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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO DOUTORADO EM EDUCAÇÃO

PAULO GONÇALO FARIAS GONÇALVES

A ORIENTAÇÃO DA AÇÃO DE CONTROLE NA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS MATEMÁTICOS EM PROFESSORES: UMA EXPERIÊNCIA

FORMATIVA À LUZ DA TEORIA DE P. YA. GALPERIN

NATAL – RN

2020

PAULO GONÇALO FARIAS GONÇALVES

A ORIENTAÇÃO DA AÇÃO DE CONTROLE NA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS MATEMÁTICOS EM PROFESSORES: UMA EXPERIÊNCIA

FORMATIVA À LUZ DA TEORIA DE P. YA. GALPERIN

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Educação, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Educação. Orientador: Prof. Dr. Isauro Beltrán Núñez.

NATAL – RN

2020

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Moacyr de Góes - CE

Gonçalves, Paulo Gonçalo Farias.

A orientação da ação de controle na resolução de problemas

matemáticos em professores: uma experiência formativa à luz da

Teoria de P. Ya. Galperin / Paulo Gonçalo Farias Gonçalves. - Natal, 2020.

205 f.: il.

Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do

Norte, Centro de Educação, Programa de Pós-graduação em Educação.

Orientador: Prof. Dr. Isauro Beltrán Núñez.

1. Aprendizagem - Tese. 2. Teoria de Galperin - Tese. 3. Base

Orientadora da Ação - Tese. 4. Controle - Tese. 5. Resolução de

Problemas - Tese. I. Núñez, Isauro Beltrán. II. Título.

RN/UF/BS - Centro de Educação CDU 51:37

Elaborado por Rita de Cássia Pereira de Araújo - CRB-15/804

Dedico este trabalho aos dois Franciscos da minha vida. Um que se foi (in memoriam), mas marcou o melhor dele em mim. O outro chegou e personificou o meu amor. Aos dois, obrigado por me tornar um ser humano melhor.

AGRADECIMENTOS

Minha pesquisa foi um trabalho de muitas mãos, uma construção em

constante movimento. Uma aula, um seminário, uma orientação, um estudo em

grupo, uma ideia nova durante um café, o apoio em momentos difíceis. Essas e

outras vivências foram fundamentais para minha jornada doutoral.

Agradeço primeiramente a minha família nuclear, Família Lima

Gonçalves. À minha esposa, Carla Jéssica, pelo seu amor, paciência, dedicação

e apoio incondicional nos melhores e piores momentos. Ao meu filho Miguel

Francisco, que veio ao mundo durante esse percurso e trouxe ainda mais luz

para minha vida com toda sua doçura, carinho e simpatia.

Aos demais familiares e parentes, sobretudo minhas tias e tio do coração

Gláucia, Ângela e Haroldo, por todo acolhimento e por serem tão prestativos com

minha família durante nossa estadia em Natal-RN.

Aos grandes amigos que a pós-graduação me deu, Alessandro,

Anderson, Karine e Luanna, pela apoio mútuo que foi fundamental para superar

todos os desafios que enfrentei. Estendo aqui minha gratidão aos demais

colegas que fiz durante essa fase.

Ao Prof. Dr. Isauro Beltrán Núñez, pela confiança, disponibilidade e por

todos os ensinamentos dados, desde o primeiro contato durante o mestrado.

Estendo ainda os agradecimentos a todos os meus ex-professores do Programa

de Pós-graduação em Educação da UFRN, pelas ricas experiências de

aprendizagem que me proporcionaram.

Aos membros titulares e suplentes da banca examinadora Prof. Dr.

Francisco de Assis Bandeira, Prof.ª Dr.ª Betania Leite Ramalho, Prof. Dr.

Roberto Valdés Puentes, Prof. Dr. Héctor José García Mendoza, Prof. Drª.

Halana Garcez Borowsky e Prof.ª Dr.ª Rogéria Gaudêncio do Rêgo pela

disponibilidade e por todas as contribuições que visaram aperfeiçoar minha

formação.

À Universidade Federal do Cariri, minha casa acadêmica, e

especialmente aos colegas do Instituto de Formação de Educadores, pela

liberação para dedicação aos meus estudos.

Enfim, minha gratidão a todos aqueles que contribuíram direta ou

indiretamente para realização desse ciclo da minha formação profissional.

E ainda que tivesse o dom de profecia, e conhecesse todos os mistérios e toda a ciência, e ainda que tivesse

toda a fé, de maneira tal que transportasse os montes, e não tivesse amor, nada seria (1 Coríntios 13:2).

RESUMO

A crescente facilidade e rapidez no acesso à informação propiciada pelo aprimoramento científico e tecnológico obtido ao longo da história humana, tem exigido do indivíduo atual, dentre outras coisas, saber organizar seus processos de aprendizagem de maneira independente, consciente e reflexiva, isto é, aprender a aprender segundo o Enfoque Histórico-Cultural. Dentre as condições necessárias para isso, o controle na resolução de problemas matemáticos tem sido apontando pelas investigações como um componente pouco explorado no contexto da aprendizagem em Matemática. Diante disso, a presente tese tem como objetivo estudar a influência de uma Experiência Formativa na reelaboração da orientação da ação de controle na resolução de problemas matemáticos de estudantes de licenciatura. Este estudo foi desenvolvido no Instituto de Formação de Educadores (IFE), campus da Universidade Federal do Cariri (UFCA) na cidade de Brejo Santo-CE e teve como participantes oito discentes dos cursos de licenciatura. Se constituindo como uma pesquisa do tipo Experiência Formativa, os instrumentos de coleta de dados utilizados foram: observação, prova pedagógica, diário dos alunos e o questionário. Os dados foram explorados segundo uma Análise de Conteúdo. Verificamos, por meio de um diagnóstico inicial, que os licenciandos participantes da Experiência Formativa não possuíam uma compreensão apropriada acerca da ação de controle. A partir daí, foi elaborada e desenvolvida uma Experiência Formativa, à luz da Teoria de Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos, em que foi possível observar mudanças na tomada de consciência pelos discentes sobre a relevância da orientação do controle enquanto guia para um melhor entendimento e mitigação dos erros durante o processo de resolução de problemas matemáticos. Os processos de verificação e ajuste da ação humana que constituem o controle da aprendizagem tornam essa habilidade cognoscitiva um componente relevante da personalidade de um indivíduo do século XXI. Portanto, é de suma importância que mais investigações sejam desenvolvidas sobre o tema, visando a proliferação de mais práticas educativas que discutam esse componente e contribuam para a formação de aprendizes autônomos. Palavras-chave: Aprendizagem; Teoria de Galperin; Base Orientadora da Ação; Controle; Resolução de Problemas.

ABSTRACT

The increasing ease and speed of access to information provided by scientific and technological improvements obtained throughout human history, has required the current individual, among other things, to know how to organize their learning processes in an independent, conscious and reflective way, that is, to learn to learn according to the Historical-Cultural Approach. Among the necessary conditions for this, the control in solving mathematical problems has been pointed by the investigations as a little-explored component in the context of mathematics learning. Therefore, the present thesis aims to study the influence of a Formative Experience in the reworking of the control action orientation in solving mathematical problems of undergraduate students. This study was developed at the Instituto de Formação de Educadores (IFE), campus of the Universidade Federal do Cariri (UFCA) in the Brejo Santo-CE city, it was attended by eight students of undergraduate courses. If constituted as a Formative Experience research, the data collection instruments used were: observation, pedagogical test, students' diary and the questionnaire. The data were explored according to a Content Analysis. From the initial diagnosis, we found that the graduates participating in the Formative Experience did not have an appropriate understanding of the control action. From then on, a Formative Experience was elaborated and developed, in the light of the Planned Theory of Mental Actions and Concepts Formation, in which it was possible to observe changes in students' awareness of the relevance of control orientation as a guide for better understanding and mitigation of errors during the process of solving mathematical problems. The processes of verification and adjustment of human action that constitute the control of learning, become this cognitive ability a relevant component of the personality of a 21st century individual. Furthermore, is of utmost importance that more research is to carry out on the subject, aiming at the proliferation of more educational practices that discuss this component and contribute to the formation of autonomous learners.

Keywords: Learning; Galperin's Theory; Orienting Basis of Action; Control; Problem solving.

RESUMEN

La creciente facilidad y velocidad de acceso a la información proporcionada por la mejora científica y tecnológica obtenida a lo largo de la historia humana, ha requerido que el individuo actual, entre otras cosas, sepa cómo organizar sus procesos de aprendizaje de una manera independiente, consciente y reflexiva, es decir, aprender aprender de acuerdo con el enfoque histórico-cultural. Entre las condiciones necesarias para esto, el control en la resolución de problemas matemáticos ha sido señalado por las investigaciones como un componente poco explorado en el contexto del aprendizaje de las matemáticas. Ante esto, la presente tesis tiene como objetivo estudiar la influencia de una Experiencia Formativa en la reelaboración de la orientación de la acción de control en la resolución de problemas matemáticos de estudiantes de pregrado. Este estudio fue desarrollado en el Instituto de Formação de Educadores (IFE), campus de la Universidade Federal de Cariri (UFCA) en la ciudad de Brejo Santo-CE y contó con la asistencia de ocho estudiantes de cursos de pregrado. Al constituirse como una investigación de experiencia formativa, los instrumentos de recolección de datos utilizados fueron: observación, prueba pedagógica, diario de los estudiantes y cuestionario. Los datos fueron explorados de acuerdo con un análisis de contenido. De un diagnóstico inicial descubrimos que los graduados que participaron en la Experiencia Formativa no tenían una comprensión adecuada de la acción de control. A partir de entonces, se elaboró y desarrolló una Experiencia Formativa, a la luz de la Teoría Planificada de Acciones Mentales y Formación de Conceptos, en la que fue posible observar cambios en la conciencia de los estudiantes sobre la relevancia de la orientación de control como una guía para una mejor comprensión y mitigación de errores durante el proceso de resolución de problemas matemáticos. Los procesos de verificación y ajuste de la acción humana que constituyen el control del aprendizaje hacen de esta capacidad cognitiva un componente relevante de la personalidad de un individuo del siglo XXI. Por lo tanto, es de suma importancia que se realicen más investigaciones sobre el tema, con el objetivo de la proliferación de más prácticas educativas que discutan este componente y contribuyan a la formación de estudiantes autónomos.

Palabras clave: Aprendizaje; Teoría de Galperin; Base orientadora de la acción; Control; Solución de problemas.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Exemplo de árvore de raciocínio ...................................................... 68

Figura 2 - Principais momentos da pesquisa. ................................................... 76

Figura 3- Situação-problema do diagnóstico inicial. ....................................... 121

Figura 4 - Soluções incorretas da situação-problema contida na prova

pedagógica. .................................................................................................... 121

Figura 5 - Solução da Tarefa 1 pelo participante P3. ..................................... 141




Figura 9 - Trecho da solução da Tarefa 3 pelo participante P5. ..................... 147

Figura 10 - Trecho da solução da Tarefa 3 pelo participante P2. ................... 148

Figura 11 - Solução da Tarefa 3 pelo participante P3. ................................... 149

Figura 12 - Solução da Tarefa 3 pelo participante P4. ................................... 150

Figura 13 - Descrição da ação de controle na Tarefa 2 por P1, classificada como

DG. ................................................................................................................. 152

Figura 14- Descrição da ação de controle na Tarefa 2 por P5, classificada como

DE. ................................................................................................................. 152

Figura 15 - Resposta da Tarefa T4 pelo participante P2. ............................... 154



Figura 18 - Resolução da Tarefa 5 pelo participante P1. ............................... 160

Figura 19 - Resposta da Tarefa 5 pelo participante P6. ................................. 162



Figura 22- Resolução da Tarefa 6 pelo participante P6. ................................ 167

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Tipos de Bases Orientadoras da Ação ........................................... 43 Quadro 2 - Detalhamento de características dos participantes da pesquisa. ... 73 Quadro 3 - Relação entre objetivos específicos e instrumentos de pesquisa. . 77 Quadro 4 - Plano de elaboração da prova pedagógica para o diagnóstico inicial. ......................................................................................................................... 78 Quadro 5 - Plano de observação segundo os momentos da Experiência Formativa. ........................................................................................................ 79 Quadro 6 - Plano de elaboração do diário dos alunos. .................................... 81 Quadro 7 - Plano de elaboração do questionário de avaliação final. ............... 83 Quadro 8 - Questões que nortearam a validação de cada instrumento de pesquisa. .......................................................................................................... 84 Quadro 9 - Modelo da disposição dos dados do questionário na planilha. ...... 86 Quadro 10 - Modelo de disposição dos dados da prova pedagógica na planilha. ......................................................................................................................... 86 Quadro 11 - Organização dos dados dos diários dos alunos na planilha. ........ 86 Quadro 12 - Organização dos dados de tarefas. .............................................. 87 Quadro 13 - Instrumentos de pesquisa e suas categorias de Análise de Conteúdo. ......................................................................................................... 88 Quadro 14- Definição do que é problema por diferentes autores. .................... 93 Quadro 15 - Modelo do objeto do EBOCA de resolver problemas matemáticos. ......................................................................................................................... 95 Quadro 16 - Sínteses de etapas para resolução de problemas de diferentes autores. ............................................................................................................ 95 Quadro 17 - Invariantes da habilidade de resolver problemas matemáticos. ... 97 Quadro 18 - Modelo da ação do EBOCA de resolver problemas matemáticos do professor. ......................................................................................................... 98 Quadro 19- Relação entre operações para ação e operações de controle. ..... 99 Quadro 20 - EBOCA da habilidade de resolver problemas matemáticos planejado pelo professor. ................................................................................................ 101 Quadro 21 - Momentos da Experiência Formativa. ........................................ 103 Quadro 22 - Tarefas do Sistema Didático segundo os tipos de solução. ....... 105 Quadro 23- Modelo do objeto do EBOCA do professor. ................................ 108 Quadro 24- Análise das respostas segundo modelo do objeto da orientação do professor. ....................................................................................................... 108 Quadro 25 - Respostas que evidenciam a resolução de problemas enquanto processo de busca. ........................................................................................ 110 Quadro 26 - Respostas que evidenciam a resolução de problemas como a elaboração e/ou utilização de métodos. ......................................................... 110 Quadro 27 - Modelo da ação do EBOCA de resolver problemas matemáticos do professor. ....................................................................................................... 111 Quadro 28 - Análise das respostas em função do modelo da ação da orientação do professor. .................................................................................................. 112 Quadro 29 - Modelo da ação de resolver problemas matemáticos das orientações dos alunos segundo os momentos da atividade humana. .............................. 114 Quadro 30 - Definição de controle na resolução de problemas matemáticos adotada. ......................................................................................................... 115

Quadro 31 - Análise das respostas em função da definição da ação de controle contida na orientação do professor. ............................................................... 116 Quadro 32 - O controle enquanto uma ação metódica. .................................. 117 Quadro 33 - Modelo de controle da orientação do professor. ........................ 117 Quadro 34 - Análise das respostas em função do modelo de controle da orientação do professor. ................................................................................. 118 Quadro 35 - Modelo de controle das orientações iniciais dos alunos. ............ 119 Quadro 36- Descrição dos alunos acerca das dificuldades enfrentadas durante a solução da prova pedagógica. ........................................................................ 122 Quadro 37 - Percentual de adequação das orientações iniciais dos alunos em relação a orientação referência. ..................................................................... 123 Quadro 38 - Favorecimento da motivação e no interesse após a etapa de motivação inicial. ............................................................................................ 126 Quadro 39- Resposta acerca do modelo do objeto da orientação dos alunos reelaborada em duplas. .................................................................................. 128 Quadro 40 - Percentual de correspondência da orientação dos alunos reelaboradas em duplas em relação a orientação do professor. .................... 129 Quadro 41 - Respostas relativas ao modelo da ação da orientação dos alunos reelaborada em duplas. .................................................................................. 130 Quadro 42 - Percentual de correspondência da orientação dos alunos reelaboradas em duplas em relação a orientação do professor. .................... 131 Quadro 43 - Respostas relativas ao modelo de controle da orientação dos alunos reelaboradas em duplas. ................................................................................ 132 Quadro 44 - Percentual de correspondência da orientação dos alunos reelaboradas em duplas em relação a orientação do professor. .................... 134 Quadro 45 - Percentual de adequação das orientações iniciais dos alunos em relação a orientação do professor. ................................................................. 134 Quadro 46 - Trecho do diário dos participantes P3 e P5 em que descrevem o que aprenderam durante o momento de reelaboração da orientação. .................. 138 Quadro 47 - Trechos dos diários dos alunos que evidenciaram melhorias na ação de controle na resolução de problemas matemáticos. ................................... 169 Quadro 48 - Trechos dos diários dos alunos inconclusivos acerca das melhorias na ação de controle na resolução de problemas matemáticos. ..................... 171 Quadro 49 - Trechos dos diários dos alunos que não evidenciaram melhorias na ação de controle na resolução de problemas matemáticos. .......................... 172 Quadro 50 - Contribuições do EBOCA na perspectiva dos discentes. ........... 173 Quadro 51 - Respostas que enfatizaram maior atenção ao aspecto operacional da resolução de problemas. ........................................................................... 174 Quadro 52 - Justificativas para a possibilidade de ensinar ações de controle na resolução de problemas. ................................................................................ 176 Quadro 53 - Respostas de participantes sobre a viabilidade do uso do EBOCA como meio para o controle da resolução de problemas matemáticos. ........... 177 Quadro 54 - Exemplos de respostas que destacaram a orientação como aspecto mais interessante da Experiência Formativa. ................................................. 179 Quadro 55 - Exemplos de respostas que destacaram o trabalho em dupla como aspecto mais interessante da Experiência Formativa. ................................... 179 Quadro 56 - Aspectos desinteressantes relacionados à momentos da Experiência Formativa. ................................................................................... 180 Quadro 57 - Aspectos desinteressantes relacionados à atividades específicas da Experiência Formativa. ................................................................................... 180

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1- Comparativo do modelo do objeto do diagnóstico inicial e o reelaborado em duplas. .................................................................................. 135 Gráfico 2 - Comparativo do modelo da ação do diagnóstico inicial e o reelaborado em duplas. ...................................................................................................... 136 Gráfico 3 - Comparativo do modelo de controle do diagnóstico inicial e o reelaborado em duplas. .................................................................................. 137

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO .............................................................................................. 16

1.1 Problematização .................................................................................... 16

1.2 Justificativa ........................................................................................... 19

1.3 Antecedentes da investigação ............................................................. 21

1.4 Tese ........................................................................................................ 24

1.5 Objetivos ................................................................................................ 24

1.5.1 Objetivo geral .................................................................................... 24

1.5.2 Objetivos específicos ........................................................................ 24

1.6 Estrutura da tese ................................................................................... 25

2 A HABILIDADE DE CONTROLE SOB O APORTE DA TEORIA DE

FORMAÇÃO PLANEJADA DAS AÇÕES MENTAIS E DOS CONCEITOS .... 27

2.1 Atividade, Consciência e Personalidade ............................................ 28

2.2 A aprendizagem e o controle do estudante segundo P. Ya. Galperin

...................................................................................................................... 34

2.3 A orientação da ação de controle ........................................................ 40

2.4 Etapas de formação do controle interno ............................................ 48

2.5 Os indicadores qualitativos do controle ............................................. 54

3 A HABILIDADE DE RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS ............... 58

3.1 Diferentes perspectivas para o conceito de problema ...................... 59

3.2 Modelos para a ação de resolver problemas matemáticos ............... 63

4 METODOLOGIA ........................................................................................... 71

4.1 O contexto e os participantes da pesquisa ........................................ 71

4.2 Caracterização da pesquisa ................................................................. 74

4.3 Os instrumentos de coleta de dados .................................................. 76

4.3.1 Prova Pedagógica............................................................................. 77

4.3.2 Observação ...................................................................................... 78

4.3.3 Diário dos alunos .............................................................................. 80

4.3.4 Questionário ..................................................................................... 82

4.4 Validação dos instrumentos de coleta de dados ............................... 83

4.5 Organização dos dados ........................................................................ 85

4.6 Análise dos dados ................................................................................ 87

5 ORGANIZAÇÃO DA EXPERIÊNCIA FORMATIVA ...................................... 90

5.1 A definição do objetivo ......................................................................... 90

5.2 A organização do conteúdo: A orientação da ação de resolver

problemas matemáticos ............................................................................. 91

5.3 A estrutura didática do processo de assimilação ............................ 103

5.4 Sistema de tarefas .............................................................................. 104

6 RESULTADOS E DISCUSSÕES DA EXPERIÊNCIA FORMATIVA .......... 107

6.1 O diagnóstico inicial da compreensão do controle na resolução de

problemas matemáticos ........................................................................... 107

6.2 A motivação inicial da atividade de aprendizagem .......................... 124

6.3 A reelaboração da orientação dos estudantes ................................. 127

6.4 O controle na solução das tarefas ..................................................... 139

6.4.1 Análise das soluções dos discentes para as tarefas 1, 2 e 3 .......... 139

6.4.2 Análise das ações de controle dos discentes durante as tarefas 1, 2 e

3 ............................................................................................................... 151

6.4.3 Análise das soluções dos discentes para as tarefas 4, 5 e 6 .......... 153

6.4.4 Análise das ações de controle dos discentes durante as tarefas 4, 5 e

6 ............................................................................................................... 168

6.5 A avaliação da Experiência Formativa .............................................. 173

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................ 184

REFERÊNCIAS .............................................................................................. 188

APÊNDICE 1: PROVA PEDAGÓGICA ......................................................... 197

APÊNDICE 2: ELABORAÇÃO DO EBOCA DA TURMA .............................. 199

APÊNDICE 3: TAREFAS (PARTE 1) ............................................................ 200

APÊNDICE 4: TAREFAS (PARTE 2) ............................................................ 202

APÊNDICE 5: QUESTIONÁRIO FINAL ........................................................ 204

16

1 INTRODUÇÃO

A crescente facilidade e rapidez no acesso à informação propiciada pelo

aprimoramento científico e tecnológico obtido ao longo da história humana, faz

com que um modelo de educação focado no mero acúmulo de conhecimentos

seja obsoleto para formação de um indivíduo da sociedade contemporânea.

Nesse contexto, saber organizar os processos de aprendizagem de

maneira independente, consciente e reflexiva, isto é, aprender a aprender, é uma

competência essencial para um ser humano do século XXI preocupado com seu

constante desenvolvimento.

Dentre as condições que se fazem necessárias para aprender a aprender,

destacamos a autorregulação da aprendizagem enquanto processo de

autogerenciamento dos componentes afetivos e cognoscitivos da personalidade

de um indivíduo, que lhe possibilita estabelecer e atingir os objetivos das

atividades que realiza ao longo da vida.

Dada sua amplitude e caráter multifacetado debruçamos-nos, em

particular, sobre um componente da autorregulação da aprendizagem, aplicado

ao contexto da Educação Matemática: o controle na resolução de problemas

matemáticos.

1.1 Problematização

De maneira geral, a literatura científica tem apontado diferentes

dificuldades que envolvem o processo educativo, a formação da autorregulação

da aprendizagem e, especificamente, do controle na resolução de problemas

matemáticos.

Surgindo na década de 1980, a partir das buscas por elementos que

influenciam no desempenho escolar, as pesquisas sobre autorregulação da

aprendizagem (AA) aumentaram ao longo dos últimos anos (ROSÁRIO et al.,

2014; BARRIOS; URIBE, 2017).

Apesar desse indicativo de maior interesse dos investigadores pelo

estudo da autorregulação da aprendizagem na Educação, de maneira geral, a

escola ainda não tem preparado adequadamente seu aluno para que possa

regular sua aprendizagem. Segundo Freire (2009, p. 280):

17

Acontece, que muitas escolas têm encontrado dificuldades para reformularem as suas práticas educativas. Uma prova disso, pode ser uma certa ausência do conceito da auto-regulação da aprendizagem em muitos dos ambientes educativos. Quando não se integra esse conceito, traduzindo-o em uma prática emancipadora, ou seja, favorecedora do crescimento pessoal, pode-se afirmar que os alunos não são plenamente estimulados, suas potencialidades não são amplamente incentivadas, os currículos estão defasados, não atendem às novas exigências sociais [...].

Esse fato evidencia o desafio de superar a incompatibilidade entre um

modelo educacional ainda vigente e os anseios para formação de estudantes

que sejam capazes de aprender de forma autorregulada.

Do ponto de vista dos professores, a autorregulação da aprendizagem é

pouco trabalhada em sala de aula (ZIMMERMAN, 2002). Um dos fatores que

pode influenciar na ocorrência desse fato é a crença, mesmo que implícita, de

que a regulação é uma tarefa exclusiva do professor (CORTE; VERSCHAFFEL;

EYNDE, 2000).

Outro fator relevante é o despreparo dos professores em exercício da

profissão, no que se refere à formação da autorregulação da aprendizagem

(BORUCHOVITCH, 2014). Conforme Moss e Ringdal (2012, p. 4), “[...]

professores que são incapazes de autorregular sua aprendizagem e/ou não

possuem crenças pessoais de que os alunos podem se envolver em AA são

menos propensos a apoiar o desenvolvimento dessas capacidades na sala de

aula”.

Esse quadro acaba criando um círculo vicioso para a inserção desse

construto na escola em que o professor, por não vivenciar práticas que

estimulem a autorregulação de sua aprendizagem, ao tornar-se docente, seja

por não acreditar na relevância ou por desconhecimento, não incorpora em sua

atividade educativa a formação dessa habilidade.

No contexto da Educação Matemática, em particular, considerando uma

mudança de compreensão da Matemática, que deixa de ser vista, segundo

Corte, Verschaffel e Eynde (2000, p. 687), como “[...] uma coleção de conceitos

abstratos e habilidades processuais a serem dominadas, mas principalmente

como um conjunto de atividades de criação de sentido humano e resolução de

problemas com base em modelagem matemática da realidade”, a

18

autorregulação se coloca como uma importante condição para a resolução de

problemas.

Embora a autorregulação e a resolução de problemas sejam elementos

importantes para a aprendizagem em Matemática, pesquisas apontam que os

alunos demonstram pouco conhecimento sobre como aprendem durante

atividades de resolução de problemas (GARCÍA et al., 2016). Esses autores

apontam que é comum, entre os estudantes, equívocos como: prosseguimento

na resolução de problemas sem considerar outros caminhos; omissão de

cálculos; uso de tentativa e erro; enfoque em informações irrelevantes; falta de

revisão do processo de solução, entre outros. Além disso, alguns discentes não

compreendem a regulação da aprendizagem como algo relevante ou não

conseguem realizá-la sozinhos, necessitando de apoio externo para o controle.

Rico (2003) aponta ainda que um negligenciamento da atividade

orientadora, ao ser apresentada de maneira esfacelada e incompleta ou ainda

deixando-a a cargo exclusivo do professor, acaba não oferecendo aos

estudantes as condições necessárias e suficientes para desenvolvimento, em

particular, de ações de controle.

No processo de resolução de problemas matemáticos, em especial, esse

quadro desconsidera o papel do aluno na verificação e correção, sobre uma base

de orientação adequada, da execução da solução de uma situação-problema

enquanto via para a sua própria aprendizagem.

Endossando essa problemática da ação de controle, Núñez e Barros

(2019, p. 88) discutem sobre a desvalorização:

[...] da orientação que o estudante deve elaborar sobre a ação a ser realizada quanto à execução, o que exige uma análise adequada das condições e do plano de ação ou da representação da ação responsável por dirigir e regular sua realização de forma consciente. No processo de ensino e aprendizagem, no geral, pelo fato de os estudantes não terem clareza do objetivo de uma nova atividade que realizam para aprender, consequentemente executam as ações sem um prévio planejamento e não dispõem de critérios para o controle e regulação destas, ou seja, não aprendem a aprender.

Desse modo, a ausência de critérios essenciais e claros que permitam ao

estudante empreender ações de controle sobre sua aprendizagem, faz com que

esse momento possa ser totalmente desconsiderado ou realizado de forma tenra

durante o processo formativo do discente.

19

1.2 Justificativa

Apesar do quadro descrito até aqui, a autorregulação e o controle são

mecanismos fundamentais para a aprendizagem.

Um dos aspectos que endossa a relevância do desenvolvimento de

investigações acerca da autorregulação da aprendizagem (AA) é seu papel na

formação de um indivíduo que busca melhorar sua capacidade de aprender ao

longo da vida (ZIMMERMAN, 2002; MARTÍN, 2012). Isso indica que, diante da

necessidade de “[...] propiciar ao aluno maior autonomia e responsabilidade no

seu processo de aprendizagem, faz-se importante promover essas subfunções

do processo autorregulatório no contexto educativo” (POLYDORO; AZZI, 2009,

p. 78).

Esse fato corrobora com um dos consensos dos estudos sobre a AA, que

apontam para uma correlação entre a aprendizagem autorregulada e o bom

desempenho escolar (ZIMMERMAN, 2002; PAIVA; LORENÇO, 2012; MARTÍN,

2012; ROSÁRIO et al., 2014; BARRIOS; URIBE, 2017). Logo, pressupõe-se que

o êxito acadêmico também está relacionado à tomada de consciência do aluno

sobre como aprende, à sua capacidade de refletir e monitorar esse processo,

buscar ajuda quando necessário, etc.

Segundo Silva, Simão e Sá (2004), aprender a se regular auxilia o aluno

a melhor compreender o significado do que é estudado, permitindo o surgimento

de uma nova percepção do conteúdo e do ato de aprender.

Nesse sentido, o aprendiz precisa, conforme Montero (2003, p. 2), “[...] ser

ativo, empreendedor e verdadeiro protagonista da aprendizagem, alguém capaz

de participar na elaboração dos objetivos do mesmo, na determinação dos

procedimentos e meios para alcançá-lo, assim como na avaliação do processo

e seus resultados”.

Tendo em vista que a AA não se desenvolve de forma espontânea, os

professores exercem um papel fundamental para formação dessa habilidade em

seus alunos (ZIMMERMAN, 2002). Por conta disso, é de suma importância que

esse construto seja estudado no âmbito dos cursos de licenciatura.

Segundo Peerters et al. (2014), para que a autorregulação seja inserida

na prática profissional dos professores é fundamental que esses profissionais

20

pratiquem o que pregam, isto é, que sejam indivíduos que consigam regular sua

própria aprendizagem. Assim, sendo eles próprios aprendizes autorregulados,

poderão compreender melhor como desenvolver e promover esse construto em

seus discentes.

No que se refere à matemática, a autorregulação da aprendizagem pode

exercer, entre outros, um papel importante nas atividades de resolução de

problemas (FERNÁNDEZ, 2015; SANTOS, 2015; GARCÍA et al. 2016).

Primeiramente porque, conforme García et al. (2016), a resolução de

problemas envolve, além do domínio de conceitos e habilidades especificamente

matemáticas, outros componentes como: cognitivos, metacognitivos e

motivacionais; inseridos na autorregulação da aprendizagem.

Além disso, para Santos (2015, p. 127):

A autorregulação de aprendizagem constitui uma estratégia metacognitiva que tem o potencial de auxiliar os alunos a compreender e regular o processo de resolução de problemas e, consequentemente, torná-los mais competentes no desempenho dessa tarefa. Ademais, alunos que se tornam capazes de compreender e gerenciar esse processo, provavelmente serão capazes de atribuir sentido à sua aprendizagem, a desenvolver novas habilidades e estratégias e a problematizar o mundo que o cerca.

Por isso, a autora afirma que a AA representaria uma melhoria na

qualidade do ensino da resolução de problemas, agregando a essa habilidade

elementos que contribuem para o aprender a aprender.

No que se refere à ação de controle, um dos aspectos que justificam a

escolha da referida habilidade consiste em que o controle é um dos momentos

funcionais invariantes de qualquer atividade humana, sendo o responsável pelo

acompanhamento da execução da atividade e, quando necessário, da correção

conforme a orientação estabelecida (LEONTIEV, 1983). Desse modo, direcionar

o processo de ensino para o desenvolvimento do controle tem uma grande

potencialidade de transferência dessa aprendizagem para outras situações a

serem enfrentadas pelos estudantes.

Além do mais, a atenção, enquanto resultante do controle internalizado,

tem uma relação intrínseca com o ato de pensar. Para Galperin (1989c), quando

pensamos, além do conteúdo pensável, a psique também mobiliza as ações

mentais de modo a manter o foco do processo cognoscitivo nesse conteúdo.

21

Assim, tão importante quanto ensinar os alunos a pensar sobre um objeto

é permitir ao discente desenvolver, de forma planejada, a habilidade de manter-

se atento ao objeto do pensamento, do contrário, esse processo cognoscitivo

seria difuso.

Para González et al. (2001), a psique também realiza uma função

reguladora da atividade humana que não se dá de forma isolada, mas sim “[...]

com um certo nível de integridade, o que permite que o sujeito seja identificado

psicologicamente como tal e não apenas um ou outro fenômeno de sua psique”

(GONZÁLEZ et al., 2001, p. 46). Nesse sentido, o controle também é um

componente importante para o desenvolvimento da personalidade.

Outro aspecto importante sobre o controle da aprendizagem é que ele “[...]

permite ao estudante conhecer de forma consciente suas insuficiências e

trabalhar para sua eliminação, com o qual acerta gradualmente seus resultados

às exigências requeridas para cada tipo de tarefa” (RICO, 1998, p. 9). Em vista

disso, além de uma função de verificação, o controle também visa aperfeiçoar o

ato de aprender (GALPERIN, 1989c).

1.3 Antecedentes da investigação

Tendo em vista a relevância do tema, realizamos um levantamento das

pesquisas que se debruçaram sobre a problemática da autorregulação da

aprendizagem em matemática, com intuito de compreender os principais

avanços e lacunas em relação a essa questão.

Gonzalez-Moreno (2017) estudou, sob o aporte da Teoria de P. Ya.

Galperin, a formação da autorregulação da aprendizagem de conceitos

científicos com 28 estudantes universitários matriculados na disciplina de

Teorias Cognitivas de Aprendizagem.

Por meio de indicadores relacionados a categorias como: mediatização,

orientação, execução, verificação, reflexão e regulação; a autora observou

modificações na utilização dos conceitos científicos, partindo de um uso inicial

impreciso para um emprego de modo hierárquico e generalizado desses

conceitos. Ademais, a autorregulação propiciou à docente e aos discentes

características como a reflexão acerca da reformulação do pensamento sobre as

ações dos indivíduos e a criatividade presente nas ações verbais inovadoras

22

(GONZALEZ-MORENO, 2017).

Em Rico (1998), a investigadora estudou, por meio do conteúdo de

translação de triângulos, a formação das habilidades de controle e de avaliação

adotando como participantes 36 estudantes do quarto grau. A autora revela que,

a partir da qualidade dos argumentos utilizados pela maioria dos alunos, foi

possível notar maior êxito em suas ações de controle e de avaliação durante a

tarefa, evidenciando a ocorrência de uma atividade aprendizagem mais

consciente e eficaz.

Investigando as contribuições de um modelo geral de orientação para o

processo de controle e avaliação na resolução de problemas matemáticos com

21 alunos do quinto grau, Rico (2003) verificou uma correlação entre o domínio

das ações de controle e avaliação e o desempenho dos alunos na solução dos

problemas. Conforme a pesquisadora, a ação de controle permitiu a cada

estudante “[...] centrar-se não só no resultado, e sim no processo a seguir, [o

que] favoreceu a incorporação de um procedimento de análise superior ao

observado na etapa inicial de constatação, ademais, este atuava como elemento

motivacional”.

Seja através da proposição e validação de uma escala de autorregulação

da aprendizagem em Estatística (BARIZON, 2011) ou ainda pela investigação

da relação entre o nível de letramento estatístico e o desenvolvimento da

autorregulação da aprendizagem (MENDONÇA, 2012) ou ainda de estratégias

de memória empreendidas no âmbito do processo autorregulatório (CONTINI

NETO, 2012), ambas as pesquisas compreenderam a autorregulação como uma

resultante do uso das funções psicológicas superiores, que permite o

autogerenciamento de projetos ou estratégias (e seus respectivos avanços e

percalços) por meio da apropriação de determinados instrumentos culturais.

Por meio do ensino e aprendizagem de Matemática através da Resolução

de Problemas, Leal Júnior e Onuchic (2015) empreenderam uma experiência

educativa adotando uma perspectiva de resolução de problemas que,

simultaneamente, é vista como uma metodologia de ensino e como um campo

que permite um movimento de ação/reflexão/ação à luz dos estudos de L. S.

Vygotsky.

Na investigação de Peres (2009), o enfoque foi apresentar as

potencialidades de um Objeto de Aprendizagem (OA) usado na resolução de

23

problemas de máximos e mínimos por meio de conceitos geométricos para a

autorregulação da aprendizagem. Os resultados do estudo mostraram que a

utilização do OA pelos participantes estimulou a utilização de diferentes

estratégias de autorregulação.

Zocolloti (2010) investigou as contribuições de uma intervenção realizada

no âmbito de uma disciplina de Educação Matemática com enfoque o

desenvolvimento da autorregulação e da reflexão. Segundo o autor, na maioria

dos estudantes o estímulo a reflexão nas atividades propostas na pesquisa

possibilitou a autorregulação da aprendizagem.

Nos trabalhos de Pranke (2012) e Pranke e Frison (2015) são relatadas

as análises de oficinas de matemática desenvolvidas no âmbito de um Projeto

Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID) para verificar a promoção

da autorregulação da aprendizagem. Os resultados apresentados mostraram

que o Projeto “[...] parece ter possibilitado e estimulado nas bolsistas o

desenvolvimento de competências autorregulatórias, enriquecidas por um

processo reflexivo e formativo, presente na realização das oficinas de

matemática” (PRANKE, 2012, p. 108).

Desenvolvendo uma intervenção com enfoque no exercício da

autorregulação da aprendizagem, Fantinel (2015) investigou os impactos dessa

experiência de ensino no conhecimento pedagógico dos participantes

relacionado ao conteúdo de equação do segundo grau. Dentre os resultados

apresentados pelo estudo, a autora aponta que o ensino da autorregulação

possibilitou uma “[...] mudança significativa no conhecimento declarativo das

estratégias de aprendizagem e do conhecimento pedagógico do conteúdo

matemático do futuro professor” (FANTINEL, 2015, p.198).

Em Oliveira (2016), foi desenvolvida uma experiência de avaliação

formativa no âmbito de um ambiente virtual de aprendizagem e investigadas as

contribuições dessa proposta para a regulação e autorregulação da

aprendizagem dos estudantes participantes. Por meio do uso de diferentes

recursos tecnológicos (fóruns, software matemático, plataforma de mensagens

e chats de vídeo), o autor encontrou evidências de favorecimento da regulação

da autorregulação da aprendizagem dos participantes e de uma maior reflexão

desses a partir de práticas de autoavaliação.

24

As pesquisas relatadas apresentam em comum o uso de estratégias de

aprendizagem diversas e de subprocessos inerentes a autorregulação da

aprendizagem (como a metacognição e a reflexão, por exemplo) como um

caminho para melhoria da formação dos estudantes.

Considerando os aspectos discutidos e o objeto de estudo desta tese,

investigaremos o seguinte problema de pesquisa: Quais as contribuições de

uma Experiência Formativa fundamentada na Teoria de P. Ya. Galperin para

influenciar na reelaboração da orientação da ação de controle na resolução

de problemas matemáticos de estudantes de licenciatura? Integrado a esse

problema de investigação, apresentamos a tese a ser defendida e os objetivos

do estudo.

1.4 Tese

Uma Experiência Formativa fundamentada na Teoria de P. Ya. Galperin favorece

a reelaboração da orientação dos licenciandos para a ação de controle na

resolução de problemas matemáticos.

1.5 Objetivos

1.5.1 Objetivo geral

Estudar a influência de uma Experiência Formativa na reelaboração da

orientação da ação de controle na resolução de problemas matemáticos de

estudantes de licenciatura.

1.5.2 Objetivos específicos

1) Construir um Sistema Didático como estratégia para favorecer na

reelaboração da orientação da ação de controle na resolução de problemas

matemáticos pelos estudantes de licenciatura;

2) Caracterizar o nível de desenvolvimento inicial da ação de controle na

resolução de problemas matemáticos pelos licenciandos;

25

3) Desenvolver uma Experiência Formativa para influenciar na reelaboração da

orientação da ação de controle na resolução de problemas matemáticos de

licenciandos;

4) Avaliar as condições que favoreceram e as que dificultaram a influência na

reelaboração da orientação da ação de controle na resolução de problemas

matemáticos dos participantes a partir da Experiência Formativa;

5) Conhecer a avaliação dos participantes da Experiência Formativa na sua

formação profissional.

