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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 2007/2008 – Ficha de exercícios 1

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Universidade da Beira Interior – Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

Ano lectivo: 2007/2008; Cursos: ME, MI, MA, EC, EPGI, EI, G e E Ficha de exercícios nº1

Resolução Gráfica e Formulações em Programação Linear 1. Resolva graficamente o seguinte problema em Programação Linear:

Minimizar Z = 40 x1 + 36 x2

Sujeito a x1 8

x2 10

5 x1 + 3 x2 45

x1, x2 0

2. Resolva graficamente o seguinte problema em Programação Linear:

Maximizar Z = x1 + 4 x2

Sujeito a x1 x2 1

x1 + x2 0

x1 + 2 x2 4

x1, x2 0

3. Resolva graficamente o seguinte problema em Programação Linear :

Maximizar Z = x1 + x2

Sujeito a x1 x2 3

x1 5

x1 + x2 3

x1, x2 0


Maximizar Z = 10 x1 5 x2

Sujeito a 20 x1 + 50 x2 200

50 x1 + 10 x2 150

30 x1 + 30 x2 210

x1, x2 0


Maximizar Z = 10 x1 + 18 x2

Sujeito a 15 x1 + 24 x2 9000

20 x1 + 36 x2 36000

12 x1 + 16 x2 19200

x1, x2 0


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Maximizar Z = 4 x1 3 x2

Sujeito a x1 + x2 1

x2 1

x1 + 2 x2 1

x1, x2 0


Minimizar Z = x1 + 2 x2

Sujeito a x1 + x2 = 2

2 x1 x2 4

x1 + x2 2

x1, x2 0


Maximizar Z = x1 3 x2

Sujeito a x1 + x2 0

x1 8

x2 10

x1 + x2 = 10

x1, x2 0


Maximizar Z = x1 + 3 x2

Sujeito a x1 + x2 8

4 x1 + x2 26

x1 + x2 4

x1, x2 0

10. (Época Especial 2003)

Considere o seguinte problema em Programação Linear: Max Z= -x1+4x2 s.a. -3x1+x2 6 x1+2x2 4 x2 -3

a) Represente graficamente o espaço admissível. b) Determine a solução óptima através do método gráfico.


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11. (Mini-Teste nº1, 2005/2006, ME+MI+MA+EPGI+EI) Considere o seguinte problema em Programação Linear:

Min Z = 4x1 + 2x2

Sujeito a: 2x1 + x2 4

x1 - x2 -1

x1, x2 0.

Qual das seguintes proposições é verdadeira? [ ] A solução óptima é ilimitada; não existe um valor finito para a função objectivo. [ ] Existem soluções óptimas alternativas: x*=(0, 4) é uma solução óptima, com Z*=8. [ ] A solução óptima única é x*=(1, 2), com Z*=8. [ ] A solução óptima única é x*=(0, 4), com Z*=8. 12. (Mini-Teste nº1, 2005/2006, EC)

Considere o seguinte problema em Programação Linear:

Min Z = 2x1 + 4x2

Sujeito a: x1 + 2x2 4

x1 - x2 1

x1, x2 0.

Qual das seguintes proposições é verdadeira? [ ] Existem soluções óptimas alternativas: x*=(2, 1) é uma solução óptima, com Z*=8. [ ] A solução óptima é ilimitada; não existe um valor finito para a função objectivo. [ ] A solução óptima única é x*=(2, 1), com Z*=8. [ ] A solução óptima única é x*=(4,0), com Z*=8. 13. Um estabelecimento produz e comercializa 2 qualidades de gelados: de nozes (C) e de frutas (P). A loja encontra-se localizada numa animada área turística de modo que toda a produção é sempre vendida. Um cone de tipo C é vendido a 75 u.m. e um cone de tipo P a 60 u.m.. Um cone C necessita de 4 gr de mistura de frutas e de 2 gr de noz moída. Um cone P requer 6 gr de mistura de frutas e 1 gr de noz moída. Em cada hora de laboração, existe capacidade para serem utilizadas apenas 96 gr de mistura de frutas e 24 gr de noz moída.

a) Formule o problema em Programação Linear de modo a maximizar a receita em cada hora.

b) Encontre a solução óptima do problema graficamente. 14. Uma empresa electrónica fabrica 2 tipos de circuitos impressos: A e B. Os do tipo A são vendidos por 4000 u.m. e os do tipo B por 5000 u.m.. No processo produtivo, ambos os tipos de circuitos passam por 2 máquinas. Na 1ª, os circuitos do tipo A são trabalhados durante 4 horas e os do tipo B durante 5 horas. Na outra, os circuitos passam 4 e 3 horas, respectivamente. A 1ª máquina pode funcionar durante um máximo de 32 horas por semana, enquanto a outra máquina não pode exceder as 24 horas de funcionamento semanalmente. A empresa pretende maximizar a receita. Formule matematicamente o problema e resolva-o graficamente. Qual a receita máxima que a empresa pode obter ?


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15. Devido a alterações de mercado, os preços dos produtos A e B referidos no problema anterior, caíram ambos para 3 mil u.m.. Em simultâneo, modificações no processo produtivo, requeridas por um mais rigoroso controlo de qualidade, levaram à aquisição de uma nova máquina, onde tanto o produto A como o B sofrem alterações durante 1 hora. No entanto, esta máquina não pode funcionar menos de 7 horas semanais.

a) Reformule o problema com as novas condições. b) Resolva o problema graficamente. c) Dados quaisquer preços de venda de A e B, a solução obtida em b) altera-se?

16. Uma empresa labora em dois processos produtivos, fabricando 2 produtos: P1 e P2. No primeiro processo, 1 kg de matéria-prima dá origem a 2 unidades de P1 e 1 unidade de P2, gerando 20 g de um resíduo altamente poluente. No segundo processo, com 1 kg de matéria-prima obtêm-se 1 unidade de P1 e 3 unidades de P2, gerando 10 g do mesmo resíduo. A empresa dispõe de 3 toneladas de matéria-prima e deve satisfazer encomendas de 2000 unidades de P1 e 4000 unidades de P2. Atendendo a que a empresa pretende minimizar a quantidade produzida de resíduo poluente:

a) Formule matematicamente o problema. b) Resolva o problema graficamente, indicando: as quantidades de P1 e P2 produzidas

em cada processo, a quantidade de matéria-prima não utilizada e a de resíduo poluente produzido?

