).

Portanto, 〈EndMsw(A); , ϕid〉 e um monoide.

Denote-se EndMsw(τ) e End(τ), respectivamente, os conjuntos de todos os M - semi-

endomorfismo fracos e dos endomorfismos da algebra Tτ (Xω). Se σ ∈M e um hipersubsti-

tuicao, entao pela definicao da sua extensao ao conjunto Tτ (X), vem que

σ : Tτ (X) → Tτ (X) e um M -semi-endomorfismo fraco de Tτ (X).

Lema 1.4.3. Sejam X e Y quaisquer conjuntos de variaveis. Seja ψ : Tτ (X)sw−→ Tτ (Y )

um M -semi homomorfismo fraco. Entao, existe uma hipersubstituicao σ ∈M e um unico

homomorfismo ϕ : Tτ (X) → Tτ (Y ), tal que ψ = ϕ σ.


Demonstracao: Seja ψ : Tτ (X)sw−→ Tτ (Y ) um M -semi homomorfismo fraco. Assim

sendo, tem-se o homomorfismo ψ : Tτ (X) → σ[Tτ (Y )], para alguma hipersubstituicao

σ ∈ M . Pelo Lema 1.1.8, existe um unico homomorfismo ϕ : Tτ (X) → Tτ (Y ), tal que

ψ = ϕ σ.

Definicao 1.4.4. Seja A um algebra e θ ∈ ConA uma congruencia de A, diz-se que θ

e totalmente M -invariante se (ϕ(a), ϕ(b)) ∈ θ, para todo (a, b) ∈ θ e ϕ ∈ EndMsw(A).

Denote-se por ConMti (A) o conjunto de todas as congruencias totalmente M -invariantes

de A.

Facilmente se conclui que ConMti (A) ⊆ Conci(A). O Teorema seguinte caracteriza as

congruencias de Tτ (Xω), induzidas por teorias M -hiperequacionais.

Teorema 1.4.5. [DLPS91, Gra98] Uma teoria equacional Σ ⊆ Eq(τ) e uma teoria

M -hiperequacional se e so se Θ(Σ) e uma congruencia totalmente M -invariante de Tτ (Xω).

Demonstracao: (⇒) Suponha-se que Σ e uma teoria M -hiperequacional. Pelo Teorema

1.3.10, vem que Σ e uma teoria M -solida, ou seja, XMe [Σ] = Σ. Seja (t, s) ∈ Θ(Σ) e

ϕ ∈ EndMsw(τ) um M -semi-endomorfismo fraco. Pelo Lema 1.4.3, vem que ϕ = ψ σ,

para um endomorfismo ψ ∈ End(τ) e hipersubstituicao σ ∈ M . Desde modo, vem que

(ϕ(t), ϕ(s)) = (ψ σ[t], ψ σ[s]). Pelo facto de Σ ser uma teoria M -solida, tem-se que

(σ[t], σ[s]) ∈ Θ(Σ), visto que σ ∈M . Como Σ e uma teoria equacional, entao Θ(Σ) e uma

congruencia completamente invariante de Tτ (Xω) e portanto (ψ σ[t], ψ σ[s]) ∈ Θ(Σ).

Logo, Θ(Σ) e uma congruencia totalmente M -invariante de Tτ (Xω).

(⇐) Suponha-se que Θ(Σ) e uma congruencia totalmente M -invariante de Tτ (Xω) e

σ ∈M uma hipersubstituicao. Tem-se o M -semi-endomorfismo fraco

σ : Tτ (Xω)sw−→ Tτ (Xω).

Para t ≈ s ∈ Σ, vem que (σ[t], σ[s]) ∈ Θ(Σ), visto Θ(Σ) ser uma congruencia totalmente

M -invariante. Logo, σ[t] ≈ σ[s] ∈ Σ, para todo σ ∈ M , e portanto Σ e uma teoria

M -solida, que e equivalente a ser uma teoria M -hiperequacional.

1.5. LOGICA M -HIPEREQUACIONAL 51

Proposicao 1.4.6. [DLPS91, Gra98] O conjunto de todas as congruencias totalmente

M -invariantes de Tτ (Xω) forma um subreticulado completo do reticulado das congruencias

completamente invariantes de Tτ (Xω). Os reticulados ConMti (τ) e SM (τ) sao dualmente

isomorfos.

Demonstracao: Conclui-se directamente do Corolario 0.7.8.

O seguinte resultado apresenta uma outra caracterizacao das variedades M -solidas,

usando os M -semi-homomorfismos fracos.

Teorema 1.4.7. Seja V uma variedade de algebras do tipo τ . A variedade V e M -solida

se e so se para todo o M -semi-homomorfismo fraco ϕ : Asw−→ B bijectivo, se B ∈ V entao

A ∈ V .

Demonstracao: (⇒) Seja V uma variedade M -solida e ϕ : Asw−→ B um M -semi-

homomorfismo fraco bijectivo, com B ∈ V . Logo, existe uma hipersubstituicao σ ∈ M ,

tal que ϕ : A → σ[B] e um isomorfismo. Como V e M -solida, entao σ[B] ∈ V e portanto

A ∈ V .

(⇐) Seja A ∈ V e σ ∈ M uma hipersubstituicao. A aplicacao idA : σ[A] → A e

um M -semi-homomorfismo fraco bijectivo, logo σ[A] ∈ V . Portanto, V e uma variedade

M -solida.

1.5 Logica M-hiperequacional

As teorias equacionais foram caracterizadas por Birkhoff, como os conjuntos de equacoes

fechados relativamente a cinco regras de inferencia da logica equacional. As teorias

M -hiperequacionais podem ser caracterizadas de modo analogo, usando as mesmas cinco

regras de inferencia, juntamente com uma nova regra de inferencia denominada regra da

M -hipersubstituicao. Os resultados da seccao seguem [Den98], [Gra98] e [DW00].


Definicao 1.5.1. (Logica M -hiperequacional.) Seja Σ ⊆ Eq(τ) um conjunto de equacoes

e t ≈ s ∈ Eq(τ) uma equacao. Escreve-se Σ |=M -h

t ≈ s se A |=M -h

Σ implica A |=M -h

t ≈ s, para

toda a algebra A ∈ Alg(τ). Escreve-se Σ ⊢M -h

t ≈ s se existe uma deducao formal de t ≈ s

a partir de equacoes de Σ e usando as seguintes regras de inferencia:

(1) ⊢M -h

t ≈ t;

(2) t1 ≈ t2 ⊢M -h

t2 ≈ t1;

(3) t1 ≈ t2, t2 ≈ t3 ⊢M -h

t1 ≈ t3;

(4) tj ≈ sj : 1 6 j 6 ni ⊢M -h

fi(t1, . . . , tni) ≈ fi(s1, . . . , sni

) para todo o sımbolo

operacional fi, i ∈ I;

(5) sejam t, s, r ∈ Tτ (Xω) e t′ e s′ os termos obtidos de t e s, substituindo todas as

ocorrencias de uma variavel xi pelo termo r, entao t ≈ s ⊢M -h

t′ ≈ s′ (regra da

substituicao);

(6) t1 ≈ t2 ⊢M -h

σ[t1] ≈ σ[t2], para toda a hipersubstituicao σ ∈ M (regra da

M -hipersubstituicao).

Por outras palavras, para um conjunto de equacoes Σ ⊆ Eq(τ), Σ ⊢M -h

t ≈ s significa

que existe uma sequencia finita de equacoes t1 ≈ s1, . . . tk−1 ≈ sk−1, tk ≈ sk, com tk = t e

sk = s, tal que ti ≈ si pertence a Σ ou e obtida de algumas das equacoes suas anteriores

aplicando uma das regras de inferencia (1) − (6), para todo 1 6 i 6 k.

Lema 1.5.2. [DW00, Gra98] Seja Σ ⊆ Eq(τ) um conjunto de equacoes. Se XMe [Σ] ⊢ t ≈ s

entao XMe [Σ] ⊢ σ[t] ≈ σ[s], para σ ∈M .

Demonstracao: Prove-se por inducao sobre o numero de passos da deducao formal.

Seja XMe [Σ] ⊢ t ≈ s em um passo, ou seja, aplicando apenas uma das regras (1) − (5).

Considere-se os varios casos possıveis:

(1) Claramente, se t = s, entao σ[t] = σ[s] e portanto XMe [Σ] ⊢ σ[t] ≈ σ[s], para todo

σ ∈M .

(2) Tem-se que s ≈ t ∈ XMe [Σ], logo σ[s] ≈ σ[t] ∈ XM

e [Σ] e portanto XMe [Σ] ⊢ σ[t] ≈ σ[s],

para todo σ ∈M .

1.5. LOGICA M -HIPEREQUACIONAL 53

(3) Logo, existem equacoes t ≈ r, r ≈ s ∈ XMe [Σ]. Como σ[t] ≈ σ[r], σ[r] ≈ σ[s] ∈

XMe [Σ] entao XM

e [Σ] ⊢ σ[t] ≈ σ[s], para todo σ ∈M .

(4) Entao, t = fi(t1, . . . , tni) e s = fi(s1, . . . , sni

), com tj ≈ sj ∈ XMe [Σ], para todo

1 6 j 6 ni. Deste modo, como para 1 6 j 6 ni, vem que σ[tj ] ≈ σ[sj ] ∈ XMe [Σ],

para σ ∈ M . Portanto, XMe [Σ] ⊢ σ(fi)(σ[t1], . . . , σ[tni

]) ≈ σ(fi)(σ[s1], . . . , σ[sni]),

ou seja, XMe [Σ] ⊢ σ[t] ≈ σ[s], para todo σ ∈M .

(5) Os termos t e s resultam da substituicao de todas as ocorrencias de uma variavel

xi ∈ X por um termo r, nos termos t′ e s′, respectivamente, com t′ ≈ s′ ∈ XMe [Σ].

Assim sendo, como σ[t′] ≈ σ[s′] ∈ XMe [Σ], para σ ∈ M , e os termos σ[t] ≈ σ[s]

resultam dos anteriores, substituindo todas as ocorrencias de xi, pelo termo σ[r],

vem que XMe [Σ] ⊢ σ[t] ≈ σ[s], para todo σ ∈M .

Como hipotese de inducao, considere-se que para todas as deducoes formais

XMe [Σ] ⊢ t ≈ s, em k passos, se tem XM

e [Σ] ⊢ σ[t] ≈ σ[s], para todo σ ∈ M . Seja

XMe [Σ] ⊢ t ≈ s uma deducao formal em k + 1 passos. A ultima regra aplicada na

deducao de t ≈ s e uma das regras (1) − (5). Viu-se acima, que a aplicacao da regra da

M -hipersubstituicao comuta com qualquer uma das regras (1)− (5). Seja σ ∈M , pode-se

deduzir σ[t] ≈ σ[s] aplicando a regra (6) ao termo t ≈ s. Mas como a regra (6) comuta

com a regra utilizada no passo k+ 1, pode-se deduzir σ[t] ≈ σ[s] aplicando os primeiros k

passos, da deducao de t ≈ s, de seguida aplicar a regra (6), e por ultimo a regra do passo

k+ 1. Por hipotese de inducao, a equacao σ[t′] ≈ σ[s′] que se obtem ao aplicar a regra (6)

a equacao t′ ≈ s′ que se obtem do passo k, pode ser obtida apenas com as regras (1)− (5).

Portanto, tambem σ[t] ≈ σ[s] pode ser deduzida, de XMe [Σ], apenas aplicando as regras

(1) − (5), ou seja, XMe [Σ] ⊢ σ[t] ≈ σ[s], para todo σ ∈M .

Lema 1.5.3. [DW00, Gra98] Seja Σ ⊆ Eq(τ) um conjunto de equacoes. Entao,

Σ ⊢M-h

t ≈ s⇔ XMe [Σ] ⊢ t ≈ s.

Demonstracao: (⇐) Seja t ≈ s ∈ Eq(τ), tal que XMe [Σ] ⊢ t ≈ s. Como toda a equacao

de XMe [Σ] pode ser obtida de Σ, aplicando a regra (6), entao Σ ⊢

M -ht ≈ s.

(⇒) Prove-se que XMe [Σ] ⊢

M -ht ≈ s se e so se XM

e [Σ] ⊢ t ≈ s, para toda a equacao

t ≈ s ∈ Eq(τ). Claramente, tem-se que XMe [Σ] ⊢

M -ht ≈ s⇐ XM

e [Σ] ⊢ t ≈ s.


Suponha-se que XMe [Σ] ⊢

M -ht ≈ s. Prove-se por inducao no numero de passos da

deducao formal que XMe [Σ] ⊢ t ≈ s. Claramente, e valido para deducoes com apenas um

passo. Por hipotese de inducao, suponha-se que e valido para deducoes em k passos. Se

XMe [Σ] ⊢

M -ht ≈ s e uma deducao em k+1 passos. Por hipotese de inducao, a equacao t′ ≈ s′

que se obtem no passo k, tem uma deducao a partir de XMe [Σ], apenas utilizando as regras

(1) − (5). Se no passo k + 1 se aplicar alguma das regras (1) − (5), entao XMe [Σ] ⊢ t ≈ s.

Se por outro lado, no passo k + 1 se aplicar a regra da M -hipersubstituicao, entao pelo

Lema 1.5.2, tambem se tem XMe [Σ] ⊢ t ≈ s. Como Σ ⊆ XM

e [Σ], entao Σ ⊢M -h

t ≈ s implica

que XMe [Σ] ⊢

M -ht ≈ s ⇔ XM

e [Σ] ⊢ t ≈ s.

O Teorema seguinte enuncia a adequacao e coerencia da logica M -hiperequacional, que

pode ser entendida como um fragmento de uma logica equacional de segunda ordem.

Teorema 1.5.4. [DW00, Gra98] Para um conjunto Σ ⊆ Eq(τ) e qualquer equacao

t ≈ s ∈ Eq(τ),

Σ |=M-h

t ≈ s se e so se Σ ⊢M-h

t ≈ s.

Demonstracao: Suponha-se que Σ |=M -h

t ≈ s, ou seja, A |=M -h

t ≈ s para todo A ∈ Alg(τ),

tal que A |=M -h

Σ. Deste modo, t ≈ s ∈ IdMh (ModMh (Σ)). Mas, pelo Teorema 1.3.10

(iii) e Corolario 1.3.7, vem que IdMh (ModMh (Σ)) = IdMod(XMe [Σ]) e portanto t ≈ s ∈

IdMod(XMe [Σ]), ou seja, XM

e [Σ] |= t ≈ s. Deste modo, Σ |= t ≈ s⇔ XMe [Σ] |= t ≈ s. Pela

adequacao e coerencia da logica equacional, vem que XMe [Σ] |= t ≈ s ⇔ XM

e [Σ] ⊢ t ≈ s.

Aplicando o Lema anterior tem-se Σ |=M -h

t ≈ s ⇔ XMe [Σ] ⊢ t ≈ s ⇔ Σ ⊢

M -ht ≈ s, o que

prova o teorema.

1.6 Pseudovariedades M-solidas

Nesta seccao, de modo analogo ao realizado na seccao 1.3, pretende-se aplicar os resul-

tados da seccao 0.6 as pseudovariedades e mostrar como produzir subreticulados completos

de Lps(τ). Para isso, considera-se uma subrelacao de R|=u

e prova-se que e uma sua sub-

relacao Galois-fechada. Os resultados seguintes seguem [GPV97] e [DP03].

1.6. PSEUDOVARIEDADES M -SOLIDAS 55

Definicao 1.6.1. Seja V uma pseudovariedade do tipo τ . Diz-se que V e M -solida se for

fechada para algebras M -derivadas de V , ou seja, XMa [V ] ⊆ V .

A conexao de Galois que se pretende encontrar e dada pela relacao

R |=u.M−h

⊆ Algf (τ) × FEq(τ),

definida do seguinte modo.

Definicao 1.6.2. Seja ∆ ∈ FEq(τ) um filtro de equacoes e A ∈ Algf (τ) uma algebra, do

mesmo do tipo τ . Diz-se que A ultimamente M -hipersatisfaz ∆ se para toda a hipersub-

stituicao σ ∈M , existe um conjunto de equacoes Σσ ∈ ∆, tal que A |= σ[Σσ], i.e

A |=u.M−h

∆ :⇔ ∀σ ∈M, ∃Σσ ∈ ∆ : A |= σ[Σσ],

onde σ[Σ] denota o conjunto das equacoes derivadas de Σ ⊆ Eq(τ), pela hipersubstituicao

σ ∈M .

Diz-se que uma classe de algebras finitas ultimamente M -hipersatisfaz um filtro de

equacoes se todas as suas algebras o ultimamente M -hipersatisfazem. O proximo Teorema

apresenta a caracterizacao das pseudovariedade M -solidas, utilizando esta nova nocao de

satisfacao de filtro de equacoes.

Teorema 1.6.3. [GPV97, DP03] Para cada classe de algebra finitas V do tipo τ , as

seguintes condicoes sao equivalentes:

(i) V e uma pseudovariedade M -solida;

(ii) V e uma pseudovariedade e para todo o filtro de equacoes ∆ ∈ FEq(τ), V ultima-

mente M -hipersatisfaz ∆ se e so se V ultimamente satisfaz ∆, i.e.

V |=u

∆ se e so se V |=u.M−h

∆.

(iii) Existe um filtro de equacoes ∆ ∈ FEq(τ), tal que V consiste na classe de todas

as algebras finitas do tipo τ que ultimamente M -hipersatisfazem ∆. Denota-se

V = FModMh (∆).


