UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA

MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE MATEMÁTICA

LARISSA WEYH MONZON

A ABORDAGEM DOS NÚMEROS COMPLEXOS NO ENSINO MÉDIO

PORTO ALEGRE

2010

2

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 3

2 OS NÚMEROS COMPLEXOS NA HISTÓRIA ............................................................................. 5

3 O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ....................................................................... 10

3.1 DEFINIÇÃO ALGÉBRICA ...................................................................................................... 10

3.2 POTÊNCIAS DE .................................................................................................................... 10

3.3 DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA .................................................................................................. 11

3.4 MÓDULOS E CONJUGADOS ............................................................................................... 11

3.5 TRIGONOMETRIA E OS NÚMEROS COMPLEXOS ........................................................ 12

4 O ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS ................................................................................. 13

4.1 NOS LIVROS DIDÁTICOS ..................................................................................................... 13

4.2 NOS PCN+ ................................................................................................................................ 14

4.3 NO REFERENCIAL CURRICULAR: LIÇÕES DO RIO GRANDE.................................... 16

5 A APRENDIZAGEM ....................................................................................................................... 18

6 POR QUE E COMO ENSINAR NÚMEROS COMPLEXOS ..................................................... 19

7 CONCLUSÃO .................................................................................................................................. 22

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................... 23

3

1 INTRODUÇÃO

A partir da procura de um objeto que possa ser analisado e criticado por uma

Engenharia didática, com o intuito de melhorar seu ensino, parto para a reflexão do

ensino dos Números Complexos no ensino Médio.

A abordagem dos números complexos causa a impressão de não ter sentido,

mal compreendido pelos alunos e fora de contexto. Pela abordagem dos livros, os

números complexos são estudados somente para serem trabalhados com eles

próprios, ou seja, sem nenhuma relação com nenhum outro aspecto da matemática

ou das ciências.

Por essas razões foi buscado conhecer melhor esses números para, assim,

poder pensar e analisar o porquê o como trabalhar com uma abordagem mais

significativa desse conjunto.

O seu contexto histórico é muito interessante, pois mostra os impasses, as

limitações e as reservas que os matemáticos tiveram perante esses números, e

finalmente por que e como aceitaram esses números.

Há também sua relação direta com problemas de geometria, onde muitos

podem ser resolvidos pelas operações de números complexos, e alguns de forma

mais simples e direta, fazendo com que o aluno possa refletir e investigar uma

melhor abordagem para a resolução dos problemas propostos.

Nessa pesquisa, me dediquei a enxergar como se poderiam ensinar esses

números no ensino médio e diante dessas alternativas, ainda pude verificar que a

Geometria dinâmica seria muito bem empregada para facilitar e auxiliar ainda mais a

compreensão.

Assim, organizo este trabalho no desenvolvimento histórico do Conjunto dos

Complexos e faço uma rápida abordagem sobre sua dimensão epistemológica.

Em uma dimensão didática analiso como é atualmente o ensino desse

assunto nos livros didáticos, nos PCN e nos Referenciais Curriculares do Rio Grande

do Sul.

E finalmente, analisando a parte cognitiva, verifiquei como os alunos estão

aprendendo, a partir de obras já publicadas sobre o assunto. Assim, pude refletir se

4

é possível e como seria uma nova proposta de ensino do conteúdo de Números

Complexos no Ensino Médio, tal proposta que deixarei para fazer como um trabalho

posterior.

5

2 OS NÚMEROS COMPLEXOS NA HISTÓRIA

O surgimento dos números se deu para expressar medidas de grandeza, ou

seja, aos números positivos. Até a concepção do conjunto dos números reais (a

inclusão dos números negativos, dos racionais e irracionais) já se deu uma longa

caminhada.

O primeiro problema a requerer o uso dos números complexos foi a resolução

das equações quadráticas. As equações de segundo grau apareceram na

matemática aproximadamente 1700 anos antes de Cristo e, ocasionalmente,

levaram a radicais de números negativos, porém não foram elas que fizeram com

que os números complexos fossem abordados.

Na época, uma equação era desenvolvida para solucionar um problema

concreto, assim, se no processo de resolução aparecia uma raiz quadrada de um

número negativo, simplesmente isso indicava que o problema inicial não tinha

solução.

