UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – P D E

LOURDES MOLINA VELASCO

MATEMÁTICA

OBJETO DE APRENDIZAGEM COLABORATIVO (OAC)

TEOREMA DE PITÁGORAS, ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Proposta de Projeto de Material Pedagógico Apresentada ao Professor

Emerson Joucoski

Orientador do Programa de

Desenvolvimento Educacional – PDE

CURITIBA

2008

SUMÁRIO

1. RECURSO DE EXPRESSÃO ................................................................................. 3

2. RECURSOS DE INVESTIGAÇÃO .......................................................................... 7

2.1 Investigação Disciplinar ..................................................................................... 7

2.2. perspectiva Interdisciplinar ............................................................................... 8

2.3. Contextualização ............................................................................................ 10

3. RECURSOS DIDÁTICOS...................................................................................... 11

3.1 Sítios ................................................................................................................ 11

3.2 .Sons e Vídeos ................................................................................................ 12

3.3 Proposta de Atividade : .................................................................................... 15

4. RECURSO DE INFORMAÇÃO ............................................................................. 26

4.1 Sugestão de Leitura ......................................................................................... 26

4.2. Notícias ........................................................................................................... 27

4.3. Destaques ....................................................................................................... 29

4.4 PARANÁ ......................................................................................................... 30

3

OAC – OBJETO DE APRENDIZAGEM COLABORATIVO

IDENTIFICAÇÃO

Autora: Lourdes Molina Velasco

Ensino: Fundamental

Disciplina: Matemática

Conteúdo Estruturante: Geometrias

Conteúdo Específico: Teorema de Pitágoras

1. RECURSO DE EXPRESSÃO

Problematização do Conteúdo

Quais as ações pedagógicas necessárias para articular o ensino-

aprendizagem de matemática e a metodologia da Resolução de Problemas?

Título:

A Resolução de Problemas como método para auxiliar o processo de ensino-

aprendizagem da matemática

Texto:

Pretendemos abordar o conteúdo Teorema de Pitágoras, a partir da

metodologia “Resolução de Problemas”, para auxiliar o processo no ensino-

aprendizagem. Na organização deste ambiente de aprendizagem, visaremos a

compreensão, o diálogo mediado pela pesquisa, os questionamentos e a reflexão

sobre os conceitos.

4

O ensino de matemática tem sido alvo de muitas críticas concernentes às

metodologias desenvolvidas nas salas de aula. Tais admoestações recaem sobre o

formalismo de ações praticadas pelos educadores. No relatório da SAEB de 2001,

podemos averiguar referências como:

As orientações metodológicas e os objetivos do processo de ensino e aprendizagem de

matemática, na educação básica, vêm passando por profundas mudanças. Apesar da enorme

diferença entre o que se prescreve e o que de fato se realiza, existe um razoável consenso

entre os professores de que o ensino de matemática não pode limitar-se a um processo que

tenha como finalidade a simples memorização de regras e técnicas.

Quanto à avaliação em Matemática, é preciso repensar certas idéias ainda dominantes entre

os professores, notadamente as que concebem como prioritário avaliar a memorização de

fórmulas, regras e esquemas, e não a verificação de conceitos e o desenvolvimento de

atitudes. Ressalta-se que a avaliação em matemática tem uma dimensão social ( )

Sabemos que a resolução de problemas, ponto sensível no ensino da

disciplina, pode acontecer através de uma linguagem matemática concisa, com

exagerada memorização de regras e com todos os dados expressos no texto. Além

disso, passam a idéia de que são aplicados, sistematicamente, após a exposição de

cada conteúdo, sem priorizar informações de relevância social ou a interferência

mais efetiva do aluno no processo de resolução. A existência dessa metodologia é

questionada por Maria A.V. Bicudo (2004).

Como levar os professores de matemática incluírem numerosas experiências com Resolução

de Problemas, em suas salas de aula, de modos que seus alunos possam aprender

matemática com compreensão e de forma significativa? Resolver problemas é um bom

caminho para se ensinar matemática. Entretanto, os problemas não têm desempenhado bem

seu papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como uma forma de

aplicação de conhecimentos anteriormente adquiridos pelos alunos. Quem deve trabalhar

todas essas idéias? Quem deve ser responsável por essa mudança que se pretende para a

sala de aula de matemática? Quem deve promover um ensino aprendizagem capaz de formar

um cidadão participativo, reflexivo e autônomo, útil à sociedade quando deixar a escola?

As Diretrizes Curriculares para o Estado do Paraná (p. 25) destacam a

necessidade de um ensino de matemática voltado à formação plena do aluno,

gerada por um ambiente de construção de conhecimentos.

