uso da calculadora gráfica no 12º ano de escolaridade

8/18/2019 Uso da calculadora gráfica no 12º ano de escolaridade

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A utilização da calculadora gráca no 12o

ano de escolaridade

Bruno Manuel Ascenso da Silva Simões

Submetido de acordo com os requisitos para o grau de mestre em Ensino

da Matemática no 3o Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário

Universidade Lusófona de Humanidades e Tecnologia

Departamento de Matemática

Setembro de 2013


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It is not knowledge, but the act of learning,not possession but the act of getting there,

which grants the greatest enjoyment.

Gauss (1808)


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Agradecimentos

À orientadora de estágio Professora Teresa Almada pela exibilidade que me permitiu na

entrega desta tese, após alguns imprevistos no mês de Junho.

Aos professores do grupo de Matemática da escola secundária de Fonseca Benevides

pela disponibilidade que demonstraram para participarem neste trabalho, bem como pelo

encorajamento para levar a bom porto este trabalho desde o primeiro dia. Pela sua

compreensão das diculdade que senti ao adaptar o meu normal ambiente de aula a esta

envolvente com alunos bastante mais imaturos. Aos restantes professores da escola onde

o estágio teve lugar, em particular à sua directora, por me permitir assistir a diversasreuniões, com as quais pude formar uma melhor ideia sobre o funcionamento do ensino

secundário em Portugal.

Não poderia deixar de agradecer ao professor Artur Silva pela observação pertinente que

fez a respeito da secção VII.1. A Nota VII.1.2 tornou mais rico este trabalho.

Um particular agradecimento aos dois alunos que partilharam a sua hora de almoço de

quartas-feiras comigo a resolver problemas de matemática.

Um agradecimento às minha colegas de mestrado, pela sua ajuda no debate de ideias

relativamente a dúvidas que foram surgindo quer neste quer em outros trabalhos ao longo

destes dois anos.

Um agradecimento especial à minha família e amigos, pelo encorajamento que me deram

ao longo deste tempo.


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Resumo

O uso da calculadora gráca é obrigatório no 12o ano de escolaridade desde o ano lectivo

de 1997/1998, sendo inclusivamente permitida e estimulada a sua utilização aquando a

realização do Exame Nacional de Matemática.

O objectivo deste estudo é responder às seguintes questões, que dividiremos em dois

grandes grupos:

Primeiro grupo de questões: análise da situação nacional em termos de exames nacionais.

O objectivo, nesta primeira parte, é obter dados que permitam responder às seguintes

questões:

1a. será que os resultados nos exames nacionais de matemática melhoraram ao longo do

tempo? Nesse caso, porquê?

1b. quais as vantagens para a nossa sociedade do uso desta tecnologia?

Segundo grupo de questões: a utilização da calculadora gráca como ferramenta no

ensino e aprendizagem da matemática. Para este segundo grupo de questões, o objectivo

do trabalho é, através do estudo de casos particulares nos alunos da turma 12o B da escola

secundária de Fonseca Benevides, bem como dos professores de matemática da mesma

escola perceber

2a. qual o desempenho dos alunos em tarefas que envolvam a utilização da calculadora

gráca;

2b. quais as principais diculdades que o aluno sente quando recorre à sua calculadora

gráca;


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2c. a capacidade que o aluno tem de avaliar a necessidade ou não necessidade de utilizar

a calculadora gráca para responder a determinado problema;

2d. como o professor de matemática encara a utilização da calculadora gráca nos

contextos de sala de aula e de exame;

2e. qual a relação do professor com a informática e com as tecnologias disponíveis como

alternativas à calculadora gráca.

Para responder ao primeiro grupo de questões, tentaremos, através da análise dos dados

disponíveis no Gabinete de Avaliação Educacional (GAVE), obter dados respeitantes àsclassicações nos exames nacionais nos últimos anos. Esta será, desta forma, uma análise

quantitativa.

Por oposição, para o segundo conjunto de questões, procederemos a inquéritos a alunos

e professores, bem como a algumas actividades realizadas com os alunos que permitam

perceber a sua relação com a calculadora gráca. Desta forma, este será um processo de

análise maioritariamente qualitativo.


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Conteúdo 1

Conteúdo

I Introdução 5

II Revisão da literatura e justicação dos métodos 9

II.1 A aprendizagem da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II.2 Justicação dos métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

III Os resultados em exames nacionais 15III.1 Evolução dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

III.2 Análise especíca dos resultados nos últimos dois anos . . . . . . . . . . 17

III.3 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

IV Entrevista com os professores 21

IV.1 O professor Fernandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

IV.2 A professora Vanessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

IV.3 A professora Rita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

IV.4 Guião da entrevista aos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

V Entrevista com os alunos 29

V.1 O António . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


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2 Conteúdo

V.2 O Carlos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

V.3 Guião da entrevista aos alunos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

VI Actividades desenvolvidas com os alunos 37

VI.1 Actividade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

VI.2 Actividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

VI.3 Actividade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

VI.4 Guião de actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

VI.4.1 Actividade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

VI.4.2 Actividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

VI.4.3 Actividade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

VIIConclusões 53

VII.1A utilização da calculadora gráca e o programa de matemática do 12o ano 53

VII.2Uma questão de composição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

VII.3Uma questão social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

VII.4A transparência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

VII.5Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62VII.6Estudos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

VII.7Considerações nais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

B Exames nacionais anteriores 67

B.1 Exame nacional de 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

B.2 Exame nacional de 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75


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Conteúdo 3

Bibliograa e fontes 83


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4 Conteúdo


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Capítulo I

Introdução

Com a generalização do uso do computador nos últimos anos, tornaram-se evidentes

profundas alterações na nossa sociedade. Como não poderia deixar de ser, o ensino

e em particular o ensino da matemática foi profundamente alterado por esta revolução

tecnológica. Enquanto até há relativamente pouco tempo atrás o único método de

cálculo era o algoritmo escrito (ou o cálculo mental), hoje temos ao nosso dispor com

extrema facilidade calculadoras capazes de efectuar em fracções de segundo cálculos que

demorariam há poucas décadas vários minutos senão horas de trabalho.

Estas alterações nas ferramentas de cálculo disponíveis motivam a introdução de

calculadoras a partir do quinto ano de escolaridade, sendo obrigatória a sua utilização

nas provas nacionais de matemática do 6o ano e do 9o ano (ver [20], [26]).

Por outro lado, somos hoje em dia submetidos diariamente a uma vasta quantidade de

dados numéricos, sob as mais diversas formas, desde diagramas a tabelas numéricas

e grácos. Por exemplo, a qualquer cidadão comum são hoje em dia apresentados

grácos sobre a evolução temporal de determinados fenómenos como sejam, por

exemplo, indicadores económicos. A capacidade de análise destas representações é, desta

forma, essencial ao cidadão empenhado em compreender o mundo que o rodeia e uma

ferramenta indispensável para tomar decisões acertadas e fundamentadas. Na realidade,

se entendermos numeracia como a capacidade de lidar com as exigências matemáticas


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6 Introdução

na comunidade em que estamos integrados como Crowther [4] (ver [1]) vericamos que

as necessidades actuais são bastante maiores que aquelas há poucas décadas atrás.Esta crescente necessidade na interpretação de grácos conduziu naturalmente à

intensicação do estudo de funções (reais de variável real) e dos seus grácos, que tem

início actualmente no terceiro ciclo do ensino básico ([20]) e um particular enfoque no

decorrer do ensino secundário, em particular no 12o ano ([30]). A partir do ano lectivo de

1997/1998 foi permitida a utilização de calculadoras grácas no 12o ano e na realização

do exame nacional de nal de secundário. A principal intenção de introduzir calculadoras

grácas no ensino secundário foi a de conseguir estimular para as novas tecnologias

os alunos de secundário mas de forma a não impor a obrigatoriedade de existência de

recursos informáticos, que eram na altura bastante mais escassos que hoje em dia nas

nossas escolas.

Com o decorrer dos anos, as calculadoras grácas tornaram-seum instrumento de trabalho

da maioria os estudantes do ensino secundário português. Como veremos no decorrer

deste trabalho, o propósito de incentivar a utilização de tecnologias informáticas naresolução de problemas matemáticos dicilmente pode ser considerado como atingido:

nos alunos entrevistados, a diculdade em relacionar conceitos é notória. Por exemplo,

quando lhes é dada uma equação do tipo f (x) = g(x), com f e g duas funções reais de

variável real, e se pede que investiguem se tem soluções, não são capazes de relacionar

com a intersecção dos dois grácos y = f (x) e y = g(x) ou com a existência de zeros da

função (f −g)(x). Como tal, a utilização da calculadora gráca é reduzida aos problemasem que o enunciado pede explicitamente a utilização da dita ferramenta ou ao cálculo deoperações algébricas.

Este trabalho está dividido em, essencialmente, duas partes. Numa primeira parte,

correspondente ao Capítulo III faremos uma análise dos dados disponíveis em [6] e [7],

não apenas dos resultados relativos à utilização de uma calculadora gráca, mas também

dosresultados obtidos pelos alunos portugueses na última década nos exames nacionais de

matemática do 12o ano. Tentaremos ver a evolução destes exames ao longo dos anos e em

que medida a utilização da calculadora gráca tem sido motivada nos exames nacionais.