Vejamos alguns exemplos desses casos.

O primeiro registro de um radical de um número negativo é encontrado na

Estereometria do matemático grego Herón, publicado aproximadamente 75 d.C.

Num cálculo sobre o desenho de uma pirâmide aparece a expressão ,

mas logo em seguida, para dar continuidade aos cálculos, a expressão aparece da

seguinte maneira: .

Algum tempo depois temos no livro Arithmetica de Diophanto,

aproximadamente 275 d.C, a descrição do seguinte problema: um triângulo

retângulo tem área igual a 7 e seu perímetro é 12 unidades. Encontre o comprimento

dos seus lados.

Usando nossa notação atual, e indicando com e os catetos desse

triângulo, temos:

6

Desenvolvendo esse sistema e substituindo em função de , obtemos a

seguinte equação:

cujas raízes são:

Nesse momento, Diophanto observa que somente poderia haver solução se

, deixando de lado a expressão . Nesse exemplo, podemos

ver claramente que quando o autor se deparou com a raiz quadrada de um número

negativo passou para outro método de resolução.

Em relação a esses radicais, podemos destacar manuscritos encontrados do

tipo:

“...como na natureza das coisas um negativo não é um quadrado, ele não

tem, portanto, raiz quadrada”. (matemático indiano Mahavira, 850 d.C)

“...Não há raiz quadrada de um negativo; pois ele não é um quadrado”

(Bhaskara, século XII).

O matemático italiano Girolamo Cardano que dá um passo a frente na

resolução desses problemas que aparecem raízes de números negativos (início do

século XVI). No capítulo 37 do seu livro Ars Magna, ele considera o problema de

dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40.

Se chamanos de o comprimento de uma das partes, a outra terá

comprimento – , e a condição do problema se traduz na equação:

Cujas soluções são . Cardano reconhece que o problema dado

não tem solução, mas, observa que, considerando as raízes como números, ele

obtém:

x 10 - x

7

Se , então e da

multiplicação .

Na seqüência, ele chama essas soluções de raízes sofísticas da equação,

que são sutis quanto inúteis.

Raphael Bombelli era um admirador do livro de Cardano, porém achava que

sua exposição não era muito clara. Decidiu então escrever um livro, expondo os

mesmos assuntos, mas da forma que um principiante pudesse entender. Publicou

l’Algebra, em 1572, cujo objetivo principal era generalizar as fórmulas de Cardano

para resolução de equações de 3º grau para qualquer caso. No capítulo II dessa

obra, ele estuda as equações de grau não superior a 4. Um caso particular que ele

considera, é a equação . Ao aplicar a fórmula de Cardano para

descobrir uma raiz, obtém:

Também chamando essa solução de sofística, mas ele percebe que é,

de fato, uma raiz da equação.

Assim, pela primeira vez, mesmo nos deparando com raiz de um número

negativo, temos solução para a equação trabalhada.

Bombelli considerava então a possibilidade de que exista uma expressão da

forma que possa ser considerada como raiz cúbica de .

Realizando algumas operações, considerando essa possibilidade, ele encontrou que

a raiz cúbica dessa expressão era

, e que:

que já havia visto como solução da equação dada. Ou seja, ele provou, que

era solução da equação utilizando as expressões que antes eram ignoradas.

Ele diz:

Eu achei uma espécie de raiz cúbica muito diferente das outras, que

aparece no capítulo sobre o cubo igual a uma quantidade e um número....A

princípio, a coisa toda me pareceu mais baseada em sofismas que na

verdade, mas eu procurei até que achei uma prova...(BOMBELLI, 1572,

apud MILIES, 1993, p. 8).

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Impressionados pelo aspecto artificioso, tais números eram usados pelos

algebristas da época de uma forma não muito clara, não olhavam para eles

realmente como números.

No século XVII, Descartes na Geometria chamou-os de imaginários. Leibniz,

chegou a atribuir-lhes caracterização filosófica própria, considerando como uma

natureza secreta, como monstro do mundo ideal, como algo aleijado da natureza

dos números.

