universidade federal da bahia departamento de … · na definição de um fluido não foi...

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA

ENG 008 – Fenômenos de Transporte I A – Profª Fátima Lopes ________________________________________________________________________________________________

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Comparação entre Newton e kgf; poundal e lbf:

1 Newton = 1 kg 1m/s2

1 kgf = 1kg 9,81 m/s2

1 poundal = 1 lbm 1 ft/s2 1 lbf = 1 lbm 32,174 ft/s2

Comparação entre slug e lbm; UTM e kg:

2s/ft1lbf1

slug1 =

2s/ft174,32lbf1

lbm1 =

2s/m1kgf1

UTM1 =

2s/m81,9kgf1kg1 =

Princípio da homogeneidade dimensional Exercício 1:

É a equação t

v2

td

2a 02 −= dimensionalmente homogênea?

a – aceleração (L/T2) d – distância (L) t – tempo (T) v0 – velocidade (L/T) Resposta:

= 2T

La

=

22 TL

td

2

=

20

TL

tv

2

A equação é dimensionalmente consistente (ou homogênea). Exercício 2: Qual a dimensão do termo hf (perdas) na seguinte forma da equação da energia?

f2

22

21

21

1 hpg2

vzpg2

vz +γ

++=γ

++




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z1 e z2 – altura (L) v1 e v2 – velocidade (L/T) p1 e p2 – pressão (força/área) γ - peso específico (peso/volume) Resposta: Como

[ ] 2TLMamforça −==

[ ] 2Lárea =

[ ] [ ] 212

2

TLML

TLMAF

p −−−

===

[ ] 2TLMgmpeso −==

[ ] 3Lvolume =

[ ] [ ] 223

2

TLML

TLMvolume

peso −−−

===γ

Então

[ ]Lz =

( ) [ ] [ ] LTLTL

TLTL

g2v

2

22

2

212

===−

−

−

−

[ ]LTLMTLMp

22

21

==γ −−

−−

Logo hf (perdas) tem dimensão de comprimento (L).

Hipótese do contínuo Na definição de um fluido não foi mencionada a estrutura molecular dos fluidos, apesar de todos serem compostos de moléculas em movimento constante. No entanto, na maior parte das aplicações de engenharia, é de interesse somente os efeitos médios de um conjunto de moléculas. São estes efeitos macroscópicos que podemos perceber e medir. Então o fluido é tratado como uma substância infinitamente divisível, um contínuo. O conceito de CONTINUUM é a base da Mecânica dos Fluidos clássica e como a Mec. Flu. consiste fundamentalmente na aplicação das leis da Mecânica ao movimento de fluidos, é evidentemente impraticável aplicar essas leis para cada molécula do fluido.




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Por exemplo: a velocidade em um ponto do espaço é indefinida em um meio molecular, pois seria zero o tempo todo exceto quando uma molécula ocupasse exatamente esse ponto, e aí seria a velocidade da molécula e não a velocidade média das partículas na vizinhança do ponto. Esse dilema é evitado se for considerada a velocidade em um ponto como sendo a média das velocidades de todas as moléculas existentes em torno do ponto, ou seja dentro de uma pequena esfera com raio grande se comparado com a “distância média entre as moléculas”. Procura-se então os valores médios (relativos ao espaço e tempo) das grandezas que caracterizam o comportamento de porções de fluidos, de dimensões mínimas arbitrárias, de tal maneira que seja então possível a aplicação daquelas leis, mediante hipóteses restritivas e extrapolação adequadas. O significado atribuído à maioria das propriedades dependem da existência do CONTINUUM no sistema considerado. Por exemplo: o significado da pressão em um tanque fechado é freqüentemente explicado como a força total por unidade de área aplicada na parede do tanque, devido aos impactos contínuos das moléculas sobre as paredes. “Uma dada massa de gás contida em um volume constante e sujeito a uma temperatura constante, apresenta sempre a mesma pressão”. Esta conhecida lei começa a perder seu significado quando o volume considerado passa a conter uma quantidade de massa tão pequena que apenas algumas moléculas se encontram presentes. Se a pressão é ainda definida como acima, com o número muito reduzido de moléculas, o seu valor irá depender da probabilidade das moléculas se chocarem com a parede num determinado instante. Deste modo a pressão não será contínua (constante) variando de tempo em tempo. O mesmo argumento é valido para volumes muito pequenos de substâncias diversas onde somente algumas moléculas estão presentes. Cabe então uma pergunta: Até que magnitude, um volume contendo uma certa substância pode ser considerado um contínuo? Ou o que é a mesma coisa: Qual o menor número de moléculas de uma substância que deve conter um dado volume para que este seja considerado um contínuo? O contínuo é dito existir num dado volume de uma substância quando o volume contém um número de moléculas suficiente para que os efeitos médios das moléculas nas propriedades, dentro do volume, sejam constantes ou variem continuamente com o tempo e a dimensão do volume.




