universidade de sÃo paulo escola de engenharia de...

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA

RENAN VIEIRA DE CARVALHO

ANÁLISE DE ESTABILIDADE DO PROCESSO CONTROLADO DE

AQUECIMENTO DE UM LÍQUIDO EM UM TANQUE COM AGITAÇÃO: ESTUDO

DE CASO

Declaro que esta monografia foi revisada e encontra-se apta para avaliação

e apresentação perante a banca avaliadora.

DATA:__/ __/ 2014

__________________________

ASSINATURA DO ORIENTADOR

Lorena

2014

RENAN VIEIRA DE CARVALHO

ANÁLISE DE ESTABILIDADE DO PROCESSO CONTROLADO DE

AQUECIMENTO DE UM LíQUIDO EM UM TANQUE COM AGITAÇÃO: ESTUDO

DE CASO

Monografia apresentada à Escola de

Engenharia de Lorena da Universidade de São Paulo como requisito para obtenção do título de Engenheiro Químico. Orientador: Prof. Dr. Luiz Carlos de Queiroz

Lorena 2014

AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIOCONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA AFONTE

Ficha catalográfica elaborada pelo Sistema Automatizadoda Escola de Engenharia de Lorena,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Carvalho, Renan Vieira de Análise de estabilidade do processo deaquecimento de um líquido em um tanque com agitação:Estudo de caso / Renan Vieira de Carvalho;orientador Luiz Carlos de Queiroz. - Lorena, 2014. 46 p.

Monografia apresentada como requisito parcialpara a conclusão de Graduação do Curso de EngenhariaQuímica - Escola de Engenharia de Lorena daUniversidade de São Paulo. 2014Orientador: Luiz Carlos de Queiroz

1. Controle de processos químicos. 2. Modelagem esimulação de processos químicos. I. Título. II.Queiroz, Luiz Carlos de, orient.

Aos meus pais, Margarida e Rubens, por

tornarem possível a caminhada até este

momento e à minha namorada, Marília,

pelo amor, incentivo e por ser a razão dos

meus esforços.

AGRADECIMENTOS

Ao professor doutor Luiz Carlos de Queiroz pela orientação, paciência e

conhecimentos transmitidos durante toda a jornada.

Aos professores Domingos Savio Giordani e Marcos Villela Barcza por

mostrarem a importância do trabalho de conclusão de curso durante as aulas

ministradas nos últimos semestres.

À Escola de Engenharia de Lorena por seu acervo bibliográfico.

A todos os professores e colegas que me transmitiram seus conhecimentos

durante todo o período da graduação.

“O fracasso é a oportunidade de se

começar de novo, com inteligência.”

Henry Ford

RESUMO

CARVALHO, Renan Vieira de. Análise de estabilidade do processo controlado

de aquecimento de um líquido em um tanque com agitação: estudo de caso.

2014. 46 f. Monografia de conclusão de curso – Escola de Engenharia de Lorena,

Universidade de São Paulo, Lorena, 2014.

A presente monografia apresenta o estudo de um caso proposto na

literatura, no qual é apresentado um tanque de aquecimento com agitação,

alimentado com uma matéria-prima líquida que deve ser aquecida. O

aquecimento é obtido através do escoamento de vapor d’água pela serpentina

instalada no interior do tanque. O sistema de controle proposto para o processo é

o de realimentação com um controlador proporcional-integral-derivativo e tem

como variável controlada a temperatura na saída do tanque. Após medir a

temperatura, o controlador a compara com seu valor de set point e decide qual

ação deverá ser tomada, se a válvula deve ser aberta para injetar mais vapor e

aumentar a temperatura ou se ela deve diminuir a vazão de vapor. Foi estudado e

simulado o comportamento dinâmico do processo controlado, através dos

recursos do software MATLAB. Foram gerados gráficos de resposta do processo

com o software mencionado com o objetivo de analisar se o processo é estável ou

instável diante de ajustes do ganho proporcional de controle. Para o caso

proposto as análises mostraram que o sistema é estável dentro de um

determinado intervalo de valores de ganho proporcional compreendido entre 0

(zero) e desconsiderando os limites.

Palavras-chave: Tanque de aquecimento com agitação. MATLAB. Estabilidade.

ABSTRACT

CARVALHO, Renan Vieira de. Analysis of the Stability of the Controlled

Process of a Stirred-tank Heater System: a Case-study. 2014. 46 f. Monografia

de conclusão de curso – Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de São

Paulo, Lorena, 2014.