1.6 Estrutura da tese

Este trabalho será dividido em sete seções, das quais: uma de introdução;

duas de fundamentação teórica, no qual a primeira discute a formação do

controle da aprendizagem segundo a Teoria de P. Ya. Galperin e a segunda a

habilidade de resolver problemas matemáticos; uma de metodologia; duas de

resultados, uma focada na organização da Experiência Formativa e outra nos

resultados e discussões; por fim, a seção de considerações finais.

A presente seção de introdução realizou uma contextualização do objeto

de estudo, através da sua problematização, justificativa e trabalhos

antecedentes, culminando a seguir na apresentação do problema, da tese, dos

objetivos (geral e específicos) e desta apresentação da estrutura do trabalho.

Na seção dois, nomeada a habilidade de controle sob o aporte da

Teoria de formação planejada das ações mentais e dos conceitos, são

situadas as categorias centrais para compreensão do psiquismo humano,

aprendizagem e o controle, segundo os subsistemas (orientação, etapa de

formação das ações mentais e dos conceitos e indicadores qualitativos) que

compõem a Teoria de Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos.

Discutindo acerca da habilidade resolver problemas matemáticos, a

seção três apresenta a resolução de problemas enquanto uma habilidade geral,

bem como as premissas sobre o tema adotadas pela pesquisa a partir da análise

26

das convergências entre diferentes definições de problema e orientações sobre

como resolvê-los.

A Metodologia será a quarta seção desta tese. Nessa parte do trabalho,

estão descritos o contexto e os participantes, a caracterização da pesquisa, seus

instrumentos e ainda os métodos empregados para organização e análise dos

dados.

A seção cinco do trabalho será denominado Organização da

Experiência Formativa. Em particular, apresentará o processo de elaboração

do Esquema da Base Orientadora Completa da Ação (EBOCA) de resolver

problemas matemáticos do professor e a estrutura de cada um dos momentos

desenvolvidos durante a pesquisa.

Resultados e discussões da Experiência Formativa correponde à

sexta seção do trabalho. Nela, serão apresentados os resultados e discussões

em função dos momentos de diagnóstico inicial, etapa motivacional, elaboração

do EBOCA da turma, controle na resolução de problemas e avaliação final da

Experiência Formativa.

A seção final consiste nas Considerações finais e discute as principais

conclusões oriundas dos resultados obtidos, uma discussão com enfoque na

comprovação da tese defendida pelo trabalho; e ainda as limitações da

investigação trabalhos e as possibilidades de novas pesquisas.

27

2 A HABILIDADE DE CONTROLE SOB O APORTE DA TEORIA DE

FORMAÇÃO PLANEJADA DAS AÇÕES MENTAIS E DOS CONCEITOS

Essa seção discute o processo de internalização da ação de controle da

atividade de aprendizagem como forma da atenção sob o aporte da Teoria de

Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos. Especificamente, será

constituída por cinco subseções.

O primeiro tópico traz a discussão das três categorias consideradas

essenciais para compreensão do psiquismo humano: atividade, consciência e

personalidade. Integrada esses pressupostos, a seguir será apresentada a

perspectiva da aprendizagem enquanto atividade, segundo a Teoria P. Ya.

Galperin, contextualizando-a para o processo formação da ação de controle.

Nos tópicos seguintes, realizou-se a explicação do processo de formação

do controle, em função dos subsistemas que compõem a Teoria de Formação

Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos, a saber: orientação, etapas de

assimilação e os indicadores qualitativos.

Piotr Yakovlevich Galperin (1902- 1988) foi contemporâneo dos

pesquisadores que formaram a troika da Psicologia da antiga União Soviética,

tendo contato com L. S. Vygotsky e trabalhando junto com A. Luria e com A. N.

Leontiev (NÚÑEZ; OLIVEIRA, 2012). Exercendo, a partir de 1943, a cátedra

de Psicologia Evolutiva e Pedagógica na Faculdade de Psicologia da

Universidade Estatal de Moscou, Galperin desenvolveu pesquisas acerca da

psicologia infantil (GALPERIN, 1979). No ano de 1953, durante sua palestra “Um

estudo experimental da formação das ações mentais”1, proferida durante uma

Conferência de Questões Psicológicas realizada em Moscou, Galperin

apresentou uma primeira sistematização de sua Teoria (GALPERIN, 1957).

Discutindo sobre a Teoria de Formação Planejada das Ações Mentais e

dos Conceitos, Talizina (1988, p. 137) afirmou que a referida teoria:

[...] surgiu e se desenvolveu não como teoria de aprendizagem. Em princípio, é a teoria de formação ontogênica da atividade psíquica. Porém, como a ontogenia do homem é, principalmente, o processo de assimilação da experiência acumulada pela humanidade, que sempre se realiza com a ajuda, em uma outra medida, de outras pessoas – ou

1 A referida palestra foi transcrita e publicada em Galperin (1957).

28

seja, como ensino, educação–, a teoria dada é, ao mesmo tempo, a teoria da assimilação, a teoria de aprendizagem.

Corroborando com esse entendimento, Fariñas (1999 p. 118) acredita que

o principal intuito de Galperin não consistiu em elaborar etapas para formações

das ações mentais e conceitos, mas “[...] esclarecer a sua inter-funcionalidade e

a gênese destas, que é de importância fundamental para a compreensão do

processo de aprendizagem e, portanto, do ensino”.

Desse modo, a Teoria de P. Ya. Galperin se constitui como um modelo

geral de explicação do processo de internalização da atividade externa em

atividade interna, dentro de uma relação dialética entre o desenvolvimento

ontogênico e filogênico do ser humano. E, de modo particular, aplicada a

atividade de aprendizagem, torna-se também uma teoria de ensino e de

aprendizagem.

Diante da necessidade de melhor situar a perspectiva de aprendizagem

adotada na presente tese no âmbito do arcabouço teórico utilizado, iniciaremos

a discussão com alguns elementos considerados fundamentais no contexto do

enfoque histórico-cultural.

2.1 Atividade, Consciência e Personalidade

Sendo a categoria central responsável tanto pelo desenvolvimento,

quanto pela manifestação das outras duas, iniciamos a subseção discutindo o

conceito de atividade, segundo Leontiev (1983).

Leontiev (1983, p. 66), define a atividade como “[...] uma unidade

molecular [...] da vida do sujeito corporal, material. Em um sentido mais restrito,

quer dizer, a nível psicológico, é a unidade de vida mediatizada pelo reflexo

psicológico, cuja função real consiste na orientação do sujeito no mundo

objetivo”. Nesse sentido, a atividade é a forma pela qual o homem se relaciona

com o mundo, que configura a vida humana enquanto um sistema de atividades

sucessivas.

Um dos aspectos importantes da atividade, segundo a perspectiva da

Teoria da Atividade, consiste na invariância de seus elementos estruturais e

momentos funcionais.

29

Em relação a sua estrutura, a atividade humana conserva os seguintes

elementos: sujeito, objeto, motivo, objetivo, produto, condições, meios, ação e

operação. Explicaremos a seguir cada um desses componentes.

Uma característica importante da atividade na perspectiva de Leontiev

(1983) é o seu caráter objetal. Ou seja, toda atividade de um determinado sujeito

está direcionada para um objeto. Nessa relação dialética entre sujeito e objeto,

enquanto o objeto se transforma de um ente independente na qual a atividade é

dirigida para uma imagem mental, o sujeito, ao internalizar a essência desse

objeto em sua psique, também é transformado.

Além disso, a atividade sempre é dirigida à satisfação de necessidades

do organismo vivo e se manifestam por meio dos motivos, que tem o papel de

estimular o sujeito a realizar a atividade. Essa busca por satisfazer-se faz com

que o indivíduo idealize os resultados a serem alcançados ao agir, isto é, o

objetivo. O resultado da atividade, que pode ser coincidente ou não com o

objetivo é nomeado produto.

A atividade depende ainda dos meios, ou seja, de instrumentos a serem

usados pelos sujeitos como apoio para realização da atividade e ainda das

condições, que são as situações postas aos indivíduos para empreendimento

da atividade.

Outro aspecto da atividade é que ela ocorre por meio da ação. Sendo a

ação “[...] um processo que se reflete na consciência do sujeito e se dirigido a

um objetivo concreto” (TALIZINA; SOLOVIEVA; QUINTANAR, 2010, p. 6), a

atividade pode se constituir por uma ou mais ações.

Por conservarem estruturas similares, a distinção entre a atividade e a

ação se dá em função do motivo e do objetivo. Enquanto na atividade, o estopim

principal que leva o sujeito a agir (motivo) coincide com a finalidade da relação

deste sobre o objeto (objetivo), na ação esses dois elementos não coincidem.

Do mesmo modo que a atividade é constituída por ações, estas, por sua

vez, se subdividem em operações, que correspondem “[...] às formas e métodos

pelas quais a ação se realiza” (LEONTIEV, 1983, p. 87).

Segundo Talizina, Solovieva e Quintanar (2010), as operações são

resultantes do processo de internalização paulatina de ações e distinguem-se

destas por seu caráter automatizado durante a execução.

30

Ademais, as operações que constituem uma ação estão correlacionadas

as condições impostas ao sujeito para a execução da ação. Assim sendo, uma

mudança nas condições pode acarretar em uma modificação no sistema

operacional da ação (LEONTIEV, 1983).

No que se refere à sua funcionalidade, a atividade humana possui três

momentos centrais, integrados por meio de um processo cíclico. São eles: a

orientação, a execução e o controle.

A orientação se refere a representação mental que permite planejar,

antever e dirigir como a atividade de aprendizagem será executada e controlada.

Já a execução é o momento em que o processo de aprendizagem é colocado

em prática segundo a orientação, sendo ainda um objeto de regulação. Por fim,

o controle consiste na verificação da qualidade da execução durante e ao final

da atividade e, quando necessário, nos ajustes da execução da aprendizagem e

de sua orientação.

O desenvolvimento da atividade pelo ser humano traz consigo

importantes modificações em sua psique. Ao subdividir determina atividade a ser

realizada coletivamente em ações, por exemplo, cada indivíduo que irá

empreendê-las necessita de um tipo de reflexo psíquico peculiar, que o

possibilite agir voltado a um objetivo específico, sem que esse coincida com o

motivo que o levou ao movimento (LEONTIEV, 1983).

Nesse momento, a psique passa a possuir um reflexo subjetivo da

realidade objetiva denominado consciência. A consciência consiste no nível

mais avançado do desenvolvimento da psique humana, que surge por meio do

trabalho e da linguagem (LEONTIEV, 1983).

Atividade e a psique humana formam uma unidade dialética na qual,

enquanto a primeira se constitui como a substância da segunda (DAVIDOV,

1986), enquanto esta última funciona como mediatizadora e reguladora daquela

(LEONTIEV, 1983).

Discorrendo sobre algumas características da consciência, Petrovski

(1986) afirma que ela congrega todos os conhecimentos do sujeito sobre o

mundo circundante e, por meio de processos cognoscitivos inerentes a psique

(sensações, memória, percepção, pensamento, imaginação), o indivíduo pode

enriquecer e aprofundar seus conhecimentos.

31

Outra características da consciência consiste na clara diferenciação pelo

indivíduo do “eu” e “não eu”. É uma peculiaridade da espécie humana a

capacidade de direcionar a atividade mental para si, podendo assim analisar e

autoavaliar suas ações (PETROVSKI, 1986).

Além disso, por meio da consciência é que se torna possível direcionar a

atividade humana para um fim específico. Conforme Petrovski (1986), uma das

funções da consciência é a elaboração dos objetivos das ações do sujeito, que

leva em conta para sua constituição os motivos, a vontade, os meios disponíveis,

entre outros.

Por fim, a consciência possibilita que o indivíduo se relacione consigo e

com a realidade. Petrovski (1986, p. 44) afirma que a consciência inclui “[...] o

mundo dos sentimentos no qual se refletem as relações objetivas complexas e,

antes de tudo, sociais das quais estão incluído o homem”.

Dentre os componentes da estrutura interna da consciência, Leontiev

(1983) menciona: os conteúdos sensíveis, os significados e os sentidos.

Formado por sensações, imagens de percepção e representações, os conteúdos

sensíveis enriquecem o reflexo psíquico do indivíduo acerca do mundo em que

vive. Em relação aos significados e os sentidos é a relação entre eles que forma

o cerne da consciência humana.

Segundo Leontiev (1983), o significado enquanto generalização de um

elemento da realidade fixado na palavra, reflete um sistema de significações

construído ao longo da história humana e integra a “consciência social” a ser

apropriada pelo sujeito.

Como o significado de algo independe da relação que o indivíduo tem com

ele, ao ser apropriado, o significado adquire parcialidade e forma o sentido

pessoal. De caráter subjetivo, o sentido reproduz a relação entre sujeito e

fenômenos objetivos conscientes.

Dada a importância da relação significado e sentido, a consciência é

essencialmente linguística. Em outras palavras, a linguagem é uma condição

para a formação e expressão da consciência.

A consciência enquanto estágio superior da psique se coloca, dentre

outras coisas, como uma condição necessária para o desenvolvimento da

individualidade do sujeito em sua máxima expressão. Com enfoque em melhor

32

compreender esse aspecto, passamos a discutir sobre a categoria

personalidade.

Para Leontiev (1983, p. 144), a personalidade “[...] é um produto

relativamente avançado do desenvolvimento histórico-social e ontogênico do

homem”. Como tal, ela é o resultado da maturação biológica do indivíduo

influenciada pelas relações sociais que este vivencia por meio da atividade.

Por ser condicionada pelo aspecto histórico-cultural da sociedade, a

personalidade não é inata. Para González et al. (2001), somente por meio da

atividade, de forma consciente e em comunicação com outros sujeitos, que o

indivíduo desenvolve sua personalidade.

Desde o início da vida, ao se inserir em uma sociedade, o ser humano

está imerso em um sistema de relações sociais. Somente através da sua

personalidade que o sujeito adquire condições não só para se adaptar ao meio,

mas ainda de agir ativamente, transformando e sendo transformado

constantemente (PETROVSKI, 1986).

Outra característica da personalidade diz respeito a sua singularidade.

Como ela forma-se e manifesta-se no conjunto de atividades que o indivíduo

empreende durante a vida, cada sujeito, além de desempenhar um conjunto

particular de atividades, desencadeiam-nas a partir de necessidades,

motivações, desejos, etc. únicos. Decorre desse fato o desenvolvimento de uma

personalidade original, como uma “digital” que se desenvolve socialmente.

Embora o ser humano possa desempenhar diferentes funções nas

atividades em que realiza, manifestando assim ora uns, ora outros aspectos de

sua personalidade, há sempre um conjunto de elementos invariantes. Para

Petrovski (1986), este aspecto associa-se com a relativa estabilidade nas

relações sociais sobre as quais o ser humano é partícipe. Dessa característica,

sobrevêm o caráter relativamente estável da personalidade.

Vygotsky (1995) ressalta ainda a compreensão da personalidade

enquanto um sistema psíquico que integra e relaciona de forma indissolúvel

todos os componentes do psiquismo humano.

Essa integração entre as qualidades da psique possibilita que a

personalidade exerça uma função reguladora superior sobre atividade humana

(GONZÁLEZ et al., 2001). Segundo Petrovski (1986), essa característica é o que

33

permite ao ser humano, ao empreender uma avaliação de si tomando seus pares

como referência, realizar uma autorregulação de sua atividade.

A função reguladora da personalidade possui duas esferas, são elas: a

regulação indutora, que reúne todos elementos afetivos-volitivos; e a regulação

executora, que diz respeito ao rol de elementos cognoscitivos-instrumentais.

Dissertando sobre a distinção dessas duas esferas da regulação, González et

al. (2001, p. 58) explicam que:

A regulação indutora inclui predominantemente todos os fenômenos psíquicos que incitam, impulsionam, dirigem e orientam, assim como os que sustentam as ações do indivíduo, tais como as necessidades, os motivos, as emoções e os sentimentos, entre outros, que compõem a esfera afetivo da psique. À regulação executora pertencem predominantemente todos os fenômenos psíquicos que possibilitam levar em consideração as condições em que transcorrem a atuação do indivíduo, ou seja, fenômenos tais como sensações, percepções, pensamentos, habilidades e hábitos, entre outros, aqueles que constituem a esfera cognitiva da psique.

Decorre dessa inter-relação entre a dimensão indutora e a executora da

personalidade, o princípio da unidade dialética entre os aspectos afetivos e

cognoscitivos, uma das premissas fundamentais para uma Educação à luz do

Enfoque Histórico-Cultural.

Como já mencionado, consciência e personalidade adotam a atividade

como sua unidade formadora. Por outro lado, a atividade se coloca como o meio

sobre o qual a consciência e a personalidade se expressam. Isso implica em

uma interconexão entre as três categorias enquanto estruturantes para

entendimento do psiquismo humano.

Situando essas categorias no contexto educativo, à luz do Enfoque

Histórico-Cultural, temos que um dos objetivos da Educação consiste no

desenvolvimento integral dos estudantes. Dito de outro modo, o processo de

aprendizagem deve se constituir como uma atividade consciente do sujeito,

visando o desenvolvimento de sua personalidade. Tendo em vista essa

compreensão, passamos a discutir sobre a aprendizagem, relacionando-a com

a ação controle.

34

2.2 A aprendizagem e o controle do estudante segundo P. Ya. Galperin

A aprendizagem é compreendida por Galperin (2001c, p. 85) como “[...]

toda atividade cujo resultado é a formação de novos conhecimentos e

habilidades em quem a executa, a incorporação de novas qualidades aos

conhecimentos e habilidades que já se possuem”. Em outras palavras, a

internalização de novas qualidades para a psique indica que aprender consiste

num processo de reelaboração da orientação do sujeito.

Endossando essa perspectiva, Núñez e Barros (2019, p. 91) afirmam que

ao aprender, o discente “[...] apropria-se de novas ações (ou atualiza as que já

domina), as quais lhe permitem a assimilação de novos conhecimentos e, dessa

forma, elabora e reestrutura as representações mentais, como orientação, das

novas situações/tarefas a serem resolvidas”.

Essa reestruturação da orientação, constituída a partir da relação entre os

conteúdos novos e os já preexistentes nas representações mentais do indivíduo,

estabelece conexões não apenas no âmbito da dimensão cognoscitiva, mas

também na dimensão afetiva. Segundo Rico (2003, p. 10):

[...] aprendizagem implica na personalidade como um todo integrado que é, portanto, resultado de um processo complexo, cujas derivações vão além dos aspectos cognitivos e intelectuais, incidindo de forma particular no ser humano, quer dizer, na pessoa, seus sentimentos, valores, aspirações, é aqui que o professor tem velar por produzir um processo no qual seus significados e os dos alunos encontrem pontos de convergência para serem compartilhados, do contrário, poderia produzir-se um processo formal que por falta de uma comunicação sem sentido para o aluno, estaria inibindo o desenvolvimento.

Desse modo, a aprendizagem no âmbito escolar se constitui como “[...]

um processo consciente, ativo, reflexivo, regulado, de apropriação da cultura

pelo estudante, sob mediação pedagógica e interações sociais, no que se

consideram todos os componentes da personalidade integral (cognitivos e

afetivos) dos estudantes” (NÚÑEZ; RAMALHO; OLIVEIRA, 2018, p. 23).

Esses entendimentos coadunam com a discussão proposta por Vygotsky

(1995) acerca da relação entre aprendizagem e o desenvolvimento intelectual.

Para Vygotsky (1995, p. 141), o desenvolvimento é:

[...] um complexo processo dialético que se distingue por uma complicada periodicidade, a desproporcionalidade no desenvolvimento

35

das diversas funções, a metamorfose ou transformação qualitativa de umas formas em outras, um entrelaçamento complexo de processos evolutivos e involutivos, o complexo cruzamento de fatores externos e internos, um complexo processo de superação de dificuldades e de adaptação.

Esse processo social se dá por meio da apropriação de parte da cultura

humana pelo indivíduo e é impulsionado pela aprendizagem. Ainda conforme o

autor, uma condição necessária para o desenvolvimento das funções

psicológicas superiores é uma organização adequada da aprendizagem.

Nesse sentido, as instituições de ensino (como escolas, universidades,

etc.) adquirem um papel relevante para o desenvolvimento dos indivíduos, visto

que são espaços formativos que possibilitam atividades de aprendizagem

sistematizadas a partir de um rol de conhecimentos e habilidades advindos das

diferentes áreas científicas.

No âmago dessa discussão sobre a relação aprendizagem-

desenvolvimento, Vygotsky (1995) elabora o conceito de Zona de

Desenvolvimento Próximo (ZDP)2. Para o autor, a ZDP é a diferença entre o

conjunto de atividades das quais o sujeito consegue empreender sozinho (que

se configuram como seu nível de desenvolvimento real) e aquelas atividades que

o indivíduo consegue realizar, mas apenas com a mediação de outra pessoa.

Em termos galperianos, o conteúdo da orientação já internalizada pelo sujeito

corresponde ao seu nível de desenvolvimento real, enquanto que a orientação

em vias de assimilação, realizada sob mediação social, está situada na Zona de

Desenvolvimento Próximo.

Essa metáfora empregada por Vygotsky (1995) faz alusão ao potencial de

desenvolvimento do ser humano, “[...] graças a ação transformadora do sujeito

sobre a realidade em conjunção com a orientação cultural que recebe dos outros

[...] (FARIÑAS, 2009, p. 5). Esse potencial, que se consolida a partir de um

movimento dialético entre aprendizagem e desenvolvimento (RICO, 2003), é

uma condição necessária para a formação da personalidade.

2 Embora, no Brasil, a ZDP seja mais conhecida como Zona de Desenvolvimento Proximal, optamos pelo uso do adjetivo “próximo” por uma questão de adequação semântica ao significado original desse conceito vygotskyano. Enquanto “proximal” qualifica o substantivo “zona”, o termo “próximo” faz alusão a um aspecto da palavra “desenvolvimento”. Em outras palavras, segundo a proposta de Vygotsky (1995), a ZDP se refere ao desenvolvimento que está próximo, iminente; não a uma zona proximal.

36

Somente a partir da identificação desses dois níveis de desenvolvimento

é que o docente terá informações para elaboração de um Sistema Didático que

atue sobre a ZDP, a fim de que a atividade idealizada e materializada por meio

desse sistema seja internalizada e o nível de desenvolvimento dos estudantes

seja elevado quantitativamente e qualitativamente.

Para Talizina (2009), o entendimento da aprendizagem como uma

atividade pressupõe uma mudança na compreensão acerca da relação entre as

ações e os conceitos.

Apresentando algumas distinções e a forma com a qual as ações e os

conceitos se relacionam no contexto da aprendizagem escolar, Galperin

(1989b, p. 66) afirma que:

[...] uma ação é um processo, e um conceito é algo estático; uma ação é direcionada a um objeto que é revelado para percepção, imaginação, concepção, etc. [...] O próprio conceito é algo que orienta o sujeito na realização de uma ação; é o componente do parte orientadora dessa ação. Assim, a pedra angular de todo o conteúdo diverso que aprendemos na escola e na vida prática é a ação; novas ideias e conceitos sobre as coisas com as quais essas ações são realizadas são formados com elas e como resultado delas, isto é, secundariamente.

Desse modo, um dos objetivos da atividade de aprendizagem deve ser a

formação de ações mentais que são, simultaneamente, uma das vias de

formação e os meios de colocar os conceitos em prática.

Um aspecto importante que envolve as ações mentais consiste em que,

ao serem internalizadas, elas se convertem em habilidades (GALPERIN;

ZAPORÓZHETS; ELKONIN, 1987).

Discutindo sobre o conceito de habilidade no âmbito do Enfoque

Histórico-Cultural, Núñez, Ramalho e Oliveira (2018, p. 28) afirmam que:

[...] as habilidades constituem elementos psicológicos estruturais da personalidade, vinculados à sua função reguladora-executora. Elas se formam, se desenvolvem e se expressam na atividade em estreita união com os elementos indutores da personalidade (motivos, valores, atitudes) e da comunicação. A habilidade é um tipo de atividade cognoscitiva, prática e valorativa, que coloca o conhecimento teórico em ação.

Assim, considerando que o saber está intrinsecamente relacionado ao

saber-fazer, Talizina (2000, p. 19), afirma que “[...] saber sempre significa saber

37

realizar uma ou outra atividade ou as ações relacionadas com elas”. Isso implica

em compreender o conhecimento e a habilidade não como entes isolados, mas

como uma unidade dialética.

Esse processo de domínio da ação mental, convertida em habilidade,

indica que o aprendiz consegue, de forma consciente “[...] explicar o que faz e

por que o faz dessa maneira e não de outra, estimar os resultados esperados e

compará-los com os objetivos para fazer as correções quando for necessário

(NÚÑEZ; RAMALHO; OLIVEIRA, 2018, p. 28).

Além disso, implica em olhar os desafios da difusão de conhecimentos e

da formação de habilidades para utilizá-los como um problema único para o

professor: organizar a atividade de aprendizagem considerando de forma

integrada os conhecimentos a serem apropriados e os modos idealizados de

colocá-los em ação (TALIZINA, 2000).

À medida que, durante o momento de execução, as habilidades vão se

automatizando, elas se tornam hábitos. Para Petrovski (1986, p. 155):

O hábito surge como ação conscientemente automatizada. Funciona como meio automatizado de execução de uma ação. Seu papel consiste em liberar a consciência do controle sobre a execução dos meios da ação e sua comutação para os objetivos e condições da ação.

No âmbito dessa compreensão relativa às habilidades e aos hábitos, a

atividade de aprendizagem é direcionada a formação de hábitos enquanto

elementos integrantes da personalidade dos estudantes.

Dentre as ações mentais que constituem o pensamento humano,

passamos a discutir a ação de controle. Conforme Galperin (1989c), o controle

interno consiste na habilidade de ser atento.

Segundo o autor, o pensamento forma-se no duo entre seu conteúdo

pensável e pela ação que direciona os processos mentais do indivíduo para agir

sobre esse conteúdo (GALPERIN, 1989a, 1989c). A partir desse entendimento,

ação mental principal e seu respectivo controle, embora independentes, se

assimilam de maneira integrada, por meio de etapas.

Para Luria (1981), a atenção se refere aos aspectos diretivo e seletivo

relacionado a atividade mental. Petrovski (1986, p. 170) define a atenção como

um processo cognoscitivo de “[...] inclinação e concentração da psique

38

(consciência) em determinados objetos que supõem uma elevação do nível da

atividade [...]”. Enquanto a inclinação se refere a seleção e a manutenção da

atenção por certo tempo, de forma voluntária ou não, de quais objetos a atividade

do sujeito será direcionada; a concentração indica o não desvio da atenção e o

impedimento que outras atividades “concorrentes” sejam postas em ação pelo

indivíduo.

Segundo Vygotsky (1995), o desenvolvimento da atenção se dá no

decorrer do desenvolvimento histórico da conduta humana organizada em

consonância com a maturação das funções biológicas do indivíduo. A partir do

contato do sujeito com seus pares e com a cultura, a atenção passa por um

desenvolvimento cultural. Conforme Vygotsky (1995, p. 149):

O desenvolvimento cultural de qualquer função, incluída a atenção, consiste em que o ser social no processo de sua vida e atividade elabora uma série de estímulos e signos artificiais. Graças a eles se orienta a conduta social da personalidade; os estímulos e signos assim formados se convertem no meio fundamental que permite o indivíduo dominar seus próprios processos de comportamento.

Nesse sentido, o desenvolvimento natural e o desenvolvimento cultural da

atenção se constituem, respectivamente, como processos primitivos (ou

naturais) e artificiais. Estes últimos, reúnem a cultura e a linguagem (em

particular) como importantes mediatizadores na formação dessa atividade

cognoscitiva.

A partir desses dois tipos de processos desenvolvimentais da atenção,

podemos diferenciá-la em função da dependência ou não do surgimento dessa

habilidade em relação ao objeto da atividade. Os tipos principais de atenção são:

a atenção involuntária e a atenção voluntária.

Notada ainda nos primeiros anos de vida do ser humano, a atenção

involuntária está relacionada a existência de estímulos sobressalentes ou de

grande significado biológico (LURIA, 1981). Nesse tipo de atenção, há uma

relação de dependência entre a ação e alguma característica do objeto que

chame a atenção do sujeito. Como não há um plano pré-definido nesse caso, os

próprios aspectos do objeto são usados para verificação da ação (GALPERIN,

1989c).

Por outro lado, na atenção voluntária, conforme Galperin (1989a, 1989c),

39

o direcionamento da atenção não depende de algum aspecto chamativo do

objeto; mas da decisão do sujeito de agir de forma atenta sobre aquele objeto.

Nesse sentido, a ação do indivíduo segue um plano previamente determinado,

que contém critérios e formas que permitem a verificação da ação.

Endossando o entendimento da atenção voluntária enquanto produto da

ação social, Luria (1981, p. 228) afirma que esse estado de desenvolvimento da

atenção pode ser entendido como resultante “[...] não da maturação biológica do

organismo, mas, sim, de formas de atividade criadas na criança durante as suas

relações com os adultos, na organização desta complexa regulação da atividade

mental seletiva”.

Convém destacar que, embora possam ser distinguidos, os tipos de

atenção supracitados não são mutualmente excludentes, pois estão em

constante inter-relação durante a atividade do sujeito.

Na atividade de aprendizagem, Talizina (1988, 2000, 2009) aponta para a

possibilidade de três tipos de controle: o controle inicial, que busca evidenciar

antes de iniciar o processo educativo o nível de desenvolvimento atual dos

discentes acerca do conteúdo; o controle corrente, que tem como função

principal apresentar um feedback contínuo ao professor sobre o processo de

assimilação de cada estudante; e o controle final, que visa aferir o nível de

desenvolvimento do aluno, após o processo educativo.

Assim como qualquer ação, o controle interno, enquanto forma de atenção

voluntária, pode ser aprendida de forma planejada, tendo a Teoria de P. Ya.

Galperin como um possível arcabouço teórico explicativo.

Essa aprendizagem ocorre, no entendimento de Galperin (1989b, p. 67),

partindo de algumas condições gerais. São elas:

(1) condições para a formação da estrutura correta de ações e conceitos; (2) condições para o desenvolvimento (‘refinando através da prática’) suas propriedades desejadas; (3) condições para a transferência de ações para o plano mental (com retenção das propriedades que já foram aprendidas e com a aquisição de propriedades novas e particulares, psicologicamente importantes).

O autor acrescenta ainda que uma quarta condição, específica do

professor, que se constitui com uma combinação ideal das três condições

anteriores.

40

Dessas condições derivam os subsistemas da Teoria de Formação

Planejada das Ações Mentais, são eles: subsistema da orientação, subsistema

das etapas de formação das ações mentais e dos conceitos e subsistema dos

indicadores qualitativos. Além disso, a combinação idealizada desses

subsistemas corresponde a quarta condição mencionada por Galperin (1989b),

que se materializa no Sistema Didático planejado pelo professor.

Destarte, passamos a discutir nas próximas subseções como se dá a

formação do controle, apresentando cada um dos subsistemas da Teoria de

Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos e aplicando-os à

formação da referida ação.

2.3 A orientação da ação de controle

Como já mencionado, a orientação consiste numa forma de

representação mental que possibilita ao sujeito planejar, antever, dirigir e

controlar suas ações. Ela se refere a compreensão que o indivíduo tem acerca

de uma determina ação (NÚÑEZ; BARROS, 2019).

Tratando da relevância da orientação, Galperin (1992, p. 78) afirma que

“[...] a função vital da mente consiste em seu comportamento orientador,

baseado na reflexão mental de uma situação problemática”. Ela é acionada

quando o indivíduo se coloca em uma situação que exige dele uma nova

representação e sente necessidade ou desejo de satisfazê-la (NÚÑEZ;

RAMALHO; OLIVEIRA, 2018).

Por conta disso e em função de sua influência sobre os demais momentos

funcionais da atividade humana (execução e controle), a orientação ocupa um

lugar de destaque como objeto da psicologia (GALPERIN, 1979; TALIZINA,

1988, 2000, 2009). Segundo Galperin (1979, p. 81):

A atividade orientadora se dá quando um sujeito realiza um exame da situação nova, confirma ou não o significado racional ou funcional dos objetos, prova e modifica a ação, traça um novo caminho e mais adiante, durante o processo de realização, leva a cabo um controle da ação de acordo com as modificações previamente estabelecidas.

Isso indica que, a orientação do sujeito norteia a execução de sua ação

em uma determinada situação e ainda coloca-se como o referencial para o

41

controle dessa ação. Além disso, a orientação está direcionada para a

construção racional e adequada da ação e para a seleção de uma das formas

possíveis (TALIZINA, 2009).

Discutindo a relevância da orientação, Lopéz (2002, p. 104) menciona

que:

O valor fundamental da etapa de orientação é que ele garante o entendimento da criança sobre o que ele fará, antes de iniciar sua execução. Como o aluno sabe, não apenas o que ele fará, o produto que obterá, mas também como proceder, quais materiais e instrumentos usar e quais ações e operações executar e a ordem de sua execução, maior será a qualidade da execução e o produto obtido.

Esse valor conferido à orientação a coloca como um momento aglutinador

dos conteúdos de aprendizagem que, ao serem internalizados, ficam disponíveis

para a atividade orientadora do indivíduo.

No que se refere a orientação para a ação de controle, a orientação

pressupõe a existência de uma imagem pela qual ela possa ser controlada. Esse

controle ocorre por meio do comparativo entre a imagem idealizada e a execução

da atividade (GALPERIN, 1989c). Assim, o controle, além de uma função de

verificação da execução segundo a orientação dada, também visa o

aperfeiçoamento da atividade de aprendizagem.

Segundo a Teoria de Formação Planejada das Ações Mentais e dos

Conceitos, a orientação do indivíduo se dá por meio da Base Orientadora da

Ação (BOA), que consiste na “[...] representação antecipada da tarefa, assim

como o sistema de orientadores, que são necessários para seu cumprimento,

formam o plano da futura ação, a base para sua direção” (GALPERIN, 2001a, p.

46). Esse entendimento parte da premissa de que toda a ação humana é

precedida por uma base orientadora, determinante para sua qualidade

(GALPERIN, 1989a).

Essa imagem antecipada fornece, ainda antes da execução da ação, o

conjunto de condições nas quais o indivíduo se apoiará durante sua realização

e acompanhamento (TALIZINA, 1988, 2000, 2009).

Para Núñez, Ramalho e Oliveira (2018, p. 41), a BOA se constitui como

um esquema conceitual-operativo, que contém:

42

a) o conteúdo objeto de assimilação; b) a representação do produto final da ação e sua qualidade; c) a representação da ordem das ações e das operações que devem ser realizadas; e d) os modos de controle da ação

Esse conjunto de elementos, fornece os subsídios necessários para que

o indivíduo possa executar e controlar sua ação, segundo um objetivo definido

previamente.

Além disso, uma Base Orientadora da Ação adequada se constitui,

quando internalizada, como uma ação do pensamento; e ainda permite que o

sujeito se utilize dela enquanto orientação para outras atividades que estejam

dentro dos limites da BOA (GALPERIN; TALIZINA, 1965).

O processo reelaboração e internalização da Base Orientadora da Ação,

de forma consciente corresponde, à luz da Teoria de Formação Planejada das

Ações Mentais e dos Conceitos, à aprendizagem (NÚÑEZ; RAMALHO;

OLIVEIRA, 2018).

No que diz respeito a ação de controle, este é realizado como parte

integrante BOA (modelo de controle). Inicialmente, a BOA e o seu modelo de

controle assumem uma forma materializada para a posteriori serem

internalizados pelo indivíduo.

Conforme Galperin (1989c), o uso de uma imagem antecipada da ação

(isto é, da BOA) evidencia duas importantes características da atenção: seu

caráter seletivo e benéfico sobre a atividade à qual está associada.

Ao internalizar a BOA, o indivíduo internaliza também seu controle, o que

o possibilita a ser capaz de lidar com independência com a execução do seu ato

de aprender a partir do sistema de condições pré-estabelecido; e monitorar sua

aprendizagem segundo o produto idealizado.

A Base Orientadora da Ação, possui variações em suas propriedades que

são classificadas em função: de sua generalidade, podendo ser particular

(orienta um único caso) ou geral (orienta uma classe de objetos); de sua

completude, divididas em completa (sistema de condições é completamente

explicitado) ou incompleta (sistema de condições não é completamente

explicitado); e do modo de obtenção, sendo ou preparada (quando é dada pronta

ao sujeito) ou independente (quando é elaborada pelo próprio sujeito). A partir

43

dessas propriedades, as BOA podem ser de oito tipos, sintetizadas no Quadro

1:

Quadro 1 - Tipos de Bases Orientadoras da Ação

TIPO DE BOA PROPRIEDADES

Generalidade Completude Modo de obtenção

I Particular Incompleta Independente II Particular Completa Preparada III Geral Completa Independente IV Geral Completa Preparada V Geral Incompleta Preparada VI Geral Incompleta Independente VII Particular Completa Independente VIII Particular Incompleta Preparada

Fonte: Adaptado de Talizina (2009, p. 179).

Dada essa variabilidade em suas características (generalidade, modo de

obtenção e completude), cada Base Orientadora da Ação determina um tipo de

formação e qualidade na ação. Dentre as bases descritas no Quadro 1, Galperin

(2001b) aponta os três primeiros tipos de BOA como os principais. Descrevemos

em seguida cada um deles.

Na BOA do tipo I, as condições que constituem a orientação não são

explicitadas de modo suficiente, o que ocasiona uma execução da ação por meio

de tentativa e erro. Apesar de ser obtida pelo próprio sujeito, dada a natureza

limitada da orientação da ação sobre um único objeto, torna o processo de

assimilação lento, visto que, para cada tipo de objeto de uma mesma classe,

será necessária uma nova Base de Orientadora da Ação.

Galperin (1992) apresenta algumas características para um processo de

aprendizagem subsidiado pela BOA I, tais como: ausência de uma sequência de

ações e operações corretas desde o início, ocasionando uma gradual seleção,

no decorrer do processo dos conteúdos apropriados; interconexão gradual entre

os conteúdos; generalização dos conteúdos de forma paulatina; avaliação da

ação somente a partir de seu produto, pois o aprendiz não tem consciência do

próprio processo.

Já na Base Orientadora da Ação II, o sistema de condições é mostrado

e dado pronto (na atividade de aprendizagem escolar, normalmente pelo

professor), o que contribui para uma execução correta da ação. Contudo,

44

permanece a limitação da orientação particularizada a cada tipo de objeto de

uma mesma classe, como na BOA I, dificultando a transferência de

aprendizagem para situações que não tenham sido vivenciadas pelo sujeito.

Dadas as condições completas e prontas desde o início, Galperin (1992)

diz que a aprendizagem via tentativa e erro pode se tornar mais escassa, visto

que todas as ações e operações corretas estão disponíveis ao aprendiz. Além

disso, o processo de aprendizagem passa pelas etapas de formação das ações

mentais e dos conceitos de forma mais rápida e reduzida.

Contudo, a cada novo tipo específico de situação, faz-se necessário

estruturar uma nova Base Orientadora da Ação, o que dificulta a integração entre

diferentes conteúdos e dificulta a assimilação de todas as orientações na

memória.

Além disso, o fato de ser entregue de forma pronta pelo professor pode

gerar uma incompatibilidade entre os significados apresentados na orientação e

os sentidos dos discentes em relação ao conteúdo estudado. Como

consequência, em virtude da incompreensão ou mesmo discordância podem

surgir dificuldades de aplicação da orientação nas situações.

O tipo III da BOA é obtida pelo sujeito da aprendizagem de forma

independente, podendo ter a mediação do professor. Além disso, a orientação

se norteia nas características necessárias e suficientes que definem uma classe

de objetos, permitindo que a execução de ações de diferentes objetos

particulares, que estejam dentro dos limites de generalização dessa classe, seja

realizada sobre uma única BOA. Isso permite que a orientação se dê com maior

facilidade e a execução gradativamente se torne mais rápida.

Segundo Galperin (1992), a aprendizagem resultante da utilização de uma

orientação do tipo III apresenta uma influência no desenvolvimento intelectual

dos estudantes, pois é direcionada para apropriação de um método geral do

pensamento que possibilita ao aprendiz orientar-se apropriadamente frente a

uma situação, mesmo que não disponha de todos os meios.

Comentando sobre um dos benefícios da Base de Orientadora da Ação III

em relação aos outros tipos, Galperin (2001b, p. 44) afirma que ela promove

uma:

45

[...] mudança essencial do processo e do produto da aprendizagem. Diferenciando individualmente a base orientadora da ação, o sujeito a segue ativamente e a organização externa da ação se faz desnecessária. Aqui a ação se executa desde o primeiro momento corretamente e sua assimilação posterior transcorre também sem erros.