“É preciso, ainda, considerar que pela Educação Matemática almeja-se um ensino que

possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e

formulação de idéias. Aprende-se Matemática não somente por sua beleza ou pela

consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento

e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade”.

5

Para educadores como Stephen Krulik (1980), “A resolução de problemas é a

própria razão do ensino da matemática”, devendo constituir, portanto, o foco das

atividades no ambiente escolar.

Um dos precursores dessa metodologia foi G. Polya que, a partir de 1954

publicou obras como A Arte de Resolver Problemas, cuja proposição é a formação

da habilidade para resolver problemas. Propõe para tanto, um roteiro que se inicia

com a compreensão do texto, passa para a elaboração de um plano para resolvê-lo,

a seguir, pela execução desse plano e finaliza com a verificação ou prova dos

resultados obtidos.

Maria Aparecida Viggiani Bicudo (2004, p.206), cita os três modos diferentes

de abordar Resolução de Problemas segundo Schroeder & Lester (1989) que amplia

a proposta acima para uma educação matemática mais significativa, trazendo três

métodos para a reflexão do professor, que são: (a) ensinar sobre resolução de

problemas, (b) ensinar a resolver problemas e (c) ensinar matemática através da

resolução de problemas. Ao professor cabe a tarefa de dosar cada forma

mencionada, para equilibrar as abordagens de problemas.

A autora refere-se também a Van de Walle (2001) que sugere que ensinar

matemática através da resolução de problemas requer do professor a criação de um

ambiente matemático motivador e estimulante. Para tanto, cada aula deverá

compreender três fases: na primeira, deve preparar o aluno para receber a tarefa,

esclarecendo os objetivos, Na segunda parte, os alunos trabalham e o professor

observa e avalia. Na terceira fase, o professor aceita a solução dos alunos sem

avaliá-las, conduz as discussões, levando os alunos à auto-avaliação. Na seqüência,

o professor formaliza o conteúdo, aplicando os conceitos apreendidos.

Na busca de alternativas para o trabalho com interações no ambiente desta

metodologia, muitos pesquisadores voltam-se para o ambiente de inspiração

lakatosiana ou ambiente das verdades provisórias. Nesse contexto, a produção do

conhecimento é através do trabalho em grupo e possui como características: facilitar

o processo de conjecturas, promover um desenvolvimento sempre aberto, estimular

provas e refutações, desenvolver uma postura flexível frente à certeza e,

principalmente, às incertezas, buscar um desenvolvimento lógico-dedutivo para

6

todos, construir conhecimento desconhecido a priori e explorar situações que os

alunos tenham condições cognitivas para compreender e enfrentar. Davis & Hersh

(1982) assim se refere ao idealizador do ambiente lakatosiano Imre Lakatos: ”Em

vez de matemática esqueletizada e fossilizada, ele apresenta a matemática

crescendo a partir de um problema e uma conjectura, com uma teoria adquirindo

forma sob nossos olhos, no calor do debate e da discordância, a dúvida cedendo

lugar à certeza e em seguida a novas dúvidas”.

O processo onde se ensina matemática através de situações-problema deve

ser encarado como complexo, exigindo planejamento e diversificação de estratégias,

se considerarmos os vários tipos de problemas que poderão ser utilizados. De

acordo com Luiz Roberto Dante (2005, p.16), temos: (a) Problemas-padrão que

envolvem a aplicação direta de algoritmos aprendidos: (b) Problemas–processo ou

heurísticos que envolvem operações que não estão contidas no enunciado; (c)

Problemas de aplicação ou situações-problema que retratam situações cotidianas e

(d) problemas de quebra-cabeça que fazem parte da matemática recreativa.

O ensino-aprendizagem de matemática com resolução de problemas parece

significativo para a educação desde que se estabeleçam mudanças nas posturas

pedagógicas. Assim, certamente as ações desenvolvidas para esse processo

poderão significar maior compreensão, domínio e aplicação de conceitos na

aprendizagem de matemática. Maria Aparecida V Bicudo (2004, p.230) sugere o

ensino de matemática através de resolução de problema, concluindo: ¨Acreditamos

que esta metodologia de ensino possa contribuir sobremaneira para uma

aprendizagem mais efetiva e significativa desta disciplina”.

BICUDO, M. A. V & BORBA, M.C. Educação Matemática: Pesquisa em Movimento.

São Paulo: Cortez. 2004.

SAEB, BRASIL. Ministério da Educação. Resultados da avaliação em matemática.

Brasília: 200l.

DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São

Paulo: Ática, 2005.

7

KRULIK, S. & REYS, R.E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São

Paulo, Saraiva, 2005.

