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Universidade Federal do ParanáPrograma de pós-graduação em engenharia

de recursos hídricos e ambiental

TH705 Mecânica dos fluidos ambiental IIProf. Fernando Oliveira de Andrade

Modelos de turbulência para RANS

• Problema do fechamento da turbulência

•As equações de Navier-Stokes (conservação de massa + quantidade de movimento + escalar) são capazes de descrever o campo do escoamento em ambos regimes laminar e turbulento

•O problema reside no fato que quanto maior é o número de Reynolds, mais largo se torna o espectro de energia associado ao movimento


•O aumento do número de Reynolds implica em estruturas viscosas menores, ou seja, maior é o espectro de frequência (ou de escalas de tempo e comprimento) presente no escoamento

•O cálculo explícito (direto) de todas as escalas de tempo e comprimento do escoamento, mediante o uso de métodos numéricos, requer o uso de malhas extremamente refinadas

• Isto implica em um custo computacional muito elevado


• Portanto, a simulação numérica direta (DNS) se restringe a escoamentos a baixo número de Reynolds• Como a maioria dos escoamentos ocorrem a altos

números de Reynolds, a solução habitual se baseia em decompor as escalas e deduzir equações de conservação médias (ou filtradas)• Tais equações resolvem explicitamente (diretamente)

somente uma parte do espectro de energia do escoamento turbulento•A parte residual deve ser resolvida por modelos


• Equações médias de Navier-Stokes, ou equações médias de Reynolds (Reynolds Average Navier Stokes equations) para um fluido com propriedades constantes

𝜕𝜌 𝑢𝑖

𝜕𝑡+

𝜕𝜌 𝑢𝑖 𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑗= −

𝜕 𝑝

𝜕𝑥𝑖+

𝜕

𝜕𝑥𝑗𝜇𝜕 𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗− 𝜌𝑢𝑖

′𝑢𝑗′

𝜕 𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑖= 0


L hℓD

RANS

LES


•Modelagem da turbulência nas equações RANS• Existem diversas tentativas de se modelar os

fechamentos de segunda ordem das equações RANS de uma forma sistemática e global• Para tal é necessário identificar os princípios

fundamentais invioláveis para os modelos• Estes princípios são: coerência física, consistência

dimensional, independência do sistema de coordenadas e condição de ser realizável


• Coerência física: um modelo de fechamento deve ser uma substituição plausível do fenômeno real

• Consistência dimensional: qualquer equação deve apresentar homogeneidade dimensional

• Independência do sistema de coordenadas: o modelo deve apresentar mesmo comportamento espacial e direcional em qualquer sistema de coordenadas. Também significa garantir que os termos das equações tenham os mesmos índices livres


• Condição de ser realizável: um modelo realizável é aquele que assegura a condição de Schwarts

•Alguns modelos de turbulência não garantem a realizabilidade em todas as situações. Portanto, questiona-se se essa condições realmente necessária

• Esta condição está relacionada com a estabilidade da solução numérica das equações

𝑢𝑖𝑢𝑗2≤ 𝑢𝑖

2 𝑢𝑗2


• Classificação dos modelos

•Modelos baseados em viscosidade turbulenta (hipótese de Boussinesq)

Modelos algébricos ou de zero equação diferencial

Modelos de uma equação diferencial

Modelos de duas equações diferenciais

•Modelos que não dependem da viscosidade turbulenta

Modelos de seis equações diferenciais


•Viscosidade turbulenta

•O conceito da viscosidade turbulenta foi introduzido por Boussinesq (1877). Este baseia-se numa analogia entre as tensões turbulentas (transferência de quantidade de movimento pela mistura turbulenta) e as tensões moleculares existentes no regime laminar


• Esta analogia entre a tensão laminar e turbulenta resulta na seguinte expressão

onde o terceiro termo do lado direito é introduzido para representar a pressão dinâmica associada aos turbilhões, em analogia à pressão estática


• Substituindo na equação de Navier-Stokes

onde

sendo 𝜇𝑒𝑓 a viscosidade efetiva e 𝑃 a pressão modificada


• Esta é a equação média de Navier-Stokes modelada

•Note que todos os termos da equação estão escritos em função dos valores médios

• Isto é, temos um conjunto de 4 equações e 4 incógnitas

•O trabalho agora consiste em modelar a viscosidade turbulenta, , lembrando que esta quantidade não é uma propriedade do fluido, mas uma propriedade do escoamento