Ter acesso a orientação completa desde o início da atividade de

aprendizagem possibilita que não seja preciso haver uma mudança no conteúdo

da orientação durante esse processo, mas apenas em sua forma, inicialmente

material/materializada, passando pela linguagem externa e culminando na forma

mental.

Ademais, por ser geral, direciona-se à essência invariante de uma

diversidade de fenômenos que comungam da mesma orientação. Assim,

conforme Talizina (1988), a BOA tipo III possibilita a formação do pensamento

teórico, entendido por Davydov (1986, p.127) como “[...] o processo de

idealização de um dos aspectos da atividade objetal-prática, a reprodução, nela,

das formas universais das coisas”.

Para Fariñas (2019, p. 290-291), a Base Orientadora da Ação do tipo III

tem duplo valor:

Primeiro: porque aprofunda o conhecimento da unidade dialética entre aprendizado-desenvolvimento; Segundo: porque, ao mesmo tempo, constitui uma alternativa eficaz para a direção do aprendizado, voltada ao desenvolvimento de pensamentos complexos e ao mesmo tempo de personalidade (parte inteira). O melhor desenvolvimento da personalidade requer uma concepção dialética globalizante do mundo relacionada a esse tipo de orientação, não uma concepção fragmentada, simplista ou maniqueísta.

Essa dupla função coloca em tela uma das finalidades centrais do

Enfoque Histórico-Cultural, que consiste no desenvolvimento da personalidade

enquanto construto integrador das dimensões cognoscitivas e afetivas do ser

humano.

Tendo em vista o papel do professor na organização do processo de

ensino, de modo a possibilitar ao estudante uma internalização adequada das

ações e dos conceitos presentes no currículo, é fundamental que esse

profissional formule e materialize o esquema de uma BOA desejável, que

corresponda ao produto da orientação idealizada para o aluno ao final da

46

aprendizagem. Diante dessa necessidade, Galperin (1989b) apresenta o

Esquema da Base Orientadora Completa da Ação (EBOCA).

O EBOCA pode ser entendido como a representação materializada da

Base de Orientadora da Ação desejável para uma determinada ação

(GALPERIN, 1989b). Segundo o autor, esse esquema:

[...] incorpora tudo o que um aluno deve ‘entender’ na tarefa à sua frente, e esse ‘entendimento’ é expresso pela ação: o aluno sistematicamente (não a esmo!) executa todas as instruções do esquema corretamente nas tarefas, que variam substancialmente. Esse ‘comportamento’ indica que o aluno está sendo guiado pelas relações essenciais nas tarefas e que suas ações são racionais (GALPERIN, 1989b, p. 70).

No contexto da presente tese, esse esquema corresponde a

materialização3 de uma BOA III (isto é, completa, generalizada e obtida de forma

independente), elaborada inicialmente pelo professor para que os discentes

possam remodelar sua orientação com um conteúdo desejável e internalizá-la

como produto da aprendizagem.

Para Núñez e Ramalho (2017, p. 13), o Esquema da Base Orientadora

Completa da Ação: “[...] fornece aos estudantes uma ferramenta cultural para a

generalização teórica, que permite a compreensão de um conjunto de situações

ou de um dado domínio”. Por meio do EBOCA, os discentes terão à sua

disposição desde o princípio da atividade de aprendizagem um guia completo

para execução e controle das tarefas.

Embora possuam similaridades e se inter-relacionem, a Base Orientadora

da Ação (BOA) e o Esquema da Base Orientadora Completa da Ação (EBOCA)

não são a mesma coisa. Galperin (1989b) afirma que, enquanto o EBOCA é um

esquema representado no plano materializado, a BOA se refere ao seu reflexo

mental, após processo de internalização. Ademais, enquanto há uma constância

no EBOCA, sua BOA correspondente pode ter variações em seu conteúdo.

Também discutindo essa distinção, Núñez, Ramalho e Oliveira (2018, p.

44) afirmam que “[...] enquanto a BOA é a orientação real do estudante,

subjetiva, o EBOCA é a base de orientação desejada e estruturada pelo

3 Autores como Núñez (2009) utilizam a denominação cartão de estudo em alusão a representação materializada da BOA desejável. No contexto da presente tese, utilizamos EBOCA e cartão de estudo como termos equivalentes.

47

professor, a qual contém as condições essências para a adequada execução da

ação e do controle”.

Outro aspecto importante discutido por Núñez, Melo e Gonçalves (2019)

diz respeito a existência de dois tipos de EBOCA: o do professor e o do aluno4.

Enquanto o primeiro é o produto de um processo de sistematização metódica e

planejada pelo professor para constituição de uma orientação ideal, o segundo

consiste num esquema construído pelos discentes, com auxílio desse

profissional e subsidiado pelo seu EBOCA, durante a etapa da base orientadora

da ação da atividade de aprendizagem.

Uma forma de Esquema da Base Orientadora Completa da Ação possível,

consiste em evidenciar três aspectos inerentes a ação mental que será objeto da

atividade de aprendizagem: a definição da ação mental a ser formada (modelo

do objeto); o sistema operacional de execução da ação (modelo da ação) e o

sistema de operações para controlar a execução da ação (modelo de controle).

A materialização da BOA III de uma determinada habilidade resulta

também no processo de assimilação de um controle correspondente, o que

implica que os modelos da ação e de controle estão intrinsecamente

relacionados.

No âmbito da organização e aplicação da atividade de aprendizagem, o

Esquema da Base Orientadora Completa da Ação elaborada pelo professor pode

ser utilizado visando:

Referenciar o processo de caracterização e análise das Bases de

Orientadoras da Ação de cada aluno, antes, durante ou depois da

atividade de aprendizagem.

Auxiliar o professor na negociação dos sentidos e significados das BOA

dos alunos, visando aproximá-las do produto da aprendizagem desejável

e materializado no EBOCA elaborado pelo docente.

No que se refere a relação entre BOA inicial dos alunos e o EBOCA

planejado pelo professor, enquanto a primeira corresponde ao nível de

4 Haja vista a existência desses dois tipos EBOCAs, em alguns momentos utilizaremos as expressões EBOCA do professor e EBOCA dos alunos ou da turma para distingui-los.

48

desenvolvimento real dos estudantes, o EBOCA do professor se refere ao nível

de desenvolvimento desejável. Explicando a relação entre BOA e EBOCA

durante o processo de formação de uma habilidade, Núñez, Ramalho e Oliveira

(2018, p. 49), afirmam que:

No processo de formação da habilidade, a BOA de cada estudante está constantemente se modificando, sendo diferenciada, abreviada e generalizada, o que permite a aproximação ao EBOCA e a formação da ação de orientação qualitativamente diferente em cada etapa. Por sua vez, vão se formando e se consolidando ações de controle e de autorregulação da atividade, típico do aprender a aprender.

Dessa forma, partindo-se da orientação inicial do aluno (BOA) e do

esquema ideal planejado pelo professor (EBOCA do professor), após a

negociação entre docente e discentes, o aluno ressignifica sua BOA de modo

que seu conteúdo se torna similar ao EBOCA do professor e, ao ser

materializada, constitui o EBOCA do aluno. A partir do EBOCA elaborado pelos

estudantes, a Experiência Formativa segue as etapas de formação das ações

mentais e dos conceitos, culminando assim na internalização do conteúdo do

EBOCA, do plano externo para o plano mental.

Considerando que a atividade de aprendizagem deve ocorrer no âmbito

da Zona de Desenvolvimento Próximo (VYGOTSKY, 1995), para que o conteúdo

passe do plano interpsicológico para o plano intrapsicológico é preciso que a

Base Orientadora da Ação do aluno seja reconfigurada de forma equivalente ao

EBOCA planejado pelo professor desde o início do processo formativo, a fim de

orientar o processo de internalização dos conhecimentos e habilidades objetos

da Experiência Formativa.

As reelaborações da orientação se dão, segundo a Teoria de P. Ya,

Galperin, por etapas. Tendo em vista que uma das finalidades da orientação

consiste em nortear a execução e o controle da atividade para que essa ocorra

de forma adequada ao plano pré-estabelecido, passamos a discutir o processo

de assimilação do controle por meio das etapas de ações mentais e dos

conceitos propostas pela Teoria de Formação Planejada das Ações Mentais e

dos Conceitos.

2.4 Etapas de formação do controle interno

49

O processo de internalização da ação de controle também se dá de forma

gradativa, partindo do plano material (controle externo) para o plano mental

(atenção voluntária).

De maneira geral, a internalização de uma atividade mental a partir de

uma atividade externa ocorre de maneira paulatina, segundo etapas que se

distinguem pela forma e pelas características que o indivíduo vai adquirindo

durante esse processo. Daí, decorre que um requisito importante para o êxito da

assimilação de uma nova ação mental é a passagem gradual dos sujeitos por

todas as etapas (TALIZINA, 2009).

Galperin (2001b, p. 46), apresenta quatro etapas fundamentais para

formação da ação, são elas: “1) a formação da base orientadora da nova ação;

2) a formação do aspecto material desta ação; 3) a formação do seu aspecto

linguístico; 4) a formação desta ação como um ato mental”.

Continuadora das investigações de P. Ya. Galperin, N. F. Talizina aponta

ainda para a necessidade de um momento de trabalho direcionado para a

motivação dos alunos, anterior ao desenvolvimento das etapas (TALIZINA, 1988,

2000, 2009).

Desse modo, a Teoria de Formação Planejada das Ações Mentais e dos

Conceitos é constituída por cinco etapas, discriminadas a seguir conforme

Núñez (2009):

0) Etapa motivacional;

1) Etapa de estabelecimento do esquema da Base Orientadora da Ação (BOA);

2) Etapa de formação da ação do plano material ou materializado;

3) Etapa de formação da ação no plano da linguagem externa;

4) Etapa mental.

Detalharemos cada uma das etapas anteriores tendo como referência a

habilidade de controle interno da aprendizagem.

A etapa motivacional consiste no momento de preparo e motivação dos

discentes para assimilação dos conhecimentos e habilidades planejadas

(NÚÑEZ, 2009).

Discutindo a relevância da motivação para a formação das ações, Núñez,

Melo e Gonçalves (2019, p. 334) afirmam que:

50

Sem motivação, não há atividade e, consequentemente, tampouco a formação das ações e dos conhecimentos que são assimilados a partir destas e que dependem também do desejo ou da necessidade que tem o estudante para aprender. Ela impulsiona o estudante para atingir as metas, os objetivos da aprendizagem. É importante destacar que essa motivação não deve estar relacionada apenas ao conteúdo da aprendizagem e ao desenvolvimento da atenção, mas também à significação dessa aprendizagem no desenvolvimento integral do estudante.

Desse modo, ao se constituir como um momento focado na integração de

aspectos afetivos (motivos, necessidades, etc.) com os cognoscitivos (ações,

operações, etc.) a serem estudados, a etapa motivacional se coloca como uma

condição necessária para um bom andamento da atividade de aprendizagem.

Outro argumento importante é apontando por Talizina (1988, p. 139), ao

dizer que “[...] cada professor sabe que se o aluno não quer estudar, então, não

é possível ensinar nada a ele. Então, cada aluno deve ter o motivo que o

impulsione a aceitar as ações e os conhecimentos planejados”.

Essa etapa é considerada a etapa zero por não haver dentro dela

nenhum tipo de ação ou formação de conhecimentos ou habilidades (NÚÑEZ,

2009). Além disso, só se faz necessária quando o docente identifica que os

discentes não estão motivados para participarem da atividade de aprendizagem

(TALIZINA, 2000).

Vale destacar que enquanto etapa zero, a motivação ocorre tanto no

início da atividade de aprendizagem, quanto durante todo esse processo.

Mesmo que a etapa motivacional não se refira a execução da ação

propriamente dita, ela se coloca durante a formação do controle interno como

um momento em que o professor se utiliza de diferentes estratégias para que os

motivos dos alunos correspondam ao objetivo planejado para a atividade que,

no caso do presente trabalho, consiste em influenciar na internalização do

controle da aprendizagem da habilidade de resolver problemas matemáticos.

Conforme Talizina (1988), um dos caminhos para a motivação dos

discentes no âmbito da atividade de aprendizagem é a apresentação de

situações-problema. Embora a mera inserção de situações-problema por si só

não garantam a motivação, a autora aponta que durante:

51

[...] o ensino de qualquer tipo de atividade nova, é recomendável iniciar com o estabelecimento do problema, o que requer a atividade dada; em grande maioria dos casos, o problema produz o desejo de encontrar a solução e conduz a que tentem fazê-lo. Desde já, neste caso, o motivo também pode não ser interno; o aluno pode tentar encontrar a solução baseada na chamada motivação da competição (verificar o próprio conhecimento, competir com os demais) (TALIZINA, 1988, p. 139- 140).

Assim, o uso de situações-problema enquanto um recurso motivacional

pode auxiliar na emergência tanto da motivação de origem interna (cognoscitiva),

quanto externa (ambiente).

Em relação a etapa de elaboração do esquema da base orientadora

da ação (BOA), esse momento se constitui em estabelecer o plano da ação, no

modelo da atividade a ser realizada, que congrega o conjunto de orientações

necessárias e suficientes para realização das tarefas voltadas para formação

das ações mentais e dos conceitos (GALPERIN, 2001b).

Durante essa etapa, são definidos os critérios de controle (modelo de

controle) tanto para a habilidade a ser formada (modelo do objeto, quanto para

o seu sistema de ações e/ou operações (modelo da ação).

Considerando a organização de uma atividade de aprendizagem

orientada pela BOA tipo III, é importante que o estabelecimento da base

orientadora da ação pelos discentes se dê de forma independente. Tendo em

vista que, no âmbito de uma atividade de aprendizagem inserida na ZDP, os

estudantes não dispõem de todos os conhecimentos necessários e suficientes

para elaboração de uma BOA III, cabe ao professor mediar e colaborar com esse

processo, induzindo o aluno a reconfigurar sua orientação inicial (BOA inicial)

segundo a BOA desejável elaborada pelo professor e materializada no EBOCA.

Ao longo dessa etapa, é fundamental que o professor, além de orientar

os discentes sobre o modo pelo qual devem resolver os problemas, também

apresente sua forma de execução e controle (TALIZINA, 2000). Isto é, faz-se

necessário que o docente proponha situações-problema para que seus alunos

experienciem a aplicação da base orientadora da ação desejável a ser

assimilada.

Durante a etapa de formação da ação no plano material ou

materializado, o aluno inicia realizando uma ação externa, seja a partir de uma

ação direta sobre o objeto (material) ou sobre sua representação (forma

52

materializada). Essa ação se dá de forma minuciosa, executando todas as

operações que compõem a BOA desejável (NÚÑEZ, 1992; NÚÑEZ;

GONZÁLEZ, 1998).

Nessa etapa, os alunos executam as tarefas em pares, alternando-se

entre quem executa e quem controla a execução da tarefa, o que potencializa a

qualidade da assimilação (TALIZINA, 2000). De modo concomitante, o professor

realiza o controle e orienta os alunos segundo níveis de ajuda diversos ou

eventuais necessidades de correções. Além disso, a BOA desejável pode ser

representada na forma escrita (EBOCA dos alunos).

Durante essa etapa, o controle também é feito em duplas e de forma

recíproca, seguindo detalhadamente as orientações contidas no EBOCA dos

alunos, a partir de uma ação consciente e reflexiva (pensar-repensar).

Sendo o EBOCA dos alunos uma ferramenta para auxiliar o aluno a

pensar, ela possibilita que haja um trabalho colaborativo entre os discentes, mas

sem amputá-los de suas individualidades (NÚÑEZ, 1998).

Na etapa de formação da ação no plano da linguagem externa, o

sujeito representa os elementos da ação de forma oral ou escrita (forma verbal).

Além disso, o indivíduo continua a desenvolver a ação de forma detalhada, mas

sem utilizar-se de apoio externo do EBOCA do aluno, convertendo a ação

externa em teórica.

Outrossim, na etapa da linguagem externa, o controle é feito com auxílio

de um colega, contudo, o modelo de controle da BOA está em vias de

internalização. Por isso, os discentes já não resolvem as tarefas com o suporte

de seus EBOCAs.

Segundo Núñez (2017, p. 318), durante essa etapa, que tem como

enfoque o desenvolvimento da linguagem, o “[...] diálogo possibilita a

apropriação de significados cada vez mais enriquecedores e aplicáveis a uma

pluralidade de tarefas diversas dentre os limites da generalização”.

Nesse processo, a palavra enquanto ferramenta de comunicação ocupa

um lugar de destaque, pois “[...] influi na conduta dos outros e na sua própria

conduta, na regulação dos próprios processos psíquicos e, dessa forma,

possibilita o surgimento da atividade consciente” (NÚÑEZ; MELO;

GONÇALVES, 2019, p. 337)

Além disso, há uma exigência para que ocorra uma “[...] argumentação e

53

expressão oral do raciocínio que estão realizando na solução das tarefas, o que

permite que a ação seja traduzida na lógica dos conceitos e, portanto, inicia o

processo de generalização” (NÚÑEZ, 1998, p. 99).

Conforme Galperin (1989a), durante a etapa da linguagem externa, o

conteúdo do objeto começa a consolidar na consciência do indivíduo, não ainda

da forma ideal, mas como um reflexo, representado de forma verbal como

conteúdo da ação.

Ademais, Galperin (1989a) ressalta a importância que a ação, na etapa

da linguagem, não se restrinja a ser um reflexo da ação externa, mas seja ainda

um meio de comunicação daquela, consonante com as exigências

comunicativas dos conhecimentos científicos. Esse aspecto demanda um olhar

cuidadoso do professor, à medida que a adequação da ação verbalizada (ou

escrita) dos estudantes terá um impacto significativo na qualidade da futura ação

mental.

Por fim, a etapa mental inicia-se quando a ação, na forma verbal

externa, abrevia-se e transforma-se numa tarefa reflexiva e de “falar para si”.

Para Galperin (2001a, p. 51), é nesse momento que “[...] se origina o ato

independente em toda sua aparente contraposição da ação concreta com

objetos e cuja última forma representa esta ação”.

É nessa etapa do processo formativo que a ação vai se automatizando

de forma acelerada, tornando-se um conteúdo da atividade orientadora e, assim,

podendo ser utilizada em diferentes situações que estejam em seus limites de

generalidade (NÚÑEZ, 1998).

No decorrer da etapa mental, a BOA do aluno já encontra-se no plano

intrapsicológico, abreviada; e a execução da ação se dá de forma automática e

individualizada. É nessa etapa ainda que o aluno consegue utilizar sua

orientação em situações de diferentes tipos que estejam dentro dos limites de

generalização da orientação da ação.

Especificamente, o controle também já se consolida no plano interno, ou

seja, se configura como ato da atenção voluntária, que se dá de forma menos

detalhada e automatizada.

É importante destacar que as etapas da Teoria de Formação Planejada

das Ações Mentais e dos Conceitos não devem ser compreendidas de modo

linear. Segundo Galperin (2001c), percorrer todo o ciclo da teoria (da etapa

54

motivacional à etapa mental) só é necessário nos casos em que a ação é nova

para o indivíduo. Do contrário, é preciso identificar o nível de formação da

habilidade nos estudantes e percorrer somente as etapas pendentes.

Além disso, apontando para as exigências necessárias para a realização

do controle no âmbito das etapas de formação das ações mentais e dos

conceitos, Talizina (2000, p. 165) sugere que:

1. Nas etapas inicial do processo de assimilação, deve-se realizar o controle das operações 2. No início da etapa material (materializada) e da linguagem externa, o controle deve ser sistemático, deve-se controlar cada tarefa que se realiza. 3. Ao final destas etapas, assim como nas etapas seguintes, o externo deve ser esporádico: de acordo com o pedido do aluno frente a presença de erros constantes.

Assim, considerando que, tanto a atividade de aprendizagem para qual se

dirige a atenção, quanto o controle vão se tornando reduzidos e automatizados,

a necessidade de realização do controle externo no decorrer das etapas de

assimilação vai se reduzindo, até não ser mais obrigatória e ocorrer somente por

meio dos elementos já internalizados.

Ao internalizar o controle segundo as etapas de formação das ações

mentais e dos conceitos, o sujeito da atividade adquire novas características,

também nomeadas de indicadores qualitativos da ação. Para melhor

pormenorizar esse subsistema da Teoria de P. Ya. Galperin, passamos a

descrever cada uma das características da ação de controle interno na subseção

seguinte.

2.5 Os indicadores qualitativos do controle

O controle interno, assim como qualquer ação internalizada pelo

indivíduo, pode ser caracterizado a partir de uma série de indicadores

qualitativos. No âmbito da Teoria de Formação por Etapas das Ações Mentais e

dos Conceitos, esses indicadores são classificados por Talizina (1988) em dois

tipos, a saber: primários e secundários.

Os indicadores qualitativos primários rementem às propriedades

fundamentais de uma ação e são formadas de modo independente uns dos

55

outros. Enquanto que os indicadores qualitativos secundárias dizem respeito as

características da ação que possuem uma relação de dependência com uma ou

mais características primárias para se constituírem.

A forma da ação consiste no plano em que a ação está desenvolvida no

sujeito. Segundo Talizina (1988), essa característica indica o processo de

modificação na configuração da ação durante sua assimilação.

Em relação a suas formas, a ação pode ser: material e materializada,

quando a ação se dá diretamente sobre os objetos materiais ou suas

representações (materializadas); linguagem externa, quando o objeto é

representado pela linguagem oral ou escrita; e mental, quando a ação se dá para

si, a partir da imagem mental do objeto.

Relativo a esse indicador, o controle parte da forma externa, que envolve

sua realização pelo professor e/ou entre pares; uma forma intermediária (em vias

de internalização), que é mediada pela linguagem externa; e da forma mental,

quando os requisitos para o controle já foram internalizados e o aluno já

consegue autocontrolar sua aprendizagem.

O grau de generalização refere-se à capacidade do indivíduo de

aplicação do conceito ou habilidade apreendida em diferentes situações dentro

dos limites de generalidade da orientação internalizada. Essa qualidade da ação

permite que o sujeito consiga separar as propriedades do objeto essenciais das

não essenciais (TALIZINA, 1988).

No âmbito do controle interno, esse indicador se refere à capacidade do

indivíduo transferir o conjunto de estratégias de controle aprendida em determina

atividade de aprendizagem para outras.

O indicador grau de detalhamento remete à capacidade de minuciar os

elementos estruturais de uma determinada ação. Durante as etapas iniciais do

processo de assimilação, o detalhamento é fundamental para garantir que todas

as operações que compõem a ação sejam executadas e controladas

corretamente.

O grau de detalhamento do controle interno se refere ao emprego correto

de todas as operações do modelo de controle, previamente estabelecidas na

base orientadora da ação (BOA), durante o processo de aprendizagem.

Relacionado a aplicação correta do conceito ou habilidade assimilada e a

respectiva fundamentação (verbal ou escrita) de todos os procedimentos durante

56

sua execução, o grau de consciência é requisitado, sobretudo, nas etapas

iniciais de assimilação, por permitir ao indivíduo a tomada de consciência dos

elementos que compõem a orientação.

Na habilidade de controle interno, esse indicador qualitativo indica a

capacidade de aplicar e explicar, de forma adequada, todas as operações

necessárias e suficientes para realização do controle da aprendizagem.

O grau de independência tem relação com a capacidade do estudante

de executar (ou não) a ação sem auxílio. Durante a formação da ação, os

discentes passam de uma execução das tarefas em pares para uma execução

individual.

Particularmente, no âmbito do controle interno, esse indicador implica na

condição do indivíduo executar a ação de controlar mentalmente sua

aprendizagem sem o auxílio de terceiros.

Acerca do grau de solidez, esse indicador expressa a capacidade do

indivíduo de executar tarefas dentro dos limites de generalização da orientação

da ação internalizada, mesmo após algum tempo em que foi formada.

Aplicado ao controle interno, o grau de solidez indica a possibilidade do

indivíduo colocar em ação os elementos que compõem essa habilidade, mesmo

após certo período em que ela foi internalizada.

Em relação ao grau de domínio, essa característica faz alusão ao

processo de automatização da ação. O domínio da ação é o resultado de não

ser mais necessário ao indivíduo agir de forma consciente em alguma situação

dentro dos limites de generalização de uma orientação já internalizada.

Durante o controle interno, o indicador grau de domínio pode ser

interpretado como a redução gradativa das operações de controle interno à

medida que o indivíduo vai progredindo nas etapas das ações mentais

propostas pela Teoria de P. Ya. Galperin.

Por fim, o caráter racional se refere a apresentação das condições

necessárias e suficientes para realização da ação pelo discente. Essas

condições são determinadas pela base orientadora da ação (BOA). Além disso,

a racionalidade enquanto característica da ação é diretamente proporcional a

generalização da ação. Em outras palavras, quanto mais geral a orientação,

maior seu caráter racional (TALIZINA, 1988).

57

Especificamente, adquirindo a característica caráter racional da ação de

controle interno, o indivíduo consegue analisar se as condições necessárias para

colocar essa habilidade em ação durante uma atividade de aprendizagem são

satisfeitas.

O conjunto de características da ação supracitadas são essenciais para a

atividade de aprendizagem, visto que funcionam como indicativos da qualidade

do processo de assimilação do objeto estudado, tanto para quem aprende,

quanto para quem ensina.

Em particular, os indicadores qualitativos possibilitam ao docente definir

previamente, junto com os objetivos do processo de ensino, quais características

quer que seu discente adquira após a internalização da ação; assim como

caracterizar e aferir qualitativamente os indicadores dos sujeitos relativos a

determinado conteúdo antes, durante ou após a Experiência Formativa.

As características da ação, juntamente com a orientação e as etapas de

assimilação, compõem o modelo de explicação do processo de assimilação das

ações mentais e dos conceitos proposto por P. Ya. Galperin. Nesse processo,

os conteúdos são internalizados tendo como referência uma base orientadora da

ação ideal que, ao passar do plano externo para o interno, é assimilada e adquire

novas qualidades.

A Teoria de Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos

sugere uma via para o desenvolvimento intelectual, que se constitui como uma

parte integrante da personalidade e se dá por meio de uma atividade de

aprendizagem consciente, adequada à formação do pensamento teórico.

O processo de internalização da ação de controle enquanto forma de

atenção voluntária, em particular, se dá quando as condições propostas pelos

subsistemas da Teoria de P. Ya. Galperin (orientação, etapas de assimilação e

indicadores qualitativos) são satisfeitas. Daí, o controle interno forma-se em

conjunto com o conteúdo da habilidade objeto dessa atividade.

Dessa forma, para empreendermos um estudo sobre a influência de uma

Experiência Formativa para a ação de controle é preciso definir uma habilidade

que será objeto do Sistema Didático. Assim, como já mencionado, selecionamos

a habilidade de resolver problemas matemáticos, que passamos a discutir na

próxima seção.

58

3 A HABILIDADE DE RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Um primeiro aspecto a ser discutido na presente seção, consiste em situar

a perspectiva que assumimos acerca da resolução de problemas. Tendo em

vista a pluralidade de formas de utilização desse tópico, Schoreder e Lester

Junior (1989) propõem três entendimentos: ensino sobre resolução de

problemas, ensino para resolução de problemas e ensino via resolução de

problemas.

O ensino sobre resolução de problemas é a perspectiva que tem como

enfoque ensinar aos discentes fases, estratégias e heurísticas a serem usadas

como forma de melhorar o processo de solução de problemas matemáticos.

A partir do entendimento de que a aprendizagem em matemática tem

como um de seus propósitos capacitar o estudante a utilizá-la, a perspectiva de

ensino para resolução de problemas busca aplicar os conhecimentos

matemáticos aprendidos na resolução de diferentes tipos de problemas e

capacitar o aluno a transferir esses conhecimentos para outras situações.

No ensino via resolução de problemas, os problemas são usados como

meios para a atividade de aprendizagem. Nessa perspectiva, o “[...] ensino de

um tópico matemático começa com uma situação-problema que incorpora

aspectos-chave do tópico, e técnicas matemáticas são desenvolvidas como

respostas razoáveis a problemas razoáveis” (SCHROEDER; LESTER JUNIOR,

1989, p. 33). Em outras palavras, a resolução de problemas é tratada como uma

metodologia de ensino.

Diante da possibilidade de sobreposição e combinação entre as

perspectivas supracitadas, adotamos um entendimento que integra as três ao

assumirmos a resolução de problemas como uma habilidade do

pensamento.

Na postura que assumimos na presente tese, as situações-problema

serão tomadas como um estopim da atividade de aprendizagem, permeando

todas as etapas de formação das ações mentais e dos conceitos, conforme

preconiza a Teoria de P. Ya. Galperin (ensino via resolução de problemas).

Além disso, dentro do processo formativo, o objeto de aprendizagem será

o conjunto de ações e operações invariantes para o controle da habilidade de

resolver problemas matemáticos (ensino sobre resolução de problemas).

59

Havendo uma internalização adequada (ou seja, conforme os indicadores

qualitativos determinados), a atividade de aprendizagem terá impulsionado o

desenvolvimento intelectual do indivíduo, o que permitirá ao estudante utilizar-

se dessa habilidade mental como orientação para a solução de diferentes

situações-problema que estejam dentro dos limites de generalização (ensino

para resolução de problemas).

Em suma, entendemos a resolução de problemas matemáticos como um

dos importantes mecanismos que constituem e impulsionam o pensamento, bem

como uma habilidade intelectual essencial para a melhoria do movimento espiral

crescente entre aprendizagem e desenvolvimento.

Dando continuidade à discussão sobre a habilidade de resolver problemas

matemáticos, pormenorizamos a discussão abordando a seguir algumas

definições sobre o que é um problema e modelos sobre como resolver

problemas. Embora procurando apresentar várias perspectivas, as discussões

sempre culminarão na assunção dos pressupostos adotados nesta tese, que

será finalizado na seção 5.

3.1 Diferentes perspectivas para o conceito de problema

A palavra “problema” tem origem etimológica nos termos em latim e grego

problêma, que significa “[...] o que se tem distante de si; obstáculo; questão”

(HOUASSIS, 2009, p. 1553).

No âmbito da pesquisa educacional, diferentes autores se propõem a

definir o conceito de problema. Apresentaremos a seguir algumas dessas

definições.

Onuchic e Allevato (2011, p. 81), entendem o problema como “[...] tudo

aquilo que não se sabe saber, mas que se está interessado em resolver”. Na

definição, as autoras enfatizam tanto o elemento desconhecido para o indivíduo

quanto a necessidade de interesse daquele para que a situação se torne um

problema pra ele.

Dante (2009, p. 11), conceitua problema como “[...] um obstáculo a ser

superado, algo a ser resolvido e que exige o pensar consciente do indivíduo para

solucioná-lo”. Conforme o autor, o problema depende muito do indivíduo e do

60

contexto, pois aquilo que pode ser problema para uma pessoa ou grupo pode

não ser para outros.

Ter um problema, segundo Polya (1981, p. 117), consiste em “[...] procurar

conscientemente por alguma ação apropriada para atingir um objetivo

claramente concebido, mas não imediatamente atingível”. A perspectiva do autor

sugere a necessidade de clareza do indivíduo acerca do que é procurado,

mesmo que desconheça previamente a forma de realizar essa procura. Dito isso,

resolver problemas seria o processo de busca por essa ação adequada para se

atingir o objetivo posto.

Propondo uma definição de problema em função do estado inicial (onde

está quando inicia a resolução do problema) e o estado final (onde chegará ao

resolver esse problema), Brandford e Stein (1993, p. 7) afirmam que “[...] um

problema existe quando há uma discrepância entre um estado inicial e um estado

final, e não há solução pronta para o solucionador do problema”. Nesse sentido,

a ação de resolver problemas se dá ao trilhar um caminho previamente

desconhecido, visando partir de um ponto a outro.

Para Campistrous e Rizo (2014, p. 293), um problema consiste em uma

situação “[...] em que há uma abordagem inicial e um requisito que força a

transformá-la. O caminho para sair da situação ou abordagem inicial para a nova

situação exigida tem que ser desconhecida e a pessoa deve querer fazer a

transformação”. A partir do entendimento dos autores, o planejamento de tarefas

para resolução de problemas pelo professor exige, tanto a compatibilidade entre

conteúdos exigidos e os estudantes, como também o potencial motivacional dos

problemas para esses discentes.

Outro autor que define problema a partir da transição de um estado inicial

a um final é Ramírez (2006, p. 71), ao afirmar que um problema:

[...] é aquela situação que se caracteriza pela existência de uma pessoa (ou grupo) que deseja resolvê-la, de um estado inicial e outro final, e de algum tipo de impedimento para a transição de um estado a outro. Isso permite compreender que no âmbito escolar um exercício (ou em geral qualquer tarefa docente) será um problema se a transição do estado inicial para o estado final implica que o estudante experimente um desenvolvimento cognitivo, ao trabalhar em sua ZDP.

Desse modo, um trabalho com a habilidade de resolver problemas

planejados para atuar na Zona de Desenvolvimento Próximo dos alunos precisa

61

criar os meios para emergir nesses discentes motivos adequados para solução

dos problemas e propor problemas que estimulem os discentes a ultrapassar seu

nível de desenvolvimento real, colocando-os em um movimento espiral

crescente formado pela relação entre aprendizagem e desenvolvimento.

Discutindo sobre a resolução de problemas enquanto habilidade geral,

Nápoles (2011, p. 3), estabelece o conceito de problema como toda:

[...] situação em que o aluno está envolvido, em que ele sente a necessidade de realizá-la para satisfazer suas necessidades, motivos e interesses cognitivos e, no processo para alcançá-la, usa todos os recursos, que dizer, conhecimento, habilidades, métodos; que lhe permitem atingir o objetivo que persegue.

Há, no entendimento do autor, um condicionamento da existência do

problema ao surgimento de um desejo intrínseco ao indivíduo que se depara com

determinada situação para se colocar em ação os recursos que dispõe visando

alcançar a meta pretendida.

Já Majmutov (1983, p. 58) define problema como:

[...] uma forma subjetiva de expressar a necessidade de desenvolver o conhecimento científico. Este é o reflexo de uma situação problema, ou seja, de uma contradição entre o conhecimento e falta de conhecimento que objetivamente surge do processo social.

Assim, o problema consiste naquilo que se procura resolver por meio do

conhecimento científico, que surge como o resultado da tomada de consciência

entre aquilo que se sabe e aquilo que não se sabe, no momento em que um

indivíduo lida com algo desconhecido, isto é, com uma situação-problema.

De maneira aproximada, Núñez et al. (2004, p. 152) conceituam o

problema como “[...] a contradição que caracteriza uma situação problema

assimilada/internalizada pelo aluno”. Nesse sentido, o problema se constitui

como o produto de um processo de organização da contradição apresentada na

situação-problema.

Também definindo o problema no âmbito da Ciência, Martínez (1998, p.

16) o conceitua como “[...] o conhecimento do desconhecido que propõe ao

homem a questão para o desenvolvimento”. O problema, que segue um

processo cognoscitivo de determinação, formulação de hipóteses, e culmina na

refutação ou demonstração dessas; permite a exclusão da hipótese levantada

62

para se buscar outra ou ainda a obtenção/ aprimoramento de um conhecimento

já existente.

Uma primeira discussão importante acerca do conceito de problema se

refere a sua distinção do exercício. De maneira geral, podemos diferenciá-los em

função do conhecimento prévio ou não dos caminhos necessários para solução

da situação proposta.

Segundo Pozo e Echeverría (1998, p. 16), “[...] um problema se diferencia

de um exercício na medida em que, neste último caso, dispomos e utilizamos

mecanismos que nos levam, de forma imediata, à solução”. Corroborando com

esse entendimento, Dante (2009, p. 48) afirma que o exercício, “[...] como o

próprio nome diz, serve para exercitar, para praticar determinado algoritmo ou

procedimento. O aluno lê o exercício e extrai as informações necessárias para

praticar uma ou mais habilidades algorítmicas”.

Desse modo, a diferenciação entre os termos supracitados pode ser

realizada a partir do caráter já automatizado da estratégia de solução de um

exercício para determinado indivíduo.

Outra distinção que devemos realizar é entre os termos problemas e

situação-problema. Embora existam na literatura compreensões do termo

situação-problema como um tipo particular de problema5, compactuamos com o

entendimento de Majmutov (1983, p. 114-115), que a define como:

[...] um estado psíquico de dificuldade intelectual, que surge no homem quando o problema (a tarefa) que está resolvendo, não pode explicar um fato mediante os conhecimentos que tem, ou realizar um ato conhecido através dos procedimentos que desde antes conhece, e deve, portanto, buscar um procedimento novo para atuar.

A situação-problema surge quando o homem, durante sua atividade, se

depara com o desconhecido, que o leva a empreender uma atividade

cognoscitiva a partir da contradição acerca daquilo que sabe e aquilo que não

sabe. Só a partir da internalização dessa contradição e compreensão sobre o

que é procurado é que surge o problema (NÚÑEZ et al., 2004).

5 A título de ilustração, Dante (2009) usa o termo situação-problema como sinônimo de problema-processo, que será discutido na próxima seção.

63

Finalizada a discussão acerca do conceito de problema matemático, que

será retomada na seção 5 e servirá de base para a elaboração de uma

orientação do professor, referência para a Experiência Formativa, passamos a

discutir diferentes propostas de etapas para se resolver problemas matemáticos.

3.2 Modelos para a ação de resolver problemas matemáticos

Nos parágrafos seguintes discutiremos algumas orientações que

discutem as ações necessárias para se resolver um problema matemático,

segundo autores do Enfoque Histórico-Cultural.

Debatendo sobre as habilidades intelectuais, Libâneo (2005) aponta, no

âmbito de uma listagem de habilidades gerais, a “solução e formulação de

problemas”. Conforme o autor, para se solucionar e formular problemas são

necessárias as seguintes etapas:

a) Analisar o problema: definir o problema, busca de dados ou informações, definição das partes do problema ou situação, encaixar as partes num todo mais amplo, tentar saber como outras pessoas resolveram esse problema; o que já se sabe, o que falta saber. b) Vias de solução: o que precisa ser feito para a solução do problema, tempo necessário, quem vai fazer o que precisa; c) Execução da solução escolhida; d) Controlar o processo de solução e o resultado obtido. Avaliar sua aplicação prática, sua utilidade e importância para si próprio, para os outros e para a sociedade (LIBÂNEO, 2005, p. 2).

Para o autor, essa atividade cognoscitiva consiste no desenvolvimento

tanto do pensamento reflexivo quanto do pensamento criativo.

Em Volodarskaya e Nikitiuk (2001), os autores propõem um método para

resolução de problemas de construções geométricas, formado pelos seguintes

etapas: análise, construção, demonstração e investigação.

A etapa de análise consiste na preparação para a resolução do problema

e tem o intuito de explicitar as relações de dependência entre os componentes

da figura e as condições do problema que possibilitaram construí-la. Conforme

os autores, uma das estratégias de raciocínio que pode ser usada durante esse

momento é a suposição de uma solução para o problema, elaboração de

conclusões e avaliação dessas como forma de encontrar um caminho adequado

para resolução do problema.

64

Dado o plano de construção da figura, essa passa a ser elaborada na

etapa de construção. Logo a seguir, passa-se para a etapa de demonstração da

figura construída, que ocorre em função das condições impostas pelo problema.

Por fim, chega-se ao momento de interpretação, que se refere à etapa de

verificação se o problema é ou não é solucionável e, em caso afirmativo, o

número de soluções possíveis.

Como parte de uma Experiência Formativa desenvolvida com alunos de

um curso de Licenciatura en Educación en Matemática y Computación, em Cuba,

Lavigne (1999) elabora uma orientação para resolução de problemas

matemáticos composta pelas seguintes ações: compreender o problema,

analisar o problema, solucionar o problema, avaliar a solução do problema.

A ação de compreender o problema consiste na busca por uma orientação

adequada em relação ao problema. Conforme Lavigne (1999), para que esse

momento inicie é necessário que o aluno esteja motivado para solucionar a

tarefa, requisito que se reflete no surgimento de uma contradição entre os

conhecimentos do estudante e as exigências do problema.

A seguir, o sujeito passa a analisar o problema, descrito por Lavigne

(1999) como o momento em que se contrasta e relaciona os dados com o que é

procurado, seleção dos conhecimentos prévios necessários presentes na

memória, entre outros. Após a análise, o indivíduo já tem determinado um

caminho adequado para solucionar o problema e passa a executá-lo.

Avaliar a solução obtida é a última ação dessa orientação. Essa etapa visa

avaliar a validade, a qualidade e empreender a internalização dos elementos

utilizados durante a resolução de problema.

