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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

Setor de Tecnologia

Departamento de Engenharia Elétrica

RODRIGO FARIAS ANDRIOLO

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM RELAÇÃO A

POTÊNCIA GERADA

CURITIBA

2011

RODRIGO FARIAS ANDRIOLO

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DE FLUXO DE POTÊNCIA EM RELAÇÃO A

POTÊNCIA GERADA

Trabalho de conclusão de curso apresentado à disciplina Trabalho Final de Curso como requisito parcial à conclusão do Curso de Engenharia Elétrica, Setor de Tecnologia, Exatas, Universidade Federal do Paraná. Orientadora: Profa. Dra. Thelma Solange Piazza Fernandes.

CURITIBA

2011

“Se, a princípio, a ideia não é absurda, então não há esperança para ela.”

(Albert Einstein)

http://www.pensador.info/autor/Charles_Chaplin/

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Prof. Dr. Thelma Solange Piazza Fernandes, pela dedicação,

amizade e conhecimento cedidos para que esse trabalho fosse realizado.

Aos meus pais, Elza e Fernando por serem meu porto seguro e a minha

irmã Aline pelas infindáveis conversas e momentos de descontração.

À Profa Dra. Elizete Maria Lourenço e ao Prof. Dr. Odilon Luís Tortelli, por

aceitarem o convite de participação da banca e também pelas sugestões que

muito contribuíram para a análise dos resultados.

Aos meus amigos (as) Giovana, Victor, Luan, João Paulo, Bruna, Aramis,

André, Inajara, Cristiano, Joás, Paulo Roberto, Diógenes, Péricles e Sávio pelos

momentos de descontração e também pela ajuda empreendida.

E a todos os colegas e professores que de alguma forma ajudaram na

realização deste trabalho.

RESUMO

O congestionamento em linhas de transmissão é uma das diversas restrições que

limitam a exploração ótima dos recursos de energia. Alguns fatores como, o

aumento da complexidade dos sistemas, o constante crescimento da demanda e

as dificuldades (custo e questões ambientais) em se construir novas linhas

intensificam os gargalos de transmissão. A fim de contornar estes gargalos, esse

trabalho tem como objetivo analisar técnicas existentes e propor uma nova que

contorne o problema de congestionamento, utilizando o conceito de sensibilidade

entre variações de potência gerada com as variações nos fluxos das linhas. Os

resultados foram obtidos para um sistema de 33 barras que representa o sistema

elétrico da região Sul do Brasil.

Palavras-chave: Análise de sensibilidade, Congestionamento, Matriz

Sensibilidade, Gestão do congestionamento

ABSTRACT

The congestion in transmission lines is one of several restrictions that limit the

optimal exploitation of energy resources. Some factors as the increasing

complexity of systems, the load growth and the difficulties (cost and environmental

issues) to build new lines, results in transmission bottlenecks. In a way to avoid

this problem, this work aims to analyse already used techniques and propose a

new method that eliminates the congestion problem, using the concept of

sensitivity between the variations of power generation with the line flows

variations. The results were obtained for a 33 bus system which represents the

Southern electrical system of Brazil.

Keywords: Sensitivity analysis, Line congestion, Sensitivity matrix, Congestion

Management

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 1

1.1. Contexto ....................................................................................................................................... 1

1.2. Objetivo ........................................................................................................................................ 2

1.3. Estrutura do trabalho .................................................................................................................... 2

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................................................ 4

2.1. Métodos propostos na literatura ................................................................................................... 4

3. MATERIAIS E MÉTODOS ............................................................................................................... 9

3.1. SFC Linear ................................................................................................................................... 9

3.2. SFPO não linear ......................................................................................................................... 12

3.3. SKKT linear ................................................................................................................................ 18

3.4. Considerações finais do capítulo ............................................................................................... 25

4. RESULTADOS ............................................................................................................................... 26

4.1. Resultados para o Método SFC linear ....................................................................................... 26

4.1.1. Incremento de geração na barra 2 ............................................................................................. 28

4.1.2. Eliminando a sobrecarga em na linha (9-18) ............................................................................ 32

4.2. Resultados para o Método SFPO não linear ............................................................................. 33


4.2.2. Eliminando uma sobrecarga na linha (9-18) ............................................................................. 38

4.3. Resultado para o Método SKKT linear ....................................................................................... 39


4.3.2. Eliminando uma sobrecarga na linha (9-18) ............................................................................. 44

4.4. Comparação entre os métodos .................................................................................................. 45

5. CONCLUSÕES .............................................................................................................................. 48

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................................................... 49

LISTA DE FIGURAS

Figura 1- Ramo de um sistema de transmissão ................................................... 12

Figura 2 – Topologia do sistema - FONTE: ALVES (2007) .................................. 26

Figura 3–Relação entre ∆P e o erro para a linha (9-18) ....................................... 31

Figura 4 – Relação entre ∆P e o erro para a linha (19-18) ................................... 31

Figura 5 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (28-31) .................................... 32

Figura 6 – Relação entre ∆P e o erro para a linha (9-18) ..................................... 36

Figura 7 - Relação entre ∆Pl e o erro para a linha (19-18) ................................... 37

Figura 8 - Relação entre ∆Pl e o erro para a linha (28-31) ................................... 37

Figura 9 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (9-18) ...................................... 42

Figura 10 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (19-18) .................................. 43

Figura 11 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (28-31) .................................. 43

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Tipos de Barra do Fluxo de Carga Convencional ................................ 13

Tabela 2 – Valores de potência e ângulos ........................................................... 27

Tabela 3 – Fluxo nas linhas de intercâmbio ......................................................... 27

Tabela 4 – Valores de sensibilidade ( ) ............................................................... 27

Tabela 5 – Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação ......... 28

Tabela 6 – Fluxo nas linhas de intercâmbio para o novo ponto de operação ...... 28

Tabela 7 – Valores de ΔPj calculados a partir da matriz sensibilidade ................. 29

Tabela 8 – Erro entre os valores de fluxos ........................................................... 30

Tabela 9 - Fluxo nas linhas de intercâmbio após intervenção na barra ............... 33

Tabela 10 - Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação ....... 34

Tabela 11 – Fluxo nas linhas de intercâmbio para o novo ponto de operação .... 34

Tabela 12 – Valores de sensibilidade ( ) ............................................................ 34

Tabela 13 – Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação ....... 35


Tabela 15 – Valores de ΔPlj calculados a partir da matriz sensibilidade .............. 36

Tabela 16 – Erro entre os valores de fluxos ......................................................... 36

Tabela 17 – Fluxo nas linhas de intercâmbio após intervenção na barra 3 .......... 38

Tabela 18 – Valores de potência e ângulos ......................................................... 39

Tabela 19 – Fluxo nas linhas de intercâmbio ....................................................... 40

Tabela 20 –Valores de sensibilidade, .......................................................... 40

Tabela 21 – Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação ....... 41


Tabela 23 - Valores de ΔPlj calculados a partir da matriz sensibilidade ............... 42

Tabela 24 – Erro entre os valores de fluxos ......................................................... 42

Tabela 25 – Fluxo nas linhas de intercâmbio após intervenção na barra 1 .......... 44

Tabela 26 – Erro entre os valores de fluxos para os três métodos ...................... 45

Tabela 27 – Tabela de classificação das barras, para a linha (9-18), em relação

aos 3 métodos ...................................................................................................... 46

Tabela 28 - Tabela de classificação das barras, para a linha (19-18), em relação

aos 3 métodos ...................................................................................................... 46

Tabela 29 - Tabela de classificação das barras, para a linha (28-31), em relação

aos 3 métodos ...................................................................................................... 46

1. INTRODUÇÃO

1.1. Contexto

O congestionamento em linhas de transmissão ocorre quando os fluxos

de potência atingem a capacidade máxima dos equipamentos de transmissão ou

quando estes operam próximos a esse máximo. Essa condição de operação é

maléfica ao sistema, uma vez que ocasiona corte de carga, não cumprimento dos

contratos no mercado livre de energia e impede que sejam despachadas as

usinas com menor custo de operação.

O sistema brasileiro, por ser predominantemente hidráulico enfrenta

algumas dificuldades, pois os geradores de energia estão localizados,

geralmente, longe dos centros de carga. Não obstante, a preocupação com o

meio ambiente também tem dificultado e tomado tempo na construção de novas

linhas de transmissão. Devido a esse fato, novos meios e métodos são

necessários para a melhor utilização dos recursos já existentes.

Dentre os diversos métodos citados na literatura, muitos deles tratam o

problema de congestionamento através de realocação de geração, corte de

carga, cancelamento de transações de energia e reconfiguração dos sistemas de

transmissão (HOJI, 2006). A proposta desse trabalho é contornar o problema de

congestionamento utilizando o conceito de análise de sensibilidade.

