vanessa fortesaula 51 vivemos tomando decisões baseadas em informações incompletas... peço uma...

Vanessa FortesVanessa Fortes Aula 5Aula 5 11

Vivemos tomando decisões baseadas Vivemos tomando decisões baseadas em informações incompletas...em informações incompletas...

Peço uma sopa?As outras opções são tãoCARAS, e eu não sei quem

está pagando... Será que osestatísticos são pão-duros?Nunca saí com um antes...

apesar de já ter conhecido um contador bastante generoso...

Peço uma sopa?Das 36 vezes em que a pedi,

em 27 ela estava muito boa...Mas será que segunda é o dia

de folga do chef? E o queacontecerá se todas as moléculasde ar do salão de repente voarem

para o teto?


Muitos de nós vivemos confortavelmente Muitos de nós vivemos confortavelmente com um certo nível de incerteza...com um certo nível de incerteza...

Por favor,o senhor poderia

me trazer uma sopa?

Argh! Você poderia

me trazer uma CALCULADOR

A?


O que distingue os estatísticos é a sua O que distingue os estatísticos é a sua habilidade em quantificar a incerteza. Isto habilidade em quantificar a incerteza. Isto lhes permite fazer afirmações com certeza lhes permite fazer afirmações com certeza

absoluta sobre o seu nível de incerteza!absoluta sobre o seu nível de incerteza!

Boa pedida! Eu estou 95%confiante de que a sopa de hoje à noite tem uma probabilidade

entre 73% e 77% de ser realmente deliciosa!


O QUE É PROBABILIDADE?O QUE É PROBABILIDADE?

• A teoria da probabilidade estuda os A teoria da probabilidade estuda os fenômenos aleatórios.fenômenos aleatórios.

• Utilizada inicialmente para o estudo de jogos Utilizada inicialmente para o estudo de jogos de azar!de azar!

• O jogo de dados moderno popularizou-se na O jogo de dados moderno popularizou-se na Idade Média, com a apresentação de um Idade Média, com a apresentação de um quebra-cabeças matemático de um libertino quebra-cabeças matemático de um libertino da época, o Cavaleiro De Mereda época, o Cavaleiro De Mere


PROBABILIDADEPROBABILIDADE

• Experimento AleatórioExperimento Aleatório– São fenômenos que, mesmo repetido várias vezes São fenômenos que, mesmo repetido várias vezes

sob condições semelhantes, apresentam sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. resultados imprevisíveis.

– O resultado final depende do O resultado final depende do acasoacaso..

• ““É provável que o meu time ganhe a partida É provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultarhoje" pode resultar

– que ele ganheque ele ganhe– que ele percaque ele perca– que ele empateque ele empate

• Este resultado final pode ter três possibilidades.Este resultado final pode ter três possibilidades.



• Espaço AmostralEspaço Amostral– Conjunto universo ou o conjunto de resultados Conjunto universo ou o conjunto de resultados

possíveis de um experimento aleatório.possíveis de um experimento aleatório.

• No experimento aleatório "lançamento de uma No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço amostral {cara, coroa}.moeda" temos o espaço amostral {cara, coroa}.

• No experimento aleatório "lançamento de um dado" No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

• No experimento aleatório "dois lançamentos No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos o espaço sucessivos de uma moeda" temos o espaço amostral : {(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)}amostral : {(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)}



• EventosEventos– Qualquer subconjunto do espaço amostral de um Qualquer subconjunto do espaço amostral de um

experimento aleatório. experimento aleatório.

• Se considerarmos Se considerarmos SS como espaço amostral e como espaço amostral e EE como eventocomo evento

– Assim, qualquer que seja E, se E está contido em S, então E Assim, qualquer que seja E, se E está contido em S, então E é um evento de S.é um evento de S.

– Se E = S , E é chamado de evento certo.Se E = S , E é chamado de evento certo.

– Se E c S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento Se E c S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar.elementar.

– Se E = Ø , E é chamado de evento impossível.Se E = Ø , E é chamado de evento impossível.



• Probabilidade de um evento A = número real P(A)Probabilidade de um evento A = número real P(A)

– número de casos favoráveis de A / número total de casosnúmero de casos favoráveis de A / número total de casos

• Exemplos:Exemplos:

– No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A ?obter cara em um evento A ?