Demonstracao: (i) ⇒ (ii) Seja ∆ ∈ FEq(τ) um filtro de equacoes, tal que V ultima-

mente satisfaz ∆. Seja A ∈ V e σ ∈ M . Como V e uma pseudovariedade M -solida,

entao σ[A] ∈ V . Deste modo, σ[A] ultimamente satisfaz ∆, ou seja, σ[A] |= Σ, para

algum conjunto Σ ∈ ∆. Assim sendo, pela Proposicao 1.1.9, vem que A |= σ[Σ]. Como A

ultimamente M -hipersatisfaz ∆, vem que V |=u

∆ ⇒ V |=u.M−h

∆. Suponha-se, agora, que

V |=u.M−h

∆. Usando a hipersubstituicao identidade σid ∈M , conclui-se imediatamente que

V |=u

∆.

(ii) ⇒ (iii) Pelo facto de V ser uma pseudovariedade, existe um filtro de equacoes

∆ ∈ FEq(τ), tal que V = FMod(∆). Por (ii), a pseudovariedade V ultimamente

M -hipersatisfaz ∆ se e so se ultimamente satisfaz ∆, logo V = FModMh (∆).

(iii) ⇒ (i) Seja ∆ ∈ FEq(τ) um filtro de equacoes e V uma classe de algebras finitas

que ultimamente M -hipersatisfaz o filtro ∆. Prove-se que V e uma pseudovariedade

M -solida. Pelo facto de todas as equacoes satisfeitas por uma algebra A ∈ V , serem

tambem satisfeitas pelas suas subalgebras e imagens homomorfas, vem que A ultimamente

M -hipersatisfaz ∆, entao tambem as suas subalgebra e imagens homomorfas. Logo, a

classe V e fechada para subalgebras e imagens homomorfas. Sejam A1, . . .Ak ∈ V e

A = A1 × . . . × Ak o seu produto directo. Para qualquer hipersubstituicao σ ∈ M ,

pelo facto de cada algebra A1, . . . ,Ak ultimamente M -hipersatisfazer ∆, vem que existem

conjuntos Σjσ ∈ ∆, tal que Aj |= σ[Σj

σ], para 1 6 j 6 k. Deste modo, como Σσ = ∩kj=1Σjσ

pertence ao filtro de equacoes ∆ e A satisfaz σ[Σ] = ∩kj=1σ[Σjσ], entao A ultimamente

M -hipersatisfaz o filtro ∆. Logo, V e fechada para produtos directos finitarios e portanto

e uma pseudovariedade. Prove-se que tambem e fechada para algebra M -derivadas. Seja

σ ∈ M uma hipersubstituicao e A ∈ V . Pretende-se provar que σ[A] ∈ V , mostrando

que σ[A] ultimamente M -hipersatisfaz ∆. Seja σ′ ∈ M uma hipersubstituicao, entao

σ h σ′ ∈ M . Como A ultimamente M -hipersatisfaz ∆, existe um conjunto de equacoes

Σ′ ∈ ∆, tal que A |= σ h σ′[Σ′]. Pela Proposicao 1.1.2, vem que σ h σ

′[Σ′] = σ[σ′[Σ′]].

Logo, se A |= σ[σ′[Σ′]] entao σ[A] |= σ′[Σ′]. Portanto, σ[A] ultimamente M -hipersatisfaz

∆, o que implica que σ[A] ∈ V . Deste modo, conclui-se que V e uma pseudovariedade

M -solida.


A relacao R |=u.M−h

define a conexao de Galois (FModMh , F IdMh ), tal que

FModMh (F) := A ∈ Algf (τ) : ∀∆ ∈ F , A |=u.M−h

∆ e

FIdMh (K) := ∆ ∈ FEq(τ) : ∀ ∈ K, A |=u.M−h

∆,

para K ⊆ Algf (τ) e F ⊆ FEq(τ). Logo, os conjuntos dos seus pontos fixos formam

reticulados completos dualmente isomorfos.

Proposicao 1.6.4. [DP03] Seja F ⊆ FEq(τ) um filtro de equacoes. Entao, toda a classe

de algebras finitas da forma ModMh (F) e uma pseudovariedade M -solida. Reciprocamente,

para toda a pseudovariedade M -solida V existe um conjunto F ⊆ FEq(τ) de filtros de

equacoes, tal que V = FModMh (F).

Demonstracao: Seja F ⊆ FEq(τ) um filtro de equacoes e ModMh (F) a classe de algebras

finitas que ultimamente M -hipersatisfaz, todas os filtros de equacoes de F . Deste modo,

FModMh (F) = ∩∆∈FFModMh (∆). Pela Teorema 1.6.3, vem que FModMh (∆) e uma pseu-

dovariedade M -solida, para todo o filtro ∆ ∈ F . Claramente, FModMh (F) e uma pseu-

dovariedade, pois e a interseccao da famılia de pseudovariedades FModMh (∆) : ∆ ∈ F.

De modo a provar que FModMh (F) e uma pseudovariedade M -solida, e suficiente provar

que a interseccao de uma famılia de pseudovariedades M -solidas e tambem uma pseudovar-

iedade M -solida. Seja Vjj∈J uma qualquer famılia de pseudovariedades M -solidas do

tipo τ , entao V = ∩j∈JVj e um pseudovariedade. Mas, XMa [∩j∈JVi] ⊆ XM

a [Vj ], para todo o

j ∈ J , pela monotonia do operador XMa . Assim sendo, vem que XM

a [∩j∈JVi] ⊆ ∩j∈JVj = V

e portanto V e uma pseudovariedade M -solida. Em particular, FModMh (F) e uma pseu-

dovariedade M -solida. Pelo Teorema 1.6.3, existe um filtro de equacoes ∆′ ∈ FEq(τ), tal

que FModMh (F) = FModMh (∆′).

Reciprocamente, se V e uma pseudovariedade M -solida, existe um filtro de equacoes

∆ ∈ FEq(τ) tal que V = FModMh (∆). Logo, pode-se tomar o conjunto F = ∆ e

portanto V = FModMh (F).

Como corolario, obtem-se a caracterizacao dos pontos fixos do operador de fecho

FModMh FIdMh , provando que sao exactamente as pseudovariedades M -solidas.


Corolario 1.6.5. [DP03] Uma classe de algebras finitas V , do tipo τ , e uma pseudovar-

iedade M -solida se e so se V = FModMh (FIdMh (V )).

Demonstracao: (⇒) Suponha-se que V e uma pseudovariedadeM -solida. Pela Proposicao

anterior, existe um conjunto de filtros de equacoes F ⊆ FEq(τ), tal que

V = FModMh (F). Como os pontos fixos do operador FModMh FIdMh sao exactamente

da forma V = FModMh (F), para F ⊆ FEq(τ), conclui-se que V = FModMh (FIdMh (V )).

(⇐) Reciprocamente, suponha-se que V = FModMh (FIdMh (V )). Deste modo,

F = FIdMh (V ) e um conjunto de filtros de equacoes. Pela Proposicao anterior, V =

FModMh (F) e uma pseudovariedade M -solida.

As pseudovariedadesM -solidas sao os pontos fixos do operadorModMh FIdMh e portanto

formam um reticulado completo, que se denota SpsM (τ). Se M = Hyp(τ) escreve-se apenas

Sps(τ). Pretende-se provar que SpsM (τ) e de facto um subreticulado completo de Lps(τ).

Proposicao 1.6.6. [DP03] A relacao R |=u.M−h

⊆ Algf (τ) × FEq(τ) e uma subrelacao

Galois-fechada da relacao R|=u

.

Demonstracao: Para uma algebra finita A ∈ Algf (τ) e um filtro de equacoes

∆ ∈ FEq(τ), tem-se que (A,∆) ∈ R |=u.M−h

se e so se A |=u.M−h

∆. Por outras palavras,

para qualquer hipersubstituicao σ ∈ M , existe um conjunto de equacoes Σσ ∈ ∆, tal

que A |= σ[Σσ]. Em particular, para σid ∈ M , vem que existe um conjunto Σσid∈ ∆,

tal que A |= Σσid, visto que σid[Σσid

] = Σσid. Deste modo, se (A,∆) ∈ R |=

u.M−h

entao

(A,∆) ∈ R|=u

, ou seja, R |=u.M−h

⊆ R|=u

.

Seja F ⊆ FEq(τ) um conjunto de filtro de equacoes e V ⊆ Algf (τ) uma classe de

algebras finitas tal que FModMh (F) = V e FIdMh (V ) = F . Da primeira equacao e da

Proposicao 1.6.5, conclui-se que V e uma pseudovariedade M -solida e da Proposicao

1.6.3 (ii), conclui-se que FId(V ) = FIdMh (V ) = F . Entao, tem-se que FMod(F) =

FMod(FIdMh (V )) = FMod(FId(V )). Mas como V e uma pseudovariedade vem que

V = FMod(FId(V )) = FMod(F). Provou-se que FMod(F) = V e FId(V ) = F e

portanto conclui-se que R |=u.M−h

e uma subrelacao Galois-fechada de R|=u

.


Teorema 1.6.7. [DP03] Sejam N ≤ M submonoides de hipersubstituicoes. Entao, SpsN (τ)

e SpsM (τ) formam subreticulados completos de Lps(τ) com SpsM (τ) ⊆ SpsN (τ).

Demonstracao: Consequencia directa da Proposicao 0.6.4, visto que R |=u.M−h

⊆ R |=u.N−h

sao subrelacao Galois-fechadas de R|=u

.

Capıtulo 2

Correspondencias tipo-Eilenberg

Neste Capıtulo, apresentam-se as generalizacoes das correspondencias de Eilenberg e

de Therien, que englobam os dois casos importantes na Teoria das Linguagens Formais, as

linguagens de palavras e as linguagens de arvore. As linguagens de arvore sao subconjuntos

das algebras dos termos de determinado tipo finito τ . No entanto, as linguagens de palavras

sao subconjuntos do semigrupo (resp. monoide) livre, finitamente gerado. O semigrupo

livre nao e a algebra dos termos do tipo (2), mas um seu quociente. De modo a englobar

ambos os casos, consideram-se subconjuntos das algebras V -livres, para uma qualquer

pseudovariedade V de um tipo finito τ . A restricao a tipos finitos de algebras nao e

necessaria e toda a teoria sera apresenta sem se fazer uso deste facto, como aparece em

[Alm94]. No entanto, a finitude e uma caracterıstica importante quando se pretende

decidibilidade. Logo, a grande parte das linguagens estudadas sao sobre tipos finitos.

Comeca-se por definir algebra sintactica de um subconjunto e apresentar algumas das

suas propriedades. Os conjuntos reconhecıveis sao definidos de modo algebrico e relaciona-

dos com as suas algebras sintacticas. Na seccao 2.3, definem-se os conceitos de variedade

de V -linguagens e variedade de V -congruencias, apresentam-se as correspondencias que

estabelecem os isomorfismos e que generalizam os resultados de Eilenberg e Therien. Os

seguintes resultados seguem [Ste79], [Ste92] e [Alm94].

2.1 Algebras sintacticas

Uma linguagem de palavras tem como congruencia sintactica uma congruencia do

semigrupo livre. Esta nocao e generalizada para subconjunto de uma algebra.

61

62 CAPITULO 2. CORRESPONDENCIAS TIPO-EILENBERG

Definicao 2.1.1. Seja A uma algebra do tipo τ e L ⊆ A um qualquer subconjunto. A

congruencia sintactica de L e a relacao ∼L definida do seguinte modo:

a ∼L b se p(a) ∈ L⇔ p(b) ∈ L,

com a, b ∈ A e para toda a operacao polinomial unaria p ∈ Pol1(A).

Um subconjunto L ⊆ A diz-se saturado por uma congruencia θ de A, se L e uniao de

algumas θ-classes. As congruencias sintacticas caracterizam-se pela propriedade descrita

na Proposicao seguinte.

Proposicao 2.1.2. [Alm94, Ste92] Seja A uma algebra do tipo τ . A congruencia sintactica

∼L de um subconjunto L ⊆ A e a maior congruencia de A (relativamente a inclusao de

conjuntos) que satura o conjunto L.

Demonstracao: Claramente, ∼L e uma relacao de equivalencia. Para cada i ∈ I,

considerem-se os elementos ak, bk ∈ A, tais que ak ∼L bk para 1 6 k 6 ni. E necessario

provar que fA

i (a1, . . . , ani) ∼L f

A

i (b1, . . . , bni). Seja p ∈ Pol1(A) uma operacao polinomial

unaria de A. Considerem-se as seguintes operacoes polinomiais unarias

q1(x) = p(fA

i (x, a2 . . . , ani)),

q2(x) = p(fA

i (b1, x, a3, . . . , ani)),

...

qni−1(x) = p(fA

i (b1, b2, . . . , bni−2, x, ani)) e

qni(x) = p(fA

i (b1, b2, . . . , bni−2, bni−1, x)).

Facilmente se conclui, que para quaisquer duas operacoes polinomiais consecutivos qj e

qj+1, tem-se que qj(bj) = qj+1(aj+1), para 1 6 j 6 ni − 1. Pelo facto de ak ∼L bk, vem

que qj(ak) ∈ L ⇔ qj(bk) ∈ L, para todo 1 6 k, j 6 ni. Mas, qk(bk) = qk+1(ak+1) e

portanto qk(ak) ∈ L ⇔ qk+1(ak+1) ∈ L, para todo 1 6 k 6 ni − 1. Logo, para quaisquer

1 6 k 6 j 6 ni, vem que

qk(ak) ∈ L⇔ qk+1(ak+1) ∈ L⇔ · · · ⇔ qj−1(aj−1) ∈ L⇔ qj(aj) ∈ L.

Portanto, tem-se que

p(fA

i (a1, a2 . . . , ani)) = q1(a1) ∈ L⇔ qni

(ani) ∈ L⇔ qni

(bni) = p(fA

i (b1, b2 . . . , bni)) ∈ L.

2.1. ALGEBRAS SINTACTICAS 63

Conclui-se que ∼L e uma congruencia de A.

Seja a ∈ L e b ∈ A tal que a ∼L b. Considerando a operacao polinomial identidade

idA(x), conclui-se que b ∈ L e portanto ∼L satura o subconjunto L.

Seja θ uma congruencia de A que satura o subconjunto L e a, b ∈ A, tais que (a, b) ∈ θ.

Seja p ∈ Pol1(A) uma operacao polinomial unaria de A. Sem perda de generalidade,

considere-se que p = tA(x, a2, . . . , an), para um termo t ∈ Tτ (Xn) e a2, . . . , an ∈ A.

Suponha-se que p(a) ∈ L. Como θ e uma congruencia de A e aθb, entao

(tA(a, a2, . . . , an), tA(b, a2, . . . , an)) ∈ θ,

ou seja, (p(a), p(b)) ∈ θ. Como a congruencia θ satura L e p(a) ∈ L, entao p(b) ∈ L. Logo,

θ ⊆∼L e portanto ∼L e a maior congruencia que satura o subconjunto L.

Lema 2.1.3. [Ste92] Seja ϕ : A → B um homomorfismo entre as algebras A e B do

tipo τ . Para toda a operacao polinomial p ∈ Pol1(A), existe uma operacao polinomial

pϕ ∈ Pol1(B), tal que ϕ(p(a)) = pϕ(ϕ(a)), para todo a ∈ A. Se ϕ e sobrejectivo, entao

para todo q ∈ Pol1(B) existe p ∈ Pol1(A) tal que q = pϕ.

Demonstracao: Seja p ∈ Pol1(A) uma operacao polinomial unaria de A e a ∈ A.

Considere-se que p = tA(x, a2, . . . , an), para algum termo t ∈ Tτ (Xn) e a2, . . . , an ∈ A.

Deste modo,

ϕ(p(a)) = ϕ(tA(a, a2, . . . , an)) = tB(ϕ(a), ϕ(a2), . . . , ϕ(an)) = tB(ϕ(a), b2, . . . , bn),

fazendo ϕ(aj) = bj , para 2 6 j 6 n. Deste modo, para a operacao polinomial pϕ =

tB(x, b2, . . . , bn), tem-se que ϕ(p(a)) = pϕ(ϕ(a)).

Suponha-se que ϕ e um homomorfismo sobrejectivo e q = tB(x, b2, . . . , bn) ∈ Pol1(B)

e uma operacao polinomial, com t ∈ Tτ (Xn) e b2, . . . , bn ∈ B. Pelo facto de ϕ ser so-

brejectivo, existem a2, . . . , an ∈ A, tais que ϕ(aj) = bj , para 2 6 j 6 n. Assim sendo,

ϕ(tA(a, a2, . . . , an)) = tB(ϕ(a), b2, . . . , bn) = q(ϕ(a)), para todo o a ∈ A. Portanto, q = pϕ

para p = tA(x, a2, . . . , an) ∈ Pol1(A).


Seja L ⊆ A um subconjunto de um algebra A. A algebra sintactica de L e a algebra

quociente A/ ∼L, que se denota A/L. O homomorfismo canonico ϕL : A → A/L

denomina-se homomorfismo sintactico de L. Por [a]L denota-se a ∼L-classe do elemento

a ∈ L, para um subconjunto L ⊆ A.

