universidade estadual de santa cruz programa de pÓs

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA – PPGEM
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
O ESTUDO DE SUPERFÍCIES REGRADAS MEDIADO POR
MODELOS DE PCOC NO ENSINO SUPERIOR
ILHÉUS – BA
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – DCET
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA – PPGEM
GRUPO DE PESQUISA EM ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA EM
AMBIENTE COMPUTACIONAL – GPEMAC
O ESTUDO DE SUPERFÍCIES REGRADAS MEDIADO POR
MODELOS DE PCOC NO ENSINO SUPERIOR
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática da Pró-
Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação da
Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC,
como pré-requisito parcial para obtenção do
Título de Mestre em Educação Matemática.
Área de Concentração: Educação Matemática
Orientador: Prof. Dr. Afonso Henriques
ILHÉUS – BA
2021
S725 Sousa, Marcos Felipe Santana de. O estudo de superfícies regradas mediado por modelos de PCOC no ensino superior / Marcos Felipe Santa de Sousa. - Ilhéus, BA : UESC, 2021. 228f. : il. ; anexo. Orientador : Afonso Henriques. Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Santa Cruz. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. Inclui referências.
1. Geometria – Estudo e ensino. 2. Superfícies (matemática). 3.Modelos concretos - Análise. 4. Projetos de construção. I. Hen- Riques, Afonso. II. Título. CDD – 512.5
MARCOS FELIPE SANTANA DE SOUSA
O ESTUDO DE SUPERFÍCIES REGRADAS MEDIADO POR MODELOS DE PCOC
NO ENSINO SUPERIOR.
Pós-Graduação em Educação Matemática – PPGEM,
em cumprimento parcial para a obtenção do título de
Mestre em Educação Matemática.
APROVADA PELA COMISSÃO EXAMINADORA
Examinadora – UESC
DEDICATÓRIA
incentivos
longo dessa jornada
AGRADECIMENTOS
À minha mãe, Adriana, maior responsável por esse sonho tornar-se realidade. Mulher
guerreira que nunca poupou esforços para superar as dificuldades e sempre oferecer as melhores
condições possíveis. Te amo, mamãe!
Ao meu pai, Marcos, por me incentivar e ensinar que a vida não é fácil e é preciso ser
forte para superar as adversidades. Meu velho, você é um exemplo!
À minha irmã, Ana Flávia, pela amizade de sempre. As conversas mais inteligentes
sempre são com você, minha irmã.
Ao Professor e Orientador Dr. Afonso Henriques, por acreditar em mim e compartilhar
seu vasto conhecimento nos encontros do GPEMAC e orientações. Agradeço também pela
paciência e compreensão nos momentos difíceis. Minha eterna gratidão ao senhor, Professor
Afonso.
À Professora Rosane Funato, que me incentivou, cobrou, ensinou e orientou no
momento mais difícil da graduação, dando o pontapé inicial que resultou nesse trabalho. Boss,
espero que continue esse trabalho incrível, você é a melhor.
À Professora Eurivalda e ao Professor André, por aceitarem o convite de compor a banca
e avaliar o trabalho, propondo ricas contribuições à pesquisa.
À Anna Carolina, mulher incrível que entrou na minha vida há pouco tempo e me
acompanhou na reta final. Seu carinho, atenção, auxílio e cobrança foram fundamentais para a
conclusão desse trabalho. Moça, você é demais!
À Maritza e Carlos Augusto, pessoas com quem convivo desde a graduação e que hoje
posso chamar de amigos. Agradeço por vocês serem os melhores colegas desse mestrado.
Espero ter a amizade de vocês sempre.
Aos colegas do curso, em especial Sidnéia, Lânia e Helenita, meninas com quem
compartilhei ótimos momentos em aula, almoços e conversas virtuais. Foi ótimo conhecer
vocês.
proporcionadas para a minha formação profissional. Obrigado por tanto.
À minha bisavó, Maria, pelas orações de proteção.
Aos meus avós Domingos e Railda, pelo apoio para tudo e qualquer necessidade.
Aos meus tios Adriano e Mayara e seus filhos Luís Henrique e Maria Gabriela, pessoas
presentes em todos momentos da minha vida. Viver com vocês é sempre melhor.
Às minhas tias Sônia e Lia, que na verdade são minhas mães. Obrigado por todo
cuidado.
À todos familiares que estavam presentes e me apoiaram ao longo dessa caminhada.
Ao Grupo de Pesquisa em Ensino e Aprendizagem da Matemática em Ambiente
Computacional – GPEMAC, pelas contribuições ao meu trabalho. Agradeço também pelas
discussões proporcionadas ao longo desses anos, fundamentais para a minha formação
profissional.
Enfim, a todos aqueles que participaram direta ou indiretamente na realização desse
sonho, expresso a minha sincera gratidão!
EPÍGRAFE
alguma forma continuamos a viver
naqueles cujos olhos aprenderam a ver o
mundo pela magia da nossa palavra. O
professor, assim, não morre jamais.
(Rubem Alves)
ENSINO SUPERIOR
Nessa Dissertação objetivamos realizar uma análise institucional acerca das Superfícies
Regradas, em um curso de Licenciatura em Matemática, que favoreça a elaboração de Projetos
de Construção de Objetos Concretos (PCOC) (que se leem peceocê), bem como de uma
Sequência Didática em torno desses Projetos. Assim, no desenvolvimento da pesquisa com um
olhar no processo ensino-aprendizagem dessas superfícies, realizamos a análise de cinco
elementos institucionais, a saber: as Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de
Matemática, o Projeto Acadêmico Curricular da instituição de referência, um Livro Didático, a
Tecnologia (software GeoGebra) e os Modelos Concretos Manipuláveis, na perspectiva de
PCOC. Esses últimos foram construídos no Laboratório de Visualização Matemática (L@VIM)
da UESC, mediante a utilização de duas técnicas artesanais denominadas Papietagem e
Palietagem. A primeira técnica exige basicamente a presença de papeis, cola e um molde para
a construção de esculturas. A segunda se utiliza de palitos e elásticos para a ficção de materiais.
A referida construção no L@VIM parte da utilização das potencialidades do ambiente
computacional GeoGebra. Esse ambiente, além de favorecer a obtenção de moldes, permite a
construção das Superfícies Regradas, manipuláveis virtualmente em tempo real na tela do
computador, podendo ser comparadas com os PCOC correspondentes manipuláveis a mão livre
pelo sujeito. Os PCOC que construímos nessa Dissertação são modelos referentes ao estudo de
Superfície Cilíndrica, Superfície Cônica, Hiperboloide de uma folha e Paraboloide Hiperbólico.
Contudo, nos questionamos, como integrar esses modelos na perspectiva de PCOC no processo
ensino-aprendizagem das Superfícies Regradas em Geometria Analítica? Para buscar respostas
para esse questionamento e fundamentar a nossa pesquisa, encontramos elementos de reflexão
em um quadro teórico constituído pela Abordagem Instrumental, pela Teoria Antropológica do
Didático e pela Teoria de Registros de Representação Semiótica. Além disso, adotamos como
metodologia de pesquisa a Análise Institucional & Sequência Didática, proposta em dois
importantes momentos: a Pesquisa Interna e a Pesquisa Externa. Em função do isolamento
social ocorrido no último ano de realização dessa Dissertação, causado pela COVID-19,
restringimos o percurso metodológico na Pesquisa Interna. Os resultados obtidos revelam que
existe escassez de trabalhos sob a ótica da Educação Matemática, comprovada a partir da
revisão de literatura, sobre as Superfícies Regradas propostas em Geometria Analítica, e a
ausência de situações de estudos ou praxeologias completas, mediante a gestão de tarefas,
capazes de inverter o modelo praxeológico dominante na instituição de referência, que valoriza
o tratamento algébrico para o acesso de objetos correspondentes no registro gráfico, em
detrimento do processo inverso. Esse último processo ou praxeologia de Geometria à Álgebra,
permitiu responder a nossa questão apresentada acima, utilizando os PCOC.