17. Para suportar os elevados custos de exploração mineira, a Escavatudo necessita de encontrar um mínimo de 22Kg de ouro e 36Kg de prata por mês. Há duas minas em que a empresa pode operar: minas A e B. Por cada dia dedicado à exploração da mina A, estima-se que as quantidades de ouro e prata encontradas são, respectivamente, 2Kg e 3Kg. Da mesma forma, por cada dia na mina B a empresa espera encontrar 1Kg de ouro e 4Kg de prata. A empresa pretende encontrar as quantidades necessárias à sua subsistência passando o menor número de dias possível nas minas.

a) Formule o problema em Programação Linear. b) Resolva o problema graficamente.

18. A Valor Global tem uma carteira de clientes no valor de 100.000 . Investidores exigentes que são, os seus clientes colocam a condição de só poder investir esse capital em acções e/ou obrigações da BVL. Cada euro investido em acções tem um retorno esperado de 10 cêntimos, enquanto que com cada euro de obrigações estima-se um lucro de 15 cêntimos.

Os clientes exigem ainda que pelo menos 20% do capital total investido seja em acções e que um mínimo de 40.000 sejam investidos em obrigações.

a) Formule o problema por forma a maximizar o lucro dos clientes da Valor Global em Programação Linear. Resolva graficamente.

b) Suponha que por cada acção transaccionada obtém uma comissão de 20% sobre os lucros dos seus clientes e que por cada obrigação essa comissão é de 10%. Que alterações sofre a formulação da alínea anterior se pretender agora maximizar os seus lucros e não os dos seus clientes? Resolva graficamente.

19. Os produtos 1, 2 e 3 são manufacturados passando por 3 operações : A, B e C. Os tempos (em minutos) requeridos por unidade de cada produto, a capacidade diária das operações de fabrico (em minutos/dia) e o lucro por unidade vendida de cada produto (numa dada unidade monetária) são :


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Operação Tempo por unidade Capacidade Operativa Produto 1 Produto 2 Produto 3 (min/dia)

A 1 2 1 430 B 3 0 2 460 C 1 4 0 420

Lucro unitário (u.m.) 3 2 5 Supondo que toda a produção é vendida, formule o problema, de modo a obter um lucro máximo. 20. Um agricultor pode usar 2 tipos de cereais para alimentar as suas galinhas. Os valores nutritivos de cada cereal e o seu custo encontram-se na seguinte tabela:

Tipo de Unidades nutritivas (u.n./Kg) Custo/kg cereal cereais Vitamina A Vitamina B Vitamina C ( )

1 5 4 2 60 2 7 2 1 350

O número mínimo de unidades nutritivas (u.n.) requeridas por dia é de 8, 15 e 3 para as vitaminas A, B e C, respectivamente. Sabendo que se pretende minimizar o custo da alimentação das galinhas, formule o problema em Programação Linear. 21. A empresa PUBI Lda., promove publicidade e propaganda. Dispõe de um orçamento para a próxima semana de 8000 . O dinheiro é para ser usado entre quatro meios de publicidade: Televisão, Jornal e dois tipos de publicidade na rádio. O objectivo da empresa é chegar ao máximo de potenciais clientes. A tabela seguinte mostra o número de potenciais clientes alcançados por cada um dos meios de comunicação. Fornece também o custo da publicidade e o número máximo de spots e anúncios que podem ser comprados por semana. Média Audiência por

spot Custo por spot( ) Número máximo de spots

por semana Televisão(minuto) 5000 800 10 Jornal (página) 8500 925 6 Rádio (30 sg, hor. nobre) 2400 290 20

Rádio (minuto, durante a tarde) 2800 380 22

Questões contratuais obrigam a que a empresa faça no mínimo 5 spots de rádio em cada semana. De modo a assegurar uma campanha equilibrada a gestão da empresa exige que o dinheiro despendido na rádio não seja superior a 1800 em cada semana. 22. (Época Especial 2003)

Um avião de ataque a incêndios na floresta pode transportar bombas explosivas e contentores químicos. As características destas armas estão indicadas no seguinte quadro:

bombas contentoresPeso (kg) 228 114

Volume (l) 142 284Área coberta (ha) 0,4 0,6

Custo por unidade ( ) 400 300


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O avião não pode transportar mais de 1140kg de peso, nem mais que 1136 litros de volume. Formule o problema de modo a determinar a carga mais barata para apagar um fogo numa área de 2,4 hectares. 23. (Frequência 2002/2003)

A Companhia Vinícola do Dão produz dois tipos de vinho: Dão Reserva e Vinho de Mesa. Os vinhos são produzidos a partir de 64 toneladas de uvas que a empresa comprou este Outono. Uma tina de 5000 litros de vinho de Mesa exige 8 toneladas de uvas e uma tinha de vinho Reserva exige 4 toneladas. A empresa dispõe de um máximo de 50 metros cúbicos de espaço e de 120 horas de tempo de processamento. Uma tina ocupa 5m3 de espaço. O tempo de processamento de uma tina de vinho Reserva é de 15 horas, enquanto que o tempo de processamento do vinho de Mesa é de 8 horas. A procura para cada tipo de vinho está limitada a 7 tinas. O lucro de cada tina de vinho Reserva é de 9000 e o lucro de cada tina de vinho de Mesa é de 5000 . A empresa pretende determinar as quantidades de cada tipo de vinho a produzir. Formule o problema linear correspondente. 24. (Época de Recurso 2002/2003)

A firma Motores Recreativos produz carrinhos de golfe e carrinhos para a neve nas suas três fábricas. A fábrica A produz diariamente 40 carrinhos para golfe e 35 carrinhos para a neve. A fábrica B apenas produz carrinhos para golfe – 65 unidades por dia. A fábrica C apenas produz carrinhos para a neve – 53 unidades por dia. Os custos de funcionamento diário das três fábricas A, B e C são, respectivamente, iguais a 210.000 , 190.000 e 182.000 . Quantos dias (incluindo sábados e domingos) deverá operar cada fábrica no mês de Setembro para satisfazer um programa de produção de 1500 carrinhos de golfe e 1100 carrinhos para a neve a um custo mínimo?