LOPES, Antonio José. Gestão de interações e produção de conhecimento

matemático em um ambiente lakatosiano. Educação Matemática em Revista.São

Paulo, v. ,n.7,p.19,1999.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Currículo Básico para a escola pública

do Estado do Paraná. Curitiba: SEED, 2006.

POLYA, G. A Arte de resolver problemas. Rio de janeiro: Interciência, 2006

2. RECURSOS DE INVESTIGAÇÃO

2.1 Investigação Disciplinar

Título:

Pesquisando alternativas

Texto:

A preparação dos materiais didáticos, utilizando-se a resolução de problemas

como um processo, parece estimular uma análise criteriosa. Dentro desse processo

de aprendizagem, os problemas devem apresentar as características de questões

abertas, permitindo a experimentação de caminhos para sua resolução através da

formulação de hipóteses.

Considerando-se o tema Teorema de Pitágoras podemos promover uma

busca ampla de conhecimentos em problemas relacionados com a construção civil,

sendo propícia também a troca de experiências com colegas e os próprios alunos.

PEGGY A.HOUSE (2005, p.218), faz indicações sobre o acervo de problemas que

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devem ser construídos para a resolução de problemas: (... ) A permuta de problemas

com outros professores é uma fonte rica de material novo. E alguns dos melhores

problemas serão aqueles que os próprios alunos e professores criarão ou

descobrirão em seu cotidiano. (...).

Dentro da proposta de Resolução de Problemas, torna-se importante que o

professor se aproprie de conteúdos relacionados a projetos de modelagem

matemática. Na obra de Maria Salett Biembengut e Nelson Hein, A Modelagem

Matemática no Ensino (p.52) podemos encontrar o desenvolvimento de um trabalho

sobre construção de casas. Torna-se oportuno para o desenvolvimento do conteúdo

Teorema de Pitágoras, por promover questionamentos relacionados com a forma

triangular nas estruturas de telhados, podendo configurar como ponto de partida

para o desenvolvimento do tema. No site

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/modelagem/Modelagem_Tesouras_We

b/modelagem_tesouras.htm., podemos encontrar mais um exemplo sobre o assunto.

BIEMBENGUT, M. S. & HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. São Paulo:

Contexto, 2005.

HOUSE, Peggy A. Aventurando-se pelos caminhos da resolução de problemas: In

Krulik, Stephen&REYS, Robert E. A Resolução de Problemas na Matemática

Escolar. São Paulo: Saraiva 2005.

2.2. perspectiva Interdisciplinar

Título: Conexões matemáticas com a história e as artes

Texto:

9

São muitas as possibilidades interdisciplinares que poderão ser exploradas,

através do Teorema de Pitágoras, sob a perspectiva da Resolução de Problemas.

No Ensino Fundamental, podemos destacar duas disciplinas fortemente

relacionadas com o assunto: História e Artes.

A História justificamos, frente à impossibilidade que de dissociar a construção

do conhecimento matemático ao longo da evolução da humanidade. Maria da

Conceição F.R.Fonseca (2005, p.83) argumenta que “É a história que se infiltra na

constituição de significados da Matemática, obrigando a uma redefinição conceitual

dos modos de propor, realizar e analisar as práticas pedagógicas”.

Artes, como se mostra evidente, pelas formas geométricas constantes nas

obras de artes, que também se entrelaçam com a própria existência humana. No

livro Matemática Paratodos de Luiz M. Imenes & Marcelo C. Lellis (pg. 122) temos

um texto criado a partir de reportagens sobre a arte de Luiz Sacilotto, que utilizava a

geometria em suas produções culturais. Outra grande possibilidade dentro desta

área são as possíveis influências de Pitágoras na formação do sistema musical.

Podemos destacar muitos links que favorecem a pesquisa e promovem ambientes

atrativos para o trabalho do professor.

a) http://www.exatas.com/matematica/pitagoras.html: Oferece uma biografia

de Pitágoras, sua relação com a música, demonstrações, bibliografias e links

diversos.

b) http://www.educacaopublica.rj.gov.br/biblioteca/matematica/mat05.htm:

mostra a relação entre matemática e artes.

c) http://www.geometria.com.br/geometria/: Apresenta vasta biografia de

Pitágoras e sua importância para descobertas matemáticas.

d) http://www.geometria.com.br/geometria/: Mostra a importância da

matemática nas ciências e na arte.

10

e) http://www1.folha.uol.com.br/folha/ciencia/ult306u5765.shtml: Texto

publicado na folha de São Paulo de autoria de Marcelo Geliser, que traça um

paralelo entre a matemática, a ciência, a música e a natureza.

FONSECA, Maria C.F.R. Educação Matemática de Jovens e Adultos. Belo

Horizonte: Autêntica Editora, 2005.

