1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDNIA UNIR NCLEO DE CINCIAS E TECNOLOGIA NCT DEPARTAMENTO DE MATEMTICA COORDENAO DE PSGRADUAO EM MATEMTICA USO E APLICAO DA CALCULADORA CIENTFICA NA RESOLUO DE PROBLEMAS MATEMTICOS Marcus Antonio de Oliveira Santos Ariquemes RO 2006

2. Marcus Antonio de Oliveira Santos Uso e Aplicao da Calculadora Cientfica na resoluo de problemas Matemticos Monografia apresentada a coordenao de Ps Graduao Lato Sensu em Matemtica da UNIR, como requisito para obteno do ttulo de especialista em Ensino da Matemtica. Orientador: Prof. Ms. Adeilton Fernandes da Costa Universidade Federal de Rondnia Ariquemes RO 2006

3. Agradecimento Senhor meu Deus, eu te agradeo pela minha vida e por mais esta possibilidade de estudos que me destes, pela minha sade e pelo trabalho que me ofertas gratuitamente. Faz de mim um profissional digno e exemplo de tua sabedoria, misericrdia e bondade. O temor do Senhor o princpio do saber, mas os loucos desprezam a sabedoria e o ensino. Prov. 1:7

4. Sumrio Resumo 7 Captulo I 8 1. 1 Introduo.. 8 1. 2 Justificativa 9 1. 3 Objetivos da Monografia .. 10 1. 4 Organizao da Monografia .. 10 Captulo II ... 11 2. 1 O surgimento das calculadoras .. 11 2. 2 Multiplicando com as mos ... 12 2. 3 Os bacos .. 13 2. 4 O contador mecnico . 14 Captulo III .. 15 3. 1 O uso da calculadora em sala de aula 15 Captulo IV .. 20 4. 1 A resoluo de problemas .. 20 Captulo V 26 5. 1 Que calculadora vamos aprender a utilizar? .. 26 5. 2 As primeiras teclas da calculadora 27 5. 3 Modos de unidade angular . 27 5. 4 Resoluo algbrica e com uso da calculadora .. 28 5. 4. 1 Base de um sistema de numerao .. 28 5. 4. 2 Converso de base n 28 5. 4. 3 Operaes elementares 30 5. 4. 4 Resolvendo expresses numricas .. 30 5. 5 Alteraes e Trocas 31 5. 6 Encontrando o resto da diviso com a calculadora 33 5. 7 Calculando potncias com a calculadora 33 5. 8 O uso da tecla 2ndF ou Inv 34 5. 9 Porcentagem .. 35 5. 10 Potncias e razes de nmeros racionais .. 37

5. 5. 10. 1 Adio algbrica, Multiplicao, Diviso e Potenciao de nmeros inteiros 39 5. 10. 2 Adio algbrica, Multiplicao, Diviso e Potenciao de nmeros racionais .. 40 5. 10. 3 Potncias de base dez 42 5. 10. 4 Notao cientfica . 43 5. 11 Operaes com medidas de ngulos .... 44 5. 11. 1 Simplificando o resultado . 45 5. 11. 2 Adio e Subtrao .. 46 5. 11. 3 Multiplicao e Diviso por um nmero natural . 47 5. 12 Calculando o tempo 48 5. 13 O nmero (pi) ... 49 5. 14 Potncia de um nmero real com expoente natural . 50 5. 14. 1 Potncia de um nmero real com expoente inteiro negativo 51 5. 15 Calculando com radicais (raiz ensima de um nmero real) 52 5. 16 Juro Simples . 54 5. 17 Memria ...... 55 5. 18 Trigonometria .. 56 5. 18. 1 As relaes trigonomtricas nos tringulos retngulos 57 5. 19 Estudando as relaes trigonomtricas em um tringulo qualquer . 60 5. 19. 1 Lei (ou teorema) dos senos .. 60 5. 19. 2 Lei (ou teorema) dos cossenos .. 61 5. 20 Relaes mtricas na circunferncia ... 62 5. 21 Unidade de medidas de arcos e ngulos .. 64 5. 21. 1 O grau e o radiano . 64 5. 21. 2 Converso de arcos 65 5. 22 Logaritmo . 71 5. 22. 1 Propriedades . 71 5. 23 Progresso Aritmtica .. 75 5. 23. 1 Frmula do termo geral de uma PA . 75 5. 23. 2 Frmula da soma dos termos de uma PA . 76 5. 24 Progresso Geomtrica 77 5. 24. 1 Frmula do termo geral de uma PG . 78

6. 5. 24. 2 Frmula da soma dos n termos de uma PG .. 78 5. 25 Fatorial . 81 5. 26 Nmeros Complexos 83 5. 26. 1 Adio e subtrao 83 5. 26. 2 Multiplicao 84 5. 26. 3 Diviso .. 85 5. 27 Noes de Estatsticas . 86 Captulo VI .. 88 6. 1 Resoluo de problemas de forma algbrica e com o uso da calculadora . 88 6. 1. 1 Problema Trigonometria . 88 6. 1. 2 Problema Logaritmo 91 6. 1. 3 Problema Matemtica financeira (Juros compostos) .. 93 6. 1. 4 Problema Progresso aritmtica (P.A.) 95 6. 1. 5 Problema Progresso geomtrica (P.G.) .. 98 6. 1. 6 Problema Funes Circulares (Arcos e ngulos) . 100 6. 1. 7 Problema Funes Circulares (Acelerao centrpeta) 102 6. 1. 8 Problema Estatstica . 104 Concluso . 109 Referncias ... 111 Anexo ... 113

7. Resumo Os avanos tecnolgicos e sua utilizao como recurso didtico tem contribudo com o desenvolvimento humano e cientfico, fazendo parte do nosso cotidiano, principalmente a calculadora cientfica sendo objeto utilitrio e presente na vida da maior parte da sociedade, na resoluo de problemas, se mostra eficaz nas mais variadas circunstncias, sendo uma realidade na vida do educando que a utiliza tanto em sala de aula como em outras atividades que venha exigir clculo. Esta monografia mostra a aplicao da calculadora cientfica na resoluo de problemas matemticos a nvel fundamental e mdio, a evoluo dos nmeros em seus recursos de aplicao mais primitivos para clculos, at as formas mais complexas de raciocnio lgico exigidas a partir do advento da revoluo industrial com a proliferao comercial que se torna necessrio o uso da calculadora. Faz uma reflexo sobre o uso da calculadora em sala de aula, vez que uma ferramenta presente no cotidiano escolar, que facilitar a vida do educando e docente, j que no precisa mais fazer arranjos para evitar clculos longos e com respostas esquisitas. Em seguida falamos sobre uma das atuais tendncias em Educao Matemtica que a Resoluo de Problemas, os quatros passos de George Polya utilizados na resoluo de problemas e as categorias de problemas segundo Thomas Butts, mostra a aplicao da calculadora nos principais contedos do ensino fundamental e mdio que exigem clculos e alguns problemas matemticos onde se faz necessrio o uso da calculadora, a partir da metodologia de Polya. Palavras-Chave: Tecnologia e seus recursos. problemas. Conhecimento matemtico. Resoluo de

8. Captulo I 1. 1 Introduo A tecnologia constitui um dos principais agentes de transformao da sociedade, vez que agiliza o desenvolvimento humano e cientfico, um artifcio que deve ser utilizada na escola como recurso didtico. Recurso esse, que os Parmetros Curriculares Nacionais PCN Matemtica diz que traz significativas contribuies para se repensar sobre o processo de ensino e aprendizagem de Matemtica medida que 1 : relativiza a importncia do clculo mecnico e da simples manipulao simblica, uma vez que por meio de instrumentos esses clculos podem ser realizados de modo mais rpido e eficiente. Atualmente, a calculadora um recurso tecnolgico acessvel e muito utilizado. Ela faz parte do nosso cotidiano e pode ser encontrada numa variedade de modelos e de preos. No meio social ela se apresenta como um instrumento facilitador de clculos, porm, em algumas escolas ela no vista assim. A maioria dos professores de Matemtica no permite o seu uso em sala de aula e, alguns justificam dizendo que usando a calculadora, os alunos no aprendero a fazer contas e ficaro dependentes da mquina, outros porque os alunos s a usam para realizar as quatro operaes. Todavia fica a questo: podemos aprender Matemtica utilizando a mquina de calcular como recurso didtico? A calculadora utilizada em certos momentos e com objetivos pr-definidos, pode ser transformada numa excelente ferramenta para aprimorar o raciocnio lgico e at agilizar o clculo mental. Lembrando que a calculadora no deve ser usada apenas como um instrumento para fazer as quatro operaes, operaes essas que o aluno j deve ter tirocnio bastante para fazer de cabea, e sim outros clculos j que to importante quanto realizar clculos corretamente saber elaborar caminhos de resoluo para os problemas propostos, ou seja criar meios para que o aluno canalizem suas energias para o raciocnio. Sendo assim, a calculadora no s pode como deve ser utilizada em sala de aula sempre que o clculo for um meio para a realizao do trabalho e no a atividade principal. A escola deve preparar o aluno para o futuro e, para isso, deve incorporar os avanos tecnolgicos. 1 BRASIL. M inistrio da Educao. Parmetros curriculares nacionais: Matemtica. Braslia: SEF, 2001. P. 43.

9. A respeito da calculadora, pode-se ler nos Parmetros Curriculares Nacionais que ela abre novas possibilidades educativas, como a de levar o aluno a perceber a importncia do uso dos meios tecnolgicos disponveis na sociedade contempornea. Atualmente, tornou-se primordial saber analisar situaes e encontrar solues para os problemas surgidos. Neste contexto, a calculadora um instrumento que auxilia o trabalho do professor, de acordo com o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) 2 : As calculadoras permitem s crianas a explorao de idias numricas e de regularidades, a realizao de experincias importantes para o desenvolvimento de conceitos e a investigao de aplicaes realistas, ao mesmo tempo que colocam a nfase nos processos de resoluo de problemas. O uso inteligente das calculadoras pode aumentar, quer a qualidade do currculo, quer a qualidade da aprendizagem. (NCTM, 1991, p. 23). Assim, a calculadora poder ser usada como recurso para compreender algumas operaes e seus significados, bem como na verificao de resultados e validao de estratgias utilizadas na resoluo de problemas. Em nenhum momento a calculadora pode substituir o raciocnio do aluno. O que no pode acontecer o da escola no conseguir atingir um dos seus papeis, que 3 : ...levar o aluno a dominar, minimamente, as tecnologias presentes em sua realidade,... (KIYUKAWA & SMOLE, 1998, p. 9). Para que os alunos usem adequadamente a calculadora cientfica, necessrio que conheam as funes das teclas e o momento em que devam utiliz-la. 1. 2 Justificativa A importncia do conhecimento e utilizao dos recursos tecnolgicos algo indiscutvel, mas existe um alto ndice de alunos que no conseguem resolver problemas matemticos corretamente, nem com o uso da calculadora cientfica. A constatao de lacunas deixadas pela Escola quanto ao uso das novas tecnologias, que dificulta a vida do aluno tanto no trabalho quanto na vida estudantil em nvel superior. 2 NCTM. Normas para o Currculo e a Avaliao em Matemtica Escolar. Lisboa: Associao de Professores de Matemtica e Instituto de Inovao Educacional. Outubro, 1991. p. 23. 3 KIYUKAWA, Rokusaburo & SMOLE, Ktia Cristina Stocco. Manual do Professor: Matemt ica ensino md io. So Paulo: Saraiva, 1998.

