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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
Valdir Amâncio da Silva
Conhecimento Profissional Docente Sobre o Campo Con ceitual
Aditivo: uma investigação em um processo formativo
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Angélica Garcia da Fontoura Silva.
São Paulo 2012
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Banca Examinadora
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura: ___________________________________ Loc al e Data: ________
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Á minha esposa, Débora de Campos, por sua paciência e compreensão. Á minha mãe, que hoje me vê das estrelas e aos meus filhos queridos, Yago e Yani
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Agradecimentos
O que essa humilde mente acadêmica tem a ver com Deus? Tudo! Sem Ele, o que seria de mim? As mãos tortas de uma senhorinha quituteira Colocou-me no caminho da leitura, do conhecimento. Do saber. Desde a primeira escrivaninha que me dera de presente. Até meu escritório dos dias de hoje, Sua mão me acompanha E me consola nos momentos difíceis! Uma guerreira entrou em minha vida, Estremeceu meu chão E me mostrou que a vida precisa ser vivida intensamente. Débora, minha esposa, companheira, e amiga, Te amo muito! Duas estrelinhas caíram em minha vida, Cada uma com uma mensagem, Não desista! Você consegue! Meus amores, meus filhos, Yago e Yani Um país compromissado com a educação precisa De muito estudo e muita investigação. Para isso faz-se necessário uma Organização que acredite No potencial dos brasileiros. Agradeço a Capes pelo custeio da minha pesquisa. Uma instituição forte tem, com certeza, alguém de muita força no comando. Muito obrigado Professora Tânia Campos, pela oportunidade de participar Do projeto Observatório da Educação. E, em especial, Um anjo, Uma luz, Um diferencial! Viverei meus próximos anos de vida E não terei como lhe pagar por tudo que fez por mim! Espero conseguir elevar seu nome nos altares do mundo acadêmico Da forma como você merece. Professora Angélica, obrigado pela paciência, pelos puxões de orelha, E, principalmente, por acreditar em mim até o fim!
O autor
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Resumo
AMÂNCIO SILVA, V. Conhecimento Profissional Docente sobre o Campo
Conceitual Aditivo: uma investigação em um processo formativo. 2012.
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade
Bandeirante de São Paulo.
O propósito deste trabalho foi investigar as concepções de professores que atuam
nos anos iniciais da Educação Básica a respeito do Campo Aditivo. Trata-se de
pesquisa de campo de natureza qualitativa que envolveu um grupo de três
professoras participantes de um Programa de Formação Continuada, no âmbito
do Projeto Observatório da Educação, promovida pela Universidade Bandeirante
de São Paulo. A coleta de dados incluiu a observação direta, gravação das
sessões de formação, aplicação de questionários, entrevistas semiestruturadas e
relatórios reflexivos sobre a aplicação de atividades aos alunos. A análise dos
dados fundamenta-se tanto em teorias sobre as questões didáticas do Campo
Aditivo, como em estudos que investigam a formação de professores. Quanto ao
primeiro enfoque, apoia-se, sobretudo, nos aportes teóricos Vergnaud (2009).
Quanto às questões concernentes à formação de professores, em especial, aos
saberes docentes e à reflexão sobre a prática, este trabalho referencia-se em
estudos de Shulman (1986), Schon (1997), Serrazina (1999) e Tardif (2000). A
análise dos dados revelou que duas professoras desconheciam os pressupostos
que envolviam a Teoria dos Campos Conceituais acerca do Campo Aditivo antes
de participar dos encontros de formação continuada. Durante esse processo, as
três docentes apresentaram evidências de (re)construção de conceitos sobre o
Campo Aditivo. Nove meses depois do encerramento dos encontros, os
depoimentos das professoras revelaram que as experiências vivenciadas durante
o processo de formação favoreceram significativamente a ampliação de seus
conhecimentos acerca do Campo Aditivo.
Palavras-chave: Formação de Professores. Conhecimento Profissional Docente.
Concepções sobre o Campo Aditivo.
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Abstract
AMANCIO SILVA, V. knowlwdge about Teaching Professional additive conceptual
field: an investigation in a training process. 2012. Dissertation (Master in
Mathematics Educacion) – Bandeirante University of São Paulo.
The purpose of this study was to investigate the conceptions of teachers who work
in the early years of basic education about the Field Amendment. This is the field
ressearch of a qualitative nature involving a group of three teachers participating in
a Continuing Education Program within the Centre for Education Project,
sponsored by Bandeirante University of São Paulo. Data collection included direct
observation, recording of training sessions, questionnaires, structured interviews
and reflective reports on the implementation of activities for students. Data
analysis is based both on theories about the didactic Field Amendment, as in
studies investigating the training of teachers. The first approach, relies mainly on
the theoretical contributions Vergnaud (2009). The questions concerning the
training of teachers, in particular, teacher Knowledge and reflection on practice,
this reference work on studies of Shulman (1986), Schon (1997), Serrazina (1999)
and Tardif (2000). Data analysis revealed that two teachers were unaware of the
assumptions involving the Conceptual Fields Theory on the Addictive Field before
attending continuing education meetings. During this process, the three teachers
had evidence of (re) construcion of concepts on the Field Amendment Nine
months after the close of the meetings, the testimony of teachers revealed that
their experience during the training process significanty favorede the expansion of
their Knowledge about the additive field.
Keywords : Teacher Education. Teaching Professional Knowledge. Conceptions
about the Field Amendment.
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Sumário
APRESENTAÇÃO ....................................................................................... 15
CAPÍTULO 1 ................................................................................................ 20
Das Motivações a Pesquisa ............................................................. 20
1.1 Conhecimento profissional docente e a formação de
professores..........................................................................................
22
1.2 Questões que orientaram a investigação ...................................... 23
1.3 Procedimentos metodológicos ...................................................... 24
1.4 Organização sistemática da coleta de dados ................................ 26
CAPÍTULO 2 ................................................................................................ 29
O cenário da investigação ................................................................ 29
2.1 O observatório a educação ........................................................... 29
2.2 Descrição das atividades desenvolvidas no 1º módulo ................. 32
2.2.1 Primeiro e segundo encontros ................................ 32
2.2.2 Terceiro encontro ...................................................... 36
2.2.3 Quarto e quinto encontros ......................................... 40
2.2.4 Sexto encontro .......................................................... 43
2.2.5 Sétimo encontro ........................................................ 44
2.2.6 Oitavo encontro ......................................................... 44
CAPÍTULO 3 ................................................................................................ 52
Fundamentação teórica .................... ............................................... 52
3.1 Noções do Campo Aditivo ............................................................. 53
3.2 Pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais........................ 55
3.2.1 O cálculo relacional ................................................... 55
3.2.2 Os números naturais na concepção de medidas ...... 58
3.2.3 A ideia rudimentar da soma ....................................... 59
3.2.4 A transformação de medidas...................................... 61
9
3.2.5 As seis categorias aditivas de Vergnaud ................... 62
3.2.6 Sobre as ações mobilizadas pelas crianças para
resolver situações-problema do Campo Aditivo ....... 68
3.3 Os conhecimentos curriculares, pedagógicos e de conteúdos
do professor ........................................................................ 69
3.3.1 O conhecimento do conteúdo objeto ......................... 70
3.3.2 O conhecimento do conteúdo pedagógico ................ 71
3.3.3 O conhecimento do conteúdo curricular .................... 72
3.4 O professor que reflete sobre suas ações .................................... 73
3.4.1 A reflexão na ação do professor de Donald A.
Schon ......................................................................... 73
3.4.2 O saber do professor ................................................. 75
3.5 Serrazina e a autoconfiança do professor para realizar
reflexões sobre suas ações ................................................ 76
3.6 Os saberes profissionais dos professores na visão de Maurice
Tardif .................................................................................. 79
3.6.1 Sobre o paradoxo existente na profissionalização do
ofício de profesor ...................................................... 80
3.6.2 Sobre os conhecimentos formalizados do professor.. 81
3.6.3 Os professores, os formadores e os pesquisadores.. 82
3.7 Revisão de literatura - Alguns estudos realizados sobre o Campo
Conceitual Aditivo e a Formação ...................................... 83
CAPÍTULO 4 ................................................................................................ 88
Apresentação e análise dos dados ................................................. 88
4.1 O prefil dos sujeitos da pesquisa .................................................. 88
4.2 Relação do professor com a matemática: resposta ao
questionário de entrada ...................................................... 89
4.3 A elaboração de situações-problema do Campo Aditivo -
Primeiro encontro de formação ........................................... 91
4.4 Questionário de entrada: aproximações com a Teoria dos
Campos Conceituais........................................................... 94
10
4.5 Concepção de Campo Conceitual Aditivo das professoras,
decorridos três encontros de formação .............................. 97
4.6 Sobre a reflexão do professor acerca de seu encaminhamento
e as estratégias de alunos .................................................. 100
4.7 Concepção do Campo Conceitual Aditivo das professoras
nove meses após o encerramento dos encontros de
formação .............................................................................
126
4.7.1 Análise das entrevistas .............................................. 128
CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................... 135
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................ 143
ANEXOS ......... ................ ................ ................ ................ ................................... 146
Anexo A ........................................................................................................ 146
Jogo pega varetas ............................................................................... 146
Anexo B........... ................ ................ ................ ................ ................................... 147
Elaboração de situações-problema do Campo Aditivo das
professoras no primeiro encontro de formação .................................. 147
Anexo 1B ........ ................ ................ ................ ................ ................................... 147
Situações-problema da Professora A .................................................. 147
Anexo 2B ........ ................ ................ ................ ................ ................................... 148
Situações-problema da Professora B ................................................. 148
Anexo 3B ....... ................ ................ ................ ................ ................................... 149
Situações-problema da Professora C ................................................. 149
Anexo C .......... ................ ................ ................ ................ ................................... 150
Elaboração de situações-problema do Campo Aditivo das
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professoras durante o processo formativo .......................................... 150
Anexo 1C 150
Grupo da Professora A ....................................................................... 150
Anexo 2C 151
Grupo das Professoras B e C ............................................................. 151
Anexo D 152
Relatório Reflexivo da Professora A ................................................... 152
Anexo E 154
Relatório Reflexivo da Professora B ................................................... 154
Anexo F 155
Relatório Reflexivo da Professora C ................................................... 155
APÊNDICES ................................................................................................ 156
Apêndice A
Questionário de entrada .................................................. 156
Apêndice B .......................................................................................... 157
Ficha para elaboração de situações-problema no
primeiro encontro de formação ........................................... 157
Apêndice C .......................................................................................... 158
Lista de situações-problema sugeridas as
professoras para se trabalhar com os alunos ..................... 158
Apêndice D .......................................................................................... 159
Protocolo de pesquisa (entrevista) ..................................... 159
12
Lista de figuras
Figura 1. Pilha triangular .................................................................................. 33 Figura 2. Algumas soluções na pilha triangular ............................................... 34 Figura 3. Situação-problema de contagem elaborada pelo grupo 1 ............... 36 Figura 4. Situação-problema de contagem elaborada pelo grupo 2 ............... 37 Figura 5. Situação-problema de contagem elaborada pelo grupo 3 ............... 37 Figura 6. Situação-problema de contagem elaborada pelo grupo 4 ............... 38 Figura 7. Situação-problema de contagem elaborada pelo grupo 5 ............... 38 Figura 8. Situações-problema de composição elaboradas pelo grupo A ........ 41 Figura 9. Situações-problema de composição elaboradas pelo grupo B ........ 41 Figura 10. Situações-problema de composição elaboradas pelo grupo C...... 42 Figura 11. Situações-problema de composição elaboradas pelo grupo D e E 42 Figura 12. Protocolo de um aluno do 2º ano B ................................................ 47 Figura 13. Protocolo de um aluno do 4º ano B ................................................ 48 Figura 14. Protocolo de um aluno do 3º ano C ................................................ 48 Figura 15. Protocolo de um aluno do 5º ano A ................................................ 49 Figura 16. Outro protocolo do 5º ano A ........................................................... 49 Figura 17. Esquema sagital de Vergnaud (2009) ............................................ 56 Figura 18. Esquema sagital de Vergnaud (2009) representando a 1ª definição ..........................................................................................................
56
Figura 19. Esquema sagital de Vergnaud (2009) representando a 2ª definição ..........................................................................................................
57
Figura 20. Esquema sagital de Vergnaud (2009) representando uma situação de composição ..................................................................................
62
Figura 21. Esquema sagital de Vergnaud (2009) representando uma situação de transformação ..............................................................................
63
Figura 22. Esquema sagital de Vergnaud (2009) representando outra situação de transformação ..............................................................................
63
Figura 23. Esquema sagital de Vergnaud (2009) representando uma situação de comparação ..................................................................................
64
Figura 24. Esquema sagital de Vergnaud (2009) representando uma situação de composição de transformação .....................................................
65
Figura 25. Esquema sagital de Vergnaud (2009) representando uma transformação sobre um estado relativo .........................................................
65
Figura 26. Esquema sagital de Vergnaud (2009) representando uma situação de transformação sobre dois estados relativos .................................
66
Figura 27. Representação parte-todo .............................................................. 67 Figura 28. Transformação positiva: quantidade de pontos necessários para João ganhar o jogo ..........................................................................................
99
Figura 29. Estratégia utilizada pelo aluno P na primeira aplicação ................. 101 Figura 30. Estratégia utilizada pelo aluno Q na primeira aplicação ................. 102 Figura 31. Estratégia utilizada pelo aluno R na primeira aplicação ................. 102 Figura 32. Estratégia utilizada pelo aluno S na primeira aplicação ................. 103 Figura 33. Estratégia utilizada pelo aluno T na primeira aplicação ................. 103 Figura 34. Estratégia do aluno U na segunda aplicação ................................. 105
13
Figura 35. Estratégia do aluno V na segunda aplicação ................................. 105 Figura 36. Estratégia do aluno X na segunda aplicação ................................. 106 Figura 37. Estratégia do aluno Z na segunda aplicação ................................. 106 Figura 38. Estratégia do aluno W na segunda aplicação ................................ 106 Figura 39. Estratégia utilizada pelo aluno M .................................................... 111 Figura 40. Outra estratégia utilizada pelo aluno M .......................................... 112 Figura 41. Estratégia utilizada pelo aluno F .................................................... 112 Figura 42. Outra estratégia utilizada pelo aluno F ........................................... 113 Figura 43. Estratégia utilizada pelo aluno G .................................................... 113 Figura 44. Outra estratégia utilizada pelo aluno G .......................................... 113 Figura 45. Estratégia do aluno H para o problema 1, a única solução sem a sentença matemática .......................................................................................
117
Figura 46. Outra estratégia do aluno H para o problema 3, a única com a sentença matemática .......................................................................................
118
Figura 47. Estratégia utilizada pelo aluno I no problema nº 1 ......................... 118 Figura 48. Estratégia utilizada pelo aluno I no problema nº 3 ......................... 118 Figura 49. Estratégia utilizada pelo aluno J para resolver o problema 1 ......... 119 Figura 50. Estratégia utilizada pelo aluno J para resolver o problema 4 ......... 119 Figura 51. Estratégia do aluno A ..................................................................... 124 Figura 52. Estratégia do aluno B ..................................................................... 124 Figura 53. Estratégia do aluno C ..................................................................... 125
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Lista de quadros
Quadro 1. Processo de coleta de dados .................................................... 26 Quadro 2. Problemas do Campo Aditivo para discussão no grupo de
formação ...................................................................................
35 Quadro 3. Situações-problema utilizadas na atividade sobre elaboração
de problemas do Campo Aditivo ...............................................
40 Quadro 4. Problemas elaborados pelas professoras A, B e C antes de
participarem da formação continuada .......................................
92 Quadro 5. Elaboração de situações-problema do Campo Aditivo das
professoras durante o processo formativo ................................
98 Quadro 6. Primeiro relatório reflexivo apresentado pela professora A ...... 107 Quadro 7. Segundo relatório reflexivo apresentado pela professora A ..... 108 Quadro 8. Relatório reflexivo apresentado pela professora B ................... 114 Quadro 9. Relatório reflexivo apresentado pela professora C ................... 120
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Apresentação
A proposta deste estudo é investigar se os professores dos anos iniciais (1º
ao 5º ano) da Educação Básica, que participaram de um programa de formação
continuada, (re) construíram seus conhecimentos acerca de um determinado
conceito matemático, no caso, o Campo Aditivo.1
A investigação junto aos professores da Educação Básica é focada no
Conhecimento Profissional Docente e nas ações pedagógicas relacionadas ao
Campo Conceitual Aditivo, ou seja, aos processos de ensino e de aprendizagem
de situações envolvendo a adição e subtração para alunos que estudam nos anos
iniciais.
No tocante ao Campo Conceitual Aditivo, pretende-se investigar a
concepção do professor, considerando suas ações pedagógicas por meio de
relatos escritos e depoimentos.
O estudo ocorreu no âmbito do Observatório da Educação, que constituiu
um núcleo local de estudos que desenvolveu o projeto Educação Continuada
em Matemática com Professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental:
Uma Investigação sobre Transformações da Prática Do cente .
Começamos nossa pesquisa apresentando as motivações que nos levaram
a questionar a funcionalidade das formações continuadas de Matemática
destinadas aos professores que atuam nos anos iniciais da educação básica.
Nossas reflexões foram ao encontro das ideias de Aguerrondo (2002)
quando afirma que a dinâmica da formação continuada se desenvolve como em
um “efeito cascata”, isto é, os conceitos estudados são passados de uma esfera a
outra se ligando profissionais de diferentes escalões (formadores de formadores,
formadores de professores, por fim, professores, por exemplo). Esta preocupação
1 Para Vergnaud (2009), no Campo Aditivo encontramos os problemas que precisam de uma
adição e/ou subtração para serem resolvidos. No mesmo Campo, estão as Estruturas Aditivas, isto
é, as relações que são estruturadas, usando-se adições e/ou subtrações, em uma situação-
problema. Em nossa investigação, denominaremos nosso objeto de estudo simplesmente de
Campo Aditivo.
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chamou nossa atenção para o Projeto Observatório da Educação, cenário de
nossa investigação, pois a dinâmica desenvolvida no seu programa de formação
continuada colocava os professores em contato com os conceitos estudados
direto na fonte, quer dizer, sem atravessadores.
Acreditamos que a dinâmica desenvolvida neste projeto proporcione ao
professor melhores condições para pensar e repensar suas ações pedagógicas,
pois o contato direto com os conceitos estudados na formação afasta o docente
das diversas interpretações que uma formação continuada, com o “efeito
cascata”, pode promover.
No que concerne ao objeto de estudo, fundamentamo-nos teoricamente na
Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990) para apresentarmos o
Campo Aditivo.
Focamos dentro desta Teoria as três2 categorias básicas de situações-
problema do tipo aditivo descrita pelo autor: Composição, Transformação e
Comparação. Para abordar o conhecimento profissional docente dos nossos sujeitos de
pesquisa embasamo-nos em Shulman (1986), precisamente em seu estudo
Those Who Understand Knowledge Growth in Teaching (Aqueles que entendem o
crescimento do conhecimento do ensino), no qual apresenta o Conhecimento
Curricular, o Conhecimento de Conteúdo Objeto e o Conhecimento Pedagógico
do Conteúdo, referindo-se respectivamente aos saberes dos docentes em relação
a: programas, temas e materiais pedagógicos, bem como indicações para
utilização dos mesmos; conceitos específicos da área; ações do professor para
praticar a ensinabilidade.
Para realizarmos tal abordagem, provocamos a reflexão do professor de
acordo com os pressupostos dos estudos de Schön (1997), em que explica a
reflexão do docente de duas maneiras: a reflexão na ação e a reflexão sobre a
2 Vergnaud (2009), considera que uma situação-problema de composição é aquela em que existe
uma relação parte-todo entre medidas (quantidades), uma situação de transformação é aquela
que estabelece uma relação entre um estado inicial, uma medida a ser transformada e um estado
final, uma situação de comparação é aquela que estabelece uma relação entre duas medidas
(quantidades) em função da condição de ter mais ou menos.
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ação. Para o autor, fundamentado nas afirmações de Tolstoi, quando o docente,
durante o processo de ensino e aprendizagem, faz considerações em relação ao
seu agir, está praticando a reflexão na ação, e, quando realiza considerações
sobre esse processo fora do cenário de ação, está praticando a reflexão sobre a
ação.
Ainda em relação à reflexão do professor, consideramos também os
estudos de Serrazina (1999) quando sustenta que somente quando o docente se
conscientiza de suas falhas e fraquezas é capaz de promover ações que o
capacitem a ultrapassá-las.
Consideramos também, ainda sob o mesmo enfoque, o saber do professor,
os estudos de Tardif (2000) a respeito do saber profissional docente.
Buscamos respaldo nos estudos do autor para tratar, sobretudo, da
questão da construção do saber dos professores, no qual Tardif (2000) afirma que
os saberes levados pelos professores para a sala de aula são provenientes
também de suas próprias experiências de vida escolar. No tocante às especificidades de nosso estudo, ele é qualificado como
qualitativo, portanto fundamentamos nossa metodologia em Bodgan e Biklen
(1991), que apresentam as características de uma pesquisa qualitativa, que em
poucas palavras seriam as seguintes: a fonte de dados está no ambiente natural
onde se encontram os sujeitos de pesquisa e o pesquisador, a importância dos
registros escritos na abordagem qualitativa, a valorização pelo processo, e não só
pelos resultados, a forma indutiva de análise dos dados e a importância dada ao
ponto de vista dos sujeitos de pesquisa.
Nossos sujeitos de pesquisa estavam inseridos em um grupo de 30
professores participantes dos encontros de formação no Projeto Observatório da
Educação. Selecionamos três sujeitos com a intenção de promover uma análise
mais profunda dos dados que viriam a ser coletados.
Organizamos a coleta de dados procurando olhar para o conhecimento
sobre o Campo Aditivo dos professores em três momentos diferentes: antes dos
encontros de formação, durante os encontros de formação e decorridos alguns
meses após o encerramento dos encontros de formação.
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Percebemos que alguns professores que atuam nos anos iniciais do
Ensino Fundamental podem possuir uma noção da Teoria dos Campos
Conceituais acerca do Campo Aditivo e que um programa de formação
continuada, em que o professor está em contato direto com formadores e
pesquisadores, pode ser muito produtivo no sentido da mudança de
conhecimentos.
Sendo assim, organizamos nossa dissertação em quatro capítulos. No
primeiro capítulo narramos a trajetória e as inquietações de um dos
pesquisadores na carreira do magistério como professor e coordenador
pedagógico nas Redes Estadual e Municipal de Educação Básica de São Paulo.
Quanto às inquietações do pesquisador, referimo-nos à sua preocupação
com o conhecimento matemático dos professores que atuam, sobretudo, nos
anos iniciais, uma vez que ele tem uma larga experiência de atuação com alunos
de 6 a 10 anos de idade. Nesse capítulo, portanto, descrevemos os motivos que
orientaram nossa questão de pesquisa e os caminhos que elaboramos para tentar
respondê-la.
No segundo capítulo, descrevemos os encontros de formação ocorridos no
âmbito do Observatório da Educação. Oito encontros foram realizados no primeiro
semestre de 2011, tratando de conceitos sobre o Campo Conceitual Aditivo, um
dos pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais.
No terceiro capítulo apresentamos nossa fundamentação teórica para
sustentar nosso estudo em relação ao Campo Aditivo e formação de professores
no que se refere ao saber e à reflexão docente. Expomos, ainda, nossa revisão
de literatura, na qual consideramos estudos sobre o Campo Aditivo, baseando-se
na tese de Santana (2010) que apresenta investigações realizadas por César
(1990), Damm (2005), Passoni (2002), Silva e Castro (2004), Moro (2004),
Ventura e Selva (2007), Silva (2008).
Por fim, trazemos nossa análise dos dados no Capítulo 4 para encerrarmos
a pesquisa com nossas considerações finais.
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Capítulo 1 – Das Motivações a Pesquisa
A formação continuada de professores não é uma novidade na Rede
Pública de Educação Básica em São Paulo. Contudo, uma questão intrigante
ainda é muito presente no cotidiano escolar. Pessoalmente, tenho observado3 que
tudo aquilo que é trabalhado nas formações de professores parece não atingir o
outro lado, a sala de aula, de forma eficaz.
Atuando como Coordenador Pedagógico da rede pública de ensino do
Estado de São Paulo, no período de 1987 a 1993, notei que ou a formação é
ministrada de forma restrita, atingindo somente alguns professores, ou a formação
se perde no trajeto entre formadores, multiplicadores4 e professores. Entenda-se
por multiplicadores aqui o papel desempenhado pelos Coordenadores
Pedagógicos ou professores responsáveis por “repassar” os assuntos da
formação aos demais colegas da unidade.
Para Aguerrondo (2004) este percurso da formação não seria satisfatório
no sentido de difundir, tornar efetivos os fundamentos que sustentam inovações
no ensino e na aprendizagem:
Não raro o modelo de capacitação segue as características de um modelo “em cascata”, no qual um primeiro grupo de profissionais é capacitado e transforma-se em capacitador de um novo grupo que por sua vez capacita um grupo seguinte. Mediante esse procedimento que, geralmente percorre os diferentes escalões da administração dos extensos sistemas de ensino, corpo técnico-pedagógico, supervisores regionais, professores especialistas [...] (GATTI E BARRETO APUD AGUERRONDO, 2009, p. 204).
Quando ainda atuava como professor dos anos5 iniciais da Educação
Básica, participava da Hora de Trabalho Pedagógico Coletivo (HTPC), e percebi
3 Decidimos redigir esta primeira parte do Capítulo 1 na primeira pessoa do singular por se tratar
de momentos exclusivos da experiência profissional de um dos pesquisadores. A partir do subitem
1.1, redigimos o relatório da primeira pessoa do plural. 4 O termo “multiplicadores” foi mantido neste texto por se tratar de uma expressão utilizada ainda
nos dias hoje em alguns encontros de formação de professores nas Redes Estadual e Municipal
de São Paulo. 5 Neste trabalho optei por utilizar o termo anos iniciais mesmo quando nos referimos às séries
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que o assunto, Matemática, raramente constava das pautas dos encontros.
Esporadicamente, acontecia uma formação ministrada na Diretoria Regional de
Educação, nas oficinas pedagógicas, mas, ainda assim, somente um professor
por unidade podia participar.
Em razão dessas inquietações, decidi cursar Matemática. Licenciado,
passei a atuar também como professor do Ensino Fundamental II e Médio na rede
pública municipal de educação da cidade de São Paulo.
Embora estivesse atuando no Ensino Fundamental II, os problemas
observados na formação de professores, agora na área específica de Matemática,
não eram diferentes. Na rede municipal de educação da cidade de São Paulo, as
formações estavam a cargo da Diretoria de Orientações Técnicas e Pedagógicas
(DOT-P), cuja logística de ação era semelhante à das formações da rede estadual
de educação de São Paulo, isto é, os coordenadores pedagógicos ou um
professor escolhido na unidade participava da formação e servia como
“multiplicador” em sua escola.
Cada vez mais preocupado com a situação, resolvi atuar como
coordenador pedagógico na rede municipal de educação do município de São
Paulo. No período de 2008 a 2010 pude acompanhar mais de perto a formação
continuada em Matemática dos professores dos anos iniciais e dos especialistas
da área. Sobretudo, pude verificar a enorme dificuldade de se “multiplicarem” os
assuntos tratados nas formações, uma vez que nessa rede pública de ensino
somente alguns professores participavam dos encontros semanais.
Na rede municipal de educação de São Paulo, o professor pode optar pela
jornada básica docente (JBD) ou jornada especial de formação (JEIF), e apenas
na última modalidade o professor é obrigado a cumprir, semanalmente, um
horário de trabalho em grupo.