Para uma operacao polinomial unaria p ∈ Pol1(A), define-se a operacao L 7→ p−1L

sobre subconjuntos L ⊆ A da algebra A, tal que p−1L := a ∈ A : p(a) ∈ L, que

se denomina cancelamento. Seja ϕ : B → A um homomorfismo. Define-se a operacao

L 7→ ϕ−1L, sobre subconjuntos L ⊆ A da algebra A para subconjuntos da algebra B, tal

que ϕ−1L := ϕ−1(L) = a ∈ A : ϕ(a) ∈ L, denominada homomorfismo inverso.

Para um homomorfismo ϕ : B → A e congruencia θ ∈ ConA, define-se a relacao de

equivalencia (ϕ×ϕ)−1θ em B, tal que (a, b) ∈ (ϕ×ϕ)−1θ se (ϕ(a), ϕ(b)) ∈ θ, com a, b ∈ B.

Seja ϕL : A → A/L o homomorfismo sintactico de L, entao claramente (ϕ × ϕ)−1 ∼L=

Ker(ϕ ϕL) e portanto e uma congruencia de B.

Tem-se as seguintes propriedades relativamente as congruencias sintacticas.

Proposicao 2.1.4. [Alm94, Ste92] Sejam A e B algebras do tipo τ . Para quaisquer

subconjuntos K,L ⊆ A, valem as seguintes propriedades:

(i) ∼A = ∇A, ∼A\L = ∼L , ∼K ∩ ∼L⊆∼K∩L e ∼K ∩ ∼L⊆∼K∪L ;

(ii) para p ∈ Pol1(A), vem que ∼L⊆∼p−1L ;

(iii) para um homomorfismo ϕ : B → A, vem que (ϕ× ϕ)−1 ∼L⊆∼ϕ−1L e verifica-se a

igualdade se ϕ for sobrejectiva.

Demonstracao: (i) A congruencia ∇A satura o conjunto A e portanto ∼A= ∇A. Seja

a ∈ A\L e b ∈ A, tais que a ∼L b. Como ∼L satura o conjunto L, entao b ∈ A\L e

portanto ∼L tambem satura o conjunto A\L. Deste modo, tem-se que ∼L⊆∼A\L. Para

qualquer p ∈ Pol1(A) e a, b ∈ A, tais que a ∼A\L b, vem p(a) ∈ A\L⇔ p(b) ∈ A\L. Logo,

tambem p(a) ∈ L ⇔ p(b) ∈ L e portanto a ∼L b. Donde se conclui igualdade, ou seja,

∼A\L = ∼L . Seja a, b ∈ A, tais que a ∈ K ∩ L e (a, b) ∈∼K ∩ ∼L. Seja idA ∈ Pol1(A) a

operacao identidade. Como a ∼K b, entao idA(a) = a ∈ K ⇔ idA(b) = b ∈ K e portanto

b ∈ K. Do mesmo modo, a ∼L b implica que idA(a) = a ∈ L ⇔ idA(b) = b ∈ L e

portanto b ∈ L. Consequentemente, tem-se que b ∈ K ∩ L e portanto ∼K ∩ ∼L satura o

subconjunto K ∩ L. Assim sendo, pela Proposicao 2.1.2, vem que ∼K ∩ ∼L⊆∼K∩L. De

modo semelhante, prova-se que ∼K ∩ ∼L⊆∼K∪L.


(ii) Seja p ∈ Pol1(A) uma operacao polinomial unaria e a, b ∈ A, tais que a ∼L b e

a ∈ p−1L. Assim sendo, p(a) ∈ L⇔ p(b) ∈ L e portanto ∼L satura o conjunto p−1L. Pela

Proposicao 2.1.2, vem que ∼L⊆∼p−1L.

(iii) Sejam a, b ∈ B, tais que a ∈ ϕ−1L e ϕ(a) ∼L ϕ(b), i.e. (a, b) ∈ (ϕ × ϕ)−1 ∼L.

Assim sendo, usando a operacao polinomial unaria identidade de A, vem que ϕ(a) ∼L ϕ(b),

implica que ϕ(a) ∈ L⇔ ϕ(b) ∈ L. Logo, b ∈ ϕ−1L e portanto a congruencia (ϕ×ϕ)−1 ∼L

satura o subconjunto ϕ−1L. Donde se conclui que (ϕ× ϕ)−1 ∼L⊆∼ϕ−1L.

Supondo que ϕ e sobrejectiva, seja a, b ∈ B, tal que a ∼ϕ−1L b. E necessario provar

que ϕ(a) ∼L ϕ(b). Seja q ∈ Pol1(A). Como ϕ e sobrejectiva, pelo Lema 2.1.3, existe

uma operacao polinomial pϕ ∈ Pol1(B), tal que q(ϕ(a)) = ϕ(pϕ(a)) e q(ϕ(b)) = ϕ(pϕ(b)).

Deste modo, como a ∼ϕ−1L b, entao pϕ(a) ∈ ϕ−1L ⇔ pϕ(b) ∈ ϕ−1L. Donde se conclui

que q(ϕ(a)) = ϕ(pϕ(a)) ∈ L ⇔ q(ϕ(b)) = ϕ(pϕ(b)) ∈ L e portanto ϕ(a) ∼L ϕ(b), ou seja,

(a, b) ∈ (ϕ× ϕ)−1 ∼L. Consequentemente, (ϕ× ϕ)−1 ∼L= ∼ϕ−1L.

As propriedades da Proposicao anterior tem as seguintes consequencias relativamente

as algebras sintacticas.

Proposicao 2.1.5. [Ste92] Sejam A e B algebras do tipo τ . Para quaisquer subconjuntos

K,L ⊆ A, verificam-se as seguintes propriedades:

(i) A/(A− L) = A/L e A/K ∩ L A/K × A/L;

(ii) para p ∈ Pol1(A), existe um homomorfismo sobrejectivo A/L→ A/p−1L;

(iii) para um homomorfismo ϕ : B → A, tem-se que B/ϕ−1L A/L e se ϕ e um

homomorfismo sobrejectivo entao B/ϕ−1L ∼= A/L.

Demonstracao: As propriedades (i) e (ii) concluem-se directamente das propriedades

(i) e (ii), da Proposicao 2.1.4.

(iii) Analise-se primeiro o caso em que ϕ : B → A e um homomorfismo

sobrejectivo. Considere-se a aplicacao ψ : B/ϕ−1L → A/L, tal que [b]ϕ−1L 7→ [ϕ(b)]L,

para b ∈ B. Sejam a, c ∈ B, tal que [a]ϕ−1L = [c]ϕ−1L. Pela Proposicao 2.1.4 (iii), vem

que (ϕ × ϕ)−1 ∼L=∼ϕ−1L e portanto [a]ϕ−1L = [c]ϕ−1L ⇔(a, c) ∈ (ϕ × ϕ)−1 ∼L, ou seja,

ϕ(a) ∼L ϕ(c). Logo, [ϕ(a)]L = [ϕ(c)]L e conclui-se que ψ esta bem definida e e injectiva.

Seja a ∈ A, como ϕ e sobrejectiva, existe b ∈ B, tal que ϕ(b) = a. Logo, ψ([b]ϕ−1L) =


[ϕ(b)]L = [a]L e conclui-se que ψ e sobrejectiva. Para i ∈ I, sejam b1, . . . , bni∈ B, entao

ψ(fB/ϕ−1Li ([b1]ϕ−1L, . . . , [bni

]ϕ−1L)) = ψ([fB

i (b1, . . . , bni)]ϕ−1L) = [ϕ(fB

i (b1, . . . , bni)]L =

[(fA

i (ϕ(b1), . . . , ϕ(bni))]L = f

A/Li ([ϕ(b1)]L, . . . , [ϕ(bni

)]L) = fA/Li (ψ([b1]ϕ−1L, . . . , ψ([bni

]ϕ−1L)).

Consequentemente, ψ e um homomorfismo e portanto B/ϕ−1L ∼= A/L.

Considere-se, agora, ϕ : B → A um qualquer homomorfismo. Seja C a subalgebra

de A/L que e imagem homomorfa de ϕL ϕ : B → A/L. Tem-se o homomorfismo

sobrejectivo γ : B → C, tal que γ(b) = ϕL(ϕ(b)) = [ϕ(b)]L, para todo b ∈ B. Seja

L′ = γ(ϕ−1L) ⊆ C, entao γ−1L′ = ϕ−1L. Pelo provado anteriormente, para o caso de um

homomorfismo sobrejectivo, conclui-se que B/γ−1L′ ∼= C/L′, ou seja, B/ϕ−1L ∼= C/L′.

Logo, B/ϕ−1L A/L.

Os seguintes Lemas estabelecem algumas das propriedades importantes que serao us-

adas mais a frente.

Lema 2.1.6. [Alm94, Ste92] Seja A uma algebra do tipo τ . Seja L ⊆ A tal que ∼L tem

um numero finito de classes. Entao, o conjunto p−1L : p ∈ Pol1(A) e finito.

Demonstracao: Pela Proposicao 2.1.4 (ii), vem que ∼L⊆∼p−1L e portanto ∼p−1L tem

um numero finito de classes. Existe um numero finito de congruencias de A, que contem

∼L e possuem um numero finito de classes. Logo, existe um numero finito de conjuntos

da forma p−1L, com p ∈ Pol1(A).

Lema 2.1.7. [Alm94] Seja L ⊆ A um subconjunto de uma algebra do tipo τ . Para a ∈ A,

tem-se que

[a]L =⋂

p∈Pol1(A)

p−1L : a ∈ p−1L\⋃

q∈Pol1(A)

q−1L : a /∈ q−1L.

Demonstracao: Seja b ∈ [a]L, por definicao vem que p(a) ∈ L ⇔ p(b) ∈ L, para

todo p ∈ Pol1(A). Deste modo, b ∈ p−1L se e so se a ∈ p−1L e assim sendo

b ∈⋂p∈Pol1(A)p

−1L : a ∈ p−1L e b /∈⋃q∈Pol1(A)q

−1L : a /∈ q−1L. Destas equivalencias

tiram-se as duas inclusoes o que conclui a prova.


Lema 2.1.8. [Alm94] Seja ϕ : B → A um homomorfismo, entre algebras do tipo τ , e

L ⊆ A. Entao,

(ϕ× ϕ)−1 ∼L=⋂

∼ϕ−1(p−1L): p ∈ Pol1(A).

Demonstracao: Seja L′ = p−1L, para uma operacao polinomial p ∈ Pol1(A). Pela

Proposicao 2.1.4, tem-se que (ϕ×ϕ)−1 ∼L⊆ (ϕ×ϕ)−1 ∼L′⊆∼ϕ−1L′ . Logo, (ϕ×ϕ)−1 ∼L⊆⋂∼ϕ−1(p−1L): p ∈ Pol1(A). Reciprocamente, seja (a, b) ∈

⋂∼ϕ−1(p−1L): p ∈ Pol1(A)

e prove-se que (a, b) ∈ (ϕ × ϕ)−1 ∼L. Seja p ∈ Pol1(A) uma operacao polinomial. Se

p(ϕ(a)) ∈ L, entao ϕ(a) ∈ p−1L. Como (a, b) ∈ ϕ−1(p−1L), entao ϕ(b) ∈ p−1L, ou seja,

p(ϕ(b)) ∈ L. Donde se conclui que ϕ(a) ∼L ϕ(b) e portanto (ϕ×ϕ)−1 ∼L=⋂∼ϕ−1(p−1L):

p ∈ Pol1(A).

Lema 2.1.9. [Alm94] Seja A uma algebra do tipo τ . Se θ ∈ ConA, entao

θ =⋂

∼L: L e uma θ-classe .

Demonstracao: Como θ satura todas as suas classes, conclui-se que θ ⊆∼L, para toda

a θ-classe L ⊆ A. Logo, θ ⊆⋂∼L: L e uma θ-classe . Por outro lado, se (a, b) /∈ θ e

considerando o subconjunto L = [a]θ ⊆ A, vem que a ∈ L, mas b /∈ L. Logo, (a, b) /∈∼L.

Consequentemente, (a, b) /∈⋂∼L: L e uma θ-classe . O que permite concluir que

θ =⋂∼L: L e uma θ-classe .

Deste ultimo Lema conclui-se que toda a congruencia em ConA e ınfimo de con-

gruencias sintacticas.

Lema 2.1.10. Sejam ϕ : A → B e ψ : B → C homomorfismos entre algebras do tipo τ e

L ⊆ C. Entao,

((ψ ϕ) × (ψ ϕ))−1 ∼L= (ϕ× ϕ)−1((ψ × ψ)−1 ∼L) ⊆∼(ψϕ)−1L .


Demonstracao: Seja (a, b) ∈ ((ψ ϕ) × (ψ ϕ))−1 ∼L, ou seja, ψ ϕ(a) ∼L ψ ϕ(b) ⇔

ψ(ϕ(a)) ∼L ψ(ϕ(b)) ⇔ (ϕ(a), ϕ(b)) ∈ (ψ × ψ)−1 ∼L⇔ (a, b) ∈ (ϕ× ϕ)−1((ψ × ψ)−1 ∼L).

Logo, conclui-se que ((ψ ϕ) × (ψ ϕ))−1 ∼L= (ϕ× ϕ)−1((ψ × ψ)−1 ∼L).

Pela Proposicao 2.1.4 (iii), vem que (ϕ× ϕ)−1((ψ × ψ)−1 ∼L) ⊆ (ϕ× ϕ)−1 ∼ψ−1L⊆

⊆∼ϕ−1(ψ−1L)=∼(ψϕ)−1L.

Considere-se a seguinte definicao.

Definicao 2.1.11. Seja A uma algebra, diz-se que a algebra A e sintactica se for iso-

morfa a algebra sintactica de um qualquer subconjunto de uma algebra do tipo τ . Um

subconjunto L ⊆ A diz-se disjuntivo se a sua congruencia sintactica e a relacao identidade

em A, i.e. ∼L= ∆A.

Tem-se a seguinte caracterizacao das algebras sintacticas.

Proposicao 2.1.12. [Ste92] Uma algebra A e sintactica se e so se possui um conjunto

disjuntivo.

Demonstracao: (⇒) Seja A uma algebra sintactica. Entao, A ∼= B/L, para alguma

algebra B do tipo τ e L ⊆ B. Prove-se que o conjunto K = [b]L : b ∈ L e um conjunto

disjuntivo em B/L. Se [b]L ∼K [b′]L para b, b′ ∈ B, entao para todo p ∈ Pol1(A), vem que

p(b) ∈ L⇔ ϕL(p(b)) = pϕL([b]L) ∈ K ⇔ pϕL

([b′]L) = ϕL(p(b′)) ∈ K ⇔ p(b′) ∈ L,

usando o Lema 2.1.3. Logo, [b]L = [b′]L e portanto o subconjunto K e disjuntivo em B/L.

Assim sendo, o subconjunto de A, correspondente a K, e disjuntivo em A.

(⇐) Trivial. Se L e um conjunto disjuntivo de A, entao A ∼= A/L e portanto A e uma

algebra sintactica.

As algebras sintacticas englobam um conjunto especial de algebras e por isso tem

um papel importante na construcao das pseudovariedades, com mostram os resultados

seguintes.

2.2. CONJUNTOS RECONHECIVEIS 69

Proposicao 2.1.13. [Ste92] Toda a algebra subdirectamente irredutıvel e sintactica.

Demonstracao: Seja A uma algebra subdirectamente irredutıvel, do tipo τ . Para

a, b ∈ A, tem-se que a ∼a b, se e so se a = b. Visto que⋂∼a: a ∈ A = ∆A,

entao pelo Corolario 0.1.22, ∆A =∼a, para algum a ∈ A. Assim sendo, a e um

subconjunto disjuntivo de A e pela Proposicao anterior, conclui-se que A e uma algebra

sintactica.

Corolario 2.1.14. [Ste92] Toda a pseudovariedade [resp. variedade] do tipo τ e gerada

pelas suas algebra sintacticas.

2.2 Conjuntos reconhecıveis

No que se segue, seja V uma determinada pseudovariedade nao trivial do tipo τ e FnV

a algebra V -livre gerada por um conjunto de n elementos.

Definicao 2.2.1. Seja A uma algebra do tipo τ . Um subconjunto L ⊆ A diz-se

V -reconhecıvel se existe um homomorfismo ϕ : A → B, com B ∈ V , e um subcon-

junto K ⊆ B tal que L = ϕ−1(K). Neste caso, diz-se que o triplo 〈B, ϕ,K〉 reconhece L,

ou simplesmente que L e reconhecido por B.

Claramente, se L ⊆ A e V -reconhecıvel entao ∼L tem um numero finito de classes. O

triplo 〈B, ϕ,K〉, na definicao anterior, desempenha o mesmo papel que um automato de

arvore determinista [GS84], onde B e o conjunto dos estados, K o conjunto dos estados

finais e ϕ a atribuicao inicial de estados.

Tem-se a seguinte caracterizacao dos conjuntos reconhecıveis.

Lema 2.2.2. [Ste92] Seja A uma algebra e L ⊆ A um subconjunto. As seguintes condicoes

sao equivalentes:

(i) L e V -reconhecıvel;

(ii) A/L B, para alguma algebra B ∈ V ;


(iii) A/L pertence a V .

Demonstracao: (i) ⇒ (ii) Se L ⊆ A e V -reconhecıvel entao existe um homomorfismo

ϕ : A → B, com B ∈ V , e um subconjunto K ⊆ B tal que L = ϕ−1(K). Pela Proposicao

2.1.5 (iii), vem que A/L = A/ϕ−1K B/K B.

(ii) ⇒ (iii) Se A/L B, com B ∈ V , entao A/L ∈ V .