A análise da sensibilidade das variáveis de um sistema de energia elétrica

em relação a um certo conjunto de ações de controle tem encontrado aplicação

em vários problemas de análise de redes, inclusive na determinação de ações de

controle corretivo a serem comandadas por um operador em um centro de

monitoração e controle do sistema (MONTICELLI, 1983). Nesse trabalho será

feita a análise de sensibilidade entre as variações nos fluxos das linhas de

transmissão em relação à potência gerada.

2

1.2. Objetivo

O objetivo deste trabalho é propor uma metodologia, baseada nas

condições de otimalidade de primeira ordem e no conceito de sensibilidade, para

contornar ou eliminar o problema de congestionamento em linhas de transmissão.

Para se atingir esse objetivo seguiu-se as seguintes etapas:

a) Entender o conceito de sensibilidade entre as variáveis de um sistema;

b) Revisão bibliográfica sobre manejo do congestionamento utilizando o

conceito de sensibilidade;

c) Formulação matemática e implementação computacional em

plataforma Matlab de métodos já existentes e do proposto;

d) Análise de resultados.

1.3. Estrutura do trabalho

No capítulo dois, é feita uma revisão bibliográfica sobre o que vem sendo

feito atualmente no que diz respeito ao manejo do congestionamento utilizando

fatores de sensibilidade.

No terceiro capítulo serão apresentadas as formulações dos métodos,

para a obtenção desses fatores de sensibilidade, baseados no fluxo de carga

linear (FC linear), no Jacobiano do fluxo de potência ótimo não linear (FPO não

linear) e do método proposto, que a partir das condições de KKT, utiliza a matriz

Hessiana para obter tais fatores. Os métodos serão citados como, Sensibilidade

para o Fluxo de Carga Linear (SFC linear), Sensibilidade para o FPO não linear

(SFPO não linear) e Sensibilidade baseada nas KKT (SKKT linear).

No capítulo 4 são apresentados os resultados de alguns testes realizados

para os três métodos. Foram feitas simulações a fim verificar os impactos que

incrementos de geração tem sobre os fluxos nas linhas de intercâmbio. Foi criada

uma situação em que se reduz a capacidade de transmissão de uma das linhas

de intercâmbio e então utilizando a matriz sensibilidade verifica-se o desempenho

3

das metodologias, ou seja, se a condição de congestionamento foi ou não

eliminada. Nesse capítulo, além de serem feitas análises dos resultados de cada

método individualmente, também é apresentada uma análise comparativa entre

os resultados dos três métodos.

Para encerrar, são listados os resultados positivos e negativos obtidos, as

dificuldades encontradas e propostas para trabalhos posteriores.

4

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1. Métodos propostos na literatura

Muitos trabalhos, a seguir listados, utilizam o conceito de sensibilidade em

linhas de transmissão para contornar ou manejar o problema de

congestionamento nas linhas.

Sob a justificativa de que, contornar o problema de sobrecarga e

congestionamento em linhas de transmissão através do redespacho de geração,

despende muito tempo, CHOI e MOON (2001) propuseram um algoritmo para

eliminar o congestionamento em linhas utilizando a sensibilidade linearizada, em

que o despacho dos geradores permanece inalterado, mas a abertura angular

entre as linhas é modificada através de dispositivos FACTS que alteram a

reatância série da linha.

A equação de sensibilidade proposta em CHOI e MOON (2001) fornece a

variação angular entre duas barras, em relação à variação da susceptância série

da linha.

(1)

onde

– Variação de potência entre as barras k e m;

– Variação da susceptância da linha que interliga as barras k e m;

– Susceptância da linha que interliga as barras k e m;

– Variação na abertura angular entre as barras k e m;

– Abertura angular entre as barras k e m.

Em SONG e KEZUNOVIC (2004) é proposto um método, que utiliza

fatores de contribuição baseados nos geradores e cargas. O método descrito

nesse artigo é segmentado em três partes. Assim, dado um congestionamento em

uma ou mais linhas, a primeira etapa calcula um Fator de Contribuição de Fluxo

na Rede (FNCF) a fim de controlar o fluxo na rede. Caso o problema não seja

5

contornado na primeira etapa, então, são calculados os Fatores de Contribuição

de Carga (FLCF) e Geração (FGCF) de modo a eliminar o congestionamento.

A formulação matemática utilizada para se calcular o FNCF, é baseada no

método de fluxo de potência desacoplado rápido. Como resultado final, as

variações no fluxo da linha estão relacionadas a três componentes: O Fator de

Contribuição de Fluxo na Rede, a indutância série da linha e a variação da

admitância da linha em questão.

Segundo os autores, para cada mudança nos parâmetros de uma linha,

pode-se obter todas as variações de fluxos nas demais linhas do sistema. E

também é possível calcular, a partir de uma variação de fluxo desejada, as

variações nos parâmetros da linha. Os resultados apresentados no trabalho foram

obtidos de simulações feitas no sistema 14 barras do IEEE.

No trabalho de JIBIKI, SAKAKIBARA E IWAMOTO (2007), foi proposto

um método de sensibilidade de fluxo de potência em linhas de transmissão

baseado no fluxo DC e nas reatâncias de linha. O método proposto pelos autores

tem o propósito de aliviar o congestionamento sem influenciar as transações de

potência ativa. Para levar a cabo tal proposta, os autores assim como no trabalho

de CHOI e MOON (2001) utilizaram dispositivos FACTS para contornar o

problema.

CHOI e MOON (2001) obtiveram os índices de sensibilidade de fluxo a

partir das admitâncias das linhas, já JIBIKI, SAKAKIBARA E IWAMOTO (2007),

para uma dada emergência, calculam índices de sensibilidade de fluxo a partir

das reatâncias das linhas a fim de determinar um valor de compensação para os

dispositivos FACTS.O método calcula um Fator de Contribuição de Reatância na

Rede (NRCF),relacionando as variações dos fluxos das linhas em função

de variações nas reatâncias das linhas ( ):

(2)

onde representa a sensibilidade de fluxo da linha .

HASRA, SINHA e PHULPIN (2009) propuseram um índice de

sensibilidade baseado na técnica de gestão de congestionamento, que é obtido

da reprogramação da geração e/ou corte de carga. O modelo matemático

6

proposto, chamado de Fatores de Sensibilidade (SFs), relacionam as injeções de

potência em uma barra com as variações de corrente nas linhas do sistema. Por

sua vez, esses fatores são utilizados para selecionar quais são as barras de

geração ou carga mais sensíveis na gestão do congestionamento.

A partir das equações de corrente entre duas barras, nota-se que o fluxo

de corrente em uma linha é influenciado tanto pela diferença angular quanto pelas

magnitudes de tensão (HASRA, SINHA e PHULPIN, 2009). Assim, uma variação

no fluxo de corrente na linha corresponde a uma variação nos ângulos e

magnitudes de tensão das barras. A fim de verificar essa correspondência, os

autores utilizaram-se das derivadas parciais da corrente em relação às variáveis

tensão e ângulo por barra, conforme a equação (3). E com algumas simplificações

chegaram às equações (4) e (5).

(3)

(4)

(5)

onde

,

,

,

– São as derivadas parciais de em relação aos

ângulos e tensões das barras k e m;

– fator de carga

;

nb – número de barras.

Os FSs, portanto, segundo HASRA, SINHA e PHULPIN (2009), quando

multiplicados por um vetor que representa as variações de potência por barra,

fornecem como resultado um vetor com as variações de corrente nas linhas. Os

resultados foram obtidos a para os sistemas de 30 e 118 barras do IEEE.

7

No trabalho de WIRMOND, FERNANDES e TORTELLI foi proposto um

modelo de otimização para alocação de defasadores angulares em sistemas de

transmissão congestionados. O problema de otimização foi resolvido através da

utilização dos Algoritmos Genéticos (AG) juntamente com o Fluxo de Potência

Ótimo (FPO). A estratégia proposta foi à adoção dos AG para a alocação ótima de

TCPST, utilizando o FPO para a solução do fluxo de carga e ajuste dos taps

defasadores. A formulação matemática para a metodologia foi baseada em

critérios de minimização dos custos de instalação dos equipamentos e

minimização da sobrecarga total do sistema. Essa metodologia foi testada em um

sistema de 291 barras que é o equivalente em carga pesada da rede elétrica do

estado do Paraná no Brasil que contém toda a rede de 525 kV, 230 kV, 138 kV e

69 kV.

A literatura também apresenta relações de sensibilidade que utilizam as

equações não lineares, obtidas, por exemplo, da matriz Jacobiana ( ) do clássico

problema de Fluxo de Potência (MEDEIROS, 1999).

(6)

onde,

S – matriz sensibilidade que relaciona as variações nos fluxos das linhas

( ), com variação de potência ativa em barras de geração ( ;

θ – vetor de ângulo de tensão;

V – vetor de magnitude de tensão, dimensão.

Outro trabalho que relaciona sensibilidades é o de FERNANDES e

ALMEIDA (2005), que utiliza a estrutura da matriz Hessiana, obtida de um Fluxo

de Potência Ótimo, a fim de calcular a sensibilidade entre magnitudes de tensão e

cargas de um sistema elétrico competitivo.

