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Amostragem de Sinais

Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva

[email protected]

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Amostragem (Sampling)

• Para um sinal em tempo continuo x(t)

• Considera-se um trem de impulsos p(t), com período T

2


• O sinal amostrado se obtém da multiplicação do sinal x(t) com o trem de impulsos p(t)

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x(t) sinal em tempo continuo

p(t) função de amostragem (trem de impulsos)

xp(t) sinal amostrado no tempo discreto

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Sinal no tempo continuo

Função de amostragem

Sinal amostrado no tempo

discreto

2s

T


1sf

T

• O sinal amostrado pode ser representado como um trem de impulsos ponderados com período T

5

( )p

n

x t x nT t nT


• Considerando que o espectro de Fourier do sinal x(t) é:

Com frequência máxima de M

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Análise da Amostragem na Frequência

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Para analisar o que acontece com o produto no tempo e na

frequência, se deve utilizar as propriedades de convolução da

Transformada de Fourier


( )* ( ) ( ) ( )

1( ). ( ) ( )* ( )

2

F

F

x t p t X P

x t p t X P

• A transformada de Fourier de uma sequência de impulsos é:

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2( ) ( )

F

s

k

p t P kT


9

Domínio do Tempo

( ) ( ) ( )

( )

( )

p

n

p

n

x t x t p t

p t t nT

x t x nT t nT

Domínio da Frequência

1( ) *

2

2( )

1 2( ) *

2

1( )

p

s

k

p s

k

p s

k

X X P

P kT

X X kT

X X kT

Sequência periódica


• Ao realizar a amostragem do sinal x(t), o resultado na frequência é equivalente a replicar o espectro original em múltiplos da frequência de amostragem s

10


1( )X

T 1

( )sXT

1

( 2 )sXT

• O espectro do sinal amostrado xp(t) é representado por Xp()

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( )p

n

x t x nT t nT

Sequência Amostrada no

Tempo

Sequência Amostrada na

Frequência


1( )p s

k

X X kT

1( )X

T 1

( )sXT

1

( 2 )sXT

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Teorema da Amostragem

• Amostragem no dominio da frequência

2

M s M

M s

M=Freq. Máxima

s=Freq. Amostragem

Condição para que não haja superposição de espectros

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Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos

• Os filtros eletrônicos restringem o passo de alguns componentes de frequência.

( )( ) | ( ) |

jH H e

Filtro Passa-Baixa

14

1c

RC

H(): Função de transferência do sistema c : Frequência de corte

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Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos

A recuperação do espectro original X() pode ser realizada utilizando um filtro passa-baixa com frequência de corte:

2

Sc

Transf. Inversa de

Fourier

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• Se:

Efeito Aliasing

• Neste caso existe superposição entre os espectros repetidos de X()

2

s M M

s M

Efeito Aliasing (Superposição de Espectros)

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• Define-se o Teorema da Amostragem:

– Se x(t) é um sinal de largura de banda limitada, X()=0 para ||>M.

– Então x(t) é únicamente determinada por suas amostras no dominio discreto x(nT), se:

22 :s M scom

T

12 :s M sf f com f

T


18

Exemplo 1

• Para o sinal

• Com frequência de amostragem fs=8000 Hz

19

Exemplo 1

• Sinal amostrado a fs=8000 Hz

20

• Desta maneira, a partir da amostragem correta, é possível reconstruir o sinal no tempo continuo a partir das amostras discretas.


21


• Desta maneira, a partir da amostragem correta, é possível reconstruir o sinal no tempo continuo a partir das amostras discretas.

22

Reconstrução de Sinais

• A reconstrução de sinais, é o procedimento de recuperação do sinal analogico a partir das amostras do sinal.

• Este procedimento pode fazer uso de um filtro passa-baixo.

23


• Primeiramente, o sinal discreto processado x(n) se converte em um trem de impulsos xs(t) cuja amplitude é proporcional à saída discreta x(n).

• Dois impulsos consecutivos são separados com um período de amostragem T

• Finalmente, aplica-se um filtro analógico de reconstrução para a recuperação das amostras do sinal xs(t), obtendo-se o sinal recuperado.