IMENES, Luiz M.& LELLIS, Marcelo C. Matemática Paratodos. São Paulo: Editora

Scipione, 2007.

2.3. Contextualização Título:

Compreensão de conceitos com significados.

Texto:

É consenso entre os Educadores matemáticos a necessidade de tornar mais

significativo o aprendizado de conceitos matemáticos pelo aluno.

Maria da conceição F. R. Fonseca (2005) argumenta que:

(...) Torna-se cada vez mais evidente a necessidade de contextualizar o conhecimento

matemático a ser transmitido ou construído, não apenas inserindo-o numa situação problema,

ou numa abordagem dita “concreta”, mas buscando suas origens, acompanhando sua

evolução, explicitando sua finalidade ou seu papel na interpretação e na transformação da

realidade para a qual o aluno se depara e/ou de suas formas de vê-la e participar dela. ”.

Segundo a mesma autora as relações entre os saberes acadêmicos e

populares devem ser examinadas constantemente pelo educador matemático, na

busca do sentido pela re-inclusão dos significados da matemática que é ensinada e

aprendida (2005, p.79).

Sugerimos para este ambiente três formas para a contextualização do

Teorema de Pitágoras, através da metodologia da Resolução de Problemas:

11

a) Análise e problematização de uma construção civil, partindo do ponto de vista de

um mestre de obras. Como são efetuadas as medidas dos ângulos? Existe um

esquadro? É utilizado o triângulo Retângulo com 3, 4 e 5 unidades de lado, da

mesma maneira que os egípcios? Quais os processos usados para calcular as vigas

das tesouras de um telhado? Como ele faz para que as paredes fiquem “no

esquadro”, ao levantá-las?

b) Análise de uma construção que apresente inclinações irregulares, que direcione

questionamentos sobre a inviabilidade de tal ocorrência.

c) Utilização do Esquadro egípcio com 3, 4 e 5 unidades para a verificação do

ângulo reto, e realização de medidas na própria sala de aula.

FONSECA, Maria C.F.R. Educação Matemática de Jovens e Adultos. Belo

Horizonte: Autêntica Editora, 2005.

.

3. RECURSOS DIDÁTICOS

3.1 Sítios

Título do Sítio: Pitágoras

Disponível em (endereço web):

http://www.mat.ufg.br/docentes/jhcruz/ensino/Pitagoras.htm

Acessado em: novembro/2007

Comentários:

Oferece diversas demonstrações do Teorema de Pitágoras, aplicações

interessantes em situações problema e aponta outros links para pesquisa.

12

Título do Sítio: Geometria Dinâmica

Disponível em (endereço web): http://www.matematica.br/programas/

em : novembro/2007

Comentários:

Apresenta programas voltados à geometria dinâmica, com softwares livres,

que poderão ser utilizados para abordagens de problemas sobre o Teorema de

Pitágoras.

Título do Sítio: Geometria Dinâmica Disponível em (endereço web):

http://www.mat.ufrgs.br/%7Eedumatec/atividades/sugest.htm

Acessado em: novembro/2007

Comentários:

Propõe atividades diversas, com utilização de tecnologias no

desenvolvimento de geometria dinâmica.

3.2 .Sons e Vídeos

3.2.1. Vídeo

Título: O Barato de Pitágoras

Direção; José Roberto Sadok

Produtora: TV Escola

Duração (hh:mm); 14min14s

Local da Publicação; Ministério da Educação

Ano: Não consta.

Disponível em (endereço web):

13

http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraDownload.do?select_action=

&co_obra=20833&co_midia=6

Comentário:

Inicia-se com situações familiares com referencia às dificuldades do aluno em

memorizar o Teorema de Pitágoras, sem que haja relações que levem à sua

compreensão. Promove relações históricas, laboratório com dobraduras e

contextualização ao longo de sua veiculação.

3.2.2. Áudio - CD/MP3

. Título da música: Construção

. Executor/Intérprete; Chico Buarque de Holanda

. Título do CD: Construção Número da faixa: 01

. Nome da Gravadora: Poligram Int’l Ano: 1971

. Disponível em: http://musica.todaoferta.uol.com.br/cds/

Texto:

