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Um estudo sobre o desenvolvimento do raciocínio proporcional:

Percursos de aprendizagem de alunos do 6.º ano de escolaridade

Projecto de Doutoramento

Ana Isabel Silvestre

Mestre em Educação

Área de especialização em Didáctica da Matemática

Orientador: Professor Doutor João Pedro da Ponte

28 de Outubro de 2008

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Índice

Capítulo 1 – Introdução ....................................................................................................4

1.1. Motivação para o estudo .......................................................................................4

1.2. Objectivo e questões do estudo .............................................................................8

1.3. Contexto e pertinência do estudo ..........................................................................9

Capítulo 2 – Raciocínio Proporcional ............................................................................12

2.1. Aspectos que caracterizam o raciocínio proporcional ........................................12

Distinção de relações proporcionais das não proporcionais .................................13

Compreensão da natureza multiplicativa das relações proporcionais ...................14

Resolução de vários tipos de problemas ...............................................................14

2.2. Ensino e aprendizagem da proporcionalidade directa ........................................19

O campo conceptual das estruturas multiplicativas ...............................................10

Orientações curriculares emergentes da investigação............................................20

Capítulo 3 – Unidade de ensino ......................................................................................23

3.1. Princípios gerais da unidade de ensino ...............................................................23

3.2. Planificação da unidade de ensino ......................................................................25

Capítulo 4 – Metodologia de investigação .....................................................................27

4.1. Opções metodológicas gerais ..............................................................................27

Uma investigação qualitativa e interpretativa .......................................................27

Experiência de ensino ...........................................................................................29

Grupo colaborativo ...............................................................................................31

Estudos de caso .....................................................................................................33

4.2. Preparação da unidade de ensino ........................................................................35

Trabalho preparatório no início do ano ..................................................................35

Balanço do estudo-piloto ........................................................................................36

4.3. Recolha dos dados ..............................................................................................38

Observação participante ........................................................................................38

Recolha documental ..............................................................................................39

3

Pré-teste e pós-teste ...............................................................................................39

Entrevista ..............................................................................................................40

4.4. Análise dos dados ...............................................................................................40

4.5. Fase do estudo .....................................................................................................41

Organização final do documento do estudo ..........................................................44

Referências .....................................................................................................................45

Anexo I - Tarefas.............................................................................................................49

Anexo II - Planificação a Longo Prazo de Matemática (6.º ano) ....................................66

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Capítulo 1

Introdução

Neste capítulo apresento as minhas motivações para a realização do presente

estudo centrado sobre o ensino-aprendizagem da proporcionalidade directa pelos alunos

do 2.º ciclo do ensino básico, formulo os objectivos e questões que o norteiam e indico

o respectivo contexto e pertinência.

1.1 Motivação para o estudo

O raciocínio proporcional é fundamental para perceber e saber lidar com um

vasto conjunto de situações do mundo real e para compreender ideias das diferentes

áreas do saber (Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999; Post, Behr & Lesh, 1988). O con-

ceito de proporcionalidade constitui um fio condutor que se estende desde o conheci-

mento informal até aos níveis mais elevados de escolaridade, através da Matemática,

estando presente em vários dos seus ramos (Baroody & Coslisk, 1998; De Bock, Van

Dooren, Janssens & Verschaffel, 2007; Greer, 2007; Lesh, Post & Behr, 1988) pelo que

a sua aprendizagem é um dos principais objectivos do ensino desta disciplina (Lesh et

al., 1988).

Por outro lado, a literatura revela que os alunos do ensino elementar têm dificul-

dade em aprender os conceitos de razão e proporção apresentando um fraco desempe-

nho na resolução de problemas relacionados com estes conceitos (Bowers, Nickerson &

Kenehan, 2002; Van Dooren, De Bock, Hessels, Janssens & Verschaffel, 2005). A lite-

ratura também sugere diversos factores que condicionam o desempenho dos alunos, e

que podemos agrupar em três grandes categorias: (i) as opções curriculares gerais (Behr,

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Harel, Post & Lesh, 1992; English & Halford, 1995; Spinillo, 1993; Streefland, 1985);

(ii) os processos de ensino e aprendizagem (Bell, 1993; Ben-Chaim, Fey, Fitzgerald,

Benedetto & Miller, De Bock. et al., 2007; Greer, 2007; 1998; Lamon, 1995; Lo &

Watanabe, 1997; Robinson, 1981); e (iii) os manuais escolares (Karplus, Steven &

Stage, 1983; Shield & Dole, 2002).

A minha experiência docente no 2.º ciclo do ensino básico tem sido marcada

essencialmente por duas preocupações: (i) permitir que os alunos reconheçam a Mate-

mática na sua vida e compreendam o uso que dela fazem, e (ii) proporcionar experiên-

cias com significado que contribuam para a sua aprendizagem. Esta última preocupação

tem norteado a minha formação contínua e motivou também a minha inscrição no mes-

trado em Didáctica da Matemática. Foi neste contexto que desenvolvi o estudo Investi-

gações e Novas Tecnologias no Ensino da Proporcionalidade Directa: Uma Experiên-

cia no 2.º Ciclo (Silvestre, 2006), que constitui a experiência mais enriquecedora que

vivi em termos de desenvolvimento profissional. Neste estudo desenvolvi uma unidade

de ensino que procura apresentar uma alternativa à aprendizagem baseada na memori-

zação de procedimentos que, como dizem Lesh et al., leva “os alunos a resolverem pro-

blemas de proporcionalidade sem raciocinarem proporcionalmente” (1988, p. 94), con-

trariando o ensino simplista, que outorga perícia na resolução de problemas estereotipa-

dos (Greer, 2007; Lo & Watanabe, 1997), cria a “ilusão de linearidade” (sobrevalori-

zando as relações lineares ou proporcionais) com consequências negativas nas capaci-

dades de raciocínio e resolução de problemas dos alunos (De Bock. et al., 2007). Uma

estratégia de ensino alternativa, que podemos designar de exploratória (Ponte, 2005),

consiste em levar os alunos, através da exploração de situações abertas, a estabelecerem

as suas estratégias próprias para resolverem problemas de proporcionalidade. Assim, a

proposta pedagógica construída neste estudo teve por base três ideias fundamentais: (i)

ênfase em tarefas exploratórias/investigativas e problemas (Ponte, Brocardo & Oliveira,

2003); (ii) situações contextualizadas; e (iii) e o uso de tecnologia, recorrendo à folha de

cálculo (Ponte, 1995).

Os resultados deste estudo mostram que os alunos revelam distinguir as situa-

ções onde existem relações de natureza proporcional daquelas em que tal relação não

existe. Para isso, recorrem ao seu conhecimento sobre a existência de regularidades

entre os dados de relações proporcionais e são essas regularidades que procuram verifi-

car dentro e entre grandezas, usando estratégias de natureza escalar ou funcional. Num

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conjunto alargado de tarefas que foram apresentadas em diferentes estruturas de repre-

sentação, os alunos desenvolveram estratégias com notações em que revelam conhecer a

natureza multiplicativa das relações proporcionais. Consequentemente, desenvolveram

versatilmente estratégias de procura de regularidades dentro dos valores das grandezas

ou entre grandezas, às quais podemos associar a estratégia da equivalência entre razões,

a estratégia do factor escalar e o método da razão unitária (cálculo da constante de pro-

porcionalidade).

A proposta pedagógica que elaborei parece ter contribuído significativamente

para este desempenho satisfatório dos alunos. Muito em especial terão contribuído o

tipo de tarefas e a sua contextualização, a valorização da intuição dos alunos, a organi-

zação do trabalho em grupo e a discussão de resultados em grupo alargado na aula.

Tudo isso levou os alunos a apropriaram-se gradualmente da estrutura, invariância e

equivalência que caracterizam as relações proporcionais.

Resultados algo semelhantes foram evidenciados por Ben-Chaim, Fey, Fitzge-

rald, Benedetto e Miller (1998), num estudo comparativo do desempenho dos alunos do

7.º ano, com diferentes experiências curriculares, sobre números racionais e raciocínio

proporcional. Os alunos do novo currículo, que foram encorajados a construir o seu

próprio conhecimento conceptual e processual sobre proporcionalidade, revelam um

melhor desempenho na resolução de problemas sobre números racionais e raciocínio

proporcional que os alunos sujeitos a um ensino mais tradicional. A análise das estraté-

gias de resolução desenvolvidas pelos alunos do novo currículo, revela que estes desen-

volveram um reportório próprio de ferramentas conceptuais (sense-making tools) que os

ajuda a produzir soluções e explicações criativas.

Um outro estudo, desenvolvido por Norton (2005) em colaboração com duas

professoras, incidiu sobre duas turmas do 6.º ano de escolaridade, tendo por base uma

unidade de ensino que dava ênfase à distinção das relações parte:todo e parte:parte, às

relações dentro e entre razões e à utilização de material manipulável (peças LEGO e

boneca Barbie). As alunas das turmas participantes mostraram ser capazes de desenvol-

ver adequadamente raciocínios aditivos e multiplicativos nas diferentes situações con-

textuais dos problemas. Segundo o autor, o realce das relações dentro da mesma gran-

deza (within quantity relationships) e entre grandezas (between quantity relationships)

pode ter contribuído para o número de respostas correctas e parcialmente correctas em

problemas sobre proporcionalidade que frequentemente criam dificuldades aos alunos

mais velhos.

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Os resultados destes três estudos constituem uma base de trabalho para o desen-

volvimento de uma nova investigação e que permita ir mais além no conhecimento do

desenvolvimento do raciocínio proporcional dos alunos do 6.º ano (11 anos, em média),

nomeadamente através do desenvolvimento de unidades de ensino direccionadas para a

construção de conhecimento próprio e significativo pelo aluno. As tarefas destas unida-

des de ensino devem desafiar os alunos a conjecturar, investigar relações entre os dados,

a representar dados em diferentes estruturas, a estabelecer conexões com situações da

vida real e com outros conceitos que já tenham sido leccionados. Deste modo, os alunos

podem compreender a estrutura matemática subjacente à proporcionalidade directa, em

que existe uma relação invariante (constante) entre duas grandezas que covariam (gran-

dezas que estão relacionadas e que variam do mesmo modo) (Lamon, 2007). No novo

estudo que pretendo realizar tenciono envolver mais professores e os respectivos alunos,

desenvolvendo num contexto mais alargado uma unidade de ensino com características

semelhantes às do estudo que já realizei.

O documento Everybody counts (National Research Council, 1989) deu uma

nova interpretação ao significado de aprender Matemática, referindo a importância de

processos como calcular, explorar, deduzir, testar, conjecturar e estimar. No início da

década de 90, iniciando um movimento de reforma para a educação matemática, o

National Council of Teachers of Mathematics, publica as Normas para o currículo e a

avaliação em Matemática escolar (NCTM, 1991) no qual refere que “saber Matemática

é fazer Matemática” (p. 8), onde “fazer” deve ser entendido como usar a Matemática,

identifica cinco objectivos gerais para todos os alunos: (i) aprender a dar valor à Mate-

mática; (ii) adquirir confiança na sua capacidade de fazer Matemática; (iii) tornar-se

apto a resolver problemas matemáticos; (iv) aprender a comunicar matematicamente; e

(v) apreender a raciocinar matematicamente. O mais recente documento desta organiza-

ção, Principles and standards for school mathematics (NCTM, 2000), enuncia, numa

perspectiva integradora, seis princípios para a Matemática escolar – equidade, currículo,

ensino, aprendizagem, avaliação e tecnologia – de onde emerge a importância de os

alunos aprenderem Matemática com compreensão.

Atendendo a este paradigma da educação matemática, a evolução curricular tem

vindo a transformar o cenário da sala de aula de Matemática. O aluno é cada vez mais

visto como agente da sua própria aprendizagem e o professor encarado como um facili-

tador deste processo. Deste modo, cabe ao professor organizar um currículo para a tur-

ma e para cada aluno – chama-se a isso, por vezes, realizar uma “gestão flexível do cur-

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rículo” – o que requer da sua parte uma reflexão permanente sobre a sua prática. Para

desenvolver nos alunos os vários aspectos da competência matemática enunciados no

Currículo nacional do ensino básico (ME-DEB, 2001), o professor terá de mudar signi-

ficativamente a natureza das actividades dominantes nas suas aulas. Este mesmo docu-

mento refere que uma experiência matemática rica resulta essencialmente da diversida-

de das tarefas apresentadas aos alunos. Em particular, a resolução de problemas e a rea-

lização de tarefas de exploração e investigação podem, em conjunto, ajudar a desenvol-

ver os vários aspectos da competência matemática dos alunos do 2.º ciclo. O Programa

de Matemática para o Ensino Básico (ME-DEB, 2007) realça justamente a importância

da resolução de problemas, da comunicação e do raciocínio.

1.2. Objectivo e questões do estudo

Os alunos do 6.º ano de escolaridade revelam dificuldade na resolução de pro-

blemas que envolvem raciocínio proporcional. Da investigação despontam várias causas

para este fraco desempenho, sendo uma delas a que está relacionada com o desenvolvi-

mento do currículo. Enquanto docente no 2.º ciclo tenho constatado que frequentemente

o programa se traduz na aplicação manual, situação que condiciona e empobrece o cur-

rículo, pois não tem em conta os conhecimentos específicos da turma e também não

oferece um conjunto diversificado de contributos para desenvolver nos alunos os con-

ceitos. Neste contexto, a operacionalização do tema proporcionalidade directa é reitera-

damente feita à custa do manual e assim, tal como referem Karplus et al. (1983) e

Robinson (1981), limita-se com muita frequência ao uso da regra de três. Assim, a pro-

porcionalidade directa é vista como um tema do programa e não como um conceito a ser

desenvolvido (Spinillo, 2003). Por outro lado, a regra de três não tem um referencial

físico, sendo passível de ser utilizada sem que o aluno compreenda a natureza da relação

proporcional (Cramer, Post & Currier, 1993).

Esta investigação tem como foco o conhecimento matemático dos alunos sobre

proporcionalidade directa. O seu objectivo principal é compreender como se desenvolve

o raciocínio proporcional, isto é, quais são os conhecimentos matemáticos mobilizados

e o tipo de raciocínios usados pelos alunos do 6.º ano, no quadro de uma unidade de

ensino marcada por tarefas de cunho investigativo/exploratório e problemas, pela utili-

zação da folha de cálculo e pelo trabalho em pequeno grupo na sala de aula. Pretende

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também compreender as potencialidades e as dificuldades que envolvem a realização

desta unidade de ensino, sentidas pelos alunos e professores.