Em virtude dessa logística de formação, nas redes estadual e municipal de
educação de São Paulo não constatei uma melhora significativa no ensino de
Matemática nos anos iniciais e nos posteriores. Como professor, não tinha acesso
iniciais da Educação Básica devido à instauração do Ensino Fundamental de nove anos Lei nº
9.394/1996, de 20 de dezembro de 1996.
21
às discussões sobre as inovações e pesquisas na área da Matemática, e, como
coordenador, muitas vezes, não conseguia desenvolvê-las no grupo.
Vale lembrar que, em um período em que as informações são facilmente
encontradas no sistema on-line (Internet), isso não significa que um professor
consiga acessar pesquisas e inovações na área da Matemática e tirar proveito
delas sem uma discussão entre os pares e/ou com especialistas e pesquisadores.
No ano de 2010 ingressei no Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática da Uniban com a intenção de contribuir para a mudança desse
quadro. Encontrei, então, um grupo de pesquisa com a mesma finalidade e fui
convidado a participar do Projeto Observatório da Educação. Com outros
pesquisadores, desenvolvemos uma dinâmica diferente de formação continuada.
Portanto, estar inserido em um programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática, em um projeto de pesquisa que desenvolve trabalhos com um grupo
colaborativo de estudos, foi o começo da busca por respostas às minhas
inquietações.
1.1 Conhecimento profissional docente e a formação de professores
O desafio de formar professores capazes de refletir sobre o currículo e
suas implicações em suas ações pedagógicas não é uma questão recente.
Encontramos nas palavras de Shulman, em seu artigo Those Who
Understand: Knowledge Growth in Teaching,6 de 1986, preciosas reflexões sobre
o assunto.
Shulman divide o conhecimento do professor em três categorias: a)
Conhecimento do Conteúdo Objeto; b) Conhecimento Pedagógico do Conteúdo;
c) Conhecimento Curricular. No momento, o que nos interessa é a articulação
desses três tipos de conhecimentos.
6 Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching Lee S. Shulman. Educational
Researcher, v. 15, n. 2, p. 4-14, Feb. 1986.
22
Para o autor, o crescimento dos conhecimentos do professor pode estar
sendo orientado por estes três tipos de conhecimento em uma relação dinâmica:
Como poderíamos nós pensar sobre o conhecimento que cresce na mente dos professores, com especial ênfase em relação ao conteúdo? Eu sugiro que nós façamos distinção entre três categorias de conhecimentos de conteúdos (SHULMAN, 1986, p. 13).
Consideramos, assim como o autor, que, em nosso estudo, a formação de
professores deve ocorrer de modo a favorecer a reflexão sobre a disponibilidade
de materiais didáticos disponíveis, a relação entre conteúdos e o próprio currículo
e o intercâmbio das diferentes disciplinas da grade curricular.
1.2 Questões que orientaram a investigação
Com base nas motivações apresentadas neste capítulo, perguntamos
inicialmente: Os professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental I, que
participam de um programa de formação continuada, (re) constroem seus
conhecimentos acerca de um determinado conceito?
A questão poderia nos ajudar a responder, exatamente, se os docentes
dos anos iniciais introduzem ou não as reflexões e discussões ocorridas durante
o processo de formação, em suas práticas.
Dessa forma, como uma das temáticas a ser discutida durante a formação
no âmbito do Observatório da Educação era o Campo Aditivo, decidimos, então,
investigar se os professores inserem conhecimentos sobre o Campo Conceitual
em suas práticas pedagógicas. Consideramos que tal estudo pode ser realizado
a partir da análise dos depoimentos dos sujeitos de pesquisa ao longo do
processo formativo.
Portanto, um caminho a ser seguido seria observar os professores durante
os encontros promovidos pelo projeto, que ocorreram quinzenalmente, com o
objetivo de propiciar ao grupo de professores uma formação que oportunizaria a
experimentação, avaliação e reflexão sobre as dificuldades enfrentadas nos
processos de ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos no âmbito dos
pressupostos do Campo Conceitual Aditivo. Assim sendo, uma opção foi verificar
23
indícios de mudanças e permanências presentes nas práticas pedagógicas
relatadas pelos sujeitos envolvidos.
Vale lembrar que o Campo Aditivo é um dos tópicos prescritos para serem
trabalhados nos anos iniciais em documentos oficiais, como os Parâmetros
Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997).7 Tal tópico pertence à Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud (1990), assunto que retomaremos mais adiante em
nosso estudo.
Além disso, vale ressaltar que dentro de uma sala de aula o professor é
livre para trabalhar com seus alunos, isto é, a postura didática e a ideologia
pedagógica de cada docente são particulares. Percebemos essa liberdade de
expressão quando atuamos como coordenador pedagógico.
Este fato nos levou a pensar sobre as maneiras de cada professor atuar,
com determinados conteúdos, em suas salas de aula. Para responder tal
inquietação, perguntamos: Os professores que atuam nos anos iniciais do
Ensino Fundamental, inseridos em um programa de for mação continuada,
(re) constroem seus conhecimentos acerca do Campo Aditivo?
Para responder essa questão nosso estudo se desenvolveu com base nos
princípios da abordagem qualitativa conforme os procedimentos metodológicos
apresentados a seguir. Desse modo, o grupo foco do nosso estudo estabeleceu
relações em um contexto natural, isto é, os momentos de encontros da formação.
As ações e reações ocorridas durante a realização dos trabalhos foram por nós
investigadas. Pesquisamos, portanto, os fenômenos que ali ocorreram em toda a
sua complexidade (BOGDAN E BIKLEN, 1994), que nos distanciou da condição de
operacionalizar variáveis, o que é mais possível em pesquisas de natureza
quantitativa.
1.3 Procedimentos metodológicos
Buscamos, em nossa investigação, entender como os professores dos
anos iniciais do Ensino Fundamental, que participam de um programa de
formação continuada, (re) constroem suas práticas pedagógicas, no âmbito do
7 Parâmetros Curriculares Nacionais 2. Matemática: Ensino de primeira à quarta série. Brasília:
24
Campo Conceitual Aditivo. Entendemos que, para isso, considerar as interações
ocorridas em sala de aula, analisando as definições8 que os professores fazem de
seus alunos e de si próprios (RIST APUD BODGAN E BIKLEN, 1994), poderia ser um
bom começo.
Bodgan e Biklen (1994) descrevem cinco características de uma pesquisa qualitativa:
1. “Na investigação qualitativa a fonte directa de dados é o ambiente natural, constituindo o investigador o instrumento principal”; 2. “A investigação qualitativa é descritiva. [...] A palavra escrita assume particular importância na abordagem qualitativa, tanto para o registro dos dados como para a disseminação dos resultados”; 3. “Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos. [...] Este tipo de estudo foca-se no modo como as definições (as definições que os professores têm dos alunos, as definições que os alunos têm de si próprios e dos outros) se formam”; 4. “Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva”; 5. “O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. [...] Os investigadores qualitativos estabelecem estratégias e procedimentos que lhes permitam tomar em consideração as experiências do ponto de vista do informador” (BODGAN E BIKLEN, 1994, p. 47-50).
Em nosso estudo, o investigador esteve em contato direto com os sujeitos
da pesquisa em um ambiente natural de trabalho, ora durante os encontros de
formação, ora na escola onde o professor lecionava.
As narrativas dos sujeitos da pesquisa foram coletadas por meio de registros
escritos e audiovisuais.
Por meio dessas narrativas, procuramos entender como se dá o processo de
(re) construção das práticas pedagógicas dos professores inseridos em um
programa de formação continuada.
O processo de (re) construção foi estudado em três momentos diferentes:
a) concepções do professor sobre o Campo Aditivo e sua atuação pedagógica
relacionada a esse conceito antes dos encontros de formação; b) a formação em
si; e c) concepções do professor sobre o Campo Aditivo e sua atuação
8 Nas palavras de Bodgan e Biklen, indicando Rist (1970), quando falam sobre essas definições, se referem àquelas que os professores têm dos alunos e os alunos têm de si próprios e dos outros. Para nosso estudo, nós, os pesquisadores, nos colocamos no lugar do professor e o professor no lugar do aluno.
25
pedagógica relacionada a esse conceito depois dos encontros de formação. Essa
sistematização nos permitiu analisar os dados de forma indutiva.
O questionário de entrada, a ficha de análise das estratégias utilizadas pelos
alunos para resolver situações-problema e as entrevistas, são exemplos de
procedimentos que utilizamos em nossa investigação, proporcionando, dessa
forma, ao professor, a manifestação de seu ponto de vista.
São essas características de nossa investigação que a qualificam como
pesquisa qualitativa, fundamentada em Bodgan e Biklen (1994).
Embora no programa de formação continuada, em que a investigação foi
desenvolvida, contássemos com a participação de trinta professoras, somente
três tornaram-se sujeitos de nossa pesquisa, por entendermos que o controle e
análise de dados provenientes do grupo todo poderiam tornar a reflexão muito
superficial.
Sendo assim, nossos sujeitos de pesquisa foram identificados ao longo da
investigação como: Professora A, Professora B e Professora C.
1.4 Organização sistemática da coleta de dados
A coleta de dados foi realizada durante os encontros da formação
continuada e por meio de entrevistas feitas no ambiente de estudos do professor.
Os dados foram coletados de modo a favorecer nossa investigação no
sentido de perceber, por meio tanto das atividades práticas desenvolvidas no
processo de formação como dos depoimentos dos docentes, se ocorreu uma (re)
construção de suas práticas pedagógicas.
Para coleta de dados utilizamos um questionário de entrada, as
elaborações dos professores de problemas do campo aditivo durante o processo
formativo, memorial reflexivo e entrevistas.
No questionário (Apêndice A) procuramos investigar se o professor já havia
participado de outras formações, como era sua relação com a Matemática e que
concepções tinha a respeito do Campo Conceitual Aditivo. Especificamente sobre
26
a formação, procuramos saber como o professor atuava ao trabalhar conceitos
matemáticos sobre adição e subtração.
Solicitamos ainda aos professores, por meio de uma ficha (Apêndice B)
que elaborassem situações-problema de somar e subtrair, em dois momentos
antes e depois de uma preparação prévia sobre o conceito de Campo Conceitual
Aditivo.
Outra fonte de dados foi a aplicação na sala de aula de seis situações-
problema de uma lista previamente preparada (Apêndice C) do Campo Aditivo e a
elaboração de um memorial reflexivo.
Por meio de um protocolo de pesquisa (Apêndice D), procuramos verificar
se o conhecimento profissional do professor, relacionado aos processos de
ensino e aprendizagem dos conceitos de adição e subtração, foi (re) construído.
Para deixar mais clara nossa estratégia de coleta dos dados,
apresentamos um quadro que associa os três momentos da formação em que o
processo de coleta de dados foi realizado de acordo com nossos objetivos.
Quadro 1 – Processo da coleta de dados
27
Portanto, aqui foram expostas as razões que motivaram nosso estudo, a
formulação de nossa questão de pesquisa e a organização da investigação na
busca de respostas.
A seguir, apresentamos o cenário onde nosso estudo foi desenvolvido.
Momentos da formação Finalidade
1.º
mom
ento
Conhecimentos do professor sobre o Campo Aditivo e sua atuação pedagógica relacionada a esse conceito antes dos encontros de
formação.
• Perceber a relação do professor com a matemática, seus conhecimentos acerca do Campo Aditivo e como atuava quando ensinava os conceitos matemáticos sobre adição e subtração.
• Verificar o conhecimento dos professores sobre o Campo Aditivo, objeto de estudo no início da participação do processo de formação continuada.
2.º
mom
ento
Durante o processo formativo • Verificar o conhecimento dos professores sobre o Campo Aditivo, objeto de estudo durante o programa de formação continuada.
• Perceber se, e como, o professor reflete sobre as estratégias utilizadas pelos alunos para resolver situações-problema.
3º m
omen
to
Conhecimento do professor sobre o Campo Aditivo e sua atuação
pedagógica relacionada a esse conceito depois dos encontros de
formação.
• Verificar se, e como, após o período de formação o professor (re) construiu seus conhecimentos acerca do campo aditivo.
28
Capítulo 2 – O Cenário da Investigação
Os participantes de nossa investigação estavam inseridos em um programa
de formação continuada, no âmbito do Observatório da Educação, local em que a
maior parte de nosso estudo fora desenvolvido. Para percebermos a mudança de
concepção sobre Campo Aditivo de nossos sujeitos de pesquisa acompanhamos
os trabalhos desenvolvidos nos encontros de formação. Assim, com a presença
dos envolvidos no estudo (professores e pesquisadores), constituiu-se o ambiente
natural para coleta de dados.
Vale ressaltar que os dados apresentados neste capítulo são referentes ao
desenvolvimento dos trabalhos na formação continuada. A intenção da descrição
do processo formativo aqui apresentada foi a de proporcionar ao leitor uma noção
29
sobre o cenário investigado. Alguns dos dados coletados foram por nós utilizados
nessa investigação, e são apresentados e analisados no Capítulo 4.
Muitos pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais surgem do
desenvolvimento dos trabalhos nos encontros de formação. Sugerimos ao leitor
que para um maior entendimento das atividades aqui desenvolvidas consulte o
capítulo da nossa fundamentação teórica.
2.1 O Observatório da Educação
Trata-se de um projeto inserido no programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo (Uniban),
financiado pela Capes no âmbito do Observatório da Educação (CNPQ, INEP,
SECAD)9, envolvendo formação e pesquisa, e conta com a cooperação do IREM –
Brasil (Instituto de Pesquisa no Ensino da Matemática)10.
O projeto, desenvolvido sob o título Educação Continuada e Resultados de
Pesquisas em Educação Matemática: Uma Investigação sobre as
Transformações das Práticas de Professores dos Anos Iniciais do Ensino
Fundamental, teve como proposta constituir um grupo colaborativo de formação e
pesquisa buscando analisar as transformações da prática docente de professores
dos anos iniciais do Ensino Fundamental (CAMPOS ET AL., 2010, p. 2).
Para o desenvolvimento do Projeto foi instituído um núcleo de estudos e
investigações em Educação Continuada, cujo público-alvo foram os professores
que atuam nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Os encontros aconteceram nas dependências do Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática da UNIBAN.
Quanto ao público-alvo, trinta professores da Educação Básica, nove
docentes do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da linha de
ensino e aprendizagem e da linha Formação de Professores que Ensinam
Matemática, três mestrandos, dois doutorandos, seis estudantes da graduação e
9 Projeto 99, coordenado pela Profa. Dra. Tânia Maria Mendonça Campos, 2009.
30
seis professores em efetivo exercício cuja função era a de coordenador ou
supervisor pedagógico na Rede Pública de Educação Básica, formaram o grupo
colaborativo do Projeto.
O Observatório da Educação teve a Educação Continuada como eixo
temático, e seus objetivos, delineados nas linhas de pesquisa na qual se encontra
inserido, foram:
- Estudar os processos de formação continuada de professores que
ensinam Matemática nos anos iniciais, em estreita relação com os
contextos em que estes ocorrem, levando em conta tendências
contemporâneas da formação de educadores e suas implicações na
área de Educação Matemática;
- Contribuir para a construção de referenciais de análise da formação
de profissionais dessa área, perante as inovações curriculares que
vêm sendo propostas e as transformações do mundo do trabalho;
- Investigar questões relativas aos processos de ensino e
aprendizagem de conteúdos matemáticos nesse nível de ensino,
levando em conta tendências contemporâneas da Educação
Matemática e diversos referenciais teóricos e metodológicos;
- Contribuir para a melhora da qualidade do processo de ensino da
Matemática nos primeiros anos do Ensino Fundamental (Campos ET
AL., 2010, p.4)
O projeto em questão pautou suas justificativas em dois pontos: a) a
necessidade dos professores que atuam nos anos iniciais de participar de
encontros em que possam refletir sobre suas práticas e promover mudanças; b)
as dificuldades apresentadas pelos alunos do 5.º ano (9 a 10 anos) do Ensino
Fundamental de resolver problemas que envolvam as quatro operações com
números naturais (CAMPOS ET AL., 2010, p. 4-5).
De acordo com o que estava disposto no Projeto, os itens listados no
parágrafo anterior estão fundamentados:
- na preocupação com a formação de professores que atuam nesse
nível, descrita no IV Seminário Internacional de Pesquisa em
Educação Matemática, promovido pela Sociedade Brasileira em
Educação Matemática (SBEM) em 2009, que registrou índice inferior
10 O IREM foi criado na França e hoje é um conjunto de institutos que funcionam em rede em
31
a 10% de discussões de pesquisas sobre a formação de professores
que atuam nos anos iniciais da Educação Básica no GT711;
- no desempenho dos alunos do 5º ano do Ensino Fundamental nas
macroavaliações que, de acordo com os dados do INEP, a média de
desempenho desses alunos do Estado de São Paulo não atingiu a
escala mínima recomendável pelo SAEB que é de 200 pontos.
O Projeto Observatório da Educação desenvolveu seus trabalhos
fundamentado nos pressupostos de um grupo colaborativo de cunho cogenerativo
(GREENWOOD E LEVIN APUD CAMPOS ET AL., 2009).
A característica de um grupo colaborativo, segundo Greenwood e Levin,
conforme descrito nos documentos do projeto, é a consideração da importância
da relação entre os conhecimentos de cunho prático e acadêmico para o
desenvolvimento de uma pesquisa.
Vale ressaltar que a maneira como os encontros foram realizados no
primeiro momento desse projeto buscou promover a interação entre os
conhecimentos prático e acadêmico por meio do envolvimento presencial de
professores e pesquisadores. Essa interação, segundo consta nos documentos
do Observatório da Educação, teria sua continuidade em um ambiente
colaborativo virtual, cuja intenção era promover discussões com os participantes
depois de estes terem implementado, ou não, as inovações em suas salas de
aula. Todavia, no módulo descrito nesse estudo não houve a utilização do
ambiente virtual.
O Projeto Observatório da Educação foi organizado de forma que suas
atividades pudessem ser desenvolvidas ao longo de quatro anos, sendo
distribuídas em duas fases com quatro módulos cada uma, que tratará de temas
específicos: Números e Operações, Geometria, Medidas e Tratamento da
Informação.
diversos países (OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO, 2010, p. 3). 11 GT7 – Grupo de Trabalho destinado às discussões referentes à formação de professores naquele evento.
32
O 1º módulo do Observatório da Educação ocorreu no primeiro semestre de
2011 e tratou do tema Números e Operações, razão pela qual nosso estudo foi
desenvolvido naquele momento.
2.2 Descrição das atividades desenvolvidas nos enco ntros do 1º módulo
Os trabalhos no processo formativo do primeiro módulo se desenvolveram
em oito encontros conforme descrição abaixo.
2.2.1 Primeiro e segundo encontros:
Começamos os trabalhos no Observatório da Educação com a
apresentação e boas-vindas da Coordenadora do Projeto, Profa. Dra. Tânia M. M.
Campos, que explicou aos presentes sua relação com os processos formativos de
professores e com as pesquisas na área da Educação Matemática. Em seguida,
um dos doutorandos explicou o Projeto em si e realizou a entrega do livro
“Repensando adição e subtração: contribuições da Teoria dos Campos
Conceituais”, produto de um trabalho realizado por Magina em parceria com
Campos, Nunes e Gitirina, sendo publicado no ano de 2008. O livro seria utilizado
durante os encontros de formação.
Para que as discussões, durante os encontros de formação, pudessem
ocorrer fundamentadas em investigações ligadas à Educação Matemática,
destinamos os dois primeiros encontros para os seguintes estudos:
• Os mitos e medos da matemática;
• Os blocos de conteúdos propostos nos guias curriculares;
• As contribuições da resolução de Polya;
• As contribuições de Schoenfeld concernentes aos mitos sobre os
problemas;
• Como os alunos podem resolver problemas;
33
• A teoria dos Campos Conceituias.
Por meio da leitura dos assuntos expostos em slides, conduzimos a
formação com a explanação de cada um deles.
No tocante aos mitos e medos da Matemática, lembramos que a questão é
histórica no ensino dessa disciplina, e que ainda hoje a própria escola, por meio
de atividades que utilizam apenas a memorização de regras e a mecanização de
procedimentos, pode não ajudar a melhorar a situação.
Sobre os blocos de conteúdos, lembramos que, nas orientações contidas
em documentos oficiais brasileiros como os PCN, podemos observar que os
tópicos matemáticos foram agrupados da seguinte forma: números e operações,
espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento da informação.
Para refletir sobre resolução de problemas, buscamos fundamentação nos
estudos de Polya (1978) em seu trabalho A arte de resolver problemas, que
aponta quatro etapas para a resolução de problemas: a) compreender o
problema; b) conceber um plano de resolução; c) executar o plano; d) refletir
sobre o trabalho realizado.
Ainda sobre a resolução de problemas, com os estudos dessas sessões
procuramos mostrar, de acordo com Schoenfeld (1992), como alguns mitos de
procedimentos podem prejudicar o desenvolvimento de uma situação-problema.
O autor coloca como mito os seguintes procedimentos praticados pela escola: a)
todo problema tem uma única solução e os processos de resolução ficam em
segundo plano; b) a única forma correta de resolver um problema geralmente está
associada à resolução apresentada pelo professor; c) normalmente os alunos não
são capazes de entender matemática em virtude da memorização de regras; d) os
estudantes precisam resolver problemas em cinco minutos ou menos; e) a
matemática ensinada na escola não é a mesma do cotidiano do aluno.
Para minimizar as ações promovidas por conta desses mitos, quanto à
resolução de problemas na escola, os alunos podem elaborar vários
procedimentos de resolução, fazer simulações, tentativas, construir hipóteses,
comparar resultados e validar procedimentos (SCHOENFELD, 1992).
34
Para discutir os diferentes contextos em que pode ser possível trabalhar a
resolução de problemas, a formadora utilizou um jogo conhecido como Pega
Varetas (Anexo A) e um problema não convencional.
Analisando o ocorrido, observamos que o jogo Pega Varetas permitiu ao
grupo refletir sobre a possibilidade de se problematizar a partir de um jogo. Tal
contexto foi explorado em situações envolvendo adições, subtrações,
multiplicações e divisões com números Naturais e Racionais. A formadora , a
partir da análise de uma partida, também refletiu com o grupo sobre a utilização
desse jogo para justificar o fato de se orientar o aluno a realizar multiplicação
antes da adição e subtração quando se resolvem expressões numéricas.
Por sua vez, o problema não convencional consistia em pedir aos
participantes que preenchessem com números de 1 a 6, sem repetir, uma “pilha
triangular”, de modo que as somas dos números em cada lado do triângulo
fossem iguais.
Figura 1 – Pilha triangular
35
Figura 2 –
Algumas soluções
na pilha triangular
A formadora analisou e discutiu as diferentes soluções para somas iguais a
9, 10, 11e 12, a partir das soluções apresentadas, como as exemplificadas a
seguir.
Problematizou também situações com somas menores que 8 e maiores
que 12, com a finalidade de discutir ideias matemáticas importantes.
Finalmente, a formadora introduziu algumas das primeiras ideias sobre a
Teoria dos Campos Conceituais, as quais foram retomadas na sessão seguinte.
2.2.2 Terceiro encontro:
A partir da discussão realizada no encontro anterior, desenvolvemos os
trabalhos do terceiro encontro em três etapas:
• Discussão e reflexão sobre a possibilidade de problemas envolvendo
uma mesma operação apresentarem níveis de dificuldades diferentes;
• Reflexão sobre algumas das principais ideias de Vergnaud relacionadas
à Teoria dos Campos Conceituiais;
• Contagem: uma introdução ao tema.
Para alimentar a discussão sobre a possibilidade de problemas envolvendo
uma mesma operação indicarem graus de dificuldade diferentes, foram
apresentados ao grupo os quatro problemas conforme mostra o quadro a seguir:
9 12
2
6
1
4
5 3
4
2 3
5 1 6
36
Quadro 2 – Problemas do Campo Aditivo para discussão no grupo de formação
Problema A:
Ao redor da mesa da sala de jantar de minha casa, estão sentados 4 garotos e 7
garotas. Quantas pessoas estão sentadas ao redor da mesa?
Problema B:
Maria comprou uma boneca por 4 reais e ficou com 7 reais na carteira. Quanto ela
possuía antes de fazer a compra?
Problema C:
Carlos tem 4 anos. Maria é 7 anos mais velha que Carlos. Quantos anos têm
Maria?
Problema D:
Roberto foi jogar videogame. Ao fim da primeira fase do jogo ele tinha perdido 4
pontos. Depois de terminar a segunda partida ele verificou que tinha 7 pontos a mais do
que no início da primeira partida. O que aconteceu na segunda fase?
A Teoria dos Campos Conceituais é brevemente estudada nesse momento
da formação. Como o grupo precisava de um aprofundamento sobre os conceitos
que permeiam a teoria dos Campos Conceituais e, sobretudo, Campo Aditivo, a
formadora explanou sobre as situações, os invariantes e as representações
simbólicas. E finalizou esclarecendo que, segundo a teoria de Vergnaud, os
invariantes podem ser implícitos ou explícitos quando olhamos para a ação do
aluno, que pode ser verbalizada (concepção) ou não (teorema em ação).
Esses elementos da Teoria dos Campos Conceituais estão mais
detalhados no Capítulo 3.
É importante lembrarmos que nessa sessão a formadora explanou sobre
as situações-problema prototípicas, que de acordo com a Teoria são situações
relacionadas com os primeiros contatos que a criança faz com as ideias de somar
e subtrair.
Para introduzir o tema sobre contagem foi apresentada ao grupo a seguinte
situação-problema:
“Ao redor da mesa da sala de jantar de minha casa estão sentados 4
garotos e 7 garotas. Quantas pessoas estão sentadas ao redor da mesa?”
Nesse momento, a formadora estimulou a discussão no grupo refletindo
sobre as possíveis maneiras de contagem que a criança poderia fazer nessa
37
situação, de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais. Lembrou que o aluno,
quando vai resolver uma situação-problema semelhante à exposta acima, poderia
utilizar os seguintes procedimentos: a) juntar as coleções e contar todos os
elementos; b) contar uma coleção e na sequência a outra; c) pedir a um colega
que conte uma das coleções e juntar com sua contagem.
Encerrado o momento de discussões, a formadora pediu para os
professores que, em pequenos grupos, elaborassem situações-problema de
contagem.
Cinco grupos foram formados (grupo 1, 2, 3, 4 e 5), e após a pausa para o
café as situações elaboradas foram socializadas. No total, 15 situações foram
apresentadas e discutidas.
As reflexões ocorreram a partir de situações como as expostas nos exemplos abaixo:
Figura 3 – Situação-problema de contagem elaborada pelo grupo 1
Durante o momento de socialização algumas professoras discutiram sobre
a situação-problema apresentada pelo grupo 1 (figura – 3), alegando não haver
solução possível devido a ausência de dados
38
Figura 4 – situação-problema de contagem elaborada pelo grupo 2
Para o grupo de professores, a situação-problema apresentada na figura 4
estava bem elaborada, possibilitando aos alunos a constatação numérica da
quantidade de brinquedos com rodas e sem rodas. Embora, o questionamento
“Quantos brinquedos são de meninas e meninos?”, poderia gerar conflitos de
opinião, pois o ursinho, por exemplo, se enquadraria no grupo de brinquedos de
meninos ou de meninas?
Figura 5 – Situação-problema de contagem elaborada pelo grupo 3
A situação-problema elaborada pelo grupo 3 (figura – 5), provocou a
mesma reação em relação ao problema apresentado pelo grupo 1 (figura – 3).