PALAVRAS-CHAVE: Modelos Concretos. Análise Institucional & Sequência Didática.
Geometria Analítica. Referências Teóricas. PCOC.
THE STUDY OF RULED SURFACES MEDIATED BY PCOC IN
HIGHER EDUCATION
ABSTRACT
In this Dissertation we aim to carry out an institutional analysis about the Ruled Surfaces, in a
Mathematics Degree course, which favors the elaboration of Concrete Object Construction
Projects (PCOC), as well as a Didactic Sequence around these Projects. Thus, in the
development of research with a look at the teaching-learning process of these surfaces, we
carried out the analysis of five institutional elements, namely: the National Curriculum
Guidelines for Mathematics courses, the Academic Curricular Project of the reference
institution, a Didactic Book, the Technology (GeoGebra software) and the Manipulable
Concrete Models, from the perspective of PCOC. The latter were built at the UESC's
Mathematical Visualization Laboratory (L@VIM), using two artisanal techniques called
Papietagem and Palietagem. The first technique basically requires the presence of paper, glue
and a mold for the construction of sculptures. The second uses sticks and rubber bands for the
fiction of materials. The aforementioned construction in L@VIM is based on the use of the
potential of the GeoGebra computing environment. This environment, in addition to favoring
the acquisition of molds, allows the construction of Regulated Surfaces, which can be
manipulated virtually in real time on the computer screen, and can be compared with the
corresponding PCOCs which can be manipulated by the individual on freehand. The PCOCs
that we built in this Dissertation are models referring to the study of Cylindrical Surface,
Conical Surface, Hyperboloid of a leaf and Hyperbolic Paraboloid. However, we ask ourselves,
how to integrate these models in the PCOC perspective in the teaching-learning process of Rule
Surfaces in Analytical Geometry? To find answers to this question and to base our research, we
found elements of reflection in a theoretical group constituted by the Instrumental Approach,
the Anthropological Theory of Didactics and the Registers of Semiotic Representation Theory.
In addition, we adopted the Institutional Analysis & Didactic Sequence as a research
methodology, proposed in two important moments: Internal Research and External Research.
Due to the social isolation that occurred in the last year of this Dissertation, caused by COVID-
19, we restricted the methodological path in Internal Research. The results obtained reveal that
there is a scarcity of works from the perspective of Mathematical Education, proven from the
literature review, on the Rule Surfaces proposed in Analytical Geometry, and the absence of
complete study situations or praxeologies, through task management, capable of to invert the
prevailing praxeological model in the reference institution, which values algebraic treatment
for the access of corresponding objects in the graphic register, to the detriment of the reverse
process. This last process or praxeology from Geometry to Algebra, allowed us to answer our
question presented above, using the PCOC.
KEYWORDS: Concrete Models. Institutional Analysis & Didactic Sequence. Analytical
Geometry. Theoretical References. PCOC.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Exemplo de união de retas que compõem Superfícies Regradas .............................. 28
Figura 2: Exemplos mais simples de Superfícies Regradas dados por Flôres (2012) .............. 30
Figura 3: Exemplos de superfícies generalizadas considerados por Oliveira e Almeida (2016) .. 32
Figura 4: Modelo de Situações de Atividades Instrumentais (SAI) na teoria .......................... 44
Figura 5: Ilustração de um sujeito (pesquisador) estabelecendo uma relação com objeto do saber
mediante a leitura ........................................................................................................................ 44
Figura 6: Ilustração da interface do GeoGebra 3D na relação sujeito-instrumento ................. 45
Figura 7: Visualização da relação de GeoGebra com um crivo de uma Superfície Regrada ... 45
Figura 8: Modelo SAI na prática do pesquisador durante a Pesquisa Interna .......................... 46
Figura 9: Área de trabalho inicial do GeoGebra....................................................................... 47
Figura 11: Modelo SAI na Pesquisa Externa............................................................................ 50
Figura 13: Relações entre os elementos primitivos da TAD .................................................... 55
Figura 14: Relações institucionais a um instrumento ............................................................... 56
Figura 15: Visualização do modelo PCOC em mão de um sujeito .......................................... 59
Figura 16: Sistema de coordenadas cartesianas ortogonal tridimensional ............................... 61
Figura 17: Ilustração de um processo de comparação de métricas do PCOC .......................... 61
Figura 18: Representação do modelo PCOC no registro gráfico em ambiente papel/lápis ..... 62
Figura 19: Possíveis registros de representações de um objeto matemático ............................ 65
Figura 20: Tratamento, conversão e coordenação de representações de um objeto entre registros .... 68
Figura 21: A IES e algumas micros instituições ...................................................................... 71
Figura 22: Os momentos e fases da AI&SD ............................................................................ 73
Figura 23: Esquema organizacional de uma Sequência Didática ............................................. 78
Figura 24: Estruturas organizacionais do LD ........................................................................... 87
Figura 25: Esquema de análise do LD na EOL ........................................................................ 88
Figura 26: Visualização de uma base no registro gráfico ......................................................... 94
Figura 27: Visualização dos eixos coordenados e dos planos coordenados no registro gráfico ... 95
Figura 28: Ilustração da distinção de representações de um vetor e de um ponto ................... 96
Figura 29: Representação de um campo vetorial genérico em que M, N e P são funções
escalares .................................................................................................................................... 96
Figura 30: Representações nos registros gráfico e algébrico da elipse .................................... 98
Figura 31: Representações nos registros gráfico e algébrico da hipérbole............................. 100
Figura 32: Representações nos registros gráfico e algébrico da parábola .............................. 101
Figura 33: Representações, no registro gráfico, de reta secante a uma curva ........................ 103
Figura 34: Representação de uma reta tangente e uma reta normal em uma elipse ............... 104
Figura 35: Visualização de Reta tangente a uma hipérbole e a uma parábola ....................... 105
Figura 36: Visualização de uma superfície cônica circular reta no registro gráfico .............. 106
Figura 37: Seções cônicas ...................................................................................................... 106
Figura 38: Interseção da Superfície Cônica com o plano de equação = 2 .......................... 107
Figura 39: Interseção da Superfície Cônica com o plano de equação = 0 .......................... 108
Figura 40: Interseção da Superfície Cônica com os planos de equação = 0 e = 0 ......... 108
Figura 41: O hiperboloide de uma folha e suas interseções ................................................... 114
Figura 42: Esculturas com aspectos de um hiperboloide de uma folha.................................. 115
Figura 43: Crivo de hiperboloide de uma folha obtido com linha e argola ............................ 115
Figura 44: Construção do paraboloide hiperbólico ................................................................ 125
Figura 45: Representações no registro gráfico das quádricas cilíndricas ............................... 127
Figura 46: Quádrica cônica e as interseções com os planos coordenados.............................. 129
Figura 47: Representação no registro gráfico de um plano .................................................... 132
Figura 48: Representação de uma superfície cilíndrica .......................................................... 133
Figura 49: Representação, no registro gráfico, de vetor diretor ............................................. 134
Figura 50: Elementos de uma Superfície Cilíndrica ............................................................... 134
Figura 51: Translação da curva em uma Superfície Cilíndrica ........................................... 135
Figura 52: Representação de uma Superfície Cônica ............................................................. 138
Figura 53: Elementos de uma Superfície Cônica ................................................................... 138
Figura 54: Translação da curva em uma Superfície Cônica ............................................... 139
Figura 55: Interface do site do GeoGebra .............................................................................. 146
Figura 56: Interface inicial do software GeoGebra ................................................................ 146
Figura 57: Interface da janela de visualização 3D do GeoGebra ........................................... 147
Figura 58: Interação entre as duas janelas de visualizações do GeoGebra ............................ 147
Figura 59: Construção das curvas de níveis do Hiperboloide de uma folha .......................... 150
Figura 60: Pontos pertencentes às curvas de níveis do Hiperboloide de uma folha ............... 151
Figura 61: Curvas de níveis do Hiperboloide de uma folha ................................................... 152
Figura 62: Recorte das seções planas ..................................................................................... 152
Figura 63: Construção do pré-molde do Hiperboloide de uma folha ..................................... 153