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Numa segunda parte, correspondente aos capítulos IV a VI, tentaremos analisar as

interacções que se estabelecem entre os vários intervenientes do processo educativo ea calculadora gráca. Neste sentido, procuraremos perceber a visão que professores

e alunos têm sobre esta ferramenta e quais as principais diculdades sentidas pelos

segundos.

Numa altura em que está em cima da mesa o debate sobre a utilização ou não de

calculadoras no ensino da matemática em Portugal, o perceber a verdadeira utilidade

ou sucesso na utilização desta ferramenta são, sem dúvida, questões pertinentes. Na

realidade, este debate não recai somente sobre as calculadoras grácas mas também

sobre as calculadoras simples1. Uma pesquisa rápida em alguns dos jornais com maior

tiragem nacional revelará um grande número de artigos sobre este assunto. Recentemente,

assistimos a um reacender da polémica em torno do uso das calculadoras, com o

implementar do novo programa de matemática para o ensino básico. O actual ministro

da educação sempre defendeu que o uso desta tecnologia deve ser restrito (ver [18]) e

o actual presidente da Sociedade Portuguesa de Matemática, considera como positivo a

adopção de propostas que visam o controlo no uso da calculadora, o reforço na prática de

algoritmos e da memorização incluindo, por exemplo, estudo da tabuada [33].

1Por calculadora simples entendemos calculadoras capazes de realizar as quatro operações elementares,

bem como de calcular potências de números reais.


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8 Introdução


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9

Capítulo II

Revisão da literatura e justicação dosmétodos

Como já referimos anteriormente, a calculadora gráca foi introduzida nos planos

curriculares portugueses no nal da década de 90. Com a introdução desta tecnologia,

houve mudanças signicativas a nível do ambiente em sala de aula. Importa conhecer

sobre que vertentes devemos analisar estas alterações. Como veremos, devemos analisar

não apenas a relação dos alunos com a sua calculadora gráca, mas também as novas

interacções suscitadas pela nova tecnologia no contexto da sala de aula.

Vários estudos têm sido feitos neste contexto, quer a nível nacional quer a nível

internacional. Por exemplo, em [1], os autores procuram investigar o tipo de raciocínio

envolvido na utilização da calculadora por alunos do sexto ano de escolaridade. Sendo

que, nesta etapa, a principal função da calculadora será a de substituir a utilização dos

habituais algoritmos para as quatro operações elementares, os autores desenvolvem o

tema do sentido de número, tentando analisar em que medida a calculadora promove

ou condiciona este sentido. Na realidade, vivemos hoje numa sociedade em que números

nos são fornecidos como justicações para as mais diversas facetas da nossa vida. Desde

estatísticas que justicam opções governamentais até às contas de supermercado, somos

constantemente bombardeados com informação numérica e é importante não apenas ser


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10 Revisão da literatura e justicação dos métodos

capaz de realizar cálculos recorrendo aos algoritmos tradicionais, mas também ter a

capacidade de fazer uma estimativa à priori ou de ter a noção de grandeza dos números.No nal da década de cinquenta, Sir Geoffrey Crowther realizou para o ministro da

educação britânico de então um importante relatório [4] sobre a educação inglesa no

início da segunda metade do século XX. Este relatório, pela sua completude, ainda hoje

é uma citação muito frequente em estudos sobre educação matemática. Neste relatório,

Crowther aborda diversos aspectos da educação, não apenas a educação ao nível do ensino

secundário, mas também a sua ligação com os níveis de ensino adjacentes e o papel da

educação na sociedade. Crowther coloca um especial enfoque nas necessidades práticasda matemática: o ensino deveria, segundo este autor, ter como principal objectivo permitir

ao cidadão lidar com os desaos da sociedade que o rodeia. Mais tarde, McIntosh et al.

[17] redenem este conceito de numeracia como a compreensão geral dos números e das

operações, em paralelo com a capacidade e inclinação para utilizar este conhecimento

de forma exível de forma a fazer julgamentos matemáticos e a desenvolver estratégias

ecazes para lidar com os números e as operações ([1]). Na realidade, em [17] McIntosh

e restantes autores defendem que a necessidade computacional dos adultos raramenterecorre a algoritmos escritos: as calculadoras estão universalmente disponíveis, são

baratas e uma ferramenta de cálculo muito ável. Neste sentido, defendem estes autores,

que a escolha de uma estratégia de computação e de reexão sobre os métodos e resultados

utilizados e obtidos deverá estar no centro da discussão sobre a educação matemática nos

dias de hoje.

Em [25], é feito um estudo sobre a utilização da calculadora gráca ao nível do 10o

ano de escolaridade. A autora deste estudo refere que a utilização desta tecnologia em

sala de aula propicia uma série de tarefas que deveriam ser incluídas na preparação

do currículo anual pelo professor [24]. De entre elas, a modelação matemática ou a

investigação matemática, conceitos denidos em [24] de acordo, em larga medida, com

a sua complexidade. Por outro lado, em [31] (ver [25]), são identicadas as seguintes

utilizações distintas da calculadora gráca:

• para conrmar resultados (grácos ou cálculos),


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II.1 A aprendizagem da Matemática 11

• para traçar grácos de funções,

• para encontrar soluções grácas para problemas de maximização,

• para compreender problemas de palavras,

• para explorar para além do conceito em estudo,

• para mostrar.

Outros autores preferem catalogar as diferentes representações de uma função. Em[11], os autores referem que uma função tem essencialmente três representações: uma

representação algébrica, uma representação numérica e uma representação gráca. Neste

sentido, a calculadora gráca possibilita um estudo das duas últimas representações

enquanto a primeira não é abrangida com o recurso a esta ferramenta.

II.1 A aprendizagem da Matemática

O estudo cientíco da aprendizagem matemática tem conhecido nas últimas décadas um

desenvolvimento acelerado, em particular em Portugal, onde surgiram algumas linhas

de investigação neste domínio [21]. O interesse na matemática e, em particular, no

processo de ensino/aprendizagem da mesma é, sem dúvida, motivado pela explosão

tecnológica que ocorreu nos países ocidentais nas últimas décadas e ocorre actualmente

noutros pontos do planeta. Encara-se hoje em dia a matemática como um pilar do saber,indispensável à sobrevivência do cidadão moderno inserido em sociedades repletas de

tecnologia. Como tal, é compreensível o esforço feito a nível educativo no ensino da

matemática pelos governos de todo o mundo. Importa, como tal, rentabilizar esse esforço

e compreender em que medida podemos melhorar o desempenho das novas gerações nas

suas capacidades matemáticas.

Alguns autores defendem que a utilização de calculadoras grácas permite poupar tempo

em cálculos repetitivos e chegar mais rapidamente aos resultados interessantes, que os


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alunos têm de compreender ([15], ver [12]). Ponte [23] defende que a introdução

de novas tecnologias em sala de aula permite uma relativização da importância dascompetências de cálculo e de simples manipulação simbólica, que podem ser realizadas

agora muito mais rápida e ecientemente, bem como o envolver os alunos em projectos

e actividades de modelação, investigação e exploração. Todavia, aquilo que podemos

observar nos alunos após mais de uma década de utilização intensiva de calculadoras no

ensino português não parece reectir estas ideias. Os resultados obtidos pelos alunos

em exames nacionais não melhoraram ao longo do tempo e as questões onde os alunos

continuam a obter piores resultados são precisamente as questões que envolvem ummaior raciocínio abstracto ou, se preferirmos, as capacidades intelectuais de ordem mais

elevada, que se situam para além do cálculo e da simples compreensão de conceitos e

relações matemáticas [23].

Todavia, a corrente de pensamento não é unânime em relação ao uso de calculadoras

grácas. Em [12], por exemplo, podemos encontrar uma posição crítica em relação ao uso

desta tecnologia. Após a realização de alguns testes, estes autores concluem que, apesar

de haver ganhos em termos de resultados de exames, principalmente por parte dos alunos

mais fracos, não existem provas de que o conhecimento tenha sido ampliado pelo uso

desta tecnologia. Estes autores são particularmente críticos em relação à utilização desta

ferramenta em exames de entrada para a universidade, apoiando desta forma a posição de

governos de vários países sobre esta matéria.

II.2 Justicação dos métodos

Um dos principais métodos de recolha de informação para a elaboração desta tese pode

ser entendido como um estudo de caso. Tal como Ponte dene em [22],

um estudo de caso pode ser caracterizado como urn estudo de uma entidade bem denida

como um programa, uma instituição, um curso, uma disciplina, um sistema educativo,

uma pessoa, ou uma unidade social. Visa conhecer em profundidade o seu “como” e


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II.2 Justicação dos métodos 13

os seus “porquês”, evidenciando a sua unidade e a sua identidade próprias. É uma

investigação que se assume como particularística, isto e, que se debruça deliberadamentesobre uma situação especíca que se supõe ser única em muitos aspectos, procurando

descobrir o que há nela de mais essencial e característico e, desse modo, contribuir para

a compreensão global do fenómeno de interesse.