𝜇𝑡


• Interpretação física da viscosidade turbulenta• De acordo com a teoria cinética dos gases, a viscosidade

absoluta é resultante da transferência de quantidade de movimento da colisão de moléculas (𝜇 ∝ 𝜌𝑐𝜉), onde 𝑐 é a velocidade do som e 𝜉 é o caminho médio livre entre colisões

• Analogamente, a viscosidade turbulenta é definida como sendo resultante da transferência de quantidade de movimento da colisão de turbilhões (𝜇𝑡 ∝ 𝜌𝑉𝐿), onde 𝑉 e 𝐿são escalas características de velocidade e comprimento do movimento turbulento


• Principal deficiência da hipótese

•O principal ponto fraco desta hipótese está no fato que a viscosidade turbulenta é uma grandeza escalar, o que pressupõe isotropia

•No entanto, a turbulência nas grandes escalas possui alto grau de anisotropia

• Esse aspecto é importante na comparação dos tipos de modelagem (i.e., RANS vs. LES)


•Modelos algébricos•Modelo de viscosidade turbulenta constante• Este é o modelo mais simples possível. Ocasionalmente,

como uma primeira aproximação, para alguns escoamentos, a viscosidade turbulenta pode ser considerada constante, onde o valor da constante deve ser ajustado a partir de dados experimentais• Este modelo não é muito utilizado por ser uma

aproximação muito grosseira


•Modelo do comprimento de mistura de Prandtl• A Hipótese do comprimento de mistura foi desenvolvida por

Prandtl (1925) considerando um escoamento turbulento simples com

• A viscosidade turbulenta 𝜇𝑡 é calculada com base em uma velocidade e um comprimento característico

𝜇𝑡 ≈ 𝜌ℓ𝑚 𝑉


• Nesse escoamento a tensão de cisalhamento é resultante do gradiente transversal da componente longitudinal da velocidade média. Prandtl definiu a velocidade característica como

• O comprimento de mistura ℓ𝑚 é um comprimento característico de cada escoamento que deve ser determinado

𝑉 = ℓ𝑚

𝜕 𝑢

𝜕𝑦


• Substituindo na equação da viscosidade turbulenta

•A tensão de Reynolds é dada por

𝜇𝑡 = 𝜌ℓ𝑚2

𝜕 𝑢

𝜕𝑦

−𝜌𝑢𝑖′𝑢𝑗

′ = 𝜌ℓ𝑚2

𝜕 𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗

𝜕 𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗


• Próximo as paredes pode-se utilizar uma equação apropriada para modelar esta região do escoamento, ou seja, a função de amortecimento de Van Driest

onde A=26, 𝜅 = 0,4 é a constante de Von Kármán e 𝑦+ ≥ 40

• Este amortecimento junto a parede é necessário uma vez que os efeitos viscosos são predominantes sobre os efeitos turbulentos


•O modelo é limitado a escoamento simples, não sendo capaz de responder a mudanças rápidas no escoamento, a recirculação, a efeitos de turbulência na corrente livre, etc.

•O fato de 𝜇𝑡 ser zero quando 𝜕 𝑢

𝜕𝑦é zero é uma falha no

modelo•Mesmo para escoamentos simples, a distribuição do

comprimento característico de mistura ℓ𝑚 não é universal


•Modelos de uma equação diferencial

•Uma das principais dificuldades do modelo de comprimento de mistura é a relação direta entre a viscosidade turbulenta e o gradiente da velocidade

•Nesse contexto, os modelos de uma equação utilizam outra escala característica de velocidade

•A velocidade característica é o rms da velocidade, 𝑘 , e o comprimento característico é ℓ


•O modelo de uma equação escreve-se

• Kolmogorov e Prandtl sugeriram a uma equação de transporte para 𝑘

•A equação é obtida subtraindo-se a equação média da equação original de Navier-Stokes

•Assim obtém-se uma equação para flutuação 𝑢𝑖′

𝜇𝑡 = 𝜌ℓ 𝑘


•Multiplica-se a equação obtida da flutuação 𝑢𝑖′ por 𝑢𝑖

′ e tira-se a média temporal da equação resultante. Chega-se a equação de conservação para a energia cinética turbulenta 𝑘

onde 𝑃𝑘 é a produção, 𝐷𝑘é a difusão e 휀 é a taxa de dissipação da energia cinética turbulenta


