Variável aleatória contínua

Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes

MAT013 Departamento de Matemática e

Computação UNIFEI

Aula 8

Variável aleatória

• Uma Variável aleatória é contínua se seu

conjunto de valores é qualquer intervalo dos

números reais, isto é, um conjunto não

enumerável.

Ex: Peso e altura dos filhos.

Função densidade de

probabilidade

• Dizemos que f(x) é uma função contínua de

probabilidade ou função densidade de probabilidade

para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz

duas condições:

1. f(x)0, para todo x (-,);

2. A área definida por f(x) é igual a 1

1)( dxxf

Exemplo

• Arqueólogos estudaram uma certa região e

mediram o comprimento de fósseis encontrados

(em cm). Chamamos de C a v.a. contínua

comprimento de fósseis. Suponha que C possui

a função densidade de probabilidade:

.contráriocaso0

;200se11040

1

)(c

c

cf

12

2040

3

40

1

2

)()(sobÁrea

hBb

cf

111040

1)(sobÁrea

20

0

ccf

Gráfico da função

densidade de

probabilidade

• Como f(c) é positiva e a área é igual 1, podemos concluir

que f(c) é efetivamente uma densidade.

• Qual a probabilidade de um fóssil, escolhido ao acaso

nessa região, apresentar comprimento inferior a 8 cm?

200

9)8( f

9/200

8

025

7)()8( dccfCP

25

7

2

8200

9

40

1

)8(

CP

Função de distribuição de

probabilidade

• Dada uma v.a. X com função densidade de

probabilidade f(x), podemos definir a sua

função de distribuição acumulada, F(x), do

mesmo modo como foi definida para v.a.

discreta:

x

dttfxXPxF )()()(

• Considere o exemplo anterior, cuja função densidade de

probabilidade é dada por:

• A função de distribuição acumulada é dada por:

.contráriocaso0

;200se11040

1

)(c

c

cf

20

2010)(

0c+2040

1)(

0,0

)(

20

0 20

0

2

xsedtdttf

csec

dttf

cse

cF

c

c

Gráfico da função acumulada

Valor esperado

• Dada a variável aleatória X contínua, com

função densidade dada por f(x), chamamos de

valor médio ou esperança matemática de X ao

valor:

dxxfxXE )()(

Variância

• A variância da variável aleatória X contínua, com f. densidade f(x), é definida por:

• O desvio padrão ( ) de X é definido como a raiz quadrada da variância.

222

22

)(

)()(

XE

dxxfx

Mediana e Moda

• A mediana de uma v.a. X contínua, com f.

densidade f(x), é o valor que satisfaz às

seguintes condições:

• A moda é valor da variável que tem maior

probabilidade de ocorrêcia

2

1)(

2

1)( MdXPeMdXP

)(max)( xfMoXPx

Desvio

padrão

Variância

Mo = valor com

maior densidade

Mo= valor com

maior probabilid.

mo= valor com

maior frequência

Moda

md = valor centralMediana

Média

Valores

Variável aleatória

contínua

Variável aleatória

discreta

Conjunto de dados

n

n

frfrfrfreq

xxxX

....

...

21

21

ni

n

pppp

xxxX

...

...

21

21

n

i

ii frxx1

n

i

ii pxXE1

)(

i

n

i

i px 2

1

2 )(

i

n

i

i frxxx 2

1

)()var(

)var()( xxdp 2

2

1)(

2

1)(: MdXPeMdXPMd

)(xf

dxxfx )(

)(max)( xfMoXPx

ii

pMoXP max)(

dxxfx )()( 22

2

Principais modelos contínuos

• Algumas variáveis aleatórias aparecem com frequência

em situações práticas. Em geral nesses casos, a

distribuição de probabilidade pode ser escrita de uma

maneira mais compacta, isto é, existe uma lei para

atribuir as probabilidades.

• Para caracterizar completamente uma variável aleatória

contínua, precisamos fornecer sua função densidade de

probabilidade, segundo sua definição, é uma função

positiva e com integral igual a 1.

Modelo uniforme contínuo

• Uma v.a. X tem distribuição Uniforme Contínua no

intervalo [a,b], a<b, se sua função densidade de

probabilidade é dada por:

contráriocaso0

1

)(bxa

abxf

12

)(;

2

1 22 abba

dxab

x

b

a

Distribuição Uniforme Contínua

• Função densidade e função de distribuição

xi

f(x)

a b

1/(b-a)

xi

1

F(x)

a b

Modelo Exponencial

• Utilizado para modelar variáveis como, vida útil de

equipamentos, tempos de falha e tempos de sobrevivência

de espécies.