Moivre, no século XVIII empregou-os para estabelecer sua fórmula, uma das

fundamentais da trigonometria, concedendo aos imaginários a cidadania matemática

ao afirmar que a raiz quadrada da unidade negativa era um símbolo. Mais tarde em

1777, Euler designou-o por , e passaram a adquirir a seguinte forma:

Esse símbolo apareceu impresso pela primeira vez em 1794 e se tornou

amplamente aceito após seu uso por Gauss, em 1801.

Como podemos observar, a partir do trabalho de Bombelli que os números

complexos começaram a ser utilizados, pela sua clara necessidade na resolução de

equações de 3º grau, mas ao mesmo tempo, era claro, que tais números não

podiam existir.

Uma simples representação geométrica foi o suficiente para fazer

desaparecer todas as dúvidas e reservas que ainda existiam em cima desses

números. Foi de tal modo suficiente que não só justificou o cálculo formal dos

complexos com base nas definições formais de adição em multiplicação, como

também fez com que essas operações resultassem mais naturais sob o ponto de

vista intuitivo. A possibilidade dessa representação era clara para vários autores,

como Cotes, de Moivre, Euler e Vandermonde; todos eles tentaram resolver a

equação pensando em suas soluções como vértices de um polígono

regular de lados.

Essa representação geométrica foi realizada por um topógrafo norueguês,

Caspar Wessel, que em 1797 entregou à Academia Dinamarquesa de Ciências e

Letras um memorial Sobre a representação analítica da direção: uma tentativa,

publicada em 1799. Ele representa o complexo pelo vetor do plano com

origem O e com extremo no ponto P de coordenadas . Depois dá uma

9

representação geométrica da soma de dois complexos e ,

representando-os pelos vetores OP e OQ, respectivamente, e observando que a

soma estará representada pela diagonal do paralelogramo construído sobre OP e

OQ.

Porém, quem tornou a representação geométrica amplamente aceita foi Carl

Friederich Gauss. A Wessel cabe todas as honras dessa proeza, mas a Gauss deve-

se o mérito de ter sido o primeiro matemático a empregar os números imaginários

em trabalhos de pesquisa. Segundo Carneiro (2004), foi com os números complexos

que Gauss demonstrou quais polígonos regulares são construtíveis e de que todo

polinômio de coeficientes reais pode ser decomposto em fatores de grau máximo

dois (Teorema Fundamental da Álgebra).

A observação de Gauss a respeito da existência objetiva dos números

complexos ilustra a visão da matemática da época. Parece que o fato de esses

números poderem ser representados geometricamente lhes da essa existência.

10

3 O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

3.1 DEFINIÇÃO ALGÉBRICA

Os números complexos consistem no conjunto ℂ, onde estão definidas as

operações de adição e de multiplicação com as propriedades: comutativa,

associativa e distributiva. E, além disso, os números reais estão contidos nesse

conjunto.

Em relação ao conjunto ℂ, ainda devemos destacar:

a) Existe um número complexo com .

b) Todo número complexo pode ser escrita de uma maneira única na forma

, onde e são reais, chamada de parte real e de parte

imaginária do complexo.

Podemos operar com os números complexos de maneira análoga à que

operamos com os números reais. Por exemplo,

1) Adição:

2) Multiplicação:

Observe que, se todos os números complexos podem ser escritos da forma

, os complexos da forma são números reais e da forma

chamamos de imaginários puros, pois não possuem parte real.

Ainda, se , então e , isto é, se dois complexos são

iguais, suas partes reais e imaginárias são iguais.

3.2 POTÊNCIAS DE

Note que:

11

...

3.3 DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA

A definição dos números complexos como , com , reais, sugere

uma relação direta entre esses números e os pares ordenados , ou seja,

Ou ainda, podemos verificar a relação do complexo , com o vetor de

origem O e extremidade no ponto P de coordenadas . Conforme a figura que

segue:

Figura 1

3.4 MÓDULOS E CONJUGADOS

b

a O

z

12

Vamos definir o conjugado de um número complexo como o

número complexo . Geometricamente o conjugado de é o simétrico a ele

em relação ao eixo da parte real.

E chama-se de módulo de o número real não negativo definido por

. Geometricamente, o módulo de z é a distância da origem ao ponto .