• Termo de produção 𝑃𝑘

• Representa a taxa de transferência de energia do escoamento médio para o mecanismo de turbulência

• Para fluidos incompressíveis


• Termo de difusão 𝐷𝑘

• Representa o transporte de k por difusão turbulenta e molecular

•A primeira parcela pode ser escrita como


•O termo de difusão é escrito como

onde 𝜎𝑘 é o número de Prandtl turbulento (normalmente igual a unidade)


• Termo de taxa de dissipação 휀

•A taxa de dissipação de energia cinética por unidade de volume é

• Este termo é resolvido mediante análise dimensional


• Equação de conservação da energia cinética turbulenta


• Os modelos de uma equação são capazes de levar em consideração a turbulência da corrente livre, e não especificam 𝜇𝑡 = 0 nos locais de gradiente de velocidade zero

• Contudo, assim como o modelo de comprimento de mistura, existe a dificuldade de prescrever a escala de comprimento ℓ

• As dificuldades na especificação de ℓ levaram ao uso de equações diferenciais para ℓ , ou para uma quantidade relacionada, dando origem aos modelos de duas equações


• Comentários sobre o comprimento característico

•O valor adotado do comprimento característico ℓ ou ℓ𝑚depende do tipo de escoamento

• Por exemplo, em escoamentos livres adota-se para jatos, ℓ 𝛿 = 0,09, para camadas de mistura, ℓ 𝛿 =0,07

• Para camadas limites próximas de parede ℓ ≈ 0,1𝛿

• Launder e Spalding (1972) fornece descrição completa


•Modelos de duas equações diferenciais• Estes modelos consistem na solução de duas equações

diferenciais para calcular a viscosidade turbulenta

• Na elaboração de um modelo de duas equações, faz sentido continuarmos utilizando a equação para a energia cinética turbulente 𝑘 (para descrever a escala de velocidade)

• Para descrever a escala de comprimento, diversas propostas surgiram e estão disponíveis na literatura

• O modelo mais conhecido é o 𝑘 − 휀, que resolve uma equação diferencial para 𝑘 e uma equação diferencial para 휀


•Modelo 𝑘 − ε

• Este modelo é o mais utilizado nas simulações RANS

•A velocidade característica continua sendo 𝑘•O comprimento característico é obtido com base na

taxa de dissipação, ℓ =𝑘 3 2

𝜀

• Substituindo em , obtém-se𝜇𝑡 = 𝜌ℓ 𝑘

𝜇𝑡 = 𝐶𝜇

𝜌𝑘2

휀


• Equação de conservação da dissipação 휀

onde 𝐷휀, 𝑃휀 e 𝑑휀 representam os mecanismos de difusão, produção e destruição e 휀

• Procedimento para obter essa equação:

• Subtrair a equação média de Navier-Stokes da equação de Navier-Stokes

• Derivar a equação resultante em relação a 𝑥𝑗

• Fazer um produto escalar com 2𝜈𝜕𝑢𝑖

′

𝜕𝑥𝑗

• Fazer a média da equação resultante


• Termo de produção 𝑃𝜀: a produção da dissipação 휀 deve ser balanceada com a produção da energia cinética turbulenta 𝑘

• Termo de difusão 𝐷𝜀: a difusão da dissipação 휀 ocorre devida a ação molecular e da turbulência (forma do termo análogo ao da equação de N-S)

• Termo de destruição 𝑑𝜀: a destruição da dissipação 휀 é inversamente proporcional a 𝑘


• Equações de conservação do modelo 𝑘 − 휀


•Modelo 𝑘 − 𝜔

•A velocidade característica continua sendo 𝑘•O comprimento característico é obtido com base na

vorticidade, ℓ =𝑘 1 2

𝜔

• Substituindo em , obtém-se𝜇𝑡 = 𝜌ℓ 𝑘

𝜇𝑡 = 𝛼∗

𝜌𝑘

𝜔


• Equação de conservação da vorticidade 𝜔

• A equação da conservação da vorticidade é resolvida junto com a equação de conservação de k