S = { ca, co } = 2 A = {ca} = 1 P(A) = 1/2 = 0,5 = 50%S = { ca, co } = 2 A = {ca} = 1 P(A) = 1/2 = 0,5 = 50%

– No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em um evento A ?um número par em um evento A ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 2,4,6 } = 3 P(A) = 3/6 = 0,5 = S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 2,4,6 } = 3 P(A) = 3/6 = 0,5 = 50%50%



– No lançamento de um dado qual a probabilidade de No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 em um evento obter um número menor ou igual a 6 em um evento A ?A ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 P(A) = 6/6 = 1,0 = S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 P(A) = 6/6 = 1,0 = 100% 100%

Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%.100%.

– No lançamento de um dado qual a probabilidade de No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número maior que 6 em um evento A ?obter um número maior que 6 em um evento A ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { } = 0 P(A) = 0/6 = 0 = 0% S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { } = 0 P(A) = 0/6 = 0 = 0%

Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0%0%



• Eventos ComplementaresEventos Complementares

– Um evento pode ocorrer ou nãoUm evento pode ocorrer ou não

– pp a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) a probabilidade de que ele ocorra (sucesso)

– qq a probabilidade de que ele não ocorra a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso)(insucesso)

– para um mesmo evento existe sempre a para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1 relação: p + q = 1

– Exemplo: A probabilidade de tirar o nº 4 no Exemplo: A probabilidade de tirar o nº 4 no lançamento de um dado é p = 1/6, logo, a lançamento de um dado é p = 1/6, logo, a probabilidade de não tirar o nº 4 no lançamento probabilidade de não tirar o nº 4 no lançamento de um dado: q = 1 - p ou q = 1 - 1/6 = 5/6.de um dado: q = 1 - p ou q = 1 - 1/6 = 5/6.



• Eventos IndependentesEventos Independentes

– Quando a ocorrência de um deles não afeta de Quando a ocorrência de um deles não afeta de modo algum a probabilidade do outro.modo algum a probabilidade do outro.

– O conhecimento de que um dos eventos ocorreu O conhecimento de que um dos eventos ocorreu não altera de nenhum modo a estimativa da não altera de nenhum modo a estimativa da probabilidade do outro evento.probabilidade do outro evento.



• ExemploExemplo

– Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.um deles independe do resultado obtido no outro.

– Então qual seria a probabilidade de obtermos, Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado?segundo dado?

• P1 é a probabilidade de realização do primeiro evento P1 é a probabilidade de realização do primeiro evento

• P2 a probabilidade de realização do segundo eventoP2 a probabilidade de realização do segundo evento

• a probabilidade dos eventos se realizem a probabilidade dos eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula: P (1 simultaneamente é dada pela fórmula: P (1 2) = P(1 e 2) = P(1 e 2) = P(1) x P(2) 2) = P(1) x P(2)

• P1 = P(4 dado1) = 1/6 P2 = P(3 dado2) = 1/6 P1 = P(4 dado1) = 1/6 P2 = P(3 dado2) = 1/6

• P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36



• Eventos Mutuamente ExclusivosEventos Mutuamente Exclusivos

– Quando a realização de um exclui a realização do(s) Quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s).outro(s).

– Se dois eventos são mutuamente exclusivos , a Se dois eventos são mutuamente exclusivos , a probabilidade de que um probabilidade de que um ou ou outro se realize é igual à soma outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:das probabilidades de que cada um deles se realize: P(1 U P(1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2) 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2)

– Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ?de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ?

– Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3+ 1/6 = 2/6 = 1/3



• Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional– Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B

ocorrer, depois de A ter acontecido é definida por : P ocorrer, depois de A ter acontecido é definida por : P (B/A), ou seja, é chamada probabilidade condicional de B(B/A), ou seja, é chamada probabilidade condicional de B. .

– Os eventos são dependentes e definidos pela fórmula:Os eventos são dependentes e definidos pela fórmula:

P (A e B ) = P (A) x P(B/A) P (A e B ) = P (A) x P(B/A)

– Exemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho semExemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS?COPAS?

• P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 %13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 %

• P(Copas1) = 13/52P(Copas1) = 13/52

• P(Copas2/Copas1) = 12/51P(Copas2/Copas1) = 12/51



– No exemplo anterior se a 1ª carta retirada No exemplo anterior se a 1ª carta retirada voltasse ao baralho o experimento seria do tipo voltasse ao baralho o experimento seria do tipo com reposição e seria um evento independente. com reposição e seria um evento independente. O resultado seria: O resultado seria:

– P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 = 6,25 %= 6,25 %

• Variável aleatóriaVariável aleatória

– Regra que atribui um valor numérico a cada Regra que atribui um valor numérico a cada possível resultado de um experimento.possível resultado de um experimento.