Para desenvolver este estudo será formada uma equipa de pesquisa constituída

por mim, enquanto investigadora, e mais três professores que leccionam o 6.º ano do

ensino básico e que se interessem pelo ensino e aprendizagem da proporcionalidade

directa, seleccionando depois como casos, dois alunos de cada um dos professores. A

colaboração entre os elementos da equipa será caracterizada pela realização de sessões

de trabalho que terão objectivos decorrentes de cada fase de desenvolvimento do projec-

to, tais como, planificação do tema proporcionalidade directa, preparação de materiais

de apoio, análise e reflexão sobre a dinâmica da sala de aula.

Para atingir o objectivo indicado procurarei responder às seguintes questões:

Antes e depois da unidade de ensino:

o Que estratégias são usadas pelos alunos para resolver problema de proporcionalidade directa (valor omisso; comparação; qualitati-vos)?

o Como se caracterizam as estratégias correctas e as erróneas?

o De que forma estão estas estratégias relacionadas com o conheci-mento do campo conceptual da multiplicação?

Após a unidade de ensino:

o Os alunos reconhecem a natureza multiplicativa das relações pro-porcionais? Como é que identificam uma relação de proporciona-lidade directa?

o Compreendem o significado da constante de proporcionalidade no contexto dos problemas?

o Os alunos que utilizam tabelas para representar os dados dos pro-blemas tendem a desenvolver raciocínios multiplicativos?

Que potencialidades e dificuldades são identificadas pelos professo-res no desenvolvimento de uma proposta pedagógica que encoraja os alunos a construir o seu próprio conhecimento conceptual e proces-sual no desenvolvimento do raciocínio proporcional?

Que desafios e dificuldades sentem os alunos durante a unidade de ensino?

1.3. Contexto e pertinência do estudo

No fim da década de 80 surgiu em Portugal um movimento renovador que esti-

mulou o delineamento de novas orientações curriculares em Matemática. O documento

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Renovação do currículo em Matemática (APM, 1988) refere a importância da natureza

do trabalho na sala de aula, onde “os alunos têm que explorar, investigar […] várias

estratégias de trabalho, formular e resolver problema […] expor e argumentar” (p. 59).

Alguns anos mais tarde, o livro A Matemática na educação básica (Abrantes, Serrazina

& Oliveira, 1999), definiu “as competências matemáticas essenciais a todos os cida-

dãos” (p. 11) a desenvolver ao longo do ensino básico no quadro da “Matemática para

todos” (p. 17). Por sua vez, o documento oficial mais recente, Currículo nacional do

ensino básico: Competências essenciais (ME-DEB, 2001), enuncia um conjunto de

aspectos da competência a desenvolver de forma integrada para cada um conteúdos

temáticos, os tipos de experiências de aprendizagem e os recursos a disponibilizar. Este

movimento renovador no ensino em Portugal integra-se num movimento internacional

muito mais amplo pontuado pela publicação de documentos em diversos países, como

Mathematics counts (Cockcroft, 1982), Everybody counts (National Research Council,

1989), Curriculum and evaluation standards for school mathematics (NCTM, 1989) e

Principles and standards for school mathematics (NCTM, 2000).

A concretização das orientações gerais destes documentos tem tido por base o

conhecimento resultante de numerosas investigações e experiências de ensino sobre

desenvolvimento do currículo ou o ensino de conceitos específicos. É o caso, por exem-

plo, de diversos estudos relacionados com os conceitos de número racional, razão e pro-

porção relatadas em Litwiller e Bright (2002). No entanto, em Portugal, não têm existi-

do, de modo consistente e alargado, investigações e experiências de ensino deste tipo,

susceptíveis de ajudar a pôr em prática as medidas previstas nos documentos orientado-

res para o ensino da Matemática e transformar as práticas na sala de aula. Por outro

lado, existe dificuldade em difundir os conhecimentos gerados pela investigação em

Educação Matemática junto dos professores, dos organismos que gerem os programas e

das entidades que produzem materiais de apoio. Consequentemente, atendendo ao que

me tem sido possível observar nas escolas onde tenho leccionado, as novas orientações

e perspectivas sobre o currículo têm ainda dificuldade em chegar à aula de Matemática.

No contexto da educação matemática internacional, vários investigadores e edu-

cadores matemáticos têm contribuído para fortalecer a ideia de que Álgebra deve fazer

parte do currículo da escola elementar (early algebra) (Peled & Carraher, 2007). Exis-

tem projectos que pretendem a implementação alargada de um currículo com cunho

algébrico. Embora existam diferentes perspectivas sobre Álgebra na escola elementar

que se distinguem sobretudo no nível de formalização dos conceitos a trabalhar com os

11

alunos, alguns estudos têm revelado as potencialidades deste trabalho no desenvolvi-

mento matemático dos alunos (Brizuela & Schliemann, 2004; Carraher, Schliemann,

Brizuela & Earnest, 2006; Goodrow & Schliemann, 2003; Martinez & Brizuela, 2006).

Esta abordagem pretende também ultrapassar o hiato entre a Aritmética e a Álgebra,

frequentemente indicado como a causa do insucesso dos alunos na aprendizagem da

Álgebra. Segundo Greenes e Findell (1999) o desenvolvimento do raciocínio proporcional

deve ser considerado no domínio de seis “grandes ideias” de Álgebra: (i) raciocínio deduti-

vo e indutivo, (ii) representação, (iii) igualdade, (iv) variável, (v) função, e (vi) proporção.

As autores indicam que o conceito de proporção está presente em vários tópicos dos pro-

gramas de Matemática (fracções, unidades de custo, razão, semelhança de triângulos, per-

centagens) mas os alunos revelam frequentemente dificuldades em compreender a sua natu-

reza multiplicativa. Esta dificuldade parece estar associada a outros erros frequentes, como

por exemplo, os alunos assumem que como todas as proporções são relações lineares, então

todas as relações lineares são de natureza proporcional, o que não é verdade.

Atendendo a estes pressupostos penso ser pertinente desenvolver uma investiga-

ção sobre o desenvolvimento do raciocínio proporcional nos alunos, experimentando

uma unidade de ensino que valoriza as suas estratégias intuitivas e visa a construção de

um conhecimento conceptual e processual significativo para o aluno. Esta investigação

pode dar a conhecer as potencialidades e as dificuldades em implementar unidades de

ensino desta natureza.

12

Capítulo 2

Raciocínio proporcional

Neste capítulo, atendendo ao objectivo do estudo, é feita uma revisão da literatu-

ra incidindo em três aspectos que envolvem o raciocínio proporcional. O primeiro refe-

re-se aos aspectos que caracterizam este tipo de raciocínio matemático. O segundo diz

respeito ao desenvolvimento do raciocínio proporcional. E o último apresenta as orien-

tações curriculares emergentes da investigação empírica para o ensino e aprendizagem

da proporcionalidade directa.

2.1. Aspectos que caracterizam o raciocínio proporcional

O raciocínio proporcional é fundamental para lidar (compreender/modelar) com

um vasto conjunto de situações do mundo real e para compreender ideias de diferentes

áreas do saber (Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999; Post, Behr & Lesh, 1988). É tam-

bém considerado como “o culminar da Matemática elementar e representa o alicerce da

Matemática dos anos seguintes” (Lesh, Post & Behr, 1988, pp. 93-94) pois, em termos

do desenvolvimento matemático do aluno, representa o final do trabalho desenvolvido

na escola elementar marcando uma mudança de atenção das comparações aditivas (e.g.

quantos mais…?) para as comparações multiplicativas (e.g. quantas vezes mais…?)

(Lamon, 1999). Por outro lado, este raciocínio é o alicerce da Matemática avançada

dado ser uma “ferramenta chave [no estudo da] Geometria e Álgebra” (Baroody & Cos-

lisk, 1998, p. 12-2), da Trigonometria e das Probabilidades e Estatística.

O fraco desempenho dos alunos na resolução de problemas relacionados com o

raciocínio proporcional parece ter motivado o desenvolvimento de um vasto conjunto de

investigações, particularmente durante as décadas de 80 e 90. Estas investigações evi-

13

denciam por um lado a complexidade que envolve este tipo de raciocínio e por outro,

fazem emergir os aspectos que caracterizam o raciocínio proporcional, isto é, o que é

que um indivíduo que raciocina proporcionalmente deve ser capaz de fazer.

Actualmente a investigação sobre números racionais e raciocínio proporcional

convive com a falta de acordo sobre o significado de alguma terminologia, por exemplo,

os termos “razão” e “taxa” mas também com a necessidade de clarificar o significado de

raciocínio proporcional e proporcionalidade directa (Lamon, 2007). A utilização em

vários estudos da palavra proporcionalidade numa perspectiva alargada, onde cabem as

proporções, as razões, a proporcionalidade directa e o raciocínio proporcional, mostra

sobretudo a necessidade de clarificar o seu significado.

Na verdade, não existe uma definição universal para o raciocínio proporcional

mas sim um conjunto de contributos mais ou menos abrangentes enunciados por vários

investigadores, como por exemplo, os do Rational Number Project, um dos projectos de

investigação mais significativos nesta área, que afirmam que:

O raciocínio proporcional [é] uma forma de raciocínio matemático que envolve o sentido de co-variância e múltiplas comparações, assim como a aptidão para reunir e processar mentalmente diversos conjuntos de informação [pelo que] está relacionado com inferência e predição e envolve o pensamento qualitativo e quantitativo. (Lesh et al., 1988, p. 93)

Estes contributos no seu conjunto e por se complementarem podem constituir

uma descrição das capacidades a observar no indivíduo que desenvolve um raciocínio

de natureza proporcional. Na literatura emerge um conjunto de três condições sobre o

que está envolvido no raciocínio proporcional: (i) a distinção de relações de natureza

proporcional de relações onde tal relação não existe (CBMS, 2001; Cramer et al., 1993;

Lamon, 1995; Sowder et al., 1998); (ii) a compreensão da natureza matemática das rela-

ções proporcionais (Cramer et al., 1993; Post et al., 1988); e (iii) a resolução vários de

tipos de problemas (Carpenter et al., 1999; Cramer et al., 1993; Heller, Ahlgren, Post,

Behr, & Lesh,1989; Karplus et al., 1983b; Lamon, 1993b; Noelting, 1980; Post, Behr, &

Lesh, 1988; Steinthorsdottir, 2003), revelando uma flexibilidade mental para realizar

diferentes abordagens aos problemas sem ser afectado pelos seus dados numéricos e

contexto (Post et al.; 1988).

1. Distinção de relações proporcionais das não proporcionais. Uma relação

proporcional é uma relação de natureza multiplicativa (Cramer et al.,1993), entre duas

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grandezas. Um indivíduo que revela raciocínio proporcional deve identificar as relações

proporcionais daquelas que não o são. A proporcionalidade é um constructo matemático

que tem subjacente uma relação onde existe uma invariante especial (constante) entre

duas grandezas cujas quantidades covariam (Lamon, 2007).

2. Compreensão da natureza matemática das relações proporcionais. O foco do

problema desloca-se para os conhecimentos que o indivíduo tem de ter ou, se colocar-

mos a questão com termos do ensino, quais os conhecimentos que o professor deve

fazer emergir através da sua unidade de ensino de modo a permitir um consistente

desenvolvimento do raciocínio proporcional. Smith, Silver, Leinherdt e Hillen (2003)

sistematizam quatro ideias: (i) as relações proporcionais são de natureza multiplicativa;

(ii) a representação graficamente por uma linha que contêm a origem; (iii) em que os

pares da razão (i.e., pares x, y) são equivalentes; e (iv) simbolicamente pela equação y =

mx em que m é o declive, razão unitária e a constante de proporcionalidade. As três

últimas ideias parecem ser diferentes representações de uma relação proporcional o que

poderá corresponder à necessidade de o indivíduo que raciocina proporcionalmente ter,

como já referido, uma flexibilidade mental para realizar diferentes abordagens aos pro-

blemas sem ser afectado pelos seus dados numéricos e contexto (Post et al., 1988).

3. Resolução de vários tipos de problemas. Alguns investigadores têm realizado

um trabalho em torno da sistematização dos problemas que envolvem raciocínio pro-

porcional e da caracterização das estratégias usadas pelas crianças ou alunos. Mais uma

vez é evidente que não existe nem uma classificação de problemas, nem uma caracteri-

zação de estratégias universalmente aceites mas sim um conjunto de contributos prove-

nientes de várias investigações.

Lesh et al. (1988) identificaram sete tipos de problemas diferentes sobre propor-

ções:

1. Problemas de valor omisso

DC

=BA

no qual três valores são conhecidos (incluindo um par completo) e

o objectivo é encontrar a parte omissa da segunda (e equivalente) razão.

2. Problemas de comparação

15

BA

<= ? => DC

, em que são dados os quatro valores e o objectivo é avaliar

qual das situações é verdadeira: DC

<BA

ou DC

=BA

ouDC

>BA

.

3. Problemas de transformação

(a) Alteração de raciocínio: É dada uma equivalência forma DC

=BA

.

Depois aumenta-se ou diminui-se uma certa quantidade de um ou dois dos quatro valores A, B, C ou D e o objectivo é decidir qual a relação (<, > ou =) que é agora verdadeira.

(b) Transformações para obter uma igualdade: É dada uma desigualdade (c) D, um valor x deve ser determinado, de modo a que, por exemplo

( )DC

=B

x+A.

4. Problemas do valor médio

São dados dois valores e o objectivo é encontrar um terceiro, por exemplo:

(a) Média geométrica: Bx

=xA

;

(b) Média harmónica: ( )( )Bx

xABA

−−

= .

5. Proporções que envolvem a conversão entre razão, taxa e fracções

Por exemplo: A razão entre rapazes e raparigas na turma é de 15 para 12. Qual é a fracção de rapazes na turma?

6. Proporções que envolvem unidades de medida

horaxmilhas

segundospés

123

= segundos2

pés3=ou

hora1milhasx

=segundo1

pés5 .

7. Problemas de conversão entre sistemas de representação

A razão (fracção, taxa ou quociente) é dada num sistema de representação e o objectivo é representar essa mesma relação noutro sistema de represen-tação.

O último tipo de problemas sobre proporcionalidade refere a conversão da razão

para outro sistema de representação, sem contudo os identificar. Considero por isso os

sistemas de representação referidos por Greenes e Findell (1999), isto é, os textos, as

tabelas, os gráficos, os diagramas e os símbolos, num artigo em que a proporcionalidade

16

é considerada como uma “grande ideia” para desenvolver o raciocínio algébrico. Sobre

os sistemas de representação. Lesh et al. (1988), dizem que mesmo quando os dois lados

de uma proporção envolvem o mesmo sistema de representação, as soluções dos alunos

envolvem frequentemente a tradução entre sistemas de representação. Estes sistemas de

representação podem ser pouco formais, como o parafrasear (traduzir em linguagem

mais simples) e o desenho de uma imagem até à escrita de uma equação (linguagem

simbólica). Particularmente as tabelas enquanto ferramentas organizacionais, segundo

Kent, Arnosky e McMonagle (2002), podem melhorar a habilidade dos alunos na reso-

lução de uma variedade de problemas sobre proporcionalidade.

