Outros modelos para variável

aleatória contínua

Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes

MAT013 Departamento de Matemática e

Computação UNIFEI

Aula 9

Distribuição Gama

• O modelo gama é uma extensão do modelo

exponencial.

• A v.a. contínua X, assumindo valores positivos,

tem uma distribuição gama com parâmetros

>=1 e >0, se sua f.d.p. for dada por:

• Se =1 obtém-se a distribuição exponencial.

0,0

0,)(

1

),;(/1

x

xexxf

x

E(X)= e Var(X) = 2

• Em que () é a função gama, importante em muitas

áreas da matemática, dada por:

Sendo n um inteiro positivo.

.)2/1(

,1)1(

,)!1()(

0,)(0

1

nn

dxxe x

Função de densidade Gama

=1 =3 =2 =3

E(X)= 3 Var(X)=9 E(X)= 6 Var(X)=18

Distribuição Qui-Quadrado

• Fazendo no modelo gama =/2 e =2, com

>0 inteiro, tem-se uma distribuição qui-

quadrado, com graus de liberdade e f.d.p.

dada por:

• E(X)= , Var(X)=2

0,0

0,2)2/(

1

);(2/12/

2/

x

xexxf

x

• Grau de liberdade é, em estatística, o

número de determinações independentes

(dimensão da amostra) menos o número

de parâmetros estatísticos a serem

avaliados na população.

• Os graus de liberdade, , podem ser

qualquer número real maior que zero.

• Geralmente considera-se =n-1

Função de densidade Qui-

quadrado

=1 =2

E(X)= 1 Var(X)=2 E(X)= 2 Var(X)=4

=3

E(X)= 3 Var(X)=6

• A distribuição Qui-quadrado tem muitas aplicações em

Estatística, e como no caso da normal, existem tabelas

para obter probabilidades.

• Por exemplo, considere =10 graus de liberdade.

• P(X>2,56) = 0,99 e P(X>18,31) = 0,05

• Exemplo tabela.

• Se >30 utilizar a distribuição Normal.

• Ou seja, se X tiver distribuição Qui-quadrado

com >30 graus de liberdade, então a v.a.

• Exemplo, consultando a tabela Qui-quadrado,

com =30 graus e liberdade tem-se

P(X>40,27)=0,10.

)1,0(~122 NXZ

Usando a aproximação da normal tem-se:

P(Z>1,292)=0,5-0,4015 = 0,099 0,10.

)1,0(~122 NXZ

292,1130*2256,40*2 Z

Distribuição t-Student

• A distribuição t-Student é importante no que se refere a inferências sobre médias populacionais, que veremos adiante.

• A distribuição t-Student é uma distribuição de probabilidade para dados contínuos, sua curva é simétrica, semelhante à curva normal padrão (N(0,1)).

• Difere da curva normal padrão pois tem apenas um parâmetro chamado de grau de liberdadeque alteram a forma da curva.

Quanto menor o grau de liberdade, maior é a

área nas caudas da distribuição (probabilidade.)

Distribuição t-Student

= 1

= 3

= 5

N(0,1)

A função densidade de probabilidade da distribuição t-

Student é dada por:

Sendo -<x<+,

são os graus de liberdade da distribuição e =n-1,

(.) represente a função gama

Função densidade de probabilidade t-Student

2

12

1

2

2

1

);(

x

xf

Os principais momentos da distribuição são:

Essa distribuição é utilizada para dados contínuos,

simétricos, que a amostra é pequena, ou seja, n<30.

Função densidade de probabilidade t-Student

2para2

][Var

1para0][E

X

X

Exemplo

• Para calcular as probabilidades, também utiliza-

se tabelas que fornecem a probabilidade de:

P(-xc<X<xc)=1-p,

para alguns valores de p e de .

• Se =6,

• P(-1,943<X<1,943)=0,90

• P(X>2,447)=0,025.

• Para n>120 utilizar a distribuição Normal.

Distribuição F de Snedecor

• Uma v.a. W tem distribuição F de Snedecor, com 1 e 2

graus de liberdade, se possui a f.d.p. dada por:

• Para obter as probabilidades também utiliza-se uma

Tabela.

0,)/1()2/()2/(

)2/)((),,(

2/)(

21

2/)2(2/

2

1

21

2121

21

11

ww

wwf

)4()2(

)2(2)(,

2)(

2

2

21

21

2

2

2

2

WVarWE

Função densidade F

1 =2; 2=2 1 =4; 2 = 2

Exemplo

• Considere 1 = 5 e 2 = 7. Consultando a tabela

da distribuição F tem-se:

• P(W>3,97)=0,05

• P(W<3,97)=0,95

• W~F(5,7)

• P(W>0,205)=0,95

Outras distribuições contínuas

•Pareto

•Weibull

•Beta

•Log-Normal

•Meia-normal

•Cauchy

•Etc.