Partindo do entendimento sobre o pensamento problemático, o Majmutov

(1983, p. 114) define-o como “[...] o processo de descobrir novos conhecimentos

mediamente abordagem de problemas e sua solução”. Como parte desse tipo

particular de pensamento, o autor aponta cinco etapas para solução de um

problema. São elas:

a) o surgimento da situação problemática e a abordagem do problema; b) a utilização dos procedimentos de solução que se conhece (etapa de solução “fechada” do problema); c) a ampliação da esfera de busca de novos procedimentos de solução (etapa de solução “aberta” do problema), encontrando uma nova relação ou princípio de ação; d)

65

realização do princípio encontrado; e) comprovação do grau de correção da solução (MAJMUTOV, 1983, p. 114).

Para Majmutov (1983), as etapas acima descritas são fundamentais para

o entendimento da forma como se assimila os conhecimentos, dentro de um

processo cognoscitivo voltado para a criação de algo novo, ou seja, do

pensamento criador.

À luz do enfoque histórico-cultural e adotando, dentre outros

fundamentos, as perspectivas de Ensino Problematizador de Majmutov (1983) e

a Teoria de P. Ya. Galperin, Mendoza e Delgado (2018) cunham o termo

Atividade de Situações Problema (ASP) em alusão a:

Atividade de Estudo que está orientada pelo objetivo de resolver problemas docentes, na zona de desenvolvimento proximal, em um contexto de ensino aprendizagem no qual exista uma interação entre o professor, o estudante e a tarefa com caráter problematizador; com o uso da tecnologia disponível e de outros recursos didáticos, para transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação (MENDOZA; DELGADO, 2018, p. 179).

Enquanto tipo de atividade de estudo, a ASP é formada por um sistema

de ações e operações invariantes voltados para resolução de problemas.

Segundo a ASP, o processo de resolução de problemas inicia com a ação

de formular o problema docente6. Essa ação é constituída pelas seguintes

operações: determinação do que se sabe e o que não se sabe por meio da

análise da situação problema; estudo das informações e das condições impostas

pela situação problema; e definição do objetivo do problema.

Posteriormente, segue-se para a ação de construir o núcleo conceitual

que se subdivide nas operações de: ativação do nível de desenvolvimento atual

dos discentes acerca dos conhecimentos necessários para solução do problema

e, quando for preciso, atualizá-lo; relacionar o que se sabe (conhecido) e o que

não se sabe (desconhecido) por meio de estratégias diversas (tarefas menos

complexas, experimentos, intuição, analogia, hipóteses, etc.)

6 Mendoza e Delgado (2018), baseados em Majmutov (1983, p. 129), entendem o problema docente como “[...] fenômeno subjetivo e existe na consciência do estudante em forma ideal, no pensamento [...]”.

66

Solucionar o problema docente é a terceira ação da ASP e se constitui

pela aplicação de um método (analítico, heurístico ou mescla dos dois) para

relacionar o que se sabe com o que não se sabe; e pela determinação do que é

procurado pelo problema.

Por fim, a ação de interpretar a solução, que tem como operações:

verificação da solução em relação ao objetivo e as condições do problema;

análise dos resultados, visando obter eventuais novas relações com elementos

já conhecidos (MENDOZA; DELGADO, 2018).

Discutindo a formação do pensamento criativo no contexto do Ensino

Problematizador, Martínez (1998, p. 30) afirma que a solução de problemas se

dá por meio das etapas a seguir:

♦ determinar o buscado através dos dados ♦ estabelecer as dependências casuais entre o conhecido e o

buscado ♦ elaborar e determinar a possível via de solução (hipótese) ♦ levantar a solução (o encontrado) ♦ comprovar a coincidência do resultado com o objetivo.

Nesse processo, a solução de tarefas enquanto meio para a atividade

cognoscitiva é deflagrada pela contradição entre o conhecido e o desconhecido,

que, ao ser superada com a definição do que é buscado, permite a resolução do

problema e, assim, encontrar o que é procurado e atestar a validade de todos os

procedimentos.

Tendo o aporte da Teoria Histórico-Cultural e a partir de diferentes

propostas sobre como resolver problemas, Triana (2005) elabora seu modelo,

constituído por cinco ações.

Inicialmente, o indivíduo passa a analisar o problema que consiste na

decomposição dos dados do problema, a fim de que ocorra a definição do

conteúdo objetivo (análise estrutural), estudo das características ou condições

(análise qualitativa) e dos passos necessários para a resolução do problema

(análise operacional). De forma complementar aos diferentes tipos de análise,

ocorre o processo de síntese, do qual culmina na organização de forma

consciente da situação a ser resolvida.

O momento seguinte, conforme Triana (2005), é o de gerar estratégias de

trabalho. É nessa segunda ação em que se organiza o planejamento dos

67

procedimentos necessários para resolução dos problemas. Em seguida, o

indivíduo passa a avaliar as consequências da aplicação de estratégias que se

considere mais adequada, em outras palavras, antever ainda no plano mental,

quais os desencadeamentos de se colocar em prática a estratégia definida na

etapa anterior.

A quarta ação é a de executar ou desenvolver a estratégia selecionada,

na qual ocorre a aplicação da estratégia de trabalho definida e avaliada nas

etapas anteriores, tendo em vista encontrar a solução do problema.

O processo de resolução do problema finda na ação de avaliar as

conquistas e dificuldades durante a execução, que se refere a etapa de avaliar

os eventuais erros e acertos que possam ter ocorrido no processo e, quando

necessário, corrigi-los.

Segundo Triana (2005), as etapas acima descritas podem ser

sintetizadas, respectivamente, nos seguintes termos: analisar, gerar, valorar,

executar e avaliar. Todas essas ações, que constituem a habilidade de resolver

problemas, visam a obtenção de um produto (solução do problema) a partir de

uma situação previamente dada (dados do problema).

Empreendendo estudos acerca da relação entre a solução de problemas

aritméticos e os processos básicos do pensamento, Luria (1981, 1990) identifica

seis estágios deste último durante a realização do primeiro.

Originando-se de um motivo que impulsiona a busca pela solução não

evidente de uma situação, o primeiro estágio do pensamento durante a resolução

de problemas consiste na identificação das condições da situação, isto é,

identificar o que é procurado dadas as condições postas.

Em seguida, o indivíduo passa a analisar as condições do problema, que

se refere ao “[...] refreamento de respostas impulsivas, a investigação das

condições do problema, a análise de seus componentes, o reconhecimento de

seus aspectos mais essenciais e das suas correlações recíprocas” (LURIA,

1981, p. 288, grifos do autor).

Diante de diferentes caminhos possíveis, o sujeito realiza a determinação

das estratégias de solução, com intuito de elaborar o plano para execução da

solução do problema. O quarto estágio se refere à escolha dos métodos e das

operações adequadas para colocar em prática a estratégia planejada na fase

anterior.

68

O estágio 5 se refere à solução real do problema, que culmina na fase de

comparação dos resultados obtidos com as condições iniciais, que permitem à

avaliação se a atividade cognoscitiva está completa (em outras palavras, se a

situação inicial foi solucionada adequadamente), ou se o processo de resolução

do problema precisa ser revisto e retomado em algum ponto.

Outros pesquisadores com enfoque na Aritmética foram Nikita e Talizina

(2001), que desenvolveram um experimento formativo voltado para a

organização de um método geral para a modelação de problemas aritméticos

que envolviam as relações entre velocidade, tempo e espaço.

O esquema geral usado para resolução dos problemas foi nomeado pelas

autoras árvore de raciocínio e consistia em um conjunto de círculos que

representavam as magnitudes dadas no problema (círculos fechados) e as

magnitudes procuradas (círculos com partes pontilhadas), interligados com setas

direcionadas ao que era procurado, como ilustra a Figura 1:

Fonte: Nikola e Talizina (2001, p. 129)

Como os estudantes já haviam estudado previamente as relações

matemáticas entre as magnitudes (velocidade, tempo e espaço), cabia ao

esquema servir como um suporte materializado para os processos gerais que

envolviam a ordenação e a inter-relação dos dados visando à solução do

problema.

Como consequência da proposta, o processo de resolução de problemas

empreendido pelos alunos foi descrito pelas autoras como estruturado da

seguinte forma:

[...] os sujeitos identificaram as grandezas no problema, sublinharam a questão, colocaram (no texto do problema) os dados numéricos nos

Figura 1 - Exemplo de árvore de raciocínio

69

retângulos das linhas inteiras e determinaram com o símbolo correspondente, depois disso, anotaram os dados no caderno, repetiram os dados. Problema de acordo com eles e eles começaram a elaborar o esquema. No esquema eles indicavam a ordem das ações e as faziam usando fórmulas e, a escrita da ‘solução com perguntas’, conhecida do trabalho na sala (NIKITA; TALIZINA, 2001, p. 133-134).

Nesse sentido, os alunos participantes do experimento empreendiam as

seguintes etapas para solução dos problemas aritméticos: identificar as

grandezas do problema (dadas e procurada); representar as grandezas

adequadamente em função de suas respectivas unidades de medida; organizar

as grandezas segundo o esquema da árvore de raciocínio; solucionar o

problema.

Outro autor pelo qual podemos interpretar uma orientação para a

resolução de problemas matemáticos é Davydov (1981, 1986). Em seus estudos

voltados para a organização do ensino para o desenvolvimento intelectual dos

estudantes, por meio da formação do pensamento teórico, esse pesquisador

aponta que as tarefas, enquanto célula da atividade de aprendizagem, devem

ser realizadas a partir das seguintes ações de aprendizagem:

transformação dos dados da tarefa a fim de revelar a relação universal do objeto estudado;

modelação da relação diferenciada em forma objetivada, gráfica ou por meio de letras;

transformação do modelo da relação para estudar suas propriedades em “forma pura”;

construção do sistema de tarefas particulares que podem ser resolvidas por um procedimento geral;

controle da realização das ações anteriores;

avaliação da assimilação do procedimento geral como resultado da solução da tarefa de aprendizagem dada (DAVYDOV, 1986, p. 173).

Daí, um processo de resolução de problemas matemáticos derivado das

ações de aprendizagem propostas por Davydov (1986) deve considerar etapas

como: 1) transformação dos dados do problema; 2) modelação dos dados; 3)

transformação do modelo para resolução matemática; 4) execução das ações

para obtenção da solução; 5) controle das ações anteriores; 6) avaliação do

resultado.

Observamos que, embora as orientações acerca de como resolver um

problema sejam advindas de diferentes perspectivas, todas propõem etapas que

70

se enquadram, em alguma medida, nos três momentos funcionais da atividade

humana: orientação, execução e controle.

Entretanto, sobretudo nas etapas que podemos associar ao momento de

orientação da atividade, a forma de apresentação de etapas mais gerais ou mais

específicas é variável conforme o modelo.

Assim como a discussão sobre as definições para problemas

matemáticos, as diferentes propostas de etapas para se resolver problemas

serão retomadas na seção 5, a fim de embasar a construção de uma orientação

desejável para a resolução de problemas matemáticos. Na seção seguinte

passamos a discutir o percurso metodológico adotado nesta tese.

71

4 METODOLOGIA

Considerando a necessidade de detalhamento do percurso metodológico

para constituição da presente tese, organizamos a presente seção em seis

subseções.

A primeira subseção caracteriza o local, os cursos e o perfil dos discentes

que participaram da pesquisa, enquanto a segunda, detalha o tipo de pesquisa

realizada. Nas demais seções foram apresentados os instrumentos de coleta de

dados, evidenciando a perspectiva adotada e os respectivos planos para

constituição de cada instrumento e sua validação no âmbito dessa investigação;

e ainda como se deu processo de validação, organização e análise dos dados

coletados.

4.1 O contexto e os participantes da pesquisa

O ambiente tomado como lócus da presente tese foi o Instituto de

Formação de Educadores (IFE), campus da Universidade Federal do Cariri

(UFCA). Localizado no município de Brejo Santo-CE, na região sul do Estado

do Ceará, que fica a 505 km da capital Fortaleza- CE.

O Instituto de Formação de Educadores (IFE) foi criado em agosto de

2014, focado exclusivamente na qualificação de docentes e, atualmente, conta

com uma proposta de cursos de graduação integrados em dois ciclos

(interdisciplinar e específico), são eles: Licenciatura Interdisciplinar em Ciências

Naturais e Matemática, Licenciatura em Matemática, Licenciatura em Biologia,

Licenciatura em Química e Licenciatura em Física.

O ingresso de discentes do IFE ocorre pela Licenciatura Interdisciplinar

em Ciências Naturais e Matemática, sendo ofertadas 60 vagas anuais via

Sistema de Seleção Unificada (SISU). O referido curso tem duração de seis

semestres em regime integral, nos turnos vespertino e noturno.

A proposta formativa da Licenciatura Interdisciplinar em Ciências

Naturais e Matemática tem como enfoque qualificar o egresso para atuação

como docente do Ensino Fundamental II (6º ao 9º ano), nas disciplinas de

Ciências Naturais, Física, Química, Biologia e Matemática.

Ao finalizarem a licenciatura interdisciplinar, os egressos podem seguir

72

sua trajetória formativa e optar por uma das quatro licenciaturas específicas já

mencionadas (Licenciatura em Matemática, Licenciatura em Química,

Licenciatura em Biologia e Licenciatura em Física), que têm como enfoque

central qualificar o egresso para lecionar no Ensino Médio, em uma das

respectivas disciplinas.

Esse segundo ciclo de formação aproveita parte dos componentes

curriculares já cursados pelos discentes na licenciatura interdisciplinar e tem

duração de três semestres, a serem cursados em único turno (vespertino ou

noturno). Em relação à Licenciatura em Matemática, em particular, esse curso

tem carga horária total de 3288 horas (soma da carga horária aproveitada da

licenciatura interdisciplinar com a carga horária específica) e é oferecido no

período noturno.

A presente pesquisa foi realizada na disciplina Laboratório de Educação

Matemática do 7º semestre de Licenciatura em Matemática I e optativa para os

demais cursos oferecidos no campus. Com carga horária de 64 horas, a

disciplina aborda como conteúdos centrais: a investigação em Educação

Matemática e as pesquisas desenvolvidas no Brasil; construção de projetos de

pesquisa e de sequências didáticas; uso de materiais manipuláveis e das

tecnologias digitais na prática docente (UFCA, 2016).

A partir dessa proposta, a presente pesquisa de doutorado se integrou

ao componente curricular, tanto por apresentar uma das tendências de

investigação e prática para o ensino e aprendizagem de Matemática, quanto

permitiu aos futuros professores vivenciarem parte de uma investigação

científica.

No que se refere aos participantes da pesquisa, os sujeitos foram oito

alunos matriculados na disciplina Laboratório de Educação Matemática I, do

primeiro semestre acadêmico de 2019. Um maior detalhamento dos

participantes é apresentado no Quadro 4:

73

Quadro 2 - Detalhamento de características dos participantes da pesquisa.

Sujeito Sexo Idade Formação concluída

Formação em andamento

Tempo de Experiência

docente

P1 Feminino 25

Licenciatura Interdisciplinar em Ciências Naturais e

Matemática

- Licenciatura em Biologia

- Mestrado em Desenvolvimento

Regional Sustentável

-

P2 Masculino 33


Matemática

Licenciatura em Matemática

6 anos e 6 meses

P3 Masculino 24


Matemática


9 meses

P4 Feminino 20


Matemática


2 anos e 3 meses

P5 Masculino 22


Matemática


-

P6 Masculino 19 -

Licenciatura Interdisciplinar em Ciências Naturais

e Matemática

-

P7 Feminino 27


Matemática


2 meses

P8 Masculino 22


Matemática


-

Fonte: Acervo da pesquisa.

Observamos que são cinco homens e três mulheres, com idades entre

19 e 33 anos. Quatro participantes possuem experiência média de 2 anos e 5

meses como docentes na Educação Básica, nas áreas de Ciências Naturais,

Matemática, Física e Química.

Além disso, há seis alunos cursando a Licenciatura em Matemática, um

74

a Licenciatura Interdisciplinar em Ciências Naturais e Matemática e uma

estudante da Licenciatura em Biologia, que também é discente do Mestrado em

Desenvolvimento Regional Sustentável na UFCA, em Juazeiro do Norte-CE.

Situados o ambiente e os participantes da pesquisa, passamos a apresentar as

características dessa tese.

4.2 Caracterização da pesquisa

Tendo em vista a inserção do presente trabalho no âmbito do Enfoque

Histórico-Cultural, a escolha de um método de investigação deve compactuar

com as premissas fundamentais desse arcabouço teórico.

Nesse sentido, como nosso enfoque foi o estudo do processo de

reelaboração da orientação de uma ação (e não a formação da habilidade),

empreendemos uma versão do experimento formativo. Para Talizina (2000), o

experimento formativo visa investigar, a partir da organização e aplicação de

uma atividade de aprendizagem, em quais condições se dá a formação

adequada de novos conhecimentos e habilidades enquanto componentes da

psique dos estudantes.

Conforme Davydov (1986, p.188), o experimento formativo “[...] pressupõe

a projeção e modelação do conteúdo de novas formações mentais a serem

constituídas, dos meios psicológicos e pedagógicos e das vias de sua formação”.

Para Davídov e Márkova (1987, p. 326), a essência desse método:

[...] se expressa no estudo dos processos de trânsito a novas formas da psique, no estudo das condições de surgimento de um ou outro fenômeno psíquico e na criação experimental das condições necessárias para que surjam. Tal investigação transcorre como projeção e modelação do processo de desenvolvimento.

Assim, o experimento formativo é um dos caminhos para investigação do

processo de internalização, que se debruça sobre as transformações ocorridas

pelo objeto de aprendizagem na passagem do plano interpsicológico para o

plano intrapsicológico.

Tendo em vista que a presente pesquisa tem como finalidade o estudo do

processo de reelaboração das orientações dos estudantes acerca da ação de

controle na resolução de problemas matemáticos, e, para isso, foi utilizado parte

75

dos subsistemas que constituem a Teoria de P. Ya. Galperin, adotamos a

nomenclatura Experiência Formativa para essa versão do experimento

formativo.

Utilizando a Experiência Formativa no contexto da formação docente,

Núñez (2015, p. 78) afirma que:

[...] se deve estudar as relações entre os fatores diversos que influenciam o pensamento e a ação dos professores em condições da educação que potencializa o desenvolvimento profissional, na base dialética das categorias essência-fenômenos, revelando as contradições dialéticas que permitem criar hipóteses explicativas das observações realizadas.

Situados em um contexto de formação de professores, o estudo de como

se dá a reelaboração da orientação da ação de controle na resolução de

problemas matemáticos, no âmbito de uma Experiência Formativa, também se

coloca como uma via para o desenvolvimento profissional docente.

Apresentamos na Figura 2 o esquema geral adotado por esta

investigação, evidenciando seus principais momentos:

76

Fonte: Elaborado pelo autor.

Para uma melhor contextualização e detalhamento das etapas da

Experiência Formativa, discutiremos nas próximas seções os instrumentos de

coleta de dados, bem como os procedimentos para a organização e a análise

dos dados.

4.3 Os instrumentos de coleta de dados

Os instrumentos de pesquisa utilizados na presente pesquisa foram: a

prova pedagógica, a observação, o diário dos alunos e o questionário. De modo

geral, o Quadro 3 apresenta cada um dos instrumentos de coleta de dados em

função dos objetivos específicos correspondentes:

Figura 2 - Principais momentos da pesquisa.

77

Quadro 3 - Relação entre objetivos específicos e instrumentos de pesquisa.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS INSTRUMENTOS DE PESQUISA

Caracterizar o nível de desenvolvimento inicial da ação de controle na resolução problemas matemáticos pelos licenciandos;

Prova Pedagógica

Desenvolver uma Experiência Formativa para reelaborar a orientação da ação de controle na resolução de problemas matemáticos;

Observação Diário dos alunos

Conhecer a avaliação dos participantes da Experiência Formativa na sua formação profissional.

Questionário

Avaliar as condições que favoreceram e as que dificultaram a reelaboração da orientação da ação de controle na resolução de problemas matemáticos dos participantes a partir da Experiência Formativa.

Prova Pedagógica Observação

Diário dos alunos Questionário


A fim de melhor especificar como cada um dos instrumentos de coleta

de dados foi utilizado na pesquisa, detalharemos cada um deles a seguir.

4.3.1 Prova Pedagógica

No que se refere a prova pedagógica, ela tem o intuito de “[...] diagnosticar

o estado dos conhecimentos, hábitos e habilidades dos sujeitos em um momento

determinado” (CEREZAL; FIALLO, 2005, p. 128). Conforme os autores, a prova

pedagógica contribui tanto para verificar e controlar a eficácia do processo de

ensino, quanto para avaliar a aprendizagem dos discentes.

De modo específico, utilizaremos o que León (2002, p. 64) classifica como

prova pedagógica de desenvolvimento que “[...] se baseia na capacidade do

estudante de elaborar e expressar as ideias com clareza e precisão, de forma

oral ou escrita”.

Seu potencial na obtenção de dados que permitam uma caracterização dos

níveis de desenvolvimento de cada estudante em relação a suas orientações,

justificam a utilização da prova pedagógica no âmbito da pesquisa.

Apresentamos no Quadro 4 o plano de elaboração da prova pedagógica:

78

Quadro 4 - Plano de elaboração da prova pedagógica para o diagnóstico inicial.

OBJETIVOS PERGUNTAS

Identificar a compreensão do modelo do objeto da BOA de resolver problemas matemáticos.

• Quando um estudante aprende a resolver problemas em Matemática deve aprender também a realizar o controle (regulação) da aprendizagem durante esse processo. Em relação a essa situação, responda: 1) O que é resolver um problema matemático?

Identificar a compreensão do modelo da ação da BOA de resolver problemas matemáticos.

2) Quais são os passos necessários para se resolver um problema matemático?

Identificar a compreensão acerca do conceito de controle na resolução de problemas matemáticos.

3) O que é controlar (regular) o processo de resolução de problemas matemáticos?

Identificar a compreensão dos estudantes acerca do modelo de controle na resolução de problemas matemáticos.

4) Supondo que durante sua atuação docente precise avaliar como seus alunos realizam o controle (regulação) do processo de resolução de problemas matemáticos. Para isso, construa uma chave de resposta contendo as etapas para se resolver problemas (transcrição das respostas da questão 2) e suas respectivas etapas de controle.

Avaliar como os discentes colocam em prática a BOA durante a resolução e controle de uma situação-problema.

Uma empresa que transporta caixas paralelepipedais calcula o valor de seus fretes em função do custo fixo de R$ 50,00 e da média entre o volume (em m3) de mercadorias transportadas e três vezes a distância total a ser percorrida. Qual a expressão algébrica que determina o valor do frete?


A resolução da prova pedagógica foi realizada individualmente e sem

qualquer tipo de ajuda externa.

4.3.2 Observação

A observação é aqui entendida como um instrumento que utiliza-se os

sentidos do pesquisador (visão, audição, etc.), para apreensão dos

acontecimentos relevantes do fenômeno investigado.

Conforme Talizina (2000), a observação, enquanto instrumento de coleta

de dados, deve considerar: a definição do objeto da observação e da situação

em que ele ocorrerá; listagem dos elementos do objeto importantes para o

estudo; formas de apreensão dos dados obtidos.

79

De modo particular, utilizamos a observação participante, que exige do

pesquisador “[...] uma relação direta com grupos ou pessoas, acompanhando-os

em situações informais ou formais e interrogando-os sobre os atos e seus

significados por meio de um constante diálogo” (OLIVEIRA, 2012, p. 81).

Esse instrumento foi empregado na pesquisa a fim de registrar um

panorama geral da Experiência Formativa, à luz da percepção do pesquisador

sobre a participação dos sujeitos da investigação.

As anotações, provenientes das observações, tiveram um caráter

descritivo e reflexivo. Isso significa, no contexto da presente pesquisa, tanto uma

preocupação em relatar os principais fatos ocorridos durante a Experiência

Formativa, quanto em refletir sobre as prováveis causas e efeitos que os

desencadearam.

Apresentamos a seguir o plano de observação segundo os momentos

da Experiência Formativa Quadro 5:

Quadro 5 - Plano de observação segundo os momentos da Experiência Formativa.

MOMENTO OBJETIVO ROTEIRO

Diagnóstico inicial

Identificar, a partir de uma discussão em sala de aula, as dificuldades e as facilidades dos discentes na resolução da prova pedagógica.

1) Descrição do que foi observado durante a aula.

2) Aspectos positivos observado nos estudantes durante o diagnóstico inicial. 3) Dificuldades observadas nos estudantes durante o diagnóstico inicial

Comparar o desempenho dos alunos durante a solução da situação-problema contida na prova pedagógica.

1) Descrição da aula

2) Mudanças na compreensão do que é e como resolver problemas matemáticos, após utilização dos níveis de ajuda. 3) Mudanças na compreensão de como controlar a resolução de problemas matemáticos, após utilização dos níveis de ajuda.

Etapa motivacional

Identificar as mudanças relatados pelos alunos em seus respectivos motivos para a aprendizagem do controle na resolução de problemas matemáticos, após vivenciarem esse momento formativo.


2) Aspectos positivos observado nos estudantes durante a etapa motivacional da Experiência Formativa

3) Dificuldades observadas nos estudantes na etapa motivacional da Experiência Formativa

80

Elaboração da BOA dos

alunos

Identificar as facilidades e dificuldades dos participantes da pesquisa durante o processo de negociação dos sentidos e significados da BOA dos alunos para construção do EBOCA da turma.


2) Aspectos positivos observados nos estudantes durante a elaboração do EBOCA 3) Dificuldades observadas nos estudantes durante a elaboração da BOA.

Controle na resolução dos

problemas matemáticos

Identificar como se dá o processo de controle na resolução dos problemas, em função da utilização do EBOCA e da colaboração entre os membros das duplas.


2) Aspectos positivos observados nos estudantes durante a utilização do EBOCA e da colaboração entre os discentes durante o controle na resolução de problemas matemáticos. 3) Dificuldades dos alunos observadas nos estudantes durante a utilização da BOA e da colaboração entre os discentes durante o controle na resolução de problemas matemáticos.

Avaliação da Experiência Formativa

Identificar a relevância, potencialidade e viabilidade da orientação da ação de controle na resolução de problemas matemáticos; as dificuldades enfrentadas pelos estudantes; atividades consideradas mais e menos interessantes pelos discentes; e a percepção dos estudantes acerca da importância da orientação para a aprendizagem e para o controle.


2) Aspectos positivos da Experiência Formativa que favoreceram a reelaboração da orientação da ação de controle na resolução de problemas matemáticos. 3) Aspectos negativos da Experiência Formativa que favoreceram a reelaboração da orientação da ação de controle na resolução de problemas matemáticos.


A elaboração das anotações resultantes das observações foram

realizadas em cada encontro da Experiência Formativa, em momento mais

próximo possível do término de cada um deles, visando preservar a maior

riqueza de detalhes dos fatos.

4.3.3 Diário dos alunos

Em relação ao diário dos alunos, esse instrumento consiste num conjunto

de anotações que relatam acontecimentos, impressões, sentimentos, etc.;

acerca de situações vivenciadas por um indivíduo. Discutindo as contribuições

do uso do diário, Basso (2009, p. 35) aponta que, por meio dele,

81

[...] o aluno fará um exercício de distanciamento da própria aprendizagem, pois ele é levado a refletir sobre seus conhecimentos prévios, questionando-se e operando transformações em seu modo de pensar, em seus conhecimentos, podendo, então, refletir sobre estas transformações, o caminho que percorreu, os obstáculos que encontrou e como os superou, e saber conscientemente o ‘lugar’ aonde chegou com os novos conhecimentos.

Ao conter um relato feito pelos próprios participantes sobre suas vivências

durante a Experiência Formativa, os dados contidos nos diários dos alunos se

constituem como ricas fontes de detalhes sobre as contribuições e as

dificuldades que cada estudante teve durante a atividade de aprendizagem. No

Quadro 6 apresentamos o plano de elaboração dos tópicos para nortear os

estudantes na construção de seus diários:

Quadro 6 - Plano de elaboração do diário dos alunos.

MOMENTO OBJETIVO ROTEIRO


Identificar as expectativas dos discentes em relação a Experiência Formativa e as dificuldades que encontraram durante a prova pedagógica.

1) Descrição da aula a) Descreva suas expectativas em relação a Experiência Formativa. b) Descreva as dificuldades que encontrou durante a aula.

Identificar os principais aspectos aprendidos e as dificuldades enfrentadas pelos estudantes.

1) Descrição da aula a) Descreva o que aprendeu durante a aula. b) Descreva as dificuldades que enfrentou durante a aula.

Etapa motivacional

Identificar mudanças nos motivos e interesses dos alunos em relação ao estudo do controle e da resolução de problemas matemáticos, bem como as dificuldades enfrentadas durante esse momento da Experiência Formativa.

1) Houve alguma mudança em relação aos seus motivos e interesses em relação ao estudo do controle na resolução de problemas matemáticos? Explique sua resposta. 2) Descreva as dificuldades que encontrou durante a aula.

Elaboração do EBOCA dos alunos

Identificar na compreensão dos discentes acerca da orientação da habilidade de controle, bem como as dificuldades enfrentadas durante esse momento da experiência.

1) Houve mudanças na sua compreensão sobre o papel da orientação para a realização do controle na resolução de problemas matemáticos? Explique sua resposta. 2) Descreva as dificuldades que encontrou durante a aula.

Identificar aspectos positivos e dificuldades relacionados ao

1) Em relação a etapa de elaboração do EBOCA, relate os aspectos que considera importante para a resolução de problemas

82

processo de elaboração do EBOCA pela turma.

matemáticos e para o controle, bem como as dificuldades que vivenciou durante esse processo.

Controle na resolução dos


Caracterizar como se deu o processo de solução e de controle na resolução de problemas matemáticos, no que diz respeito ao uso da BOA, da colaboração entre os pares e as dificuldades vivenciadas durante esse processo.

1) Descreva como se deu a resolução das situações-problema. Relate como se deu a colaboração com seu colega, o apoio com o uso do EBOCA, suas dificuldades durante esse processo, entre outras coisas que considerar relevante. 2) Descreva como se deu o controle na resolução das situações-problema. Relate como se deu a colaboração com seu colega, o apoio com o uso do EBOCA, suas dificuldades durante esse processo, entre outras coisas que considerar relevante.


Os diários dos alunos participantes da pesquisa foram elaborados ao final

dos quatro primeiros momentos da Experiência Formativa e visaram subsidiar a

caracterização dos fatores que favoreceram e os que dificultaram o processo de

reelaboração da orientação da ação de controle da aprendizagem pelos

participantes da pesquisa.

4.3.4 Questionário

Em relação ao questionário, comungamos da conceituação de Gil (2008,

p. 121), que o define como “[...] um conjunto de questões que são submetidas a

pessoas com o propósito de obter informações sobre conhecimentos, crenças,

sentimentos, valores, interesses, expectativas, aspirações, temores,

comportamento presente ou passado etc.” Para Gil (2008), o processo de

construção de um questionário se refere, de modo geral, a subdividir os objetivos

do estudo em questões.

Este instrumento foi utilizado com intuito de avaliar aspectos da

Experiência Formativa, segundo a percepção dos participantes da pesquisa.

A partir desse entendimento, apresentamos no, Quadro 7, o plano de

elaboração do questionário da pesquisa:

83

Quadro 7 - Plano de elaboração do questionário de avaliação final.

OBJETIVO PERGUNTA

Avaliar como os estudantes consideram o controle relevante para sua formação, como ele pode ajudar na prática docente e a viabilidade de ensiná-lo.

1) Em relação a Experiência Formativa orientada a aprendizagem de como realizar o controle na resolução de problemas matemáticos, considerando o Esquema da Base Orientadora Completa da Ação (EBOCA), responda: a) Considerou importante para você? Justifique. b) Como essa aprendizagem pode ajudar na suas atividades futuras como professor? c) Considera ser possível ensinar os estudantes essa forma de controlar a resolução de problemas matemáticos? Por quê?

Identificar as principais dificuldades apresentadas pelos participantes em relação a aprendizagem do controle na resolução de problemas matemáticos na Experiência Formativa.

2) Quais foram as principais dificuldades que você apresentou em relação a aprender a controlar a resolução de problemas matemáticos, segundo a proposta da Experiência Formativa? Mencione três:

Identificar as atividades desenvolvidas durante a Experiência Formativa consideradas mais e menos relevantes pelos participantes.

3) Em relação as atividades desenvolvidas. a) Quais considerou mais interessantes? Por quê? b) Quais considerou menos interessantes? Por quê?

Verificar a avaliação realizada pelos participantes acerca da importância do que foi aprendido sobre o papel da orientação e do controle na resolução de problemas matemáticos.

4) Como você avalia a importância do que aprendeu sobre o papel da orientação na aprendizagem e no processo de controle na resolução de problemas matemáticos?


Nesta pesquisa, foi elaborado um questionário, utilizado no final do

sistema didático, com o intuito de avaliar, segundo os sujeitos, os aspectos

relevantes e as limitações da Experiência Formativa e da participação deles.

4.4 Validação dos instrumentos de coleta de dados

A validação de um instrumento de coleta de dados consiste na verificação

se o produto, oriundo de sua aplicação, será compatível com o objetivo inicial

que embasou sua utilização na pesquisa. A validez, nesse sentido, visa garantir

que os dados coletados não extrapolem os limites estabelecidos no plano do

instrumento e que este responda aos objetivos da pesquisa.

84

Considerando a importância da qualidade dos dados obtidos a partir dos

instrumentos de pesquisa, é fundamental que esses sejam validados. Para esse

fim, foi empregado o julgamento por especialistas. Conforme Stracuzzi e

Pestana (2012), essa estratégia consiste numa análise do material do trabalho

por pesquisadores especializados no tema, que revisam os fundamentos

teóricos e metodológicos adotados, a coerência entre todos os elementos da

investigação e sua redação, propondo recomendações de ajustes, quando

acharem necessários.

Quadro 8 - Questões que nortearam a validação de cada instrumento de pesquisa.

INSTRUMENTOS DE COLETA DE DADOS

QUESTÕES NORTEADORAS DA VALIDAÇÃO

Observação

- Os tópicos são compatíveis com os objetivos apresentados no plano de observação? - Como realizar os registros dessas observações? - A partir desses tópicos, os registros das observações serão adequados aos objetivos da pesquisa?

Questionário

- As questões possuem enunciados compatíveis com os objetivos apresentados no plano de elaboração do questionário? - As questões possuem algum termo ambíguo, que possa levar o participante da pesquisa a desviar o tema a ser tratado em sua resposta? - O conjunto de perguntas permite formar um sistema de respostas que possibilite avaliar a Experiência Formativa?

Prova pedagógica

- As perguntas estão adequadas aos objetivos do plano da prova pedagógica? - O conjunto de perguntas permite a caracterização da orientação dos alunos acerca da ação de controle na resolução de problemas matemáticos e a aplicação dessa compreensão em uma situação-problema?

Diário dos alunos

- Os tópicos são compatíveis com os objetivos apresentados no plano do diário dos alunos? - Os tópicos que compõem o diário possibilita que os alunos descrevam cada momento de sua participação na Experiência Formativa?


Esse julgamento se deu de forma contínua e em momentos pontuais, em

função dos componentes curriculares previstos na estrutura do curso de

Doutorado. Nas atividades previstas nos Seminários de Pesquisa I, II, III e IV, a

pesquisa foi validada a partir do acompanhamento periódico do orientador da

pesquisa, Prof. Dr. Isauro Beltrán Núñez.

85

No Seminário de Formação Doutoral I, os instrumentos foram validados

em consonância com o Sistema Didático, antes de sua aplicação. A validação

contou, além do orientador, com os pareceres de quatro especialistas, a saber:

Prof.ª Dr.ª Claudianny Amorim Noronha (UFRN), Prof. Dr. Francisco de Assis

Bandeira (UFRN), Prof. Dr. Héctor José García Mendoza (UFRR) e Prof.ª Dr.ª

Rogéria Gaudêncio do Rêgo (UFPB).

Nesse primeiro seminário, os principais ajustes realizados na pesquisa e,

em particular, os instrumentos de coleta de dados, tiveram como enfoque ajustar

o objetivo da tese, que passou de formação de uma habilidade geral para o

estudo da reelaboração da orientação de uma ação.

Em relação ao Seminário de Formação Doutoral II, o enfoque foi na

validação dos instrumentos em consonância com um primeiro esboço dos

resultados e discussões do texto da pesquisa. Acerca dos especialistas, houve

a continuidade de todos os pesquisadores.

4.5 Organização dos dados

O corpus da pesquisa foi formado por: anotações das observações e dos

diários dos alunos e as respostas à prova pedagógica e ao questionário.

Discutiremos a diante como ocorreu o processo de organização de cada um do

conjunto de dados obtidos pela pesquisa.

Por conter no relato uma reflexão sobre toda a Experiência Formativa, as

anotações da observação foram organizadas segundo a ordem cronológica dos

fatos, a fim de facilitar consultas para rememoração dos detalhes dos

acontecimentos ocorridos.

Os dados coletados por meio da prova pedagógica, dos diários dos alunos

e do questionário foram dispostos em uma planilha eletrônica do software

Microsoft Excel.

Os dados obtidos por meio do questionário foram dispostos na planilha

eletrônica, relacionando às respostas dos alunos aos enunciados de cada

questão, conforme modelo do Quadro 9:

https://w3.dmat.ufrr.br/hector/

https://w3.dmat.ufrr.br/hector/

86

Quadro 9 - Modelo da disposição dos dados do questionário na planilha.

ALUNOS RESPOSTAS

1a 1b 1c 2 3ª 3b 4


A organização dos dados coletados pela prova pedagógica foi

evidenciando, por aluno, três componentes da Base Orientadora da Ação de

resolver problemas: o modelo do objeto (o que é resolver problemas

matemáticos?), modelo da ação (como resolver problemas matemáticos?),

modelo de controle (como controlar a resolução de problemas matemáticos?),

conforme modelo a frente representado no Quadro 10:

Quadro 10 - Modelo de disposição dos dados da prova pedagógica na planilha.

ALUNOS MODELO DO OBJETO

MODELO DA AÇÃO MODELO DE CONTROLE

Fonte: Elaborado pelo autor

No que se refere as anotações dos diários dos alunos, os dados foram

organizados no momento da Experiência Formativa, relacionando cada

estudante ao conteúdo do diário, conforme as questões propostas no roteiro,

segundo mostra o Quadro 11:

Quadro 11 - Organização dos dados dos diários dos alunos na planilha.

ALUNOS RESPOSTAS

1a 1b 2


Finalmente, os dados obtidos nas tarefas foram organizados evidenciando

aspectos quantitativos e qualitativos do controle na resolução dos problemas

matemáticos, em função dos indicadores correto (C), parcialmente correto (PC)

e incorreto (I).

87

Em relação a organização dos aspectos qualitativos, os quadros foram

divididos por tarefa, relacionando: alunos da dupla; classificação da resposta

dada como correta (C), parcialmente correta (PC), incorreta (I); e uma descrição

da estratégia de resolução e de controle empregada. O Quadro 12 seguinte

apresenta a estrutura da planilha:

Quadro 12 - Organização dos dados de tarefas.


Após a descrição de como procedeu a organização dos dados em função

de cada instrumento de coleta, passamos a discorrer sobre o processo de

análise e interpretação dos dados da pesquisa.

4.6 Análise dos dados

Uma das estratégias de análise empregada em todos os dados coletados

foi a Análise de Conteúdo. Bardin (1977, p. 42) define a Análise de Conteúdo

como:

Um conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter, por procedimentos, sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens, indicadores (quantitativos ou não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção (variáveis inferidas) destas mensagens.

Considerando a diversidade de estratégias que compõem a análise de

conteúdo, adotamos as etapas propostas por Bardin (1977), a saber: 1) pré-

análise; 2) exploração do material; 3) tratamento dos resultados, a inferência e a

interpretação.

O momento de pré-análise consistiu na fase de organização do material e

envolveu: a leitura “flutuante” (isto é, uma leitura panorâmica de todo o material

TAREFA: 3 Tipo de problema: Sem solução

Resolução do problema Controle na resolução do problema

Aluno C PC I Estratégia Aluno C PC I Estratégia

88

para construção das primeiras impressões sobre os dados); a escolha dos

documentos; a elaboração de hipóteses e objetivos; a construção de indicadores

que nortearão a interpretação dos dados; e a preparação do material, que

envolve eventuais necessidades de adequação dos dados (a norma culta da

língua, por exemplo), caso seja necessário (BARDIN, 1977).