Não existe possibilidade de responder a questão, “Quantas figurinhas tem os 2
irmãos?”, devido à ausência de dados nos quadradinhos. É bem verdade que,
caso a intenção do grupo 3 fosse solicitar aos alunos que colocassem nos
39
quadradinhos os valores, a atividade teria sentido. No entanto, durante o
momento de socialização não mencionaram nada a respeito.
Figura 6 – Situação-problema de contagem elaborada pelo grupo 4
Na discussão da situação-problema apresentada pelo grupo 4 (figura – 6),
os professores fizeram o seguinte questionamento com relação as possíveis
estratégias de resolução que os alunos utilizariam; contariam os carrinhos e
depois prosseguiriam a contagem contando as motos ou somariam os dois
valores, ao que se comentou sobre o que os alunos já seriam capazes de realizar.
Concluíram com isso que tal problema deveria ser trabalhado com alunos que
ainda não dominavam o cálculo da soma por meio de um algoritmo convencional.
Figura 7 – Situação-problema de contagem elaborada pelo grupo 5.
40
Pensando sobre a situação-problema elaborada pelo grupo 5 (figura – 7),
os professores perceberam uma grande semelhança com o problema
apresentado pelo grupo 4 (figura – 6).
Embora as atividades desenvolvidas pelos professores nesse momento
tratassem sobre a contagem, entendemos que seria importante mostrar como a
formação estava preparando os participantes para lidar com as estruturas
aditivas, foco de nossa investigação.
2.2.3 Quarto e quinto encontros:
As discussões com problemas de contagem se encerraram no quarto
encontro, e as situações-problema de composição passaram a ser o foco de
estudo na formação, conforme descrito nos seguintes temas:
• Discussão e reflexão da problemática final do terceiro encontro;
• Problemas de contagem: análise e elaboração de instrumento de
investigação em sala de aula;
• Problemas de composição: análise e elaboração de instrumento de
investigação em sala de aula.
Finalizada a etapa de trabalhos relativos à contagem, a formadora iniciou
as atividades sobre elaboração de situações-problema de composição,
comparação e transformação. A finalidade era fazer com que os professores
percebessem que um mesmo problema poderia apresentar diferentes níveis de
dificuldade.
Utilizamos somente a categoria de composição para desenvolver essa
atividade com os professores.
41
Quadro 3 – Situações-problema utilizadas na atividade sobre elaboração de problemas do Campo
Aditivo
Composição (Idéia de juntar)
Ao redor da mesa da sala de jantar de minha casa, estão sentados 4 garotos e 7 garotas. Quantas pessoas estão sentadas ao redor da mesa?
Ao redor da mesa da sala de jantar de minha casa, estão sentados 11 crianças, destas 4 são garotos . Quantas são as garotas que estão sentadas ao redor da mesa?
Ao redor da mesa da sala de jantar de minha casa, estão sentadas 11 crianças, destas 4 são garotas . Quantas são os garotos que estão sentados ao redor da mesa?
Depois do reconhecimento por parte dos professores de que uma mesma
situação-problema poderia ser explorada de acordo com o nível de dificuldade, a
formadora solicitou que, em grupos menores, fossem elaborados problemas
atentando para a complexidade dos mesmos segundo seu enunciado.
Vale lembrar que os professores, nesse momento da formação, formaram
grupos diferentes do encontro anterior.
Cinco grupos foram formados (grupos A, B, C, D e E) e treze situações
foram elaboradas . Os grupos exploraram a complexidade nos problemas da
seguinte maneira:
O grupo A utilizou os mesmos dados em enunciados diferentes conforme
mostrado na figura 8.
42
Figura 8 – Situações-problema de composição elaborada pelo grupo A
Os grupos B e C Utilizaram os mesmos enunciados e modificaram o
significado dos dados. É o que podemos observar nas figuras 9 e 10.
Figura 9 – Situações-problema de composição elaborada pelo grupo B.
43
Figura 10 - situações-problema de composição elaboradas pelo grupo C
Os grupos D e E elaboraram situações com enunciados completamente
diferentes, contudo, procuraram explorar a disposição dos dados de acordo com a
ideia de parte-todo, colocando a pergunta do problema, ora na procura do todo,
ora na busca de uma das partes. Podemos observar esse fato nos exemplos
mostrados na figura 11.
Figura 11 – Situações-problema de composição elaboradas dos grupos D e E
2.2.4 – Sexto encontro
A finalidade desse encontro foi a de discutir situações-problema de
comparação e classificar situações de acordo com as categorias de composição,
comparação e transformação.
44
Percebemos que os professores ficavam mais à vontade quando
trabalhávamos com as categorias de composição e transformação. Devido a este
fato realizamos uma discussão, à parte, sobre a categoria de comparação.
A formadora, então, explanou sobre as situações-problema de comparação
e a discussão ficou em torno da ideia de comparação e de transformação a partir
do discurso de uma das professoras..
De acordo com a discussão do grupo as situações de comparação
poderiam ser resolvidas “trocando-se” as expressões “a mais” e “a menos” de
lugar. A formadora, então, colocou que, o lugar dessas expressões dependeria do
referente e do referido, elementos característicos desse tipo de situação, que não
estão presentes em problemas de transformação.
Após esse momento particular de discussão acerca dos problemas de
comparação, uma lista contendo doze situações-problema (Anexo – B) foi
apresentada por nós ao grupo, para realizar uma classificação de acordo com as
três categorias.
A formadora sugeriu que os professores trabalhassem primeiramente em
grupos menores e após o intervalo, as conclusões seriam socializadas.
De acordo com as discussões nos grupos menores e o fechamento com
todos ao final da sessão, os problemas da lista sugerida foram classificados da
seguinte maneira: (Problemas; 4, 10, 11 e 12 – composição); (Problemas; 2, 6 e 8
– comparação) e (Problemas; 1, 3, 5, 7 e 9 – transformação).
Além do objetivo do encontro, que era o de classificar as situações-
problema de acordo com as categorias composição, comparação e
transformação, o encontro serviu para que orientássemos os professores na
aplicação de seis situações de sua escolha, da lista sugerida e classificada, nas
suas respectivas turmas e os protocolos dos alunos seriam utilizados em um outro
momento de discussão na próxima sessão de formação.
45
2.2.5 – Sétimo encontro
Este encontro foi destinado a uma palestra com a professora Drª. Janine
Rogalski, que tratou sobre o desenvolvimento lógico das crianças focando a
aquisição da bidimensionalidade para as crianças em idade escolar.
2.2.6 – Oitavo encontro
Nossa intenção com este encontro da formação foi a de promover uma
discussão sobre as estratégias e erros cometidos pelos alunos quando resolviam
situações-problema do campo aditivo, nas categorias de composição,
transformação e comparação. Vale lembrar que os problemas foram elaborados
com a participação ativa dos professores.
As doze situações-problema da lista sugerida foram utilizadas ou não pelos
professores com suas respectivas turmas.
Oito professores nos retornaram a atividade desenvolvida apresentando os
protocolos dos alunos. 4 professoras apresentaram um relato de como realizaram
os trabalhos com suas turmas.
Apresentaremos a seguir a descrição dessas professoras de como
trabalharam as situações-problema escolhidas com seus alunos.
As professoras que apresentaram os relatórios foram as das seguintes
turmas: 3º Ano C da Escola Estadual Dr. Luiz Zamenhof; 5º Ano da Escola
Estadual Prof. Leoveylio Moreira; 2º Ano B da Escola Estadual Prof. Rafael de
Moraes Lima; 1º Ano, que não identificou a escola.
Professora do 3º Ano:
Segundo a professora, os alunos trabalharam em grupos utilizando o
material dourado. Para ela, a dificuldade apresentada pela turma estava na
compreensão de que operação utilizar.
Ainda de acordo com o relato da docente, os alunos utilizaram outro
material concreto, notas de dinheiro de um livro didático.
46
Professora do 5º Ano:
Essa professora apresentou em seu relato uma preocupação com as
estratégias utilizadas pelos alunos. Para ela, os estudantes resolveram as
situações individualmente, alguns realizaram as operações mentalmente e outros
apresentaram respostas imediatas.
Professora do 2º Ano :
Já para essa Professora, dois alunos tiveram muita dificuldade para
interpretar os problemas e as crianças utilizaram o cálculo mental.
Ainda de acordo com seu relato, a dificuldade de compreensão estava
associada à leitura, que se tornou um problema à parte para os alunos que não
dominavam essa habilidade. Nesses casos, foi necessária uma intervenção para
ajudar na interpretação do problema, disse a professora.
Quanto às estratégias, conforme conta a docente, as mais utilizadas pelos
alunos, foram as que envolviam o cálculo mental.
Professora do 1º Ano:
Assim como a professora do 2º ano B, esta também atribuiu a grande
dificuldade dos estudantes à leitura dos enunciados dos problemas. Segundo ela,
sua turma não tivera contato com enunciados de problemas.
Sendo assim, depois de analisar os relatos reflexivos e fazer um
levantamento inicial dos dados coletados, organizamos nosso encontro de
formação na qual obedecemos a seguinte pauta:
• Retomada dos encontros anteriores;
• Discussão sobre as diferentes formas de se explorar uma mesma
situação-problema;
• Leitura e discussão dos dados levantados sobre as estratégias
equivocadas dos alunos;
• Apresentação dos relatórios reflexivos.
47
Por se tratar do último encontro, a formadora iniciou as atividades fazendo
uma recapitulação do que foi discutido nos encontros anteriores.
Após o momento de retomada a formadora procurou focar o início da
discussão lembrando que “para verificar o que Vergnaud coloca sobre resolução
de problema, é necessário que o professor dê importância ao trabalho com
diferentes situações”.
A formadora colocou ainda que, “segundo afirma Vergnaud, os alunos
utilizam esquemas diferenciados para resolver situações-problema”.
Em seguida, a formadora apresentou os problemas diagnosticados pelos
professores com suas turmas. Essa apresentação foi feita separando-se os
problemas como; da lista-sugerida e não-sugerida, pois dos oito docentes que
realizaram a atividade com os alunos, dois decidiram elaborar outras situações-
problema, dentro das categorias de composição, comparação e transformação
que entenderam estar mais condizente com o desempenho de suas turmas.
Vale lembrar que as situações-problema da lista que nós sugerimos, foram
elaboradas com a colaboração dos professores em uma das sessões de
formação (Anexo B). contudo, entendemos que, talvez, alguns problemas
estivessem além da capacidade de certas turmas.
Contabilizamos 464 protocolos que foram produzidos pelos alunos a partir
das situações-problema da lista que sugerimos e 134 da lista não sugerida.
Para este encontro foram contabilizados também os problemas em que os
alunos apresentaram soluções equivocadas. De acordo com nosso levantamento,
18 situações-problema da lista sugerida estavam resolvidas de forma equivocada
e 7 situações da lista não sugerida estavam na mesma condição.
Após a apresentação desses dados para o grupo, a formadora abriu a
discussão com a seguinte pergunta: “O que vocês acham do fato de ter aparecido
poucos problemas de comparação?”
Uma das professoras respondeu que achou a linguagem do problema
muito complexa para sua turma, que era de alunos de 6 anos de idade. Colocou
ainda que, talvez, as expressões “contas maiores” e “contas menores”
confundiram os alunos com a presença, no mesmo problema das palavras “maior”
e “menor”.
48
Eis aqui o problema que gerou a discussão:
“ Vilma e Flávia fazem colares de contas. O colar de Vilma tem 18 contas pequenas. O de Flávia tem 7 con tas a menos, porque ela usa contas maiores. Quantas conta s têm o colar de Flávia?” A discussão no grupo prosseguiu e os professores lembraram dos
cuidados que deveriam ser tomados em relação à linguagem utilizada quando
elaboramos situações-problema, pois, colar de conta pode não pertencer à
realidade de certos alunos.
Uma outra colocação feita por uma professora, ainda sobre as situações-
problema elaboradas, dizia a respeito da necessidade do professor estimular os
alunos a registrarem suas soluções por meio de representações com desenhos.
Segundo esta professora, seus alunos não entendiam a comanda “registrar
com desenhos” e achavam que deveriam desenhar qualquer coisa, desvinculada
do problema.
Assim sendo, conforme verificaremos na apresentação dos dados
coletados, os problemas de comparação foram pouco utilizados pelos
professores. Essa foi a razão pelo qual decidimos estimular a discussão sobre o
assunto na formação.
Com relação às outras categorias de problemas (composição e
transformação), a formadora conduziu a discussão no sentido de levar o grupo a
uma reflexão sobre as estratégias utilizadas e os erros cometidos pelos alunos.
Mostraremos a seguir alguns protocolos dos alunos que serviram para
promover a discussão na formação.
Figura 12 – Protocolo de um aluno do 2º ano B
49
Com relação a este protocolo, os professores entenderam que o aluno
utilizou o cálculo mental, procurou justificar seu raciocínio por meio de um
algoritmo, contudo apresentou a resposta errada.
Figura 13 – Protocolo de um aluno do 4º Ano B
A professora do 4º B não apresentou um relatório de como desenvolveu a
atividade com seus alunos. E o grupo concordou que o aluno utilizou um
algoritmo, equivocadamente, para resolver a situação-problema. Mostrando,
provavelmente, não ter interpretado o problema de forma correta.
Figura 14 – Protocolo de um aluno do 3º Ano C
Observando esse protocolo o grupo percebeu a utilização de
representação por imagens. Na discussão sobre a estratégia disseram que neste
caso o aluno reconheceu as duas quantidades e as igualou para então perceber a
diferença entre elas, e mais, compreendeu que essa diferença respondia a
50
situação. O algoritmo pode ter sido utilizado somente para confirmar a resposta
encontrada.
Figura 15 – Protocolo de um aluno do 5º Ano A
Figura 16 – Outro protocolo do 5º Ano A
Nesse caso apresentamos dois protocolos por se tratar da professora que
decidiu, após uma conversa com os pesquisadores do grupo de formação,
reaplicar a atividade.
51
Esta professora tornou-se sujeito de nossa investigação e sua inquietação
com relação à primeira aplicação da atividade com seus alunos será mais
explorada no capítulo referente à análise de dados.
Sendo assim, com o 8º encontro da formação, procuramos extrair para
nossa investigação, a reflexão que um professor pode fazer sobre as estratégias
e os erros cometidos por seus alunos, quando resolvem situações-problema e
investigar se suas concepções acerca do campo aditivo poderiam estar sendo
revistas.
Vale ressaltar que, o 1º módulo dos trabalhos desse Observatório da
Educação, se encerrou ao final do mês de agosto, e que planejamos aguardar
nove meses antes de investigar, por meio de entrevistas, o discurso dos
professores sobre os temas trabalhados naquele módulo de formação continuada.
Tentamos então, neste subitem, mostrar o ambiente onde promovemos as
reflexões e discussões acerca do Campo Aditivo com os professores e realizamos
as primeiras coletas de dados.
52
Capítulo 3 – Fundamentação Teórica
Nosso estudo está sendo realizado com profissionais da educação que
participam de um programa de formação continuada, cuja finalidade é, conforme
consta no detalhamento do projeto Observatório da Educação, buscar e
[...] analisar as transformações da prática e o desenvolvimento profissional de professores das séries iniciais do ensino fundamental, quando estes estão inseridos em um processo de estudo de pesquisas em educação matemática e imbuídos de promover inovações curriculares no âmbito de suas classes (OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO, 2010, p. 2).
Para a nossa pesquisa observamos as práticas pedagógicas no âmbito dos
processos de ensino e aprendizagem da temática: Campo Conceitual Aditivo.
Quanto a esse tópico, Magina et al. (2008), fundamentados na Teoria dos
Campos Conceituais de Vergnaud, ressaltam a importância de o professor
conhecer os aportes teóricos relacionados ao tema Campo Conceitual Aditivo
para que suas concepções sobre situações-problema que utilizem adições e
subtrações e as intervenções junto aos alunos sejam mais coerentes e produtivas.
É, também, com esta visão que analisamos as transformações da prática dos
professores inseridos no projeto.
Olhar para o desenvolvimento profissional do professor é identificar, no
contexto do nosso estudo, o professor que tem a intenção de colocar em prática
as inovações apresentadas durante a formação. De qual professor estamos
falando? De qual professor precisamos?
Entendemos que um professor, cuja intenção é colocar em prática as
inovações adquiridas em um programa de formação continuada, precisa ser
reflexivo. A esse respeito concordamos com Schön (1997) quando alega que é
necessário que o professor reflita na ação e sobre a reflexão na ação.
Durante o desenvolvimento das primeiras atividades no Observatório da
Educação, os professores estudaram a temática, discutiram sobre suas ações e,
em seguida, se propuseram a aplicar o resultado de suas reflexões em suas
classes. As observações, anotações e novas reflexões voltaram para o grupo, e a
reflexão sobre a ação foi realizada (SCHON, 1997).
53
Tratando ainda sobre a questão da reflexão do professor sobre suas ações,
entendemos que para um docente promover tal reflexão é necessário que
acredite naquilo que sabe e compreenda que pode recomeçar quando julgar que
falhou em determinadas ações. Nossas colocações encontram respaldo nas
palavras de Serrazina (1999) quando afirma que há uma relação entre a
autoconfiança e os conhecimentos específicos da área. Tais condições favorecem
a construção de um professor prático reflexivo (ZEICHNER – 1993), cujas
reflexões podeM ser oriundas de sua trajetória escolar antes, durante e após sua
formação inicial (TARDIF – 2000).
Esperamos que os professores promovam mudanças em suas concepções
sobre o Campo Conceitual Aditivo. No entanto, ressaltamos que, para que tais
conceitos possam ser objeto da reflexão do professor precisamos orientar seu
olhar também para as questões curriculares. Vale lembrar que os documentos
oficiais que orientam o currículo do Estado de São Paulo se fundamentam
também na Teoria dos Campos Conceituais.
Assim sendo, cabe observar que, quando nos referimos a currículo,
precisamos lembrar de sua evolução ao longo da história da educação brasileira,
e da sua relação com a formação do professor. Contudo, trataremos de forma
mais aprofundada a questão curricular no Brasil em um capítulo específico.
Salientamos, no momento, a importância de o professor reflexivo estar focado no
conhecimento curricular, como é proposto por Shulman (1986).
Fundamentados nesse pequeno aporte teórico (Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud, o professor e sua reflexão sobre ação de Schön, a
reflexão e a autoconfiança do docente analisada por Serrazina, a prática reflexiva
sugerida por Zeichner, o conhecimento curricular de Shulman e os estudos sobre
os saberes do professor de Tardif), iniciamos nossos trabalhos com a finalidade
de investigar as possíveis mudanças de concepções dos professores sobre o
Campo Aditivo quando participam de um programa de formação continuada.
54
3.1 Noções do Campo Conceitual Aditivo
O Campo Conceitual Aditivo é parte da “Teoria dos Campos Conceituais”
de Gerard Vergnaud. Em sua teoria, Vergnaud estudou os campos conceituais
aditivos e multiplicativos.
De acordo com Silva (2007), o Campo Conceitual Aditivo é formado por um
conjunto de situações que necessitam de uma adição, subtração ou de um
conjunto de operações. Estes conjuntos (operações e situações) se relacionam de
forma estrutural, compondo as estruturas aditivas. Já no Campo Conceitual
Multiplicativo as operações são de multiplicação, divisão ou um conjunto delas.
No tocante ao segundo caso, maiores esclarecimentos podem ser encontrados na
tradução de Moro (2009).
Para apresentar os pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais nos
apoiaremos em estudos do próprio autor, L’ enfant, la mathématique et la réalité
de 1981, traduzida para o português por Moro (2009), além de nossas anotações
obtidas durante a participação no curso ministrado pelo autor em 2010 na
Universidade Bandeirante de São Paulo.12 Acreditamos que tais dados possam
acrescer elementos aos já divulgados nos estudos aqui apontados.
Quanto aos pressupostos que fundamentam tal teoria, o autor parte do
princípio de que os alunos desenvolvem suas competências ao longo do tempo
por meio de situações experimentais que cerceiam sua vida:
[...] Os conhecimentos que a criança adquire devem ser construídos por ela em relação direta com as operações que ela, criança, é capaz de fazer sobre a realidade, com os conceitos que ela progressivamente constrói. [...] (VERGNAUD, 2009, p. 15).
Vergnaud (2010) reafirma que, ao longo da vida, temos que nos adequar a
um conjunto de diversas situações. Considera que uma situação pode ser
analisada por meio de diversos conceitos, e que um conceito não tem o seu
significado em uma única categoria de situações. Assim sendo, temos que
analisar a formação de diferentes conceitos, e estes em diversas situações.
12 O curso aqui descrito fez parte da Escola de Altos Estudos (EAE) CAPES, denominado “A Teoria dos Campos Conceituais”, realizado na UNIBAN.
55
Para Vergnaud (2010), “um conceito não se desenvolve sozinho, no
entanto em conjunto de diferentes conceitos com os quais formam um sistema”.
Portanto, segundo o autor, as crianças, ao vivenciarem diversas situações,
necessitam de uma diversidade de conceitos. Dessa forma, para o autor, a
compreensão da formação do conhecimento se dá por meio da análise do
conjunto de situações e conceitos, os quais o autor denomina de campos
conceituais.
3.2 Os pressupostos da Teoria dos Campos Conceituai s
Na Teoria dos Campos Conceituais, Vergnaud (1990) faz um profundo
estudo sobre as relações. Trata de diversos conceitos, por exemplo, as
propriedades das relações (simetria, transitividade e reflexividade); as categorias
de relações binárias (relações de equivalência, de ordem estrita e de ordem
ampla); as correspondências e aplicações de relações ternárias e quartenárias e
muitos outros.
Dentre os pressupostos da Teoria vamos encontrar esclarecimentos
sobre o número e a medida, para em seguida conhecermos as definições de
medidas e transformações.
As medidas e as transformações são verificadas em situações-
problema do tipo aditivo ou multiplicativo.
Como podemos observar, a Teoria dos Campos Conceituais é formada
por uma grande quantidade de conceitos e definições. Contudo, o Campo
Conceitual Aditivo e as estruturas aditivas, no âmbito das noções de cálculo
relacional, medida e transformações, são conceitos que precisamos estudar para
melhor compreender o embasamento teórico e o desenvolvimento dessa
investigação.
56
3.2.1 O cálculo relacional
A característica de um cálculo relacional é, como o próprio nome
sugere, a presença de relações entre os elementos de uma situação-problema.
Das relações apresentadas por Vergnaud é do nosso interesse as relações
binárias e ternárias:
Relações binárias são aquelas “que ligam dois elementos entre si – Pedro está ao lado de Janine; o lápis está sobre a mesa; x é igual a 3y (x = 3y)”. Relações ternárias são aquelas “que ligam três elementos entre si – Pedro está entre André e Joana”. (VERGNAUD, 1990, p. 23-25)
A inteligência é dinâmica no sentido de que no estabelecimento de
relações o envolvimento dos elementos se dá por meio de ações. Para Vergnaud
essas relações não podem ser estáticas, simples constatações acerca da
realidade. Sendo assim, apresenta duas formas de deduções que justifica o
movimento da inteligência; a) dedução de uma conduta ou regra de condutas de
relações constatadas ou aceitas, b) dedução de novas relações a partir das
relações constatadas e aceitas.
Uma dedução constatável ou aceita pode ser entendida como o
resultado final de uma relação entre elementos no qual uma inferência seja
desnecessária. Por exemplo: Pedro e Lucas são irmãos. Pedro tem 2 bolinhas de
gude e Lucas tem 5. Os dois colocaram as bolinhas de gude sobre uma mesa e
comparam as quantidades. Pedro percebeu que a quantidade de bolinhas de
gude de Lucas é maior. A relação entre as duas quantidades de bolinhas, feita por
Pedro, é uma constatação aceita da realidade (VERGNAUD, 2009). É, portanto,
uma relação constatada.
Suponhamos que Lucas queira dar ao irmão 2 bolinhas de gude. A
relação entre as quantidades seria a seguinte: Pedro tem 2 bolinhas de gude.
Ganhou 1 bolinha de seu irmão. Quantas bolinhas têm Pedro agora? A
relação entre as quantidades de bolinhas dos dois irmãos depende, desse modo,
de um movimento dedutivo ou inferência. Para encontrarmos a nova quantidade
de bolinhas de Pedro é necessário deduzir que a quantidade aumentou; tinha 2
bolinhas, ganhei 1 de meu irmão, então agora tenho 3 (2 + 1 = 3). Ocorreu,
57
portanto, a dedução de uma nova relação a partir de uma relação constatada, isto
é, duas quantidades diferentes e aceitas (relação constatada) e aumento de uma
das quantidades (nova relação).
Em seu trabalho, Vergnaud (2009) explica o uso de deduções com o
seguinte exemplo:
“Pedro acabou de jogar duas partidas de bolinhas de gude. Ele
perdeu 13 bolinhas na primeira partida e ganhou 7 n a segunda, e ele tem
agora 45. Quantas ele tinha antes de começar a joga r? (VERGNAUD, 2010, p.
36)”.
Para o autor os esquemas sagitais, assunto que trataremos adiante,
que podem representar o uso de deduções no exemplo acima, são mostrados nas
figuras 17, 18 e 19:
1.ª parte 2.ª parte
estado inicial estado intermediário estado final
Figura 17 : Esquema sagital de Vergnaud (2009)
1.ª Dedução:
Figura 18 : Esquema sagital de Vergnaud (2009) representando a 1.ª dedução
45
-13 +7
45
-13 +7
-6
58
De acordo com o autor, na primeira dedução acontece uma composição de
transformações, isto é, (-13) + (+7) = (-6)
2.ª Dedução:
Figura 19 : Esquema sagital de Vergnaud (2009) representando a 2ª dedução
Aplicação ao estado final, (45), da recíproca de (-6) buscando o estado
inicial.
Nossa tentativa de tornar claro o significado de relações constatáveis para
explicar o uso de deduções ou inferências justifica-se pelo fato de que em nosso
estudo tais relações estão presentes, por exemplo, durante as análises das
estratégias dos alunos feita pelos docentes, sujeitos de nossa investigação.
Para o leitor interessado em se aprofundar no conceito de cálculo
relacional, sobretudo na questão das relações constatadas e aceitas, sugerimos
uma visita ao trabalho de Vergnaud (2009), especificamente o capítulo 1 daquela
obra.
Passamos, então, para o estudo das medidas e transformações segundo a
Teoria dos Campos Conceituais.
3.2.2 Os números naturais na concepção de medidas
No Campo Conceitual Aditivo trabalhamos com situações-problema cuja
solução é encontrada por meio de adições e/ou subtrações. Os elementos que se
+6
-6
45
59
relacionam nessas situações são representados por medidas, que por sua vez
são expressas por números.
Vale ressaltar que o conjunto a que nos referimos é o dos números
naturais, por se tratar dos números de domínio das crianças nos anos iniciais do
Ensino Fundamental (6 a 10 anos). Para Vergnaud (2009) esses são os números
compreendidos, de fato, por essas crianças.
As situações-problema do Campo Aditivo, portanto, são elaboradas de
forma que existam relações entre seus elementos. Tais relações são observadas
segundo a representação numérica das medidas componentes. Assim, podemos
dizer que dentro desse Campo são construídas estruturas para encontrar
soluções; são as estruturas aditivas.
Por problemas do tipo aditivo, estamos entendendo todos aqueles cuja solução exige tão somente adições ou subtrações, do mesmo modo pelo qual entendemos por estruturas aditivas as estruturas em que as relações em jogo são formadas exclusivamente por adições ou subtrações (VERGNAUD, 2009, p. 197).
O autor da Teoria dos Campos Conceituais explica que a característica
essencial dos números está na possibilidade de, com eles, promoverem-se
relações aditivas.
