universidade federal de são paulo instituto de ciência e ... · dinâmica do mhs (condições...
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Oscilações
1. Movimento Oscilatório2. Cinemática do Movimento Harmônico Simples (MHS)3. MHS e Movimento Circular Uniforme4. Força e Energia do MHS5. Exemplos6. Exercícios
Universidade Federal de São PauloInstituto de Ciência e TecnologiaBacharelado em Ciência e Tecnologia
2
Movimento Oscilatório
� Cordas vocais
� Diapasão
� Instrumentos de cordas
� Ondas na água
� Ondas sonoras
� Ondas em cordas
“Variações temporais” “Variações espaciais”
Vibrações Ondase
3
Movimento Oscilatório
� Hélice na água
� Asas de abelha
� Elétrons em uma lâmpada
� Ondas na água
� Ondas sonoras
� Ondas de luz
“Variações temporais” “Variações espaciais”
Vibrações Ondase
4
Movimento Harmônico Simples
Movimento oscilatório que se repete periodicamente.Resulta em ondas senoidais.
Exemplos:• Massa em uma mola• Pêndulo
5
Uma massa vibrante conectada a uma mola é deslocada da
posição de equilíbrio, e depois solta.
O deslocamento máximo é chamado amplitude da vibração.
Um ciclo é uma vibração completa.
O período é o tempo necessário para completar um ciclo
completo.
A frequência é a conta de quantos ciclos o sistema
completa em 1 s.
Movimento Harmônico Simples
6
Movimento Harmônico Simples
7
Movimento Harmônico Simples
O gráfico de um Movimento Harmônico Simples (MHS)é descrito por uma curva senoidal.
8
Movimento Harmônico Simples
9
Movimento Harmônico Simples
10
Movimento Harmônico Simples
Quando o corpo é deslocado de uma distância x a partirde sua posição de equilíbrio, a mola exerce sobre umaforça -kx, dada pela lei de Hooke.
xF kx= −
onde k é a constante de força da mola, uma medida desua rigidez.
O sinal negativo indica que a força é uma forçarestauradora, isto é, ela tem o sentido oposto ao dodeslocamento a partir da posição de equilíbrio.
11
Condições para o Movimento Harmônico Simples:
No movimento harmônico simples, a aceleração, e
portanto, também a força resultante, são ambas
proporcionais e opostas ao deslocamento a partir da
posição de equilíbrio.
Movimento Harmônico Simples
12
O tempo que leva para um objeto deslocado executar um
ciclo completo de movimento oscilatório – de um extremo
ao outro e de volta ao anterior – é chamado de período T.O inverso do período é a frequência f, que é o número deciclos por unidade de tempo:
Movimento Harmônico Simples
1f
T=
13
Movimento Harmônico Simples
Unidade de Frequência:
A unidade de frequência é o ciclo por segundo (ciclo/s),
chamado de hertz (Hz).
Exemplo:
Se o tempo para um ciclo completo de oscilações é 0,25 s,
a frequência é 4,0 Hz.
14
Movimento Harmônico Simples
Posição no Movimento Harmônico Simples:
A figura abaixo mostra como podemos, experimentalmente,
obter x versus t para uma massa presa a uma mola. A
equação geral para esta curva é
cos( )x A tω δ= +
onde A, ω e δ são constantesO deslocamento máximo xmáx do equilíbrio é chamado deamplitude A.
15
Movimento Harmônico Simples
O argumento da função cosseno, ωωωωt+δδδδ, é a fase do
movimento, e a constante δδδδ é a constante de fase, que é
igual à fase em t=0.
Nota que:
cos( ) sen( 2),t tω δ ω δ π+ = + +
assim, expressar a equação como uma função cosseno ou
como uma função seno depende simplesmente da fase da
oscilação em t=0.
16
Movimento Harmônico Simples
Podemos mostrar que:
2
2
x
x
kx ma
ou
k d x ka x ou x
m dt m
− =
= − = −
É solução de:
cos( )x A tω δ= +
Velocidade no Movimento Harmônico Simples
17
Movimento Harmônico Simples
A primeira derivada de x dá a velocidade vx
( )senx
dxv A t
dtω ω δ= = − +
Aceleração no Movimento Harmônico Simples
Derivando a velocidade em relação ao tempo temos a
aceleração:
( )2
2
2cosx
d xa A t
dtω ω δ= = − +
18
Movimento Harmônico Simples
Substituindo ( )senA tω δ+
A frequência angular:
por x fica 2
2
2x
d xa x
dtω= = −
k
mω =
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Movimento Harmônico Simples
A frequência se relaciona com a frequência angular da
forma1
2 2 fT
ω π π= =
Como ,k mω =
a frequência e o período de um corpo preso a uma mola se
relaciona com a constante de força k e a massa m da forma
1 1
2
kf
T mπ= =
20
Movimento Harmônico Simples
A frequência aumenta com o aumento de k (rigidez da
mola) e diminui com o aumento da massa m.
