validação experimental da segunda lei de newton ou balanço de quantidade movimento 1
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Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Mecânica
Mecânica dos Fluidos
Laboratório de Ensino em Fenômenos de Transporte
Antônio Carlos de Oliveira Júnior – Nº: 96884
Validação Experimental da Segunda Lei de Newton ou Balanço
da Quantidade de Movimento
Professor: Odenir de Almeida
Turma: F
Uberlândia
2010
Sumário
1 - Introdução....................................................................................................... 04
2 - Metodologia..................................................................................................... 05
2.1 – Desenvolvimento Teórico............................................................................. 05
2.1.1 – Colisão de um jato simétrico sobre uma placa.......................................... 06
2.1.2 – Colisão de um jato não simétrico sobre uma placa................................... 08
2.2 – Materiais Utilizados....................................................................................... 09
3 – Dados Coletados............................................................................................ 11
4 - Análise e Resultados......................................................................................13
5 - Conclusão....................................................................................................... 16
6 - Bibliografia...................................................................................................... 17
Validação Experimental da Segunda Lei de Newton ou Balanço da Quantidade
de Movimento
Resumo:
Neste relatório o assunto abordado foi a segunda lei de Newton, que foi
testada a partir de experimentos envolvendo a força exercida por um jato de água
sobre três placas com diferentes inclinações. A base para a realização dos cálculos
foi o teorema do transporte de Reynolds.
Em uma bancada hidráulica de impacto de jatos, foram variadas as massas
sobre o sistema e as vazões de líquido necessárias para equilibrá-las. Assim, foi
possível obter as vazões, as forças e a relação entre força e vazão para diferentes
situações, o que permitiu uma análise mais detalhada da segunda lei de Newton
para o sistema considerado.
Os resultados obtidos com o experimento foram satisfatórios, pois atenderam
às variações de vazão e força que são esperadas de acordo com a teoria envolvida
(Teorema do Transporte de Reynolds).
1 - Introdução:
O experimento realizado e que é abordado neste relatório buscou a
comprovação da segunda lei de Newton através do balanço da quantidade de
movimento. Em uma bancada hidráulica para impacto de jatos foram variadas as
massas sobre o sistema e a vazão de água foi regulada de modo que a mesma
equilibrasse essas diferentes massas. Foram realizados três experimentos com
placas de diferentes inclinações sobre as quais o jato de água incidia (Figura 1).
Na obtenção dos dados desejados (vazão e força do jato) foi utilizado o
teorema do transporte de Reynolds (Robert W. Fox, Introdução à Mecânica dos
Fluidos).
(1)
Foram medidos os tempos necessários para que um determinado volume (5
litros) fosse descarregado sobre o sistema, considerando as diferentes massas
presentes em cada medição. Com isso, e a partir da equação da segunda lei de
Newton para um volume de controle não submetido à aceleração, válida para um
volume de fluido inercial (Robert W. Fox, Introdução à Mecânica dos Fluidos),
(2)
foi possível realizar uma análise detalhada da variação dessas forças nas situações
consideradas.
Figura 1 – Esquematização do problema
2 – Metodologia:
2.1 - Desenvolvimento Teórico:
De acordo com o desenvolvimento apresentado no livro “Introdução à
Mecânica dos Fluidos – Robert W. Fox” será mostrada a seguir a demonstração da
segunda lei de Newton para um volume de controle não submetido à aceleração
(equação 2).
A partir da seguinte formulação para sistema e volume de controle:
(3)
Onde:
(4)
Estabelecendo: e
Obtém-se:
(5)
Se:
(6)
Como o sistema e o volume de controle coincidem em tem-se:
(7)
Logo:
(8)
Em que:
- a velocidade do fluido em relação a um referencial inercial;
- massa especifica do fluido;
- vazão de fluido;
- a área de saída do bico injetor;
2.1.1 – Colisão de um jato simétrico sobre uma placa:
Considerando o sistema em regime permanente, desprezando-se os efeitos
viscosos e o efeito da gravidade pode-se obter a equação da força atuante sobre o
sistema representado na figura 2:
Figura 2 – Colisão e deflexão de um jato simétrico sobre uma placa
A partir de:
(9) com
(10)
Obtém-se:
(11) com
(12)
Logo:
(13)
Utilizando a equação (13) deduzida acima:
(14)
Reescrevendo:
(15)
Com:
(16)
Assim:
(17)
Onde:
(18)
e (19)
2.1.2 – Colisão de um jato não simétrico sobre uma placa:
Fazendo-se as mesmas considerações anteriores (regime permanente,
ausência de efeitos viscosos e do efeito da gravidade) para o sistema representado
na figura 3, pode-se obter a equação da força atuante na placa:
Figura 3 – Colisão e deflexão de um jato não simétrico sobre uma placa
Tem-se:
(20)
Com
e
Como nesse sistema a força calculada é a força de reação, será
negativo.
