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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO LEIKA WATABE
CARACTERÍSTICAS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS POR
ALUNOS DO 4º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
SÃO PAULO 2012
LEIKA WATABE PROGRAMA DE MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
CARACTERÍSTICAS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS POR ALUNOS DO4º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação submetida à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Orientadora: Prof. Dra. Maria Helena Palma de Oliveira
SÃO PAULO 2012
Watabe, Leika Características da resolução de problemas por alunos do 4º ano do ensino fundamental/ Leika Watabe. São Paulo:[s.n.], 2012. 161f. il. ; 30 cm Dissertação de Mestrado para obtenção do título em Mestre em Educação Matemática. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo. Orientadora: Prof. Dra. Maria Helena Palma de Oliveira. 1. Educação Matemática. 2.Resolução de problemas. 3. Campos Conceituais. 4. Competência leitora. 5. Interação na aprendizagem. 6. Anos iniciais. I. Título
LEIKA WATABE
CARACTERÍSTICAS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS POR
ALUNOS DO 4o. ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDEIRANTE
DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS-
GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Presidente e Orientadora
Nome: Profa. Dra. Maria Helena Palma de Oliveira
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN
Assinatura:___________________________________________
2o. Examinador
Nome: Prof. Dr. Armando Traldi Júnior
Instituição: Instituto Federal de São Paulo
Assinatura:_____________________________________________
3a. Examinadora
Nome: Profa. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN
Assinatura:_____________________________________________
Biblioteca
Bibliotecário:____________________________________________
Assinatura:_______________________________Data___/___/___
São Paulo, 20 de abril de 2012.
Dedico este trabalho ao meu pai, Akira (in memorian) e à minha mãe Matsuye, que sempre com carinho e dedicação, nunca mediram esforços para nos proporcionar a melhor educação e o melhor da vida.
Aos meus irmãos e sobrinhos - amigos de todas as horas – Fumio, Helena, Mally, Sandra e Cláudio.
Agradecimentos
Meus profundos agradecimentos à minha orientadora Professora Doutora
Maria Helena Palma de Oliveira, pelos seus ensinamentos e dedicação com que
realizou as orientações para que este trabalho pudesse se concretizar e, ainda, por
ter sempre valorizado minhas produções.
Aos professores que compuseram a banca examinadora Professor Doutor
Armando Traldi Júnior e Professora Doutora Angélica da Fontoura Garcia Silva que,
com carinho, acolheram esta pesquisa, e com grande competência deram
contribuições valiosas para que alguns aspectos fossem melhorados e lacunas
fossem preenchidas.
A todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo, os quais, cada um com
seus saberes, contribuíram para me inserir no mundo da pesquisa na Educação
Matemática.
Aos meus colegas do mestrado com quem sempre pude dividir os medos e as
angústias, em particular à Adriana e ao Ronaldo.
A todos os alunos, desses longos anos de docência, com os quais tive a
alegria e o prazer de contribuir para abrir um pouco mais o horizonte desse vasto e
maravilhoso mundo do conhecimento. Aos alunos e professora que participaram
desta pesquisa, sem os quais seria impossível este trabalho.
Às minhas amigas de sempre, que estão há tempo atuando, ora ao meu lado
a lado, ora à distância, mas sempre presentes quando necessito. São profissionais
de referência na educação: especialmente à Regina Câmara que leu as primeiras
linhas deste trabalho, à Rosanea Mazzini (que desde o início abriu as portas da
escola em que atua como diretora para a pesquisa piloto) e Angela Figueiredo que,
em meio a tantos afazeres profissionais e pessoais, gentilmente, encontraram
algumas horas para revisar parte desta dissertação.
À Elenita Beber e à Rosa Antunes que “mesmo que a distância diga não”,
carinhosamente têm torcido por mim. À Ione Cardoso, Margareth Buzinaro e Sílvia
Ferrari, amigas e colegas na árdua jornada diária na Secretaria Municipal da
Educação que ouviram pacientemente as minhas angústias e preocupações, sempre
com vozes de incentivo. À Suzete Borelli pelo incentivo inicial.
Outro agradecimento especial: ao Wagner Palanch e Fábio Luís Villani que,
mesmo sendo colegas recentes, contribuíram com seu conhecimento do inglês no
Abstract.
Não poderia deixar de agradecer à querida professora e mestra Telma Weisz
pelos ensinamentos sobre a didática da alfabetização que constituiu um marco
divisor no meu percurso profissional, além de ter colaborado nesta pesquisa com
indicações bibliográficas.
Aos meus familiares, que sem a paciência e o suporte que cada um deles me
ofereceu, nada me seria possível. A todos, minha profunda e eterna gratidão!
RESUMO
WATABE, L. – Características da resolução de problemas de alunos do 4º ano do Ensino Fundamental. 2012. 161f. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 20121 Este trabalho de pesquisa teve como objetivo analisar as características da resolução de problemas matemáticos de um grupo de 26 alunos do 4º ano do ensino fundamental de uma escola municipal da cidade de São Paulo. Para esta investigação foram planejadas e propostas atividades aplicadas pela própria pesquisadora. Fundamentalmente, a questão central neste trabalho é a reflexão sobre do uso da linguagem para o desenvolvimento dos conceitos matemáticos dos alunos, o que justifica que tenha sido ancorado pelos estudos de Gèrard Vergnaud, Lev Vigotski, Keneth Goodman, McGinitie et al. e Angela Kleiman. Na análise dos dados coletados, tomou-se como base a perspectiva da formação de conceitos das operações, bem como o viés do processamento de leitura na compreensão do texto típico de resolução de problemas. Os dados também foram analisados considerando o papel da interação no avanço da aprendizagem desses alunos, tanto em ocasiões em que o que está em jogo é a compreensão dos aspectos linguísticos como em ocasiões em que o domínio do campo conceitual de estruturas aditiva e multiplicativa foi determinante para a resolução da situação-problema. Assim, os dados foram analisados em dois grandes eixos: o domínio dos conceitos matemáticos que implicaram no desempenho dos alunos na resolução dos problemas e os aspectos da linguagem que influenciaram nos modos de resolver os problemas.Em tarefas que foi preciso ler o enunciado para resolver o problema, verificou-se que mais da metade dos alunos conseguiu identificar as ideias das estruturas aditiva e multiplicativa implicadas nos enunciados. Em relação ao domínio dos conceitos de estruturas aditiva e multiplicativa, observou-se que o esquema imediatamente evocado pelos alunos para a resolução é o algoritmo convencional, até para casos em que a operação situou-se no domínio do cálculo mental. Quanto ao processo de leitura que influenciou na resolução de problemas, foi observado que poucos alunos apoiaram-se nas palavras-chave para selecionar a operação pertinente à resolução do problema. Os resultados apontam que as estratégias de leitura também parecem ter implicação no entendimento do enunciado de problemas. A análise cujo foco foi o uso da linguagem na interação confirma a importância deste aspecto para a criação da Zona de Desenvolvimento Proximale para a aprendizagem decorrente da interação nesse espaço de ação na prática de ensino. Palavras-chave: Educação Matemática, Resolução de problemas, Campos Conceituais, Competência leitora, Interação na aprendizagem, Anos iniciais.
1 Orientadora: Dra Maria Helena Palma de Oliveira
ABSTRACT
This research aimed to analyse the math solving problems characteristics in a 26 students group from 4th grade in a public school in the city of São Paulo. For this investigation it was planned and proposed applied activities by the researcher. The main question of this work is the reflection about the language used to develop math concepts by students, justified by the theorical researchers as Gèrard Vergnaud, Lev Vigotski, Keneth Goodman, McGinitie et al. e Ângela Kleiman. By the analysis from the collected data it was taken as base the perspective of operation concepts formation, as well the reading processment to comprehend the typical text to solve math problems. The data was also analysed considering the importance of interaction to improve the students learning, both to comprehend the linguistic aspects as well as to command additive and multiplicative structures to solve the problem situation. So, the data was analysed using two focus: to domain math concepts that were implicated on students development and language aspects that influenced the ways to solve the problems. During the tasks where it was needed to read phrases to solve problems, we verified that half of students were able to identify the ideas of additive and multiplicative concepts domain, we verified that the scheme immediately used by students to solve them are the conventional algorithm, until in cases were situated on mental calculation. On relation to the reading process that influenced the problems resolution we verified that few students used the key words to select the correct operation to solve the problem. The results point to the reading strategies that seem to have implications on problem statements understanding. The analysis whose focus was the use of language in interaction confirms the importance of this aspect to create the zone of proximal development and to the learning resulting from the interaction in this action space in the learning practice. Key words: Mathematics Education, Solving Problems, Conceptual Field, Reading Competence, Learning Interaction, Primary Course
LISTA DE FIGURAS
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Figura 6
Figura 7
Figura 8
Figura 9
Figura 10
Figura 11
Figura 12
Figura 13
Figura 14
Figura 15
Figura 16
Figura 17
Figura 18
Figura 19
Modelo de diagrama para problemas de composição.........................
Modelo de diagrama para problemas de transformação.....................
Modelo de diagrama para problemas de comparação.................. ......
Procedimento de cálculo da aluna G. ................................................
Procedimento de resolução do aluno G.J. ..........................................
Procedimento de resolução do aluno V.F. ...........................................
Procedimento de resolução utilizado pelo aluno W.............................
Procedimento de resolução do aluno G.J...........................................
Procedimento de resolução de um problema de combinatória...........
Procedimento de resolução de um problema de combinatória............
Resolução do aluno V.F. ....................................................................
Algoritmo da adição com erro no procedimento .................................
Algoritmo da subtração com erro no procedimento............................
Algoritmo da multiplicação efetuado por T. ........................................
Algoritmo da multiplicação efetuado pela aluna M.B..........................
Algoritmo produzido pela aluna Y. ......................................................
Esquema de diferentes procedimentos de cálculo proposto
por NCTM ...........................................................................................
Representação da resolução de M.B ..................................................
Representação da resolução por B. ....................................................
33
33
34
84
88
91
108
108
109
110
111
112
112
113
113
113
117
122
126
LISTA DE TABELAS E QUADROS
Quadro 1
Quadro 2
Tabela 1
Tabela 2
Quadro 3
Quadro 4
Quadro 5
Quadro 6
Quadro 7
Quadro 8
Quadro 9
Quadro 10
Quadro 11
Quadro 12
Quadro 13
Quadro 14
Quadro 15
Quadro 16
Tabela 3
Exemplos de categorias de Vergnaud .................................................
Classificação das situações-problema das estruturas aditivas ...........
Classificação das situações-problema ................................................
Desempenho dos alunos na resolução de problemas ........................
Análise de desempenho da situação P1 .............................................
Análise de desempenho da situação P2..............................................
Análise de desempenho da situação P3 .............................................
Análise de desempenho da situação P4..............................................
Análise de desempenho da situação P5 .............................................
Análise de desempenho da situação P6 .............................................
Análise de desempenho da situação P7..............................................
Análise de desempenho da situação P8 .............................................
Análise de desempenho da situação P9..............................................
Análise de desempenho da situação P10............................................
Análise de desempenho da situação P11............................................
Análise de desempenho da situação P12 ...........................................
Análise de desempenho da situação P13............................................
Análise de desempenho da situação P14 ...........................................
Porcentagem de acerto na situação E9...............................................
35
56
79
80
81
82
82
83
83
84
85
85
86
86
87
89
89
90
101
SUMÁRIO
1
2
2.1
2.2
2.3
2.4
3
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5.
5.1
5.2
5.3
6.
INTRODUÇÃO..........................................................................................................
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E CONCEITUAL....................................................
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA..........................
CONTRIBUIÇÃO DA TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS...............................
CONTRIBUIÇÃO DA ABORDAGEM SÓCIO-HISTÓRICA.......................................
PROCESSOS DE LEITURA E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS.........................
ALGUNS ESTUDOS SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NAS SÉRIES
INICIAIS....................................................................................................................
MÉTODO..................................................................................................................
DESCRIÇÃO DOS INSTRUMENTOS DE COLETA.................................................
O CONTEXTO DO AMBIENTE DE INVESTIGAÇÃO: CARACTERIZAÇÃO
DA ESCOLA E DOS SUJEITOS DA PESQUISA.....................................................
O CONTEXTO DA REALIZAÇÃO DA PESQUISA EPROCEDIMENTO DE
COLETA....................................................................................................................
ETAPAS DA PESQUISA..........................................................................................
PROCEDIMENTOS DE ANÁLISE............................................................................
ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS..................................................................
DESEMPENHO DOS ALUNOS: UM PANORAMA INICIAL.....................................
IMPLICAÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS NO DESEMPENHO DOS
ALUNOS...................................................................................................................
UTILIZAÇÃO DA LINGUAGEM NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
MODOS DE PROCEDIMENTO DE LEITURA E CIRCULAÇÃO DO
SABER......................................................................................................................
CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................................................
13
19
19
26
38
46
53
62
62
63
65
67
77
79
79
105
118
132
REFERÊNCIAS..................................................................................................................
APÊNDICES.......................................................................................................................
APÊNDICE A– MODELO DE QUESTIONÁRIO APLICADO AOS ALUNOS.....................
APÊNDICE B– MODELO DE QUESTIONÁRIO APLICADO À PROFESSORA................
APÊNDICE C– MODELO DE ATIVIDADES PROPOSTAS AOS ALUNOS.......................
APÊNDICE D – TABULAÇÃO DOS DADOS COLETADOS DA ENTREVISTA
COM OS ALUNOS...................................................................................
APÊNDICE E – ENTREVISTA INICIAL COM A PROFESSORA.......................................
138
141
141
143
146
150
153
ANEXOS............................................................................................................................
ANEXO A– AUTORIZAÇÃO À DIRETORIA REGIONAL DEEDUCAÇÃO........................
ANEXO B -TERMO DE RESPONSABILIDADE DA ESCOLA...........................................
ANEXO C– MODELO DE TCLE – PROFESSOR.............................................................
ANEXO D– MODELO DE TCLE – MENOR......................................................................
156
156
157
158
160
13
1 INTRODUÇÃO
Durante um longo período da experiência docente nas turmas do Ensino
Fundamental I, nas redes pública e privada, o objeto de ensino de meu maior
interesse era a alfabetização, não só no sentido estrito, ou seja, na compreensão do
sistema alfabético de escrita, mas também no sentido mais amplo, isto é, o uso que
se faz da leitura e da escrita nos diferentes contextos sociais. Assim, as pesquisas
de Emília Ferreiro às quais tive acesso em meus estudos, nos espaços de formação,
exerceram grande influência na minha prática, que esteve voltada para que o ensino
da leitura escrita, mesmo na fase inicial, sempre ocorresse em contexto da cultura
escrita.
A alfabetização, entendida apenas como domínio da técnica de ler e
escrever, ou seja, um trabalho que visa à decodificação de sinais gráficos, sabemos
hoje, implica formar sujeitos que, mesmo dominando o sistema alfabético – o
código – não conseguem atribuir sentido ao que leem, mesmo em textos simples
como bilhetes. Essa prática não forma o sujeito para que faça o uso da leitura e da
escrita de maneira eficiente, um recurso a favor do seu próprio desenvolvimento
pessoal e profissional. Esse fato traz como consequência a dificuldade de o sujeito
participar plenamente nas atividades sociais, tomando consciência da realidade e
sendo capaz de transformá-la.
Ter no meu trabalho pedagógico a preocupação no que se refere à leitura e
escrita não significou que, ao ensino da Matemática, fosse atribuída menor
importância. E, ao ser coerente com a ideia de inserir as crianças na cultura escrita
no ensino da leitura, da escrita e da Matemática, também era a minha preocupação
que os alunos pudessem atribuir sentido aos conteúdos referentes a essa área.
Assim, era preciso que eles pudessem perceber a razão, por exemplo, de aprender
a utilizar números, de realizar cálculos, e o ponto de partida parecia ser a
aproximação desses conteúdos ao uso social.
As orientações contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais apontavam
um caminho que contemplava essa necessidade: o recurso à resolução de
problemas, mas tomando esse pressuposto como ponto de partida, para que os
alunos coloquem em jogo todo o conhecimento construído para buscar soluções que
ainda não conhecem, ou seja, a necessidade de que precisem elaborar algum plano
de ação – estratégias – para buscar uma resposta.
14
Essa perspectiva de ensino apontava um percurso contrário ao que
tradicionalmente o ensino vinha fazendo, qual seja: a proposição de situações-
-problema era planejada para que os alunos aplicassem as técnicas operatórias
aprendidas, ou seja, era um pretexto para a utilização daquelas técnicas. A minha
prática não era tão diferente da maioria, e ter essa clareza, de um sentido oposto
sobre a resolução de problemas foi importante para começar a entender as
dificuldades que os alunos apresentavam nessa tarefa de resolver problemas. Esse
entendimento, porém, situava-se, ainda, em nível um tanto incipiente dentro da
minha concepção de ensino.