Finalizada a primeira etapa, seguimos para a exploração do material que,

nas palavras de Bardin (1977, p. 101), é a “[...] administração sistemática das

decisões tomadas”. Em outras palavras, a partir dos pressupostos estabelecidos

durante a pré-análise, ocorreu a redução das informações coletadas em função

de categorias emergentes.

Posteriormente, a análise seguiu para a etapa de tratamento dos

resultados, a inferência e a interpretação, na qual se desenvolveu a

sistematização, de modo a transformar os dados, relacionando-os as categorias

e atribuindo-lhes significado a partir do quadro teórico da investigação.

As categorias emergentes que balizaram a Análise de Conteúdo são

apresentadas no Quadro 13, em função de cada um dos instrumentos de coleta

de dados:

Quadro 13 - Instrumentos de pesquisa e suas categorias de Análise de Conteúdo.

INSTRUMENTO DE COLETA DE DADOS

CATEGORIAS EMERGENTES DE ANÁLISE

Prova Pedagógica

- Modelo do objeto de resolver problemas matemáticos - Modelo da ação de resolver problemas matemáticos - Definição de controle da aprendizagem - Modelo de controle na resolução de problemas matemáticos

Observação - Aspectos relevantes de cada momento da Experiência Formativa. - Dificuldades enfrentadas pelos estudantes em cada momento da Experiência Formativa.

Diário dos alunos

- Aspectos relevantes de cada momento da Experiência Formativa. - Dificuldades enfrentadas pelos estudantes em cada momento da Experiência Formativa.

Questionário

- Relevância do EBOCA - Dificuldades enfrentadas durante Experiência Formativa - Atividades consideradas mais relevantes para os estudantes - Atividades consideradas menos relevantes para os estudantes - Avaliação da aprendizagem acerca da orientação da ação de controle da resolução de problemas matemáticos


De modo complementar à Análise de Conteúdo, os modelos que

89

compõem a orientação dos estudantes para a ação de controle na resolução de

problemas matemáticos foram ainda comparados com o Esquema da Base

Orientadora Completa da Ação (EBOCA) elaborado pelo professor, a partir das

categorias: Correta (C); Parcialmente correta (PC) e Incorreta (I).

No que concerne à análise das respostas das situações-problema, esse

processo consiste em verificar se as respostas dadas pelos alunos estão

adequadas ou não ao gabarito de cada tarefa. Cury (2008, p. 63):

[...] o importante não é o acerto ou o erro em si – que são pontuados em uma prova de avaliação da aprendizagem -, mas as formas de se apropriar de um determinado conhecimento, que emerge na produção escrita e que podem evidenciar dificuldades de aprendizagem (CURY, 2008, p. 63).

Assim, apesar de não desconsiderar a relevância dos erros e acertos,

esses são vistos como indicativos do nível de desenvolvimento do aluno em

relação a um determinado conhecimento ou habilidade e se constituem como as

manifestações de uma dificuldade do estudante ou ausência dela.

Nós nos debruçamos, sobretudo, sobre os erros cometidos pelos

participantes para a elaboração de hipóteses acerca das respectivas dificuldades

subjacentes, à luz da literatura específica.

Partimos do entendimento de Núñez e Ramalho (2012b) acerca do erro

enquanto uma expressão da relação entre o que estudante sabe e o que busca

saber. Além disso, da existência de uma relação dialética do tipo fenômeno-

essência entre erro e dificuldade, sendo o primeiro uma manifestação

(fenômeno) de uma causa presente no sujeito (essência).

Finalizadas as discussões sobre os aspectos metodológicos, a seção

seguinte apresentará o Sistema Didático elaborado para a Experiência

Formativa.

90

5 ORGANIZAÇÃO DA EXPERIÊNCIA FORMATIVA

Uma das características das experiências pedagógicas que se debruçam

sobre a problemática inerente à relação entre o ensino e o desenvolvimento,

consiste na busca pelas regularidades no processo de ensino. Para Zankov

(2017), essa busca está intrinsecamente relacionada à organização dessa

atividade e pela obtenção dos meios para se atingir certo nível de

desenvolvimento dos alunos.

Esse tipo particular de organização da atividade de aprendizagem é

nomeado por Zankov (1984) Sistema Didático. O sistema é didático devido sua

fundamentação advir da pesquisa educacional e experimental, tanto por ser

parte de estudos científicos imersos no Enfoque Histórico-Cultural, quanto por

se colocar como um contraponto a outras formas de organização do ensino.

Nesse sentido, entendemos o Sistema Didático como o conjunto de

princípios, métodos de assimilação, tarefas, indicadores qualitativos, etc.;

adotados pelo professor durante a organização da atividade de aprendizagem

que possibilitam as condições necessárias e suficientes para que seus

estudantes alcancem determinado nível de desenvolvimento.

A organização da Experiência Formativa proposta nesta tese se deu à luz

da Teoria de Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos, de P. Ya.

Galperin. Essa organização requer um planejamento que considere, segundo

Núñez (1992, 2009, 2017), os seguintes elementos: definição dos objetivos;

organização do conteúdo a ser assimilado; e estrutura didática para formação da

habilidade. Desse modo, discutiremos nos próximos tópicos os referidos

elementos.

5.1 A definição do objetivo

Considerando que a organização do ensino sempre deve estar orientada

para a obtenção de um produto (resultado), Talizina (1988) aponta que a direção

da atividade de aprendizagem sempre se norteia por um objetivo. Além disso,

sendo a aprendizagem uma atividade, o professor deve definir ainda, em

consonância com o objetivo, quais serão as características da ação do sujeito

após a assimilação do conteúdo.

91

No que se refere ao objetivo do presente Sistema Didático, haja vista que

esta tese tem o intuito de estudar a influência das atividades propostas no

processo de reelaboração da orientação da ação de controle na resolução de

problemas matemáticos, definimos os seguintes conteúdos: porcentagem,

proporcionalidade, operações matemáticas básicas e expressões algébricas.

A escolha de conteúdos presentes no currículo da Educação Básica, se

deu por dois critérios relacionados ao seu grau de aplicabilidade e a potencial

familiaridade dos participantes.

Acerca do primeiro critério, como o modelo de controle da Base

Orientadora da Ação utilizada nesta pesquisa, corresponde à habilidade de

resolver problemas matemáticos, para preservar ao máximo o caráter geral da

orientação proposta, precisávamos de conteúdos que possuíssem várias

possibilidades de aplicação em diversas situações.

No que se refere ao segundo critério, tendo em vista que o foco do

Sistema Didático não foi a assimilação de um conhecimento matemático,

precisávamos desenvolver um sistema utilizando conteúdos matemáticos que os

alunos já tivessem familiaridade, para não correr o risco da Experiência

Formativa ser prejudicada por conta de dificuldades dos alunos em relação aos

conceitos.

Convém destacar que essa familiaridade não deve ser entendida como

opção por um conteúdo de baixa complexidade para os participantes da

pesquisa, e sim como escolha de um objeto matemático que permitisse uma

variação do grau de complexidade das tarefas a serem propostas, de modo a

facilitar a adequação do Sistema Didático aos diferentes perfis de participantes

da pesquisa e níveis de desenvolvimento desejáveis planejados pelo professor.

Com base no que foi exposto, o presente Sistema Didático tem como

objetivo: Influenciar na reelaboração da orientação dos estudantes para a

ação de controle na resolução de problemas de porcentagem, proporção,

operações matemáticas e expressões algébricas.

5.2 A organização do conteúdo: A orientação da ação de resolver


Em consonância com a utilização de uma Base Orientadora da Ação

92

geral, completa e independente (BOA III), Reshetova (1988) elabora o enfoque

sistêmico funcional-estrutural como estratégia de organização do conteúdo. Para

a organização do conteúdo sob essa perspectiva, esse é dividido em partes

menores, com propriedades distintas umas das outras, segundo a relevância

desses elementos na formação do todo (papel e funções) e sua correspondência

funcional com os demais elementos do sistema (RESHETOVA, 1988).

Dessa forma, o conteúdo é representado de uma forma mais geral

possível, a partir de seus elementos essenciais. Nesse sistema, os diferentes

casos particulares que estejam dentro de seus limites de generalidade se

constituem como meios para manifestação dessa essência.

A essência, denominada invariante do sistema, é entendida por

Reshetova (1988, p. 49) como a “[...] formação estável que tem um sistema

determinado de qualidades [que] se conserva em toda a diversidade de variantes

concretas de sua existência [...]”.

Para organização do conteúdo de uma habilidade segundo o enfoque

sistêmico funcional-estrutural, os invariantes do sistema serão os seus

componentes (TALIZINA, 1988).

Um dos caminhos para organização da BOA III materializada (isto é, o

EBOCA do professor) consiste no Método Teórico de Análise da Atividade.

Conforme Núñez, Ramalho e Oliveira (2018, p. 60), essa ferramenta realiza uma

“[...] análise funcional-estrutural das diversas variantes conhecidas ou nos

modos de agir quando tarefas do mesmo tipo são resolvidas. Esse modelo,

então, possibilita explicar esses processos e fenômenos, de forma geral, e se

constitui no objeto de assimilação”.

Para construção do EBOCA do professor por meio do Método Teórico de

Análise da Atividade, seguimos os seguintes passos: i) levantamento em textos

científicos especializados nas orientações acerca da habilidade objeto de

estudo; ii) categorização das ações e operações de todas as orientações

selecionadas segundo suas similaridades; iii) síntese das ações e operações

conforme os aspectos invariantes (essência) contidos nas diferentes orientações

analisadas.

Após esse processo, o EBOCA do professor é constituído pelas

invariantes dos aspectos conceituais (modelo do objeto) e dos sistemas de ações

(modelo da ação) construídos a partir das orientações analisadas.

93

Uma vez obtidos os dois modelos, o modelo de controle é formado por um

sistema de operações reflexivas inter-relacionadas com o sistema de operações

que constitui o modelo da ação. Ou seja, para cada operação do modelo de ação

haverá uma operação do modelo de controle que permite avaliar e corrigir

(quando necessário) a execução da habilidade.

Por meio do Método Teórico de Análise da Atividade, apresentamos o

processo de elaboração do EBOCA do professor, dividido em função de suas

três partes constituintes: modelo do objeto, modelo da ação e modelo de

controle.

O modelo do objeto, que corresponde ao aspecto conceitual da definição

da habilidade, se refere, no âmbito deste estudo, à compreensão do que é

resolver problemas matemáticos. Partindo das definições levantadas e

discutidas na subseção 3.1 desta tese, elaboramos o Quadro 14 a seguir:

Quadro 14- Definição do que é problema por diferentes autores.

AUTOR DEFINIÇÃO DE PROBLEMA

Houassis (2009, p. 1553)

“[...] o que se tem distante de si; obstáculo; questão”.

Onuchic e Allevato (2011, p.

81)

“[...] tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver”

Dante (2009, p. 11)

“[...] um obstáculo a ser superado, algo a ser resolvido e que exige o pensar consciente do indivíduo para solucioná-lo”.

Polya (1981, p. 117)

“[...] procurar conscientemente por alguma ação apropriada para atingir um objetivo claramente concebido, mas não imediatamente atingível”.

Campistrous e Rizo (2014, p.

293),

“[...] toda situação em que há uma abordagem inicial e um requisito que força a transformá-la. O caminho para sair da situação ou abordagem inicial para a nova situação exigida tem que ser desconhecida e a pessoa deve querer fazer a transformação”.

Ramírez (2006, p. 71)

[...] é aquela situação que se caracteriza pela existência de uma pessoa (ou grupo) que deseja resolvê-la, de um estado inicial e outro final, e de algum tipo de impedimento para a transição de um estado a outro. Isso permite compreender que no âmbito escolar um exercício (ou em geral qualquer tarefa docente) será um problema se a transição do estado inicial para o estado final implica que o estudante experimente um desenvolvimento cognitivo, ao trabalhar em sua ZDP.

Nápoles (2011, p. 3)

[...] situação em que o aluno está envolvido, em que ele sente a necessidade de realizá-la para satisfazer suas necessidades, motivos e interesses cognitivos e, no processo para alcançá-la, usa todos os recursos, quer dizer, conhecimento, habilidades, métodos; que lhe permitem atingir o objetivo que persegue.

Majmutov (1983, p. 58)

[...] uma forma subjetiva de expressar a necessidade de desenvolver o conhecimento científico. Este é o reflexo de uma situação problema, ou seja, de uma contradição entre o conhecimento e falta de conhecimento que objetivamente surge do processo social.

Núñez et al. (2004, p. 152

“[...] a contradição que caracteriza uma situação problema assimilada/internalizada pelo aluno”

Martínez (1998, “[...] o conhecimento do desconhecido que propõe ao homem a questão

94

p. 16) para o desenvolvimento”


Um primeiro aspecto que podemos evidenciar nas definições

anteriormente descritas é a explicitação, em algumas delas, de um entendimento

do problema não em função de sua estrutura, mas em relação ao indivíduo (ou

grupo) que se depara com uma determinada situação. Em outros termos, o

problema é definido não a partir do seu conteúdo ou grau de complexidade, mas

sim tanto pelo aspecto motivacional, volitivo, da pessoa; quanto pelo nível de

conscientização do(s) indivíduo(s) em relação ao objetivo a ser alcançado com

o processo de solução.

Assim, a existência do problema é condicionada ao interesse do sujeito

em resolvê-lo, a uma tomada de consciência sobre o que é procurado, a

coincidência do motivo do sujeito com o objetivo do problema. Partindo desse

entendimento, destacamos como um aspecto invariante a resolução de

problemas matemáticos enquanto atividade.

Outro aspecto que podemos considerar é a compreensão do problema

enquanto obstáculo entre um momento inicial (anterior à solução) e um momento

posterior (quando a solução é encontrada), a ser superado por meios

desconhecidos. O desconhecimento dos meios sugere que, embora os

conhecimentos e habilidades necessários para a solução possam ser

previamente conhecidos pelo sujeito, a estratégia de empregá-los no âmbito do

processo de resolução da situação não podem ser.

Esse segundo aspecto faz emergir um entendimento invariante da

resolução de problemas como um processo de busca pela solução de uma

contradição entre os conhecimentos conhecidos e os desconhecidos.

Por fim, se tratando da resolução de problemas no contexto de uma área

do conhecimento específica, outro aspecto invariante para o modelo do objeto

consiste na condição necessária que a resolução de problemas em Matemática

se dá por meio de conhecimentos matemáticos.

Reunido os elementos invariantes anteriormente discutidos, no modelo do

objeto do Esquema da Base Orientadora Completa da Ação (EBOCA) do

professor, apresentamos a compreensão da resolução de problemas

matemáticos no Quadro 15 a seguir:

95

Quadro 15 - Modelo do objeto do EBOCA de resolver problemas matemáticos.

MODELO DO OBJETO

Atividade de busca pela solução de uma contradição entre o que é conhecido e o que é desconhecido, por meio de conhecimentos matemáticos.


Passando ao modelo da ação, que se refere ao aspecto operacional, isto

é, ao sistema de ações e operações necessários e suficientes para se resolver

um problema matemático, sintetizamos, no Quadro 16, as diferentes propostas

de autores discutidos na subseção 3.2. Visando facilitar a identificação das

etapas em função de seus propositores, acrescentamos as iniciais de cada autor

e o algarismo indo-arábicos correspondente a sua ordem dentro do modelo.

Quadro 16 - Sínteses de etapas para resolução de problemas de diferentes autores.

AUTOR ETAPAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Libâneo (2005)

LI1 Analisar o problema LI2 Vias de solução LI3 Execução da solução escolhida; LI4 Controlar o processo de solução e o resultado obtido

Volodarskaya e Nikitiuk (2001)

VK1 Análise VK2 Construção VK3 Demonstração VK4 Investigação

Lavigne (1999)

LA1 Compreender o problema LA2 Analisar o problema LA3 Solucionar o problema LA4 Avaliar a solução do problema

Majmutov (1983)

MAJ1 Surgimento da situação problemática e a abordagem do problema MAJ2 Utilização dos procedimentos de solução que se conhece (etapa de solução “fechada” do problema); MAJ3 Ampliação da esfera de busca de novos procedimentos de solução (etapa de solução “aberta” do problema), encontrando uma nova relação ou princípio de ação; MAJ4 Realização do princípio encontrado; MAJ5 Comprovação do grau de correção da solução

Mendoza e

Delgado (2018)

MD1 Formular o problema docente MD2 Construir o núcleo conceitual MD3 Solucionar o problema docente MD 4 Interpretar a solução

Martínez (1998) MAR1 Determinar o buscado através dos dados MAR2 Estabelecer as dependências casuais entre o conhecido e o buscado

96

MAR3 Elaborar e determinar a possível via de solução (hipótese) MAR4 Levantar a solução (o encontrado) MAR5 Comprovar a coincidência do resultado com o objetivo.

Triana (2005)

TR1 Analisar o problema TR2 Gerar estratégias de trabalho TR3 Avaliar as consequências da aplicação da estratégias que se considere mais adequada TR4 Executar ou desenvolver a estratégia selecionada TR5 Avaliar as conquistas e dificuldades durante a execução

Luria (1981; 1990)

LU1 Identificação das condições da situação LU2 Analisar as condições do problema LU3 Determinação das estratégias de solução LU4 Escolha dos métodos e das operações adequadas LU5 Solução real do problema LU 6 Comparação dos resultados obtidos com as condições iniciais

Nikola e Talizina (2001)

NT1 Identificar as grandezas do problema NT2 Representar as grandezas NT3 Organizar as grandezas segundo o esquema da árvore de raciocínio NT4 Solucionar o problema.

Davydov (1981, 1988)

D1 Transformação dos dados do problema D2 Modelação dos dados D3 Transformação do modelo para resolução matemática D4 Execução das ações para obtenção da solução D5 Controle das ações anteriores D6 Avaliação do resultado.


Para facilitar a busca pelos invariantes, optamos por dividir cada uma das

etapas contidas no Quadro 16 em função dos principais momentos funcionais da

atividade (orientação, execução e controle). O Quadro 17 apresenta os

momentos da atividade, as etapas para resolução de problemas dos diferentes

autores já discutidos e os respectivos invariantes identificados:

97

Quadro 17 - Invariantes da habilidade de resolver problemas matemáticos.

MOMENTOS

DA ATIVIDADE ETAPAS INVARIANTES

Orientação

LI1 Analisar o problema VK1 Análise LA1 Compreender o problema LA2 Analisar o problema MAJ1 Surgimento da situação problemática e a abordagem do problema MD1 Formular o problema docente MA1 Determinar o buscado através dos dados MA2 Estabelecer as dependências casuais entre o conhecido e o buscado TR1 Analisar o problema LU1 Identificação das condições da situação LU2 Analisar as condições do problema NT1 Identificar as grandezas do problema NT2 Representar as grandezas D1 Transformação dos dados do problema D2 Modelação dos dados

Analisar a situação- problema

LI2 Vias de solução MAJ2 Utilização dos procedimentos de solução que se conhece (etapa de solução “fechada” do problema); MAJ3 Ampliação da esfera de busca de novos procedimentos de solução (etapa de solução “aberta” do problema), encontrando uma nova relação ou princípio de ação; MD2 Construir o núcleo conceitual MA3 Elaborar e determinar a possível via de solução (hipótese) TR2 Gerar estratégias de trabalho TR3 Avaliar as consequências da aplicação da estratégias que se considere mais adequada LU3 Determinação das estratégias de solução LU4 Escolha dos métodos e das operações adequadas NT3 Organizar as grandezas segundo o esquema da árvore de raciocínio D3 Transformação do modelo para resolução matemática

Planejar uma estratégia para

resolução do problema

Execução

LI3 Execução da solução escolhida VK2 Construção VK3 Demonstração LA3 Solucionar o problema MAJ4 Realização do princípio encontrado; MD3 Solucionar o problema docente MA4 Levantar a solução (o encontrado) TR4 Executar ou desenvolver a estratégia selecionada LU5 Solução real do problema NT4 Solucionar o problema D4 Execução das ações para obtenção da solução

Executar a estratégia para resolução do

problema

98

Controle

LI4 Controlar o processo de solução e o resultado obtido VK4 Investigação LA4 Avaliar a solução do problema MAJ5 Comprovação do grau de correção da solução MD 4 Interpretar a solução MA5 Comprovar a coincidência do resultado com o objetivo TR5 Avaliar as conquistas e dificuldades durante a execução LU 6 Comparação dos resultados obtidos com as condições iniciais D5 Controle das ações anteriores D6 Avaliação do resultado.

Avaliar a resolução do problema


Como é possível observar no Quadro 17, no âmbito do momento funcional

de orientação, identificamos duas ações invariantes, são elas: A1- Analisar a

situação-problema e A2- Planejar uma estratégia para resolução do problema.

No momento de execução, a ação correspondente é A3- Executar a estratégia

para resolução do problema. Por fim, o controle da atividade tem como ação

correspondente A4- Avaliar a resolução do problema.

Haja vista que as ações se subdividem em operações, no Quadro 18

apresentamos o modelo da ação, detalhando as respectivas operações.

Quadro 18 - Modelo da ação do EBOCA de resolver problemas matemáticos do professor.

MODELO DA AÇÃO

Ação Operação

A1: Analisar a situação-problema.

O1: Ler o enunciado e determinar se corresponde a uma situação-problema. Caso corresponda, resolver utilizando o cartão de estudo. Do contrário, procurar outra orientação. O2: Reconhecer o que é conhecido e o que é desconhecido O3: Definir o problema, a partir da contradição entre o conhecido e o desconhecido O4: Representar o problema a partir do que é conhecido, desconhecido e procurado.

A2: Planejar uma estratégia para resolução do problema.

O5: Determinar as condições para a solução do problema. O6: Elaborar uma estratégia para resolução, segundo as condições do problema

99

A3: Executar a estratégia para resolução do problema.

O7: Realizar a resolução do problema de acordo com o planejado. O8: Interpretar o resultado encontrado em função do que é procurado.

A4: Avaliar a resolução do problema.

O9: Verificar se a solução do problema está de acordo com o que é procurado O10: Caso a resposta esteja correta, refletir sobre os aspectos que favoreceram a esse resultado O11: Caso a resposta seja negativa, ou não tenha chegado a uma resposta, refletir e reformular caso seja necessário, o problema e/ou a estratégia de solução. Corrigir os erros. O12: Relacionar os resultados obtidos com conhecimentos anteriores e com novos conhecimentos.


Por fim, o modelo do controle corresponde ao aspecto operacional de

controle, que possibilita ao sujeito da atividade monitorar e corrigir, quando

necessário, a execução do sistema de ações que constitui a habilidade a ser

aprendida. Dada a sua inter-relação com o modelo da ação, apresentamos no

Quadro 19 que segue, o modelo de controle em função do sistema operacional

que constitui o modelo da ação do EBOCA de resolver problemas matemáticos

do professor:

Quadro 19- Relação entre operações para ação e operações de controle.

OPERAÇÕES DO MODELO DA AÇÃO OPERAÇÕES DO MODELO DE CONTROLE

O1: Ler o enunciado e determinar se corresponde a uma situação-problema. Caso corresponda, resolver utilizando o cartão de estudo. Do contrário, procurar outra orientação.

C1: O enunciado trata de uma situação-problema?

O2: Reconhecer o que é conhecido e o que é desconhecido

C2: Reconheceu-se o conhecido? Reconheceu-se o desconhecido?

O3: Definir o problema, a partir da contradição entre o conhecido e o desconhecido

C3: Definiu-se o problema, a partir do que é conhecido e desconhecido na situação-problema?

O4: Representar o problema a partir do que é conhecido, desconhecido e procurado.

C4: Foi criado um modelo do problema a ser resolvido?

O5: Determinar as condições para a solução do problema.

C5: Analisou-se e determinou-se as condições nas quais se resolverá o problema? Quais são essas condições?

100

O6: Elaborar uma estratégia para resolução, segundo as condições do problema

C6: Por que a estratégia elaborada é apropriada para solução do problema, segundo as condições estabelecidas?

O7: Realizar a resolução do problema de acordo com o planejado.

C7: A solução do problema se realiza segundo o planejado, considerando as condições e a representação do problema?

O8: Interpretar o resultado encontrado em função do que é procurado.

C8: Chegou-se a uma solução do problema? Caso positivo, Analisou-se a resposta de modo a justificá-la como resposta ao problema?

O9: Verificar se a solução do problema está de acordo com o que é procurado

C9: As operações anteriores estão adequadas ao que é procurado?

O10: Caso a resposta esteja correta, refletir sobre os aspectos que favoreceram a esse resultado

C10: Quais aspectos favoreceram ao resultado?

O11: Caso a resposta seja negativa, ou não tenha chegado a uma resposta, refletir e reformular caso seja necessário, o problema e/ou a estratégia de solução. Corrigir os erros.

C11: O que é preciso corrigir para solucionar o problema?

O12: Relacionar os resultados obtidos com conhecimentos anteriores e com novos conhecimentos.

C12: Como os resultados obtidos se relacionam com elementos já conhecidos e com novos conhecimentos?


A partir dos modelos do objeto, modelo da ação e modelo de controle

discutidos até aqui, sintetizamos o Esquema da Base Orientadora Completa da

Ação da habilidade de resolver problemas matemáticos do professor no Quadro

20:

101

Quadro 20 - EBOCA da habilidade de resolver problemas matemáticos planejado pelo professor.

EBOCA DE RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS PLANEJADO PELO PROFESSOR

MODELO DO OBJETO

MODELO DA AÇÃO MODELO DE CONTROLE

Ação Operação

Atividade de busca pela solução de uma contradição definida a partir do que é conhecido e desconhecido em uma situação-problema, por meio de conhecimentos matemáticos

A1: Analisar a situação-problema


C1: O enunciado trata de uma situação-problema? C2: Reconheceu-se o conhecido? Reconheceu-se o desconhecido? C3: Definiu-se o problema, a partir do que é conhecido e desconhecido na situação-problema? C4: Foi criado um modelo do problema a ser resolvido?

A2: Planejar uma estratégia para

solução do problema


C5: Analisou-se e determinou-se as condições nas quais se resolverá o problema? Quais são essas condições? C6: Por que a estratégia elaborada é apropriada para solução do problema, segundo as condições estabelecidas?

A3: Executar a estratégia para resolução do

problema


C7: A solução do problema se realiza segundo o planejado, considerando as condições e a representação do problema? C8: Chegou-se a uma solução do problema? Caso positivo, Analisou-se a resposta de modo a justificá-la como resposta ao problema?

A4: Avaliar a resolução do

problema

O9: Verificar se a solução do problema está de acordo com o que é procurado O10: Caso a resposta esteja correta, refletir sobre os aspectos que favoreceram a esse resultado

C9: As operações anteriores estão adequadas ao que é procurado? C10: Quais aspectos favoreceram ao resultado?

102


O11: Caso a resposta seja negativa, ou não tenha chegado a uma resposta, refletir e reformular caso seja necessário, o problema e/ou a estratégia de solução. Corrigir os erros. O12: Relacionar os resultados obtidos com conhecimentos anteriores e com novos conhecimentos.

C11: O que é preciso corrigir para solucionar o problema? C12: Como os resultados obtidos se relacionam com elementos já conhecidos e com novos conhecimentos?

103

Tendo em vista que o enfoque não é a criação de um método universal

para solução de todos os tipos de problemas, faz-se necessário discutir os limites

de generalização da orientação proposta.

Um dos primeiros limites de generalização da referida orientação

planejada pelo professor consiste em orientar a resolução de problemas

derivados de situações-problema em que o aprendiz não tenha uma estratégia

previamente formulada. Desse modo, um dos tipos de situações que poderiam

utilizar a presente orientação, porém de modo parcial, são os exercícios, pois

não requerem uma análise dos aspectos conhecidos, desconhecidos e

procurados, mas apenas da identificação e aplicação do algoritmo apropriado

para solucioná-los.

Outro grupo de problemas que demandaria adequações na orientação

proposta são os de demonstração, pois requerem o domínio, além do conteúdo,

de processos lógicos gerais necessários para se provar uma proposição

matemática.

Desse modo, o Sistema Didático elaborado a partir do presente EBOCA

do professor é formado por situações-problema sem solução, com única e com

múltiplas soluções, aplicadas a temas de outras áreas do conhecimento e do

cotidiano.

A orientação do professor foi construída, como já mencionado, com

enfoque em situações que versam sobre conteúdos presentes no currículo da

Educação Básica, tais como: operações matemáticas básicas,

proporcionalidade, porcentagem e expressões algébricas.

5.3 A estrutura didática do processo de assimilação

Considerando os seus objetivos e a natureza do objeto de estudo, o

Sistema Didático foi estruturado em cinco momentos no Quadro 21:

Quadro 21 - Momentos da Experiência Formativa.

MOMENTO DESCRIÇÃO CARGA

HORÁRIA


Realizado por meio de uma prova pedagógica, para caracterização da Base Orientadora da Ação de resolver

2h

104

problemas matemáticos (modelo do objeto, modelo da ação e modelo de controle) e a aplicação dessa orientação em uma situação-problema.

Etapa motivacional

Retomada da situação-problema trazida na prova pedagógica. Além disso, discussão sobre a importância do controle na resolução de problemas matemáticos para formação de um aprendiz autônomo, tendo como referência a Teoria de Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos.

2h

Reelaboração da orientação

dos alunos

Partindo das BOAs dos alunos caracterizadas como resultado do diagnóstico inicial e do EBOCA planejado pelo professor, houve um processo de negociação de sentidos e significados do modelo do objeto, da ação e de controle para construção colaborativa do EBOCA dos alunos como apoio materializado para resolução e controle das tarefas do Sistema Didático.

4h

Solução das tarefas

Resolução de seis tarefas em duplas e com apoio do EBOCA dos alunos. Essa atividade de aprendizagem se deu de forma colaborativa, na qual enquanto um dos discentes executava a resolução da tarefa, seu colega realizava o controle, havendo um alternância dos membros da dupla entre essas duas funções.

8h

Avaliação da Experiência Formativa

Realizado com o uso de um questionário que abordou a relevância, potencialidade e viabilidade de uso do EBOCA do aluno como ferramenta para o ensino e aprendizagem do controle na resolução de problemas matemáticos; as dificuldades enfrentadas pelos estudantes durante a Experiência Formativa; atividades consideradas mais e menos interessantes pelos discentes; e a percepção dos estudantes acerca da importância da orientação para a aprendizagem e para o controle.

2h

TOTAL 18h


A Experiência Formativa, empreendida a partir do Sistema Didático,

ocorreu entre os dias 04 de abril de 2019 à 10 de maio de 2019, em nove

encontros de 2h cada. Para um melhor detalhamento de como as tarefas

aplicadas foram elaboradas, passamos a discutir esse assunto a seguir.

5.4 Sistema de tarefas

As tarefas consistem num conjunto situações-problema propostas pelo

pesquisador e organizadas em um sistema para favorecer na reelaboração da

orientação da ação estudada na presente tese (NÚÑEZ; RAMALHO, 2012a).

Segundo esses autores, por serem dispostas meticulosamente para constituírem

105

uma estrutura adequada para a formação da habilidade pretendida, as tarefas

são entendidas como as células de um Sistema Didático.

Tratando do sistema de tarefas, Conforme Núñez, Ramalho e Oliveira

(2018, p. 49), afirmam que este “[...] constitui o núcleo da atividade didática da

formação da habilidade, expressa uma concepção de aprendizagem e de

desenvolvimento como também define singularidades metodológicas como

hipóteses de progressão que orientam esse processo”.

Segundo Rico (2003, p. 54), um dos objetivos na proposição de

situações-problema como tarefas consiste em “[...] lograr de modo consciente e

dirigido uma orientação nas formas de solucionar problemas cognoscitivos, que

o aluno assimile, se aproprie, destes procedimentos gerais que lhe permitam,

ante a apresentação de uma nova tarefa deste tipo, solucioná-la”.

No âmbito dessa tese, foram planejadas e aplicadas seis tarefas,

diversificadas segundo o tipo de solução possível para a situação-problema

(única solução, sem solução e múltiplas soluções), como mostrado no Quadro

22.

Quadro 22 - Tarefas do Sistema Didático segundo os tipos de solução.

TIPO DE TAREFA

ENUNCIADO

Sem solução

Tarefa 2: Seguindo a orientação de um especialista, Murilo aumenta a cada dois dias 10% da distância percorrida em suas caminhadas mantendo o mesmo ritmo. Estimando que ele gasta 240 kcal/hora e que 7 mil calorias equivalem a aproximadamente 1 kg de gordura, se Murilo mantiver a alimentação regular, em quantos dias perderá 5 kg?

Tarefa 3: Em um estacionamento de 60 vagas, cada vaga pode ser ocupada por 1 carro ou por 2 motos. Considerando que o preço cobrado por carro é de R$ 10,00 e por moto R$ 5,00 e sabendo que em um dia de lotação máxima foram contabilizadas 300 rodas, qual o valor faturado pelo estacionamento?

Única solução

Tarefa 1: Um grupo de amigos pretende fazer uma viagem de férias para um local que fica a 524 km de onde moram. Contudo, eles ainda não decidiram se o percurso será realizado de carro próprio ou ônibus. A primeira opção seria um carro que transporta 5 ocupantes, com um consumo médio de 12 km/l e a gasolina custando R$ 4,59. A segunda opção seria ir de ônibus, cuja a passagem custa R$ 96,00 por trecho (ida ou volta). Considerando apenas o custo total da viagem e que este será dividido igualmente entre os todos os membros do grupo, em quais condições uma das opções é mais vantajosa que a outra.

Tarefa 5: O Imposto de Renda (IR) é tributo cobrado sobre determinados rendimentos de uma pessoa física ou jurídica. No Brasil, o valor a ser pago é cobrado dividindo o ganho anual do contribuinte após deduções em diferentes faixas, que possuem alíquotas progressivas, conforme mostra o quadro a seguir:

106

Sabendo que a base de cálculo mensal do salário (parte do salário que será cobrada o IR) de Josiane sobre a qual incide o IR é de R$ 5.200,00, qual o percentual efetivo aproximado de imposto pago?

Múltiplas soluções

Tarefa 4: O “desafio de 52 semanas” é uma estratégia para se economizar dinheiro durante 1 ano, a partir do aumento gradativo do valor poupado semanalmente. Iniciando o desafio poupando uma determinada quantia, a cada semana, o valor economizado corresponde ao mesmo valor da semana anterior acrescido em 1 real. Considerando uma pessoa que ganha R$ 2.000,00 mensais e pode economizar menos que 20% do seu salário, elabora um plano e mostre quanto essa pessoa conseguiria juntar no fim do desafio.

Tarefa 6: Um agricultor precisa determinar uma expressão algébrica que lhe permita calcular o custo necessário para cercar suas terras em função dos principais materiais utilizados. Em um de seus terrenos retangulares, que mede 120m por 90m ele poderá utilizar: estacas finas (de 2 em 2 metros) ou estacas grossas (de 6 em 6 metros) e 4 voltas de arame. Elabore uma forma de cercar o terreno com os materiais mencionados e determine uma expressão algébrica apropriada.


As tarefas foram aplicadas com os estudantes reunidos em duplas e com

o apoio do Esquema da Base Orientadora Completo da Ação (EBOCA)

elaborado pela turma. Além disso, para cada tarefa, havia uma alternância de

papéis entre os membros das duplas. Enquanto um resolvia o outro controlava

esse processo, e vice-versa.

Finalizada a explanação do Sistema Didático elaborado no âmbito da

presente pesquisa, a seção seguinte apresentará uma descrição e análise da

Experiência Formativa.

107

6 RESULTADOS E DISCUSSÕES DA EXPERIÊNCIA FORMATIVA

A execução da Experiência Formativa teve como enfoque favorecer o

processo de reelaboração da orientação da ação de controle na resolução de

problemas matemáticos de estudantes de licenciatura.

Visando melhor organizar as discussões sobre como se deu essa

intervenção, dividimos a presente seção em função dos momentos da

Experiência Formativa, são eles: diagnóstico inicial, motivação inicial,

reelaboração da orientação dos estudantes, solução e controle das tarefas e

avaliação final.

6.1 O diagnóstico inicial da compreensão do controle na resolução de

problemas matemáticos7

O momento de diagnóstico inicial teve duração de 2 horas e seu intuito

foi caracterizar a compreensão da ação de controle na resolução de problemas

matemáticos dos participantes da Experiência Formativa. A referência utilizada

para análise da orientação dos estudantes foi o Esquema da Base Orientadora

Completa da Ação (EBOCA) elaborada pelo professor (Quadro 20).

Haja vista, como já mencionado, que o controle sempre se dá sobre outra

ação (isto é, o controle sempre é o controle sobre algo) e que a ação a ser

controlada estudada nesta tese foi a de resolver problemas matemáticos, as

questões 1 e 2 da prova pedagógica estiveram focadas em relevar,

respectivamente, a compreensão dos estudantes acerca do modelo do objeto e

do modelo da ação da Base Orientadora da Ação de resolver problemas

matemáticos.

Nas questões 3 e 4, o foco foi revelar a compreensão dos estudantes

acerca do conceito de controle na resolução de problemas matemáticos e do

modelo de controle da ação de resolver problemas matemáticos.

A finalidade da questão 5 consistiu em permitir que os participantes da

pesquisa aplicassem a orientação da ação de controle da resolução de

problemas matemáticos em uma situação-problema.

7 A prova pedagógica aplicada para realização do diagnóstico inicial consta no Apêndice 1 do presente trabalho.

108

Na questão 1, foi solicitado aos licenciandos explicitar uma definição do

que é resolver problemas matemáticos. Apresentamos no Quadro 23 o modelo

do objeto planejado pelo professor:

Quadro 23- Modelo do objeto do EBOCA do professor.

MODELO DO OBJETO

Atividade de busca pela solução de uma contradição definida a partir do que é conhecido e desconhecido em uma situação-problema, por meio de conhecimentos matemáticos.


A partir da definição apresentada, buscamos, nas respostas dos

participantes, a ocorrência dos termos (em negrito) ou sinônimos, que pudessem

revelar um significado aproximado entre a compreensão dos estudantes e a

orientação do docente adotada como desejável. A partir dessa análise e

comparação, elaboramos o Quadro 24, que avalia as respostas segundo níveis

de correspondência correto (C) ou ausente (A), em função do modelo do objeto

da orientação do professor.

Quadro 24- Análise das respostas segundo modelo do objeto da orientação do professor.

PARTICIPANTE

DEFINIÇÃO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS PERCENTUAL

CORRETO POR ALUNO Atividade

Busca pela

solução Contradição

Conhecimentos matemáticos

P1 A C A A 25%

P2 A C A A 25%

P3 A C A C 50%

P4 A A A A 0%

P5 A A A A 0%

P6 A A A A 0%

P7 A C A A 25%

P8 A C A C 50%

PERCENTUAL CORRETO DA

TURMA 0% 62,5% 0% 25%


Verificamos que a maioria das respostas dos discentes (62,5%),

apresentaram a definição do que é resolver problemas matemáticos enquanto

109

um processo de busca pela solução, enquanto que 25% mencionaram o uso de

conhecimentos matemáticos durante esse processo. Por outro lado, nenhuma

das respostas explicitou a atividade ou a contradição entre aquilo que o aluno

sabe (conhecido) e o que ele não sabe (desconhecido) como aspectos da

resolução de problemas.

No que se refere aos níveis de similaridade como o modelo do objeto

contido na orientação do professor, dois alunos atingiram 50%, três 25% e outros

três discentes apresentaram compreensões sobre o que é resolver problemas

matemáticos incompatíveis com a referência utilizada.

Esse resultado comunga com outros diagnósticos dos níveis de

desenvolvimento de diferentes habilidades gerais como: interpretar gráficos

(PEREIRA, 2013), modelar cientificamente (ANDRADE, 2017), explicar

propriedades físicas das substâncias e dos materiais (NÚÑEZ; RAMALHO,

2018), classificar (NÚÑEZ, 2018), escrever textos argumentativos em Química

(ARAÚJO, 2018), tomar decisões (NÚÑEZ; RAMALHO, 2019) e realizar uma

leitura crítica (FAÇANHA, 2019).

Em todos os casos, as BOA dos estudantes e, em particular, o modelo do

objeto dessas orientações concentraram-se nos menores níveis de

desenvolvimento dos objetos, em relação às orientações adotadas como

referência por cada uma das investigações mencionadas.

Empreendendo uma análise do conteúdo das respostas dadas pelos

estudantes, verificamos a prevalência de definições contendo redundâncias, o

que pode ser um indício de uma dificuldade dos estudantes para definir um

conceito sem recorrer a uma retórica tautológica.

Além disso, as respostas revelaram duas perspectivas distintas entre os

estudantes acerca do que é resolver problemas matemáticos, são elas: a

resolução de problemas enquanto um processo de busca e a resolução de

problemas como um processo de utilização e/ou elaboração de métodos.