Também segundo o mesmo autor, o estudo de caso têm conhecido uma assinalável

popularidade na investigação em Educação Matemática em Portugal. Com um estudo

de caso pretendemos relatar uma situação especíca da relação estabelecida entre um

ou mais alunos (ou uma turma) e uma tecnologia, neste caso a calculadora gráca em

situações diversicadas e certamente comuns a vários outros alunos do 12o ano. Importa

por isso relatar tão elmente quanto possível a situação real sobre análise ([2], ver [22]),

algo que tentámos cumprir ao longo dos capítulos IV a VI.

Notemos, todavia, as limitações deste método: em primeiro lugar, pelo número reduzido

da amostra, é difícil generalizar os resultados obtidos. Em segundo lugar, sendo

um método de recolha de dados em que o investigador é activo na apresentação dosproblemas, torna-se complicado aferir em que medida a intervenção do investigador não

afecta os resultados obtidos. Não obstante, a proliferação de artigos cientícos ou teses

académicas baseadas neste método é imensa. As análises efectuadas são, desta forma,

qualitativas e raramente quantitativas.

Todavia, na direcção oposta, os dados disponibilizados pelo ministério da educação

permitem aferir sobre médias e desvios dos resultados globais dos exames nacionais, masnão sobre as perguntas concretas de cada exame. Os relatórios elaborados pelo GAVE

apresentam também poucos dados sobre os resultados em cada questão. Em alguns anos,

indicam as classicações médias nas questões com melhores ou piores resultados mas em

outros fazem apenas considerações gerais sobre os pontos fortes e fracos dos alunos nas

diferentes disciplinas, sem apresentarem dados que sustentem as conclusões.

Pela diculdade em obter dados dedignos que permitam aferir sobre a evolução

dos resultados obtidos em exames nacionais nas questões que exigem a utilização


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da calculadora gráca e porque queríamos entender, na prática, quais as vantagens e

desvantagens na utilização desta ferramenta do ponto de vista do professor e do aluno,optámos por uma recolha de dados qualitativa e não quantitativa.

Não obstante, no Capítulo III, podemos encontrar uma breve análise dos resultados

obtidos pelos alunos nos exames nacionais dos últimos anos, dados obtidos a partir das

bases de dados em [6], bem como uma reexão sobre o grau de exigência nos mesmos ao

longo do tempo.


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Capítulo III

Os resultados em exames nacionais

III.1 Evolução dos resultados

Em [6], podemos ter acesso aos resultados nos exames nacionais desde 1998.

Após recolhermos estes dados de [6], disponíveis no CD junto a esta tese

(pasta Estatísticas), coleccionámos os resultados respeitantes aos exames apenas de

Matemática num documento separado, também disponível no citado CD (cheiro ResultadosExamesNacionais). Os resultados obtidos podem ser sintetizados no seguinte

gráco1:

1Os exames nacionais são cotados de 0 a 200.


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16 Os resultados em exames nacionais

Figura III.1.1. Resultados em exames nacionais (alunos internos e

externos).Podemos facilmente vericar que, nos últimos nove anos, a média nacional nos exames

de matemática do 12o ano foi consistentemente negativa, excepção feita ao ano de

2008. Desta forma, vemos conrmado o facto de os alunos portugueses demonstrarem

uma muito fraca preparação matemática no nal do ensino secundário. Esta questãoé preocupante e tem suscitado inúmeros debates não apenas ao nível da educação mas

também ao nível da própria sociedade portuguesa: são inúmeros os artigos publicados em

jornais sobre os resultados obtidos em matemática pelos nossos alunos.

Vários ministros da educação se têm preocupado com este assunto e vemos mudanças

frequentes nos programas de matemática do secundário, bem como alterações a nível

da exigência dos exames. Por exemplo, compare-se um exame nacional de matemática

de 1997 com um de 2012 (ver pasta ExamesAnosAnteriores). Não tendo em conta as

alterações de programa (em que, essencialmente, o tema de geometria foi substituído

com o de números complexos) ou as questões que apelam ao uso de calculadora gráca,

podemos facilmente constatar duas diferenças fundamentais a nível da exigência dos

exames: enquanto no primeiro não existe um formulário, sendo por isso exigido aos

alunos um maior conhecimento de, por exemplo, regras de derivação oulimites notáveis, o

segundo tem um reportório bastante vasto de fórmulas, algumas delasde matérias relativas

ao ensino básico (por exemplo, o cálculo de áreas de sectores circulares). Uma outra


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III.2 Análise especíca dos resultados nos últimos dois anos 17

diferença fundamental pode ser encontrada na cotação das perguntas de escolha múltipla.

Enquanto no primeiro, uma resposta correcta valoriza nove pontos e uma resposta erradadesvaloriza três pontos, na versão relativa ao ano passado (e também aos últimos anos),

as respostas erradas não trazem qualquer penalização. Desta forma, um aluno procurará

sempre responder a estas questões, ainda que não saiba qual a resposta correcta. Note-se

que, em média, pelo menosvinte e cinco porcento dos alunos acertará então numa questão

que possa ser considerada de diculdade elevada, desvirtuando os resultados obtidos e

dicultando a análise dos dados.

III.2 Análise especíca dos resultados nos últimos dois

anos

No exame nacional de matemática de 2010 (Secção B.1), apesar de em apenas uma

questão ser explicitamente pedido o uso da calculadora gráca (a questão 5 do grupoII), nas questões 6, 7 do grupo I (escolha múltipla) poder-se-ia utilizar a mesma de forma

a facilitar (muito) a escolha da resposta certa. Na realidade, a questão 7 poderia ser

resolvida apenas por experimentar os diferentes ângulos na expressão 3cis π8 −θ .

As questões 4.2, 6.2 e 7.2, apesar de o enunciado pedir explicitamente para serem

resolvidas por métodos analíticos, poderiam ser facilmente resolvidas com o auxílio de

uma calculadora cientíca.

Nesteexame nacional, segundo o relatório do GAVE,os items em que os alunosobtiveram

melhores resultados foram os items

• 1 e 2, do Grupo I (sobre probabilidade e combinatória).

• 4.1, do Grupo II (sobre simplicação de expressões envolvendo logaritmos).

Em relação à observação feita no relatório do GAVE, abaixo transcrita,


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os itens 1 e 2, do Grupo I, envolviam apenas cálculos elementares, mobilizando

conhecimentos utilizados frequentemente e com texto de fácil interpretação, o que nãoaconteceu com o item 4.1, do Grupo II, que envolveu a resolução de um problema a

partir de um contexto real.

parece-nos errada a interpretação da questão 4.1 do grupo II como uma que envolve a

resolução de um problema.

Os items com pior desempenho foram os items do segundo grupo 1.2 (números

complexos), 2.1 (probabilidade e combinatória) e 7.2 (trigonometria e estudo de funções).No que diz respeito às recomendações do GAVE [8], destacamos que a importância que o

relatório dá à resolução de problemas da vida real, efectuar problemas que envolvam

cálculos mais elaborados no conjunto dos números reais e no conjunto dos números

complexos, apresentar exercícios que pressuponham raciocínios demonstrativos e utilizar

a calculadora gráca para resolver problemas, o que nos parece inteiramente adequado.

Os resultados respeitantes à questão 5, única na qual era expressamente pedida a utilização

da calculadora gráca não estão disponíveis no GAVE, apesar de podermos inferir que foi

superior a 48% (uma vez que esta é a média da questão 7.2, [8])

No exame nacional de 2011 (Secção B.2), apenas a questão 5.2 exige explicitamente a

utilização da calculadora gráca. Todavia, as questões 4 e 5 do grupo I, bem como a

questão 4 do grupo II podem ser facilmente resolvidas com recurso a esta ferramenta.

Os items com melhor desempenho foram as questões

• 4 e 7 do grupo I (sobre teorema de Bolzano e números complexos, respectivamente)e

• 6.2 do grupo II (sobre derivação).

Os items com pior desempenho foram as questões

• 8 do grupo I (sobre números complexos) e


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III.3 Conclusões 19

• 2.1 e 3 do grupo II (ambos sobre probabilidades e combinatória).

Mais uma vez, os resultados obtidos na questão que obriga à utilização de calculadora

gráca não cam nem entre os melhores nem entre os piores. Segundo o mesmo

relatório do GAVE, os resultados obtidos no item de construção com o uso obrigatório

de calculadora gráca caram aquém dos obtidos em 2010, eventualmente por este

item envolver mais que uma etapa na sua resolução. Como pontos a reforçar em sala

de aula, o mesmo relatório refere o cálculo algébrico, o cálculo de probabilidades, o

desenvolvimento de raciocínios demonstrativos e a utilização da calculadora gráca.

III.3 Conclusões

Os resultados obtidos nos exames nacionais ao longo dos últimos anos não têm sofrido

uma evolução no sentido positivo. As médias obtidas pelos alunos portugueses são

sistematicamente negativas, apesar do recurso a novas tecnologias (e formulários). A

análise dos resultados dos últimos dois anos revela que as questões que envolvem a

interpretação de grácos obtidos com recurso a uma calculadora gráca não são questões

que os alunos dominem particularmente.