Lembremos que tais números, em situações-problema, representam
medidas que podem ser exploradas pelas crianças por meio de uma contagem ou
reunião dos elementos componentes de um conjunto formado por uma
determinada medida.
A percepção das medidas em situações-problema, a associação e
representação de tais medidas por meio dos números naturais e as ações de
contar ou reunir elementos fundamentam a noção inicial de somar.
3.2.3 A ideia rudimentar da soma
Vergnaud (2009) esclarece a ideia rudimentar da soma por meio de uma
situação-problema proposta a uma criança de seis anos. Na situação-problema é
solicitado a essa criança que responda quantas crianças existem sentadas em
volta de uma mesa, sendo 4 meninas e 3 meninos. Segundo o autor, a primeira
60
ação da criança é contar as meninas, em seguida contar os meninos e, por fim,
contar novamente, desta vez olhando meninas e meninos como um único grupo.
Para Verganud (2009), não ocorreu nesta ação da criança a soma propriamente
dita.
Tal ideia, esclarece a Teoria dos Campos Conceituais, passará a existir
quando a criança realizar a ação de contar o número de meninas, guardar o
número nos dedos e prosseguir a contagem a partir do que já foi contado, isto é,
contando os meninos. Observe que no primeiro momento a criança conta o grupo
maior (meninas e meninos) partindo-se do 1 até chegar ao 7 despercebidamente,
sem realizar a soma de 4 com 3 por meio da continuidade da contagem ou reunir
o grupo de meninas ao grupo de meninos para proceder a uma nova contagem.
Fica, portanto, estabelecido que a contagem dos elementos de um
conjunto seguida da continuidade da contagem em um outro conjunto e a reunião
dos elementos de um conjunto com os elementos de outro conjunto para realizar
uma contagem são as ações rudimentares para se fazerem adições. Verganud
explica que em situações-problema do Campo Aditivo a ideia de compor as
unidades pode ser explicada simbolicamente de duas maneiras: “[...] reunião de
dois conjuntos: A U B, seguida da contagem deste novo conjunto: medida (A U B),
ou, contagem de A e B: medida (A), medida (B), adição de dois números: medida
(A) + medida (B) [...]” (VERGNAUD, 2009, p. 139).
Verganud (2010)13 chama de prototípicos os problemas do tipo:
a) Marcos tem 3 bolinhas de gude verde e 5 bolinhas de gude brancas.
Quantas bolinhas de gude Marcos têm?
b) Pedro tinha 6 cards e num jogo ganhou 3 cards. Q uantos cards Pedro
tem agora?
c) Pedro tinha 6 cards e num jogo perdeu 3 cards. Q uantos cards Pedro
tem agora?
13 Curso da Escola de Altos Estudos (EAE) Capes, denominado “A Teoria dos Campos Conceituais”, realizado na UNIBAN no ano de 2010.
61
Para o autor, essas situações-problema podem ser resolvidas por crianças a
partir dos 5 anos de idade sem maiores problemas. No caso da situação a, as
estratégias de resolução fazem uso da reunião de medidas e contagens de
elementos dos conjuntos envolvidos. Para Vergnaud (2009 e 2010), essa é a
primeira forma de adição que a criança compreende.
As situações-problema b e c também são chamadas de prototípicas, no
entanto são situações em que uma adição ou uma subtração precisa ser usada
como estratégia de resolução, por meio de uma transformação das medidas
envolvidas.
Vergnaud (2009) apresenta as situações-aditivas em seis categorias
diferentes. Falaremos delas logo adiante, no entanto será muito interessante
entendermos um pouco mais sobre a transformação de medidas.
3.2.4 A transformação de medidas 14
Quando pensamos em uma situação-problema em que duas partes
(medidas) deverão ser unidas para formar uma terceira parte (medida – todo),
estamos estruturando uma relação ternária cujas medidas são compostas na
formação do todo sem mudança de característica, isto é, ao juntar a coleção de
cards de um menino, a primeira medida (5), por exemplo, deve ser reunida com a
segunda medida (7), por exemplo, e na composição (12) as medidas compostas
não deixam de existir, pois as medidas (5) e (7) estão inseridas na composição
(12).
O mesmo não ocorre quando a situação-problema apresenta duas medidas
mediadas por uma transformação. É o caso da situação em que a primeira
medida, denominada pelo autor de estado inicial, sofre uma transformação em
função da relação estabelecida, por exemplo: uma medida (5) inicial é
transformada mediante uma relação de ganho. Suponhamos que essa relação
14 O termo medida aqui refere-se a quantidade. Decidimos manter o termo original de acordo com a obra do autor.
62
ocorra em função da medida (3), então, a medida final, ou como o autor
denomina, estado final, será igual a (8).
Com muita facilidade podemos confundir essa situação de transformação
com uma situação de composição, pois poderíamos concluir que, se tenho 5 e
ganho 3, então, tenho 5 + 3 = 8, no entanto, diferentemente de uma situação de
composição, as duas medidas envolvidas são reunidas, porém com outro
enfoque. Vale lembrar que em uma situação de composição as duas medidas
coexistem independentemente (Tenho 3 bolinhas de gude verdes e 5 bolinhas de
gude amarelas), sem relação de ganho ou perda.
A relação que estabelece uma perda também é de transformação. Com
essa relação a ideia de transformar medidas pode parecer mais clara. A medida
do estado inicial será transformada de acordo com uma relação de perda, isto é,
têm-se (5) e perde-se (3), o resultado dessa relação é o estado final (2), medida
proveniente da operação 5 – 3 = 2.
Procuramos aqui introduzir a ideia de transformação justamente pelo fato
de que em muitos casos ela pode ser confundida com a ideia de composição. Em
seguida, apresentamos as seis categorias aditivas de Vergnaud (2009) e os
esquemas sagitais do autor para as categorias de composição, transformação e
comparação. Acreditamos, assim, que os conceitos aqui tratados fiquem mais
claros para o leitor.
3.2.5 As seis categorias aditivas de Vergnaud
Como já dissemos, as relações estabelecidas no Campo Conceitual Aditivo
são relações ternárias (ver subitem 3.2.1). As estruturas aditivas que podem
ocorrer em função das relações estabelecidas nas diversas situações-problema,
são inúmeras. Para Vergnaud (2009), essa variedade de estruturas é muito
grande.
Por esse motivo, o autor esclarece que começar por analisar as seis
categorias aditivas com seus respectivos esquemas não é uma má ideia.
Vergnaud (2009) estabelece as seis seguintes categorias aditivas:
63
Primeira categoria – duas medidas se compõem para resultar uma terceira. Segunda categoria – uma transformação opera sobre uma medida para resultar em outra medida. Terceira categoria – uma relação liga duas medidas. Quarta categoria – duas transformações se compõem para resultar em uma transformação. Quinta categoria – uma transformação opera sobre um estado relativo (uma relação) para resultar em um estado relativo. Sexta categoria – dois estados relativos (relações) se compõem para resultar em um estado relativo (VERGNAUD, 2009, p. 200).
Perceba que a primeira categoria, que compõe duas medidas (partes),
para formar uma terceira (todo), é uma situação de composição. A segunda
situação diz que uma transformação opera sobre uma medida, isto é, o estado
inicial sendo alterado para se chegar ao estado final. Já a terceira categoria
apresenta uma relação que estabelece uma comparação entre duas medidas.
A quarta, quinta e sexta categorias são relações estabelecidas a partir das
três primeiras categorias.
Cada uma das seis categorias aditivas é representada por esquemas
sagitais, conforme expõe o autor.
Utilizaremos situações-problema de nossa autoria com as representações
de Vergnaud (2009)
1.ª Situação-problema:
João tem 6 balas de morango e 8 bolas de uva. Quantas balas têm ao
todo?
Figura 20: Esquema sagital de Vergnaud (2009)
Representando uma situação de composição
6
8
14
64
Percebemos nesse esquema a composição de duas medidas para formar
uma terceira. A relação ternária, nesse caso, envolve duas partes (6) e (8) para
compor o todo (14), isto é, 6 + 8 = 14.
2.ª Situação-problema:
João tinha 5 balas de morango. Recebeu mais três 3 balas de seu pai.
Quantas balas têm agora?
Figura 21: Esquema sagital de Vergnaud (2009)
Representando uma situação de transformação
Nesse outro esquema percebemos uma situação em que uma
transformação de medidas é necessária. (5) é a medida inicial (estado inicial)
(8) é a medida final (estado final) e +3 é a transformação, ou seja, 5 + (+3)
= 8.
João tinha 5 balas de morango antes de chupar algumas. Chupou 3 balas.
Quantas balas têm agora?
Figura 22 : Esquema sagital de Vergnaud (2009)
Representando outra situação de transformação
O segundo esquema de transformação mostra que ocorreu uma situação
de perda. Desta vez, a medida (5), estado inicial, sofre uma transformação que
5 8
+3
5 2
-3
65
resulta no estado final 2. A transformação nesse caso é representada pelo
número (-3). Operacionalmente, (5) + (-3) = 2.
3ª Situação-problema:
João tem 5 balas de morango e Lucas tem 2 a menos. Quantas balas têm
Lucas?
Figura 23: Esquema sagital de Vergnaud (2009)
Representando outra situação de comparação
Note que a medida (5) e a medida (3), embora desconhecida, são
independentes. Temos uma medida que, por meio de uma relação, dá origem à
outra medida. Trata-se de uma situação de comparação: 5 + (-3) = 2.
4.ª Situação-problema:
João ganhou 5 balas de morango e hoje chupou 7 balas. Quantas balas
João têm agora?
3
5
-2
66
Figura 24: Esquema sagital de Vergnaud (2009) Representando uma situação de
composição de transformação
Nesse esquema, duas transformações se compõem, uma entre a medida
inicial e a medida intermediária e outra entre a medida intermediária e a medida
final. Dessa composição surge a transformação que relaciona a medida inicial
com a medida final.
5.ª Situação-problema:
João pegou 5 balas de Pedro. Na cantina comprou 3 balas para Pedro.
Quantas balas João ainda deve a Pedro?
Figura 25: Esquema sagital de Vergnaud (2009)
Representando uma situação de transformação
sobre um estado relativo
O que temos nessa situação é uma condição de dívida relativa, isto é,
embora João salde parte da dívida, ainda continua devendo. Operacionalmente (-
5) + (+3) = (-2).
5 -7
-2
+3
-2 -5
67
6.ª Situação-problema:
João deve 5 balas a Pedro e Pedro lhe deve 4 balas. Quantas balas João
deve ao Pedro?
Figura 26: Esquema sagital de Vergnaud (2009)
Representando uma situação de transformação
sobre dois estados relativos
Neste esquema a medida que representa a dívida de João estabelece uma
relação com a medida que representa a dívida de Pedro para com o próprio João.
Matematicamente podemos escrever o seguinte: (-5) + (+4) = (-1).
Estas são, portanto, as seis categorias aditivas estipuladas por Vergnaud.
As relações que se estabelecem entre as medidas que se apresentam nas
diversas situações-problema promovem a ocorrência de diversas estruturas
aditivas que podem ser manipuladas pelos alunos. A manipulação dessas
estruturas aditivas dentro do Campo Aditivo são as estratégias que as
professoras, sujeitas de nossa pesquisa, analisam depois de elaboradas as
situações-problema para trabalhar com seus alunos.
-5
+4
-1
68
3.2.6 Sobre as ações mobilizadas pelas crianças par a resolver situações-
problema do Campo Aditivo
Uma situação-problema é formada a partir de uma relação ou um conjunto
delas. Estas relações ocorrem levando-se em consideração aspectos da
realidade, o que as tornam significativas.
As relações estabelecidas com base nos aspectos desta realidade
produzem a formação de conceitos e pré-conceitos tomando-se como base as
propriedades e os objetos envolvidos para sustentar, inferir e modificar
procedimentos.
Estas relações podem ser representadas simbolicamente de forma que as
ações possam ser registradas, aceitas ou refutadas.
Para Vergnaud (2009) estas relações promovem ações que se formam por
meio de associações entre a realidade, as representações e os invariantes
(objetos e propriedades envolvidos nas relações).
Podemos entender um pouco melhor a associação que existe entre a
realidade, os invariantes e as representações com um exemplo de situação-
problema do Campo Aditivo.
Suponhamos que uma criança se encontre na seguinte situação-problema:
Ela (a criança) tem 5 reais e recebe de presente de seu pai 2 reais e pretende
saber quantos reais tem agora.
As representações que ela poderia desenvolver seriam as seguintes;
• Verbal: “tenho cinco reais... com dois que estou ganhando do meu pai...
cinco, seis e sete... ficarei com sete reais”.
• Representação do tipo parte-todo que pode ser realizada mentalmente:
Figura 27: Representação parte-todo
5
2
7
69
• Representação algébrica que também pode ser realizada mentalmente:
5 + 2 = 7
Essas associações mobilizadas pela criança são denominadas por
Vergnaud de “regras de ação”. Contudo, é importante ressaltar que o próprio
autor afirma que nem todos os procedimentos utilizados pelas crianças levam à
solução dos problemas, no entanto é preciso levar em consideração os erros
cometidos, pois há muita coisa de construção mental nos equívocos que poderá
ser muito útil.
3.3 Os conhecimentos curriculares, pedagógicos e de conteúdos do
professor.
A construção dos conhecimentos do professor foi verificada em uma
investigação realizada por Lee S. Shulman,15 professor da Faculdade de
Educação da Universidade de Stanford.
No artigo publicado no Educational Researcher em 1986, Shulman menciona
que realizou uma investigação sobre as concepções dos professores com testes
para seleção profissional utilizados no século passado.
O estudo foi produzido de forma documental, em que se analisaram os
relatórios anuais dos superintendentes estaduais da educação há mais de um
século. De acordo com Shulman (1986), os testes indicavam como o
conhecimento do professor era definido.
O autor refere, ainda, que foi possível fazer uma comparação com os testes
aplicados nos dias atuais. Segundo Shulman (1986), os exames realizados nos
15 Sobre os estudos de Shulman (1986), Sztajn (2002) apresenta uma revisão da literatura americana dos anos 90 sobre o saber disciplinar do professor de Matemática, e indica o trabalho do autor como um dos mais relevantes. Segundo a autora, “impulsionou tanto os estudos sobre a eficácia do professor como aqueles acerca dos processos de pensamento do docente ao considerar a questão disciplinar e os aspectos particulares do ensino de uma disciplina específica” (SZTAJN, 2002, p. 20).
70
Estados de Massachusetts, Michigan, Nebraska, Colorado e Califórnia no final do
século XVIII procuravam verificar se a pessoa que tinha a pretensão de ensinar a
matéria para as crianças demonstrava conhecimento do assunto como um pré-
requisito para ensinar.
Shulman assevera que a partir da década de 80 as habilidades para ensinar
os conteúdos começaram a fazer parte dos testes de professores.
Quando pensamos sobre os testes de professores e argumentamos junto a
outras pesquisas realizadas acerca das suas habilidades necessárias para
ensinar, e do seu domínio dos conteúdos, ressaltamos o Paradigma Perdido nas
palavras de Shulman:
Lendo a literatura de pesquisas sobre o ensino, está claro que questões centrais não são feitas. A ênfase está sobre como os professores dirigem suas salas de aula, organizam atividades, administram o tempo e o transformam, como estruturam as atribuições, como atribuem elogios e críticas, como formulam os níveis de suas perguntas, como planejam suas aulas, e julgam a compreensão dos alunos em geral. Nós sentimos falta de questões sobre o conteúdo das lições ensinadas, as questões feitas, e as explanações oferecidas (SHULMAN, 1986, p. 11).
Em seu trabalho, Shulman (1986) descreve o conhecimento de conteúdos do
professor em três categorias diferentes: a) o conhecimento do conteúdo objeto
que representa o que o professor sabe, de fato, sobre a disciplina que pretende
ensinar; b) o conhecimento pedagógico de conteúdo, que mostra como o
professor articula o desenvolvimento de suas atividades, de modo a fazer com
que seus alunos compreendam o que está sendo trabalhado; c) o conhecimento
do conteúdo curricular, que fundamenta e organiza os trabalhos do professor,
para que se possa realizar uma reflexão da prática.
3.3.1 O conhecimento do conteúdo objeto
Shulman (1986, p. 13) sustenta que esse tipo de conhecimento se refere à
quantidade e organização do conhecimento em si, na mente do professor.
Podemos concordar que, quando um professor vai para a sala de aula, não
está desprovido de um saber. Suas aulas são previamente preparadas de acordo
71
com o que se pretende ensinar. Quem pertence ao mundo da educação
certamente já vivenciou essa prática.
Quando estamos ministrando uma aula, precisamos da certeza de que
conhecemos o objeto temático da aula e compreendemos a fundamentação que
sustenta esse nosso objeto.
Em relação ao domínio do conteúdo específico do professor, Shulman
(1986, p. 14) afirma que o professor, além de entender que algo é assim, precisa
compreender por que é assim.
Para o nosso estudo, o conhecimento objeto ou específico são as
operações de adição e subtração. Procuramos, portanto, em nossa investigação
verificar esse conhecimento do professor, no âmbito do Campo Conceitual
Aditivo, porque julgamos importante para entendermos sua incidência nas
concepções sobre esse conceito.
3.3.2 O conhecimento de conteúdo pedagógico
O saber de posse do professor é sua mais importante ferramenta de
trabalho no momento de ensinar. Contudo, entre saber o conteúdo a ser ensinado
e saber como ensinar pode existir uma distância considerável.
Sobre esse tipo de conhecimento Shulman (1986, p. 15) assevera que
dentro dessa categoria estão os tópicos a serem ensinados e como as ideias
devem ser representadas, analisadas, Ilustradas, exemplificadas, demonstradas e
explanadas.
Quando o professor expõe o seu saber a outros e pretende que o outro o
adquira, parece que precisa indicar caminhos ou até mesmo construí-los. Tais
caminhos podem se mostrar fáceis ou difíceis, levando quem ensina a considerar
as concepções e as pré-concepções trazidas pelo outro em relação ao saber que
se pretende adquirir (SHULMAN, 1986, p. 15).
O professor, em sua ação pedagógica, está sempre procurando entender
os erros cometidos pelos alunos e buscando caminhos alternativos para mudar
suas concepções iniciais sobre o que está sendo aprendido. Segundo Shulman:
72
[...] estamos reunindo um corpo sempre crescente de conhecimento sobre as concepções errôneas dos estudantes e sobre as condições educacionais necessárias para superar e transformar as concepções iniciais. Conhecimento baseado na investigação deste tipo, um componente importante da compreensão pedagógica do assunto, deveria ser incluído no coração da nossa definição de conhecimento pedagógico necessário (SHULMAN, 1986, p. 15).
Sendo assim, um professor que promova reflexões acerca de um
determinado objeto de estudo, que deve ser trabalhado com sua classe, deve
estar ampliando seu conhecimento sobre as concepções errôneas de seus
alunos.
Percebemos, portanto, que durante os trabalhos com a formação seria de
grande valor observar tais concepções dos professores.
3.3.3 O conhecimento curricular
De acordo com o autor, o currículo representa os programas que
organizam as disciplinas a serem ensinadas, considerando seus temas e níveis e
a variedade de materiais didáticos disponíveis, bem como o conjunto de
indicações e contraindicações que caracterizam a utilização de tais materiais
(SHULMAN, 1986, p. 15-16).
Fundamentados nos estudos de Shulman, vimos que o professor precisa
estar de posse de um saber para poder ensinar e compreender algo que vai além
de simplesmente saber, isto é, entender as características específicas do objeto a
ser ensinado.
Vimos também que esse saber do professor será fecundo junto a sua
classe somente se forem consideradas, por parte de quem ensina, as concepções
(certas e/ou erradas) de quem se pretenda aprender.
E em uma esfera mais abrangente o saber do professor e suas ações na
intenção de ensinar precisam estar fundamentados no âmbito das questões
curriculares, que pode sustentar seu trabalho de maneira horizontal e vertical, isto
é, dentro de um tema específico para sua classe e no intercâmbio desse tema
com outras áreas do conhecimento.
73
No caso dos professores que participam da formação continuada, não
existe uma área específica de conhecimento em razão de sua própria formação.
Os professores que atuam nas séries iniciais do Ensino Fundamental são
polivalentes, isto é, possuem noções básicas de várias áreas.
Consideramos importante chamar a atenção para essa colocação em
virtude dos diferentes momentos e ambientes nos quais, dentro de uma escola, as
situações-problema podem ser aplicadas, e não necessariamente na disciplina de
Matemática.
3.4 O professor que reflete sobre suas ações
Entendemos que para o professor inserir resultados de discussões acerca
do Campo Conceitual Aditivo às suas práticas pedagógicas precisará agir.
Compreendemos, então, que tal ação pode ser fundamentada nas ideias de
Schön (1997), segundo o qual o professor precisa praticar a reflexão-na-ação.
Traçamos um paralelo entre a reflexão-na-ação de Schön com os saberes
dos alunos e suas estratégias de ação na resolução de situações-problema
(VERGNAUD, 1990), e o conhecimento do conteúdo objeto do professor (SHULMAN,
1986).
O que apresentamos neste trabalho, portanto, é mais uma contribuição
para análise relevante da questão dos saberes e das ações do professor e do
aluno à luz do Campo Conceitual Aditivo dentro de nosso grupo de estudo.
3.4.1 A reflexão-na-ação do professor de Donald A. Schön
Para entendermos a reflexão-na-ação, à qual se refere o autor, precisamos
discutir primeiramente a questão do saber escolar.
Schön esclarece que o saber escolar é considerado o conjunto de
conhecimentos que o professor precisa deter para ensinar. Quem controla e
regula esse saber escolar são os órgãos responsáveis pela organização do
74
sistema educacional. Portanto, o professor não tem poder sobre a escolha dos
saberes que deverão ser “transmitidos” a seus alunos (SCHÖN, 1997, p. 81).
O sistema não considera os conhecimentos construídos pelo próprio
professor em sua carreira. Isto mostra que o profissional da educação é tratado
como aluno, isto é, faça assim e não faça assim: “[...] quando o governo procura
reformar a educação, tenta educar as escolas, do mesmo modo que estas
procuram educar as crianças” (SCHÖN, 1997, p. 82).
Tendenciosamente, o professor reproduz o mesmo comportamento com
seus alunos, desconsiderando os saberes próprios de cada um.
Em seu trabalho, Schön (1997) descreve um acontecimento dentro de um
grupo de estudo no Teacher Project, organizado por Jeanne Bamberger e Eleanor
Duckworth em Cambridge (Massachusetts). Após a observação das ações de
dois alunos em uma situação-problema, os professores perceberam como um
aluno faz uso de seus saberes pessoais, isto é, aqueles que não foram adquiridos
na escola.
Perceber que o aluno traz saberes prontos para a escola é um passo
importante para se tornar um professor reflexivo. Para Schön (1997, p. 83), “um
professor reflexivo permite-se ser surpreendido pelo que o aluno faz”.
Esse princípio, percepção do saber próprio do aluno, é o de dar razão ao
aluno. Schön, fundamentado em Tolstoi, descreve a reflexão-na-ação em quatro
situações diferentes: a primeira é aquela em que o professor percebe que o aluno
detém saberes próprios; a segunda é a reflexão praticada pelo professor sobre o
fato; a terceira é a reformulação do problema que surgiu com o fato; e a quarta é
aquela em que o professor testa suas hipóteses. Schön, ainda referendado em
Tolstoi, descreve esses momentos em duas situações diferentes: quando o
professor trata a situação articulando suas ações ao longo do processo e quando
o professor, fora do cenário onde o processo ocorreu, reflete sobre a reflexão-na-
ação. O que diferencia uma situação da outra é o fato de que, na primeira, não
acontecem registros escritos, o que acontece na segunda.
Podemos entender a reflexão-na-ação por meio de um roteiro de ações,
promovidas pelo professor em sua atuação.
Imaginemos o seguinte evento em sala de aula:
75
Um professor pretende trabalhar a seguinte situação-problema com alunos
de seis a sete anos de idade: Marcos tem três reais. Seu pai lhe deu quatro reais.
Quantos reais Marcos têm ao todo?
Trata-se de uma situação de composição, em que as partes estão
envolvidas diretamente com o todo (Campo Conceitual Aditivo).
A ação de um professor reflexivo poderia ser:
- Perceber o que o aluno consegue fazer sozinho;
- Refletir sobre a forma como o aluno formula a solução (estratégia);
- Reformular a situação para entender o que aluno fez;
- Apresentar uma nova situação-problema para testar a hipótese de como
o aluno formulou a solução para a questão;
- Refletir sobre sua ação como professor reflexivo.
Compreendemos, então, que precisaríamos colocar esse olhar sobre os
relatórios produzidos pelos professores inseridos nesse programa de formação
continuada, pois nos encontros os participantes eram convidados a expor suas
ideias segundo suas ações.
3.4.2 O saber do professor
Schön descreve o saber escolar como um saber categorizado. Categorizar
o saber é estruturá-lo de forma que um outro saber não sirva para explicitar uma
determinada situação. Assim, o aluno que não explicita uma situação dentro da
estrutura do saber escolar pode ser categorizado como quem tem aprendizagem
lenta, isto é:
[...] Se um aluno tiver problemas na aquisição dos saberes escolares, trata-se de um problema seu. Inventamos então categorias, por exemplo, “aprendizagem lenta” para explicar esta realidade, as quais, no fundo, só servem para nos livrarmos de informações que nos poderiam perturbar (SCHÖN, 1997, p. 82).
Este fato nos leva a uma outra questão: o que o professor precisa saber,
de fato, para ensinar o aluno? Quais as competências que o professor precisa
deter para ajudar o aluno? (SCHÖN, 1997).
76
Concordamos com Shulman quando estabelece as três categorias de
conhecimento do professor: conhecimento do conteúdo objeto, conhecimento do
conteúdo pedagógico e conhecimento do conteúdo curricular. Traçamos um
paralelo com o saber escolar (representações formais) e o saber do quotidiano
(representações figurativas).16 Finalizamos com as estratégias que o aluno pode
desenvolver para solucionar situações-problema e como a desestabilização do
conhecimento do aluno (VERGNAUD, 2010) atua na construção de novos
conhecimentos.
Portanto, um professor reflexivo precisa dominar seu conteúdo de
interesse, acreditar que o aluno já sabe muita coisa, promover o conflito do aluno
no processo de ensino e aprendizagem com situações desafiantes e ter
conhecimento das pesquisas e inovações no ensino.
Consideramos as verificações de Schön em nossa investigação por se
tratar de um grupo que promove reflexões e que colocam professores e
pesquisadores em um processo de estudo fundamentado nas ações dos
envolvidos na pesquisa.
3.5 Serrazina e a autoconfiança do professor para r ealizar reflexões sobre
suas ações
Em seu trabalho desenvolvido em 1998, a autora concluiu que a realização
de reflexões do professor está diretamente associada à sua autoconfiança. Tal
autoconfiança está, por sua vez, ancorada nos conhecimentos específicos que o
docente possuiu, guardando uma estreita relação entre esses dois estados de
ser; ser autoconfiante e ser conhecedor de conceitos matemáticos, no caso,
aqueles especificamente voltados para os anos iniciais do ensino fundamental
(crianças de 5,5 a 10 anos de idade).
Para a autora a relação entre autoconfiança e conhecimentos específicos
ocorre quando os professores;
16 Para Bamberger e Schön (1997), representações formais são referências fixas, por exemplo, medidas uniformes, escalas e mapas, isto é, o saber escolar. Representações figurativas seriam estabelecidas por meio das experiências quotidianas.