This monograph aims at studying a case found in literature in which a

stirred-tank heater is fed with a liquid that is to be heated. The heating process is

made by means of fuelling a coil inside the tank with steam. The control system

proposed herein is based on a feedback proportional-integral-derivative controller

and its measured output variable is the feedstream temperature. After measuring

the temperature, the controller compares it against the set point, and decides

which action should be taken: if the valve is to be open in order to let more steam

in and raise the temperature, or if it has to reduce the steam flow. This study will

analyse and simulate the dynamic behaviour of a controlled process using

MATLAB. Graphs will be generated in response to the results produced by

aforementioned software with a view to analysing the stability of the process when

the control proportional gain is changed. In this proposed case, the analysis

showed that the system is stable within a certain range of values of proportional

gain from zero to excluding the limits.

Key words: Stirred-tank heater. MATLAB. Stability.

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Resposta de nível de líquido .............................................................. 17

Figura 2.2 - Resposta de nível de líquido sob controladores P e PI...................... 19

Figura 2.3 - O plano s mostrando a região estável (à esquerda) e instável (à

direita) ................................................................................................................... 22

Figura 3.1 - Tanque de aquecimento com agitação .............................................. 25

Figura 3.2 - Diagrama de blocos ........................................................................... 29

Figura 4.1 - Valores do ganho proporcional imagem 1 ......................................... 33





Figura 4.6 - Arranjo de Routh quando o ganho proporcional é igual a -1 .............. 36

Figura 4.7 - Arranjo de Routh quando o ganho proporcional é igual a 2 ............... 37

Figura 4.8 - Arranjo de Routh quando o ganho proporcional é igual a 5 ............... 38

Figura 4.9 - Gráfico de resposta ao degrau quando o ganho proporcional é igual a

-1 ........................................................................................................................... 39

Figura 4.10 - Gráfico de resposta ao impulso quando o ganho proporcional é igual

a -1 ........................................................................................................................ 40

Figura 4.11 - Gráfico de resposta ao degrau quando o ganho proporcional é igual

a 2 ......................................................................................................................... 41


a 2 ......................................................................................................................... 42

Figura 4.13 - Gráfico de resposta ao degrau quando o ganho proporcional é igual

a 5 ......................................................................................................................... 43


a 5 ......................................................................................................................... 44

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Arranjo de Routh .................................................................................. 31

LISTA DE SIGLAS

MATLAB Matrix Laboratory

P Proporcional

PI Proporcional-Integral

PID Proporcional-Integral-Derivativo

LISTA DE SÍMBOLOS

calor específico

erro

ganho proporcional do controlador

ganho em regime estabelecido

sinal de saída quando em estado estacionário

sinal de saída

fluxo térmico

temperatura de referência

temperatura na entrada do tanque

variável desvio de entrada

variável desvio de saída

volume de fluido no tanque

vazão volumétrica

densidade do fluido

tempo derivativo

tempo integral

constante de tempo da válvula

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 12

1.1 OBJETIVO GERAL ...................................................................................... 13

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................ 13

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.............................................................................. 14

2.1 CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ................................................ 14

2.2 CONTROLADORES .................................................................................... 16

2.2.1 CONTROLE PROPORCIONAL (P)....................................................... 16

2.2.2 CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI) .................................. 18

2.2.3 CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID)......... 19

2.3 ESTABILIDADE ........................................................................................... 20

2.3.1 DEFINIÇÃO DE ESTABILIDADE ......................................................... 20

2.3.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ............................................................ 20

2.3.3 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH ........................................ 23

3 METODOLOGIA ................................................................................................ 25

3.1 PROCESSO PROPOSTO ........................................................................... 25

3.2 MODELAGEM.............................................................................................. 26

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO ......................................................................... 31

4.1 SIMULAÇÃO ................................................................................................ 32

5 CONCLUSÃO .................................................................................................... 45

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 46

12

1 INTRODUÇÃO

Hoje em dia é praticamente inviável uma planta química operar sem que

haja um controle do processo. Comumente o controle de processo é feito de

forma automática e visa quase sempre garantir a segurança dos funcionários da

indústria, a segurança das comunidades do entorno da fábrica, assegurar que não

haja perda de matéria-prima e tornar o processo mais eficiente. Outra forma de

controle de processo é a forma manual, na qual um operador fica responsável em

realizar a leitura da medida da variável controlada, comparar essa medida com o

valor de referência, tomar a decisão de qual ação será tomada e então, se

necessário, acionar o elemento final de controle (OGATA, 2010). Porém, a forma

manual apresenta uma variável a mais a ser considerada, que é o próprio

operador. As condições psicológicas do operador podem variar muito de um dia

para outro e isso pode ter uma grande influência no comportamento dele em

relação ao controle do processo. Em um dia que o operador não esteja bem

psicologicamente, erros podem ser inseridas no processo, o que pode colocar a

segurança de outros funcionários em risco, assim como a segurança das

comunidades do entorno da fábrica.