A aprendizagem de Matemática também requer do aluno a capacidade de
utilizar a linguagem, quer seja explicitando – argumentando – os procedimentos de
resolução ou realizando leitura de textos escritos, como os enunciados de atividades
para resolver um problema matemático. E essa tarefa de ler um texto para identificar
a operação que resolve a situação-problema, quase sempre constituía uma grande
dificuldade a ser superada pelos alunos e, também, de minha parte, em buscar boas
intervenções que os fizessem avançar. Tal dificuldade encontrou e encontra
consonância com grande parte dos docentes. E, de fato, posteriormente, já como
formadora de professores, em curso de formação continuada, foi possível observar
que essa problemática também sempre emerge no espaço de discussão das
práticas.
O fato de muitos alunos realizarem uma leitura fluente, não necessariamente
coincide com a proficiência leitora, ou seja, a compreensão de fato do texto lido. Em
particular, em textos de problemas matemáticos – em que estão envolvidas as ideias
de estruturas aditiva e multiplicativa – parece que o que está em jogo para o
sucesso na resolução, não são apenas as questões linguísticas, mas também
aquelas referentes ao que já foi construído sobre os conceitos das operações, que
passa pelas diferentes ideias das referidas estruturas e de uma diversidade de
situações que propicia a construção dos tais conceitos. Essa foi a primeira
aprendizagem que tive a oportunidade de assimilar a partir dos contatos iniciais com
a Teoria dos Campos Conceituais proposto pelo pesquisador Gèrard Vergnaud.
Portanto, é a partir dessa temática que a presente pesquisa se desencadeará,
porque uma questão esteve sempre em evidência na minha experiência como
professora: o ensino e a aprendizagem da Matemática, especificamente, a
dificuldade do ensino e da aprendizagem de resolução de problemas de estruturas
15
aditivas e multiplicativas, cujos enunciados são apresentados por escrito aos
alunos.
Justificativa
A prática escolar tem evidenciado a existência de alunos que, embora
realizem a leitura de uma situação-problema com autonomia, muitas vezes, não
conseguem identificar que operação matemática pode resolvê-lo.
Esse fato se confirma nos relatos em diferentes encontros de formação
continuada e também em horários de estudos coletivo – acompanhados pela
Secretaria Municipal de Educação de São Paulo, junto às escolas – em que os
professores relatam algumas dificuldades que os alunos geralmente apresentam na
resolução de problemas, como por exemplo:
Em relação aos alunos que apresentam dificuldades na resolução de
problema, a grande questão está no fato de não conseguirem compreender
os enunciados escritos.
Alguns alunos que não dominam o sistema de escrita conseguem resolver a
situação, quando a professora lê o enunciado para ele.
Outros alunos que realizam leitura com autonomia, apresentam dificuldades
na sua resolução.
Desses alunos que realizam a leitura com autonomia, alguns apresentam
dificuldade também na interpretação dos enunciados de problemas
matemáticos e em outros gêneros textuais, enquanto alguns outros alunos
apresentam dificuldades de interpretação apenas nos enunciados de
problemas matemáticos.
Essas dificuldades também foram citadas por um grupo de professores
pesquisados por Guimarães e Vasconcelos (2007). Nesse trabalho, os docentes
atribuem como uma das maiores dificuldades dos alunos na resolução de
problemas, a interpretação do problema, ou seja, os alunos apresentam dificuldades
em selecionar a operação necessária para resolver os problemas aditivos por não
conseguirem interpretar a situação proposta.
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Também sobre esse tema, Smole e Diniz (2011) afirmam que é frequente os
professores alegarem que as dificuldades que os alunos apresentam na
compreensão de um problema ou exercício matemático estão relacionadas à pouca
competência na leitura, e esses professores acreditam, ainda, que se o aluno tivesse
mais fluência na leitura nas aulas de língua materna, consequentemente seria um
melhor leitor nas aulas de matemática. (SMOLE e DINIZ, 2011)
Por outro lado, os resultados das avaliações processuais, dentro das
escolas, bem como as avaliações dos diferentes níveis institucionais (Prova Brasil2·,
Provas São Paulo3) têm sido fontes de informações objetivas do desempenho,
sempre insatisfatórios, em relação aos conhecimentos matemáticos.
Em geral, a resolução de atividades dessas avaliações requer dos alunos a
realização de leitura e os que ainda não estão alfabetizados – no sentido estrito – ou
com baixa proficiência na leitura, muitas vezes não contam com nenhuma ajuda no
sentido de acessar o texto dos enunciados, o que pode prejudicá-los na realização
das atividades, impedindo-os, dessa forma, de serem avaliados na competência
matemática.
Assim, justifica-se esta pesquisa que pretende contribuir para entender alguns
dos fatores que influenciam na resolução de problemas, tendo como referência o
desempenho de um grupo de 26 alunos do 4º ano do Ensino Fundamental.
Problemática
Tradicionalmente, a maioria das propostas de resolução de problemas
colocada aos estudantes dos anos iniciais requer do aluno sempre o mesmo tipo de
raciocínio. No campo aditivo, as situações propostas são quase sempre as que
exigem o mesmo tipo de raciocínio, como é o caso, por exemplo, da classe de
2 A Prova Brasil é uma avaliação em larga escala, desenvolvida pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
Educacionais Anísio Teixeira (Inep/MEC) e tem o objetivo de avaliar a qualidade do ensino oferecido pelo sistema educacional brasileiro a partir de testes padronizados e questionários socioeconômicos. É aplicada censitariamente nas 4ª. e 8ª. séries ( quinto e nono anos) do ensino fundamental. São testes em que os alunos respondem a itens de língua portuguesa - com foco na leitura - e matemática - com foco na resolução de problemas. http://portal.mec.gov.br/
3 A Prova São Paulo, é um dos instrumentos que compõe o Sistema de Avaliação de Aproveitamento Escolar
dos Alunos da Rede Municipal de Ensino de São Paulo, de características de avaliação externa e de larga escala. Realizada anualmente para todas as séries do Ensino Fundamental a partir do 2º ano do Ciclo I, de forma censitária para os 2º e 4º ano do Ciclo I, 2º e 4º ano do Ciclo II do ensino de oito anos e de forma amostral para o 3º anos do Ciclo I e II. http://portalsme.prefeitura.sp.gov.br
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problemas denominada composição, da estrutura aditiva. Na maioria dos casos, são
dadas as partes, e se pede a busca do todo, ou, ainda, nos problemas de
transformação, informa-se o estado inicial e intermediário e solicita-se buscar o
estado final. Além disso, alguns alunos resolvem o problema, apoiando-se em
algumas palavras-chave para identificar a operação a ser realizada para encontrar a
solução.
Esse fato foi observado na pesquisa de Mendonça et al (2007), cujo objetivo
era diagnosticar o domínio das estruturas aditivas nos estudantes de 1º ao 4º ano
do Ensino Fundamental, em dois contextos distintos – na região metropolitana de
São Paulo e zona rural da Bahia. Nessa pesquisa, constatou--se que os estudantes
dos dois grupos partem de patamares muito próximos no primeiro ano, havendo um
aumento na taxa de acerto à medida que avançam nos anos escolares,
principalmente nos problemas protótipos e de primeira extensão. As classificações
das situações-problema de estruturas aditiva e multiplicativa serão detalhadas
posteriormente.
Esse estudo ressalta também outro evento que influenciou o desempenho dos
alunos, e que se refere à congruência semântica com a operação a ser realizada,
isto é, o sucesso (ou não) dos estudantes pode estar associado ao fato de alguns se
apoiarem na associação de termos com a operação a ser realizada (exemplo:
ganhou com a operação de adição, perdeu, deu, tirou com a de subtração).
As autoras da pesquisa apontam, ainda, o impacto da leitura na solução de
situações-problema matemático. A questão apresentada é: O quanto do não
sucesso se deve efetivamente ao domínio das estruturas aditivas ou à falta de
compreensão do texto?
Elas firmam que:
Certamente, tanto a linguagem quanto o ensino interferem no desempenho na solução dos problemas, mas o quanto cada um destes fatores é responsável é uma questão difícil de responder porque existem estudos apontando nas duas direções, enquanto Vergnaud (1982) e Magina et al. (2001) explicam pelo desenvolvimento da estrutura aditiva, Guimarães (2005) e Hudson (1983), acenam que a dificuldade na resolução destes problemas passam pela compreensão linguística. (MENDONÇA et al, 2007, p.237)
18
As pesquisadoras reconhecem que o estudo revela certa interferência da
linguagem na resolução dos problemas, porque os alunos apresentaram
desempenho melhor já no primeiro ano, em problemas que não contêm as palavras-
chave, apesar de que
...essas dificuldades parecem ser superadas pelo ensino em São Paulo, não havendo indícios que isso esteja acontecendo na Bahia. Isto é, provavelmente o professor não trabalha diferentes situações que possibilitem a expansão e domínio do campo conceitual aditivo. (MENDONÇA et al, 2007, p.237)
Corso (2008) também realizou uma investigação, buscando compreender as
relações entre as dificuldades na leitura e na Matemática em alunos do 3º ao 6º ano
do ensino fundamental. Esse estudo evidencia que compreender essa relação
implica superar a visão de que a dificuldade em matemática tem a origem na
dificuldade de leitura. Porém, a pesquisadora reconhece que para uma determinada
parcela de estudantes, essa constatação é verdadeira, pois esses não realizaram
uma leitura fluente o que acabou por prejudicar seu desempenho na resolução de
problemas matemáticos. Mas, por outro lado, foram observados alunos que
realizavam uma leitura fluente, porém apresentavam dificuldades na Matemática e,
ainda, aqueles que não tinham um bom desempenho na leitura, mas realizavam com
êxito as atividades matemáticas. Diante dessa diversidade, Corso afirma que é
preciso considerar esses grupos separadamente, procurando evidenciar quais os
processos cognitivos que estão subjacentes às dificuldades na aprendizagem da
leitura e da matemática. (CORSO, 2008, p.179).
As constatações apresentadas por esses estudos abrem uma perspectiva
para que esta pesquisa busque resposta para a seguinte questão:
Quais são as possibilidades e dificuldades de um grupo de estudantes do 4º
ano do Ensino Fundamental, ao resolver problemas, considerando:
1– o domínio (ou não) dos campos conceituais, segundo Vergnaud?
2– os fatores relacionados à competência leitora?
3– os processos de interação em contexto de aprendizagem em sala de
aula?
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2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E CONCEITUAL
Uma vez que esta pesquisa está voltada para analisar os fatores conceituais
e linguísticos que influenciam no desempenho para resolver os problemas das
estruturas aditivas e multiplicativas, e ainda analisar os modos de interação que
também podem favorecer ou não o avanço dos alunos, buscamos o aporte teórico
em Gérard Vergnaud, na Teoria dos Campos Conceituais, por apresentar um quadro
teórico que contribui para entender aspectos que se relacionam com a construção
pelos alunos dos conceitos das operações matemáticas e, assim, possibilitar
entender parte das dificuldades de alguns alunos na resolução de problemas.
Os estudos de Lev Vigotski também são de grande relevância para este
trabalho porque nos fornecem importantes subsídios sobre a relação pensamento-
linguagem e a importância das interações na criação da Zona de Desenvolvimento
Proximal. E, para entender os fatores que influenciam na compreensão do texto
típico de resolução de problemas pelos alunos, tomamos como referência autores
que defendem a visão de leitura como de interação entre o leitor e o texto, como
Keneth Goodman, Angela Kleiman e Isabel Solé.
Assim, acreditamos que esses referenciais teóricos contribuem na reflexão
sobre os fatores que condicionam o desempenho dos alunos, sujeitos desta
pesquisa, na resolução de problemas das estruturas aditivas e multiplicativas.
Antes de seguir a apresentação dos pontos fundamentais das abordagens
desses teóricos, é fundamental apresentar as discussões ocorridas, no que diz
respeito à Resolução de Problemas no cenário mundial e no contexto brasileiro.
2.1 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Na abordagem de Resolução de Problemas como uma metodologia de ensino, o aluno tanto aprende matemática resolvendo problemas como aprende matemática para resolver problemas. (ONUCHIC, 1999)
Frente às mudanças industriais e tecnológicas que a sociedade
contemporânea impõe, as atualizações no ensino da Matemática tornam-se cada
vez mais necessárias e, desse modo, cabe à escola formar sujeitos cada vez mais
20
competentes nessa área de conhecimento. Os movimentos de reforma curricular do
ensino da matemática ocorreram no cenário mundial para atender a essas
demandas e, em cada reforma, estiveram subjacentes diferentes concepções de
ensino e aprendizagem.
Assim, houve períodos em que o ensino esteve permeado pela crença de
que o aluno aprendia pela repetição e a memorização, em outros a preocupação era
a de que os estudantes pudessem aprender matemática de forma compreensiva.
Mais recentemente, houve a ênfase no ensino da matemática estruturada e na
formalização da linguagem matemática, de modo que não se podia estabelecer uma
relação com a matemática do cotidiano. Em todas essas concepções de ensino da
Matemática a preocupação estava em transmitir conhecimento, não colocando o
sujeito da aprendizagem como aquele que constrói o seu conhecimento.
Embora as diferentes concepções do ensino da matemática tenham sido
desencadeadora das reformas, Onuchic (1999) afirma que a preocupação da escola,
em apresentar problemas matemáticos aos alunos, pode ser observada desde a
Antiguidade. Também se registraram as experiências de Dewey entre 1896 e 1904,
que propunha estudos com base em projetos que reproduziam as situações
socioeconômicas (estudo/resolução de problemas de interesse da comunidade), o
que contribuía segundo aquele autor para o desenvolvimento do espírito crítico pelas
crianças. (ANDRADE,1998, apud ONUCHIC,1999 p. 201).
Mas o tema resolução de problemas foi tratado como objeto de esse para
professores, apenas a partir da obra de Polya, em 1945, no seu livro How to solve it.
Havia, ainda na década de 1950, nos Estados Unidos, a crença de que para
desenvolver a capacidade de resolver problemas, os alunos precisavam exercitar-se
resolvendo uma grande quantidade de problemas. (GAZIRRE, 1989, apud
ONUCHIC, 1999).
Um ensino que valorizava mais os produtos das soluções em detrimento do
processo implícito empregado pelos alunos também foi questionado por Bloom e
Broder, que buscaram entender os processos de resolução utilizados por alunos que
tinham bom desempenho naquelas tarefas (ONUCHIC, 1999)
No final dos anos 1970, a discussão sobre Resolução de Problemas ganhou
destaque no cenário mundial e já em 1980, foi editada nos Estados Unidos uma
21
publicação do NCTM – National Council of Teacher of Mathematics4 – na Agenda for
Action Recommendations for School Mathematics of the 1980‟s, que refletia uma
preocupação dos educadores matemáticos na busca de uma educação matemática
de qualidade para todos. Essa tendência transformou-se em um movimento de
reação à ideia de tratar o ensino da Matemática como transmissão de um conjunto
de fatos, domínio de procedimentos algorítmicos ou como um conhecimento
decorrente de rotina de exercício mental (ONUCHIC, 1999).
Dentro desse contexto, e seguindo as tendências colocadas pelo NCTM,
os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1997), apontam a Resolução de
Problemas como um recurso para o ensino da Matemática, buscando, para isso,
argumentos na História, referindo ao fato de que a Matemática foi construída pelas
questões que se originavam em diferentes contextos que demandavam responder
problemas de ordem prática e também problemas relacionados a outras ciências
(BRASIL,1997, p. 42).
Os PCN também apontam uma preocupação em relação a como tem sido o
uso dos problemas no ensino ao afirmar que:
Todavia, tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados como forma de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos. (PCN, 1997, p. 42)
Ou seja, nesse caso, o problema estaria a serviço de avaliar a aprendizagem
dos alunos de conceitos ou de técnicas anteriormente ensinados.
Os PCN, ao apontarem a Resolução de Problema como um eixo
metodológico – assim como propõe o NCTM – consideram, portanto, o problema um
elemento desencadeador do processo de construção do conhecimento, contribuindo
para a formação dos conceitos, antes mesmo de sua apresentação em linguagem
matemática formal (ONUCHIC, 1999).
4 NCTM é uma organização profissional - uma autoridade em Educação Matemática - que tem o
objetivo de apoiar os professores para que garantam aos alunos acesso ao ensino e aprendizagem da
matemática de qualidade.
Fonte: http://www.nctm.org/mission.aspx
22
Dessa forma, o posicionamento dos PCN Matemática afirma que o ponto de
partida da atividade matemática é a situação-problema e não uma definição como se
costuma fazer tradicionalmente. (PIETROPAOLO, 1999).
Vale destacar a observação de Onuchic (1999), no que se refere à
preocupação das orientações feitas aos professores, durante a década de 1980,
quanto aos investimentos para colocar a resolução de problemas como ponto central
no trabalho em sala de aula. Apesar de grandes esforços em sugerir atividades e
orientações aos professores, não indicou a direção necessária a um bom resultado,
e esse fato aconteceu, provavelmente, pelos diferentes entendimentos de pessoas e
grupos sobre o significado de Resolução de Problemas como foco do ensino da
Matemática.
