Principais Modelos ContPrincipais Modelos Contíínuosnuos

Prof. Prof. VVííctorctor Hugo Hugo LachosLachos DDáávilavila

AULA: 10AULA: 10--1616

2

Variável Aleatória Contínua:

• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.

• Assume valores num intervalo de números reais.• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis

valores de uma v.a. contínua.

1 2 3 4 5 6 x

P(X=x)

Variávelaleatória

discreta (f.p.)

Infinitos valores de X

Variável aleatóriacontínua (funcãodensidade de

probabilidade,f.d.p.)f(x)

3

(i) A área sob a curva de densidade é 1, isto é, (ii) f(x) ≥ 0, para todo x;

(iii) P(a ≤ X ≤ b) = área sob a curva da densidade f(x) e acima do eixo x, entre os pontos a e b;

(iv) P(X = x0) = 0, para x0 fixo.

Propriedades dos Modelos Contínuos

Assim,

P(a < X < b) = P(a ≤ X < b)

= P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)= dxxfb

a∫ )(

1)( =∫ dxxfR

Uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade f(x) (f.d.p) com as propriedades:

4

MMÉÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. continuas)DIA E VARIÂNCIA (v.a. continuas)

Valor EsperadoValor Esperado (m(méédia):dia): Dada a v. a. X, o valorvaloresperadoesperado ou esperanesperançça matema matemááticatica de X é dada por

E(X) μ =Notação:

dxxxf∫ℜ

= )( E(X)

VariânciaVariância: : É o valor esperado da v.a. (X o valor esperado da v.a. (X –– E(X))E(X))22, ou , ou seja,seja,

222 ))(()()() - (x Var(X) XEXEdxxf −== ∫ℜ

μ

(X)V 2 ar=σNotação:

5

Exemplo 1Exemplo 1A duraA duraçção, em anos, de uma lâmpada especial ão, em anos, de uma lâmpada especial éé uma variuma variáável vel aleataleatóória contria contíínua com funnua com funçção densidade dada por:ão densidade dada por:

1f(w)dw R

=∫

)( ),0(2 xIce x

∞−=f(x)

Notacão usualc.c , 0

0 x,

2 ≥=

− xcef(x)

1.Encontre o valor da constante c:Das propiredades vistas temos quec>0 e

2=c1c0 2

0

0

-

=+ −∞

∞∫∫ dwedw w

2.Encontre a função de distribuição(f.d.a): c: Da definição temos que

∫∞

=≤=x

-

f(w)dwx)P(XF(x) Claro que para x<0, F(x)=0, pois a função densidade énula e para x≥0, temos

6

ContinuaContinuaçção exemplo 1ão exemplo 1

∫ −− −==x

xw edwe0

22 .12 F(x)

3. Calcule a probabilidade da lampada durar até 2 anos: Calculamos

98,01 )2(2 =−= −eF(2)

ou 0 x, 2-10x, 0

2 ≥<

= − xeF(x)

4. Calcule o valor esperado da duração em anos da lampada:

∫∫∫∞

−

∞−

=+==0

20

5.020)( dwwedwwdwwwf w

R

E(X)

∫∫ −=b

a

ba

b

a

xfdxgxgxfxgdxf ))(()(|)()())(()(

IMPORTANTE: Integral por partes e Teorema de L’hospital

7

1. Modelo Uniforme

Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme com parâmetros α e β se sua função de densidade de probabilidade é dada por:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤

−=cc

xxf.,0

,1)( βα

αβ

( )12

)(,2

)(2βαβα −

=+

= XVarXE

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

≤≤−−

<

=

β

βααβα

x

xxx

xF

1

00

)(

A função de distribuição acumulada é dado por:

Notação: X~U(α , β))

8

Exemplo: A dureza X de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória uniforme no intervalo (50,70) da escala Rockwel. Qual é a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60?

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤=

cc

xxf.,0

7050,201

)(

Solução: Seja X: dureza de uma peça de aço, X~U(50,70)

205

201)6055(

60

55

==<< ∫ dxXPPortanto,

602

5070)( =+

== μXE

Também,

3,3312

)5070( 22 =

−=σ

9

Uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial com parâmetro λ, se sua função de densidade é dado por

2. Modelo Exponencial

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥=−

cc

xexfx

.,0

0,1)(

λ

λ

Notação: X~Ex(λ).

