TE220

DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS

Bibliografia:

1. Fundamentos de Física. Vol 2: Gravitação, Ondas e

Termodinâmica. 8va edição. Halliday D., Resnick R. e Walker J.

Editora LTC (2008). Capítulos 15, 16 e 17.

2. Fundamentals of Waves & Oscillations. Ingard K.U.

Cambridge University Press (1988)

3. The Feynman Lectures on Physics. Vol I. Feynman R.P.,

Leighton R.B., Sands M. Addison-Wesley Publishing Company

(1977)

4. Física Vol 1. 4ta edição. Tipler P. LTC editora (1999)1

Conteúdo sobre oscilaçõesConteúdo sobre oscilaçõesConteúdo sobre oscilaçõesConteúdo sobre oscilações�Deslocamento, velocidade e aceleração no Movimento

Harmônico Simples - MHS.

�Energia no MHS.

�Exemplos de MHS: sistema massa mola, pêndulo

matemático, pêndulo físico, pêndulo de torção.

�Oscilador Harmônico amortecido.

�Oscilação forçadas/ressonância.

�Oscilações não lineares

�Sistemas complexos2

Des

loca

men

to

Tempo (t)

( ) ( ) cosmx t x tω φ= +2

2 fT

πω π= =

Exemplo de um Movimento

Harmônico Simples (MHS)

O movimento é periódico, ou seja se repete com o tempo. O tempo

necessário para uma repetição é chamado período (símbolo T, unidade: s).

O número de repetições por unidade de tempo é chamado frequência

(símbolo f, unidade: Hz). f = 1/T .

O deslocamento da partícula é dado pela equação x(t)= xmcos(ωt+φ).

A fig. (b) é o gráfico de x(t) contra t. xm é chamada amplitude do

movimento. Ela expressa o deslocamento máximo possível do objeto que

oscila. “ω” é chamada frequência angular do oscilador. Ela é determinada

pela equação:

3

A figura mostra duas partículas P e Q com a mesma ω.

Escolhemos t=0 quando P passa pelo eixo x.

Q passa pelo eixo x no momento t=t1 (na figura abaixo t1 = T/8)

Portanto a dependência temporal da coordenada x para P e Q é:

xp = A cos(ωt) xq = A cos[ω(t-t1)]

O movimento harmônico de Q se diz atrasado respeito de P em t1

O valor negativo de t1 indica que Q está detrás de P

O argumento da função cosseno, ω(t-t1) é chamada de fase.

O deslocamento angular φ =ωt1 é chamado de ângulo de fase.

Fase e ângulo de fase

Vamos utilizar como

definição do movimento

harmônico:

x = A cos[ω(t-t1)]

= A cos(ωt- φ)

φ

φ

4

Des

loca

men

toV

elo

cid

ade

Ace

lera

ção

( )( ) cosmx t x tω φ= + “φ” é o ângulo de fase do oscilador, é determinado

a partir do deslocamento x(0) e da velocidade v(0)

em t = 0. Na fig. (a) x(t) é desenhado contra t para φ

= 0. x(t) = xm cos ωt.

Velocidade no MHS

( )[ ] ( )φωωφω +−=+== tsenxtxdt

d

dt

tdxtv mm cos

)()(

“ωxm” é chamado amplitude da velocidade vm. Ele

expressa o máximo valor possível de v(t).

Na fig. (b) a velocidade v(t) é desenhada contra t

para φ = 0. v(t) = -ωxm sen ωt.

Aceleração no MHS ( )[ ] ( ) xtxtsenxdt

d

dt

tdvta mm

22 cos)(

)( ωφωωφωω −=+−=+−==

“ω2xm” é chamado amplitude da aceleração am. Ele expressa o máximo valor

possível de a(t). Na fig. (c) a aceleração a(t) é desenhada contra t para φ = 0.

a(t) = -ω2xm cos ωt.5

1. Qual a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma

amplitude de 2,20 cm a uma frequência de 6,60 Hz ?

( )( ) ( )22 2 2(2 ) 2 6.60 Hz 0.0220 m 37.8 m/s .

m m ma x f xω π π= = = =

2.Uma partícula com massa igual a 1,00 10-20 kg está oscilando em um

MHS com um período de 1,00 10-5 s e uma velocidade máxima de 1,00

103 m/s. Calcule (a) a frequência angular e (b) o deslocamento máximo

da partícula.