Para explicar essas diferentes concepções, a autora cita Schroeder e Lester
(1989), que colocam três perspectivas de Resolução de Problemas, quais sejam:
ensinar sobre resolução de problemas, ensinar a resolver problemas e ensinar
Matemática por meio da resolução de problemas.
Não por coincidência, a pesquisa realizada por Pietropaolo (1999) – voltada
para a análise exarada pelos especialistas sobre o documento Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental – revela diversidade de
concepções dos pareceristas, no que diz respeito à Resolução de Problemas como
atividade essencial em Matemática, o que causou polêmicas, justamente pelos
diferentes significados atribuídos à questão. Alguns pareceristas consideram a
Resolução de problemas como um
Processo de desenvolvimento de estratégias e recursos heurísticos para otimizar a aprendizagem de como resolver problemas. As estratégias heurísticas devem ser exploradas, ensinadas e desenvolvidas, em etapas, em sala de aula, constituindo assim em um conteúdo. (PIETROPAOLO, 1999, p.160)
Outros pareceristas, ainda, consideraram ingênua a dimensão dada pelo
documento (PCN) à Resolução de Problemas, alegando que a sua utilização pode
não ser apropriada para desenvolvimento de determinado conteúdo; não poderia ser
considerada, portanto, uma metodologia de ensino, segundo Pietropaolo (1999).
Sobre essa controvérsia do que se entende por Resolução de Problemas e
sobre a sua função, o autor faz referência também à análise de Fiorentini (1993)
sobre os trabalhos sobre a produção científica em cursos de pós-gradução, em que,
23
igualmente, constatou uma diversidade de entendimento sobre o assunto, como
segue:
Método de ensino que pressupõe a abordagem de todo e qualquer conteúdo no contexto de situações-problema.
Habilidade cognitiva estreitamente relacionada à natureza e ao significado dos conteúdos envolvidos cuja aprendizagem pode ser otimizada mediante estratégias especiais de ensino.
Estratégia ou habilidade cognitiva estreitamente relacionada ao contexto sociocultural.
Processo especial constituído de etapas com recursos e estratégias heurísticas próprias, as quais devem ser exploradas, ensinadas e desenvolvidas em sala de aula. (PIETROPAOLO, 1999, p.163 e 164)
Segundo Pietropaolo (1999), a perspectiva de Resolução de Problemas
como um recurso para ensino e aprendizagem da Matemática, difundida nos PCN,
não é a única presente nesse documento, pois nele também há referências à
dimensão da Resolução de Problemas como conteúdo e como aplicação de
conteúdo, ainda que não com o mesmo peso da primeira função. (PIETROPALO,
1999, p.168)
Onuchic (1999) é categórica ao afirmar que o ensino da Matemática com base
na resolução de problemas é uma recomendação do NCTM porque possibilita a
construção de conceitos e habilidades matemáticas. E, convergindo com essa
recomendação, a posição dos PCN, é clara, como destaca Pietropaolo (1999): a
Resolução de Problema como eixo organizador do processo de ensino e
aprendizagem de Matemática possibilita, então, o desenvolvimento de habilidades e
estratégias cognitivas pelos alunos.
O entendimento da Resolução de Problemas como eixo metodológico para o
ensino e a aprendizagem da Matemática e na perspectiva da situação--problema
pressupõe as seguintes considerações: a de que os conceitos e procedimentos
matemáticos são formados pelos estudantes por aproximações sucessivas quando
resolvem uma diversidade de situações; e, ainda segundo Vergnaud (1996), de que
a essência do desenvolvimento cognitivo é a conceituação; o que confere sentido ao
conceito são as situações.
Os autores citados a seguir, nessa mesma corrente de pensamento,
abordam as ideias sobre as situações-problema.
24
Para Macedo (2002), uma situação-problema supõe considerar uma direção
que confere um valor ao sujeito que é convidado a superar obstáculos, fazer
progressos em favor do que considera melhor em qualquer esfera social. Na escola,
por exemplo, uma situação-problema assim se configura quando são propostas
situações por meio de artifício ou de simulação, o que não implica criar um pretexto,
mas delimitar um contexto de reflexão, colocação de problema, conflito, raciocínio,
tomada de posição, enfrentamento de uma situação, mobilização de recursos, nos
limites do espaço, do tempo e dos objetos disponíveis para a realização da tarefa. E,
ainda, ao se elaborar uma situação-problema, é preciso considerar o sujeito da
aprendizagem: quais as suas ideias, o que já sabe, o que se deseja que ele
aprenda.
Nesse sentido, Meirieu (1998, p.192) considera situação-problema uma
situação didática, cujo objetivo primeiro é efetuar a aprendizagem precisa ao realizar
tarefas em que os desafios foram propostos.
As ideias acima são apresentadas com maiores detalhes por Perrenoud
(2000, p. 42-43) ao expor as dez características de uma situação-problema,
baseadas no que propõe Astolfi. Assim, uma situação se configura problema se:
For organizada de forma que se propõe a resolução de um desafio
claramente identificado.
For apresentada em torno de uma atividade de caráter concreto, que
permite de fato a formulação de hipóteses e conjecturas.
O aluno toma o desafio como uma questão sua e que considera ter
condições de resolver, sendo esta uma condição para que ocorra
empenho e engajamento na realização da tarefa.
Inicialmente, o aluno não dispõe de meios para conseguir solucionar a
situação. Isso cria uma necessidade de buscar seus recursos intelectuais
para solucionar o problema.
A situação oferece uma dificuldade que possibilite o aluno a mobilizar seus
conhecimentos prévios para produzir novos conhecimentos.
A sua solução não estiver fora do alcance do aluno, isto é, não deve ser
uma situação de caráter problemático, tão complexa que o desmobilize e o
desmotive.
25
Antes da busca efetiva da solução, propiciar a antecipação dos resultados
e a discussão coletiva. O aluno aceita o risco como fazendo parte do jogo.
A apresentação de argumentos propicia um debate para justificar os
pontos de vista; enfim, se estimulam os conflitos sociocognitivos.
A validação da solução e sua sanção forem resultado do modo de
estruturação da própria situação, e não de modo externo pelo professor.
Possibilita a retomada do percurso de forma reflexiva, de caráter
metacognitivo, contribuindo para que os alunos tomem consciência das
estratégias utilizadas e possam generalizá-las para outras situações.
É possível sintetizar as reflexões acima, tomando agora como referência
Echeverría e Pozo (1998) uma vez que estes autores afirmam que:
Uma situação somente pode ser concebida como um problema na medida em que exista um reconhecimento dela como tal, e na medida em que não disponhamos de procedimentos automáticos que nos permitam solucioná-la de forma mais ou menos imediata, sem exigir, de alguma forma, um processo de reflexão ou uma tomada de decisões sobre a sequência de passos a serem seguidos. (ECHEVERRÍA E POZO, 1998, p.16)
Dessa forma, uma atividade configura-se como um problema, se é uma
situação nova ou diferente do que já foi aprendido pelo sujeito que se propõe a
realizar a tarefa e encontra nela certa dificuldade, um obstáculo, precisando
questionar-se e tomar uma decisão sobre o percurso que adotará para a sua
resolução. E como afirma Gonzalez, uma situação-problema é
Uma Tarefa Intelectualmente Exigente (TIE), ou seja, aquela que propicia um esforço de raciocínio e que não se realiza com o mero exercício de recordação e memória, nem com a utilização mecânica de esquemas algorítmicos, nem com a aplicação de receitas pré-concebidas; ao contrário, deve propiciar a realização de certo esforço intelectual. (Gonzalez, 1998, p. 67, apud ONUCHIC, 1999, p.84).
Alguns desses autores enfatizam a necessidade de diferenciar atividades que
verdadeiramente são situações-problemas de outras que são meros exercícios.
Neste último caso, afirmam que o sujeito utiliza mecanismos que possibilitam uma
solução imediata e a sua realização baseia-se no uso de habilidades ou técnicas
transformadas em rotinas automatizadas pela prática recorrente. São, por exemplo,
26
atividades em que se apresentam repetidamente diferentes listas de operações
básicas para treino e também aquelas em que os alunos não precisam tomar
nenhuma decisão sobre os procedimentos que deve usar para chegar à solução
(ECHEVERRÍA,1998). Portanto, são atividades que visam estabilizar e automatizar
algumas técnicas necessárias para que estejam a serviço de futuras resoluções de
problemas, o que não quer dizer que o aluno evocará de imediato uma determinada
operação para resolver as situações-problema em diferentes contextos, e nem
tampouco tais exercícios são fundamentais para a construção do conceito dessas
operações.
No entanto, o que determina se uma atividade é problema ou exercício são as
experiências e os conhecimentos prévios do sujeito que realiza a tarefa, e, dessa
forma, uma mesma situação pode se apresentar como um problema para alguns e
exercício para outros que os possam realizar com um mínimo de investimento do
recurso cognitivo.
2.2 CONTRIBUIÇÃO DA TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
A Teoria dos Campos Conceituais, segundo o pesquisador francês Gèrard
Vergnaud, é uma teoria psicológica sobre o processo de conceituação que busca
oferecer uma estrutura coerente ao estudo do desenvolvimento e da aprendizagem
das competências complexas, principalmente relacionados aos conhecimentos
científicos e técnicos. Tem a finalidade de propor uma estrutura que permita
compreender as filiações e rupturas entre conhecimentos de crianças e de
adolescentes.
Embora não seja específica da Matemática, foi pensada para explicar o
processo de conceituação progressiva das estruturas aditivas, das estruturas
multiplicativas, das relações número-espaço, da álgebra.
Na Teoria dos Campos Conceituais, a essência do desenvolvimento cognitivo
é a conceituação, e o que confere sentido ao conceito são as situações, articulando-
se com o uso da linguagem e do simbolismo.
Portanto, a formação do conceito implica considerar três aspectos: as
situações que dão sentido ao conceito (S), os invariantes operatórios que são
evocados pelas situações (I) e o conjunto de símbolos que representam o conceito,
27
suas propriedades, as situações e os procedimentos (R). Assim, é através de uma
diversidade de situações-problema a resolver, que se faz emergir um conceito.
Define-se, então, o Campo Conceitual como um conjunto de situações que
requer o domínio de vários conceitos, de esquemas e de representações simbólicas
em estreita conexão (VERGNAUD, 2009). Por exemplo, o campo conceitual das
estruturas aditivas está relacionado a:
... uma ou várias adições ou subtrações e ainda a uma variedade de
conceitos e teoremas como os conceitos de cardinal e de medida, de transformação temporal por aumento ou diminuição (perder ou gastar certa quantia), de relação de comparação quantificada (ter bombons, ou três anos mais que), de composição binária de medidas (quanto no total), de composição de transformações e relações, de operação unitária, de inversão, de número natural e número relativo... (VERGNAUD, 1996, p. 168)
Nesse sentido, como afirma Vergnaud (1996), um conceito não se resume a
uma definição e não pode ser analisado por apenas uma classe de situações, assim
como uma situação deve ser analisada com a ajuda dos diferentes conceitos nela
envolvidos.
Por isso, para analisar o desenvolvimento das competências e conceituações
é preciso levar em conta o conjunto de situações – as classes de problemas –, os
esquemas evocados pelo sujeito a partir das situações e as representações
linguísticas e simbólicas. No entanto, segundo esse pesquisador, a chave para
análise da aprendizagem matemática é considerar, muito mais que a simbolização
em si, é preciso observar a ação do sujeito em situação, ou seja, analisar as
invariantes operatórias contidas nos esquemas, pois estes organizam o
comportamento do sujeito, a sua ação e o uso da linguagem e os símbolos diante de
uma classe de situações.
Para esta pesquisa, interessam as reflexões dessa teoria que dizem respeito
aos campos conceituais das estruturas aditiva e multiplicativa, uma vez que as
investigações foram realizadas com alunos do 4º ano do Ensino Fundamental sobre
a resolução de problemas nesses dois campos.
Em linhas gerais, Vergnaud afirma que o conhecimento está organizado em
campos conceituais e o domínio desse campo pelo aluno ocorre pela aprendizagem,
em um longo período da escolaridade. Segundo essa teoria, um conceito não se
reduz à sua definição, e o que confere sentido aos conceitos a serem aprendidos
28
pelo sujeito são as situações e os problemas a resolver; aponta, ainda, a
necessidade de expor o aluno a diferentes e variadas situações para que possam
emergir os conceitos matemáticos. Um conjunto de situações requer o domínio de
vários conceitos de naturezas diferentes que, porém, não devem ser ensinados
isoladamente, mas em uma rede de conceitos e situações.
Os conceitos-chave da teoria dos campos conceituais são: situação,
esquema, invariantes operatórios – conceito-em-ação e teorema-em-ação e a
própria concepção de conceito (MOREIRA, 2002).
No que se refere ao conceito de esquema, este pesquisador toma como
fundamento a teoria de Piaget para quem:
O esquema de uma ação define-se como o conjunto estruturado das características generalizáveis dessa ação; ou seja, as características que permitem repetir a mesma ação ou aplicá-la a novos objetos. O nível de competência intelectual de uma pessoa, em um determinado momento do seu desenvolvimento, depende, ao mesmo tempo, da natureza e do número de esquemas de ação que possui; também depende da maneira como se podem combinar e coordenar entre si esses esquemas. Concretamente, Piaget indica que, durante o seu desenvolvimento, o indivíduo construirá, na interação com os objetos, algumas “estruturas” ou totalidades organizadas de esquemas de ação que respeitam certas regras ou leis. As estruturas sucessivas que se vão construindo representam formas de relação e de compreensão da realidade cada vez mais potentes, e estados superiores de equilíbrio no intercâmbio com o mundo.(SALVADOR,1999, p.88)
Ou seja, o esquema é a forma como o sujeito interage com o objeto, e na
medida em que ocorre essa interação, os esquemas se modificam em uma
crescente complexidade. Segundo Palangana (2001), um novo esquema resulta de
uma aprendizagem, ao mesmo tempo em que para que esta ocorra, parte-se de
alguns conhecimentos prévios que o sujeito possui.
Portanto, decorrente da teoria piagetiana, Vergnaud define o conceito de
esquema como uma organização invariante da atividade para uma determinada
classe de situação, sendo formado por quatro componentes, quais sejam: a) um
objetivo, sub-objetivo e antecipações; b) regras em ação de tomada de informação e
de controle; c) invariantes operatórios: conceitos em ação e teoremas em ação; d)
possibilidades de inferência em situação (VERGNAUD,2009)
Em relação ao conceito de situação, Vergnaud (1996) apresenta duas classes:
29
1 – um repertório de situações em que o sujeito dispõe das competências
necessárias para um tratamento imediato.
2 – aquelas para as quais o sujeito não dispõe de todas as competências
necessárias, o que demanda “um tempo de reflexão e de exploração, a hesitações,
a tentativas abortadas, conduzindo-o, quer ao êxito, quer ao fracasso”.
(VERGNAUD, 1991, p.156).
E, a depender da classe de situações com que o sujeito aprendiz se depara, o
funcionamento do esquema ocorre de maneiras distintas. No primeiro caso, as
condutas são, em grande medida, automatizadas, realizadas através de um
esquema único, enquanto no segundo caso pode ocorrer um desencadeamento de
diversos esquemas, que precisam ser acomodados, descombinados e
recombinados.
O esquema, portanto, permite gerar uma classe de diferentes procedimentos,
de acordo com as características de cada situação.
Vergnaud afirma que é no esquema que se podem observar os invariantes
operatórios, ou seja, o conceito-em-ação e teorema-em-ação. Estes são
conhecimentos muitas vezes implícitos, então, por exemplo, um aluno, ao resolver
um problema, executa adequadamente a tarefa, sem contudo, ser capaz de
explicitar as razões dos procedimentos utilizados. Dessa forma, a análise das
condutas muitas vezes revela a existência de poderosos conceitos e teoremas
matemáticos implícitos. (...) Esse conhecimento não pode ser chamado de
„conceitual‟ propriamente, já que o conhecimento conceitual é necessariamente
explícito. (VERGNAUD, 1990, p. 7)
O teorema-em-ação, segundo Vergnaud (1990) está relacionado ao
invariante do tipo “proposicional”, que pode ser verdadeiro ou falso. É verdadeiro na
ação em uma referida situação, e pode ser universal para todas as classes de
situações.
O conceito-em-ação (Vergnaud, 1990), por sua vez, não é passível de ser
considerado verdadeiro ou falso, mas é indispensável à construção das proposições.
Por exemplo, para a conceituação das estruturas aditivas são imprescindíveis os
conceitos de cardinal, de estado inicial, de transformação e de relação quantificada.
Teorema-em-ação e conceito-em-ação se constroem em estreita interação,
sendo que esta última retira do meio as informações relacionadas à determinada
situação e seleciona um teorema-em-ação necessário ao cálculo.