• O primeiro termo do lado direito é a difusão da vorticidade, os termos 𝐺𝜔 e 𝑌𝜔 representam os mecanismos de produção e destruição de vorticidade

• Os detalhes do modelo podem ser obtidos em Wilcox (1988)


•Os modelos 𝑘 − 휀 e 𝑘 − 𝜔 são os mais populares

•Mas diversos outros modelos de duas equações foram propostos com base no conceito de viscosidade turbulenta (i.e., frequência de vórtices de Kolmogorov, ℓ = 𝑘 1 2𝑓−1, etc. )

• Todos eles tentam especificar de alguma maneira a escala característica local da velocidade e do comprimento da turbulência


•Modelos que não dependem de viscosidade turbulenta

•Os modelos que vimos até aqui são baseados na hipótese de Boussinesq e no conceito de viscosidade turbulenta

com e

𝜕𝜌 𝑢𝑖

𝜕𝑡+

𝜕𝜌 𝑢𝑖 𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑗= −

𝜕 𝑝

𝜕𝑥𝑖+

𝜕

𝜕𝑥𝑗𝜇𝜕 𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗− 𝜌𝑢𝑖

′𝑢𝑗′

𝜇𝑡 ≈ 𝜌ℓ𝑉


• Os modelos que não dependem da viscosidade turbulenta resolvem equações de transporte para as componentes do tensor de Reynolds −𝜌𝑢𝑖

′𝑢𝑗′

• Esses modelos são conhecidos como modelos de tensões de Reynolds ou modelos RSM (Reynolds Stress Model)

• As componentes das tensões são resolvidas individualmente, resultando num conjunto de seis equações de conservação (i.e., −𝜌𝑢′𝑣′ , −𝜌𝑢′𝑤′ , −𝜌𝑣′𝑤′ , −𝜌𝑢′2 , −𝜌𝑣′2 , −𝜌𝑤′2)


•A derivação dessas equações introduz novos termos abertos que precisam ser modelados

•No entanto, os termos modelados nas equações RSM não usam a hipótese de Boussinesq e o conceito de viscosidade turbulenta isotrópica

• Portanto, para escoamentos em que as escalas de comprimento e velocidade variam significativamente com a direção, os modelos RSM tendem a fornecer resultados satisfatórios


• As equações de transporte para as tensões de Reynolds podem ser obtidas a partir das equações de Navier-Stokes (Rodi, 1984 e Warsi, 1993), pelo seguinte procedimento:

• Subtrair a equação média de Navier-Stokes da equação de Navier-Stokes, para o componente 𝑢𝑖

• Fazer um produto escalar desta equação com 𝑢𝑗′

• Subtrair a equação média de Navier-Stokes da equação de Navier-Stokes, para o componente 𝑢𝑗

• Fazer um produto escalar desta equação com 𝑢𝑖′

• Somar as duas equações • Calcular a média temporal


•A equação de conservação das tensões de Reynolds é

onde 𝐷𝑖𝑗, 𝑃𝑖𝑗 e Π𝑖𝑗 − 휀𝑖𝑗 representam os mecanismos de difusão, produção e destruição de cada componente da tensão de Reynolds


•Os modelos RSM tendem a dar melhores resultados em escoamentos com alta anisotropia, quando comparados aos modelos k-e, uma vez que as tensões de Reynolds são resolvidas individualmente

•No entanto, os pontos fracos dos modelos RSM estão associados a necessidade de modelagem dos termos da equação de transporte de 𝑅𝑖𝑗 e a necessidade de resolver 6 equações de transporte simultaneamente (alto custo computacional)


•De uma forma geral, os modelos de turbulência RANS apresentados cumprem seus propósitos com melhor ou pior desempenho dependendo do tipo de escoamento

• Todos eles procuram determinar escalas características da turbulência (i.e., velocidade, comprimento)

• Esses modelos são adequados para aplicações que requerem o conhecimento das quantidades médias (i.e., componentes médias da velocidade, etc.)


• Para problemas que requerem o conhecimento detalhado das propriedades da turbulência os métodos de simulação direta (DNS) ou de simulação de grandes escalas (LES) são mais apropriados

• Como a DNS ainda é proibitiva para a maioria dos escoamentos turbulentos de aplicações práticas, LES apresenta-se como uma das solução mais atrativas para simulações da turbulência nos dias de hoje

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