Figura 64: Construção do molde do Hiperboloide de uma folha ........................................... 154
Figura 65: Construção da superfície ....................................................................................... 155
Figura 66: Construção do Hiperboloide de uma folha ........................................................... 156
Figura 67: Interseção da Superfície Cilíndrica com planos paralelos ao plano_xy ................ 157
Figura 68: Representações, nos registros algébrico e gráfico, da circunferência de raio igual a
quatro ...................................................................................................................................... 157
Figura 69: Recorte do papel ofício ......................................................................................... 158
Figura 70: Construção do molde da Superfície Cilíndrica mediante aplicação da técnica de
Papietagem .............................................................................................................................. 158
Figura 71: Modelo concreto da Superfície Cilíndrica obtido mediante aplicação da técnica de
Papietagem ............................................................................................................................. 159
Figura 72: Visualização de interseções da Superfície Cônica com planos paralelos ao plano_ ... 159
Figura 73: Construção das curvas de níveis da Superfície Cônica ......................................... 160
Figura 74: Curvas de níveis da Superfície Cônica ................................................................. 160
Figura 75: Recorte e colagem da região plana da Superfície Cônica ..................................... 161
Figura 76: Construção do pré-molde e do molde da Superfície Cônica ................................. 161
Figura 77: Modelo concreto da Superfície Cônica obtido através da técnica de Papietagem .. 161
Figura 78: Interseção do Paraboloide Hiperbólico com planos paralelos ao plano_ ......... 162
Figura 79: Parábola de equação = −8225 + 8 ................................................................ 163
Figura 80: Parábolas de equações = −24 + 4 e = −8225 + 8 ..................................... 163
Figura 81: Curvas de níveis do Paraboloide Hiperbólico ....................................................... 164
Figura 82: Construção do pré-molde e do molde do Paraboloide Hiperbólico ...................... 165
Figura 83: Modelo concreto do Paraboloide Hiperbólico obtido através da técnica de
Papietagem ............................................................................................................................. 165
Figura 84: Medidas das argolas e dos palitos para construção da Superfície Cilíndrica........ 167
Figura 85: Construção do modelo concreto da Superfície Cilíndrica com a técnica de
Palietagem .............................................................................................................................. 167
Figura 86: Modelo concreto da Superfície Cilíndrica com a técnica de Palietagem .............. 168
Figura 87: Medidas das argolas e dos palitos para construção da Superfície Cônica ............ 168
Figura 88: Construção do modelo concreto da Superfície Cônica com a técnica de Palietagem
................................................................................................................................................ 169
Figura 89: Construção da estrutura do Paraboloide Hiperbólico ........................................... 170
Figura 90: Construção do modelo concreto do Paraboloide Hiperbólico com a técnica de
Palietagem .............................................................................................................................. 170
Figura 91: Construção da estrutura do Hiperboloide de uma folha ........................................ 171
Figura 92: Construção do modelo concreto do Hiperboloide de uma folha com a técnica de
Palietagem .............................................................................................................................. 171
Figura 93: Visualização do PCOC da Superfície Cilíndrica obtido através da técnica de
Papietagem ............................................................................................................................. 175
Figura 94: Representação do modelo de PCOC da Superfície Cilíndrica no ambiente
papel/lápis ............................................................................................................................... 176
Figura 95: PCOC da Superfície Cilíndrica obtido através da técnica de Palietagem ............. 183
Figura 96: Representação do modelo de PCOC da Superfície Cilíndrica no ambiente
papel/lápis ............................................................................................................................... 184
Figura 97: Visualização das medidas do PCOC da Superfície Cônica obtido através da técnica
de Papietagem ......................................................................................................................... 186
Figura 98: Representação do modelo de PCOC da Superfície Cônica no ambiente papel/lápis ... 187
Figura 99: Traços da Superfície Cônica no plano_ ............................................................ 190
Figura 100: PCOC da Superfície Cônica obtido através da técnica de Palietagem ............... 194
Figura 101: Representação do modelo de PCOC da Superfície Cônica no ambiente papel/lápis . 195
Figura 102: Visualização das medidas do PCOC do Hiperboloide de uma folha obtido através
da técnica de Papietagem ........................................................................................................ 197
Figura 103: Representação do modelo de PCOC do Hiperboloide de uma folha no ambiente
papel/lápis ............................................................................................................................... 198
Figura 104: Técnica de aproximação para determinar valor do elemento .......................... 202
Figura 105: Medidas do PCOC do Hiperboloide de uma folha obtido através da técnica de
Palietagem .............................................................................................................................. 206
Figura 106: Representação do modelo de PCOC do Hiperboloide de uma folha no ambiente
papel/lápis ............................................................................................................................... 207
Figura 107: Visualização das medidas do PCOC do Paraboloide Hiperbólico obtido através da
técnica de Papietagem ............................................................................................................ 208
Figura 108: Medidas do PCOC do Paraboloide Hiperbólico obtido através da técnica de
Papietagem ............................................................................................................................. 209
Figura 109: Representação do modelo de PCOC do Paraboloide Hiperbólico no ambiente
papel/lápis ............................................................................................................................... 209
Figura 110: Manipulação e medidas do PCOC do Paraboloide Hiperbólico obtido através da
técnica de palietagem.............................................................................................................. 215
Figura 111: Representação do modelo de PCOC do Paraboloide Hiperbólico no ambiente
papel/lápis ............................................................................................................................... 216
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Obras analisadas cujo objeto de estudo são as Superfícies Regradas ..................... 27
Quadro 2: Obras analisadas de objetos matemáticos diversos ................................................. 33
Quadro 3: Conjectura da interseção de duas Superfícies ......................................................... 48
Quadro 4: Exemplo de Gerador de Tarefa acerca das Superfícies Regradas envolvendo o
GeoGebra ................................................................................................................................. 49
Quadro 5: Modelo Praxeológico de Gestão de Tarefas (MPGT) ............................................. 58
Quadro 6: Gerador de tarefa em Geometria Analítica envolvendo uma Superfície Regrada .. 58
Quadro 7: Visualização de uma Superfície Regrada nos diferentes registros .......................... 66
Quadro 8: Elementos constituintes de uma Instituição ............................................................ 71
Quadro 9: Etapas do percurso metodológico da AI&SD ......................................................... 74
Quadro 10: Elementos Institucionais selecionados para análise .............................................. 76
Quadro 11: Estruturas organizacionais do Livro Didático ....................................................... 77
Quadro 12: Elementos Institucionais selecionados para análise .............................................. 80
Quadro 13: Competências e habilidades esperadas dos formados em Bacharelado e
Licenciatura em Matemática .................................................................................................... 81
Quadro 14: Capacidades próprias ao licenciado em Matemática ............................................. 82
Quadro 15: Habilidades e competências do futuro Professor de Matemática .......................... 85
Quadro 16: Ementa de Geometria Analítica no curso de Licenciatura em Matemática da
UESC ........................................................................................................................................ 86
Quadro 17: Bibliografia básica da disciplina de Geometria Analítica na UESC ..................... 86
Quadro 18: Referência do LD analisado .................................................................................. 88
Quadro 19: Estrutura organizacional global do Livro Didático ............................................... 89