30
Segundo Moreira (2002), o teorema-em-ação e o conceito-em-ação estão
implícitos, e, sendo assim, os alunos não conseguem explicá-los em linguagem
natural, podendo, porém, tornarem-se explícitos e assumir verdadeiramente o status
de conceito e teorema científico.
Portanto, o esquema não se restringe apenas à conduta observável, mas
também ao pensamento subjacente. Dessa forma, conceitos e teoremas que se
tornam explícitos na ação do sujeito representa apenas a parte visível do iceberg, da
conceitualização: sem a parte escondida formada pelos invariantes operatórios essa
parte visível não seria nada.(MOREIRA, 2002).
Entra, então, o papel do ensino, que é o de ajudar o aluno a construir
conceitos e teorias explícitos, e cientificamente aceitos, a partir do conhecimento
implícito. (MOREIRA, 2002)
A conceituação pode ser discutida por meio da utilização de linguagem ou
símbolos de forma explícita.
O papel da linguagem e dos símbolos
No que se refere a esse tema, percebe-se consonância entre a teoria de
Vergnaud e as ideias de Vigotski.
Vergnaud (1996) ressalta três funções para a linguagem, quais sejam: a de
comunicação, a de representação e a de auxílio do pensamento. Dessa forma, a
linguagem favorece a identificação e nomeação de objetos, propriedades, relações,
teoremas, e ainda exerce a função de auxílio no raciocínio, planejamento e controle
da ação.
O autor afirma que não se pode limitar a função da linguagem em
comunicação e representação, pois pode ocultar a função de auxílio ao pensamento.
Em relação com estas duas funções, observa-se outra função da linguagem: o auxílio ao pensamento e à organização da acção. Esta função apoia-se, por sua vez na função de representação, mas aquilo que é então representado são, simultaneamente, os elementos da situação considerada, a acção, e as suas relações. (VERGNAUD, 1996, p. 191)
31
Essa função da linguagem – de auxílio de pensamento – pode ser
observada quando a fala acompanha uma ação, principalmente nas situações em
que o indivíduo não domina suficientemente. Nesse caso, será necessário o uso da
linguagem para planificar e controlar uma sequência de ações em uma situação de
pouco ou nenhum domínio. Vergnaud apresenta, como exemplo, a criança que já
realiza de forma automatizada uma operação para encontrar o estado inicial, dado o
estado final e a transformação. Nessa ação, não se utilizará a fala; no entanto, se
diferentemente, para outra criança, essa mesma situação for um problema, então,
neste caso, ela tende a ser prolixa.
Em relação às representações simbólicas, Vergnaud defende que auxiliam
na resolução de problema quando é necessário tratar um grande número de dados e
em que se exigem várias etapas na resolução. Mas também são meios para
identificar objetos matemáticos decisivos para a conceituação. Assim, o uso dos
símbolos matemáticos não é uma condição necessária e nem suficiente para a
conceituação, mas contribui para ela, porque ocorre a transformação das categorias
de pensamento matemático em objetos matemáticos. Afirma ainda que,
A linguagem natural é o meio essencial de representação e de identificação das categorias matemáticas, mas não possui, tal como os diagramas, as fórmulas e as equações, o laconismo indispensável à selecção e ao tratamento das informações e das relações pertinentes. (VERGNAUD, 1996, p. 188)
A linguagem – para Vergnaud – tem um importante papel no processo de
aprendizagem. Nesse sentido, o professor é o mediador nesse processo de domínio
do campo conceitual pelo aluno, pois será aquele que o ajudará a ampliar os
esquemas e representações. Ao explicitar um conhecimento, este pode ser
debatido, enquanto uma proposição implícita, não o será. Assim, o caráter do
conhecimento muda se for comunicável, debatido e compartilhado (VERGNAUD,
1996).
Portanto, a linguagem e os símbolos matemáticos para esse pesquisador são
imprescindíveis na conceituação e na ação, mas não conferem sentido, sem os
esquemas e as situações.
32
Classes de situações-problema nas estruturas aditiva e multiplicativa
O campo conceitual pode ser definido como um conjunto de situações para
cujo domínio, será necessária a apropriação de vários conceitos.
Dessa forma, segundo Vergnaud, o campo conceitual das estruturas aditivas
são situações em que será necessário operar com uma adição, uma subtração ou a
combinação das duas, enquanto nas estruturas multiplicativas, pode-se requerer
uma multiplicação, uma divisão ou a combinação dessas duas operações.
As situações podem ser uma combinação de relações de base com dados
conhecidos e desconhecidos.
Estruturas Aditivas
Nas estruturas aditivas, esse pesquisador afirma que podem ser identificadas
seis relações de base das quais são geradas todas as situações--problema de
adição e subtração. São elas:
1. Composição de duas medidas em uma terceira.
2. Transformação (quantificada) de uma medida inicial em uma medida final.
3. Relação (quantificada) de comparação entre duas medidas.
4. Composição de duas transformações.
5. Transformação de uma relação.
6. Composição de duas relações.
Magina et al (2008) classificam os problemas da estrutura aditiva em três
grupos básicos: composição5, transformação e comparação.
I - Composição
O grupo de situações denominado composição relaciona-se à ideia de parte-
todo, ou seja, juntar partes para se encontrar o todo, ou subtrair uma das partes do
todo para se conhecer a outra parte.
5 Embora os PCN – Matemática denomine para essa classe de problemas combinação, neste trabalho a opção foi
a adoção mesmo da nomenclatura composição, para que possa se diferenciar da classe de problemas de
combinatória da estrutura multiplicativa.
33
Fig.1 – Modelo de diagrama para problemas de composição Fonte: MAGINA, S. et al (2008)
Alguns exemplos de situações desse grupo:
– Numa cesta há 8 laranjas e 12 bananas. Quantas frutas há nessa cesta?
– Numa cesta há laranjas e maçãs, totalizando 15 frutas. Sabendo que há 6
maçãs, quantas são as laranjas?
II – Transformação
Os problemas, cuja ideia é a de transformação, colocam situações que
envolvem uma sequência temporal: uma situação inicial, uma transformação que
pode ser de acréscimo, neste caso transformação positiva, ou decréscimo, uma
transformação negativa, e se chega a um estado final.
Fig. 2 – Modelo do diagrama para problemas de transformação Fonte: MAGINA, S. et al (2008)
Exemplos:
– Rubens começou o jogo com 12 figurinhas. No final das duas partidas do
jogo perdeu 8 figurinhas. Com quantas figurinhas Rubens terminou o jogo?
– Sérgio tinha figurinhas e durante o jogo ganhou 14, terminando com 19.
Quantas figurinhas Sérgio tinha, antes de iniciar o jogo?
34
– Vitor começou o jogo com 22 bolinhas e no final terminou com 9. O que
aconteceu durante o jogo?
III – Comparação
As situações estão relacionadas à ideia de comparação, trata-se de comparar
duas quantidades, uma denominada de referente e a outra de referida, apontando-
se uma relação entre essas duas quantidades.
Fig.3 – Modelo de diagrama para problemas de comparação Fonte: MAGINA, S. et al (2008)
Exemplos:
– Paula tem 15 reais e Júlia, 8 reais. Quem tem mais dinheiro? Quantos reais
a mais?
– Pedro e Beto compararam as coleções de figurinha. Beto tem 28 e Pedro
disse que tem 12 figurinhas a mais que Beto. Quantas figurinhas tem Pedro?
– Sandra tem 16 gibis e Mário tem 9. De quantos gibis Mário precisa para ter
a mesma quantidade de gibis de Sandra?
Estruturas Multiplicativas
No que se refere às estruturas multiplicativas, este pesquisador afirma que as
relações de base mais simples são as quaternárias, ou seja, problemas de
multiplicação e divisão que implicam a proporção simples de duas variáveis, uma em
relação à outra. No entanto, essa relação gera quatro classes de problemas:
multiplicação, divisão-partição, divisão-cotação, e quarta proporcional.
Nos estudos de Silva (2010), esta afirma que Vergnaud (1997) classifica as
situações segundo o cálculo relacional característico das estruturas multiplicativas, e
apresenta o seguinte quadro:
35
Exemplos por Vergnaud (1997)
A multiplicação
Josie compra 4 bolos. O preço de um bolo é de 7 francos. Quanto deve pagar?
Bolos francos
1 7
4 ?
multiplicação
A divisão-partição (busca do valor de uma parte ou objeto
Arthur pagou 30 francos para 6 ágatas azul. Qual é o preço de uma ágata?
Ágatas francos
1 ?
6 30
Divisão-partição A divisão de quotas (o número de pesquisas Unidades, ou objetos)
Bernard quer comprar ágatas. Ele tem 40 milhões de francos. O custo por ágata é de 5 milhões de francos. Quanto ele pode comprar?
Ágatas francos
1 5
? 40
Divisão-quotação O quarto proporcional
Marie-Hélène pagou 72 francos para 12 ovos de chocolate. Sua prima Sophie quer comprar 18. Quanto será que vai pagar?
Ovos de chocolate
francos
12 72
18 ?
Comparação Multiplicativa
Comparação multiplicativo de grandezas
Na sala de aula, há 5 vezes mais cadeiras do que na cantina. Há cadeiras para 25 alunos na sala de aula. Quantas cadeiras mais são precisas na cantina?
Quadro 1 - Exemplos de categorias Fonte: VERGNAUD, 1997 apud SILVA (2010), p.87
Em relação ao planejamento das categorias propostas por Vergnaud, de
situações-problema da estrutura multiplicativa elaboradas para a nossa pesquisa,
36
remetemo-nos à terminologia apresentada nos Parâmetros Curriculares Nacionais
(1997). Nesse documento, são apresentados quatro grupos: multiplicação
comparativa, comparação entre razões (proporcionalidade), configuração
retangular e combinatória.
I – Multiplicação comparativa
No primeiro grupo – multiplicação comparativa – estabelece-se relação entre
as quantidades e são problemas do tipo:
– Pedro tem R$5,00 e Lia tem o dobro dessa quantia. Quanto tem Lia?
– Marta tem 4 selos e João tem 5 vezes mais selos que ela. Quantos selos
tem João?
A partir dessas situações de multiplicação comparativa é possível formular
situações que envolvem a divisão. Exemplo:
– Lia tem R$ 10,00. Sabendo que ela tem o dobro da quantia de Pedro,
quanto tem Pedro? (PCN, 1997 – p. 109)
II – Proporcionalidade
Problemas do grupo de proporcionalidade são aqueles em que duas
grandezas se relacionam por uma constante de proporcionalidade, segundo o
documento, são muito frequentes, no contexto social dos alunos, como nos
exemplos abaixo:
– Se em uma caixa foram empacotadas 8 bombons, quantos bombons há em
12 caixas?
Neste caso há uma relação de duas grandezas (quantidade de caixas e
quantidade de bombons).
Um outro exemplo:
– Em 4 caixas de lápis há ao todo 36 lápis. Quantos lápis há em cada caixa,
se em todas há a mesma quantidade? O primeiro exemplo é comum que se resolva
37
com a multiplicação, e o segundo, pela divisão. No entanto nas duas situações a
relação que se estabelece é a de proporcionalidade direta.
III – Configuração retangular
As situações relacionadas á ideia de configuração retangular são aquelas em
que é necessário calcular a medida de certa grandeza e, para isso, será necessário
multiplicar medidas correspondentes à outra grandeza. É o caso do cálculo da
medida de superfície de um retângulo, por exemplo, em que será necessária a
multiplicação de dois números referentes a medidas de comprimento.
– Qual é a área de uma sala retangular que tem as seguintes medidas: 6m de
largura por 8 de comprimento?
Mas também são exemplos de problemas desse grupo situações como:
– Numa sala as carteiras estão colocadas em 5 colunas e 8 fileiras. Quantas
carteiras tem nessa sala?
Relacionar a divisão com a multiplicação dentro da ideia da configuração
retangular gera problemas como:
– Em uma sala de aula há 40 carteiras dispostas em fileiras e colunas. Se são
8 fileiras, quantas são as colunas?
IV – Combinatória
No grupo de problemas designados de combinatória é aquele em que é
preciso calcular o produto da combinação de coleções finitas, implicando, em um
cálculo combinatório:
– Mara tem 3 saias de cores diferentes e duas blusas diferentes. De quantas
maneiras diferentes ela pode se vestir?
Este problema se resolve pela multiplicação 3 x 2 = 3 x 2
Mas nesse grupo de problemas apresentam-se situações relacionadas à
divisão como, por exemplo, na seguinte situação:
38
– São 18 combinações possíveis de sabores e cobertura em uma sorveteria.
Sabendo que são 3 tipos diferentes de cobertura, quantos são os sabores?
Como sabemos, o avanço na construção do campo conceitual pelos alunos
depende das diferentes relações que eles possam estabelecer entre as operações e
diferentes situações. É importante, então, que sejam propostos problemas em que
esteja em jogo essa diversidade de situações, e que as operações assumem
diferentes sentidos. Portanto, essas classificações das estruturas aditivas e
multiplicativas são imprescindíveis para subsidiar o planejamento do ensino das
operações, visto que colaboram para o entendimento do percurso da resolução de
problemas pelos alunos, bem como para entender as possíveis dificuldades que
poderão apresentar nesse percurso. E, então, fundamentalmente as razões de
origem psicológicas e matemáticas justificam as distinções na classificação
(VERGNAUD, 1982, apud MAGINA et al. 2008, p. 19)
2.3 CONTRIBUIÇÃO DA ABORDAGEM SÓCIO-HISTÓRICA
Os estudos de Lev Semenovich Vigotski (1896-1934) são de grande
importância para esse trabalho, por defenderem a ideia de que o desenvolvimento
intelectual das crianças é construído nas interações sociais, e que, assim, a
constituição da estrutura humana complexa é o produto da relação entre o percurso
individual do sujeito e as bases socioculturais. Vigotski ainda atribui à linguagem um
papel de muita relevância no desenvolvimento cognitivo do sujeito, uma vez que
para esse autor, o desenvolvimento intelectual da criança depende dos instrumentos
linguísticos do pensamento e da experiência sociocultural. Portanto, o
desenvolvimento do pensamento verbal depende de fatores externos, pelo fato de
não constituir um comportamento natural do indivíduo.
Essas reflexões corroboram a importância de se considerar a interação um
fator fundamental para o processo de aprendizagem do sujeito e, para explicar esse
processo, Vigotski propõe o conceito de Zona de Desenvolvimento Proximal – ZDP,
destacando a necessidade de se propor situações em que o aluno possa realizar a
atividade com ajuda, indo além do que seria capaz de fazer individualmente - o que
evidencia a importância do trabalho, em colaboração com outros parceiros mais
competentes, para provocar as reestruturações e as modificações nos esquemas de
39
conhecimentos que possibilitará, aos poucos, uma atuação mais autônoma pelo
sujeito aprendiz.
Assim, nas nossas intervenções foram investigadas as características do uso
da linguagem, por meio da interação pesquisadora/alunos e alunos/alunos e
interferência na capacidade de resolução de problemas e, consequentemente, no
avanço da construção do conceito de operação pelos alunos.
Considerando a importância desses aspectos teóricos do trabalho de Vigotski,
expõem-se, a seguir, com mais detalhes, os conceitos referentes à relação entre
pensamento e linguagem, à formação de conceitos científicos e de Zona de
Desenvolvimento Proximal (ZDP).
Pensamento e linguagem
Uma palavra desprovida de pensamento é uma coisa morta, e um pensamento não expresso por palavras permanece uma sombra. (VYGOTSKY, 1987, p.131)
Para Vigotski, pensamento e palavra não possuem raízes genéticas
interdependentes, porém não podem ser vistas como processos independentes,
uma vez que há uma relação dinâmica nos dois sentidos: do pensamento para a
palavra e vice-versa, o que implica em que os mesmos sofrem transformações o que
o autor considera desenvolvimento. Cada pensamento se move, amadurece e se
desenvolve, desempenha uma função, soluciona um problema. Esse fluxo de
pensamento ocorre como um movimento interior através de uma série de planos.
(VYGOTSKY, 1934/1987, p.108)
E para uma análise da interação entre pensamento e palavra, segundo
Vigotski, é preciso distinguir a fala interior da fala exterior, ambas constituindo uma
unidade, mas regidas por diferentes leis. Enquanto a fala interior relaciona-se com a
semântica, sendo uma fala para si mesma, a fala exterior é para os outros é a
tradução do pensamento em palavra, mas por sua vez a fala interioriza-se em
pensamento.
Para Vigotski essa interiorização da fala em pensamento provém da fala
egocêntrica que é um estágio anterior à fala interior. A primeira tende a desaparecer
na idade escolar, na mesma ocasião em que a fala interior tende a se desenvolver,
ou seja, a fala egocêntrica transforma-se em fala interior. Portanto, a fala
40
egocêntrica é uma transição da atividade social e coletiva da criança para as
atividades mais individualizadas.