Desta revisão bibliográfica, percebe-se a existência de várias

metodologias para se obter relações de sensibilidade entre fluxos nas linhas e

demais parâmetros, tais como reatâncias, ângulos e geração de potência ativa.

8

As metodologias a serem implementadas e proposta neste trabalho, que

tem como objetivo calcular sensibilidades entre fluxos de potência ativa em linhas

de transmissão e injeções de potência ativa em barras de geração, são:

a) De Fluxo de Potência linear, inspiradas nos trabalhos de CHOI e

MOON (2001) e JIBIKI, SAKAKIBARA E IWAMOTO (2007);

b) De modelo Fluxo de Potência não linear utilizando o Jacobiano de

um Fluxo de Potência Ótimo, modelado exatamente como em

MEDEIROS (1999), e

c) De modelo não linear utilizando a matriz Hessiana de um Fluxo de

Potência Ótimo convergido como modelado em FERNANDES e

ALMEIDA (2005).

9

3. MATERIAIS E MÉTODOS

Neste capítulo, serão descritas as metodologias a serem implementadas

e analisadas a fim de se obter a melhor relação de sensibilidade entre fluxos de

potência ativa nas linhas de transmissão e injeções de potência ativa em barras

de geração.

3.1. SFC Linear

As equações de balanço de potência ativa representadas na forma linear

são:

(7)

onde

P- vetor de injeção de potência ativa (nb x1);

Pg - vetor das potências ativas geradas (nb x1);

Pd- vetor de cargas nas nb barras (nb x 1);

B - matriz tipo susceptância (nb x nb);

- vetor de ângulos de tensão das barras (nb x 1);

nb - número de barras do sistema.

O fluxo Pl nas linhas (Modelo Linearizado) generalizado para todo o

sistema é dado pela expressão (8).

(8)

onde,

Plij – Vetor de fluxo nas linhas (nl x 1);

X – Matriz diagonal com reatância xij (nl x nl);

A – Matriz de incidência barra-ramo (nb x nl), sendo que aij = -1se o ramo

se conecta a barra i e está orientado entrando nesta barra e aji = 1 se o ramo se

conecta a barra i e está orientada saindo desta barra;

θ – Vetor de ângulos das barras.

10

Como a matriz B é singular, inclui-se nas equações de balanço de

potência no problema ref = 0 (ref = barra de referência). Assim, a matriz B deve

ser reduzida pela retirada da coluna e da linha referente à barra ref que passa a

se chamar B’ (1: nred, 1: nred), onde nred = nb-1.

O novo vetor dos ângulos nas barras ’ passa a ser representado sem a

linha correspondente à barra de referência, a nova matriz de incidência A’

representada sem a linha correspondente à barra de referência e o vetor P’ sem a

linha da barra de referência, passando a se ter:

(9)

(10)

Da equação (9) pode-se re-escrever:

(11)

Substituindo (11) em (10) obtêm-se a equação (12), a qual expressa os

fluxos em função das injeções líquidas de potência ativa.

(12)

O termo que multiplica o vetor P’ é uma matriz de coeficientes constantes,

pois, seus valores dependem apenas dos parâmetros da rede. Reescrevendo a

equação (12) e substituindo o termo constante por α, chega-se a equação (13).

(13)

onde,

(14)

11

Deseja-se saber qual a relação entre a variação de fluxo nas linhas

devido a uma variação de potência em uma determinada barra do sistema. Para

tal, deriva-se a equação (13) em relação à e chega-se a equação (15).

(15)

A equação (15) fornece como resultado o impacto que uma variação de

potência, em uma dada barra, tem sobre o fluxo nas linhas.

Esta matriz sensibilidade α tem o seguinte formato:

(16)

onde

nl – número de linhas do sistema;

nb – número de barras do sistema.

Dada uma variação de potência ativa em qualquer uma das barras do

sistema, os valores de sensibilidade, de acordo com sua magnitude, não só

indicam quais serão as linhas mais afetadas, como também permitem quantificar

essas variações.

Assim, se houver linhas congestionadas, essa matriz pode indicar as

barras de geração que tem maior impacto sobre os fluxos violados. Como foi

exposto anteriormente, esta matriz sensibilidade é constante, ou seja, não

depende nem do patamar de carga ou ponto de operação, pois é fruto da

modelagem linear.

12

3.2. SFPO não linear

O problema do Fluxo de Potência – FP consiste na obtenção das

condições de operação, ou seja, magnitude e ângulo das tensões nodais, a partir

dos quais podem ser determinados os fluxos de potência ativa e reativa em

regime permanente de uma rede de energia elétrica com topologia, níveis de

geração e consumo conhecidos.

Na formulação básica do problema de FP são associadas quatro variáveis

a cada barra, conforme apresentado na Figura 1, a qual apresenta duas barras (k

e m) de um sistema de transmissão.

Vk , θk

Sk = Pk + jQk Sm = Pm + jQm

Vm , θm

Pkm , Qkm , Ikm

Figura 1- Ramo de um sistema de transmissão

As quatro variáveis representam:

– módulo da tensão da barra k;

– ângulo da tensão da barra k;

– potência ativa líquida injetada na barra k;

– potência reativa líquida injetada na barra k.

Por outro lado, aos ramos da rede, cujas barras extremas são k e m

associam-se as seguintes variáveis:

– corrente que sai da barra k em direção a barra m;

– fluxo de potência ativa que sai da barra k em direção a barra m;

– fluxo de potência reativa que sai da barra k em direção a barra m.

No fluxo de carga convencional, definem-se três tipos de barras, em

função das variáveis que são conhecidas e incógnitas, conforme mostrado na

Tabela 1.

13

Tabela 1 - Tipos de Barra do Fluxo de Carga Convencional

Tipo de Barra Notação Dados Incógnitas

Barra de Carga PQ Pk e Qk Vk e θk

Tensão Controlada PV Pk e Vk θk e Qk

Referência Vθ Vk e θk Pk e Qk

A Barra de Referência – Vθ é imprescindível na formulação do problema

em função de dois fatores (MONTICELLI, 1983):

a) Necessidade matemática de estipular um ângulo de referência;

b) Para fechar o balanço de potência da rede, pois as perdas de

transmissão não são conhecidas a priori, ou seja, não é possível definir as

injeções de potência do sistema antes de conhecer as perdas que são função dos

fluxos na rede.

Os fluxos de potência ativa e reativa nos ramos, ou seja, linhas e,

transformadores defasadores puros e defasadores, advêm das seguintes

expressões gerais:

(17)

(18)

Para as barras PV e PQ:

(19)

Para as barras PQ:

(20)

As equações (19) e (20) podem ser compactadas como:

14

(21)

onde,

(22)

Como se deseja estabelecer relações de sensibilidade entre algumas das

variáveis do sistema, as mesmas são separadas como:

u: variáveis de controle (Pg e V das barras PV)

x: variáveis dependentes (V e θ das barras PQ)

(23)

(24)

A equação (21), em termos de u e x podem ser expressas por:

(25)

Supondo que x0 e u0 são soluções de , dado um incremento

Δu nas variáveis de controle u, deseja-se saber qual será a variação Δx das

variáveis dependentes x.

(26)

(27)

Para obtenção dos incrementos nas variáveis dependentes, faz-se

expansão em Série de Taylor, em torno de x0 e u0, na direção Δx e Δu até o

termo de primeira ordem. Como resultado tem-se a equação (28).

15

(28)

Rearranjando a equação (28), obtém-se (29):

(29)

E, que

(30)

De (30), sabe-se que um dos termos é o Jacobiano ( ) da função f(x), que

relaciona as injeções de potência com as tensões nas barras:

(31)

Supondo que se deseje relacionar as variáveis de controle u, nesse caso

a potência ativa gerada, com as variáveis dependentes x. Assim,

(32)

(33)

(34)

Renomeando os termos correspondentes aos desvios de potência da

equação (21) chega-se a (35):

(35)

16

Novamente, através da expansão em Séries de Taylor, pode-se

determinar os incrementos Δx devido aos incrementos Δu. No processo é

calculada a derivada parcial de f(y) em relação a variável de controle Pg:

(36)

onde,

(37)

(38)

(39)

Substituindo (37), (38) e (39) em (36) e após isto, a equação (36) em (30):

(40)

Reorganizando os termos da equação (40) chega-se a:

(41)

Variações nos pontos de operação (V, θ) resultam em variações nos

fluxos. Essas variações podem ser expressas pelas equações (42) e (43).

17

(42)

(43)

Substituindo (41) em (43) chega-se a (44):

(44)

onde

(45)

A matriz (nl x 2nb) é uma matriz sensibilidade que relaciona as variações

nos fluxos das linhas com variações de potência ativa nas barras de geração,

(

).

