universidade federal do pará instituto de tecnologia · número real x(s) é denominada ......

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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

Estatística Aplicada I

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias

Capítulo III

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Variáveis Aleatórias

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

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Introdução

Varíáveis aleatórias discretas

Variáveis aleatórias contínuas

Parâmetros das variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias bidimensionais

III – Variáveis Aleatórias


Introdução






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3.1 Introdução

Em um experimento aleatório, uma variável cujo valor

medido pode variar de uma réplica do experimento para

outra é referida como variável aleatória.

Exemplos: X pode denotar a medida da resistência

mecânica no ensaio de tração de um material; Y

representar o diâmetro de uma peça usinada; Z expressar

a resistividade do solo em um processo corrosivo em

torres de linha de transmissão.

As variáveis aleatórias (V.A) surgem em função da

necessidade de se representar os resultados de uma

experiência aleatória por meio de números reais.


3.1 Introdução

• Uma variável aleatória pode ser expressa como uma

função definida num espaço de resultados S e que tem

como contradomínio os números reais.

Definição

• Seja E um experimento e S o espaço associado a ele.

Uma função X, que associe a cada elemento s ∈ S um

número real X(s) é denominada variável aleatória.

S R X

Variável aleatória

X(s) s

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3.1 Introdução

• Exemplo:

Definição

E : Lançamento de duas moedas;

X : Número de caras (c) obtidas nas duas moedas;

S : {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}

X = 0 → correspondente ao evento (k, k) com probabilidade ¼;

X = 1 → correspondente ao evento (k, c), (c, k) com probabilidade ½;

X = 2 → correspondente ao evento (c, c) com probabilidade ¼.


3.1 Introdução

• As variáveis aleatórias classificam-se em discretas ou

contínuas, dependendo do tipo de conjunto de valores

que elas podem assumir.

Classificação

- Variável discreta: quando a variável assume

valores num conjunto finito ou infinito numerável.

- Variável contínua: quando a variável assume

valores de um conjunto infinito não numerável.

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3.1 Introdução

• Exemplos:

Classificação

- A V.A resultado do lançamento de um dado é discreta;

- A V.A que representa o tempo que um atleta leva para

completar a prova dos 100 metros é contínua se for admitido

que é medida com precisão absoluta.

- A V.A que representa as medidas de corrente elétrica a partir de

um instrumento digital que mostre a corrente para o mais

próximo centésimo de miliampére é discreta (as medidas

possíveis são limitadas).


3.1 Introdução

• As variáveis aleatórias são representadas por letras

maiúsculas (X, Y, Z, W, ...), e os valores que elas

podem assumir são representados pelas

correspondentes letras minúsculas (x, y, z, w, ...).

Representação

Exemplo:

• E: Medição do peso de uma pessoa escolhida ao acaso.

S = {Conjunto de todos os pesos atribuíveis a uma pessoa}.

X = O peso da pessoa (assume qualquer valor do espaço de resultados).

x = 1,65 m (a altura de uma das pessoas).

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3.1 Introdução

Observação:

• Existem situações em que os valores da variável aleatória não são

os resultados do espaço associado ao experimento, mas sim uma

transformação destes.

- Exemplo:

E: Lançamento de dois dados.

S = Conjunto dos valores obtidos pelos dois dados, num total

de trinta e seis resultados possíveis (tamanho de S = 36)

S = {( x, y ) | x, y = 1,2,3,4,5,6}.

X = V.A que representa a soma dos números dos pontos

dos dois dados, a qual pode assumir qualquer valor inteiro

de 2 a 12, ou X(s) = {2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}.


3.1 Introdução

Observação:

• No mesmo espaço associado ao experimento anterior poder-se-ia

definir outra variável aleatória.

- Exemplo:

Y = V.A que representa a diferença, em valor absoluto, dos

números dos pontos dos dois dados, a qual pode assumir

qualquer valor inteiro de 0 a 5, ou

Y(s) = {0,1,2,3,4,5 }

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Introdução







3.2 Variáveis Aleatórias Discretas

Função de probabilidade

• A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória

qualquer X é uma descrição das probabilidades associadas com os

valores possíveis de X.

• Para uma variável aleatória discreta, a distribuição é

freqüentemente especificada por apenas uma lista de valores

possíveis juntamente com a probabilidade de cada um.