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Capítulo IV

Entrevista com os professores

Neste capítulo, tentaremos perceber a relação dos professores não apenas com a

calculadora cientíca mas também com as restantes tecnologias que podem contribuir

de forma positiva para o desenvolvimento das capacidades matemáticas dos alunos. O

guião destas entrevistas encontra-se disponível no nal deste capítulo IV.4.

IV.1 O professor Fernandes

O professor Fernandes é professor há 20 anos e esta é a segunda escola onde trabalhou.

Tem um curso de Ensino de Matemática, da Faculdade de Ciências da Universidade de

Lisboa, que concluiu em 1994. À questão sobre qual a sua relação com a informática,respondeu que é auto–suciente: não costuma pedir ajuda de terceiros para resolver

problemas com o seu computador, pelo que a sua relação com computadores pode ser

caracterizada como a de um utilizador com conhecimentos para além dos absolutamente

elementares.

Enquanto estudante, não dispôs nunca de uma calculadora gráca. Na universidade, o

único contacto que teve com computadores foi numa disciplina em que aprendeu um

pouco sobre a linguagem de programação Pascal. Enquanto professor, sabe utilizar


30/95

22 Entrevista com os professores

algum software vocacionado para a matemática, como, por exemplo, o Geogebra, ou

os programas peanuts, disponibilizados gratuitamente em http://math.exeter.edu/rparris/ .

A primeira calculadora gráca que teve foi no seu ano de estágio enquanto professor

de matemática, em 1993. Desde então, frequentou aproximadamente quatro acções de

formação sobre calculadores grácas.

O professor Fernandes defende que, desde que supervisionada, a utilização de

calculadoras grácas é tolerável. Quando confrontado com a questão da utilização de

calculadoras em exames, este professor entende que, se ao longo do ano é incentivadoo uso das mesmas, então a sua utilização nos exames deve ser permitida. Além disso,

se o aluno deve saber fazer uso das plenas potencialidades da calculadora, então o uso

generalizado de Formulários de Responsabilidade do Aluno (FRA) é um mal necessário.

Este docente considera que, nos cursos prossionais, em particular em turmas onde

pelo menos metade e em alguns casos noventa por cento dos alunos não possuem de

calculadoras grácas, não promove a utilização das ditas calculadoras, uma vez que

se torna inviável um uso sistemático das mesmas. Todavia, se os alunos dispôem das

mesmas, ajuda-os na sua utilização. Na realidade. o professor entende que os alunos

que as têm querem utilizá-las. Como vantagens na utilização destas calculadoras, o

professor Fernandes apontou o facto de permitirem estudar famílias de funções com

alguma facilidade; todavia, como ponto negativo, apontou o facto de contribuir para a

diminuição da capacidade de cálculo dos alunos.

Relativamente à questão sobre a discriminação social que poderá estar a ser introduzidano sistema de ensino graças à utilização de calculadoras grácas, o professor Fernandes

aponta que tal fenómeno é um facto: existem turmas em que metade dos alunos não têm

as calculadoras. Considera ainda que, se as calculadoras fossem retiradas do ensino, os

resultados em exames nacionais talvez piorassem.

Finalmente, como alternativa à utilização de calculadoras grácas, o professor Fernandes

entende que seria mais interessante que os alunos aprendessem a programar pequenos

algoritmos em linguagens simples, como por exemplo em Delphi, apesar de tal poder ou

http://math.exeter.edu/rparris/http://math.exeter.edu/rparris/http://math.exeter.edu/rparris/


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IV.2 A professora Vanessa 23

não ser feito na disciplina de matemática: poderia ser feito, por exemplo, numa outra

disciplina mais vocacionada para a utilização de computadores.

IV.2 A professora Vanessa

A professora Vanessa exerce a sua prossão há quinze anos e já trabalhou em cinco

escolas. Tal como o professor Fernandes, tem um curso em Ensino de Matemática, desta

vez pela Universidade Nova de Lisboa, completado em 1998.

Em geral, não pede ajuda para resolver problemas informáticos, sendo a sua relação

com os computadores classicada como auto–suciente. Contrariamente ao professor

Fernandes, tomou conhecimento com uma calculadora gráca ainda nos tempos de

estudante, na faculdade, aos dezanove anos. Também nunca utilizou ferramentas

informáticas na resolução de problemas matemáticos (claro está, utiliza frequentemente a

calculadora gráca em ambiente de sala de aula), embora domine quer o geogebra quer osketchpad como ferramentas na preparação de aulas.

Contrariamente ao professor Fernandes, nunca frequentou acções de formação sobre

calculadoras grácas. Tal facto será certamente compensado pelo ter utilizado esta

ferramenta enquanto estudante na faculdade.

Concorda a cem por cento com a utilização de calculadoras grácas, mesmo em exames.

Relativamente à generalização de FRA motivada pelas capacidades de memória destascalculadoras, diz que não se importa com a existência das ditas FRA. Na realidade, a

professora Vanessa considera que não faz mal utilizar a calculadora porque, em primeiro

lugar, precisam de saber interpretar o problema. Se não sabem a matéria, nem com a

calculadora mais sosticada...

A professora Vanessa considera que promove a utilização destas calculadoras e que

vai resolvendo os problemas quer analiticamente quer gracamente com o auxílio das

mesmas, em particular nos cursos prossionais.


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Como ponto positivo, a professora Vanessa salienta que as calculadoras grácas permitem

visualizar os problemas; como principal ponto negativo, que as mesmas motivam muitasvezes o desprezo pela resolução analítica de determinado problema em benefício de uma

resolução puramente gráca. A professora Vanessa salienta que o partido que o aluno

consegue tirar das potencialidades da calculadora gráca depende de vários factores,

dos quais destaca

• nível sócio–cultural–económico dos alunos;

• se frequenta o ensino regular ou prossional;

• nível de conhecimento do aluno;

• número de calculadoras existentes na turma.

Não considera que esta tecnologia seja socialmente discriminatória, até porque a escola

disponibiliza calculadoras grácas. Ao invés, a professora Vanessa pensa que são opções

que se fazem, aludindo aos responsáveis de educação.

É opinião desta professora que os alunos apreciam a utilização da calculadora gráca

e que os resultados em exame não seriam muito diferentes dos actuais, partindo do

pressuposto que os alunos a tinham utilizado antes.

Finalmente, a professora Vanessa não propõe quaisquer tecnologias que a substistuam.

IV.3 A professora Rita

A professora Rita é a responsável pelo 12a B. É professora desde 1991 e já trabalhou

em aproximadamente 20 escolas. Na realidade, durante vários anos não pertenceu aos

quadros de nenhuma escola, pelo que passou vários anos da sua carreira a trocar de escola.

Gosta de porquês e detesta fórmulas. Na realidade, nos seus tempos de estudante, o que

mais gostava eram as demonstrações! Em relação às suas aulas, arma que estas serão as


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IV.3 A professora Rita 25

suas principais características: interrogar os alunos sobre o porquê das coisas e evitar que

se limitem a decorar fórmulas.

Quanto à sua formação académica, a professora Rita concluiu em 1992 o curso de

Engenharia Florestal no Instituto Superior de Agronomia de Lisboa. Em 1998 concluiu a

prossionalização na Universidade Aberta e, em 2004, concluiu o mestrado em didáctica

da matemática na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.

Relativamente aos seus conhecimentos informáticos, a professora Rita considera que

são razoáveis, raramente pedindo ajuda para resolver problemas relacionados com o seucomputador.

Enquanto estudante, não dispôs de uma calculadora gráca. Já utilizou outras ferramentas

informáticas na aplicação da matemática, como software de geometria dinâmica (de onde

destaca o GSP [32] e o Geogebra [10], com preferência para o primeiro) e o excel. A

primeira calculadora gráca que teve foi já enquanto professora, na década de 90. Cursos

sobre calculadoras grácas frequentou apenas este ano o curso dado pela Universidade

Lusófona. Todavia, considera que tem conhecimentos razoáveis sobre esta ferramenta,

apesar de reconhecer que provavelmente, não é capaz de explorar todo o seu potencial.

Concorda com a utilização de calculadoras grácas ao longo das aulas e em ambiente

de exame: anal de contas, se a calculadora é usada ao longo do ano deverá ser

também utilizada nos exames nacionais. Quanto à existência de FRA na generalidade

das calculadoras dos seus alunos, a professora Rita encara o facto com naturalidade: FRA

sempre existiram e sempre vão existir, não é por isso que a matemática é afectada. Aprofessora Rita reconhece que não promove particularmente a utilização da calculadora

gráca nas suas aulas e prefere que os alunos resolvam analiticamente os problemas, com

um recurso mínimo à calculadora.

Como pontos positivos associados à utilização de calculadoras grácas, a professora Rita

entende que estas permitem explorar problemas mais ricos, relacionados com situações

reais. Como factor negativo, destaca o tornar os alunos mais preguiçosos a visualizar

problemas, principalmente a determinar grácos de funções.


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A questão social é uma questão que de há muito a preocupa, em particular porque trabalha

numa escola onde existem vários alunos carenciados. Considera que, efectivamente,os alunos que não dispôem da sua própria calculadora gráca estão em desvantagem

relativamente aos outros, principalmente porque, ao não terem uma calculadora sua em

casa, necessariamente terão menos treino que os demais.