Para se obter a matriz sensibilidade os seguintes passos devem ser

seguidos:

1) Rodar fluxo de potência via NR- convergido (são disponíveis as

magnitudes e ângulos das tensões nas barras e também a matriz

Jacobiana).

2) Calcular as derivadas e substituir os valores das magnitudes

e ângulos das tensões calculados no passo 1.

3) Calcular .

18

3.3. SKKT linear

Suponha um problema de otimização que envolva o despacho de geração

hidráulica e térmica para um determinado intervalo de tempo (horas), sendo que

se conhece a priori a quantidade de energia hidráulica que pode ser turbinada no

período. Esse problema de otimização é um Fluxo de Potência Ótimo.

Escolhendo-se a representação linear para as equações de balanço

(FPODC), os critérios de otimização utilizados são: minimização do custo da

geração térmica e custo de déficit, o qual é representado como sendo o custo de

um gerador fictício com valor elevado que assume a geração de potência, caso

haja algum problema de déficit de geração ou violação de restrições.

Esse FPODC é resolvido pelo Método dos Pontos Interiores versão

primal-dual e sua formulação geral é:

(46)

s.a.

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

onde

c(Pgt) – função custo da geração térmica;

c(Pgfic) – função custo da geração fictícia;

wc – peso para ponderação da função custo da térmicas;

wfic – peso para ponderação da função custo das fictícias;

Pgfic– geração de potência ativa fictícia;

B’’ – matriz do tipo susceptância da rede, que é a matriz B sem a coluna

referente à barra de referência, (nb x nb-1);

θ'– vetor de ângulo de tensão, (nb-1 x 1);

Pd – vetor com os valores de carga, (nb x 1);

19

Pghmax e Pghmin – vetores contendo respectivamente os limites

mínimos e máximos de geração de potência ativa dos geradores hidráulicos,

(nbx1);

Pgh – geração de potência ativa pelas usinas hidrelétricas, (nbx1);

Pgtmin e Pgtmax– vetores contendo respectivamente os limites mínimos

e máximos de geração de potência ativa dos geradores térmicos, (nbx1);

Pgt – vetor que representa a geração de potência ativa das usinas

termelétricas para todos os patamares, (nbx1);

Flmax e Flmin – vetores contendo respectivamente os limites máximos e

mínimos de potência ativa que fluem pelos ramos monitorados, (nbx1);

Meta – Vetor de energia, sendo que nas posições onde não se tem

geração hidráulica conectado seu valor é nulo, (nbx1);

Flmax e Flmin – vetor de fluxo de potência nas linhas monitoradas,

(nbx1);

Para transformar as restrições de desigualdade em restrições de

igualdade, são introduzidas variáveis de folga ao problema.

As restrições do problema passam a ser representadas da seguinte

maneira:

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

A fim de se representar as restrições de não negatividade das variáveis

de folga, o problema é modificado com a introdução da barreira logarítmica na

função objetivo do problema. O objetivo da barreira é penalizar a função objetivo

quando as variáveis de folga se aproximam da barreira.

O problema modificado passa a ser assim representado:

20

=1 + =1

=1 + =1

(61)

s.a

(62)

(63) (64)

(65) (66)

(67) (68) (69)

(70)

A função Lagrangiana associada a este problema é:

(71)

21

As variáveis duais são os multiplicadores de Lagrange associados às

restrições: e ´s.

As condições necessárias de otimalidade de primeira ordem (Condições de

Karush-Kuhn-Tucker) para este novo problema de otimização são:

(72)

Todo esse conjunto de equações pode ser representado por

(73)

22

onde,

(74)

Aplicando o Método de Newton às condições de KKT para resolução do

sistema por método iterativo, obtém-se o seguinte sistema de equações

linearizadas:

(75)

O sistema de equações (75) é resolvido a cada iteração, sendo que para

atualização das variáveis, deve-se calcular o comprimento do passo (), de modo

que:

- as variáveis de folga sejam todas 0.

- os multiplicadores de Lagrange relacionados a restrições de máximo

sejam positivos e relacionados a restrições de mínimo sejam negativos.

Assim, a atualização se dá como:

(76)

23

sendo que garante que as restrições de desigualdades não sejam violadas e

é uma constante que tem por finalidade garantir a interioridade da nova

aproximação, sendo utilizado o valor 0,9995.

O último passo dentro de cada iteração é recalcular o valor do parâmetro

barreira µ.O cálculo do parâmetro é baseado na relação:

(77)

onde,

l– número de restrições de desigualdade;

– fator de aceleração ( 1);

s – vetor formado pelas variáveis de folga;

– vetor formado pelos multiplicadores de Lagrange.

3.3.1. Impacto da Geração nos Fluxos

Para se obter a relação de sensibilidade entre a variável Pl (fluxo nas

linhas) e o vetor de geração Pg, ou seja, para se obter a relação recorre-

se à linearização das equações pertencentes às condições de KKT no ponto

ótimo (z*).

O vetor z pode ser decomposto em três vetores:

1) Pl: vetor de fluxo;

2) Pd:vetor de carga;

3) y: vetor que engloba todas as variáveis de otimização com exceção

do vetor Pl e Pd.

Assim, no ponto ótimo, as equações de KKT são expressas por:

(78)

Supondo um novo ponto de operação ótima, o qual é definido após um

incremento no vetor Pg, pode-se escrever:

24

(79)

Esta relação implica que:

(80)

Chamando:

(81)

que é a matriz Hessiana.

Assim,

(82)

E,

(83)

A relação é uma componente do vetor, contido em (83), que estabelece

qual o incremento ou decremento nos componentes de Pl devido a variações em

.

Já que numericamente uma injeção de potência pode ser representada

como uma carga negativa, utiliza-se o resultado obtido em 83 para se obter o

:

(84)

25

3.4. Considerações finais do capítulo

Este capítulo apresentou uma revisão dos métodos citados na literatura

(SFC linear e SFPO não linear), que através do conceito de sensibilidade

relacionam variações de fluxos nas linhas com variações de potência gerada.

Foi apresentado também um método que, utilizando a matriz Hessiana, é

possível relacionar variações de fluxo nas linhas com incrementos ou

decrementos de geração.

Ambos os métodos citados acima foram implementados e testados em

plataforma Matlab. Os resultados obtidos, bem como a análise e discussão dos

mesmos serão apresentados no Capítulo 4.

26

4. RESULTADOS

Este capítulo tem como objetivo apresentar os resultados pertinentes às

simulações dos métodos supracitados e suas implicações, os quais foram

desenvolvidos na plataforma Matlab 7.10.0 (R2010a) versão estudante, simulado

em um PC Pentium(R) Dual-Core, 2,00 GHz com SO Windows 7 e testado para o

sistema de 33 barras proposto por ALVES (2007), cujos dados se encontram-se

nos anexos de 1 a 4. A potência base adotada tanto nas simulações quanto na

apresentação dos resultados é de 100 MVA.

Figura 2 – Topologia do sistema - FONTE: ALVES (2007)

4.1. Resultados para o Método SFC linear

Os resultados, que serão detalhados a seguir, foram obtidos para um

ponto de operação dado pela Tabela 2, adotando a barra 1 como referência.

27

Tabela 2 – Valores de potência e ângulos

Barra Potência

Gerada (pu) Ângulo (rad)

1 5,4536 0,0000

2 3,1452 0,0294

3 2,9651 0,0008

14 4,2794 0,0002

15 4,2665 0,1070

16 1,7089 0,0089

17 3,6063 0,0401

No intuito de facilitar a compreensão dos resultados, foram analisados

apenas os resultados para as linhas (9-18), (19-18) e (28-31) que são as linhas de

intercâmbio entre as áreas A e B.

Para esse ponto de operação, os fluxos nas linhas de intercâmbio estão

ilustrados na Tabela 3.

Tabela 3 – Fluxo nas linhas de intercâmbio

Linha Fluxo (pu)

(9-18) 5,2272

(19-18) -0,5308

(28-31) -2,3540

A matriz sensibilidade (α) tem dimensão (nl x nb) e foi obtida pela

aplicação da equação (14). Está ilustrada na Tabela 4 parte da matriz (α) na qual

há interesse, ou seja, nas posições referentes as linhas de intercâmbio. Valores

positivos de sensibilidade significam que para um incremento de geração, a

variação de fluxo é positiva, em contrapartida para valores negativos, a variação

de fluxo é negativa.

Tabela 4 – Valores de sensibilidade ( )

Geração Linhas

11 2 3 14 15 16 17

(9-18) 0,0000 0,6825 0,8713 0,4025 0,2990 0,3996 0,7340

(19-18) 0,0000 0,1256 0,0288 0,0326 0,0242 0,4880 0,0595

(28-31) 0,0000 -0,1919 -0,0999 0,4351 0,3233 -0,1124 -0,2064

1 Barra de folga do sistema

28

A Tabela 4 fornece os valores de sensibilidade de cada gerador para cada

uma das linhas de intercâmbio. Os valores de sensibilidade referentes à barra 1

são nulos, pois, na posição da barra de folga, linha e coluna da matriz Y são

eliminadas.

