universidade tecnológica federal do...

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Campus Curitiba

Departamento Acadêmico de Matemática

Prof: Lauro Cesar Galvão Cálculo Numérico Entrega: junto com a 2a parcial

DATA DE ENTREGA: dia da 2a PROVA (em sala de aula)

Atividades Práticas Supervisionadas (APS)

(EXERCÍCIOS: 10% da 2a parcial)

Conteúdo: Ajuste de Curvas, Integração Numérica, Solução Numérica de

Equações Diferenciais Ordinárias.

Imprimir esta lista FRENTE/VERSO.

Entregar os exercícios com preenchimento manual.

Escrever de forma clara e objetiva.

De preferencia, utilizar lapis ou lapiseira.

Aluno: .............................................................................. Número: ................ Turma: ..............

Curitiba – PARANÁ

2a APS: Exercícios Cálculo Numérico

Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO

2

1 Exercícios da apostila Exercício 1 Interpolar o ponto 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio

interpolador de Lagrange.

0 1 2 3

1 0 1 2

1 3 1 1

Resolução: 3 é o grau máximo de ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Logo:

( )

( )

(1,5) ( )

(1,5)

(1,5)

x

i

ix

iy

n 3P x

3P x

3

0iii xLy )( 3P x .......... 0L x .......... 1L x .......... 2L x .......... 3L x

iL x

3

0ij

j ji

j

xx

xx

)(

)(

0L x))()((

))()((

302010

321

xxxxxx

xxxxxx

1L x))()((

))()((

312101

320

xxxxxx

xxxxxx

2L x))()((

))()((

321202

310

xxxxxx

xxxxxx

3L x))()((

))()((

231303

210

xxxxxx

xxxxxx

3P x

3P x

3P 3P23

3P

3P

y

x

x( )P

1

3

-1 2

2

1

3

32

38

0



3 Exercício 2 Interpolar o ponto 1,5 na tabela abaixo, empregando a forma de Newton.

0 1 2 3

1 0 1 2

1 3 1 1

Resolução: 3 é o grau máximo de ( ). Tabela de diferenças divididas:

ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3

1

0

1

2

( ) [ ]( ) [ , ]( )( ) [ , , ]

( )( )( ) [ , , , ]

( )

( )

( )

x

i

ix

iy

n 3P x

x

3P x f 0x x 0x f 0x 1x x 0x x 1x f 0x 1x 2x

x 0x x 1x x 2x f 0x 1x 2x 3x

3P x

3P x

3P x



4 Exercício 3 Seja ( ) dada em forma de tabela de valores, como segue:

0,2 0,34 0,4 0,52 0,6 0,72

( ) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37

a) Obter (0,47) usando um polinômio de grau 2;

b) Dar uma estimativa para o erro.

Resolução: Tabela de diferenças divididas:


0,2

0,34

0,4

0,52

0,6

0,72

Deve-se escolher 3 pontos próximos de 0,47 para a obtenção de ( ).

( ) [ ]( ) [ , ]( )( ) [ , , ]

( )

( )

a) (0,47) (0,47)

b) | (0,47)|

| (0,47)|

f x

x

f x

f

x

2P x

2P x f 0x x 0x f 0x 1x x 0x x 1x f 0x 1x 2x

2P x

2P x

2P .......... .......... f

nE

nE ..........



5 Exercício 4 Considere a tabela a seguir:

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

1 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487

Obter , tal que 1,3165, usando um processo de interpolação quadrática. Usar a forma de

Newton para obter ( ). Construir a tabela de diferenças divididas.

Resolução:


1

1,1052

1,2214

1,3499

1,4918

1,6487

𝑃2(𝑦) = 𝑔[𝑦0] + (𝑦 − 𝑦0) ∙ 𝑔[𝑦0, 𝑦1] + (𝑦 − 𝑦0) ∙ (𝑦 − 𝑦1) ∙ 𝑔[𝑦0, 𝑦1, 𝑦2]

( )

(1,3165)

Assim, 1,3165 Na calculadora 1,316359.