Embora Lesh et al. (1988) tenham identificado sete tipos de problemas sobre

proporções, a literatura revela que a investigação tem dado particular atenção aos pro-

blemas de valor omisso e de comparação (Karplus et al., 1983a; 1983b; Lamon, 1999;

Noelting, 1980; Vergnaud, 1988). Provavelmente esta atenção deve-se ao facto de estes

dois tipos de problemas serem os mais frequentes nos manuais escolares do ensino ele-

mentar e médio. Alguns problemas qualitativos que envolvem relações proporcionais

(Heller et al., 1989; Post et al., 1991) recebem também atenção neste estudo.

Ainda no âmbito das investigações conduzidas pelo Rational Number Project,

Post et al. (1988) e Cramer, Post e Currier (1993), enunciaram um conjunto de estraté-

gias para resolver situações problemáticas em que exista uma relação proporcional:

(i) Estratégia da razão unitária. “Quanto para um” é a estratégia mais

intuitiva e as crianças desde o terceiro ano calculam a razão unitária (problemas sobre divisão) e calculam múltiplos da taxas unitárias (problemas sobre multiplicação);

(ii) Estratégia do factor de mudança (“factor escalar”, segundo Hart, 1984). “Tantas vezes como” é uma estratégia menos funcional, con-dicionada a aspectos numéricos dos problemas mas presente no reportório de estratégias das crianças;

(iii) Estratégia da comparação das razões. É uma estratégia associada aos problemas sobre comparações que através de duas divisões, permite comparar rapidamente razões unitárias;

(iv) Estratégia do algoritmo do produto cruzado, também conhecida como “regra de três simples”, que embora eficiente é um processo mecâni-co desprovido de significado no contexto de um problema;

(v) Estratégia da interpretação gráfica (Post et al., 1988). Os gráficos podem ser usados para identificar razões equivalentes ou para identi-ficar a parte omissa em problemas de valor omisso. Por ser uma abordagem menos conhecida vejamos o seguinte problema pelos autores: “Sally comprou 5 disquetes por $4,50; quanto custa uma

17

dúzia?”. A representação gráfica da situação é obtida através introdu-ção dos pares ordenados da razão conhecida e do par ordenado (0,0) corresponde à situação “não existe compra de disquetes não há cus-to”, a extensão da recta por este dois pontos tal como na figura abai-xo, permite localizar no eixo vertical o custo das 12 disquetes. A equação da recta é x90=y , isto é o custo é 90 vezes o número de disquetes. Mas 90 é simultaneamente o preço de cada disquete (razão unitária) e o declive da recta.

Fig. 1 – Representação gráfica do problema. (Post et al., 1988, p. 11 da versão digital)

Pelo facto de os problemas de valor omisso e de comparação serem os que mais

frequentemente são apresentados aos alunos do 6.º ano de escolaridade é importante

clarificar a discussão em torno das estratégias que permitem a sua resolução.

Vergnaud (1983) refere que numa proporção existe duas relações multiplicati-

vas, as quais designa por razão-dentro e razão-entre e define como espaços de medida

as grandezas cuja relação é de natureza proporcional. No problema “5 folhas são dia-

riamente necessárias para alimentar 2 lagartas. Quantas folhas serão necessárias para

alimentar diariamente 12 lagartas?” (Kouba et al., 1997, p. 97), as folhas e as lagartas

são o espaço de medida. A relação multiplicativa dentro 2 lagartas e 5 folhas é 2,5 e a

relação multiplicativa entre 2 e 12 lagartas é 6. Apesar dos termos dentro e entre serem

frequentemente usados na literatura (Carpenter et al., 1999; Karplus et al., 1983a;

1983b; Vergnaud, 1988) com o significado acima descrito, não existe um pleno acordo

no uso desta terminologia. Por exemplo, Lamon (1993a) utiliza a mesma terminologia

mas com um significado contrário tal como se ilustra no esquema seguinte e para o

mesmo problema.

18

x 2,5 Entre grandezas (ou funcional)

Folhas Lagartas 5

2

Dentro da grandeza (ou escalar) x 6

?

12

Dentro dagrandeza

(ou escalar) x 6

entre grandezas (ou funcional)

x 2,5

Neste estudo adopto a terminologia de Lamon (1993a). Esta opção deve-se ao significa-

do dos termos dentro e entre na Língua Portuguesa. Por outro lado, o termo grandeza é

usado habitualmente e conhecido pelos professores mas tal não acontece com a designa-

ção espaço de medida. Penso que esta opção evitará dificuldades acrescidas na análise

dos raciocínios dos alunos. A relação multiplicativa entre as grandezas – folhas e lagar-

tas – é uma relação funcional (Post et al., 1988) e a relação multiplicativa dentro de cada

uma das grandezas é uma relação escalar (Lamon, 1993a). A razão, segundo Lamon

(1993b), é uma comparação de quaisquer duas quantidades. Pode ser usada para trans-

mitir uma ideia que não pode ser expressa através de um só número, tal como no exem-

plo seguinte:

As festas das colheitas nas cidades A e B recebem visitante das regiões vizinhas. A cidade A relatou a razão de 4000 carros nas suas 3 milhas quadradas. A cidade B relatou uma razão de 3000 carros nas suas 2 milhas quadradas. (Lamon, 1995, p. 182)

A informação dada nesta forma permite compreender qual das cidades está mais

congestionada durante as festividades, a dificuldade de circular de carro na cidade e a

19

dificuldade que poderá existir para estacionar o veículo. Esta informação é diferente da

informação fornecida por cada um dos dados que foram combinados para a criar. Neste

caso, a razão compara duas medidas diferentes.

A razão também pode comparar duas medidas do mesmo tipo. Neste caso exis-

tem dois tipos de razão: a comparação parte:todo e a comparação parte:parte (Lamon,

1993).

2.2. Ensino e aprendizagem da proporcionalidade directa

O conceito de proporcionalidade directa está presente em muitos fenómenos da

vida real, o que aparentemente poderia ser um factor facilitador da sua compreensão. No

entanto, tal não parece acontecer. As fracções, razões e proporções são considerados os

tópicos mais difíceis de ensinar, os que apresentam maior complexidade matemática, os

mais demorados em termos de desenvolvimento e os mais desafiadores em termos cog-

nitivos (Lamon, 2007)

O campo conceptual das estruturas multiplicativas. Vergnaud (1988, 1997)

advoga que, para estudar e compreender a formação dos conceitos matemáticos na men-

te das crianças através das suas experiências escolares e não escolares, temos de consi-

derar um conceito C como um terno de três conjuntos, isto é C = (S,I,R), onde S é o

conjunto de situações que dão sentido ao conceito; I é o conjunto dos invariantes opera-

cionais que podem ser usados pelos sujeitos para dar significado a essas situações

(objectos, propriedades e relações) e R é o conjunto de representações simbólicas, lin-

guísticas, gráficas e gestuais que podem ser usadas para representar invariantes, situa-

ções e procedimentos. Na Teoria dos Campos Conceptuais, os conceitos matemáticos

não são considerados de um modo isolado e a interacção dos conceitos de um dado

campo constitui uma importante condição facilitadora da aprendizagem. E, embora, a

definição de campo seja bastante clara, as fronteiras cognitivas entre os campos concep-

tuais não são necessariamente bem definidos.

A teoria do campo conceptual fornece um campo de trabalho para a compreensão das relações entre as situações apresentadas aos alunos e as diferentes tarefas cognitivas com que precisam de lidar, os conceitos-em-acção que são relevantes para seleccionar a informação, os teoremas-em-acção que são necessários para determinar as regras adequadas da acção e expectativas, e os diferentes termos e representações simbólicas que podem ser usadas proveitosamente para explicitar a estrutura e os proce-

20

dimentos nas diferentes fases do processo de aprendizagem dos alunos. (Vergnaud, 1997, p. 24)

Os dois principais campos conceptuais da aritmética elementar são os das estru-

turas aditivas e das estruturas multiplicativas. O campo conceptual das estruturas aditi-

vas é o conjunto das situações que implicam várias adições ou subtracções e o conjunto

de conceitos e teoremas que permitem analisar estas situações como tarefas matemáti-

cas. Inclui, entre outros, conceitos como os de cardinal, medida, acréscimo e decrésci-

mo, comparação quantitativa, composição binária de medidas, de número natural. Pelo

seu lado, o campo conceptual das estruturas multiplicativas é o conjunto de situações

cujo tratamento implicam uma ou várias multiplicações ou divisões e o conjunto de

conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações. Inclui, entre outros, os con-

ceitos de múltiplo, divisor, número racional, fracção, razão, proporção simples e pro-

porção múltipla, função linear e não-linear. Segundo este investigador, os problemas

que envolvem a multiplicação (ou a divisão ou uma combinação entre estas) diferem

dos problemas que envolvem a adição porque a maioria das relações multiplicativas não

são ternárias (relações de comparação) mas sim quaternárias. A maioria dos problemas

que envolvem a multiplicação são problemas elementares ou complexos sobre propor-

ções pelo que estão envolvidos pelo menos duas variáveis, mas deve ser tomado em

consideração que a complexidade varia bastante quanto às mudanças numéricas (núme-

ros grandes, razões escalares pequenas e grandes, coeficientes constantes pequenos ou

grandes, decimais, fracções próprias) e às mudanças de domínio (preços, produção, con-

sumo, velocidade, geometria, densidade).

Orientações curriculares emergentes da investigação. Há já muitos anos que se

investiga sobre a aprendizagem dos números racionais. No entanto, como refere Lamon

(1993), só muito lentamente têm emergido implicações para o ensino da proporcionali-

dade. Por isso, não é ainda muito claro como é que este ensino se deve processar de

modo a desenvolver o conhecimento cognitivo e metacognitivo nas crianças.

As investigações realizadas levam diversos autores a referir que o ensino formal

da proporcionalidade deve ser precedido por experiências informais durante os primei-

ros anos de escolaridade (e.g., Cramer et al., 1993; Post, Cramer, Harel, Kieran & Lesh,

1998; Spinillo, 2003). Ou seja, os alunos não devem usar estratégias de cálculo (como o

algoritmo do produto cruzado) sem compreenderem as situações de proporcionalidade

21

directa e sem terem tido a oportunidade de explorar e usar estratégias informais para

resolver problemas sobre proporcionalidade.

Em resultado do seu trabalho, Lamon (1993) refere algumas implicações orien-

tadoras da instrução escolar, reconhecendo, contudo, a necessidade das suas ideias

serem alvo de mais investigação. As suas sugestões vão no sentido de os alunos experi-

mentarem situações que sustentem o desenvolvimento do raciocínio quantitativo pro-

porcional pré-simbólico, devendo ser utilizados problemas com recurso a diferentes

representações (por exemplo, suporte visual), sustentando flexibilidade na escolha de

unidades unitárias (one-units) ou compostas (composite units) e a necessidade de

“monitorização e regulação do processo de resolução de problemas e a adopção de uni-

dades mais complexas quando favoreçam o incremento de precisão ou eficiência da

solução” (p. 153).

Atendendo às conclusões dos seus trabalhos, Misailidou e Williams (2004),

sugerem que o conflito cognitivo gerado no aluno, pela constatação da atribuição de

diferentes respostas um mesmo problema representado de diferentes modos, pode cons-

tituir um ponto de partida para esclarecer as suas concepções erradas. Esta estratégia de

trabalho na sala de aula, ainda que condicionada à existência de pré-testes, reforça a

importância da comunicação, estabelecida nas discussões na aula. Durante este processo

é permitido ao aluno a exposição e a argumentação das suas ideias. Este confronto

ideias, segundo os autores, poderá ser um modo poderoso para ultrapassar as concep-

ções erradas dos alunos.

Baroody e Coslick (1998) indicam três fases que devem ser consideradas no

ensino das proporções: (i) conceptual, (ii) conectiva, e (iii) simbólica. Na fase concep-

tual, os alunos devem ser encorajados a usar estratégias informais numa grande varieda-

de de experiências sobre os tipos de raciocínio comparativo que sustentam o raciocínio

proporcional. Os autores aconselham a (i) fomentar o raciocínio qualitativo nas questões

sobre proporcionalidade em todos os alunos; (ii) introduzir e desenvolver o raciocínio

proporcional utilizando problemas contextualizados na realidade; (iii) propor uma

variedade de problemas; e (iv) encorajar os alunos a desenvolver estratégias próprias

para resolver os problemas com situações proporcionais. Na fase conectiva, definida

como o primeiro passo para o desenvolvimento do simbolismo proporcional, relaciona-

se o simbolismo com o que os alunos já conhecem. Os autores aconselham a: (i) cons-

truir o conceito de proporção, encorajar os alunos a sintetizar as situações problemáticas

com símbolos, a desenhar figuras e esquemas que ajudem a resolver problemas; e (ii)

22

desenvolver uma compreensão explícita sobre proporções, o que poderá ser conseguido

ao enfatizar as características matemáticas das situações que envolvem relações propor-

cionais. Finalmente, na fase simbólica, os alunos devem ser encorajados a (i) discutir os

formatos de representação e (ii) etiquetar as suas soluções simbólicas para se certifica-

rem que as proporções estão correctas.

Pelo seu lado, num conjunto de lições, o Rational Number Project mostra como

pode ser desenvolvida a compreensão explícita sobre proporcionalidade. Uma ideia for-

te é que os alunos devem realizar experiências físicas que envolvam relações proporcio-

nais e não proporcionais, recolher e representar dados em tabelas e determinar uma

regra que relacione pares numéricos da tabela. Outra ideia importante é que os alunos

devem representar graficamente os dados das suas experiências e devem ser encorajados

a identificar as características dos gráficos que representam relações proporcionais.

Vários outros autores consideram igualmente que as tabelas são uma forma particular-

mente importante de explorar relações de natureza multiplicativa (English & Halford,

1995; Robinson, 1981; Streefland, 1985). Segundo Robinson (1981), o seu uso poderá

dar a oportunidade às crianças da descoberta da regularidade existente no procedimento

do produto cruzado.