Formule o problema linear correspondente. 25. (Época de Recurso 2003)

Uma fábrica produz três produtos distintos. Para produzir uma unidade de produto A são necessários 5Kg de matéria-prima e são produzidas 8 gramas de um resíduo poluente. Cada unidade de produto B necessita de 12Kg de matéria-prima e produz 6 gramas de resíduo. Uma unidade do produto C necessita de 7Kg de matéria-prima e produz 7 gramas de resíduo. A fábrica dispõe de 3 toneladas de matéria prima e tem de satisfazer uma encomendas de 80 unidades do produto A, 50 unidades do produto B e 60 unidades do produto C. Formule o problema de modo a minimizar a produção de resíduo poluente. 26. (Época de Recurso 2004)

Uma construtora possui um terreno de 9900m2 onde pretende construir um conjunto de moradias. As moradias a construir são de três tipos (1, 2 ou 3), cada uma das quais ocupa 170m2, 120m2 e 80m2, respectivamente. Os custos de construção (em milhares de ) são de 150, 100 e 75, respectivamente para cada moradia do tipo 1, 2 ou 3. O orçamento disponível é de 5 milhões de . A empresa sabe que o projecto de urbanização será aprovado se e só se: a área ocupada pelas moradias dos tipos 1 e 2 não for superior a 5100m2; forem construídas pelo menos 20 moradias do tipo 3; forem reservados pelo menos 2000m2 para espaços verdes.

Supondo que toda a área não aproveitada para construção é destinada a espaços verdes, formule em Programação Linear o problema que maximiza a área verde. 27. (Trabalho de avaliação nº1 2003/2004)

Uma instituição bancária pretende, através de um “spot” televisivo, atingir mulheres e homens de classe média-alta.


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Para tal, poderá comprar “tempo de antena” aos dois canais generalistas mais vistos por esse estrato social, durante o intervalo dos respectivos telejornais da noite. A referida instituição não poderá anunciar mais do que um “spot” por dia em cada um dos canais.

As audiências diárias (relativamente ao público alvo) das duas estações televisivas no horário mencionado e os custos associados são dados na seguinte tabela:

mulheres (milhares de pessoas)

homens (milhares de pessoas)

custo ( por “spot”)

sique 400 300 9000 érre-tê-pê 275 350 8500

Durante o próximo mês de Novembro, existem 200 mil euros disponíveis para fins publicitários e, para que a campanha tenha o efeito desejado, pretende-se que o anúncio seja visto por pelo menos 7 milhões de mulheres e 6 milhões de homens da referida classe. Assuma que, em cada um dos canais, há telejornal todos os dias do mês.

Por forma a minimizar os custos da campanha publicitária, formule o problema exposto em Programação Linear.

28. (Frequência 2004)

Uma editora discográfica pretende aproveitar a época natalícia para lançar no mercado um novo álbum do reconhecido cantor José Carreteras, bem como um novo trabalho de Plácido Sábado.

O novo disco de qualquer deles compreende temas individuais do próprio cantor, podendo também incluir duetos gravados por ambos (em acções de beneficiência).

Para isso, a editora terá que comprar os respectivos direitos de autor, cujos custos são encontrados na seguinte tabela:

José Carreteras Plácido Sábado Duetos Milhares de por tema 60 50 0

Temas disponíveis 13 15 4

Qualquer dueto pode ser usado nos discos dos dois cantores. O disco de José Carreteras terá que ter entre 12 e 16 músicas, enquanto que o de

Plácido Sábado deverá incluir 13 a 17 temas. O orçamento total da empresa é de 1,3 milhões de euros. Apesar dos temas gravados em conjunto, é conhecida a forte rivalidade que existe

entre os cantores. Assim, as quantias gastas com cada disco deverão ser o mais aproximadas possível.

Formule este problema em Programação Linear. 29. (Mini-teste nº1, 2004/2005)

Uma empresa gestora de capitais seleccionou quatro oportunidades de negócio. Para os investimentos efectuados em cada um desses negócios, a empresa avaliou os respectivos lucros esperados (l.e.) e lucros no pior caso (l.p.c.), cujos valores se encontram na tabela seguinte:

negócios l.e. l.p.c. 1 13% 6% 2 8% 8% 3 12% 10% 4 14% 9%

Formule em Programação Linear o problema que maximiza o lucro esperado da empresa, sabendo que: a empresa dispõe de 1 milhão de euros; no mínimo, o lucro obtido


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no pior caso deve ser 8% do investimento total realizado; a quantia investida num único negócio não deve exceder 40% do montante total investido. 30. O Sr. Motley Fol pretende investir 10000. Para isso, identificou seis opções de investimento, cada qual com seu nível de retorno esperado e de risco, conforme a tabela :

Fundo A B C D E F

Preço (euros/título) 20 45 60 24 34 8 Retorno esperado (%) 30 20 15 12 10 7 Categoria do risco Alto Alto Alto Médio Médio Baixo

Dada a sua apetência ao risco, o Sr. Motley Fol rege-se pelos princípios: • A quantia total investida em fundos de alto risco deve estar compreendida entre

60% e 75% do investimento total; • A quantia total investida em fundos de médio risco deve estar compreendida

entre 10% e 20% do investimento total; • A quantia investida em fundos de baixo risco deve ser pelo menos 15% do

investimento total; • A quantia investida em fundos de alto risco deve respeitar a seguinte relação: o

fundo B deve ser o metade do fundo A, e o fundo C deve ser o dobro do fundo A; • A quantia investida em fundos de médio risco deve respeitar a seguinte relação: o

fundo E deve ser o triplo do fundo D; Formule o problema de Programação Linear que optimiza o investimento do Sr.

Motley Fol. 31. Determinado investidor dispõe de um montante que pretende investir em produtos financeiros, tendo à sua disposição: Obrigações (1), Títulos Dívida Pública (2), Dep. Bancários (3) e Acções (4). Os rendimentos anuais obtidos através de cada uma das hipóteses anteriores foram no último ano de 7, 6, 5.5 e 13%, respectivamente. O grau de risco, medido numa escala de 1 a 10, foi durante o último ano de 5, 1, 1.5 e 8, respectivamente.

• O investidor não aceita um rendimento anual inferior a 9.5% do valor disponível para investir.

• Por razões de segurança o investimento em acções não deverá ser superior a 20% do total.

• Pelo menos 40% do investimento deverá ser feito em Títulos Dívida Pública e Obrigações.

• Restrições legais impedem um só investidor de adquirir Títulos Dívida Pública num montante superior a 50 milhares de euros.

