Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Campus Curitiba

Departamento Acadêmico de Matemática Prof. Luciane

NOTA DE AULA

Tópicos em Matemática

Fonte: http://ecalculo.if.usp.br/

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS:

1.1 Números Naturais (Símbolo N )

...} 3, 2, 1, {0,N

Nota: ...} 3, 2, ,1{}0{* NN , conhecido como conjunto dos números inteiros

positivos.

1.2 Números Inteiros (Símbolo Z )

...} 3, 2, 1, {0, ...} 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...,{ Z

#A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato

da palavra Zahl em alemão, significar número.

## N (todo número natural é um número inteiro)

1.3 Números Racionais (Símbolo Q)

0b ,,/

bab

aQ

# A utilização da letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa

quociente, já que a forma geral de um número racional é um

quociente de dois números inteiros.

## (i) Z Q (todo número inteiro é um número racional).

(ii) Toda dízima periódica é um número racional.

(iii) Ao fazer medições notaram que nem sempre as medidas são exatas.

Exemplos: 3

130,0,33333... ;

2

55,2

1.4 Números Irracionais (Símbolo CQ )

São os números que não podem ser escritos na forma: *Zb e Za ,

b

a

Exemplos:

1) Determinação da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1.

Aplicando o teorema de Pitágoras,

temos:

2Hip , onde: ...4142136,12

2) O número pi ...)1415927,3( : Geometricamente:

nciacircunferê da da diâmetro

nciacircunferê da ocomprimentπ

D

C

onde: rD 2 , com r : raio da circunferência.

r

C

D

C

2 rC 2

3) Diagonal de um cubo de aresta a

Aplicando duas vezes o teorema de

Pitágoras, temos:

3aD , onde: ...7320508,13

4) O número de Euler ...)7182818,2( e , usado, por exemplo, no sistema de

capitalização composta contínua (usado em juros compostos, por exemplo).

ATENÇÃO! Os números irracionais possuem infinitos algarismos decimais não-

periódicos. Exemplos de alguns números irracionais especiais:

Radicias ( 3,2 ): a raiz quadrada de um número natural, se não é

inteira, é irracional.

O número : 3,141592653...

O número e: 2,718... (muito importante em matemática avançada).

O número de ouro ( ):

2

511,61803...

Números reais: (Símbolo IR )

IR = Q Q’

Existe uma correspondência biunívoca entre todos os números reais e os pontos de uma

reta, conforme Figura 1.

Fig 1: Reta Real

1. SUBCONJUNTOS DE NÚMEROS REAIS

1.1 Desigualdades

A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados.

Usando os símbolos usuais para maior (>), maior ou igual (≥), menor (<), menor ou igual

(≤), podemos ver, por exemplo, que se a, b ∈ R e a < b, então b − a > 0; no eixo

coordenado temos que a está à esquerda de b. Para todo a, b ∈ R temos: ou a > b, ou a <

b, ou a = b.

Muitos subconjuntos de R são definidos através de desigualdades. Os mais importantes

são os intervalos.

1.2 Intervalos

Um subconjunto I, de números reais, é dito um intervalo se dados dois pontos

quaisquer a e bI, todos os pontos de R entre a e b também pertencem a I (a grosso modo,

um intervalo não deve ter "falhas". Logo, Intervalos são conjuntos de números reais, que

correspondem a segmentos de reta sobre um eixo coordenado.

1.2.1 Intervalos Finitos Se ba e se ba então:

a) Intervalo aberto de a a b, denotado por b,a ou b,a ou bxa/x é o

segmento de reta que se estende de a até b, excluindo-se os extremos. A Figura 2

ilustra este tipo de intervalo.

Fig 2: Intervalo Aberto

b) Intervalo fechado de a a b, denotado por b,a ou bxa/x é o segmento de

reta que se estende de a até b, incluindo-se os extremos. A Figura 3 ilustra este tipo

de intervalo.

Fig 3: Intervalo Fechado

c) Intervalo semi-aberto à esquerda, denotado por b,a ou b,a ou bxa/x

é o segmento de reta que se estende de a até b, excluindo-se a e incluindo-se b. A

Figura 4 ilustra este tipo de intervalo.

Fig 4: Intervalo Semi-Aberto à Esquerda

d) Intervalo semi-aberto à direita, denotado por b,a ou b,a ou bxa/x é

o segmento de reta que se estende de a até b, incluindo-se a e excluindo-se b. A Figura

5 ilustra este tipo de intervalo.

Fig 5: Intervalo Semi-Aberto à Direita

1.2.2 Intervalos Infinitos

Usaremos o símbolo (infinito positivo) e o símbolo (infinito negativo).