Em relação aos alunos sob observação, são alunos repetentes do 12o ano e estão

habituados a trabalhar juntos, interagindo pouco com os restantes elementos da turma.


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IV.4 Guião da entrevista aos professores 27

IV.4 Guião da entrevista aos professores

Inquérito ao professor

1. Enquadramento.

1a. Há quanto tempo é professor?

1b. Em quantas escolas já trabalhou?

1c. Como se descreve enquanto professor? Quais as características que marcam as suas

aulas?

2. Habilitações prossionais.

Qual a sua formação em matemática? Em que instituição/ano completou a sua formação?

3. Relação com tecnologia informática.

3a. Como descreveria a sua relação com a informática? Frequentemente pede ajuda parasolucionar problemas com um computador?

3b. Que ferramentas informáticas já utilizou na resolução de problemas matemáticos (não

necessariamente no planeamento de aulas)? E enquanto estudante?

4. Relação com a calculadora gráca.

4a. Enquanto estudante, alguma vez utilizou uma calculadora gráca? Que calculadoras

utilizava enquanto estudante?

4b. Quando teve a sua primeira calculadora gráca?

4c. Já frequentou alguma acção de formação sobre calculadoras grácas? Em caso

armativo, quantos e quando? Considera que tem bons conhecimentos desta tecnologia?

5. Relação com a calculadora gráca enquanto professor.

5a. Enquanto professor, concorda com a utilização de calculadoras grácas?


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5b. Como encara a utilização da calculadora gráca em testes e avaliação e no Exame

Nacional? Como encara o facto de a maioria dos alunos terem disponíveis na suacalculadora Formulários da Responsabilidade do Aluno?

5c. Considera que promove a utilização desta ferramenta nas suas aulas? De que forma?

5d. Indique dois factores que considera positivos na utilização de calculadoras grácas e

dois que considere negativos e porquê.

5e. Considera que esta é uma tecnologia socialmente discriminatória?

6. Percepção sobre a utilização desta tecnologia por parte dos alunos.

6a. Considera que os alunos apreciam a utilização da calculadora gráca? Quais os

principais usos que fazem desta calculadora?

6b. Considera que os resultados obtidos em prova seriam signicativamente diferentes

caso a calculadora gráca fosse interdita?

6c. Que alternativas propõe à utilização de uma calculadora gráca?7. Os alunos em causa.

7a. Como caracteriza socialmente os alunos em causa?

7b. Como caracteriza enquanto estudantes de matemática os alunos em causa?

7c. Considera que, nestes casos particulares, a utilização de calculadoras grácas é

vantajosa ou desvantajosa? Porquê?


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29

Capítulo V

Entrevista com os alunos

V.1 O António

1O António tem 18 anos e encontra-se a repetir o 12o ano. Tem o 11o ano concluído

e nunca havia reprovado um ano, a não ser este que repete agora. Em relação às suasambições enquanto estudante, o António sabe que quer ingressar num curso superior,

apesar de ainda não ter claro qual, uma engenharia, mas ainda não sei bem qual, depende

também da média.... Precisará certamente do resultado obtido no exame nacional para

aceder a um curso de engenharia.

Em relação ao meio escolar em que se encontra inserido, o António considera que é

normal, que não tem queixa da turma e que se relaciona bem com a professora de

matemática, a professora Rita.

No nal do ano lectivo passado, o António obteve quatro valores no exame nacional de

matemática do 12o ano. Este ano, no nal do 1o período, o António obteve treze valores

como classicação a matemática. A disciplina em que se sente mais à vontade, admite,

é precisamente a matemática enquanto aquela em que se sente menos confortável é o

português, disciplina na qual obteve apenas um dez como classicação no nal do 1o

1O guião da entrevista está disponível na Secção V.3, no nal deste capítulo. .


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30 Entrevista com os alunos

período deste ano lectivo. Estas duas disciplinas são precisamente aquelas em que obteve

as suas melhores e piores classicações.

Quanto à utilidade da matemática, o António vê que lhe é útil no dia-a-dia e que um dia

lhe poderá vir a ser de grande uso na sua prossão. As maiores diculdades sentidas na

matemática são no domínio da trigonometria.

O António considera que os professores nada podem fazer para melhorar os seus

resultados, à possível excepção de uma maior carga horária de matemática. Que, enquanto

estudante, poderia melhorar os seus resultados estudando mais.

Este aluno utiliza uma calculadora desde o 7o ano de escolaridade, mas considera que

só deveria ter tido uma calculadora a partir do 10o ano porque antes não vale a pena,

podemos fazer tudo à mão!. Na sua opinião, utiliza a calculadora gráca em mais de

metade das aulas de matemática.

Em relação à conança no resultado transmitido por uma calculadora, o António admite

que cona sempre mais no professor. Quando um resultado seu não confere com odebitado por uma calculadora, começa sempre por refazer sempre os seus próprios

cálculos: como tal, o António acredita ser mais falível o seu resultado de cálculo que

um erro, por exemplo, na introdução de uma expressão na calculadora.

O António possui a sua própria calculadora. Utiliza-a não só nas aulas mas também em

casa. Admite que a sua calculadora tem FRA e julga que tal é normal.

Quanto a uma futura utilização da sua calculadora gráca, o António apenas a encara anível académico, no sentido em que lhe poderá vir a ser útil em disciplinas relacionadas

com matemática que venha a ter num possível curso superior. Da mesma forma encara a

matemática que aprende actualmente: o António entende que a matemática que aprende

hoje em dia não lhe servirá para nada no futuro quotidiano, apenas lhe poderá vir a ser

útil num curso superior. E, mesmo em relação a esta vertente, tem uma visão crítica: se

for economia, só preciso de contas até ao quarto ano...

Em relação ao tema dos logaritmos e exponenciais, o António pensa que a sua utilidade


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V.2 O Carlos 31

moderna é nula. Todavia, pensa que sabe representar os grácos das funções logarítmicas

e exponenciais na sua calculadora. Quando confrontado com a abordagem da matéria,feita mais a nível algébrico, evitando partir do gráco da função logarítmica como

sugerido no manual, o António concorda com a abordagem: se tivéssemos partido do

gráco, era só aquilo, diz.

V.2 O Carlos

O Carlos tem 19 anos. Teve que repetir o 9o ano e repete actualmente o 12o ano, tendo

já concluído o 11o. Tal como o António, o Carlos também pretende ingressar no ensino

superior, apesar de ainda não saber qual. Que se sente aliciado por economia ou por

uma carreira na força aérea. Seja qual desta hipóteses for, a nota no exame nacional de

matemática será muito importante.

Tal como o António, considera que a escola e a turma onde está inserido são normais.

Classica como boa a sua relação com a professora Rita.

Como o seu colega, o Carlos obteve no exame nacional de matemática no ano anterior uma

classicação negativa. A sua melhor disciplina é o inglês, onde obteve dezoito valores.

Em relação às disciplinas de que gosta mais e menos, o Carlos aponta a biologia como

sendo a de que mais gosta e o português como aquela em que se sente mais desconfortável,

por causa das obras... porque sou de ciências!

A matemática que aprende actualmente parece-lhe muito pouco útil no dia-a-dia: limites?,logaritmos? no dia-a-dia?... Quanto às principais diculdades que sente com a

matemática, o Carlos concorda com o António em que o capítulo referente a trigonometria

é complicado. Para além disso, o Carlos admite que tem como grande problema o

esquecer-se facilmente de fórmulas.

Para melhorar o seu desempenho a nível da matemática, o Carlos pensa que a grande

responsabilidade está do seu lado e que deveria resolver mais exercícios. Tal como o

António, o Carlos encara a actividade dos professores de matemática como inatacável


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sendo que a única sugestão que deixa é a de que seja reforçada a carga horária atribuída à

disciplina.

O Carlos teve a sua calculadora no 7o ano. Contrariamente ao António, ao Carlos parece-

lhe positiva a introdução da calculadora em anos precoces: é bom, poupamos tempo!.

Considera que, apesar de não utilizar a calculadora em todas as aulas, a usa em mais de

metade das mesmas. Quando confrontado sobre a abilidade dos resultados oferecidos

pela calculadora, o Carlos dá uma excelente resposta, só dá aquilo que a gente lá mete

dentro..... Sobre a conança que deposita nos professores de matemática, o Carlos mostra

também uma excelente atitude crítica: um de nós fez mal... os professores também se

enganam, ou não?

O Carlos não tem uma calculadora gráca sua. É um aluno que provém de meios

modestos e realiza os exames de matemática com uma calculadora emprestada pela

escola. Quando confrontado com a questão de julgar que está em desvantagem face aos

restantes colegas por não dispor de FRA numa calculadora sua, o Carlos responde que até

pode ser uma vantagem, porque eu tenho mesmo que decorar .

Como tenciona ingressar num curso superior, o Carlos espera a vir utilizar a matemática

que aprende hoje em dia. Contudo, não vê a matemática como uma ferramenta de

trabalho, apenas como um utensílio académico.