Considerando as diferentes sugestões provenientes da investigação sobre as

orientações curriculares para o desenvolvimento do raciocínio proporcional, importa

considerar a natureza das tarefas a propor aos alunos. A literatura refere que as activida-

des rotineiras de aquisição de conhecimentos e técnicas de cálculo não garantem o

desenvolvimento da competência matemática, pelo que outras actividades devem ser

propostas, como a resolução de problemas e as actividades de exploração e investiga-

ção. Segundo Ponte e Matos (1992), as actividades de investigação matemática, tais

como, de resto, as actividades de resolução de problemas, implicam pensamento com-

plexo e exigem envolvimento e criatividade por parte dos alunos. No entanto, ao contrá-

rio dos problemas usuais, que especificam claramente o que é dado e o que é pedido, as

actividades de exploração e investigação têm enunciados e objectivos pouco precisos e

pouco estruturados. Deste modo, nestas actividades, têm de ser os alunos a definir os

objectivos, bem como a conjecturar e a testar as suas próprias conjecturas. Especifica-

mente as tarefas investigativas podem constituir um ponto de partida para desenvolver

um conceito, levando os alunos, em especial os mais jovens, a trabalhar de forma intui-

tiva, estabelecendo conexões entre a sua experiência e essa tarefa.

23

Capítulo 3

Unidade de ensino

A unidade de ensino desenvolvida neste estudo tem por base as concepções e

orientações curriculares que indicam que o raciocínio proporcional se pode desenvolver

através da investigação de regularidades numéricas, inerentes às situações onde existe

proporcionalidade directa. Neste capítulo apresento os princípios gerais e a planificação

das tarefas da unidade de ensino.

3.1. Princípios gerais da unidade de ensino

A unidade de ensino tem como base as orientações curriculares recomendações

Currículo nacional do ensino básico (ME-DEB, 2001) e os Principles and standard for

school mathematics (NCTM, 2000) e vai ao encontro dos objectivos gerais do tema

Álgebra (2.º ciclo) e dos objectivos específicos do tópico proporcionalidade directa,

descritos no Programa de matemática para o ensino básico (2007). Esta unidade de

ensino tem igualmente em conta a literatura sobre este tema, em particular, os conheci-

mentos resultantes dos estudos de Ben-Chaim et al. (1998), Norton (2004) e Silvestre

(2006).

O Currículo Nacional do Ensino Básico enuncia aspectos da competência

matemática que a unidade tende a desenvolver nos alunos, tais como, reconhecer situa-

ções de proporcionalidade directa e a mostrar aptidão para usar o raciocínio proporcio-

nal em diversos problemas; predisposição para investigar padrões e regularidades e

formular generalizações; aptidão para analisar as relações numéricas de uma situação,

explicitá-las quer em linguagem corrente quer representando-as através de diferente

processos; aptidão para construir e interpretar diferentes formas de representação (tabe-

24

las de valores, gráficos, regras verbais) e para passar de umas formas para as outras,

recorrendo por exemplo a instrumentos tecnológicos.

Considerando que o “ensino-aprendizagem da Matemática assenta na actividade

que os alunos levam a cabo na sala de aula e esta, por sua vez, depende muito das tare-

fas apresentadas pelo professor” (Ponte, 2003, p. 28) e que o ensino da proporcionalida-

de deve focar-se numa perspectiva de modelação que envolva, em fenómenos com

alguma complexidade, mesmo os alunos mais novos, contrariando a resolução de pro-

blemas estereotipados do tipo valor omisso e de comparação, que para além de consti-

tuírem apenas um treino simplista (Greer, 2007), tem consequência indesejadas ao cria-

rem a ilusão de linearidade (De Bock et al., 2007) Assim, as duas primeiras tarefas da

unidade de ensino são investigações/explorações e marcam a unidade de ensino, têm o

objectivo de evidenciar as regularidades numéricas (constante de proporcionalidade,

factor escalar e a identidade fundamental da proporções). Pretende-se que os alunos

compreendam o que é a proporcionalidade directa e usem as regularidades numéricas

que descobriram no desenvolvimento de estratégias próprias para a resolução de pro-

blemas.

As tarefas de investigação, segundo Silva, Veloso, Porfírio e Abrantes (1999),

constituem um contexto excepcional para a construção de conceitos, pois valorizam as

ideias poderosas e processos característicos da actividade dos matemáticos. Para os

autores essas ideias incluem:

Relação funcional e de transformação; a procura de regularidades e de invariantes; a abstracção e a generalização; a construção de conceitos por analogia; a procura de modelos matemáticos para situações para situa-ções do mundo concreto (...) o uso da intuição na exploração de situações envolvendo objectos matemáticos; a formulação de conjecturas; a sua demonstração ou refutação. (p. 83).

Da unidade de ensino fazem parte problemas, na medida em que a sua resolução

constitui uma boa metodologia de trabalho para aprender Matemática, procurando esti-

mular os alunos a usar os seus conhecimentos para dar resposta a problemas não rotinei-

ros. Outras tarefas são os exercícios, embora em número reduzido e com o objectivo de

utilização de conceitos e desenvolvimento da capacidade de cálculo.

Durante a realização das tarefas os alunos podem usar a folha de cálculo, em

particular nas tarefas de investigação/exploração porque este tipo de ferramenta de tra-

balho permite a realização rápida de cálculos repetitivos, apoiando a formulação e o

25

teste de conjecturas e a visualização dos dados em diferentes estruturas. Durante a reso-

lução dos problemas os alunos podem usar calculadora.

3.2. Planificação da unidade de ensino

A tabela 1 mostra a sequência das tarefas da unidade de ensino e os objectivos

específicos associados a cada uma. As tarefas podem ser consultadas no Anexo I.

Tabela 1 - Planificação da unidade de ensino por tarefa

Tarefa Objectivos específicos Material Registos Blocos

T1-O coelho e a tartaruga

▪ Organizar os dados obtidos a partir da observação de um esquema.

▪ Investigar regularidades numéricas. ▪ Identificar uma relação proporcional através da identifi-

cação de regularidades numéricas: - entre grandezas; - dentro das grandezas. ▪ Compreender o significado da constante de proporciona-

lidade em contexto. ▪ Representar os dados do problema em tabelas e gráficos. ▪ Discutir o significado de previsão no contexto do proble-

ma. C

ompu

tado

r

Relató-rio

2,5

T2-O segredo da tartaruga

▪ Explorar as relações multiplicativas das relações propor-cionais.

▪ Manipular dados no contexto do problema. ▪ Identificar as características gráficas das relações propor-

cionais. Com

puta

-

dor Relató-

rio 1,5

3-No país das tartarugas

▪ Resolver problemas que envolvem o conceito de propor-cionalidade directa.

▪ Compreender o significado da constante de proporciona-lidade em contexto.

▪ Compreender o significado de razão e proporção no con-texto dos problemas.

Cal

cula

dora

Caderno diário

1

T4-O lanche do coelho

▪ Resolver problemas que envolvem o conceito de propor-cionalidade directa.

▪ Compreender o significado da constante de proporciona-lidade em contexto.

▪ Compreender o significado de razão (parte:parte e par-te:todo) e proporção no contexto dos problemas.

Cal

cula

dora

Caderno diário

1

T5-A marato-na dos coe-lhos e mais problemas

▪ Resolver problemas simples sobre percentagem. ▪ Compreender a relação parte:todo nos problemas sobre

percentagem. Cal

cula

-

dora

Caderno diário

1

T6-Uma pon-te para coe-

lhos

▪ Organizar os dados obtidos a partir de uma actividade prática.

▪ Distinguir as relações proporcionais utilizando argumen-tos numéricos e gráficos. C

ompu

ta-

dor Relató-

rio 1

26

T7-Pista interdita a coelhos e

outra história tonta

▪ Interpretar uma escala. ▪ Utilizar as escalas de mapas e de outros materiais. ▪ Compreender quais são os dados necessários para se utili-

zar uma escala. Cal

cula

-

dora

Caderno diário

1

27

Capítulo 4

Metodologia de investigação

Neste capítulo fundamento as opções metodológicas do estudo, relacionando o

seu propósito com a escolha de uma metodologia de investigação de natureza qualitativa

e interpretativa, bem como um contexto de trabalho colaborativo e os designs de expe-

riência de ensino e estudo de caso. Seguidamente, descrevo os participantes, o modo

como é realizada a escolha dos casos e as sessões de trabalho. Finalmente, apresento os

instrumentos e procedimentos de recolha e análise dados e as fases do estudo.

4.1. Opções metodológicas gerais

Uma investigação qualitativa e interpretativa. A escolha de uma metodologia de

investigação, segundo Yin (2003), deve ter em consideração três aspectos: (i) o tipo de

questões do estudo; (ii) o grau de controlo que o investigador tem sobre os aconteci-

mentos; e (iii) o facto de o objecto corresponder ou não a acontecimentos que ocorrem

no momento do estudo. Estas razões levaram a escolher para este estudo uma metodo-

logia qualitativa e interpretativa.

Gauthier (1987) refere que a metodologia qualitativa facilita uma proximidade

física (terreno) e simbólica (linguagem) entre o investigador e os participantes numa

investigação centrada na construção de sentido. Deste modo, a investigação qualitativa

permite fornecer informações sobre o ensino e a aprendizagem da proporcionalidade

directa que, de outro modo, não seriam passíveis de obter, particularmente, os conheci-

mentos matemáticos formais e informais utilizados pelos alunos quando resolvem pro-

blemas que envolvem relações proporcionais. Além disso, esta abordagem pode, tam-

28

bém, dar a conhecer factores relevantes que envolvem a os processos matemáticos utili-

zados pelos alunos.

Denzin e Lincoln (1998) referem que a investigação qualitativa foi assumindo

diferentes caracterizações ao longo da sua história, na qual identificam cinco fases: (i) a

fase tradicional (1900-1950); (ii) a fase modernista ou a idade de ouro (1950-1970); (iii)

a fase eclética (1970-1986), (iv) a fase da crise da representação (1986-1990); e (v) a

fase pós-moderna ou momento presente (após 1990). Actualmente, segundo estes auto-

res, a investigação qualitativa é caracterizada como sendo multimétodo e envolvendo

uma perspectiva interpretativa, construtivista e naturalista face ao seu objecto de estudo.

Isto significa que os investigadores qualitativos estudam a realidade no seu contexto

natural, procurando dar-lhe sentido, interpretando os fenómenos de acordo com os sig-

nificados que têm para as pessoas envolvidas. O presente estudo desenvolve-se no con-

texto escolar, no qual é possível diferenciar três cenários: o que envolve o trabalho

colaborativo entre a investigadora e as três professoras, fora da sala de aula; um segun-

do cenário, na sala de aula, que envolve os alunos, a professora e a investigadora; e um

terceiro cenário, também na sala de aula, na qual a investigadora desenvolve um traba-

lho de recolha dos dados junto dos alunos constituídos como estudos de caso.

Para além de qualitativa, esta investigação é também interpretativa. Bodgan e

Biklen (1994) enunciam cinco características fundamentais da investigação qualitativa:

(1) a fonte directa dos dados é o ambiente natural, constituindo o investigador o instru-

mento principal; (2) os dados recolhidos são descritivos e não numéricos, tendo a forma

de palavras ou imagens; (3) o investigador interessa-se sobretudo pelos processos, rele-

gado para segundo plano os resultados; (4) os dados são sobretudo analisados de forma

indutiva; e (5) compreender o significado que os participantes atribuem às próprias

experiências, assume uma importância vital. Os objectivos do presente estudo coadu-

nam-se com estas características. Por um lado, os dados são recolhidos junto dos alunos

na escola, isto é, nas aulas de Matemática e Estudo Acompanhado (as aulas desta área

curricular não disciplinar estão parcialmente consignadas à disciplina de Matemática no

âmbito do Plano da Matemática) e, por outro lado, os dados serão de natureza essen-

cialmente descritiva. Embora existam três cenários diferentes de trabalho escola, dos

quais faço parte enquanto investigadora, dou particular atenção ao trabalho desenvolvi-

do pelos alunos durante o desenvolvimento da unidade de ensino. Estes dados são reco-

lhidos e analisados por mim enquanto investigadora e a sua interpretação constituiu o

elemento chave de análise.

29

Além disso, considero o paradigma interpretativo adequado ao problema em

estudo pois “o objecto de análise é formulado em termos de acção” (Lessard-Hébert,

Goyette & Boutin, 1990, p. 39) e pretendo questionar “como se desenvolvem e mantêm

os (...) sistemas de significados e não os comportamentos observáveis [remetendo o

interesse das problemáticas interpretativas] para uma dimensão social fundamental”

(idem, p. 41). Por outro lado, em educação, o paradigma interpretativo sublinha a

“necessidade fundamental de compreender o ponto de vista dos intervenientes no pro-

cesso educativo” (Ponte, 2008, p. 173).

Este estudo tem por base uma unidade de ensino construída de acordo com o

conhecimento proveniente da investigação sobre a proporcionalidade directa e das

recentes orientações curriculares e será desenvolvida por três professoras nas suas aulas.

Ao longo do ano lectivo, há um trabalho de colaboração entre as professoras e a investi-

gadora para o desenvolvimento da unidade de ensino, no ambiente escolar, sujeito a

situações imprevistas e com as quais é necessário saber conviver aceitando-as como

inerentes à vida escolar. É no âmbito desta unidade de ensino que pretendo conhecer o

desempenho dos alunos, quando resolvem problemas que envolvem proporcionalidade

directa, isto é, que compreensão têm sobre as situações problemáticas com que se depa-

ram e das estratégias que usam para as resolver.

Experiência de ensino. As experiências de ensino (teaching experiment) come-

çaram a ser aceites durante os anos setenta, nos Estados Unidos da América. Na base

dessa aceitação está o reconhecimento por parte da comunidade de investigadores do

abismo entre a prática de investigação e a prática de ensino da Matemática (Steffe 1983;

Steffe & D’Ambrosio 1996). De acordo com Steffe e Thompson (2000), esta metodolo-

gia tem as suas raízes na Educação Matemática e caracteriza-se globalmente por proce-

dimentos padronizados, pelos quais o investigador constrói estratégias para conhecer a

Matemática dos alunos.

Cobb, Confrey, diSessa, Lehrer e Schauble (2003) identificam cinco características

transversais às várias modalidades de experiências de ensino desenvolvidas ao longo

dos últimos anos A primeira característica diz-nos que a finalidade de uma experiência

de ensino é desenvolver uma classe de teorias sobre o processo de aprendizagem e sobre

os significados que são construídos para dar suporte à aprendizagem, quer seja a apren-

dizagem individual dos alunos, de uma turma, de um grupo de professores ou de uma

escola ou grupo de escolas se vistas como uma organização.

30

Apontam como segunda característica a sua natureza marcadamente interventi-

va, que investiga as possibilidades de avanço educacional fazendo emergir novas formas

de aprendizagem com o objectivo de as estudar. O design da experiência de ensino tem

em conta a investigação anterior sobre o domínio do estudo e o investigador tem algum

controlo sobre o processo de aprendizagem quando comparado com uma investigação

exclusivamente naturalista. Além disso, ao tentar sustentar uma forma específica de

aprendizagem, o investigador tem maior possibilidade de encontrar factores relevantes

que contribuem para a fazer emergir e conhecer as inter-relações entre esses factores.