O autor propõe, ainda, que a fala interior não é o aspecto interior da fala
exterior. Nesta, o pensamento é traduzido por palavras, enquanto na fala interior, as
palavras desaparecem ao gerar pensamentos, porque a fala interior possui uma
sintaxe aparentemente desconexa e incompleta, pois tende a se abreviar, isto é,
tende à predicação, omitindo-se o sujeito da frase e outras palavras a ele
relacionados. Isso pode causar certa confusão quando duas pessoas não estão
envolvidas em um mesmo contexto. “Se o os pensamentos das duas pessoas
coincidirem, um perfeito entendimento poderá ser obtido pelo simples uso de
predicados, mas se estiverem pensando em coisas diferentes, o mais provável é que
não se entendam”. (VYGOTSKY, 1987, p.120)
Vigotski busca referências em obras de Tolstoi para referendar essa ideia de
que, quando os interlocutores compartilham o mesmo pensamento, a função da fala
se reduz ao mínimo, para o que cita fragmento da obra Ana Karenina:
Liêvin habituara-se a exprimir ousadamente o seu pensamento, sem lhe dar uma forma concreta: sabia que nos momentos de perfeito entendimento a mulher o compreendia por meias palavras. E era esse o caso. (Ana Karenina, Parte VI, Capítulo 3, apud VYGOTSKY,1987, p. 121)
Dessa forma, afirma que indivíduos habituados ao pensamento solitário e
independente, têm dificuldades em compreender os pensamentos alheios,
diferentemente daqueles que mantêm um contato mais próximo, para quem a
comunicação se dá de forma sucinta, mas compreensível. Isso, porque, para que se
possa compreender a fala do outro, será necessário entender, antes de tudo, o seu
pensamento e conhecer a sua motivação.
Assim, retomando a ideia de que a fala egocêntrica é a base para a fala
interior, interessa então a esta pesquisa a função da fala na resolução de problemas,
porque, com base nessa perspectiva teórica, a fala – ao acompanhar as ações da
criança – revela as vicissitudes desse processo de resolução. Mas, para além do
acompanhamento da ação, a fala pode desvendar, então, o plano de ação da
criança, pela função planejadora que assume.
41
Formação dos conceitos científicos
Concordando com a argumentação de Vigotski, entender como as crianças
desenvolvem os conceitos científicos é imprescindível para a prática pedagógica.
O autor apresenta duas diferentes concepções, nos estudos da psicologia
infantil, para explicar o desenvolvimento dos conceitos científicos.
Uma abordagem defende que os conhecimentos científicos não passam por
nenhum processo de desenvolvimento, sendo absorvidos de uma forma acabada,
mediante um processo de compreensão e assimilação. Sobre essa ideia, Vigotski
tece críticas, pois suas investigações apontaram que um conceito não é a soma de
certas conexões associativas formadas pela memória, porque o seu
desenvolvimento implica o desenvolvimento de outras funções intelectuais como
atenção deliberada, memória lógica, abstração, capacidade para comparar e
diferenciar. Dessa forma, segundo esse autor, a simples transmissão de conceito é
impossível e
Um professor que tenta fazer isso geralmente não obtém qualquer resultado, exceto o verbalismo vazio, uma repetição de palavras pela criança, semelhante à de um papagaio que simula um conhecimento dos conceitos correspondentes, mas que na realidade oculta um vácuo. (VYGOTSKY, 1987, P. 72)
A outra concepção sobre a formação de conceitos científicos considera a
existência de um processo de desenvolvimento na mente da criança em idade
escolar, porém defende que não há diferenciação do desenvolvimento dos conceitos
cotidianos e escolares; seria, portanto, irrelevante considerar os dois processos
isoladamente. Sobre essa concepção, o pesquisador afirma que os conceitos
cotidianos da criança não foram analisados levando em consideração o impacto do
aprendizado sistemático, atribuindo a mesma lei para os dois tipos de conceito – o
cotidiano e o científico.
Vigotski destaca que Piaget foi um dos poucos pesquisadores que
estabeleceram uma fronteira entre as ideias que a criança desenvolve com base em
seus próprios recursos – que denomina conhecimentos espontâneos - e aquelas que
foram influenciadas pelos adultos, denominando conhecimentos não espontâneos.
No entanto, o autor afirma que Piaget não considerou a interação entre os dois tipos
de conceitos, isto é, os elos que os unem num sistema total de conceitos. Dessa
forma, segundo Vigotski, os dois processos relacionam-se e influenciam-se
42
constantemente, constituindo um processo unitário, não sendo, portanto,
antagônicas e mutuamente exclusivas.
Os conceitos, para este pesquisador, são formados com base na experiência
pessoal da criança (espontâneos/cotidiano) e, principalmente, da aprendizagem
sistemática (não espontâneos/científicos), sendo que esta última exerce uma grande
força que direciona o desenvolvimento, tendo, portanto, um grande impacto no
desenvolvimento mental da criança que está exposta ao aprendizado no ambiente
escolar.
O desenvolvimento dos dois tipos de conceitos segue diferentes caminhos,
mas as variantes do processo de formação de conceitos influenciam-se mutuamente
em sua evolução. Vigotski estudou a relação entre o desenvolvimento dos conceitos
científicos e dos cotidianos, tomando como base as contribuições de Piaget, para
quem as crianças em idade escolar não têm consciência das relações, embora
utilizem os conceitos de uma forma não consciente.
Um exemplo utilizado por Piaget é a situação em que se pergunta às crianças
de sete a oito anos de idade o significado da palavra porque, na frase “Amanhã não
vou à escola porque estou doente”. Muitas crianças responderam que significa que
“está doente”, ou “que não irá à escola”. Esse fato não significa que elas não tenham
entendido o significado da frase, e no seu cotidiano usam a palavra de forma
espontânea.
O processo de tomada de consciência é explicado pela lei da percepção
formulada por Claparède: a percepção da diferença é anterior à percepção da
semelhança, isto é, quanto mais facilmente se usa uma relação de ação, menos
consciência se terá dela. Mas Piaget complementa esta lei, com a lei da
transferência ou do deslocamento:
Tornar-se consciente de uma operação mental significa transferi-la do plano de ação para o plano da linguagem, isto é, recriá-la na imaginação de modo que possa ser expressa em palavras. Essa transformação não é nem rápida, nem suave. A lei afirma que o domínio de uma operação do plano superior do pensamento verbal apresenta as mesmas dificuldades que o domínio anterior dessa operação no plano de ação. Isso explica o seu lento progresso. (VYGOTSKY, 1934/1987, p.76).
43
Vigotski afirma que o fato de as crianças se conscientizarem das diferenças
antes de se conscientizarem das semelhanças, se deve ao fato de que a percepção
da semelhança requer uma estrutura de generalização e de conceituação que inclua
todos os objetos semelhantes, o que não ocorre em relação à consciência da
diferença. A aprendizagem escolar é determinante para induzir esse tipo de
percepção generalizante, desempenhando um papel decisivo na conscientização
das crianças dos seus processos mentais. Dessa forma, para o autor, o domínio da
consciência reflexiva pelas crianças é alcançado por meio dos conhecimentos
científicos.
As investigações sobre o desenvolvimento dos conceitos científicos e
cotidianos, realizadas por Vigotski, permitiram observar maior incidência de
resoluções corretas para questões em que estavam em jogo os conceitos científicos
em relação às questões que envolviam conceitos cotidianos. Esse fato é fruto,
segundo o pesquisador, da ajuda do professor, invisivelmente presente, que em sala
de aula, em ocasiões anteriores, realizou as intervenções necessárias para que seus
alunos pudessem, posteriormente, apresentar acertos maiores, nas questões em
que aqueles conceitos científicos estavam envolvidos.
Dessa forma, valida-se a sua hipótese inicial de que o domínio de um nível
mais elevado na esfera dos conceitos científicos colabora para também elevar o
nível dos conceitos espontâneos, desde que a escola organize um currículo
favorável para que os conceitos se formem nos alunos por meio da aprendizagem,
com a intermediação de um adulto.
Assim, confirmando a hipótese de que os dois tipos de conceito se
desenvolvem em direções contrárias, Vigotski afirma que os processos se
relacionam, pois será preciso que um conceito espontâneo tenha atingido um certo
nível, para que a criança possa compreender um conceito científico correspondente:
Os conceitos históricos só podem começar a se desenvolver quando o conceito cotidiano que a criança tem do passado estiver suficientemente diferenciado – quando a sua própria vida e a vida dos que a cercam puder adaptar-se à generalização elementar “no passado e agora”; os seus conceitos geográficos e sociológicos devem se desenvolver a partir do esquema simples “aqui e em outro lugar”. (VYGOTSKY, 1934/1987, p.93)
44
Portanto, um conceito espontâneo ascende para um conceito científico, e
este, por sua vez, aproxima-se para um nível mais elementar e concreto, tomando
um movimento descendente.
No entanto, nas próprias palavras de Vigotski, a inter-relação entre os
conceitos espontâneos e científicos insere-se em uma discussão mais ampla que é
a relação entre aprendizagem e desenvolvimento mental da criança.
Aprendizagem e desenvolvimento
O caminho do objeto até a criança e desta até o objeto passa através de outra pessoa. Essa estrutura humana complexa é o produto de um processo de desenvolvimento profundamente enraizado nas ligações entre história individual e história social. (VIGOTSKI, 2010-p.20)
A fim de analisar com maior detalhe a relação entre o aprendizado escolar e
desenvolvimento mental da criança, Vigotski (2010) apresenta três correntes de
pensamento que tentaram explicar essa relação que, em linhas gerais, são as
seguintes:
A primeira defende que aprendizagem e desenvolvimento são dois processos
independentes entre si. A aprendizagem é um processo externo e que se utiliza dos
avanços do desenvolvimento, e este é considerado um processo de maturação,
sujeito às leis naturais, que deve completar determinados ciclos para que a
aprendizagem ocorra.
A segunda corrente considera que a aprendizagem e o desenvolvimento são
processos coincidentes, que ocorrem simultaneamente. Assim, o desenvolvimento
se dá através dos reflexos condicionados, em que o processo de aprendizagem está
inseparavelmente unido; portanto, a relação entre eles não se coloca.
A terceira corrente de pensamento supera as duas posições anteriores
combinando-as. Kofka, um representante dessa teoria defende que o
desenvolvimento se baseia em dois processos em que cada um influencia o outro: a
maturação, que depende diretamente do desenvolvimento do sistema nervoso, e da
aprendizagem que também é um processo de desenvolvimento.
Vigotski (2010) rejeita as três proposições, pois considera que a solução é
bastante complexa. Na sua análise da relação entre aprendizagem e
desenvolvimento, afirma que muito antes do ensino formal, ou seja, do início da
45
frequência escolar as crianças carregam uma história prévia de um aprendizado
adquirido espontaneamente, em contato com os adultos que a cercam, portanto, a
aprendizagem e desenvolvimento estão inter-relacionados desde o início da vida da
criança.
A experiência do ensino escolar, entretanto, traz um fato fundamentalmente
novo no desenvolvimento da criança e, para explicar as relações entre o processo
de desenvolvimento e de aprendizagem, o autor defende que será preciso definir
dois níveis de desenvolvimento.
Um nível refere-se ao do desenvolvimento das funções mentais da criança
que são resultantes de um ciclo de desenvolvimento já completado, nível este que o
autor denominou de desenvolvimento real, ou seja, a capacidade de um indivíduo
realizar uma atividade de forma independente. Esse nível define as funções que já
amadureceram, ou seja, são o produto final do seu desenvolvimento.
Não obstante, uma tarefa com maior nível de complexidade, que inicialmente
a criança não conseguiria fazer por si só, poderá ser realizada com a assistência de
um adulto. Esse fato pode fornecer maiores indicativos do seu desenvolvimento do
que as constatações das tarefas realizadas sem ajuda porque se revela aí outro
nível: a Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP).
Este conceito introduzido por Vigotski refere-se à distância entre o que a
criança consegue resolver de forma independente – seu nível de desenvolvimento
real – e as resoluções, para cuja realização será necessária a parceria com um
adulto ou companheiros mais capazes.
A zona de desenvolvimento proximal define as funções que estão em estado
embrionário, que ainda não amadureceram, por isso um indicador de grande
importância para o ensino porque revela não só os ciclos completados mas aqueles
que estão em processos de formação.
As pesquisas de Vigotski demonstraram ainda que o que se considera em um
momento a ZDP, poderá se constituir o nível de desenvolvimento real futuramente,
desde que sejam mantidas as mesmas condições de desenvolvimento. Portanto, o
nível de desenvolvimento real caracteriza o desenvolvimento mental
retrospectivamente, enquanto que a zona de desenvolvimento proximal caracteriza o
desenvolvimento mental prospectivamente. (VIGOTSKI, 2010, p.98)
Essas reflexões trazem indicadores para a organização do ensino, que não
deve incidir apenas sobre as funções mentais já desenvolvidas, ou seja, propor
46
resoluções que os alunos conseguem realizar de forma independente. Deve propor,
sim, situações em que as crianças serão capazes de mobilizar o nível de
desenvolvimento real e em colaboração com colegas mais competentes, para
resolver tarefas com grau de complexidade além do que conseguiriam sem ajuda.
Assim, um bom aprendizado é aquele que se adianta ao desenvolvimento, como
afirma Vigotski.
2.4 PROCESSOS DE LEITURA E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
MATEMÁTICOS
Alguns pesquisadores na área da leitura serão tomados como referência
nesta pesquisa para um melhor entendimento sobre os processos envolvidos no ato
de ler textos de enunciados de problemas das estruturas aditivas e multiplicativas.
A concepção de leitura que permeia este trabalho se embasa nos estudos de
autores como Kleiman (1993), Batista (2011) Goodman, (1998), McGinitie et al.
(1998) e Solé (1998) que consideram a leitura um processo psicológico em que o
leitor mobiliza diferentes estratégias apoiadas nos seus conhecimentos linguísticos
e socioculturais. Isto é, mobiliza e interage com diversos níveis de conhecimento, o
que exige operações cognitivas de ordem superior, inacessíveis à observação e
demonstração, como a inferência, a evocação, a analogia, a síntese e a análise.
(KLEIMAN, 1993, p. 12)
Em concordância com essa ideia, Solé (1998) afirma que a leitura é um
processo de interação entre o leitor e o texto; neste processo tenta-se satisfazer
(obter uma informação pertinente para) os objetivos que guiam a leitura.
(SOLÉ,1998, p.22). Segundo essa autora, para o leitor, o texto escrito não é uma
tradução das intenções do autor, mas uma construção que envolve o texto, os
conhecimentos prévios e os objetivos colocados inicialmente por esse leitor.
A autora segue, afirmando que a leitura sempre envolve a compreensão do
texto escrito, ou ainda, a leitura é um processo mediante o qual se compreende a
linguagem escrita. (SOLÉ,1998, p.23).
Portanto, a concepção de leitura que permeia este trabalho considera que ler
é muito mais que a capacidade de decodificar um texto, mas supõe um leitor ativo
que processa e analisa o texto, a partir de seus conhecimentos prévios e das
questões textuais para construir um sentido para o texto, objeto de sua leitura.
47
Sobre a proficiência leitora para a compreensão dos enunciados envolvidos
na realização de uma tarefa matemática, Angela Kleiman afirma que:
A incapacidade de extrair informações do texto afeta todo o desempenho escolar da criança, que não tem a oportunidade de demonstrar todo o seu potencial, qualquer que seja a matéria: na aula de matemática, o problema de aritmética é insolúvel porque o texto é para ela ininteligível e não porque ela seja incapaz de multiplicar; na aula de estudos sociais, o indivíduo não consegue relacionar um evento às condições que o causaram porque o texto é para ele inacessível, e não porque ele seja incapaz de perceber relações.” (KLEIMAN, 2008, p.92,93)
Segundo a autora, o que torna um texto inteligível ou não, dependerá não
apenas do conhecimento prévio do leitor, porque embora tal conhecimento seja
imprescindível, há outras fontes que são necessárias considerar para evitar uma
arbitrariedade que levarão a produzir entendimentos extremamente divergentes de
um mesmo texto.
O conhecimento de mundo do leitor é uma marca de leitor proficiente, quando utilizado juntamente com outras fontes de informação textuais, de nível fonológico, morfológico, sintático, semântico-pragmático, num processo de contínua avaliação de nossas expectativas sobre o texto e o quadro referencial de fato elaborado pelo autor. ... Podemos então considerar que quando o texto é apenas concebido como uma série de estímulos para um processo de associação aleatória não temos leitura. (KLEIMAN, 2008, p.92)
Destaca-se aqui a importância de se desenvolver também a fluência leitora
para compreender textos, porque se o leitor realiza a leitura decodificando letra por
letra, sílaba por sílaba, acarreta uma sobrecarga no seu cérebro, dificultando, assim,
a compreensão do texto que está lendo. Segundo Batista (2011), a fluência leitora
está vinculada ao processamento das informações gráficas e à apreensão das
unidades sonoras, lexicais, sintáticas e semânticas. E para que o aluno leia com
fluência é preciso: desenvolver amplo domínio das relações entre grafemas e
fonemas na ortografia da língua portuguesa; automatizar o processo de identificação
das palavras, constituindo uma espécie de “dicionário mental”; realizar uma leitura
expressiva que inclui elementos prosódicos (entonação, ênfase, ritmo).