Na primeira categoria, as respostas destacam o processo de busca como

algo central para solucionar problemas, assim como mostram as respostas

presentes no Quadro 25:

110

Quadro 25 - Respostas que evidenciam a resolução de problemas enquanto processo de busca.

“É tentar encontrar a resposta e/ou resolução do problema colocado”. (Participante P1, grifo nosso).

“É estabelecer uma solução para o problema apresentado. Para isso ao sermos questionados, precisamos buscar os conhecimentos que já temos sobre o tema apresentado e traçar um plano para resolver o problema. Ao tentar resolver percebermos se já temos ou não as habilidades necessárias”. (Participante P2, grifo nosso).

“É uma situação na qual o aluno busca se utilizar de ferramentas matemáticas para encontrar uma solução de determinado problema”. (Participante P3, grifo nosso).

“É buscar possíveis soluções para um problema matemático, ou seja, tentar solucioná-lo de maneira que não fujam as regras da Matemática”. (Participante P7, grifo nosso).

“É buscar soluções de situações, é satisfazer a problemática apresentada através da matemática”. (Participante P8, grifo nosso).


Ao evidenciar o processo de busca, as respostas apresentadas

convergirem em ao menos uma das condições necessárias contidas no modelo

do objeto da orientação do professor. Além disso, há respostas que

apresentaram outras condições, como a busca por meio de conhecimentos

matemáticos (participantes P3, P7 e P8) ou ainda elementos que envolvem a

contradição entre o que é conhecido e o que é desconhecido (participante P2).

Em relação à segunda categoria, as respostas nela alocadas

evidenciaram o processo de utilização e/ou elaboração de métodos com intuito

de solucionar uma situação (Quadro 26):

Quadro 26 - Respostas que evidenciam a resolução de problemas como a elaboração e/ou utilização de métodos.

“Resolução de problema matemático nada mais é do que a utilização de métodos para chegar ao resultado do problema”. (Participante P4, grifo nosso).

“É um processo que engloba etapas que levam o resolvedor da elaboração de métodos para resolver o problema até a conclusão deste. Entre as etapas é preciso levantar hipóteses, testá-las, validá-las ou reformulá-las até que se chegue a conclusão do problema”. (Participante P5, grifo nosso).

“É utilizar métodos para chegar a uma conclusão do problema proposto”. (Participante P6, grifo nosso).

111


Verificamos que esse grupo de respostas não apresenta nenhuma

condição necessária (atividade, busca pela solução, uso de conhecimentos

matemáticos, contradição) proposta no modelo do objeto do EBOCA planejado

pelo professor.

De todo modo, a análise mostra que nenhum dos participantes evidenciou

a necessidade de motivação ou interesse do sujeito para a resolução de

problemas, em discordância com um requisito fundamental da atividade,

segundo preconiza Leontiev (1983).

A questão 2 indagou os estudantes acerca dos passos necessários para

se resolver um problema matemático. Antes de descrever e analisar os dados,

apresentamos no Quadro 27 o modelo da ação contido na orientação do

professor:

Quadro 27 - Modelo da ação do EBOCA de resolver problemas matemáticos do professor.

MODELO DA AÇÃO

Ação Operação

A1: Analisar a situação-problema


A2: Planejar uma estratégia para solução

do problema


A3: Executar a estratégia para

resolução do problema


A4: Avaliar a resolução do problema

O9: Verificar se a solução do problema está de acordo com o que é procurado

112


Notamos que o modelo da ação é constituído por quatro ações e 12

operações. Além disso, considerando os momentos funcionais da atividade, as

ações A1 e A2 correspondem ao momento de orientação, A3 ao momento de

execução e a A4 ao momento de controle.

Tendo em vista o modelo de ação do EBOCA do professor, apresentamos,

na Quadro 28, uma avaliação do modelo de ação das orientações dos discentes,

a partir das categorias correto (C) ou ausente (A):

Quadro 28 - Análise das respostas em função do modelo da ação da orientação do professor.

ALUNOS

A1 A2 A3 A4 PERCENTUAL DE

RESPOSTAS CORRETAS POR ALUNO

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 O11 O12

P1 A A C A A C C A C A C A 33,3%

P2 A A C A A C C A C A A A 33,3%

P3 A A C A A A C A A A A A 16,7%

P4 A A A A A A C A A A A A 8,3%

P5 A A C A A C C A C A A A 33,3%

P6 C C C C A A C A A A A A 41,7%

P7 A A C A A A C A C A A A 25%

P8 A A C A A C C A A A A A 25%

PERCENTUAL DE

RESPOSTAS CORRETAS DA TURMA

12,5 12,5 87,5 12,5 0 50 100 0 50 0 12,5 0


Verificamos que as operações de maiores recorrência foram: “O7:

Realizar a resolução do problema de acordo com o planejado” (100%) e “O3:

Definir o problema, a partir da contradição entre o conhecido e o desconhecido”

(87,5%). Esse fato sugere uma compreensão dos estudantes da necessidade de

O10: Caso a resposta esteja correta, refletir sobre os aspectos que favoreceram a esse resultado O11: Caso a resposta seja negativa, ou não tenha chegado a uma resposta, refletir e reformular caso seja necessário, o problema e/ou a estratégia de solução. Corrigir os erros. O12: Relacionar os resultados obtidos com conhecimentos anteriores e com novos conhecimentos.

113

haver previamente uma clareza sobre o que é solicitado no problema antes de

colocar em prática o processo de resolução.

Por outro lado, há quatro operações inseridas nos momentos de

orientação (O5: Determinar as condições para a solução do problema.),

execução (O8: Interpretar o resultado encontrado em função do que é

procurado.) e controle (O10: Caso a resposta esteja correta, refletir sobre os

aspectos que favoreceram a esse resultado; O12: Relacionar os resultados

obtidos com conhecimentos anteriores e com novos conhecimentos.), que não

foram citadas por nenhum dos respondentes, o que sugere que, interpretando a

compreensão dos discentes segundo a orientação do professor, em todos os

momentos da resolução de problemas matemáticos há ações constituídas por

sistemas de operações incompletos, o que torna a compreensão dessa

habilidade limitada.

Acrescentando o fato de que quatro operações só tiveram uma

recorrência (12,5%) e duas operações 50%, notamos um distanciamento na

compreensão do modelo da ação das BOAs de resolver problemas matemáticos

dos participantes da pesquisa com o EBOCA planejado pelo professor.

Outro aspecto importante foi de operações corretas, apresentado pelos

alunos. Enquanto a resposta de maior similaridade com a orientação do

professor teve 41,7% de operações corretas, três tiveram 33,3% e duas 25%.

Além disso, um participante atingiu 16,7% e um apenas 8,3%.

De modo similar outras investigações apontam, no diagnóstico da

habilidade geral estudada, um domínio incompleto do sistema de ações e

operações que constituem as bases orientadoras das ações (BOAs) desejadas.

Em Pereira (2013), o autor identifica que apenas cinco das quatorze

operações que constituem a orientação de interpretar gráficos planejada pelo

pesquisador, são explicitadas pelos participantes da pesquisa, enquanto que

seis operações estiveram presente nas BOAs dos discentes. Fato similar ocorre

nos trabalhos de Núñez e Ramalho (2018) e Façanha (2019), que mostram

ausência de respostas corretas em três e duas operações, respectivamente.

Apresentando uma análise das orientações dos discentes, segundo

dimensões da modelação científica, Andrade (2017) verifica que as respostas

mais recorrentes são inadequadas, “[...] mesmo sabendo que essas dimensões

114

fazem parte do conhecimento disciplinar do licenciando para ensinar modelagem

científica” (ANDRADE, 2017, p. 195).

Passando a analisar as respostas dos alunos adotando como referencial

os momentos funcionais da atividade, apresentamos no Quadro 29 as respostas

dos discentes em função dos momentos funcionais da atividade:

Quadro 29 - Modelo da ação de resolver problemas matemáticos das orientações dos alunos segundo os momentos da atividade humana.

ALUNOS

MOMENTOS DA ATIVIDADE HUMANA

Orientação Execução Controle

P1

- Detectar o problema central; - Identificar o que se deseja resolver; - Escolher os métodos (ou passo-a-passo) a seguir;

- Testar os métodos escolhidos; - Continuar a resolução a partir dos acertos.

- Refletir sobre eles (os métodos). - Verificar quais funcionaram ou não. - Excluir os que não funcionaram.

P2

- Reconhecer o que está sendo perguntado. - Fazer um levantamento dos conhecimentos que já temos. - Traçar uma estratégia utilizando esses conhecimentos.

- Executar a estratégia.

- Avaliar a resposta encontrada.

P3

- Interpretar o problema. - Diagnosticar o problema.

- Usar ferramentas necessárias. - Determinar a solução.

P4 - Conhecer os métodos/operações necessárias;

- Utiliza-los de forma correta.

P5

- Compreensão (entender o que o problema busca). - Escolher ferramentas e técnicas matemáticas.

- Levantar, testar e/ou reformular hipótese.

- Verificação e conclusão.

P6

- Analisar o problema.

- Usa os métodos para resolver o problema. - Trazer para a realidade.

P7 - Compreender o problema.

- Buscar soluções.

- Testar as soluções.

P8 - Entender o problema; - Buscar maneiras e métodos;

- Resolução;

Fonte: Elaborador pelo autor.

115

Convém destacar que as ações e operações apresentadas por cada

estudante em relação a sua compreensão do modelo da ação da BOA de

resolver problemas matemáticos não foram divididas de forma ordenada, mas

segundo o momento funcional da atividade que melhor se enquadravam.

De modo geral, é possível notar que 46,9% das ações das BOAs dos

alunos estão associadas ao momento de orientação, 34,4% ao momento de

execução e 18,7% ao controle. Além disso, 50% das orientações dos estudantes

se restringem aos momentos de orientação e execução da atividade, em

detrimento do controle.

Isso significa que os estudantes que externalizaram suas respectivas

orientações entendem que o processo de solução de problemas matemáticos é

concluído com o término da execução. Esse fato também foi discutido por Polya

(1995, p. 10), ao afirmar que:

Até mesmo alunos razoavelmente bons, uma vez chagados à solução do problema e escrita a demonstração, fecham os livros e passam a outro assunto. Assim fazendo, eles perdem uma fase importante e instrutiva do trabalho da resolução. Se fizerem um retrospecto da resolução completa, reconsiderando e reexaminando o resultado final e o caminho que levou até este, eles poderão consolidar o seu conhecimento e aperfeiçoar a sua capacidade de resolver problemas.

Em virtude dessa problemática, foi necessário empreender uma reflexão

a fim de que os participantes tomassem consciência da necessidade de uma

ação de controle ao final do processo de resolver problemas matemáticos.

O entendimento sobre o que é o controle na resolução de problemas

matemáticos foi o objeto da questão 3 da prova pedagógica. Mostramos no

Quadro 30 a definição adotada nesta investigação, elaborada à luz do arcabouço

teórico utilizado:

Quadro 30 - Definição de controle na resolução de problemas matemáticos adotada.

CONCEITO DE CONTROLE NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

É a verificação da qualidade da execução da resolução de problemas matemáticos e correção, quando necessária, segundo uma orientação determinada.

Fonte: Acervo do autor.

116

Tendo em vista que a definição apresenta dois subprocessos

fundamentais do controle (a verificação e a correção), verificamos se as

respostas dos discentes contemplam esses elementos. No Quadro 31

apresentamos os resultados da avaliação dos dados coletados em função da

definição de controle na resolução de problemas matemáticos adotada no

trabalho, categorizados como corretos (C) ou ausentes (A):

Quadro 31 - Análise das respostas em função da definição da ação de controle contida

na orientação do professor.

PARTICIPANTE

DEFINIÇÃO DE CONTROLE NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

PERCENTUAL RESPOSTAS

CORRETAS POR ALUNO

Verificação Correção

P1 A A 0

P2 A A 0

P3 A A 0

P4 A A 0

P5 A A 0

P6 A A 0

P7 A A 0

P8 A A 0

PERCENTUAL RESPOSTAS

CORRETAS DA TURMA

0 0


Como é possível observar no Quadro 31, nenhum dos discentes

apresenta uma resposta que se aproxima da definição de controle na resolução

de problemas matemáticos adotada na presente investigação.

Passando a se debruçar sobre as respostas dos participantes para melhor

entender como eles compreendem o conceito, podemos dividir as respostas em

três tipos: ações diversas como sinônimo de controle na resolução de problemas

matemáticos (50%), o controle enquanto uma ação metódica (25%) e respostas

tautológicas (25%).

No primeiro grupo de respostas (50%), os participantes definem o controle

na resolução de problemas matemáticos como sinônimos de ações diversas

como comandar, administrar, impor rigor, regular e direcionar; todas associadas

ao processo de solução de problemas.

Entre os discentes que compreendem o controle enquanto uma ação

metódica (25%), apresentamos, no Quadro 32, as respostas apresentadas:

117

Quadro 32 - O controle enquanto uma ação metódica.

“É agir de forma metódica e reflexiva, ou seja, delimitar métodos para a resolução do problema, testá-los seguindo as etapas escolhidas. Caso o método aproxime-se da resolução, seguir os próximos. Caso contrário, identificar o erro, e buscar um outro método. Acredito que essa é uma função do professor”. (Participante P1, grifo nosso). “Saber utilizar os métodos de resolução de problemas de uma forma sequencial para se obter os resultados corretos” (Participante P4, grifo nosso).


Podemos observar que o controle seria esse elemento balizador da

utilização de métodos de solução de problemas, norteando esse processo

visando a obtenção de resultados apropriados.

Convém destacar que, em uma das respostas, o participante P1 ainda

acrescenta uma qualidade, atribuindo ao controle um aspecto reflexivo, que

permite uma tomada de decisão em função da resposta obtida. Esse aspecto

também é evidenciado por González-Moreno (2017) como um dos indicadores

de modificações nas estratégias autorregulatórias empreendidas pelos

participantes de seu experimento formativo. Para a autora, ao possibilitar que o

indivíduo repense suas ações, a reflexão se coloca como importante

subprocesso, em particular, da ação de controle.

A questão quatro solicita quais eram as operações necessárias para o

controle na resolução de problemas matemáticos, a partir de uma transcrição do

modelo da ação da BOA já descrito pelos alunos.

Inicialmente apresentamos o modelo de controle do Esquema da Base

Orientadora Completa da Ação (EBOCA) planejado pelo professor.

Quadro 33 - Modelo de controle da orientação do professor.

Operação de controle

C1: O enunciado trata de uma situação-problema? C2: Reconheceu-se o conhecido? Reconheceu-se o desconhecido? C3: Definiu-se o problema, a partir do que é conhecido e desconhecido na situação-problema? C4: Foi criado um modelo do problema a ser resolvido?

C5: Analisou-se e determinou-se as condições nas quais se resolverá o problema? Quais são essas condições? C6: Por que a estratégia elaborada é apropriada para solução do problema, segundo as condições estabelecidas?

118


O modelo de controle é formado por 12 operações, que estão associadas

a cada uma das operações do modelo da ação do EBOCA do professor.

Considerando o modelo de controle da orientação do professor,

apresentamos, no Quadro 34, uma avaliação do modelo de controle (na qual as

operações de controle são descritas como C1, C2, C3, ..., C12) das orientações

dos discentes, a partir das categorias correto (C) ou ausente (A):

Quadro 34 - Análise das respostas em função do modelo de controle da orientação do professor.

ALUNO C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12

PERCENTUAL RESPOSTAS CORRETAS POR ALUNO

P1 A A A A A A A A A A A A 0








PERCENTUAL RESPOSTAS CORRETAS DA TURMA

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


Verificamos que nenhum dos participantes da pesquisa apresentou em

suas respostas à prova pedagógica uma compreensão adequada sobre as

ações e operações de controle na resolução de problemas matemáticos,

tomando como referencial o modelo de controle da orientação do professor.

Analisando as respostas dos discentes, apresentamos, no Quadro 35, o

modelo de controle presente na BOA de cada um desses participantes:

C7: A solução do problema se realiza segundo o planejado, considerando as condições e a representação do problema? C8: Chegou-se a uma solução do problema? Caso positivo, Analisou-se a resposta de modo a justificá-la como resposta ao problema?

C9: As operações anteriores estão adequadas ao que é procurado? C10: Quais aspectos favoreceram ao resultado? C11: O que é preciso corrigir para solucionar o problema? C12: Como os resultados obtidos se relacionam com elementos já conhecidos e com novos conhecimentos?

119

Quadro 35 - Modelo de controle das orientações iniciais dos alunos.

Aluno P1: 1- Ler o enunciado da questão. 2- Verificar o que se está pedindo. 3- Conhecer os métodos disponíveis para se conseguir resolver o problema. 4- De forma racional, testá-los, realizando as operações matemáticas. 5- Sempre observar os erros e acertos, para as próximas tomadas de decisões. 6- Eliminar as etapas que não permitiram o acerto. - OBS: Identificar se há algum “problema cognitivo” que impeça a resolução. Aluno P2: - Leitura atenta da situação que está sendo apresentada, identificando o que está sendo perguntado. - Mentalmente buscamos no nosso repertório cognitivo problemas semelhantes a esse e como o resolvemos. Quando não temos ou não lembramos tentamos buscar conhecimentos que estejam relacionados com o tema. - Nessa etapa se busca uma forma de se resolver o problema, o que pode ser um caminho já conhecido ou não. Aluno P3: - Ler o enunciado atentamente, dando total importância as informações apresentadas na questão. - Sabendo do que se trata o problema é importante ter ciência sobre quais as conexões entre a sentença e os saberes necessários para a solução. - Elaborar a resposta através da sua perícia com as ferramentas necessárias. - Finalizar a ação encontrando a determinação almejada.

Aluno P4: - Maturidade adquirida ao longo da vida escolar; - A partir da maturidade adquirida no ambiente escolar o aluno conseguirá resolver de forma correta. Aluno P5: 1. Leitura do problema. Identificação dos dados (ou variáveis) e condições. Reconhecer o comando. 2. Reconhecer proximidade do problema com algum conteúdo matemático. Identificar se esse conteúdo (técnica, etc.) atende ao que o problema pede. 3. Criar plano de partida com a técnica escolhida (2). Verificar se ela leva ao que o problema direciona. Se não, reformular o plano ou técnica. 4. Visualizar se o resultado obtido é pertinente ao que se procura. Se sim, conclui se. Se não, rever etapas (2) e (3). Aluno P6:

Fazer como que os alunos vejam os dados que o problema tem e com isso fazer eles raciocinarem qual é o melhor jeito de se trabalhar com o problema.

Observar como os alunos acharam as respostas dos problema.

Mostrar como esses problemas sena na vida dele. Aluno P7: 1) Realizar uma boa leitura, anotando os dados. 2) Identificar o problema e o que da Matemática que posso utilizar para solucioná-lo. 3) Compreender se realmente a solução encontrada faz parte do problema, ou se, não está se equivocando. Aluno P8: - Através da reflexão absorvendo o máximo de informações; - Perceber e associar os conteúdos estudados com o problema; - Tendo como base toda as estratégias, aplicá-las de forma prática no problema.

120


Observamos que a compreensão dos discentes acerca do modelo de

controle reduz esse componente da BOA inicial a um detalhamento do modelo

da ação.

Esse fato, associado ao resultado apresentado pelos discentes à resposta

sobre o conceito de controle na resolução de problemas matemáticos, indica que

os participantes da pesquisa não possuem uma compreensão adequada acerca

da ação de controle na resolução de problemas.

De modo semelhante, ao diagnosticar o modelo de controle da habilidade

de escrever textos argumentativos, Araújo (2018) também encontra um alto

percentual (69%) de operações de controle ausentes entre os discentes. Esses

resultados corroboram para o fato de que os licenciandos não evidenciam, em

suas respostas, que possuem consciência sobre as operações que compõem o

controle da ação que realizam.

Esse fato sugere ainda uma orientação com deficiências relativas ao

controle. A mesma problemática foi apontada por Rico (2002) e Rico e Silvester

(2002), que identificaram, em suas pesquisas, que uma orientação inadequada

pode levar a execuções prematuras e a ausência de ações de controle.

Como já mencionado, na última questão da prova pedagógica o enfoque

foi diagnosticar como os estudantes realizam ações de controle na solução de

uma situação-problema para que os discentes possam aplicar o processo de

solução e controle. Apresentamos na Figura 3 a situação-problema contida no

diagnóstico inicial:

121


Os resultados obtidos na resolução dessa questão: 75% dos alunos

responderam de forma incorreta ou deixaram em branco; enquanto 12,5%

obtiveram um resultado parcialmente correto e 12,5% correto.

Os erros cometidos pelos discentes foram diversos, tais como realizar a

soma ou o produto entre custo fixo e as duas variáveis (distância e volume) ou

colocar a razão entre as duas variáveis ao invés da média. O resultado do

processo de resolução considerados incorretos são apresentados na Figura 4 a

seguir:

Figura 4 - Soluções incorretas da situação-problema contida na prova pedagógica.


Figura 3- Situação-problema do diagnóstico inicial.

122

Os erros no processo de elaboração da regra que determina o valor do

frete em função do volume de mercadoria e da distância percorrida são de

diferentes ordens, mas convergem ao sinalizarem uma dificuldade na

interpretação do enunciado pelos participantes da pesquisa.

Os dados apresentados convergem com o relato dos participantes

descrito no diário dos alunos acerca das dificuldades que cada um enfrentou

durante essa etapa da Experiência Formativa, como mostram os insertos

destacados no Quadro 36:

Quadro 36- Descrição dos alunos acerca das dificuldades enfrentadas durante a solução da prova pedagógica.

Aluno P1: [...] Apesar de entender que as ‘etapas para resolver problemas’ e as ‘etapas de controle de resolução de problemas’ serem coisas diferentes, na hora de descrevê-las elas parecem se confundir, ou seja, serem iguais. Aluno P2: - Não conhecer a Teoria do controle da aprendizagem. - Tentar organizar as ações de controlar a resolução do problema passo a passo. [...] Aluno P4: A dificuldade mais pertinente durante a aula foi definir o conceito de controlar (regular) o processo de resolução de problemas matemáticos, pois é um termo ainda não conhecido, que gerou muitas dúvidas. Aluno P5: [...] A ideia de conceituar algo é interessante como é o caso da RP [resolução de problemas], por outro lado, a ideia de controle dentro dessa tendência nunca havia escutado sobre. Assim, a dificuldade se deu mais nesse sentido: de imaginar como esse conceito funciona a partir do meu entendimento. Formular as etapas de controle depois de tentar conceituar o que é controle pode não ter se encaixado bem, ainda assim, procurei manter a direção do que defini. Descrever as etapas à medida que respondia o problema, foi um tanto inusitado, porém interessante, mesmo que não tenha certeza se estava do modo correto. Embora houvessem essas dificuldades, o fato de todas as questões se basearem no que eu defini me deixou curioso sobre o real sentido de controle (regulação). Aluno P7: [...] Outra dificuldade foi identificar o controle para este tipo de resolução de problemas, pois não imaginaria que isso era necessário para tal resolução. Aluno P8: Por ser um termo novo, a dificuldade apresentada ficou no medo de minhas palavras não condizerem com o significado real do controle do problema matemático, dessa forma mostrando o receio com o novo, pra mim, na área de controle (regulação) de problemas matemáticos.


123

A maioria dos participantes da pesquisa (75%) teve dificuldades acerca

da compreensão do controle, sejam ligadas ao conceito em si ou ao modo de

colocá-lo em ação durante o processo de resolução de problemas matemáticos.

Reunindo os resultados obtidos no diagnóstico inicial da orientação

(modelo do objeto, modelo da ação e modelo de controle) dos alunos segundo o

percentual de elementos corretos, apresentamos o Quadro 37:

Quadro 37 - Percentual de adequação das orientações iniciais dos alunos em relação a

orientação referência.

PARTICIPANTE MODELO DO

OBJETO MODELO DA AÇÃO

MODELO DE CONTROLE

P1 25% 33,3% 0%

P2 25% 33,3% 0%

P3 50% 16,7% 0%

P4 0% 8,3% 0%

P5 0% 33,3% 0%

P6 0% 41,7% 0%

P7 25% 25% 0%

P8 50% 25% 0%


É possível notar que não há uma correlação entre a compreensão dos

estudantes sobre o que é resolver problemas matemáticos (modelo do objeto),

como resolver problemas matemáticos (modelo da ação) e sobre como controlar

o processo de resolução de problemas matemáticos (modelo de controle).

Em particular, nenhum dos alunos evidencia, no diagnóstico inicial, ter

consciência sobre a realização da ação controle na resolução de problemas

matemáticos. Esse fato endossa a afirmação de que a habilidade de controle na

resolução de problemas matemáticos dos alunos é pouco desenvolvida,

considerando o nível educacional que eles se situam.

Assim, o processo de diagnóstico inicial forneceu indícios da

compreensão dos estudantes acerca do processo de resolução de problemas

matemáticos, possibilitando que a Experiência Formativa possa ser realizada

segundo a Zona de Desenvolvimento Proximal da turma, assim como preconiza

Vygotsky (1995) e os demais autores do Enfoque Histórico-Cultural.

124

6.2 A motivação inicial da atividade de aprendizagem

Esse momento da Experiência Formativa é uma etapa preliminar à

execução do processo de aprendizagem fundamentado na Teoria de P. Ya.

Galperin e tem como objetivo estimular os discentes para que ocorra o

surgimento de motivos convergentes com os objetivos da atividade de

aprendizagem proposta.

A motivação inicial teve duração de 2h e foi subdividida em três

momentos: apresentação de uma situação-problema, explanação sobre o

controle na resolução de problemas matemáticos à luz da Teoria de P. Ya.

Galperin e uma discussão com a turma acerca da relevância dessa ação para a

atividade de aprendizagem.

A apresentação da situação-problema foi uma retomada com os discentes

da última questão da prova pedagógica, destacando a relevância desses tipos

de questões para a prática escolar.

A problematização sobre a ação de controle na resolução de problemas

matemáticos partiu das respostas dadas pelos discentes durante a prova

pedagógica, ressaltando as convergências e divergências entre os diferentes

entendimentos apresentados. Partindo do conhecimento prévio dos alunos, foi

apresentada a compreensão do conceito de controle adotado na presente tese.

Haja vista as diferentes matrizes teóricas presentes na literatura que

subsidiam a discussão do processo de formação de habilidades gerais como a

de controle e a relevância desse conhecimento profissional para os futuros

professores, passamos a expor aos participantes da pesquisa um panorama

geral da Teoria de Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos

enquanto um modelo de explicação do processo de internalização das ações

externas em ações mentais. De modo específico, foram discutidos aspectos da

Teoria de P. Ya. Galperin, bem como seus subsistemas constituintes: orientação,

etapas de formação e os indicadores qualitativos.

Todo esse primeiro momento de explanação teórica durante a etapa de

motivação inicial partiu do entendimento que a participação da Experiência

Formativa em consonância com um contato com os fundamentos teóricos

adotados, tornaria o processo de aprendizagem mais relevante para os

participantes, tanto enquanto aprendizes, quanto como futuros professores. Em

125

outras palavras, a proposta teve como enfoque fazer com que os motivos

principais dos estudantes em participarem voluntariamente da experiência de

aprendizagem fossem coincidentes com o objetivo que o Sistema Didático foi

proposto.

Ao final desse momento, os alunos foram inquiridos a descrever no diário

de campo sobre as dificuldades enfrentadas durante a aula e ainda se houve ou

não um favorecimento na motivação e interesse inicial pelo estudo do controle

na resolução de problemas matemáticos após participação nesse momento.

Em relação às dificuldades, os estudantes relataram percalços relativos

ao: entendimento inadequado de algumas partes da Teoria (44,5%), excesso de

informações (22,2%), relacionar conhecimento prévio ao novo conhecimento

apresentado (22,2%) e convencimento acerca da relevância do controle na

resolução de problemas (11,1%).

Os três primeiros elementos apresentados pelos discentes podem estar

relacionados ao tempo reduzido dedicado a exposição da Teoria e a discussão.

Considerando o desconhecimento dos discentes sobre a Teoria de P. Ya.

Galperin, uma apresentação mais apropriada do arcabouço teórico proposto pelo

autor demandaria apresentar ainda conceitos advindos de outras teorias que

compõem o enfoque histórico-cultural, sobretudo da Teoria da Atividade de A. N.

Leontiev e a Teoria Histórico-Cultural de L. S. Vygotsky.

Já a dificuldade de convencimento sobre a relevância do controle na

resolução de problemas assinalada por um dos participantes, pode ser um

indício de prevalência da compreensão que a resolução de problemas se encerra

ao encontrar a solução do problema, sendo portanto, a realização de um controle

contínuo e final desnecessário.

No que diz respeito ao modo como esse momento favoreceu na motivação

e no interesse em estudar sobre as ações de controle na resolução de problemas

matemáticos, 87,5% dos participantes relataram que houve favorecimento,

contra 12,5% que respondeu negativamente.

Dentre as respostas positivas, os relatos podem ser divididos entre os que

evidenciaram interesse em conhecer mais sobre a Teoria de Formação

Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos ou ainda sobre o controle, assim

como mostram algumas respostas do Quadro 38:

126

Quadro 38 - Favorecimento da motivação e no interesse após a etapa de motivação inicial.

Teoria de P. Ya. Galperin

“Sim, por ser uma teoria bastante interessante despertou, instigou a minha atenção por entender que é uma teoria aceita pela comunidade científica e motivou quanto a poder utilizá-la enquanto professor” (Participante P8). “Mudou do ponto de vista que estou mais curioso sobre como a teoria se aplica, na realidade, pois com a oportunidade de trabalhá-la poderei conhecer sua efetividade”. (Participante A5)

Compreensão do controle na resolução de


“Sim, no início achava que já fazia um "controle" sobre os procedimentos que realizava quanto mim deparava com um problema a ser resolvido, mas, hoje percebi que o controle além de um simples cuidado quando se está resolvendo um problema, percebi que existe uma relação muito próxima entre controlar o que está fazendo e aprimorar o que se faz através de um repensar as ações que se realiza (Participante A2)”. “Sim. Pois foi mostrado que com ela o risco do erro é diminuído, que facilitam no entendimento (Participante A6)”.


É possível observar que o momento de explanação parece ter contribuído,

em particular, para aguçar a curiosidade dos estudantes acerca da Teoria de

Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos, desconhecida, até

então, por todos os participantes. Esse fato pode ter contribuído para

desencadear, conforme relato dos alunos, um favorecimento nas motivações e

interesses para participação na Experiência Formativa.

Além do mais, os discentes apontam que essa etapa contribuiu para que

os alunos pudessem melhor entender o que é e algumas das contribuições da

ação de controle na resolução de problemas matemáticos.

Acerca do discente (Participante P7) que apontou que não houve

mudança em sua motivação e interesse após a etapa, afirma que: “Não mudou,

pois ao começar a disciplina tinha o intuito de compreender algo novo sobre a

resolução de problema. E com a apresentação da teoria, é possível enxergar

que resolver problemas matemáticos, vai além do que buscar soluções”.

Mesmo o participante que afirma não ter havido favorecimento em sua

motivação e interesse após a etapa de motivação inicial, afirma que esta não

ocorreu por já haver uma expectativa de estudo da resolução de problemas

matemáticos por meio de uma abordagem nova. Nesse sentido, a Teoria de P.

127

Ya. Galperin e a ação de controle na resolução de problemas matemáticos sob

essa perspectiva, ao serem apresentadas, comungaram com o que era esperado

pelo discente.

Conforme relato dos participantes, embora tenham apontado dificuldades

na compreensão de pontos da Teoria de P. Ya. Galperin, a etapa de motivação

inicial foi relevante como um primeiro contato com a Teoria, visando servir para

apresentação de um panorama geral dessa fundamentação teórica.

Além disso, mesmo tendo havido entraves em relacionar suas

compreensões iniciais acerca do controle com a perspectiva adotada nesta tese,

o momento também ajudou a reforçar a relevância da ação de controle na

resolução de problemas matemáticos, fato desconhecido ou conhecido de forma

inapropriada por alguns participantes.

6.3 A reelaboração da orientação dos estudantes

O momento de reelaboração da orientação de resolver problemas

matemáticos da turma teve duração de quatro horas e ocorreu em dois dias (12

e 25 de setembro de 2019).

Dada a discrepância entre as orientações dos alunos diagnosticadas

anteriormente e a orientação adotada como referência planejada pelo professor,

o processo de favorecimento de uma reelaboração inicial da orientação dos

alunos, materializado no Esquema da Base Orientadora Completa da Ação

(EBOCA) da turma foi dividido em duas partes: uma primeira reelaboração da

orientação em duplas, após apresentação de alguns fundamentos teóricos para

subsidiar esse processo; e uma segunda reelaboração realizada em conjunto

com toda a turma. Em ambos os casos as negociações de sentidos e significados

tiveram a mediação do professor.

A primeira parte da reelaboração da orientação dos estudantes iniciou

com a retomada de alguns elementos teóricos, tais como: os momentos

funcionais da atividade, BOA, EBOCA, situação-problema e problema. Essa

explanação teve o intuito de permitir que os discentes se familiarizassem com os

fundamentos adotados na presente pesquisa e norteá-los durante a

reelaboração da orientação inicial. Logo a seguir, foram retomadas algumas

respostas da prova pedagógica respondida pelos discentes e realizada uma

128

primeira negociação de sentidos e significados entre as duplas sob mediação do

professor.

A discussão acerca do modelo do objeto partiu da perspectiva de

situação-problema e problema explanada durante a aula e das respostas dadas

pelos alunos sobre o que é resolver problemas matemáticos (questão 1 da prova

pedagógica).

A partir daí, foram negociados com a turma os seguintes elementos

considerados invariantes para a definição da ação: busca pela solução, uso de

conhecimentos matemáticos, contradição e atividade. Convém destacar que os

dois primeiros são oriundos das respostas dos alunos, enquanto que os dois

últimos foram negociados a partir da exposição teórica empreendida.

Após identificados, os quatro elementos foram escritos no quadro e as

duplas foram convidadas a redigir o modelo do objeto de suas orientações. O

resultado dessa primeira reelaboração do modelo do objeto é apresentado no

Quadro 39:

Quadro 39- Resposta acerca do modelo do objeto da orientação dos alunos reelaborada em duplas.


PARTICIPANTE MODELO DO OBJETO

P1 Atividade individual que tem como objetivo chegar a solução de um problema; esta atividade necessita dos conhecimentos matemáticos do indivíduo

P2 Atividade individual que tem como objetivo chegar a solução de um determinado problema. Esta atividade precisa de conhecimentos matemáticos do indivíduo para realização de tal atividade.

P3 É buscar possíveis soluções para um problema matemático onde se utilizar ferramentas matemáticas e o conhecimento sobre determinado problema de forma que o indivíduo

P4 Atividade individual que tem como objetivo chegar a solução de um problema; esta atividade necessita dos conhecimentos matemáticos do indivíduo

P5 Um processo subjetivo que tem como propósito chegar a solução de um problema; tal processo leva em consideração os conhecimentos matemáticos que o resolvedor possui.

P6 Buscar meios para resolver problemas matemáticos

P7

É buscar possíveis soluções para um problema matemático, em que é necessário a utilização de ferramentas matemáticas, como também o conhecimento prévio do resolverdor sobre tais ferramentas, na busca de solucionar o desconhecido.

P8 Um processo subjetivo que tem como propósito chegar a solução de um problema; tal processo leva em consideração os conhecimentos matemáticos que o resolvedor possui.

129

De modo complementar, apresentamos a avaliação de cada uma das

respostas dos participantes da pesquisa segundo as categorias correto (C) ou

ausente (A), tendo como referência a orientação do professor:

Quadro 40 - Percentual de correspondência da orientação dos alunos reelaboradas em

duplas em relação a orientação do professor.

PARTICIPANTE

DEFINIÇÃO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS PERCENTUAL

CORRETO POR ALUNO Atividade

Busca pela

solução Contradição

Conhecimentos matemáticos

P1 C C A C 75%

P2 C C A C 75%

P3 A C A C 50%

P4 C C A C 75%

P5 A C A C 50%

P6 A C A A 25%

P7 A C C C 75%

P8 A C A C 50%

PERCENTUAL CORRETO DA

TURMA 37,5% 100% 12,5% 87,5%


Verificamos nas respostas, alguns dos elementos do modelo do objeto

com maior recorrência em detrimento de outros. Termos relacionados à “busca

pela solução” constou em todas as respostas (100%), o “conhecimento

matemático” foi encontrado em 87,5% das respostas, enquanto que a “atividade”

em 37,5%. Por outro lado, apenas 12,5% destacaram termos relacionados a

“contradição”. Em geral, as respostas evidenciam apenas a necessidade de

considerar aquilo que é conhecido pelo sujeito que resolve o problema, em

detrimento daquilo que ele desconhece.

Se comparado com os resultados obtidos no diagnóstico inicial, houve um

aumento (de 0% para 37,5%; de 62,5% para 100%; de 0% para 12,5% e de 25%

para 87,5%) na externalização dos elementos principais (atividade, busca pela

solução, contradição e conhecimentos matemáticos) que compõem a definição

do que é resolver problemas matemáticos, segundo a orientação adotada como

referência.

Além disso, observamos que, embora tenham realizado a atividade em

duplas e haja algumas similaridades, há diferenças na redação das respostas.

130

Isso indica que mesmo trabalhando juntos, cada um preferiu dar seu próprio

sentido ao que é resolver problemas matemáticos.

Acerca do modelo da ação, foram apresentadas as respostas dos alunos

relativa aos passos necessários para se resolver um problema matemático

(questão 2 da prova pedagógica), subdivididas em função dos momentos

funcionais da atividade (orientação, execução e controle).

A partir de uma discussão empreendida durante a aula, participantes e

docente chegaram a quatro ações gerais que compuseram a orientação da

turma: analisar, planejar, executar e avaliar. Para finalizar, cada dupla passou a

elaborar o modelo da ação de suas respectivas orientações.

Vale destacar que em virtude do encerramento da primeira aula dedicada

à reelaboração da orientação dos alunos, ficou para a aula seguinte o

detalhamento das ações e operações componentes do modelo da ação da

turma. No Quadro 41 são apresentadas as respostas dos discentes:

Quadro 41 - Respostas relativas ao modelo da ação da orientação dos alunos reelaborada em duplas.

PARTICIPANTE MODELO DA AÇÃO

P1

- Analisar - Planejar - Executar - Avaliar

P2


P3

- Analisar - Interpretar - Buscar estratégias - Utilizar as ferramentas matemáticas necessárias - Finalizar a operação determinando a solução - O problema está resolvido corretamente?

P4


P5


P6

Analisar - Leu as questão; - Olhou os dados Métodos - Verifica se é válido Avaliar - Qual o resultado

131

P7

- Analisar o problema, realizando uma leitura interpretativa na busca de entender o problema. - Reconhecer e Classificar os dados, anotando-os separadamente. - Identificar a operação matemática adequada para resolução do problema. - Testar os resultados obtidos - Reformular a solução final

P8



Podemos ver que cinco participantes transcreveram as ações negociados

em sala de aula em seus modelos da ação (62,5%), enquanto que os outros dois

(37,5%), apresentaram outras ações e operações, que não necessariamente

incluiam todos esses verbos. Em relação a estes últimos alunos, é possível que

não tenham entendido as instruções para a tarefa dadas pelo professor ou

tenham considerado que as instruções não eram compatíveis com o que

entendiam ser adequado.

Apresentamos ainda uma análise das ações e operações descritas pelos

alunos no modelo da ação, após a primeira reelaboração realizada em duplas.

Cada uma das respostas foi classificada segundo as categorias correto (C),

parcialmente correto (PC) ou ausente (A):

Quadro 42 - Percentual de correspondência da orientação dos alunos reelaboradas em duplas em relação a orientação do professor.

ALUNOS

A1 A2 A3 A4 PERCENTUAL DE

RESPOSTAS CORRETAS POR ALUNO

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 O11 O12

P1 PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC 50


P3 PC PC PC PC A C C A A A A A 33,3



P6 C PC PC PC A A A A PC PC PC PC 37,5

P7 C C PC PC A C A A C A C A 50


PERCENTUAL DE

RESPOSTAS CORRETAS DA TURMA

41,7 41,7 50 50 20,8 41,7 29,2 20,8 25 25 25 25


132

Comparando com os resultados obtidos no diagnóstico inicial, verificamos

que os modelos da ação da maioria dos discentes (62,5%), mesmo que

constituídos por ações generalizadas, agora contemplam os momentos de

orientação, execução e controle da atividade. Por outro lado, há, entre as demais

respostas, tanto a justaposição de ações similares, como a apresentação de

sistemas de ações incompletos.