Construção

Chico Buarque/1971

Amou daquela vez como se fosse a última

Beijou sua mulher como se fosse a última

E cada filho seu como se fosse o único

E atravessou a rua com seu passo tímido

Subiu a construção como se fosse máquina

Ergueu no patamar quatro paredes sólidas

14

Tijolo com tijolo num desenho mágico

Seus olhos embotados de cimento e lágrima

Sentou pra descansar como se fosse sábado

Comeu feijão com arroz como se fosse um príncipe

Bebeu e soluçou como se fosse um náufrago

Dançou e gargalhou como se ouvisse música

E tropeçou no céu como se fosse um bêbado

E flutuou no ar como se fosse um pássaro

E se acabou no chão feito um pacote flácido

Agonizou no meio do passeio público

Morreu na contramão atrapalhando o tráfego

Amou daquela vez como se fosse o último

Beijou sua mulher como se fosse a única

E cada filho como se fosse o pródigo

E atravessou a rua com seu passo bêbado

Subiu a construção como se fosse sólido

Ergueu no patamar quatro paredes mágicas

Tijolo com tijolo num desenho lógico

Seus olhos embotados de cimento e tráfego

Sentou pra descansar como se fosse um príncipe

Comeu feijão com arroz como se fosse o máximo

Bebeu e soluçou como se fosse máquina

Dançou e gargalhou como se fosse o próximo

E tropeçou no céu como se ouvisse música

E flutuou no ar como se fosse sábado

E se acabou no chão feito um pacote tímido

Agonizou no meio do passeio náufrago

Morreu na contramão atrapalhando o público

Amou daquela vez como se fosse máquina

Beijou sua mulher como se fosse lógico

Ergueu no patamar quatro paredes flácidas

15

Sentou pra descansar como se fosse um pássaro

E flutuou no ar como se fosse um príncipe

E se acabou no chão feito um pacote bêbado

Morreu na contra-mão atrapalhando o sábado

(disponível em http://www.paralerepensar.com.br/chicob_construcao.htm)

Comentário:

Este ambiente mostra muito a relação matemática junto à construção civil e a

profissão do construtor, insere-se no contexto como coadjuvante nesta história.

A letra leva-nos à reflexão de como a execução do trabalho cotidiano é uma

extensão dos próprios sentidos e se insere na lógica da própria existência do sujeito.

Lembra também que, se pensamos em uma construção sendo elaborada,

sempre surge a imagem do trabalhador simples, braçal a como personagem central.

3.3 Proposta de Atividade :

Título: Construindo o conceito Teorema de Pitágoras, resolvendo problemas.

1ª ETAPA

Objetivos; Envolver o aluno, verificando os conceitos anteriormente adquiridos.

Metodologia: Atividades em grupo, com 4 alunos, no máximo.

Recursos: Retroprojetor, instrumentos de desenho e roteiro de atividade.

.

1ª Atividade: Individual.

a) Observe atentamente o desenho da casa.

16

(Extraído do livro Matemática Paratodos de Luiz Marcio Imenes & Marcelo C.Lellis,

p.228,77ª série)

b) Aponte todas as irregularidades que você está encontrando no desenho..

a) Para cada problema que você observar, indique qual deveria ser a forma correta

para esta construção.

c) Usando instrumentos de desenho, construa cada parte da casa na forma que

você considera a correta.

2ª Atividade; Discutindo com o grupo...

a) Troque informações com os membros de seu grupo, verificando se todos

encontraram os mesmos problemas que você encontrou, se todos concordaram com

suas conclusões (Outras questões: Encontraram algum problema no piso? E as

paredes? Os vãos das portas e janelas estão corretos? Quais as dificuldades que os

problemas verificados poderiam acarretar para um morador?)

b) Aprimorem o desenho que fizeram anteriormente, se necessário.

3ª atividade:

a) Lembrando de conceitos que vocês já aprenderam, verifiquem que tipo de

ângulos (agudo, reto ou obtuso) foram utilizados e qual(is) seria(m) adequado(s),

nas partes analisadas.

b) Quais os conceitos matemáticas, além dos ângulos que são necessários para a

construção de uma casa? (Exemplos: para fazer paredes, fazer pisos, etc.)

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c) Utilizando instrumentos de desenho construam um ângulo Reto, escrevendo os

nomes especiais dos lados desse triângulo.

4ª atividade: Elaborem um texto sobre as três atividades trabalhadas.

2ª ETAPA

Objetivo: Obter a percepção da presença da matemática á sua volta.

Construir figuras geométricas.

Recursos: Cartolinas; régua; tesoura; papel quadriculado; barbante e roteiro para

atividades.

Encaminhamentos metodológicos: Os alunos trabalharão em grupo e o professor

acompanhará as atividades observando e tirando dúvidas e auxiliando diante de

dificuldades.

1ª Atividade:

a) Leitura do texto

O Triângulo Retângulo e O Esquadro Egípcio

Desde muito cedo em sua história, a humanidade utiliza ângulos retos para

demarcar terras, construir templos, palácios, casas, etc.

Se você observar o espaço à sua volta, poderá identificar muitos ângulos

retos.