A terceira característica resulta das duas primeiras, e diz-nos que a experiência

de ensino cria condições para desenvolver teorias e colocá-las em escrutínio. Por exem-

plo, durante uma experiência de ensino na sala de aula, pode ser testada uma conjectura

inicial sobre a interacção entre as características das tarefas, considerando a forma como

são desenvolvidas, e a qualidade das respostas. Se esta conjectura é refutada, outras con-

jecturas podem ser construídas e testadas.

A interactividade deste processo, é a quarta característica, pois todo ele se

desenvolve em ciclos de criação e revisão. Isto obriga a dar uma sistemática atenção às

evidências da aprendizagem e a focar-se nos ciclos de intervenção e revisão a para

desenvolver a pesquisa.

Finalmente, a quinta característica reflecte as raízes pragmáticas da experiência

de ensino. Deste modo, as teorias desenvolvidas durante a experiência não dizem apenas

respeito aos processos específicos do domínio da aprendizagem mas também à organi-

zação do processo de instrução.

O início da experiência de ensino (Cobb et al., 2003; MacClain, Cobb & Grave-

meijer, 2000; Steffe & Thompson, 2000), é marcado pela formulação de uma hipótese

de aprendizagem, da qual fazem parte as metas de aprendizagem do estudo, a planifica-

ção das actividades de ensino e a conjectura do processo de aprendizagem no qual o

pesquisador prevê o raciocínio dos alunos.

Neste estudo a hipótese de aprendizagem considera que as tarefas iniciais da

unidade de ensino têm como principal objectivo a investigação por parte dos alunos das

diferentes relações multiplicativas que envolvem as variáveis das relações proporcio-

nais, fazendo emergir diversas regularidades numéricas. A apropriação com compreen-

são destas regularidades permite aos alunos, por um lado e embora de um modo pouco

formal, a construção de um modelo matemático de proporcionalidade e, por outro lado,

31

a utilização de estratégias universais para investigar a existência desse modelo e intervir

sobre ele.

A planificação da unidade de ensino teve em consideração a investigação empí-

rica que envolve o raciocínio proporcional apresentada na fundamentação teórica, bem

como as orientações curriculares dos documentos oficiais portugueses (ME-DEB,

1991a; ME-DEB, 1991b; ME-DEB, 2001; ME, 2007) e noutros documentos curricula-

res (NCTM, 2000).

A unidade de ensino têm alguma flexibilidade porque está dependente de fenó-

menos emergentes numa investigação realizada no contexto escolar. Assim, tem em

conta o facto das três professoras terem diferentes experiências profissionais, crenças e

valores. Tem também em conta que as três turmas de 6.º ano de escolaridade, de duas

escolas, apresentam diferentes experiências escolares e por isso prevê a possibilidade de

modificar alguns aspectos das tarefas. O trabalho colaborativo entre as professoras e a

investigadora no sentido de desenvolver uma unidade de ensino sobre proporcionalida-

de directa, decorre durante todo o ano lectivo, de forma a encontrar um entendimento

comum sobre o desenvolvimento da experiência de ensino. Por exemplo, ao longo do

1.º período são proposta tarefas de investigação e escrita de relatórios, bem como o uso

da folha de cálculo pelos alunos, para que esta seja uma prática comum nas suas aulas.

Deste modo, a escrita de relatórios e o uso das tecnologias não condicionam o desempe-

nho dos alunos quando for leccionada a proporcionalidade directa, durante o 2.º perío-

do.

Grupo de colaboração. Segundo Ponte (2008), a colaboração é um modo de tra-

balho particularmente indicado para lidar com problemas complexos e exigentes, que

enquadra actores com conhecimentos e competências diversas num esforço comum.

Uma tarefa que seria muito difícil de fazer de forma isolada é muitas vezes possível de

realizar com sucesso em trabalho de colaboração.

Segundo Desgagné, Bednarz, Lebuis, Poirier e Couture (2001), o conceito de

colaboração em investigação educacional começou a tomar forma a partir da ideia de

fazer investigação com os professores e não sobre os professores. Estes deixaram de ser

um objecto de investigação ou meros executantes das prescrições do investigador e pas-

saram a ser vistos como parceiros de investigação que participam com o investigador na

reflexão sobre o desenvolvimento das suas práticas. Ainda segundo os autores, a cola-

boração entre professores e investigadores valoriza, entre outras coisas, o trabalho sobre

a epistemologia do conhecimento profissional e reconhece o conhecimento que advém

32

da prática do professor. Desgagné et al. (2001) referem ainda que a participação de pro-

fessores e investigadores num grupo colaborativo não tem a mesma finalidade – os pro-

fessores procuram melhorar as suas práticas e as aprendizagens dos seus alunos enquan-

to os investigadores procuram construir conhecimento.

Boavida e Ponte (2002), defendem que “a utilização do termo colaboração é

adequada nos casos em que os diversos intervenientes trabalham conjuntamente, não

numa relação hierárquica, mas numa base de igualdade de modo a haver ajuda mútua e

a atingirem objectivos que a todos beneficiem” (p. 45). Um exemplo de um projecto de

investigação colaborativa é apresentado no estudo de Ponte, Oliveira, Brunheira,

Varandas e Ferreira (1998), com foco no trabalho do professor numa aula de investiga-

ção matemática. Neste caso, os professores e os investigadores enquanto grupo estive-

ram envolvidos na definição dos objectivos do estudo, no desenvolvimento de instru-

mentos e métodos de análise, na planificação e na calendarização das actividades a

desenvolver, na selecção e análise preliminar dos episódios e, por fim, na discussão dos

resultados e conclusões do estudo. Um outro estudo, de Boavida (2005), pretende com-

preender as potencialidades e os problemas da realização de um projecto de investiga-

ção colaborativa centrado na reflexão sobre as práticas das duas professoras. O grupo

colaborativo foi constituído por duas professoras e a investigadora, contudo, o estudo

“no seu todo, não é uma investigação colaborativa, embora tenha havido no percurso

que permitiu levá-lo a cabo (...) uma parte muito significativa e insubstituível que o foi:

o projecto que desenvolvemos” (Boavida, 2005, p. 204, itálico no original).

O grupo de trabalho colaborativo constituído nesta investigação tem por base

três ideias fundamentais, nomeadamente no que diz respeito à definição do objecto da

investigação, à escolha dos instrumentos e processos para a recolha e análise dos dados

e aos meios de divulgação dos resultados. A primeira ideia diz que o envolvimento de

um indivíduo num projecto colaborativo encerra diferentes tipos de razões: um interesse

comum numa inovação curricular, para lidar com uma turma difícil, para explorar um

tópico novo ou avançar na compreensão de uma certa problemática, para ter a oportuni-

dade de trabalhar com alguém com quem há relações pessoais previamente estabeleci-

das, ou até como estratégia para alterar as relações de poder na instituição (Boavida,

2001). A segunda ideia indica que o grupo de investigação colaborativa não supõe que

todos os elementos do grupo desenvolvam os passos de uma investigação formal,

nomeadamente no caso de um grupo do qual fazem parte professores e investigadores

(Desgagné et al., 2001). Os primeiros entram num projecto de investigação por “ques-

33

tões práticas” e não por questões de investigação, no sentido formal. Este modelo identi-

fica-se na intersecção da investigação sobre a prática e a investigação formal, que reúne

professores e investigadores em torno de uma actividade reflexiva que vai assumindo

diferentes formas, dependendo dos projectos. E, por último, a terceira ideia prevê a pos-

sibilidade do investigador interferir com as práticas usuais dos professores durante um

trabalho em que se envolvem num diálogo democrático, como co-investigadores e co-

sujeitos (Reason, 1988).

O grupo colaborativo envolvido nesta investigação é constituído por três profes-

soras do 2.º ciclo do ensino básico e por mim, na qualidade investigadora. O grupo foi

formado por minha iniciativa para realizar esta investigação. Conhecia duas das profes-

soras desde o ano 2005, quando participámos do projecto Professional Development of

Teachers Researchers (PDTR), sendo que uma delas lecciona na minha escola. A ter-

ceira professora faz também parte do quadro de professores da escola onde lecciono e

conhecia-a apenas quando fui colocada nesse estabelecimento de ensino. Desde então

houve uma natural oportunidade para discutir alguns tópicos matemáticos e condições

de gestão curricular, partilha de materiais, embora esta última tenha sido ocasional e

informal.

É de notar que este estudo não é na sua globalidade uma investigação colabora-

tiva. Contudo, uma parte significativa do seu desenvolvimento é assegurada pelo grupo

de colaboração. As professoras disponibilizaram-se para trabalhar num grupo, vão lec-

cionar a unidade de ensino sobre a proporcionalidade directa, por mim construída com

os objectivos já referidos anteriormente, alterando substancialmente o modo como lec-

cionavam este tema. E, por último, os alunos constituídos como estudos de caso perten-

cem às suas turmas.

Estudos de caso. Neste trabalho, o objecto de estudo são as aprendizagens dos

alunos de três turmas onde será realizada a unidade de ensino. Deste modo, considero

útil aprofundar as aprendizagens de alguns dos alunos dessas turmas, nomeadamente

dois alunos de cada turma, que constituem assim seis estudos de caso.

O design de estudo de caso é apropriado para investigar as aprendizagens dos

alunos inseridos em turmas onde se realiza uma experiência de ensino, pois, tal como

refere Ponte (2006):

Um estudo de caso visa conhecer uma entidade bem definida como uma pessoa, uma instituição, um curso, uma disciplina, um sistema educativo,

34

uma política ou qualquer outra unidade social. O seu objectivo é com-preender em profundidade o “como” e os “porquês” dessa entidade, evi-denciando a sua identidade e características próprias, nomeadamente nos aspectos que interessam ao pesquisador. É uma investigação que se assume como particularística, isto é, que se debruça deliberadamente sobre uma situação específica que se supõe ser única ou especial, pelo menos em certos aspectos, procurando descobrir a que há nela de mais essencial e característico e, desse modo, contribuir para a compreensão global de um certo fenómeno de interesse. (p. 1, versão digital).

Pelo seu lado, Yin (2003) refere que o estudo de caso toma como objecto um

acontecimento contemporâneo no seu contexto real, mesmo quando as fronteiras entre o

acontecimento estudado e o contexto não estão nitidamente demarcadas.

O design de estudo de caso é frequentemente referido como aquele em que o

investigador utiliza fontes múltiplas de dados (Ponte, 2006; Stake, 1994; Yin, 2003),

característica que lhe confere simultaneamente credibilidade metodológica. Yin (2003)

salienta que a principal vantagem da utilização de múltiplas fontes de dados é o desen-

volvimento de linhas de convergência da investigação, processo também referido como

triangulação dos dados. Este processo de uso de múltiplas percepções é o que Stake

(1994), indica como necessário para clarificar o sentido, pela identificação de diferentes

maneiras de encarar o fenómeno. As técnicas de recolha de dados utilizadas nos estudos

de caso são diversificadas, assim temos, as observações directas e indirectas, os diários,

os questionários, as narrativas, os registos áudio e vídeo, as entrevistas entre outras.

Segundo Yin (2003), numa efectiva triangulação dos dados, um facto ou fenómeno é

corroborado por dados obtidos através de técnicas diferentes e provenientes de várias

fontes.

Stake (1994) classifica os estudos de caso em função dos objectivos do investi-

gador: (i) estudo de caso intrínseco; (ii) estudo de caso instrumental; e (iii) estudo de

caso agregado. Um estudo de caso é intrínseco quando o interesse incide na compreen-

são de uma situação particular. Por sua vez, um estudo de caso é instrumental quando

constitui um meio facilitador para compreender um fenómeno ou aprofundar uma teoria.

Por fim, um estudo de caso é agregado quando um conjunto de casos permite com-

preender melhor determinado fenómeno. Não constitui um estudo do colectivo, mas

antes um estudo instrumental que abrange vários casos, semelhantes ou distintos. De

acordo com esta classificação, a presente investigação é um estudo de caso agregado, na

medida em que se pretende conhecer o desenvolvimento do raciocínio proporcional em

35

seis alunos, constituídos como caso, quando nas suas aulas foi desenvolvida uma unida-

de de ensino com determinadas características, já referidas anteriormente.

Atendendo ao objectivo e às questões do estudo é fundamental que os alunos

constituídos como caso revelem facilidade em comunicar o modo como pensam após a

leitura da tarefa, as decisões que tomam ao longo da resolução e os conhecimentos

matemáticos que mobilizam. Assim, no início do 2.º período, será solicitado às profes-

soras que indiquem os alunos das suas turmas que revelam facilidade em comunicar

oralmente sem colocar ênfase em respostas correctas (pré-selecção). Depois serão anali-

sadas as respostas de dois documentos escritos dos alunos: (i) o último teste do 1.º

período, particularmente três questões comuns às duas turmas e; (ii) o pré-teste. As

questões comuns do teste têm o objectivo de conhecer o desempenho dos alunos na

representação de números racionais (decimal, fracção e percentagem), no cálculo de

fracções equivalentes e sua utilização para resolver problemas. As questões serão cons-

truídas pelo grupo de trabalho colaborativo. O pré-teste será constituído por problemas

por problemas sobre proporcionalidade (valor omisso, comparação e qualitativos). Em

cada turma serão escolhidos, entre os alunos pré-seleccionados, um que revele um bom

desempenho nas questões dos dois tipos de teste e outro que revele dificuldades na reso-

lução das questões do teste e/ou pré-teste. Caso existam vários alunos que reúnam os

requisitos enunciados serão seleccionados os que revelem maior capacidade de comuni-

cação.

4.2. Preparação da unidade de ensino

A recolha do material empírico irá decorrer ao longo do ano lectivo de 2008/09, durante

os 1.º e 2.º períodos, tendo um momento de recolha mais sistemática durante o desenvolvimento

da unidade de ensino da proporcionalidade.

Trabalho preparatório no início do ano. Para construir um plano de trabalho calendari-

zado, realizei uma reunião com as professoras participantes, no final do ano lectivo de 2007/08.

Nesta reunião foi feita uma planificação anual (ver Anexo II) dos temas a trabalhar com os alu-

nos ao longo de cada período, com base no programa da disciplina e no calendário escolar

entretanto publicado pelo Ministério da Educação (contabilização do número de aulas por

período). Nesta reunião, tendo por base evidências que emergiram do estudo piloto e que apre-

sento mais à frente, foi decidido que as professoras iriam desenvolver nas turmas envolvidas

dinâmicas de trabalho semelhantes às que estão previstas para a unidade de ensino da propor-

36

cionalidade directa, nomeadamente no que respeita ao trabalho de grupo, escrita de relatórios e

uso da folha de cálculo durante todo o ano lectivo. Neste sentido, comprometi-me também em

construir com as professoras materiais para a sala de aula, a apresentar e discutir alguns textos

orientadores e também a acompanhar as turmas ao longo do ano lectivo e não apenas durante o

período de tempo dedicado ao ensino da proporcionalidade directa.