Relativamente às funções exponenciais e logarítmicas, o Carlos não acredita que tenham

qualquer utilidade nos dias correntes. Julga que sabe representar os grácos destas

funções com o auxílio de uma calculadora gráca mas não tem a certeza. Quanto àforma como lhe foi apresentado o tema, não tem opinião sobre qual o método que lhe

pareceria mais adequado, se o adoptado se o começar com os grácos e desses derivar as

conclusões.


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V.3 Guião da entrevista aos alunos 33

V.3 Guião da entrevista aos alunos

Guião entrevista alunos

1. Enquadramento do aluno.

Nome

Idade

Estudos anteriores

Queres ingressar num curso superior? Qual? Quais as provas especícas?

2. Relação com a escola, turma e professora.

O que pensas desta escola?

O que pensas desta turma?

Como descreverias a tua relação com a professora Rita?

3. Relação com a matemática e com os estudos.

Quais os resultados obtidos nos anos anteriores a matemática? E a português? Qual a tua

nota mais alta e qual a mais baixa?

Em que disciplinas te sentes mais e menos à vontade? Porquê?

Para que serve a matemática?4. Relações de especicidade com a matemática.

Em que sentes mais diculdades relativamente à matemática? Na resolução de

problemas? Na interpretação dos mesmos? No domínio de fórmulas e expressões?

Cálculo e manipulação de expressões?

O que poderia ser feito em sala de aula para melhorar o teu desempenho?

O que poderias tu fazer para melhorar o teu desempenho?


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5. Utilização da calculadora.

Desde que idade utilizas uma calculadora na disciplina de matemática?

Julgas que é benéco o uso de calculadora? Porquê?

Em que tipo de questões utilizas a calculadora?

Dirias que utilizas a calculadora: (a) em todas as aulas, (b) em mais de metade das aulas

(c) em menos de metade das aulas (d) quase nunca.

Conas no resultado de uma calculadora? Mais que no teu próprio ou que no da tuaprofessora?

6. Enquadramento social.

Tens uma calculadora tua?

Quando tens oportunidade de utilizar uma calculadora?

A tua (ou a que usas) calculadora tem Formulários da Responsabilidade do Aluno?

Julgas que estás em desvantagem a outros colegas que possuam a sua própria calculadora?

Porquê?

7. Utilização futura. Julgas que no futuro terás necessidade de matemática?

Pensas que a calculadora será uma ferramenta indispensável nos teus estudos futuros ou

no teu trabalho?

8. A calculadora e as funções exponenciais e logarítmicas.

Para que servem os logaritmos?

Sabes representar na calculadora os grácos das funções exponenciais e logarítmicas? E

sem a calculadora?

Sabes utilizar uma tabela de logaritmos? O que te parece mais útil? Saber utilizar uma

tabela ou a calculadora?


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V.3 Guião da entrevista aos alunos 35

Face à forma como te foi exposto o tema, o que alterarias? Como seria para ti mais fácil

compreender o conceito de logaritmo?


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37

Capítulo VI

Actividades desenvolvidas com osalunos

VI.1 Actividade 1

1Nesta primeira actividade, tentámos resolver com os alunos um problema típico de 12o

ano, que envolve várias noções, entre as quais a noção de limite de uma função num

ponto, continuidade de uma função num ponto e a existência de assímptotas verticais ao

seu gráco. O problema concreto pode ser consultado na Secção VI.4, mas, por facilidade

de consulta, transcrevemos aqui a função:

f (x) =

sin x1−√ 1−x 3

, sex < 0

1 −ek +1

, sex = 0 comk ∈R

1−e 4x

x , sex > 0.O problema foi alterado relativamente à versão original do exame nacional de 2011/2012,

2a fase, versão 1. Acrescentámos que o aluno poderia utilizar a sua calculadora gráca ou

recorrer a métodos analíticos.

Numa primeira fase, queremos que o aluno determine o valor de k de forma a que

limx

→0+

f (x) = f (0).

1O guião das actividades encontra-se no nal deste capítulo, na Secção VI.4.


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38 Actividades desenvolvidas com os alunos

O Carlos começa por dizer que não faz ideia, mas o António diz que sabe como resolver:

fazes o limite e vês quanto é e depois já se vê.... Ambos começam então a tentar calcular olimite. É esta parte que interessa, não é?, pergunta-me o Carlos apontando para o último

ramo da função. Não sei... porquê?, respondo. Eu acho que é, porque é do lado direito....

Ambos começam então a calcular limx →0+

1 −e4x

x , rapidamente chegando à conclusão que

estavam perante uma indeterminação do tipo 00 . Esta parece daquelas do formulário, diz o

António. Concordo. O Carlos ca parado à espera que o António resolva o problema e eu

tento forçá-lo a fazer qualquer coisa, então, desenrasca-te. Não sei fazer isto, responde-

me. Tento motivá-lo, conduzi-lo através da resolução do problema, se já desconas que é

um limite notável, a primeira coisa que tens de fazer é escrever aqui no caderno o limite

notável que está em causa e depois tentar adaptar à tua situação... se cas de braços

cruzados, de certeza que não vais conseguir ...

O António diz que o limite vale 4, porque, de facto, multiplicando e dividindo por 4,

obtém quase o limite notável. Todavia, ignora o sinal trocado. Então mas não vês que

o numerador tem o sinal contrário? E isso importa, pergunta-me. Claro, respondo,ajudando-o então a terminar de calcular o limite.

Ambos começam então a olhar para a alínea b do problema. Então, mas ainda não sabem

o valor de k , digo-lhes. Ah, pois, já nem me lembrava, diz o Carlos. Este é um problema

recorrente nos alunos que observei em sala de aula: demoram tanto tempo com cálculos

que acabam por se esquecer do problema em si...

Então, of (0) énoramodomeio, diz-me o Carlos. Claro, respondo-lhe. Ambos percebemque a ideia é igualar então a expressão 1 −e

k +1 a −4. O António resolve bem a questão,obtendo o valor correcto para k. O Carlos coloca primeiro a equação na forma ek +1 = 5mas não consegue sair dali. Então Carlos, e agora?. Não sei. Que tipo de equação

é?, pergunto. Uma equação com exponenciais. Após mais alguma reexão e consulta

(forçada) do seu caderno, o Carlos consegue resolver correctamente a equação.

Passamos então à alínea b. Mais uma vez, o António domina relativamente bem a teoria.

Quando questionado sobre o que tem de fazer, o António sabe que tem de calcular limites


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VI.1 Actividade 1 39

laterais em algum ponto e que existirá uma assímptota vertical se estes limites derem

innito. Os dois (limites laterais)?, pergunto Não sei... O Carlos está um pouco perdido,mas vai seguindo a conversa. E qual o ponto? Está-se mesmo a ver que é o zero, diz

o António. Porquê no zero e não noutro? pergunto eu porque é onde muda de ramo,

responde-me.

Deixo-os começarem o cálculo dos limites laterais de f no ponto 0. Rapidamente se

apercebem que do lado direito já tinham calculado este limite, pelo que tentam agora

calcular o limite

limx →0

−sin x

1 −√ 1 −x3.

O Carlos sugere multiplicar e dividir pelo conjugado do denominador porque tem raízes.

Parece-me uma boa ideia, digo-lhe. Vou ajudando um e outro na simplicação dos

resultados (nenhum deles utiliza o caso notável da multiplicação (a + b)(a −b) = a2 −b2mas ainda assim conseguem simplicar o denominador). Chegados ao ponto

= limx

→0−

sin xx3

(1 + √ 1 −x3)o Carlos sugere que se deve tratar de mais um limite notável e que, portanto,

limx →0

−

sin xx3

= 1 . Mas, Carlos, não vês que o argumento do seno tem que ser igual

ao denominador para podermos aplicar o limite notável?, pergunto. Então não sei,

responde-me. O António ca também à espera e ajudo-os a perceber que, de alguma

forma, têm que conseguir manipular a expressão. Com mais alguns minutos, conseguem

então concluir o valor deste limite.

Então e a resposta à pergunta, digo-lhes. Já está, dizem-me. Já está? Então qual é aassímptota? Qual a equação? Como sabem que nãohá mais?. O António escrevex = 0 é

assímptota e acrescenta porque um dos limites laterais é innito após insistência da minha

parte. Precisamos mesmo de escrever isso? pergunta-me o Carlos. Claro, respondo-lhe.

Mesmo nos exames?, é a principal preocupação deles.

Estes alunos entendem a matemática apenas como cálculo. Têm diculdade em entender

que uma resposta tem que ser dada em linguagem corrente na maioria dos problemas e

que não é suciente apresentar uma série de cálculos como justicação.


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Não sabem como justicar o porquê da função não ter mais assímptotas verticais.

Explico-lhes que, como nos restantes pontos, a função em causa está denida por funçõescontínuas, não poderia ter mais assímptotas verticais. Mais uma vez, têm diculdade em

relacionar os vários conceitos: para eles, uma questão é a continuidade da função e outro,

completamente distinto, é a existência de assímptotas verticais ao gráco da função.