Na edificação das pirâmides egípcias, os arquitetos e construtores usaram um

triângulo com lados 3, 4 e 5 unidades para determinar um ângulo reto, conforme

atestam documentos daquela época. Eles davam nós em uma corda, a intervalos

de igual distância, com 12 espaços iguais entre nós.

Os chineses também conheciam e usavam esse triângulo, assim como os

babilônios.

18

Disponível em: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teopitago/index.htm

b) Construção do esquadro egípcio

Recursos: Barbante; fita métrica ou trena; estaca (ou peso) para prender os vértices

do esquadro.

Desenvolvimento:

a) Dando nós em um barbante, construa um esquadro egípcio com seus

colegas de grupo. Se preferir, em vez de dar nós, faça marcas no barbante. A

distância entre dois nós poderá ser de 15 ou 20 centímetros. O importante é que os

espaços entre os nós ou marcas sejam exatamente iguais.

b) Junto com seu grupo, utilize o esquadro para verificar se as paredes da

sala de aula estão realmente “no esquadro”, ou seja, se formam ângulos retos.

c) Agora, vocês deverão fazer um texto para relatar a atividade. Na hora de

escrever, pensem e respondam questões como: Por que será que os egípcios

escolhiam o triângulo com 3, 4 e 5 unidades de medidas de lado? Existia alguma

vantagem nesta escolha? Quanto à experiência, relatem quantos nós e quantos

espaços obtiveram como mediram e marcaram etc. e depois, façam uma conclusão.

19

2ª atividade: Construção do quebra-cabeça

Materiais: esquadros; régua; cartolina.

Desenvolvimento:

a) Desenhe, no centro da cartolina, com lápis, a figura a seguir, começando pelo

triângulo retângulo.

(Autoria: Lourdes Molina Velasco)

b) Construa outra figura igual a esta, só que você só utilizará os dois quadrados

menores.

c) Numere as partes dos quadrados menores, faça desenhos nelas (ou pinte-as) e

recorte-as nas linhas pontilhadas.

d) Encaixe as cinco peças que você obteve no quadrado maior. Calma! Você

consegue!

e) Conseguiu? Observou qual a relação que você obteve entre as áreas que você

recortou e a área do quadrado maior? Escreva-a;

3ª Atividade: Para você compreender melhor a atividade anterior faça o seguinte

4

5

2

1

3

20

a) Recorte com papel quadriculado três quadrados (um com 3 unidades de lado,

outro com 4 unidades de lado e o terceiro com 5 unidades de lado).

b) Cole os três quadrados, formando um triângulo retângulo entre os três.

c) Qual a área do quadrado de lado 3 unidades de lado? _________________ Qual

a área do quadrado de 4 unidades de lado? ___________ Qual a área do quadrado

de 5 unidades de lado?___________________ Qual a relação entre a área do

quadrado maior e a área dos outros dois

quadrados?_______________________________.

d) O lado maior do triângulo retângulo chama-se _________________e os outros

dois são os _____________________

e) Utilizando estes nomes especiais dos lados do triângulo retângulo, reescreva a

relação de área acima.

______________________________________________________________.

f) Recorte mais três quadrados de lados a, b e c e monte outra figura semelhante à

anterior e reescreva a relação acima com estas medidas

___________________________________

21

(Disponível em http://bp2.blogger.com/_8jZYyJv8MUM/RqSusCSUrLI/AAAAAAAAADU/WpJib9rOKIs/s1600-h/454px-Pythagoraas2.jpg.

3ª ETAPA:

Objetivos: Deduzir a relação de Pitágoras

Resolver problemas aplicando o Teorema de Pitágoras.

Recursos: Instrumentos de desenho, cartolina, lápis, tesoura.

1ª atividade:

Vamos provar, dedutivamente, que em todo triângulo retângulo, o

quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Para

isso, você deverá proceder assim:

a) Desenhe e recorte quatro triângulos retângulos. Represente a medida dos lados

por: a (hipotenusa), b e c (catetos).

22

b) Desenhe e recorte três quadrados: um cujo lado seja igual à hipotenusa a do

triângulo retângulo, outro com lado igual a b e o terceiro com lado igual a c.

(Autoria: Lourdes Molina Velasco)

c) Pode enfeitar ou colorir as figuras.

d) Forme um quadrado maior juntando os quatro triângulos e o quadrado de lado a.

Qual a medida do lado desse quadradão?

________________________________________________

e) Forme, agora, outro quadrado, usando os quatro triângulos retângulos e os dois

quadrados de lados b e c. Qual é a medida do lado desse quadradão?