• Em alguns casos, é conveniente expressar a probabilidade em

termos de uma fórmula.

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• Define-se como função de probabilidade, f, a função que associa

a cada valor que a variável pode assumir, a probabilidade da

variável assumir esse valor.

• Para uma variável aleatória discreta X, com valores possíveis x1,

x2, ..., xn, a função de probabilidade é

)xX(P)x(f ii

0)x(f i

• Já que f(xi) é definida como uma probabilidade, então 1)x(f

n

1i

i

para todo xi e

• P(X) pode ser expresa por uma tabela, gráfico ou fórmula.




• Exemplo: E: Lançamento de duas moedas.

X: nº de caras obtidas.

P(X) pode ser expressa das seguintes formas:

x 0 1 2

P(x) 1/4 1/2 1/4 1

½

¼

0 1 2

P(x)

x x,2C

4

1)x(P

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• Exemplo: Seja X a variável aleatória que representa o resultado

do lançamento de um dado equilibrado. A função de

probabilidade é definida por:

x 1 2 3 4 5 6

f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

6

1)6(f,

6

1)5(f,

6

1)4(f,

6

1)3(f,

6

1)2(f,

6

1)1(f

Em termos de notação e de modo a simplificar, a função de

probabilidade pode ser representada por meio de uma tabela,

assumindo que os valores que não aparecem na tabela têm

probabilidade zero de ocorrer. Neste exemplo tem-se, então:




• Observações:

- Se uma variável aleatória X apresentar f(x) ≠ 0 e constante para

todos os valores de x, diz-se que essa V.A tem uma distribuição

uniforme (discreta).

- Qualquer função de uma variável aleatória é também uma

variável aleatória, isto é, se X é V.A, então Y = φ(x) também será.

Exemplos:

X → V.A pontos de um dados;

Y = X + X → V.A;

Z = Max {(x1, x2)} onde (x1, x2) são pontos de dois dados.

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Função distribuição cumulativa

• Uma função distribuição cumulativa, também chamada função

repartição ou função distribuição de probabilidades, pode

também ser usada para fornecer a distribuição de probabilidades

de uma variável discreta.

• A função distribuição cumulativa em um valor de x é a soma das

probabilidades em todos os pontos menores ou iguais a x.

• Define-se, então, como função distribuição cumulativa de uma

certa variável aleatória X, no ponto x, como sendo a

probabilidade de que X assuma um valor menor ou igual a x, isto

é:

)x(f)xX(P)x(Fxx

i

i




• Exemplo (Montgomery et al., 2001): Há uma chance de que um

bit transmitido através de um canal de transmissão digital seja

recebido com erro. Considere X igual ao número de bits com erro

nos quatro próximos bits transmitidos. Os valores possíveis para

a variável aleatória X são {0, 1, 2, 3, 4}. Com base em um

modelo de probabilidades, as probabilidades para esses valores

foram determinados como sendo:

P(X = 0) = 0,6561 P(X = 1) = 0,2916 P(X = 2) = 0,0486

P(X = 3) = 0,0036 P(X = 4) = 0,0001

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• Exemplo (cont.):

x

f(x)

0 1 2 3 4

0,6561

0,2916

0,0486 0,0036 0,0001

- A distribuição de probabilidades de X é especificada pelos

valores possíveis, juntamente com a probabilidade de cada um.

A figura mostra uma descrição gráfica dessa distribuição:





- Por conseguinte, a função distribuição cumulativa de X será:

F(0) = 0,6561 F(1) = 0,9477 F(2) = 0,9963

F(3) = 0,9999 F(4) = 1

- Mesmo se a variável aleatória puder assumir somente valores

inteiros, a função distribuição cumulativa é definida em valores

não inteiros. Por exemplo:

F(1,5) = P(X ≤ 1,5) = P(X ≤ 1) = 0,9477

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0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 x

F(x)

- O gráfico do exemplo é mostrado abaixo, onde se observa que o

mesmo apresenta descontinuidades (saltos) nos valores discretos

para X. O tamanho do salto em um ponto x é igual à probabilidade

em x.