Especificamente, sete participantes tiveram a primeira reelaboração do

modelo da ação de suas orientações favorecidas por esse momento da

Experiência Formativa. Apenas o participante P6 teve um retrocesso na

reelaboração da orientação, tendo seu percentual de respostas corretas

inicialmente em 41,7% reduzido a 37,5%. Esse fato retoma a possibilidade de

ter havido uma incompreensão da proposta pelo estudante.

No que diz respeito ao modelo de controle, tendo em vista que o

diagnóstico inicial verificou uma total incompatibilidade entre as respostas dos

alunos e a orientação desejada (Quadro 41 e 42), a estratégia usada para auxiliar

os estudantes foi construir, a título de ilustração, o modelo do controle de uma

Base Orientadora da Ação de uma habilidade comum e mais simples: a

habilidade de dirigir um carro.

Já levando o modelo do objeto e o modelo da ação da BOA de dirigir um

carro, o professor empreendeu uma discussão com a turma para que os

discentes construíssem coletivamente o modelo de controle da referida

habilidade. Finalizada essa discussão, os alunos foram orientados a elaborar o

modelo de controle do EBOCA da habilidade de resolver problemas

matemáticos. As respostas são apresentadas no Quadro 43:

Quadro 43 - Respostas relativas ao modelo de controle da orientação dos alunos reelaboradas em duplas.

PARTICIPANTE MODELO DE CONTROLE

P1

- Você leu o problema? - Você compreendeu o que o problema pede? - Preparou estratégias para resolver o problema? - Efetuou as estratégias planejadas anteriormente? - A resposta está correta?

P2

- Você leu o problema? - Você entendeu, compreendeu o que o problema pede que você responda? - Você preparou um plano de estratégias para resolver o problema? - Você executou o seu plano de estratégias elaborado anteriormente para a resolução do problema?

133


Notamos que todos os modelos de controle apresentados (100%) eram

compostos por indagações, conforme orientação do professor. Há, nesse

sentido, uma mudança na forma como as ações de controle foram estruturadas

pelos discentes após esse momento formativo, que deixaram de ser, conforme

explicitado no diagnóstico inicial, um mero detalhamento do modelo da ação.

Todavia, é possível observar que, nem todas as ações/operações de

controle apresentadas possuíam ações/operações correspondentes no modelo

da ação dos EBOCAs dos alunos, o que sugere que ainda não há uma clareza

entre esses discentes acerca da relação intrínseca entre ação e controle, o que

contradiz a interdependência entre o modelo da ação e o modelo de controle no

contexto da Teoria da Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos

(GALPERIN, 1989c).

- A resposta que você encontrou é coerente com o problema perguntado? - A resposta está correta?

P3

- Esse problema pode ser resolvido apenas usando as variáveis explícitas? - Você sabe como utilizar essas variáveis - Quais são os meios que eu posso resolver esse problema? Qual o melhor para mim? - Sabe utilizar as ferramentas necessárias? O problema está resolvido corretamente? Se não Qual foi seu erro? Se sim. Teria melhorar a resolução do problema?

P4

- Você leu o problema? - Você compreendeu o que o problema pede? - Preparou estratégias para resolver o problema? - Efetuou as estratégias planejadas anteriormente? - A resposta está correta?

P5

1) Leu o problema? Identificou os dados? Entendeu o que o problema pediu? 2) Que habilidade matemática vai usar? Essa habilidade funciona? 3) Você usou a habilidade de acordo com os dados? 4) Obteve um resultado coerente?

P6

- Entendeu o que pede? - Retirou os dados da questão? - É válido? - Qual usou? - Chegou ao resultado? - É o esperado?

P7

- Você fez a leitura do problema? Entendeu o que foi dito? - Já sabe o que você deve procurar? - Anotou as informações importantes? - Já sabe que tipo de operação matemática vai utilizar? - Verificou se está correto?

P8

- Você entendeu o que a questão quis? - Você conhece maneiras ou técnicas para resolver a questão? - Usou seus conhecimentos de acordo com a questão? - Tem certeza do resultado?

134

A fim de complementar a discussão, apresentamos ainda o Quadro 44

que analisa as respostas de cada participante em função da orientação de

referência proposta pelo professor e segundo as categorias correto (C),

parcialmente correto (PC) e ausente (A).

Quadro 44 - Percentual de correspondência da orientação dos alunos reelaboradas em duplas em relação a orientação do professor.

ALUNO C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12

PERCENTUAL RESPOSTAS CORRETAS POR ALUNO

P1 PC C A A A C C A PC PC PC PC 45,8


P3 A A PC A A C A C A C C A 37,5


P5 PC PC PC A A C C A C C A A 45,8

P6 A PC A A A A A C A A A A 12,5

P7 PC PC C A A PC A A C A A A 29,2

P8 A PC A A A C A C C A A A 29,2

PERCENTUAL RESPOSTAS CORRETAS DA TURMA

31,2 50 25 0 0 81,2 50 37,5 56,2 43,7 31,2 18,7


Tendo em vista que durante o diagnóstico inicial do modelo de controle

das orientações dos alunos, se avaliadas segundo a orientação de referência

elaborada pelo professor, não se apresentou nenhuma operação correta;

verificamos que houve um favorecimento desse momento da Experiência

Formativa para a reelaboração da ação de controle na resolução de problemas

matemáticos.

Em síntese, apresentamos o percentual de convergência das orientações

dos alunos com a orientação de referência elaborada pelo professor para os

modelos do objeto, modelo da ação e modelo de controle (Quadro 45):

Quadro 45 - Percentual de adequação das orientações iniciais dos alunos em relação a orientação do professor.

PARTICIPANTE MODELO DO

OBJETO MODELO DA AÇÃO

MODELO DE CONTROLE

P1 75% 50% 45,8%

P2 75% 50% 45,8%

P3 50% 33,3% 37,5%

P4 75% 50% 45,8%

135

P5 50% 50% 45,8%

P6 25% 37,5% 12,5%

P7 75% 50% 29,2%

P8 50% 50 % 29,2%


É possível notar que o modelo do objeto é o elemento da orientação dos

alunos que mais se aproxima da orientação referência elaborada pelo professor,

seguido do modelo da ação e do modelo de controle.

Comparando a orientação dos estudantes para a ação de controle da

resolução de problemas matemáticos caracterizada no diagnóstico inicial com a

observação após a reelaboração em duplas, apresentamos o Gráfico 1 que

ilustra o desenvolvimento das respostas dos alunos acerca do modelo do objeto.


Observamos que seis dos discentes apresentaram melhorias em relação

ao entendimento do que é resolver problemas matemáticos (modelo do objeto),

enquanto dois mantiveram o mesmo percentual de correspondência com a

orientação referência demonstrado no diagnóstico inicial. Passando a apresentar

o comparativo do modelo da ação, apresentamos o Gráfico 2:

Gráfico 1- Comparativo do modelo do objeto do diagnóstico inicial e o reelaborado em duplas.

136


No que se refere ao modelo da ação de resolver problemas matemáticos,

a maioria dos participantes da pesquisa (sete alunos) demonstraram alterações

em suas respostas, tornando-as mais convergentes com a orientação do

professor. Passando a mostrar o comparativo realizado com o modelo de

controle, apresentamos o Gráfico 3:

Gráfico 2 - Comparativo do modelo da ação do diagnóstico inicial e o reelaborado em duplas.

137


Considerando que no diagnóstico inicial os alunos demonstraram não ter

consciência da ação de controle da resolução de problemas matemáticos

consonante com a orientação do professor, verificamos no Gráfico 3 que essa

primeira parte já conseguiu favorecer a reelaboração das orientações dos alunos

e aproximando-a da orientação desejada.

Na segunda aula reservada para o momento de reelaboração da

orientação dos alunos para construção do Esquema da Base Orientadora

Completa da Ação da turma, foram retomados os tópicos da aula anterior, mas

agora focados no trabalho conjunto entre todos os participantes com a orientação

do professor. Nesse momento, a negociação de sentidos e significados para

reelaboração da orientação dos discentes culminou na aproximação dessa com

a orientação planejada pelo professor (Quadro 20)8.

Refletindo sobre suas vivências nesse momento da Experiência

Formativa, os discentes descrevem no diário dos alunos o que aprenderam e as

dificuldades que tiveram.

8 Considerando que o processo de negociação de sentidos e significados entre a turma e o professor culminou na construção do EBOCA dos alunos, esse esquema passa a coincidir com o EBOCA do professor, contido no Quadro 20.

Gráfico 3 - Comparativo do modelo de controle do diagnóstico inicial e o reelaborado em duplas.

138

Em relação a descrição do que foi aprendido durante as aulas, os

discentes sublimam as mudanças no entendimento acerca da orientação para

resolver problemas e das ações de controle (Quadro 46).

Quadro 46 - Trecho do diário dos participantes P3 e P5 em que descrevem o que aprenderam durante o momento de reelaboração da orientação.


É possível notar o destaque dado pelo participante P3 à sua percepção

sobre a relevância da atividade orientadora para a ação. Enquanto isso, embora

descreva o mesmo processo, o participante P5 evidencia a negociação dos

sentidos pessoais dos discentes como forma de unificação e aproximação dos

significados subjacentes a orientação desejada proposta pelo professor.

Acerca das dificuldades durante esse momento, houve uma dispersão

entre as respostas dos participantes da pesquisa, dos quais 20% focaram em

processos gerais ligados a elaboração dos modelos (generalizar atitudes ou

diferenciar processos parecidos), enquanto as demais evidenciaram dificuldades

na construção do EBOCA ou um dos modelos segundo os seguintes percentuais:

30% modelo de controle, 20% modelo da ação, 20% EBOCA e 10% modelo do

objeto.

O momento que visou favorecer na reelaboração da orientação dos

alunos para resolver problemas matemáticos esquematizada no EBOCA é

preponderante para as etapas seguintes, visto que a dinâmica pela qual as

atividades foram propostas é que vai influenciar na qualidade da ação.

Participante P3 “Aprendi a como estruturar as etapas de modelo do objeto, modelo da ação e o modelo de controle, percebendo a delicadeza que há na ação pré-resolução e durante a realização de problemas, detalhes que tornam a resolução mais completa e efetiva”. Participante P5 “Hoje começamos a elaboração do EBOCA. Revimos alguns conceitos da aula anterior para poder dar seguimento à proposta. Revisitamos a prova pedagógica para repensar as respostas que tínhamos colocado na tentativa de unificar as ideias. Dessa maneira, discutimos uma forma de conciliar as respostas encontradas dos outros participantes e confrontar com as minhas, reconhecendo o que estes pensaram em cada etapa da resolução de problemas”.

139

No que concerne à ação de controle na resolução de problemas, em

particular, os dados analisados sugeriram um favorecimento da Experiência

Formativa para a reelaboração da orientação dos alunos, o que implicou em

aproximação da orientação materializada pelos alunos com a orientação

referência construída pelo professor. Ampliamos esse cenário para compreender

como essa orientação aplicou-se no contexto da solução das situações-

problema propostas nas tarefas na próxima subseção.

6.4 O controle na solução das tarefas9

Esse momento da Experiência Formativa teve duração de 8 horas e

ocorreu em quatro encontros, de 2 horas cada, entre os dias 26 de abril de 2019

e 09 de maio de 2019. Foi composto por seis tarefas (numeradas de 1 a 6), sendo

duas contendo situações-problema de solução única, duas sem solução e duas

com múltiplas soluções. Em todos os casos, as tarefas foram realizadas com o

apoio do EBOCA dos alunos e resolvidas em duplas, de maneira alternada,

sendo que enquanto um dos membros resolvia o outro realizava o controle.

Passaremos a discutir o processo de solução das tarefas, evidenciando

os erros e acertos dos discentes e as ações de controle na resolução de

problemas matemáticos.

Para uma melhor organização do tópico, ele será subdividido em quatro

partes, sendo a primeira (6.4.1) e a terceira (6.4.3) focadas em discutir a solução

das tarefas, enquanto que a segunda (6.4.2) e quarta (6.4.4) direcionadas a

discutir como os discentes realizaram o controle na resolução das situações-

problema.

6.4.1 Análise das soluções dos discentes para as tarefas 1, 2 e 3

A primeira situação-problema (T1) tinha única solução e tratou de um

problema de análise entre duas possibilidades de transporte para um grupo de

amigos e solicitava para tomada de decisão sobre qual opção era mais vantajosa

financeiramente. A questão tinha o seguinte enunciado:

9 As tarefas utilizadas na presente Experiência Formativa estão detalhadas nos Apêndices 3 (Tarefa 1, 2 e 3) e 4 (Tarefas 4, 5 e 6).

140

Tarefa 1: Um grupo de amigos pretende fazer uma viagem de férias para um local

que fica a 524 km de onde moram. Contudo, eles ainda não decidiram se o percurso

será realizado de carro próprio ou ônibus. A primeira opção seria um carro que

transporta 5 ocupantes, com um consumo médio de 12 km/l e a gasolina custando R$

4,59. A segunda opção seria ir de ônibus, cuja a passagem custa R$ 96,00 por trecho

(ida ou volta). Considerando apenas o custo total da viagem e que este será dividido

igualmente entre os todos os membros do grupo, em quais condições uma das opções

é mais vantajosa que a outra.

O desempenho das duplas na solução da Tarefa 1 (T1) foi: uma dupla

(25%) resolveu de forma parcialmente correta, enquanto que as outras três

(75%) resolveram de forma incorreta.

O resultado parcialmente correto foi encontrado pela dupla P4 (resolveu

a T1) e P1 (controlou o colega na solução da T1). A estratégia empregada pelos

discentes foi calcular o valor total a ser gasto por passageiro no ônibus e no carro

considerando, nesse último transporte, um número de cinco ocupantes. Após

calcular o resultado, a conclusão foi que a viagem seria mais vantajosa se fosse

realizada de carro.

Embora os procedimentos de resolução tenham sido apropriados, o

resultado não levou em consideração que a situação-problema não apresenta o

número de pessoas do grupo de amigos. Nesse caso, o correto seria analisar as

diferentes possibilidades para verificar o transporte mais vantajoso em função da

quantidade de viajantes.

Sobre as demais duplas que solucionaram a Tarefa 1 de forma incorreta,

todas cometeram o mesmo equívoco, que consistiu em considerar apenas a

distância entre as cidades como o trajeto total a ser percorrido. Um exemplo

dessa estratégia de resolução é apresentada na Figura 5:

141

Figura 5 - Solução da Tarefa 1 pelo participante P3.


Como é possível observar, a solução desenvolve uma estratégia que

poderia ter levado a uma resposta correta, mas parte de duas premissas

equivocadas: a distância total a ser percorrida e o número de passageiros.

Levantamos como hipótese para a causa desse erro a desatenção dos alunos

com os dados do problema, que estaria ligada à operação de reconhecer o que

é conhecido e o que é desconhecido, operação 2 contida no EBOCA da turma.

142

A Tarefa 2 (T2) apresenta uma situação-problema sem solução e indaga

sobre o número de dias necessários para que um indivíduo que pratica

caminhada perca uma determinada quantia de sua massa corpórea.

Apresentamos o enunciado da Tarefa:

Tarefa 2: “Seguindo a orientação de um especialista, Murilo aumenta, a cada dois

dias 10% da distância percorrida em suas caminhadas, mantendo o mesmo ritmo.

Estimando que ele gasta 240 kcal/hora e que 7 mil calorias equivalem a

aproximadamente 1 kg de gordura, se Murilo mantiver a alimentação regular, em

quantos dias perderá 5 kg?”

É possível observar que a situação-problema não possui solução por falta

de informações que leve o respondente a encontrar o tempo de caminhada do

sujeito.

Em relação ao desempenho dos estudantes na tarefa, 25% responderam

de forma correta, 25% de forma parcialmente correta e 25% de forma incorreta.

A dupla P6 e P8 desenvolveu a resolução de problemas seguindo e

registrando as operações do EBOCA da turma, mas, ao determinar as condições

para solução do problema (operação 5 do EBOCA) e se depararem com a

incompletude no rol de condições necessárias e suficientes, justificaram que a

situação-problema não tem resposta, como mostrado na Figura 6:

143



É possível ver que os discentes ainda elaboraram uma representação

para a distância percorrida em função dos dias, contudo, não utilizaram dessa

informação para chegar à conclusão da impossibilidade de solução para a

situação-problema.

De maneira similar à dupla anterior, os participantes P1 e P4 chegaram

ao resultado correto ao finalizar a representação do problema, mas justificam a

resposta de forma incorreta. Para melhor compreensão, apresentamos a

resolução completa da dupla na Figura 7:

144



Observamos que a justificativa para a impossibilidade para a solução do

problema utilizada pela dupla foi a ausência de informações sobre a distância

percorrida. Contudo, o dado essencial é o tempo que o sujeito se exercita

diariamente.

As duplas que responderam a Tarefa 2 incorretamente foram P8/P3 e

P7/P5. Em comum, todos chegaram à mesma resposta, partindo de uma

premissa que não foi dada no enunciado da situação-problema, como mostra

uma resolução proposta por uma das duplas, apresentada na Figura 8:

145



Percebemos dois equívocos na resolução proposta. Primeiro, considerar

a unidade de medida de massa quilocalorias (kcal) e calorias (cal) como

equivalentes. Além disso, considerar que o tempo de exercícios diários

corresponde à duração de um dia (24h). Nesse segundo caso, o erro pode

evidenciar que os alunos tentaram, diante da contradição provocada por falta de

condições para solucionar o problema, deduzir uma delas, transcendendo o que

era enunciado na Tarefa 2.

146

A respeito da Tarefa 3 (T3), a situação-problema proposta também não

possuia solução. Ela solicitava o faturamento de um estacionamento de motos e

carros, considerando as condições dadas. Contudo, haviam duas condições no

enunciado que eram contraditórias, o que inviabilizava a resolução do problema:

O enunciado da tarefa era:

Tarefa 3: Em um estacionamento de 60 vagas, cada vaga pode ser ocupada por 1

carro ou por 3 motos. Considerando que o preço cobrado por carro é de R$ 10,00 e

por moto R$ 5,00 e sabendo que em um dia de lotação máxima foram contabilizadas

300 rodas, qual o valor faturado pelo estacionamento?

É possível visualizar, dentre as condições da situação-problema, que o

número de rodas por vaga é de até quatro, independe se são carros ou motos.

Logo, o número máximo de rodas que podem ser contabilizadas no

estacionamento são 240, o que contradiz outra condição do problema que afirma

serem possíveis 300 rodas. Na Tarefa 3, apenas uma dupla (25%) resolveu

corretamente, enquanto que as demais (75%) apresentaram respostas

incorretas.

No âmbito da dupla que respondeu corretamente, a inconsistência entre

as condições foi percebida na operação de interpretação do resultado

encontrado em função do que é procurado (operação 8 do EBOCA da turma).

Destacamos, na Figura 9, a justificativa trazida pelos discentes P5 e P7:

147

Figura 9 - Trecho da solução da Tarefa 3 pelo participante P5.


Embora o participante tenha encontrado a contradição presente entre as

condições da questão, ele ainda levanta dúvida se a inconsistência seria em sua

resolução ou nos dados do problema. Por conta disso, apresenta uma

possibilidade de resultado (750,00, oriundo do produto entre 75 vagas e o valor

cobrado por vaga, 10 reais) para o caso de sua interpretação estar errada e que

tenha cometido um equívoco.

No que se refere aos erros cometidos pelos demais participantes na

resolução dos problemas, de maneira geral, estão associados, ou a modificação

de uma das condições para viabilizar a solução, ou a consideração de apenas

uma das condições, em detrimento de outra.

O participante P2 conseguiu identificar a contradição entre duas

condições da situação-problema, porém, prosseguiu a solução da Tarefa 3

ajustando uma dessas condições para chegar a uma solução. Um trecho da

operação que explica o fato relatado é apresentado na Figura 10.

148

Figura 10 - Trecho da solução da Tarefa 3 pelo participante P2.


Examinando a Figura 10 vemos que, apesar de explicar na operação

quatro (O4), a contradição entre o número de vagas do estacionamento

apresentado no problema (60 vagas) e número obtido a partir dos cálculos com

o número máximo de rodas (75 vagas), o aluno ajusta a condição do problema

e continua a resolução até chegar a um resultado (R$ 750,00).

A consideração de apenas uma das condições do problema em

detrimento da outra, foi o erro que levou os demais alunos que resolveram o

problema (P3 e P4) a um resultado incompatível com o gabarito da Tarefa 3. Em

nenhum dos dois casos os discentes demonstraram ter identificado a

149

contradição entre as condições dispostas no enunciado. Apresentamos na

Figura 11 resolução de um dos estudantes.



Um primeiro aspecto a considerar é que, o discente parte do número

máximo de rodas apresentado no enunciado do problema e, por meio de uma

regra de três simples, chega ao resultado. Além disso, o discente não organizou

sua solução segundo o sistema de ações e operações proposto pelo Esquema

da Base Orientadora Completa da Ação (EBOCA) elaborado pela turma.

Em relação ao participante P4, a Figura 12 traz como se deu sua solução

da tarefa.

150



Diferente de P3, a resolução da situação-problema apresentada pelo

participante P4 partiu do número de vagas do estacionamento dito no enunciado

da Tarefa 3, culminando em um erro similar.

151

Seja partindo do número de vagas do estacionamento ou do número de

rodas, a resolução de T3 desenvolvida pelos participantes P3 e P4 seguiram

caminhos similares, desconsiderando que todas as condições impostas pela

situação-problema deveriam ser satisfeitas. Esse fato evidencia uma

inobservância na operação de resolução do problema de acordo com o

planejado, operação sete do EBOCA da turma.

Uma possibilidade que pode ter ocasionado esse equívoco se deve ao

fato dos alunos terem tido pouco contato com situações-problema que

apresentem contradições internas em suas condições. Nesse caso, se todas as

condições estão consonantes, há questões em que é possível solucionar

corretamente partindo somente de uma de suas premissas.

6.4.2 Análise das ações de controle dos discentes durante as tarefas 1, 2 e 3

Passamos agora a discutir como se deu as ações de controle na resolução

de problemas matemáticos pelos participantes. Haja vista algumas

convergências entre as estratégias empregadas para descrição desse processo,

verificamos respostas dos seguintes tipos: descrição genérica das operações de

controle (DG) e descrição específicas das operações de controle (DE).

A categoria DG diz respeito aos tipos de respostas que se restringiram a

transcrever versões do modelo de controle de forma ampla, de modo que seria

possível encaixá-la em qualquer outra resposta. Por outro lado, a categoria DE

reúne as descrições que apresentaram maiores detalhamentos das ações de

controle na tarefa em tela. Nas Figuras 13 e 14 apresentamos respostas que

representam cada uma dessas categorias:

152



Figura 13 - Descrição da ação de controle na Tarefa 2 por P1, classificada como DG.

Figura 14- Descrição da ação de controle na Tarefa 2 por P5, classificada como DE.

153

De modo geral, aproximadamente 66,7% das respostas foram do tipo

descrições genéricas (DG), em contrapartida, 33,3% foram descrições

específicas (DE). É possível verificar que a diferença principal entre os exemplos

apresentados nas Figuras 13 e 14 diz respeito à riqueza de informações acerca

das ações de controle na resolução de problemas matemáticos dos

participantes.

6.4.3 Análise das soluções dos discentes para as tarefas 4, 5 e 6

Acerca da segunda parte para solução e controle de situações-problema,

foram apresentadas aos discentes as Tarefas 4, 5 e 6 (T4, T5 e T6), das quais

duas eram de múltiplas soluções (T4 e T6) e uma de única solução (T5). Além

disso, esse bloco de tarefas seguiu a mesma sistemática das anteriores, por

meio da alternância entre alunos que resolvem e que controlam o problema na

dupla.

A Tarefa 4 consistiu em uma situação-problema aberta que aborda uma

estratégia de economizar dinheiro com aumentos gradativos e requereu para

que o respondente elabore um plano possível e a quantidade total economizada

segundo esse plano. A seguir apresentamos o enunciado da Tarefa:

Tarefa 4: O “desafio de 52 semanas” é uma estratégia para se economizar dinheiro

durante 1 ano, a partir do aumento gradativo do valor poupado semanalmente.

Iniciando o desafio poupando uma determinada quantia, a cada semana, o valor

economizado corresponde ao mesmo valor da semana anterior acrescido em 1 real.

Considerando uma pessoa que ganha R$ 2.000,00 mensais e pode economizar

menos que 20% do seu salário, elabora um plano e mostre quanto essa pessoa

conseguiria juntar no fim do desafio.

Os resultados obtidos pelos discentes foram: 25% responderam de forma

correta, 25% de forma parcialmente correta e 50% de forma incorreta.

As duplas P2 e P1 foram as responsáveis por apresentar a solução correta

da situação-problema. A estratégia empregada por eles consistiu em definir o

valor a ser economizado na primeira semana e, a partir desse primeiro termo da

sequência, chegar ao último (52º). Há ainda uma verificação se a condição do

154

problema é satisfeita e só depois é apresentado o resultado. A resposta completa

consta na Figura 15:

Figura 15 - Resposta da Tarefa T4 pelo participante P2.

155


Vimos que o número 30, que corresponde ao primeiro termo da

sequência, foi apresentado sem nenhuma justificativa. Desse modo, ao que tudo

indica, o referido valor foi obtido via tentativa e erro. Além do mais, embora a

solução seja apresentada de maneira relativamente organizada, P2 não detalha

as operações em função da orientação dos alunos.

A resposta parcialmente correta foi dada pelo discente P6 e controle de

P4. O referido participante explicita o que é conhecido, desconhecido, procurado,

algumas condições e apresenta uma estratégia de solução, mas não a executa.

A resolução de P6 é apresentada na Figura 16:

156



É possível destacar na resposta, que é sugerida na operação 6, uma

estratégia semelhante à que a P2 resolveu o problema (adoção de um valor que

satisfaça as condições do problema e elaboração de uma tabela). Esse fato pode

indicar o contato do discente com outros participantes e/ou, dada a incompletude

157

da recomendação que descreveu, uma compreensão parcial da situação-

problema.

As respostas incorretas foram descritas pelas demais duplas (P8/P3 e

P5/P7). Embora tenham adotado caminhos diferentes, o erro cometido pelas

duplas foi similar: compreender o valor total economizado em cada mês como

constante e elaborar uma equação de 1º grau como a soma dos termos em

função do valor máximo mensal. Apresentamos uma das respostas na Figura 17:

158



Vemos que, o participante P7, após encontrar um valor “máximo” menor

que 400, entendeu que a contribuição total em cada mês era a mesma. Contudo,

159

isso contradiz a condição da Tarefa de que os valores economizados

semanalmente aumentam gradativamente segundo um valor fixo. Em outras

palavras, a sequência numérica formada pelos valores economizados em cada

semana constituem uma Progressão Aritmética.

No que se refere à Tarefa 5, a situação apresenta os procedimentos

usados para efetuar o cálculo do Imposto de Renda e, dada uma renda mensal

tributável, solicita que os respondentes determinem o percentual efetivo do

imposto pago. O enunciado da situação-problema era:

Tarefa 5: O Imposto de Renda (IR) é tributo cobrado sobre determinados rendimentos

de uma pessoa física ou jurídica. No Brasil, o valor a ser pago é cobrado dividindo o

ganho anual do contribuinte após deduções em diferentes faixas, que possuem

alíquotas progressivas, conforme mostra o quadro a seguir:

Sabendo que a base de cálculo mensal do salário (parte do salário que será cobrada

o IR) de Josiane sobre a qual incide o IR é de R$ 5.200,00, qual o percentual efetivo

aproximado de imposto pago?

Nessa tarefa, todas as duplas (100%) responderam a situação-problema

de forma incorreta. Foram observadas entre as respostas duas estratégias que

levaram os discentes a obterem resultados equivocados.

A estratégia utilizada pelo participante P1 consistiu em verificar, por meio

das alíquotas do Imposto de Renda (IR) e dos valores que as limitam, em qual

delas o imposto a ser pago equivale a R$ 5.200,00. Na Figura 18 segue a

resolução proposta:

160

Figura 18 - Resolução da Tarefa 5 pelo participante P1.


161

Vemos que um dos problemas da resolução consiste na interpretação

errada de uma das condições descritas no enunciado do problema, pois R$

5.200,00 não é o valor a ser pago de imposto, e sim a parcela do salário sobre a

qual o IR irá incidir. Partindo dessa condição equivocada, o participante verifica,

por tentativa e erro, que o referido valor está dentro dos limites de uma das

alíquotas (15%) e apresenta esta como resposta.

A segunda estratégia empregada foi observada nas respostas dos

participantes P3, P5 e P6 e consistiu em multiplicar a parcela do salário mensal

da personagem da situação-problema pelo número de meses do ano (12),

observar que o montante anual enquadra-se em uma das alíquotas e concluir

que esta é o resultado. Apresentamos a resposta de um dos discentes para

melhor explicar essa estratégia:

162

Figura 19 - Resposta da Tarefa 5 pelo participante P6.


163

Considerando que, a partir da obtenção do montante anual tributável da

personagem (R$ 62.400,00), o participante P5 observa que esse valor está

acima da base de cálculo anual da alíquota de 27,5% (R$ 55.976,16), portanto,

considera essa alíquota como a solução. Contudo, o enunciado da situação-

problema afirma que o cálculo do IR é realizado subdividindo o montante anual

nas diferentes faixas (e não apenas numa faixa única). Também nesse caso há,

subjacente ao erro, um problema na interpretação do enunciado da situação-

problema.

Outro aspecto a considerar na resolução proposta pelo participante P5 se

refere a operação 9, que possibilitou ao aluno uma verificação da solução e, ao

perceber que havia cometido um erro, tentar consertá-lo. Embora não tenha sido

suficiente para resolver o problema corretamente (em virtude de uma nova

interpretação equivocada do enunciado), esse fato evidencia que o controle final

possibilitou ao estudante repensar suas ações, em outras palavras, pensar de

forma reflexiva.

É apresentado na Tarefa 6 uma situação-problema de múltiplas soluções,

que requisita a obtenção de uma expressão algébrica que relacione o custo para

cercar um terreno em função de alguns materiais usados. Logo em seguida,

apresentamos a situação-problema em questão:

Tarefa 6: Um agricultor precisa determinar uma expressão algébrica que lhe permita

calcular o custo necessário para cercar suas terras em função dos principais materiais

utilizados. Em um de seus terrenos retangulares, que mede 120m por 90m ele poderá

utilizar: estacas finas (de 2 em 2 metros) ou estacas grossas (de 6 em 6 metros) e 4

voltas de arame. Elabore uma forma de cercar o terreno com os materiais

mencionados e determine uma expressão algébrica apropriada.

O desempenho dos alunos na Tarefa 6 foi: 25% responderam de forma

correta, enquanto que os demais (75%) responderam de forma incorreta.

O participante P2 apresentou uma possibilidade de solução correta para

a situação-problema contida na Tarefa 6. A resolução completa consta na Figura

20:

164



165

O estudante calcula, inicialmente, quantos metros equivalem a quatro

voltas no terreno. A seguir, obtém as quantidades de estacas finas ou grossas

necessárias para cercar o terreno dividindo o perímetro desse terreno pela

distância necessária para cada uma das estacas. Obtidos todos esses valores,

elabora duas expressões algébricas de duas variáveis cada, uma em função do

valor do arame (a) e das estacas finas (e) e outra em função do valor do arame

(a) e das estacas grossas (E).

Os demais participantes cometeram erros em suas soluções, sejam ao

considerar, durante a resolução, o valor da área, ao invés do perímetro, ou por

interpretar uma expressão algébrica incompatível.

O equívoco de considerar a área ao invés do perímetro foi verificado nas

resoluções dos participantes P4 e P8, sendo que o primeiro não apresenta uma

resposta para o problema (resolução foi dada até a determinação das condições

do problema, operação 6 da orientação dos alunos), enquanto que o segundo

chega a obter uma solução para a Tarefa. Apresentamos uma das tentativas de

solução dos participantes:

166



Observamos que o discente apresenta três soluções possíveis para a

tarefa, considerando, apenas separadamente, somente um dos tipos de estacas

(opção I e II), ou mesclando-as (opção III). Entretanto, ao considerar a área e

não o perímetro do terreno, apresenta expressões algébricas inapropriadas com

as condições da situação-problema.

167

A proposta de solução apresentada pelo participante P6, constituiu-se em

calcular, inicialmente, o perímetro do terreno e, a seguir, apresentar expressões

algébricas separadas para cada material. A resolução consta na Figura 22:

Figura 22- Resolução da Tarefa 6 pelo participante P6.


Observamos que, embora obtenha o valor correto do perímetro, as

expressões que determinam o número de estacas em função do perímetro (P)

estão erradas.

De maneira geral, o desempenho na resolução das seis Tarefas

evidenciaram dois tipos de dificuldades dos participantes da pesquisa:

dificuldades operacionais e dificuldades conceituais.

168

Nomeamos de dificuldades operacionais aquelas relacionadas aos

entraves dos participantes em algumas ações ou operações da Base

Orientadora da Ação para resolver problemas matemáticos. Um exemplo de erro

que traz esse tipo de dificuldade subjacente, foi o problema na determinação e

utilização das condições do problema encontrados por discentes na Tarefa 3.

Um dos aspectos que podem ter ocasionado as dificuldades operacionais

foi que as operações na orientação dos alunos ainda não estavam totalmente

automatizadas em suas respectivas orientações. Isso significa que algumas

operações nela contidas, na verdade, ainda eram ações a serem totalmente

formadas, e só assim, se tornasse operações. Esse fato evidencia uma limitação

da presente pesquisa durante a Experiência Formativa.

Assim, as dificuldades conceituais fazem alusão ao colocar em prática os

conhecimentos matemáticos exigidos para cada situação-problema. Um

exemplo de erro que evidencia essa dificuldade foi a confusão em calcular a área

ao invés do perímetro por alguns estudantes durante a solução da Tarefa 6.

Acerca das dificuldades conceituais, elas sugerem uma situação

preocupante, visto que as situações problema versavam apenas sobre

conteúdos no Ensino Fundamental e, mesmo assim, alguns participantes

demonstraram não conseguirem aplicar apropriadamente alguns conceitos

matemáticos básicos.

6.4.4 Análise das ações de controle dos discentes durante as tarefas 4, 5 e 6

Em relação ao controle na resolução de problemas matemáticos

empreendidas pelos discentes nesse segundo bloco de tarefas (T4, T5 e T6), os

resultados obtidos foram 33,3% das respostas como descrições gerais (DG),

enquanto que as descrições específicas (DE), foram de 66,7%. Se comparados

os resultados discutidos no tópico 6.4.1, notamos que houve um aumento (de

33,3% para 66,7%) nas descrições mais detalhadas acerca de como ocorreu a

ação de controle durante a solução das tarefas.

Esse fato sugere uma melhoria no grau de detalhamento da ação de

controle na resolução de problemas matemáticos, considerado como um dos

indicadores qualitativos primários da formação de uma ação mental segundo a

Teoria de P. Ya. Galperin (TALIZINA, 1988; NÚÑEZ, 2009). Embora não tenha

169

sido nosso enfoque a formação da ação mental, o resultado evidencia que,

mesmo nas primeiras etapas de reelaboração da orientação dos alunos, já inicia-

se o desenvolvimento de algumas características da ação pelo aprendiz.

Passando a descrever e discutir se houve um favorecimento desse

momento da Experiência Formativa para a reelaboração da orientação dos

discentes acerca da ação de controle na resolução de problemas matemáticos,

consultamos o diário dos estudantes nas primeiras tarefas (Tarefas 1, 2 e 3) em

relação as últimas (Tarefas 4, 5 e 6).

De maneira geral, verificamos que 62,5% dos participantes evidenciaram

em suas anotações um favorecimento na reelaboração da orientação da ação

de controle na resolução de problemas, 25% das repostas foram inconclusivas,

enquanto que 12,5% relatam que não houve favorecimento.

Iniciamos a discussão apresentando as respostas dos discentes que

relataram que houve melhorias após a resolução das tarefas:

Quadro 47 - Trechos dos diários dos alunos que evidenciaram melhorias na ação de controle na resolução de problemas matemáticos.

PARTICIPANTE TAREFAS 1, 2 E 3 TAREFAS 4, 5 E 6

P1

Para o controle, utilizei o EBOCA, que ajudou bastante para a execução do entendimento e resolução do problema. A dificuldade que eu (e acredito que a colega) tivemos foi na hora de definir as condições, pois em algumas vezes ela se confundia com os dados/representação/planejamento de estratégias. Outra dificuldade deu-se porque em alguns momentos, pelo costume, parece que não precisávamos do EBOCA, daí errávamos e voltávamos a utilizá-lo. Acredito que o controle foi crucial para o desenvolvimento das questões, pois em uma muito simples queríamos complicar a resolução e com o controle foi verificado que não era necessário.

Na etapa do controle sempre usei o EBOCA para tentar seguir o passo a passo de forma correta e evitar possíveis erros. Sua ajuda foi bem precisa. Ao término da resolução, ainda verificávamos se realmente não esquecemos de alguma etapa. Ao fazer e ao receber o controle, a colaboração de ambos (parceiro e eu) foi bem precisa e colaborativa. Não houve nenhuma dificuldade quanto a esse processo. A utilização do EBOCA se fez importante na resolução das questões-problemas.

P3

É um pouco complicado você como controlador pois fica confuso distinguir com as ações do resolvedor, de fato a gente fica com vontade de tomar a ação do colega, o que torna difícil na ação de controlador.

Como controlador senti menos dificuldades do que a aula anterior, isso deve ao fato de está me adaptado ao EBOCA, contudo nesse processo que pra mim é novidade. De fato ajudei em algumas momentos e até clariei algumas ideias do resolvedor (em algumas etapas).

170

P5

Exercendo o controle, procurei detalhar o controle de forma escrita além de orientar a resolvedora ao longo das etapas. Ao mesmo tempo que controlava, buscar dar apoio ao raciocínio que ela estava construindo e à descrição que ela elaborava e repassava a mim.

No controle procurei colocar em evidência se o resolvedor fez determinada operação e, em alguns momentos, como procedia para realizá-la. Em relação ao bloco anterior de questões acho que não mudei a forma de realizar o controle, mas procurei auxiliar mais na resolução.

P6

Bem como já foi dito na resposta anterior as dificuldades em ajudar são bem parecidas, pois como não temos esse costume de detalhar bastante o que estamos fazendo, pois isso muitas vezes passamos sem fazer alguns passos.

Melhorou um pouco também pois já que a gente tinha feito na outra semana já tinha mais experiência, em relação a como agir nos passos do controle, diferentemente da semana passada.

P8

A resolução foi tranquila, conseguimos utilizar bem o EBOCA, em determinadas etapas não precisávamos seguir a risca como na operação de ler e depois representar, ou seja, podendo ser feitas ao mesmo tempo, eu enquanto controlador vi dificuldades em saber em qual etapa meu companheiro estava, mas vi que o processo de controle o ajudava e até o norteava para achar possíveis erros.

No controle, assim como na resolução notei que auxiliava bastante meu colega, notando que as perguntas realmente faziam com que ele refletisse na questão fincando de acordo com as primeiras tarefas, onde o meu colega refletiu e percebeu que estava indo por caminhos errados na resolução, dessa forma o EBOCA foi realmente utilizado e notei que auxiliou bastante, a escrita do EBOCA não atrapalhou em nenhum momento.


Verificamos, nas respostas contidas no Quadro 47, indícios explícitos e

implícitos acerca das melhorias observadas pelos participantes em suas ações

de controle na resolução de problemas matemáticos.

É possível notar, nas respostas dos participantes P1 e P8 das primeiras

tarefas, um conjunto de dificuldades para o controle na resolução de problemas.

Contudo, nos relatos correspondentes às últimas tarefas, não evidenciam

nenhuma dificuldade.

Na resposta dada pelo participante P5, pode ser notada uma contradição.

Embora ele afirme que não mudou a forma de controle na resolução do problema

pelo colega, afirma que passou a ajudá-lo mais. Nesse sentido, apesar de não

considerar que mudou, o participante indica que também teve uma melhoria em

sua ação de controlar.

171

Deixando explícitas as melhorias na ação de controle em suas falas, os

participantes P3 e P6 demonstraram que o trabalho em grupo com seus

companheiros de dupla possibilitou melhorias na verificação dos erros que

cometiam.

As respostas inconclusivas, foram encontradas nas falas dos participantes

P2 e P4. Apresentamos o Quadro 48 contendo os trechos dos diários dos dois

estudantes em questão:

Quadro 48 - Trechos dos diários dos alunos inconclusivos acerca das melhorias na ação de controle na resolução de problemas matemáticos.