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Em um contínuo a molécula não tem significado; a menor divisão permissível da substância é um volume contendo um número considerável de moléculas. A teoria do CONTINUUM deixa de ser válida sempre que a distância média entre as colisões das moléculas -Teoria Cinética Molecular – (aproximadamente 6,3 x 10-6 polegadas, para o ar nas CNTP) tornar-se da mesma ordem de grandeza que a menor dimensão relevante característica do problema. Em face do exposto, conclui-se que para os gases rarefeitos (por exemplo: escoamento hipersônico e tecnologia de alto vácuo), a hipótese do contínuo não se aplica, devendo então os problemas particulares serem estudados no ponto de vista microscópico, com o auxílio da Teoria Cinética Molecular. Ilustração: Considere um mol de gás nas CNTP. O volume ocupado será 22,4 litros e , o número de moléculas do gás será o próprio número de Avogrado ou seja, 6,023 x 1023.

Assim, o volume correspondente a um cubo com um milésimo de milímetro de aresta (valor suficientemente pequeno para em um grande número de aplicações na Engenharia ser associado a um ponto), conterá 2,685 x 107 moléculas, que corresponde a um número suficientemente elevado para que sejam significativos os valores médios estatísticos das suas propriedades, ou o que em outras palavras significa a validade da hipótese do contínuo.

A figura que se segue representa esquematicamente o que foi explanado anteriormente:

Fig 2.1 – Influência do volume nas propriedades dos fluidos

V Volume do fluido

Escala Molecular

Variação da propriedade devido a flutuações em Escala Molecular

P

CONTINUUM




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Propriedades Físicas dos Fluidos Certas propriedades físicas dos fluidos são envolvidas no estudo da mecânica dos fluidos e processos de transporte de quantidade de movimento, calor e massa. Entre estas propriedades pode-se incluir: Ø densidade Ø calor específico Ø tensão superficial Ø condutividade térmica Ø difusividade mássica Ø viscosidade

Estas propriedades são funções da pressão e da temperatura a que estão

submetidos os fluidos. Os valores dessas propriedades têm sido medido por diversos pesquisadores e os resultados podem ser encontrados em Hand Books como por exemplo o Perry, sob a forma de ábacos, tabelas ou correlações empíricas. Massa específica: ρ A massa específica ρ de um fluido é definida como sua massa por unidade de volume, ou seja, representa a massa do fluido contida num volume unitário:

[ ] 3LM −=ρ Exemplo:

Para água a 4oC e pressão de 1 atm. → 3cm/g1=ρ Matematicamente a massa específica em um ponto do fluido é dada por:

Vm

limVV δ

δ=ρ

∆→∆

onde

mδ é a massa do fluido nas vizinhanças do ponto considerado

Vδ é o volume ou seja, a massa de um pequeno volume Vδ circundando um ponto.

Vδ é o volume mínimo em torno do ponto para o qual é aplicável a teoria do contínuo.

Volume específico: sυ

O volume específico sυ é o inverso da massa específica ρ , ou seja é o volume ocupado pela unidade de massa do fluido.




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ρ=υ 1

s

[ ] [ ] 313

s LMML −==υ

Peso específico: γ O peso específico γ de uma substância é o seu peso por unidade de volume. Pode ser obtido pelo produto da massa específica pela aceleração da gravidade.

gρ=γ Demonstração:

( )

ggvolumemassa

volumepeso

volumegmassa

volumepeso

volumeVgmpeso

amF

ρ=γ∴=∴=

÷=

=

[ ] [ ] [ ] 223

2

23 TLML

TLMTL

LM −−

−

===γ

Observação: Porque γ e ρ possuem o mesmo valor numérico?