– Funções de probabilidades: f(X) = p(X= xi)Funções de probabilidades: f(X) = p(X= xi)


DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICASDISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS

Variáveis*Distribuição Normal

Distribuição “t” student

Atributos

*Distribuição Binomial

*Distribuição Poisson


DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADEDISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

• Exemplo – Distribuição de ProbabilidadeExemplo – Distribuição de Probabilidade– Ao lançarmos um dado, a variável aleatória X, Ao lançarmos um dado, a variável aleatória X,

definida por "pontos de um dado", pode tomar os definida por "pontos de um dado", pode tomar os valores 1,2,3,4,5 e 6. valores 1,2,3,4,5 e 6.

– Então resulta a seguinte distribuição de Então resulta a seguinte distribuição de probabilidade: probabilidade:


DISTRIBUIÇÃO BINOMIALDISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

• Distribuição BinomialDistribuição Binomial

• Fenômenos cujos resultados só podem ser de dois Fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, sucesso e insucesso.tipos, sucesso e insucesso.

• Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condições.quanto se queira (n vezes), nas mesmas condições.

• As provas repetidas devem ser independentes, isto As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas.das sucessivas.

• P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize xx vezes em vezes em n n provas. provas.

knk ppk

nkXP

)1()(

)!(!

!

knk

n

k

n

onde


DISTRIBUIÇÃO BINOMIALDISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

• Exemplo:Exemplo:

– Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. independentes.

– Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas.nessas 5 provas.

– n = 5 x = 3 p = 1/2 q = 1 - (1/2) = 1/2 n = 5 x = 3 p = 1/2 q = 1 - (1/2) = 1/2

– P(x=3) = 5/16P(x=3) = 5/16

knk ppk

nkXP

)1()(

)!(!

!

knk

n

k

n

onde


DISTRIBUIÇÃO DE POISSONDISTRIBUIÇÃO DE POISSON

• Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson – Distribuição de probabilidades aplicada para Distribuição de probabilidades aplicada para

acontecimentos raros, entretanto o seu maior uso acontecimentos raros, entretanto o seu maior uso prático é como aproximação para a distribuição prático é como aproximação para a distribuição binomial.binomial.

• A P(x) é calculada pela fórmula abaixo:A P(x) é calculada pela fórmula abaixo:

• Onde:Onde:

• é a média da distribuição (n . p)é a média da distribuição (n . p)

• representa a constante de valor igual a 2,718representa a constante de valor igual a 2,718

• x !x ! é o fatorial de x (0 ! = 1 e qualquer número é o fatorial de x (0 ! = 1 e qualquer número elevado a zero é igual a 1)elevado a zero é igual a 1)


DISTRIBUIÇÃO DE POISSONDISTRIBUIÇÃO DE POISSON

• Quando um acontecimento segue a distribuição Quando um acontecimento segue a distribuição binomialbinomial

– um “p” (sucesso) muito pequeno de tal modo que é um “p” (sucesso) muito pequeno de tal modo que é necessário um “n” muito grande para que o sucesso necessário um “n” muito grande para que o sucesso ocorraocorra

– Pode-se simplificar os cálculos usando a distribuição de Pode-se simplificar os cálculos usando a distribuição de Poisson como aproximação para a distribuição binomial.Poisson como aproximação para a distribuição binomial.

• Para que os resultados aproximados pela distribuição de Para que os resultados aproximados pela distribuição de Poisson sejam satisfatórios Poisson sejam satisfatórios

– Deve-se fazer a substituição da distribuição binomial pela Deve-se fazer a substituição da distribuição binomial pela de Poissonde Poisson

– quando “n” for maior ou igual a 50 e “p” menor ou igual a quando “n” for maior ou igual a 50 e “p” menor ou igual a 0,1 ou “p” maior ou igual a 0,9 ( “p” próximo de 0 ou 0,1 ou “p” maior ou igual a 0,9 ( “p” próximo de 0 ou próximo de 1)próximo de 1)


DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)

• É a distribuição mais comumente utilizada na É a distribuição mais comumente utilizada na análise de dados.análise de dados.