O uso de softwares computacionais para simular a dinâmica de um

processo é outra ferramenta de extrema importância nos dias atuais, pois através

do uso desse recurso é possível aumentar o desempenho de processos químicos,

petroquímicos e biotecnológicos. O aumento de desempenho, principalmente

nesses tipos de processos, é um fator importante e costuma ser o objetivo de toda

indústria, porém, nos dias atuais em que se tem um apelo muito grande por

produtos sustentáveis e processos que não agridam, ou que não agridam tanto, o

ambiente, o uso desse tipo de ferramenta tem crescido em importância, pois ela

permite que os processos economizem matéria-prima e sejam mais eficientes, ou

seja, não gerem tantos resíduos.

É possível também fazer uso de softwares computacionais para se estudar

o comportamento de um controlador antes desse ser de fato inserido em um

processo a fim de saber se esse controlador é capaz de agir conforme o projeto.

13

Geralmente, espera-se que um controlador seja capaz de responder de

forma satisfatória à introdução de um erro no sistema e que ele consiga levar o

valor da variável afetada ao seu valor de referência (ou offset). Quando essa

resposta é atingida podemos dizer que o controlador cumpriu sua função, agiu

conforme o projeto, que ele poderá ser inserido no processo e o sistema será

estável.

1.1 OBJETIVO GERAL

Analisado a importância de se aplicar o controle automático em processos

e para contribuir nesse sentido propõe-se a análise da estabilidade do processo

controlado de aquecimento de um líquido com agitação, caso que foi retirado da

literatura.

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

O principal objetivo dessa monografia será analisar a estabilidade de um

processo controlado de aquecimento de um líquido em um tanque com agitação,

bem como o seu comportamento dinâmico através de um modelo matemático e

um software computacional, como o MATLAB. Pretende-se analisar se o processo

é estável ou instável para determinados valores de ganho proporcional. Os

recursos de um software computacional, por exemplo, o MATLAB, serão

utilizados para simular o comportamento dinâmico do processo controlado de

aquecimento em um tanque com agitação fazendo-se uso dos gráficos gerados

para uma avaliação mais aprofundada dos resultados. Serão determinados os

valores críticos do ganho proporcional, dessa forma, será possível investigar os

valores que o controlador deve apresentar para que o processo seja estável e

tenha um controle razoável.

14

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS

O primeiro uso significativo de um controle automático, nesse caso não

para o controle de um processo químico, está ligado a James Watt e uma

máquina a vapor, no século XVIII. À medida que os sistemas foram se

modernizando eles foram se tornando, também, mais complexos. Atualmente faz-

se uso de ferramentas computacionais para lidar-se com a análise de sistemas de

controle complexos relacionados a diversas operações industriais. Portanto, nos

dias de hoje, é de fundamental importância que a maioria dos engenheiros esteja

habituada com as práticas do controle automático e que as saibam aplicar, pois

estas são essenciais em qualquer campo da engenharia (OGATA, 2010).

No campo de controle de processos, alguns temos são comumente

empregados (SMITH; CORRIPIO, 1997):

Variável Controlada: É a variável que se busca manter no

valor desejado;

Set Point: É o valor fixado que é pretendido para a variável

controlada;

Variável manipulada: É a variável usada para manter a

variável controlada no seu set point;

Perturbação: É a variável que causa o desvio da variável

controlada de seu set point.

Todo sistema de controle conta com três operações básicas: medição,

decisão e ação. Uma vez que a variável controlada foi medida, o valor obtido é

comparado com o set point. Com isso um valor chamado erro é gerado, o que

dará fundamento a decisão que será tomada pelo controlador. Tendo a decisão

sido tomada, o elemento final de controle irá executar uma ação para corrigir o

valor da variável manipulada (SMITH; CORRIPIO, 1997).

Uma planta química é constituída por diversas unidades processadoras,

tais como trocadores de calor, colunas de destilação, evaporadores, etc.,

15

interligadas com a finalidade de converter matérias-primas em produtos com o

maior rendimento possível (STEPHANOPOULOS, 1984).

A operação de uma planta química deve ser capaz de atender algumas

exigências conhecidas por objetivos operacionais assim como o sistema de

controle deve atingir seus próprios objetivos. O que garante que esses objetivos

sejam alcançados é o monitoramento contínuo da operação da planta química e

de possíveis perturbações. Os principais objetivos de controle de um processo

químico são (KWONG, 2002a):

Eliminar perturbações externas;

Garantir a estabilidade do processo;

Otimizar o desempenho do processo.

Ou ainda podemos ter uma combinação entre os objetivos.

Segundo Smith e Corripio (1997), os principais objetivos operacionais são:

Segurança: Aqui deve-se prevenir que operadores se

machuquem, que haja desperdícios, danos aos equipamentos do processo

e deve-se preocupar-se com o meio-ambiente e as possíveis emissões;

Qualidade: Deve-se garantir a qualidade do produto

reduzindo-se o custo de produção;

Econômico: Manter a produção a um custo mínimo.