Quadro 20: Estrutura organizacional regional do capítulo 13 .................................................. 91
Quadro 24: Estrutura Organizacional Local da seção única do capítulo 13 ............................. 93
Quadro 25: Definições de vetor e base ..................................................................................... 94
Quadro 26: Definições da seção 13.1 ....................................................................................... 95
Quadro 27: Estrutura Organizacional Local da seção 22.1 ...................................................... 97
Quadro 28: Definição de elipse ................................................................................................ 97
Quadro 29: Definição de hipérbole .......................................................................................... 99
Quadro 30: Definição de parábola .......................................................................................... 101
Quadro 31: Estrutura Organizacional Local da seção 22.4 .................................................... 102
Quadro 32: Definição de reta secante a uma curva ................................................................ 102
Quadro 33: Definições de reta tangente e reta normal à Elipse.............................................. 103
Quadro 34: Definições de reta tangente e reta normal à hipérbole ........................................ 103
Quadro 35: Definições de reta tangente e reta normal à parábola .......................................... 103
Quadro 38: Tarefa de interseção de Superfície Cônica com planos ....................................... 107
Quadro 40: Definição de Quádrica ......................................................................................... 109
Quadro 42: Definição de um Elipsoide .................................................................................. 110
Quadro 44: Definição de Hiperboloide de uma folha ............................................................. 111
Quadro 45: Definição de Superfícies Regradas ...................................................................... 116
Quadro 46: Apresentação do exemplo realizado pelos autores do LD................................... 116
Quadro 47: Tarefa reelaborada sobre o Hiperboloide de uma folha ...................................... 117
Quadro 48: Tarefas que compõem a técnica na resolução da t1 do GT4 ............................... 117
Quadro 51: Técnica na resolução da t4 do GT4 ..................................................................... 120
Quadro 52: Definição de Hiperboloide de duas folhas ........................................................... 121
Quadro 54: Definição de Paraboloide .................................................................................... 121
Quadro 55: Definição de Paraboloide Hiperbólico ................................................................ 122
Quadro 57: Definição de Quádrica Cilíndrica ........................................................................ 125
Quadro 59: Definição de Quádrica Cônica............................................................................. 127
Quadro 61: Equações reduzidas das Superfícies Regradas .................................................... 130
Quadro 63: Definição de Superfície ....................................................................................... 131
Quadro 65: Definição de Superfície Cilíndrica ...................................................................... 133
Quadro 66: Definição de vetor diretor .................................................................................... 134
Quadro 68: Tarefa reelaborada sobre a Superfície Cilíndrica ................................................ 136
Quadro 69: Técnica de resolução da t1 do GT5 ..................................................................... 136
Quadro 72: Definição de Superfície Cônica ........................................................................... 137
Quadro 74: Tarefa reelaborada sobre a Superfície Cônica ..................................................... 139
Quadro 78: Definição de Superfície de Rotação .................................................................... 143
Quadro 79: Ferramentas do GeoGebra utilizadas nessa Dissertação. .................................... 148
Quadro 80: Materiais utilizados na aplicação da técnica Papietagem .................................... 149
Quadro 81: Observações úteis na consolidação do 10o passo ................................................ 154
Quadro 82: Dispositivo Experimental .................................................................................... 173
Quadro 83: Ordem de apresentação da análise a priori das superfícies ................................. 174
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ABIN Abordagem Instrumental
BDTD Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações
GPEMAC Grupo de Pesquisa em Ensino e Aprendizagem da Matemática em Ambiente
Computacional
JVRA Janela de Visualização do Registro Algébrico
JVRG Janela de Visualização do Registro Gráfico
L@VIM Laboratório de Visualização Matemática
LD Livro Didático
PAC Projeto Acadêmico Curricular
SD Sequência Didática
TCC Trabalho de Conclusão de Curso
TRRS Teoria de Registros de Representação Semiótica
UESC Universidade Estadual de Santa Cruz
SUMÁRIO
1.2 Objetivo Geral ................................................................................................................. 24
1.3 Organização da Dissertação ............................................................................................ 25
2. REVISÃO DE LITERATURA .......................................................................................... 27
2.1 Análise de obras Superfícies Regradas como objeto matemático de referência ............. 27
2.2 Análise de obras no domínio da Geometria que utilizam softwares ou MCM ............... 32
2.3 Considerações sobre a Revisão de Literatura ................................................................. 40
3. QUADRO TEÓRICO ........................................................................................................ 42
3.2 Teoria Antropológica do Didático .................................................................................. 52
3.2.1 Relação Pessoal e Relação Institucional com um objeto ......................................... 54
3.2.2 Relação institucional a um instrumento ................................................................... 55
3.2.3 Abordagem Praxeológica ......................................................................................... 56
4. METODOLOGIA ............................................................................................................... 70
5.1 Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática ................................... 80
5.2 O Projeto Acadêmico Curricular (PAC) ......................................................................... 83
5.3 O Livro Didático (LD) .................................................................................................... 87
5.3.1 Estrutura Organizacional Global do LD................................................................... 89
5.3.2 Estrutura Organizacional Regional do LD ............................................................... 91
5.3.3 Estrutura Organizacional Local do LD .................................................................... 93
5.3.3.1.1 Análise Local da seção 13.1 ........................................................................... 93
5.3.3.2.1 Análise Local da seção 22.1 ........................................................................... 97
5.3.3.2.2 Análise Local da seção 22.2 ......................................................................... 102
5.3.4 Considerações sobre a análise do LD ..................................................................... 143
5.4 O GeoGebra .................................................................................................................. 145
5.5 Os PCOC ....................................................................................................................... 149
5.5.2 Palietagem .............................................................................................................. 166
5.5.2.4 Palietagem do Hiperboloide de uma folha ...................................................... 171
5.6 Sequência Didática ....................................................................................................... 172
5.6.1 Análise a priori das tarefas do dispositivo experimental ....................................... 174
5.6.1.1 Análise a priori – PCOC representante da Superfície Cilíndrica .................... 174
5.6.1.2 Análise a priori – PCOC representante da Superfície Cônica ......................... 186
5.6.1.3 Análise a priori – PCOC representante do Hiperboloide de uma folha ........... 197
5.6.1.4 Análise a priori – PCOC representante do Paraboloide Hiperbólico .............. 208
6. CONSIDERAÇÕES ......................................................................................................... 219
1. INTRODUÇÃO
Durante a minha1 formação inicial na Instituição de Ensino Superior (IES) designada
Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), em Ilhéus, Bahia, Brasil, cursando a Licenciatura
em Matemática, deparei-me com duas atividades vistas por muitos, como “ruins”, “loucuras”
ou até mesmo sem futuro, que são: estudar a Matemática e dedicar-me à profissão de Professor2.
A primeira é considerada por alguns como a pior disciplina e, a segunda, como uma profissão
pouco respeitada e não valorizada no Brasil. Ambas as atividades se estabeleceram como
grandes desafios para mim, nesse curso que concluí no segundo semestre de 2018. Mas, qual
foi a grande motivação para eu suplantar esses desafios?
Tudo começou ainda no Ensino Médio, onde conheci duas faces da Matemática: a
primeira consiste naquela que a maioria dos alunos tem acesso ou está habituada a praticar,
notadamente, a resolução de problemas com base nos conhecimentos, estritamente, algébricos.