• Propriedades:

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1 , para todo x

2. F(- ∞) = 0

3. F(+∞) = 1

4. P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)

5. P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a) + P(X = a)

6. P(a < X < b) = F(b) – F(a) – P(X = b)

7. lim F(x) = 1 e lim F(x) = 0 x → +∞ x → -∞

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• Propriedades:

- Exemplo: Do exemplo anterior, tem-se:

4xse1

4x3se9999,0

3x2se9963,0

2x1se9477,0

1x0se6561,0

0xse0

)x(F


Introdução






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3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas

Função densidade de probabilidade

• Uma função densidade de probabilidade f(x) pode ser usada para

descrever a distribuição de probabilidades de uma variável

aleatória contínua X.

• A probabilidade de X estar entre a e b é determinada pela integral

de f(x) entre a e b.

f(x)

x a b

P(a < x < b)



• Definição: Diz-se que f(x) é a função densidade de probabilidade

da variável aleatória contínua X se a área limitada por f(x), o eixo

dos x e as retas x = a e x = b for igual a P(a ≤ x ≤ b), isto é:

b

a

dx)x(f)bxa(P

• Propriedades:


1dx)x(f.2

xtodopara0)x(f.1

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• Observações:

1. A definição anterior mostra que a probabilidade de qualquer

valor especificado de X, por exemplo xo, tem P(X = xo) = 0,

pois


o

o

x

x

o 0dx)x(f)xX(P

sendo assim, as probabilidades abaixo serão todas iguais, se X

for uma variável aleatória contínua:

)bXa(P)bXa(P)bXa(P)bXa(P



• Observações:

2. Note-se que f(x), densidade de probabilidade, não é

probabilidade. Somente quando a função for integrada entre

dois limites, ela produzirá uma probabilidade, que será a área

sob a curva função entre x = a e x = b, para a < b.


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• Exemplo (Montgomery et al., 2001): Seja a variável aleatória

contínua X a representação do diâmetro de um orifício

perfurado em uma placa com um componente metálico. O

diâmetro alvo é 12,5 mm. A maioria dos distúrbios aleatórios

no processo resulta em diâmetros maiores. Dados históricos

mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma

função densidade de probabilidade f(x) = 20e-20(x – 12,5), x ≥

12,5.

(a) Se uma peça com diâmetro maior que 12,6 mm for

descartada, qual será a proporção de peças descartadas?

(b) Que proporção de peças está entre 12,5 e 12,6?




• Solução: A função densidade e a probabilidade requerida são

mostradas na figura abaixo.


12,5 12,6

f(x)

x

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• Solução (cont.):

a) Uma peça é descartada se X > 12,6, logo:


b) Uma peça não é descartada se 12,5 < X < 12,6, logo:

135,0e

dxe20dx)x(f)6,12X(P

6,12

)5,12x(20

6,12 6,12

)5,12x(20

865,0e

dxe20dx)x(f)6,12X5,12(P

6,12

5,12

)5,12x(20

6,12

5,12

6,12

5,12

)5,12x(20




• A função distribuição cumulativa de uma variável aleatória

contínua X, com função densidade de probabilidade f(x) é:

x

du)u(f)xX(P)x(F

para – ∞ < x < ∞.

• Para uma variável aleatória contínua X, a definição pode também

ser F(x) = P(X < x), pois P(X = x) = 0.

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• A função distribuição cumulativa F(x) pode ser relacionada à

função densidade de probabilidade f(x) e pode ser usada para

obter probabilidades, como segue:

b

a

b a

)a(F)b(Fdx)x(fdx)x(fdx)x(f)bXa(P

• O gráfico de uma função distribuição cumulativa tem

propriedades específicas. Pelo fato de F(x) fornecer

probabilidades, ela é sempre positiva. Além disso, à medida que x

aumenta, F(x) é crescente. Finalmente, quando x tende a ∞, F(x)

= P(X ≤ x) tende a 1.




• Exemplo (Montgomery et al., 2001): As leituras da temperatura de

um termopar em um forno flutuam de acordo com a função

distribuição cumulativa

Cº810x0

Cº810xCº80080x1,0

Cº800x0

)x(F

Determine:

a) P(X < 805); b) P(800 < X ≤ 805); c) P(X > 808)

d) Se as especificações para o processo solicitassem que a

temperatura do forno estivesse entre 802ºC e 808ºC, qual seria

a probabilidade da fornalha operar fora das especificações?