A Equação para frequência fornece uma maneira de se
medir a massa inercial de um astronauta em um ambiente
“sem gravidade”.
A frequência (e, portanto, também o período) do
movimento harmônico simples (MHS) é independente da
amplitude.
21
Dinâmica do MHS (Resumo)
Sabemos que em todo instante F = ma deve ser válido.
Mas neste caso F = -kx
Portanto: -kx = ma =
e ma =2
2
d xm
dt2
2
d xm
dt
2
2
d x kx
dt m= − Equação diferencial para x(t) !
22
Dinâmica do MHS (Resumo)2
2
d x kx
dt m= −
22
2
d xx
dtω= −
k
mω =
Tentemos a solução
( )sindx
v A tdt
ω ω= = −
( )2
2 2
2cos
d xa A t x
dtω ω ω= = − = −
definamos
( )cosx A tω=
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Dinâmica do MHS (Resumo)
Posição: x(t) = A cos(ωt + δ)
Velocidade: v(t) = -ωA sin(ωt + δ)
Aceleração: a(t) = -ω2A cos(ωt + δ)
Considerando as derivadas, pois:
( )( )
dv ta t
dt=
( )( )
dx tv t
dt=
xMAX = A
vMAX = ωA
aMAX = ω2A
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Dinâmica do MHS (Condições Iniciais)Use as “condições iniciais” para determinar a fase φ!Suponha que foi dito que x(0) = 0 , e que xinicialmente aumenta (i.e. v(0) = positiva):
x(0) = 0 = A cos(φ) φ = π/2 ou -π/2
v(0) > 0 = -ωA sin(φ) φ < 0
x(t) = A cos(ωωωωt + φφφφ)
v(t) = -ωωωωA sen(ωωωωt + φφφφ)
a(t) = -ωωωω2A cos(ωωωωt + φφφφ)
φφφφ = -ππππ/2Portantoππππ 2π2π2π2π
sincos
θθθθ
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Dinâmica do MHS (Condições Iniciais)
x(t) = A cos(ωt - π/2 )
v(t) = -ωA sin(ωt - π/2 )
a(t) = -ω2A cos(ωt - π/2 )
Encontramos portanto φφφφ = -ππππ/2 !
x(t) = A sin(ωωωωt)
v(t) = ωωωωA cos(ωωωωt)
a(t) = -ωωωω2A sin(ωωωωt)
ππππ 2π2π2π2πωωωωt
x(t)A
-A
26
Solução do MHS
( )cosy A tω φ= +
27
Solução do MHS
cos2
y A tπ
ω
= −
( )seny A tω=
28
Resumo do MHSA solução mais geral é x = A cos(ωt + φ)onde A = amplitude
ω = frequência angular
φ = fase
Para uma massa em uma mola:
A frequência não depende da amplitude!!
Isso na realidade é geral para qualquer MHS !
A oscilação ocorre ao redor do ponto de equilíbrio, onde a
força resultante é nula!
k
mω =
29
Solução do MHS
� Mostramos que (que vem de F = ma) tem solução
� Essa não é a única solução, entretanto, também é uma solução.
� A solução mais geral é uma combinação linear dessas duas possíveissoluções:
22
2
d xx
dtω= −
( )cosx A tω=
( )senx A tω=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )2
2 2 2
2
sen cos
cos sin
sin cos
x B t C t
dxB t C t
dt
d xB t C t x
dt
ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
= +
= −
= − − = −
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Derivação
( ) ( ) ( )cos e equivalente a sen cosx A t x B t C tω φ ω ω= + = +
Queremos usar a solução mais geral. Vamos mostrar que:
( )
( ) ( )
( ) ( )
cos
cos cos sen sen
cos sen
x A t
A t A t
C t B t
ω φ
ω φ ω φ
ω ω
= +
= −
= +
onde cos e - senC A B Aφ φ= =
Funciona!
Assim, podemos usar como a solução mais geral!
( )cosx A tω φ= +
31
Movimento Harmônico Simples
Exercício 1:
Você está sentado na prancha de surfe, que sobe e desce
ao flutuar sobre algumas ondas. O deslocamento vertical
da prancha y é dado por
( )1
1,2 cos2,0 6
y m ts
π = +
a) Determine a amplitude, a frequência, a frequência
angular, a constante de fase, a frequência e o período do
movimento.
32
Movimento Harmônico Simples
b) Onde está a prancha, em t=1,0 s?
c) Determine a velocidade e a aceleração, como funções
do tempo t.
d) Determine os valores iniciais da posição, da velocidade
e da aceleração da prancha.