A segunda refere-se àquela que pode ser notável no dia-a-dia, perceptível e palpável, podendo
ser tratada, além da mobilização de conhecimentos algébricos ou aritméticos, ou de ambos os
conhecimentos, no contexto geométrico.
No tocante a segunda atividade sublinhada acima, tive uma Professora de Matemática,
no 2º ano do Ensino Médio, que utilizava diferentes instrumentos didáticos, tais como
“materiais concretos manipuláveis”3 e softwares4 matemáticos, que antes eu não conhecia, mas
que tornavam as aulas mais atraentes, no sentido de que estes permitiam o acesso aos objetos
matemáticos de forma dinâmica ou palpável pelos alunos, em diferentes configurações do que
eu estava acostumado até o 1º ano do Ensino Médio. Essa prática me permitia o contato com a
Geometria, a partir da utilização de instrumentos, e se constituía como uma nova forma de
aprender a Matemática, despertando o meu interesse em aprofundar os meus estudos no
domínio geométrico, enquanto uma das partes da Matemática. Desse modo, ficava claro para mim
que o caminho para isso era cursar a Licenciatura em Matemática e, foi esse o caminho que eu segui.
Durante a graduação, em sua maior parte, deparei-me, novamente, com a primeira face
da Matemática, cuja ênfase era dada em teoremas, corolários, lemas, resolução de problemas
1 Durante a apresentação da motivação pessoal do autor será utilizado o verbo na primeira pessoa do singular. 2 O termo Professor será e deveria sempre ser escrito com a letra P Maiúscula, pois este é um profissional que
merece e deve ser respeitado como os outros. O simples gesto de aplicar essa letra engrandece também a sua
personalidade (HENRIQUES, 2019, p. 13). 3 É todo instrumento ergonômico e cognitivo, tangível a mão livre, capaz de permitir a gestão de conhecimentos,
sendo, portanto, útil no processo ensino-aprendizagem de objetos de saberes institucionais. (HENRIQUES, 2019,
p. 33) 4 A citar, particularmente o GeoGebra e o Cabri-Géomètre.
22
Geometria Analítica, Geometria Descritiva e Desenho Geométrico, em que a Geometria ocupa
um espaço significativo, no sentido de que a maioria dos objetos de estudo visados passa pela
mobilização de conhecimentos geométricos. De alguma maneira, em alguns momentos aquela
outra face da Matemática (a segunda) estava presente, mas era com a menor parcela do tempo
durante o desenvolvimento dos estudos visados.
Vale sublinhar que no decorrer do referido curso de graduação, tive a oportunidade de
fazer parte do Grupo de Pesquisa em Ensino e Aprendizagem da Matemática em Ambiente
Computacional (GPEMAC), mediante ao convite que obtive da minha orientadora de Trabalho
de Conclusão de Curso (TCC), que é uma das coordenadoras desse grupo. Os estudos e
atividades realizados durante os encontros semanais do GPEMAC, no Laboratório de
Visualização Matemática (L@VIM) da UESC, visam, dentre outros aspectos, o tratamento da
Matemática mediante a utilização de Materiais Concretos Manipuláveis (MCM) e de softwares
matemáticos, preocupando-se, essencialmente, com o processo ensino-aprendizagem5.
Foi nesse âmbito que passei a relacionar-me com aquela face da Matemática que a minha
Professora de Matemática do 2º ano no Ensino Médio começou a apresentar, quando utilizava
diferentes instrumentos didáticos. Com efeito, em concordância com as atividades
desenvolvidas no GPEMAC, diferentes inquietações continuaram a emergir em torno das
minhas concepções matemáticas. Dentre elas, a seguinte: como poderia integrar-me,
efetivamente, nas atividades realizadas neste grupo, de modo que aprofundasse os meus
conhecimentos no domínio geométrico, que contribuíssem no desenvolvimento do meu TCC?
No decorrer do tempo, com as atividades realizadas nesse grupo, assim como no Curso
de Licenciatura em Matemática, percebi a diversidade de possibilidades de estudos
proporcionados pelo domínio geométrico, interessando-me particularmente com uma parcela
dela que consiste no objeto matemático denominado “Superfícies Regradas”, pois, a
organização matemática deste, permite a mobilização de saberes de objetos geométricos tais
como curvas e superfícies úteis na construção de MCM.
É importante apresentarmos, de antemão, a definição do referido objeto matemático, ou
seja, a Superfície Regrada. Uma Superfície Regrada é uma reunião, conveniente, de retas que
obedecem a uma determinada regra. Superfícies: Cônica, Cilíndrica e Plana, bem como um
Hiperboloide de uma folha, são exemplos de Superfícies Regradas.
5 Ver na primeira etapa do nosso percurso metodológico sobre as escolhas que fizemos em relação à utilização
simultânea das palavras ensino e aprendizagem.
23
Além de realizar um estudo teórico acerca destas superfícies, no referido TCC, no
contexto puramente matemático, construímos6 materiais concretos manipuláveis a mão livre,
destinados aos estudos desse tipo de superfície, utilizando as técnicas denominadas
“Papietagem e Palietagem”7. Paralelamente a isso, buscamos a compreensão desse objeto
matemático por meio de representações correspondentes em diferentes registros, contando, para isso,
com as potencialidades dos ambientes computacionais Maple e GeoGebra no âmbito instrumental.
Com isso, durante a defesa do mencionado TCC, foi proposto, pela banca avaliadora,
que aprofundássemos os estudos nesse domínio, realizando, inclusive, a aplicação do material
que construímos, envolvendo sujeitos das IES, em particular estudantes, para avaliar as
potencialidades efetivas do referido material. Com essa proposta da banca, me parecia evidente
prosseguir com os meus estudos no âmbito de Pós-Graduação em Educação em Matemática
(PPGEM), por ser o domínio ou área de trabalhos que possibilita espaço de investigação
envolvendo a referida sugestão. Assim, sabendo da existência desse Programa na UESC, que
no mesmo ano da defesa publicou um edital do processo seletivo, não perdi a oportunidade para
candidatar-me nesse processo. Para a minha felicidade, fui aprovado.
Ao ingressar no PPGEM, no primeiro semestre do ano de 2019, achei por bem da minha
formação continuada direcionar as minhas pesquisas, na perspectiva de Educação Matemática,
continuando no GPEMAC, que é também um grupo ligado a esse programa, considerando o
caminho que vinha percorrendo ao longo da graduação, retomando assim a pesquisa realizada
para o desenvolvimento do TCC.
Contudo, no início do ano de 2020, o Congresso Nacional Brasileiro decretou8 estado
de calamidade pública devido à emergência de saúde de importância internacional relacionada
à pandemia do novo coronavírus (Covid-19). Um dos efeitos desse decreto incidiu na suspensão
das aulas presenciais nas Instituições de Ensino sem definição do tempo de suas retomadas,
impactando diretamente no propósito de muitas pesquisas, em particular na nossa que tinha
como objetivo principal: “analisar as práticas efetivas mobilizadas pelos estudantes de uma IES
quando utilizam, simultaneamente, os MCM das Superfícies Regradas e as técnicas do
ambiente papel/lápis na realização de tarefas referentes a essas superfícies”.
Em conformidade com a metodologia que adotamos, a referida análise depende da
aplicação de uma Sequência Didática (SD) aos estudantes em sala de aula ou laboratório de
ensino presencial. Não obstante, diante desse cenário, com um olhar na vigência
6 O procedimento de construção desses materiais será apresentado posteriormente nessa Dissertação. 7 A Papietagem e a Palietagem são técnicas artesanais distintas, e serão descritas posteriormente nessa Dissertação. 8 Decreto Edição 55-C, publicado em 20/03/2020 no Diário Oficial da União.