Sendo a um número real, tem-se:

a) A notação ,a ou ,a ou ax/x , representa todos os números reais

maiores que a. A Figura 6 (a) ilustra este tipo de intervalo.

b) A notação ,a ou ,a ou ax/x , representa todos os números reais

maiores ou igual a a. A Figura 6 (b) ilustra este tipo de intervalo.

c) A notação a, ou a, ou ax/x , representa todos os números reais

menores que a. A Figura 6 (c) ilustra este tipo de intervalo.

d) A notação a, ou a, ou ax/x , representa todos os números reais

menores ou igual a a. A Figura 6 (d) ilustra este tipo de intervalo.

e) A notação , ou , ou simplesmente , indica o conjunto de todos os

números reais. A Figura 6 (e) ilustra este intervalo.

a b

a b

a b

a b

Fig 6: Intervalos Infinitos

2. OPERAÇÕES COM COJUNTOS

Um conjunto pode ser interpretado como uma coleção de objetos de qualquer

natureza. Estes objetos são os elementos do conjunto. Se S é um conjunto, então Sa

significa que a é elemento de S. Se Sa significa que a não é elemento de S. Se todo

elemento de um conjunto S é também elemento de um conjunto T, diz-se que S é

subconjunto de T. Dois conjuntos S e T dizem-se iguais e escreve-se TS se S e T

contém precisamente os mesmos elementos. TS indica que S e T não são iguais.

Se S e T são conjuntos, sua união TS consiste dos elementos que estão em S,

ou em T, ou em ambos.

A intersecção TS consiste dos elementos comuns aos dois conjuntos S e T.

A diferença S T consiste dos elementos que estão em S e não pertencem a T.

VALOR ABSOLUTO

O módulo ou o valor absoluto de um número x está associado ao conceito de distância desse

número até a origem do sistema e é representado por |x|. Sabendo que a distância é uma

medida não negativa, o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero, sendo que

é igual a zero somente no caso desse número ser o próprio zero. Observe a representação

abaixo:

Formalmente, escrevemos |x|=-x, se x<0 e |x|=x, se x>0. Essa expressão significa que o módulo de qualquer número negativo será o seu oposto e para qualquer número positivo, ou para o zero, o valor absoluto é igual ao próprio número.

Identidade importante

(e)

(c)

a

(d)

a

a

a

(a)

(b)

Vejamos um exemplo:

?????????????????????

Sabemos que

|x|=36 que é uma equação modular. De uma forma geral, se k é um número real positivo, temos: | x| = k → x = k ou x = - k Daí, | x | = 36 → x = 36 ou x = -36 Portanto, S = {-36, 36}

FUNÇÕES

Sejam P um conjunto de pessoas e I o conjunto de suas impressões digitais (10

para cada uma delas). Como a relação impressão digital e pessoa tem interesse prático,

consideremos os pares ordenados (impressão digital, pessoa) . Esses pares são elementos

do produto cartesiano IxP. Chamamos a esse subconjunto uma relação; porém, esta

possui uma propriedade especial: cada impressão digital, x, está associada exatamente a

uma única pessoa, y. Assim, dada uma impressão digital podemos identificar exatamente

uma pessoa. A esta relação especial damos o nome de função. O termo função significa

que há uma correspondência única e exprime uma relação de dependência entre as

grandezas

Deste modo, podemos dizer que: “uma função é um conjunto de pares ordenados

(x, y), de modo que a cada x, chamada variável independente, corresponde um único

valor de y, designado por variável dependente. “

De um modo geral, podemos dizer que as funções são dadas por: uma lei da

função, uma tabela, um gráfico e ainda por Diagrama

Definição: Uma função f é uma lei (uma relação) para a qual cada elemento x de um

conjunto A faz corresponder exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B.

Identifique quais diagramas representam funções:

Exemplos:

a) b)

c) d)

DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO

Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:

f : A B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )

x y f ( x ) (a cada elemento x A corresponde um único y B )

O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O

domínio da função também chamado campo de definição ou campo de existência da

função, serve para definir em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores

possíveis para a variável x .

O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD É

no contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do

domínio.

Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A

esse valor de y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os

A B

1

3

5

1

3

5

A B

2

-3

1

5

A B

1

3

-3

1

4

9

3

-2

-3

0

-5

0

7

-1

A B

valores de y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que

indicaremos por Im . Note que o conjunto imagem da função é um subconjunto do

contradomínio da mesma.

f : A B

x y f ( x )

D A , CD B , Im { y CD / y é correspondente de algum valor de x }.

Graficamente temos:

CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES

As funções são classificadas em:

inversasediretasasHiperbólic

lg

inversasediretasricasTrigonomét

asLogarítmic

lExponencia

ntesTranscende

sIrracionai

asFracionári

InteirasRacionais

sPolinomiai

ébricasA

GRÁFICO DA FUNÇÃO

O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) de um plano coordenado

tal que x pertence ao domínio de f e y à imagem de f. Sendo f (x) y .

A curva ao lado representa o gráfico de uma função?

Não. Porque se fx é uma função, um ponto do seu

domínio pode ter somente uma imagem.

Portanto o gráfico de uma função não pode passar acima

ou abaixo de si mesma. Assim, o domínio de uma

função é o conjunto de todas as abscissas dos pontos

sobre o gráfico, enquanto que sua imagem é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos

do seu gráfico.

Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de A em B se f é ou não

função: basta verificarmos se a reta paralela ao eixo y, encontra sempre o gráfico de

f em um só ponto.

Exemplos:

1) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função y = 2x + 4.

2) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função 2

1

xy .

3) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função 42 xy .

4) Qual dos gráficos seguintes representa uma função de *

em .

5) Dê o domínio das funções:

a) 3x

1xy

2

b)

9x

x2)x(f

2

c)

x

xy

6

105

d) 62

2

4

45

x

xxy

e) 32

2

273

299

xx

xxy

f) 62

2

4

45

x

xxy

g) 5 2 65 xxy

fx

y

x x1

Q

P

Exercícios propostos

1) Verificar se cada gráfico a seguir representa função:

2) Determinar os domínios das funções reais:

a) f(x) = 4 32

53

23 x

xx Resp. D(f) = IR

b) f(x) = x

x

26

1

Resp. D(f) = IR – {3}

c) f(x) = 5 312 x Resp. D(f) = IR

d) f(x) = 4 312 x Resp. D(f) = {x IR/ x 4}

e) f(x) = 2

2

4

45

x

xx

Resp. D(f) = {x IR/-2 <x 1 ou 2 < x 4}

f) f(x) = 3 32

1

x Resp. D(f) = {x IR/x -3/2 }

g) f(x) = 3

42

7

1

5

82

35

x

x

x

x

x

x Resp. D(f) = {x IR/ x < 1 e x - 4}

3) Construa o gráfico e dê o domínio e imagem das funções:

a) f: {(x;y) IR2/ y = x2 }

b) f: {(x;y) IR2/ y = x5 }

c) f: {(x;y) IR2/

xse

xse

xse

y

24

211

13

}

d) f: {(x;y) IR2/ 3

92

x

xy }

e)f: {(x;y) IR2 / )3)(12(

)9)(43(2

22

xxx

xxxy }

f) f: {(x;y) IR2/

2 ,7

2 ,2

xse

xsexy }

4) Determine o domínio e a imagem das funções de gráficos:

PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES

Função Injetora

Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, dois elementos distintos quaisquer

do domínio de f possuem imagens distintas em B. Sendo x1 A e x2 A, temos: x1 x2,

f(x1) f(x2).

Função Sobrejetora

Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, Im(f ) = B, onde B é CD(f ).

Função Bijetora

Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, é injetora e sobrejetora.

Reconhecimento de função injetora, sobrejetora ou bijetora através do gráfico

Devemos analisar o número de pontos de interseção das retas paralelas ao eixo x,

conduzidas por cada ponto (0, y) em que y B (contradomínio de f)

1º) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um só ponto ou não cortar o gráfico, então

a função é injetora.

Exemplo 1)

f: R R b) f: R+ R

f(x) = x f(x) = x2

2º) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um ou mais pontos, então a função é

sobrejetora.

Exemplo 2)

f: R R b) f: R R+

f(x) = x -1 f(x) = x2

3º) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto, então a função é bijetora.

Exemplo 3)

f: R R b) f: R R

f(x) = 2x f(x) = x3

FUNÇÃO PAR E IMPAR

f é par f(x) = f(-x), x D(f)

f é ímpar f(x) = -f(-x), x D(f)

Funções Iguais:

Duas funções f: A B e g: C D são iguais se, e somente se, A = C, B = D e f(x) =

g(x) x A.

FUNÇÃO INVERSA

Dada a função f a sua inversa denotada por f –1 existe se o ponto (a , b) está no

gráfico de f e o ponto (b , a) está no gráfico de f -1.

Os pontos (a , b) e (b , a) são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes,

ou seja, o gráfico de f e f –1 são simétricos em relação á reta y = x , e então o domínio de

f é a imagem de f –1 e a imagem de f é o domínio de f -1.

Obs: Para admitir inversa a função deve ser bijetora.

Para obtermos a inversa procedemos da seguinte forma:

a) trocamos x por y na função f;

b) isolamos y.

Exemplo 4) Seja y = 2x + 3. Determine a sua inversa, se existir.

x = 2y + 3

2

31 x

y

y = x f

f -1

logo 2

3)(1 x

xf

Gráficos de outras inversas

OPERAÇÕES COM FUNÇÕES

Dadas duas funções f e g cujos domínios se sobreponham, define-se:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

(f . g) (x) = f(x) . g(x)

(f/g) (x) = f(x) / g(x)

Em cada caso, o domínio da função definida consiste em todos os valores de x comuns

aos domínios de f e g, exceto no quarto caso, onde os valores de x tais que g(x) = 0 serão

excluídos.

Exemplos 5) Sejam f(x) = x2 + 3 e g(x) = 2x - 1, obter:

a) (f +g)(x) =

b) (f –g)(x) =

c) (f.g)(x)=

d) (f/g)(x)=

FUNÇÃO COMPOSTA

y = x3

y = log(x)

y = 10x

DEFINIÇÃO: Sejam as funções f de A em B, e g de B em C. Função composta de f em

(g o f)(x) é a função de A em C definida por (g o f)(x) = g(f(x))

Exemplo 6) Dadas as funções f(x) = 4x – a e g(x) = 3x + 4. Calcule o valor de a para que

f(g(x)) = g(f(x)).

Exemplo 7) Seja f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x – 5. Calcule f -1(g(x)).