(iii) ⇒ (i) Considere-se o homomorfismo sintactico ϕL : A → A/L e seja

K = [a]L : a ∈ L ⊆ A/L. Deste modo, L = ϕ−1L (K) e como A/L ∈ V , conclui-se

que L e V -reconhecıvel.

Concentre-se a atencao, agora, nos subconjuntos L ⊆ FnV da algebra V -livre, para

n > 1. Quando V e a classe de todas as algebras finitas do tipo τ , aos subconjuntos

L ⊆ FnV correspondem as denominadas linguagens de arvore. Quando V e a variedade

dos semigrupos [resp. monoides] finitos, entao L ⊆ FnV e uma linguagem de palavras.

Portanto, o estudo dos conjuntos reconhecıveis das algebras V -livres FnV , finitamente

geradas, unifica o estudo destes dois importantes ramos da Teoria das linguagens formais.

Denote-se por RecnV o conjunto de todos os subconjuntos L ⊆ FnV que sao

V -reconhecıveis e seja RecV = (RecnV )n>1.

Proposicao 2.2.3. [Alm94] Seja V uma pseudovariedade do tipo τ .

(i) O conjunto RecnV e um corpo de subconjuntos fechado para o cancelamento.

(ii) A sequencia RecV e fechada para homomorfismos inversos, no sentido em que, para

todo o homomorfismo ϕ : FnV → FmV se L ∈ RecmV , entao ϕ−1L ∈ RecnV .

Demonstracao: Trivial, consequencia directa da Proposicao 2.1.5.

Seja ConnV o conjunto de todas as congruencias θ ∈ ConFnV , tal que FnV/θ ∈ V . O

conjunto ConnV e constituıdo por congruencias de FnV , com um numero finito de classes.

No entanto, facilmente se conclui-se que apenas contem todas as congruencias finitas de

FnV se V e uma pseudovariedade equacional.

2.3. CORRESPONDENCIAS TIPO-EILENBERG 71

Lema 2.2.4. [Alm94] O conjunto ConnV e um filtro de congruencias de ConFnV , para

todo n ∈ N.

Demonstracao: Sejam θ1, θ2 ∈ ConnV . Pela Proposicao 0.1.19, vem que

FnV/(θ1∩θ2) FnV/θ1×FnV/θ2 e como FnV/θ1,FnV/θ2 ∈ V , entao FnV/(θ1∩θ2) ∈ V .

Logo, θ1∩θ2 ∈ ConnV . Sejam θ1 ∈ ConnV e θ2 ∈ ConFnV , tal que θ1 ⊆ θ2. Como FnV/θ1

e imagem homomorfa de FnV/θ2 ∈ V , vem que FnV/θ1 ∈ V e portanto θ1 ∈ ConnV .

Proposicao 2.2.5. [Alm94] Seja Sn uma corpo de subconjuntos de RecnV fechado para

o cancelamento e seja θ ∈ ConFnV , para n > 1. Entao, θ pertence ao filtro gerado pelo

conjunto de congruencias sintacticas ∼L : L ∈ Sn se e so se as classes de θ sao em

numero finito e pertencem todas a Sn.

Demonstracao: (⇐) Seja Γn o filtro de congruencias gerado pelas congruencias sintacticas

∼L : L ∈ Sn. Se todas as classes de θ pertencem a Sn e sao em numero finito, entao

θ ∈ Γn, pelo Lema 2.1.9.

(⇒) Seja θ ∈ Γn. Deste modo, existem linguagens L1, . . . , Lk ∈ Sn, tal que

θ ⊇ ∼L1 ∩ . . . ∩ ∼Lk.

Como todas as congruencias sintacticas de linguagens reconhecıveis tem um numero finito

de classes, conclui-se que θ tambem tem um numero finito de classes. Pelo Lema 2.1.7,

todas as classes das congruencias ∼L1 , . . . ,∼Lkpertencem a Sn. Logo, tambem as classes

de θ pertencem a Sn.

2.3 Correspondencias tipo-Eilenberg

Define-se, agora, variedade de V -linguagens e variedade de V -congruencias.

Definicao 2.3.1. Uma variedade de V -linguagens e uma sequencia, ou famılia, de con-

juntos V = (Vn)n>1, tal que:

L.1) Vn e um corpo de subconjuntos de Recn;


L.2) Vn e fechado para o cancelamento;

L.3) V e fechada para homomorfismos inversos FnV → FmV .

Denote-se por VL(V ) o conjunto de todas as variedades de V -linguagens.

Considere-se a relacao de inclusao em VL(V ) definida componente a componente.

Logo, tem-se o conjunto parcialmente ordenado 〈VL(V ),⊆〉. Pela Proposicao 2.2.3, a

sequencia RecV = (Recn)n>1 e uma variedade de V -linguagens e portanto a maior var-

iedade de V -linguagens em VL(V ). Por outro lado, LTriV = (∅, FnV n)n>1 e a menor

variedade de V -linguagens de VL(V ).

Proposicao 2.3.2. [Alm94, Ste92] Seja V = (Vn)n>1 uma variedade de V -linguagens e

L ⊆ FnV . Se L ∈ Vn entao todas as classes de ∼L tambem pertencem a Vn.

Demonstracao: Conclui-se directamente do Lema 2.1.7.

Definicao 2.3.3. Uma variedade de filtros de V -congruencias e uma sequencia

Γ = (Γn)n>1, tal que:

C.1) Γn e um filtro de congruencias de ConnV ;

C.2) se ϕ : FmV → FnV e um homomorfismo e θ ∈ Γn, entao (ϕ× ϕ)−1θ ∈ Γm.

Denote-se por VC(V ) o conjunto de todas as variedades de filtros de V -congruencias, que

se designar-se-ao simplesmente por variedades de V -congruencias.

As variedades de V -congruencias sao geradas pelas suas congruencias sintacticas.

Lema 2.3.4. [Ste92] Seja θ ∈ ConFnV uma congruencia de ındice finito. Se θ e inf-

irredutıvel entao θ e a congruencia sintactica de algum subconjunto L ⊆ FnV que e

V -reconhecıvel.

Demonstracao: Trivial, conclui-se directamente do Lema 2.1.9.


Lema 2.3.5. [Ste92] Seja θn ∈ ConFnV uma congruencia de ındice finito, para cada

n > 1. Entao, a sequencia Γ = ([θn)n)n>1 e uma variedade de V -congruencias se e so se

para todo o homomorfismo ϕ : FmV → FnV , se tem que θm ⊆ (ϕ× ϕ)−1θn.

Demonstracao: Trivial.

O seguinte resultado da uma caracterizacao bastante util das algebras sintacticas,

relacionando-as com as V -linguagens.

Lema 2.3.6. [Ste92] A algebra A ∈ V e sintactica se e so se existe um subconjunto

L ⊆ FnV , tal que A ∼= FnV/L, para algum n > 1.

Demonstracao: (⇒) Seja A uma algebra sintactica de V e D ⊆ A o seu conjunto

disjuntivo. Seja G ⊆ A um conjunto gerador da algebra A e n > 1, tal que |G| 6 n. Como

A ∈ V , entao existe um homomorfismo sobrejectivo ϕ : FnV → A. Logo, pela Proposicao

2.1.5 (iii), vem que A ∼= A/D ∼= FnV/ϕ−1(D), com ϕ−1(D) ⊆ FnV .

(⇐) Trivial.

Uma pseudovariedade W do tipo τ diz-se uma subpseudovariedade de V se W ⊆ V .

Seja Lps(V ) o subreticulado completo de Lps(τ), constituıdo por todas as subpseudo-

variedades de V do tipo τ . Apresenta-se a correspondencia entre as subpseudovariedade

de V e as variedades de V -linguagens.

Proposicao 2.3.7. [Ste79, Alm94] As correspondencias

( )ℓ : Lps(V ) → VL(V ) W 7→W ℓ = (L ⊆ FnV : FnV/L ∈Wn)n>1

e

( )a : VL(V ) → Lps(V ) V 7→ Va = VfA/L ∈ V : L ∈ Vn, n > 1

sao isomorfismos de reticulado, mutuamente inversos.


Demonstracao: Seja W ∈ Lps(V ), conclui-se directamente da Proposicao 2.1.5 que

W ℓ ∈ VL(V ). Para V ∈ VL(V ), por definicao de V a tem-se que V a ∈ Lps(V ). Logo,

as aplicacoes ( )ℓ e ( )a estao bem definidas. Facilmente se conclui que sao monotonas.

Verifique-se que as aplicacoes satisfazem as condicoes do Corolario 0.4.2.

•W ℓa = W

A pseudovariedade W ℓa e gerada pelas algebras sintacticas FnV/L, tal que L ∈ W ℓn,

para algum n > 1. Como todas estas algebras sintacticas pertencem a W , conclui-se que

W ℓa ⊆ W . Seja A ∈ W uma algebra sintactica de W . Entao, A ∼= FnV/L, para alguma

linguagem V -reconhecıvel L ⊆ FnV e para algum n > 1. Deste modo, vem que L ∈W ℓn e

portanto A ∈W ℓa. Donde se conclui que W ⊆W ℓa e portanto W ℓa = W .

•V aℓ = V

Para n > 1, seja L ∈ Vn. Tem-se que FnV/L ∈ V a e portanto L ∈ V aℓn . Donde se

conclui que V ⊆ V aℓ.

Seja L ∈ V aℓn , para n > 1. Tem-se que FnV/L ∈ V a. Como a pseudovariedade V a e

gerada pelas algebras sintacticas das linguagens de V , existem linguagens L1 ∈ Vn1 , . . . , Lk ∈

Vnk, para k, n1, . . . , nk > 1, tais que

FnV/L Fn1V/L1 × . . .× FnkV/Lk.

Pelo Lema 2.2.2, existe um homomorfismo

ψ : FnV → Fn1V/L1 × . . .× FnkV/Lk

e um subconjunto finito H ⊆ Fn1V/L1 × . . .× FnkV/Lk, tal que L = ψ−1(H).

Seja ϕLi: Fni

V → FniV/Li, com 1 6 i 6 k, o homomorfismo sintactico de Li e

η = ϕL1×· · ·×ϕLko homomorfismo produto. Pelo Corolario 0.1.16, aplicado ao homomor-

fismo sobrejectivo η e ao homomorfismo ψ, e possıvel definir um homomorfismo λ : FnV →

Fn1V × . . .×FnkV , tal que η λ = ψ. Sejam πi : Fn1V/L1 × . . .×Fnk

V/Lk → FniV/Li e

φi : Fn1V × . . .×FnkV → Fni

V os homomorfismos projeccao, com 1 6 i 6 k. Deste modo,

πi ψ = ϕLi φi λ, para todo 1 6 i 6 k. Como H e finito e L =

⋃ψ−1(h) : h ∈ H,

entao L e a uniao finitaria das linguagens ψ−1(h), para h ∈ H. De modo a mostrar

que L ∈ Vn, basta mostrar que ψ−1(h) ∈ Vn, para todo h ∈ H, pois Vn e um corpo de

subconjuntos. Seja h = (h1, . . . , hk) ∈ H, entao ψ−1(h) =⋂(ϕLi

φi λ)−1(hi) : i =

1, . . . , k =⋂(φi λ)−1(ϕ−1

Li(hi)) : i = 1, . . . , k. Basta mostrar que cada elemento desta

ultima interseccao finitaria esta em algum membro da sequencia V . Como Li ∈ Vni, pelo


Lema 2.3.2, as classes da sua congruencia sintactica ∼Lnitambem pertencem a Vni

. Logo

ϕ−1Li

(hi) ∈ Vni, para todo 1 6 i 6 k. Como V e uma variedade de V -linguagens, e fechada

para homomorfismos inversos e portanto (φi λ)−1(ϕ−1Li

(hi)) ∈ Vn, para todo 1 6 i 6 k.

Deste modo, conclui-se que L ∈ Vn e portanto V aℓ ⊆ V . Das duas inclusoes tira-se a

igualdade V aℓ = V . Pelo observado no Corolario 0.4.2, provado que as aplicacoes ( )a e

( )ℓ sao monotonas e mutuamente inversas, conclui-se que os reticulados Lps(V ) e VL(V )

sao isomorfos.

De modo a facilitar a demonstracao da correspondencia seguinte, veja-se o seguinte

Lema.

Lema 2.3.8. [Alm94, Ste92] Seja Γ ∈ VC(V ) uma variedade de V -congruencias e A uma

algebra finita do tipo τ . Entao, A ∈ VfFnV/θ : θ ∈ Γn, n > 1 se e so se existe um

homomorfismo sobrejectivo ϕ : FnV → A, tal que Kerϕ ∈ Γn, para algum n > 1.

Demonstracao: (⇒) Seja A ∈ Γa. Logo, existem congruencias θ1 ∈ Γn1 , . . . , θk ∈ Γnk,

para k > 1, com n1, . . . , nk > 1, tais que A Fn1V/θ1 × · · · × FnkV/θk. Deste modo,

existe um algebra finita B, um homomorfismo sobrejectivo β : B → A e um homo-

morfismo injectivo ϕ : B → Fn1V/θ1 × · · · ×FnkV/θk. As algebras Fn1V/θ1, . . . ,Fnk

V/θk

pertencem a pseudovariedade V , logo B ∈ V e portanto existe um homomorfismo so-

brejectivo ψ : FnV → B, para algum n > 1. Seja η = ϕθ1 × · · ·ϕθko homo-

morfismo produto, onde ϕθi: Fni

V → FniV/θi e o homomorfismo canonico de θi, para

1 6 i 6 k. Para cada i = 1, . . . , k, seja πi : Fn1V × · · · × FnkV → Fni

V o i−esimo

homomorfismo projeccao. Aplicando o Corolario 0.1.16 ao homomorfismo sobrejectivo η

e ao homomorfismo ϕ ψ, existe um homomorfismo γ : FnV → Fn1V × · · · × FnkV ,

tal que η γ = ϕ ψ. Tem-se que o homomorfismo β ψ : FnV → A e sobrejectivo e

Ker(β ψ) ⊇ Kerψ = Ker(ϕ ψ) = Ker(η γ) =⋂(πi γ × πi γ)−1θi : 1 6 i 6 k.

Como (πi γ × πi γ)−1θi ∈ Γn, para todo 1 6 i 6 k, logo Ker(β ψ) ∈ Γn.

(⇐) Trivial.

Veja-se, agora, a correspondencia entre as pseudovariedades e variedades de

V -congruencias.


Proposicao 2.3.9. [Ste92] As correspondencias

( )c : Lps(V ) → VC(V ) W 7→W c = (θ ∈ ConnV : FnV/θ ∈Wn)n>1

e

( )a : VC(V ) → Lps(V ) Γ 7→ Γa = VfFnV/θ : θ ∈ Γn, n > 1

sao isomorfismos de reticulado, mutuamente inversos.

Demonstracao: Seja Γ ∈ VC(V ), por definicao tem-se que Γa ∈ Lps(V ) e uma sub-

pseudovariedade de V . Seja W ∈ Lps(V ) uma subpseudovariedade de V . Prove-se

que W c e uma variedade de V -congruencias. Para n > 1, sejam θ1, θ2 ∈ W cn. Como

FnV/θ1 ∩ θ2 FnV/θ1 × FnV/θ2 e FnV/θ1,FnV/θ2 ∈ W , entao FnV/θ1 ∩ θ2 ∈ W e

portanto θ1 ∩ θ2 ∈W cn. Seja θ1 ∈W c

n e θ2 ∈ ConnV , tais que θ1 ⊆ θ2. Logo, existe um ho-

momorfismo sobrejectivo β : FnV/θ1 → FnV/θ2. Como FnV/θ1 ∈W , entao FnV/θ2 ∈W

e portanto θ2 ∈W cn. Assim sendo, tem-se que W c

n e um filtro de congruencias de ConnV ,

para todo n > 1. Seja ϕ : FmV → FnV um homomorfismo, para n,m > 1, e θ ∈ W cn.

Faca-se θ′ = (ϕ×ϕ)−1θ. Considere-se o homomorfismo injectivo ψ : FmV/θ′ → FnV/θ, tal

que ψ([a]θ′) = [ϕ(a)]θ, para todo a ∈ FmV . Logo, como FnV/θ ∈W , entao FnV/θ′ ∈W e

portanto (ϕ×ϕ)−1θ ∈ Γm. Donde se conclui que W c e uma variedade de V -congruencias.

Deste modo, conclui-se que as aplicacoes ( )a e ( )c estao bem definidas e facilmente

se verifica que sao monotonas. Prove-se, agora, que verificam as condicoes do Corolario

0.4.2.

•W ca = W .

Pelo Lema 2.3.8, tem-se que A ∈W ca se e so se existe um homomorfismo sobrejectivo

ϕ : FnV → A, para algum n > 1, tal que Kerϕ ∈W c. Pelo Teorema do homomorfismo,

A ∼= FnV/ kerϕ e portanto A ∈W . A outra inclusao tira-se dos mesmos argumentos.

•Γac = Γ.

Para n > 1, seja θ ∈ Γacn , entao FnV/θ ∈ Γa e pelo Lema 2.3.8, existe m > 1

e um homomorfismo sobrejectivo ψ : FmV → FnV/θ, tal que Kerψ ∈ Γm. Aplicando o

Corolario 0.1.16 ao homomorfismo sobrejectivo ψ e ao homomorfismo canonico de θ, existe

um homomorfismo ϕ : FnV → FmV tal que ψ ϕ = ϕθ. Assim sendo, θ = Ker(ψ ϕ) =

(ϕ × ϕ)−1Kerψ ∈ Γn. Logo, Γac ⊆ Γ. A inclusao contraria e evidente. Se θ ∈ Γn, para

algum n > 1, entao FnV/θ ∈ Γa e portanto θ ∈ Γacn . Conclui-se que Γac = Γ. Verificadas

as condicoes do Corolario 0.4.2, conclui-se a prova.