Formule o problema em Programação Linear (sugestão: converta o risco para uma escala percentual 0 - 100%), de forma a:

a) Maximizar o rendimento. b) Minimizar o risco.

32. (Mini-Teste nº1, 2005/2006, EC)

A empresa Massas Finas & Grossas Lda produz dois tipos de betão: B1 e B2. A produção de uma tonelada de B1 consome 200kg de cimento, 400kg de areia e 400 litros de água. No caso de B2 são consumidos 100kg de cimento, 300kg de areia e 600 litros de água. A empresa dispõe de 10 toneladas de cimento, 25 toneladas de areia e 500000 litros de água. Sabendo que cada tonelada de B1 e B2 é vendida a 400 e 300 respectivamente, e que, devido à seca prolongada, toda a água não utilizada é roubada pelas populações vizinhas (cada litro custa 0.5 ), determine um programa linear que maximize a receita.


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33. (Mini-Teste nº1, 2005/2006, ME+MI+MA+EPGI+EI) A empresa Nucleogal SA dispõe de duas fábricas para produz dois tipos de

combustíveis nucleares, pastilha A e pastilha B, utilizando como matéria-prima o urânio. Na fábrica Um, a transformação de cada kg de urânio resulta em 4 pastilhas A e 7 pastilhas B, implicando um custo de 6 em seguros de saúde. Na fábrica Dois, de cada kg de urânio obtém-se 6 pastilhas A e 5 pastilhas B, implicando um custo de 8 em seguros de saúde. Existem encomendas de 800 unidades de pastilhas A e 500 unidades de pastilhas B e 2500kg de urânio. Sabendo que por cada pastilha A não vendida a Nucleogal SA tem um custo de 2 de armazenamento, formule o problema nos termos da programação linear de forma a minimizar o custo total. 34. (Mini-Teste nº1, 2005/2006, G+E)

Uma empresa gestora de capitais pretende fazer investimentos em 3 tipos de aplicações, sendo que cada uma requer um montante mínimo de investimento. Conhecem-se os lucros esperados (mínimo e máximo) associados a cada aplicação, conforme os dados da seguinte tabela:

Aplicação Montante mínimo (milhares de )

Lucro mínimo (%)

Lucro máximo (%)

1 100 14 20

2 250 9 10

3 200 11 15

A empresa possui um orçamento de 10 milhões de euros e só considera a hipótese

de efectuar um plano de investimentos que garanta um lucro mínimo de 12%. Adicionalmente, imposições do mercado de capitais obrigam que o investimento na

aplicação 2 seja não inferior a 20% do investimento na aplicação 1. Formule, em Programação Linear, o problema que maximize o lucro máximo

esperado.

__________________________________ 35. Uma empresa possui 3 fábricas onde existe capacidade de produção em excesso. Todas as fábricas estão aptas a produzir um novo produto e a direcção decidiu usar desta forma alguma da capacidade disponível. Este novo produto pode ser fabricado em 3 tamanhos : grande (G), médio (M) e pequeno (P). Estes dão um lucro unitário de 42, 36 e 30 u.m., respectivamente. As fábricas 1, 2 e 3 têm capacidade em excesso para produzir diariamente 750, 900 e 450 unidades deste produto, respectivamente, independentemente dos tamanhos ou combinações de tamanhos. O espaço de armazenamento disponível impõe uma limitação na produção do novo produto. As fábricas 1, 2 e 3 têm, respectivamente, 13000, 12000 e 5000 m2 de espaço de armazenamento disponível por um dia de produção. Cada unidade

do novo produto de tamanhos G, M e P necessita de 20, 15 e 12 m2, respectivamente. As previsões de vendas indicam que podem ser vendidas diariamente 900, 1 200 e 750 unidades de tamanhos G, M e P, respectivamente. Para manter uma força de trabalho uniforme nas fábricas e dispor de alguma flexibilidade, a direcção decidiu que as fábricas devem usar a mesma percentagem da sua capacidade em excesso para produzir o novo produto. A direcção pretende saber quanto, de cada tamanho, deve ser produzido em cada fábrica, de modo a maximizar o lucro total. Construa um modelo matemático em Programação Linear para o problema.


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36. Um industrial têxtil pode fabricar 2 tipos de tecido (A e B), para o que necessita de 4 tipos de fio (1, 2, 3 e 4). Assim, para fabricar 1 unidade de medida (u.m.) do tecido A, são necessários 4 kg de fio 1, 3 kg de fio 2, 6 kg de fio 3 e 1 kg de fio 4. Para fabricar 1 u.m. de tecido B, são necessários 2 kg de fio 1, 8 kg de fio 2, 1 kg de fio 3 e 3 kg de fio 4. O custo (em unidades monetárias u.m.) por kg de fio, é dado na tabela seguinte:

Fio 1 2 3 4 Custo 10 12 11 13

O preço de venda por unidade de medida de tecido é de 250 para o tecido A e de 300 para o tecido B. Sabendo que o industrial só dispõe de 200.000 para investir na compra de fio e que o fornecedor de fio só pode garantir a entrega de 8 000 kg do fio 2, que quantidades devem ser fabricadas de tecido A e de tecido B, de forma a maximizar o quantitativo recebido pela venda (supõe-se garantida a venda total da produção) ? Formule (não resolva) o problema como um de PL. 37. (Época Especial 2003)

Uma empresa de produtos alimentares pretende produzir um certo preparado pela mistura de três substâncias, A, B e C, devendo decidir acerca da sua composição de forma que o preparado satisfaça alguns requisitos nutritivos. Assim, não deverá ter menos de 1800 cal/kg, contendo um mínimo de 7% de gorduras e não mais de 0,5% de açúcar. As três substâncias têm as seguintes características:

Formule o problema linear que optimiza a produção do preparado.

38. (Época Normal 2003)

Uma fundição pretende produzir um nova liga metálica, contendo 40% de Estanho, 35% de Zinco e 25% de Chumbo, a partir de várias ligas com as seguintes propriedades:

O objectivo é determinar as quantidades das cinco ligas metálicas que devem ser

utilizadas na elaboração da nova liga, com custo mínimo. Formule o problema em Programação Linear.