16

2.2 CONTROLADORES

A ação do controlador ou mecanismo de controle resume-se a tomar o

valor de saída, comparar com o valor de set point, determinar o erro ou desvio e

tomar uma ação para que o desvio em relação ao valor de set point seja zerado

ou minimizado.

Segundo Ogata (2010), a maioria dos controladores pode ser classificada

de acordo com suas ações de controle, mas também podem ser classificados de

acordo com a espécie de energia empregada.

De acordo com as ações de controle:

Controladores proporcionais (P);

Controladores proporcional-integrais (PI);

Controladores proporcional-integral-derivativos (PID).

De acordo com a energia empregada na operação (OGATA, 2010):

Controladores pneumáticos;

Controladores hidráulicos;

Controladores eletrônicos.

O presente trabalho se limitará a apresentar com mais detalhes apenas os

controladores classificados de acordo com as ações de controle. As equações

características dos controladores são apresentadas com pequenas diferenças de

um autor para o outro. Nesse trabalho tais equações serão apresentadas como

em Smith e Corripio (1997) como forma de simplificar a apresentação.

2.2.1 CONTROLE PROPORCIONAL (P)

O controle proporcional é, provavelmente, um dos controles mais simples

encontrados na literatura. Ele possui uma ação na qual o sinal de saída é

proporcional ao erro e é representada pela equação característica (2.1):

(2.1)

17

Onde:

Sinal de saída;

Ganho proporcional do controlador;

Set point – variável controlada;

Sinal de saída quando em estado estacionário, ou seja,

O controle proporcional é considerado um tipo de controle simples, pois

possui apenas um parâmetro para ser sintonizado (ganho proporcional do

controlador, ), o que pode ser considerado uma vantagem desse tipo de

controlador. Porém, isso também trás uma grande desvantagem que é operar

sempre com um erro estacionário, também conhecido por offset (KWONG,

2002b).

Na figura 2.1 podemos observar que quando o sistema atinge seu estado

estacionário, ele opera com um erro em relação ao set point, esse erro é o

chamado offset ou erro estacionário.

Aproveitando a figura 2.1 podemos observar que quanto maior é o valor de

menor é o erro estacionário, porém o processo se torna mais oscilatório, ou

seja, mais instável. Como consequência disso pode-se observar que há um valor

máximo de no qual o sistema é estável e também podemos concluir que o erro

estacionário não pode ser completamente eliminado (SMITH; CORRIPIO, 1997).

Escrevendo a equação (2.1) em variável desvio nós chegamos a seguinte

equação:

FONTE: SMITH; CORRIPIO, 1997, p. 229

Figura 2.1 - Resposta de nível de líquido

18

(2.2)

Usando a Transformada de Laplace, obteremos a equação (2.3) que nada

mais é que a função de transferência:

(2.3)

2.2.2 CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI)

Esse é o tipo de controle que consegue remover o erro estacionário devido

à sua ação integral. Isso é importante, pois muitos processos não podem operar

com offset. A equação característica desse tipo de controle é descrito pela

equação (2.4):

(2.4)

Onde: tempo integral

Aqui ambos os parâmetros, e , precisam ser ajustados para se obter

um controle satisfatório.

Para se obter a função de transferência do controlador seguimos os

mesmos passos mostrados para o controlador proporcional e chegamos na

função (2.5):

19

(2.5)

2.2.3 CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID)

Esse tipo de controle combina a ação de um controlador proporcional, com

a ação de um controlador integral e a ação de um controlador derivativo (OGATA,

2010). Ele possui um diferencial em relação aos outros dois apresentados que é a

capacidade de antecipar a variação linear no erro, isso é devido ao efeito da ação

derivativa (KWONG, 2002b). A equação característica desse controlador é

descrita pela equação (2.6):

(2.6)

onde: tempo derivativo

E a função de transferência é dada pela função (2.7):

(2.7)

Para se obter um controle satisfatório os três parâmetros, , e ,

devem ser ajustados.

FONTE: SMITH; CORRIPIO, 1997, p.233

Figura 2.2 - Resposta de nível de líquido sob controladores P e PI

20

2.3 ESTABILIDADE

2.3.1 DEFINIÇÃO DE ESTABILIDADE

Em um projeto de sistema de controle devemos ser capazes de prever o

comportamento dinâmico do sistema, principalmente a estabilidade absoluta do

mesmo. Isso quer dizer que devemos ser capazes de prever se o sistema é

instável ou estável (OGATA, 2010).

Um sistema pode ser considerado instável quando, após sofrer uma

perturbação, seu sinal de saída é deslocado do set point e ele não é capaz de

retornar ao estado estacionário no set point (STEPHANOPOULOS, 1984).