33OH m/kgf10

2=γ

33OH m/kg10

2=ρ

gmg1

Fc

=

2c skgfmkg

81,9g =

2

2

sm

81,9mkgskgf

81,91

ρ=γ

kgkgf

ρ=γ




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kgkgf

mkg

103

3=γ

33

mkgf

10=γ

Exemplo: Um certo líquido tem uma massa específica de 1,5 slug/ft3. Determinar o peso específico e o volume específico do líquido sobre a terra e sobre a lua. A aceleração da gravidade na lua é 5,47 ft/s2. Dados: massa específica do líquido: ρ = 1,5 slug/ft3 aceleração da gravidade na lua: 5,47 ft/s2. Solução:

Definições básicas:

ρ=υ=

ρ=

1específicovolume

gvolume

pesoespecíficopeso

s

3

2

23terraterra ftlbf

3,48ftslug

slbf1

sft

2,32ft

slug5,1g =××=ρ=γ

3

2

23lualua ftlbf20,7

ftslugslbf1

sft47,5

ftslug5,1g =××=ρ=γ

( )

( ) slugft667,0ftslug5,1

11

slugft667,0ftslug5,1

11

33

lualuas

33

terraterras

==ρ

=υ

==ρ

=υ

o resultado é o mesmo porque massa independe de g. Densidade Relativa: d (adimensional) Refs. Ø Propriedades físicas da água – Crane A-6 Ø Relação densidade-temperatura para óleos derivados do petróleo – Crane A-7 Ø Densidade e peso específico de vários líquidos – Crane A-7 Ø Propriedades físicas dos gases – Crane A-8 Ø Densidade de combustíveis gasosos – Crane A-8 Ø Peso específico e densidade de gases e vapores – Crane A-10 Ø Crane, página 1-3, Conversão de d(60F/60F) para grau API e grau Baumé.




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É a relação entre a massa específica de um fluido e a massa específica da água a 4 oC e 1 atm. de pressão (ou 15 oC = 60 oF)

( ).atm1eC4d o

OH

ff

2ρ

ρ=

fρ - qualquer líquido a uma temperatura especificada. A densidade relativa é também conhecida como gravidade específica pois, também representa a relação entre o peso específico da substância em questão e o peso específico da água nas condições citadas acima.

gff ρ=γ

gOHOH 22ρ=γ

( ).atm1eC4ggd o

OH

f

OH

ff

22γ

γ=ρ

ρ=

fγ - qualquer líquido a uma temperatura especificada. Exemplo:

6,13cmg1

cmg6,13d 3

3

OH

HgHg

2

==ρ

ρ=

Pressão de vapor: pv Os líquidos evaporam por causa de moléculas que escapam pela superfície livre. As moléculas de vapor exercem uma pressão parcial no espaço, conhecida como pressão de vapor. Se o espaço acima do líquido for confinado, depois de um certo tempo o número de moléculas de vapor atingindo a superfície do líquido e condensando é exatamente igual ao número de moléculas que escapam em qualquer intervalo de tempo, e existe equilíbrio. Como este fenômeno depende da atividade molecular a qual é função da temperatura, a pressão de vapor de um líquido depende da temperatura e aumenta com a mesma. Quando a pressão acima da superfície de um líquido iguala-se à pressão de vapor do mesmo, ocorre a ebulição. Em muitas situações, nos escoamentos de líquidos é possível que pressões bastante baixas apareçam em certas regiões do sistema. Em tais circunstâncias, as




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pressões podem ser iguais ou menores que a pressão de vapor; quando isto ocorre, o líquido se evapora muito rapidamente. Uma bolsa de vapor, ou “cavidade”, que se expande rapidamente, é formada e normalmente se desloca de seu ponto de origem e atinge regiões de escoamento onde a pressão é maior que a pressão de vapor, ocorrendo o colapso da bolsa. Este é o fenômeno da CAVITAÇÃO.

Esta formação e extinção de bolhas de vapor afeta o desempenho das bombas e turbinas hidráulicas e pode erodir partes metálicas na região de cavitação. Tensão superficial: σ Da experiência pode ser observada a tendência que tem as superfícies livres e as interfaces dos líquidos imiscíveis de se contraírem e formarem uma película ou camada de líquido especial. Exemplos:

1. formação de gotas esféricas de líquidos não sujeitos à ação de forças externas; 2. sustentação de uma pequena agulha na superfície da água em repouso.