Ainda durante o mês de Julho, em conjunto com as professoras, procurámos que as

docentes tivessem turmas de 6.º ano, dando continuidade pedagógica pelo menos a uma sua

turma do 5.º ano. Para uma das professoras isso não foi possível, contudo, teve acesso a infor-

mações sobre o desempenho dos alunos no 5.º ano.

Ainda no contexto organizativo foi também assegurado pelo conselho executivo de uma

das escolas que as turmas teriam acesso ao uso de computadores portáteis, pelo menos num dos

dois blocos de aulas semanais. Na outra escola não foi necessária esta diligência porque os

computadores são transportados para qualquer sala da escola.

Como referi, o plano de trabalho foi construído tendo em conta o estudo-piloto, desen-

volvido durante o ano lectivo de 2007/08 com o objectivo principal de conhecer melhor as

dinâmicas de trabalho em três cenários diferentes: o trabalho colaborativo entre a investiga-

dora e as três professoras; os alunos, a professora e a investigadora; e, um terceiro cená-

rio, no qual a investigadora e os alunos durante a entrevista.

Balanço do estudo-piloto. Um dos objectivos do estudo-piloto era avaliar a exequibili-

dade do desenvolvimento da unidade de ensino sobre a proporcionalidade directa em três tur-

mas com percursos escolares diferentes e perceber se o material empírico recolhido através de

diferentes técnicas, contêm os dados necessários para responder ao problema e questões da

investigação. Este estudo-piloto foi também de particular importância para as professoras

envolvidas, no sentido de se apropriarem das tarefas da unidade de ensino e também de conhe-

cer as suas exigências durante a gestão do trabalho na aula, bem como na logística necessária

nas escolas para que os recursos informáticos sejam utilizados.

Durante a preparação do estudo piloto construi primeiro um esquema simples que rela-

cionava o grupo de colaboração e o desenvolvimento da unidade de ensino. Posteriormente fui

anexando indicações que deveria ter em consideração durante a recolha do material empírico e

o esquema transformou-se na tabela 2.

Tabela 2 – Plano de trabalho calendarizado

Tempo Aulas (blocos) Entrevistas Per. Mês

Grupo Colaborativo (sessões trabalho) T1 T2 T3 A1 A2 A3 A4 A5 A6

37

Set. - - -

Out. ▪ Trabalho grupo aula ▪ Preparação tarefas ▪ Folha de cálculo

1 1 1

Nov. ▪ Relatórios escritos e sua avaliação. 1 1 1

1.º

Dez. ▪ Análise unidade ensino

da proporcionalidade directa

1 1 1

Jan. ▪ Preparação/discussão tarefas e dinâmicas aula

▪ Selecção dos alunos: estudos de caso.

1 1 1 1 1

Fev. ▪ Correcção relatórios ▪ Preparação fichas de

avaliação 7 7 7 1 1 1 1 1 1 2.º

Mar. ▪ Balanço sobre unidade de ensino 1 1 1 1 1 1

Abr 1 1 1

Mai 1 1 1 3.º

Jun - - -

(T - turma; A - aluno; - Em um dos quatro blocos será realizado o pré-teste (Jan.) e o

pós-teste (Mar.))

O estudo-piloto decorreu num ano lectivo marcado por várias alterações na “vida” da

escola e, sobretudo após o início do 2.º período lectivo, houve um aumento significativo do

número de reuniões, frequentemente longas, envolvendo muitos professores e difíceis de alterar.

Foi então problemático encontrar momentos de trabalho para o grupo de colaboração, contra-

riando a regularidade registada no 1.º período. Tivemos de conviver com estes imprevistos e

tomei a decisão de fazer reuniões menos formais e acompanhar as professoras em cada uma das

escolas. As reuniões foram mais espaçadas e foi necessário recorrer a outros meios para comu-

nicar como o email e o telefone.

O desenvolvimento do estudo piloto fez emergir algumas situações que mereceram

alguma reflexão, quer no que respeita à unidade de ensino quer no que se refere ao impacto da

minha entrada na sala de aula como investigadora. Penso que em ambas as turmas, foi boa a

receptividade às tarefas. Contudo, registaram-se algumas situações que devo ter em conta, uma

vez que a unidade de ensino prevê uma dinâmica própria do trabalho de sala de aula. Assim,

verifiquei que alguns alunos tinham uma experiência escolar pobre no que respeita à resolução

de problemas e tarefas de investigação/exploração, inexperiência em trabalhar em grupo e tam-

bém dificuldade em comunicar os resultados do seu trabalho aos outros colegas. Isso provavel-

38

mente fez aumentar o grau de dificuldade da primeira tarefa e não permitiu que os alunos se

concentrassem no trabalho matemático. O mesmo não aconteceu com os alunos habituados a

trabalhar em grupo e presenciei aulas que decorreram com grande serenidade, atendendo à ida-

de dos alunos. No que respeita à utilização da folha de cálculo, os alunos revelaram alguma

facilidade.

A minha presença na sala de aula foi diferente nas duas escolas. Na escola onde vários

professores frequentavam o programa de formação contínua em Matemática (que prevê o

acompanhamento do professor em sala de aula pelo formador), a minha presença não parece ter

tido qualquer influência sobre a dinâmica da aula. O mesmo não se verificou na escola em que a

professora não frequentava aquele programa, pelo que, segundo ela, alguns alunos revelaram

inicialmente alguma inibição quando era solicitada a sua intervenção.

De um modo geral, contei com as informações das professoras para identificar os estu-

dos de caso, tendo sido identificados alunos com um desempenho escolar médio que revelavam

facilidade em comunicar o seu raciocínio.

Recolha de dados

Neste estudo, tendo em vista o problema enunciado e a necessidade de obter dados de

diversos tipos, de modo a construir uma resposta apropriada, vou utilizar diversas técnicas de

recolha de dados de entre as mais comuns na metodologia qualitativa. Tal como referem Bog-

dan e Biklen (1994), estas técnicas complementam-se e permitem uma abordagem a partir de

diversas perspectivas.

Observação participante. A observação participante é uma forma específica de obser-

vação na qual o observador assume um papel no contexto do estudo e pode até participar nos

eventos a estudar (Yin, 2003). As fontes de dados são as sessões de trabalho do grupo colabora-

tivo e as aulas das turmas envolvidas. O registo do trabalho desenvolvido é realizado através de

um diário de bordo e também de gravação áudio e respectiva transcrição. O diário de bordo

permite um registo sistemático de observações feitas pelo investigador, sendo funda-

mental num estudo qualitativo realizado no terreno. Dele fazem parte: (i) Registos dos

assuntos discutidos durante as reuniões com as professoras na fase de preparação do

desenvolvimento da unidade de ensino; (ii) Observações informais de como decorreram

as aulas; (iii) Reconstrução de diálogos que se passaram entre os alunos ou entre o pro-

fessor e os alunos; e (iv) A forma como os alunos reagiram às tarefas. Em diversas

39

situações, os dados registados no diário de bordo serão complementados pelo registo

áudio (por exemplo, discussões em grande grupo na aula).

Após reuniões do grupo de trabalho colaborativo será feito um resumo dos

assuntos discutidos de forma a conhecer as implicações que esta unidade de ensino tem

prática das professoras, as potencialidades das tarefas e das dinâmicas da aula e identifi-

car as dificuldades com possam ocorrer durante a unidade de ensino.

Para fazer os registos no diário de bordo, especificamente durante as aulas em

que esteja previsto trabalho em grupo, será construído um guião por grupo. Procurarei

registar situações que me pareceram importantes: questões colocadas, discussões e

negociação de significados face à tarefa, bem como dificuldades sentidas a cada

momento.

Recolha documental. A unidade de ensino prevê o desenvolvimento do tema pro-

porcionalidade directa, suportada por um conjunto de tarefas de diferente natureza. É

sempre suposto que os alunos produzam registos do seu trabalho, em grupo, quando a

actividade é desenvolvida na aula e, individualmente, quando realizada em casa. Assim,

ao longo da concretização da unidade de ensino serão obtidas cópias de todos os regis-

tos escritos produzidos pelos alunos durante as aulas – relatório, registo da resolução de

problemas, ficha de avaliação –, bem como dos trabalhos de casa e da ficha de auto-

avaliação entregue a cada aluno no fim de cada tarefa. Esta ficha de auto-avaliação foi

um documento importante para mim, enquanto professora, no estudo que realizei ante-

riormente (Silvestre, 2006), pois permitiu-me conhecer os sucessos e as dificuldades dos

meus alunos a partir das suas próprias palavras. Além disso, permitiu-me fazer uma

melhor preparação das aulas em que ocorreram as discussões alargadas à turma, tal

como me permitiu seguir com mais proximidade alguns problemas de relacionamento

que podiam dificultar o desenvolvimento das tarefas pelos grupos. Enquanto investiga-

dora, este documento pode ajudar a revelar o modo como os alunos vão dando signifi-

cado ao conceito de proporcionalidade ao longo do desenvolvimento da unidade de

ensino bem como conhecer a sua visão dos seus sucessos e dificuldades.

Pré- e pós-teste. Antes do desenvolvimento da unidade de ensino será realizado

um pré-teste de modo a conhecer as estratégias correctas e erróneas dos alunos perante

problemas envolvendo proporcionalidade directa. No fim do desenvolvimento desta

proposta será aplicado um pós-teste, com questões semelhantes (estrutura de representa-

ção de dados, tipo de problemas sobre proporcionalidade) às do pré-teste, tendo o pro-

pósito de conhecer globalmente se as estratégias e dificuldades dos alunos se alteram ou

40

se mantêm. As respostas às questões serão analisadas através do quadro de análise apre-

sentado por Koellner-Clark e Lesh (2003), que permite uma caracterização qualitativa

do desenvolvimento do raciocínio proporcional face ao desempenho dos alunos nas

tarefas propostas.

Entrevistas. A entrevista constitui uma das principais técnicas de recolhas de dados nos

estudos de caso (Yin, 2003). Como referem Bogdan e Biklen (1994), em investigação qua-

litativa a entrevista pode “constituir a estratégia dominante para a recolha de dados [ou

como nesta investigação, ser utilizada] em conjunto com (…) outras técnicas” (p. 134)

como o diário de bordo e os documentos produzidos pelos alunos. As entrevistas a rea-

lizar serão semi-estruturadas, sendo utilizada uma ficha de trabalho (guião de entrevista)

centrada no tema proporcionalidade directa, tendo em vista conhecer o significado das

respostas dadas pelos alunos. Durante as entrevistas será usado um gravador áudio, sen-

do posteriormente feita a sua transcrição. As entrevistas são realizadas em três momen-

tos diferentes e apenas aos alunos estudados como caso, isto é, depois da realização do

pré-teste, sensivelmente a meio da realização da unidade de ensino e após o pós-teste.

Na última entrevista aos alunos serão também colocadas questões com o objecti-

vo de conhecer os desafios com que se confrontaram para resolver as tarefas da unidade

de ensino bem como as dificuldades com que se depararam.

Também serão feitas duas entrevistas a cada uma das professoras. A primeira

tem como objectivo de recolher elementos para fazer uma pré-selecção dos alunos a

constituir como estudo de caso atendo aos critérios enunciados anteriormente. A escolha

dos casos não fará parte dos pontos da ordem de trabalho das reuniões do grupo colabo-

rativo, de modo a preservar a identidade dos alunos e evitar a criação ainda que não

intencional, de um “modelo” de aluno que sirva ao estudo. A segunda entrevista tem o

objectivo de conhecer, sob o ponto de vista das professoras, as potencialidades da uni-

dade de ensino e de que forma isso se reflecte no desenvolvimento do raciocínio pro-

porcional dos alunos e também as dificuldades com que se depararam no desenvolvi-

mento da unidade de ensino.

Análise dos dados

Antes de iniciar o tratamento dos dados serão atribuídas aos participantes na

investigação – alunos, professores e escolas – designações fictícias, de modo a preservar

o anonimato das informações recolhidas.

41

O processo de análise de dados será concretizado em dois momentos. No primei-

ro, ainda durante a recolha de dados, farei uma análise preliminar de modo a permitir

uma organização e interpretação de todos os elementos recolhidos. O segundo momento

de análise, a realizar depois da conclusão da unidade de ensino terá como objectivo res-

ponder ao problema e às questões da investigação.

Fases do estudo

Este estudo decorre em três fases que correspondem a três anos lectivos (2007-

10), sendo a primeira fase marcada pela construção do problema e questões do estudo,

pelo aprofundamento do quadro teórico e desenvolvimento de um estudo piloto. A

segunda fase inclui o desenvolvimento da unidade de ensino sobre proporcionalidade

directa e a recolha dos dados. Finalmente, a terceira fase tem como foco a análise dos

dados, escrita dos casos e as conclusões, de acordo com o calendário do Anexo 2.

42

Metodologia de Investigação – 1º Ano

2007 2008

Tarefas Set Out Nov Dez Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul

Construção do problema e do quadro teórico geral

Aprofundamento teórico sobre a proporcionalidade directa

Aprofundamento teórico da metodo-logia

Selecção dos professores participan-tes e das turmas do estudo piloto

Unidade de ensino (primeira versão)

Desenvolvimento do estudo piloto

Unidade de ensino (segunda versão)

Selecção das turmas


2008 2009


Aprofundamento teórico sobre a proporcionalidade directa

Aprofundamento teórico da metodo-logia

Grupo de colaboração

Recolha de dados de natureza docu-mental

Recolha de dados nas aulas

Recolha de dados nas entrevistas

Primeira fase da análise de dados

Redacção do desenvolvimento da unidade de ensino

Segunda fase de análise dos dados


2009 2010


Segunda fase de análise dos dados

Redacção dos seis casos

Aprofundamento teórico.

Conclusão dos capítulos da tese

Reflexão final e redacção conclusões

Primeira revisão

Revisão final

43

Organização final do documento do estudo. O trabalho a realizar será orientado pela seguinte estrutura preparatória:

Capítulo 1 – Introdução ......................................................................................................

1.1. Motivação para o estudo ........................................................................................

1.2. Objectivo e questões do estudo ..............................................................................

1.3. Contexto e pertinência do estudo ...........................................................................

Capítulo 2 – Raciocínio Proporcional ................................................................................

2.1. Aspectos que caracterizam o raciocínio proporcional ............................................

Distinção de relações proporcionais das não proporcionais ................................

Compreensão da natureza multiplicativa das relações proporcionais .................

Resolução de vários tipos de problemas ..............................................................

2.2. Desenvolvimento do raciocínio proporcional ........................................................

2.3. Ensino e aprendizagem da proporcionalidade directa ............................................

Capítulo 4 – Contexto de aprendizagem .............................................................................