• A soma de um grande número de observações A soma de um grande número de observações independentes de qualquer distribuição tem uma independentes de qualquer distribuição tem uma distribuição normal.distribuição normal.

• É a distribuição que representa o É a distribuição que representa o comportamento de uma infinidade de “coisas” comportamento de uma infinidade de “coisas” do universo.do universo.

• Sua curva possui forma de sino e existe uma Sua curva possui forma de sino e existe uma concentração muito grande de itens em torno de concentração muito grande de itens em torno de uma média e à medida que avançamos para os uma média e à medida que avançamos para os extremos essa concentração diminui.extremos essa concentração diminui.



• PropriedadesPropriedades

– 1ª - A variável aleatória X pode assumir todo 1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.e qualquer valor real.

– 2ª - A representação gráfica da distribuição 2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.nome de curva normal ou de Gauss.

– 3ª - A área total limitada pela curva e pelo 3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor variável aleatória X assumir qualquer valor real.real.



• PropriedadesPropriedades

– 4ª - A curva normal é assintótica em relação 4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.contudo, alcançá-lo.

– 5ª - Como a curva é simétrica em torno da 5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.de probabilidade.


• Por que a distribuição normal é importante?Por que a distribuição normal é importante?

– 68% de todas as observações caem dentro de um intervalo 68% de todas as observações caem dentro de um intervalo de 1 desvio padrão da média de 1 desvio padrão da média

– um intervalo de 2 desvios padrões inclui 95% dos valoresum intervalo de 2 desvios padrões inclui 95% dos valores– 99% das observações caem dentro de um intervalo de 3 99% das observações caem dentro de um intervalo de 3

desvios padrões da médiadesvios padrões da média

34%34%

2 DP

Média

1 DP 1 DP

68,3%

2 DP

95,5%

3 DP 3 DP

99,7%




• A equação da curva é dada por:A equação da curva é dada por:

– A área total sob a curva representa uma A área total sob a curva representa uma probabilidade total que é igual a 1probabilidade total que é igual a 1

2x

21

e2

1y

x


• Distribuição Normal (Gauss)Distribuição Normal (Gauss)

– Os dois parâmetros (média e desvio Os dois parâmetros (média e desvio padrão) apresentam variações.padrão) apresentam variações.

– Para utilizar apenas uma tabela de área é Para utilizar apenas uma tabela de área é realizada uma transformação, onde a realizada uma transformação, onde a equação se torna mais simples:equação se torna mais simples:

x

Z



• Cálculo da porcentagem fora da Cálculo da porcentagem fora da especificaçãoespecificação

– É possível realizar este cálculo quando julgamos que É possível realizar este cálculo quando julgamos que o processo varia conforme a distribuição normalo processo varia conforme a distribuição normal

– Pode-se determinar a porcentagem de defeituosos a Pode-se determinar a porcentagem de defeituosos a partir das especificações fornecidas e dos parâmetros partir das especificações fornecidas e dos parâmetros (média e desvio padrão)(média e desvio padrão)

– Zab = Porcentagem abaixoZab = Porcentagem abaixo

– Zac = Porcentagem acimaZac = Porcentagem acima

XLIE

Zab

LSEXZac



• Índice de Capacidade do Processo (Cp)Índice de Capacidade do Processo (Cp)

– É possível realizar este cálculo também pela É possível realizar este cálculo também pela capacidade do processocapacidade do processo

•Especificações bilaterais (LSE e LIE)Especificações bilaterais (LSE e LIE)

•Especificações unilaterais (LSE ou LIE)Especificações unilaterais (LSE ou LIE)

6

LIELSECp

3

XLSECp

3

LIEXCp



• Índice de Capacidade do Processo (Cp)Índice de Capacidade do Processo (Cp)

– A avaliação é feita da seguinte forma:A avaliação é feita da seguinte forma:

•1,33 1,33 Cp bastante Cp bastante satisfatóriosatisfatório

•1,00 1,00 Cp Cp 1,33 adequado 1,33 adequado

•Cp Cp 1,00 inadequado 1,00 inadequado



Análise da Capabilidade / CapacidadeAnálise da Capabilidade / Capacidade

Cp = Tolerancia6 = LSC - LIC

6

Resume o potencial do processo paraatingir os limites de especificação

vanessa fortesaula 51 vivemos tomando decisões baseadas em informações incompletas... peço uma...

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