A função de distribuição acumulada é dado por:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−=−

ccxexF

x

.00,1)( λ

Pode-se mostrar: 2)(,)( λλ == XVarXE

10

Exemplo: Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com tempo médio de vida de 100 horas. Cada peça tem um custo de 10,0 unidades monetárias (u.m) e se durar menos de 20 horas, existe um custo adicional de 8.0 u.m.

(a) Qual é a probabilidade de uma durar mais de 150 horas?(b) Determinar o custo esperado.

Solução: Se X: tempo de duração de uma peça, do enunciado tem-se que: E(X)=100 horas e X~Ex(100). Ou seja,

223,0)1(1)150(1)150()( 5,1100150

==−−=≤−=> −−eeXPXPa

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−=−

ccxexF

x

.00,1)( 100

11

(b) Seja C o custo total de uma peça.

⎩⎨⎧

<+≥

=200,810200,10

xsexse

C

O custo total esperado é: E(C)=10P(C=10)+18P(C=18)

2)200(1)200(1)200()10( −=−=≤−=≥== eFXPXPCP21)200()200()18( −−==≤== eFXPCP

mueeCE .918,16)1(1810)( 22 =−×+×= −−

12

4. Modelo Normal

Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população.

O histograma por densidade é o seguinte:

30 40 50 60 70 80 90 100

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

Peso

Den

sid

ade

13

- a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg;

A análise do histograma indica que:

- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85);

- existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%).

14

Vamos definir a variável aleatória

A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.

Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a distribuição de probabilidades de X ?

X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população.

30 40 50 60 70 80 90 100

0.000

0.015

0.030

Peso

Den

sida

de

15

A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois:

• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa distribuição. Exemplos:

1. altura

2. pressão sangüínea

3. etc.

• Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades para outras distribuições, como por exemplo, para a distribuição Binomial.

16

O Modelo Normal

Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média μ e variância , se sua função de densidade é dada por:2σ

Rxexfx

∈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−,

21)(

2

σμ

σπ

).,(~: 2σμNXNotação

17

Distribuições normais com médias diferentes e variâncias iguais.

Distribuições normais com médias iguais e variâncias diferentes

18

Propriedades da distribuição normal

2)(,)()( σμ == XVarXEa

(b) A distribuição é simétrica ao redor de sua média.(c) A área total sob curva é igual a um portanto, cada metade da curva tem 0,5 da área total.(d)

9973,0)33(9546,0)22(6896,0)(

=+≤≤−=+≤≤−=+≤≤−

σμσμσμσμ

σμσμ

XPXP

XP

19

dttxFx

∫∞−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=2

21exp

21)(

σμ

σπ

A função de distribuição acumulada de uma v.a ).,(~ 2σμNX

20

Distribuição normal padrão ou reduzida

Se Z é uma variável aleatória normal com média zero e variância um,então Z é chamado de uma v.a. normal padrão ou reduzida e sua f.d.p é dada por:

Rzezfz

∈=−

,21)( 2

2

π

A função de distribuição acumulada de uma v.a Z~N(0,1) d

dttzZPzz

)5,0exp(21)()( 2−=≤=Φ ∫

∞− π

21

Uso da Tabela Normal

dttzZPzz

)5,0exp(21)()( 2−=≤=Φ ∫

∞− π

Observação:

RbaabbZaPiiizzZPzZzPii

zzzZPzzZPi

∈∀Φ−Φ=≤≤−Φ=−≤=≤≤−

>∀Φ−=≤−=−Φ=−≤

,),()()()(1)(21)(2)()(

0),(1)(1)()()(

22

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511966 0,515953 0,519939 0,523922 0,5279030,1 0,539828 0,543795 0,547758 0,551717 0,555670 0,559618 0,563559 0,5674950,2 0,579260 0,583166 0,587064 0,590954 0,594835 0,598706 0,602568 0,6064200,3 0,617911 0,621719 0,625516 0,629300 0,633072 0,636831 0,640576 0,6443090,4 0,655422 0,659097 0,662757 0,666402 0,670031 0,673645 0,677242 0,6808220,5 0,691462 0,694974 0,698468 0,701944 0,705401 0,708840 0,712260 0,7156610,6 0,725747 0,729069 0,732371 0,735653 0,738914 0,742154 0,745373 0,7485710,7 0,758036 0,761148 0,764238 0,767305 0,770350 0,773373 0,776373 0,7793500,8 0,788145 0,791030 0,793892 0,796731 0,799546 0,802337 0,805106 0,8078500,9 0,815940 0,818589 0,821214 0,823814 0,826391 0,828944 0,831472 0,8339771,0 0,841345 0,843752 0,846136 0,848495 0,850830 0,853141 0,855428 0,8576901,1 0,864334 0,866500 0,868643 0,870762 0,872857 0,874928 0,876976 0,8789991,2 0,884930 0,886860 0,888767 0,890651 0,892512 0,894350 0,896165 0,8979581,3 0,903199 0,904902 0,906582 0,908241 0,909877 0,911492 0,913085 0,9146561,4 0,919243 0,920730 0,922196 0,923641 0,925066 0,926471 0,927855 0,9292191,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,936992 0,938220 0,939429 0,940620 0,9417921,6 0,945201 0,946301 0,947384 0,948449 0,949497 0,950529 0,951543 0,9525401,7 0,955435 0,956367 0,957284 0,958185 0,959071 0,959941 0,960796 0,9616361,8 0,964070 0,964852 0,965621 0,966375 0,967116 0,967843 0,968557 0,9692581,9 0,971284 0,971933 0,972571 0,973197 0,973810 0,974412 0,975002 0,9755812,0 0,977250 0,977784 0,978308 0,978822 0,979325 0,979818 0,980301 0,9807742,1 0,982136 0,982571 0,982997 0,983414 0,983823 0,984222 0,984614 0,9849972,2 0,986097 0,986447 0,986791 0,987126 0,987455 0,987776 0,988089 0,9883962,3 0,989276 0,989556 0,989830 0,990097 0,990358 0,990613 0,990863 0,9911062,4 0,991802 0,992024 0,992240 0,992451 0,992656 0,992857 0,993053 0,9932442,5 0,993790 0,993963 0,994132 0,994297 0,994457 0,994614 0,994766 0,9949152,6 0,995339 0,995473 0,995603 0,995731 0,995855 0,995975 0,996093 0,9962072,7 0,996533 0,996636 0,996736 0,996833 0,996928 0,997020 0,997110 0,9971972,8 0,997445 0,997523 0,997599 0,997673 0,997744 0,997814 0,997882 0,9979482,9 0,998134 0,998193 0,998250 0,998305 0,998359 0,998411 0,998462 0,9985113,0 0,998650 0,998694 0,998736 0,998777 0,998817 0,998856 0,998893 0,9989303,1 0,999032 0,999064 0,999096 0,999126 0,999155 0,999184 0,999211 0,9992383,2 0,999313 0,999336 0,999359 0,999381 0,999402 0,999423 0,999443 0,9994623,3 0,999517 0,999533 0,999550 0,999566 0,999581 0,999596 0,999610 0,9996243,4 0,999663 0,999675 0,999687 0,999698 0,999709 0,999720 0,999730 0,9997403,5 0,999767 0,999776 0,999784 0,999792 0,999800 0,999807 0,999815 0,9998213,6 0,999841 0,999847 0,999853 0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,9998793,7 0,999892 0,999896 0,999900 0,999904 0,999908 0,999912 0,999915 0,9999183,8 0,999928 0,999930 0,999933 0,999936 0,999938 0,999941 0,999943 0,9999463,9 0,999952 0,999954 0,999956 0,999958 0,999959 0,999961 0,999963 0,999964

Distribuição normal: valores de P(Z≤z)=Φ(z), z≥0

23

Exemplo: Seja Z~N(0,1), determinar:

(a) P(Z<1,80)(b) P(0,80<Z<1.40)(c) P(Z<-0,57)(d) O valor de k tal que: P(Z<k)=0,05.

Solução: da tabela normal padrão tem-se:

0,13110,78814-0,91924(0,80)-(1,40)1,40)ZP(0,80(b)0,964070)80,1()80,1()(

==ΦΦ=<<=Φ=<ZPa

0,284339.715661,01)57,0(1)57,0()( =−=≤−=−< ZPZPc64,105,0)()( −=⇒=< kkZPd

24

Teorema (Transformação linear de uma variável normal)

Se X é uma v.a. normal com média μ e variância σ2, então a variável aleatória Y=a+bX temdistribuição normal com média μy =a+bμ e variância 222 σσ b

Y= .