Uma vez obtidos os valores de sensibilidade para ponto de operação

analisado, deseja-se verificar qual o real impacto que um incremento de geração

tem sobre os fluxos nas linhas de intercâmbio. Para efeito de comparação,

adotam-se os resultados fornecidos pelas Tabelas 2, 3 e 4 como referência.

4.1.1. Incremento de geração na barra 2

A partir do caso de referência incrementa-se 0,1 pu à barra 2. Os valores

de geração e fluxo para o novo ponto de operação são dados pelas Tabelas 5 e 6

respectivamente.

Tabela 5 – Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação

Barra Potência


1 5,3536 0,0000

2 3,2452 0,0335

3 2,9651 0,0024

14 4,2794 0,0019

15 4,2665 0,1085

16 1,7089 0,0111

17 3,6063 0,0422

Tabela 6 – Fluxo nas linhas de intercâmbio para o novo ponto de operação

Linha Fluxo (pu)

(9-18) 5,2954

(19-18) -0,5182

(28-31) -2,3732

Analisando as tabelas de fluxos do caso referência e da presente

situação, verifica-se que houve variações nos fluxos.

Por exemplo, o impacto no fluxo da linha i devido a variação na geração da

barra j:

29

(85)

(86)

(87)

onde,

– Novo valor de fluxo na linha (i);

– Fluxo na linha (i) antes da variação de potência na barra (j);

– Valor de sensibilidade da linha (i) para a barra (j);

– Incremento ou decremento de geração na barra (j);

– Variação de fluxo na linha (i) calculada a partir da matriz

sensibilidade.

Assim, diferença ΔPli pode ser obtida através da equação (86), onde

ΔPg2 tem valor 0,1 na posição da barra 2 e nas demais posições os valores são

nulos. A Tabela 7 ilustra os valores de ΔPli calculados a partir da matriz

sensibilidade.

Tabela 7 – Valores de ΔPj calculados a partir da matriz sensibilidade

Linha ΔPlj(pu)

(9-18) 0,0871

(19-18) 0,0029

(28-31) -0,0099

É intuitivo verificar se as variações (ΔPli) reais, ou seja, obtidas através do

fluxo de carga com incremento de geração a barra 2, e as obtidas através da

matriz sensibilidade são compatíveis. Para tal, calcula-se o erro através da

equação (88).

Os resultados obtidos estão ilustrados na Tabela 8.

(88)

30

onde,

Erro (%) – erro percentual;

– Fluxos nas linhas (i=1,2,...,nl) para o caso referência;

– Variações de fluxo calculadas a partir da matriz sensibilidade;

– Fluxos nas linhas, obtidos através do fluxo de carga, dado o

incremento de potência na barra 2.

Tabela 8 – Erro entre os valores de fluxos

Linha (pu)

(pu) Erro (%)

(9-18) 5,2955 5,3143 0,3556

(19-18) -0,5182 -0,5279 1,8683

(28-31) -2,3732 -2,3640 -0,3886

Para a variação de 0,1 pu na barra 2, os erros não foram significativos,

porém deseja-se saber até que valores de incremento o erro se mantêm em uma

faixa aceitável.

Realizaram-se outras simulações para incrementos de geração de 0,1 a 1

pu para cada uma das barras. Os erros foram calculados a partir da equação (88)

e o comportamento destes em relação aos incrementos de geração, para cada

uma das linhas, pode ser observado nas Figuras 3, 4 e 5.

Figura 4 – Relação entre ∆P e o erro para a linha (19-18)

-5

0

5

10

15

20

25

30

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Erro (%)

∆P (pu)

Relação entre ∆P e o erro para linha (19-18)

Barra 2

Barra 3

Barra 14

Barra 15

Barra 17

31

Figura 3–Relação entre ∆P e o erro para a linha (9-18)


-2

0

2

4

6

8

10

12

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Erro (%)

∆P (pu)

Relação entre ΔP e o erro para a linha (9-18)

Barra 2

Barra 3

Barra 14

Barra 15

Barra 16

Barra 17

-5

0

5

10

15

20

25

30

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Erro (%)

∆P (pu)


Barra 2

Barra 3

Barra 14

Barra 15

Barra 17

32

Figura 5 - Relação entre ∆P e o erro para a linha (28-31)

Na figura 4 a informação referente à barra 16 foi suprimida, pois o erro

atrelado a essa barra ultrapassou 1000%, dificultando a visualização dos erros

das demais barras de geração.

Algumas informações podem ser inferidas dos gráficos. Fica evidente que

o erro tende aumentar quanto maiores forem os incrementos de geração. O erro

também tem correlação com a posição geográfica do gerador, aqueles mais

distantes eletricamente foram os que apresentaram maiores erros.

4.1.2. Eliminando a sobrecarga em na linha (9-18)

Uma dos objetivos do trabalho é utilizar a matriz sensibilidade como

ferramenta para contornar ou eliminar a sobrecarga em uma linha. Reduziu-se

então a capacidade de transmissão da linha (9-18) que originalmente era de 8 pu

para 5,0 pu. Deseja-se que o fluxo de 5,2272 pu passe a ser de 4,5 pu, ou seja,

deseja-se um de -0,7272 pu.

O primeiro passo é escolher a que barra corresponde ao maior valor de

sensibilidade para a linha (9-18). A partir da Tabela 4 retira-se a informação de

que o maior valor de sensibilidade se dá para a barra 3 seguida da barra 17.

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Erro (%)

∆P (pu)


Barra 2

Barra 3

Barra 14

Barra 15

Barra 16

Barra 17

33

Uma vez que todos os valores de sensibilidade para a linha (9-18) são

positivos e que qualquer incremento de geração, em qualquer uma das barras,

tende a aumentar o fluxo na linha em questão, a alternativa é trabalhar com

decrementos de geração. Dada à variação de fluxo desejada e o valor de

sensibilidade, a equação (89) fornece como resultado o decremento de potência

necessário para se obter tal variação.

(89)

Somou-se a barra 3 o calculado acima. A partir de uma nova

simulação (Fluxo de carga DC) foram obtidas as novas distribuições de fluxos,

conforme ilustrado na Tabela 9.

Tabela 9 - Fluxo nas linhas de intercâmbio após intervenção na barra

Linha Fluxo (pu)

(9-18) 4,5001

(19-18) -0,5548

(28-31) -2,2706

A partir dos resultados fornecidos pela Tabela 9 verificou-se que a

sobrecarga na linha (9-18) foi eliminada e que o valor de fluxo esperado foi muito

próximo ao obtido.

4.2. Resultados para o Método SFPO não linear

Nesta seção serão discutidos os resultados para o método não linear,

baseada na matriz Jacobiana (SFPO não linear). Para o ponto de operação

ilustrado na Tabela 10 os valores de fluxos nas linhas de intercâmbio são dados

pela Tabela 11.

34

Tabela 10 - Valores de potência e ângulos para o novo ponto de operação

Barra Potência


1 5,7800 0,0000

2 2,7906 0,0020

3 6,6691 0,0463

14 4,0000 -0,0373

15 4,0000 0,0754

16 0,8504 -0,0600

17 1,6786 -0,0072


Linha Fluxo (pu)

(9-18) 6,1414

(19-18) 1,0846

(28-31) -2,5021

A matriz sensibilidade obtida através da equação (45), e a parte em que

há interesse é dada pela Tabela 12.

Tabela 12 – Valores de sensibilidade ( ) Geração Linhas

12 2 3 14 15 16 17

(9-18) 0,0000 0,6685 0,8649 0,3854 0,2938 0,3828 0,7187

(19-18) 0,0000 -0,1207 -0,0263 -0,0294 -0,0227 -0,4956 -0,0553

(28-31) 0,0000 -0,2079 -0,1071 0,4101 0,3115 -0,1184 -0,2236

Assim como na matriz sensibilidade obtida para o método SFC linear, a

coluna referente à barra de folga apresenta valores nulos de sensibilidade. Os

valores de sensibilidade positivos, para incrementos de potência nas barras de

geração, refletem em variações positivas nos fluxos das linhas. O contrário

acontece quando os valores de sensibilidade são negativos.

As informações dadas pelas Tabelas 10, 11 e 12 são adotadas como

referência para posterior comparação de resultados.


35


A partir dos resultados do caso referência, soma-se um incremento de

potência de 0,1 pu à barra 2. Os valores de geração e fluxo para o novo ponto de

operação são dados pelas Tabelas 13 e 14.


Barra Potência


1 5,7800 0,0000

2 2,8906 0,0043

3 6,6568 0,0462

14 4,0000 -0,0373

15 4,0000 0,0754

16 0,8403 -0,0599

17 1,6010 -0,0085


Linha Fluxo (pu)

(9-18) 6,1380

(19-18) 1,0821

(28-31) -2,5030

Comparando os fluxos do caso referência com os da Tabela 14, verificou-

se alteração nos fluxos.