Esse autor afirma que, quanto mais um aprendiz lê, mais desenvolve o léxico
ortográfico o que implica identificar palavras com automatismo. Ressalta, ainda, a
48
importância a leitura extensiva de textos, de sentenças e frases, aliadas ao trabalho
de exploração sistemática das relações entre letras e sons, especialmente aqueles
com maior número de sílabas; do professor (ou outro leitor fluente) atuando com
modelo lendo em voz alta e ainda fornecendo um suporte à leitura do aluno
enquanto este realiza a leitura.
É preciso que o leitor em formação, por meio da leitura oral de textos,
evidencie:
Rapidez na leitura e
Habilidades de (KUNH e RASINSKI, 2007) ler progressivamente um número maior de palavras e, depois, de frases; diminuir hesitações, regressões e repetições; preservar as unidades sintáticas do texto; realizar uma leitura expressiva. (BATISTA, 2011, p. 26)
Essas contribuições de Solé, Batista e Kleiman, aliadas ao trabalho realizado
por McGinitie, Maria e Kimmel (1989), nos permitem entender algumas das
dificuldades enfrentadas por alguns leitores, quando são colocados diante de um
texto. A concepção sobre a compreensão da leitura que defendem esses
pesquisadores considera o leitor ativo: o significado do texto não está contido nas
palavras ou nos parágrafos e, dessa forma, o texto escrito constitui apenas um
esboço para a criação de significado.
Batista (2011) sintetiza, pois, em três tipos de saberes que o leitor ativo
mobiliza para realizar a leitura, e afirma ser em torno desses saberes que o ensino
da leitura e compreensão de textos deve se organizar:
O conhecimento prévio e a habilidade de construí-lo, nas situações em que não se compreendem textos ou passagens de textos;
As habilidades de fluência em leitura, por meio das quais o leitor processa com rapidez e adequação a informação gráfica ou visual;
As estratégias e habilidades de compreensão leitora, por meio das quais o leitor busca alcançar os propósitos que o orientaram em direção ao texto (como, por exemplo, estudar, informar-se, buscar um dado específico, divertir-se, agir). (BATISTA, 2011, p. 21)
McGinitie et al.(1989) apresentam modelos interativos de leitura, isto é, a ideia
de que o leitor participa do processamento em diferentes níveis, e ao mesmo tempo
em que seguem em duas direções: de baixo para cima – processos ascendentes – e
49
de cima para baixo, processos descendentes que se mobilizam para que o leitor
identifique uma palavra com base no conhecimento que tem sobre o que trata um
determinado texto e do conhecimento que tem sobre as letras de uma palavra.
Esses autores citam Kintsch (1979), para quem os processos de identificação
das palavras, acesso ao significado das palavras, e a análise sintática são
processos ascendentes (bottom-up), que atuam ao mesmo tempo com os processos
descendentes (top-down). Sobre essas duas estratégias explica Kleiman:
O processamento interativo corresponde ao uso de dois tipos de estratégias, segundo as exigências da tarefa e as necessidades do leitor: aquelas que vão do conhecimento do mundo para o nível de decodificação da palavra, envolvendo um tipo de processamento denominado top-down, ou descendentes, conjuntamente com estratégias de processamento bottom-up, ou ascendente, que começam pela verificação de um elemento escrito qualquer para, a partir daí, mobilizar outros conhecimentos. (KLEIMAN, 1993, p. 35-36)
Nesse processo de leitura de natureza interativa, o leitor programa seu
processamento de leitura que inclui o uso de estratégias particulares.
O problema, quanto à compreensão de um texto pode estar relacionado ao
mau uso dessas estratégias. Um leitor proficiente utiliza as estratégias, de maneira
que estas se ajustem adequadamente para construir sentido ao texto, o que não
ocorre com os leitores que apresentam dificuldades de leitura.
Quanto ao processamento de leitura do leitor com pouca proficiência, por
exemplo, aqueles que utilizam apenas a decodificação de maneira laboriosa, podem
persistir nesse esforço de decodificar letra por letra, palavra por palavra ou, então,
podem modificar seus recursos para compensar o problema. Ao persistir na tarefa
de decodificar o texto, esse comportamento pode acarretar o congestionamento do
sistema de processamento da leitura, impedindo, dessa forma, que o leitor recorra a
outros conhecimentos. Há, também, leitores que se valem da decodificação e, em
certa ocasião, podem abandonar a decodificação e preferir acionar seus
conhecimentos anteriores, buscando, então, adivinhar o que poderá estar escrito no
texto. Desse modo, então, uma mesma forma de realizar a leitura pode levar o leitor
a utilizar um estilo de compreensão baseado nas letras, mas também baseado no
seu conhecimento anterior.
50
Logo, esses leitores que confiam demasiadamente nos processos descentes
ou nos ascendentes não têm a flexibilidade de ajustá-los para a realização da leitura.
Aqueles que se baseiam demasiadamente no processo descendente, ou seja, na
antecipação do assunto do texto, e no conhecimento do mundo, não conseguem
considerar outros detalhes do texto que se apresentam como contrários à ideia
inicial desse leitor. E, ainda, aqueles que dependem excessivamente do processo
ascendente, demonstram grande dificuldade para chegar à compreensão do
significado total do texto, que está mais além dos detalhes. (McGINITIE, MARIA,
KIMMEL, 1989, p.25-26)
McGinitie et al.(1989) relatam uma pesquisa realizada com dois grupos de
leitores com pouca proficiência, cujas estratégias utilizadas denominaram de não
acomodativas, que se caracterizam pelo fato de os alunos se apoiarem nos seus
conhecimentos de mundo – ou seja, num processo descendente – utilizando, assim,
um reduzido número de palavras do texto, para relacionar conhecimentos de suas
experiências, lendo, como se o texto apresentasse exatamente o que já sabem.
Dessa forma, esses alunos não assimilavam o texto de acordo com seus esquemas,
não conseguindo usar os dados do texto para modificá-los. Também foi observado o
processo de leitura de um outro grupo que também apresentava deficiência na
leitura, possivelmente devido ao fato de que essas crianças elaboravam uma
interpretação inflexivelmente baseada em informações iniciais que o texto
apresentava e, a partir daí, todo o restante do texto levava a uma compreensão
equivocada. De certa maneira, esses leitores também utilizavam estratégias não
acomodativas, porque não se acomodavam a uma estrutura de informação que não
começasse com um enunciado sobre o tema.
Para que seja possível um maior entendimento sobre as estratégias que todo
leitor utiliza, buscaremos referência em Kenneth Goodman. Para esse pesquisador,
o que diferencia um leitor proficiente daquele que não o é, está na forma como cada
leitor utiliza o processamento de leitura.
51
Processo e estratégias de leitura
O processo de leitura deve ser flexível, a ponto de permitir observar
diferenças nas estruturas das línguas que não apresentam a mesma ortografia, nas
características dos diferentes tipos de textos e na capacidade e propósitos dos
leitores. Porém, apesar da necessidade de haver flexibilidade no processo da leitura,
há características essenciais que não podem variar. Deve começar com um texto
com uma forma gráfica; o texto deve ser produzido como linguagem, e o processo
deve terminar com a construção de significado, pois sem esta construção não há
leitura.(GOODMAN, 1989, p. 14). O que diferencia um bom leitor, do iniciante é a
forma como cada leitor utiliza esse mesmo processo.
Para um bom uso do processo de leitura, é importante considerar o propósito
do leitor, a cultura social, o conhecimento prévio, o controle linguístico, as atitudes e
os esquemas conceituais. A compreensão do texto pelo leitor depende,
consideravelmente, do que este conhece antes da leitura, e, assim sendo, um
mesmo texto pode apresentar diferentes modos de compreensão por diferentes
leitores, pois a interpretação está relacionada ao conhecimento prévio que cada um
possui sobre o conteúdo que trata o texto.
O processo de leitura dependerá do emprego de diferentes estratégias que
constituem esquemas para que o leitor possa construir significado, levando-o à
compreensão da leitura. Todo leitor experiente, que analise sua conduta ao ler,
verificará que, para a compreensão do texto, não basta decodificar letra por letra e
palavra por palavra. Durante a leitura, essas estratégias se desenvolvem e se
modificam: por exemplo, quando o texto fornece índices redundantes que não são
relevantes, o leitor seleciona aqueles que lhe serão úteis. Assim, o leitor elege os
índices mais produtivos e, nesse caso, a estratégia acionada é a de seleção.
Também, dependendo da lógica de uma explicação, da estrutura de uma
oração composta e ao final de uma palavra, os leitores podem utilizar todo o
conhecimento disponível e os esquemas para predizer o que virá no texto e qual
será o seu significado. Ou seja, o leitor, ao antecipar alguns elementos do texto,
utiliza a estratégia de predição. É possível, ainda, durante a leitura inferir o que não
está explícito no texto baseado no conhecimento conceptual e linguístico do leitor.
Nesse caso entra em jogo a estratégia de inferência. Esta é utilizada, por exemplo,
para decidir sobre o antecedente de um pronome, sobre as preferências do autor. O
52
uso dessa estratégia é verificado ainda em ocasiões em que o leitor não tem a
certeza se um determinado aspecto do texto estava explícito ou não.
Ao utilizar a seleção, a predição e as inferências, o leitor controla
constantemente a sua leitura para certificar-se do sentido do texto. No entanto,
algumas predições que, inicialmente, pareciam adequadas, logo podem mostrar-se
falsas ou sem fundamentos. Isso indica que há riscos envolvidos no uso dessas
estratégias. Por isso, é preciso que o leitor mobilize uma outra estratégia – a de
autocorreção para confirmar ou rejeitar as predições realizadas. Esse ato de verificar
através desta estratégia utilizada pelo leitor demonstra a sua preocupação em
controlar a sua compreensão. E segundo Goodman:
Se os leitores têm êxito e confiam em si próprios, desafiam os grandes riscos e incrementam sua eficiência. Se percebem que o texto é difícil de compreender, procedem com mais cautela, porém com menos eficiência. Os leitores devem também recorrer a estratégias de autocorreção para reconsiderarem a informação que possuem ou obterem mais informação no caso de não poderem confirmar suas expectativas. Isso, às vezes, implica um repensar e voltar com uma hipótese alternativa. Mas, às vezes, requer uma regressão a partes anteriores do texto, em busca de índices úteis adicionais. A autocorreção é também uma forma de aprendizagem, já que é uma resposta a um ponto de desequilíbrio no processo de leitura. (GOODMAN,1989, p. 17)
Em suma, esta pesquisa terá como eixo norteador para análise dos dados
coletados, os estudos do pesquisador Gérard Vergnaud e a abordagem sócio-
histórica de Vigotski, para o entendimento do processo de aprendizagem, porque
ambos os enfoques privilegiam a importância da mediação pela linguagem nesse
processo. Na mesma direção ainda, os estudos realizados sobre os processos
envolvidos na leitura serão de grande importância para elucidar questões relativas
às dificuldades com que os alunos se deparam na compreensão da linguagem
escrita, para resolver problemas matemáticos.
53
3 ALGUNS ESTUDOS SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NAS SÉRIES
INICIAIS
Apresentaremos, a seguir, alguns estudos e pesquisas realizados por
diferentes autores, sobre fatores que influenciam o desempenho na resolução de
problemas pelos alunos dos anos iniciais do ensino fundamental.
Buscamos algumas referências que relacionam determinado aspecto da
linguagem nessa resolução. Embora o interesse desta pesquisa seja investigar,
além dos aspectos conceituais matemáticos, os referentes à leitura, envolvidos na
compreensão do texto típico dos enunciados de problemas das referidas estruturas,
consideramos de relevância inserir essa questão dentro de um contexto ampliado –
a linguagem e o seu uso no ensino da matemática.
Inicialmente, tomemos as ideias de Gómez-Granell (1996) sobre a seguinte
consideração:
A linguagem matemática constitui uma forma de discurso específico que, embora guarde estreita relação com a atividade conceitual, mantém a sua própria especificidade com um discurso lingüístico. Portanto seria necessário que a pesquisa psicológica ou psicopedagógica se orientasse não somente para o estudo das dificuldades conceituais que a aprendizagem da matemática apresenta, mas também para o estudo dos problemas derivados da aprendizagem da formulação matemática. (GÓMEZ-GRANELL,1996, p.274)
Tendo, portanto a Matemática uma linguagem específica, o seu domínio
implica o conhecimento de seus aspectos semânticos e sintáticos. Para a autora, a
linguagem formal da Matemática é essencial e constitutiva do conhecimento
matemático, uma vez que com ela é possível converter os conceitos matemáticos
em objetos manipuláveis e calculáveis, permitindo que se façam inferências,
impossíveis de serem conseguidas por outros meios. Sendo assim, a linguagem
matemática assume um grau de generalidade que permite abranger todos os casos
particulares e prever novos casos.
Consequentemente, a utilização dessa linguagem formal implica a eliminação
dos conteúdos semânticos, isto é, a supressão das ambiguidades e o particularismo
da linguagem natural, o que confere à Matemática um caráter de abstração maior
em relação aos conteúdos das demais áreas de conhecimento.
54
Apesar de a autora reconhecer que saber Matemática significa dominar os
símbolos formais, independente de uma determinada situação e, ainda, atribuir a tais
símbolos o significado referencial, generalizando seu uso para as diferentes
situações, o ensino cuja concepção está embasada estritamente nos aspectos
sintáticos pode ocasionar alguns entraves na aprendizagem, justamente por se
desvincular de uma situação do real. Por outro lado, tece críticas sobre o ensino que
tem como foco básico apenas os aspectos conceituais e semânticos, nos quais se
atribui à linguagem formal um papel secundário, e considera que os alunos,
entendendo o significado dos conceitos e procedimentos matemáticos, não
apresentarão dificuldades no domínio da linguagem formal.
Contrapondo-se a essas duas correntes de ensino da Matemática, Gómez-
Granell (1996) sugere, então, que o ensino da matéria associe os dois aspectos:
semânticos e sintáticos, defendendo uma proposta de ensino em que:
Conceitos e procedimentos estejam inseridos em um contexto real, uma vez
que os conhecimentos se constroem no uso em contextos sociais e
culturalmente organizados, permitindo a atualização ou não dos
procedimentos em função das características de uma determinada situação,
e ainda reconhece que conhecimentos matemáticos cumprem uma função
social.
A resolução de problemas seja um importante instrumento para propor
situações que requeiram uma solução matemática, que provoquem ações
como levantar questões, pesquisar, discutir e explorar, além da
contextualização das operações.
Sejam valorizados os procedimentos próprios dos alunos, intuitivos ou não
formais, pois estes são possibilidades para explorar o significado dos
conceitos e dos procedimentos matemáticos.
Seja necessário associar os símbolos matemáticos ao seu significado
referencial.
Possa aplicar modelos concretos.
Possa utilizar e relacionar linguagens diferenciadas. Nesse ponto, a autora
afirma que o modelo concreto, como por exemplo, o uso do material dourado
para o ensino da adição, precisa ser associado ao algoritmo convencional.
55
Sejam trabalhados os mesmos conceitos e procedimentos em diferentes
contextos. O mesmo modelo matemático precisa ser apresentado em
diferentes estruturas semânticas, para que o aluno possa reconhecer
isomorfismos matemáticos.
Seja estimulada a abstração, progressivamente, pois, para que o
reconhecimento dos isomorfismos matemáticos seja possível, é necessário
variar os contextos e situações, em um processo de reflexão consciente com
a explicação das relações entre as quantidades.
Essas reflexões estão em consonância com as ideias de Vergnaud, para
quem um conceito se constrói, ao longo de uma larga experiência com um grande
número de situações. Dessa forma, tais situações podem estar relacionadas ao
contexto real, propiciando aos alunos a atribuição de sentido para as operações que
utilizarão, ou seja, ao se resolverem problemas com as diferentes estruturas
semânticas, essas favorecerão a construção de um campo conceitual.
Outro aspecto ressaltado por Gómez-Granell refere-se à importância do
domínio da linguagem formal, pois considera essencial e constitutivo do
conhecimento matemático, o que também a aproxima da ideia de Vergnaud de que
a linguagem e o uso dos símbolos matemáticos são imprescindíveis na
conceituação.
Uma investigação de relevância para o nosso trabalho refere-se ao estudo
realizado por Mendonça et al. (2007), porque aventa a preocupação com a leitura,
no bom desempenho ou não na tarefa de resolver os problemas.