P2

Ao controlar as ações do meu colega ficou claro que fazer uma resolução de problemas de forma que se detalhe todo o passo-a-passo das ações, e que deixar claro que não podemos deixar informações passarem despercebidas, deixou ele com um foco maior na leitura e nas informações, que o problema tem. A dificuldade foi não atrapalhar o pensamento do colega pois, no pensamento dele poderia ainda está organizando as ideias, depois percebi que ele resolvia por etapas e que só era viável fazer o controle quando isso acontecia.

Ao controlar as ações do colega, fica perceptível como nós no momento em que estamos resolvendo os problemas deixamos algumas etapas, partes passa despercebidos, mim ajudou a melhor pensar, em quais atitudes tomar na hora de resolver os meus problemas matemáticos.

P4

O controle no ato da resolução é de grande relevância, pois exista alguns erros no desenvolver das questões, controlar a colega foi uma ótima experiência. As dificuldades encontradas foi justamente a preocupação em está atrapalhando a colega, pois a todo momento está fazendo perguntas relacionadas ao controle.

Fiz o controle de duas questões. O controle é uma atividade muito importante se realizada no momento certo, pois muitas vezes meu colega estava resolvendo o problema e eu quando fazia as perguntas o atrapalhava.


É possível notar que, em ambos os casos, que são evidenciados nas

respostas dadas nas primeiras tarefas (Tarefa 1, 2 e 3) e nas últimas (Tarefas 4,

5 e 6), aspectos diferentes ligados as dificuldades (ou ausência delas) e às

contribuições do momento de solução das tarefas para a ação de controle. Por

172

conta disso, não é possível afirmar se houve ou não melhorias na orientação dos

alunos para a ação em tela.

Por fim, o participante P7 evidencia nas descrições contidas em seu diário

a mesma dificuldade, como mostra o Quadro 49:

Quadro 49 - Trechos dos diários dos alunos que não evidenciaram melhorias na ação de controle na resolução de problemas matemáticos.


P7

Ao controlar a resolução do problema realizado pelo meu colega, percebi que muitas vezes atrapalhava o seu raciocínio, e muitas vezes se tornava difícil acompanhá-lo, pois muitas ações já era intuitivas.

Ao realizar o controle, percebi que muitas vezes atrapalhava o meu colega, pois, as vezes, ele estava já em outra operação e eu o interrompia, fazendo com que lhe faltasse o raciocínio.


Notamos que, em ambas as respostas dadas ao final dos dois blocos de

tarefas, o participante relata sobre sua dificuldade em atrapalhar seu colega de

dupla por meio do controle. Nesse sentido, podemos afirmar, a partir da fala do

estudante, que este não evidencia em sua resposta mudanças em sua ação de

controle na resolução de problemas matemáticos.

Vale destacar que esse receio, que a ação de controlar atrapalhasse o

colega que estava resolvendo a situação-problema, foi o aspecto mais

evidenciado pelos discentes em suas respostas (62,5% dos participantes). Esse

fato, compactua com a falta de familiaridade dos discentes com a dinâmica das

atividades propostas pela Experiência Formativa. Apesar dessa ser a

dificuldade, 50% dos estudantes apontam o trabalho colaborativo entre as duplas

como uma das contribuições de maior recorrência.

Esses aspectos evidenciam que, embora não tivessem experiência em

trabalhar resolvendo e controlando a resolução de problemas de forma

colaborativa (e isso pode ter sido um dos fatores que ocasionou a dificuldade

relatada), os discentes perceberam essa dinâmica de trabalho como um aspecto

importante de melhoria em suas ações como consequência do que foi vivenciado

durante a Experiência Formativa.

Uma segunda contribuição, também evidenciada por 50% dos discentes

em suas respostas, foi a de que a ação de controle na resolução de problemas

173

matemático possibilitou uma melhoria no acompanhamento, a fim de evitar erros.

Esse aspecto apresentado pelos alunos converge com um dos subprocessos

inerentes ao controle, que consiste em possibilitar, por meio da verificação, a

correção de eventuais equívocos cometidos na atividade.

Finalizada a discussão acerca do momento de solução das Tarefas,

apresentamos no tópico seguinte os resultados da avaliação da Experiência

Formativa pelos participantes da pesquisa.

6.5 A avaliação da Experiência Formativa10

Reiterando o que já foi aludido, o momento de fechamento da Experiência

Formativa consistiu em sua avaliação pelos participantes da pesquisa, realizada

por meio de um questionário, a fim de que estes pudessem expressar suas

opiniões sobre o que foi vivenciado para suas formações profissionais.

A primeira questão, subdividida em três itens, deu enfoque a utilização da

orientação desejada, materializada no Esquema da Base Orientadora Completa

da Ação (EBOCA) pelos discentes.

O primeiro item indagou se os discentes consideraram o EBOCA

importante, no contexto da Experiência Formativa. De maneira geral, os alunos

foram unânimes em afirmar que sim.

Especificamente, as respostas puderam ser classificadas em duas

categorias, são elas: contribuições do EBOCA para a resolução de problemas

(50%); mudanças de postura dos discentes frente aos problemas (50%).

Em relação as contribuições do EBOCA para a resolução de problemas,

as respostas dos alunos estão apresentadas no Quadro 50:

Quadro 50 - Contribuições do EBOCA na perspectiva dos discentes.

CONTRIBUIÇÕES DO EBOCA

EXEMPLOS DE RESPOSTAS DOS DISCENTES

- Evitar o esquecimento de

etapas e informações; - Selecionar dados.

Sim. O EBOCA permitiu controlar as ações na resolução de problemas matemáticos. Esse controle, geralmente fazia mentalmente porém, ao materializá-lo foi possível evitar o esquecimento de algumas etapas e informações importantes, verificando-as e anotando-as, eliminando, ou não utilizando as que não eram tão importante para as questões, evitando assim, em

10 O questionário final utilizado para a avaliação da Experiência Formativa consta no Apêndice 5.

174

algumas situações, me confundir com as informações dadas no enunciado, desde o que se pedia (o que se procura) até as que não me interessavam. A construção "personalizada" do EBOCA foi muito importante (modelo da ação e controle da ação) (Participante P1).

- Análise das condições do

problema - Verificação

- Autocorreção

Relativamente sim; Digo isso, quando estivermos tratando de problemas um pouco mais complicados, necessariamente nessa situações o controle é importante, principalmente no que diz respeito as condições do problema e a verificação, uma vez que podemos nos auto-corrigir. (Participante P3)

Mitigar erros Sim, o EBOCA foi importante para a resolução de situações-problemas, pois com o auxílio do mesmo foi possível minimizar os erros durante o processo de resolução (Participante P4).

Conhecimento profissional do

professor

Foi de bastante importância pois com ele vimos a aprender coisas que seja importantes para nossa carreira. Com ela vai andar muito na hora de resolver problemas que aparecer (Participante P6).


Percebemos que todas as respostas evidenciaram aspectos distintos

relativos ao uso da orientação reelaborada e materializada no Esquema da Base

Orientadora Completa da Ação, tanto de caráter mais geral (como suas

contribuições para o conhecimento profissional do professor, por exemplo),

quanto para outros mais específicos (minimizar erros, por exemplo).

As contribuições da aprendizagem do EBOCA para atividades futuras

como professor foi o objeto de questionamento do segundo item. Dentre as

respostas, os sujeitos da pesquisa enfatizaram: maior atenção ao aspecto

operacional da resolução de problemas (37,5%), desenvolvimento da autonomia

nos alunos (25%), um melhor acompanhamento dos discentes pelo professor

(12,5%) e outras (25%), que diz respeito a respostas mais genéricas.

Acerca da maior atenção ao aspecto operacional da resolução de

problemas, as respostas enfatizaram a importância das etapas necessárias para

solução, como descrito a seguir.

Quadro 51 - Respostas que enfatizaram maior atenção ao aspecto operacional da resolução de problemas.

Pode ajudar na forma como trabalhar diversos problemas, esquematizando etapas que tornem mais clara como se deu o processo de resolução de uma determinada questão. Essa forma de melhor detalhar a resolução pode ser interessante à medida que evita deixar "pontas soltas" ao se abordar um problema (Participante P5).

Vejo que na hora de resolver algumas questões proposta, pois ele nos fornece a base para seguir o passo a passo (Participante P6).

175

Acredito que todo o estudo vem realmente a ajudar na carreira docente, pois tal processo me fez perceber que refletir sobre cada passo em uma resolução é tão importante para alcançar seu objetivo (encontrar a solução), pois o EBOCA valoriza e reflete sobre cada passo (Participante P8).


Podemos ver nas respostas que, o emprego de um esquema contendo as

ações e operações necessárias para se resolver um problema matemático

detalha, esclarece eventuais dúvidas e possibilita a reflexão. Outro aspecto

enfatizado diz respeito a compreensão de que o aspecto operacional da

resolução de problemas (isto é, o modelo da ação da orientação) é tão

importante quanto o seu produto, visto que a adequação e a qualidade deste

está diretamente relacionado àquele.

O desenvolvimento da autonomia dos alunos foi outra contribuição

relatada por 25% dos participantes. A participante P3 afirmou que o EBOCA

“Pode desenvolver as aptidões a-didáticas11 dos alunos [...]”, enquanto que a

estudante P7 afirmar que, através da abordagem empregada na Experiência

Formativa, “[...] é possível perceber uma nova maneira de resolver problemas

matemáticos, que é uma tendência bastante recomendada para que o resolvedor

exerça sua autonomia”.

Um melhor acompanhamento dos discentes pelo professor sugere que as

ações de controle por meio do Esquema da Base Orientadora Completa da Ação

(EBOCA) melhorias na prática do professor. Como explica a participante:

Ao utilizá-la irei, possivelmente, ter um maior controle das ações dos meus futuros alunos, entendendo suas dificuldades assim como seus avanços na resolução dos problemas dados, ou seja, ao seguirem o EBOCA, caso consigam resolver a questão saberei que foi efetiva, caso contrário poderei, a partir de onde não conseguiu resolver, poderei identificar sua dificuldade e até qual habilidade e/ou conhecimento lhe faltou para desenvolver a questão, podendo assim intervir como professora. (Participante P1)

11 Enfatizamos que interpretamos o uso do termo “aptidões a-didáticas” citado pelo participante como relacionado ao conceito de situação a-didática advindo da Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau. Uma situação a-didática consiste em um tipo de situação na qual o aluno consegue resolver de forma independente, sem nenhuma interferência do professor. O que endossou essa interpretação foi o fato de que a Experiência Formativa ocorreu no mesmo semestre em que a turma participou da disciplina de Didática da Matemática, que aborda, dentre outros conteúdos programáticos, a referida teoria.

176

Assim, ao assimilar a orientação para a ação de controle na resolução de

problemas matemáticos, há possibilidade de haver melhores condições ao

docente de monitorar e corrigir progressos e percalços de seus estudantes.

Houve respostas mais genéricas, que enquadramos na categorias outras,

por mencionar aspectos mais gerais, sem nenhum detalhamento. Entre as

respostas, uma referiu a mudança na forma de resolver problemas (12,5%) e a

outra a já inserção das ações de controle na prática docente de um dos

participantes da pesquisa (12,5%).

Fechando a primeira questão, os estudantes foram interpelados, no

terceiro item, da possibilidade de ensinar a proposta de ação de controle na

resolução de problemas apresentada na Experiência Formativa. Todos os

discentes consideram a viabilidade da proposta, embora dois participantes terem

apresentado ressalvas.

Dentre os seis estudantes que afirmaram, sem ressalvas, ser possível

ensinar as ações de controle na resolução de problemas, dos moldes propostos

na Experiência Formativa, os argumentos foram sintetizados no Quadro 52:

Quadro 52 - Justificativas para a possibilidade de ensinar ações de controle na resolução de problemas.

PARTICIPANTE JUSTIFICATIVA

P1 - Maior racionalidade do controle - Tomada de consciência do processo de resolução de problemas para evitar erros

P2 - Maior atenção ao processo de resolver problemas, o que aumenta as possibilidades de acerto.

P3 - Verificação da resolução e das condições do problema

P4 - Evita erros

P6 - Possibilidade de internalização gradativa das ações do EBOCA

P7 - Melhor interpretação e identificação dos dados explícitos e implícitos.


É possível observar que algumas dessas justificativas apresentadas

complementam ou melhor especificam aquelas já discutidas no item um desta

mesma pergunta. De certa forma, os respondentes acabaram endossando os

argumentos favoráveis a inserção das ações de controle na resolução de

problemas matemáticos por meio do EBOCA, mas agora para o processo de

ensino.

177

Em relação as respostas que consideraram a viabilidade, mas com

ressalvas, estes tratam da necessidade de simplificação do EBOCA para os

alunos (Participante 5), como mostra o trecho abaixo:

Quadro 53 - Respostas de participantes sobre a viabilidade do uso do EBOCA como meio para o controle da resolução de problemas matemáticos.

Sim. Mas não tão criteriosamente como nos foi apresentado e construído. Acredito que boa parte das operações que reunimos no EBOCA já são feitas implicitamente por alguns alunos, mas não de maneira formalizada e linear. Ainda assim, se o professor apresentar de forma simplificada talvez parte dos alunos internalizem (Participante P5).


A ressalva levantada pelo participante é de suma importância e converge

com a proposta da Teoria de P. Ya. Galperin, que sugere que a orientação

desejada seja compatível com o nível de desenvolvimento potencial dos

estudantes, para que a atividade de aprendizagem ocorra na Zona de

Desenvolvimento Próximo.

A outra resposta fez alusão ao uso restrito a certos tipos de problemas e

sugere a inserção do controle como um conteúdo complementar, alegando

carência de tempo. Nas palavras do referido estudante: “[...] a questão do

controle ao meu ver, como um extra sala (projeto, por exemplo) pela questão da

disponibilização do tempo (muitas vezes em sala de aula não temos)

acrescentaria muito na aprendizagem de matemática”.

Essa fala evidencia, tanto que o aluno entende que a orientação da ação

de controle na resolução de problemas não pode ser trabalhada de forma

integrada com outros conteúdos, quanto um provável entendimento que o

controle, embora relevante, não seja um conteúdo prioritário frente aos demais

inseridos no currículo escolar.

A segunda questão solicitou que os alunos destacassem até três

dificuldades que apresentaram durante o processo de aprendizagem da

orientação da ação de controle na resolução de problemas matemáticos.

A dificuldade de maior recorrência estava relacionada ao modelo de

controle, com 29,2%. Os entraves relatados pelos discentes eram associados a

confusão, utilização, registro e avaliação do controle.

178

Confundir, aplicar ou interpretar o modelo da ação foi o que causou

dificuldades em 20,8% dos participantes. Logo a seguir, 16,7% das respostas

mencionaram dificuldades no processo de elaboração do Esquema da Base

Orientadora Completa da Ação (EBOCA) ou ainda na adaptação do discente

para seguir essa orientação esquematizada.

O trabalho em duplas para solução das tarefas por meio da orientação

materializada foi apontado como dificuldade em 12,5% das respostas.

Especificamente, os alunos relataram dificuldades entre quem resolve e quem

controla a resolução do problema em intervir no processo um do outro sem se

atrapalharem ou ainda de compreender a explicação dada pelo colega.

Outras dificuldades de menor recorrência apontadas formam: na

compreensão das etapas (8,3%), no tempo para resolução do problema (8,3%)

e em verificar as condições do problema, sobretudo em problemas sem solução

ou de múltiplas soluções (4,2%).

Na pergunta três, os participantes da pesquisa foram questionados, a

partir de dois itens, os pontos que consideraram mais e menos interessantes em

relação as atividades desenvolvidas.

Em relação aos aspectos mais interessantes durante as atividades

desenvolvidas na Experiência Formativa as atividades relatadas como mais

interessantes durante esse processo, ou estavam relacionadas a orientação

(66,7%) ou ao trabalho em dupla (33,3%).

Dentre as respostas que destacaram a orientação, os alunos

mencionaram a relevância dos conceitos de Base Orientadora da Ação (BOA) e

do Esquema da Base Orientadora Completa da Ação (EBOCA), das etapas, o

processo de elaboração e a aplicação prática deste último durante a resolução

de problemas matemáticos. Apresentamos a seguir algumas respostas

enquadradas nessa categoria:

179

Quadro 54 - Exemplos de respostas que destacaram a orientação como aspecto mais interessante da Experiência Formativa.

“As etapas do EBOCA, pois as mesma dão uma segurança maior da certeza do resultado correto do problema” (Participante P2).

“A elaboração do EBOCA foi uma atividade muito interessante, pois construi-la foi possível ampliar o repertório de ações que conhecíamos sobre a resolução de problemas” (Participante P7). “A5: As atividades mais interessantes foram durante a resolução das tarefas, pois este foi o momento em que puder ver na prática como o EBOCA construído funcionava e como poderia ajudar nas resoluções. No fim, comparar essa metodologia com o que usualmente fazia para resolver problemas” (Participante P5).


Em relação ao trabalho em dupla, os alunos destacaram os papéis de

resolver e controlar a resolução dos problemas e o envolvimento nessa atividade

com um colega. A seguir, apresentamos algumas das respostas classificadas

nessa categoria:

Quadro 55 - Exemplos de respostas que destacaram o trabalho em dupla como aspecto mais interessante da Experiência Formativa.

“Papel como resolvedor de problemas, pois gosto de tentar resolver problemas e confesso que em alguns problemas o EBOCA, ajudou, já em outros não ficou claro como verificar as condições, digo isso por negligência minha, uma vez que estava me adaptando com a novidade. O que me leva a fala que a recíproca é verdadeira se por um lado gostei de verificar as condições como resolver também gostei também de cobrar como controlador tal controle, com questionamentos fundamentais para a qualidade da resolução” (Participante P3).

“As atividades mais interessantes durante as aulas foram as resoluções de problemas em dupla, pois o envolvimento com a outra pessoa facilitava a compreensão e com a utilização do EBOCA evitava possíveis erros” (Participante 4).


Observamos a ocorrência de respostas de alunos que relataram

dificuldades na orientação ou no trabalho em dupla, mas também os destacaram

como aspectos interessantes. Esse fato pode ter ocorrido pela novidade na

proposta Experiência Formativa para os discentes. Por isso, mesmo

encontrando entraves, os estudantes não deixaram de reconhecer a relevância

desses elementos para suas aprendizagens durante as atividades propostas.

180

No que se refere aos aspectos menos interessantes das atividades

desenvolvidas, dentre os alunos que apontaram, as respostas focaram em dois

pontos principais: momentos da Experiência Formativa (42,9%) ou atividades

específicas (57,1%).

Dentre os momentos da Experiência Formativa, foram citados o

diagnóstico inicial, a etapa motivacional e a etapa de elaboração da BOA. No

Quadro 56 abaixo, descrevemos cada categoria e as respostas relacionadas.

Quadro 56 - Aspectos desinteressantes relacionados à momentos da Experiência Formativa.

CATEGORIA RESPOSTA

Criação e uso do EBOCA

O tempo que leva na execução do EBOCA, a criação do EBOCA (Participante P2).

Exposição teórica durante etapa motivacional

A exposição teórica. Compreendo que a teoria que embasa a Experiência Formativa é densa, ainda assim senti falta de ser apresentado outras aplicações da teoria, em outras áreas até. Provavelmente, esse incremento poderia ajudar na etapa de motivação (Participante P5).

Resolução de situação-problema durante diagnóstico inicial

No processo de diagnóstico foi resolvido uma questão, comparado a resolver com o EBOCA, a primeira foi menos interessante (Participante P8).


Acerca das atividades específicas, os alunos evidenciaram a

compreensão do controle ou sua realização durante o trabalho em duplas, a

elaboração do diário dos alunos e o tempo gasto na resolução dos problemas.

Apresentamos o Quadro 57 contendo cada um desses elementos apontados

pelos discentes e suas respectivas respostas.

Quadro 57 - Aspectos desinteressantes relacionados à atividades específicas da Experiência Formativa.

CATEGORIA RESPOSTA

Compreensão do modelo de controle

Alguns passos do controle inicialmente me confundiram, tais como "o que é desconhecido?" e " o que é procurado?" acho que esses dois passos são bastante parecidos e deve existir somente um dos dois, ressalto, na minha opinião que o EBOCA, como uma ferramenta pedagógica adidática é importante, porém em algumas situações que necessariamente o uso de alguns passos devam ser engolidos (mentalmente dominado), por outro lado, alguns passos devem ser usados (Participante P3).

181

Diário do aluno

A atividade que considerei menos interessante foi a construção do diário do aluno pois era apenas transcrever o que se vivenciou em sala de aula (Participante P4).

Tempo gasto na resolução de problemas

Na hora de resolver os problemas, pois perdia muito tempo (Participante P6).

Controle do colega

Não menos interessante, mas sim tediosa, foi ao realizar o controle enquanto meu colega resolvia a situação problema, pois muitas vezes sentia que mais atrapalhava do que mesmo controlava, e isso tornava o processo demorado (Participante P7).


O desinteresse do participante P2 acerca do momento de criação do

Esquema da Base Orientadora Completa da Ação (EBOCA) levanta uma

preocupação, uma vez que a etapa em que é o processo de elaboração da

orientação desejada de forma materializada uma condição essencial que define

a qualidade da ação e do controle.

Além disso, o tempo gasto na resolução (também mencionado por P6),

bem como a compreensão (Participante P3) ou realização do controle do colega

de dupla (Participante P7), demonstra a não percepção dos discentes que

somente no início do processo de formação da ação mental, durante a etapa

materializada, que as ações e operações devem ser realizados de forma

detalhada. Isso naturalmente exigirá mais tempo dos participantes, tanto para

que haja uma adaptação a nova dinâmica proposta pela Experiência Formativa,

quanto para que o processo de internalização do conteúdo do EBOCA possa ser

iniciado.

Acerca do menor interesse pela exposição teórica durante a etapa

motivacional relatado pelo discente P5, compreendemos que, em virtude do

tempo reduzido destinado a esse momento, pode ter, de fato, havido um excesso

de informações apresentadas.

Por outro lado, o pesquisador considerou importante apresentar um

panorama dos pressupostos teóricos que adotou, já que os sujeitos da pesquisa

eram professores em formação e que, mesmo que o foco da investigação fosse

estudar as mudanças na orientação, havia uma preocupação na apresentação

dos aspectos centrais da ação de controle à luz da Teoria de P. Ya. Galperin,

visando influir no conhecimento profissional docente.

182

O desinteresse relativo a elaboração do diário descrito pelo participante

P4 e da atividade de resolução da situação-problema sem ajuda durante a

aplicação da prova pedagógica relatada pelo participante P8, sugere que a

carência de atividades como essas durante a formação dos discentes, pode ter

contribuído para que os alunos não tenham compreendido que uma escrita

reflexiva sobre sua própria experiência de aprendizagem é uma ferramenta que

pode possibilitar melhorias no processo de aprendizagem.

A última questão teve como enfoque indagar sobre a importância atribuída

pelos participantes da Experiência Formativa acerca do papel da orientação na

aprendizagem e do controle na resolução de problemas matemáticos.

Considerando a diversidade de perspectivas apresentadas nas respostas dos

discentes, passamos a sintetizar cada uma delas.

Conforme o participante P1, o processo de criação do EBOCA permitiu

entendimento de que o professor precisa ter consciência de sua orientação e

que a reflexão sobre essa atividade possibilita melhorias no ensino. Nesse

sentido, refletir e controlar permite um maior controle na resolução de problemas.

Outra perspectiva apresentada foi a de que a orientação é fundamental

para que qualquer atividade ocorra (Participante P8), sendo que o processo de

elaboração da orientação visa encontrar a melhor forma de realizar a ação e

visualizar operações que possam comprometer sua realização (Participante P5).

No contexto da resolução de problemas matemáticos, a orientação se

constitui como um guia (Participante P6) que melhora a compreensão sobre o

problema (Participante P4) e, ao fornecer um conjunto de passos, diminui os

riscos de erros durante a execução (Participantes P4 e P6).

O participante P2 reafirma os visíveis ganhos para a aprendizagem a partir

da abordagem proposta na Experiência Formativa para o estudo das ações de

controle na resolução de problemas matemáticos. Além disso, P7 avalia que

mudou sua compreensão da resolução de problemas, agora enxergando-a como

algo mais amplo e controlável. Por fim, P3 afirma que alguns passos da teoria

estudada são de suma importância, sobretudo para o desenvolvimento da

argumentação, tanto de quem controla quando de quem resolve o problema.

Findada essa discussão dos resultados da Experiência Formativa, foi

possível verificar um favorecimento no processo de reelaboração da orientação

da ação de controle na resolução de problemas matemáticos.

183

Partindo de um diagnóstico inicial que atestou uma compreensão

dissonante dos participantes da pesquisa acerca da ação de controle em relação

a orientação, referência elaborada pelo professor, é possível notar, no decorrer

dos momentos da Experiência Formativa, um favorecimento no processo de

reelaboração da orientação dos alunos, o que se coloca como condição

necessária para a formação da habilidade.

Contudo, esse favorecimento na orientação não foi suficiente para

suprimir as dificuldades dos estudantes durante as soluções das situações-

problema propostas nas tarefas, que tiveram tanto natureza conceitual quanto

procedimental.

De todo modo, a percepção dos estudantes no decorrer e no final da

Experiência Formativa indica um favorecimento para a reelaboração da

compreensão dos estudantes sobre a resolução de problemas e, em particular,

da ação de controle dessa atividade.

184

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A formação de um aprendiz autônomo, capaz de lidar com o amplo

conjunto de informações disponíveis para um indivíduo do mundo

contemporâneo, tem sido um dos desafios para a Educação.

Embora o controle da resolução de problemas matemáticos, enquanto

forma de atenção voluntária aplicada ao campo da Educação Matemática, seja

uma das condições necessárias para o aprender a aprender na perspectiva do

Enfoque Histórico-Cultural, as pesquisas sobre o tema têm apontado

deficiências na formação de professores, tanto na utilização dessa habilidade

durante os processos de aprendizagem dos licenciandos, quanto nas práticas

docentes desses profissionais em sala de aula.

Considerando esse quadro, esta pesquisa empreendeu um estudo acerca

da influência na reelaboração da orientação da ação de controle da resolução de

problemas matemáticos, visando provar a tese de que uma Experiência

Formativa fundamentava da Teoria de P. Ya. Galperin favorece na

reconfiguração dessa orientação dos licenciandos.

Esse estudo foi delineado a partir de uma Experiência Formativa, que teve

como momentos principais: diagnóstico inicial, etapa motivacional, etapa de

orientação, controle e solução de tarefas e avaliação final. Embasada na Teoria

de Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos, de P. Ya. Galperin,

a referida Experiência teve como participantes oito alunos de licenciaturas da

Universidade Federal do Cariri, campus Brejo Santo, Ceará.

Tendo em vista os objetivos propostos nesta tese, passamos a explanar

as conclusões da presente pesquisa doutoral em função de cada um deles.

Acerca dos objetivos específicos de construção do Sistema Didático e de

desenvolvimento da Experiência Formativa para favorecimento na reelaboração

da orientação da ação de controle da resolução de problemas matemáticos, foi

possível verificar, a partir da aplicação desta pesquisa doutoral, a viabilidade de

elaboração e aplicação de um Sistema condizente com o arcabouço teórico

advindo do Enfoque Histórico-Cultural e capaz de influenciar na reconfiguração

da orientação de uma ação que planeja-se formar.

No que se refere ao diagnóstico do nível de desenvolvimento inicial dos

participantes da pesquisa acerca da orientação da ação de controle da resolução

185

de problemas matemáticos, o fato de ter encontrado baixos níveis de

convergências com a orientação planejada pelo professor (quase 22% em

relação ao modelo do objeto, 27% no modelo da ação e 0% com o modelo de

controle), sugere que os licenciandos participantes da Experiência Formativa

não possuíam uma compreensão apropriada, sobretudo, relacionada a ação de

controle.

Desse modo, a presente investigação endossa um quadro já apontado por

outras pesquisas sobre o tema e reforça para a necessidade de um maior esforço

no campo educacional para proposição de práticas educativas focadas em

promover melhorias nas ações mentais dos discentes necessárias para o

aprender a aprender.

Quanto a avaliação das condições que favoreceram e as que dificultaram

a reelaboração da orientação da ação de controle da resolução de problemas,

passamos a discuti-las separadamente.

Dentre as condições que contribuíram, destacamos o processo de

construção e utilização de uma orientação da ação de controle apropriada para

a solução de situações-problema no princípio desse momento da Experiência

Formativa. Outra condição importante foi o trabalho colaborativo inicial entre os

alunos, além da mediação e colaboração do professor durante todo o processo.

Ambas as condições observadas na pesquisa são elementos fundamentais para

a aprendizagem, à luz da Teoria de P. Ya. Galperin.

Em relação aos percalços encontrados durante a Experiência Formativa,

evidenciamos as dificuldades que os discentes tiveram em relação a alguns tipos

de situações-problema (sem solução e com múltiplas soluções, por exemplo) e

ainda a alguns conhecimentos matemáticos pré-requisitos.

Outras condições que dificultaram o processo formativo empreendido

estavam relacionadas as recomendações pedagógicas derivadas das etapas

propostas pela Teoria de P. Ya. Galperin, como por exemplo a alternância entre

a função de controlar e de resolver as situações-problema no âmbito das duplas

de alunos.

Em ambos os casos, lacunas na formação dos discentes ou ainda a

inexperiência com ações conscientes de controle, balizadas em orientações

sistematizadas, indicam para a necessidade urgente de inserção do controle da

aprendizagem desde os primeiros níveis de ensino.

186

Sobre a avaliação dos participantes acerca da Experiência Formativa,

tendo em vista os relatos desses discentes em relação a tomada de consciência

sobre a relevância da orientação enquanto guia para um melhor entendimento e

mitigação dos erros durante o processo de resolução de problemas

matemáticos, tivemos indícios de que, na perspectiva dos alunos, a participação

na presente investigação favoreceu na reelaboração da compreensão do

controle.

Haja vista as mudanças observadas nas posturas dos alunos, no sentido

de uma melhoria na tomada de consciência acerca da ação de controle da

resolução de problemas, isso nos permite afirmar que a tese de que uma

Experiência Formativa pautada na Teoria de Formação Planejada das Ações

Mentais e dos Conceitos pode favorecer na reelaboração inicial dessa ação foi

provada.

Dentre as limitações da pesquisa, destacamos, inicialmente, o fato da

Experiência Formativa que propusemos não ter sido voltada para a formação de

uma habilidade, mas apenas para influir na reelaboração de sua orientação. Por

conta disso, as atividades que empreendemos não perpassaram todas as etapas

necessárias para formação das ações mentais propostas por P. Ya. Galperin,

chegando apenas até a etapa materializada. Esse fato acabou ainda

impossibilitando a utilização dos indicadores qualitativos da ação. A restrição

proposta na pesquisa visou se adequar, sobretudo, a disponibilidade de tempo.

Outra limitação desta tese diz respeito aos conteúdos matemáticos

abordados e aos tipos de situações-problema. Embora alguns conteúdos sejam

oriundos de níveis de ensino anteriores a Graduação, a observância de

dificuldades enfrentadas pelos participantes sinalizou para a necessidade de

uma testagem preliminar das situações-problema, com um grupo de sujeitos com

perfil semelhante aos participantes da pesquisa.

A investigação empreendida abre possibilidades para o surgimento de

novas pesquisas que se debrucem sobre a temática em tela. A realização de

estudos longitudinais que se proponham a empreender a formação da habilidade

de controle da aprendizagem, no âmbito de diferentes níveis de ensino, torna-se

promissora para um maior aprofundamento das condições sobre as quais o

controle é internalizado pelo indivíduo.

187

Outra possibilidade seria analisar como o controle se forma em

consonância com uma habilidade diferente da resolução de problemas

matemáticos. Esse caminho abre espaço tanto para estudos em outras áreas do

conhecimento, quanto para a experimentação de outras ações no campo da

Matemática.

Os processos de verificação e ajuste da ação humana que constituem o

controle da aprendizagem tornam essa habilidade cognoscitiva um componente

importante da personalidade de um indivíduo do século XXI. Portanto, é de suma

importância que mais investigações sejam desenvolvidas sobre o tema, visando

a proliferação de mais práticas educativas que discutam esse componente e

contribuam para a formação de aprendizes autônomos.

188

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197

APÊNDICE 1: PROVA PEDAGÓGICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO

DOUTORADO EM EDUCAÇÃO

PROVA PEDAGÓGICA PARA DIAGNÓSTICO INICIAL

Perfil do participante da pesquisa Nome:________________________________________________________ Sexo: ( ) Masculino ( ) Feminino Idade: _______ Ano letivo de ingresso no curso: ___________ Experiência como professor: ( ) Sim ( ) Não Em caso afirmativo na questão anterior: - Por quanto tempo (em anos e meses)? ______________________________________________________________ - Em quais níveis de ensino? ______________________________________________________________ - Em quais disciplinas? ______________________________________________________________

Quando um estudante aprende a resolver problemas em Matemática deve

aprender também a realizar o controle (regulação) da aprendizagem durante

esse processo. Em relação a essa situação, responda:

1) O que é resolver um problema matemático?

2) Quais são os passos necessários para se resolver um problema matemático?

3) O que é controlar (regular) o processo de resolução de problemas

matemáticos?

198

4) Supondo que durante sua atuação docente precise avaliar como seus alunos

realizam o controle (regulação) do processo de resolução de problemas

matemáticos. Para isso, construa uma chave de resposta contendo as etapas

para se resolver problemas (transcrição das respostas da questão 2) e suas

respectivas etapas de controle.

CHAVE DE RESPOSTA

Etapas resolver problemas Etapas controle na resolução de problemas

5) Resolva a situação-problema, explicando como se dá o controle (regulação)

do processo de resolução de problemas matemáticos.

Uma empresa que transporta caixas paralelepipedais calcula o valor de seus

fretes em função do custo fixo de R$ 50,00 e da média entre o volume (em m3)

de mercadorias transportadas e três vezes a distância total a ser percorrida.

Qual a expressão algébrica que determina o valor do frete?

Descrição do controle Solução

199

APÊNDICE 2: ELABORAÇÃO DO EBOCA DA TURMA



EBOCA DA TURMA

Atividade 1: Após a finalização das discussões realizadas em sala de aula,

reelabore a BOA para construção do Esquema da Base Orientadora Completa

da Ação (EBOCA) da habilidade de resolver problemas matemáticos.

EBOCA – RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Modelo do objeto Modelo da ação Modelo de controle

200

APÊNDICE 3: TAREFAS (PARTE 1)



ETAPA MATERIALIZADA

Discente: _______________________________________________________

Discente: _______________________________________________________

Orientações: - Reúnam-se em duplas e dividam as funções de resolução da situação-problema e de controle desse processo. Ou seja, em cada tarefa, enquanto um integrante da dupla resolve a situação-problema o outro realiza o controle. - Para cada tarefa distinta, alternem entre as funções. - Resolver a tarefa apoiado no EBOCA, de forma detalhada, seguindo cada uma das operações da orientação. Registrar o processo de resolução. Avaliar o processo de solução, segundo o indicado na ação de controle. - Quem realiza o controle do colega deve também seguir as operações destinadas para tal função, de forma detalhada e registrar esse processo. - Na dupla, refletir sobre o processo de solução, destacando os erros, dificuldades, acertos e realizar os ajustes necessários para a resolução adequada da tarefa. Registrar esse processo.

Tarefa 1: Um grupo de amigos pretende fazer uma viagem de férias para um

local que fica a 524 km de onde moram. Contudo, eles ainda não decidiram se o

percurso será realizado de carro próprio ou ônibus. A primeira opção seria um

carro que transporta 5 ocupantes, com um consumo médio de 12 km/l e a

gasolina custando R$ 4,59. A segunda opção seria ir de ônibus, cuja a passagem

custa R$ 96,00 por trecho (ida ou volta). Considerando apenas o custo total da

201

viagem e que este será dividido igualmente entre todos os membros do grupo,

em quais condições uma das opções é mais vantajosa que a outra.

Tarefa 2: Seguindo a orientação de um especialista, Murilo aumenta a cada dois

dias 10% da distância percorrida em suas caminhadas mantendo o mesmo ritmo.

Estimando que ele gasta 240 kcal/hora e que 7 mil calorias equivalem a

aproximadamente 1 kg de gordura, se Murilo mantiver a alimentação regular, em

quantos dias perderá 5 kg?

Tarefa 3: Em um estacionamento de 60 vagas, cada vaga pode ser ocupada por

1 carro ou por 3 motos. Considerando que o preço cobrado por carro é de R$

10,00 e por moto R$ 5,00 e sabendo que em um dia de lotação máxima foram

contabilizadas 300 rodas, qual o valor faturado pelo estacionamento?

202

APÊNDICE 4: TAREFAS (PARTE 2)



ETAPA MATERIALIZADA

Discente: _______________________________________________________

Discente: _______________________________________________________

Orientações: - Reúnam-se em duplas e dividam as funções de resolução da situação-problema e de controle desse processo. Ou seja, em cada tarefa, enquanto um integrante da dupla resolve a situação-problema o outro realiza o controle. - Para cada tarefa distinta, alternem entre as funções. - Resolver a tarefa apoiado no EBOCA, de forma detalhada, seguindo cada uma das operações da orientação. Registrar o processo de resolução. Avaliar o processo de solução, segundo o indicado na ação de controle. - Quem realiza o controle do colega deve também seguir as operações destinadas para tal função, de forma detalhada e registrar esse processo. - Na dupla, refletir sobre o processo de solução, destacando os erros, dificuldades, acertos e realizar os ajustes necessários para a resolução adequada da tarefa. Registrar esse processo.

Tarefa 4: O “desafio de 52 semanas” é uma estratégia para se economizar

dinheiro durante 1 ano, a partir do aumento gradativo do valor poupado

semanalmente. Iniciando o desafio poupando uma determinada quantia, a cada

semana, o valor economizado corresponde ao mesmo valor da semana anterior

acrescido em 1 real. Considerando uma pessoa que ganha R$ 2.000,00 mensais

e pode economizar menos que 20% do seu salário, elabore um plano e mostre

quanto essa pessoa conseguiria juntar no fim do desafio.

203

Tarefa 5: O Imposto de Renda (IR) é tributo cobrado sobre determinados

rendimentos de uma pessoa física ou jurídica. No Brasil, o valor a ser pago é

cobrado dividindo o ganho anual do contribuinte após deduções em diferentes

faixas, que possuem alíquotas progressivas, conforme mostra o quadro a seguir:

Base de cálculo anual, em reais Alíquota

Até 22.847,76 Isento

De 22.847,77 até 33.919,80 7,5%

De 33.919,81 até 45.012,60 15%

De 45.012,61 até 55.976,16 22,5%

Acima de 55.976,16 27,5%

Sabendo que a base de cálculo mensal do salário (parte do salário que será

cobrada o IR) de Josiane sobre a qual incide o IR é de R$ 5.200,00, qual o

percentual efetivo aproximado de imposto pago?

Tarefa 6: Um agricultor precisa determinar uma expressão algébrica que lhe

permita calcular o custo necessário para cercar suas terras em função dos

principais materiais utilizados. Em um de seus terrenos retangulares, que mede

120m por 90m ele poderá utilizar: estacas finas (de 2 em 2 metros) ou estacas

grossas (de 6 em 6 metros) e 4 voltas de arame. Elabore uma forma de cercar o

terreno com os materiais mencionados e determine uma expressão algébrica

apropriada.

204

APÊNDICE 5: QUESTIONÁRIO FINAL



AVALIAÇÃO FINAL DA EXPERIÊNCIA FORMATIVA

Discente: _______________________________________________________

1) Em relação a Experiência Formativa orientada a aprendizagem de como

realizar o controle na resolução de problemas matemáticos, considerando o

Esquema da Base Orientadora Completa da Ação (EBOCA), responda:

a) Considerou importante para você? Justifique.

b) Como essa aprendizagem pode ajudar na suas atividades futuras como

professor?

c) Considera ser possível ensinar os estudantes essa forma de controlar a

resolução de problemas matemáticos? Por quê?

2) Quais foram as principais dificuldades que você apresentou em relação a

aprender controlar a resolução de problemas matemáticos, segundo a proposta

da Experiência Formativa? Mencione três:

1.

2.

3.

3) Em relação as atividades desenvolvidas.

205

a) Quais considerou mais interessantes? Por quê?

b) Quais considerou menos interessantes? Por quê?

4) Como você avalia a importância do que aprendeu sobre o papel da orientação

na aprendizagem e no processo de controle na resolução de problemas

matemáticos?

universidade federal do rio grande do norte centro … · aos demais familiares e parentes,...

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