Sabe-se que a cada barra está associado um valor de sensibilidade, e

que, a partir das variações das potências geradas, é possível calcular as

variações nos fluxos. Para esse caso, o incremento de 0,1 pu a geração da barra

2 tende a aumentar o fluxo na linha (9-18), em contrapartida o decremento na

barra 3 faz justamente o contrário devido o sinal do valor de sensibilidade para

cada uma dessas barras. Por se tratar de um FPO os geradores são livres e a

cada mudança no ponto de operação, novos valores de geração são obtidos. A

variação total no fluxo da linha (9-18), então, será soma das variações oriundas

de cada incremento ou decremento nas barras geração.

A Tabela 15 ilustra os valores de calculados a partir da matriz

sensibilidade, equação (45). O erro entre o fluxo estimado, através da matriz

sensibilidade, e o obtido através de simulação, está ilustrado na Tabela 16.

36

Tabela 15 – Valores de ΔPlj calculados a partir da matriz sensibilidade

Linha ΔPlj (pu)

(9-18) -0,0034

(19-18) -0,0025

(28-31) -0,0009


Linha (pu)

(pu) Erro (%)

(9-18) 6,1380 6,1380 0,0011

(19-18) 1,0821 1,0821 -3,0290E-05

(28-31) -2,5030 -2,5030 -0,0003

A exemplo do que foi feito no método linear, as Figuras 5, 6 e 7 ilustram,

para cada uma das linhas, o comportamento do erro em relação aos incrementos

de potência.


-0,02

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Erro (%)

ΔP (pu)

Relação entre ΔP e o erro para linha (9-18)

Barra 2

Barra 3

Barra 14

Barra 15

Barra 16

Barra 17

37



O comportamento do erro em relação aos incrementos de potência, salvo

a magnitude do erro, é semelhante ao observado no método linear. Para ambas

as linhas o maior erro manteve-se abaixo de 1%.

-0,8

-0,7

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Erro (%)

∆P (pu)


Barra 2

Barra 3

Barra 14

Barra 15

Barra 16

Barra 17

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Erro (%)

∆P (pu)


Barra 2

Barra 3

Barra 14

Barra 15

Barra 16

Barra 17

38

4.2.2. Eliminando uma sobrecarga na linha (9-18)

Reduzindo-se a capacidade da linha (9-18) para 5 pu, e simulando para o

mesmo ponto de operação, o valor do fluxo na linha é superior ao seu limite. A

partir do caso referência sabe-se que o fluxo na linha é de 6,1414 pu, ou seja, é

desejável que, para um fluxo inferior ao limite, a variação seja superior a -1,1414.

Segundo a Tabela 12 que ilustra os valores de sensibilidade para o

método SFPO não linear, a barra 3 é a que possui maior valor de sensibilidade.

Na tentativa de fazer a variação de fluxo na linha (9-18) ( ) se tornar igual

a -1,1414, utilizando a equação (90), foi decrementado 1,3197 pu na geração da

barra 3, que ficou fixada em Pg3 =(6,6568-1,3197) pu. Como em um FPO todas as

barras de geração estão livres para se ajustarem, todas elas (com exceção da

barra 3 que foi fixada em 5,3494 pu ) podem ser redespachadas de modo a

alterar o fluxo nesta linha.

Assim, para a linha (9-18), a variação total do fluxo é a soma de todas as

variações de potência multiplicadas por suas respectivas sensibilidades. A partir

da equação (44) chega-se a equação (90):

(90)

onde,

– valores de sensibilidade da linha (9-18) para cada uma das barras

de geração, onde, 0,6685 0,8649 0,3854 0,2938 0,3828 0,7187].

– vetor das variações de potência gerada para cada um dos

geradores, obtido do FPO.

– variação de fluxo na linha (9-18)

A variação de fluxo na linha (9-18), para esse decremento de potência, foi

de -0,2364 pu, como ilustrado na Tabela 17.

Tabela 17 – Fluxo nas linhas de intercâmbio após intervenção na barra 3

Linha Fluxo (pu)

(9-18) 5,9330

(19-18) 1,0279

(28-31) -2,6515

39

Esse resultado fique aquém da variação necessária para que a

sobrecarga na linha seja eliminada. Foi dito anteriormente que a variação total do

fluxo em uma linha é a soma das contribuições de cada uma das barras. Nesse

caso, somou-se uma variação de potência apenas na barra 3, portanto as

variações de potência nas demais barras do sistema diminuíram o efeito da

variação na barra 3.

A fim de se verificar se existe algum valor de que possa eliminar a

sobrecarga na linha, foram realizados testes para até cinco vezes o valor de

(Pg3 = 6,6691 + (-6,5985)). Para essa condição extrema, o fluxo na linha (9-18) foi

de 5,0799 pu, valor que ainda ultrapassa o novo limite máximo estipulado.

Conclui-se então que modificando o valor de geração em apenas uma

barra, o resultado desejado não é atingido. Uma alternativa seria adicionar

incrementos ou decrementos de potência (de acordo com o sinal de sensibilidade)

para todas as barras de geração, ou seja, fixar todos os valores de geração,

entretanto, tal estratégia descaracterizaria o problema de FPO.

4.3. Resultado para o Método SKKT linear

Nas seções 4.1 e 4.2 foram apresentados os resultados para os métodos

existentes na literatura. Nessa seção serão apresentados os resultados para o

método proposto, ou seja, o que utiliza a matriz Hessiana.

Seguindo a mesma estrutura utilizada nas outras seções, os resultados

referentes ao ponto de operação estão dispostos nas Tabelas 18 e 19. A matriz

sensibilidade é obtida através da equação (84), e a parte que é de interesse é

dada pela Tabela 20.

Tabela 18 – Valores de potência e ângulos

Barra Potência


1 5,4536 0,0000

2 3,1452 0,0294

3 2,9651 0,0008

14 4,2794 0,0002

15 4,2665 0,1070

16 1,7089 0,0089

17 3,6063 0,0401

40

Tabela 19 – Fluxo nas linhas de intercâmbio

Linha Fluxo (pu)

(9-18) 5,2273

(19-18) -0,5308

(28-31) -2,3540

Tabela 20 –Valores de sensibilidade, Geração Linhas

1 3 2 3 14 15 16 17

(9-18) -0,2682 0,1420 0,2619 -0,0048 -0,0724 -0,0306 0,1734

(19-18) -0,0572 0,0451 -0,0523 -0,0276 -0,0352 0,4068 -0,0209

(28-31) -0,1107 -0,1952 -0,0935 0,3183 0,2080 -0,1545 -0,2026

Pode-se notar que, para esse método, mesmo a barra 1 sendo a

referência do sistema, a informação de sensibilidade, na referida posição, não foi

perdida, pois em um FPO a barra 1 é apenas uma barra de referência angular do

sistema.

Assim como foi feito nas seções precedentes, deseja-se verificar o

desempenho do método proposto para variações nas potências geradas.

Inicialmente realizaram-se testes para a barra 2 e em seguida para as demais

barras do sistema.


Adotando-se os resultados do item anterior como referência, verificou-se

o comportamento do sistema para um incremento de 0,1 pu na geração da barra

2. Os valores de geração e fluxo para o novo ponto de operação são dados pelas

Tabelas 21 e 22, respectivamente.


41


Barra Potência


1 5,4637 0,000

2 3,2452 0,0313

3 2,9277 0,0002

14 4,2716 0,00001

15 4,2779 0,1074

16 1,6959 0,0086

17 3,5429 0,0391


Linha Fluxo (pu)

(9-18) 5,2272

(19-18) -0,5307

(28-31) -2,3540

O incremento de geração na barra 2 não só teve impacto sobre os fluxos

como também forçou o sistema a operar em um novo ponto, cujos valores de

geração, para cada uma das barras, diferiram do caso de referência.

Utilizando-se da equação (84), pode-se calcular a variação de fluxo

esperada através da matriz de sensibilidade.

A variação nos fluxos é resultado da diferença entre os valores de

geração do caso referência e do caso em estudo. No método SFC linear a

variação se dá apenas na posição do gerador onde houve incremento ou

decremento de geração, porém, para este caso, o vetor é :

Sabe-se que para cada um dos geradores, e para cada uma das linhas,

está atrelado um valor de sensibilidade. Partindo desse fato toma-se como

exemplo a seguinte situação:

O incremento de geração, de 0,1 pu, na barra 2, originou decrementos de

potência nas barras 3, 4, 16 e 17. Portanto, para uma mesma linha, a variação

42

total do fluxo é a soma de todas as variações de potência multiplicadas por suas

respectivas sensibilidades. As variações nos fluxos, calculadas a partir da

equação (84), estão ilustradas na Tabela 23.

Tabela 23 - Valores de ΔPlj calculados a partir da matriz sensibilidade

Linha ΔPlj (pu)

(9-18) -0,0157

(19-18) 0,0014

(28-31) -0,0006

Utilizando-se da equação (88) o erro foi calculado e está ilustrado na Tabela 24.