39. (Frequência 2003)

Uma companhia petrolífera tem ao seu dispor dois tipos de crude – A e B – cujo custo é de 31 e 29 por barril, respectivamente. No quadro seguinte são apresentados o número de barris de gasolina, querosene e de jet-fuel que são produzidos por cada barril de crude:

A B C

cal/kg 1200 2000 2500

gordura (%) 4 8 15

açúcar (%) 0,5 0,6 0,4

Custo por kg ( ) 0,07 0,15 0,3

1 2 3 4 5

Estanho (%) 60 25 45 20 50

Zinco (%) 10 15 45 50 40

Chumbo (%) 30 60 10 30 10

Custo ( /kg) 22 20 25 24 27

Gasolina Querosene Jet-fuel

Crude A 0,4 0,2 0,4

Crude B 0,4 0,4 0,2


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Durante o processo de refinação perdem-se 5% e 8% do crude de tipo A e B, respectivamente. A fim de satisfazer as encomendas, é necessário produzir 1 milhão de barris de gasolina, 400.000 barris de querosene e 250.000 barris de jet-fuel. A companhia pretende determinar as quantidades de cada tipo de crude a adquirir de forma a minimizar os custos.

Formule o problema linear correspondente. 40. (Mini-teste nº1, versão não publicada, 2004/2005)

Um intermediário compra e vende milho como modo de vida. No final deste ano terá no seu armazém 50 toneladas de milho e 1000 na sua conta bancária. No primeiro dia de cada mês do próximo ano poderá comprar milho aos seguintes preços por tonelada: Janeiro, 300 ; Fevereiro, 350 ; Março, 400 ; e Abril, 500 . No último dia de cada mês, o intermediário poderá vender milho aos seguintes preços por tonelada: Janeiro, 250 ; Fevereiro, 400 ; Março, 350 ; e Abril, 550 . O milho é armazenado num celeiro com capacidade de 100 toneladas. Formule, em Programação Linear, o problema que maximiza o dinheiro que o intermediário terá disponível no fim de Abril. 41. (Mini-teste nº1, 2006/2007)

Uma empresa fabrica três produtos em duas máquinas (A e B). Na tabela seguinte encontram-se os dados relativos ao tempo (em minutos) que cada unidade de cada produto demora a ser fabricado, ao lucro unitário de cada produto (em ) e à área ocupada em armazém por cada produto (em m2):

máquina

produto A B lucro área 1 2 3

10 12 13

27 19 33

10 12 17

0,1 0,15 0,5

O produto 1 tem que ser fabricado por ambas as máquinas, pelo que cada unidade

deste produto demora 37 minutos a ser fabricado (10 na máquina A e 27 na máquina B). Já os produtos 2 e 3 podem ser produzidos por qualquer máquina.

O armazém da empresa tem uma área de 50m2. Estudos de mercado indicam que, com uma margem de ±5%, o produto 2 deve ser

produzido no dobro da quantidade que o produto 3. Numa semana de 35 horas, devido a trabalhos de manutenção, as máquinas A e B

estão inoperacionais 5% e 7% do tempo, respectivamente. Formule em Programação Linear o problema que maximiza o lucro da produção

semanal. 42. (Frequência, 2006/2007)

Um aluno da UBI decidiu fazer 3 exames na 2ª chamada das disciplinas A, B e C. Decidiu também que só estuda até dois dias antes do primeiro dos mesmos. Até essa data, descontando o tempo perdido com alimentação, playstation e pouco mais, o aluno tem 100 horas para estudar. As suas prioridades são:

• O tempo dispendido a estudar a disciplina A deve ser superior em 20% do tempo dispendido com o estudo da disciplina B;

• A soma do tempo dispendido com o estudo das disciplinas A e B deve ser sensivelmente igual ao tempo gasto no estudo da disciplina C, com uma margem de erro de 10%. .

A satisfação pessoal que o aluno obtém por cada hora dispendida a estudar as disciplinas A, B e C é de, respectivamente, 3, 4 e 5 (valores em chocolates por hora). Formule em Programação Linear o problema que maximiza a satisfação pessoal do aluno


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sujeito às restrições mencionadas.

43. (Exame de 1ªchamada, 2006/2007) O já conhecido aluno da UBI decidiu fazer apenas dois dos três exames (das

disciplinas A, B e C) que ainda pode fazer na 2ª chamada. Até uma determinada data, descontando o tempo perdido com alimentação e pouco mais (a playstation foi interdita), o aluno tem 75 horas para estudar. As suas prioridades são:

• Se optar por estudar a disciplina A, não quer estudar mais que 30 horas; • Se optar por estudar a disciplina B, tem que estudar um mínimo de 25 horas; • O tempo dispendido com o estudo das disciplinas A e B deve ser sensivelmente o

mesmo, com uma margem de 10%, que o tempo gasto a estudar a disciplina C; • Só se estudar a disciplina A é que estará em condições para estudar B, ou seja, se

não estudar A não poderá estudar B. A satisfação pessoal que o aluno obtém por cada hora dispendida a estudar as

disciplinas A, B e C é de, respectivamente, 3, 4 e 5 (valores em chocolates por hora). O aluno pretende saber que disciplinas deve estudar e durante quanto tempo deve

estudar cada uma dessas (naturalmente,à disciplina que ele não estudar não pretende dedicar tempo). Formule em Programação Linear o problema que maximiza a satisfação pessoal do aluno sujeito às restrições mencionadas.

__________________________________ 44. Um estudante que toma as suas refeições diárias numa cantina universitária tem à sua disposição, num determinado dia, 5 menus completos e variados (3 para o almoço e 2 para o jantar) cujos preços (em ) são apresentados na tabela seguinte:

Almoço Jantar Menu 1 Menu 2 Menu 3 Menu 1 Menu 2

1,25 1,5 1,75 1 1,75

Após ter determinado o total de substâncias nutritivas (proteínas e vitaminas)

contido em cada um desses menus, obteve os valores seguintes:

Almoço Jantar Menu 1 Menu 2 Menu 3 Menu 1 Menu 2

Proteínas (gr) 16 20 25 15 25 Vitaminas (mg) 20 15 12 10 5

Por outro lado, os requerimentos totais (almoço e jantar) de proteínas e vitaminas

exigidos pelo estudante para a sua alimentação nesse dia são respectivamente 35g e 0.02g. Qual o esquema de alimentação que o estudante deve adoptar de forma a obter um custo mínimo de alimentação para esse dia específico ? (isto é, qual o menu que ele deve escolher para o almoço e qual deve escolher para o jantar ?) Formule este problema em Programação Linear. 45. A cadeia de lojas Coronel Tijelada vai lançar um novo produto no mercado, tendo que, para o efeito, abrir uma nova linha de produção. Diariamente, os trabalhadores da empresa serão obrigados a fazer 2 turnos de 5 horas cada. Os turnos e as respectivas quantidades necessárias de trabalhadores encontram-se na seguinte tabela:


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turno 1 6h – 11h

turno 2 11h – 16h

turno 3 16h – 21h

turno 4 21h – 2h

15 5 12 6

Os trabalhadores que laborem 2 turnos consecutivos recebem 12 euros por hora, enquanto que os que efectuarem turnos não consecutivamente ganham 18 euros por hora. Formule o problema em Programação Linear que minimize o custo diário de mão de obra. 46. A Sr.ª D. Ofélia tem duas netas, a Cátia e a Vanessa, a cada uma das quais pretende oferecer uma carteiras de acções, podendo gastar no total 1.500.000 euros. Um analista económico aconselhou à avó 3 títulos para possível investimento: B.C.P. (1), Sonae (2) e P.T. (3). O custo unitário de cada um destes títulos é de 2, 3.5 e 3.25 euros, respectivamente. É sabido que a Cátia não deseja mais do que 200.000 euros em acções do B.C.P, enquanto que a Vanessa quer pelo menos 600.000 euros em títulos da Sonae.

a) A Sr.ª D. Ofélia não quer prejudicar nenhuma das netas, pelo que pretende que os valores das carteiras sejam o mais aproximados possível. Formule o problema em Programação Linear.

b) Escreva matematicamente a restrição que garanta a pretensão da avó em doar a instituições de caridade pelo menos um terço do montante total não investido.

47. Determinada empresa comercializa um produto cujo valor de encomendas (em toneladas) nos próximos três meses é de:

Mês 1 Mês 2 Mês 3 100 t 120 t 150 t

O produto pode ser produzido por dois processos (I e II). Cada tonelada de

produto requer dois tipos de matéria-prima e mão-de-obra, conforme os valores apresentados na tabela seguinte:

Dado o período de franca expansão que a empresa atravessa, é possível aumentar as

disponibilidades em 20% de um mês para o mês seguinte. Sabe-se que o produto não pode ser armazenado. Pretende-se ainda que, em cada mês, a diferença entre as quantidades produzidas

pelos dois processos não seja superior a 10% do total produzido. Formule em Programação Linear o problema que minimiza os custos.

48. Uma empresa de papel tem máquinas capazes de produzir rolos de papel com uma largura standard de 2 metros. Estes rolos são depois cortados em rolos com uma largura menor, em função de encomendas previamente estabelecidas.

Num dado momento, existe uma encomenda de 500 rolos de 45cm de largura, 300 rolos com 24cm de largura e 200 rolos com 60cm de largura. Como é fácil constatar, há 12 possíveis formas de cortar um rolo de 2 metros para obter rolos com 45cm, 24cm e/ou 60cm:

disponibilidade

Processo I Processo II no primeiro mês

matéria-prima 1 10 12 2500

matéria-prima 2 15 10 3000

mão-de-obra 2.5 2.8 600

custo unitário 500 600


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Exemplo: o padrão de corte 4 estabelece que um rolo de 2 metros é cortado em 5 rolos de 24cm e 1 rolo de 60cm, sendo o desperdício de 20cm.

Pretende-se estabelecer um plano de corte de rolos de 2 metros por forma a satisfazer a encomenda minimizando o nº de rolos de 2 metros utilizado.

a) Formule o problema em Programação Linear. b) Como alteraria a formulação anterior se o objectivo fosse minimizar o desperdício?

49. (Época Especial 2004)

Uma fábrica de móveis dispõe em armazém de placas de MDF com 41dm de comprimento. Para produzir uma nova linha de móveis a fábrica terá que cortar estas placas em peças com 18, 15, 10 e 8dm de comprimento, cujas quantidades exigidas pelo seu cliente são de 1000, 1800, 2700 e 6500, respectivamente. Formule, em Programação Linear, o problema que minimiza a quantidade desperdiçada das placas de MDF. 50. A Risco Calculado, uma empresa gestora de capitais, está a considerar cinco oportunidades diferentes de investimento. A empresa pode comprar qualquer fracção de cada negócio, podendo tomar as suas decisões em duas datas diferentes – data 0 e data 1.

Na data presente (data 0) existem 40 milhões de euros. Daqui a seis meses (data 1) a empresa poderá completar investimentos nos mesmos 5 negócios, quando estarão disponíveis mais 25 milhões de euros de novo capital e 7% do montante entretanto investido na data 0.

Os montantes requeridos pelos diferentes negócios em cada data e o lucro esperado de cada um dos mesmos são dados na seguinte tabela (valores em milhões de euros):

Formule o problema em Programação Linear por forma a maximizar o lucro da Risco Calculado. 51. A McRonald’s pretende determinar a localização de futuros restaurantes num distrito com 6 centros populacionais importantes (Ci, i=1,...,6). A empresa pretende reduzir ao mínimo o nº de restaurantes a abrir, devido aos elevados custos de investimento necessário. No entanto, terá que se garantir que todos os centros populacionais ficarão, no máximo, a 20 minutos de um centro populacional com McRonald’s. O quadro seguinte apresenta os tempos estimados de deslocação entre qualquer par de centros populacionais:

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C1 0 15 25 34 36 24 C2 15 0 30 40 27 14 C3 25 30 0 20 35 23 C4 34 40 20 0 18 29 C5 36 27 35 18 0 19 C6 24 14 23 29 19 0

Padrões de corte

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

nº de rolos com 45cm 0 0 1 0 1 2 3 0 1 2 3 4

nº de rolos com 24cm 0 3 1 5 3 2 0 8 6 4 2 0

nº de rolos com 60cm 3 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0

desperdício (cm) 20 8 11 20 23 2 5 8 11 14 17 20

1 2 3 4 5

Data 0 11 53 5 5 29

Data 1 3 6 5 1 34

lucro 13 16 16 14 39


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Apresente o modelo em Programação Linear que minimiza o nº de centros populacionais onde são construídos novos McRonald’s. 52. (Época Normal 2004)

Uma empresa produz um certo artigo para venda. Os custos de produção (em ) em cada um dos 4 trimestres do corrente ano são 14, 16, 15 e 17 por unidade, e o preço unitário de venda do artigo é de 25 (não varia ao longo do ano).