Erro cometido:

| ( )| |( )( )( )|

| (1,3165)| , [ , ].

1o Caso: pode ser aproximado por (tabela de diferenças divididas de ordem 3).

| (1,3165)| | ( )| .

2o Caso: ( ) ( ) ( )

Logo:

| (1,3165)|

x

yxe

xxe

2P y

y

2P y

2P

.............................e

2E y y 0y y 1y y 2y!33M

2E 3M )('''max yg y 0y 2y

!33M

..........

2E .......... .......... .......... .......... 2E y .......... .......... ..........

f xxe g y 1f y yln

3M

2E



6 Exercício 5 (Regressão Linear) Ajustar os dados da tabela abaixo através de uma reta.

1 2 3 4 5

1,3 3,4 5,1 6,8 8,0

2,0 5,2 3,8 6,1 5,8

Resolução: Fazendo e considerando

e , tem-se: .

Assim, a reta que melhor se ajusta aos valores da tabela terá coeficientes e , que

são solução do seguinte sistema na forma matricial:

[ ]T

[ ]T

[ ]T

Assim,

Logo a equação da reta procurada é:

i

ix

)( ixf

)()()( xgxgxg 2211

)(xg1 .......... )(xg2 .......... )(xg .................................................

1 2

fg

fg

gggg

gggg

,

,

,,

,,

2

1

2

1

2212

2111

1g .......... .......... .......... .......... ..........

2g .......... .......... .......... .......... ..........

f .......... .......... .......... .......... ..........

11 gg , ..............................................................................................................................................................................

21 gg , ..............................................................................................................................................................................

12 gg , ..............................................................................................................................................................................

22 gg , ..............................................................................................................................................................................

fg ,1 ..............................................................................................................................................................................

fg ,2 ..............................................................................................................................................................................

)(xg .................................................



7

Exercício 6 Ajustar os dados da tabela através da parábola :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 0,75 0,6 0,5 0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1

2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05

Resolução: Fazendo e considerando , obtém-se ...........

.

Assim, para se obter a parábola que melhor se ajusta aos pontos da tabela, será necessário

encontrar do sistema:

[ ...........

...........

...........

...........

...........

]T

[ ...........

...........

...........

...........

...........

]T

.............................................................................................................................

.....................................................................................................

..............................................................................................................

.....................................................................................................

Assim, ........................

.

Logo a equação da parábola procurada é: .................................................

)(xg2x

i

ix

)( ixf

y

x

2

1-1

1

)()( xgxg 11 )(xg12x )(xg

1

1111 gfgg ,,

1g

f

11 gg ,

fg ,1 11 gg ,

1

)(xg



8 Exercício 7 Ajustar os dados da tabela abaixo por um polinômio do segundo grau

.

1 2 3 4

2 1 1 2

1 3 1 9

Resolução: Neste caso tem-se que: , e

[ ...........

...........

...........

...........

]T

[ ...........

...........

...........

...........

]T

[ ...........

...........

...........

...........

]T

[ ...........

...........

...........

...........

]T

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

Assim,

Logo a equação da parábola procurada é:

...........................................................

2321 xxxg )(

i

ix

)( ixf

)(xg1 .......... )(xg2 .......... )(xg3 ..........

fg

fg

fg

gggggg

gggggg

gggggg

,

,

,

,,,

,,,

,,,

3

2

1

3

2

1

332313

322212

312111

1g

2g

3g

f

11 gg ,

21 gg ,

12 gg ,

31 gg ,

13 gg ,

22 gg ,

32 gg ,

23 gg ,

33 gg ,

fg ,1

fg ,2

fg ,3

)(xg



9

Exercício 8 Aproximar a função ( )4 por um polinômio do primeiro grau, uma

reta, no intervalo [0,1].

Resolução: g ( ) ( ) ( )=

.............................., isto é, ( )

....... e ( )

........

.......

.......

.......

.......

.......