Linha (pu)

(pu) Erro (%)

(9-18) 5,2115 5,2176 0,1170

(19-18) -0,5293 -0,5291 -0,0635

(28-31) -2,3546 -2,3564 0,0753

As Figuras 8, 9 e 10 mostram a relação do erro, para cada uma das

linhas, com os incrementos de potência que vão de 0,1 a 1,0 pu.


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Erro (%)

∆P (pu)


Barra 1

Barra 2

Barra 3

Barra 14

Barra 15

Barra 16

Barra 17

43



Observam-se nessas figuras que o comportamento dos erros são

análogos aos erros dos métodos SFC linear e SFPO não linear (Jacobiano). À

medida que se aumenta os incrementos de potência o erro também cresce

rapidamente.

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Erro (%)

∆P (pu)


Barra 1

Barra 2

Barra 3

Barra 14

Barra 15

Barra 16

Barra 17

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Erro (%)

∆P (pu)


Barra 1

Barra 2

Barra 3

Barra 14

Barra 15

Barra 16

Barra 17

44

4.3.2. Eliminando uma sobrecarga na linha (9-18)

No caso referência, o fluxo na linha (9-18) é de 5,2273 pu. Deseja-se que

o fluxo na linha (9-18) seja menor que uma nova capacidade máxima, 5 pu. De

maneira análoga as seções precedentes, escolhe-se a posição na matriz

sensibilidade que apresenta maior valor de sensibilidade, para essa situação

escolheu-se a barra 1.

Uma vez que o valor de sensibilidade escolhido tem sinal negativo e o

objetivo é reduzir o fluxo em pelo menos 0,2274 pu, utilizando a equação (91)

oriunda da equação (84), foi aplicado um incremento de 0,8480 pu de geração na

barra 1.

(91)

onde,

– valores de sensibilidade para cada uma das barras de geração;

ΔPg – vetor das variações de potência gerada para cada um dos

geradores;

ΔPl(9-18) – variação de fluxo desejada.

A variação de fluxo obtida, para o incremento de potência, é de -0,3751

pu, como ilustra a Tabela 25 e pelas sensibilidades é igual a -0.2346 pu.

Tabela 25 – Fluxo nas linhas de intercâmbio após intervenção na barra 1

Linha Fluxo (pu)

(9-18) 4,8522

(19-18) -0,6197

(28-31) -2,4897

Esse resultado garante que a sobrecarga na linha foi eliminada.

45

4.4. Comparação entre os métodos

Nessa seção serão comparados os resultados dos métodos das seções

4.1, 4.2 e 4.3.

Cada um dos métodos tem naturezas diferentes de solução, o que

inviabiliza a comparação direta entre as matrizes sensibilidade. Um é fruto da

abordagem linear de um fluxo de carga, outro é um FPO não linear e o último é

um FPO linear.

A Tabela 26 apresenta uma compilação dos erros calculados por cada um

dos três métodos, para a situação de incremento de geração na barra 2.

Tabela 26 – Erro entre os valores de fluxos para os três métodos

Linhas SFC linear SFPO não linear SKKT linear

(9-18) 0,3556 % 0,0011 % 0,1170 %

(19-18) 1,8683 % -3,0290E-05 % -0,0635 %

(28-31) -0,3886 % -0,0003 % 0,0753 %

Comparando-se os resultados obtidos entre os métodos SFC linear e

SFPO não linear, verifica-se que o não linear, por ser mais exato, apresenta erros

menores.

Já entre o método SFPO não linear e o que utiliza as KKT, percebe-se

que o não linear ainda apresenta melhores resultados. No entanto, comparando-

se o linear com o das KKT, que também é um método linear, percebe-se que esse

último é melhor, pois incorporam na solução as restrições operacionais do

sistema.

Outra alternativa de análise é criar uma classificação onde seriam

comparados, não a magnitude dos valores de sensibilidade, e sim, informações

sobre quais geradores são os mais indicados para contornar o problema de

congestionamento. As Tabelas 27, 28 e 29 mostram a classificação de todas as

barras, para cada uma das linhas analisadas.

46

Tabela 27 – Tabela de classificação das barras, para a linha (9-18), em relação aos 3 métodos

Linha (9-18) (DC) Linha (9-18) (Jac.) Linha (9-18) (KKT)

Col. Barra Sens. Barra Sens. Barra Sens.

1º 3 0,8713 3 0,8649 1 -0,2681

2º 7 0,7340 7 0,7188 3 0,2618

3º 2 0,6825 2 0,6686 7 0,1734

4º 4 0,4025 4 0,3855 2 0,1419

5º 6 0,3996 6 0,3829 5 -0,0724

6º 5 0,2990 5 0,2938 6 0,0305

7º 1 0,0000 1 0,0000 4 -0,0047

Tabela 28 - Tabela de classificação das barras, para a linha (19-18), em relação aos 3 métodos

Linha (19-18) (DC) Linha (19-18) (Jac.) Linha (19-18) (KKT)


1º 6 0,4880 6 -0,4957 6 0,4068

2º 2 0,1256 2 -0,1208 1 -0,0572

3º 7 0,0595 7 -0,0554 3 -0,0523

4º 4 0,0326 4 -0,0294 2 0,0450

5º 3 0,0288 3 -0,0263 5 -0,0352

6º 5 0,0242 5 -0,0227 4 -0,0276

7º 1 0,0000 1 0,0000 7 -0,0209

Tabela 29 - Tabela de classificação das barras, para a linha (28-31), em relação aos 3 métodos

Linha (28-31) (SFC) Linha (28-31) (SFPO.) Linha (28-31) (SKKT)


1º 4 0,4351 4 0,4102 4 0,3182

2º 5 0,3233 5 0,3616 5 0,2080

3º 7 -0,2064 7 -0,2236 7 -0,2025

4º 2 -0,1919 2 -0,2079 2 -0,1951

5º 6 -0,1124 6 -0,1184 6 -0,1545

6º 3 -0,0999 3 -0,1072 1 -0,1107

7º 1 0,0000 1 0,0000 3 -0,0934

onde,

Col – colocação do método;

SFC – resultados para o método SFC linear;

SFPO – resultados para o método SFPO não linear;

SKKT – resultados para o método S KKT linear;

Sens – valores de sensibilidade.

Das Tabelas 27 a 29, observa-se que os valores de sensibilidades obtidos

pelo método linear e não linear apresentam valores semelhantes.

47

Aparentemente, o método das KKT diverge quanto às sensibilidades, no

entanto, observando-se a 29, conclui-se que para a linha (28-31) as 5 barras de

geração mais significativas são: 4, 5, 7, 2 e 6 ( para os três métodos). Nenhuma

destas barras é a de referência.

Já para a linha (9-18), pelo método das KKT as barras mais significativas

são 1, 3, 2 e 7. Os outros dois métodos são incapazes de reconhecer a barra de

folga como barra significativa, o que pode mascarar os resultados apresentados

por estas metodologias.

48

5. CONCLUSÕES

Neste trabalho foram apresentados os métodos linear, não linear e o

método proposto, para análise de sensibilidade do fluxo em relação a potência

gerada. Cada um dos métodos descrito foi implementado computacionalmente em

plataforma Matlab.

Os resultados obtidos demonstram que a matriz sensibilidade, como

ferramenta ou meio de eliminar o congestionamento, deve ser utilizada para

pequenos incrementos ou decrementos de potência, pois, como foi visto nas

ilustrações, o erro aumenta rapidamente. Invariavelmente, para todos os métodos,

as magnitudes dos erros aumentam à medida que se distanciam os geradores

das linhas em análise.

Foram apresentados resultados para uma situação onde o

congestionamento foi eliminado utilizando a matriz sensibilidade. Para esse teste,

apenas os resultados do método SFPO não linear (Jacobiano) estiveram aquém

do desejado.

Por fim, em uma análise onde todos os geradores foram classificados

quanto seu valor de sensibilidade, verificou-se que para os métodos linear e não

linear as primeiras posições foram ocupadas pelos mesmos geradores. Em

apenas uma das linhas os métodos classificaram os mesmos geradores para as

primeires posições. A existência de diferença entre a classificação fornecida pelo

método proposto e os citados anteriormente, se deve nitidamente ao fato de

existir um valor de sensibilidade diferente de zero para barra de folga. Isto posto,

os resultados apresentados para o método proposto satisfazem os objetivos do

trabalho.

49

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ICPS '09. International Conference on , vol., no., pp.1-5, 27-29 Dec. 2009

HOJI, E. S.; Análise de sensibilidade através de um modelo implicitamnte

acoplado para alívio de sobrecargas em redes de transmissão Dissertação de

Mestrado (UNESP, Ilha Solteira), 2006

JIBIKI, T.; SAKAKIBARA, E.; IWAMOTO, S.; , Line Flow Sensitivities of Line

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MEDEIROS, A. D. R.; Soluções Corretivas De Tensão e Fluxos De Potência”,

Dissertação de Mestrado (UFSC, Florianóplis), 1999.