10. Este trabalho se justifica pela necessidade de mostrar, de forma prtica, o uso da calculadora cientfica na resoluo de problemas matemticos. 1. 3 Objetivos da Monografia Desenvolver no aluno, a capacidade de utilizao, de forma prtica e eficiente, da calculadora cientfica como instrumento facilitador na resoluo de problemas matemticos. 1. 4 Organizao da Monografia A monografia esta dividida em captulos. O capitulo I mostra os avanos tecnolgicos como recursos que devem ser aproveitados na educao. O captulo II mostra o porque da necessidade do surgimento das primeiras calculadoras usada pelo homem e como se fazia algumas operaes em seguida, relata sobre o surgimento das primeiras mquinas eletrnicas at o aparecimento da maquinas cientficas grficas. O captulo III faz uma reflexo sobre a utilizao da calculadora cientfica em sala de aula. Enfatiza as potencialidades da mesma enquanto facilitadora da aprendizagem de conceitos matemticos e geradora de exemplos e o papel importante que ela desempenha no desenvolvimento do raciocnio e na resoluo de problemas, aliviando o peso dos clculos e permitindo que o aluno se concentre nas estratgias de resoluo. O captulo IV trata sobre a Resoluo de Problemas, uma das atuais tendncias em Educao Matemtica, e quanto os problemas so motivadores da aprendizagem e a importncia dos mesmos para o desenvolvimento de conceitos matemticos, tornando esses conceitos mais significativos para o aluno. H tambm a apresentao dos quatro passos de Polya utilizados na resoluo de problemas e as categorias de problemas segundo Thomas Butts. O captulo V mostra a calculadora que iremos utilizar e sua aplicao na resoluo de atividades do ensino fundamental e mdio. O captulo VI mostra, o uso da calculadora cientfica na resoluo de alguns problemas Matemticos do nvel fundamental e mdio, a partir de aplicaes de trigonometria, logaritmo, funes circulares, PA, PG e estatstica. E finalmente so apresentadas as concluses sobre o trabalho e bibliografia.

11. Captulo II 2. 1 O surgimento das calculadoras A evoluo dos nmeros, e do prprio homem, com o desenvolvimento comercial, levou esse a ter necessidades cada vez maiores para criar artifcios, mecanismos e dispositivos cada vez mais simples para trabalhar os nmeros nas atividades comerciais. A partir do momento em que teve acesso abstrao dos nmeros e aprendeu a distino sutil entre o nmero cardinal e ordinal, ele retomou seus antigos instrumentos (pedras, conchas, pauzinhos, bastes entalhados, ns de corda etc.) e passou a considera- los sob o ngulo da contagem. Ele aprendeu a conceber conjuntos cada vez mais extensos, mas ainda precisava aprender a representar nmeros cada vez maiores. Para resolver o problema, j que no podia criar novos nomes e smbolos ao infinito, passou a agrupar seus instrumentos por dezenas (ou feixes de dez unidades), por centenas (ou dezenas de dezenas) etc. Na linguagem dos matemticos, isto se chama empregar a base dez. a base dez no a nica, de acordo com o perodo da histria o homem foi aprendendo a agrupar seus instrumentos de acordo com as necessidades que iam surgindo, existe a base oito, a base doze, a base sessenta etc, que ainda so utilizadas no nosso dia-a-dia. A base dez foi e continua sendo a mais comum no curso da histria, sua adoo quase universal, pois corresponde a uma ordem de grandeza satisfatria para a memria humana, os nomes de nmeros ou os smbolos de base por ela exigidos so pouco numerosos, sendo que uma tabela de adio ou de multiplicao pode ser facilmente aprendida de cor. Foi desta forma que, aprendendo a contar abstratamente, o homem aprendeu a estimar, avaliar e medir grandezas diversas. Ele elaborou inmeras tcnicas operatrias e de estabelecer os primeiros rudimentos de uma aritmtica que o conduziu lgebra. Os clculos envolvendo nmeros cada vez maiores levaram o homem a inventar mecanismos que facilitassem os clculos, mecanismos esses que foram evoluindo at chegar a mquina de calcular. O mais antigo e difundido dos acessrios de contagem e de clculo para os povos atravs dos tempos foi a mo do homem. Pelo nmero considervel de seus ossos e de suas articulaes correspondentes, pela disposio assimtrica de seus dedos e sua relativa autonomia, bem como pelo dilogo que mantm permanentemente com o crebro. O ser humano soube tirar dela o mximo proveito, a partir do momento em que foi capaz de contar de modo abstrato e de assimilar o principio da base...

12. 2. 2 Multiplicando com as mos Para multiplicar 7 por 6, por exemplo, ele dobrava numa das mo tantos dedos quantas unidades suplementares h em 7 com relao a 5 (isto : 7 5 = 2 dedos) e mantinha os trs outros estendidos. Em seguida, dobrava na outra mo os dedos correspondentes s unidades suplementares de 6 em relao a 5 (isto : 6 5 = 1 dedo), mantendo os quatro outros estendidos. O resultado obtido inicialmente multiplicando por 10 (de cabea, evidentemente) o nmero de dedos dobrados nas duas mos o que dava (2 + 1) x 10 = 30 acrescentando em seguida este resultado parcial ao produto dos dedos levantados da primeira mo pelo da segunda (isto : 3 x 4 = 12). Assim, se chega a: 7 x 6 = (2 + 1) x 10 + (3 + 4) = 42 Este procedimento concreto, que os antigos descobriram infalvel, vez que permite efetuar rapidamente multiplicaes de todos os nmeros compreendidos entre 5 e 10. Talvez por isso muitos professores, at o final do sculo passado, proibiam seus alunos de usarem as mos para fazerem clculo durante as provas e atividades de sala. As multiplicaes dos nmeros compreendidos entre 10 e 15, 15 e 20, 20 e 25, e assim por diante, tambm eram feitas pelo sistema digital, mas para isso suponha-se que os antigos sabiam de cor os quadrados de 10, 15, 20, 25 etc. Veja este novo exemplo. Para multiplicarmos 19 por 17, por exemplo, primeiro devemos dobrar numa das mos os dedos correspondentes s unidades suplementares de 19 em relao a 15 (ou seja: 19 15 = 4 dedos) e na outra tantos dedos quantas unidades suplementares h em 17 com relao a 15 ( ou seja: 17 15 = 2 dedos). Se chega ao resultado multiplicando, de cabea, por 15 o nmero total de dedos dobrados o que d (4 + 2) x 15 = 90 , acrescentando a ele o produto (igual a 4 x 2 = 8) dos dedos dobrados e adicionando enfim este resultado parcial ao quadrado de 15. Desse modo se chega a: 19 x 17 = 15 x (4 + 2) + (4 x 2) + 225 = 323 Um outro mtodo concreto, tambm universalmente testado, o dos montes de pedras. Ele marca o grau zero de qualquer tcnica do nmero, vez que faz intervir unicamente o principio da correspondncia um a um. As pedras esto particularmente na

13. origem dos bacos e dos contadores mecnicos, instrumentos estes que o homem inventou no dia em que precisou fazer clculos 4 cada vez mais complicados. 2. 3 Os bacos Os bacos mais correntes, para os povos ocidentais, foram tbuas ou pranchas com divises em linhas ou colunas paralelas separando as diferentes ordens de numerao. Para representar nmeros ou efetuar operaes, eram usadas pedras ou fichas que representavam uma unidade simples cada uma. Essas peas eram chamadas pelos gregos de psephoi e pelos romanos de calculi. Para os romanos antigos, cada uma dessas colunas enfileiradas do baco, simbolizava geralmente uma potncia de 10. Comeando da direita para a esquerda, a primeira coluna era associada s unidades, a seguinte, s dezenas, a terceira, s centenas, a quarta, ao milhar, e assim por diante. Um nmero era representado colocando nas diversas colunas em questo tantas fichas quantas unidades havia em cada ordem considerada: sete na quarta, oito na terceira, cinco na segunda e duas na primeira para o nmero 7852, por exemplo. Algumas vezes cada uma destas colunas eram divididas em duas partes, sendo que na parte inferior, uma ficha representava uma unidade da ordem decimal correspondente, e, na parte superior da mesma coluna, ela valia a metade de uma unidade da ordem imediatamente superior (sendo que da primeira coluna superior valia 5, da segunda 50, da terceira 500, e assim por diante). As operaes eram realizadas graas a facilidade de manuseio das fichas das colunas. Se quisssemos adicionar um nmero a um outro j representado, por exemplo, era preciso faz-lo figurar no baco, lendo em seguida o resultado obtido aps as redues necessrias. Se, o nmero de fichas atingia ou ultrapassava a dezena em uma das colunas, substitua-se dez dessas peas por uma apenas na coluna situada imediatamente esquerda. As subtraes eram feitas segundo um processo parecido e as multiplicaes, somando diversos produtos parciais. Quanto diviso, ela se restringia a uma sucesso de partilhas iguais. A prtica do clculo no baco era muito lenta e supunha um aprendizado longo e trabalhoso da parte dos aritmticos. 4 Clculo, essa palavra nos remete a este processo que vem do fundo dos tempos, pois em latim calculus significa precisamente pequena pedra, etimologia que reencontramos nas lnguas grega e rabe.

14. Durante o Imprio Romano foi inventado o baco de bolso 5 que consistia numa pequena placa metlica com certo nmero de ranhuras paralelas, ao longo das quais deslizavam botes mveis do mesmo tamanho. As representaes numricas nesse instrumento eram feitas com facilidade e graas a um modo de dedilhar bastante elaborado, e atendendo as regras precisas, esta calculadora de bolso permitia aos que sabiam utiliza- la a realizao rpida e simples de diversas operaes aritmticas. Era uma calculadora inteiramente anloga aos contadores mecnicos que ainda tm um papel importante no Extremo Oriente e em certos pases do leste. 2. 4 O contador mecnico O contador mecnico que tem at hoje um uso quase universal na China Popular recebe o nome de suan pan. O mesmo contador no Japo, que o pas mais informatizado do mundo, tem o nome de soroban e considerado o principal instrumento usual de clculo. Nos pases do leste europeu, a ex URSS, o contador mecnico recebe o nome de stchoty e ainda impera ao lado das modernas caixas registradoras de bancos, lojas hotis etc. Dentre todos os dispositivos de clculo figurado usados pelos povos ao longo dos tempos, o contador praticamente o nico que rene as vantagens de uma prtica relativamente simples e ao mesmo tempo rpida para todas as operaes aritmticas. um auxiliar muito til para efetuar adies ou subtraes simples de nmeros compostos de vrios algarismos, ou ainda para resolver problemas mais complicados envolvendo multiplicaes, divises, ou mesmo extraes de razes quadradas ou cbicas. Com o desenvolvimento cientifico e tecnolgico surgiu as calculadoras eletrnicas, que eram grandes e resolviam apenas as quatro operaes mais simples. Com o passar dos anos algumas calculadoras eletrnicas j calculavam o quadrado e a raiz quadrada dos nmeros, tinham tambm a memria, que um recurso para guardar resultados parciais para serem usados em outros clculos. Hoje muitas calculadoras eletrnicas, denominadas cientficas, calculam quaisquer potncias, exibindo at curvas matemticas em seu visor, algumas resolvem problemas com nmeros complexos, outras permitem at visualizar o nmero em forma de frao que facilita ainda mais certos clculos. 5 O baco de bolso foi uma verdadeira calculadora porttil, cuja inveno anterior era crist, e que desapareceu um pouco antes da queda do Imprio Ro mano.