Uma conseqüência do teorema anterior é a variável

)1,0(~ NXZ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=σ

μ

Exemplo: Se X~N(90,100). Determinar:(a) P(70< X < 100)(b) P(|X-90|<30)(c) O valor de a tal que: P(90-2a <X< 90+2a)=0,99

25

718595,0)97725,01(0,841345))2(1()1()2()1(

)12()10

9010010

9070()10070()(

=−−==≤−−≤=−≤−≤=

=<<−=−

<−

<−

=<<

ZPZPZPZP

ZPXPXPaσ

μ

0,99731-0.99865021)3(2)33(

)1030

1090

1030()309030()30|90(|)(

=×=−<=<<−=

=<−

<−=<−<−=<−

ZPZP

XPXPXPb

85,1257,25

995,0)5

(99,01)5

(2

102

1090

102)2902()290290()(

=⇒=⇒

=<⇒=−≤=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ <

−<−=<−<−=+<<−

aa

aZPaZP

aXaPaXaPaXaPc

26

Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição normal com média 120 minutos e desvio padrão 15 minutos.

(a) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é probabilidade dele terminar o exame antes de 100 minutos?

X: tempo gasto no exame vestibular.

0,0917690,9082411)33,1(1)33,1(1

)33,1(15

120100)100(

).15,120(~ 2

=−=Φ−=<−=

−≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<=<

ZP

ZPZPXP

NX

27

(b) Qual deve ser o tempo de prova de modo que permita o 95% dosvestibulandos terminem no prazo estipulado?

95,015120)(

95,0)(

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<=<

=<

xZPxXP

xXP

z=? , tal que Φ(z)=0,95

Da tabela z= 1,64

(c) Qual o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para completar o exame?

6,1521564,1120 =×+=x

28

80.015

12015

12080,0)( 2121 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤≤−

⇒=≤≤xZxPxXxP

z=? , tal que Φ(z)=0,90

Da tabela z= 1,28

.min2,13928,11512028,115

120

.min8,10028,11512028,115

120

222

111

=∴×+=⇒=−

=∴×−=⇒−=−

xxx

xxx

29

Teorema( Combinação Linear de variáveis aleatórias normais)

Sejam nXX ,,1 K , n variáveis aleatórias independentes onde Xi ~N(μi, σi2), para

i=1,...,n. Sejam naa ,,1 K constantes reais. Seja a variável aleatória Y uma combinação linear das variáveis aleatórias normais. Isto é

nn XaXaY ++= L11

Então a variável aleatória Y tem distribuição normal com média

i

n

iinnY aaa μμμμ ∑

=

=++=1

11 L

e variância

2

1

22221

21

2i

n

iinn aaa

Yσσσσ ∑

=

=++= L

30

Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5 xícaras. Os pesos dos pires distribuem-se normalmente com média de 190 g e desvio padrão 100 g. Os pesos das xícaras também são normais com média 170 g e desvio padrão 12,25 g. O peso da embalagem épraticamente constante e igual a 100 g.

(a) Qual é a probabilidade da caixa pesar menos de 2000 g?

completa. caixa da peso :Cembalagem; da peso:E

xícara;ésima-i do peso :Xpires; ésimo-i do peso:

i

iPSolução. Sejam,

∑∑==

++=++++++++=5

1

5

1521521

ii

ii

xícarasdaspesopiresdospeso

EXPEXXXPPPC444 3444 21

L44 344 21

L

31

Tem-se interesse: P(C < 2000)=? Do problema temos:5,,1)25,12,170(~),10,190(~ 22 L=iNXNP ii

Do teorema anterior C distribui-se normalmente com média

g

EXEPEi

ii

iC

190010017051905

)()(5

1

5

1

=+×+×=

++= ∑∑==

μ

222

5

1

5

1

2

1250025,125105

)()()(

g

EVarXVarPVari

ii

iC

=+×+×=

=++= ∑∑==

σ

e variância

0,997673)83,2(1250

19002000)2000(

=≤=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≤=<

ZP

ZPCP

32

(b) Qual é a probabilidade de uma xícara pesar mais que um pires numa escolha ao acaso?

Seja X: peso de uma xícara; P: peso de um pires. P(X > P)=P(X – P >0)=?

.25025,1210

;20190170

);(~

22222

2

=+=+=

−=−=−=

−=

PXY

PXY

YY

ondeNPXYSeja

σσσ

μμμ

σμ

Logo,

0,103835.0,8961651)26,1(1

250)20(01

)0(1)0(

=−=≤−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−≤−=

≤−=>

ZP

ZP

YPYP

33

Corolário (Propriedade reprodutiva da distribuição normal)

Sejam nXX ,,1 K , n variáveis aleatórias independentes onde Xi ~N(μ, σ2), para i=1,...,n. Então a variável aleatória

∑=

=++=n

iin XXXY

11 L

tem distribuição normal com média nμ e variância ),(~ é, isto , 22 σμσ nnNYn

).1,0(~/

1 Nn

Xn

nXY

n

ii

σμ

σ

μ−

=−

=∑

=

Exemplo: o peso de uma caixa de peças é uma variável aleatória normal com média de 65 kg e desvio padrão de 4 kg. Um carregamento de 120 caixas de peças é feito. Qual é a probabilidade que a carga pesar entre 7.893 kg e 7.910 kg?