• Uma v.a. contínua X, assumindo valores não

negativos, segue o modelo Exponencial com

parâmetro >0 se sua densidade é:

contráriocaso0

01

)( xexf

x

Distribuição Exponencial

2)(;)( XVarXE

Gráfico f. densidade Gráfico f. distribuição acumulada

Distribuição Exponencial

•Para calcular probabilidades com a

Exponencial, precisamos resolver a integral,

pois não teremos as figuras geométricas

simples do exemplo anterior. Assim,

bab

a

x

eedxebXaP

1

)(

Exemplo

• O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser

considerado uma v.a. com distribuição exponencial com

=500. Segue-se que a vida média do transistor é

E(T)=500 horas. Qual é a probabilidade de que ele dure

mais do que a média?

Exemplo

• O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser

considerado uma v.a. com distribuição exponencial com

=500. Segue-se que a vida média do transistor é

E(T)=500 horas. Qual é a probabilidade de que ele dure

mais do que a média?

3678,0500500

1

500

1)()500(

1

500/1

500

500 500

500

ee

dtedttfTP

t

t

Modelo Normal

• Modelo fundamental em probabilidade e inferência

estatística. Representa grande parte das variáveis

aleatórias contínuas.

• Dizemos que a v.a. X tem distribuição Normal com

parâmetros e 2, se sua função densidade é

dada por:

xparaexf

x

,2

1)(

2

2

2

)(

Propriedades do modelo Normal• Algumas propriedades da densidade da

Normal podem ser observadas no seu gráfico:

1. f(x) é simétrica em relação à ;

2. f(x)→0 quando x→;

3. O valor máximo de f(x) se dá qdo x= .

2)(

)(

XVar

XE

Calcular probabilidades no modelo

Normal

• Para calcular probabilidades precisamos

resolver a integral:

• Entretanto, a integral acima só pode ser

resolvida de modo aproximado.

• Então essas probabilidades podem ser

calculadas através do uso de tabelas.

dxebXaP

b

a

x

2

2

2

)(

2

1)(

• Para se utilizar apenas uma tabela, utiliza-se

uma transformação da variável X que conduz

sempre ao cálculo de probabilidades com uma

variável normal com parâmetros (0,1), isto é,

média igual a 0 e variância igual a 1.

• Essa variável Z transformada terá distribuição

N(0,1) e será denominada Normal Padrão.

XZ

• Para determinar a probabilidade X[a.b],

procedemos da seguinte forma:

• E então olhamos na tabela e obtemos as

probabilidades da distribuição Normal

bZ

aP

bXaP

bXaPbXaP )()(

Tabela da Normal Padrão

• Como a distribuição Normal é simétrica,

apresenta-se na tabela apenas os valore de

P(0 Z z). A probabilidade de estar acima (ou

abaixo de zero) é 0,5.

Exemplo

• Seja X~N(2,9), a probabilidade P(2<X<5) é?

)10(9

25

9

22)52(

ZPZPXP

0,3413

Exemplo

• Para obter P(0X<2), usamos a simetria da Normal

3

20

03

2

9

22

9

20)20(

ZP

ZPZPXP

0,2486

• A tabela também pode ser usada no

sentido inverso, dado uma probabilidade,

desejamos obter o valor que a originou.

• Por exemplo, quanto vale c tal que

P(0<Z<c)=0,4?

• É só procurar no corpo da tabela onde está

o 0,4 (aprox. 0,3997), que corresponde a

1,28 que será o valor de c.

• Suponha, agora, que queremos encontrar d, tal

que P(Z>d)=0,8.

• Como a probabilidade desejada é maior que ½,

então d é um número negativo. Então o

intervalo precisa ter probabilidade 0,3.

• Da tabela –d=0,84, ou seja, d=-0,84.

Exercício 1

• Se X~N(100,100), calcule:

a) P(X<115)

b) P(X80)

c) O valor a, tal que P(100-aX 100+a)=0,95

95,01010

95,0100

100)100(

100

100)100(

95,0)100100()

)2(100

10080)80()

)5,1(100

100115)115()

aZ

aP

aZ

aP

aXaPc

ZPZPXPb

ZPZPXPa

Exercício 2

• O peso bruto de latas de conserva é

uma v.a. normal, com média 1000g e

desvio padrão 20g.

a) Qual a probabilidade de uma lata pesar menos

de 980g?

b) Qual a probabilidade de uma lata pesar mais

de 1010g?

)5,0(20

10001010)1010()

)1(20

1000980)980()

ZPZPXPb

ZPZPXPa