15. Captulo III 3. 1 O uso da calculadora em sala de aula Embora o uso da calculadora ainda possa ser um tabu nas aulas de Matemtica, fora da escola, nas mais variadas situaes, uma realidade, esta faz parte das experincias cotidianas dos alunos. Est presente nos seus relgios, nos seus estojos, nas suas agendas, nos celulares, e usam-na no trabalho. O baixo custo da mquina tambm contribuiu para a sua disseminao. Geralmente, os argumentos mais fortes contra o uso da calculadora no Ensino Mdio so os de que os alunos desaprendem a fazer clculos, tornam-se dependentes da mquina, calculam mecanicamente, e no podero us- la no vestibular. Refletido sobre tais justificativas. No verdade que alunos que no utilizam mquinas sabem fazer contas melhor e com mais conscincia do que aqueles que as utilizam. A falta de habilidade com nmeros conseqncia da maneira mecnica e sem significado que eles so ensinados e da ausncia de um trabalho efetivo com clculo mental e estimativa em todos os nveis escolares. Quanto ao vestibular, praticamente no se encontra uma situao em que os nmeros envolvidos nas questes exija o uso da mquina. As questes de vestibular no so feitas, segundo alguns reitores, para que os alunos mostrem destreza de clculo, mas para que utilizem conhecimentos mais amplos e habilidades de pensamento matemtico que deveriam ter sido desenvolvido durante o aprendizado. Segundo a Ms. Ktia Cristina Stocco Smole e o Ms. Rokusaburo Kiyukawa dizem que: Nossa experincia indica que, quando usada de modo planejado, a calculadora no inibe o pensar matemtico; pelo contrrio, tem efeito motivador na resoluo de problemas, estimula processos de estimativa e clculo mental, d chance aos professores de proporem problemas com dados mais reais e auxilia na elaborao de conceitos e na percepo de regularidades. (KIYUKAWA & SMOLE, 1998, p. 9). preciso esclarecer que o emprego da calculadora expressamente indicado pelos Parmetros Curriculares Nacionais (PCN). O professor que decide pela adoo ou no da calculadora, portanto, no se deve mais discutir esta questo. Nas palavras de Ubiratan DAmbrosio 6 : 6 VADIGA, Carlos. Etnomatemtica. Revista Nova Escola. So Paulo, n 68, p. 15, ago. 1993.

16. Hoje, todo mundo deveria estar utilizando a calculadora, uma ferramenta importantssima. Ao contrrio do que muitos professores dizem, a calculadora no embota o raciocnio do aluno todas as pesquisas feitas sobre aprendizagem demonstram isso. O foco das discusses deve ser: como utilizar corretamente a calculadora, de forma a desenvolver atividades que contribuam para o desenvolvimento dos alunos? Como afirma Joo Pedro Ponte 7 : No faltaro anedotas com exemplos caricatos, pretendendo demonstrar as vantagens do clculo com papel e lpis e dos mtodos tradicionais. Mas a verdade que no devemos atribuir calculadora nem um carter milagroso, nem um carter demonaco. Como qualquer outro instrumento, pode, simplesmente, ser bem ou mal usada. Ento, ao decidir pelo uso da calculadora, o professor deve estar ciente das mudanas que esta atitude implica. No basta dizer aos alunos: De hoje em diante vocs podem usar a calculadora nas aulas de Matemtica. preciso reflexo, segundo Albano V. Silva 8 : A calculadora se introduzida na aula de Matemtica sem qualquer projeto educativo que a sustente ser mais um modernismo que nada mudar para alm de poder criar grande insegurana em professores e alunos. A utilizao da calculadora requer mudana na postura do professor, na metodologia que usa e nas avaliaes que faz. Por isso, esta tomada de deciso deve ser precedida de reflexes, como: Qual a viso de Matemtica que tenho? Qual o peso que atribuo ao clculo aritmtico e algbrico? Para mim, mais importante que o aluno seja criativo e resolva problemas ou que memorize tcnicas e frmulas? Valorizo mais a aquisio de conceitos matemticos ou habilidades mecnicas de clculo? 7 PONTE, Joo Pedro. A calculadora e o processo de ensino-aprendizagem. Revista Educao e Matemtica. Lisboa, n 11, p. 1, jul./set. 1989. 8 SILVA, A lbano V. Calculadora na Educao Matemtica. Revista Educao e Matemt ica. Lisboa, n 11, p. 4, jul./set. 1989.

17. Que contedos matemticos considero importantes para que meu aluno seja atuante na sociedade? Como farei minhas avaliaes? Faz-se necessrio lembrar que a calculadora apenas um recurso didtico auxiliar e que seu uso ser melhor tanto quanto melhor for a capacidade crtica do aluno. bem verdade que, ao fazer uso dela o aluno pode vir a acomodar-se e necessitar da mquina at para realizar operaes simples como 6 + 7, por exemplo. um risco que se corre e deve ser planejado na organizao de recursos da escola e no plano de ao do professor. O professor deve estar atento e incentivar o uso consciente da calculadora. Como argi Jos Paulo Viana 9 : Este um perigo que existe, sobretudo com os alunos mais novos. Feitas as devidas reflexes, hora de conhecer as vantagens do uso da calculadora na sala de aula. A calculadora um recurso rico de potencialidades e, como enfatiza Albano V. Silva, permite que se faa um trabalho voltado para a compreenso e construo de conceitos, para o desenvolvimento do raciocnio e para a resoluo de problemas. Na construo de conceitos, o emprego da calculadora facilita o desenvolvimento e a compreenso de conceitos como os de nmero (inteiro, decimal, racional, irracional,...), sucesso, srie, convergncia, mdia, arredondamento e aproximao, etc.. Nas calculadoras cientficas ainda h possibilidade de se trabalhar com funes exponenciais e logartmicas e com a notao cientfica. No que diz respeito aos nmeros, estes podero ser utilizados em uma gama muito maior de situaes reais, j que, com a calculadora, h economia de tempo e o professor no precisa ajeitar os nmeros para evitar clculos complicados e cansativos. H possibilidade de se trabalhar com nmeros de maior ordem de grandeza, podendo explorar suas possveis decomposies. Mesmo o surgimento de resultados sem sentido constitui-se em tima oportunidade para levantar discusses sobre o seu aparecimento. Segundo Joo Pedro Ponte 10 : O uso das calculadoras no anuncia o fim do clculo, mas implica que o clculo seja encarado de uma outra maneira. 9 GUIMAR ES, Henrique M. A propsito da utilizao da maquina de calcular: uma entrevista. Revista Educao e Matemt ica. Lisboa, n. 11, p. 16, ju l./set. 1989. 10 PONTE, Joo Pedro. A calculadora e o processo de ensino-aprendizagem. Revista Educao e Matemtica. Lisboa, n 11, p, 3-6, jul./set. 1989.

18. Em artigo publicado no National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) e transcrito na revista Educao e Matemtica, Barbara J. Reys 11 diz que a calculadora pode ser usada pelo professor para abordar e desenvolver tpicos sob novas formas e, alm disso, ela tem o poder de gerar rapidamente muitos exemplos, o que ajuda os alunos na compreenso de conceitos. A utilizao da calculadora permite que relaes geomtricas e algbricas mais abstratas tenham um tratamento numrico, tornando-as mais concretas. Deste modo, com a calculadora pode-se dar um tratamento informal a certos conceitos abstratos, s depois passando para a formalizao. Para Ponte, a calculadora: ...estimula novas formas de trabalhar favorecendo uma atitude mais prtica e experimental na Matemtica. Pode-se tambm fazer um trabalho de experimentao e investigao, descoberta de regularidades e generalizao de situaes, que so os elementos caracterizadores do pensamento algbrico. Entretanto, na resoluo de problemas que a calculadora desempenha seu papel mais importante. Hoje, muito fcil encontrarmos alunos que executam clculos mecnicos com desembarao, que no conseguem analisar um problema (ou uma situao real) e reconhecer ali as operaes que devam ser feitas para que se encontre a soluo. Usando a calculadora, o aluno pode refletir mais sobre o problema j que no precisa gastar tanto tempo fazendo contas. Maria Tereza Perez Soares 12 , coordenadora do captulo de Matemtica dos Parmetros Curriculares Nacionais (PCN), enfatiza que: O tempo de clculo economizado usado pelo aluno para se concentrar no processo de resoluo do problema. Com isso, o clculo ganha nova dimenso, deixando de ser to repetitivo e cansativo. De acordo com Albano V. Silva 13 , a calculadora abre novas possibilidades para a atividade de resolver problemas, pois o aluno poder elaborar e explorar novas estratgias (como a tentativa e erro e aproximaes sucessivas, por exemplo), organizar dados, formular e verificar hipteses e refazer clculos com maior rapidez, desenvolvendo o seu raciocnio. 11 REYS, Brbara J. A calculadora como uma ferramenta para o ensino e a aprendizagem. Revista Educao e Matemtica. Lisboa, n 11, p. 19-21, jul./set. 1989. 12 CA LCULADORA = Bem + Fcil. Revista Nova Escola. So Paulo, n. 103, p. 34, jun. 1997. 13 SILVA, A lbano V. Calculadoras na Educao Matemtica. idem. p. 10.

19. Alm disso, podem ser formulados problemas com dados numricos reais, sem aquela preocupao com os arranjos que devem ser feitos para evitar clculos extensos e resultados que, na linguagem dos alunos, so esquisitos. E conforme a Ms. Ktia Cristina Stocco Smole e o Ms. Rokusaburo Kiyukawa dizem que: A utilizao da calculadora humaniza e atualiza nossas aulas e permite aos alunos ganharem mais confiana para trabalhar com problemas e buscar novas experincias de aprendizagem. (KIYUKAWA & SMOLE, 1998, p. 10). Maior rapidez nos clculos significa ganho de tempo. Tempo este, que pode ser aproveitado para o trabalho com variedades diferentes de problemas e com a discusso das vrias estratgias de resoluo usadas pelos alunos. Pode-se tambm fazer a discusso dos resultados obtidos e da validade desses resultados dentro das exigncias do problema. Como j foi dito, a utilizao da calculadora em sala de aula exige mudanas na prxis do professor. preciso que ele tenha clareza de objetivos e escolha a metodologia mais adequada para alcan- los. Uma metodologia que coaduna muito bem com os objetivos de quem deseja utilizar a calculadora a Resoluo de Problemas.