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• Solução:

a)

5,00808051,0

)(F)805(F)805X(P)805X(P

5,0)808001,0(808051,0

)800(F)805(F)805X800(P

2,0)808081,0(1

)808(F)(F)X808(P)808X(P

b)

c)

d)

2,00808021,0

)(F)802(F)802X(P)802X(P

4,02,02,0)808Xou802X(P


Introdução






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3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias

Os parâmetros que caracterizam uma variável aleatória em termos

médios (média e mediana), e em termos de dispersão (variância e

desvio padrão), podem ser usados para resumir uma distribuição de

probabilidades.

a) Medidas de posição

a.1) Média ou esperança matemática: Chama-se valor médio ou

esperança matemática ao valor que se obtém somando (ou

integrando) todos os valores que uma variável aleatória pode

assumir, ponderados pela respectiva probabilidade pontual (ou

densidade de probabilidade no ponto) e representa-se por μ =

E( X ) :

)contínuocaso(dx)x(fx)X(E

)discretocaso()x(fx)X(En

1i

ii


a.1) Média ou esperança matemática:

- Propriedades: Serão demonstradas somente para o caso de

variáveis discretas.

K1K)x(fK)x(Kf)K(Ei

i

i

i

2. Multiplicando uma variável aleatória X por uma constante,

sua média fica multiplicada por essa constante.

)X(KE)x(fxK)x(fKx)KX(Ei

ii

i

ii

1. A média de uma constante é a própria constante



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- Propriedades:

i i

jjii

j i

jij

i j

jii

i

ji

j

j

i

ji

j

i

i

jij

j

i

)Y(E)X(E)y(fy)x(fx

)y,x(fy)y,x(fx

)y,x(fy)y,x(fx

)y,x(f)yx()YX(E

3. A média da soma ou da diferença de duas variáveis

aleatórias é a soma ou diferença das médias.





- Propriedades:

K)X(E)K(E)X(E)KX(E

4. Somando ou subtraindo uma constante a uma variável

aleatória, a sua média fica somada ou subtraída da mesma

constante.

5. A média de uma variável aleatória centrada é zero.

0)(E)X(E)X(E XXXX



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- Propriedades:

)Y(E)X(E

)y(fY)x(fX

)y(f)x(fYX

)y,x(fYX)XY(E

i j

jjii

i j

jiji

i j

jiji

6. A média do produto de duas variáveis aleatórias

independentes é o produto das suas médias.



Se X e Y são

independentes


a.2) Mediana: Mediana de uma variável aleatória é o valor que divide

a distribuição em duas partes iguais, ou seja,

5,0)Md(F

• Exemplo: Seja X uma variável aleatória com a seguinte

função distribuição cumulativa:

F(X) = 0 para x < 0

F(X) = x2 para 0 ≤ x < 1

F(X) = 1 para x ≥ 1

Logo, a mediana será o valor de x tal que F(x = Md) = 0,5.

Assim: 5,0Md5,0Mdx 22



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a.3) Moda: É o valor da variável aleatória com maior probabilidade,

se X for discreta, ou maior densidade de probabilidade se X for

contínua.

• Exemplo1: Seja X uma variável aleatória discreta tal que:

x -1 0 2

P(x) 0,3 0,2 0,5

Logo, a moda será igual a 2.




a.3) Moda:

• Exemplo 2: Seja X uma variável aleatória contínua tal que:


O gráfico de f(x) é:

xdevaloresoutrospara0

1x0parax2)x(f

2

1

0 1

f(x)

x

Então:

Moda:

Mediana:

5,0Md5,0Md5,0x

5,0xdx25,0)Md(F

;1M

2Md

0

2

Md

0

o


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b.1) Variância: A variância de uma variável aleatória X é representada

por Var(X) = σx2 e define-se por:


22 ))(()( XEXEXVar x

)contínuocaso(dx)x(f)X(Ex

)discretocaso()x(f)X(Ex

22

x

22

x

b) Medidas de dispersão


b.1) Variância:



- Existe uma fórmula prática para o cálculo da variância:

22 )X(E)X(E)X(Var

onde,

)contínuocaso(dx)x(fx)X(E

)discretocaso()x(fx)X(E

22

22

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b.2) Desvio padrão: Designa-se por desvio padrão e

representa-se por σ a raiz quadrada positiva da

variância:

)X(Varx


- Propriedades:

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e K, a e b constantes.



