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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Campus Pato Branco

ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO

Prova Parcial 1

Matemática Discreta para Computação – 2011-2 Aluno(a):______________________________________________________ Data: 08/09/2011 1. (3p) Usando regras de inferência, prove que os argumentos são válidos. Use os símbolos

proposicionais indicados: a. A Rússia era uma potência superior, e ou a França não era suficientemente poderosa

ou Napoleão cometeu um erro. Napoleão não cometeu um erro, mas, se o exército não perdeu então a França era poderosa. Portanto, o exército perdeu e a Rússia era uma potência superior. (R, F, N, E)

b. Não é verdade que, se as tarifas de energia elétrica subirem, então o uso diminuirá, nem é verdade que novas usinas elétricas serão construídas ou as contas não serão pagas com atraso. Portanto, o uso não vai diminuir e as contas serão pagas com atraso. (T, U, E, C)

2. (3p) Prove por prova direta ou indireta ou contradição que: a. “Se a soma de dois números inteiros é par, então a sua diferença também é par” b. “Se um número somado a ele mesmo é igual a ele mesmo, então esse número é zero”

3. (3p) Prove usando indução matemática que a proposição é verdadeira (apresente todos os passos):

( )3

)12)(12(12....531

2222 −+=−++++

nnnn , n ≥ 1

4. (1p) Uma coleção M de números é definida recursivamente por:

a) 2 e 3 pertencem a M. b) Se X e Y pertencem a M, então X* Y também pertence a M. Quais dos seguintes números pertencem a M?

a. 6 b.9 c. 16 d. 21 e. 26 f. 54 g. 72 h. 218


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Prova Parcial 2 Matemática Discreta para Computação – 2011-2

Aluno(a):_______________________________________________________________________Data:13/10/2011

1. (1,5p) Sejam os seguintes subconjuntos de N (conjunto dos números naturais):

/{ xxA = é um inteiro não negativo par}

)}4 e )(/({

)}12 e )(/({

yxNyyxC

yxNyyxB

=∈∃=

+=∈∃=

Encontre os seguintes conjuntos e expresse-os de forma simbólica como apresentado na questão e justifique de forma textual sua resposta:

a) BA∪ b) CA∪

c) BA −

2. (2p) Defina e indique a diferença de conjunto contável (enumerável) e não contável (não enumerável) e responda a pergunta: O conjunto dos números racionais é contável? Justifique de forma textual sua resposta.

3. (1p) Defina o conjunto de conjuntos ou conjunto de partes P e encontre:

P (S) para S ={∅, {∅}, {∅, {∅}}}

4. (2p) A figura a seguir representa algumas ruas dentro de uma cidade. Existem diferentes

formas para ir do ângulo inferior (denominado Sudoeste) ao ângulo oposto superior (denominado Nordeste). Suponha que as únicas rotas permitidas de percurso são direção leste e direção norte. Quantos caminhos possíveis existem? (As linhas escuras representam um possível caminho).

2. (1,5p) Há 51 casas em uma rua. Cada casa tem um número entre 1000 e 1099,

inclusive. Mostre que pelo menos duas casas têm números que são inteiros consecutivos.

3. (2p) Quantos números inteiros positivos menores que 1.000.000 têm exatamente um digito igual a 9 e têm a soma de seus dígitos igual a 13?

NE

SO


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Prova Parcial 3 Matemática Discreta para Computação

Aluno(a):__________________________________________________ Data: 18/11/2011 1. (0,5p) Uma função é um caso particular de uma relação, quais são as propriedades

que fazem de uma relação ser uma função? Escreva de forma simbólica. 2. (2p) Dê um exemplo de uma função de ZxZ+ (dos inteiros para os inteiros positivos)

que seja: a. sobrejetora, mas, não injetora. b. Injetora, mas, não sobrejetora

3. (2p) Prove que a função baxxf +=)( com RRf →: é bijetora em que a e b são

constantes, com a ≠ 0, e encontre a função inversa de f 4. (0,5p) Dado o conjunto A e a relação R em A. Completar as propriedades das

relações:

∀x, y, z ∈ A, Se xRy e yRz então xRz _________________________________

∀x ∈ A, xRx _________________________________

∀x,y ∈ A, Se xRy então yRx _________________________________

∀x, y ∈ A, Se xRy e yRx então x = y _________________________________

5. (2p) Quais propriedades têm a relação R a seguir, no conjunto S?

S = { x / x é um aluno da sua sala }

aRb ↔ a senta na mesma fileira que b

6. (2p) Defina “relação de equivalência” e determine se R sobre A é uma relação de

equivalência A = {Z}

R={(a,b) ∈ AXA | a ≤ b }

7. (1p) Seja R uma relação sobre o conjunto S, onde:

S = {1, 2, 3, 4}

R = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (4, 4)}

Encontre os fechos: (a) Reflexivo (b) Simétrico (c) Transitivo


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Aluno(a):_____________________________________________________________________ Data: 09/12/2011

1. (1,5p) Defina (utilize diagramas para exemplificar):

a) Circuito Euleriano b) Circuito Hamiltoniano c) Diferenças e/ou semelhanças entre estes circuitos

2. (2,5p) Determinar um circuito

Hamiltoniano no seguinte grafo (denominado grafo de Grötzsch).