20. Captulo IV 4. 1 A Resoluo de Proble mas Considerando que o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas um eixo organizador do ensino da Matemtica e que deve permear todo o seu estudo, a fim de propiciar ao aluno recursos que o ajudem a resolver situaes de natureza diversa e enfrentar, com confiana, situaes novas que fazemos um breve comentrio sobre resoluo de problemas. Ao ter como prioridade a construo do conhecimento pelo fazer e pensar, o papel da resoluo de problemas fundamental para auxiliar o aluno na apreenso dos significados. As atividades de sala de aula, a introduo de novos temas, sua exercitao e seus aprofundamentos, sempre que possvel, devem apresentar situaes-problemas que exijam interpretao, seleo de estratgias de resoluo, realizao de planejamento de aes, aplicao de ferramentas matemticas, recursos tcnicos adequados e anlise da adequao da soluo obtida. Como processo de aprendizagem e habilidade a ser desenvolvida, a resoluo de problemas deve acontecer ao longo de todo o curso, proporcionando um contexto no qual se constroem conceitos, se descobrem relaes, so feitas observaes, conjecturas, seleo e organizao de dados, argumentao, concluses e avaliao. De acordo com esta tendncia, aprender Matemtica resolver problemas. Segundo Beatriz S. DAmbrosio: ...a resoluo de problemas encarada como uma metodologia de ensino em que o professor prope ao aluno situaes problemas caracterizadas por investigao e explorao de novos conceitos. Essa proposta, mais atual, visa a construo de conceitos matemticos pelo aluno atravs de situaes que estimulam a sua curiosidade matemtica. (DAMBROSIO, 1989, P. 16). Problemas desafiam o aluno e este, ao resolv- los, experimenta um sentimento de satisfao que lhe faz bem e que desperta o interesse pela disciplina. Ele ter um papel ativo na sua aprendizagem e ser mais autnomo, pois o contedo a ser aprendido ser apresentado a partir de contextos significativos. Alm disso, vivendo numa era de transformaes rpidas que exige capacidade de adaptao, torna-se cada vez mais importante saber analisar uma situao e desenvolver mtodos para resolver problemas. Mas, o que um problema? Qual a sua importncia para o desenvolvimento da Matemtica?

21. Uma situao se caracteriza como problema de acordo com as reaes que o indivduo apresenta diante dela. Se ele compreende a situao, quer resolv- la (por necessidade ou interesse) e no encontra, de imediato, elementos necessrios para a sua soluo, ento este indivduo, em particular, est diante de um problema. Para Dermeval Saviani14 a essncia do problema a necessidade; ele coloca que: ... uma questo em si no caracteriza um problema, nem mesmo aquele cuja resposta desconhecida, mas uma questo cuja resposta se desconhece e se necessita conhecer. Eis a um problema. A situao problemtica desequilibradora, pois gera no indivduo uma necessidade de buscar solues e esta necessidade que o impulsiona a criar estratgias e a inventar. Segundo Claparde 15 : O homem levado a inventar quando qualquer dificuldade, qualquer obstculo a vencer se encontra em seu caminho, logo que ele deseja atingir a um fim, mas no conhece os meios de alcanlo. preciso, pois, encontrar meios, invent- los. Problemas sugeridos pelo mundo fsico e problemas relacionados ao contexto social, sempre serviram de alavanca para o desenvolvimento do conhecimento matemtico. As teorias matemticas foram e so elaboradas a partir da necessidade de se resolver problemas. Os problemas geram novos conceitos, que por sua vez, geram novas teorias, que por sua vez, geram novos problemas. Para Hilbert ... medida que um ramo de conhecimento oferece uma abundncia de problemas, est numa condio de florescimento. Mas o escasseamento de problemas um sinal de morte prxima ou de estagnao de desenvolvimento independente. Muitos ramos da Matemtica nasceram da busca de solues para problemas, como o caso da Teoria de Grafos, que foi formulada aps Euler resolver um problema sobre as sete pontes que cortavam a cidade alem Konigsberg, usando para isso um grafo. A descoberta das Geometrias No-Euclidianas tambm se deve a um problema: demonstrar o Postulado das Paralelas de Euclides. 14 apud GAZIRE, Eliane S. Perspectiva da Resoluo de Problemas em Educao Matemtica. Rio Claro, 1989. Dissertao (Mestrado). UNESP. p. 11. 15 idem. p. 11.

22. Muitos matemticos se propuseram a refletir sobre a Resoluo de Problemas. Pappus, matemtico grego que viveu por volta do ano 300, escreveu um livro cujo ttulo pode ser traduzido como Arte de Resolver Problemas ou Heurstica, onde ele procura sistematizar um mtodo para resolver problemas. As mais famosas tentativas de sistematizao da Heurstica foram feitas pelos matemticos Descartes e Leibniz e pelo filsofo Bernardo Bolzano. Em 1628, Descartes trabalhou em uma obra chamada Regras para a Direo do Esprito em que pretendia apresentar um mtodo universal para a resoluo de problemas. Esta obra ficou incompleta e fragmentos dela apareceram depois no Discurso do Mtodo. Alexis-Claude Clairaut (1713-1765) em seus livros Elementos de Geometria (1741) e Elementos de lgebra (1746) j mostra a perspectiva de se ensinar atravs da Resoluo de Problemas. Ele acreditava que o ensino devia ser heurstico. Polya (1888-1983) dizia que o ensino da Matemtica deve ser ativo e que no se deve suprimir as atividades informais de produzir e extrair conceitos matemticos do mundo que nos rodeia. Segundo ele 16 : A Matemtica no um esporte para espectadores; no se pode desfrutar dela nem aprend- la sem a participao ativa; por isso o princpio da aprendizagem ativa particularmente importante para ns, professores de matemtica, especialmente se considerarmos como nosso principal objetivo, o primeiro de nossos objetivos, o de ensinar o estudante a pensar. Para Polya, a abstrao de conceitos matemticos a partir de situaes cotidianas, pode ser o centro do ensino de Matemtica. Partindo do estudo das heursticas usadas por matemticos na resoluo de problemas, Polya elaborou o que ele chamou de fases de trabalho. So quatro 17 : COMPREENSO DO PROBLEMA Qual a incgnita? Quais so os dados? Qual a condicionante? possvel satisfazer a condicionante? A condicionante suficiente para determinar a incgnita? Ou insuficiente? Ou redundante? Ou contraditria? Trace uma figura. Adote uma notao adequada. Separe as diversas partes da condicionante. possvel anot- las? 16 apud GAZIRE, Eliane S. Perspectiva da Resoluo de Problemas em Educao Matemtica. Rio Claro, 1989. Dissertao (Mestrado). UNESP. p. 49. 17 POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Intercincia, 1977. p. 4-13.

23. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO J o viu antes? Ou j viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente? Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser til? Considere a incgnita! E procure pensar num problema conhecido que tenha a mesma incgnita ou outra semelhante. Eis um problema correlato e j antes resolvido. possvel utilizlo? possvel utilizar o seu resultado? possvel utilizar o seu mtodo? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possvel a sua utilizao? possvel reformular o problema? possvel reformul- lo ainda de outra maneira? Volte s definies. Se no puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema correlato. possvel imaginar algum problema correlato mais acessvel? Um problema mais genrico? Um problema mais especfico? Um problema anlogo? possvel resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; at que ponto fica assim determinada a incgnita? Como pode ela variar? possvel obter dos dados alguma coisa de til? possvel pensar em outros dados apropriados para determinar a incgnita? possvel variar os dados de tal maneira que fiquem mais prximos entre si? Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noes essenciais implicadas no problema? EXECUO DO PLANO Ao executar o seu plano de resoluo, verifique cada passo. possvel verificar claramente que o passo est correto? possvel demonstrar que ele est correto? RETROSPECTO possvel verificar o resultado? possvel verificar o argumento? possvel chegar ao resultado por um caminho diferente? possvel perceber isto num relance? possvel utilizar o resultado, ou o mtodo, em algum outro problema? Na fase inicial, chamada Compreenso do Problema, deve-se identificar as partes do problema, a incgnita e os dados. Como ressalta Dante 18 , indagaes como as que se seguem so importantes, pois ajudam a compreender o problema: O que se quer descobrir no problema? 18 DANTE, Lu iz R. Didtica da Resoluo de Problemas de Matemtica. So Paulo : tica, 1989. p. 29.

24. Quais so as informaes (dados) importantes? possvel fazer um esquema ou uma figura? possvel estimar a resposta? S depois de compreendido o problema, que se consegue elaborar um plano para resolv- lo. o Estabelecimento de um Plano (segunda fase). A idia de um plano pode surgir gradativamente ou depois de vrias tentativas. Eis algumas questes que podem ajudar: Que estratgia voc usar? J resolveu algum problema semelhante a este? possvel reformular este problema? possvel organizar os dados em tabelas e grficos? Pode ser resolvido por partes? A terceira fase (ou o terceiro passo) a Execuo do Plano. O plano elaborado deve ser executado passo a passo, efetuando todos os clculos necessrios. Se algo no der certo deve-se refazer os clculos ou, se for o caso, repensar a estratgia. Na quarta fase deve-se fazer o Retrospecto e examinar a soluo obtida. Verificar se os clculos esto corretos e se a resposta satisfaz as condies do problema. um bom momento tambm para analisar se a estratgia usada neste problema poder servir para resolver outros. Muitos professores utilizam a resoluo de problemas somente como uma forma de aplicar os contedos aprendidos e, quando assim usada, a resoluo de problemas a etapa final da aprendizagem e o processo est todo centrado no professor, que ensina um contedo, d exemplos e escolhe os problemas onde os alunos aplicaro os algoritmos aprendidos. Como se v, o aluno no estimulado a pensar, a conjecturar e a inventar. Na metodologia de Resoluo de Problemas, a apresentao do problema uma das etapas inicial da aprendizagem. O professor apresenta um problema que pode ter sido escolhido por ele ou pelos alunos. Os alunos tentam resolver o problema e caso no consigam, devido falta de conhecimento de contedos especficos envolvidos na sua resoluo, o professor apresenta estes contedos. Volta-se ao problema, discutindo a sua resoluo e o(s) contedo(s) apresentado(s). Inicia-se novamente o processo com a apresentao de um novo problema. Segundo Thomas Butts 19 , so cinco as categorias de problemas: 19 exerccios de reconhecimento; BUTTS, Thomas. Colocando Problemas adequadamente. In: NCTM . Mathematics. 1980. p. 23-26. Problem solving in School

25. exerccios algortmicos; problemas de aplicao; problemas em aberto e situaes-problema. Os exerccios de reconhecimento so aqueles que exigem que o aluno apenas recorde uma definio, um teorema, uma propriedade, etc... Exerccios algortmicos so os que exigem apenas o uso de algoritmos ou de procedimentos passo-a-passo para a sua soluo. Esto nesta categoria os exerccios do tipo: Resolva; Calcule; Arme e Efetue. Os problemas de palavras que necessitam da transposio da escrita para a linguagem matemtica a fim de utilizar-se os algoritmos adequados sua resoluo, so chamados de problemas de aplicao. Nestes problemas, a estratgia j est contida no enunciado. Na categoria dos problemas em aberto esto os problemas que no contm a estratgia de resoluo no seu enunciado, ou melhor, no fornecem pistas. As situaes-problema so aquelas que podem gerar vrios problemas. Para resolvlas faz-se necessrio identificar os problemas relacionados a elas. Indubitavelmente, o uso da calculadora em sala de aula no se faz necessrio quando se trabalha apenas com exerccios de reconhecimento e exerccios algortmicos, mas ela enriquece o trabalho com problemas de aplicao, problemas em aberto e situaes-problema, favorecendo a procura de novos caminhos para a resoluo desses problemas e levando o aluno a uma aprendizagem significativa.