24
predeterminada para a realização do Mestrado no Brasil, foi necessário reelaborar os objetivos
dessa Dissertação e, consequentemente, a nossa questão de pesquisa, deixando a aplicação da
SD como perspectiva futura.
Assim, considerando os estudos que são frequentemente realizados no GPEMAC,
proporcionando elementos teóricos de análise de fenômenos emergentes no processo ensino-
aprendizagem, mais especificamente a Abordagem Instrumental, proposta por Rabardel (1995),
a Teoria Antropológica do Didático, proposta por Chevallard (1992) e a Teoria de Registros de
Representação Semiótica, proposta por Duval (1993), juntamente com as discussões realizadas nas
orientações, reformulamos a nossa questão de pesquisa que buscamos responder, como segue:
1.1 Questão de Pesquisa
Quais são os elementos de uma Noosfera necessários em uma análise institucional
acerca das Superfícies Regradas, em um curso de Licenciatura em Matemática, que
favorecem a elaboração de Projetos de Construção de Objetos Concretos (PCOC), bem
como de uma Sequência Didática em torno desses Projetos, visando a integração desses
PCOC no processo ensino-aprendizagem em Geometria Analítica?
Este questionamento sugere a apresentação do seguinte objetivo geral da nossa pesquisa
que almejamos alcançar.
1.2 Objetivo Geral
Realizar uma análise institucional acerca das Superfícies Regradas, em um curso de
Licenciatura em Matemática, que favoreça a elaboração de Projetos de Construção de
Objetos Concretos (PCOC), bem como de uma Sequência Didática em torno desses
Projetos visando a integração desses PCOC no processo ensino-aprendizagem em
Geometria Analítica.
Considerando a nossa questão e o objetivo geral da pesquisa, apresentamos, a seguir, os
nossos objetivos específicos como delimitadores do caminho que percorremos com base na
metodologia que adotamos que será descrita posteriormente, proposta por Henriques (2016),
em dois momentos denominados Pesquisa Interna e Pesquisa Externa, visando responder a
nossa questão e, por conseguinte, alcançarmos o nosso objetivo geral. Para favorecer a nossa
comunicação, consideramos que seja importante apresentar, de antemão, a definição de cada
um dos momentos de pesquisa, propostos por Henriques (2019):
A pesquisa interna é uma sondagem realizada pelo pesquisador ou por um grupo de
pesquisadores, sem intervenção de sujeitos externos. É o momento pelo qual o
pesquisador procura compreender melhor o seu objeto de estudo. Ele conjectura,
problematiza, formula hipóteses, questiona-se, define o quadro teórico, os objetivos,
descreve o percurso metodológico da sua pesquisa, escolhe, analisa os elementos
institucionais específicos e apresenta resultados parciais. (Op. Cit. 27)
A pesquisa externa é uma sondagem realizada pelo pesquisador ou por grupo de
25
pesquisadores envolvendo sujeitos externos como público alvo. É o momento pelo
qual o pesquisador aplica os estudos desenvolvidos na pesquisa interna. Esta
aplicação pode ou não envolver seres humanos. Por exemplo, a aplicação de uma
sequência para o estudo de práticas efetivas de estudantes de uma instituição é uma
pesquisa externa. (Op. Cit. 27)
Em virtude das mudanças ocorridas no nosso planejamento, conforme descrito acima,
restringimos a nossa Dissertação na Pesquisa Interna, delineando, portanto, os objetivos
específicos que apreciamos a seguir.
1.2.1 Objetivos Específicos na Pesquisa Interna
Analisar os elementos institucionais que norteiam e compõem o curso de Licenciatura
em Matemática, a saber: as Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de
Matemática, com um olhar nas recomendações ou diretrizes para elaboração de cursos
de Licenciaturas em Matemática no Brasil, o Projeto Acadêmico Curricular (PAC), o
Livro Didático (LD) e as Tecnologias utilizadas;
Realizar a análise institucional de cada elemento institucional identificado na Instituição
de Referência;
Analisar as potencialidades e os entraves do software GeoGebra, enquanto Tecnologia
útil no desenvolvimento e aplicação das técnicas de Papietagem e de Palietagem na
construção de MCM como PCOC para o estudo de Superfícies Regradas;
Analisar as potencialidades de MCM construídos durante o desenvolvimento da
Dissertação na Pesquisa Interna, visando a organização de uma Sequência Didática;
Organizar uma Sequência Didática (SD) útil para análise das práticas efetivas de
estudantes do curso de Licenciatura em Matemática, assim como no processo ensino-
aprendizagem de Superfícies Regradas;
Assim, para respondermos a nossa questão de pesquisa e, consequentemente, atingir os
objetivos traçados, realizamos uma revisão de literatura acerca do objeto de estudo, as
Superfícies Regradas. De um modo geral, organizamos a nossa Dissertação em seis capítulos,
em função da escolha do nosso objeto matemático de estudo.
1.3 Organização da Dissertação
No primeiro capítulo, apresentamos a Introdução, onde descrevemos a problemática
motivadora deste trabalho, a questão de pesquisa, o objetivo geral e os específicos, assim como
esta organização da Dissertação.
26
No segundo capítulo apresentamos a nossa Revisão de Literatura, com base na
problemática, questão de pesquisa e nos nossos objetivos, em torno do objeto matemático de
referência escolhido anteriormente, notadamente as Superfícies Regradas, na tentativa de
compreender a problemática, inquietações e os objetivos que tem motivado os outros
pesquisadores sobre o tema. Para nortear a busca, demos ênfase na observação das diferentes
representações e recursos didáticos colocados em jogo pelos pesquisadores, nos trabalhos que
tivemos acesso na literatura.
No terceiro capítulo apresentamos o Quadro Teórico de referência que utilizamos na
realização de nossa pesquisa, composto pelas três teorias já mencionadas, que são geralmente
utilizadas em pesquisas desenvolvidas no GPEMAC, a saber: a Teoria Antropológica do
Didático (TAD), proposta por Yves Chevallard (1992), a Teoria de Registros de Representação
Semiótica (TRRS), proposta por Reymond Duval (1993) e a Abordagem Instrumental (ABIN),
proposta por Pierre Rabardel (1995).
No quarto capítulo apresentamos a Metodologia de pesquisa que utilizamos no
desenvolvimento dessa Dissertação, notadamente a Análise Institucional & Sequência Didática
(AI&SD), proposta por Henriques (2016), evidenciando assim, o nosso percurso metodológico.
No quinto capítulo apresentamos a Análise Institucional de Referência, realizada em
torno de elementos institucionais e que cobre a análise dos mesmos, a saber: as Diretrizes
Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática, com um olhar nas recomendações ou
diretrizes para elaboração de cursos de Licenciaturas em Matemática no Brasil, o Projeto
Acadêmico Curricular (PAC), os Livros Didáticos (LD) e as Tecnologias adotadas. Destacamos
que todos esses elementos são reconhecidos na Instituição de referência escolhida em nossa
pesquisa, mais especificamente a UESC.
O sexto capítulo, sendo o último, corresponde às Considerações de nossa pesquisa, onde
apresentamos as reflexões e perspectivas futuras, bem como esperamos responder à questão de
pesquisa, atingindo, dessa maneira, os objetivos traçados.
Assim, com base nessa organização global dessa Dissertação, apresentamos, no capítulo
seguinte, a Revisão de Literatura que realizamos em torno do nosso objeto matemático de
referência.
27
2. REVISÃO DE LITERATURA
Destinamos esse capítulo para a apresentação da revisão de literatura que realizamos em
torno do nosso objeto matemático de referência. Para isso, foi necessário efetuarmos,
inicialmente, um mapeamento de pesquisas concluídas na literatura em torno do nosso objeto
de estudo, utilizando para isso a Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações (BDTD)
como fonte ou base de busca de dados.