3. (2,5p) Supor que os vértices de K5 são

numerados com 1, 2, 3, 4 e 5 e cada aresta tem um peso igual à soma dos valores de seus vértices (como mostrado na figura). Encontre a árvore geradora mínima para este grafo. Utilize o algoritmo de Prim, represente o grafo com uma matriz.

4. (2,5p) Na figura ao lado esta

desenhada uma construção com quatro salas, designadas por S1 a S4, interconectadas por seis portas, P1 a P6. Determine o número mínimo de novas portas a instalar de forma que uma pessoa possa, ao chegar à construção, passar por cada porta exatamente uma vez e sair para o exterior. Justifique modelando o problema por meio de grafo. Em que locais devem ser instaladas as novas portas?

5. (1p) Quantas funções booleanas diferentes de 7 variáveis existem? Apresente duas

destas funções booleanas.


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Aluno(a):_____________________________________________________________________ Data: 09/12/2011

1. (1,5p) Defina e utilize diagramas para exemplificar os seguintes conceitos: a) Circuito Euleriano b) Circuito Hamiltoniano c) Diferenças e/ou semelhanças entre estes circuitos

2. (2,5p) Determinar um circuito Hamiltoniano

no grafo da figura 1 (denominado grafo de Grötzsch).

Figura 1

3. (2,5p) Encontre, utilizando o algoritmo de

PRIM, a árvore geradora mínima para o grafo representado pela matriz (figura 2): a) Desenhe o grafo b) Apresente os passos do algoritmo c) Desenhe a árvore obtida.

Figura 2

4. (2,5p) Na figura 3 esta desenhada uma

construção com quatro salas, designadas por S1 a S4, interconectadas por seis portas, P1 a P6. Determine o número mínimo de novas portas a instalar de forma que uma pessoa possa, ao chegar à construção, passar por cada porta exatamente uma vez e sair para o exterior. Justifique modelando o problema por meio de grafo. Em que locais devem ser instaladas as novas portas?

Figura 3

5. (1p) Quantas funções booleanas diferentes de 7 variáveis existem? Apresente duas destas

funções booleanas.


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Aluno(a):_____________________________________________________________________ Data: 15/12/2011

1. (2p) Defina: a) Grafo bipartido b) Grafo bipartido completo c) Determine se os grafos a seguir são bipartidos: apresente os conjuntos da partição

2. (2p) Determinar um circuito Hamiltoniano

no grafo da figura 1 (denominado grafo de Grötzsch). O ponto de partida esta sinalizado com uma seta.

Figura 1

3. (2p) Explique os algoritmos de PRIM e KRUSKAL para encontrar a árvore geradora mínima e

apresente um exemplo para cada algoritmo.

4. (2p) Na figura 2: sinalize os vértices com letras e determine:

a) Um circuito euleriano

b) Um trajeto euleriano

c) Para os itens a e b caso no seja possível encontrar resposta, explique o porquê e o que deveria ser mudado para que seja possível.

Figura 2

2. (2p) As formas principais de representar grafos computacionalmente são Matriz de adjacência e Lista de adjacência. Desenhe um grafo e:

a) Represente esse grafo através dessas duas formas.

b) Faça um quadro comparativo de vantagens e desvantagens dessas duas formas de representação.


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Aluno(a):__________________________________________________ Data: 16/12/2011 As questões 2 e 3 são similares, escolha uma delas.

1. (2p) Dê um exemplo de uma função de +× ZZ (dos inteiros para os inteiros positivos) que seja:

a. sobrejetora, mas, não injetora. b. Injetora, mas, não sobrejetora

2. (2p) Prove que a função baxxf +=)( com RRf →: é bijetora em que a e b são

constantes, com a ≠ 0, e encontre a função inversa de f

3. (2p) Prove que a função0

0

12

2)(

>

≤

−

−=

x

x

se

se

x

xxf

com NZf →: é bijetora, e encontre a função inversa de f

4. (2p) Defina as seguintes propriedades das relações: Reflexiva Simétrica e Transitiva

e indique quais propriedades apresentam as seguintes relações:

( ){ }babaR ≤= ,1

( ){ }babaR >= ,2

( ){ }bababaR −=∨== ,3

( ){ }babaR == ,4

5. (2p) Defina e exemplifique:

a. Relação de equivalência b. Relação anti-simétrica

6. (2p) Defina os seguintes conceitos e exemplifique:

a) Fecho Reflexivo b) Fecho Simétrico c) Fecho Transitivo

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