Essa pesquisa foi realizada junto a alguns estudantes dos quatro primeiros
anos do ensino fundamental da rede pública de São Paulo e Bahia. A esses alunos
foram propostas as resoluções de 12 problemas de estrutura aditiva, que envolviam
situações de composição, transformação e comparação. Um quadro síntese da
classificação das situações-problema das estruturas aditivas, baseado na proposta
de Vergnaud, é apresentado pelas autoras:
56
Quadro 2: Classificação das situações-problema das estruturas aditivas
Fonte: Magina et al.(2008)
O que se observou foi que os dois grupos (São Paulo e Bahia) partem de
patamares próximos no primeiro ano. Percebeu-se uma melhoria nos resultados, à
medida que se avançava nos anos escolares. Segundo as autoras, isso se evidencia
nos problemas protótipos e de primeira extensão. Porém, em problemas de maior
complexidade, observou-se uma estagnação no desempenho dos estudantes da
Bahia.
Esse resultado parece evidenciar que não se trata de um problema de estruturas cognitivas do aluno, mas sim do ensino, que conforme Vergnaud (1982, 1990b) a expansão do campo conceitual aditivo passa necessariamente pelo processo de ensino. (MENDONÇA, et al, 2007, p.236).
57
Nesse sentido, vale ressaltar o impacto da cultura escolar para o avanço
conceitual do sujeito, fato esse lembrado por Gómez-Granell (1997), ao afirmar ser
possível o desenvolvimento de certo tipo de conhecimento matemático fora da
escola, pelas práticas sociais às quais um indivíduo se relaciona. No entanto, outros
conhecimentos e procedimentos não podem ser realizados sem o ensino formal. A
autora cita estudos de Schliemann, que mostraram que adultos e crianças que não
passaram pelo ensino formal apresentaram dificuldades de reconhecer o princípio
multiplicativo de comutatividade e que os conhecimentos não formais adquiridos por
meio da experiência cotidiana sempre são de caráter aditivo; os procedimentos
multiplicativos, porém, estão vinculados à influência da instrução formal porque a
passagem para concepções multiplicativas implica uma verdadeira mudança
conceitual.
Outro aspecto destacado pela pesquisa de Mendonça et al. (2007) foi a
influência da leitura na solução de situações-problema de matemática, ou seja, o
quanto do sucesso ou não na resolução dos problemas se deve ao domínio das
estruturas aditivas ou da falta de compreensão do texto. O que o levou a essa
reflexão foi o fato de que em certos casos, os alunos se apoiaram no que as autoras
denominaram de palavra-chave para resolver as situações.
Por exemplo, um problema que apresentou uma baixa porcentagem de
acertos foi referente ao seguinte enunciado:
Carlos tinha 4 bolas de gude. Ganhou algumas e agora ele tem 10 bolas de
gude. Quantas bolas ele ganhou?
Ao que tudo indica, o insucesso na resolução desse problema se deve à
incongruência semântica entre a palavra “ganhou” e a operação de subtração. Ou
seja, nesse caso, muitos alunos devem ter se orientado por essa palavra para
selecionar a operação de adição, quando a que resolve o problema é a subtração.
As autoras admitem que os resultados da investigação apontaram para a
interferência das questões linguísticas na resolução dos problemas, mas não
trouxeram explicações sobre o quanto este fator influencia nessa resolução, pois é
preciso levar em conta como o ensino tem contribuído para que se promova o
desenvolvimento dos campos conceituais
58
Guimarães (2005) traz resultados de sua pesquisa em que também relata que
certos erros apresentados por alguns alunos do 3º ano do ensino fundamental – com
os quais realizou o estudo na resolução de problemas aditivos –, estiveram
relacionados ao fato de esses alunos se apoiarem em palavras-chaves. Assim, por
exemplo, na resolução da seguinte situação proposta aos alunos pela pesquisadora:
José tem 34 anos e seu filho tem 12. Quantos anos José tem a mais que
Paulo? (GUIMARÃES, 2005, p. 14)
em que a presença de a mais, logo era associada à operação de adição que,
no caso, não resolvia o problema. O fato de não haver congruência semântica levou
a escolher uma operação inadequada, isto é, acarretou a evocação de um teorema-
em-ato falso para resolver a situação. Além do fato da incongruência semântica,
esses erros podem ser explicados também porque esses tipos de problemas trazem
um caso de subtração completamente contra--intuitivo, isto é, fazer uma subtração,
quando o contexto do problema sugere uma adição. (GUIMARÃES,2005, p. 14)
No entanto, a autora afirma que a presença da incongruência semântica entre
a palavra-chave e a operação que resolve o problema não foi a única fonte de
dificuldades dos alunos. As dificuldades também se apresentaram quando se
solicitavam as relações – comparação de estados –transformações e quando a
resolução dependia de uma inversão da sequência temporal, ou seja, da
composição de duas transformações.
Esse estudo também traz uma reflexão importante no que diz respeito ao uso
de uma linguagem que facilite a identificação da relação do problema.
Tomemos como exemplo o problema 3.2 José tem 34 anos e seu filho tem 12. Quantos anos José tem a mais que Paulo? A estrutura da primeira operação não permite alterações, pois é nela que estão os dados numéricos relativos aos estados. Quanto à segunda oração, algumas mudanças podem ser pensadas na tentativa de identificar a relação em questão: Qual a diferença entre as idades de Paulo e José? Quantos anos faltam para que Paulo tenha a mesma idade de José? Entretanto, para esse problema a questão não pode ser resolvida apenas transformando a redação do problema. Quando o que se pretende descobrir é a relação, ela continua não comparecendo objetivamente, mesmo quando se transforma a redação. (GUIMARÃES, 2005, p. 19)
Ou seja, não se trata de facilitar a linguagem, pois não resolve a identificação
das relações. Por isso, a autora não deixa de considerar os aspectos didáticos que
59
podem contribuir para o avanço dos alunos que apresentam essas dificuldades.
Aponta a necessidade de o ensino levar em conta uma prática de leitura
compreensiva e a interpretação no contexto do problema matemático, incentivando o
desenvolvimento do cálculo mental, da estimativa, e ainda, chamando a atenção
para as contradições das palavras que podem levar a uma resolução equivocada,
entre outros aspectos.
Tratando com maior detalhe sobre a necessidade de o ensino promover o
avanço na competência de resolver problemas, Parra e Saiz (2007) afirmam que a
capacidade dos alunos de pensar o problema está mais fortemente relacionada com
o tipo de trabalho matemático que se desenvolve, do que com as habilidades gerais
de leitura. Em primeiro lugar, essas autoras pontuam que o problema deve
constituir-se como um desafio que mobilize os alunos no sentido de agir, imaginar e
buscar algumas ações que permitirão resolvê-lo. Essa mobilização será possível se
o aluno se envolver na situação proposta, representando-a mentalmente e fazendo
as perguntas – Qual é a situação que se coloca? O que ocorreu? O que se sabe? –
aproximando-se, com isso, de uma primeira interpretação do problema a que se
propõe solucionar.
As autoras afirmam que, muitas vezes, a ausência de uma resposta pelos
alunos diante de um problema se deve, provavelmente, ao fato de os aprendizes
terem sido expostos a uma longa experiência em que bastava olhar os números e as
perguntas, em particular algumas palavras da pergunta para resolver o problema,
um dado confirmado pela investigação de Mendonça et al.(2007), já comentado
anteriormente.
O tipo de intervenção que tem sido oferecido pelos professores, observado
por Parra e Saiz (2007), pode justificar esse modo (descrito acima) de resolver os
problemas pelos estudantes: os professores, ainda que bastante preocupados com
as dificuldades dos alunos, solicitam que leiam o texto com atenção, que pensem,
ou ainda, que leiam em voz alta, que discutam o problema. As autoras não negam
que há, muitas vezes, certa dificuldade na leitura, porém elas analisam para além
dessa dificuldade. Com frequência, os alunos não percebem a necessidade de ler os
enunciados, porque basta registrar os números apresentados no texto do problema
e atentar para a palavra-chave da pergunta.
Esse procedimento pode ter como origem a forma como habitualmente o
professor encaminha a atividade com os alunos que apresentam dificuldade na
60
compreensão do problema. Muitas vezes, ele faz a leitura do enunciado em voz alta
e o que se observa, então, é que muitos alunos conseguem resolver o problema.
Porém, nessa leitura, há uma intencionalidade do docente que “dá o tom”,
enfatizando quase sem perceber algumas expressões do texto. Além disso,
perguntas do tipo “quais são os dados do problema” ou “qual é a pergunta do
problema?” podem contribuir para que os alunos leiam apenas os números e
algumas palavras-chave da pergunta.
Os enunciados dos problemas precisam ser trabalhados como um tipo de
texto, pois apresentam uma situação e alguma pergunta ou tarefa sobre aquela essa
situação.
Sobre esse aspecto, a pesquisa realizada por Lopes (2007) já com alunos do
5º. e 8º. anos do Ensino Fundamental, indicou que algumas dificuldades dos alunos
desses dois anos na resolução de problemas estão relacionadas à sua
compreensão leitora e à sua familiaridade com o gênero discursivo dos enunciados
de problemas matemáticos
Nessa pesquisa, a autora chama a atenção para o fato de que um aluno com
pouca fluência leitora demonstrou dificuldade maior na compreensão do texto dos
problemas, e alega que isso seja indício da falta de hábito da leitura em voz alta na
sala de aula (LOPES, 2007, p.88). Tudo indica que a fluência leitora a que se refere
a pesquisadora está relacionada à leitura por decodificação, letra por letra, sílaba
por sílaba que, sem dúvida, pode ser determinante no resgate do sentido do texto,
se não houver uma ajuda do professor.
Esse estudo confirma ainda o que Parra e Saiz (2007) afirmam sobre a leitura
do enunciado do problema pelo professor, ou seja:
o professor começa por fazer a leitura em voz alta do enunciado do problema usando uma entonação especial em certas palavras que, para “ele”, sugerem algumas pistas sobre a operação a ser usada em sua resolução, a seguir faz algumas perguntas bem rápidas e curtas a respeito do enunciado lido e para as quais sempre fornece pistas no que tange a resposta para, em seguida, solicitar aos alunos a resolução do problema em questão. (LOPES, 2007, p. 88)
Mas essa pesquisa mostrou que as dificuldades na compreensão dos textos
matemáticos vão além da pouca habilidade na leitura fluente; devem-se, também, à
não compreensão do gênero discursivo dos enunciados dos problemas escolares de
61
matemática e, ainda, à falta de habilidade de relacionar as informações contidas no
texto para se buscar a resposta ao problema proposto. (LOPES, 2007, p. 107).
Há diversos aspectos desses estudos e pesquisas citados que balizam e
referendam a nossa pesquisa. Todos tratam da linguagem natural envolvida na
resolução de problemas. Também alguns deles não deixam de fazer referências e
reflexões sobre a importância de se tratarem as operações dentro de campos
conceituais para favorecer a conceituação dessas operações pelos alunos, uma
referência comum aos estudos de Gérard Vergnaud, nos quais este trabalho de
pesquisa também fortemente se ancora.
Por fim, gostaríamos de fazer referências ao trabalho de Corso (2008) que
também se preocupou em investigar as dificuldades na leitura e na matemática em
uma pesquisa realizada com alunos do 3º ao 6º ano do Ensino Fundamental. No
entanto, a linha de análise desse trabalho toma um rumo diferenciado da nossa
pesquisa e das demais citadas anteriormente, porque Corso enfatiza aspectos
cognitivos que influenciam as aprendizagens, relacionados à consciência fonológica,
memória fonológica, velocidade de processamento, senso numérico, memória de
trabalho, uso de estratégias de contagem e de recuperação da memória.
Esse estudo identificou subgrupos, para os quais Corso faz a seguinte
descrição: estudantes que enfrentam dificuldades na matemática e apresentam uma
leitura fluente, outros que dão conta da matemática, mas que deixam a desejar em
leitura e, encontramos ainda, aqueles que enfrentam problemas concomitantes
nestas duas áreas. (CORSO, 2008, P. 179). A identificação desses grupos levou a
autora a analisar separadamente cada um deles.
Resumidamente, o que se verificou nessa pesquisa foi de que nos alunos que
inicialmente foram diagnosticados com dificuldades em matemática, observaram-se
defasagens na memória fonológica de relatos; no entanto, naqueles que
apresentavam dificuldades na leitura e na matemática, as defasagens observadas
estavam relacionadas a todos os processos cognitivos avaliados: processamento
fonológico (consciência fonológica, memória fonológica e velocidade de
processamento), senso numérico, memória de trabalho e atraso no desenvolvimento
de contagem.
A pesquisadora concluiu, portanto, a necessidade de incluir no Ensino
Fundamental, tarefas voltadas para o desenvolvimento do processamento fonológico
e do senso numérico.
62
4 MÉTODO
O método a ser utilizado nesta pesquisa seguiu os parâmetros da pesquisa
qualitativa, pois os dados foram coletados diretamente no ambiente da sala de aula,
– neste caso, uma sala de aula de 4º ano do ensino fundamental (de 8 anos) de uma
escola da rede municipal de São Paulo. Assim, os dados foram obtidos diretamente
pela própria pesquisadora em interação com o grupo de alunos. Além disso, esses
dados foram analisados a partir de entrevistas, questionários, observação das
interações que ocorreram na sala de aula, que terão registros – dos alunos e das
observações realizadas pela pesquisadora, e em vídeos. Essas formas de registro
permitiram traduzir com maior qualidade a trajetória da produção dos alunos. A
análise do processo de interação aluno/aluno e aluno/professor foi relevante para se
entender o desempenho dos alunos.
Portanto, os procedimentos previstos para desenvolver esta pesquisa
pautam-se pelas características descritas por Lüdke e André:
A pesquisa qualitativa ou naturalística, segundo Bogdan e Biklen (1982), envolve a obtenção de dados descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a situação estudada, enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em retratar a perspectiva dos participantes. ( LÜDKE e ANDRÉ 1986, p.11)
4.1 DESCRIÇÃO DOS INSTRUMENTOS DE COLETA
Para conhecer o perfil dos estudantes, sujeitos da pesquisa, foi elaborado um
questionário (Apêndice A), e nele será possível levantar informações sobre a sua
participação na sala de aula, sobre a relação que mantêm com o conhecimento
matemático e, ainda, seus hábitos de leitura.
Em relação ao professor, foi realizada uma entrevista (Apêndice B) - conforme
já mencionada anteriormente – a fim de obter dados sobre a sua formação (inicial e
continuada), a rotina semanal de trabalho que planeja; mais especificamente, sobre
as aulas de Matemática, sua relação com esta área de conhecimento e ainda, sobre
as concepções de dificuldades apresentadas pelos seus alunos.
Para obter informações a respeito das ideias dos alunos, foi proposta a
aplicação de atividades de resolução de problemas aditivos e multiplicativos, que
63
permitirão verificar conhecimentos dos alunos. As atividades propostas aos alunos
foram baseadas em alguns itens aplicados nas Provas Brasil, Saresp e da Cidade,
uma vez que, segundo os órgãos oficiais responsáveis por essas provas, eles
estariam adequados para o segmento de alunos sobre o qual se debruça esta
pesquisa. No entanto, foram realizadas algumas atividades elaboradas pela
pesquisadora, que também são recorrentes nas salas de aula. Tais atividades
(Apêndice C) podem colaborar para verificar os esquemas acionados pelos alunos –
tanto da competência leitora, quanto dos esquemas de resolução de problemas.
4.2 O CONTEXTO DO AMBIENTE DA INVESTIGAÇÃO: CARACTERIZAÇÃO DA
ESCOLA E DOS SUJEITOS DA PESQUISA
A opção de realizar a intervenção com uma turma do 4º ano do ensino
fundamental (no sistema de ensino de oito anos) em uma escola da rede municipal
de São Paulo, cuja faixa etária dos alunos é, em média, de 10 anos, justifica-se pelo
fato de esta pesquisa investigar alguns fatores que interferem na resolução de
problemas que requeiram a leitura por parte dos aprendizes. Este fato demanda, por
sua vez, que a maioria dos alunos já tenha sido alfabetizada, demonstrando certa
autonomia para realizar a leitura, o que é esperado para os alunos nessa fase de
escolarização.
Outro aspecto que influenciou a escolha da turma foi o fato de que esses
alunos já passaram pela escolaridade por, no mínimo 4 anos, e isso poderá
configurar melhor as dificuldades que apresentam, e de que natureza elas podem
ser. Dessa forma, poderá ser possível identificar o impacto da cultura escolar no
sucesso ou não na tarefa de resolução de problemas.
A escolha da unidade escolar contou com a disponibilidade oferecida pela
Direção e, também, da professora regente da turma, pois reconheceram a relevância
pedagógica desta pesquisa, oferecendo, assim, as condições necessárias para que
a investigação ocorresse.
Para a realização do trabalho nessa instituição, foi solicitada a autorização
junto à Secretaria Municipal da Educação de São Paulo, representada pela Diretoria
Regional de Educação Ipiranga (Anexo 1), da Direção da unidade escolar (Anexo 2),
64
bem como do professor da sala participante desta pesquisa, e a este será solicitada
a assinatura do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (Anexo3).