Sublinhamos, de antemão, que existe escassez de pesquisas sobre as Superfícies
Regradas na ótica da Educação Matemática. Assim, na tentativa de alimentar mais a nossa
revisão, decidimos também analisar pesquisas que utilizaram os ambientes computacionais de
aprendizagem ou modelos concretos manipuláveis (MCM) a mão livre envolvendo objetos
Geométricos com perspectivas Analíticas.
Nesse sentido, dividimos a apresentação da nossa análise em dois grupos: o primeiro
incide sobre as pesquisas que revelam explicitamente as Superfícies Regradas como objeto de
estudo. O segundo incide sobre as pesquisas que tratam de objetos matemáticos diversos no
domínio de Geometria utilizando softwares de geometria dinâmica ou MCM. Em ambos
grupos, consideramos como critérios de análise a observação do título de cada obra, dos
objetivos, do quadro teórico, da metodologia adotada e dos resultados alcançados em cada
pesquisa encontrada.
2.1 Análise de obras Superfícies Regradas como objeto matemático de referência
O mapeamento que realizamos sobre as pesquisas que tratam, explicitamente, deste
objeto nos permitiu reunir as referências que, apresentamos no Quadro 1, contendo os nomes
dos autores, os títulos dos trabalhos e o ano da publicação de cada um.
Quadro 1: Obras analisadas cujo objeto de estudo são as Superfícies Regradas
Autores Obras/Títulos9 Ano
Rodrigo Martins MARTINS, R. Singularidades das Superfícies Regradas em
. 60 f. Dissertação de Mestrado. USP, São Carlos, 2004. 2004
Elaine Altino
Freire Leite
LEITE, E. A. F. Superfícies Regradas de Bonnet. 78 f.
Dissertação de Mestrado. UFG, Goiânia, 2011. 2011
Márcia Viaro
2012.
2012
9 Para conservar o destaque em negrito de todos os títulos, na obra publicada na revista, não destacamos o
periódico.
28
C. Q. D.- Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v.
8, p. 51-75, 2016.
Fonte: Dados da pesquisa
Dentre as obras apresentadas no Quadro 1, apenas a última que não é Dissertação de
Mestrado, e refere-se a um artigo científico publicado em uma revista.
Na pesquisa intitulada “Singularidades das Superfícies Regradas em ”, o autor
inicia afirmando que o estudo de Superfícies Regradas em 3 é um assunto clássico em
Geometria Diferencial. Para ele, o interesse por esse tema tem reaparecido em áreas diversas
como a Geometria Diferencial Projetiva, a Computação Gráfica e o Desenho Industrial.
Interessado pelas singularidades das Superfícies Regradas, o autor traça como objetivo
de pesquisa “estudar as singularidades genéricas de Superfícies Regradas e comparar o
comportamento genérico destas singularidades com as singularidades genéricas da subclasse
das superfícies desenvolvíveis” (MARTINS, 2004, p. 5).
Após realizar essa breve apresentação das Superfícies Regradas e algumas de suas
singularidades, o autor destina todo o seu trabalho para a apresentação de definições,
proposições, corolários e demonstrações em torno do seu objeto de estudo, mas reserva espaço
para representações, no registro gráfico, de cada superfície por ele estudada. Contudo, o autor
não realiza qualquer descrição, na língua materna, das características das mesmas, centrando
apenas a sua pesquisa em tratamentos algébricos para a verificação de que as referidas
Superfícies são, de fato, Regradas.
Apresentamos na Figura 1, algumas dessas superfícies consideradas pelo autor, no
registro gráfico, obtidas através da união de retas ao longo de uma curva, notadamente a
circunferência.
Figura 1: Exemplo de união de retas que compõem Superfícies Regradas
Superfície Cilindrica Superfície Cônica Hiperboloide de uma folha
Fonte: Martins (2004, p. 2-3).
29
Martins (2004) utiliza o termo regrado para se referir a configuração desse tipo de
superfícies.
Seguindo os critérios da nossa análise, constamos que essa Dissertação foi desenvolvida
na Pesquisa Interna e considera a Geometria Diferencial como teoria de base. Contudo, o autor
não evidencia a metodologia adotada. Além disso, como a sua investigação não entrou na
Pesquisa Externa, os resultados esperados são baseados, unicamente, nas demonstrações de
teoremas e de lemas apresentados, consideradas, portanto, como produto final da pesquisa.
Na segunda obra que analisamos, intitulada “Superfícies Regradas de Bonnet”, a
autora inicia afirmando que apresentará o resultado dos estudos sobre Superfícies Regradas de
Bonnet, destacando que as mesmas levam esse nome pelo fato de que o autor, Pierre Ossian
Bonnet, desenvolveu estudos que determinaram superfícies reais que admitem pelo menos uma
isometria não trivial que preserve as curvaturas principais.
Na introdução, a autora não apresenta o objetivo geral de sua pesquisa, contudo revela
objetivos para cada um dos capítulos de sua Dissertação. No capítulo dedicado às Superfícies
Regradas, especificamente o capítulo três da obra, consta o seguinte objetivo:
No capítulo 3 daremos uma atenção especial à Superfícies Regradas e suas
propriedades, observaremos que toda Superfície Regrada que possui curvatura média
constante é mínima e neste caso a função D(v) citada anteriormente é igual a zero e
para Superfícies Regradas Isotérmicas de Weingarten serão feitos os cálculos para
mostrar que podemos identificar estas superfícies pelos valores do parâmetro de
distribuição, da abscissa dos pontos centrais e da função D’, todos iguais a zero.
Temos que nesses dois casos de Superfícies a função D é constante, o que
observaremos no capítulo 5 que são helicoides e admitem infinitas isometrias (LEITE,
2011, p. 14).
No capítulo que antecede ao terceiro, a autora preocupa-se com a recapitulação de
conceitos básicos que a mesma considera indispensáveis para a compreensão de superfícies,
apresentando definições e proposições, porém, sem qualquer representação correspondente no
registro gráfico. O mesmo ocorre no desenvolvimento no terceiro capítulo, referente às
Superfícies Regradas, isto é, a autora investe na apresentação de definições e proposições, e
suas respectivas demonstrações.
Constatamos ainda que todos os capítulos seguem a estrutura, preocupa-se assim com a
apresentação de definições, teoremas, lemas, proposições e as respectivas demonstrações. Em
toda obra, encontramos apenas duas representações de superfícies no registro gráfico, situadas
em duas das três últimas páginas da Dissertação. De forma análoga com a Dissertação de
Martins (2004), a autora desta obra também considera a Geometria Diferencial como quadro
teórico sem, contudo, evidenciar a metodologia adotada. O trabalho foi exclusivamente
30
final da pesquisa.
Na terceira obra analisada, intitulada “Hélices, Curvas de Bertrand e Superfícies
Regradas”, a autora inicia afirmando que a sua pesquisa visa um estudo sobre hélices e curvas
de Bertrand, destacando que há muitas aplicações interessantes de hélices, sendo que as
estruturas helicoidais surgem, por exemplo, em nanomolas, nanotubos de carbono, na forma da
hélice dupla do DNA, em escadas helicoidais, entre outras.
Em seguida, Flôres (2012) aponta que o estudo de hélices e curvas de Bertrand também
será feito do ponto de vista de curvas sobre Superfícies Regradas, dedicando o capítulo dois
para uma apresentação prévia do que ela chama de “teoria clássica de Superfícies Regradas” e
o capítulo três para o estudo citado. Assim, encontramos no segundo capítulo, a apresentação
de Curvas Especiais, onde a autora destaca as curvas no espaço, hélices e curvas de Bertrand.