24


25


• Para um sinal x(t) com espectro

• A recuperação do sinal depende da frequência de amostragem escogida.

26


• Caso 1: fs=2fmax

27


• Caso 2: fs≥2fmax

A frequência de corte do filtro passa-baixo é definida por

2

s

c

fB f

28


• Caso 3: fs<2fmax

Conversor ADC – Tipo FLASH

• Está composto por uma tensão de referência, comparadores lógicos e uma unidade lógica.

• Por exemplo para um ADC de 2 bits

29

Conversor ADC – Tipo FLASH

• Este conversor tem uma alta velocidade de conversão, devido a que todos os bits são aquiridos ao mesmo tempo

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Quantização

• A quantização é o processo de converter um nível de tensão analógico com precisão infinita a uma precisão finita.

• Por exemplo, se o processador digital tem 3-bits, as amplitudes podem ser convertidas em oito diferentes níveis.

• Um Quantizador Unipolar, trabalha com sinais de 0 volt a uma tensão de referência positivo.

• Um Quantizador Bipolar, tem uma faixa de tensão desde uma referência negativa a uma positiva.

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Quantización

xmax = valor máximo de tensão do sinal analógico x

xmin = valor mínimo de tensão do sinal analógico x

L = número de níveis de quantização

#Bits = número de bits do conversor ADC

= passo de quantização ou resolução do conversor ADC

xq = níveis de quantização

i = indica o índice correspondente do código binário

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max min

min

min

2

0,1,..., ( 1)

Bits

q

x xL

L

x xi round

x x i i L

Erro de Quantização

• Quando o sinal de entrada x, se quantiza a xq, tem-se um erro de quantização definido como o erro de quantização:

• Limites do erro de quantização

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q qe x x

2 2qe


• O erro de quantização tem uma distribuição uniforme quando o é muito menor que a faixa dinâmica do sinal amostrado e com um número suficiente de amostras.

• Baseado na teoria de probabilidades e variáveis aleatórias, a potencia do ruído de quantização é dado por:

Em que: E(.) é o operador de média

34

2

2

12qE e


• A relação de potência sinal a ruído de quantização (SNR)

• Em decibelios

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2

2

q

E xSNR

E e

10

2

10 102

10

10

10 10/12

10.79 20

dB

rms

dB

q

rms

dB

SNR Log SNR

E x xSNR Log Log

E e

xSNR Log

1 12 2

0 0

1 12 2

0 0

1( ) ( )

1( ) ( )

N N

n n

N N

q q

n n

x n x nN

SNR

e n e nN

Quantizador Unipolar

36

max

min

8

0

3

2 8Bits

x

x

Bits

L

Erro de

Quantização

min0,1,...,7qx x i i

Quantizador Unipolar

37

Quantizador Bipolar

38

Erro de

Quantización

max

min

4

4

3

2 8Bits

x

x

Bits

L

min0,1,...,7qx x i i

Quantizador Bipolar

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Exemplo 2

• Para um ADC de 3-bit com intervalo de entrada de 0 a 5 volt

• Para o nível de tensão do sinal de entrada x=3,2 volt

40

max min5 0

3 2 8

5 00,625

8

Bits

x x

Bits L

volt

min

3,2 0(5,12) 5

0,625

0 5 0,625 3,125

q

q

i round round

x x i

x volt

Exemplo 2

• Para a tensão x=3,2 volt o valor da tensão quantizado é

41

3,125qx v

3,125 3,2

0,075

q q

q

q

e x x

e

e v

0,075 0,31252

qe v

Limite do eq

Exemplo 3

• Para um sinal analógico

• Utilizando um quantizador Bipolar

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( ) .sin 2 1000x t A t

10

10 10

0,707

2

2

0,70710,79 20

2

2

0,70710,79 20 20 2

2

1,76 6,02 ( )

rms

Bits

dB

Bits

dB

dB

x A

A

ASNR Log

A

SNR Log Bits Log

SNR Bits dB

1010,79 20 rms

dB

xSNR Log

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