Ou ainda segundo Smith e Corripio (1997), um sistema é estável se a saída

resposta permanecer limitada para a entrada limitada. O sistema que exibe uma

resposta ilimitada para uma entrada limitada será considerado instável.

2.3.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

Nesse item, para se fazer mais simples, será utilizado alguns exemplos de

equação características e de desenvolvimentos matemáticos encontrados em

Kwong (2002b) e em Smith e Corripio (1997).

Considerando a seguinte equação genérica (2.8) dada em Kwong (2002b):

(2.8)

Ou

(2.9)

21

Para sermos capazes de determinar a estabilidade da resposta do sistema,

teremos que determinar os polos das funções de transferência e .

Isso é possível através da resolução da equação característica (2.10):

(2.10)

Após resolver a equação (2.10), obtêm-se as raízes da equação

característica que poderão ser descritas por .

(2.11)

Em seguida substituímos o denominador da equação (2.8) e chegamos na

equação (2.12):

(2.12)

Nesse ponto da discussão já podemos dizer que a estabilidade de um

sistema tem como um primeiro critério que todos os polos de sua equação

característica tenham a parte real negativa para que ele seja estável, portanto, se

as raízes estiverem à direita do eixo imaginário o sistema é instável.

Para entender o que esse critério quer dizer, vamos continuar a trabalhar

com a equação (2.12), expandindo-a em frações parciais:

(2.13)

Aplicando-se a transformada inversa de Laplace nos termos gerados

através da expansão em frações parciais, obtemos a função (2.14):

(2.14)

A partir daqui ficará mais simples entender o critério acima mencionado se

analisarmos as seguintes condições mostradas em Smith e Corripio (1997):

22

Analisando-se essas condições expostas é possível concluir que, as raízes

devem ser negativas para que os termos correspondentes à resposta tendam a

zero. Havendo raízes positivas a resposta será ilimitada, ou em outras palavras, o

sistema será instável.

Para a questão de as raízes precisarem estar à esquerda do eixo

imaginário para o sistema ser estável é fácil entendermos se definirmos um

gráfico bidimensional no qual o eixo horizontal corresponde à parte real das raízes

e o eixo vertical à parte imaginária das raízes. Toda raiz à esquerda do eixo

imaginário, ou seja, do eixo vertical, faz do sistema estável.

Figura 2.3 - O plano s mostrando a região estável (à esquerda) e instável (à direita)

FONTE: SMITH; CORRIPIO, 1997, p. 276

23

2.3.3 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH

No item 2.3.2 foi visto que o sistema de controle é considerado estável

quando todos os polos estiverem no semiplano esquerdo do plano s. Existe um

critério simples que nos possibilita determinar o número de raízes do polinômio

característico situadas no semiplano direito do plano s. Esse critério é conhecido

como critério de estabilidade de Routh e ele possui a vantagem de determinar as

raízes do polinômio característico sem precisar fatorar esse polinômio (OGATA,

2010).

Ainda segundo Ogata (2010) o critério de Routh deve seguir um

procedimento, o primeiro passo desse procedimento é escrever o polinômio em s

(2.15):

(2.15)

Devemos supor que o coeficiente . O passo seguinte do

procedimento é o chamado primeiro teste do critério de estabilidade de Routh e

nele os coeficientes

deverão ser todos positivos. Se algum deles for negativo à presença de pelo

menos um coeficiente positivo, o sistema de controle será instável. Sendo todos

os coeficientes positivos, podemos proceder ao segundo teste, no qual

desenhamos o arranjo de Routh:

24

No arranjo de Routh os coeficientes do polinômio são organizados em

linhas e colunas. Os coeficientes , etc., são calculados como segue:

Todos os elementos podem ser calculados seguindo o mesmo padrão de

multiplicação em cruz dos coeficientes, utilizando as linhas anteriores. Encontrado

todos os elementos do arranjo de Routh, podemos examinar os elementos da

primeira coluna e, através do critério de estabilidade de Routh, podemos concluir

que, se algum dos elementos for negativo, o sistema é instável e se todos os

elementos forem positivos e diferentes de zero o sistema é estável.

25

3 METODOLOGIA

3.1 PROCESSO PROPOSTO

O processo proposto para este projeto pode ser encontrado em

Constantinides e Mostoufi (1999). Nele foi dado um tanque com agitação, o qual é

carregado com matéria-prima líquida que precisa ser aquecida. Para que isso seja

possível o tanque possui um sistema de aquecimento a vapor d’água que circula

por uma serpentina instalada no interior do tanque. A quantidade de vapor que

circula na serpentina é determinada por um controlador de temperatura que

recebe sinal do transmissor de temperatura que possui o valor da variável

controlada na saída do tanque, que no caso é a temperatura do produto, como

mostra a figura 3.1:

Figura 3.1 - Tanque de aquecimento com agitação

FONTE: CONSTANTINIDES; MOSTOUFI, 1999, p. 57

O objetivo do processo controlado é manter o valor da variável saída o

mais próximo possível do set point, ou seja, com o menor valor de offset. Por isso

26

a necessidade de se estudar a estabilidade do processo em diferentes valores de

ganho proporcional.