Logo:

( )........................................

( )4 em [0,1].

Exercício 9 Aproximar a função ( ) no intervalo [0,1] por uma reta.

Resolução:

( ) ( ) ( )= ..............................

,

isto é, ( ) .......

e ( ) .......

.

.......

.......

.......

.......

f x3x

x 1 1g x 2 2g x 1g x 2g x

A b

2221

1211

aa

aa

2

1

2

1

b

b

2212

2111

gggg

gggg

,,

,,

2

1

2

1

gf

gf

,

,

11a 11 gg ,

12a 21 gg , 12 gg , 21a

22a 22 gg ,

1b 1gf ,

2b 2gf ,

A b

g x f x3x

f xxe

g x 1 1g x 2 2g x

1g x 2g x

A b

2221

1211

aa

aa

2

1

2

1

b

b

2212

2111

gggg

gggg

,,

,,

2

1

2

1

gf

gf

,

,

11a 11 gg ,

12a 21 gg , 12 gg , 21a

22a 22 gg ,

1b 1gf ,



10

.......

Usando o método de integração por partes em :

( )........................................

( ) em [0,1].

Exercício 10 Ajustar os dados da tabela que segue por uma função da forma ( )

0 1 2

( ) 1 0,5 0,7

Resolução: Desta forma, “linearizando” a função ( ) , como no primeiro

exemplo anterior, tem-se:

[ ...........

...........

...........

]T

[ ...........

...........

...........

]T

................. [

................. .................

.................

]T

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

...........

.............................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

( )........................................

( ).

2b 2gf ,

2b dvu duvvu

g x f xxe

g x 1x

e 2

x

f x

g x 1x

e 2

2212

2111

gggg

gggg

,,

,,

2

1

a

a

2

1

g

g

,

,

1g

2g

11 gg ,

21 gg ,

12 gg , 21 gg ,

22 gg ,

1g,..............

2g,.............

g x f x



11

Exercício 11 Calcular , usando a regra dos trapézios e calcule uma

aproximação para o erro máximo cometido.

Resolução:

..................

.

O erro cometido será, no máximo:

Logo, | | ..................

.

Exercício 12 Calcular empregando o método dos trapézios com 8 repetições.

Determine uma aproximação para o erro cometido.

Resolução:

𝑥 𝑥0 =.… 𝑥1 =.… 𝑥2 =.… 𝑥3 =.… 𝑥4 =.… 𝑥5 =.… 𝑥6 =.… 𝑥7 =.… 𝑥8 =.…

𝑓(𝑥)

..................

.

Erro cometido será, no máximo:

| | ..................

.

Neste caso em particular, ( ) pode ser integrada de forma exata:

..................

.

9

156x dx

9

156x dx TI

TE

9

156x dx

9

156x dx

TRE

f x

9

156x dx



12

Exercício 13 Seja . Calcule uma aproximação para usando 10 subintervalos

e a regra dos trapézios repetida. Estimar o erro cometido.

Resolução:

..................

.

Erro cometido será, no máximo:

| | ..................

.

Exercício 14 Seja . Qual o número mínimo de subdivisões, para a regra dos

trapézios repetida aplicada em , de modo que o erro seja inferior a 103?

Resolução:

..................

.

Exercício 15 Seja . Calcule uma aproximação para usando a regra 1/3 de

Simpson com 10. Estime o erro cometido.

Resolução:

.......................................

.

Estimativa do erro:

.......................................

.

Observe que .......................................

e .......................................

.

I 1

0dxex I

1

0dxex

TRE

I 1

0dxex

I

n

I 1

0dxex I

m

1

0dxex

SRE

SRE TRE



13

Exercício 16 Seja . Para que valor de teríamos erro inferior a 103?

Resolução:

Para um erro inferior a 103 seriam necessários subintervalos.

Obs: na regra dos trapézios com repetição são necessários intervalos.

Exercício 17 Seja . Aproxime com a regra dos trapézios com 8 repetições.