As capacidades de produção nos mesmos períodos são de 420, 380, 180 e 200 unidades e as encomendas são de 270, 200, 200 e 410 unidades.

As quantidades produzidas num período e que não forem vendidas no mesmo período podem ser armazenadas para os períodos seguintes ao custo de 1 por unidade e por período. No início do 1º trimestre há 20 unidades de produto em armazém e, no final do 4º trimestre, este deve ficar vazio.

Formule em Programação Linear o problema que maximiza o lucro da empresa. 53. (Época de Recurso 2004)

O Francisco dispõe de 2200 para investir nos próximos 5 anos. No princípio de cada ano, ele pode subscrever depósitos a prazo de um ou de dois anos. Um banco (dos menos somíticos do mercado) paga-lhe 4% de juros pelos depósitos anuais e 9% (no total) de juros pelos depósitos a dois anos. Se o Francisco reinvestir o seu dinheiro anualmente, formule, em Programação Linear, o problema que maximiza o dinheiro que poderá movimentar ao fim de 5 anos. 54. (Exame Normal 2004/2005)

Uma empresa fabrica três produtos (A, B e C), que vende (cada unidade) a 10, 56 e 100 , respectivamente. Sabe-se que:

• Uma unidade de A requer 1 hora de mão-de-obra. • Uma unidade de B requer 2 horas de mão-de-obra e 2 unidades de A. • Uma unidade de C requer 3 horas de mão-de-obra e 1 unidades de B. • A mão-de-obra está limitada a 40 horas.

Sabe-se ainda que: • Qualquer unidade de A usada no fabrico de B não pode ser vendida. • Qualquer unidade de B usada no fabrico de C também não pode ser vendida.

Formule em Programação Linear o problema que maximiza o lucro da empresa. 55. Um gabinete de advogados tem quatro casos (fraude, corrupção, furto e estupro) que quer atribuir a quatro advogados (A, B, C e D). Cada advogado deve tratar apenas de um caso, e tem competências específicas em cada tipo de caso, indicadas sob a forma de índice de proficiência na tabela:

Caso Advogado Fraude Corrupção Furto Estupro

A 15 14 15 16 B 18 15 16 17 C 8 8 16 16 D 10 12 14 15

Formule o problema de optimização da distribuição dos casos pelos advogados em

Programação Linear.


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56. (Frequência 2005/2006, ME+MI+MA+EPGI+EI+EC) Numa empresa existem n máquinas independentes que fabricam um dado tipo de

produto. Por dia são necessárias Q unidades desse produto, que pode ser produzido em qualquer uma das máquinas. No entanto, para rentabilizar o tempo de utilização de cada máquina j, se esta for posta em funcionamento existe uma quantidade mínima de produto, mj, que deve ser produzido por essa máquina. De igual modo, qualquer máquina tem um limite de capacidade de produção, Mj . Ao colocar em funcionamento a máquina j é necessário pagar um custo, kj, associado à sua manutenção e por cada unidade produzida na máquina j existe um custo de produção cj. Formule, em Programação Linear, o problema que minimiza o custo total de produção. 57. (Frequência 2005/2006, G+E)

Um empresário dispõe de três fundos de investimento, FI1, FI2 e FI3, onde pode aplicar até 1 milhão de . As cotações de cada unidade de participação (UP) desses fundos são de 10, 15 e 18 , respectivamente.

Caso opte por investir no fundo FIj , existe um número mínimo de UP que terá que adquirir, mj, como também um número máximo, Mj , com j=1, 2, 3. Se o empresário investir no fundo FIj, terá um custo de subscrição de kj . Por cada UP de FIj adquirida, terá ainda que pagar uma comissão de cj .

Formule em Programação Linear o problema que minimiza o custo de subscrição dos fundos de investimento e as comissões associadas. 58. Um estudante tem de fazer exame em 3 disciplinas - A, B e C - tendo 3 dias para estudar. Ele pensa que o melhor é dedicar um dia inteiro ao estudo duma mesma disciplina, pelo que pode gastar no estudo de qualquer disciplina desde 0 a 3 dias. A estimativa das notas que pode obter consoante o estudo é a seguinte:

Dias de Disciplinas estudo A B C

0 0 4 0 1 4 4 4 2 4 12 12 3 12 16 12

O aluno pretende determinar como deve planear o estudo de modo a maximizar a classificação total. 59. Três navios carregados de ferro pretendem descarregar e há 4 docas onde o podem fazer. Devido às diferentes capacidades dos navios e das docas o tempo (em dias) de descarga varia conforme os dados da seguinte tabela:

Navio Doca 1 2 3

1 7 15 21 2 13 10 15 3 12 16 28 4 14 8 5

Sabendo que cada doca é utilizada no máximo por um navio:

a) Formule em Programação Linear o problema que minimiza o tempo total gasto na descarga dos 3 navios.

b) Sabendo que o proprietário dos três navios pretende dispor da sua frota o mais breve possível, formule o problema em Programação Linear.


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60. É necessário dispor de uma máquina para executar uma certa tarefa durante os próximos 4 anos, após os quais a tarefa e a máquina deixam de ser necessárias. O custo de aquisição da máquina nos próximos 4 anos é: 25000 (agora), 30000 (daqui a um ano), 38000 (daqui a 2 anos) e 47000 (daqui a 3 anos). Após ser utilizada, o valor de venda da máquina depende do número de anos que serviu: 15000, 10000, 5000 e 1000 por 1, 2, 3 e 4 anos de serviço, respectivamente. O custo anual de manutenção depende do tempo de utilização: 3000 (nova), 5000 (1 ano), 8000 (2 anos) e 15000 (3 anos). Pretende-se determinar a política óptima de compra, venda e utilização das máquinas. 61. Considere a rede seguinte onde se pretende transportar crude desde um poço de petróleo (nodo 1) até à refinaria (nodo 5) através de oleodutos (arcos) com calibres (cij) indicados junto a cada arco:

1

2 3

4

5

3

2

4

5

1

26

4

Entende-se por calibre de um oleoduto a quantidade máxima de crude, em Kl, que pode fluir através do mesmo por hora. Formule o problema que maximiza a quantidade de crude que pode chegar à refinaria por hora. 62. Considere o grafo seguinte onde se pretende transportar contentores existentes no nodo 1, através da rede, até ao nodo 9.