No terceiro capítulo, reservado ao estudo das Superfícies Regradas, a autora inicia
afirmando que esse é um tema clássico em Geometria Diferencial, com aplicabilidade em outras
áreas, definindo esse objeto, intuitivamente, “como uma superfície gerada por uma linha reta
movendo-se ao longo de uma curva” (FLÔRES, 2012, p. 31). Segundo a autora, os exemplos
mais simples de Superfícies Regradas são as superfícies tangentes a uma curva regular e,
equivocadamente, ela cita os cilindros e os cones como exemplo. Mas, paradoxalmente, aos
exemplos citados, apresenta duas superfícies no registro gráfico, conforme Figura 2, que não
são sólidos como exemplificado pela autora. Pois, pelo o nosso entendimento conceitual, os
cilindros e os cones citados não são superfícies, e sim, sólidos delimitados por Superfícies.
Figura 2: Exemplos mais simples de Superfícies Regradas dados por Flôres (2012)
Fonte: Flôres (2012, p. 32).
Essa obra apresenta semelhanças com as anteriores, no sentido de que a autora centraliza
sua pesquisa na apresentação de definições, teoremas, proposições e suas respectivas
demonstrações. Por outro lado, destacamos que nessa Dissertação temos acesso a um conjunto
maior de representações no registro gráfico. Constatamos que essas representações são fruto de
31
tratamentos algébricos, convertidos, portanto, para o registro gráfico. Contudo, o trabalho de
Flôres (2012) também se restringe na Pesquisa Interna, sem explicitar a metodologia adotada e
considerando a Geometria Diferencial como teoria de base.
A quarta obra que analisamos é intitulada “Superfícies Regradas” e trata-se de um
artigo publicado em uma revista. Nesse trabalho, os autores apontam como objetivo de pesquisa
“estudar uma importante classe de superfícies, constituída por aquelas que contêm uma
infinidade de retas: as Superfícies Regradas” (OLIVEIRA, ALMEIDA, 2016, p. 51).
Os autores afirmam que os exemplos mais óbvios dessa classe são os cones e os
cilindros, mas destacam que várias Superfícies Quádricas, incluindo o Paraboloide Hiperbólico
e o Hiperboloide de uma folha são também Superfícies Regradas. Os autores citam ainda que
o Helicoide e a faixa de Möbius também pertencem à classe das Regradas. De forma análoga
que a concepção de Flôres (2012), aqui também os autores se equivocam, conceitualmente,
quando citam cones e cilindros como superfícies, ao invés de superfície cônica e cilíndrica
circular reta.
Com o intuito de apresentar as parametrizações e as propriedades das Superfícies
Regradas, os autores também utilizam definições, proposições e demonstrações
correspondentes.
significativa de representações de superfícies, mobilizadas pelos autores algebricamente, no
registro gráfico e das descrições correspondentes na língua materna, mas com os mesmos
problemas conceituais que destacamos anteriormente.
Em um dos exemplos, os autores descrevem que um Cilindro Generalizado é uma
Superfície Regrada gerada por uma família de retas em uma direção fixa, determinada por um
vetor diretor, e uma curva que está contida em um plano , não estando o vetor diretor paralelo
a esse plano.
Além disso, os autores descrevem um Cone Generalizado como uma Superfície Regrada
gerada por uma família de retas que passam por um mesmo ponto ao longo de uma curva que
está contida em um plano , não estando o ponto P contido no referido plano.
Percebe-se, com esses exemplos, claramente a confirmação do equívoco conceitual
vivenciado e difundido pelos autores referente às superfícies e sólidos, pois, nos dá a entender
que para eles, superfície e sólido significam o mesmo objeto com a mesma definição, o que não
é verdade a rigor conceitual matemático.
Apresentamos na Figura 3, os resultados das conversões das referidas descrições
consideradas pelos autores, da língua materna para o registro gráfico, que de fato são
32
Figura 3: Exemplos de superfícies generalizadas considerados por Oliveira e Almeida (2016)
Cilindro Generalizado Cone Generalizado
Os autores, mesmo tendo como objetivo as parametrizações das Superfícies Regradas,
destacam a todo o momento, especialmente sobre representações no registro gráfico, a
característica de que essas superfícies são geradas por uma família de retas. Além de superfícies
tangentes, os demais exemplos que encontramos nessa obra referem-se a Hiperboloide de uma
folha, a Paraboloide Hiperbólico e a Guarda-Chuva de Whitney.
Assim como nas obras anteriores, os autores não utilizaram um quadro teórico de
referência, salvo as teorias próprias dos objetos matemáticos colocados em estudo. Entendemos
esse aspecto por se tratarem de trabalhos imersos, integralmente, no domínio da Matemática
Pura. Além disso, constatamos também, nessas pesquisas, a ausência da apresentação explícita
das metodologias adotadas e da aplicação ou intenção de aplicar as pesquisas com estudantes.
Encerrada a análise desse primeiro grupo de obras, referentes às pesquisas que envolvem
as Superfícies Regradas como objeto matemático de referência, passamos, a seguir, para a
apresentação da análise que realizamos sobre as pesquisas que compõem o segundo grupo
destacado anteriormente.
2.2 Análise de obras no domínio da Geometria que utilizam softwares ou MCM
Nessa seção, apresentamos a nossa análise referente às obras com ênfase no estudo de
objetos do domínio geométrico, em especial da Geometria Analítica, e na utilização de
tecnologias digitais ou materiais concretos manipuláveis como recurso didático no processo
ensino-aprendizagem desses objetos. Portanto, assim como no grupo anterior, concentramos
nossa análise aos títulos, aos objetivos, ao quadro teórico, às metodologias adotadas e aos
resultados obtidos. Dessa maneira, apresentamos no Quadro 2 o segundo grupo que analisamos,
contendo os autores, os títulos dos seus trabalhos e o ano de publicação dos mesmos.
33
Autores Obras ou Títulos Ano
Adriana Richit
inicial docente em Matemática. 171 f. Dissertação de
Mestrado. UNESP, Rio Claro, 2005.
2005
SANTOS, R. S. Tecnologias digitais na sala de aula para
aprendizagem de conceitos de Geometria Analítica:
manipulações no software GrafEq. 137 f. Dissertação de
Mestrado. UFRGS, Porto Alegre, 2008.
2008
Teófilo Oliveira
de Paula
PAULA, T. O. O ensino de Geometria Analítica com o uso
do GeoGebra. 77 f. Dissertação de Mestrado. UFRRJ, Rio de
Janeiro, 2013.
MARQUES, S. A. S. S. Prototipagem rápida de PCOC na
impressora 3D para o ensino e aprendizagem de Integrais
duplas e triplas. 230 f. Dissertação de Mestrado. UESC,
Ilhéus, 2016.
aprendizagem de Geometria Espacial no Ensino Médio. 349
f. Dissertação de Mestrado. UESC, Ilhéus, 2018.
2018
Fonte: Dados da pesquisa
Na primeira obra apresentada no Quadro 2, intitulada “Projetos em geometria
analítica usando software de geometria dinâmica: repensando a formação inicial docente
em Matemática”, Richit (2005) inicia apresentando a justificativa para elaboração de sua
pesquisa. Segundo a autora, suas experiências enquanto acadêmica com recursos tecnológicos
despertaram o seu interesse por explorá-los, mesmo tendo em vista que seria necessário
constante aprendizado para utilizá-los.
A autora afirma que suas preocupações com questões educacionais relacionadas ao
ensino de Matemática a conduziram a participar de eventos na área de Educação e Educação
Matemática. Richit (2005) revela ainda que a realiza&cce

universidade estadual de santa cruz programa de pÓs

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