________________ ___

f) Se do primeiro quadradão você eliminar os quatro triângulos, sobrará

__________ _________________________________.

g) Se do segundo quadradão, que é ____________ao primeiro, você eliminar os

mesmos quatro triângulos, sobrarão dois ____________________ de lados ______

e ______ , que, juntos têm área igual a ___________________.

h) Logo, o que sobrou do primeiro quadradão é ____________ ao que sobrou do

segundo quadradão, ou seja:_______________________________________.

i) Assim, provamos que Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da

hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

2ª atividade Resolução de situações- problema.

4 ª ETAPA:

b c c a a a A a b

23

OBJETIVO: Entender que a matemática praticada fora da escola também é

importante.

1ª PARTE: (extraclasse): Conhecendo a Matemática do Mestre de Obras

Cada grupo deverá entrevistar um Mestre de Obras(Sugestões de

perguntas? Qual é a importância do Ângulo Reto nas construções que ele faz?

Como ele efetua as medidas dos ângulos? Possui um esquadro? Ele utiliza o

triângulo Retângulo com 3, 4 e 5 unidades de lado? Quais os processos que ele

utiliza para calcular as vigas das tesouras de um telhado? Como ele faz para que as

paredes fiquem “no esquadro”, ao levantá-las?, etc., etc. ...

Observações: Anote tudo, faça desenhos e esquemas porque o trabalho só está

começando!

2ª PARTE: (Sala de aula): Concluindo os trabalhos.

Cada grupo faz um relatório sobre a entrevista, com detalhes, incluindo

desenhos, esquemas, comentários, etc. e fazendo suas conclusões (Aprenderam

algo diferente? A matemática do mestre de obras “funciona” mesmo? Gostaram da

experiência? O que vocês aprenderam é importante? Por quê? Para que? Para

quem?

3ª PARTE: Apresentação do trabalho de cada grupo à sala.

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática.São Paulo: Editora Ática,2004.

IMENES, Luiz Márcio. Descobrindo o Teorema de Pitágoras.São Paulo:Editora

Scipione, 1990.

24

IMENES, Luiz Márcio & LELLIS, Marcelo. Matemática para todos.São Paulo:

Scipione, 2002.

PARANA, Secretaria de Estado da Educação. Currículo Básico para a Escola

Pública do Estado do Paraná. Curitiba: SEED, 2006.

3.4 Imagens

Imagem:

a) Construção irregular

(Extraído do livro Matemática Paratodos de Luiz Marcio Imenes & Marcelo C.Lellis,

p.228, 7ª série)

Comentário:

Ilustra uma construção irregular, mostrando a importância do ângulo reto nas

construções.

b) Relações de áreas

25

Disponível em http://bp2.blogger.com/_8jZYyJv8MUM/RqSusCSUrLI/AAAAAAAAADU/WpJib9rOKIs/s1600-h/454px-Pythagoraas2.jpg.

Comentários:

Mostra geometricamente as relações de áreas do Teorema de Pitágoras.

b) Matemática e história

http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teopitago/index.htm

Comentários:

Mostra as relações entre a matemática e a História.

26

4- RECURSO DE INFORMAÇÃO

4.1 Sugestão de Leitura.

4.1.1. Periódico

:

Título do Artigo: Gestão de interações e produção de conhecimento matemático em

um ambiente lakatosiano

Referência:

LOPES, Antonio José. Gestão de interações e produção de conhecimento

matemático em um ambiente lakatosiano. Educação Matemática em Revista.São

Paulo, v. ,n.7,p.19,1999.

Comentários

Este artigo proporciona ao leitor uma visão mais efetiva do que consiste o

ambiente lakatosiano ou das verdades provisórias, durante uma aula de matemática.

Mostra a resolução de problemas como ponto de partida para a conquista da

compreensão, através do diálogo, conjecturas e o trabalhos com questões abertas

aos questionamentos.

4.1.2. Livro

Título do Livro A Resolução de Problemas na Matemática Escolar

Referência:

KRULIK, S. & REYS, R.E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São

Paulo, Saraiva, 2005.

27

Comentários:

Indicamos A Resolução de Problemas na Matemática Escolar, por tratar-se de

uma obra constituída por uma grande variedade de textos sobre a resolução de

problemas como processo no ensino-aprendizagem. Contempla a metodologia,

linguagens ilustradas, heurísticas, orientações para a complementação de

problemas de livros didáticos, uso de calculadora e muitas outras formas para se

ensinar a disciplina através da Resolução de Problemas. Esta publicação foi

organizada por Stephen Krulik e Robert E. Reys, tendo como tradutores Hygino H.

Domingues e Olga Corbo. Trata-se de exemplar constante na biblioteca do professor

em nossas escolas.