3.2 MODELAGEM

O processo estudado foi dividido nos seguintes componentes, como

mostrado em Coughanowr e Koppel (1978):

Processo

Elemento de medida

Controlador

Elemento final de controle

Através do problema proposto e de sua função de transferência, podemos

observar que todos componentes são sistemas de primeira ordem.

Ainda segundo Coughanowr e Koppel (1978), podemos seguir um

procedimento para obtermos a função de transferência do processo, esse

procedimento foi dado da seguinte maneira:

Primeiramente foi feito um balanço de energia do tanque, em regime

transiente, dessa forma chegamos à equação (3.1):

(3.1)

Onde:

fluxo térmico

vazão volumétrica

temperatura na entrada do tanque

temperatura de referência

densidade do fluido

27

volume de fluido no tanque

calor específico

Em seguida, escrevemos a equação (3.1) em regime estabelecido, ou seja,

:

(3.2)

Onde é usado pra indicar que o regime é estabelecido.

Após isso, subtraímos as equações (3.1) e (3.2) e aplicamos as seguintes

variáveis desvio:

Tendo feito o passo anterior, chegamos à equação (3.3):

(3.3)

Aplicando-se a transformada de Laplace na equação (3.3), obtivemos:

(3.4)

Que pode ser escrito da seguinte forma:

(3.5)

Onde:

Quando só há variação da temperatura, a função de transferência fica

como mostrado em (3.6):

(3.6)

28

Se houver variação somente em Q(t), a função é representada pela

equação (3.7):

(3.7)

O próximo componente que foi estudado foi o elemento de medida, que no

caso em estudo, como já foi dito, é um sistema de primeira ordem.

Coughanowr e Koppel (1978) apresentam a função de transferência para

esse componente pela função (3.8):

(3.8)

Onde e são variáveis desvio e são as variáveis de entrada e saída

respectivamente.

O terceiro componente do sistema de controle é o controlador, no caso em

estudo, o controlador é do tipo proporcional-integral-derivativo (PID) e já teve a

sua função de transferência mostrada anteriormente nesse trabalho:

(3.9)

O quarto e último componente é o elemento final de controle. No caso

estudado o elemento final de controle é uma válvula de controle que possui uma

função de transferência de primeira ordem, essa função de transferência foi

mostrado por Coughanowr e Koppel (1978) pela função (3.10):

(3.10)

Onde:

ganho em regime estabelecido

constante de tempo da válvula

Uma vez que obtivemos as funções de transferência de todos os

componentes do nosso sistema de controle, tornou-se conveniente representá-lo

em um digrama de blocos. Esse tipo de diagrama torna mais fácil o entendimento

do processo e a visualização das interações entre os componentes do sistema de

controle e também torna mais fácil a demonstração da função de transferência do

29

sistema como um todo. A figura 3.2 mostra um diagrama de blocos de uma malha

de controle com realimentação:

Figura 3.2 - Diagrama de blocos

FONTE: KWONG, 2002b, p. 43

O diagrama de blocos representado na figura 3.2 é uma representação

muito similar, se não perfeita, do caso em estudo. Nele há o caminho direto que

compreende os blocos que estão entre o comparador e a variável controlada e a

linha de realimentação que é a região entre a variável controlada e o comparador

(KWONG, 2002b).

Esse diagrama de blocos vem acompanhado de uma equação (2.8) que

fornece a resposta do processo à malha fechada e essa equação foi mostrada em

KWONG (2002b):

(2.8)

A equação (2.8) que fornece a resposta do processo à malha fechada

apresenta duas partes, primeira delas está relacionada com a variação no set

point, já a segunda parte está relacionada à variação na carga (KWONG, 2002b).

Como no caso em estudo o problema de controle é do tipo regulador,

temos que:

30

Portanto, foi usada para modelar o caso em estudo a equação (3.11):

(3.11)

Em posse das funções de transferência dos componentes do sistema de

controle e da equação (3.11), foi possível modelar o caso em estudo. O primeiro

passo foi substituir todas as funções de transferência na equação (3.11):

(3.12)

Multiplicando o numerador e o denominador por obtivemos (3.13):

(3.13)

Fazendo :

(3.14)

(3.15)

E finalmente obtivemos a função de transferência do sistema de controle:

(3.16)

Esse modelo matemático havia sido dado pelo autor do caso em estudo,

além do modelo matemático, o autor propôs alguns dados para os parâmetros da

equação, são eles:

31

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO

Ao final do item 3.2 foram apresentados valores dados pelo autor do caso

em estudo. Substituindo os valores considerados no modelo matemático obteve-

se a seguinte função de transferência:

(4.1)

Tendo em mãos o modelo matemático do problema em estudo, foi possível

fazer uma análise da estabilidade aplicando-se o critério de estabilidade de Routh.