3.5 TRIGONOMETRIA E OS NÚMEROS COMPLEXOS

Conforme Carmo et al. (2005), a representação do número complexo

dá ênfase às coordenadas e a representação que dá ênfase ao vetor é a

representação trigonométrica.

Observe a figura:

Figura 2

, onde

13

4 O ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS

4.1 NOS LIVROS DIDÁTICOS

Na análise direta de três livros didáticos utilizados nas escolas públicas e

privadas, é possível concluir que o ensino dos números complexos está de forma

isolada dos outros conteúdos do ensino médio, como menciona Oliveira (2010), o

conteúdo é apresentado faltando conexões com outras áreas, ainda que os livros

tenham recém abordado Geometria Analítica e ressalto ainda que o conteúdo de

Polinômios também se dá no mesmo ano.

Dois dos livros analisados começam com uma breve descrição histórica. O

livro 1comenta que não foram as equações de 2º grau que fizeram surgir estes

números, mas ambos começam a apresentação do conteúdo com a resolução de

uma e o livro 2 faz o seguinte comentário: “convencidos da necessidade de se dar

uma interpretação a raízes quadradas de números negativos, os matemáticos

criaram o número , chamando de unidade imaginária, tal que .” Esta

descrição passa a falsa impressão que a construção das raízes de números

negativos ocorreu de repente.

O terceiro livro revisa todos os conjuntos numéricos e então conclui:

“sabemos que, se R, então . Assim a equação não tem solução

em R. Por isso, temos que estender o conjuntos dos números reais para ter um novo

conjunto chamado de Números Complexos”.

A justificativa dessa extensão será que é vista de forma clara e convincente

para os alunos? Simplesmente temos que ter com conjunto para que possamos

resolver certos tipos de equações?

Esse tipo de abordagem faz parecer que a matemática é mágica, e

que nunca haverá obstáculos para a mesma, pois qualquer que seja a

dificuldade pode-se inventar algum conceito ... que supere essa

dificuldade....alguém decidiu que era o momento de inventar os números

complexos e simplesmente diz que . (ROSA, p. 81, 1998)

Somente o livro 3 inicia o conceito pela forma de par ordenado, mas não

apresenta o plano Argand-Gauss, o que facilitaria a interpretação do aluno para essa

14

abordagem. Resolve todas as propriedades que existiam para os números reais na

forma par ordenado.

O livro 1 apresenta a forma algébrica dos números complexos, posteriormente

a forma como par ordenado, mas somente para o conjugado do número complexo

que apresenta a interpretação geométrica, para a igualdade, e as operações de

adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação somente pelo interpretação

algébrica. A forma trigonométrica é apresentada utilizando o auxílio do plano, mas

para fazer realizar as operações nesse formato não aparece nenhuma

representação visual.

O livro 2 trabalha todos os itens do capítulo de Números complexos sem tocar

na forma geométrica, somente no final faz uma breve descrição como par ordenado

partindo para a forma trigonométrica.

Somente o livro 3 que apresenta um pouco mais dos complexos via

interpretação geométrica, faz além da forma como par ordenado, a interpretação por

vetores, que nenhum dos outros livros sequer menciona. Realiza as interpretações

tanto algébrica como geométrica para o conjugado, a adição, o módulo e a

multiplicação. Ainda possui um item de Outras aplicações, onde menciona a

aplicação a geometria para a rotação de coordenadas e à engenharia elétrica.

4.2 NOS PCN+

Após a leitura das Orientações Educacionais Complementares aos

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN Ensino Médio +, 2002) podemos refletir

sobre várias competências e habilidades que podem ser desenvolvidas no ensino de

Números complexos, principalmente realizando uma intervenção geométrica e ainda

na sua construção histórica. Ensinar de maneira a abordar essas competências e

habilidades faz com que o ensino escolar se torne mais eficaz e válido para o

educando.

Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e

relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de

competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida

que instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o

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para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens

específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar

decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua

formação. (PCN+, p. 111, 2002)

Entre as competências que podem ser exploradas no ensino dos números

complexos podemos destacar:

- Reconhecer e utilizar adequadamente, na forma oral e escrita, símbolos,

códigos e nomenclatura da linguagem científica;

- Ler e interpretar dados ou informações apresentados em diferentes

linguagens e representações, como tabelas, gráficos, esquemas, diagramas, árvores

de possibilidades, fórmulas, equações ou representações geométricas;

- Traduzir uma situação dada em determinada linguagem para outra; por

exemplo, transformar situações dadas em linguagem discursiva em esquemas,

tabelas, gráficos, desenhos, fórmulas ou equações matemáticas e vice-versa, assim

como transformar as linguagens mais específicas umas nas outras, como tabelas em

gráficos ou equações;

- Identificar as relações envolvidas e elaborar possíveis estratégias para

enfrentar uma dada situação-problema;

- Frente a uma situação ou problema, reconhecer a sua natureza e situar o

objeto de estudo dentro dos diferentes campos da Matemática, ou seja, decidir-se

pela utilização das formas algébrica, numérica, geométrica, combinatória ou

estatística;

- Construir uma visão sistematizada das diferentes linguagens e campos de

estudo da Matemática, estabelecendo conexões entre seus diferentes temas e

conteúdos, para fazer uso do conhecimento de forma integrada e articulada;

- Reconhecer relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento,

percebendo sua presença nos mais variados campos de estudo e da vida humana,

seja nas demais ciências, como a Física, Química e Biologia;

- Compreender a construção do conhecimento matemático como um processo

histórico, em estreita relação com as condições sociais, políticas e econômicas de

uma determinada época, de modo a permitir a aquisição de uma visão crítica da

ciência em constante construção, sem dogmatismos ou certezas definitivas.

16

O ensino de matemática no ensino médio é dividido nos seguintes eixos pelos

PCN+:

1. Álgebra: números e funções

2. Geometria e medidas

3. Análise de dados

Em descrição aos eixos, o documento engloba o ensino de números

complexos no primeiro item álgebra: “Os objetos de estudo são os campos

numéricos dos números reais e, eventualmente, os números complexos e as

funções e equações de variáveis ou incógnitas reais”.

Quando trata diretamente como os conteúdos devem ser trabalhados,

infelizmente não dá a devida importância ao conjunto dos números complexos como

deveria dar.

Tradicionalmente, a Matemática do ensino médio trata da ampliação

do conjunto numérico, introduzindo os números complexos. Como esse

tema isolado da resolução de equações perde seu sentido para os que não

continuarão seus estudos na área, ele pode ser tratado na parte flexível do

currículo das escolas. (PCN +, p. 122, 2002)

Como salienta Oliveira (2010), mesmo isolado dos estudos de equações, o

conjunto dos números complexos não perde seu significado, mesmo para alunos

que não vão seguir seus estudos, pois ele está estritamente relacionado com

estudos que já foram vistos (equações de 2º grau e geometria analítica, por

exemplo) desde que sejam abordados com tal articulação.

4.3 NO REFERENCIAL CURRICULAR: LIÇÕES DO RIO GRANDE

Com o objetivo de unificar o currículo do ensino das escolas estaduais do Rio

Grande do Sul, a secretaria do estado elaborou um referencial curricular para que

todas as escolas o tivessem como parâmetro no momento de preparar as suas

aulas, se baseando nas experiências de São Paulo e Minas Gerais.

A proposta de Referencial Curricular do Rio Grande do Sul contém

as habilidades e competências cognitivas e o conjunto mínimo de conteúdos

que devem ser desenvolvidos em cada um dos anos letivos dos quando

17

anos finais do ensino fundamentos e no ensino médio. (ABREU, p. 10,

2009)

Nos referenciais discutidos, o estudo de números complexos se dá no início

do terceiro ano do ensino médio, que devem ser apresentados a partir da resolução

de equações de 2º grau, bem como mencionar os aspectos históricos que

evidenciam a ampliação do conjunto dos números reais e salienta as seguintes

habilidades e competências que deve abranger:

- Reconhecer equações de 2º grau que não tem raízes reais;

- Identificar o contexto histórico que os números complexos foram

desenvolvidos;

- Reconhecer um número complexo como a resolução de uma equação de 2º

grau;

- Identificar a parte real e a parte imaginária de um complexo;

- Identificar números complexos;

- Reconhecer um número real como um número complexo;

- Identificar que o conjunto dos números reais está contido no Conjunto dos

Números Complexos;

- Representar um número complexo como um par ordenado, localizando o

plano complexo;

- Ler e interpretar diferentes linguagens e representações.