1

2 3

4

6

5

7 8

9

Cada contentor será transportado por um camião que percorre um dos caminhos de 1 a 9 existentes na rede. Foi aberto um concurso para a realização do transporte e concorreram várias empresas, cada uma com um camião. Pretende-se transportar os contentores o mais rapidamente possível de 1 para 9. Como tal, serão aceites transportes realizados por várias empresas. Devido às rivalidades entre estas, pretende-se estabelecer percursos diferentes para cada uma das empresas de forma a garantir que camiões de diferentes empresas não se encontram na estrada (nem em troços de estrada nem em cruzamentos). Assume-se que o tempo de 1 a 9 em qualquer percurso é o mesmo.

Formule o problema que maximiza o número de empresas que é possível aceitar para a realização do transporte nas condições acima descritas.


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63. Suponha que está interessado em seleccionar investimentos {1,...,7}. Modele as seguintes restrições:

a) Não pode investir em todos; b) Tem que investir em pelo menos um; c) O investimento 1 não pode ser seleccionado se o investimento 3 for escolhido; d) O investimento 4 pode ser escolhido só se o investimento 2 for seleccionado; e) Tem que escolher ou ambos os investimentos 1 e 5 ou nenhum; f) Tem que seleccionar ou pelo menos um dos investimentos 1, 2, 3, ou pelo menos

dois dos investimentos 2,4,5,6. 64. Numa empresa existem n máquinas independentes que fabricam um dado tipo de produto. Por dia são necessárias Q unidades desse produto, que pode ser produzido em qualquer uma das máquinas. No entanto, para rentabilizar o tempo de utilização de cada máquina j, se esta for posta em funcionamento existe uma quantidade mínima de produto, mj, que deve ser produzido por essa máquina. De igual modo, qualquer máquina tem um limite de capacidade de produção, Mj. Ao colocar em funcionamento a máquina j é necessário pagar um custo, kj, associado à sua manutenção e por cada unidade produzida na máquina j existe um custo de produção cj. 65. A delegação do Ministério da Saúde de um dado concelho pretende instalar k postos de saúde na sua área por forma a servir toda a população do concelho. Para isso, poderá construir em qualquer uma das m freguesias que constituem o concelho. Se a delegação decidir construir um posto numa dada freguesia j, terá que adquirir o terreno por um custo aj e, além disso, terá de pagar fj pela sua manutenção.

As m freguesias devem ser servidas na totalidade e cada uma só pode ser servida por um único posto. Se a freguesia i for servida por um posto de saúde na freguesia em j, a delegação de saúde terá de pagar um custo cij. O objectivo da delegação é então servir todas as freguesias com custo mínimo.

a) Formule o problema apresentado; b) Suponha agora que cada freguesia tem uma determinada população de pi habitantes,

i=1,...,m, e que se for instalado um posto em j apenas Dj habitantes poderão ser servidos por esse posto. Como alteraria a formulação obtida em a)? 66. A Câmara Municipal de uma dada cidade prevê instalar brevemente em certos pontos da cidade dois novos tipos de serviços. Em cada um dos n possíveis locais de instalação, se optar pela instalação, poderá instalar um ou ambos os tipos de serviço. A capacidade máxima de cada serviço estará condicionada ao local de instalação e será Q1

j e Q2j (j=1,...,n)

respectivamente. A urgência em criar estes serviços surgiu pela sua crescente necessidade. Assim, um

conjunto de m potenciais clientes expressou quantitativamente as suas necessidades p1i e p2

i, (i=1,...,m), respectivamente. Assume-se que todos os clientes necessitam de ambos os tipos de serviço.

A Câmara está a estudar a forma de resolver a situação com custo mínimo, visto existirem custos de instalação dos serviços consoante o local onde são instalados: fkj, k=1,2 e j=1,...,n. Além disso, a Câmara suportará também os custos de deslocação que dependem directamente da distância entre o cliente e o local que o irá servir: dij, i=1,...,m e j=1,...,n.

a) Formule o problema apresentado; b) Como alteraria a formulação no caso em que, se um dado cliente i for servido pelo

mesmo local no que diz respeito aos dois tipos de serviço, apenas será contabilizado uma vez o custo de deslocação dij?


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Soluções dos exercícios envolvendo resolução gráfica:

1. x*=(8, 5/3); Z*=380

2. x*=(2,3); Z*=14

3. Não existe solução óptima, i.e., a solução óptima é ilimitada; não existe um valor máximo finito para

a função objectivo.

4. x*=(2,5); Z*= - 45

5. Soluções óptimas alternativas: todos os pontos do segmento de recta (sobre a recta associada à

restrição 20x1+36x2 36000) que une os pontos (0,1000) a (1028.57; 428.57) são soluções óptimas, com

Z*=18000. Ou seja, qualquer ponto da forma (x1,x2)= (0,1000)+(1- )(1028,57;428,57), com [0,1], é

solução óptima com Z*=18000.

6. O problema é impossível: a região admissível é vazia.

7. x*=(0,2); Z*=4

8. x*=(5,5); Z*= - 20

9. x*=(2,6); Z*=20

10.b) x*=(-8/7, 18/7); Z*=80/7

13.b) x*=(6, 12); Z*=1170 u.m.


restrição 4x1+5x2 32) que une os pontos (0,32/5) a (3,4) são soluções óptimas, com Z*=32000 u.m. Ou seja,

qualquer ponto da forma (x1,x2)= (0,32/5)+(1- )(3,4), com [0,1], é solução óptima com Z*=32000 u.m..

15.b) x*=(3,4); Z*=21000u.m.

15.c) Não, visto que a região admissível consiste em apenas um ponto.


restrição 2x1+x2 2000) que une os pontos (0,2000) a (400,1200) são soluções óptimas, com Z*=20000gr. Ou

seja, qualquer ponto da forma (x1,x2)= (0,2000)+(1- )(400,1200), com [0,1], é solução óptima com

Z*=20000gr.

Considerando uma solução óptima, por exemplo, x*=(0,2000), são produzidas 2000 unidades de P1

e 6000 unidades de P2, sobram 1000Kg de matéria prima e resultam 20Kg de resíduo.

17.b) x*=(52/5, 6/5); Z*=58/5 dias.

18.a) x*=(20000,80000); Z*=14000

18.b) x*=(60000,40000); Z*=1800

universidade da beira interior – departamento de ...pmendes/io_0708_net/ficha1_0708.pdf ·...

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