1. Var(k) = 0

2. Var(kX) = k2Var(X)

3. Var(aX ± bY ) = a2Var( X ) + b2Var( Y ) ± 2abCov(X,Y )

Caso as variáveis sejam independentes, Cov(X,Y ) = 0, então:

Var( aX ± bY ) = a2Var( X ) + b2Var( Y )

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Introdução







3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais

Até aqui considerou-se que o resultado do experimento seria

registrado como um único número x. Contudo, existem casos em

que há interesse por dois resultados simultâneos. Por exemplo,

estatura e peso de pessoas.

Para isso precisa-se da seguinte definição:

Sejam E um experimento aleatório e S o espaço amostral

associado a E.

Sejam X = X(s) e Y = Y(s), duas funções, cada uma associando

um número real a cada resultado s ∈ S; denomina-se (X,Y) uma

variável aleatória bidimensional.

s

X(s)

Y(s)

Y

X

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Uma variável aleatória bidimensional não é mais do

que uma par de variáveis aleatórias (X,Y).

No caso de X e Y serem duas variáveis aleatórias

discretas, o par diz-se uma variável aleatória

bidimensional discreta. Na situação em que ambas

são contínuas tem-se uma variável aleatória

bidimensional contínua.

Portanto, tal como a variável unidimensional, (X,Y)

poderá ser discreta ou contínua, valendo as mesmas

considerações feitas anteriormente.



Função de probabilidade conjunta (V.A.D)

• Chama-se função de probabilidade conjunta da variável

aleatória bidimensional discreta (X,Y) à função f(x,y) que

associa a cada elemento (x,y) a probabilidade da variável

aleatória X assumir o valor x ao mesmo tempo da variável Y

assumir o valor y .

f (x,y) = P(X = x,Y = y)

- Propriedades:

i j

ji

2

1)y,x(f.2

Rx,0)y,x(f.1

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Função distribuição cumulativa conjunta (V.A.D)

• Chama-se função de distribuição de probabilidade

cumulativa conjunta da variável aleatória discreta

(X,Y) à função F(x,y) que associa a cada elemento

(x,y) a probabilidade da variável aleatória X tomar

valores menores ou iguais a x ao mesmo tempo da

variável Y tomar valores menores ou iguais a y.

xs yt

)t,s(f)y,x(F

)yY,xX(P)y,x(F



Função distribuição cumulativa conjunta (V.A.D)

• Propriedades:

)y,x(F)y,x(Fyy^xx.5

x,0)y,x(Flim.4

y,0)y,x(Flim.3

)y,x(,1)y,x(Flim.2

R)y,x(,1)y,x(F0.1

22112121

y

x

yx

2

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Funções de probabilidade marginal (V.A.D.)

• Dada uma variável aleatória bidimensional discreta e sua

função de distribuição conjunta, pode-se determinar a função

de distribuição de X sem considerar Y, ou vice-versa. São as

chamadas funções de probabilidade marginal.

y y

X )y,x(f)yY,xX(P)Y,xX(P)x(f

- Função de probabilidade marginal de X :

- Função de probabilidade marginal de Y :

x x

Y )y,x(f)yY,xX(P)yY,X(P)y(f



Função densidade de probabilidade conjunta (V.A.C)

• Tal como acontece nas variáveis unidimensionais contínuas,

nas variáveis bidimensionais contínuas não faz sentido falar em

função de probabilidade visto que P(X = x,Y = y) = 0 para

qualquer (x,y), aparecendo em seu lugar a função de densidade

de probabilidade conjunta. Esta função indica como a

probabilidade se distribui pelos valores que o par aleatório

(X,Y) pode assumir.

1dydx)y,x(f.2

R)y,x(,0)y,x(f.1 2

• Seja X uma variável aleatória bidimensional contínua. Diz-se

que f(x,y) é uma função densidade de probabilidade conjunta

se:

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Função distribuição cumulativa conjunta (V.A.C.)

• Chama-se função de distribuição de probabilidade conjunta da

variável aleatória contínua (X,Y) à função F(x,y) que associa a

cada elemento (x,y) a probabilidade da variável aleatória X

assumir valores menores ou iguais a x ao mesmo tempo da

variável Y assumir valores menores ou iguais a y.

• É definida como na variável aleatória unidimensional, assim:

x y

dydx)y,x(f)y,x(F

)yY,xX(P)y,x(F



Função distribuição cumulativa conjunta (V.A.C.)