26. Captulo V 5. 1 Que calculadora vamos aprender a utilizar? A calculadora cientfica que ns iremos utilizar a Calculadora Cientfica mod. KK82LB (fig. 01) que tem 82 funes, geralmente fcil de ser reconhecida porque vem com a tecla 2ndF, que significa segunda funo. Calculadora essa de fcil aquisio e que tambm similar a Calculadora Cientfica do Windows (fig. 02) e que, por incrvel que parea so calculadoras que na sua grande maioria s so usadas para resolver as quatro operaes j que muitas pessoas no sabem como utiliza- las para resolver outros clculos. fig. 01 fig. 02 Existem diversos outros tipos de calculadora que seguem a mesma linha de funes, como a Truly SC107F de 56 Scientific functions que tambm podem serem aplicadas para a resoluo dos problemas expostos. O interessante de tudo que nosso alunado vai pelo mais fcil quando diz que sabe utilizar a calculadora cientfica ele s consegue trabalhar as quatro operaes que envolvam os nmeros naturais e quando ele diz que tem computador em casa, ele s usa o computador para jogos e bate-papo. A calculadora cientfica um recurso didtico capaz de ajudar o aluno em seu desenvolvimento intelectual desde que ele saiba como utilizar esse recurso, no s com operaes com nmeros naturais como tambm com os demais conjuntos (nmeros inteiros, nmeros racionais, nmeros irracionais e nmeros reais). com base nesse problema que nos propomos a fazer este trabalho para mostrar como utilizar a calculadora cientfica para tirar o mximo proveito. Este trabalho ser o mais didtico possvel, utilizaremos algumas questes e problemas do nosso cotidiano estudantil, questes e problemas esses retiradas de forma

27. similar de alguns livros didticos utilizados em algumas escola da rede publica e privada de ensino para que o estudante tanto do ensino fundamental, mdio e superior consiga entender como se faz sua resoluo com o uso da calculadora. Ao final faremos um breve quadro de equivalncia de teclas, que vai da calculadora ao teclado do computador. 5. 2 As primeiras teclas da calculadora Para trabalharmos as quatro operaes com os nmeros naturais, alm de conhecermos as teclas de 0 a 9 necessrio conhecermos outras: OFF desliga CE apaga o ltimo nmero digitado + adio = igual liga / apaga o clculo ON/ C subtrao ( apaga o ltimo algarismo digitado abre parntesis diviso ) x multiplicao fecha parntesis 5. 3 Modos de unidade angular A tecla DRG usada para clculos da trigonometria, inverso trigonomtrica e converso de coordenadas. Ela muda a unidade angular. DEG = degree = graus = D RAD = radian = radianos = R GRAD = gradient = grados = G DRG Converso de unidade angular DEG RAD GRAD 5. 4 Resoluo algbrica e com uso da calculadora Condensaremos neste captulo diversas questes de contedos do ensino fundamental e mdio onde mostraremos a sua resoluo de forma algbrica e a sua resoluo com o uso da calculadora cientfica, de modo a utilizar todas as suas funes.

28. 5. 4. 1 Base de um sistema de numerao Nmero que exprime quantas unidades de uma ordem qualquer so precisas, nesse sistema, para formar uma unidade de ordem imediatamente superior. O nome do sistema, deriva do nome de sua base. O princpio de numerao decimal escrita aplica-se a qualquer outro sistema de numerao. No sistema de base a haver a 1 algarismos significativos, pois o zero sempre necessrio para suprir as unidades que faltarem. No sistema de base 2 ou binrio, os sinais sero 0 e 1, no de base 5 ou quinrio sero 0, 1, 2, 3 e 4. No sistema hexadecimal so necessrios sinais novos para representar 10, 11, 12, 13, 14 e 15 que so representadas pelas letras A, B, C, D, E e F respectivamente. 5. 4. 2 Conve rso de base n No possvel utilizar as funes cientficas nos clculos binrios, octogonais, decimais e hexadecimais. No possvel introduzir valores que incluem uma parte decimal e/ou expoente. Aplicaes: Converso de nmeros inteiros no decimal para decimal (decomposio polinmial). 01) Converta: 10101(2) = ?(10) Resoluo algbrica: 14 03 12 01 10 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 16 + 0 + 4 + 0 + 1 10101(2) = = 21 21(10) Resoluo na calculadora: 2ndF BIN 1 0 1 0 1 2ndF DEC DEG 21 Converso de nmeros inteiros decimais para no decimais (divises sucessivas). 02) Converta 10(10) = ?(2)

29. Resoluo algbrica: 10 2 0 5 2 1 2 2 0 1 10(10) = 1010(2) Resoluo na calculadora: 1 0 2ndF DEG BIN BIN 1010 Converso de base no decimal para base no decimal. (Xa X10 Xb). = ?(16) 03) Converta: 1110(2) Resoluo algbrica: 13 12 11 00 = 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 8 + 4 + 2 + 0 = 14(10) = E(16) 1110(2) = E(16) Resoluo na calculadora: 2ndF BIN 1 1 1 0 2ndF HEX DEG HEX E Converso de base decimal para base hexadecimal. 04) Converta 16323(10) = ?(16) Resoluo algbrica: 16323 3 16 1020 16 12 63 16 15 3 16323(10) = 3FC3(16) Resoluo na calculadora: 1 6 3 2 3 2ndF HEX DEG HEX 3FC3

30. 5. 4. 3 Ope raes elementares Como o trabalho pretende ser o mais completo possvel mostrando o uso de todas as funes da calculador cientfica, faz-se necessrio colocar uma parte mostrando a resoluo de operaes elementares na calculadora, que so as operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso. Aplicaes: 1) Efetue: 30 + 45 28 Resoluo algbrica: 30 + 45 28 = 47 Resoluo na calculadora: teclar: visor 3 0 + 4 5 2 8 0 2 = = DEG 47 02) Efetue: 25 x 10 2 Resoluo algbrica: 25 x 10 2 = 125 Resoluo na calculadora: 2 5 x 1 DEG 125 5. 4. 4 Resolvendo expresses num ricas Para a resoluo de expresses numricas envolvendo as quatro operaes (adio, subtrao, multiplicao e diviso), devemos observar algumas regras para o clculo: Quanto aos sinais de pontuao, efetuamos as operaes seguindo a ordem apresentada: 1. Operaes indicadas entre parnteses ( ). 2. Operaes indicadas entre colchetes [ ]. 3. Operaes indicadas entre chaves { }. Quanto s operaes: 1. Efetuamos as multiplicaes e as divises, na ordem em que aparecem. 2. Efetuamos as adies e subtraes, na ordem em que aparecem. Aplicao:

31. 01) Calcular 30 + (40 x 12) Resoluo algbrica: 30 + (40 x 12) = 510 Resoluo na calculadora: 3 0 + ( 4 0 x 1 2 ) = DEG 510 02) Calcular (7 x 7 + 5) )6 + 2 01 71( x 3 Resoluo algbrica: (7 x 7 + 5) )6 + 2 01 71( x 3= 9 Resoluo na calculadora: ( 7 x 7 + 5 ) ( 1 7 1 0 2 + 6 ) x 3 = DEG 2 x 3 ) ( 03) Calcular 9 7 +9 23 2 +3 Resoluo algbrica: 7 + 9 2 3 16 6 10 = = =2 2 +3 5 5 Resoluo na calculadora: ( 7 + 9 + 3 ) = 2 DEG 5. 5 Alte raes e Trocas As alteraes ou mudana dos ltimos algarismos de um nmero, bem como a troca ou inverso do numerador pelo denominador de uma frao podem serem feitas da seguinte forma: CE Clean Entry: tecla para cancelamento do ltimo nmero digitado. Aplicaes: 2

32. Resoluo algbrica: 35 x 40 = 1400 Resoluo na calculadora: 3 5 x 5 DEG 8 58 DEG CE 4 0 0 DEG = 1400 Shift: tecla para alterao ou mudana do ltimo alga- Right Shift or rismo. Resoluo algbrica: 38579 Resoluo na calculadora: 3 8 5 7 DEG 8 38578 DEG 3857 DEG 9 38579 Exchange: troca ou inverte o numerador pelo denominador. Resoluo algbrica: 100 =2 2 25 Resoluo na calculadora: 2 x 2 5 1 0 DEG 0 2ndF 100 DEG 50 DEG = 2 or 1 0 0 ( 2 x 2 5 ) = DEG 2

33. 5. 6 Encontrando o resto da diviso com a calculadora Quando a diviso exata, o quociente mostrado no visor como nmero inteiro, ou seja sem ponto para separar um do outro. Aplicaes: Resoluo algbrica: 72 8 = 9 Resoluo na calculadora: 7 2 8 DEG = 9 Mas se a diviso acima no fosse exata, apareceria prximo do nmero 9 um nmero com ponto. Resoluo algbrica: 74 8 = 9.25 Resoluo na calculadora: 7 4 8 DEG = 9.25 Como visto acima, o nmero 9, que o quociente natural, aparece no visor esquerda do ponto, e o resto 2 no aparece. Para obter o resto usando a calculadora cientfica, basta pegar o dividendo e subtrair da multiplicao entre o divisor e o quociente natural. Resoluo algbrica: 74 8 x 9 = 2 Resoluo na calculadora: 7 4 8 x 9 = DEG 5. 7 Calculando potncia com a calculadora A potenciao equivale a uma multiplicao de fatores iguais, de modo geral, sendo a um nmero real e n um nmero natural, com n > 1, a expresso an chama-se potncia e representa uma multiplicao de n fatores iguais ao nmero a. 2

34. x2 Eleva um nmero ou base ao quadrado. yx Eleva um nmero ou base a qualquer expoente. Aplicaes: 01) Calcular 5 2. Resoluo algbrica: 5 2 = 5 5 = 25 Resoluo na calculadora: 5 x2 DEG 25 02) Calcular 210 . Resoluo algbrica: 2 10 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1024 Resoluo na calculadora: 2 yx 1 0 DEG = 1024 At aqui s trabalhamos com o conjunto dos nme ros naturais, ou seja os nmeros positivos que comeam do zero e vo at o infinito. Daqui em diante alm dos nmeros naturais, vamos trabalhar com todos os outros conjuntos. 5. 8 O uso da tecla 2ndF ou Inv Todas calculadoras cientficas vm com suas funes impressas em suas prprias teclas e com funes impressas acima das teclas, as primeiras chamamos de primeira funo e temos acesso as mesmas, assim que ligamos a calculadora. J a segunda, s temos acesso a elas se antes de utilizarmos a tecla que desejarmos, apertar a tecla 2ndF segunda funo. Na calculadora cientfica do Windows essa tecla a Inv. que indica a