34

120,,1),16,65(~caixa ésima-i da peso : L=⇒ iNXX ii

)1920,7800(~

)16120,65120(~carga da peso :120

1

NY

NXYYi

i ××=⇒ ∑=

010966,0482997,0493963,0)12,2()51,2()51,212,2(

192078007910

192078007893)79107893(

=−=Φ−Φ=≤≤=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≤≤

−=≤≤

ZP

ZPYP

35

Exemplo: Estudo do Sindicato de Bancários indica que cerca de 30% dos funcionários de banco têm problemas de estresse, provenientes das condições de trabalho. Numa amostra de 200 bancários, qual seria a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença?

)3,0 ,200(~problema o com bancários de N : o BXX ⇒

948,0)7,0()3,0)(200

()50(200

50

200 ==≥ ∑=

−

k

kk

kXP

Resultado muito trabalhos: 151 termos para somar

A aproximação pela Normal é baseada no Teorema Limite Central. Emgeral quanto mais simétrica for a f.p. da Binomial, melhor será a aproximacão.

AproximaAproximaçção da Binomial pela Normalão da Binomial pela Normal

36

Distribuição Binomial n = 10 p = 0,2

37

Distribuição Binomial n = 20 p = 0,2

38

Distribuição Binomial n = 50 p = 0,2

Para p fixado, a medida que n cresce, os histogramas vão se tornando mais simétricos e com a forma da curva Normal. Tal aproximação será mais rápida para 5.0≈p

39

sendo Y ~ N(np ; np(1 – p) ).

Aproximar a distribuição de probabilidades de X pela distribuição de probabilidades de uma variável aleatória Y tal que

Portanto, • P( a ≤ X ≤ b) ≈ P(a ≤ Y ≤ b)• P( X ≥ a) ≈ P(Y ≥ a)• P( X ≤ b) ≈ P(Y ≤ b)

X ~ b(n ; p) E(X) = npVar(X) = np(1 – p)

⇒

Y ~ N( μy, σy2) com μy = n p e σy

2 = n p (1 – p).

IdIdééia Bia Báásicasica

40

Logo temos que , desta forma

938,0)54,1()42

60504260()50()50( =−≥=

−≥

−=≥≈≥ ZPYPYPXP

)42,60(~ NY

No Exemplo anterior temos que:

42)1()( e 60)( com ),3,0 ,200(~ =−=== pnpXVarnpXEBX

Probabilidade exata = 0,948 (usando a distribuição binomial).

Note que estamos aproximando uma distribuição discreta por umacontínua onde as probabilidades pontuais são zero, assim para melhorartal aproximação alguns autores preferem usar a correção de continuidade

41

Correção de Continuidade

Para melhorar a aproximação, usamos a correção por continuidade no cálculo com a Normal como segue:

9478,0)-1.62()42

605,494260()5,49()50( =≥=

−≥

−=≥≈≥ ZPYPYPXP

9292,0)46.1()42

605,504260()5,50()50( =−≥=

−≥

−=≥≈> ZPYPYPXP

0182,0)42

605,504260

42605,49()5,505,49()50( =

−≤

−≤

−=≤≤≈=

YPYPXP

Para probabilidade pontuais, criamos um intervalo artificial:

Probabilidade exata = 00190 (usando a distribuição binomial).

42

Exemplo: Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade (probabilidade de funcionar adequadamente num certo período) igual a 0,9. Se esses componentes funcionarem de forma independente um do outro e se o sistema funcionar adequadamente enquanto pelo menos 87 componentes estiverem funcionando, qual é a confiabilidade do sistema?X : número de componentes que funcionam adequadamente dos 100

X ~ b(100; 0,9)

n = 100 p = 0,9

E(X) = np = 100×0,9 = 90

Var(X) = np(1 – p) = 100 × 0,9 × 0,1 = 9⇒

Confiabilidade do sistema: P(X ≥ 87)=??

P(X ≥ 87) ≈ P(Y ≥ 87) ≈ P(Y ≥ 86,5) Y ~ N(90 ; 9)

876976.0)16,1( )16.1()3

905,86990( =Φ=−≥=

−≥

−= ZPYP

Probabilidade exata = 0.8761232 (usando a distribuição binomial).