Na verdade, a questão de identicar rapidamente funções contínuas é uma problemática

para estes alunos. Decoraram cantilenas como o quociente de funções contínuas é uma

função contínua ou como é um polinómio é uma função contínua mas têm uma grande

diculdade em aplicá-las. Esta diculdade deve-se, sobretudo, ao não conseguirem

identicar a ordem das operações ou as composições em causa. Tento-lhes explicar que

todas as funções que conhecem são, na realidade, funções contínuas nos seus domínios,

desde a função seno à função exponencial. Portanto, que o único problema que se lhes

depara, na realidade, são os pontos que não pertencem ao domínio ou onde exista uma

troca de ramos. Ah, diz o António, pouco convencido. Então, posso olhar para a função

de cima e para a de baixo e dizer logo que são contínuas? Nos domínios, repito.

Estas são questões de abordar ao nível do 12o ano. Na realidade, os alunos estão muito

pouco habituados a situações de grande rigor e os próprios professores evitam entrar em

grandes detalhes, principalmente em algumas turmas. Todavia, não resisto a entrar em

alguns pormenores mais. É preciso ter cuidado, António. Por exemplo, se tivesses a

função

g(x) =x2, se x ≥ 0x + 1 , se x < 0

onde poderias concluir que é contínua?. O António dá a resposta correcta, evitando a

minha rasteira: em todos os pontos excepto no 0 , porque aí há uma mudança de ramos.

Verdade, digo-lhe eu, chamando-lhe a atenção para o facto de, apesar de o primeiro ramo

estar denido em [0, + ∞[, não podermos concluir a continuidade da função g no ponto 0.Então e se quisessem ter usado a calculadora gráca para vos ajudar a resolver este

problema?, pergunto. Esta função não dá, diz imediatamente o Carlos porque é por

ramos. Explico-lhes que poderíamos ter colocado cada um dos ramos como uma função


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isolada na calculadora mas tendo em conta que apenas nos interessa parte de cada um

dos grácos. Na realidade, as calculadoras grácas permitiriam inserir uma funçãopor ramos2, mas pareceu-me mais proveitoso que o António e o Carlos percebessem,

informalmente, que o que está em causa são restrições de funções.

Assim, vemos logo que x = 0 é uma assímptota, diz o Carlos. Claro. E se quisessem ver

se acertaram nos valores dos limites?, interrogo. O António coloca o cursor em cima do

gráco e aproxima-se de x = 0 . Pois, assim dava, diz. Aproveito para lhes mostrar

como também poderiam usar uma tabela em que a variável independente é inserida

manualmente e a calculadora automaticamente dá o valor para a função nesse ponto na

segunda coluna, na perspectiva do esquema

x f (x)

0, 1 f (0, 1)

0, 01 f (0, 01)

... ...

Tabela VI.1.1. Estimativas de limites.

Todavia, ambos estão de acordo em que preferem o primeiro método, de variar com o

cursor em cima da linha do gráco da função. Não foi abordado, por agora, o como

procurar soluções de equações recorrendo à calculadora gráca, o que poderíamos ter

feito para resolver a equação 1 −ek +1 = −4.

VI.2 Actividade 2

Nesta segunda actividade (ver VI.4), pretende-se testar a capacidade de manipulação das

calculadoras grácas. É pedido que se determine a intersecção do gráco da função y =

−x com a restrição da função f (x) = ex

− ln(x2) + 3 ao intervalo [−7, 0[.2Na realidade, a calculadora TI84 permite introduzir, por exemplo,f (x ) = g(x )

∗

(x < 0) + h (x )

∗

(x >

0), onde f é uma função dada por a sua restrição aR − ser a função g e a sua restrição aR + ser a função h .


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Figura VI.2.4. Zoom, −3, 14 ≤ x ≤ 1, 86, −2, 5 ≤ y ≤2, 5.

Anal não é no zero, mostrando a sua nova gura ao Carlos. O António continua agora

sozinho a calcular uma nova intersecção entre os dois grácos, enquanto o Carlos espera

pacientemente. Então, não fazes?, pergunto-lhe. Não vale a pena, já vejo o resultado.

Não insisto com ele. O António calcula a segunda intersecção, obtendo a Figura VI.2.5

Figura VI.2.5. Segunda intersecção,−3, 14 ≤ x ≤ 1, 86, −2, 5 ≤ y ≤2, 5.

Faço a pergunta óbvia: então porque é que é esta a intersecção e não a outra, comx > 0?.

Porque é a que está mais próxima do outro ponto, responde-me o Carlos. Não, replico eu,

têm que olhar melhor para o enunciado. Ambos lêem novamente as primeiras linhas do

enunciado e percebem que o domínio do nosso problema é apenas o intervalo ]− ∞, 0[.Então, agora é preciso passar tudo isto para o caderno e indicar bem o que vos é pedido

no enunciado, digo-lhes. Acedem. Fazem um desenho muito tosco do problema, não

indicando o domínio de R 2 utilizado. Chamo-lhes a atenção para este facto mas não

percebem muito bem o que quero. Como assim, o referencial?, diz-me o Carlos. Tens

que indicar os limites inferiores e superiores das variáveis x e y; vais à função window

da tua calculadora e escreves na tua folha, para que saibamos minimamente onde estás

a trabalhar , digo-lhe. Com algum esforço, ambos os alunos conseguem fazer um esboço


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aceitável dos dois grácos, onde assinalam os pontos A e B . Têm problemas a escolher

entre A e B, quem será o primeiro ponto. Aliás, este é mais um problema recorrentenos alunos desta turma: demonstram sempre grande hesitação quando se trata de associar

nomes a objectos.

Chegados à última parte, resta-lhes ainda calcular a distância entre os dois pontos. Já

não me lembro, diz o Carlos, havia uma fórmula, mas já não a sei, reforça. Desenrasca-

te, digo-lhe eu, na esperança que consiga determinar a distância entre os pontos A e Brecorrendo simplesmente ao teorema de Pitágoras. O António também não consegue.

Após sugerir que não precisam de fórmulas nenhumas, que bastará recorrer a um teorema

que já conhecem há muitos anos, o Carlos lá percebe que pode resolver o problema com o

teorema de Pitágoras. Recorrem à calculadora para efectuar os cálculos que faltam. Não

se apercebem que o triângulo em causa é um triângulo isósceles e repetem duas vezes o

mesmo cálculo. O facto de o resultado ser idêntico em ambos os catetos do triângulo em

questão também não suscita qualquer interrogação. Mas, por m, conseguem chegar ao

resultado pedido, apresentando o resultado com número correcto de casas decimais.

VI.3 Actividade 3

Nesta actividade, queremos determinar a área do triângulo [OAB ], em que O é a origem

do referencial, A é o ponto de coordenadas (0, 5) e B o ponto de intersecção do gráco

de g(x) = ln( x + 2) (denida em ]−

2, +

∞[) com o eixo das abcissas.

O António começa por recorrer à sua calculadora gráca para ver o gráco da função

g(x) = ln( x + 2) . Pergunto-lhe se não é capaz de desenhar ele próprio o gráco

sem recorrer à calculadora. Diz-me que não, que não é capaz, apesar de termos tido

recentemente uma aula sobre transformações de grácos, em que falámos, entre outras

transformações, sobre translações dos mesmos grácos.

Insisto então um pouco com o Carlos e peço-lhe que esboce o gráco de g. Pensa um

pouco, esta função é muito parecida com uma conhecida, qual é?, pergunto. Com a


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ln x, responde-me. Insisto, então, qual é a diferença entre uma e outra?. Ah, pois, é

apenas trocar x por x + 2 , por isso vai andar duas casas para a esquerda. Penso queo problema está resolvido, mas não: o Carlos não sabe o gráco da função ln(x). Eu

ajudo-o, desenhando o gráco desta última função no seu caderno. Finalmente, consegue

esboçar o gráco da função g. É imediato perceber o ponto B em que o dito gráco

intersecta o eixo das abcissas.

Estranhamente (ver secção VI.4.3), o ponto A não gera problemática a nenhum dos

alunos. Resta calcular a área do triângulo. É base vezes altura sobre dois, não é?,

interroga-me. Pergunto-lhe se tem a certeza. Responde-me que não, mas pode ver na

calculadora, que tem isso lá. O Carlos tem à sua frente o formulário dos exames nacionais

e verica se tem a fórmula para o cálculo da área de um triângulo. Não tem. Eu conrmo

que sim, que o António tinha razão e terminamos este problema.

A calculadora gráca suscita nos alunos uma enorme resistência à tarefa de memorizar

os grácos das principais funções. Analogamente, o utilizar formulários ou terem

constantemente ao seu dispor dezenas de fórmulas faz com que os alunos percam aconança na sua própria intuição: o facto de ir vericar a um formulário a expressão

para o cálculo da área de um triângulo é uma forte evidência.

VI.4 Guião de actividades

VI.4.1 Actividade 1

(adaptado do exame nacional de matemática do 12o ano, 2011/2012, 2a fase, versão 1.)

Considere a função f , de domínioR denida por

f (x) =

sin x1−√ 1−x 3

, sex < 0

1 −ek +1 , sex = 0 comk ∈R

1−e 4x

x , sex > 0.

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos ou à sua calculadora gráca.