77
[...] são capazes de refletir nas suas práticas. Isto pressupõe um elevado grau de conscientização que os ajude a reconhecer as suas falhas e fraquezas e a assumir um forte desejo de as ultrapassar (SERRAZINA, 1999, p. 163).
Olhar para a concepção do professor sobre Campo Aditivo poderia dividir
nossa atenção para dois conhecimentos que precisariam ser mobilizados pelo
professor; um seria em relação aos pressupostos da Teoria dos Campos
Conceituais e o outro sobre o objeto matemático em si (adições e subtrações).
No tocante à autoconfiança do professor, as sessões de formação
continuada poderiam procurar, justamente, reforçá-la por meio da socialização de
ideias e práticas pedagógicas.
Por sua vez, em relação ao objeto matemático, a valorização do
conhecimento do professor poderia ser constante e provocativa, isto é,
procurando indicar ao docente os pontos, em seu conhecimento, que estaria
precisando de um outro olhar.
Em sala de aula, uma diversidade de procedimentos pedagógicos é
mobilizada pelo professor. Esses procedimentos são elaborados baseando-se nos
conhecimentos específicos da área a que os conceitos pertencem, neste caso,
matemáticos. A reflexão leva o professor a estabelecer uma relação entre os
procedimentos pedagógicos e os conhecimentos matemáticos. O professor pode
descrever os procedimentos utilizados em uma aula, no entanto a descrição pode
não ser suficiente para dimensionar as ações ali ocorridas. É preciso lembrar que
a descrição dos eventos ocorridos em uma aula tem sua importância, pois pode
sustentar a reflexão do docente. Contudo, é preciso tornar a relação entre
procedimentos pedagógicos utilizados e conhecimento matemático dinâmica, isto
é, com constantes associações entre o que se faz e o que se sabe, ações estas
características do falar, contar, como as coisas aconteceram.
Encontramos um outro estudo de Serrazina feito com Oliveira, que explica
a importância do falar no reforço de uma descrição:
[...] à medida que se conversa reflexivamente com a situação vai se sendo capaz de tornar explícito o seu conhecimento matemático – falar sobre os procedimentos e não apenas descreve-los (OLIVEIRA E SERRAZINA, 2004, p. 5).
78
A conversa reflexiva que deve ser feita com a situação neste caso é
realizada pelo professor, que faz considerações entre seus procedimentos
pedagógicos e seus conhecimentos.
Muitas questões podem surgir a partir da utilização de procedimentos
pedagógicos de um professor. É nesse contexto que as discussões podem
ocorrer e promover as reflexões. Tais reflexões podem sugerir os saberes
necessários e os saberes que precisam ser construídos (OLIVEIRA E SERRAZINA,
2004).
Contudo, a percepção dos saberes que são necessários e dos saberes que
são construídos não ocorre automaticamente, é preciso tempo.
O ensino e a aprendizagem são baseados em teorias educacionais, as
quais direta e/ou indiretamente se fazem presentes em sala de aula,
evidentemente, por meio das ações do professor. Podemos, portanto, inferir que o
professor constrói o seu modo de ser e de agir segundo alguns estudos
realizados na educação, portanto existe uma estreita relação entre seu modo de
ser e as teorias educacionais.
Em outras palavras, mudanças não ocorrem da noite para o dia. E parece
que Oliveira e Serrazina (2004) concordam com esse ponto de vista:
[...] (o que dizem sobre o ensino) e [...] (como se comportam na sala de aula). Só avaliando as compatibilidades e incompatibilidades que existem entre estes dois elementos [...] serão os professores capazes de aumentar seu conhecimento do ensino dos contextos e de si próprios como professores [...] (OLIVEIRA E SERRAZINA, 2004, p. 8).
É considerando essa questão do tempo que conduzimos nosso estudo
sobre as concepções do Campo Aditivo dos professores , e acreditando que a
reflexão sobre a ação, proposta por Schön (1983), e a autoconfiança do professor
relacionada a seus conhecimentos na realização desta reflexão indicada por
Serrazina (1998) podem fundamentar e orientar nossas análises.
79
3.6 Zeichner e o professor como prático reflexivo.
Em sua obra, “A formação reflexiva de professores: ideias e práticas,
1993”, Ziechner nos convida a pensar um pouco mais sobre a questão da reflexão
do professor. Manifestando seu pensamento o autor afirma que era de seu desejo
que os professores fossem agentes de seu próprio desenvolvimento profissional.
É provável que somente com uma ação reflexiva um professor possa se
tornar agente de seu próprio desenvolvimento profissional. As palavras de
Serrazina (2000) – “Um professor reflexivo precisa reconhecer suas falhas e
sentir-se no desejo de transpô-las”, procura mostrar um pouco isso.
Em seu trabalho Zeichner procura explicar o termo “professor reflexivo”. Ao
que parece, um movimento internacional surgiu mediante a preocupação de que
os professores eram apenas agentes passivos de uma organização de ensino.
Portanto, o professor reflexivo surgiria para defender a característica dos
profissionais da educação como agentes ativos do processo de ensino e
aprendizagem.
“Na literatura científica sobre o ensino, é notável a ausência dos
professores, com as questões e problemas que põem, as
estruturas de trabalho que usam para interpretar e melhorar a
qualidade do seu trabalho e o modo como definem e
compreendem as suas vidas de trabalho”. (ZIECHNER – APUD
LYTLE E SMITH, 1993).
É muito forte nas colocações de Zeichner a necessidade de se pensar
melhor o significado atribuído ao termo “professor reflexivo”. O autor deixa muito
claro que um professor reflexivo precisa considerar seus saberes próprios e não
somente os saberes produzidos nas Universidades, saberes da prática e saberes
institucionalizados. Da união desses dois elementos temos a prática reflexiva.
O autor coloca ainda que o processo de reflexão insinuada nos meios
acadêmicos desconsidera as condições sociais presentes dentro da sala de aula
as quais se encontra exposta o professor. É muito freqüente, nos encontros de
formação continuada praticada nos dias de hoje, na Rede Municipal de Educação
da Cidade de São Paulo, por exemplo, ouvir dos formadores de coordenadores
80
que em suas funções não está incluído discutir a socialização da turma de um
professor, desconsiderando assim a importância que isso tem na prática reflexiva
do docente.
Preocupados com essa visão deturpada do valor das vivências ocorridas
entre professores e alunos no ambiente de uma sala de aula, e procurando
estimular nossos sujeitos de pesquisa a pronunciarem seus problemas e soluções
particulares no desenvolvimento de conceitos matemáticos com suas turmas,
solicitamos um memorial reflexivo como parte de nossa coleta de dados.
3.7 Os saberes profissionais dos professores na vis ão de Maurice Tardif
Antes de iniciar nossa colocação sobre os Saberes profissionais dos
professores e conhecimentos universitários, de Maurice Tardif, publicado na
Revista Brasileira de Educação no ano de 2000, precisamos mencionar dois
aspectos que justificam a necessidade de, no Brasil, no ano de 2011, realizar uma
discussão sobre a formação de professores desse país.
O primeiro aspecto é o fato de, apesar de o artigo ser fruto de um estudo
realizado com a formação de professores dos Estados Unidos e Canadá, a
estrutura de formação de professores na universidade, no Brasil, acontece nos
mesmos moldes daqueles países.
O segundo aspecto é a necessidade urgente de repensar essa formação
de professores. Tardif se refere a uma crise do profissionalismo. No Brasil, se o
ofício de professor pode ser considerado profissão ou não é uma outra questão a
ser debatida. No entanto, estamos vivendo hoje uma crise na educação pública
nacional (escolas sem amparo dos Governos, sociedade descrente da função da
escola e, o que é pior, uma histórica falta de profissionais para atuar na área).
Dentro desse contexto, podemos conversar com o artigo de Maurice Tardif
e refletir sobre a realidade da formação de professores nas universidades
brasileiras.
Iniciaremos comentando o paradoxo que, segundo o autor, existe na
profissionalização do ofício de professor. Em seguida, refletiremos sobre a
81
questão dos conhecimentos adquiridos pelos professores durante a formação
que, de acordo com Bourdoncle, citado por Tardif, são formalizados e repassados
para a prática. Nossa reflexão sobre a aquisição dos conhecimentos pelos
professores nos leva a conversar com Schön, quando Tardif lembra que este se
refere a uma “construção do problema” em oposição à “resolução instrumental do
problema” durante a ação do professor, na sua prática docente, quando precisa
se utilizar dos conhecimentos formalizados.
Discutiremos o confronto que o autor faz com os conhecimentos que o
professor adquire na formação e os conhecimentos que ele traz de suas
experiências vividas como aluno, e como isso afeta a prática docente (TARDIF,
2000, p. 216-217). E, para finalizar, faremos com Tardif uma reflexão sobre a
proximidade que deveria existir entre pesquisadores, formadores e professores
(TARDIF, 2000, p. 20).
3.7.1 Sobre o paradoxo existente na profissionaliza ção do ofício de
professor
Tardif (2000) alega que a profissionalização do ofício de professor
acontece em um momento em que a credibilidade nas profissões está em crise. O
autor se refere a profissões que, historicamente, foram consideradas como de
prestígio. Para ele, o prestígio cobrava um preço alto. Essas profissões (medicina,
engenharia etc.) existiam sob um forte exame de qualidade, e é justamente essa
qualidade que é colocada em dúvida nos dias atuais.
Falar sobre profissão e ofício pode nos fazer pensar que ser professor não
é profissão. Tardif esclarece que a educação, de certa forma, sempre esteve nas
mãos de organizações como a igreja, em que as práticas docentes eram
desempenhadas por pessoas que não eram professores propriamente ditos.
Por que falar sobre a profissionalização do professor é importante para
nossa investigação sobre a influência de discussões ocorridas no âmbito de um
programa de formação continuada em suas práticas pedagógicas?
Embora, conforme esclarece Tardif (2000), relativamente às práticas
docentes que eram desempenhadas por organizações não necessariamente
82
educacionais, a qualidade do ensino parecia ser melhor, o que vivenciamos, nos
dias atuais, sobretudo no Brasil, parece ser o contrário do período em que a
educação não possuía órgãos próprios, isto é, hoje, o professor é um profissional,
contudo é provável que em muitos Estados brasileiros a busca por uma melhor
qualidade no ensino seja uma realidade.
O professor, participante de nossa investigação, encontra-se inserido
nesse momento de busca por melhorias no ensino público e, durante as
discussões, sua fala pode apontar para um possível descaso da intenção de
conduzi-las até seu trabalho.
3.7.2 Sobre os conhecimentos formalizados do profes sor
As universidades oferecem aos professores um conhecimento formalizado.
Esses conhecimentos são transmitidos em um sistema disciplinar, e parece não
existir um intercâmbio entre essas disciplinas e a prática, de tudo o que é
transmitido. Tardif lembra que o professor é, talvez, o único profissional que
vivencia seu ambiente de trabalho antes mesmo de sua formação, isto é, está
dentro da escola desde criança e retorna para lecionar. Esse movimento, segundo
o autor, promove a criação de saberes temporais:
Em primeiro lugar, uma boa parte do que os professores sabem sobre o ensino, sobre os papéis do professor e sobre como ensinar provém de sua própria história de vida [...] Os professores são trabalhadores que foram mergulhados em seu espaço de trabalho durante aproximadamente 16 anos (em torno de 15 mil horas) [...] Essa imersão se manifesta através de toda uma bagagem de conhecimentos anteriores, de crenças, de representações e de certezas sobre a prática docente (TARDIF, 2000, p. 13).
De acordo com Tardif (2000), além dos saberes temporais, os professores
adquirem saberes institucionais, isto é, oriundos de sua formação inicial. Desta
forma, segundo esse autor, os saberes dos professores podem ser considerados
plurais e heterogêneos (TARDIF, 2000, p. 14).
Para nosso estudo é necessário considerar, portanto, os saberes temporais
dos professores durante a realização das discussões no grupo colaborativo, pois,
83
de acordo com suas falas, parecem, ainda, muito presentes em suas práticas
pedagógicas.
3.7.3 Os professores, os formadores e os pesquisado res.
Nossa investigação, como foi indicado, se desenvolve junto a um grupo
colaborativo de estudos, inserido em um programa de formação continuada. Esse
grupo conta, ainda, com a participação de formadores e pesquisadores.
Na busca por melhorias no ensino e aprendizagem, concordamos com
Tardif (2000) quando afirma que, no tocante à elaboração de um repertório de
conhecimentos baseados nos saberes profissionais dos professores, é necessário
que:
[...] os pesquisadores universitários trabalhem nas escolas e nas salas de aula em colaboração com os professores, vistos não como sujeitos ou objetos de pesquisa, mas como colaboradores dos pesquisadores, [...] (TARDIF, 2000, p. 20).
Como indicado no subitem Antecedentes e motivações, nosso estudo
originou-se a partir de inquietações sobre como a formação de professores
acontecia no período de 1990 a 2009.
Dentre essas inquietações ressaltamos o fato de que as discussões
realizadas durante essas formações pareciam não estar presentes nas práticas
pedagógicas do professor em sala de aula.
Essa é a razão pela qual nossa investigação é desenvolvida dentro de um
grupo colaborativo de estudos.
Por acreditarmos que a existência de uma proximidade entre o professor e
o pesquisador pode favorecer a melhoria do ensino e da aprendizagem de
conceitos matemáticos, organizamos nosso estudo da forma como
descreveremos em seguida.
84
3.8 Revisão de literatura – Alguns estudos realizad os sobre o Campo Aditivo
Como foi indicado anteriormente, nossa investigação está inserida no
Projeto Observatório da Educação, e um dos temas de trabalho é o Campo
Conceitual Aditivo, foco específico do nosso estudo.
É importante salientar que existem pesquisas que investigaram a Teoria
dos Campos Conceituais no âmbito da formação de professores. Indicaremos,
então, alguns estudos já realizados sobre o assunto.
Como o conceito de Campo Aditivo foi apresentado no âmbito de uma
formação continuada, entendemos que seria interessante olharmos para a
questão da preparação dos professores em caráter inicial e em continuidade.
Em sua tese de doutorado, Eurivalda Ribeiro Santana apresentou alguns
estudos efetuados com o Campo Conceitual Aditivo no período de 1976 a 2008.
A investigação de Santana (2010) foi realizada com um grupo de
professores das séries iniciais do Ensino Fundamental, que cursavam
Licenciatura Plena em Pedagogia no sul da Bahia e atuavam na Rede Municipal
de Educação.
Segundo Santana, em 1976, Anna Franchi foi autora de um dos primeiros
estudos realizados no Brasil sobre o Campo Conceitual Aditivo.
A pesquisa de Franchi, de acordo com Santana, foi executada inicialmente
em Paris e ampliada em uma escola pública do Estado de São Paulo, no Brasil,
com o intuito de entender a relação existente entre a linguagem cotidiana do
estudante e os diferentes procedimentos que correspondiam às estruturas
aditivas (ANNA FRANCHI APUD SANTANA, 1999, p. 71).
Santana indica em sua tese de doutorado mais sete pesquisas realizadas
sobre o campo aditivo. César (1990), Damm (2005), Passoni (2002), Silva e
Castro (2004), Moro (2004), Ventura e Selva (2007), Silva (2008).
Todas as pesquisas apresentadas foram realizadas com alunos dos anos
iniciais do Ensino Fundamental.
Destacamos aqui os trabalhos de Silva e Castro, Moro, Ventura e Selva e
Silva por apresentarem em suas conclusões, segundo o próprio autor da pesquisa
ou as reflexões de Santana, discussões a respeito da ação do professor quando
85
se pretende trabalhar situações-problema no âmbito do Campo Conceitual
Aditivo.
Vamos, portanto, sintetizar cada um dos trabalhos destacados por nós de
acordo com apresentação de Santana (1999).
Silva e Castro (2004) analisaram a aprendizagem de alunos com
problemas de defasagem idade/série por meio de um processo de intervenção.
Santana (1999) destaca, baseada neste trabalho, a importância de incluir a
metodologia de resolução de problemas na formação do professor de Matemática.
Moro (2004) estudou a natureza das estratégias cognitivas de resolução de
situações-problema do campo aditivo. Com base neste estudo, Santana propõe
uma mudança de paradigma dos professores concernente à promoção de
interação da criança com a situação-problema.
Ventura e Selva (2007) estudaram como as crianças resolviam situações-
problema utilizando recursos representacionais como reta numérica, material
manipulativo (fichas) e o algoritmo (papel e lápis). Baseando-se neste estudo,
Santana chama a atenção para o cuidado que se deve tomar quando da
elaboração de situações-problema no sentido de não se usarem palavras que
influenciem a escolha da operação a ser utilizada.
Silva (2008) analisou a contribuição de uma intervenção de ensino para
melhorar a compreensão dos estudantes quando resolviam situações-problema
de ordem inversa. Baseada neste estudo, Santana evidencia que as intervenções
de ensino planejadas com fundamentação teórica podem melhorar o desempenho
dos estudantes.
Ressaltamos, então, que as reflexões de Santana sobre a metodologia da
resolução de problemas na formação do professor, a mudança de paradigma do
professor para que se promova a interação do aluno com a situação-problema, os
cuidados com a elaboração de situações-problema e a importância de o professor
estar fundamentado teoricamente para promover intervenções junto aos alunos
corroboram com nossa investigação no sentido de promover discussões dentro de
um grupo colaborativo de estudos com a participação de professores que atuam
nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
86
Apresentamos a seguir outros trabalhos com foco no Campo Aditivo por
nós levantados. São eles: os estudos de Gomes (2010) sobre o papel do cálculo
mental nos anos iniciais do Ensino Fundamental e a tese de Motta (2011), que
investigou a reelaboração dos saberes docentes baseados na Teoria dos Campos
Conceituais.
Gomes (2010) estudou os documentos referentes ao ensino de Matemática
do 2.º ao 5.º ano do Ensino Fundamental do período de 1980 até os dias atuais.
Seu trabalho foi descritivo e utilizou como fonte os programas curriculares,
documentos de cursos, relatos verbais diretos e orais e relatos verbais diretos e
escritos.
Os estudos de Gomes (2010) chamaram a atenção para a questão do
cálculo mental:
[...] Percebemos que tanto por parte dos documentos quanto dos professores há o reconhecimento da importância do cálculo mental no ensino-aprendizagem de matemática, mas, na prática, é pouco usado em sala de aula e sua concepção gera diversas interpretações. [...] (GOMES, 2010, p. 9).
Em nosso estudo realizamos discussões sobre as estratégias usadas pelos
alunos para resolver situações-problema no Campo Aditivo. Em algumas
estratégias não encontramos uma representação ou algoritmo para resolução da
situação, o que nos levou a pensar que o aluno poderia ter resolvido por meio do
cálculo mental. Essa é a razão pela qual o trabalho de Gomes pode contribuir
com nossa investigação.
O Campo Conceitual Aditivo também foi usado por Motta17 em sua tese de
doutorado – Um retrato da aprendizagem em Educação Matemática: professoras
dos anos iniciais do Ensino Fundamental em processo de inovação curricular.
Motta (2011) estudou, por meio de entrevistas, a relação entre a teoria e a
prática docente sobre como os professores dos anos iniciais do Ensino
Fundamental reelaboram seus saberes docentes no âmbito da Teoria dos
Campos Conceituais.
17 Cristina Dalva Van Berghem Motta – Tese apresentada à Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, 2011.
87
Os participantes de sua investigação foram professoras que participaram
de cursos de formação continuada e aplicaram a Teoria dos Campos Conceituais
em seu ambiente de trabalho.
A entrevista foi realizada em duas sessões: na primeira, as professoras
responderam as questões do entrevistador, e, na segunda, observou-se às
análises feitas por elas, sobre as produções dos alunos.
De acordo com a autora, a partir das entrevistas foi possível concluir que:
Todas as professoras entrevistadas destacam a interação entre os pares, na escola e em curso de formação continuada, como forma de avançar os conhecimentos, de identificar o que já sabem e precisam aprender, de analisar criticamente as propostas de trabalho e o trabalho realizado, de socializar saberes experienciais, de relacionar o conhecimento conceitual com a prática em sala de aula e de compreender os conteúdos dados nas formações (MOTTA, 2011, p. 211).
A investigação de Motta, realizada com aquele grupo de professoras,
corrobora com nossa ideia de constituição de um grupo colaborativo de estudos,
dentro de um programa de formação continuada.
A interação entre os participantes no curso de formação continuada pode
promover um avanço nos conhecimentos do professor mediante a socialização de
saberes experienciais (MOTTA, 2011). Foi a partir dessa concepção que
promovemos as discussões, no âmbito do Campo Conceitual Aditivo, no grupo
colaborativo em nosso estudo.
Vale lembrar que nosso estudo está inserido no Projeto Observatório da
Educação, que denomina os participantes do processo formativo como Grupo
Colaborativo.
88
Capítulo 4 – Apresentação e análise de dados
Conforme citado no capítulo anterior, nossos sujeitos de pesquisa foram
identificados nesse estudo por: Professora A, Professora B e Professora C.
Vale ressaltar que as três professoras foram escolhidas de um grupo de
trinta docentes que participavam do programa de formação continuada, no qual o
estudo foi realizado. Para selecioná-las, utilizamos os seguintes critérios: a)
participou do programa de formação com no mínimo 75% de frequência; b)
realizou as atividades propostas durante a formação e apresentou todas as
devolutivas das propostas apresentadas pelos pesquisadores e c) aceitou
participar da entrevista gravada.
Nossa análise dos dados começa com a apresentação do perfil dos
sujeitos da pesquisa. Em seguida, analisamos os dados coletados em três
momentos: a relação da professora com a matemática e as primeiras impressões
das concepções das professoras acerca do Campo Aditivo; a concepção das
professoras quando elaboram situações-problema acerca do Campo Conceitual
Aditivo antes e após um período de orientação e a (re) construção da concepção
de Campo Aditivo das professoras (entrevistas).
4.1 O perfil dos sujeitos da pesquisa
De acordo com os dados obtidos pela aplicação do questionário de entrada
(Apêndice A) delineamos um perfil dos sujeitos. Esse instrumento de coleta foi
respondido pelos participantes no primeiro encontro da formação, a Professora A
alegou preferir atuar no 4º e 5º anos do Ensino Fundamental, crianças de 9 a 10
anos. Já a Professora B diz se identificar muito com as crianças de 5,5 a 6 anos,
isto é, do 1º ano. Para a Professora C as crianças 5,5 a 8 anos, ou seja, do 1º, 2º
e 3º anos estão na sua preferência de atuação. Assim, observamos que as
professoras se identificam com o trabalho realizado nas diferentes faixas etárias
conforme os relatos a seguir:
89
Me encanto muito com a 4ª série ou 5º ano, pois posso aprofundar as discussões, favorecer o
levantamento de hipóteses e chegar a conclusões. (PROFESSORA A)
1º ano, pelo meu perfil, me identifico com essa faixa etária. São crianças bem criativas,
comunicativas e ativas. Sempre estão trazendo novidades para a sala de aula e gostam de trocar
experiências com os colegas.” (PROFESSORA B)
Tenho preferência pelas turmas do 1º, 2º e 3º anos (PROFESORA C)
No tocante à formação inicial, pudemos observar analisando os dados que
todas frequentaram o curso de magistério (normal) no nível de ensino médio e
graduou-se em pedagogia com ênfase para o ensino dos anos iniciais (1º ao 5º
ano do Ensino Fundamental).
No que diz respeito ao tempo de carreira, as três professoras são bastante
experientes: a Professora A tem 25 anos de atuação, a Professora B trabalha com
crianças desse nível há 20 anos e a professora C tem 15 anos de profissão.
4.2 Relação do professor com a matemática: resposta s ao questionário de
entrada
No que concerne ao aprendizado de matemática na formação inicial, é de
consenso entre as professoras A e B que esta formação profissional deixou muito
a desejar. Segundo a Professora A esse aprendizado estava “sujeitado as
expectativas do professor, que não permitia momentos de assimilação dos
conceitos matemáticos estudados”. Para a Professora B “as aulas de matemática
eram ministradas de forma que os alunos não podiam opinar, questionar,
perguntar”. Por sua vez a Professora C não fez críticas diretas, principalmente
porque o aprendizado de matemática nunca lhe representou um problema em
virtude do seu gosto particular por essa disciplina. Todavia, alegou, ainda, que em
sua vida escolar a matemática foi ministrada de forma “tradicional”, embora no
90
ensino médio, durante a formação inicial, esteve em contato com professores que
“explicavam o processo de resolução e a linha de raciocínio”. Ainda quanto às
Professoras A e B, percebemos em seus depoimentos a preocupação em permitir
que os alunos opinem, interaja com seus pares durante as aulas, sobretudo
quando estão resolvendo situações-problema. Essa interação é de grande
importância para a criação, por parte do aluno, de novas estratégias (PESSOA –
2002, p. 7).
Analisando os depoimentos das três professoras observamos que há
indícios de que essas profissionais vivenciaram experiências metodológicas
bastante próximas daquela que Fiorentini (1995)18 denomina de tecnicista. No
geral, observamos que as vivências relatadas parecem não ser tão significativas
no sentido de contribuir para que essas profissionais produzissem conhecimentos
sobre sua prática.
Estes resultados confirmam estudos como os de Garcia Silva (2007,
p.238), por exemplo, cujos registros indicaram que a maioria dos professores
entrevistada, desse mesmo segmento de ensino, não teve experiências positivas
relacionadas à matemática em sua formação inicial.
Isso nos parece preocupante, uma vez que, consideramos ser de
fundamental importância da aquisição de conhecimentos (tantos os do conteúdo
como os pedagógicos do conteúdo) durante a formação inicial. Analisando tais
resultados e considerando os estudos de Tardif (2000) acreditamos que tal fato
pode não atender as expectativas esperadas de um curso de formação
profissional, já que, segundo o autor, é esse o momento que permite ao educador
construir representações e certezas sobre a prática docente.
Todavia, vale ressaltar que é possível que outras experiências tenham
contribuído para essa possível construção de representações destas professoras,
pois quando perguntamos sobre um professor que marcou de forma positiva19 a
Professora B, por exemplo, respondeu comentando sobre um professor de outra
disciplina:
18 Fiorentini (1995) descreve alguns modos de ver e conceber o ensino de matemática no Brasil produzido historicamente. 19 Questão dez do questionário de entrada - Na época de você aluna, algum professor marcou, positiva ou negativamente, sua vida estudantil a ponto de hoje espelhar-se nele para atuar em sua carreira?
91
Sim, uma Professora de nome Elizabete que ministrava aulas de ciências, uma profissional muito
dedicada e atenciosa, deixava que os alunos falassem suas opiniões, explicava muito bem, dava
aulas com qualidade e não quantidade ( PROFESSORA B).
Portanto, consideramos a possibilidade de que a relação com a
matemática, de nossos sujeitos de pesquisa, fora muito influenciada pelas
atuações de seus professores dessa disciplina durante seu período de formação
inicial, todavia, outras experiências positivas (ou negativas) podem também ter
influenciado a prática destes profissionais.
4.3 A Elaboração de situações envolvendo o Campo Co nceitual Aditivo -
Primeira Sessão de Formação.
Procuramos analisar as concepções sobre Campo Conceitual Aditivo por
meio da proposição de elaboração de situações-problema pelas professoras.
Solicitamos, assim, em um dos encontros de formação, que cada
professora elaborasse seis situações-problema do Campo Aditivo. Vale lembrar
que até então, nenhuma abordagem aos conceitos sobre o tema, fora realizada.
No quadro, a seguir, apresentaremos a produção de cada uma das
professoras participantes desse estudo.
Mostraremos as produções dos sujeitos, que foram transcritas aqui sem
nenhuma editoração. As elaborações originais das professoras podem ser vistas
no anexo B.