Estime o erro cometido.

Resolução:

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

.

Estimativa do erro:

.

I 1

0dxex

m

m .................... ..........

..........

I 10

6xdxlog I

h ................................................. h ....................

i

ix

)( ixf

10

6xdxlog .................................................

TRE .................................................



14

Exercício 18 Seja . Aproxime com a regra de Simpson com 8

subintervalos. Estime o erro cometido.

Resolução:

. e .

0 1 2 3 4 5 6 7 8

.

Estimativa do erro:

.

I 10

6xdxlog I

h ................................................. h .................... m .......... n ..........

i

ix

)( ixf

10

6xdxlog .................................................

SRE .................................................



15

Exercício 19 Achar aproximações para a solução do PVI na malha de

[0,1] com ℎ = 0,1.

Resolução:

0, 2, 0, 1, 10.

Usar Erro! Fonte de referência não encontrada. para 0,1,2,,9.

0:

1:

TABELA:

( ) ( )

0 0 2 2

1 2,004837

2 2,018731

3 2,040818

4 2,07032

5 2,106531

6 2,148812

7 2,196585

8 2,249329

9 2,30657

10 2,367879

20

2

)(

,

y

yxy

0x 0y a b m10

01

,

m

j

j

j

j jx jy y jx jy y jx je



16

Exercício 20 Achar aproximações para a solução do PVI na malha [0,1]

com =0,1 usando o método da equação (10).

Resolução:

0, 2, 0, 1, 10.

Usar equação (10) para 0,1,,9.

0:

1:

TABELA:

( ) ( )

0 0 2 2

1 2,004837

2 2,018731

3 2,040818

4 2,07032

5 2,106531

6 2,148812

7 2,196585

8 2,249329

9 2,30657

10 2,367879

20

2

)(

,

y

yxy

h

0x 0y a b m10

01

,

m

j

j

j

j jx jy y jx jy y jx je



17

Exercício 21 Achar aproximações para a solução do PVI na malha [0,1] com

=0,5 usando o método de Euler Aprimorado.

Resolução:

( ) | ( )|

0 0 1

1

2

Exercício 22 Calcular a solução do PVI com =0,1, no interior do intervalo

[0,1], pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem.

Resolução: ( 2 2 ), para 0,1,2,,9.

..................................................................

..................................................................

..................................................................

..................................................................

0 0 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10)(y

xydx

dy

h

j jx jy1k 2k y jx 22 /xe jy y jx

10)(y

xydx

dy

h

1jy jy6

h1k 2k 3k 4k j

1k

2k

3k

4k

j jx jy1k 2k 3k 4k



18

Exercício 23 Achar aproximação para a solução do PVI na malha [0,1]

com =0,1 usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado).

Resolução: 0, 2, 0, 1, 10.

( ), para 0,1,2,,9.

..................................................................

..................................................................

0 0 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

2

)(

,

y

yxy

h

0x 0y a b m10

01

,

m

1jy jy2

10,1k 2k j

1k

2k

j jx jy1k 2k



19

2 Exercícios diversos Exercício 24 Supondo que a velocidade do som na água varia com a temperatura de acordo

com a tabela abaixo, determinar, utilizando um polinômio interpolador de Lagrange, um valor

aproximado para a velocidade do som na água em uma temperatura de C0100 .

Temperatura ( 0 C) 86,0 93,3 98,9 104,4 110,0

Velocidade ( sm / ) 1552 1548 1544 1538 1532

Resolução: O polinômio de Lagrange procurado será do tipo:

)(xP4 )()()()()( 4433221100 xfLxfLxfLxfLxfL , onde:

iL ( x )

n

ijj ji

j

xx

xx

0 )(

)(

Resposta: )(1004P .................................................



20

Exercício 25 Dada a tabela que segue e utilizando o polinômio interpolador de Newton,

obtenha um polinômio do quarto grau )(xP4 , escolhendo adequadamente os pontos, para

calcular sin (53o).