35. 5. 9 Porcentage m A expresso por cento vem do latim per centum, que quer dizer por um cento. Ou seja, quando dizemos que voc vai ter um desconto de 30 por cento, significa dizer que para cada 100 reais gasto, voc tem um desconto de 30 reais. Veja os problemas abaixo: 2ndF 2nd function: segunda funo % percent: porcentagem decimal point: ponto decimal Aplicaes: 01) Retire 30% de 2500. Resoluo algbrica: 2500 30 = 750 100 Resoluo na calculadora: 2 5 0 0 x 3 0 2ndF % = DEG 750 02) Escreva a representao decimal de 6%. Resoluo algbrica: 6 = 0,06 100 Resoluo na calculadora: 6 2ndF % DEG 0.06 03) Um desconto de 80 mil reais sobre um preo de 250 mil reais representa um desconto de quantos por centos? Resoluo algbrica: (80 250) x 100 = 32%

36. Resoluo na calculadora: 8 0 2 5 0 2ndF % 04) Escreva a porcentagem correspondente a seguinte razo: DEG = 32 17 20 Resoluo algbrica: 17 = 0,85 100 = 85% 20 Resoluo na calculadora: 1 7 2 0 2ndF % = DEG 85 05) Escreva, na forma irredutvel, a razo correspondente a 60% e 68%. Resoluo algbrica a: 60 6:2 3 = 0 ,6 = = 100 10 : 2 5 Resoluo na calculadora: 6 0 2ndF % DEG 0.6 Resoluo algbrica b: 68 68 : 4 17 = 0,68 = = 100 100 : 4 25 Resoluo na calculadora: 6 8 2ndF % DEG 0.68 OBS.: Com base nos resultados da questo acima que os professores do ensino mdio e fundamental devem reavaliar os seus conceitos sobre o uso ou no das calculadoras em sala de aula, vez que, usando palavras do prprio PCN Matemtica onde diz que a calculadora um recurso til para verificao de resultados, correo de erros, podendo ser um valioso instrumento de auto-avaliao. Ou seja, se o aluno no aprendeu como

37. transformar nmeros decimais em frao e vice-versa, ou mesmo a comparar valores, de nada adiantar a calculadora em suas mos, j que nessa questo (05) ela servir apenas como um instrumento para tirar dvidas do aluno, para que ele veja se est no caminho certo ou no da atividade. O erro ou acerto da questo vai depender apenas do raciocnio do aluno. 5. 10 Potncias e razes de nmeros racionais Dado um nmero racional a e um nmero natural n, com n > 1, a expresso an representa uma multiplicao de n fatores iguais ao nmero a. Raiz quadrada cada fator que representa um produto de dois fatores positivos e iguais. Eleva um nmero ou base ao quadrado. x2 yx Eleva um nmero ou base a qualquer expoente. Raiz quadrada. Aplicaes: [ ] [ ] 01) Calcule: (2,1)9 (2,1)6 (2,1)3 . 4 Resoluo algbrica: [(2,1) ] [2,1] 9+ 6 3 4 = (2,1) (2,1) = (2,1)1512 = (2,1)3 = 9,261 15 12 Resoluo na calculadora: ( ( 2 1 ) yx 9 x ( 2 1 ) yx 6 ) ( ( 2 1 ) yx 3 ) yx 4 = 3 7 3 6 3 10 3 8 02) Calcule: . 2 2 2 2 DEG 9.261

38. Resoluo algbrica: 3 7 6 3 10 8 = 2 2 1 2 3 3 = 2 2 1 +2 3 2 3 27 3 = = 8 2 Resoluo na calculadora: ( ( 3 2 ) yx 7 ( 3 2 ) yx 6 ) x ( ( 3 2 ) yx 1 0 ( 3 2 ) yx 8 ) DEG = 3.375 (8 ) 4 7 03) Calcule: (8 8 8 . ) 3 Resoluo algbrica: 8 47 (8 ) 8+1 3 = 8 28 = 8 28 27 = 81 = 8 9 3 8 Resoluo na calculadora: ( 8 yx 4 ) yx x 8 ) yx 3 = 7 ( 8 yx 8 DEG 8 81 . 225 04) Calcule: Resoluo algbrica: 81 225 = 9 15 Resoluo na calculadora: 8 1 DEG 9

39. 2 2 DEG 5 15 6,76 . 05) Calcule: Resoluo algbrica: 676 676 26 = = = 2,6 100 100 10 Resoluo na calculadora: 6 7 DEG 6 2.6 Resoluo na calculadora cientfica Windows: 6 7 6 Inv x^2 2.6 5. 10. 1 Adio algbrica, Multiplicao, Diviso e Potenciao de nmeros inteiros Toda expresso numrica que contm somente as operaes de adio e subtrao representa uma adio algbrica. Aplicaes: 01) Calcule: 3 { 16 + [20 ( 12 + 15) 6]}. Resoluo algbrica: 3 {16 + [ 20 (+3) 6]} 3 {16 + [ 20 3 6]} 3 {16 + [ +11]} 3 {16 + 11} 3 {5} = 3 + 5 = 8 Resoluo na calculadora: 3 ( 1 6 + ( 2 0 ( 1 2 + 1 5 ) 6 ) ) =

40. DEG 8 02) Calcule: 42 + ( 30) (+ 2) . Resoluo algbrica: 42 + (15) 42 15 = 27 Resoluo na calculadora: 4 2 + 3 0 +/ 2 = DEG 27 5. 10. 2 Adio algbrica, Multiplicao, Diviso e Potenciao de nmeros racionais O conjunto formado pelos nmeros que podem ser escritos como o quociente de dois nmeros inteiros, como divisor diferente de zero, denominado conjunto dos nmeros racionais e representado pela letra Q (vem da palavra quociente). Aplicaes: 01) Calcular: 5 1 + 3 . 9 6 Resoluo algbrica: 10 54 3 41 + = 18 18 18 18 Resoluo na calculadora: 5 9 +/ + 3 1 6 = DEG 2.277777778 02) Calcular: 6 5 2 + 4 + + 1,5 0,8 . 8 7 4 Resoluo algbrica: = 6 4 7 2 15 8 + + 8 1 5 4 10 10

41. 30 160 56 20 60 32 + + 40 40 40 40 40 40 146 2 73 = = 40 2 20 = Resoluo na calculadora: ( 6 8 ) + ( 4 + ( 7 5 ) ) ( ( 2 4 ) + 1 5 ) 8 = ) ( 8 +/ = 2 03) Calcular: + 7 DEG 3.65 8 3 + ( 4) . 7 8 Resoluo algbrica: 2 = 8 3 2 + 12 5 = = 2 8 4 Resoluo na calculadora: ( 2 7 ( 3 8 ) ) yx x 4 7 ) DEG 1,25 2 2 04) Calcular: + . 5 Resoluo algbrica: = 2 25 5 = = 2 4 2 2 5 1 Resoluo na calculadora: ( 2 5 2 +/ = DEG 6.25

42. 5. 10. 3 Potncias de base dez Qualquer potncia de base 10 com expoente natural igual ao nmero formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. Para transformar as potncias em nmeros decimais usamos a tecla: 10 x Potncia de base dez. Aplicaes: Resoluo algbrica: 103 = 1000 Resoluo na calculadora: 3 10 x 2ndF DEG 1000 Resoluo algbrica: 10-5 = 0,00001 Resoluo na calculadora: 5 +/ 10 x 2ndF DEG 0.00001 Para verificar a que potncia est elevada a base dez usamos a tecla: Log Logaritmo de base 10 ou decimal. Resoluo algbrica: 0,000001 = 10-6 Resoluo na calculadora: 0 0 0 0 0 0 Log 0 1 Log DEG 6 Resoluo algbrica: 10000 = 104 Resoluo na calculadora: 1 0 0 0 DEG 4

43. Para resolver as equaes calculadora serve apenas como um simples recurso para que, na medida em que voc vai respondendo, voc a usa para resolver os clculos que vo aparecendo. 5. 10. 4 Notao cientfica Por uma questo de padronizao, os cientistas utilizam uma escrita simplificada, para trabalhar com nmeros muito grandes e tambm nmeros muito pequenos, que chamada notao cientfica. Os nmeros escritos em notao cientfica so expressos atravs de um produto, um nmero entre 1 e 10 multiplicado por uma potncia de 10. Aplicaes: 01) 8 700 000 000 000 m = 8,7.1012 m 02) 0,000036 cm = 3,6.10-5 cm Para inserirmos esses nmeros na calculadora utilizamos a tecla 8 7 EXP 1 Para simplificarmos a expresso EXP DEG 2 8.7 12 12 10 9 2 10 7 que igual a 4.1010 , temos que 6 6 10 operacionalizar da mesma forma como j foi realizado anteriormente, a resposta pode aparecer em notao cientfica ou no, depende do tamanho do nmero e de dgitos que tem a calculadora: Resoluo na calculadora: 1 EXP 2 EXP 6 9 x 2 EXP 7 6 DEG = 4. 10 Quando um resultado est no sistema decimal e voc queira ver no sistema de notao cientifica, basta teclar o sistema decimal. 03) 1.10-5 + 1.10-3 Resoluo algbrica: FE . Se teclarmos uma segunda vez, o nmero volta para

44. 0,00001 + 0,001 = 0,00101 ou 1,01.10-3 Resoluo na calculadora: 1 EXP 5 +/- + 1 EXP 3 +/- = DEG FE DEG FE DEG 0.00101 1.01-03 0.00101 5. 11 Ope raes com medidas de ngulos Denominamos ngulo a regio convexa formada por duas semi- retas no-opostas que tm a mesma origem. A medida de um ngulo dada pela medida de sua abertura, e a unidade padro utilizada o grau, representado pelo smbolo aps o nmero. Mas h ngulos que no possuem como medida um nmero inteiro de graus. Como no costume utilizar decimais em medidas de ngulos, utilizamos os submltiplos do grau que o minuto e o segundo. Grau 1 = 60 Minuto 1 = 60 Segundo 1 = 3600 DMSD Converte nmero decimal em grau, minuto e segundo. DEG Converte grau, minuto e segundo em nmero decimal. Para escrevermos a medida de um ngulo utilizamos o minuto e o segundo cuja base de numerao 60. Aplicaes: 01) Expressar 1512 em minutos. Resoluo algbrica: 15 x 60 + 12 = 912 Resoluo na calculadora: 1 5 1 2 DEG DEG 15.2

45. x 6 0 DEG = 912 Resp.: 1512 = 912 02) Expressar 9140 em graus, minutos e segundos. Resoluo algbrica: 9140 60 314 300 140 120 20 60 152 60 120 2 32 Resoluo na calculadora: 1 4 0 6 0 = DEG 9 6 0 = DEG 152.333333 2.538888889 2ndF DMSD DEG 2.322000 Resp.: 9140 = 23220 (2 graus, 32 minutos e 20 segundos) 5. 11. 1 Simplificando os resultados Em algumas situaes, principalmente nas operaes com medidas de ngulo, precisamos simplificar os resultados obtidos. Aplicao: 01) Simplificar 288690. Resoluo algbrica: 28 29 90 +1 +1 86 60 60 27 30