Para verificar, se os professores levaram em conta o pressuposto da
Teoria dos Campos Conceitual para elaborar as situações-problema procura
verificar se havia uma diversidade de tipos de problema20.
Para realizar tal análise consideramos assim como Garcia Silva (2007),
que a Teoria elaborada por Vergnaud (1990) considera dois Campos Conceituais,
o Aditivo e Multiplicativo:
92
As estruturas aditivas são formadas a partir de um conjunto de situações cujo domínio requer uma adição, uma subtração ou o conjunto de tais operações. Já as estruturas multiplicativas são representadas por situações cujo domínio requer multiplicações e divisões ou a combinação elas.(Silva, Garcia 2007, 76 )
Embora a proposta fosse elaborar situações-problema do Campo Aditivo,
mantivemos aqui a definição de Campo Conceitual Multiplicativo devido à
presença desse tipo de situação nos protocolos apresentados pelas professoras.
Vale salientar que solicitamos que elaborasse as situações sem antes lhes
fornecer elementos sobre os pressupostos da referida teoria.
Analisamos, portanto, as situações-problema das professoras, segundo os
três grupos básicos de situações do Campo Aditivo, consideradas por Vergnaud
(1990): composição, transformação e comparação.
Dessa forma, os problemas classificados como de composição analisados
nessa pesquisa foram considerados como aqueles em que o todo está envolvido
com as partes, ou seja, existe uma relação entre as partes que forma um todo ou
uma relação entre o todo e uma das partes para se conhecer a outra parte.
Para identificar quais os que envolviam transformação procuramos as
situações que compreendiam uma medida, que poderia ser modificada deixando
seu estado inicial de acordo com uma relação, ela está sendo transformada para
chegar a um estado final. A terceira classe de problemas analisada relaciona duas
medidas por meio de uma comparação.
20 Cabe ressaltar que não foi objeto de análise verificar os erros de redação cometidos pelas professoras ao elaborar as situações.
93
Quadro 4 – Problemas elaborados pelas Professoras A, B e C antes de participarem da formação
continuada.
Professora A Professora B Professora C
1 Joana ganhou 25 balas. Deu 8 balas para seu primo. Quantas balas Joana têm a mais que seu irmão?
Carlos tem 18 anos, seu pai tem o dobro da idade dele com a somatória da idade de Isabella sua irmã, que tem 10 anos. Quantos anos tem o pai de Carlos?
Ana comprou 3 bermudas sendo: 1 laranja, 1 verde e 1 preta e 5 camisetas sendo: 1 branca, 1 rosa e 1 preta, 1 azul e listada. De quantas maneiras Ana poderia combinar as cores das bermudas e camisetas?
2 João tem 10 anos e Pedro tem 34 anos. Quantos anos Pedro tem a mais que João?”
Em um prédio de 16 andares há 4 apartamentos por andares. Quantos apartamentos há nesse prédio?”
O tangram é formado por 7 peças, mas o Pedro cortou um dos triângulo ao meio. E agora quantas peças Pedro ficou?
3 Quanto preciso subtrair de 60 para obter 30?
Numa festa de aniversário foram encomendados 250 salgados, sendo que 97 são coxinhas e o restante dos salgados estão separados em partes iguais. Qual é a quantidade que temos de bolinho de queijo?
Quais são as cores da nossa bandeira? E qual é o número que representa essas cores?”
4 Eu tinha 900 reais, comprei um celular por 220 e uma bicicleta por 350 reais. Quanto me restou?
Em uma chácara há 10 galinhas, 3 porcos, 1 vaca, 2 cavalos e 15 pintinhos. Quantos pares de patas temos ao todo?
Na sala do 1º ano foram matriculados 20 alunos, hoje faltaram o Felipe, a Gabrielli, o Caio e o Alexandre. Quantos alunos compareceram hoje?”
5 Comprei 400 melancias. Dessas 259 estavam estragadas. Quantas melancias estavam boas
Da quitanda do seu Mário foram vendidas 2 dúzias de laranjas, 3 dúzias de bananas e uma dúzia de pêras. Quantas frutas foram vendidas neste dia?
Vamos ao teatro assistir – O menino maluquinho ?- Mas só temos 150 ingressos. O 1º ano vão 20 alunos, o 2º ano 15, o 3º ano 10 e o 4º ano 22. Ainda temos ingressos? Quantos ingressos sobraram?
6 João estava jogando boliche com Mário.João marcou 30 pontos e Mário marcou 10 pontos. Quantos pontos João marcou a mais que Mário?
Em uma escola há 350 alunos. Sendo que 170 são meninas. Quantos meninos há nesta escola?
Vamos ajudar a Prô Cris organizar a festa de aniversário da Prô Raquel: Receita: 1 lata de leite moça, 100 grs de manteiga, 10 colheres de chocolate puro, 100 grs de chocolate granulado colorido.
Analisando as situações-problema elaboradas pela Professora A,
podemos perceber uma preocupação com a diversificação dos tipos de situações
propostos por Vergnaud (1990), de modo que as seis situações se enquadraram
nas características dos grupos básicos, composição, comparação e
transformação.
Esse fato nos permite inferir que possivelmente a Professora A conhecia tal
classificação. Acreditamos que e isso pode ter ocorrido em um momento anterior
à sua participação nos encontros de formação.
Todavia, notamos que o mesmo não ocorre com os outros sujeitos desse
estudo. Observamos que as situações-problema elaboradas pela Professora B
94
envolviam outro tipo de situação. Nesse sentido, analisando, por exemplo, os
problemas 1 e 2 preparados pela educadora em questão, percebemos
características multiplicativas. Na situação-problema de número 6, notamos, mais
facilmente, as características de uma situação-problema do campo aditivo de
Composição. É muito provável, portanto, que o contato mais aprofundado com os
pressupostos da teoria elaborada Vergnaud tenha acontecido durante os
encontros de formação.
No tocante às situações-problema elaboradas pela Professora C,
encontramos nas situações 4 e 5 uma proximidade às características de um
problema do campo aditivo, ambos envolvendo a ideia de composição. Já as
situações 1 e 3, envolvem ideia de combinatória e contagem, respectivamente. O
que nos leva também a acreditar que a Professora C também não conhecia as
características que distinguem o campo aditivo do multiplicativo
Observamos que a elaboração das professoras, em especial, da B e C
revelam, a nosso ver, que, no primeiro encontro de formação, o conceito de
diferentes situações do Campo Conceitual Aditivo não fazia parte do repertório
das educadoras participantes desse estudo. Já a Professora A mostrou certa
familiaridade com o tema.
Examinando esse resultado sob a perspectiva de Shulman et al (1986)
acreditamos que, provavelmente a ausência de domínio desse conteúdo
específico poderia implicar também na falta de conhecimentos para o seu ensino.
4.4. Questionário de Entrada: aproximações com a Te oria dos Campos
Conceituais
Se inicialmente centramos nosso olhar na ação direta dos docentes ao
elaborar situações exemplares durante o primeiro encontro de formação, agora
procuramos mais indícios sobre a compreensão dos sujeitos dos pressupostos
que envolvem a teoria nos depoimentos registrados do questionário de entrada. É
importante registrar que não fizemos perguntas diretas sobre a Teoria dos
Campos Conceituais, mas procuramos verificar as relações entre as concepções
95
dos professores sobre os processos de ensino e aprendizagem e a formação
procurando indícios de aproximação com a teoria, mesmo que de forma
inconsciente.
Nesse sentido, compartilhamos da ideia de Zeichner (1993), quando se
refere ao professor, em sua condição como prático reflexivo, dizendo que o
processo de compreensão e transformação do ensino perpassa pelo saber na
ação e pela reflexão. Para o autor:
Para além do saber na ação que vamos acumulando ao longo do tempo, quando pensamos no nosso ensino quotidiano, também estamos continuamente a criar saber. As estratégias de ensino que usamos na sala de aula encarnam teorias práticas sobre o modo de entender os valores educacionais. A prática de todo o professor é o resultado de uma ou outra teoria, quer ela seja reconhecida quer não. (ZEICHNER, 1993, p.21)
Dessa forma, procuramos reconhecer se nessa teoria não reconhecida
pelo professor havia aproximações com a teoria dos Campos Conceituais. Assim
sendo, considerado a vasta experiência, apontada pelos sujeitos desse estudo -
todas com experiência de quinze anos ou mais de magistério. Entendemos ser
possível refletir sobre a relação entre a formação dessas professoras que atuam
nos anos iniciais do ensino fundamental com a temática, Campo Conceitural
Aditivo.
Vale ressaltar que embora notemos que Documentos Oficiais, como os
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), indicam desde 1997 a Teoria dos
Campos Conceituais como uma referência para o ensino das adições e
subtrações nas escolas brasileiras, pesquisas apontam que os pressupostos
desta teoria não são plenamente conhecidos dos docentes.
Dessa forma, procuramos já no primeiro questionário respondido pelos
sujeitos participantes do processo de formação indícios sobre a utilização dos
pressupostos relacionado à temática.
Uma das questões (questão sete) solicitava uma reflexão das professoras
sobre as metodologias utilizadas por seus professores, durante a formação inicial,
e sua aplicabilidade nos dias de hoje. A Professora A afirmou que as
metodologias utilizadas durante a formação inicial não encontrariam eco em suas
aulas. Segundo essa educadora:
96
“(...) cada vez mais o ensinar e aprender exige pessoas que pensam e resolvem
situações no cotidiano, portanto a escola não pode continuar ensinando para ela
mesma”.(Professora A)
Podemos perceber no depoimento da docente uma preocupação que
também encontramos nos pressupostos indicados por Gerard Vergnaud (2009).
Para o autor “[...] o ensinar e aprender exige pessoas que pensam e resolvem
situações no cotidiano [...]” ( VERGNAUD, 2009, p 23-370). Segundo o autor, a
criança deve construir seus conhecimentos por meio de operações realizadas
sobre a realidade, mobilizando relações que a permitam discernir, compor e
transformar conceitos construídos.
Também encontramos tais preocupações no relato da Professora B . A
educadora considera também como elemento importante na construção do
conhecimento da criança, ela afirma :
“[...] Elas já apresentam um grande conhecimento matemático do cotidiano [...]”
(Professora B)
Uma outra questão que nos permitiu avaliar as concepções dos
professores sobre a resolução de problemas foi a onze do questionário de
entrada. Tratava-se de uma questão aberta com o objetivo de oferecer ao
professor um espaço para complementar as informações dadas no questionário.
As três professoras optaram por apresentar outras considerações, as quais
apresentaremos na integra:
Na minha prática docente procuro favorecer a reflexão, levantamento de hipóteses e
resolução de problemas contextualizados com a vida social da criança.( PROFESSORA
A)
Tento fazer o melhor, trabalho com materiais onde as crianças possam manipula-los,
temos o momento da roda de conversa, onde os mesmos tiram suas duvidas e dividem o
seu saber com os demais. (PROFESSORA B)
97
Acredito que a alfabetização muito tardia tem prejudicado o ensino da matemática, devido
as crianças não conseguirem ler os problemas, enunciados, por consequência,
dificuldade de raciocínio”. (PROFESSORA C)
Percebemos, portanto, a preocupação das professoras em valorizar o
conhecimento que o aluno já possui quando enfatizam os saberes que os
estudantes podem trazer de seu cotidiano e quando discutem sobre a influencia
da leitura na resolução de situações-problema.
Quanto ao primeiro enfoque observamos que Vergnaud (2009) também
destaca a importância do contexto. Para o autor “[...] os alunos desenvolvem
suas competências ao longo do tempo por meio de situações experimentais que
cerceiam sua vida.[...]” ( VERGNAUD, 2009, p.15).
No que concerne a questão da fluência da leitura observamos que a
Professora C têm uma preocupação que parece comum entre os docentes. Lopes
(2007) assevera:
Diante do insucesso de seus alunos em resolver problemas, é comum , nós, professores de matemática , alegarmos que este insucesso se deve à pouca capacidade que têm para leitura, e acreditarmos que se fosse garantida aos alunos mais fluência em leituras nas aulas de português, estes conseguiriam ser melhores na resolução de problemas. (LOPES, 2007, p.107, grifo nosso )
Todavia a autora verifica, por meio da análise de uma entrevista clinica
com alunos de 10 a 14 anos, que embora observe que a leitura:
“é um dos principais caminhos para melhorar a aprendizagem em
qualquer área do conhecimento, há necessidade também que se
possibilite vivencias que permitam aos estudantes realizar uma leitura
compreensiva dos textos matemáticos. (LOPES, 2007, p.107)
Sendo assim, encontramos na reflexão das professoras A, B e C
observações empíricas, que vêm sendo discutidas pela comunidade de
educadores matemáticos. Inclusive, observamos elementos da Teoria dos
Campos Conceituais ainda que, provavelmente, nem todas elas conhecessem
tais pressupostos profundamente.
98
4.5 Concepção de Campo Conceitual Aditivo das profe ssoras, decorrido três
encontros de formação.
No terceiro encontro coletamos dados depois de uma primeira
apresentação dos problemas de Composição. A análise dos dados coletados nos
permitiu verificar a concepção das professoras sobre o Campo Conceitual Aditivo,
sobretudo, acerca dos problemas de Composição. Nossa finalidade foi observar a
compreensão dos professores a respeito dos problemas que envolviam a ideia de
Composição.
Procuramos verificar ainda a influência da formação continuada na possível
(re) construção das docentes sobre esse conceito.
Nossa análise foi realizada sobre um material produzido em grupo pelos
participantes do programa de formação continuada em que nossos sujeitos de
pesquisa estavam inseridos.
Transcrevemos aqui as situações-problema elaboradas pelas Professoras
A, B e C dentro de seus respectivos grupos. As situações originais podem ser
vistas no anexo C desse documento.
O quadro a seguir apresenta os problemas elaborados pelos grupos das
professoras pesquisadas:
99
Quadro 5 – Elaboração de situações-problema do Campo Aditivo das professoras durante o
processo formativo.
Analisando as situações elaboradas pelos dois grupos observamos que as
quatro envolvem a ideia de composição, ou seja, está implícita no problema a
ideia de reunião de duas partes em um todo. Todavia uma delas envolvia
transformação, (o problema 2 do grupo II): “Para ganhar um jogo de vídeo-
game, João precisa alcançar 11 pontos. Ele já conse guiu 4 pontos. Quantos
pontos ainda faltam para que ele consiga ganhar o j ogo (Problema 2, Grupo
II)”.
Grupo I- ( Professora A) Grupo II- (Professoras B e C)
1)”Numa festa de aniversário convidaram 124
crianças, 39 são meninas. Quantos meninos
foram convidados para esta festa?”
meninos
124
39 meninas
2) “Tenho 105 bandeirinhas azuis e minha
amiga tem 85 vermelhas. Quantas
bandeirinhas temos no total?”
105 azuis
?
85 vermelhas
3) “Ana Luíza tem uma coleção de selos
formada por 899 selos nacionais e
internacionais. Sabendo-se que 397 são
internacionais, quantos selos são nacionais?”
397 nacionais
899
? internacionais
1-“Em uma roda de conversa havia 7 meninos e
8 meninas. Quantas crianças estavam
participando da roda?”
2-“Para ganhar um jogo de vídeo-game, João
precisa alcançar 11 pontos. Ele já conseguiu 4
pontos. Quantos pontos ainda faltam para que
ele consiga ganhar o jogo?”
100
Observamos que se trata de um problema de transformação, em que se conhece o
valor final, informa-se também o valor inicial e se pergunta pela transformação (no caso
positiva).
Figura 28: Transformação positiva: quantidade de pontos necessários para João ganhar o
jogo
Observamos que o problema 2 do grupo I e o problema 1 do grupo II são
situações exemplares de uma relação prototípica, ou seja, segundo Vergnaud são
situações em que observamos a compreensão do sentido da adição. Segundo o
autor é importante identificar como as crianças entendem as primeiras idéias que
dizem respeito a essas operações.
Quanto à situação que trata da roda de conversa, sabemos que , segundo
Vergnaud, deve ser resolvida de forma acertada por quase todos os estudantes já
no primeiro ano de escolarização. Nessa situação são dadas as partes e solicita-
se a identificação do todo, esse tipo de problema pode ser resolvido pelo aluno
por meio da contagem. Já o problema 2 do grupo I – das bandeirinhas- mesmo
envolvendo a mesma estrutura ( sabe-se as partes e solicita-se o todo) exige a
compreensão da contagem de números de magnitude maior. É evidente que o
aluno poderia resolver também por meio da adição.
Os demais problemas, segundo Vergnaud, são resolvidos acertadamente
também pela maioria dos estudantes, mas envolvem uma complexidade um
pouco maior, uma vez que é solicitado encontrar uma parte quando conhecemos
o todo e a outra parte.
Quanto ao grupo I, observamos ainda o indício de utilização das
discussões ocorridas durante a sessão de formação já que o grupo apresentou a
representação simbólica discutida na atividade de formação.
4 11
Transformação Positiva: Quantidade de pontos necessários
para João ganhar o jogo
Estado Inicial: Pontos que o João já
fez
Estado Final: Pontos que João precisa fazer para ganhar o jogo
+?
101
Na análise que fizemos das proposições do grupo II observamos que foi
elaborada uma situação de composição em que as partes são conhecidas e
pergunta-se o valor do todo, no entanto, identificamos dificuldades em reconhecer
a segunda situação como transformação.
Enfim, propomos a elaboração de situações às professoras com a intenção
de perceber se conheciam os pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais,
sobretudo, à parte que se refere ao Campo Aditivo. A atividade serviu ainda para
discutirmos com as docentes os aspectos positivos quando trabalhamos
situações-problema com os alunos usando os esquemas de Vergnaud. Nossa
discussão é corroborada por César (1990) quando afirma que alunos que
trabalham com tais esquemas apresentam desempenho melhor em relação a
outras estratégias que utilizam outros tipos de representações.
4.6 Reflexão do professor acerca da relação entre s eu encaminhamento e as
estratégias dos alunos.
Para analisar a reflexão do educador acerca de sua prática, solicitamos às
professoras que trabalhassem com suas turmas seis situações-problema
escolhidas em uma lista de doze situações (Apêndice C) que foram elaboradas
em um dos encontros de formação com a participação de todos.
Nossa atenção estava voltada agora para Professoras sujeitos do nosso
estudo, e entendemos que olhar para as produções dos alunos e as sínteses
reflexivas feitas pelas educadoras nos daria informações sobre tais ações.
Dessa forma a solicitação do relatório reflexivo sobre o desenvolvimento da
atividade teve ainda a intenção de investigar se e como as professoras A, B e C
(re) construiram seus conceitos sobre o Campo Aditivo.
102
Sobre o processo de aplicação da Professora A e o r elatório reflexivo
apresentado
Depois de ter realizado a atividade com seus alunos pela primeira vez, a
Professora A, em um dos encontros de formação, nos entregou todo o material.
Em uma conversa informal com nossa equipe ela relatou que não estava satisfeita
com a atividade, pois seus alunos não mostraram exatamente o que sabiam.
Segundo a Professora A, havia apenas ocorrido uma repetição de idéias
sugeridas por ela, como podemos observar em seu depoimento no relatório da
primeira aplicação das situações-problema com seus alunos.
Apresentaremos, então, os protocolos de resolução de situação-problema
dos alunos da Professora A, da primeira e da segunda aplicação para verificar o
que ocorreu. Ao final mostraremos os dois relatórios da docente e faremos nossas
considerações.
Recebemos da Professora A 18 protocolos de alunos da primeira
aplicação, totalizando 108 situações-problema resolvidas. Apresentaremos aqui,
para realizar nossa análise, cinco protocolos (figuras de 29 a 33) com as
estratégias dos alunos P, Q, R, S e T.
Figura 29: Estratégia utilizada pelo aluno P na primeira aplicação.
103
Figura 30: Estratégia utilizada pelo aluno Q na primeira aplicação.
Figura 31: Estratégia utilizada pelo aluno R na primeira aplicação.
104
Figura 32: Estratégia utilizada pelo aluno S na primeira aplicação
Figura 33 : Estratégia utilizada pelo aluno T na primeira aplicação.
Analisando os protocolos percebemos a inquietação da Professora A ao
dizer que não estava satisfeita com as produções de seus alunos, embora eles
tivessem resolvido os problemas de forma correta. Tal preocupação poderia ser
no sentido de que a liberdade de usar diferentes estratégias em diferentes
contextos não se apresentou. A utilização de diferentes estratégias pode motivar
o aluno a criar representações que podem ser exploradas pelo professor. Damm
(2005) em seu estudo sobre a importância de orientar os estudantes na utilização
de representações para resolver situações-problema, percebeu que quando tais
representações são utilizadas o desempenho dos alunos melhora. Vale lembrar
que no questionário de entrada essa mesma professora alegou que durante sua
formação inicial, “as aulas de matemática eram ministradas de forma que os
105
alunos não podiam opinar, questionar, perguntar”. Portanto, inferimos analisando
o depoimento a seguir que possivelmente essa forma de ministrar aula de
matemática não era uma prática dessa professora:
“Não, cada vez mais o ensinar e aprender exige pessoas que pensam e resolvem situações no cotidiano,
portanto a escola não pode continuar ensinando para ela mesma”. (PROFESSORA A).
Esse momento de reflexão sobre a ação demonstrado na nossa conversa
informal nos levou a seguinte questão: se essa forma de trabalhar não era uma
prática comum da Professora A, o que a levou a atuar assim?
Poderíamos pensar que a educadora focou o trabalho nas situações-
problema que foram elaboradas com o grupo e que poderia ter interpretado o
contrato didático21 como se sua obrigação fosse apenas mostrar que tais
situações foram trabalhadas com sua turma em detrimento de quais estratégias
os alunos utilizaram.
Vale ressaltar que foi na conversa que tivemos que esclarecemos que a
análise de erros e estratégias diversificadas dos alunos seria um ótimo
instrumento para a formação, uma vez que poderíamos refletir sobre as possíveis
intervenções em cada caso. Sendo assim, esta professora realizou a atividade
com seus alunos novamente.
Observamos, nesse momento, que tal discussão trouxe certo desconforto a
professora fazendo com que ela realizasse novamente a atividade com seus
alunos na semana seguinte. Isso nos remete aos estudos de Serrazina (1999).
Nesse estudo a autora pondera sobre a relação intrínseca entre o processo de
reflexão dos docentes portugueses e a autoconfiança. Para Serrazina (1999):
“(...) Isso pressupõe um elevado grau de conscientização que os ajude a reconhecer as suas falhas e fraquezas e a assumir um forte desejo de as ultrapassar.” (SERRAZINA, 1999, p. 163).
Vale ressaltar que o fato da Professora A realizar duas vezes o diagnóstico
favoreceu muito nossa investigação, já que pudemos verificar seu processo
reflexivo por meio do relato escrito apresentado pela educadora. Dessa forma,
21 Segundo Chevallard, Bosch e Gascón (2001), o contrato didático é um conjunto de normas ou cláusulas, geralmente implícitas, que regulam as obrigações recíprocas do professor e dos alunos, em relação ao projeto de estudo de ambas as partes, que evolui à medida que o processo didático avança.
106
após a conversa informal a Professora A decidiu reaplicar a atividade com seus
alunos.
Desta vez recebemos da Professora A 17 protocolos de alunos, totalizando
107 situações-problema resolvidas. As estratégias utilizadas pelos alunos U, V, X,
Z e W aparecem nas figuras de 34 a 38.
Figura 34: Estratégia do aluno U na segunda aplicação.
Figura 35: Estratégia do aluno V na segunda aplicação.
107
Figura 36: Estratégia do aluno X na segunda aplicação.
Figura 37: Estratégia do aluno Z na segunda aplicação.
Figura 38: Estratégia do aluno W na segunda aplicação.
Embora a Professora A tenha selecionado seis situações-problema de uma
lista de doze, optamos por apresentar aqui somente o problema de número 1 de
sua escolha acreditando ser o que melhor exemplifique a diversidade de
estratégias e tipos de resolução encontrada no material.
108
A segunda aplicação mostra que os alunos procuraram diferentes
estratégias para solucionar uma mesma situação-problema. Entendemos, da
mesma forma que Vergnaud (1990) que os alunos da Professora A, na segunda
aplicação das situações-problema, exploraram diferentes estratégias e a medida
que consideram as situações mais difíceis que exigem delas a construção de
conceito em ação e teorema em ação mais sofisticados utilizavam-se de
diferentes representações.
Ao final observando somente os dois momentos de aplicação das
situações-problema realizados pela Professora A, percebemos que sua reflexão
se aproxima da reflexão na ação que Schon (1997) descreve de acordo com
Tolstoi em duas situações diferentes; quando o professor trata a situação
articulando suas ações ao longo do processo e quando o professor, fora do
cenário onde o processo ocorreu, reflete sobre suas ações (reflexão sobre a
reflexão na ação). Para o autor o que diferencia uma situação da outra é o fato de
que, na primeira, não acontecem registros escritos mostrando a utilização de
estratégias diferenciadas, o que ocorre na segunda.
Os dados aqui apresentados foram complementados com um relatório
reflexivo apresentado pela Professora A. A seguir apresentaremos os dois
relatórios – representando os dois momentos de aplicação das situações-
problema do campo aditivo com seus alunos e em seguida a análise.
Quadro 6 – Primeiro Relatório Reflexivo apresentado pela Professora A
A Professora A inicia o seu primeiro relatório explicando a dinâmica que usou com sua turma para
realizar a atividade. Conta que após organizar os alunos explicou o que fariam.
Para envolver seus alunos, expôs os problemas na lousa e fez uma leitura com eles: “Em seguida
li com a turma cada um dos problemas tentando não passar nenhuma dica sobre a resolução.”
Realizada a leitura das situações-problema, os alunos começaram a resolver, contudo, segundo a
docente, demonstraram dificuldades para entender alguns problemas: “[...] a interpretação de
alguns problemas estava muito difícil. Tentei novamente orienta-los sem passar dicas, mas, acho
que muitos perceberam o caminho na minha fala.”
Preocupada com o desenvolvimento da atividade a Professora A decide intervir novamente e
realiza uma nova leitura dos problemas, contudo, suspeita que sua intervenção possa ter feito com
que os alunos percebessem a solução dos problemas de uma forma que não queria: “Não sei se
era em isso para ser feito, acredito que o fato dos alunos terem resolvido os problemas com
109
operações, sem usar outras estratégias, dificultou a percepção para ver como minha turma é
realmente, quer dizer, o que eles realmente sabem fazer e como fazem.” (N. A. momento de
reflexão sobre a ação)
Quadro 7 – Segundo Relatório Reflexivo apresentado pela professora A
No segundo relatório reflexivo a Professora A descreve o encaminhamento dado para o
desenvolvimento da atividade com seus alunos. Conta que após terem copiado as situações-
problema da lousa, os estudantes foram estimulados a refletir e levantar hipóteses que,
posteriormente, foram socializadas em uma mesa redonda. Terminada essa etapa, os estudantes
começaram a resolver os problemas sob o olhar atento da professora que percebeu o seguinte:
“Alguns alunos liam, interpretavam os dados e realizavam a adição ou subtração mentalmente
resolvendo a situação, mas também foram apresentadas algumas conclusões imediatistas que
dificultava a interpretação dos dados.” (N.A.
reflexão na ação)
Empenhada em desenvolver a atividade de forma a contribuir significativamente com o aprendizado de seus
alunos, a Professora A realizou um pequeno estudo no qual aponta a importância da ZDP (Zona de
Desenvolvimento Proximal) de Vygotsky e das considerações de Piaget e Vergnaud sobre o olhar do
professor para os erro dos alunos para salientar os aspectos positivos de se promover momentos de
discussões entre os estudantes sobre as diferentes estratégias e seus equívocos na resolução de problemas.