ω = 2π/(1.00 × 10–5 s) = 6.28 × 105 rad/s.(a)

(b) = =1.00 10

6.28 10= 1.59 10 .

3

5

3x

vm

m

ω

×

×× − m / s

rad / s m

Exercícios

6

3. Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para a frente e para trás por

uma distância de 2,00 mm em MHS, com uma frequência de 120 Hz.

Encontre (a) a amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c) a

intensidade da aceleração máxima da lâmina.

(a)

(b)

(c)

xm = 1.0 mm

( )( )3= 2 = 2 120 Hz 1.0 10 m = 0.75 m/s.m mv fxπ π −×

( ) ( )( ) ( )222 3 2 2= = 2 = 2 120 Hz 1.0 10 m = 5.7 10 m/s .

m m ma x f xω π π −× ×

Exercícios

Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (12) (16) (17)Perguntas: (1) (2) (3)

7

k

mω = 2

mT

kπ=

2m

TC

π=

A lei da força para o MHS

Nos vimos que a aceleração de um objeto sob MHS é: a = -ω2x.

Aplicando a segunda lei de Newton obtemos: F = ma = - mω2x = -(mω2)x

O MHS acontece quando a força é proporcional ao deslocamento da

partícula com sinal contrário. A força pode ser representada por: F = - Cx

onde C é uma constante. Comparando as duas expressões para F obtemos:

mω2 = C e

Considere o movimento de uma massa m ligada

a uma mola com uma constante de mola k sobre

uma superfície horizontal sem atrito como na

figura.

O módulo da força resultante F sobre m é dada pela lei de Hooke: F = -kx.

Comparando esta equação com a expressão F = -Cx identificamos que

neste caso C = k.

Agora podemos calcular a

frequência angular ω e o período T8

1. Um pequeno corpo com massa igual a 0,12 kg está sujeito a um MHS

com amplitude 8,5 cm e período de 0,20 s. (a) Qual a intensidade da força

máxima agindo sobre ele (b) Se as oscilações são produzidas por uma mola,

qual a constante da mola?

(a)

(b)

Exercícios

9

2. Um oscilador é formado por um bloco de massa igual a 0,500 kg ligado a

a uma mola. Quando posto para oscilar com amplitude de 35,0 cm, o

oscilador repete seu movimento a cada 0,500 s. Determine (a) o período,

(b) a frequência, (c) a frequência angular, (d) a constante da mola, (e) a

velocidade máxima, (f) a intensidade da força máxima que a mola exerce

sobre o bloco.

(a) T = 0,500 s

(b) f = 1/T = 1/(0,500 s) = 2,00 Hz

ω = 2πf = 2π(2,00 Hz) = 12,6 rad/s(c)

(d)

(e)

k = mω2 = (0,500 kg) (12,6 rad/s)2 = 79,0 N/m

vm = ω xm = (12,6 rad/s)(0,350 m) = 4,40 m/s

(f) Fm = kxm = (79,0 N/m)(0,350 m) = 27,6 N

Exercícios

10

Ener

gia

Ener

gia

Energia no MHS A energia mecânica E do MHS é a soma das suas

energia cinética K e potencial U

Energia potencial )(cos2

1

2

1 222 φω +== tkxkxU m

Energia cinética 2

2

1mvK =

)(2

1)(

2

1 22222 φωφωω +=+= tsenkxtsenxmK mm

Energia mecânica KUE +=

[ ] 2222

2

1)(cos)(

2

1mm kxttsenkxE =+++= φωφω

Na figura se observa o comportamento da energia cinética K, a energia

potencial U e a energia mecânica E com o tempo.

U e K variam com o tempo entanto E permanece constante. A energia se

transfere de uma forma para a outra mantendo a soma constante. 11

1. A figura mostra a energia cinética K de um oscilador harmônico simples

em função da posição x. Qual é a constante elástica?

Exercícios

Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (30)Perguntas: (9) (10)

½ k xm2 = 6,0 J ⇒ k = 8,3 ×102 N/m

Inferimos do gráfico que E = 6,0 J = Umax

A amplitude é 12 cm, portanto:

12