Capítulo 5 – Unidade de ensino .........................................................................................

5.1. Princípios gerais da unidade de ensino ..................................................................

5.2. Contributos do estudo-piloto ..................................................................................

5.3. Planificação da unidade de ensino ........................................................................

5.4. Tarefas e materiais ................................................................................................

5.5. Instrumentos de avaliação .....................................................................................

Capítulo 6 – Metodologia de investigação .........................................................................

6.1. Opções metodológicas gerais .................................................................................

Uma investigação qualitativa e interpretativa .....................................................

Experiência de ensino ..........................................................................................

Grupo colaborativo ..............................................................................................

Estudos de caso ...................................................................................................

6.2. Preparação da unidade de ensino ...........................................................................

Trabalho preparatório no início do ano ....................................................................

44

Balanço do estudo-piloto ........................................................................................

6.3. Recolha dos dados ..................................................................................................

Observação participante ......................................................................................

Pré-teste e pós-teste .............................................................................................

Recolha documental ............................................................................................

Entrevista .............................................................................................................

6.4. Análise dos dados ...................................................................................................

6.5. Fase do estudo ........................................................................................................

Capítulo 7 – Caso 1 .............................................................................................................

Capítulo 8 – Caso 2 ............................................................................................................

Capítulo 9 – Caso3 .............................................................................................................

Capítulo 10 – Caso 4 ...........................................................................................................

Capítulo 11 – Caso 5 ..........................................................................................................

Capítulo 12 – Caso 6 ..........................................................................................................

Capítulo 1 – Unidade de ensino: potencialidade e dificuldades ........................................

Conclusões .........................................................................................................................

Referências bibliográficas ...................................................................................................

Anexo I ...............................................................................................................................

Anexo II ..............................................................................................................................

45

Referências

Abrantes, P., Serrazina, L., & Oliveira (1999). A Matemática na educação básica. Lis-boa: Ministério da Educação, Departamento da Educação Básica.

APM (1988). A renovação do currículo de Matemática. Lisboa: APM.

Behr, M., Harel, G., Post, T., & Lesh, R. (1992). Rational number, ratio and proportion. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learn-ing (pp. 296-333). NY: Macmillan Publishing. (Versão digital em http://education.umn.edu/rationalnumberproject/92_1.html, em 25/06/2008.)

Ben-Chaim, D., Fey, J., Fitzgerald, W., Benedetto, C., & Miller, J. (1998). Proportional reasoning among seventh grade students with different curricula experiences. Educational Studies in Mathematics, 36, 247-73.

Boavida, A. M. (2005). A argumentação em Matemática: Investigando o trabalho de duas professoras em contexto de colaboração (tese de doutoramento). Lisboa: Universidade de Lisboa.

Boavida, A. M., & Ponte, J. P. (2002). Investigação colaborativa: Potencialidades e problemas. In GTI (Org), Reflectir e investigar sobre a prática profissional (pp. 43-55). Lisboa: APM.

Baroody, A., & Coslick, R. (1998). Fostering children’s mathematical power: An inves-tigative approach in K-8 mathematics instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erl-baum.

Bodgan, R., & Biklen, S. (1994). Investigação qualitativa em educação: Uma introdu-ção à teoria e aos métodos. Porto: Porto Editora.

Bowers, J., Nickerson, S., & Kenehan, G. (2002). Using technology to teach concepts of speed. Making sense of fractions, ratios and proportions. Reston, VA: NCTM.

Brizuela, B. M., & Schliemann, A. D. (2004). Fourth graders solving linear equations. For the Learning of Mathematics, 24(2), 33-40.

Carraher, D. W., Schliemann, A. D., Brizuela, B. M., & Earnest, D. (2006). Arithmetic and Algebra in Early Mathematics Education. Journal for Research in Mathe-matics Education 37(2), 87-115.

Cobb, P., Confrey, J. diSessa, A., Lehrer, R., & Schauble, L. (2003). Design experiments in educational research. Educational Researcher, 32(1), 9-13.

Cockcroft, W. (1982). Mathematics counts. London: Her Majesty’s Stationery Office.

Cramer, K., Post, T., & Currier, S. (1993). Learning and teaching ratio and proportion: Research implications. (Versão digital em http://education.umn.edu/rationalnumberproject/93_4.html, em 12/06/06.)

46

Denzin, N., & Lincoln, Y. (2000). The discipline and the practice of qualitative research. In N. Denzin & Y. Lincoln (Eds.), Handbook of qualitative research (pp.1-28). Thousand Oaks, CA: Sage.

Denzin, N., & Lincoln, Y. (1998). Introduction: Entering the field of qualitative research. In N. Denzin & Y. Lincoln (Eds.), The landscape of qualitative research: Theories and issues (pp.1-35). Thousand Oaks, CA: Sage.

Desgagné, S., Bednarz, N., Lebuis, P., Poirier, L., & Couture, C. (2001). L’approche collabora-tive de recherche en éducation: un rapport nouveau à établir entre recherche et forma-tion. Revue des Sciences de l'Éducation, 27(1), 33-64.

English, L. D., & Halford, G. S. (1995). Mathematics education: Models and processes. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Erickson, F. (1986). Qualitative methods in research on teaching. Em Handbook of re-search on teaching (pp. 119-160). New York, NY: MacMillan.

Gauthier, F. (1987). La validité d'une recherche portant sur des pratiques éducatives, Montréal: Faculté de l’Éducation Permanente, Université de Montréal.

Goodrow, A. & Schliemann, A.D. (2003). Linear function graphs and multiplicative reasoning in elementary school. 27

th International Conference for the Psychology of Mathematics

Education. Honolulu.

Greenes, C., & Findel, C. (1999). Developing students’ algebraic reasoning abilities. In L. V. Stiff & F. R. Curcio (Eds.), Developing mathematical reasoning in grades K-12 (NCTM Yearbook). Reston, VA: NCTM.

Greer, B. (2007). A sense of proportion for social justice. (Versão digital em peo-ple.exeter.ac.uk/PErnest/pome21/Greer%20%20A%20Sense%20of%20Propo, em 23/06/2008.)

Hart, K. (1984). Ratio: Children’s strategies & errors. Windsor: NFER-NELSON.

Kent, L., Arnosky, J., & McMonagle, J. (2002). Using representational contexts to sup-port multiplicative reasoning. Making sense of fractions, ratios and proportions (pp. 145-152). Reston, VA: NCTM.

Karplus, R., Pulos. S., & Stage, E. K. (1983a). Early adolescents' proportional reasoning on rate problems. Educational Studies in Mathematics, 14, 219-233.

Karplus, R., Steven, P. Stage, E. (1983b). Proportional Reasoning of Early Adolescents. In R. Lesh & M. Landan (Eds.). Acquisition of mathematical concepts and proc-esses. Orlando; Academic Press.

Koellner-Clark, K., & Lesh, R. (2003). Whodunit? Exploring proportional reasoning through the footprint problem. School Science and Mathematics. 103(2), 92-97.

Lamon, S.J. (1993a). Ratio and proportion: Children’s cognitive and metacognitive processes. In T.P. Carpenter, E. Fennema, and T.A. Romberg, (Eds.), Rational numbers: An integration of research (pp. 131-156). Mahwah, NJ: Lawrence Erl-baum Associates.

Lamon, S. (1993b). Ratio and proportion: Connecting and children’s thinking. Journal for Research in Mathematics Education, 24, 41-61.

Lamon, S.J. (1995). Ratio and proportion: Elementary didactical phenomenology. In J.T. Sowder and B.P. Schappelle (Eds.), Providing a foundation for teaching

47

mathematics in the middle grades (pp.167-198). Albany, NY: State University of New York Press.

Lamon, S., (1994). Ratio and proportion: Cognitive foundations in unitizing and norm-ing. In G. Harel & J. Confrey (Eds), The development of multiplicative reason-ing in the learning of mathematics (pp. 89-119). Albany, NY: State University on New York Press.

Lessard-Hébert, M., Goyette, G., & Boutin, G. (1990). Investigação qualitativa: Fun-damentos e práticas. Lisboa: Instituto Piaget.

Lo, J., & Watanabe, T. (1997). Developing ratio and proportion schemes: A story of afifth grader. Journal for Research in Mathematics Education, 28(2), 216-236.

MacClain,K., Cobb, P., & Gravemeijer, K. (2000). Supporting students’ ways of rea-soning about data. In M. Burke & F. Curcio (Eds.), Learning mathematics for a new century (NCTM yearbook). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Martinez, M. V., & Brizuela, B. M. (2006). A third grader’s way of thinking about linear function tables. Journal of Mathematical Behavior, 25(4), 285-298.

ME-DEB (1991a). Organização curricular e programas (vol. I). Lisboa: Ministério da Educação, Departamento da Educação Básica.

ME-DEB (1991b). Organização curricular e programas: Ensino Básico 2.º ciclo (vol. I). Lisboa: Ministério da Educação, Departamento da Educação Básica.

ME-DEB (2001). Currículo nacional para o ensino básico: Competências essenciais. Lisboa: Ministério da Educação, Departamento da Educação Básica.

ME-DGIDC (2007). Programa de matemática para o ensino básico. Lisboa: Ministério da Educação, Departamento da Educação Básica.

Misailidou, C., & Williams, J. (2004). Improving performance on ‘ratio’ tasks: Can pu-pils convert their ‘additive approach’? Comunicação apresentada no 10th Inter-national Congress on Mathematical Education (ICME-10). (Versão digital reti-rada de www.icme-organisers.dk/tsg01/Misailidou_rev1.doc., em 30/12/04.)

NCTM (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.

NRC-National Reach Council (1989). Everybody counts: A report to the nation on the future of Mathematics Education. Washington, DC: National Academy Press.

Peled & Carraher, 2007

Ponte, J., & Matos, J. (1992). Processos cognitivos e interacções sociais nas investiga-ções matemáticas. In P. Abrantes, L. C. Leal, & J. P. Ponte (Eds.), Investigar para aprender Matemática (pp. 119-138). Lisboa: Projecto MPT e APM.

Ponte, J. P., Oliveira, H., Brunheira, L., Varandas, J. M., & Ferreira, C. (1999). O traba-lho do professor numa aula de investigação matemática. Quadrante, 7(2), 41-70.

Ponte, J. P., Brocardo, J. e Oliveira, H. (2003). Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Actual

Ponte, J. P. (2006). Estudos de caso em educação matemática. Bolema, 25, 105-132.

48

Ponte, J. P. (2008). Investigar a nossa própria prática: Uma estratégia de formação e de constru-ção do conhecimento profissional. PNA, 2(4), 153-180.

Reason, P. (1988c). The co-operative inquiry group. Em P. Reason (Ed.), Human in-quiry in action. Developments in new paradigm research (pp. 18-38). London: Sage.

Shield, M., & Dole, S. (2002). Investigating textbook presentations of ratio and propor-tion, Proceedings of the Twenty-Fifth Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia. Aukland, NZ: MERGA.

Stake, R. (1994). Case studies. Em N. Denzin & Y. Lincoln (Eds.), Handbook of quali-tative research (pp. 236-247). London: Sage.

Spinillo, A. (1993). As relações de primeira-ordem em tarefas de proporção: Uma outra explicação quando às dificuldades das crianças. Psicologia: Teoria e Pesquisa, 2(9), 349-364.

Spinillo, A. (2002). O papel de intervenções específicas na compreensão da criança sobre proporções. Psicologia: Reflexão Crítica, 15(3), 475-487.

Spinillo, A. (2003). Ensinando proporção a crianças: Alternativas pedagógicas em sala de aula. Boletim do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática Gepem, 43(3), 11-47.

Steffe, L. P. (1983). The teaching experiment in a constructivist research program. In M. Zweng, T. Green, J. Kilpatrick, H. Pollack & M. Suydam (Eds.), Proceed-ings of the Fourth International Congress on Mathematical Education (pp. 469-471). Boston, MA: Birkhauser.

Steffe, L. P., & D’Ambrosio, B. S. (1996). Using teaching experiments to enhance un-derstanding of students’ mathematics. In D. F. Treagust, R. Duit & B. F. Fraser (Eds.), Improving teaching and learning in science and mathematics (pp. 65-76). New York, NY: Teachers College Press, Columbia University.

Steffe, L. P., & Thompson, P. W. (2000). Teaching experiment methodology: Underlying prin-ciples and essential elements. In R. Lesh & A. E. Kelly (Eds.), Research design in ma-thematics and science education (pp. 267-307). Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Streefland, L. (1985). Search for the roots of ratio: Some thoughts on the long term learning process. Educational Studies in Mathematics, 16, 75-94.

Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. Acquisition of mathematics concepts and proc-esses (pp. 127-174). New York, NY: Academic Press.

Vergnaud, G. (1988). Multiplicative structures. Number concept and operations in the middle grades (pp.141-161). Reston, VA: NCTM.

Vergnaud, G. (1997). Algebra, additive and multiplicative structures. Is there any coherence at the early secondary level? Proceedings of the European Research Conference on Ma-thematical Education, Podebrady, pp. 35-45.

Yin, R. (2003). Case study research: Design and methods (3.ª edição). Thousand Oaks, CA: Sage.

49

Anexo I

Tarefas

50

Tarefa 1

O COELHO E A TARTARUGA

Todos os anos se realiza a corrida mais famosa do mundo. Na flores-

ta, os animais esperam ansiosos pelo dia da corrida e riem da sonolência da

tartaruga e dos disparates do coelho. Esta corrida é mais conhecida pelas

trapalhadas do que pelas medalhas.

O presidente

dos coelhos estava

certo que este ano

ganharia e assim o

seu atleta estaria

presente nos Jogos

Olímpicos da

bicharada. Ele pró-

prio tinha treinado

o seu coelho

corredor e por isso ganharia a corrida pela primeira vez. O seu esforço foi

tanto que andou a inspeccionar o trajecto dias antes da prova. Enquanto

isso o treinador da tartaruga divertia-se a andar de patins.

E no dia combinado lá estavam os

atletas prontos para mais uma prova. A

tartaruga Nini e o coelho Barnabé tinham

sido os atletas escolhidos este ano e esta-

vam ansiosos por começar a prova.

51

O esquema mostra a prova realizada pelo coelho e pela tartaruga.

Mais uma vez a história a se repete… São capazes de investigar o que terá acontecido durante a corrida?

Se o percurso da prova tivesse 2000 m, será possível prever o tempo que

cada um dos atletas precisaria para concluir a prova?

Sugestões: - Observem os dados com atenção. - Façam registos do vosso trabalho (ex.: a compreensão da situação, modo

como relacionam os dados, o significado dos números no problema) de modo a facilitar a escrita do vosso relatório.

- Utilizem a folha de cálculo do Excel para representar os dados e para testar as vossas conjecturas.