Logo:
(21)
(22)
2.2 – Materiais Utilizados:
Os materiais utilizados nos experimentos foram os seguintes:
Bancada hidráulica de controle Armfield (Figura 4)
Bomba hidráulica
Bancada para impacto de jatos (Figura 5)
Placas defletoras de 0º, 30º e 90º
Pesos
Disco porta-peso
Mangueira
Mola
Cronômetro
Figura 4 – Bancada Hidráulica de Controle Figura 5 – Bancada hidráulica de
impacto de jatos
2.3 – Procedimento Experimental:
Primeiramente nivelou-se a bancada hidráulica de impacto de jatos alinhando
a haste da mesma com a posição vertical. Para isso observou-se o nível de bolha.
Após isso encaixou-se a primeira das três placas defletoras na bancada de impacto.
Em seguida adicionou-se o peso ao porta-peso da haste, tirando o sistema do
equilíbrio.
Ligou-se então a bomba hidráulica controlando a vazão até que a força da
mesma equilibrasse a força dos pesos já presentes, retornando assim à posição de
equilíbrio original. Isso foi feito para garantir que apenas as forças verticais dos
pesos e do jato de água fossem levadas em conta nos cálculos, pois assim a força
do jato é igual à força da massa adicionada. Quando a graduação da escala de
controle indicou o volume especificado de 5 litros, obteve-se a primeira leitura de
tempo com o cronômetro (tempo necessário para o escoamento do volume
especificado).
Foram realizadas três leituras de tempo (para obtenção de uma média de
valores) com o mesmo volume padrão de 5 litros. Trocou-se então o valor da massa,
repetindo-se os procedimentos anteriores para manutenção do equilíbrio no sistema
durante as outras medições de tempo. Esse procedimento foi realizado para todos
os 10 valores de massa especificados obtendo-se três leituras de cada. Os
respectivos valores para as duas outras placas com inclinações diferentes foram
fornecidos pelo professor.
Os dados coletados foram usados no cálculo das vazões e forças atuantes
em cada situação, como será apresentado adiante.
3 – Dados Coletados:
A seguir são apresentados os valores coletados para a placa defletora de 30º
(Tabela 2), assim como os valores obtidos com o professor das placas de 0º (Tabela
1) e 90º (Tabela 3):
Tabela 1 – Dados: Placa defletora de 0º
Medida Massa
(g)
t1 (s) t2 (s) t3 (s) t Médio
(s)
Volume
(L)
1 100 36,43 37,30 36,71 36,81 5
2 150 28,30 28,60 27,90 28,27 5
3 200 24,52 24,50 25,00 24,67 5
4 250 22,25 22,10 22,50 22,28 5
5 300 19,75 19,62 19,52 19,63 5
6 350 17,76 18,30 18,05 18,04 5
7 400 17,24 17,40 17,13 17,26 5
8 450 15,88 15,51 15,60 15,66 5
9 500 14,90 15,11 14,97 14,99 5
10 550 14,16 14,28 14,25 14,23 5
Como esperado, o tempo decresce com o aumento da massa, pois a vazão
necessária para equilibrá-la é maior. Assim o volume padrão de 5 litros escoa mais
rapidamente. O mesmo ocorre com as placas de inclinações diferentes, como
mostrado nas tabelas a seguir (tabela 2 e tabela 3):
Tabela 2 – Dados: Placa defletora de 30º
Medida Massa
(g)
t1 (s) t2 (s) t3 (s) t Médio
(s)
Volume
(L)
1 50 40,70 40,96 41,34 41,00 5
2 100 36,19 36,36 39,04 37,20 5
3 150 29,05 28,04 31,06 29,38 5
4 200 21,94 22,05 23,71 22,57 5
5 250 19,55 19,68 20,23 19,82 5
6 300 17,83 17,74 19,31 18,29 5
7 350 17,04 16,56 16,51 16,70 5
8 400 16,25 15,53 15,73 15,84 5
9 450 15,59 15,37 15,64 15,53 5
10 500 14,29 13,89 14,79 14,32 5
Tabela 3 – Dados: Placa defletora de 90º
Medida Massa
(g)
t1 (s) t2 (s) t3 (s) t Médio
(s)
Volume
(L)
1 50 34,00 34,24 36,14 34,79 5
2 100 23,89 23,59 23,76 23,75 5
3 150 17,72 18,89 18,12 18,24 5
4 200 16,15 17,65 17,51 17,10 5
5 250 16,01 15,37 15,65 15,68 5
6 300 13,15 13,10 13,32 13,19 5
7 350 12,64 12,67 12,59 12,63 5
8 400 11,70 12,23 11,75 11,89 5
9 450 10,86 10,65 10,90 10,80 5
10 500 10,17 10,09 9,67 9,98 5
4 – Análise e Resultados:
Com base nas fórmulas demonstradas na parte de “Desenvolvimento Teórico”
deste relatório e nas considerações a seguir, foram calculados os dados
apresentados na tabela 4:
; ; Volume = 0,005 m³ ; tempo (s)
(massa específica da água - líquido utilizado no experimento)
(em que r = 0,008/2, pois o diâmetro do bico injetor é 0,008 m)
Tabela 4 – Vazão, força e relação F/Q das placas de 0º, 30º e 90º
Placa 0º 30º 90º
Medida Q (m³/s)
(N)
/Q
(Kg/m²)
Q (m³/s)
(N)
/Q
(Kg/m²)
Q (m³/s)
(N)
/Q
(Kg/m²)
1 0,000135
8
0,7323 5392 0,000121
9
0,5505 4516 0,000143
7
0,4100 2853,2
2 0,000176
8
1,2412 7020 0,000134
4
0,6692 4979 0,000210
5
0,8798 4179,6
3 0,000202
7
1,6315 8049 0,000170
2
1,0732 6306 0,000274
1
1,4917 5442,2
4 0,000224
4
1,9996 8911 0,000221
5
1,8177 8206 0,000292
4
1,6975 5805,4
5 0,000254
7
2,5760 10114 0,000252
3
2,3584 9348 0,000318
9
2,0192 6331,8
6 0,000277
2
3,0512 11007 0,000273
4
2,7693 10129 0,000379
1
2,8534 7526,8
7 0,000289
7
3,3326 11504 0,000311
1
3,5857 11526 0,000395
9
3,1119 7860,3
8 0,000319
3
4,0484 12679 0,000315
6
3,6902 11693 0,000420
5
3,5107 8348,9
9 0,000333
5
4,4165 13243 0,000321
9
3,8390 11926 0,000463
0
4,2562 9192,7
10 0,000351
4
4,9034 13954 0,000349
2
4,5178 12938 0,000501
0
4,9835 9947,1
Pode-se observar que exercida pelo jato aumenta com o aumento da
vazão, assim como a razão /Q. Isso ocorre pelo fato de uma força maior ser
necessária para equilibrar uma massa de maior valor que esteja sobre o sistema
considerado. Também é possível observar uma diminuição da força exercida pelo
jato com o aumento do ângulo de inclinação da placa.
Para uma melhor visualização e análise dos resultados obtidos na tabela
anterior, é apresentado a seguir um gráfico (Gráfico 1) com a distribuição dos
mesmos:
Gráfico 1 – Q x F/Q
Pelo método dos mínimos quadrados apresentado a seguir:
(23)
Em que “n” é o número de medidas realizadas, “x i” são os valores de Q
calculados em cada caso e “yi” são os valores F/Q também calculados para cada
medida realizada.
Tem-se:
y = 3,9712.107.x (para a reta com os valores calculados para a placa de 0º)
y = 3,7051.107.x (para a reta com os valores calculados para a placa de 30º)
y = 1,9854.107.x (para a reta com os valores calculados para a placa de 90º)
Como na equação da reta o coeficiente angular (m) é o valor que multiplica
“X”, tem-se que:
(coeficiente angular experimental) (24)
(coeficiente angular teórico) (25)
Para uma melhor comparação desses coeficientes é apresentada a seguir
uma tabela (tabela 5) com os respectivos erros associados:
Tabela 5 – Coeficientes angulares teóricos e experimentais
Placa Ct teórico Ce experimental Erro Relativo (%)
0º 3,9709158.107 3,9712000.107 0,00716
30º 3,7049149.107 3,7051000.107 0,00499
90º 1,9854579.107 1,9854000.107 0,00292
Os erros obtidos ocorreram devido a erros do operador do cronômetro, erros
nas leituras de vazão, erros no nivelamento das bancadas, desvios nos valores dos
pesos utilizados e também erros de arredondamento dos valores calculados.
Provavelmente houve também variações na vazão do jato durante a realização dos
experimentos.
5 – Conclusão:
Com a realização deste experimento foi possível coletar os dados relativos ao
mesmo e compará-los aos valores teóricos, podendo assim comprovar a validade
destes. Também através da análise dos dados e do problema considerado foi
possível comprovar a segunda lei de Newton ou lei da quantidade de movimento
linear aplicada a um volume de fluido inercial.
Isso porque foi obteve-se um balanceamento das forças existentes no sistema
e porque os erros relacionados ao experimento (já discutidos no tópico anterior)
foram mínimos. Levando a resultados satisfatórios e que permitiram uma análise
detalhada do problema.
6 – Bibliografia:
White, F. M., Mecânica dos Fluidos, Mc Graw Hill, 4ª Edição
Fox, R. W., Mc Donald, 1988, Introdução à Mecânica dos Fluidos, 5ª Edição
http://www.slidefinder.net/a/aula_dedu%C3%A7%C3%A3o_equa
%C3%A7%C3%B5es_conserva%C3%A7%C3%A3o/10615358
http://www.eos.ubc.ca/~ehearn/EOSC_453/Reynolds_Transport.pdf