46. Resoluo na calculadora: 2 8 8 6 9 DEG DEG DMSD DEG 0 2ndF 29.45833333 29.273000 Resp.: 288690 = 292730 5. 11. 2 Adio e Subtrao Para adicionar duas ou mais medidas de ngulos, devemos adicionar segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus, fazendo a simplificao, quando necessrio. Para subtrair duas medidas de ngulos, devemos subtrair segundos de segundos, minutos de minutos e graus de graus. Em alguns casos, devemos fazer transformaes para realizar as subtraes. Aplicaes: 01) Calcular 131830 + 20615. Resoluo algbrica: 13 18 30 + 20 6 15 33 24 45 Resoluo na calculadora: 1 3 1 6 1 5 8 3 0 = Resp.: 332445 02) Calcular 77 422532. Para resolver preciso transformar 77 em 765960. Resoluo algbrica: 76 59 60. 42 25 32 34 34 28 + 2 0 0 DEG 33.2445

47. Resoluo na calculadora: 7 6 5 5 3 2 9 6 0 4 = 2 2 DEG 34.3428 Resp.: 343428 5. 11. 3 Multiplicao e Diviso por um Nmero Natural Para multiplicar uma medida de ngulo por um nmero natural, devemos multiplicar esse nmero pelos segundos, minutos e graus, j a diviso devemos dividir esse nmero pelos graus, minutos e segundos, fazendo as simplificaes e transformaes quando necessrio. Aplicaes: 01) Calcular 61518 x 5. Resoluo algbrica: 6 15 18 x5 30 75 +1 +1 90 60 60 31 30 16 Resoluo na calculadora: 6 1 5 1 8 x 5 = DEG 30.759 DEG 2ndF Resp.: 311630 02) Calcular 483618 2. Resoluo algbrica: DEG DMSD DEG 31.275 31.163000

48. 48 36 18 2 0 24 18 9 0 0 Resoluo na calculadora: 4 8 3 6 1 8 2 = DEG 24.1809 Resp.: 241809 Observao: Sempre lembrando que a calculadora um simples instrumento para tirar dvidas, vez que nem todos os clculos ela pode resolver de forma satisfatria sem que ocorra uma devida adequao dos nmeros. Quando se trabalha com minutos e segundos, sempre utilizamos uma casa decimal para cada um. Se o resultado for para casa centesimal o resultado e/ou clculo fica comprometido. Lembre-se, o que interessa o desenvolvimento intelectual e o raciocnio do aluno. 03) Calcular 251721 3. Resoluo apenas na calculadora: 2 5 1 7 2 1 3 = DEG 8.3907 Resp.: S que a resposta correta 82547 5. 12 Calculando o tempo Durante um longo perodo de sua histria, o homem dividiu o tempo em dia e noite. Com a necessidade crescente de medir o tempo, surgiram a hora, o minuto e o segundo. O dia foi dividido em 24 horas. A hora, 60 minutos. O minuto, em 60 segundos. Aplicaes: 01) Sabendo que a taxa fixa da Internet de R$20,00, mais 15 centavos de real (R$0,15) a cada minuto de uso. Quanto gastar Leidiane se, durante o ms, utilizar por 12h30min? Resoluo algbrica: V = tx + Vmin tp tp = 12h30min = 12 60 + 30 = 750min. V = 20 + 0,15 750 = 132,50 .

49. Resoluo na calculadora: 1 0 3 0 x 2 2 6 0 + 1 DEG DEG 12.5 DEG = 5 750 x 7 5 0 = DEG 132.5 Resp. Ela gastar R$132,50 02) Quantas horas ela poder utilizar a Internet, se quer gastar, no mximo, R$85,00 no ms? Resoluo algbrica: V = 85 85 = 20 + 0,15 tp tp 433,33 = 7h13min20seg. A frmula uma vez montada corretamente pode ser colocada na calculadora diretamente com algumas ressalvas: tp = 85 20 0,15 Resoluo na calculadora: 5 2 0 = DEG 8 1 5 = DEG 0 = DEG 65 433.3333333 Para transformar em hora: 2ndF 6 DMSD 7.22222222 DEG 7.132000 Resp. Vai utilizar por 7h13min20seg. 5. 13 O nme ro (pi) O nmero pi, representado pela letra grega , por ser um nmero irracional, nas aplicaes utilizamos uma aproximao do valor de , em geral 3,14. Em muitas calculadoras h uma tecla que fornece o valor de , com um nmero maior de casas decimais.

50. A constante pi ( = 3.141592654) Aplicaes: 01) Uma circunferncia tem 12 cm de raio. Qual o comprimento aproximado dessa circunferncia? Resoluo algbrica: frmula : comprim.circunf C = logo = C = 2r C = 2r med.dimetro 2r C = 2 3,14.12 C 75,36cm Resoluo na calculadora: 2 x 2ndF x 1 2 DEG = 75.39822369 02) Qual o comprimento x de um arco de 60 numa circunferncia que tem 21 cm de raio? Resoluo algbrica: 360 2r x= 60 x 2r 60 360 x 2 x= 2 21 60 x 21,99 cm 360 Resoluo na calculadora: 2 x 6 2ndF 0 1 x 6 0 3 DEG = 21.99114858 Resp.: O arco tem 21,99 cm aproximadamente. 5. 14 Potncia de um nmero real com expoente natural Dado um nmero real a e um nmero natural n, n 0, a expresso an , denominada potncia, representa um produto de n fatores iguais ao nmero real a. Aplicaes: 3 2 01) Calcular . 3 Resoluo apenas na calculadora: 2 +/ yx 3 = DEG 8

51. 3 yx +/ 3 DEG = 27 02) Calcular (2,4)3 . Resoluo apenas na calculadora: 2 4 yx +/ 3 DEG = 13.824 5. 14. 1 Potncia de um nmero real com expoente inteiro negativo n Para todo nmero real a, com a 0, temos a-n = 1 1 = , sendo n um nmero n a a natural diferente de zero. Aplicaes: 01) Calcular 23 24 . Resoluo apenas na calculadora: yx 2 3 yx 2 4 DEG = 0.5 02) Calcular ( 4) 1 . Resoluo apenas na calculadora: 4 yx +/ 1 +/ DEG = 0.25 1 4 03) Calcular . 5 Resoluo apenas na calculadora: ( 04) Calcular 4 5 ) 2 . 4 2 Resoluo apenas na calculadora: yx 1 +/ = DEG 1.25

52. 2 yx 4 ( 05) Calcular 9 1 + 6 2 ) 1 2 DEG +/ 32 . Resoluo apenas na calculadora: ( yx 9 1 1 +/ +/ + yx 6 2 +/ ) yx DEG = 7.2 1 06) Calcular 15 5 . Resoluo apenas na calculadora: 1 yx 5 ( 1 5 ) = DEG 1.718771928 5. 15 Calculando com radicais (raiz ensima de um nme ro real) Quando o nmero real a positivo ( a > 0) e n um nmero natural par, diferente de zero, dizemos que a expresso n a igual ao nmero real positivo b tal que bn = a. Quando o nmero real a negativo (a < 0) e n um nmero natural par, diferente de zero, a expresso n a no definida no conjunto dos nmeros reais. Dado um nmero real a e sendo n um nmero natural mpar, a expresso n a um nico nmero real b tal que bn = a. Raiz quadrada 3 Raiz cbica x Raiz ensima Aplicaes: 01) Calcular o valor de 5 243 . Resoluo apenas na calculadora: 2 4 3 2ndF x 5 = DEG 3

53. 02) Calcular o valor de 36 . Resoluo apenas na calculadora: 3 DEG 6 6 36 . 03) Calcular o valor de Resoluo apenas na calculadora: 3 6 E +/ DEG 0 Resp. no se define em R. 04) Calcular o valor de 36 . Resoluo apenas na calculadora: 3 6 DEG +/ 6 ( 4 )2 . 05) Calcular o valor de Resoluo apenas na calculadora: 4 +/ x2 06) Calcular o valor de 3 DEG 4 27 . Resoluo apenas na calculadora: 2 7 +/ 2ndF 3 x DEG = 3 07) D o valor da expresso 4 16 3 8 . Resoluo apenas na calculadora: 1 = 6 2ndF x 4 8 +/ 2ndF 3 DEG 4

54. 5. 16 Juro Simples Juro simples toda a compensao em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia que se empresta ou pede emprestada, a uma taxa combinada, por um prazo determinado, produzida exclusivamente pelo capital inicial. A taxa o fator de proporcionalidade para o clculo dos juros. Assim: J = C i n C: capital inicial; J: juro simples i: taxa de juros; n: nmero de perodos Aplicaes: 01) Aline empresta do Banco 14000 reais por trs meses a uma taxa de juro de 2,6% ao ms. Qual a quantia que ela deve pagar de juro e qual o total que ter de pagar no fim do emprstimo? Resoluo algbrica: 1 parte: Indicando por J a quantia que ela vai pagar de juro, assim temos: J = Ci n J = (2,6%de14000) 3 J = 14000 0,026 3 J = 1092 2 parte: Ao todo, ela ter que pagar: 14000 + 1092 = 15092 Resposta: Ela vai pagar 1092 reais de juros e pagar no total, 15092 reais. Resoluo na calculadora: 1 parte: 2 2ndF 6 % x 1 4 0 0 0 x 3 DEG = 1092 2 parte: + 1 4 0 0 0 = DEG 15092 02) Um reprodutor de DVD custa 480 reais vista. Em 5 prestaes mensais, o preo passa a ser de 696 reais. Qual a taxa de juro cobrada ao ms por essa loja?

