UNIVERSIDADE FEDERALDA PARAÍBA

Larson/Farber Ch. 3

Probabilidade

Departamento de Estatística – UFPBLuiz Medeiros

Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos

Introdução

• Determinísticos: Os resultados são sempre osmesmos e determinados pelas condições sob as quais oprocedimento seja executado .

• Exemplo: Lançamento de um corpo, velocidade média, leis da física…

• Não-Determinístico (Probabilístico ou Aleatório) :

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• Não-Determinístico (Probabilístico ou Aleatório) : Aplicados em situações que envolvem incerteza. Resultados variam de uma observação para outra,

mesmo em condições normais de experimentação.As condições do experimento determinam apenas o

comportamento probabilístico do resultado observável .• Exemplo: Lançamento de um dado, índices econômicos, tempo de vida de um paciente, …

� A teoria das probabilidades é o fundamento para ainferência estatística. O objetivo desta parte é que oaluno compreenda os conceitos mais importantes daprobabilidade.

• O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-dia

Introdução

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• O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-diados profissionais de todas as áreas, uma vez que seuconceito é frequentemente utilizado. Por exemplo,podemos dizer que um aluno tem uma chance de 70%de ser aprovado em uma determinada disciplina. Umengenheiro de produção afirma que uma novamáquina reduz em 20% o tempo de produção de umbem.

• Experimentos Aleatórios: São aqueles onde oprocesso de experimentação está sujeito ainfluências de fatores casuais que conduzem aresultados incertos.

Definição importante

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resultados incertos.

• Exemplo: Lançar um dado, lançar umamoeda, retirar uma carta do baralho, preço dodólar ao fina do dia.

• Características de um experimento aleatório :

Pode ser repetido indefinidamente sob asmesmas condições .

Podemos descrever todos os possíveisresultados.

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resultados.

Definição importante

• Espaço Amostral (U): É o conjunto de todos ospossíveis resultados de um experimento aleatório.

• Exemplo: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

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• n(U): É o número de combinações do espaçoamostral.

• Exemplo: n(U) = 6 combinações

Definição importante

• Evento (E): Dado um espaço amostral U,associado a um experimento aleatótio qualquer,definimos como evento qualquer subconjuntodesse espaço amostral .

• Exemplo: E = {sair nº PAR} = {2, 4, 6}

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• Exemplo: E = {sair nº PAR} = {2, 4, 6}

• n(E): É o número de elementos do evento.

• Exemplo: n(E) = 3 elementos

Noção frequentista de probabilidade

Realize um experimento um grande número devezes e conte o número de vezes que o evento Aocorre. Baseado nesses resultados efetivos, P(A)é definido como:

ocorreuA evento o que vezesde número)( =AP

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repetido foi oexperiment o que em vezesde número

ocorreuA evento o que vezesde número)( =AP

A medida que um experimento é repetido váriasvezes, a probabilidade dada pela frequênciarelativa de um evento tende a se aproximar daverdadeira probabilidade.

•Definição: é uma medida com a qual podemosesperar a chance de ocorrência de umdeterminado evento.

• As probabilidades podem ser usadas como

Probabilidade

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• As probabilidades podem ser usadas comomedidas do grau de incerteza associado adeterminado evento.

A probabilidade próxima de zero indica um eventoimprovável de ocorrer. Uma probabilidade próximo de umindica um evento quase certo.

Clássica

Probabilidade

número de maneiras que o evento A pode ocorrer

número total de resultados no espaço amostralP(A)

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Definição de probabilidade

1) 0 ≤ P(Ai) ≤ 1 , para todo i;

2) P(A1) + P(A2) + … + P(An) = P(U) = 1;

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3) Se A1 e A2 forem mutuamenteexclusivos, ou seja, disjuntos (A1∩A2=∅),então P(A1∪A2) = P(A1) + P(A2).

Diagrama de Árvore

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Diagrama de Venn

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Operações que podem ser feitas via Diagrama de Venn

• A ∪ B é o evento que ocorrerá se e somente se A ou B ou ambos ocorrerem.

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• A ∩ B é o evento que ocorrerá se e somente se A e B ocorrerem simultaneamente.

Operações que podem ser feitas via Diagrama de Venn

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Exemplo 1

• Em uma prefeitura 10% dosprofissionais possuem curso deinglês, 40% possuem curso deinformática e apenas 5% possuem os

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informática e apenas 5% possuem osdois cursos. Qual a probabilidade deum funcionário não possuir nenhumdos dois cursos?

Eventos mutuamente exclusivos

Dois eventos, A e B, serão mutuamente exclusivos senão puderem ocorrer na mesma tentativa, isto é, aocorrência do evento A impede a ocorrência de B. Nateoria dos conjuntos representamos que dois eventossão mutuamente exclusivos por A∩B = ∅.

Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6}

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Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6}B = {sair IMPAR} = {1, 3, 5}

A B Exclusão mútua

Eventos não mutuamente exclusivos

Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa,eles não são mutuamente exclusivos, ou seja,A∩B ≠ ∅.

Exemplo: A = {sair PAR} = {2, 4, 6}B = {sair nº maior que 4} = {5, 6}

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A BSem exclusão mútua

A ∩ B

Eventos complementares

O complemento do evento A é o evento .consiste em todos os resultados do espaço

amostral que não estejam incluídos no evento A.

)(1)( APAP −=

A

A

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Um gerente de vendas, após rever alguns relatórios,declara que 80% dos novos contatos com clientes nãoresultaram em vendas. Qual a probbilidade de que umcontato com o cliente resulte em venda?

)(1)( APAP −=

• ocorrerá se e somente se não ocorrer A.A

A

Operações que podem ser feitas via Diagrama de Venn

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A

A Regra da AdiçãoDado dois eventos A e B, utilizaremos a regra da adiçãoquando desejarmos determinar a probabilidade deocorrência do evento A OU do evento B. Simbolicamente,podemos representar por P(A∪B).

Assim, a probabilidade é dada por:

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P(A∪∪∪∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B)

A B

A ∪∪∪∪ B

Tabela de contingência

Revela a existência de eventos combinados, efacilita o tratamento probabilístico de taiseventos.

É uma tabela que disponibiliza informações

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É uma tabela que disponibiliza informaçõesdiretamente nas linhas e colunas, e que alémdessas informações é possível visualizartambém o número de casos comuns àsinterseções de eventos.

Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eleseram a favor da pena de morte. Os resultados estão a seguir.

Tabela de contingência

João Pessoa Curitiba Belém TotalSim 100 150 150 400Não 125 130 95 350Não sabe 75 170 5 250

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Não sabe 75 170 5 250Total 300 450 250 1.000

Determine a probabilidade de sortear um adulto de Belémou que tenha respondido SIM

P(Belém ∪ SIM)

Perguntou-se a uma amostra de adultos com nível superiorcompleto, em três capitais, se eles atuavam na área. Osresultados estão a seguir.

João Pessoa Recife Natal Total

Sim 160 220 180 560

Não 135 80 95 310

Exemplo 2

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1. P(Natal U Sim)2. P(Recife ∩ Não)3. P(João Pessoa)4. Qual a probabilidade do adulto não ser de Recife

80 310

Total 295 300 275 870

Um adulto é selecionada ao acaso. Determine:

Frequentemente, a probabilidade de um evento éinfluenciada pela ocorrência de um evento paralelo.

Probabilidade condicional

Definição: A probabilidade de um evento A ocorrer,dado (ou na condição de) que outro evento B já

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0)( para,)(

)()|( >

∩= BP

BP

BAPBAP

dado (ou na condição de) que outro evento B jáocorreu.

Perguntou-se a uma amostra de adultos com nível superiorcompleto, em três capitais, se eles atuavam na área. Osresultados estão a seguir.

João Pessoa Recife Natal Total

Sim 160 220 180 560

Não 135 80 95 310

Exemplo 4

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1. P(Natal | Sim)2. P(Não | Recife)3. P(João Pessoa | Atua na área)4. Qual a probabilidade do adulto ter respondido não, sabendo queele não é de natal

80 310

Total 295 300 275 870

Um adulto é selecionada ao acaso. Determine:

Estudos realizados pela SDS da Paraíba, em relação a situação do status depromoção de oficiais masculinos e femininos, são apresentados na tabelaabaixo (dados fictícios):

Exemplo 5

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Depois de rever o registro de promoções, um comitê feminino de oficiaislevantou um caso de discriminação com base em que 288 oficiais masculinosreceberam promoções mas somente 36 oficiais femininas foram promovidas. Aadministração da polícia argumentou que o número relativamente baixo depromoções para as oficias femininas foi devido não à discriminação, mas aofato de que há relativamente poucas oficias mulheres na força policial. E agora,como as mulheres podem analisar os dados para defender o seuquestionamento da acusação de discriminação?

A partir da definição de probabilidade condicional,podemos enunciar o teorema do produto. Assim:

Teorema do produto

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)/()()( BAPBPBAP ×=∩

)/()()( ABPAPBAP ×=∩

Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 2 sãoretiradas uma após a a outra sem reposição. Quala probabilidade de que ambas sejam boas?

Exemplo 6

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Um evento A é considerado independente de um outroevento B se a probabilidade de A é igual a probabilidadecondicional de A dado B

Independência

)/()( BAPAP =

É evidente que, se A é independente de B, B é independente

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de A.

)/()( ABPBP =

Considerando o teorema do produto, poderemos afirmar quese A e B são independentes, então:

)()()( BPAPBAP ×=∩

Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 2 sãoretiradas uma após a a outra com reposição. Quala probabilidade de que ambas sejam boas?

Exemplo 7

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