Ainda sugere que o professor decidirá, considerando os conhecimentos

prévios de seus alunos e do seu tempo, como se dará sobre a amplitude desse

estudo.

18

5 A APRENDIZAGEM

Segundo Carneiro (2004) o estudo de números complexos é visto de forma

única no ensino, sendo taxados de assunto elementar, estranhos, de compreensão

difícil e de inúteis.

Analisando algumas pesquisas já realizadas em relação ao ensino dos

Números Complexos, podemos destacar o que Oliveira (2010) descobriu do seu

questionário feito a alunos que já haviam estudado o assunto:

- que nenhum aluno relaciona os números complexos com geometria, nem

rotações ou translações no plano complexo;

- todos os alunos acreditam que os números complexos vieram para a

resolução da equação de 2º grau, quando aparece uma raiz de um número negativo;

- nunca resolveram algum problema de geometria utilizando complexos;

- não assimilam a idéia de conjugado no plano complexo;

- não conhecem a relação da regra do paralelogramo com a adição de

números complexos;

- ao se tratar de problemas com o plano, apelam para cálculos algébricos de

números particulares para poder responder.

Na pesquisa de Rosa (1998), novamente todos os alunos achavam que os

números complexos surgiram para resolver equações quadráticas e a maioria dos

alunos julga os números complexos como símbolos, fora da realidade. Dos 31

alunos entrevistados, que já haviam estudado complexos, somente três souberam

representar um número complexo como par ordenado e na sua maioria

apresentando muita dificuldade nas operações com esses números.

Já os estudos de Aráujo (2006) levaram em consideração uma entrevista

realizada com 20 professores de matemática, onde foi constatado que 6 desses

iniciam suas atividades através de um problema que requer uso de complexos, 2 por

contextualização histórica e somente um no plano cartesiano. Em relação as

dificuldades que seus alunos tinham, relacionaram à falta de exercícios

interessantes e abertos nos livros didáticos. E nove dos entrevistados, ou seja,

grande parte diz que a maior dificuldade dos alunos está na forma trigonométrica e

suas aplicações.

19

6 POR QUE E COMO ENSINAR NÚMEROS COMPLEXOS

Podemos ver na descrição anterior como os números complexos são vistos

na escola, de forma isolada sem aplicação e contextualização histórica.

O questionamento de por que ensinar Números complexos é encontrado uma

resposta nos próprios PCN+ que limitou seu estudo:

Em nossa sociedade, o conhecimento matemático é necessário em

uma grande diversidade de situações, como apoio a outras áreas do

conhecimento, como instrumento para lidar com situações da vida cotidiana

ou, ainda, como forma de desenvolver habilidade de pensamento.

(PCN+, p. 111, 2002,grifo nosso)

Como Carneiro (2004) menciona, é bastante claro para quem trabalha com

matemática hoje que o segredo da aplicação dos números complexos está na suas

rotações e translações no plano e é por isso sua vasta aplicação em circuitos

elétricos, corrente alternada, astronomia, motores e mecânica quântica.

Em relação como ensinar, temos a própria história que nos diz, segundo

Milies (1993), é a representação geométrica que dá existência para esses números.

Se para grandes matemáticos era difícil a aceitação desses números, como para

nossos alunos não vai ser? E se para eles tudo fluiu quando foi dada sua

representação matemática geométrica porque queremos ensinar diferente para os

nossos alunos?

A contextualização histórica também é muito interessante, pois caracteriza a

necessidade da existência e da evolução desses números dando um significado

para os alunos.

...sua dimensão histórica e sua estreita relação com a sociedade e

a cultura em diferentes épocas ampliam e aprofundam o espaço de

conhecimentos não só nesta disciplina, mas nas suas inter-relações com

outras áreas. (PCN+, p. 111, 2002)

Oliveira (2010), na sua dissertação de mestrado defende o ensino dos

números complexos aplicados à problemas da geometria, principalmente a

problemas da geometria analítica, já que o assunto é visto no mesmo ano de ensino.