A partir das duas Proposicoes anteriores e possıvel concluir que VL(V ) e VC(V ) sao

reticulados completos isomorfos. No entanto, a Proposicao seguinte descreve as corre-

spondencias que dao origem este isomorfismo e generaliza o resultado de Therien [The80].

Proposicao 2.3.10. [Ste92] As correspondencias

( )c : VL(V ) → VC(V ) V 7→ Vc = ([∼L: L ∈ Vn)n)n>1

e

( )ℓ : VC(V ) → VL(V ) Γ 7→ Γℓ = (L ⊆ FnV : ∼L∈ Γnn)n>1

sao isomorfos de reticulado, mutuamente inversos.

Demonstracao: Seja V ∈ VL(V ) um variedade de V -linguagens. Por definicao, para

cada n > 1, V cn e um filtro de congruencias gerado pelo conjunto de congruencias sintacticas

∼L: L ∈ Vn. Para qualquer θ ∈ V cn , existem V -linguagens L1, . . . , Lk ∈ Vn, para k > 1,

tal que θ ⊇ ∼L1 ∩ · · · ∩ ∼Lk. Como L1, . . . , Lk sao V -reconhecıveis, usando o Lema 2.2.2,

conclui-se que todas as algebras FnV/Li, para 1 6 i 6 k, pertencem a pseudovariedade

V . Deste modo,

FnV/θ FnV/(∼L1 ∩ · · · ∩ ∼Lk) FnV/L1 × · · · × FnV/Lk

e portanto FnV/θ ∈ V . Assim sendo, prova-se que todas as congruencias de V cn pertencem

a ConnV , ou seja, V cn e um filtro de V -congruencias, para todo n > 1.

Seja ϕ : FmV → FnV um homomorfismo e θ ∈ V cn . Tem-se que θ ⊇ ∼L1 ∩ · · · ∩ ∼Lk

,

para V -linguagens L1, . . . , Lk ∈ Vn e k > 1. Assim sendo, vem que

(ϕ× ϕ)−1θ ⊇ (ϕ× ϕ)−1 ∼L1 ∩ · · · ∩ (ϕ× ϕ)−1 ∼Lk.

Pelo Lema 2.1.8 tem-se que

(ϕ× ϕ)−1 ∼Li=

⋂∼ϕ−1(p−1Li): p ∈ Pol1(FnV ),

para todo i = 1, . . . , k. Para cada i = 1, . . . , k, os conjuntos ϕ−1(p−1Li) ∈ Vm, com

p ∈ Pol1(FnV ), sao em numero finito. Logo, (ϕ× ϕ)−1 ∼Li∈ V c

m, para cada 1 6 i 6 k, e

portanto (ϕ× ϕ)−1θ ∈ V cm. Donde se conclui que V c ∈ VC(V ).

Seja Γ ∈ VC(V ). Usando as propriedades enunciadas na Proposicao 2.1.4, conclui-se

que Γℓ e uma variedade de V -linguagens. Logo, as correspondencias ( )ℓ e ( )c estao bem

definidas e facilmente se conclui que sao monotonas.


Das Proposicoes 2.3.7 e 2.3.9 estabelece-se que os conjuntos parcialmente ordena-

dos VL(V ) e VC(V ) sao reticulados completos isomorfos, visto serem ambos isomorfos

a Lps(V ). Logo, os isomorfismos entre VL(V ) e VC(V ) sao dados pela composicao dos

isomorfismos estabelecidos nas Proposicoes 2.3.7 e 2.3.9. Assim sendo, pretende-se provar

que ( )ℓ e ( )c sao os isomorfismos de reticulado mutuamente inversos entre VL(V ) e

VC(V ). Para isso, basta mostrar que V ac = V c e Γaℓ = Γℓ, para qualquer V ∈ VL(V ) e

Γ ∈ VC(V ). Onde ( )a, ( )ℓ e ( )c sao as aplicacoes que tem significado no contexto em

que sao usadas.

• Γaℓ = Γℓ.

Seja W ∈ Lps(V ) uma subpseudovariedade de V . Verifique-se que W ℓ = W cℓ, proprie-

dade que sera usada de seguida. Para n > 1 e L ∈W ℓn, vem

L ∈W ℓn ⇔ FnV/L ∈W ⇔ ∼L∈W c

n ⇔ L ∈W cℓn ,

e portanto tem-se que W ℓ = W cℓ.

Seja Γ ∈ VC(V ) uma variedade de V -congruencias. Entao, Γaℓ = (Γa)ℓ = (Γa)cℓ =

(Γac)ℓ = Γℓ, usando a propriedade acima e a Proposicao 2.3.9.

• V ac = V c.

Seja n > 1 e θ ∈ ConnV . Se θ ∈ V cn , entao θ ⊇∼L1 ∩ · · · ∩ ∼Lk

, para algum

k > 1 e linguagens L1, . . . , Lk ∈ Vn. Como todas as algebras FnV/Li, para 1 6 i 6 k,

pertencem a V a e FnV/θ FnV/L1 × · · · × FnV/Lk, conclui-se que FnV/θ ∈ V a e

portanto θ ∈ V ac. Donde se conclui que V ac ⊇ V c. Se θ ∈ V acn , entao FnV/θ ∈ V a

e portanto existem V -linguagens Li ∈ Vni, com 1 6 i 6 k, para k, n1, . . . , nk > 1, tal

que FnV/θ Fn1V/L1 × · · · × FnkV/Lk. Logo, existe um algebra finita B ∈ V a, um

homomorfismo sobrejectivo ψ : B → FnV/θ e um homomorfismo injectivo η : B →

Fn1V/L1 × · · · × FnkV/Lk. Aplicando o Corolario 0.1.16 ao homomorfismo sobrejectivo

ψ e ao homomorfismo canonico de θ, existe um homomorfismo ϕ : FnV → B, tal que

ψ ϕ = ϕθ. A algebra B pode ser escolhida de modo que ϕ seja sobrejectivo. Logo,

Ker(ψ ϕ) = θ. Para cada i = 1, . . . , k, seja πi : Fn1V × · · · × FnkV → Fni

V o i−esimo

homomorfismo projeccao e seja φ = ϕLi× · · · × ϕLk

o homomorfismo produto, dos ho-

momorfismo sintacticos ϕLi: Fni

V → FniV/Li, com 1 6 i 6 k. Aplicando novamente

o Corolario 0.1.16, agora ao homomorfismo sobrejectivo φ e ao homomorfismo ϕ η, ex-

iste um homomorfismo γ : FnV → Fn1V × · · · × FnkV , tal que φ γ = η ϕ. Logo,

θ = ker(ψ ϕ) ⊇ ker(η ϕ) = ker(φ γ) =⋂(πi γ × πi γ)−1 ∼Li

: 1 6 i 6 k. Para


cada i = 1, . . . , k, tem-se que ∼Li∈ V c

ni. Logo, (πi γ × πi γ)−1 ∼Li

∈ Vn e portanto

θ ∈ V cn . Donde se conclui que V ac ⊆ V c e portanto V ac = V c. Conclui-se a prova,

ao mostrar que as aplicacoes ( )ℓ ( )c, definidas no enunciado da Proposicao, sao os

isomorfismos entre VL(V ) e VC(V ).

A Proposicao seguinte e um resultado bastante util na caracterizacao de alguns exem-

plos.

Proposicao 2.3.11. Seja W = HSPf (K) uma subpseudovariedade de V , gerada pela

classe de algebras finitas K, nao vazia. Para cada n > 1, W ℓn e a corpo de subconjuntos ger-

ado pelo conjunto de linguagens L ⊆ FnV : L e reconhecida por alguma algebra de K.

Demonstracao: Seja L ⊆ FnV , tal que L ∈ W ℓn, para n > 1. Sabe-se que W ℓ

n e um

corpo de subconjuntos. Prove-se que L e dado por um numero finito de interseccoes e

unioes de linguagens de L ⊆ FnV : L e reconhecida por alguma algebra de K. Como L

pertence a W ℓn, entao FnV/L ∈ W e portanto, existem algebras A1 . . . ,Ak ∈ K, tal que

FnV/L A1×· · ·×Ak, para k > 1. Assim sendo, a algebra A = A1×· · ·×Ak reconhece

L e portanto existe um homomorfismo ϕ : FnV → A e um conjunto P ⊆ A1 × · · · × Ak,

tal que L = ϕ−1(P ) =⋃a∈P ϕ

−1(a), com a = (a1, . . . , ak) ∈ A1 × · · · × Ak. Como

P e um conjunto finito, basta provar que cada ϕ−1(a) e uma combinacao booleana de

linguagens de Vn. Seja πj : A → Aj o j−esimo homomorfismo projeccao e considerem-se

os homomorfismo ϕj = πj ϕ, para 1 6 j 6 k. Deste modo, ϕ−1(a) =⋂kj=1 ϕ

−1j (aj) e

a linguagem ϕ−1j (aj) e reconhecida pela algebra Aj ∈ K, logo ϕ−1

j (aj) ∈ Vn. Portanto,

conclui-se que L e obtida a partir de unioes e interseccoes finitarias de linguagens de Vn.

De facto, da demonstracao da Proposicao anterior mostra-se que basta considerar ape-

nas as operacoes interseccao e uniao, podendo-se prescindir da operacao complementacao.

Como Corolario tem-se o seguinte resultado.

Corolario 2.3.12. Seja W uma subpseudovariedade de V . Entao, para cada n > 1, W ℓn

e corpo de subconjuntos gerado pelas linguagens L ⊆ FnV , reconhecidas pelas algebras

subdirectamente irredutıveis [resp. algebras sintacticas] de W .

Capıtulo 3

Variedades M-solidas de

linguagens

Seja M ⊆ Hyp(τ) um subuniverso do monoide das hipersubstituicoes do tipo τ . Nos

capıtulos anteriores, constatou-se que o reticulado SpsM (τ) das pseudovariedades M -solidas

forma um subreticulado completo do reticulado Lps(τ) das pseudovariedades do tipo τ .

Seja V uma determinada pseudovariedade do tipo τ . Considere-se o subreticulado de L(V )

SpsM (V ) := Lps(V )⋂

SpsM (τ)

das subpseudovariedades M -solidas de V . Dados os isomorfismos entre o reticulado

Lps(V ) e os reticulados das variedades de V -linguagens e V -congruencias, conclui-se que

ao subreticulado LpsM (V ) corresponde um subreticulado de V -linguagens em VL(V ) e um

subreticulado de V -congruencias em VC(V ). Surge como um problema natural, tentar

encontrar uma caracterizacao dos membros destes subreticulados de V -linguagens e de

V -congruencias.

Inspirado no trabalho de Esik em [Esi99] e de Steinby em [Ste98], neste capıtulo o autor

estabelece algumas correspondencias e caracterizacoes das variedades de V -linguagens e

V -congruencias associadas a subpseudovariedades M -solidas de V .

Ao longo deste capıtulo consideram-se apenas V -linguagens, onde V e uma pseudovarie-

dade equacional do tipo τ , de modo a contornar as particularidades das pseudovariedades

nao equacionais. Esta restricao nao coloca grandes limitacoes, pois como ja foi frisado,

os dois casos importantes sao quando V e a pseudovariedade dos semigrupos finitos ou a

classe de todas a algebra finitas de determinado tipo finito, que sao ambos exemplos de

pseudovariedades equacionais.

81

82 CAPITULO 3. VARIEDADES M -SOLIDAS DE LINGUAGENS

De modo a ilustrar as definicoes e proposicoes seguintes, veja-se o seguinte exemplo

usando o caso que deu origem a toda esta teoria.

Seja V a pseudovariedade dos monoides finitos e W a subpseudovariedade dos monoides

finitos aperiodicos. De modo a facilitar a escrita, usar-se-a a notacao infixa para a operacao

binaria. Seja X um conjunto de variaveis (ou letras) e X∗ o monoide livre gerado por X.

Uma linguagem L ⊆ X∗ diz-se livre de estrela se pode ser obtida usando apenas as

operacoes booleanas e a concatenacao a partir dos elementos de X. Schutzenberger, nos

anos sessenta, mostrou que a variedade de linguagens regulares W ℓ correspondente a W e

exactamente a variedade de linguagens constituıda pelas linguagens livre de estrela.

Seja A = 〈A; 〉 ∈ W um monoide aperiodico, o grupoide A = 〈A; ⋄〉, tal que x ⋄ y :=

yx e um monoide aperiodico, ja que um subgrupo de A e um subgrupo de A e vice versa.

Portanto A pertence a W . Mas o monoide A pode ser obtido como um grupoide derivado

de A, pela hipersubstituicao σyx ∈ Hyp(2), que aplica a operacao binaria no termo yx.

Logo, a pseudovariedade W e M -solida, para M = σid, σyx. Por outro lado, observa-

se facilmente que se A reconhece a linguagem L ⊆ X∗, entao A reconhece a linguagem

L = u ∈ X∗ : u = a1 . . . an, an . . . a1 ∈ L, donde se conclui que L e livre de estrela.

Usando a hipersubstituicao σyx, vem L = u ∈ X∗ : u = σyx[v], v ∈ L = σ−1yx (L). Deste

modo, observa-se que o facto de W serM -solida esta relacionado com o facto de a variedade

de linguagens correspondente ser fechada para imagens inversas das hipersubstituicoes

de M . Passe-se ao estudo do caso geral.

3.1 Variedades M-solidas de linguagens e de congruencias

O seguinte conjunto de hipersubstituicoes, introduzido por Plonka em [Plo94], tem um

papel importante.

Definicao 3.1.1. Seja K uma classe de algebras do tipo τ . A hipersubstituicao σ ∈

Hyp(τ) diz-se K-propria se para t ≈ s ∈ Id(K) vem σ[t] ≈ σ[s] ∈ Id(K). Denota-se por

P (K) o conjunto de todas as hipersubstituicoes K-proprias.

A variedade U = HSP(K) satisfaz as mesmas equacoes que a classe K. Logo, P (U) =

P (K), como tambem P (U) = P (Uf ).

Lema 3.1.2. [DW00] Para toda a classe de algebras K do tipo τ , P(K) = 〈P (K); h, σid〉

e um submonoide de Hyp(τ).

3.1. VARIEDADES M -SOLIDAS DE LINGUAGENS E DE CONGRUENCIAS 83

Demonstracao: Claramente, tem-se que P (K) ⊆ Hyp(τ) e um subconjunto de hiper-

substituicoes nao vazio, pois σid ∈ P (K). Sejam σ1, σ2 ∈ P (K) hipersubstituicoes

K-proprias. Pela Proposicao 1.1.2, vem que (σ1 h σ2) = σ1 σ2. Para t ≈ s ∈ Id(V ),

vem que σ2[t] ≈ σ2[s] ∈ Id(K) e portanto tambem σ1[σ2[t]] ≈ σ1[σ2[s]] ∈ Id(K). Logo,

(σ1 h σ2) [t] ≈ (σ1 h σ2) [s] ∈ Id(K), donde se conclui que σ1 h σ2 ∈ P (K).

Facilmente se conclui, do Lema anterior, que se uma pseudovariedade equacional (resp.

variedade) V e M -solida entao M ⊆ P (V ) e P(V ) e o maior submonoide de hipersubsti-

tuicoes, para o qual V e P (V )-solida.

Proposicao 3.1.3. Seja V uma pseudovariedade do tipo τ . Seja σ ∈ P (V ) uma hiper-

substituicao V -propria, entao σ : FnVsw−→ FnV e um M -semi-endomorfismo fraco.

Demonstracao: Tem-se o homomorfismo σ : Tτ (Xn) → σ[Tτ (Xn)]. Como as hipersub-

stituicoes V -proprias preservam as identidades de V , conclui-se que θV (Xn) ⊆ Kerσ e

pelo Teorema da Correspondencia 0.1.15, tem-se o homomorfismo

σ : FnV → σ[Tτ (Xn)]/θV (Xn).

Pelo Lema 2.1.7, θV (Xn) e tambem uma congruencia em σ[Tτ (Xn)] e alem disso tem-se

que σ[FnV ] = σ[Tτ (Xn)/θV (Xn)] = σ[Tτ (Xn)]/θV (Xn). Deste modo, σ : FnVsw−→ FnV

e um M -semi-endomorfismo fraco.

Apresenta-se a definicao de variedade M -solida de V -linguagens.

Definicao 3.1.4. Seja V = (Vn)n>1 uma variedade de V -linguagens. A variedade V

diz-se uma variedade M -solida de linguagens se para todo n,m > 1, todo o M -semi-

homomorfismo fraco h : FmVsw−→ FnV e L ∈ Vn, vem h−1(L) ∈ Vm.

Tem-se o seguinte resultado, utilizando as correspondencias do Capıtulo anterior.

Proposicao 3.1.5. Seja W uma subpseudovariedade M -solida de V . Entao, W ℓ e uma

variedade M -solida de V -linguagens.


Demonstracao: Seja W uma subpseudovariedade M -solida de V . Pela Proposicao 2.3.7,

tem-se que W ℓ e uma variedade de V -linguagens. Para n,m > 1, seja h : FmVsw−→

FnV um M -semi-homomorfismo fraco e L ∈ W ℓn. Pretende-se provar que h−1(L) ∈ W ℓ

m.