Dessa forma podemos obter os valores de ganho proporcional para os quais o

sistema é estável.

A fim de se obter tais valores, o seguinte arranjo de Routh foi montado:

Tabela 1 - Arranjo de Routh

Linha

FONTE: O próprio autor

Onde:

Fazendo-se a análise da primeira coluna do arranjo de Routh, obtivemos o

seguinte intervalo de valores para o ganho proporcional, nos quais o sistema é

estável:

Portanto, a fim de se fazer um estudo do comportamento dinâmico do

processo em estudo foram adotados valores abaixo do limite inferior, dentro do

intervalo e acima do limite superior.

32

4.1 SIMULAÇÃO

O modelo do processo proposto foi simulado com o auxílio do programa

Routh-Hurwitz Stability Criterion with GUI MATLAB V 3.3, criado por Amin Heidari

da Islamic Azad University de Mahshahr no Irã e compartilhado no sítio da The

MathWorks, Inc., através do software Matlab.

O programa supracitado, através do arranjo de Routh, é capaz de calcular

o número de raízes e mostrar-nos se o sistema é estável ou instável quando

informamos ao programa a equação característica. Este também possui uma

ferramenta que é capaz de informar-nos os limites superior e inferior do ganho

proporcional , além disso, com este programa foi possível plotar gráficos de

reposta ao degrau e resposta ao impulso.

Com a finalidade de se obter respostas para se analisar a estabilidade e o

comportamento dinâmico do processo, foram adotados três valores diferentes

para o ganho proporcional . Um valor abaixo do limite inferior do intervalo de

valores no qual torna o sistema estável, um valor dentro desse intervalo e, por

fim, um valor acima do limite superior desse intervalo.

O primeiro passo foi usar a ferramenta do programa Routh-Hurwitz Stability

Criterion with GUI MATLAB V 3.3 que nos permitiu encontrar o intervalo de

valores do ganho proporcional no qual o sistema é estável. A equação

característica foi informada ao programa, assim como foi arbitrado um intervalo de

varredura coerente com o que já havia sido estudado e um incremento para esse

intervalo de varredura. As figuras 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 e 4.5 mostram o resultado do

uso dessa ferramenta:

33

Figura 4.1 - Valores do ganho proporcional imagem 1




34





35



Os valores nas figuras 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 e 4.5 que estão na cor vermelha

são os valores que tornam o sistema instável, já os valores na cor azul formam o

intervalo de valores que tornam o sistema estável.

Os valores que foram adotados para o ganho proporcional , para a

análise do comportamento dinâmico do processo, foram (um negativo),

(dois) e (cinco).

Tendo adotado esses valores, substituímo-los na equação característica e

utilizamos o programa Routh-Hurwitz Stability Criterion with GUI MATLAB V 3.3

para montar o arranjo de Routh e demonstrarmos a estabilidade do sistema

nesses parâmetros.

36

Figura 4.6 - Arranjo de Routh quando o ganho proporcional é igual a -1


A figura 4.6 nos mostrou que o sistema é instável quando o ganho

proporcional é igual a -1 (um negativo). A mesma figura nos forneceu algumas

informações complementares como o número de polos a esquerda do eixo

imaginário (três) e o número de polos a direita do eixo imaginário (um).

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Figura 4.7 - Arranjo de Routh quando o ganho proporcional é igual a 2


Analisou-se a figura 4.7 e observou-se que quando o sistema possui o

valor de ganho proporcional igual a 2 (dois) o sistema é estável, pois possui todos

os quatro polos a esquerda do eixo imaginário como foi mostrado na figura 4.7.

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Figura 4.8 - Arranjo de Routh quando o ganho proporcional é igual a 5


A figura 4.8 mostrou que quando o sistema tem seu ganho proporcional

igual a 5 (cinco), ele apresenta dois polos a esquerda do eixo imaginário e dois

polos a direita desse mesmo eixo, tornando o sistema instável.

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Após termos feito um estudo da estabilidade do sistema, encontrando o

intervalo de valores do ganho proporcional no qual o sistema é estável e

termos adotado três valores de para analisarmos através do arranjo de Routh,

vamos adotar esses mesmos valores para fazermos uma simulação a fim de

obtermos os gráficos de resposta ao degrau e ao impulso.