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VI.4 Guião de actividades 47

(i) Determine k de forma a que limx →0+

f (x) = f (0).

(ii) Estude a função f quanto à existência de assímptotas verticais ao seu gráco.

Resolução abreviada (i)

limx →0+ f (x) = f (0)⇔limx →0+1−e 4

x

x = 1 −ek +1

⇔ limx →0+ −4

e 4 x −14x = 1 −ek +1⇔−4 = 1 −e

k +1⇔

ek +1 = 5⇔

k = ln 5 −1.(ii) As restrições de f a R + e R − são claramente contínuas, pelo que o único ponto pode

poderá existir uma assímptota vertical é em x = 0. Tem-se que

limx →0

−

sin x1 −√ 1 −x3

= limx →0

−

sin xx3

(1 + √ 1 −x3) = limx →0−sin x

x1 + √ 1 −x3

x2 = + ∞,

pelo que x = 0 é uma assímptota vertical ao gráco da função f .

VI.4.2 Actividade 2

(adaptado do exame nacional de matemática do 12o ano, 2011/2012, 2a fase, versão 1.)

Considere a função f , de domínio [−7, 0[, denida por

f (x) = ex + ln( x2) + 3 .

Sejam A e B os pontos de intersecção do gráco de f com a bissetriz dos quadrantes

pares, e seja d a distância entre os pontos A e B . Determine d, recorrendo à calculadora

gráca.

Na sua resposta, deve:

• reproduzir o gráco da função ou os grácos das funções que tiver necessidade devisualizar na calculadora, devidamente identicado(s), incluindo o referencial;

• assinalar os pontos A e B ;

• indicar as coordenadas dos pontos A e B com arredondamento às centésimas;

• apresentar o valor de d com arredondamento às centésimas.


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Resolução abreviada

Utilizando a função intersect da calculadora gráca, podemos concluir que os grácos

de f (x) = ex + ln( x2) + 3 e g(x) = −x se intersectam (no intervalo considerado) nospontos A e B cujas coordenadas são, aproximadamente, (−6, 85;6, 85) e (−1, 57;1, 57).Como tal, a distância d pedida é dada pela norma do vector−→AB = (5 , 28;−5, 28). Logo,d 2.5, 282 = 5 .28√ 2 7, 47.

VI.4.3 Actividade 3

(retirado do exame nacional de matemática do 12o ano, 2009/2010, 1a fase, versão 1.)

Seja g a função de domínio ]−2, + ∞[ denida por g(x) = ln( x + 2) .Considere, num referencial o.n. x0y, um triângulo [OAB ] tal que:

• O é a origem do referencial;

• A é um ponto de ordenada 5;

• B é o ponto de intersecção do gráco da função g com o eixo das abcissas.

Qual a área do triângulo [OAB ]?

(A) 5

2 (B)

12

(C) 5 ln2

2 (D)

ln 22

Resolução abreviada Como g(x) = 0 ⇔x = −1, sai que o triângulo em causa tem área1×52 = 52 .Note-se, todavia, que o enunciado deste problema é um pouco duvidoso: o ponto Aestá aparentemente mal denido, pois apenas é dito que tem ordenada 5, nada sendo

especicado em relação à sua abcissa. Esta informação tem que ser retirada da frase

considere num referencial o.n. um triângulo [OAB ], em que certamente se quererá

signicar que o ponto A pertence aos eixos coordenados. Todavia, atente-se no enunciado

do problema exactamente anterior do mesmo exame nacional, cuja página incluímos na


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Figura VI.4.1. Portanto, num problema, o referencial x0y diz respeito apenas aos eixos

coordenados enquanto no outro diz respeito já a todo o planoR 2.


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Figura VI.4.1. Página 7 do exame nacional de matemática do 12o ano, 2009/2010, 1a


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fase, versão 1.


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Capítulo VII

Conclusões

VII.1 A utilização da calculadora gráca e o programa

de matemática do 12 o ano

Ao longo deste ano lectivo, em que acompanhámos de perto os alunos da turma do 12a

B da Escola Secundária de Fonseca Benevides, pudemos constatar que os alunos desta

turma não recorrem às verdadeiras potencialidades da sua calculadora gráca. Utilizam-

na sobretudo e quase exclusivamente para cálculos numéricos. Quando são colocados

perante problemas em que se lhes é exigida a utilização das potencialidades grácas da

calculadora, apresentam diculdades.

Raramente ou nunca utilizam a calculadora como método para conrmar os seusresultados. Na realidade, tal deve-se sobretudo às fortes limitações do conhecimento

matemático apresentadas pela maioria destes alunos. Como exemplos, destacamos alguns

assuntos em que os alunos do 12a B e, em particular, o António e o Carlos, não utilizam a

calculadora como ferramenta de vericação de resultados.

1. Aplicação do teorema de Bolzano. Quando colocados perante uma questão do tipo

prove que a equação f (x) = g(x) tem uma solução no intervalo [a, b] (f , g funções

reais de variável real contínuas), alguns alunos desta turma e, em particular, o António


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54 Conclusões

e o Carlos consideram a equação equivalente h(x) = ( f −g)(x) = 0 e percebem quetêm de calcular os valores de h nos pontos a e b dados e, em seguida, aplicar o teoremade Bolzano. Todavia, não relacionam com a existência de zeros da função h, a menos

que lhes seja dito explicitamente prove que h tem pelo menos um zero. Portanto, num

problema em que as capacidades grácas da calculadora seriam extremamente úteis, os

alunos revelam incapacidade de relacionar zeros de uma função com soluções de uma

equação.

Aliás, neste tema, o programa de Matemática poderia ser um pouco mais ambicioso epromover um verdadeiro espírito exploratório. Poder-se-ia promover a aproximação de

soluções de uma equação utilizando o método da bissecção, cujo único suporte teórico de

que precisa é, precisamente, o teorema de Bolzano. Aliás, o método da bissecção pode ser

encarado como a demonstração do teorema de Bolzano, totalmente ausente no programa

do 12o ano.

2. Cálculo de limites. Ao longo do 12o ano, o programa insiste no cálculo de limites e

no levantar de indeterminações, sobretudo do tipo 00 . Na realidade, dado que a exploração

do cálculo diferencial com a utilização da função derivada é um dos grandes motes

do 12o ano, faz todo o sentido que os alunos consigam levantar indeterminações deste

tipo: no cálculo da derivada de uma função (contínua) num ponto, um limite deste tipo

estará sempre envolvido. Não obstante esta pertinência, não é obrigatória a justicação

das derivadas das principais funções como sejam a função exponencial ou as funções

trignométricas. Sem esta obrigatoriedade, a introdução dos chamados limites notáveis,

perde em grande parte o seu objectivo. Os problemas utilizando estes limites cam desta

forma reduzidos a manipulações algébricas sem grande objectivo matemático.

Todavia, o que mais me surpreendeu foi o facto de os alunos, postos perante um problema

de levantar indeterminações, não recorrerem à calculadora para, dando valores à variável

x próximos do ponto a em que se pretende levantar a indeterminação tentarem perceber o

valor do limite. Ou, pelo menos, como forma de conrmarem o seu resultado. Enquanto

estudante, eu próprio recorria frequentemente a este método de conrmação, apesar


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VII.1 A utilização da calculadora gráca e o programa de matemática do 12 o ano 55

de, na altura, apenas termos disponíveis calculadoras cientícas1. Com as ferramentas

modernas, o aluno poderia rapidamente construir uma tabela do tipo

x f (x)

a + 0 , 1 f (a + 0 , 1)

a + 0 , 01 f (a + 0 , 01)

... ...

Tabela VII.1.1. Estimativas de limites.

bastando-lhe para introduzir a função e depois consultar uma tabela em que os valores da

variávelx introduzidos. Todavia, mais uma vez, os alunos demonstram não serem capazes

de perceber o que estão a fazer quando calculam um limite: ou seja, que procuram um

valor dos quais f (xn ) se aproxima quando xn se aproxima de determinado valor. Este

foi, aliás, um tema que tive oportunidade de discutir com o António e com o Carlos e

de tentar promover o seu espírito crítico em relação aos resultados que obtinham quando

calculavam algebricamente um limite.

Nota VII.1.2. Claro está, esta aproximação numérica ao valor do limite de uma função

num ponto é delicada. As calculadoras utilizam arredondamentos que podem sugerir

resultados errados. Na realidade, se precedermos como em VII.1.1 no cálculo do limite

limx →0

1 −cos xx2

, as calculadoras TI83 ou TI84 apresentam a seguinte tabela:

1Uma calculadora cientíca é uma calculadora que consegue realizar não apenas as operações

elementares e potências de números reais, como também de calcular valores de logaritmos e exponenciais

de números reais


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56 Conclusões

Figura VII.1.3. Tabela de valores da calculadora TI84 para a função f (x) = 1−cos xx2

sugerindo, de forma errada, que o limite inicial toma o valor zero. Tal como salientou

o professor Artur Silva, a acumulação de erros de arredondamento nas calculadoras

grácas pode conduzir a um desvio signicativo entre o valor que se pretende e o valor

que calculadora proporciona.

3. Estudo de fu

uso da calculadora gráfica no 12º ano de escolaridade

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