MONTICELLI, A. J.; Fluxo de carga em redes de energia elétrica. São Paulo:

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congestion management. Power Systems Conference and Exposition, 2004. IEEE

PES , vol., no., pp. 977- 981 vol.2, 10-13 Oct. 2004

50

WIRMOND, V. E.; FERNANDES, T. S. P.; TORTELLI, O. L.; TCPST Allocation

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Electrical Power and Energy Systems. No Prelo.

ALVES, W. F.; Proposição de sistemas-teste para análise computacional de

sistemas de potência. Dissertação de Doutorado. Niterói-RJ, 2007.

51

ANEXOS

ANEXO 1. Dados de Barra

Nº Nome Tipo Tensão Faixa

Área Max Min

800 Gov. Bento Munhoz V 13,8 1,050 0,950 1

808 Salto Caxias PV 13,8 1,050 0,950 2

810 Salto Segredo PV 13,8 1,050 0,950 2

814 Bateias PQ 230 1,050 0,950 1

824 Gov. Bento.Munhoz PQ 500 1,090 0,950 1

839 Cascavel PQ 230 1,050 0,950 2

840 Cascavel PQ 138 1,050 0,950 2

848 Foz do Chopin PQ 138 1,050 0,950 2

856 Segredo PQ 500 1,090 0,950 2

895 Bateias PQ 500 1,090 0,950 1

896 Cascavel do Oeste PQ 500 1,090 0,950 2

897 Salto Caxias PQ 500 1,090 0,950 2

898 Foz do Chopin PQ 230 1,050 0,950 2

904 Itá PV 13,8 1,050 0,950 1

915 Machadinho PV 13,8 1,050 0,950 1

919 Salto Osório PV 13,8 1,050 0,950 2

925 Salto Santiago PV 13,8 1,050 0,950 2

933 Areia PQ 500 1,090 0,950 1

934 Areia PQ 230 1,050 0,950 2

938 Blumenau PQ 500 1,090 0,950 1

939 Blumenau PQ 230 1,050 0,950 1

955 Campos Novos PQ 500 1,090 0,950 1

959 Curitiba PQ 500 1,090 0,950 1

960 Curitiba PQ 230 1,050 0,950 1

964 Caxias PQ 500 1,090 0,950 1

965 Caxias PQ 230 1,050 0,950 1

976 Gravataí PQ 500 1,090 0,950 1

995 Itá PQ 500 1,090 0,950 1

1030 Machadinho PQ 500 1,090 0,950 1

1047 Salto Osório PQ 230 1,050 0,950 2

1060 Salto Santiago PQ 500 1,090 0,950 2

1210 Gravataí-230 PQ 230 1,050 0,950 2

2458 Cascavel-230 PQ 230 1,050 0,950 2

Coluna Descrição

Nº Número de identificação da barra.

Nome Nome de identificação da barra.

Tipo

Corresponde ao tipo de barra a ser representado nos dados de fluxo de potência, onde:

Tipo V = Barra de referência ou swing

Tipo PV = Barra de tensão regulada ou de geração

Tipo PQ = Barra de carga

Tensão Corresponde a tensão nominal de operação da barra, em kV.

Faixa Faixa de tensão correspondente aos níveis máximos e mínimos de tensão que a barra pode operar em regime permanente, em pu.

Área Número de identificação da área elétrica ou subsistema ao qual a barra pertence.

FONTE: ALVES (2007)

52

ANEXO 2. Dados de linha

Seqüência Positiva e Negativa Seqüência Zero De Para Nome V Circ R+ X+ B CN CE R0 X0

824 933 G.B.Munhoz-Areia 500 1 0,0100 0,1240 15,204 2182 2182 0,04 0,29

824 933 G.B.Munhoz-Areia 500 2 0,0100 0,1260 15,428 2182 2182 0,04 0,29

839 898 Cascavel-F.Chopin 230 1 1,1300 6,9900 12,617 189 318 4,88 19,51

839 1047 Cascavel-S.Osório 230 1 1,2200 7,6900 13,810 189 323 5,44 21,20

839 2458 Cascavel-Cascavel

Oeste 230 1 0,2200 1,0900 1,8601 319 413 0,77 2,95

839 2458 Cascavel-Cascavel

Oeste 230 2 0,1700 1,0300 2,0537 356 356 0,65 3,26

856 933 Segredo-Areia 500 1 0,0520 0,6540 80,493 2273 2273 0,29 1,68

856 1060 Segredo-S.Santiago 500 1 0,0560 0,6970 85,746 2182 2182 0,31 1,79

896 897 Cascavel Oeste-

S.Caxias 500 1 0,0500 0,7300 78,060 1637 1637 0,50 1,90

898 1047 F.Chopin-S.Osório 230 1 0,1500 0,8900 1,6317 324 324 0,62 2,51

933 895 Areia-Bateias 500 1 0,2000 2,5500 312,72 2110 2110 2,77 10,53

933 955 Areia-Campos Novos 500 1 0,1620 2,0480 250,17 2110 2110 2,22 8,44

933 959 Areia-Curitiba 500 1 0,2000 2,6900 336,40 2182 2182 2,72 10,86

934 1047 Areia-Salto Osório 230 1 3,0450 15,738 27,123 319 319 15,21 44,43

934 1047 Areia-Salto Osório 230 2 3,0410 15,718 27,089 319 319 15,20 44,40

938 955 Blumenau-C.Novos 500 1 0,2556 2,9224 360,40 2037 2037 3,17 12,06

938 959 Blumenau-Curitiba 500 1 0,1270 1,6030 195,89 1266 1266 1,73 6,60

955 964 Campos Novos-Caxias 500 1 0,1877 2,3467 287,24 1688 1688 2,42 8,76

959 895 Curitiba-Bateias 500 1 0,0500 0,4400 47,580 2110 2110 0,47 1,80

964 976 Caxias-Gravataí 500 1 0,0733 0,9164 112,17 1688 1688 0,98 3,55

976 995 Gravataí-Itá 500 1 0,2820 3,8520 493,70 1688 1688 3,62 15,18

995 964 Itá-Caxias 500 1 0,1643 3,0339 354,88 2182 2182 3,04 11,54

995 1030 Itá-Machadinho 500 1 0,0730 0,9200 112,26 2182 2182 0,83 3,22

995 1060 Itá-Salto Santiago 500 1 0,1720 2,1700 265,16 2110 2110 2,35 8,94

1030 955 Machadinho-C.Novos 500 1 0,0470 0,5900 71,818 2182 2182 0,48 1,86

1060 897 S.Santiago-S.Caxias 500 1 0,0760 1,1710 124,58 2370 2681 0,80 3,04

Coluna Descrição

De Número de identificação da barra de origem.

Para Número de identificação da barra de destino.

Nome Nome de identificação do circuito.

V Tensão nominal de operação do circuito, em kV.

Circ Número de identificação do circuito.

R+ Resistência equivalente de seqüência positiva do circuito, em %.

X+ Reatância equivalente de seqüência positiva do circuito, em %.

B Susceptância shunt total do circuito, em Mvar.

CN Capacidade de carregamento do circuito em condições normais de operação,

em MVA.

CE Capacidade de carregamento do circuito em condições de emergência, em

MVA.

R0 Resistência equivalente de seqüência zero do circuito, em %.

X0 Reatância equivalente de seqüência zero do circuito, em %.

Linha 1 Primeira linha de transmissão ou circuito um no caso de circuitos paralelos.

Linha 2 Segunda linha de transmissão ou circuito dois no caso de circuitos paralelos.

RM Parte resistiva da impedância mútua (seqüência zero do circuito), em %.

XM Parte reativa da impedância mútua (seqüência zero do circuito), em %.

FONTE: ALVES (2007)

53

ANEXO 3. Dados de carga

Barra Nome Tensão Carga

MW Mvar

814 Bateias 230 680 130

960 Curitiba 230 790 330

939 Blumenau 230 940 50

965 Caxias 230 700 49

1210 Gravataí 230 1100 400

934 Areia 230 235 57

2458 Cascavel do Oeste 230 400 125

840 Cascavel 138 150 32

848 Foz do Chopin 138 90 17

Total 5 085 1 190

FONTE: ALVES (2007)

ANEXO 4. Dados de Máquinas

Geração de Potência Ativa (MW)

Barra Nome Nº de

Máquinas

Geração Máxima

por Máquina

Geração Máxima

Total

800 G.B.Munhoz 4 418,5 1674

808 Salto Caxias 4 310 1240

810 Salto Segredo 4 315 1260

904 Itá 5 170 1450

915 Machadinho 3 260 1140

919 Salto Osório 4 120 728

925 Salto Santiago 4 220 1420

Total 28 8 912

FONTE: ALVES (2007)

universidade federal do paranÁ setor de tecnologia...

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