Os gráficos obtidos para o valor de igual a (um negativo), são os

representados nas figuras 4.9 e 4.10:

Figura 4.9 - Gráfico de resposta ao degrau quando o ganho proporcional é igual a -1


40

Figura 4.10 - Gráfico de resposta ao impulso quando o ganho proporcional é igual a -1


Analisando os gráficos das figuras 4.9 e 4.10 podemos observar que

ambos possuem um comportamento semelhante e nos mostram resultados que já

eram esperados através da análise do arranjo de Routh realizado anteriormente.

Ambos os gráficos nos mostram que para o ganho proporcional igual a (um

negativo), o sistema se torna instável no momento igual a aproximadamente

(seiscentos) segundos. Esse comportamento era esperado pois todo o estudo

feito anteriormente nos havia indicado que os gráficos retornariam respostas de

sistemas instáveis.

Para o valor de ganho proporcional igual a (dois), os gráficos

respostas obtidos foram os representados nas figuras 4.11 e 4.12:

41

Figura 4.11 - Gráfico de resposta ao degrau quando o ganho proporcional é igual a 2


42

Figura 4.12 - Gráfico de resposta ao impulso quando o ganho proporcional é igual a 2


Analisando os gráficos das figuras 4.11 e 4.12, podemos ver que

novamente ambos têm comportamentos semelhantes e em ambos fica clara a

ação do controlador do tipo PID. Além disso, podemos observar que a partir do

momento igual a aproximadamente (duzentos e oitenta) segundos o sistema

se torna estável como era de se esperar, pois a análise do arranjo de Routh

quando o valor de ganho proporcional é igual a dois havia nos indicado que o

sistema seria estável.

Para o valor de ganho proporcional igual a (cinco), os gráficos

respostas obtidos foram os mostrados nas figuras 4.13 e 4.14:

43

Figura 4.13 - Gráfico de resposta ao degrau quando o ganho proporcional é igual a 5


44

Figura 4.14 - Gráfico de resposta ao impulso quando o ganho proporcional é igual a 5


Mais uma vez obtivemos gráficos com comportamentos semelhantes

apesar de no gráfico de resposta ao degrau o sistema apresente instabilidade no

momento igual a aproximadamente (sete mil e cem) segundos e no gráfico

de resposta ao impulso esse momento se encontra em aproximadamente

(sete mil e trezentos) segundos. Embora tenha havido essa pequena diferença

entre os gráficos de resposta, o comportamento de o sistema se tornar instável já

era esperado como o arranjo de Routh, para o sistema regulado com o ganho

proporcional igual a (cinco), já havia mostrado.

45

5 CONCLUSÃO

A partir do estudo do caso proposto na literatura de um tanque com

agitação que recebe uma matéria-prima líquida que deve ser aquecida a um

determinado valor de referência, pode-se concluir que o controlador do tipo

proporcional-integral-derivativo apresenta grande eficiência no controle do

processo quando o valor do ganho proporcional encontra-se no intervalo entre 0

(zero) e , desconsiderando os limites do intervalo. Quando o valor do ganho

proporcional encontra-se fora desse intervalo o sistema se torna instável.

Pôde-se concluir ainda que o MATLAB é uma ferramenta poderosa no

estudo do comportamento dinâmico de um processo e junto com o programa

Routh-Hurwitz Stability Criterion with GUI MATLAB V 3.3 torna-se uma ferramenta

importante no estudo e no ensino de controle de processos.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CONSTANTINIDES, A.; MOSTOUFI, N. Numerical methods for chemical

engineers with MATLAB applications. New Jersey: Prentice Hall, 1999. 544p.

COUGHANOWR, D. R.; KOPPEL, L. B. Análise e controle de processos. Rio

de Janeiro: Guanabara Dois, 1978. 473p.

KWONG, W. H. Introdução ao controle de Processos químicos com

MATLAB. São Carlos: EdUFSCar, v. 1, 2002a. 215p.

KWONG, W. H. Introdução ao controle de processos químicos com MATLAB.

São Carlos: EdUFSCar, v. 2, 2002b. 215p.

OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5.ed. São Paulo: Pearson

Prentice Hall, 2010. 809p.

SMITH, C. S.; CORRIPIO, A. B. Principles and practice of automatic process

control. 2. Ed. New York: Wiley, 1997. 524p.

STEPHANOPOULOS, G. Chemical process control: An introduction to theory

and practice. New Jersey: Prentice Hall, 1984. 696p.

The MathWorks Inc., Routh-Hurwitz Stability Criterion with GUI MATLAB V

3.3. Disponível em:

<http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27697-routh-hurwitz-

stability-criterion-with-gui-matlab-v3-3>.Acesso em 11 dez. 2014.

universidade de sÃo paulo escola de engenharia de...

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