55. Resoluo algbrica: (696 480 ) 100 = 9% (480 5 ) Resoluo na calculadora: ( 6 9 6 8 0 x 5 ) 4 2ndF 8 0 % ) = ( 4 DEG 9 A taxa de juros de 9% ao ms. 5. 17 Memria Recurso usado para guardar ou armazenar na memria um nmero ou um resultado parcial ou final. X-M Memory-in: limpa da memria o valor armazenado. RM Recall memory: chama o valor armazenado na memria. M+ Memory plus: adiciona o nmero do visor na memria. +/ Change sing key: muda o sinal do nmero que est no visor para positivo ou negativo, vice-versa. O M que aparece no visor para indicar que existe um nmero ou um resultado que est na memria. Este resultado permanece mesmo com a calculadora desligada. Para limpar um nmero que est na memria , primeiro tecle ON/ C OBS.: para subtrair um nmero da memria basta teclar ordem. Aplicao: Operaes algbricas: ganha35 20 = 700 ganha 40 70 = 2800 depois a tecla +/ e M+ X-M . nessa

56. perde250 + 80 = 330 ganha 38 8 = 30 Total = 3200 Na calculadora: 3 5 x 2 0 4 0 x 7 0 5 0 + 8 0 3 8 8 M+ = +/ DEG 700 M M+ 2 M M+ DEG 2800 M M+ DEG -330 M DEG 30 RM M DEG 3200 ON/ C M DEG 0 DEG 0 X-M 5. 18 Trigonometria A Trigonometria uma palavra de origem grega (trigonos = tringulo + metrein = medir) que trata da resoluo de problemas sobre tringulos recorrendo s razes seno, cosseno e tangente e s relaes entre elas. sin sin -1 cos tan cos -1 tan -1 Razes trigonomtricas ngulos As teclas acima so das funes trigonomtricas e inversas trigonomtricas. Tabela importante Os ngulos de 30, 45 e 60, considerados notveis, aparecem com freqncia em muitos problemas. Para as razes trigonomtricas relacionadas a esses ngulos mais conveniente usar os valores indicados abaixo:

57. ngulo Seno Cosseno Tangente 30 1 2 3 2 3 3 45 2 2 2 2 1 60 3 2 1 2 90 1 0 3 No existe Aplicaes: Verificando na calculadora cientifica. 01) cos 3 2 = 30 3 2 = 2ndF 2ndF cos -1 sin -1 DEG 30 02) sen 1 2 = 30 1 2 = DEG 30 03) tan 1 = 45 1 2ndF tan -1 DEG 45 04) ngulo 30 = sen 1/2 or 0,5 3 0 sin DEG 0.5 05) ngulo 45 = tan 1 4 5 tan DEG 1 5. 18. 1 As relaes trigonomtricas nos tringulos retngulos Em todo tringulo retngulo, o seno de um ngulo agudo a razo entre a medida do cateto oposto a esse ngulo e a medida da hipotenusa, o cosseno de um ngulo agudo a

58. razo entre a medida do cateto adjacente a esse ngulo e a medida da hipotenusa e a tangente de um ngulo agudo a razo entre as medidas dos catetos oposto e adjacente a esse ngulo. sen = cat.oposto hipotenusa cos = cat.adjacente hipotenusa tg = cat.oposto cat.adjacente Aplicaes: 01) Determine o valor do seno, do cosseno e da tangente do ngulo agudo no triangulo retngulo ABC. Resoluo algbrica: C sen = 5 0,7453 3 Resoluo na calculadora: 3 5 5 B cos = A 2 2 tg = 5 1,1180 2 3 DEG = 0.745355992 2 0,666 3 5 3 DEG = 2 0.666666666 = DEG 1.118033989 Para ver o grau do seno, cosseno e tangente basta pegar o valor que apareceu em cada um e usar as teclas que se referem a ngulos. Por exemplo, com o valor do cosseno vamos ver o grau do cosseno e do seno na calculadora. 2 Grau do cosseno Grau do seno 3 2ndF 2ndF = DEG cos -1 DEG cos Cosseno DEG sin -1 DEG 0.666666666 48.18968511 0.666666666 41.81031489

59. 02) No tringulo retngulo abaixo, calcular o valor de x e y. Resoluo algbrica: 22 x x = sen 33 0 22 x 11,98 22 y cos 33 0 = y = cos 330 22 x 18, 45 22 y 33 sen 33 0 = x Resoluo na calculadora: x 3 sin x 2 2 = DEG 3 y 3 3 cos x 2 2 = DEG 11.98205877 18.45075249 Caso queiramos encontrar, na calculadora cientfica, os catetos utilizando o principio da representao geomtrica, basta pensarmos que o tringulo esteja em um grfico: xy Converte coordenadas polar em coordenadas retangular. r Converte coordenadas retangular em coordenadas polar. a Usado durante a converso de coordenada quando o x da coordenadas retangular (x, y). b Usado durante a converso de coordenada quando o y da coordenadas retangular (x, y). y y 22 33 y x x x

60. Resoluo na calculadora: 2 2 a 3 3 b 2ndF xy DEG 18.45075249 b DEG a DEG 11.98205877 18.45075249 03) Uma pessoa est a distncia de 84m da base de um prdio e v o ponto mais alto do prdio sob um ngulo de 23 em relao horizontal. Qual a altura do prdio? Resoluo algbrica: x = tg 23o cat.adjacente x = tg 23 84 x 35,65m 5 x 23 84m Resoluo na calculadora: 2 3 tan x 8 4 = DEG 35.65588456 Resp.: A altura do prdio 35,65 m aproximadamente. 5. 19 Estudando as relaes trigonomtricas em um tringulo qualquer Os problemas de Trigonometria envolvendo tringulos eram resolvidos recorrendose a tringulos retngulos. Mas, na prtica, nem sempre temos essa facilidade. Muitos dos problemas trigonomtricos envolvem tringulos acutngulos ou obtusngulos em sua resoluo. 5. 19. 1 Lei (ou teorema) dos Senos Em todo tringulo, as medidas dos lados so proporcionais aos senos dos ngulos opostos, e a constante de proporcionalidade a medida do dimetro do crculo circunscrito a esse tringulo.

61. Considerando o tringulo acutngulo ABC, em que: A a, b, c so as medidas dos lados. h1 a medida da altura. c h2 a medida da altura. b h2 Onde podemos escrever: c sen B = b sen C h1 B C a que resulta: c b = sen C sen B Aplicao: 01) Determine a medida x do triangulo acutngulo abaixo. A Resoluo algbrica: 8cm Pela Lei dos senos, temos: 60 8 x 8 sen 60 0 = x= sen 45 0 sen 60 0 sen 450 Logo, a medida x aproximadamente: 45 B C 4 6 ou 9,79 x Resoluo na calculadora: 8 x 6 0 sin 4 5 sin = DEG 9.797958971 5. 19. 2 Lei (ou teorema) dos Cossenos Em todo tringulo, o quadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o duplo produto das medidas destes lados pelo cosseno do ngulo formado por eles.

62. Considerando o tringulo ABC, em que: A a,b,c so as medidas dos lados do tringulo. c h a medida da altura relativa ao lado BC do b tringulo. h x e y so as medidas dos segmentos que a altura x B y C determina sobre o lado BC. a Assim temos: a 2 = b 2 + c 2 2bc cosA b 2 = a 2 + c 2 2ac cosB c 2 = a 2 + b 2 2ab cosC Aplicao: 01) Determine a medida x indicada no tringulo: A 6cm Resoluo algbrica: b 2 = a 2 + c 2 2ac cosB x x 2 = 10 2 + 6 2 2 10 6 cos60 0 x = 76 x = 2 19 8,717 60 B C 10cm Resoluo na calculadora: 1 0 x2 + 6 6 x 6 0 cos x2 = 2 x 1 0 x DEG 76 DEG 8.717797887 5. 20 Relaes mtricas na circunferncia Circunferncia a figura geomtrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano. Esse ponto fixo chamado centro da circunferncia (ponto O), e a distncia constante o comprimento do raio, indicado por r.

63. A circunferncia tambm apresenta relaes mtricas entre seus elementos. Vejamos essas relaes. Relao entre as cordas PA PB = PC PD Relao entre secantes PA PB = PC PD Relao entre secante e tangente 2 PC = PA PB Aplicaes: 01) Determine a medida x do segmento PD , sabendo que PA = 8 cm, PB = 4 cm e PC = 2 cm. Resoluo algbrica pela relao das cordas: PA PB = PC PD 84 = 2 x 8 4 x= x = 16cm 2 Resoluo na calculadora: 8 x 4 2 = DEG 16

64. 02) Calcular o comprimento r do raio da circunferncia, sendo PA = 20 cm e PC = 10 cm. Resoluo algbrica pela relao entre secante e tangente. 2 PA = PB PC 20 2 = (10 + 2r ) 10 400 = 100 + 20r 400 100 r= r = 15cm 20 Resoluo na calculadora: 0 0 1 0 0 = DEG 4 2 0 = DEG 300 15 5. 21 Unidade de medidas de arcos e ngulos Arco de circunferncia cada uma das partes em que uma circunferncia fica dividida por dois de seus pontos. A medida de um arco de circunferncia a medida do ngulo central correspondente. Para medir arcos e ngulos utilizamos o grau e o radiano. Existe uma outra unidade de medida de ngulo pouco usada que chamamos grado 20 . 5. 21. 1 O grau e o radiano Grau um arco de 1 (l-se um grau) da diviso de uma circunferncia em 360 partes iguais, e o radiano o arco cujo comprimento igual medida do raio da circunferncia que o contm. Indicamos, abreviadamente, por rad. Os submltiplos do grau ( ) so o minuto ( ) e o segundo ( ). A circunferncia possui 360 que em radiano 2 e o comprimento do arco (volta completa) 2r. 20 O grado foi criado durante a Revoluo Francesa, na reforma de pesos e medidas onde se dividia a circunferncia em 400 partes iguais e a cada arco unitrio da circunferncia, chamamos de grado.

65. Quadro comparativo das medidas em graus e em radianos. Unidade Amplitudes Fundamental Grau 0 Radianos 90 0 180 2 360 270 3 2 2 5. 21. 2 Conve rso de arcos Para se determinar a medida de um arco AB em radianos () basta dividir o comprimento do arco (l) pela medida do raio da circunferncia que o contm (r). Por exemplo, a medida de um arco AB de comprimento 10 cm, contido numa circunferncia de raio igual a 5 cm, 2 rad, pois: med(AB) = l 10cm = = 2rad r 5cm Como o comprimento da circunferncia C = 2r, a medida, em radianos, da circunferncia toda : = C 2r = = 2 r r Comparando as medidas em graus e em radianos, obtemos: (0, 1) 90 Eixo dos senos 2 rad 0 (1, 0) Eixo dos cossenos 360 = 2 (-1, 0) 180 = rad 270 (0,-1) 3 rad 2

66. Aplicaes: 01) RAD DEG 90 = 2 GRAD 100g = graus radianos grados Na calculadora: DRG RA D 2ndF 2 = RAD 1.570796327 RAD cos DRG DEG cos -1 2ndF DEG 90 cos DRG GRAD 0 DEG 0 cos -1 2ndF 02) Expresse em graus o arco de GRAD 100 7 rad . 4 Resoluo algbrica: 180 rad x x= 7 rad 4 7 4 = 1260 1 = 1260 x = 315 4 4 180 Resoluo na calculadora: DRG RAD DRG DEG 4 RAD RAD 0.785398163 0.707106781 cos -1 2ndF x = cos 2ndF 7 DEG = DEG 45 315

67. Resp.: Portanto 7 rad = 3150. 4 03) Expresse o arco de 8 radianos em graus e minutos. Resoluo algbrica: Transformar em graus e dividir pelo denominador, o resultado transformar em minutos para em seguida transforma- lo em graus e minutos. 1350 = 180 120 180 = 22,5 22,5 60 = 1350 8 60 22 0150 120 30 Resoluo na calculadora: RAD 2ndF DRG DEG 8 8 RAD RAD 0.392699081 0.923879532 cos -1 DEG DMSD 2ndF 2ndF Resp.: Logo = cos DRG DEG 22.5 22.300000 rad igual a 22 30. 04) Calcule o valor de sen 1830. Resoluo algbrica: Calcular a 1