O efeito da tensão superficial se manifesta em superfícies curvas, exigindo diferenças

de pressões entre os lados côncavo e convexo da superfície, para manter o equilíbrio de forças, e conseqüentemente dando origem a uma série de fenômenos bastante interessantes. A força de tensão superficial (necessária para manter o citado equilíbrio) está associada às interações entre as moléculas do fluido. Essa interação decresce com a distância entre as moléculas e pode ser desprezada para os gases. No interior dos líquidos as forças intermoleculares se compensam entre si mas, para as moléculas da superfície existem forças que evitam que elas se separem. Estas forças são responsáveis por manter, por exemplo, uma bolha de sabão sem se arrebentar, bem como por manter a pressão da coluna de líquido de um capilar. Tensão superficial é então a força de coesão necessária, obtida pela divisão da “energia de superfície” pela unidade de comprimento da película em equilíbrio. Energia de superfície – trabalho por unidade de área, necessário para trazer as moléculas à superfície. Tensão superficial – pode ser definida também como a força por unidade de comprimento de qualquer linha na superfície livre, necessária para manter a superfície junta através desta linha.

LF

=σ

A tensão superficial ( )σ depende da superfície livre do líquido e das suas vizinhanças.




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Capilaridade: A atração capilar é causada pela tensão superficial e pela relação entre a adesão líquido-sólido e a coesão do líquido. Um líquido que molha o sólido tem uma adesão maior que a coesão. A ação da tensão superficial neste caso obriga o líquido a subir dentro de um pequeno tubo vertical que esteja parcialmente imerso nesse líquido. Calor específico: É definido como a quantidade de calor necessária para elevar de 1o (um grau) a temperatura de um corpo. O calor específico é a capacidade térmica de um corpo por unidade de massa. O calor específico é uma propriedade característica da substância que independe do sistema de unidades utilizado mas depende da temperatura da substância e da água de referência. Em geral, a água a 15oC é tomada como referência. Matematicamente a capacidade térmica é expressa por:

Tdqd

C =

onde C – capacidade térmica

qd - o calor necessário para elevar a temperatura do corpo de Td Pela termodinâmica sabe-se que:

υ+= dpudqd onde u é a energia interna por unidade de massa p é a pressão υ é o volume específico Se a substância for aquecida a volume constante tem-se:

udqde0d ==υ

Deste modo,

υ

∂∂

=Tu

CV




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ou seja, a capacidade térmica é dada pela variação da energia interna com a temperatura. Se a substância é aquecida a pressão constante:

pppP T

pTu

TqC

∂

υ∂+

∂∂=

∂∂=

Como:

υ+= puh

onde h é a entalpia Diferenciando a equação anterior, tem-se:

pddpudhd υ+υ+= sendo

0pdtetanconsp =→= e tem-se:

υ+= dpudhd Derivando em relação a T:

ppp Tp

Tu

Th

∂

υ∂+

∂∂

=

∂∂

Logo

pp T

hC

∂∂

=

As dimensões de calor específico são as de energia por unidade de massa e unidade de variação de temperatura. Energia [ ] 22 TLM −= Massa [ ] M= Temperatura [ ]θ=

[ ] [ ] [ ] [ ] 12pV

22

pV TLCCM

TLMCC −−−

θ==⇒θ

==

Para gases perfeitos verifica-se que:

RCC Vp =−




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Exemplo: Calor específico do benzeno entre 40 e 80oF

FlbmBTU4,0C o=

Tensão em um ponto: Grandezas escalares, vetoriais e tensoriais: Como já foi visto, as propriedades de um campo de escoamento podem ser de três tipos:

a) Grandeza escalar – é aquela que requer apenas a especificação de seu valor numérico para que seja perfeitamente determinada.

Exemplo: temperatura

b) Grandeza vetorial – é aquela que, em adição ao seu valor numérico, requer também uma completa especificação da sua direção. As grandezas vetoriais devem ser somadas de acordo com a regra do paralelogramo. Em geral, 3 valores associados com as direções dos eixos coordenados são necessários para especificar uma grandeza vetorial. Estes três valores são chamados componentes escalares de um vetor.