Como L ∈ W ℓn, entao FnV/L ∈ W . Deste modo, L e W -reconhecıvel e pelo Lema 2.2.2,

existe uma algebra finita A ∈ W , um homomorfismo ϕ : FnV → A e um conjunto

K ⊆ A, tal que ϕ−1(K) = L. Tem-se o homomorfismo h : FmV → σ[FnV ] e pelo

Lema 1.1.5 o homomorfismo ϕ : σ[FnV ] → σ[A], para uma hipersubstituicao σ ∈ M .

Logo, h−1(L) = h−1(ϕ−1(K)) = (ϕ h)−1(K). Portanto, h−1(L) e reconhecida pelo triplo

〈σ[A], ϕ h,K〉, ou seja, pela algebra finita σ[A] e portanto FmV/h−1(L) σ[A]. Como

W e M -solida, entao σ[A] ∈W e consequentemente FmV/h−1(L) ∈W . Assim sendo, vem

que h−1(L) ∈W ℓm. Donde se conclui que W ℓ e uma variedade M -solida de V -linguagens.

Da Proposicao anterior concluem-se os seguintes resultados.

Corolario 3.1.6. Seja L ∈ RecnV uma linguagens V -reconhecıvel e h : FmV → FnV

um M -semi-homomorfismo fraco. Entao, h−1(L) e reconhecida pela algebra σ[A], para

alguma hipersubstituicao σ ∈M .

Corolario 3.1.7. Seja V uma variedade de V -linguagens. Se V a e uma pseudovariedade

M -solida, entao tambem V e uma variedade M -solida.

O seguinte resultado, que surge enunciado em [Sah04], da uma caracterizacao das

algebras que pertencem a uma pseudovariedade recorrendo as linguagens por si reconheci-

das.

Lema 3.1.8. Seja V uma variedade de V -linguagens e A ∈ V uma algebra finita. A

algebra A pertence a pseudovariedade V a se e so se cada V -linguagem reconhecida por A

pertence a Vn, para algum n > 1.

Demonstracao: (⇒) Seja L ⊆ FnV uma V -linguagem reconhecida por A. Pelo Lema

2.2.2, tem-se que FnV/L A e portanto FnV/L ∈ V a, ou seja, L ∈ Vn.

(⇐) Suponha-se que todas as V -linguagens reconhecidas por A pertencem a algum

membro da sequencia V . Seja A ∈ V uma algebra finita. Toda a algebra finita e isomorfa

3.1. VARIEDADES M -SOLIDAS DE LINGUAGENS E DE CONGRUENCIAS 85

a um produto subdirecto finitario de algebra finitas subdirectamente irredutıveis, que sao

suas imagens homomorfas, pelo Corolario 0.1.25. Assim sendo, A ∏ki=1 Ai, para k > 1,

onde Ai e uma algebra finita subdirectamente irredutıvel, para 1 6 i 6 k. Pela Proposicao

2.1.13, vem que as algebras A1, . . . ,Ak sao sintacticas e como sao imagens homomorfas

de A, pertencem a pseudovariedade V . Deste modo, pelo Lema 2.3.6, vem que existem

linguagens Li ⊆ FniV , para i = 1, . . . , k, tal que Ai

∼= FniV/Li, com n1, . . . , nk > 1.

Como FniV/Li A, para 1 6 i 6 k, entao as linguagens L1, . . . , Lk sao reconhecidas por

A. Por hipotese, tem-se que Li ∈ Vni, para todo 1 6 i 6 k. Logo, as algebra sintacticas

Fn1V/L1, . . . ,FnkV/Lk pertencem a V a e portanto A ∈ V a.

Aplicando o Lema anterior, tem-se a seguinte Proposicao relativa as variedades de

linguagens.

Proposicao 3.1.9. Seja V uma variedade M -solida de V -linguagens. Entao, a pseu-

dovariedade V a e M⋂P (V )-solida.

Demonstracao: Seja A ∈ V a e σ ∈ M⋂P (V ) uma hipersubstituicao. Pretende-se

provar que σ[A] ∈ V a. Pelo Lema 3.1.8, basta provar que toda a V -linguagens reconhecida

por σ[A] pertence a algum membro da sequencia V . Para n > 1, seja L ∈ RecnV , tal que L

e reconhecida por σ[A]. Logo, existe um homomorfismo ϕ : FnV → σ[A] e um subconjunto

K ⊆ A, tal que ϕ−1(K) = L. Como σ ∈ P (V ), entao σ[A] ∈ V e σ : FnVsw−→ FnV e

um M -semi-endomorfismo fraco. Seja ψ : FnV → A o unico homomorfismo, tal que

ψ σ = ϕ. Assim sendo, tem-se que L = ϕ−1(K) = (ψ σ)−1(K) = σ−1(ψ−1(K)). Como

A reconhece a linguagem L′ = ψ−1(K), entao FnV/L′ A e portanto L′ ∈ Vn. Mas

como V e M -solida, entao L = σ−1(L′) ∈ Vn. Donde se conclui que todas as V -linguagens

reconhecidas por σ[A] estao em algum membro de V e portanto σ[A] ∈ V a. Portanto,

V a e uma pseudovariedade M⋂P (V )-solida.

Apresenta-se, agora, a definicao de variedade M -solida de V -congruencias.

Definicao 3.1.10. Seja Γ = (Γn)n>1 uma variedade de V -congruencias. A variedade Γ

diz-se uma variedade M -solida de congruencias se para todo o n,m > 1,todo o M -semi-

homomorfismo fraco h : FmVsw−→ FnV e θ ∈ Γn, vem que (h× h)−1θ ∈ Γm.


O resultado que se obtem entre variedade de linguagens e variedades de congruencias

e o seguinte.

Proposicao 3.1.11. Seja V uma variedade de V -linguagens. Entao, V e M -solida se e

so se V c e M -solida.

Demonstracao: (⇒) Para n,m > 1, seja h : FmV → FnV um M -semi-homomorfismo

fraco e θ ∈ V cn . Combinando os Lemas 2.1.6, 2.1.8 e 2.1.9, vem que

(h× h)−1θ =⋂

p

⋂

L

∼h−1(p−1(L)): p ∈ Pol1(FnV ) e L uma θ-classe

e uma interseccao finitaria. Pela Proposicao 2.2.5, todas as classes de θ pertencem a

Vn. Como V e uma variedade M -solida de V -linguagens, entao p−1(L) ∈ Vn e tambem

h−1(p−1(L)) ∈ Vm, para todo p ∈ Pol1(FnV ) e θ-classe L. Logo, (h× h)−1θ ∈ V cn .

(⇐) Seja V uma variedade de V -linguagens, tal que V c e variedade M -solida de

V -congruencias. Para n,m > 1, seja L ∈ Vn e h : FmVsw−→ FnV umM -semi-homomorfismo

fraco. Tem-se o homomorfismo h : FmV → σ[FnV ], para alguma hipersubstituicao σ ∈M .

Pela Proposicao 2.1.4 (iii), vem que (h× h)−1 ∼L⊆∼h−1(L). Deste modo, como ∼L∈ V cn

e V c e uma variedade M -solida, entao (h × h)−1 ∼L∈ V cm. Assim sendo, como V c

m e um

filtro de congruencias, entao tambem ∼h−1(L)∈ V cm. Logo, h−1(L) ∈ V cℓ

m = Vm. Donde se

conclui que V e M -solida.

Corolario 3.1.12. Seja Γ uma variedade de V -congruencias. Entao, Γ e M -solida se e

so se Γℓ e M -solida.

3.2 Linguagens de arvore

No caso em que V e a classe de todas algebras finitas do tipo τ , entao FnV e a algebra

dos termos do tipo τ sobre Xn. Neste caso, um subconjunto L ⊆ Tτ (Xn) designa-se por

linguagem de arvore do tipo τ , ou simplesmente por linguagens de arvore. Neste caso,

obtem-se resultados bastante mais elegantes.

Repare-se que aplicacoes denotadas ( )a, ( )ℓ e ( )c e definidas nas Proposicoes 2.3.7,

2.3.9 e 2.3.10 dependem da pseudovariedade V .

3.2. LINGUAGENS DE ARVORE 87

Teorema 3.2.1. Seja V = Algf (τ) a pseudovariedade de todas as algebras finitas do

tipo τ . Entao, a pseudovariedade W e M -solida se e so se a variedade de linguagens W ℓ

e M -solida se e so se W c e M -solida.

Demonstracao: Conclui-se directamente das Proposicoes 3.1.5 e 3.1.9, usando o facto

de P (Algf (τ)) = Hyp(τ).

No caso das variedades de linguagens de arvore, tem-se uma correspondencia bijectiva

entre as varias estruturas M -solidas dos reticulados Lps(τ), VL(τ) e VC(τ). Assim sendo,

conclui-se que ao subreticulado completo SpsM (τ) corresponde o subreticulado completo

VLM (τ), de todas as variedades M -solidas de linguagens de arvore. De modo analogo,

para as variedades de congruencias VC(τ), tem-se o correspondente subreticulado completo

VCM (τ), de todas as variedades M -solidas de congruencias. As correspondencias sao

estabelecidas no Corolario seguinte.

Corolario 3.2.2. Os conjuntos VLM (τ) e VCM (τ) formam subreticulados completos dos

reticulados VL(τ) e VC(τ), respectivamente, ambos isomorfos ao reticulado SpsM (τ).

Demonstracao: Consequencia directa na Proposicao anterior e das correspondencia das

Proposicoes 2.3.7, 2.3.9 e 2.3.10.

Da mesma forma que no Capıtulo 1 se usaram submonoides de hipersubstituicoes

para determinar subreticulados completos do reticulado das variedade L(τ) e do reticu-

lado das pseudovariedades Lps(τ), o Corolario anterior mostra a forma, usando tambem

submonoides de hipersubstituicoes, de se obterem subreticulados completos de VL(τ) e

VC(τ).

No caso das linguagens de arvore, e possıvel dar uma caracterizacao mais simples das

variedades M -solidas de linguagens e das variedades M -solidas de congruencias usando

hipersubstituicoes.

Proposicao 3.2.3. A variedade de linguagens arvore V e M -solida se e so se para todo

n > 1, toda a hipersubstituicao σ ∈M e L ∈ Vn, vem que σ−1(L) ∈ Vn.


Demonstracao: (⇒) Seja n > 1, σ ∈ M e L ∈ Vn. Tem-se o M -semi-endomorfismo

fraco σ : Tτ (Xn)sw−→ Tτ (Xn). Por hipotese V e uma variedade M -solida de linguagens

de arvore e portanto σ−1(L) ∈ V .

(⇐) Pretende-se provar que V e uma variedade M -solida de linguagens de arvore. Seja

h : Tτ (Xm)sw−→ Tτ (Xn) um M -semi-homomorfismo fraco. Pelo Lema 1.4.3, tem-se que

h = ϕ σ, para um homomorfismo ϕ : Tτ (Xm) → Tτ (Xn) e hipersubstituicao σ ∈ M .

Deste modo, h−1(L) = σ−1(ϕ−1(L)). Como V e uma variedade de linguagens de arvore,

vem que ϕ−1(L) ∈ Vm e pela hipotese, conclui-se que h−1(L) = σ−1(ϕ−1(L)) ∈ Vm.

Conclui-se que V e M -solida.

Da mesma forma para as variedade de congruencias.

Proposicao 3.2.4. Seja Γ ∈ VC(τ) uma variedade de congruencias. Entao, Γ e M -solida

se e so se para todo n > 1, θ ∈ Γn e σ ∈M , vem que (σ × σ)−1θ ∈ Γn.

Demonstracao: (⇒) Seja n > 1, θ ∈ Γn e σ ∈M . Tem-se o M -semi-endomorfismo fraco

σ : Tτ (Xn)sw−→ Tτ (Xn). Como Γ e uma variedade M -solida de congruencias, vem que

(σ × σ)−1θ ∈ Γn.

(⇐) Seja h : Tτ (Xm)sw−→ Tτ (Xn) um M -semi-homomorfismo fraco. Pelo Lema 1.4.3,

tem-se que h = ϕ σ, para um homomorfismo ϕ : Tτ (Xm) → Tτ (Xn) e hipersubstituicao

σ ∈M . Assim sendo,

(h× h)−1θ = (ϕ σ × ϕ σ)−1θ = (σ × σ)−1((ϕ× ϕ)−1θ),

pelo Lema 2.1.10. Como Γ e uma variedade de congruencias, vem que (ϕ × ϕ)−1θ ∈ Γm.

Pela hipotese, conclui-e que (h × h)−1θ = (ϕ σ × ϕ σ)−1θ ∈ Γm. Portanto Γ e uma

variedade M -solida de congruencias.

Uma importante nocao, na teoria das linguagens de arvore, e a de morfismo de arvore

[GS84], que de determinada forma e uma generalizacao da nocao de homomorfismo para as

linguagens de palavras, consideradas como termos de tipo unario. Os semi-homomorfismo

fracos sao um tipo especial de morfismos de arvore. Portanto, e possıvel caracterizar as

variedades M -solidas de linguagens e de congruencias, utilizando determinadas famılias

de morfismos de arvores, como em [Ste98].

Capıtulo 4

Exemplos

Neste Capıtulo, dar-se-ao alguns exemplos de variedades, pseudovariedades, variedades

de linguagens de arvore e de congruencias que sao M -solidas, para submonoides M ⊆

Hyp(τ).

4.1 Algebras rectangulares

Uma algebra A = 〈A; fA

i i∈I〉 do tipo τ diz-se uma algebra projeccao se para todo

para todo i ∈ I, se tem fA

i = pAki,ni, para algum 1 6 ki 6 ni, ou seja, se todas as operacoes

de A sao operacoes projeccao.

Seja PA(τ) a classe de todas as algebras projeccao do tipo τ . As algebras da variedade

gerada pelas algebras projeccao RA(τ) = HSP(PA(τ)) = Mod(Id(PA(τ))) denominam-se

algebras rectangulares do tipo τ .

Proposicao 4.1.1. [PR93] Seja V uma variedade solida do tipo τ nao trivial. Entao, V

contem todas as algebra projeccao do tipo τ e portanto RA(τ) ⊆ V .

Demonstracao: Seja A = 〈A; pAki,ni〉i∈I ∈ PA(τ) uma algebra projeccao do tipo τ .

Como V e uma variedade nao trivial, contem algebras de cardinalidades arbitrariamente

”grandes”. Logo, existe uma algebra B ∈ V , tal que |A| < |B|. Seja σ ∈ Hyp(τ) a

hipersubstituicao tal que σ(fi) = xki∈ Xni

, com 1 6 ki 6 ni. Deste modo, σ[B] =

〈B; pAki,nii∈I〉. Pelo facto de V ser uma variedade solida, vem que σ[B] ∈ V . Qualquer

aplicacao sobrejectiva ϕ : B → A e um homomorfismo sobrejectivo de σ[B] para A, logo

A ∈ V . Donde, facilmente se conclui que RA(τ) ⊆ V .

89

90 CAPITULO 4. EXEMPLOS

Lema 4.1.2. Seja A ∈ PA(τ) uma algebra projeccao. Para m > 1 e todo o termo

t ∈ Tτ (Xm), a operacao termo tA : Am → A e uma operacao projeccao.

Demonstracao: Prove-se por inducao estrutural. Se t = xj ∈ Xm, entao obviamente

tA = xA

j = pAj,m, com 1 > j > m. Seja t = fi(t1, . . . , tni), para algum i ∈ I. Suponha-se

que as operacoes tA1 , . . . , tAni

sao operacoes projeccao. Deste modo, tA = fA

i (tA1 , . . . , tAni

) =

tAk , para algum k ∈ 1, . . . , ni, visto que fA

i e uma operacao projeccao. Logo, conclui-se

que tA e uma operacao projeccao.

O seguinte resultado que surge em [PR93], utilizando a base equacional de RA(τ) e

aqui demonstrado de um modo mais simples.

Teorema 4.1.3. A variedade RA(τ) e a menor variedade solida nao trivial do tipo τ .

Demonstracao: Da Proposicao anterior, tem-se que a variedade RA(τ) esta contida em

todas as variedades solidas, nao triviais, do tipo τ . Falta apenas verificar que RA(τ) e

uma variedade solida. Pelo Corolario 1.3.8, basta que Xa[PA(τ)] ⊆ RA(τ). De facto,

Xa[PA(τ)] ⊆ PA(τ). Seja A ∈ PA(τ) e σ ∈ Hyp(τ). Pelo Lema anterior, cada

operacao σ(fi)A, com i ∈ I, e uma operacao projeccao e portanto σ[A] ∈ PA(τ). Logo,

Xa[PA(τ)] ⊆ PA(τ) e portanto RA(τ) e a menor variedade solida, nao trivial, do tipo τ .

Seja RAf (τ) a pseudovariedade de todas as algebras rectangular finitas. Pelo facto de

RA(τ) ser solida, i.e. fechada para algebras derivadas, conclui-se que RAf (τ) e tambem

fechada para algebras derivadas e portanto solida. As demonstracoes anteriores podem-se

refazer considerando algebras finitas. Donde se conclui que RAf (τ) e a menor pseudovar-

iedade, nao trivial, solida do tipo τ .

Como corolario obtem-se os seguintes resultados relacionados com variedades de lin-

guagens de arvore e de congruencias.