33
Movimento Harmônico Simples
Exercício 2:
Um corpo oscila com uma frequência angular w=8,0 rad/s.
Em t=0, o corpo está em x=4,0 cm com uma velocidade
inicial vx=-25 cm/s.
a) Determine a amplitude e a constante de fase do
movimento.
b) Escreva x como função do tempo.
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Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular
Existe uma relação entre o movimento harmônico simples eo movimento circular de rapidez constante.Considere uma partícula se movendo com rapidezconstante v em um círculo de raio A.
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Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular
Seu deslocamento angular em relação à orientação +x édado por.
tθ ω δ= +
onde representa o deslocamento angular no tempo 0 e
representa a rapidez angular da particula.
vt
Aδ ω= =
A componente x da posição da partícula é.
( )
cos
cos
x A
x A t
θ
ω θ
=
= +
Que é a mesma equação
para o MHS.
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Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular
Quando uma partícula se move com rapidez constante emum círculo, sua projeção sobre um diâmetro do círculodescreve um movimento harmônico simples (MHS).
A rapidez de uma partícula que se move em um círculo édada por.
v rω=
onde representa o raio da trajetoria da particula.r
Para uma partícula em movimento circular.
r A= v Aω=
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Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular
A projeção do vetor velocidade sobre o eixo x é:
senxv v θ= −
que é a mesma equação para o MHS.
Substituindo v e θ, temos:
( )
sen
sen
x
x
v v
v A t
θ
ω ω δ
= −
= − +
A relação entre o movimento circular e o movimentoharmônico simples é mostrada de forma muito bonitapela trilha de bolhas produzida por uma hélice de barco.
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Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular
cosx
Aθ = cosx A θ=
tθ ω=
cosx A tω= 2 fω π=
cos 2x A ftπ= 2cos
tx A
T
π=
A
θ
x
2 2-A x
x
y v0
v
θ
z
v
xA
x
zy
ω: velocidade angular
ou
0 0 0
2sin sin 2 sin
tv v v ft v
T
πθ π= − = − = −
0 cos2F
a a ftm
π= = −
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Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular
Como relacionar o MHS com o MCU?
x
y
-1
1
0 θθθθ
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
2
π π
( )cos cosy R R tθ ω= =
2π
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Força Elástica e Energia PotencialSeja um corpo distante x do equilíbrio, sob a ação da forçarestauradora
F kx= −
Configuração de referência: x0 = 0
0
( ) 0 ( )
x
U x k xdx= − −∫Ou:
2
2
1)( kxxU ====
41
Energia no MHSPara o movimento harmônico simples
( )2 21cos
2U kA tω δ= +
A Energia Cinética do sistema é
21
2K mv=
( )cosx A tω δ= +
Energia Potencial no MHS
onde m é a massa do corpo e v é sua rapidez. Para omovimento harmônico simples,
( )senxv A tω ω δ= − +
42
Energia no MHSSubstituindo, fica
( )2 2 21sen
2K m A tω ω δ= +
Energia Cinética no MHS
Usando2 k
mω =
( )2 21sen
2K kA tω δ= +
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Energia no MHSA Energia Mecânica Total E é a soma das energiaspotencial e cinética
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
1 1cos sen
2 2
1cos sen
2
E U K kA t kA t
kA t t
ω δ ω δ
ω δ ω δ
= + = + + +
= + + +
( ) ( )2 2cos sen 1t tω δ ω δ+ + + =
Como
44
Energia no MHS
Energia Mecânica total no MHS21
2E U K kA= + =
A Energia Mecânica total no movimento harmônico simplesé proporcional ao quadrado da amplitude.
45
Energia no MHS
� Tanto para a mola quanto para o pêndulo, pode-se
derivar a equação do MHS usando a conservação de
energia.
� A energia total (K + U) do sistema em MHS será
sempre constante.
� Isso não deveria ser uma surpresa, pois somente há
forças conservativas presentes, e portanto a energia
total K+U é conservada.
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Conservação da Energia Mecânica no MHS
2 2 21 1 1
2 2 2E mv kx E kA= + ⇒ =
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Conservação da Energia Mecânica no MHSA Figura abaixo mostram os gráficos de U e de K em
função do tempo. Estas curvas possuem o mesmo perfil,
exceto que uma é zero quando a outra é máxima.
Seus valores médios, sobre um ou mais ciclos, são iguais e,
porque U + K = E, seus valores médios são dados por
1
2med med
U K E= =
48
Conservação da Energia Mecânica no MHS
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Exercícios
Exercício 1. Um corpo de 3,0 kg, preso a uma mola, oscila
com uma amplitude de 4,0 cm e um período de 2,0 s.
(a) Qual é a energia total?
(b) Qual é a rapidez máxima do corpo?