Finaliza seu relatório reflexivo apresentando suas considerações em relação ao trabalho desenvolvido: “A
aplicação deste trabalho em sala de aula não apenas promoveu o aprendizado dos alunos, mas também
contribuiu significativamente para um reflexão sobre a prática docente, bem como direcionou um
olhar pedagógico sobre o processo de construção de novos conhecimentos e a importância de
estarmos o tempo todo apresentando situações desafiadoras que promovam a reflexão e a busca
de novas estratégias na realização de diferentes atividades que envolvam os conceitos
científicos.” (N.A. reflexão sobre a reflexão na ação)
Com relação ao primeiro depoimento da Professora A, percebemos sua
preocupação em orientar seus alunos na realização da atividade, embora,
segundo a docente, tomando-se cuidado para não conduzir os estudantes na
resolução. Esse fato nos faz lembrar de um comportamento comum em sala de
aula quando um professor lê enunciados de problemas com seus alunos
enfatizando as palavras “perdeu” e “ganhou”, por exemplo. Nesse sentido,
estudos como Figueiredo apud Moura (2006), ao realizar um estudo com crianças
dos anos iniciais, oito a dez anos, verificou que três de quatro professoras
envolvidas na investigação utilizavam enfaticamente as expressões “ganhou” na
110
resolução de situações-problema de adição e “perdeu” para os problemas de
subtração. Analisando o depoimento abaixo observamos que isso pode ter
ocorrido também com a Professora A:
“[...] a interpretação de alguns problemas estava muito difícil. Tentei novamente orienta-los sem passar dicas, mas, acho que muitos perceberam o caminho na minha fala (PROFESSORA A)
Esse excerto não nos permite dizer que professora A utilizou-se das
mesmas estratégias indicadas pela pesquisa de Figueiredo, todavia parece que
havia, por parte da educadora, uma preocupação em apresentar ao grupo de
formação um resultado positivo de seus alunos para às situações propostas.
No tocante à hipótese levantada pela professora, suspeitando que seus
alunos possam ter percebido os procedimentos de resolução das situações
problema na sua intervenção, encontramos nos estudos de Ventura e Selva
(2007) uma afirmação que talvez justifique o desejo, coberto de boas intenções,
dos professores intervirem na interpretação de problemas junto com seus alunos.
Existe, segundo Ventura e Selva (ibid.) uma associação entre as palavras-
chave de uma situação-problema e as relações presentes entre os elementos22
que compõem o enunciado do problema. Contudo, percebemos que a
preocupação da Professora A está relacionada à associação que o aluno possa
fazer entre as palavras-chave e os dados do problema, puramente. Isto é,
desconsiderando-se os elementos que constituem as relações na situação-
problema.
Esse fato nos leva a crer que a Professora A provavelmente não havia
compreendido a proposta das sessões de formação a respeito de estimular os
estudantes a criarem estratégias de resolução, considerando que a finalidade da
proposta seria investigar quantos alunos acertariam e quantos errariam as
situações apresentadas.
No final de seu depoimento a própria docente percebe que a forma como
conduziu a atividade com sua turma não fora muito proveitosa. Refletindo sobre o
fato compreende que a utilização de diferentes estratégias pelos estudantes está
associada ao estímulo promovido pelo professor:
22 Uso aqui a palavra elementos para definir os objetos e/ou pessoas que compõem as relações em uma determinada situação-problema.
111
Não sei se era em isso para ser feito, acredito que o fato dos alunos terem resolvido os problemas com operações, sem usar outras estratégias, dificultou a percepção para ver como minha turma é realmente, quer dizer, o que eles realmente sabem fazer e como fazem.(PROFESSORA A)
Acreditamos que de acordo com o material produzido pelos alunos, em
dois momentos diferentes de aplicação, e os depoimentos nos dois relatórios da
Professora A , que a concepção de Campo Aditivo da docente pode ter sofrido
alteração, ou seu conhecimento sobre esse conceito ter se aprofundado. Pode
ser, então, que uma (re) construção tenha ocorrido por meio da ação reflexiva da
docente.
Entendemos que essa mudança pode ter se iniciado no momento de
inquietação da Professora A quando ela percebeu que a ação praticada com seus
alunos na primeira aplicação das situações-problema foi muito parecida com as
práticas pedagógicas de seus professores ainda quando era aluna na formação
inicial, conforme foi narrado no questionário de entrada de nosso estudo.
Compreendemos que essa professora poderia estar buscando uma
mudança na forma de intervir junto a seus alunos. Talvez a forma que estivesse
buscando estaria muito próxima do que afirma Santana (2010), referendada em
Silva (2008). Para a autora uma intervenção deve ser capaz de promover uma
“interação social” que viabilize a construção de “novos saberes”. Como Santana
(ibid.) entendemos que isso só seja possível por meio de uma mudança no
comportamento da escola e dos profissionais da educação.
Isso nos remete aos estudos de Tardif (2000). Para o autor o professor
possui os saberes temporais e institucionais. Refere-se aos conhecimentos
adquiridos durante sua trajetória como aluno desde sua infância e aos adquiridos
em sua formação inicial e profissional. Dessa forma, quando a Professora A nos
diz que seus professores, do período de formação inicial, não contribuíram muito
para que tivesse condições de ministrar aulas de matemática, poderia estar
indicando que a procura por um programa de formação continuada na área de
matemática poderia servir para compreensão de questões que não foram
abordadas nos processos formativos vivenciado pela educadora até então.
Portanto, com relação aos conhecimentos utilizados por essa professora para
preparar suas aulas é possível que sejam aqueles adquiridos durante sua vida
escolar.
112
Dessa forma, compreendemos que a Professora A pode ter (re) construído
seus conceitos sobre o Campo Aditivo devido as suas inquietações que a
colocaram em conflito quando seus saberes temporais e institucionais não
satisfaziam sua necessidade de ensinar de acordo com suas concepções
(considerar o saber do aluno e permitir que reflita, opine, construa novos
conhecimentos).
Sobre o processo de aplicação da Professora B e o relatório reflexivo
apresentado
A professora B nos apresentou 104 protocolos de alunos. Com relação às
situações-problema escolhidas, duas era de composição, uma de comparação e
uma de transformação.
As estratégias utilizadas pelos alunos ficaram divididas em dois tipos; o
uso de algoritmo e representações por imagens. As figuras de 39 a 44 mostram
alguns dos procedimentos de resolução da turma desta professora.
Denominaremos aqui alunos M, F e G os autores dos protocolos expostos.
Para essa parte de nossa análise selecionamos 2 protocolos de cada um destes
alunos, pelo fato de que, dentre outros, em suas estratégias, encontramos tanto o
uso de algoritmos como de representações por imagens.
Figura 39 : Estratégia utilizada pelo aluno M.
113
Figura 40 : Outra estratégia utilizada pelo aluno M.
Podemos perceber que o aluno M, na situação da figura 39, faz uso de
uma representação por imagem e justifica seu raciocínio com uma sentença
matemática logo abaixo. Já na situação da figura 40 recorreu a um material
concreto para proceder à contagem e realizar as operações.
Figura 41 : Estratégia utilizada pelo aluno F.
Figura 42: Outra estratégia utilizada pelo aluno F.
114
No caso deste aluno, o algoritmo da subtração foi o procedimento
escolhido para resolver a situação da figura 41. O algoritmo aparece novamente
na situação da figura 42, contudo, apoiado pelo uso de um material concreto.
Figura 43 : Estratégia utilizada pelo aluno G.
Figura 44 : Outra estratégia utilizada pelo aluno G.
O aluno G utilizou na situação da figura 43 uma representação por imagem
justificada pelo algoritmo da subtração e, já na situação da figura 44 sua sentença
matemática foi direcionada por uma representação por imagem.
Apresentadas algumas das estratégias dos alunos da Professora B
notamos a utilização de diferentes representações e estratégias no relatório
reflexivo em que descreve a aplicação da atividade e suas impressões.
O texto na íntegra da reflexão da professora sobre a aplicação da atividade
com sua turma pode ser lido no anexo E. Para esse momento de nossa análise
transcrevemos aqui somente os trechos que possam indicar a ocorrência de uma
reflexão sobre a ação da Professora B.
115
Quadro 8 – Relatório Reflexivo apresentado pela professora B
A Professora B inicia seu relatório descrevendo como motivou seus alunos a pensarem nos
problemas por meio de uma brincadeira que consistia em procura o número invisível. Conta a
docente que o número invisível deveria aparecer dentro de um quadradinho.
Com relação às estratégias utilizadas pelas crianças, a docente diz que nas situações que uma
das partes e o todo eram conhecidos elas resolviam com facilidade.
“[...] Quando foi para resolver o problema utilizando uma determinada quantidade para alcançar o
resultado, a maioria dos alunos automaticamente fizeram a somatória.[...]”
Nas situações-problema que aparecia transformações, os alunos, diz a professora, sentiram
dificuldade.
“[...] Ao desenvolver os problemas de transformação negativa, onde aparece a quantidade para
ocorrer a diminuição dos valores, eles percebem rapidamente (que deveriam tirar ou chegar até o
número maior), porém algumas crianças tiveram dificuldade de resolver (eles queriam somar).[...]”
Por fim, a Professora B, faz uma reflexão sobre sua prática.
“[...] Os caminhos são variáveis, como a classe é heterogênea, percebo que devo planejar
problemas diversificados para todas as hipóteses das crianças, principalmente para aquelas que
tem pouco estímulo em relação a diferenciar quantidades (troca, venda, troco, ganho, perda).[...]”
Analisando o depoimento da Professora B, percebemos uma tentativa de
se entender como os alunos pensaram para resolver as situações-problema
apresentadas:
“[...] Quando foi para resolver o problema utilizando uma determinada quantidade para alcançar o resultado, a maioria dos alunos automaticamente fizeram a somatória.[...] [...] Ao desenvolver os problemas de transformação negativa, onde aparece a quantidade para ocorrer a diminuição dos valores, eles percebem rapidamente (que deveriam tirar ou chegar até o número maior), porém algumas crianças tiveram dificuldade de resolver (eles queriam somar).[...]”(PROFESSORA B)
Quando a professora afirma que os alunos fizeram uma somatória,
automaticamente, utilizando uma determinada quantidade para alcançar o
resultado do problema “Carlos tinha 13 bolas de gude quando entrou no jog o.
Depois do jogo ele contou suas bolas de gude e viu que tinha 6. O que
aconteceu no jogo?”, pode estar se referindo a uma situação-problema de
transformação, pois este tipo de categoria de situação é classificado segundo a
116
Teoria dos Campos Conceituais, como um problema de trasnformação, ou seja,
aquelas situações que envolvem relações entre uma quantidade (medida) que
será transformada para se alcançar outra quantidade (medida) cuja solução
poderia ser encontrada por meio de uma contagem partindo-se do 6 até chegar
no 13.
No tocante a uma situação-problema de transformação negativa a
Professora B pode ter entendido que algumas crianças tentavam resolve-la por
meio da contagem, isto é, partiam de um determinado valor adicionando
quantidades até se chegar a um valor maior. A professora descreveu esse fato
como sendo uma dificuldade do aluno, dessa forma pode ser que não tivesse se
atentado para o fato de que quando seus alunos resolveram uma situação-
problema de transformação negativa tentavam por meio da contagem chegar ao
valor final. Acreditamos que isso pode indicar que a docente ainda tenha
dificuldade na distinção entre o que seja dificuldade ou estratégia de cálculo,
contudo, entendemos que por outro lado, a Professora B, no relatório reflexivo
procurou analisar as produções de seus alunos com olhar focado nas discussões
ocorridas nas sessões de formação.
Na última parte da transcrição do relatório, percebemos que a docente
reflete sobre sua ação enquanto elaboradora de situações-problema.
“[...] Os caminhos são variáveis, como a classe é heterogênea, percebo que devo planejar
problemas diversificados para todas as hipóteses das crianças, principalmente para aquelas que
tem pouco estímulo em relação a diferenciar quantidades (troca, venda, troco, ganho, perda).(
PROFESSORA B)”
Observamos que parece existir em seu depoimento uma forte preocupação
com a compreensão por parte do aluno da situação no momento da leitura o que
nos remete novamente aos estudos de Lopes (2007) que considera comum, entre
professores de matemática justificar as dificuldades encontradas pelos alunos ao
resolver problemas como sendo a falta de fluência em leituras.
117
Segundo a Professora B, sua turma é heterogênea no que diz respeito às
hipóteses da escrita23, isto significa que seus alunos apresentam condições
diferentes para ler e escrever. Com isso, a professora percebe ser necessário
elaborar situações-problema diversificadas de modo a atender as condições de
sua turma. Compreendemos então, que a docente mostra uma preocupação com
a interpretação das situações-problema apresentadas e a necessidade e
encaminhamentos pedagógicos diferenciados.
Portanto, de acordo com os procedimentos de resolução apresentados nos
protocolos dos alunos e a reflexão sobre a ação da Professora B, entendemos
que a docente pode ter se utilizado dos pressupostos da Teoria dos Campos
Conceituais, no que se refere ao Campo Conceitual Aditivo, quando estimulou
seus alunos na busca por diferentes estratégias para solucionar as situações-
problema e, a partir desse fato, promoveu uma reflexão com intenção de melhorar
sua ação.
Sobre o processo de aplicação da Professora C e o r elatório reflexivo
apresentado
A Professora C nos apresentou 28 protocolos de alunos. De acordo com
seu relatório decidiu utilizar somente 4 problemas da lista por considerar o nível
de dificuldade das situações muito além da compreensão de sua turma (crianças
do 2º ano do ensino fundamental I – 7anos).
Com relação às categorias de situações-problema escolhidas pela
Professora C, três problemas eram de transformação e um de comparação.
Chamaremos os alunos da Professora C de H, I e J, e apresentaremos
dois protocolos de cada aluno (figuras de 45 a 50) para prosseguir com nossa
análise de dados deste momento.
Apresentaremos a situação-problema 1 de cada aluno devido ao fato de
que somente um aluno resolveu sem mostrar uma sentença matemática, todos os
23 As hipóteses das crianças a que se refere a Professora B está associada a leitura e a escrita conforme descritas no programa Ler e Escrever adotado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. De acordo com estas hipóteses da escrita as crianças do ensino fundamental I são
118
outros resolveram da mesma forma, com o uso da sentença. Contudo, esse
mesmo aluno foi o único a utilizar uma sentença matemática no problema três.
Em seguida, apresentaremos também, o problema 3 dos alunos H e I e o 4 do
aluno J. Tal escolha se deve ao fato de que nos protocolos dos alunos H e J
podemos perceber a utilização de representação icônica, que foi apagada depois
de encontrada a resposta. Embora em muitos protocolos encontrássemos
somente a resposta da situação-problema e não percebêssemos vestígios de
outras representações, não deduzimos que tenham utilizado cálculo mental por
encontrarmos um número muito grande de protocolos com a resposta e com
vestígios de representações icônicas.
Figura 45: Estratégia do aluno H para o problema 1, a única sem a sentença matemática.
Figura 46: Outra estratégia do aluno H para o problema 3, a única com sentença matemática.
Analisando as estratégias do aluno H para resolver os problemas um e
três, percebemos que o mesmo se utilizou uma representação icônica. No
classificadas em pré-silábica, silábica sem valor sonoro, silábica com valor sonoro, silábica alfabética e alfabética.
119
problema três, além da representação, o aluno pode ter sentido a necessidade de
representar seu raciocínio por meio de uma sentença matemática. O
aparecimento do resultado antes da sentença no registro do aluno pode nos levar
a pensar que a sentença matemática não foi utilizada antes de sua conclusão.
Figura 47: Estratégia utilizada pelo aluno I no problema nº 1.
Figura 48: Estratégia utilizada pelo aluno I no problema nº 3.
O aluno I apresentou para o problema um a sentença matemática e a
resposta abaixo dela. É possível que tenha escrito a sentença e adicionado os
valores mentalmente ou contado nos dedos. Na situação-problema três o aluno
não encontrou a resposta correta, é possível que tenha adicionado o 2 do 12 com
o 3 e encontrado o 5, o que nos leva a pensar na possibilidade de não ter
interpretado corretamente o problema. Nesses protocolos não percebemos
vestígios de outros tipos de registros.
120
Figura 49: Estratégia utilizada pelo aluno J para resolver o problema 1.
Figura 50: Estratégia utilizada pelo aluno J para resolver o problema 4.
Com a apresentação do protocolo do aluno J, mostrando sua estratégia
para resolver o problema um, percebemos que a sentença 5 + 8 = 13 também
está presente, nota-se ainda, que o resultado (13) foi escrito antes da sentença
matemática e que dois resultados foram apresentados. Com relação à
apresentação de dois resultados, entendemos que o aluno pode ter se enganado,
já com relação ao 13 estar aparecendo antes da sentença, poderia estar
indicando que o aluno J resolveu a situação-problema mentalmente ou utilizando
outro recurso, primeiro.
Para resolver o problema quatro, o aluno J parece ter utilizado uma
representação icônica. É possível perceber figuras em forma de círculo que foram
cortadas com um risco, provavelmente ele desenhou 13 figuras circulares e riscou
6, encontrou a resposta do problema e apagou a representação.
Como já dissemos, a Professora C selecionou quatro problemas que julgou
ideais para realizar o trabalho com sua turma. Consideramos que esse
121
comportamento da professora poderia estar indicando o início de sua reflexão
sobre a ação e para melhor entender esse comportamento, analisamos seus
depoimentos no relatório de aplicação.
Quadro 9 – Relatório Reflexivo da professora C
Embora a atividade solicitasse que seis situações-problema fossem utilizadas, a Professora C
entendeu que somente quatro, da lista de doze sugerida, estaria no nível da faixa etária de seus
alunos. Os quatro problemas escolhidos foram classificados por ela como sendo de pouca
dificuldade e de exigência maior de raciocínio. De acordo com sua classificação, três problemas
eram do primeiro tipo e um do segundo, que era, para a docente, de comparação.
“[...] utilizei três problemas com pouca dificuldade e um com exigência maior de raciocínio
(comparação).[...]”
Em seguida a Professora C descreve a dinâmica da atividade com seus alunos. Alega que foi
necessário fazer uma folha avulsa, com letra bastão, para que alguns dos sete alunos escolhidos
pudessem resolver os problemas. Sua preocupação estava focada na habilidade de leitura dos
estudantes. Tal habilidade é descrita pela docente com os termos “alfabéticas” e “alfabéticas
autônomas”. A leitura dos problemas foi feita pelos alunos e como conta a professora, alguns
precisaram ler cinco vezes os enunciados. No que se refere a resolução dos problemas, diz a
professora que duas crianças encontraram muita dificuldade para interpretar o enunciado e
solicitaram sua intervenção. A estratégia mais utilizada, conta a docente, foi o cálculo mental.
“[...] Somente duas crianças podem ser consideradas alfabéticas autônomas, de forma que as
demais leram os problemas por volta de 5 vezes para pensar em resolução. Na maior parte
utilizaram o cálculo mental. Percebi bastante dificuldade de interpretação de 2 crianças, o que
solicitaram minha intervenção.[...]”
Com relação a resolução de operações, a Professora C diz que seus alunos conseguem resolvê-
las sem dificuldade quando não estão inseridas em situações-problema.
“[...] Percebi que é bem diferente a criança compreender o sistema da adição e subtração e
conseguir reconhece-lo nos problemas. As operações avulsas não significam nenhum problema
para a sala.[...]”
Por fim, a docente explica que embora seus alunos ainda não tenham domínio da leitura e escrita,
a contento, conseguiram associar as quantidades às operações.
“[...] Apesar de não reconhecerem a escrita [...] reconhecem as quantidades e as associam na
soma e subtração.[...]”
Analisando o relatório da Professora C percebemos que houve, de sua
parte, uma preocupação com a capacidade de compreensão de seus alunos
assimilarem situações-problema envolvendo comparação.
122
Segundo essa professora, um problema de comparação é mais complexo
que problemas de transformação.
“utilizei três problemas com pouca dificuldade e um com exigência maior de raciocínio
(comparação).” (Professora – A).
Vale lembrar que três dos quatro problemas escolhidos foram de
transformação. De acordo com os pressupostos da Teoria dos Campos
Conceituais, os problemas mais básicos são denominados prototípicos. Um
problema prototípico não é necessariamente mais ou menos complexo que outro.
Sua denominação se dá pelo fato de ser um problema mais adequado para uma
situação real de condições para sua resolução, que está mais próxima do que é
natural para a criança. Entendemos, então, que a Professora C não levou em
consideração alguns pressupostos da Teoria, referente ao campo aditivo, ao
classificar uma situação-problema de comparação.
Observamos também que a Professora C se preocupou muito com a
interpretação dos problemas quando, em seu relatório, disse que algumas
crianças eram alfabéticas autônomas, isto é, liam sozinhas. Para educadora, ter
dificuldade na leitura pode comprometer a interpretação dos problemas. Contudo,
no final de seu relatório essa mesma professora afirma que apesar de alguns
alunos não dominar a escrita, foram capazes de reconhecer as quantidades no
problema e calculavam a adição ou subtração. Entendemos que a Professora C
poderia estar se utilizando um comportamento muito presente na prática de sala
de aula quando se trabalhava problemas com os alunos, que era o de orientar a
criança na resolução de problemas associando expressões do tipo “ao todo”,
“com quanto ficou”, “ganhou”, “perdeu” às operações de adição ou subtração24.
Vale lembrar que até mesmo a professora, em sua trajetória de vida escolar, foi
submetida a esse tipo de comportamento (TARDIF, 2000).
Dessa forma, baseados nos protocolos e nos relatórios apresentados pelas
Professoras A, B e C, nesta etapa de coleta de dados, procuramos compreender
24 Sobre essa prática estudos como os de Figueiredo apud Moura (2006) também verificaram que três de quatro professoras envolvidas na investigação utilizavam enfaticamente as expressões “ganhou” na resolução de situações-problema de adição e “perdeu” para os problemas de subtração.
123
se e como as docentes (re) construíram suas concepções acerca do Campo
Aditivo. Acreditamos que o conhecimento pode influenciar muito o processo de
(re) construção, notamos nessa primeira análise que o conhecimento inicial
demonstrado pela Professora A parece ter lhe permitido aprofundar a refletir
sobre os processos investigativos em sala de aula. Todavia encontramos indícios
de haver ocorrido à reflexão sobre a ação nos relatos das três educadoras, neles
também encontramos vestígios das (re) construções, principalmente sobre os
processos de ensino e de aprendizagem dos Campos Conceituais.
No tocante às análises das estratégias utilizadas pelos alunos, feitas pelas
professoras A, B e C, percebemos nos seus depoimentos, o relato da utilização
do cálculo mental, no entanto, nos pareceu que as docentes não atribuíram a
verdadeira importância de se explorar essa estratégia (Gomes – 2010).
No que concerne aos protocolos recebidos, percebeu-se que a estratégia
mais utilizada foi o algoritmo. Isso pode ser explicado de acordo com Santana
(2010), que fundamentada em Côrrea e Moura (1997) afirmam que conforme os
alunos avançam nos anos de escolaridade o uso de representações dá lugar aos
métodos formais de resolução de problemas, por meio de algoritmos.
Dessa forma, entendemos que o processo de formação pode ter favorecido
a reflexão-sobre-a-ação, mas este pareceu-nos ser mais aprofundado pela
docente que demonstrou ter um maior conhecimento do conteúdo discutido. Vale
ressaltar ainda que provavelmente tal processo pudesse ser potencializado pelo
grupo principalmente por estarem discutindo uma proposta comum.
4.7 Concepção de Campo Conceitual Aditivo das profe ssoras nove meses
após o encerramento dos encontros de formação.
Apresentaremos agora as entrevistas realizadas com as Professoras A, B e
C, nove meses depois que os encontros de formação, sobre o Campo Aditivo,
terminaram.
Essas entrevistas referem-se ao terceiro momento de nossa coleta de
dados, no qual procuramos indícios para verificar se houve mudança da
124
concepção sobre o Campo Aditivo e se o professor passou a considerar os
pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais em função das atividades
desenvolvidas no decorrer da formação.
Bodgan e Biklen (1994), afirmam que quando o sujeito de pesquisa é
estimulado a falar sobre um determinado assunto, suas considerações poderão
ser analisadas de forma mais profunda. Trata-se, de acordo com os autores, de
uma entrevista semi-estruturada. Seguimos em nossa entrevista esse mesmo
caminho.
Iniciamos a entrevista estimulando a fala das professoras perguntando
sobre o ano com que trabalharam em 2011 e se permaneceram com o mesmo
ano em 2012. Acreditamos que ao falarem sobre esse assunto os docentes
começam a contar os motivos que levaram a permanecer com o mesmo ano ou a
trocar e assim, vão ficando mais à vontade para prosseguir a entrevista.
Em seguida procuramos saber sobre o ponto de vista das professoras em
relação às experiências vivenciadas no curso sobre o Campo Aditivo, no sentido
de aprimoramento da sua prática pedagógica.
A questão seguinte refere à prática pedagógica das professoras antes da
participação no Observatório da Educação. Procuramos, desta forma, verificar tais
práticas das docentes antes dos trabalhos desenvolvidos na formação
continuada.
Com a próxima questão, procuramos verificar se após o término dos
trabalhos realizados na formação continuada, as professoras mudaram suas
práticas pedagógicas. Vale ressaltar que as entrevistas foram realizadas nove
meses depois do encerramento daquele módulo (Campo Aditivo) da formação
continuada.
Por fim, pedimos as professoras que analisassem três estratégias
diferentes de três alunos diferentes com o objetivo de verificar a presença de
pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais em seus depoimentos. As
estratégias dos alunos estão representadas nas figuras 51, 52 e 53.
125
Figura 51: Estratégia do aluno A.
Esperávamos, nesse caso, que as professoras percebessem que o aluno pode ter
utilizado o cálculo mental ou a contagem e depois comprovado com uma
sentença.
Figura 52: Estratégia do aluno B.
Nesta outra situação-problema nossa expectativa era a de que as
professoras percebessem que o aluno pode ter sido influenciado pela palavra
“ganhou”.
126
Figura 53: Estratégia do aluno C. Para essa última estratégia, esperávamos que as professoras
percebessem que o aluno utilizou a representação iconográfica para indicar a
subtração.
4.7.1 Análise das entrevistas
No que se refere ao valor significativo das experiências vivenciadas na
formação continuada, no âmbito do Observatório da Educação, para mudança da
prática pedagógica, as professoras falaram sobre a questão da dificuldade que os
alunos encontram com situações-problema de transformação, a falta de
conhecimento do professor para elaborar problemas e fizeram um
questionamento sobre suas práticas. Com relação às situações-problema de
transformação, encontramos nos discursos das Professoras A e B a afirmação de
que trabalhar com problemas desta categoria é mais complexo:
Eu acredito que foram as próprias classificações de Vergnaud quando ele fala dos problemas de
transformação, quer dizer, o aluno não entende muito bem quando a gente explica [...]
(PROFESSORA A)
Eu usei, e a dificuldade deles...assim quando foi a 1ª série...eu peguei subtração e adição. A
subtração dava um pouquinho mais de problema né [...] (PROFESSORA B)
Vergnaud (2009) também entende que as situações-problema dessa
categoria são mais complexas. Afirma, ainda, que nestas situações existe uma
127
reciprocidade em relação à adição, isto é, ganhar – perder, aumentar – diminuir.
O autor, sugere então, que o professor valorize a significação própria da
subtração mostrando “o caráter oposto ou recíproco da adição e da subtração,
não da segunda em relação à primeira”.