• Propriedades:

)y,x(F)y,x(Fyy^xx.5

x,0)y,x(Flim.4

y,0)y,x(Flim.3

)y,x(,1)y,x(Flim.2

R)y,x(,1)y,x(F0.1

22112121

y

x

yx

2

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Funções de probabilidade marginal (V.A.C.)

• Dada uma variável aleatória bidimensional contínua e sua

função densidade de probabilidade conjunta pode-se determinar

a função densidade de probabilidade de X sem considerar Y, ou

vice-versa. São as chamadas funções de probabilidade

marginal.

dy)y,x(f)x(f X

- Função de probabilidade marginal de X :

- Função de probabilidade marginal de Y :

dx)y,x(f)y(fY



Funções de (densidade de) probabilidade condicionais

• Sabendo o valor que uma das variáveis vai assumir (ou

assumiu) pode-se calcular a função de probabilidade (no caso

discreto) ou a função densidade de probabilidade (no caso

contínuo) da outra variável, tendo em conta a informação

conhecida relativamente ao valor da primeira variável.

- Caso discreto e caso contínuo:

)x(f

)y,x(f)y(f

)y(f

)y,x(f)x(f

X

xX|Y

Y

yY|X

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Covariância

• No estudo das relações existentes entre duas variáveis

aleatórias X e Y pode-se analisar a covariância das duas

variáveis. Define-se, então, covariância entre X e Y, Cov(X,Y),

como:

)Y(EY)X(EXE)Y,X(Cov XY

x y

)y,x(f)Y(Ey)X(Ex)Y,X(Cov

- No caso discreto:

- No caso contínuo:

dydx)y,x(f)Y(Ey)X(Ex)Y,X(Cov



Covariância

• Fórmula prática para o cálculo da covariância:

)Y(E)X(E)YX(E)Y,X(Cov

- Verifica-se que:

)Y,X(Cov

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Covariância

• A covariância entre duas variáveis fornece uma medida da

relação linear existente entre as duas variáveis:

- Quando a covariância assume um valor muito alto positivo

tem-se a indicação que existe uma relação linear positiva forte

entre as duas variáveis.

- Quando a covariância assume um valor muito baixo negativo

tem-se a indicação que existe uma relação linear negativa

forte.

- Nas situações em que a covariância assume valores próximos

de zero, a relação linear é muito fraca, e inexistente no caso

em que a covariância é igual a zero.



Coeficiente de correlação linear

• A covariância está expressa nas unidades das variáveis X e Y

simultaneamente, o que introduz dificuldades quando se

pretende fazer comparações.

• Para evitar esta situação pode-se calcular o coeficiente de

correlação linear (ρ) que tem sempre o seu valor entre –1 e 1.

• Dado um par de variáveis aleatórias (X,Y), define-se coeficiente

de correlação linear como:

YX

XYXY

)Y(Var)X(Var

)Y,X(Cov

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Coeficiente de correlação linear

• Quando:

ρXY = −1, existe correlação linear negativa

perfeita entre X e Y.

ρXY = 0, não há correlação linear entreX e Y.

ρXY = 1, existe correlação linear positiva perfeita

entre X e Y.



Independência das variáveis aleatórias X e Y

• Dada uma variável aleatória bidimensional (X,Y), diz-se que as

variáveis unidimensionais que a integram, X e Y, são

independentes, se a sua função (densidade) de probabilidade

conjunta f(x,y), for igual ao produto das funções (densidade) de

probabilidade marginais, isto é:

X e Y são independentes se

)y,x(,)y(f)x(f)y,x(f

• Como consequência da definição tem-se que X e Y são

independentes se e somente se

)y(f)y(fou)x(f)x(f YxX|YXyY|X

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Independência das variáveis aleatórias X e Y

• Teorema:

- Se duas variáveis aleatórias X e Y são

independentes então a Cov(X,Y) = 0.

- Nota: A recíproca não é verdadeira. Duas

variáveis podem ter Cov(X,Y) = 0 e não serem

independentes. Apenas podemos garantir que

não existe relação linear entre as duas variáveis;

no entanto, pode existir outro tipo de relação,

que não a linear, e não serem independentes.


FIM


universidade federal do pará instituto de tecnologia · número real x(s) é denominada ......

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