(c) Em qual posição x1 a rapidez do corpo é a metade de seu
valor máximo?
50
Exercícios
Exercício 2. Energia e momento linear no MHS Um bloco
de massa M preso a uma mola de constante k descreve um
movimento harmônico simples horizontal com uma
amplitude A1. No instante em que o bloco passa pela
posição de equilíbrio, um pedaço de massa de vidraceiro de
massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena
altura e gruda no bloco.
51
Exercícios
(a) Calcule a nova amplitude e o período.
52
Exercícios
(b) Repita a parte (a) supondo que a massa caia sobre o
bloco no momento em que ele está na extremidade de sua
trajetória.
53
Exercícios
Solução:
(a) O problema envolve o momento em uma dada posição e
não em dado instante, logo podemos usar o método da
energia. Antes de a massa cair sobre o bloco, a energia
mecânica da mola e do bloco oscilantes era constante.
Quando a massa gruda no bloco, a colisão é completamente
inelástica; existe conservação do componente x do
momento linear, porém a energia mecânica diminui.
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Exercícios
Solução:
Depois que a colisão termina, a energia mecânica passa a
ser novamente constante com um novo valor menor do que
antes da colisão. Vamos examinar estes três estágios –
antes, durante e depois da colisão.
Antes da colisão a energia mecânica total da mola e do
bloco é dada por
2
1 1
1
2E kA=
55
Exercícios
Solução:
Como o bloco está na posição de equilíbrio, U = 0, logo a
energia é puramente cinética.
2 2
1 1 1
1 1
2 2E Mv kA= =
Designando por v1 a velocidade do bloco na posição de
equilíbrio, obtemos
logo1 1
kv A
M=
56
Exercícios
Solução:
Durante a colisão existe conservação do componente x do
momento linear do sistema massa e bloco. (Por quê?)Imediatamente antes da colisão este momento linear é
dado pela soma de Mv1 (para o bloco) e zero (para a
massa).
Imediatamente depois da colisão, o bloco e a massa se
movem juntos com velocidade v2 e o momento linear deste
conjunto é dado por
57
Exercícios
Solução:
Pela lei da conservação do momento linear, obtemos
( ) 2M m v+
( )1 20Mv M m v+ = + logo2 1
Mv v
M m=
+
A colisão dura um intervalo de tempo muito pequeno, de
modo que imediatamente depois da colisão o bloco e a
massa se encontram ainda na posição equilíbrio.
58
Exercícios
Solução:
A energia ainda é puramente cinética, porém é menor doque a energia cinética antes da colisão:
( )2
2 2 2
2 2 1 1
1
1 1 1
2 2 2
M ME M m v v Mv
M m M m
ME
M m
= + = =
+ +
=
+
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Exercícios
Solução:
(A energia cinética perdida é usada para elevar a
temperatura da massa e do bloco). Como
2
2 2
1
2E kA= onde A2 é a amplitude depois da colisão, temos
2 2
2 1 2 1
2 1
1 1
2 2
M ME E kA kA
M m M m
MA A
M m
= ⇒ =
+ +
=+
60
Exercícios
Solução:
Quanto maior for o valor de m da massa do vidraceiro,
menor será a amplitude da oscilação. O cálculo do período
da oscilação depois da colisão é dado por:
2 2M m
Tk
π+
=
Quando a massa do vidraceiro cai sobre o bloco que oscila
no momento em que ele passa pela posição de equilíbrio, o
período se torna mais longo e a amplitude se torno menor.
61
Exercícios
Solução:
(b) Neste caso, quando a massa do vidraceiro cai sobre o
bloco, ele está instantaneamente em repouso; todo energia
mecânica é armazenada na mola como energia potencial.
Novamente durante a colisão existe conservação do
componente x do momento linear do sistema massa e
bloco, porém agora este componente é igual a zero antes e
depois da colisão.
62
Exercícios
Solução:
O bloco possuía energia cinética zero imediatamente antes
da colisão; a massa e o bloco devem possuir energia
cinética zero imediatamente depois da colisão.
Logo, neste caso a soma da massa extra da massa do
vidraceiro não possui nenhum efeito sobre a energia
mecânica. Ou seja,
63
Exercícios
Solução:
e a amplitude continua sendo dada por A1. Contudo, operíodo ainda varia quando a massa é grudada no bloco; o
seu valor não depende do modo pelo qual a massa é
adicionada ao sistema, apenas depende do valor da massa
total.
2
2 1 1
1
2E E kA= =
64
Exercícios
Solução:
Logo, T2 é igual ao obtido na parte (a),
2 2M m
Tk
π+
=
Quando a massa do vidraceiro é adicionada deste modo
não ocorre nenhuma variação na amplitude, mas o período
se torna mais longo.