Corolario 4.1.4. A variedade de linguagens de arvore RA(τ)ℓ e a variedade de con-

gruencias RA(τ)c sao, respectivamente, as menores variedades solidas, nao triviais, de

linguagens de arvore e de congruencias.

4.2. ALGEBRAS DIAGONAIS E LINGUAGENS ROTULADAS. 91

4.2 Algebras diagonais e linguagens rotuladas.

Considere-se o tipo de algebras finito τ = (n), para n > 1. Em [Plo66], P lonka

denominou as algebras de RA(n) de algebras diagonais de dimensao n.

Na Proposicao seguinte e dada a caracterizacao das algebras subdirectamente irre-

dutıveis de RAf (n)

Proposicao 4.2.1. [PR93] As algebras subdirectamente irredutıveis de RAf (n), sao as

algebras projeccao de dois elementos do tipo (n).

Denote-se PA2(n) o conjunto de todas as algebras projeccao de dois elementos, do

tipo (n). Facilmente se conclui que a menos de isomorfismo PA2(n) = A1, . . . ,An, com

Ak = 〈0, 1; pk,n〉, para 1 6 k 6 n.

Agora, pretende-se caracterizar a variedade de linguagens de arvore solida RAf (n)ℓ,

correspondente a pseudovariedade solida RAf (n), de todas as algebras diagonais finitas

de dimensao n. De modo a simplificar a escrita, denote-se a variedade de linguagens de

arvore RAf (n)ℓ simplesmente por Diag(n) = (Diag(n)m)m>1. Pelo Corolario 2.3.12, para

cada m > 1, o conjunto Diag(n)m e o corpo de subconjuntos gerado pelas linguagens

L ⊆ T(n)(Xm) reconhecidas pelas algebras projeccao de dois elementos do tipo (n).

De modo a encontrar uma caracterizacao das linguagens reconhecidas pelas algebras

de PA2(n), veja-se o seguinte.

Para um termo t ∈ T(n)(X) e 1 6 k 6 n, defina-se ydk(t) como o seu k−rotulo, ou o

rotulo do seu k−caminho, da seguinte maneira:

i) ydk(x) = x, para x ∈ X;

ii) ydk(t) = ydk(tk), se t = f(t1, . . . , tn).

A seguinte Proposicao sera bastante util mais a frente.

Proposicao 4.2.2. Seja t ∈ T(n)(Xm) e A ∈ PA(n) uma algebra projeccao com

A = 〈A; pAk,n〉, para 1 6 k 6 n. Se ydk(t) = xj, entao tA = pAj,m , com 1 6 j 6 m.

Demonstracao: Prove-se por inducao estrutural. Se t = xj , para xj ∈ Xm, entao

obviamente tA = xA

j = pAj,m. Seja t = f(t1, . . . , tn), com ydk(t1) = xj1 , . . . , ydk(tn) = xjn ,

para xj1 , . . . , xjn ∈ Xm. Por hipotese de inducao tA1 = pAj1,m, . . . , tAn = pAjn,m. Assim sendo,

ydk(t) = ydk(tk) = xjk e como fA = pAk,n, entao tA = fA(tA1 , . . . , tAn ) = tAk = pAjk,m.


Caracterize-se Diag(n)m, para m > 1. Seja L ⊆ T(n)(Xm) uma linguagens arvore re-

conhecida por alguma algebra de PA2(n). Assim sendo, existe uma algebra

A ∈ PA2(n), um homomorfismo ϕ : T(n)(Xm) → A e um conjunto P ⊆ A, tal que

L = ϕ−1(P ). Suponha-se que A = 〈0, 1; pk,n〉, para 1 6 k 6 n. Considerem-se os

conjuntos Z0 = x ∈ Xm : ϕ(x) = 0 e Z1 = x ∈ Xm : ϕ(x) = 1. Denote-se

aj = ϕ(xj) ∈ 0, 1, para j = 1, . . . ,m. Considerem-se os diferentes casos:

• Se P = 0, 1, entao L = ϕ−1(P ) = T(n)(Xm) e o conjunto de todos os termos

m-arios do tipo (n). Se P = ∅, entao ϕ−1(P ) = ∅.

• Se P = 0, entao L = t ∈ T(n)(Xm) : ϕ(t) = 0 = t : tA(a1, . . . , am) = 0. Pela

Proposicao 4.2.2, para t ∈ T(n)(Xm) se ydk(t) = xj entao tA = pj,m, para 1 6 j 6 m,

e neste caso tA(a1, . . . , am) = aj = ϕ(xj). Logo, L = t ∈ T(n)(Xm) : ydk(t) ∈ Z0 e

portanto

L =⋃

x∈Z0

t ∈ T(n)(Xm) : ydk(t) = x.

O caso P = 1 e analogo ao anterior e vem L =⋃x∈Z1

t ∈ T(n)(Xm) : ydk(t) = x.

Estas unioes sao finitarias, visto que os conjuntos Z0 e Z1 sao finitos.

Pelo facto de Diag(n)m ser gerado pelas linguagens reconhecidas por algebras de

PA2(n) e pelo observado acima, conclui-se que Diag(n)m e gerado pelas linguagens da

forma L ⊆ T(n)(Xm), tal que existe k ∈ 1, . . . , n e x ∈ Xm com ydk(t) = x, para todo

t ∈ L. Por outras palavras, sao as linguagens L ⊆ T(n)(Xm), para a quais todos os termos

de L tem o mesmo k−rotulo, para um determinado 1 6 k 6 n. Dado isto, dizer-se-a

que uma linguagem L ⊆ T(n)(Xm) e k-rotulada, se todos os termos de L tem o mesmo

k−rotulo, ou diz-se simplesmente que L e rotulada. O Teorema seguinte resume todos

estes resultados e observacoes.

Teorema 4.2.3. Para m > 1, Diag(n)m e a corpo de subconjuntos gerado pelas linguagens

rotuladas.

Do Corolario 4.1.4, ja se pode concluir que Diag(n) e uma variedade solida de lin-

guagem de arvore. Conclui-se ate, que e a menor variedade de linguagens de arvore solida,

nao trivial, em VL(n). No entanto, nao e difıcil de se verificar directamente.

4.3. ALGEBRAS NILPOTENTES 93

Sejam > 1 e L ∈ Diag(n)m uma linguagem de arvore. Pela Proposicao 3.2.3, basta ver-

ificar que σ−1(L) ∈ Diag(n)m, para toda a hipersubstituicao σ ∈ Hyp(n). Pelo Teorema

anterior, as linguagens de Diag(n)m sao dadas por combinacoes booleanas de linguagens

rotuladas. Logo, basta considerar o caso em que L e uma linguagem rotulada.

Denote-se por σt ∈ Hyp(n) a hipersubstituicao que aplica f no termo t ∈ T(n)(Xn).

Sera necessario o seguinte Lema.

Lema 4.2.4. Para todo o termo t ∈ T(n)(Xm), com m > 1, tem-se que ydk(t) = σxk[t],

para todo k = 1, . . . , n.

Demonstracao: Prova-se por inducao estrutural. Se t = xj ∈ Xm, entao ydk(t) = xj =

σxk[t]. Seja t = f(t1, . . . , tn) e suponha-se que ydk(t1) = σxk

[t1], . . . , ydk(tn) = σxk[tn].

Entao, ydk(t) = ydk(tk) = σxk[tk] e σxk

[t] = xk(σxk[t1], . . . , σxk

[tn]) = σxk[tk]. Logo,

ydk(t) = σxk[t].

Como L ⊆ T(n)(Xm) e uma linguagem rotulada, existe uma variavel xj ∈ Xm e

k ∈ 1, . . . , n, para 1 6 j 6 m, tal que σxk[t] = xj , para todo o termo t ∈ L. Para

uma qualquer hipersubstituicao σs ∈ Hyp(n), pretende-se verificar que σ−1s (L) e tambem

uma linguagem rotulada. Seja t ∈ σ−1s (L), entao σs[t] ∈ L e portanto xj = ydk(σs[t]) =

σxk[σs[t]] = (σxk

σs)[t] = σxℓ[t] = ydℓ(t), onde σxk

[s] = xℓ e o k-rotulo do termo s. Logo,

a linguagem σ−1s (L) e ℓ−rotulada pela variavel xj e portanto σ−1

s (L) ∈ Diag(n)m, o que

permite concluir que Diag(n) e solida.

4.3 Algebras nilpotentes

Uma algebra A do tipo τ diz-se nilpotente se existe um elemento a ∈ A, dito absorvente,

e k > 1 tal que tA = a, para todo o termo t ∈ Tτ (Xω), com hg(t) > k. O grau de nilpotencia

de A e menor inteiro k, para o qual se verifica esta condicao.

Seja Nil(τ) a classe de todas as algebras finitas nilpotentes do tipo τ . Considere-se

a sequencia de conjuntos N il(τ) = (N iln(τ))n>1, tal que para cada n > 1, o conjunto

N iln(τ) contem todas as linguagens finitas e cofinitas de Tτ (Xn).

Proposicao 4.3.1. [Ste92] A sequencia N il(τ) e uma variedade de linguagens de arvore

e N il(τ)a = Nil(τ).


O seguinte Lema e fundamental neste exemplo.

Lema 4.3.2. [DW03] Seja σ ∈ Reg(τ) uma hipersubstituicao regular e t ∈ Tτ (Xω), entao

hg(σ[t]) > hg(t).

Relativamente a pseudovariedade das algebras nilpotentes prova-se o seguinte.

Proposicao 4.3.3. A classe de algebras finitas Nil(τ) e uma pseudovariedade

Reg(τ)-solida.

Demonstracao: Basta verificar que a pseudovariedade Nil(τ) e fechada para algebra

Reg(τ)-derivadas. Seja σ ∈ Reg(τ) e A ∈ Nil(τ) uma algebra nilpotente de grau de

nilpotencia k, com k > 1. Pretende-se verificar que σ[A] e tambem um algebra nilpotente.

Seja t ∈ Tτ (Xω), tal que hg(t) > k. Pelo Lema anterior tem-se que hg(σ[t]) > hg(t) > k.

Entao, tσ[A] = σ[t]A = a, pois A e uma algebra nilpotente, onde a e o elemento absorvente

de A. Logo, σ[A] e tambem uma algebra nilpotente de grau k e portanto Nil(τ) e uma

pseudovariedade Reg(τ)-solida.

Pode-se concluir o seguinte resultado, como consequencia da Proposicao 3.2.1.

Corolario 4.3.4. A variedade de linguagens de arvore N il(τ) e Reg(τ)-solida.

4.4 Linguagens de arvore determinadas

As linguagens de palavras determinadas sao caracterizadas pelos seus sufixos. A nocao

correspondente a sufixo num termo e a de raiz.

Seja τ um tipo de algebras finito. A raiz de comprimento k de um termo t ∈ Tτ (X),

ou a k−raiz de t, que se representa Rk(t), com k > 0, e definida por:

i) R0(t) = ε, onde ε e um sımbolo especial que representa a raiz vazia, e R1(t) = root(t),

para todo o termo t ∈ Tτ (X);

ii) para k > 2, se hg(t) < k entao Rk(t) = t; se hg(t) > k entao

Rk(t) = fi(Rk−1(t1), . . . , Rk−1(tni)), com t = fi(t1, . . . , tni

) e i ∈ I.

4.4. LINGUAGENS DE ARVORE DETERMINADAS 95

Onde root(t) = x, se t = x ∈ X e root(t) = fi, se t = fi(t1, . . . , tni), para algum i ∈ I.

Exemplo 4.4.1. Seja τ = (2, 1) um tipo de algebra e f, g um conjunto de sımbolos

operacionais do tipo τ , onde f e o sımbolo operacional binario e g o sımbolo operacional

unario. Seja t ∈ Tτ (X3) o termo t = f(x1, g(f(x3, x1)).

t t

t

tt

t

@@

@@

@@

@@

x1 x3

x1

f

g

f

A altura do termo e hg(t) = 3. Logo,

R0(t) = ε, R1(t) = f, R2(t) = f(R1(x1), R1(g(f(x3, x1))) = f(x1, g)

e

R3(t) = f(R2(x1), R2(g(f(x3, x1))) = f(x1, g(R1(f(x3, x1))) = f(x1, g(f)).

Para todo k > 4, vem sempre que Rk(t) = t.

Uma linguagem L ⊆ Tτ (Xn) diz-se k-determinada, ou simplesmente determinada, para

k > 0, se para todo t, s ∈ Tτ (Xn) com Rk(t) = Rk(s), t ∈ L se e so se s ∈ L.

Seja Dk(τ) = (Dkn(τ))n>1 a sequencia onde Dk

n(τ) denota o conjunto de todas as

linguagens k-determinadas de Tτ (Xn). Considere-se a sequencia D(τ) = (Dn(τ))n>1, com

Dn(τ) =⋃

k>0

Dkn(τ)

o conjunto de todas as linguagens determinadas de Tτ (Xn). Das definicoes anteriores,

concluem-se as inclusoes

D0(τ) ⊆ D1(τ) ⊆ · · · ⊆ Dk(τ) ⊆ · · · ⊆ D(τ).

Para k > 0, define-se a relacao ∼k,n no conjunto Tτ (Xn), tal que

t ∼k,n s se e so se Rk(t) = Rk(s),


com t, s ∈ Tτ (Xn). Por vezes, denota-se simplesmente t ∼k s, se t ∼k,n s, para algum n > 1

e termos t, s ∈ Tτ (Xn). Tem-se que t ∼0,n s, para todo os termos t, s ∈ Tτ (Xn) e portanto

∼0 e a relacao total em Tτ (Xn). Para k > 1, tem-se que t ∼k s se t = fi(t1, . . . , tni) e

s = fi(s1, . . . , sni), para algum i ∈ I e tais que t1 ∼k−1 s1, . . . , tni

∼k−1 sni. Da definicao

de linguagem k−determinada, vem que L ⊆ Tτ (Xn) e k-determinada se ∼k,n satura L.

Logo, concluem-se os seguintes resultados.

Lema 4.4.2. [Ste92] Uma linguagem L ⊆ Tτ (Xn) e k−determinada, para k > 0, se e so

se ∼k,n⊆∼L .

Lema 4.4.3. [Ste92] Para todo k > 0 a relacao ∼k,n e uma congruencia de ındice finito

da algebra Tτ (Xn), com n > 1.

O facto de se restringir no inıcio o estudo a linguagens sobre tipos finitos e fundamental

no resultado anterior, para garantir a finitude do numero de classes.

Seja Γk,n = [∼k,n) o filtro de congruencias de ındice finito em ConTτ (Xn), gerado

por ∼k,n.

Teorema 4.4.4. [Ste92] Para todo k > 0, a sequencia Γk = (Γk,n)n>1 e uma variedade

de congruencias. Alem disso, Γℓk = Dk(τ) e as sequencias Dk(τ) e D(τ) sao variedades de

linguagens de arvore.

Pretende-se verificar se estas variedades sao M -solidas, para algum M ⊆ Hyp(τ).

Vejam-se os seguintes Lemas.

Lema 4.4.5. Sejam t ∈ Tτ (Xn) e s1, . . . , sn, t1, . . . , tn ∈ Tτ (X) termos do tipo τ . Para

k > 0 , se hg(t) > 1 e t1 ∼k−1 s1, . . . , tn ∼k−1 sn, entao t(t1, . . . , tn) ∼k t(s1, . . . , sn).

Demonstracao: Prove-se por inducao sobre k. Para k = 0, 1 e obvio. Seja k > 2 e

suponha-se que a propriedade e valida para k − 1. O termo t tem altura maior que um,

logo nao e uma variavel. Seja t = fi(r1, . . . , rni), para i ∈ I. Tem-se que

t(t1, . . . , tn) = fi(r1(t1, . . . , tn), . . . , rni(t1, . . . , tn)) e

t(s1, . . . , sn) = fi(r1(s1, . . . , sn), . . . , rni(s1, . . . , sn)).

4.4. LINGUAGENS DE ARVORE DETERMINADAS 97

Pelo facto de ∼k−1 ser uma congruencia, vem que

r1(t1, . . . , tn) ∼k−1 r1(s1, . . . , sn), . . . , rni(t1, . . . , tn) ∼k−1 rni

(s1, . . . , sn).

Logo, t(t1, . . . , tn) ∼k t(s1, . . . , sn).

Lema 4.4.6. Sejam t, s ∈ Tτ (X) e σ ∈ Pre(τ). Para k > 0, se t ∼k s entao σ[t] ∼k σ[s].

Demonstracao: Prove-se por inducao sobre k. O caso base k = 0 e obvio. Seja k > 1 e

suponha-se que a propriedade e valida para k − 1. Seja σ ∈ Pre(τ) e t, s ∈ Tτ (Xn), tal

que t ∼k s. No caso em que um dos termos e uma variavel, entao ambos sao a mesma

variavel e o Lema conclui-se trivialmente. Caso contrario, tem-se que t = fi(t1, . . . , tni)

e s = fi(s1, . . . , sni), para algum i ∈ I, e com t1 ∼k−1 s1, . . . , tni

∼k−1 sni. Deste modo,

vem que σ[t] = σ(fi)(σ[t1], . . . , σ[tni]) e σ[s] = σ(fi)(σ[s1], . . . , σ[sni

]). Por hipotese de

inducao, vem que σ[t1] ∼k−1 σ[s1], . . . , σ[tni] ∼k−1 σ[sni

]. Logo, pelo facto de σ(fi) nao

ser uma variavel e pelo Lema 4.4.5, conclui-se que σ[t] ∼k σ[s].