Exemplo: velocidade

c) Grandeza tensorial – é de natureza física mais complexa e requer 9 ou mais componentes escalares para a sua especificação. Precisa de 2 direções mais o módulo.

Exemplo: tensão de cisalhamento τ

Escalares e vetores são considerados um caso particular de tensores. Escalar é um tensor de ordem zero. Vetor é um tensor de ordem um. O número de componentes escalares necessário para definir um tensor é dado pela seguinte relação:

Número de componentes de um tensor de ordem i3i =

Assim: Escalar: 130ordem 0 =

Vetor: 331ordem 1 =

Tensor de 2a ordem: 932ordem 2 =




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Campos escalares, vetoriais e tensoriais: A palavra campo descreve a distribuição contínua de uma grandeza escalar, vetorial ou tensorial que são, por sua vez, descritas por funções contínuas das coordenadas espaciais e do tempo. Assim, podemos descrever a temperatura de todos os pontos de um corpo em qualquer tempo, por um campo escalar expresso matematicamente por:

( )t,z,y,xTT = Um campo vetorial, como por exemplo um campo de velocidades é dado por:

( )t,z,y,xVV = No entanto pode-se usar 3 campos escalares que descrevem o valor das componentes do vetor velocidade na direção de cada eixo coordenado:

( )t,z,y,xVV xx =

( )t,z,y,xVV yy =

( )t,z,y,xVV zz =

Esta mesma técnica pode ser estendida para os campos tensoriais onde 9 ou mais campos escalares são usados para descrever os componentes do tensor. Campo de velocidade: Na secção anterior, vimos que a suposição do continuum conduziu à representação de campo das propriedades do fluido. Analisamos especificamente o campo de massa específica. Sempre que trabalhamos com fluidos em movimento, estamos necessariamente ligados à descrição de um campo de velocidades. A velocidade em qualquer ponto de um campo de fluxo é definida da seguinte forma: em um dado instante de tempo, o campo de velocidade V é uma função das coordenadas do espaço x, y, z, ou seja:

( )z,y,xVV = A velocidade em um dado ponto no campo de fluxo pode, no entanto, variar de um instante de tempo para outro. Então a representação completa do campo de velocidade é dada por:

( )t,z,y,xVV = Se as propriedades de um ponto no campo não variam com o tempo, o fluxo é chamado de estacionário (regime permanente). Matematicamente, esta definição é escrita:

0t

=∂

η∂

onde ( )z,y,xη=η representa qualquer propriedade do fluido.

0t

=∂

ρ∂ ou ( )z,y,xρ=ρ




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0tV =

∂∂ ou ( )z,y,xVV =

No fluxo estacionário, as propriedades podem variar de ponto para ponto, porém devem ´permanecer constantes com o tempo em um dado ponto. Fluxos uni, bi e tridimensionais: Vimos que a expressão geral para o campo de velocidade, indica que o referido campo é uma função das três coordenadas e do tempo. Tal campo de fluxo é chamado tridimensional (e é também não estacionário) porque o valor da velocidade em qualquer ponto do fluxo depende das três coordenadas requeridas para localizar o ponto no espaço. Nem todos os fluxos são tridimensionais. Considerando por exemplo, o fluxo de água através um longo tubo reto de seção transversal constante. A um ponto distante da entrada do tubo, a distribuição de velocidade pode ser dada por:

−=

2

max Rr

1uu

para r = R → u = 0 r = 0 → u = umax

COORDENADAS CILÍNDRICAS: (x, r, θ) Como o campo de velocidade é uma função somente de r, ou seja é independente das coordenadas x e θ, este é um fluxo unidimensional.

“Um fluxo é classificado em uni, bi ou tridimensional, dependendo do número de coordenadas no espaço, requeridas para especificar o campo de velocidade” Exemplo de um fluxo bidimensional – fluxo entre duas paredes retas divergentes e

infinitas em extensão (direção z).