A vinculação do ensino com a geometria é bastante eficaz, primeiramente

porque torna o conteúdo mais visível para o aluno e mais interessante.

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...na matemática a ser trabalhada na escola, sempre que possível,

álgebra e geometria devem ser colocados em estreita relação. Isto contribui

para a construção de conhecimento mais pleno de significado por parte do

aluno. (CARNEIRO, p. 35, 2007)

A relação entre os números complexos e geometria faz com o aluno tenha

mais de uma opção para a resolução contribuindo com a competência que os PCN+

(2002) defendem que o “aluno precisa analisar e compreender a situação por inteiro,

decidir sobre a melhor estratégia para resolvê-la, tomar decisões, argumentar...”

Ainda segundo Carneiro (2007), Douady defende que os problemas

oferecidos aos alunos envolvam dois domínios, de modo que haja validação da

resolução.

A interação do Conjunto dos Números complexos com problemas da

Geometria analítica faz com os alunos optem pela melhor ou mais rápida solução.

De acordo com Oliveira (2010) há problemas que são muito mais simples de resolver

por meio de operações com números complexos do que por outras formas, como

por exemplo: “ABCD é um quadrado. Se A = (1,2) e B = (2,5) então determine as

coordenadas C e D”, ou o clássico O problema da ilha do tesouro.

Segundo Carneiro (2004) temos as seguintes conseqüências quando não

trabalhamos de forma adequada os números complexos na sua forma geométrica:

1ª) O iniciante permanece com uma visão demasiado formal e

algebrizante, não se beneficiando da riqueza da visualização e não

emprestando um “significado” aos números complexos. ...

2ª) Dificilmente ocorrerá ao estudante aplicar números complexos a

problemas de Geometria (ver Motta (1999)). Sobre este ponto, a experiência

didática tem sido muito ilustrativa. Um exemplo típico é o célebre “problema

da ilha do tesouro” (ver Carneiro (1999) e Carneiro et al. (2001), várias

vezes apresentado para alunos de licenciatura ou em cursos de formação

continuada para professores. Não somente não ocorre aos cursistas usar

complexos para resolver este problema, como os mesmos ficam

extremamente surpreendidos em saber que números complexos tenham

alguma aplicação a um problema “real”. (CARNEIRO, p. 9, 2004)

Em relação à dificuldade dos alunos, relatada na dissertação de Araújo

(2006), na forma trigonométrica, cabe aqui a utilização de Softwares de Geometria

21

dinâmica, o que facilitará a visualização, a manipulação e assim a compreensão dos

alunos em relação a tais números.

Para esse enfoque temos vários exemplos, Carneiro (2004) em Os números

Complexos e a Geometria dinâmica apresenta um sequência didática utilizando o

software Cabri para definição de complexos, conjugado, operações, forma

trigonométrica, unitário, inverso...

Já Batista et al (2009) realizam uma sequência online disponível em

http://www.es.cefetcampos.br/softmat/projeto_TIC/Investigando_em_C/apresentacao

.html, enfatizando a importância do uso da tecnologia no ensino: “as TICs permitem

dar maior destaque ao papel da linguagem gráfica, relativizando a importância do

cálculo e da manipulação simbólica. O enfoque gráfico favorece reflexões e análises

críticas, possibilitando procedimentos menos mecânicos do que os, puramente,

algébricos”.

E recentemente a dissertação de Oliveira (2010) que utiliza o software

Geogebra para realizar uma sequência didática que aborde o estudo dos números

complexos de uma maneira mais significativa via análise gráfica.

22

7 CONCLUSÃO

Posteriormente a este estudo é evidente que o ensino de Números

Complexos é importante, precisa ser ensinado no Ensino Médio, mas precisa de

uma abordagem mais significativa, envolvente e esclarecedora.

E concluo que essa abordagem pode ser feita, tendo em vista várias

alternativas encontradas, como o uso da contextualização histórica, da sua

apresentação geométrica, do seu uso em problemas de geometria e ainda podendo

ser melhor visualizada em softwares de geometria dinâmica, onde há uma maior

interação do aluno.