Proposicao 4.4.7. Para k > 0, a sequencia Γk = (Γk,n)n>1 e uma variedade de con-

gruencias pre-solida.

Demonstracao: Seja k > 0, pelo Teorema 4.4.4, Γk e uma variedade de congruencias.

Seja σ ∈ Pre(τ) uma pre-hipersubstituicao e θ ∈ Γk,n uma congruencia. Logo, tem-se o

homomorfismo σ : Tτ (X) → σ[Tτ (X)]. E necessario verificar que (σ× σ)−1θ ∈ Γk,n. Para

tal, basta verificar que ∼k,n⊆ (σ × σ)−1θ. Sejam t, s ∈ Tτ (Xn), tais que t ∼k,n s. Pelo

Lema 4.4.6, vem que σ[t] ∼k,n σ[s] e portanto (t, s) ∈ (σ × σ)−1 ∼k,n⊆ (σ × σ)−1θ. Logo,

∼k,n⊆ (σ× σ)−1θ e portanto (σ× σ)−1θ ∈ Γk,n. Donde se conclui que Γk e uma variedade

pre-solida de congruencias.

Aplicando o Teorema 3.2.1, tem-se o seguinte resultado.

Corolario 4.4.8. Para k > 0, tem-se que Dk(τ) e D(τ) sao variedades de linguagens de

arvore pre-solidas.

98 CONCLUSAO

Conclusao

A aplicacao das hipersubstituicoes nas linguagens de arvore surge apenas em [DW02]

e [DP01], relacionada com tradutores de arvore e automatos de arvore. Nesta dissertacao,

encontrou-se mais uma aplicacao das hipersubstituicoes e das estruturas M -solidas, no

estudo das linguagens de arvore. Na seccao 3.1, deu-se a caracterizacao das variedades

de linguagens e das variedades de congruencias, correspondentes as pseudovariedades M -

solidas. No caso das linguagens de arvore, na seccao 3.2, mostrou-se mesmo que os mem-

bros M -solidos, dos tres reticulados L(τ), VL(τ) e VC(τ), formam subreticulados com-

pletos isomorfos. No caso das linguagens de palavras, nao se obtem tao bons resultados.

O problema e que existem poucas hipersubstituicoes proprias, para a pseudovariedade

de todos os semigrupos finitos. Logo, este caso necessita de ser mais profundamente es-

tudado. Principalmente, no sentido de se investigar se a limitacao da Proposicao 3.1.9,

”V a e M⋂P (V )-solida”, e obrigatoria.

No Capıtulo 4, deram-se alguns exemplos de conhecidas variedades de linguagens, que

sao M -solidas, para determinados monoides M de hipersubstituicoes. Nomeadamente,

provou-se que a variedade das linguagens determinadas e pre-solida e que a variedade das

linguagens nilpotentes e Reg(τ)-solida. Mostrando assim, que estes resultados encontram

aplicacao no seio das linguagens de arvore. Contudo, falta investigar outras conhecidas

variedades de linguagens de arvore, como as reverso-determinadas, aperiodicas, locais,

testaveis na fronteira, entre outras [Ste98]. A aplicacao de uma hipersubstituicao numa

arvore e uma operacao bastante rica e poderosa, em termos de resultados, que nao pode

ser simulada por homomorfismos inversos, nem quocientes. Daqui resulta, que as hiper-

substituicoes parecem ser uma ferramenta fundamental, num estudo mais profundo das

linguagens de arvore.

Em [Esi99] e [Ste98] e generalizado o estudo das correspondencias tipo-Eilenberg, a

variedades de linguagens que contem linguagens sobre todos os tipo finitos. Neste caso,

99

100 CONCLUSAO

Steinby considerou variedades generalizadas, que sao pseudovariedades contendo algebras

de todos os tipo finitos, e Esik considerou variedades de teorias algebricas. As teorias

algebricas sao equivalentes a clones de operacoes termo, das algebras livres. Neste con-

texto mais geral, consideram-se aplicacoes entre as algebras de termos dos diferentes

tipos, que nao sao mais do que casos especiais de M -semi-homomorfismos fracos, para

determinados monoides de hipersubstituicoes. No caso das variedades generalizadas de

Steinby, consideram-se morfismos de arvore alfabeticos, que podem ser obtidos a partir

das hipersubstituicoes alfabeticas. No caso das variedades de teorias algebricas de Esik,

utilizam-se morfismos de clone. Neste ultimo caso, Esik apresenta as nocoes de ∗-variedade

de linguagens (fechadas para morfismos inversos de clones) e +-variedade de linguagens

(fechadas para morfismos inversos de clones sem operacoes projeccao). Em [Esi99], prova-

se que as linguagens determinadas sao uma +-variedade de linguagens, no sentido de

Esik. Daqui sai, que as +-variedades de linguagens de Esik estao relacionadas com as pre-

hipersubstituicoes, assim como as ∗-variedades de linguagens, estao relacionadas com o

monoide de todas as hipersubstituicoes. Portanto, afirma-se que as hipersubstituicoes sao

a ferramenta adequada, para estudar as diferentes classes de linguagens de arvore. Neste

sentido, o autor conjectura que considerando hipersubstituicoes entre os varios tipos fini-

tos, que se prova serem uma categoria, e possıvel generalizar os resultados de Esik e

Steinby.

Bibliografia

[ADP01] S. Arworn, K. Denecke e R. Poschel, Closure operators on complete lattices,

Ordered algebraic structures, Algebra Log. Appl., vol. 16, 2001, 1–22.

[Alm90] J. Almeida, On pseudovarieties, varieties of languages, filters of congruences,

pseudoidentities and related topics, Algebra Universalis 27 (1990), 333–350.

[Alm94] J. Almeida, Finite Semigroups and Universal Algebra, Word Scientific, 1994.

[Arw01] S. Arworn, Characterizations of complete sublattice of a given complete lattice,

South. A. Bulletin of Mathematics 25 (2001), 191–200.

[Bra02] M. Branco, Varieties of languages, Proceedings of the Thematic Term on Semi-

groups, Algorithms, Automata and Languages (Coimbra, Portugal, 2001), G.M.S.

Gomes et al. (Eds), World Scientific, Singapore, (2002), 91-132.

[BS81] S. Burris e H.P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, Springer, Berlin,

1981.

[Den98] K. Denecke, Hyperequational theory, Math. Jap. 47 (1998), no. 2, 333–356.

[Den99] K. Denecke, Clones closed with respect to closure operators, Multi. Val. Logic,

Vol. 4 (1999), 229–247.

[DEW04] K. Denecke(ed.), M. Erne(ed.) e S. Wismath(ed.), Galois connections and ap-

plications, Mathematics and its Applications, Kluwer Academic Publishers, 2004.

[DL02] K. Denecke e S. Leeratanavalee, Tree transformations defined by generalized hy-

persubstitutions, Sci. Math. Jpn. 56 (2002), no. 3, 527–538.

101

102 BIBLIOGRAFIA

[DLPS91] K. Denecke, D. Lau, R. Poschel e D. Schweigert, Hyperidentities, hyper-

equational classes and clone congruences, General algebra, Proc. Conf., Vi-

enna/Austria 1990, Contrib. Gen. Algebra 7, 97-118 , 1991.

[DP90] B.A. Davey e H.A. Priestley, Introduction to Lattice and Order, Cambridge Uni-

versity Press, Cambridge, 1990.

[DP01] K. Denecke e N. Pabhapote, Tree-recognizers and tree-hyperrecognizers, Contribu-

tions to General Algebra 13, 107-114, 2001.

[DP03] K. Denecke e B. Pibaljommee, M-solid pseudovarieties and Galois connections,

Advances in algebra. Proceedings of the ICM satellite conference in algebra and

related topics, Hong Kong, World Scientific. 325-342 , 2003.

[DR95] K. Denecke e M. Reichel, Monoids of hypersubstitutions and M -solid varieties,

Contributions to general algebra 9. Holder-Pichler-Tempsky, 117-126 , 1995.

[DW00] K. Denecke e S. Wismath, Hyperidentities and clones, Algebra, Logic and Appli-

cations, Gordon and Breach Publishers, 2000.

[DW02] K. Denecke e S. Wismath, Universal algebra and applications in theoretical com-

puter science, Chapman & Hall/CRC, 2002.

[DW03] K. Denecke e S. Wismath, Complexity of terms, composition, and hypersubstitu-

tionsg, Int. J. Math. Math. Sci. 2003 (2003), no. 15, 959–969.

[ES76] S. Eilenberg e M.P. Schutzenberger, On pseudovarieties, Advances in Mathematics

19 (1976), 413–418.

[Esi96] Z. Esik, Definite tree automata and their cascade compositions, Publ. Math. 48

(1996), no. 3-4, 243–261.

[Esi99] Z. Esik, A variety theorem for trees and theories, Publ. Math. 54 (1999), no. 1-2,

711–762.

[Gec00] F. Gecseg, On some classes of tree automata and tree languages, Annales Aca-

demic Scientiarum Fennicæ 25 (2000), 325–336.

[Gra98] E. Graczynska, G. Birkhoff’s theorems for M-solid varieties, Algebra Universalis

40 (1998), 109–117.

BIBLIOGRAFIA 103

[GPV97] E. Graczynska, R. Poschel e M. Volkov, Solid Pseudovarieties, General Alge-

bra and Applications in Discrete Mathematic, Proceedings of the Conference on

Algebra and Applications in Discrete Mathematics, Postdam (1997), 93–110.

[GS84] F. Gecseg e M. Steinby, Tree Automata, Akademiai Kiado, Budapest, 1984.

[GS90] E. Graczynska e D. Schweigert, Hypervarieties of a given type, Algebra Universalis

27 (1990), no. 3, 305–318.

[GW96] B. Ganter e R. Wille, Formale Begriffsanalyse, Springer-Verlag, Berlin, 1996.

[Kol84] M. Kolibiar, Weak homomorphism in some classes of algebras, Studia Sci. Math.

Hung. 19 (1984), 413–420.

[MMT87] R. McKenzie, G. McNulty e W. Talyor, Algebras, Lattices and Varieties, Vol.

I, Wadsworth, Monterey, CA, 1987.

[Plo66] J. Plonka, Diagonal algebras, Fund. Math. 58 (1966), 309–321.

[Plo94] J. Plonka, Proper and inner hypersubstitutions of varieties, Proceedings of the

International Conference Summer School on General Algebra and Ordered Sets,

Olomouc (1994), 106–116.

[PR93] R. Poschel, M. Reichel, Projection algebras and rectangular algebras, General

Algebra and Applications, Research and Exposition in Mathematics, Vol. 20,

Heldermann-Verlag Berlin, 1993, 180-195.

[Sah04] S. Saheli, Varieties of tree languages definable by syntactic monoids, TUCS Tech-

nical Reports 619, August 2004.

[Sch93] D. Schweigert, Hyperidentities, Algebras and orders. Kluwer Academic Publishers.

Dordrecht, Boston, London, 1993, 405–506.

[Sch98] D. Schweigert, On derived varieties, Discuss. Math., Algebra Stoch. Methods 18

(1998), no. 1, 17–26.

[Ste79] M. Steinby, Syntatic algebras and varieties of recognizable sets, Les arbres en

algebre eten programmation, 4eme Coll. Lille, Proc. Coll., Lille 1979, University

of Lille, 1979, 226–240.

104 BIBLIOGRAFIA

[Ste92] M. Steinby, A theory of tree language varieties, Nivat, Maurice (ed.) et al., Tree

automata and languages. Amsterdam etc.: North-Holland. Stud. Comput. Sci.

Artif. Intell. 10, 57-81, 1992.

[Ste98] M. Steinby, General varieties of tree languages, Theor. Comput. Sci. 205 (1998),

no. 1-2, 1–43.

[Tay81] W. Taylor, Hyperidentities and hypervarieties, Aequationes Mathematicae 23

(1981), 111–127.

[The80] D. Therien, Classifications of regular languages by congruences, Rep. CS-80-19,

Univ. Waterloo, Dept. Comput. Sci., Waterloo, Ontario 1980.

[Wec92] W. Wechler, Universal Algebra for Computer Scientist, Springer-Verlag, Berlin,

1992.

Indice

algebra, 5

de Boole, 7

de termos, 15

derivada, 35

diagonal, 91

finita, 6

finitamente gerada, 8

livremente gerada, 16

nilpotente, 93

projeccao, 89

quociente, 10

rectangular, 89

sintactica, 64, 68

subdirectamente irredutıvel, 12

trivial, 6

ınfimo, 7

adequacao, 20

altura, 16

anti-isomorfismo de ordem, 22

aplicacao

isotona, 22

monotona, 22

automato, 69

cancelamento, 64

classe equacional, 18

clone, 5

polinomial, 15

complementacao, 8

conexao de Galois, 24

congruencia, 9

completamente invariante, 19

de ındice finito, 10

sintactica, 62

totalmente invariante, 50

conjunto

dijuntivo, 68

fechado, 22

reconhecıvel, 69

saturado, 62

conjunto parcialmente ordenado, 7

corpo de subconjuntos, 8

correccao, 20

divisor, 9

dualmente isomorfos, 22

endomorfismo, 9

equacao, 17

satisfazer uma, 17

filtro, 21

filtro de equacoes, 21

grupo, 6

hiperidentidade, 43

105

106 INDICE

hipersatisfazer, 43

hipersubstituicao, 34

alfabetica, 39

de ordem k, 39

identidade, 34

projeccao, 39

regular, 39

simetrica, 39

homomorfismo, 9

canonico, 10

inverso, 64

produto, 11

sintactico, 64

identidade, 17

imagem homomorfa, 9

imersao subdirecta, 12

isomorfismo, 9

isomorfismo de ordem, 22

kernel, 10

logica

equacional, 19

hiperequacional, 51

linguagens

de arvore, 70

de palavras, 70

determinadas, 95

reconhecıveis, 69

rotuladas, 92

monoide, 6

operacao, 5

projeccao, 5

termo, 15

operacoes fundamentais, 6

operador de fecho, 22

operadores conjugados, 29

ponto fixo, 22

pre-hipersubstituicao, 39

Princıpio de inducao estrutural, 9

produto

directo, 11

subdirecto, 12

propriedade universal, 16

pseudovariedade, 20

equacional, 20

reticulado, 7

distributivo, 7

algebrico, 7

completo, 7

limitado, 7

semi-homomorfismo fraco, 48

semi-reticulado, 6

semigrupo, 6

aperiodico, 6

comutativo, 6

nilpotente, 6

sistema de fecho, 23

sobreposicao, 5

subalgebra, 8

subpseudovariedade, 73

subrelacao Galois-fechada, 28

subuniverso, 8

supremo, 7

teoria

INDICE 107

equacional, 19

hiperequacional, 43

ultimamente hipersatisfaz, 55

ultimamente satisfaz, 21

universo, 6

variaveis, 14

variedade, 13

M -solida, 44

M -solida de congruencias, 85

M -solida de linguagens, 83

de congruencias, 72

de linguagens, 71

Errata

pagina, linha ou local onde esta devia estar

11, Corolario 0.1.16 Corolario 0.1.16 (suprimir o Corolario)(1)

16, linha 11 U(Y ) diz-se que U(Y ) e a algebra K-livre

livremente gerada por Y livremente gerada por Y .

17, linha 10 op(t) + op(t1) + · · · op(tn) op(t) + op(t1) + · · · + op(tn)

17, linha 16 Observe-se Observem-se

18, linha 17

22, linha 9 A Proposicao O Teorema

25, linha 24 o Teorema a Proposicao

31, Corolario 0.7.8 sao subreticulados completos sao subreticulados completos

dualmente isomorfos

47, linha 14 S(τ) SN (τ)

48, linha 25 σ ∈M σ ∈ Hyp(τ)

54, linha 17 pelo Teorema 1.3.10 pela Proposicao 0.7.5 (5)

57, linha 6 F ⊆ FEq(τ) um filtro F ⊆ FEq(τ) um conjunto de filtros

58, linha 10 ModMh FIdM

h FModMh FIdM

h

59, linha 3 Proposicao 0.6.4 Proposicao 0.6.4 e do Teorema 0.6.3

59, linha 4 subrelacao subrelacoes

67, linha 8 (a, b) ∈ ϕ−1(p−1L) (a, b) ∈∼ϕ−1(p−1L)

71, linha 2 n ∈ N n > 1

71, linha 5 θ1 ∈ ConnV e θ2 ∈ ConFnV θ1 ∈ ConFnV e θ2 ∈ ConnV

72, Lema 2.3.4 ConFnV ConnV

73, linha 1

75, linha 11 VfFnV/θ : θ ∈ Γn, n > 1 Γa := VfFnV/θ : θ ∈ Γn, n > 1

77, linha 8 isomorfos isomorfismos

78, linha 30 ϕ η η ϕ

81, linha 4 L(V ) Lps(V )

99, linha 7

81, linha 8 LpsM (V ) Sps

M (V )

83, linha 15 Pelo Lema 2.1.7 pois pelo Lema 2.1.7

84, linha 13 V -reconhecıvel reconhecida por A ∈ V

96, Lema 4.4.5 Prove-se por inducao (nao e necessario usar inducao)

(1) O Corolario 0.1.16 e falso, e verdadeiro quando a algebra C e livre relativamente as

outras duas. Quando na seccao 2.3 e usado o Corolario 0.1.16, deve-se considerar como

justificacao o facto de FnV ser V -livre.

variedades m-s´olidas de linguagenssecure site · 2019. 3. 26. · preliminares neste primeiro...

Documents