Se o canal é considerado infinito na direção z, o campo de velocidades deverá ser idêntico em todos os planos perpendiculares ao eixo z. Conseqüentemente, o campo de

X

rr R

uθ

X

rr R

uθ




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velocidade é uma função somente das coordenadas x e y e por isto o fluxo é considerado bidimensional. A complexidade da análise aumenta consideravelmente com o número de dimensões do escoamento. O caso mais simples é o fluxo unidimensional. Exemplo: (página 20, Fox) Um campo de velocidade é dado por:

jiy2V +=

As unidades de velocidade são ft/s e y é dado em ft. a) Dizer se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. b) Determinar as componentes da velocidade u, v, w no ponto (1,2,0)

Resposta:

a) Como o campo de velocidade é função de somente uma coordenada do espaço ele é UNIDIMENSIONAL.

b) O campo de velocidade é kwjviuV ++=

Como jiy2V +=

u = 2 y v = 1 w = 0

No ponto (1,2,0): U = 2(2) ft/s → u = 4 ft/s V = 1 ft/s W = 0 Campo de tensões: Tensões em um meio resultam de forças atuando em alguma porção do meio. O conceito de tensões fornece uma maneira conveniente de descrever os modos pelos quais as forças agindo sobre os limites (fronteiras) do meio são transmitidas através do meio. Desde que força e área são ambas quantidades vetoriais, o campo de tensões não será um campo vetorial. Em geral, nove quantidades são requeridas para especificar o estado da tensão em um fluido e portanto a tensão é uma quantidade tensorial de segunda ordem.

x z

y




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Forças de superfície e de campo: Forças de superfície e de campo são encontradas no estudo da mecânica dos fluidos do CONTINUUM.

Forças de superfície incluem todas as forças agindo sobre a periferia de um meio através de contato direto.

Forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas sobre o volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças gravitacional e eletromagnética são exemplos de forças de campo que ocorrem em um fluido. A força de campo gravitacional agindo sobre um elemento de volume, υd , é dada por υρ dg , onde ρ é a massa específica e g é a aceleração gravitacional local.

Assim, a força de campo gravitacional por unidade de volume é gρ e a força de

campo gravitacional por unidade de massa é g .

Exemplo 2.2: (página 22, Fox) A distribuição de uma força de campo é dada como:

jbixaB +=

lbf por unidade de massa (slug) de material e atuando sobre este. A massa específica do material é dada por:

3zexc +=ρ onde x, y e z são dados em ft; a = 10 lbf/slug ft, b = 15 lbf/slug, c = 1 slug/ft4 e e = 1 slug/ft6. Qual é a força de campo resultante sobre o material na região mostrada acima? Resposta: A força de campo por unidade de massa é B.

3’

2’

y

z

x 2’

2’




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Multiplicando-a pela massa por unidade de volume ( )ρ , resulta na força por unidade de volume = Bρ . Assim, a força de corpo,

BFd , sobre um elemento de volume υd é:

υρ= dBFd B

∫ ρ∫∫=∫ υρ====υ

111 z

0z

y

0y

x

0xB dxdydzBdBF

onde x1 = 3 ft; y1 = 2 ft; z1 = 2ft

( ) ( ) dxdydzjbixazexcF111 z

0

3y

0

x

0B ∫ ++∫∫=

( ) ( ){ } dxdydzjzexcbizxexcaF111 z

0

332y

0

x

0B ∫ +++∫∫=

Integrando inicialmente em relação a z e substituindo os limites, temos:

dxdyjze41

zxcbizxe41

zxcaF11 y

0

411

411

2x

0B ∫

++

+∫=

Integrando em seguida em relação a y e substituindo os limites, vem:

dxjze41

zxcybizxe41

zxcyaF1x

0

4111

411

21B ∫

++

+=

Finalmente, integrando em relação a x e substituindo os limites, resulta:

jzxe41

zxc21

ybizxe81

zxc31

yaF 4111

211

41

211

311B

++

+=

Substituindo os valores numéricos, temos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) jft2ft3ftslug1

41

ft2ft3ftslug1

21

ft2sluglbf

15

ift2ft3ftslug1

81

ft2ft3ftslug1

31

ft2ftslug

lbf10F

46

24

426

34B

+

+

+=

lbfj630i720FB +=

Embora reconhecidamente artificial este problema é incluído para:

1. ilustrar o cálculo de uma força de campo, e 2. revisar o procedimento para calcular integrais triplas sobre um volume.

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