A elaboração de situações-problema foi ressaltada pela Professora A
afirmando que o professor pode ter dificuldades para elaborar bons problemas:
[...] nós também não temos o conhecimento sobre o conteúdo pra falar em problemas. Às vezes a
gente também não elabora bem os problemas. [...] faltava conhecimento matemático mesmo [...]
(PROFESSORA A)
O depoimento desta professora é corroborado pelos estudos de Shulman
(1986) sobre os conhecimentos do professor. Para o autor, o professor deve,
basicamente, deter três tipos de conhecimentos para desenvolver sua prática; o
conhecimento do conteúdo curricular, o conhecimento do conteúdo pedagógico e
o conhecimento do conteúdo objeto. O conhecimento a que se refere a
Professora A pode ser o do conteúdo objeto, isto é, os conceitos matemáticos
envolvidos na elaboração e resolução de uma situação-problema, Contudo, este
conteúdo objeto pode ser, também, os pressupostos da Teoria dos Campos
Conceituais referentes às situações do Campo Aditivo.
Para as professoras A, B e C, as experiências vivenciadas durante a
formação favoreceram a reflexão sobre a prática pedagógica que adotavam:
Depois do curso ampliou minha visão pedagógica, antes eu olhava com olhar de professor mas
não tão detalhada, faltava conhecimento matemático mesmo, uma coisa que subsidiou durante o
curso...isso fez refletir na sala de aula, se tinha um significado para o aluno! Onde foi o erro do
aluno. (PROFESSORA A)
É, entender como a criança está pensando! Ou seja, ter uma outra visão de pensamento.
Que a mesma resposta pode ter vários caminhos. (PROFESSORA B)
Comecei a deixar eles participarem mais...como ele chegou nessa conclusão...comecei a deixar
eles trocarem informação [...] percebi a necessidade dele discutirem. (PROFESSORA C)
128
O cuidado de considerar o que é significativo para o aluno, o olhar diferente
para suas estratégias equivocadas, a percepção de que uma resposta pode ser
encontrada por caminhos diversos e a necessidade de se permitir à interação
entre os alunos na busca de estratégias para solucionar os problemas, são pontos
considerados em estudos como os de Vergnaud (2009) que nos convida a
analisar as estratégias equivocadas dos alunos com um outro ponto de vista e
considerar que a partir de várias situações diversos conceitos podem ser
mobilizados na construção destas estratégias e Pessoa (2002) ao afirmar que por
causa da interação entre os alunos novas estratégias podem ser criadas.
Sobre a forma como trabalhavam situações-problema do Campo Aditivo
antes da formação continuada as professoras justificaram algumas mudanças
ocorridas em função da aquisição de novos conhecimentos, da consideração pelo
saber que o aluno já possui e da percepção de que se o professor pode refletir, e
discutir suas ações influenciar positivamente o aprendizado de seus alunos:
Depois do curso ampliou minha visão pedagógica, antes eu olhava com olhar de professor mas
não tão detalhada, faltava conhecimento matemático mesmo, [...] hoje eu tenho uma bagagem
maior de conhecimento do que no ano passado.[...] (PROFESSORA A)
[...] era aquela professora que subjugava os alunos, não tinha essa visão ampla de que uma
criança consegue fazer uma soma com números maiores, não sabendo quantidades,
principalmente quando eles trabalhavam com dinheiro, então, eu observei minha fala...eu parei e
mudei minha didática, mudei meu método, a minha fala ficou diferente, as crianças ficaram mais
críticas, elas começaram a observar mais.[...] (PROFESSORA B)
Era aquele tradicional...a mãe foi na feira comprou tanto, quanto ela gastou? É... o amigo foi numa
festa tinham tantos doces ....partiu. Então muito tradicional. Muito fora da realidade deles. [...]
Não queria saber o que o aluno já sabe, não...era o problema pronto e acabou.[...]
(PROFESSORA C)
A professora A assevera que houve um aumento em sua bagagem de
conhecimento depois da participação na formação continuada. Podemos inferir
129
fundamentados em Shulman (1986) que seu conhecimento de conteúdo objeto,
referente a um dos pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais, o Campo
Aditivo, modificou. Para as professoras B e C, parece ter ficado claro que os
saberes que os alunos já detém precisam ser considerados para que novos
saberes possam ser construídos, é o caso da capacidade de contar, que de
acordo com Vergnaud (2010) já é possível para uma criança antes da idade
escolar e que tal capacidade pode vir a ser mobilizada no momento de lidar com
situações aditivas. Uma mudança na fala, na didática, no método, é apontada
pela professora C, sua reflexão se aproxima da reflexão sobre a ação de Schon
(1997), isto é, foi promovida fora do cenário de ação e o falar pode estar
associado aos conceitos matemáticos mobilizados no desenvolvimento de uma
atividade com seus alunos (Oliveira e Serrazina - 2004).
Por fim, as professoras A, B e C analisaram três situações-problema de
três alunos diferentes. Conforme citado acima, esperávamos que as docentes
percebessem na estratégia do aluno A o uso do cálculo mental ou a contagem, no
procedimento do aluno B a influência da palavra “ganhou” e na resolução do
aluno C o uso de uma representação iconográfica.
Estipulamos tais estratégias de resolução por concordarmos com Vergnaud
(2010) quando afirma que o aluno, diante de uma situação-problema aditiva pode
considerar uma das partes e conhecendo-se o todo realizar uma contagem a
partir da parte conhecida para chegar ao todo. Consideramos que na estratégia
do aluno A (17 + 8 = 25), o 17 é a parte conhecida, o 25 o todo e o 8 a parte
percebida mentalmente para compor com o todo com o 17. Com relação a
possível influência da palavra “ganhou”, entendemos que tais palavras podem
induzir os procedimentos usados pelo aluno, bem como, desviar sua atenção que
deveria estar focada nas relações existentes entre os dados do problema e não
na procura de palavras chaves (Borba ; Santos – 1997), (Ventura; Selva – 2007).
Procuramos olhar para a representação iconográfica do aluno C no sentido de
considerar a importância dos alunos utilizarem esse tipo estratégia (as
representações por imagens). Embora os estudos de César (1990) e Damm
(2005) utilizaram, respectivamente, representações por diagramas e por eixos
cartesianos, concordamos com eles quando mostram que o uso deste tipo de
130
estratégia ajuda os alunos na resolução de situações-problema e entendemos
que as representações utilizadas pelas crianças não precisam ser abandonadas e
sim, evoluídas.
Passemos agora para os depoimentos de cada professora para cada uma
das três estratégias apresentadas pelos alunos.
Em relação à estratégia do aluno A as professoras disseram o seguinte:
Na verdade ele fez uma soma, mas primeiro ele contou quanto tinha do 17 ao 25 aí ele usou o cálculo da
adição e ai fez a adição pra mostrar que chegava ao 25, né! [...] Ele fez o cálculo mental, né! [...] É! De
qualquer maneira ele usou o cálculo mental e a sentença pra justificar, no entanto pode não ter encontrado a
resposta no meio da sentença. (PROFESSORA A)
[...] Ele usou como eu fiz com a primeira série...ele usou o valor do quadradinho...ó! 17 mais o
valor do quadradinho é igual a 25 [...] Ele fez 17, somou 8, pra chegar no 25. Ele fez 17 e depois
fez contagem até chegar no 25. (PROFESSORA B)
É. na realidade a sentença...ah!...eu entendo que ele consegue...visualizar isso aqui e depois
passa para conta armada depois volta pra isso aqui. (PROFESSORA C)
Percebemos no depoimento das professoras A, B e C a afirmação de que o
aluno usou o cálculo mental. As professoras A e B asseveraram, também, que o
aluno usou a contagem.
Para o procedimento do aluno B as professoras sustentaram o seguinte:
Eu acho que ele entendeu que esse 25 aqui ia ter que somar com o que ele já tinha. Ele fez uma
interpretação pessoal que não entendeu, né! [...] Ficou né? Ficou com 25. Ganhou 17 ficou ...ele
pode ter entendido sim, ficou com mais 25.(PROFESSORA A)
Aqui não ( olhando para a estratégia do aluno B), aqui ele já não soube interpretar. Ele
somou...pegou 17 e somou com o 25. [...] Nesse caso aqui é uma criança viciada naquele
131
problema que a professora dá dois números e soma esses dois números. Ele não chega a nem ler
o problema! [...] Sabe aquela coisa fechada? Aquele onde aparece a palavra ganhou, perdeu,
então, eu evitava usar essas palavras. Então ele usou só a palavra chave aqui ó! Então ele
ganhou 17 ficou com 25, aí ele somou. Aqui é uma aula tradicional, criança viciada já!
(PROFESSORA B)
Então, o que ele fez...ele vai só no cálculo, ou ele visualizou os dados, e pensou. Na verdade ele
não entendeu o que perguntou. [...] Ganhou...esse ganhou aqui ó! Porquê é o que eles fazem
“ganhou” aí...soma. (PROFESSORA C)
Embora a professora B tenha apontado o termo “ficou” como a palavra
chave que influenciou a estratégia do aluno, também citou a palavra “ganhou”. As
professoras A e C entenderam que a palavra “ganhou” motivou os alunos a
usarem uma adição para resolver o problema. Além de perceberem que a
presença de palavras chaves no enunciado de uma situação-problema pode
influenciar os procedimentos dos alunos, as docentes afirmaram que o aluno B
não entendeu o enunciado, não interpretou o problema e em decorrência deste
fato pode ter procurado os dados do problema e os associado a uma palavra
chave.
Por fim, com relação à estratégia utilizada pelo aluno C as afirmações das
professoras foram as seguintes:
Ele foi agrupando e esse aqui (os riscos cortados) ele tirou? [...] Ele somou né? Ou ele usou os
agrupamentos e fez o cálculo mental também, né? [...] E aí ele foi agrupando e fez um subtração
do que...ele achou que formou os oito, né? (PROFESSORA A)
Esse aqui já passou por todas as etapas..aqui o que o aluno fez é maravilhoso, aí pe cálculo
mental! No caso o professor teria que estar perguntando como ele chegou nesse resultado? [...] O
132
que tá na cabeça da criança? Aí eles são teimosos, mas provavelmente ele fez contagem
também. Foi na contagem, foi cálculo mental. Aí ele contaria pra professora nos dedos,
dependendo da série poderia até montar uma conta, mas geralmente, o aluno quando chega
nessa etapa aqui dificilmente gosta de fazer desenhos..ele já que logo o resultado, ele não quer
fazer mais. Então daqui ó...do aluno A quando você trabalha os ivariantes, os números que estão
faltando , o antigo valor do quadradinho, você consegue chegar aqui ó (mostrando a estratégia do
aluno A até a do aluno C). (PROFESSORA B)
Então, aqui ele ainda ta no concreto...ele ainda precisa...ele não entendeu que posso fazer
agrupamento de 10 em 10, de 5 em 5, de 3. [...] Ele ta no concreto, pra ele passar pra realmente
a conta. Mentalmente ele entendeu! Ele tem interpretação! Falta sistematizar agora! [...] colocou a
quantidade...tirou...e sobrou alguma coisa. (PROFESSORA C)
Percebemos nas afirmações que as professoras fizeram ao analisarem a
estratégia do aluno C que todas verificaram o uso de uma subtração. As
professoras A e C asseveraram que o aluno pode também ter utilizado uma
adição para depois usar a subtração. No depoimento da professora B ele pode ter
contado de 17 até chegar ao 25 e depois representado o raciocínio, para ela o
aluno usou o cálculo mental, e mais, essa professora acredita que o uso de
representações para solucionar problemas significa um avanço na estratégia da
criança, pois, afirma que os estudantes que usam estratégias como as usadas
pelos alunos A e B chegaram a utilizar representações como a do aluno C.
Portanto, entendemos que as três professoras perceberam que se tratava de uma
situação-problema em que a subtração foi usada, mas não associaram o uso da
representação para realizar a subtração.
Concluímos nesse ponto que os pressupostos da Teoria dos Campos
Conceituais, bem como, considerações feitas por estudos sobre o Campo Aditivo,
estão presentes nos depoimentos das professoras A, B e C quando analisam
estratégias adotadas pelos alunos para solucionarem situações-problema com
estruturas aditivas.
133
Considerações Finais
A formação continuada de professores, em especial daqueles que atuam
nos anos iniciais da Educação Básica, com sua dinâmica de funcionamento,
sobretudo nas escolas da Rede Pública de Ensino de São Paulo, motivou nosso
estudo.
Articular um programa de formação continuada em que formadores de
formadores preparam formadores e em seguida, os últimos, preparam os
professores (AGUERRONDO – 2004), têm sua importância significativa, no
entanto, parece não conseguir atingir um de seus objetivos, melhorar o nível do
ensino e da aprendizagem matemática. Vale ressaltar que essa dinâmica de
formação não atinge todos os professores diretamente.
Esse fato foi levado em conta na elaboração do Programa Observatório da
Educação, uma vez que foi feita uma formação direta com os professores. No
âmbito do programa foi desenvolvido um processo de formação continuada em
matemática para professores que atuam nos iniciais da Educação Básica e
considerou como um dos motivos de sua idealização os resultados apresentados
nas macro-avaliações – SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação
Básica) e a Prova Brasil:
Por outro lado, os desempenhos dos alunos nas macro-avaliações
– SAEB e Prova Brasil – mostram inequivocadamente que os
alunos da 4ª série25 têm dificuldades, por exemplo, em resolver
problemas simples envolvendo as quatro operações com números
naturais [...] Segundo os dados do INEP26 a média dede
desempenho dos alunos da 4ª série do Estado de São Paulo não
atinge na escala SAEB os 200 pontos – mínimo recomendável
para esse nível de escolarização. (Campos et al, 2010, p. 5)
Nosso estudo se desenvolveu no âmbito desse programa acompanhando
as participações dos professores envolvidos nos encontros de formação, nos
25 4ª Série, atual 5º Ano, conforme considerado em nosso estudo. 26 INEP - Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais
134
quais investigamos o conhecimento dos docentes acerca do Campo Conceitual
Aditivo.
Conduzimos o estudo de acordo com as ideias de Bodgan e Biklen (1994)
no tratamento de dados de uma pesquisa do tipo qualitativa, considerando o
ambiente natural dos sujeitos, a característica descritiva desse tipo de pesquisa, o
processo pelo qual se apresentaram os resultados, a forma indutiva de tratar os
dados e a consideração pelas experiências vivenciadas pelos sujeitos da
pesquisa.
Embora o Projeto Observatório da Educação contasse com a participação
de trinta professores dos anos iniciais, selecionamos três, denominadas
Professora A, Professora B e Professora C. Entendemos que dessa forma a
análise dos dados poderia se mais aprofundada.
Estruturamos a coleta de dados em três momentos diferentes dentro da
formação, ou seja, Conhecimentos do professor sobre o Campo Aditivo e sua
atuação pedagógica relacionada a esse conceito:
a) antes dos encontros de formação;
b) durante o processo formativo e
c) depois dos encontros de formação.
Com relação aos conhecimentos do professor sobre o Campo Aditivo antes
dos encontros de formação, seria interessante comentarmos o que percebemos
na trajetória escolar e profissional dessas professoras acerca dos conceitos
matemáticos. Vale lembrar que o tempo médio de carreira das docentes
envolvidas na pesquisa é de vinte anos, o que indica que ingressaram no
magistério no início da década de 1990 e formaram-se, inicialmente, ao final da
década de 1980 e começo da década seguinte. Esse fato nos faz refletir que a
formação inicial de nossos sujeitos de pesquisa ocorreu num período de
mudanças significativas no ensino e aprendizagem da matemática no Brasil e,
embora a Teoria dos Campos Conceituais já estivesse sendo apresentada na
França na década de 80, por aqui, sua influência na educação brasileira ganharia
destaque no ano de 1997 com a elaboração dos PCN, isto é, aproximadamente
seis anos após a formação inicial dessas professoras.
135
Fizemos questão de apresentar essa pequena reflexão antes de
apresentarmos o que concluímos acerca dos conhecimentos sobre o Campo
Aditivo das docentes quando iniciaram a participação no programa de formação
continuada, porque acreditamos que esses conhecimentos podem ser
significativamente influenciados pelas trajetórias escolar e profissional a que
foram submetidas.
Ao analisarmos, por exemplo, o perfil de nossos sujeitos de pesquisa,
percebemos a forte influencia de experiências metodológicas tecnicista
(FIORENTINI – 1995) nos seus depoimentos. Assim, essas docentes podem não
ter construído, significativamente, conhecimentos sobre sua prática, em especial,
acerca de conceitos matemáticos relacionados ao campo conceitual aditivo. Vale
lembrar que experiências como as citadas acima, no âmbito escolar era
desenvolvida de maneira que os alunos não opinassem, e seus saberes não eram
levados em consideração.
É provável, então, que as lacunas em relação a matemática e seu ensino
observadas mesmo antes do professor iniciar sua carreira, podem ter implicado
na dificuldade de atribuir o valor do ensino dessa disciplina na escola e construir
representações e certezas sobre a prática docente (Tardif – 2000).
Para investigar os conhecimentos das professoras A, B e C sobre o Campo
Aditivo antes dos encontros de formação, solicitamos às três que elaborassem
seis situações-problema, envolvendo adições e/ou subtrações no primeiro
encontro.
As situações-problema elaboradas nos mostraram que pelo uma das
professoras parecia ter algum conhecimento sobre Campo Aditivo de acordo com
a Teoria dos Campos Conceituais. Mostraram também que dentre as categorias
de Composição, Transformação e Comparação, a categoria de Composição
prevaleceu sobre as outras duas e pelo menos uma das professoras elaborou
situações-problema que não se enquadravam nas categorias de Campo Aditivo e
sim, nas categorias de Campo Multiplicativo.
Diante disso, percebemos que pelo menos duas das professoras por nós
investigadas, embora elaborassem situações-problema do Campo Aditivo,
pareciam não conhecer a base teórica que fundamenta esse tema.
136
Esse fato nos preocupou por dois motivos, primeiro por constatarmos que o
Campo Aditivo está presente nas questões curriculares do ensino de matemática
para os anos iniciais desde 1997 e o segundo é uma decorrência do primeiro, isto
é, a falta desse conhecimento pode implicar em igual desconhecimento sobre o
ensino e a aprendizagem de conceitos, como adição e subtração, nos anos
iniciais. Nesse sentido concordamos com Shulman (1986) que o domínio do
conteúdo objeto (no caso, o Campo Aditivo) por parte do professor, é muito
importante para sua prática pedagógica .
Percebemos ainda, por meio de questões do questionário de entrada, que
as professoras A, B e C, utilizavam outros pressupostos da Teoria dos Campos
Conceituais, isto é, a consideração pelo saber que o aluno já possui, que também
é defendida pelo autor da Teoria: “[...] os alunos desenvolvem suas competências
ao longo do tempo por meio de situações experimentais que cerceiam sua
vida.[...]” ( VERGNAUD, 2009, p.15). No entanto, pareciam não associar
aspectos ligados a essa teoria à sua prática pedagógica.
Com relação aos conhecimentos do professor sobre o Campo Aditivo
durante o processo de formação continuada, solicitamos decorridos três
encontros que, em grupos, os docentes elaborassem novas situações-problema,
desta vez com algum embasamento sobre a Teoria.
Percebemos que a situação-problema de Composição ainda prevaleceu
nas elaborações dos professores. Notamos também que de acordo com
Vergnaud (2009), os problemas elaborados pelos docentes eram prototípicos, isto
é, problemas em que se observa a compreensão do sentido de adição.
Observamos a utilização, em algumas elaborações das professoras, dos
esquemas de Vergnaud (2009) para representar as estruturas aditivas. Inferimos,
portanto, que uma possível (re) construção dos conhecimentos sobre o Campo
Aditivo, poderia estar se iniciando.
Durante o processo de formação continuada, solicitamos também que cada
professor trabalhasse seis situações-problema do Campo Aditivo com suas
respectivas turmas, produzindo um relatório reflexivo sobre o desenvolvimento da
atividade.
137
Buscamos, nesse momento, observar a reflexão que o professor fez
durante e após sua ação pedagógica no âmbito do Campo Conceitual Aditivo.
Nossa observação foi realizada de acordo com as ideias de Schon (1997) e
Serrazina (1999) que sustentam que o professor pode fazer uma reflexão-na-ação
e depois a reflexão-sobre-a-ação. Esses momentos, segundo Serrazina (1999),
de reflexão do professor podem ser influenciados pela sua autoconfiança que
orienta sua busca por novos conhecimentos a partir da percepção daquilo que
conhece e desconhece sobre determinado conceito.
Um instrumento utilizado para analisar a reflexão sobre a prática foi o
relatório reflexivo. Quatro relatórios reflexivos foram apresentados, pois, a
professora A realizou a atividade com sua turma duas vezes uma vez que
considerou durante uma discussão ocorrida em dos encontros de formação que a
primeira aplicação não estava de acordo com suas concepções pedagógicas.
Vale lembrar que essa professora foi a que demonstrou possuir certo
conhecimento sobre a Teoria dos Campos Conceituais.
Os relatórios da professora A mostraram que sua preocupação era
referente a comanda que fora passada no encontro de formação para trabalhar
com situações-problema do Campo Aditivo procurando estimular a utilização de
diferentes estratégias. Para essa professora, isso não aconteceu na primeira
aplicação. De acordo com seus depoimentos, sua intervenção pode ter
influenciado a escolha da estratégia utilizada por seus alunos.
Santana (2010) referendada em Silva (2008) e Tardif (2000), nos ajudaram
a compreender que a professora A pode ter (re) construído seus conhecimentos
acerca do Campo Aditivo, isto é, ela procurou promover, de acordo com o que foi
narrada em seu segundo relatório, uma “interação social” para permitir a seus
alunos a construção de “novos saberes”. Sua reflexão pode ter levado em
consideração seus saberes “temporais” e “institucionais”, isto é, aqueles
construídos ao longo de sua trajetória escolar e durante sua formação inicial que,
provavelmente, não estavam de acordo com suas práticas pedagógicas atuais.
No relatório da professora B percebemos em sua reflexão sobre a ação
uma forte preocupação em estimular seus alunos a utilizarem diferentes
estratégias na resolução de situações-problema. Acreditamos então que, os
138
encontros de formação possam ter favorecido tal reflexão uma vez que ela parece
ter considerado alguns pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais.
A preocupação com a interpretação das situações-problema ficou muito
clara no relatório reflexivo da professora C. Tentando auxiliar seus alunos a
docente pode ter induzido os estudantes a utilizarem uma adição e/ou subtração
frisando, talvez inconscientemente, na leitura dos problemas as palavras chaves
(ganhou, perdeu, ficou...). Tardif (2000) nos fez refletir sobre o fato levando-se em
consideração a trajetória escolar da professora, que pode ter influenciado a
construção de um comportamento docente similar ao que foi submetida enquanto
aluna.
Desta forma, compreendemos que os encontros de formação podem ter
começado a influenciar a prática pedagógica das professoras A, B e C,
contribuindo, desta forma, para uma possível reflexão permitindo a (re)
construção de conhecimentos acerca do Campo Aditivo.
Com relação aos conhecimentos do professor sobre o Campo Aditivo após
o encerramento dos encontros de formação. Procuramos as professoras nove
meses depois para realizarmos uma entrevista.
Com a entrevista tentamos perceber a possível (re) construção dos
conhecimentos do professor sobre o Campo Aditivo por meio de questões que
pudessem nos indicar o valor, do ponto de vista das docentes, das experiências
vivenciadas nos encontros de formação continuada no âmbito do Observatório da
Educação, a forma como trabalhavam os conceitos de adição e subtração em
situações-problema antes e depois da participação no programa de formação
continuada e a reflexão sobre estratégias pré-estabelecidas de alunos com a
intenção de perceber se as professoras indicariam os pressupostos da Teoria dos
Campos Conceituais ali presentes.
Para as professoras A, B e C, segundo seus depoimentos, as experiências
vivenciadas durante a formação favoreceram a reflexão sobre a prática
pedagógica que adotavam.
A forma como trabalhava com situações-problema do Campo Aditivo
mudou, segundo a professora A, devido a um aumento dos seus conhecimentos
(SHULMAN – 1986) depois da participação no programa de formação continuada.
139
As professoras B e C afirmaram valorizar mais os conhecimentos prévios dos
alunos (VERGNAUD – 2010). Já a professora C em seu depoimento aponta uma
mudança no seu método (SCHON – 1997). Sendo assim, inferimos a importância
que um programa de formação continuada, no âmbito do Observatório da
Educação, pode ter na busca de uma (re) construção de conhecimentos.
Os pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais, quando estratégias
utilizadas na resolução de situações-problema do Campo Aditivo são analisadas,
foram percebidas pelas professoras A, B e C. Na análise que as docentes
realizaram dos três problemas apresentados, perceberam a utilização do cálculo
mental, a influência da palavra “ganhou” na escolha da estratégia do aluno e o
uso de uma representação iconográfica para resolver uma situação subtrativa.
Diante dos dados apresentados e analisados, retornamos a nossa questão
de pesquisa e concluímos que os professores que atuam nos anos iniciais do
Ensino Fundamental, inseridos em um programa de formação continuada podem
(re) construir seus conhecimentos acerca do Campo Aditivo.
Quanto ao processo formativo, consideramos assim como Zeichner (1993),
a importância da reflexão docente sobre a própria experiência. O autor afirma que
o processo de compreensão e transformação do ensino deve iniciar por meio da
reflexão sobre a sua própria prática e que o tipo de saber inteiramente tirado de
outras experiências é, na melhor das situações, pobre e, no pior, uma ilusão
(ZEICHNER, 1993, p.17 ).
Todavia, mesmo considerando que no processo formativo aqui descrito
tenha levado em conta outras experiências, examinando situações e respostas
apresentadas em outros estudos e experiências do grupo de professores, foi
possível perceber durante nossa investigação, o crescimento da disposição
manifestada pelos professores, que demonstraram reconhecer que “o processo
de aprender a ensinar se prolonga durante toda a carreira do professor ” – que,
segundo o autor, é uma importante característica da reflexão. (ZEICHNER, 1993,
p.17).
Contudo, cabe aqui uma última análise sobre o estudo que realizamos.
Embora nossa questão de pesquisa não tenha o foco no estudo da dinâmica de
uma formação continuada, acreditamos que a provável (re) construção de nossos
140
sujeitos de pesquisa sobre o Campo Aditivo, pode ter sido favorecida pela forma
como a formação aconteceu no âmbito do Observatório da Educação, isto é, o
professor em contato direto com pesquisadores e formadores, quebrando o
“repasse da formação” por meio de diversos profissionais que produzem suas
interpretações pessoais muito antes de chegar aos docentes (AGUERRONDO -
2004).
Não pretendemos aqui defender a dinâmica dos encontros no programa de
formação continuada em que nosso estudo foi realizado, mas alertar que talvez
exista a necessidade de se repensar a forma como ocorrem os processos
formativos.
141
Referências
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144
Anexos- A
Jogo pega varetas
Pontuação:
Amarelo: 5
Verde: 10
Vermelha: 30
Preta: 60
145
Anexo – B Anexo 1B - Situação problema da professora A
146
Anexo 2B – Situações-problema da professora B
147
Anexo 3B – Situações-problema da professora C
148
Anexo C Elaboração de situações-problema do Campo Aditivo das professoras durante o
processo formativo.
Anexo – C – Elaborações do grupo da professora A
149
Anexo 2C – Elaborações do grupo das professoras B e C.
150
151
152
153
Anexo E
Relatório Reflexivo da professora B.
154
Anexo F Relatório Reflexivo da professora C.
155
Apêndice A Questionário de entrada – principais questões.
156
Apêndice B
157
Apêndice C
158
Apêndice D