Título do Livro: Educação Matemática: Pesquisa em Movimento

Referência:

BICUDO, M. A. V & BORBA, M.C. Educação Matemática: Pesquisa em Movimento.

São Paulo: Cortez. 2004.

Comentários

Obra relevante dentro da metodologia Resolução de Problemas é Educação

Matemática: Pesquisa em Movimento, cujos organizadores são Maria A. V. Bicudo e

Marcelo C. Borba. Traz uma retrospectiva voltada ao movimento da Educação

Matemática, analisa as formas de abordagem da metodologia, além de apresentar

aplicações da mesma através de programas de mestrados.

4.2. Notícias

4.2.1. Revista on-line

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Título da notícia: A Caminhada do bêbado e o Teorema de Pitágoras

Referência:

BARCO, Luiz.A Caminhada do bêbado e o Teorema de Pitágoras.São Paulo:Revista

Superinteressante,1991.Disponívelhttp://super.abril.com.br/superarquivo/1991/conte

udo_112479.shtml. Acesso em novembro de 2007.

Comentários

A Caminhada do bêbado e o Teorema de Pitágoras, descreve o movimento

térmico através do Teorema de Pitágoras. Para isso, faz analogias entre o

deslocamento de um bêbado e o deslocamento de bactérias em líquidos, mostrando

similaridades entre os casos.

4.2.2.Revista on-line

Título da notícia: Pitágoras e a Formiga

Referência:

BARCO, Luiz.. Pitágoras e a Formiga São Paulo:Revista Superinteressante,1999.

Disponível emhttp://super.abril.com.br/superarquivo/1999/conteudo_118053.shtml

Acesso em novembro de 2007.

Comentários:

Em Pitágoras e a Formiga, comenta-se a trajetória de uma formiga para

chegar até uma gota de mel, no interior de um pote. Conclui-se que o caminho

percorrido será efetivamente o menor, ou seja, em linha reta. São encaminhados

cálculos e outras informações didaticamente oportunas.

29

4.3. Destaques

4.3.1.Título: Curiosidades

Referências:

PORTUGAL.Ministério da Educação.Curiosidades.Lisboa: Curso prof2000,

2007.Disponível em Em http://www.prof2000.pt/users/hjco/Pitagora/pg000002.htm.

Acesso em nov.2007.

Comentário:

O Teorema de Pitágoras cercou-se de muitas particularidades ao longo de

sua história. No link acima, podemos nos informar que a Matemática Elicha Scott

conseguiu reunir trezentas e cinqüenta e sete demonstrações do teorema e que há

cinqüenta e dois anos a Grécia emitiu um selo comemorativo ao 2500º aniversário

de Pitágoras.

4.3.2.Título: Saveiro à Risca !

Referências:

SMARCEVSKI, Lev.Saveiro à Risca! São Paulo: Revista Superinteressante, 1998.

Disponível em http://super.abril.com.br/superarquivo/1998/conteudo_116711.shtml.

Acesso em nov./2007.

Texto:

Comentário:

Outra abordagem interessante foi veiculada pela revista Superinteressante,

sobre a construção de barcos, tipo saveiros. O Teorema de Pitágoras aparece como

instrumento para o corte das velas triangulares. O triângulo retângulo usado como

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molde era o mesmo utilizado pelos egípcios, cujas medidas do lado são 3, 4 e 5

unidades de medida de lado.

4.4 PARANÁ

Título: Arquitetura em fotos

Texto:

O Teorema de Pitágoras poderá ser identificado soberbamente na arquitetura

de nossa Capital, Curitiba.

O ato de visualizar e analisar as edificações poderá contribuir para uma

compreensão e contextualização deste conhecimento. Em http://www.artes-

curitiba.com/arquitetura.htm, a história arquitetônica de Curitiba se manifesta de

forma atrativa. Estilos diversos se mesclam, o antigo e o novo se revelam. Da

observação criam-se, eventualmente, as questões implícitas nas construções. O

ângulo de noventa graus aparece mais nas construções mais antigas ou nas

contemporâneas ? É possível visualizar o triângulo retângulo presente nos detalhes

constantes nas fachadas dos monumentos mais antigos ? E quanto às igrejas,

existe algum padrão, relacionando o ângulo reto com suas torres? E quanto às suas

naves ? E as construções mais modernas privilegiam o triângulo retângulo ou o

ângulo reto de que forma?

Torna-se interessante também uma possível comparação entre as

arquiteturas de Curitiba e outras cidades paranaenses.

Referências:

ARTES CURITIBA. Arquitetura em fotos. Curitiba: Artes Curitiba, 2007. Disponível

em

http://www.artes-curitiba.com/arquitetura.htm. Acesso em nov.2007.