0x ( x

graus)

0 15 30 45 60 75 90

xsin 0 0,25882 0,5 0,70711 0,86603 0,96593 1,0

Resolução: A tabela de diferenças divididas é a seguinte:

Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4

0 0

15 0,25882

30 0,5

45 0,70711

60 0,86603

75 0,96593

90 1,0



21 Resposta: )(534P .................................................



22

Exercício 26 Um objeto foi lançado verticalmente do alto de um prédio. Sua altura foi

registrada a cada segundo após o lançamento e os dados obtidos encontram-se na tabela

abaixo.

Altura ( m ) 192 180 150 115 72

Tempo ( s ) 1 2 3 4 5

Utilize o método dos mínimos quadrados para estimar a altura h do prédio, a

velocidade inicial 0v de lançamento e o valor da aceleração da gravidade g , sabendo que

essas três grandezas são relacionadas por: 200

2t

gtvhth )( .

Resolução: Fazendo: 10 h , 20 v , 32

g

.

Resposta: 0h ............................. , 0v ............................. e g .............................



23

Exercício 27 Aproximar a função )sin()( xxf por uma função 2

21 xxxg )( no

intervalo I [0,2]. Empregar a regra de Simpson com 4 subintervalos (2 n =4) para determinar

os produtos internos do vetor dos termos independentes.

Resolução: g ( x ) 1 1g ( x ) 2 2g ( x )= 1 2 2x , isto é, )(xg1 x e 2

2 xxg )( .

Resposta: )(xg .................................................



24

Exercício 28 Sabendo-se que a dependência funcional entre a carga Q de um

condensador e o tempo t é do tipo tQ 2101 , determinar os parâmetros 1 e 2 a partir

da tabela:

)(st 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Q (Coulomb) 4,78 3,97 3,30 2,75 2,29 1,9

Resolução: tQ

2101

Resposta: Q .................................................



25

Exercício 29 Calcule dxxx )cos(

20

2 empregando o método dos trapézios e precisão

110

.

Resolução:

Resposta: dxxx )cos(

20

2 .................................................



26

Exercício 30 Calcule 3

2dxx)ln( empregando o método de Simpson com quatro repetições

(2 n = 8). Faça uma estimativa do erro cometido na integração numérica.

Resolução:

Resposta: 3

2dxx)ln( ................................................. e SRE .................................................

Exercício 31 Empregando o método de Simpson, calcule o trabalho W realizado por um gás

sendo aquecido segundo a tabela abaixo. Lembre que f

i

V

VPdVW .

)( 3mV 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

)/( 2mKgP 80 72 64 53 44 31 22

Resolução:

Resposta: W .................................................



27

Exercício 32 Seja a equação diferencial ordinária yxxydx

d)( com condição inicial

10 )(y . Considere o intervalo de integração igual [0,4]. Solucione a equação diferencial pelo

método de Euler (Passo Simples de ordem 1) com passos h 1, h 0,5 e h 0,25. Sabendo

que a solução exata da equação diferencial é 12 xexy x)( , compare os resultados

obtidos em cada uma das integrações com os valores obtidos com a solução exata.

Resolução: ),( llll yxfhyy 1 , l 0, 1, 2, , ( 1m )

Para h 1:

l lx ly llll yxyxf ),( 12 l

xl xexy l)( Erro= ll yxy )(

0 0 1

1

2

3

4

Para h 0,5:



0 0 1

1

2

3

4

5

6

7

8

Para h 0,25:



0 0 1

1

2

3

4



28

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Exercício 33 Seja a equação diferencial ordinária yxxydx

d)( com condição inicial

10 )(y . Considere o intervalo de integração igual [0,4]. Solucione a equação diferencial pelo

método de Runge-Kutta de ordem 2 com passo h 0,5. Sabendo que a solução exata da

equação diferencial é 12 xexy x)( , compare os resultados obtidos em cada uma das

integrações com os valores obtidos com a solução exata.

Resolução: )( 2112

KKh

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