52

Tarefa 2 O SEGREDO DA TARTARUGA

O coelho Barnabé nem queria acreditar no que tinha acontecido. Tantos

dias a treinar para acabar a corrida atrás de uma tartaruga molengona.

Alguns dias mais tarde o Barna-

bé encontrou a Nini que treinava

para os Jogos Olímpicos. Matreiro

como sempre, o coelho perguntou-

lhe qual tinha sido a estratégia

secreta para ganhar a corrida.

A tartaruga que era mais esperta que o coelho respondeu:

- O segredo para ganhar as corridas está na Matemática.

O coelho ficou a pensar se isso seria mesmo verdade.

Ajudem este coelho tonto. Investiguem a possibilidade de o Barnabé ter

ganho a corrida usando a estratégia da tartaruga Nini.

Sugestões: - Utilizem os dados da tarefa 1. - Façam registos do vosso trabalho (ex.: a compreensão da situação, modo

como relacionam os dados, o significado dos números no problema) de modo a facilitar a escrita do vosso relatório.


53

Tarefa 3 NO PAÍS DAS TARTARUGAS

O país das tartarugas é um sítio muito especial que esconde um mistério.

Resolvam os seguintes problemas e descubram o segredo deste país.

1. Por causa do tamanho das carapaças existem algumas regras na atribui-

ção de tocas. Na tabela estão representados alguns dados recolhidos em

cinco veredas.

● Será possível saber o número de tartarugas que há em qualquer uma

das tocas? Justifiquem a vossa resposta.

● Quantas tartarugas existem em 100 tocas? Apresentem um registo dos

vossos cálculos.

● Quantas tocas serão necessárias para colocar 10 tartarugas? E 10000

tartarugas? Apresentem um registo dos vossos cálculos.

Número de tocas

Número de tartarugas

2 8 7 28 15 60 304 1216 1000 4000

54

2. Um grupo tartarugas vai participar nos Jogos Olímpicos da bicharada. O

rei das tartarugas decidiu oferecer bonés a todos os atletas. À porta da

fábrica dos bonés estava o gráfico seguinte.

● O rei das tartarugas observou o gráfico mas decidiu escrever os dados

numa tabela. Como seria essa tabela?

● Será possível representar os dados de outro modo? Investiguem.

● Quanto custa um boné?

● Quantos bonés se podem comprar com 45 euros? Será possível descobrir

essa quantidade através do gráfico? Justifiquem a vossa resposta.

55

3. As tartarugas treinam para a maratona em pistas especiais que vão mudando de forma e tamanho. É o treinador que constrói as pistas mas nunca diz o que significa a medida M. Serás capaz de descobrir qual é a forma destas pistas? O que significa a medida M em cada tipo de pista?

3.1. Pistas tipo A 3.2. Pistas tipo B 3.3. Pistas tipo C

Medida M (m) Perímetro (m) 50 200 60 240 100 400 250 1000

Medida M (m) Perímetro (m) 50 157 60 188,4 100 314 250 785


56

4. Para transportar as tartarugas atletas até Pequim onde vão participar nos

Jogos Olímpicos, o rei das tartarugas encomendou duas caixas dos cor-

reios.

.

4.1. O rei das tartarugas disse ao carteiro que na caixa A a razão entre o

número de tartarugas nadadoras e o número de tartarugas patinadoras

é 2 para 3. Será verdade?

4.2. Na caixa B, qual é a razão entre o número de tartarugas do salto em

comprimento e o número de tartarugas do salto com vara?

4.3. Escreve a razão entre o número de tartarugas ginastas e o número total

de tartarugas da caixa A? As tartarugas ginastas representam 10% das

tartarugas da caixa A?

4.4. Escreve a razão entre o número de tartarugas patinadoras e o número

total de tartarugas para as caixas A e B.

4.5. É aceitável dizer as caixas A e B transportam tartarugas patinadoras na

mesma proporção?

Caixa A Natação: 2 Remo: 3 Maratona: 5 Salto com Vara:1 Salto em Comprimento: 4 Ginástica:2 Patinagem: 3

Caixa B Natação: 3 Salto com Vara:1 Salto em Comprimento: 1 Hipismo: 2 Ginástica:2 Patinagem: 1

57

5. As tartarugas treinam para a maratona em pistas especiais que vão mudando de forma e tamanho. É o treinador que constrói as pistas mas nunca diz o que significa a medida M. Serás capaz de descobrir qual é a forma destas pistas? O que significa a medida M em cada tipo de pista?

4.1. Pistas tipo A 4.2. Pistas tipo B 4.3. Pistas tipo C


Medida M (m) Perímetro (m) 50 157 60 188,4 100 314 250 785


58

Tarefa 4 O LANCHE DO COELHO

Os coelhos adoram comer cenouras. Aliás, comem tudo o que tenha cenouras, piza de cenoura, bolo de cenoura, sumo de cenoura….

6. O Barnabé depois de mais uma corrida decidiu fazer o seu próprio lanche. Abriu o

livro de receitas e leu uma receita.

1.1. Na receita, qual é a razão entre o peso de farinha e o peso de açúcar?

1.2. O Barnabé disse que a razão entre o

número de colheres de chá de fer-mento e o número de colheres de sopa de puré de cenoura é 5:15. Será verdade?

1.3. Como o Barnabé não tinha os ovos necessários, colocou apenas 2. Adicionou

depois 42 kg de açúcar e

41 kg de farinha. Estão correctas estas quantidades de

açúcar e farinha? Justifica a tua resposta e apresenta a informação de forma organizada.

1.4. Se o Barnabé tivesse usado 12 ovos, quais seriam as quantidades necessárias dos restantes ingredientes? Justifica a tua resposta e apresenta a informação de forma organizada.

Bolo de Cenoura

21

kg de farinha

212 colheres chá de fermento

51

kg de margarina

41

kg de açúcar

217 colheres de sopa de puré cenoura

4 ovos

59

2. O Barnabé decidiu convidar mais coelhos para o lanche e o Maçarico trouxe bola-chas da pastelaria do pai. Como sabia que o pai tinha colocado as duas variedades de bolachas na mesma proporção, dentro das duas caixas, decidiu brincar com os ami-gos. Abriu uma caixa e pediu para observarem.

2.1. Se na segunda caixa estiverem 4 bolachas em forma de estrela, o número de

bolachas circulares é 12. Será que o Maçarico tem razão?

2.2. Se na segundo caixa estivessem 20 bolachas circulares, qual era o número de

bolachas em forma de estrela? Apresenta duas estratégias diferentes para calcu-lares esta quantidade de bolachas.

2.3. Qual é a razão entre o número de bolachas em forma de estrela e o número de bolachas circulares?

2.4 Completa a tabela e descobre qual é a percentagem de bolachas circulares dentro

de cada caixa?

Nº bolachas (estrela) 2

Nº total de bolachas 10 100

60

3. Para o lanche ainda é preciso fazer sumo de cenoura. O Barnabé tinha várias recei-tas.

Concentrado de cenoura (ml)

Água (ml)

Receita A 100 600 Receita B 250 1000 Receita C 320 1920

3.1. Qual é o sumo que sabe mais a cenoura? Apresenta todos os cálculos de forma

organizada e justifica a tua resposta.

3.2. Se o Barnabé usar apenas a receita A, indica as quantidades de concentrado que

devem ser adicionadas às seguintes quantidades de água? Apresenta o teu racio-cínio.

Receita A Concentrado de cenoura (ml) Água (ml)

100 600 500 1000 1200 2500

61

Tarefa 5 A MARATONA DOS COELHOS E MAIS PROBLEMAS

O presidente dos coelhos quer ganhar a próxima corrida e por isso decidiu treinar muitas equipas. Foi a todas as florestas do país dos coelhos e conseguiu reunir algumas dezenas de atletas.

1. Como o presidente dos coelhos não tem tempo para treinar tantos atletas pediu a cada um dos alunos desta turma para treinar uma equipa. Observem com atenção a equipa que está em cima da tua mesa, dela fazem parte coelhos da floresta verde (tampas verdes), da floresta branca (tampas brancas) e da floresta azul (tampas azuis).

1.1. Quantos coelhos existem na tua equipa?

1.2. Completem a tabela e descubram qual é percentagem de coelhos da floresta azul numa equipa.

Coelhos da floresta azul

Total de coelhos

5 100

1.3. Escrevam a razão entre o número de coelhos da floresta branca e o número total de coelhos. Utilizem esta relação e descubram a percentagem de coelhos da flo-resta branca em cada equipa?

1.4. Calculem a percentagem de coelhos da floresta verde em cada equipa. Apresen-tem os dados de um modo organizado e escrevam o vosso raciocínio

62

2. Dos 350 coelhos atletas apenas 20% dos coelhos foram seleccionados para a marato-na. Completem a tabela e indiquem o número de coelhos que vão participar na mara-tona.

Coelhos que

participam maratona Total de coelhos

20 100

350

3. Dos 350 coelhos atletas 12% foram indicados para a marcha. Quantos são os coelhos que vão participar nesta modalidade?

4. Os gémeos Orelhudos fazem parte do grupo de atletas

da corrida de estafeta. Se os gémeos representam ape-

nas 25% do grupo, quantos coelhos vão participar

nesta modalidade? Apresenta os dados de um modo

organizado e escreve o teu raciocínio

63

Tarefa 6 UMA PONTE PARA OS COELHOS

Os coelhos não sabem nadar e detestam aproximar-se de tudo o que tenha água. Na floresta há um rio que é necessário atravessar durante a próxima corrida e como não há canoas para todos os coelhos que vão participar na prova o presidente dos coelhos decidiu contratar um engenheiro de pontes. Os engenheiros testam os materiais usados na construção de prédios, estradas e pontes para conhecerem a sua durabilidade, força e segurança. Ao testar os modelos das construções rapidamente obtêm essas informações. O que vais fazer é uma actividade semelhante para poder construir em esparguete uma ponte para que os coelhos possam atravessar o rio.

Executa os seguintes procedimentos:

Passa uma peça de esparguete pelos orifícios

do copo de plástico (ver figura).

Suspende a estrutura (copo+ esparguete)

entre duas mesas ou cadeiras. Só 1 cm de cada

extremidade do esparguete é que fica sobre a

mesa e cola-as com fita-cola.

Coloca cuidadosamente, um a um, os coelhos (tampas de garrafas) até que o espar-

guete parta. Cada tampa representa um coelhos da história e tem considera que os coe-

lhos atletas têm o mesmo peso.

Repete o mesmo procedimento com 2, 3, 4 e 5 peças de esparguete até que uma ou

mais peças de esparguete se partam.

Será possível determinar o número de coelhos necessários para partir qualquer

ponte construída com esparguete?

Sugestões: - Observem os dados com atenção. - Façam registos do vosso trabalho (ex.: escrever o modo como relacionam os dados;

escrever o significado dos números no problema) de modo a facilitar a escrita do vosso relatório.


64

Tarefa 7 PISTA INTERDITA A COELHOS E OUTRA HISTÓRIA TONTA

1. Os coelhos descobriram uma pista óptima para as suas corridas. E apesar do polícia

Bartolomeu lhes dizer que ali não podiam correr porque a pista era para os aviões, os coelhos teimosos não desistiram. A figura representa o mapa (Escala 1:25000) da pista onde os coelhos querem trei nar.

1.1. O que significa a escala 1:25000 do mapa?

1.2. Completa a tabela e descobre qual é o comprimento real da pista entre os pontos A e B.

Distância no mapa (cm) 1 Distância real (cm) 25000

65

1.3. Se o Barnabé decidir ir do ponto C até à tua escola (marca no mapa um caminho), qual é a distância que terá de percorrer? Apresenta os dados de um modo organiza-do e escreve o teu raciocínio

2. A figura representa uma fotografia do coelho Barnabé.

2.1.Qual é a altura real do coelho se a fotografia tiver uma escala 1: 15? 2.2. Imagina que estavas na fotografia junto ao Barnabé, qual seria a tua altura foto-

grafia?

Anexo II

Planificação a Longo Prazo de Matemática 6.º Ano – 2008/2009

1.º Período Início: 10/15de Setembro Fim: 18 de DezembroFeriados: 5 Out.; 1 Nov. Interrupção: 19 de Dezembro a 04 de Janeiro (Natal) Semanas: 14

2.º Período Início: 05 de Janeiro Fim: 27 de Março Feriados: 24 de Fev. (Carnaval) Interrupção: 23 a 25 de Fevereiro (Carnaval) e 28 de Março a 13 de Abril (Páscoa) Semanas: 11

3.º Período Início: 14 de Abril Fim: 19 de Junho Feriados: 10 e 25 Abr.; 1 Mai.; 10, 11 e 13 Jun. Interrupção: -------- Semanas: 10

Conteúdos Números racionais. Adição e subtracção. Noção de fracção como quociente exacto. Representação e leitura de fracções. Fracção decimal, número decimal e percentagem. Fracções que representam números inteiros e números frac-cionários. Fracções equivalentes. Simplificação de fracções e fracções irredutíveis. Noção de número racional. Comparação de números racionais. Representação de números racionais na recta numérica. Adição e subtracção de números racionais. Propriedades da adição. Expressões numéricas. Resolução de problemas. Estatística. Recolha, organização e interpretação de dados. Média aritmética. Moda. Interpretação da informação. Previsão de acontecimentos. Multiplicação de números racionais. Multiplicação de números racionais. Inverso de um número. Potência de um número. Propriedades da multiplicação. Expressões numéricas. Resolução de problemas.

Conteúdos Divisão de números racionais. Divisão de números racionais. Expressões numéricas. Resolução de problemas que envolvam as operações estu-dadas. Proporcionalidade directa. Resolução de problemas que envolvam a noção de propor-cionalidade directa. Constante de proporcionalidade directa. Razões e proporções. Noção de percentagem. Resolução de problemas sobre percentagens. Noção de escala. Resolução de problemas com escalas. Construção de triângulos. Quadriláteros. Simetria em relação a uma recta. Construção de triângulos. Quadriláteros. Paralelogramos. Simetria em relação a uma recta. Eixos de simetria. Eixos de simetria de triângulos e de paralelogramos.

Conteúdos Cilindro de revolução. Círculo. Planificação da superfície do cilindro. Perímetro do círculo. Áreas. Volumes. Área do paralelogramo. Área do triângulo. Área do círculo. Volume. Medição de volumes. Volume do cilindro. Resolução de problemas com volumes. Números inteiros relativos. Adição e subtracção. Grandezas e números. Números inteiros relativos. Recta numérica. Abcissa de um ponto. Valor absoluto. Números simétricos. Comparação e ordenação. Adição e subtracção.

um estudo sobre o desenvolvimento do raciocínio ... · aspectos que caracterizam o raciocínio ......

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