Assim, fico convencida que os Números Complexos podem e devem ser

objetivos de uma Engenharia didática, para aprimorar e desenvolver realmente o

ensino desses números.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARAÚJO, Nanci Barbosa Ferreira. Números complexos: uma proposta de

mudança metodológica para uma aprendizagem significativa no ensino médio.

2006. 111 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática) –

Centro de Ciências Exatas e da Terra, Universidade Federal do Rio Grande do

Norte, Natal, 2006.

BATISTA, Silvia Cristina Freitas; BARCELOS, Gilmara Teixeira; COSTA, Débora

Maciel da; BEHAR, Patrícia Alejandra. Investigando em C: Uma unidade de

aprendizagem online para estudo de números complexos. Centro Interdisciplinar

de novas Tecnologias na Educação, Porto Alegre, v. 7, n. 1, jul. 2009. Disponível em

< http://www.cinted.ufrgs.br/renote/jul2009/artigos/6d_silvia.pdf>. Acesso em: 01 jul.

2010.

BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Curso de Matemática: volume único, ed.

3. São Paulo: Moderna, 2003.

CARMO, Manfredo Perdigão do; MORGADO, Augusto César; WAGNER, Eduardo.

Trigonometria Números complexos. Coleção do professor de matemática. Rio de

Janeiro: SBM, 2005. 121 p.

CARNEIRO, José Paulo. A geometria e o ensino dos números complexos. In:

Encontro em Educação Matemática, 8, 2004. Recife, Anais...SBEM. 2004.

CARNEIRO, José Paulo; WANDERLEY, Augusto. Os números complexos e a

geometria dinâmica. Disponível em <

http://ensino.univates.br/~chaet/Materiais/complexos_cabri.pdf>. Acesso em: 29

maio 2010.

CARNEIRO, Pedro Sica. Geometria vetorial na escola: uma leitura geométrica

para sistemas de equações. 2007. 213 f. Dissertação (Mestrado Profissionalizante

em Ensino de Matemática) – Instituto de Matemática, UFRGS, Porto Alegre, 2007.

CARNEIRO, Vera Clotilde Garcia. Engenharia didática: Um referencial para ação

investigativa e para formação de professores em matemática. Zetetike,

Campinas-UNICAMP, v. 13, p. 85-118, 2005.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único, ed. 1. São Paulo: Ática, 2005.

24

FERREIRA, Maria Sueli Fonseca. Uma análise dos questionamentos dos alunos

nas aulas de números complexos. 2006. 94 f. Dissertação (Mestrado em Ensino

de Ciências Naturais e Matemática) – Centro de Ciências Exatas e da Terra,

Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2006.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy.

Matemática Fundamental: Uma nova abordagem: Ensino Médio: volume único.

Coleção Delta. São Paulo: FTD, 2002. 712 p.

MILIES, César Polcino. A emergência dos números complexos. Revista do

professor de Matemática, São Paulo, n. 24, p. 5-15, 1993.

OLIVEIRA, Carlos Nely Clementino de. Números Complexos: um estudo dos

registros de representação e de aspectos gráficos. 2010. 191 f. Dissertação

(Mestrado em Educação matemática). Pontifícia Universidade Católica de São

Paulo, São Paulo, 2010.

Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares

Nacionais. Ciências da natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília,

Ministério da educação/ Secretaria da Educação Média e Tecnológica, 2002, 141 p.

Referenciais curriculares do Estado do Rio Grande do Sul: Matemática e suas

Tecnologias. Secretaria do Estado da Educação. Porto Alegre: SE/DP, 2009.

RIPOLL, Jaime Bruck; RIPOLL, Cydara Cavedon; SILVEIRA, José Francisco Porto.

Números Racionais, Reais e Complexos. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 2006.

340 p.

ROSA, Mário Servelli. Números complexos: uma abordagem histórica para

aquisição de conceitos. 1998. 170 f. Dissertação (Mestrado em Educação

Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 1998.

VIGGIANI, Domingos. Alguns aspectos da aplicação dos números complexos à

geometria. 1968. 76 f. Tese, Faculdade de Filosofia, ciências e Letras de Marília,

São Paulo, 1968.