Também os pais de cada um dos alunos desse agrupamento, ou os
responsáveis por eles foram comunicados e a eles foi solicitada a assinatura do
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (Anexo 4).
A unidade escolar
A escola situa-se na zona sul da capital de São Paulo, funcionando em dois
turnos diurnos e um noturno. A equipe gestora é composta pela Diretora, duas
Assistentes de Direção e duas Coordenadoras Pedagógicas. Estudam nessa
unidade aproximadamente 817 alunos, sendo distribuídos em 6 turmas do Ensino
Fundamental I (1º ao 4º ano) e 11 turmas do Ensino Fundamental II (5º ao 8º ano).
Funcionam, ainda, nesse estabelecimento de ensino, 9 turmas de EJA (Educação de
Jovens e Adultos) no período noturno.
A turma do 4º ano
A turma é composta por 26 alunos, na faixa etária entre 9 e 12 anos. Todos
dominam o sistema de escrita alfabética, sendo que uma aluna necessitou de ajuda
para a leitura, uma vez que havia sido alfabetizada recentemente.
As respostas ao questionário inicial aplicado revelaram algumas informações
sobre o perfil da turma: mais da metade desses alunos – 58% - estudam nessa
unidade escolar desde o primeiro ano do ensino fundamental, sendo que apenas 4%
possuem histórico de reprovação.
A leitura que a grande maioria aprecia é a de gibis e histórias em quadrinhos
(92%), mas também gostam de ler romances e livros de aventura e ficção científica
(27%),
Quanto à relação com a Matemática, 81% afirmaram que gostam de estudar
essa disciplina porque, para alguns, ter o domínio do conhecimento matemático
constitui uma ferramenta para as necessidades do cotidiano. Outros afirmam que
gostam do desafio que a disciplina apresenta, sintetizado na afirmação de um aluno:
Gosto de matemática porque tem coisas difíceis e para mim coisas difíceis são
melhores.
65
Mas 65% afirmaram que tem facilidade na aprendizagem. Reconhecem o uso
do conhecimento matemático no contexto social (85%), fazendo referência
especificamente à situação de compras no seu dia a dia e no dos familiares.
Ao que parece, há uma boa participação dos pais na vida escolar, pois 88%
dos alunos informaram que seus pais ou responsável estiveram sempre ou quase
sempre presentes nas reuniões convocadas pela escola. Outro indicador que pode
evidenciar a presença da família na vida escolar desses alunos, é o fato de 65%
terem respondido que sempre ou quase sempre fazem as lições de casa e nenhum
aluno respondeu que nunca faz.
4.3 O CONTEXTO DA REALIZAÇÃO DA PESQUISA E OS PROCEDIMENTOS DE
COLETA
Os trabalhos para esta pesquisa foram realizados no próprio horário de aula
dos alunos (sempre nas duas iniciais, entre 13h30min e 15h00). Todas as atividades
foram encaminhadas sem a intervenção da professora regente. Vale lembrar, no
entanto, que ela esteve presente em todos os momentos da coleta de dados,
embora apenas como observadora. Algumas impressões sobre a atuação dos
alunos foram trocadas no final de cada sessão, particularmente, entre a professora e
a pesquisadora.
Em relação ao encaminhamento das tarefas, as orientações iniciais foram
dadas coletivamente, bem como as dúvidas mais gerais. Quanto às mais específicas
fomos esclarecendo individualmente, ou nas duplas, à medida que éramos
solicitadas.
Quanto à organização da classe, nas primeiras atividades propusemos
realização das atividades individualmente, pois era preciso ter um panorama do
desempenho de cada aluno, para além das informações obtidas pela professora.
Dessa forma, nas sessões seguintes foi possível organizar os alunos em
dupla, segundo os desempenhos observados nas atividades anteriores, procurando,
sempre que possível, agrupá-los segundo o critério baseado nos diferentes
conhecimentos.
As intervenções foram realizadas em três etapas, sendo que na primeira as
seguintes atividades foram: entrevista com a professora regente da turma, o
esclarecimento aos alunos sobre o propósito da nossa presença por alguns meses
66
na sala de aula e a aplicação de questionário aos alunos. Na segunda etapa, as
atividades foram propostas a todos os alunos e na terceira, as atividades foram
realizadas por apenas três duplas. Esta última etapa se justificou, para que
pudéssemos investigar melhor a qualidade da interação entre os pares, e o fato foi
devidamente explicitado a todos os alunos, e que portanto, não seria necessária a
participação de outros alunos, mesmo porque não haveria tempo para mais essa
tarefa. Também o critério de escolha das duplas – o sorteio –, foi comunicado à
turma.
Para estimar o tempo para cada atividade da intervenção junto aos alunos,
foram considerados:
A extensão da atividade, no sentido de propiciar uma unidade completa do
tópico planejado.
A possibilidade de se manter um nível de atenção e envolvimento dos alunos
na tarefa.
Uma interferência mínima no planejamento do professor da sala de aula (das
atividades e do tempo).
O conjunto dos encontros, no total de 10, teve tempo estimado de 15 horas.
As situações-problema foram digitadas e entregues aos alunos e para a sua
realização, a nossa orientação foi a de que, após lerem os enunciados realizassem
individualmente e a resolução não deveria ser necessariamente através dos
algoritmos convencionais, pois o nosso objetivo era verificar os diferentes esquemas
que pudessem ser evocados pelos alunos.
Durante a resolução, fomos acompanhando alguns alunos e fazendo alguns
questionamentos que pudessem colaborar na análise dos aspectos que poderiam
estar implicados nas resoluções, nos casos que observamos os acertos quanto nos
erros. Após a realização individual, encaminhamos para as discussões coletivas,
momentos esses em que alguns alunos foram convidados a explicar as suas
resoluções, justificando seus procedimentos e suas respostas.
Não foi possível, em todos os dias da coleta, efetivar essas discussões
coletivas, uma vez que foram organizadas também situações em que os alunos
realizaram a tarefa em duplas e, nesses momentos, algumas das interações foram
acompanhadas.
67
4.4 ETAPAS DA PESQUISA
Primeira etapa
Entrevista com a professora regente da sala de aula do 4º ano do Ensino
Fundamental I (Apêndice 2), com o objetivo de constatar tipos de dificuldades
que os alunos encontram na resolução de problemas, em especial na questão
da sua interpretação.
Conversa com os alunos sobre as atividades que realizarão, bem como
apresentação das justificativas.
Aplicação de um questionário a cada aluno (Apêndice 2), a fim de levantar:
o As preferências de leitura
o Frequência com que realiza leituras
o Dificuldades que encontra na leitura para realizar tarefas escolares
o A disposição para a aprendizagem da Matemática
o Dificuldades que encontra na aprendizagem da Matemática
Segunda etapa
Primeiro dia:
Atividades para o dia 24/05/2011
1- Em uma sala de aula há algumas meninas e 21 meninos. No total são 45
alunos. Qual é a quantidade de meninas nessa sala de aula? 2- Uma perua escolar fez várias paradas
Na primeira, subiram 17 crianças.
Na segunda, desceram 3 crianças.
Na terceira, desceram 5 crianças. Quantas crianças permaneceram na perua após a terceira parada?
Aplicação das atividades: resolução de situações-problema do campo aditivo.
1º momento: Resolução individual das situações-problema.
2º momento: Socialização das resoluções.
Tempo de aplicação: 90 minutos.
68
Segundo dia:
Atividades para o dia 24/05/2011
1. No final de uma partida de “bafo”, João e Rafael foram conferir com quantas figurinhas cada um ficou. João contou as suas e disse que tem 47. Pedro disse que ficou com 19 a mais que seu amigo. Com quantas figurinhas Pedro terminou a partida?
2. Em uma sala de aula havia no total 1 238 livros. Após receber uma doação de 236 livros, com quantos livros ficou essa sala de leitura?
3. De uma vara de madeira de 64 cm, quantos pedaços de 8 cm se pode obter?
4. Um carro percorre 240 quilômetros em 4 horas. Quantos quilômetros esse carro percorre em duas horas, se andou sempre na mesma velocidade?
Aplicação das atividades: resolução de duas situações problema do campo
aditivo e duas do multiplicativo.
1º momento: Resolução individual das situações-problema.
2º momento: Em duplas, confrontação das resoluções.
3º momento: Socialização das resoluções (coletivamente).
Tempo de aplicação: 90 minutos.
Terceiro dia:
Atividades para o dia 21/06/2011
I - Leia os enunciados abaixo: 1) Duda tem uma coleção de carrinhos e guarda em 5 caixas. Cada caixa tem 8 carrinhos. Quantas horas ele brincou com seus amigos? 2)Bernardo coleciona figurinhas de jogadores de futebol. Hoje ele comprou 5 envelopes com 3 figurinhas em cada envelope. O álbum completo tem 110 figurinhas. 3)Júlia e Renata têm juntas R$ 42,00. Quanto dinheiro tem Renata? 4) Carina saiu de casa com uma quantia em dinheiro. Foi ao supermercado e gastou 35 reais e na padaria 18 reais e ainda lhe sobraram 7 reais. Quantos reais Carina tinha ao sair de casa? 5)Como posso dividir igualmente 8 lápis para 10 crianças? 6) Na geladeira da minha casa tenho 12 laranjas, 4 maçãs, 8 cenouras 2 pés de alface e 6 peras. Quantas frutas tenho na geladeira?
69
II – Quais dos enunciados acima podem ser problemas que podem ser resolvidos? III – Quais não podem ser resolvidos? Por que eles não podem ser resolvidos?
Aplicação de atividades cujo foco será a análise de enunciados de situações-
problema dos campos aditivo e multiplicativo.
Essa atividade consiste em analisar enunciados dos problemas não
necessitando resolvê-los, e tem como objetivo verificar se os alunos analisam
adequadamente as informações do texto.
Tais enunciados terão diferentes características:
- uma situação-problema:
sem resposta.
com mais de uma resposta.
com uma resposta apenas
a que faltam dados para resolver.
que contém mais dados que os necessários para sua resolução.
Nessa atividade, os alunos realizaram a leitura dos enunciados das situações-
problema, verificando quais são possíveis de solução, se há apenas uma resposta
ou se admitem diferentes respostas e, ainda, precisarão selecionar os dados
necessários para resolver a situação-problema.
A tarefa foi realizada em duplas, e depois socializada com a turma.
Tempo estimado de realização e discussão dessas atividades: 90 minutos
Quarto dia:
Atividades para o dia 27/06/2011
1 – Carina saiu de casa com uma quantia em dinheiro. Foi ao supermercado e gastou 35 reais e na padaria, 18 reais. Quando chegou em casa verificou que ainda lhe havia sobrado 7 reais. Quantos reais Carina tinha ao sair de casa? 2 – Em uma sala de cinema há 32 fileiras com 12 cadeiras em cada fileira. Qual é o total de cadeiras dessa sala de cinema?
70
3 - Em uma visita ao Museu do Ipiranga irão 58 pessoas entre alunos e professores. Se em uma perua escolar podem ser transportados 9 passageiros, quantas peruas serão precisos para transportar todas as pessoas que irão ao museu? 4 – Uma padaria produz pãezinhos de manhã e de tarde. Em um certo dia, dos pães que assou de manhã sobraram 26 pãezinhos, e das que assou à tarde ficaram 18. Quantos pãezinhos sobraram nesse dia?
Aplicação das atividades: resolução de duas situações problema do campo
aditivo e duas do multiplicativo.
1º momento: Resolução individual das situações-problema.
2º momento: Em duplas, confrontação das resoluções.
3º momento: Socialização das resoluções (coletivamente).
Tempo de aplicação: 90 minutos.
Quinto dia:
Atividades para o dia 04/07/2011
1 – Leia o texto abaixo:
Os alunos do 4º ano A e do 4º ano B foram fazer pic-nic. Do 4º A foram 24 alunos e do 4º B foram 26. Acompanharam esse passeio, 3 professores, 4 mães e 2 serventes.
Levaram 15 caixas de suco e 15 garrafas de água mineral. Foram em dois ônibus em que cada um poderia transportar sentadas 40 pessoas.
a) Quantos adultos acompanharam o passeio? b) Quantos alunos do 4º B foram? c) Quantas garrafas de bebidas levaram? d) Quantas pessoas poderiam ser transportadas em cada ônibus? e) De qual turma foram mais alunos?
2 – Responda: a) Quais das perguntas acima puderam se respondidas apenas localizando
informações no texto?
b) Para quais das perguntas acima precisaram fazer um cálculo ou uma comparação uma vez que a resposta não estava no texto.
71
3 – Agora vocês é que inventarão e escreverão uma pergunta que:
Pode ser respondida diretamente localizando as informações que estão no texto.
Será respondida após a realização de um cálculo ou uma comparação.
Qual é a pergunta?
1 -Leia o texto abaixo: Nove amigos combinaram de passar um domingo no Parque do Ibirapuera. Para isso decidiram que levarão 3 sanduíches para cada um e uma garrafa de refrigerante de 2 l para cada 3 pessoas. Quantas garrafas de refrigerante precisarão levar?
2 - Assinale com um X quais contas resolvem este problema: ( ) 1 + 1 + 1
( ) 3 x 9
( ) 9 : 3
Aplicação de atividade:
o De interpretação do texto, através de algumas perguntas para cuja
resposta basta localizar as informações no texto e de outras perguntas
para as quais seria preciso fazer um cálculo ou uma comparação.
o De elaborar outras perguntas para o enunciado com o mesmo caráter
do que foi proposto anteriormente.
o De leitura de um enunciado de uma situação-problema e identificação
das operações que podem resolvê-la.
1º momento: Resolução em duplas.
2º momento: Discussão coletiva
Tempo de aplicação: 90 minutos
Nesse dia a frequência dos alunos foi baixa e consideramos que precisariam
ser replicadas no próximo dia.
Sexto dia:
Atividades para o dia 03/08/2011
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A família Silva vai às compras 1 – Leia o texto abaixo:
Aos domingos dona Marisa vai à feira. Essa semana ela foi acompanhada de seus dois filhos Miguel e Taís e a vizinha dona Neide.
Dona Marisa comprou uma dúzia de laranja pêra, meia dúzia de laranja lima, 6 maçãs, 18 bananas, 1 quilo de batata, dois pés de alface, 1 quilo e meio de tomate e gastou ainda 16 reais por 2 quilos de frango.
Ao chegar em casa fez as contas e verificou que o total de gasto nessas compras tinha sido de 48 reais e que ainda havia sobrado 8 reais.
a)Quantas frutas dona Marisa comprou na feira?
b)O que ela comprou mais: laranjas ou bananas?
c)Quanto ela gastou com as compras que fez na feira?
d)Quantos reais ela levou à feira?
2 – Responda: c) Quais das perguntas acima puderam ser respondidas apenas
localizando informações no texto?
d) Para quais das perguntas acima você precisou fazer um cálculo ou
uma comparação uma vez que a resposta não estava no texto?
3 – Agora você vai inventar uma pergunta para a situação acima que:
Possa ser respondida diretamente localizando as informações que
estão no texto.
Será respondida após a realização de um cálculo ou uma
comparação.
Qual a operação que resolve os problemas?
Leia cada um dos problemas e, em seguida, assinale quais contas podem resolver cada um deles.
1 - Tenho 18 CD para guardar em caixas que cabem até 4 CD. Quantas
caixas serão precisos para guardar todos esses CD?
Assinale com um X quais contas resolvem este problema:
( ) 18 4 – 4 – 4 – 2
( ) 18 x 4
( ) 18 : 4
( ) 4 + 4 + 4 + 4 + 2
73
2 – Joãozinho vai convidar alguns amigos para o seu aniversário. Ele
calculou que precisará comprar uma garrafa de refrigerante de 2 litros
para cada 4 pessoas. Segundo os cálculos de Joãozinho, quantas
dessas garrafas ele precisará comprar se ao todo serão 16 pessoas
nessa festa?
Assinale com um X quais contas podem resolver este problema: ( ) 16 x 4 ( ) 16 x 2 ( ) 16 : 4 ( ) 1 + 1 + 1 + 1 ( ) 2 + 2 + 2 + 2
Foram propostas atividades da mesma natureza do 5º dia.
Aplicação de atividade:
o De interpretação do texto através de algumas perguntas para cuja
resposta bastava localizar as informações no texto e de outras
perguntas para as quais-l era preciso fazer um cálculo ou uma
comparação.
o De elaborar outras perguntas para o enunciado com o mesmo caráter
do que foi proposto anteriormente.
o De leitura de um enunciado de uma situação-problema e identificação
das operações que podem resolvê-la.
1º momento: Resolução em duplas.
2º momento: Discussão coletiva
Tempo de aplicação: 90 minutos
Sétimo dia:
Atividades para o dia 09/08/2011
I - Qual é a pergunta? Leia o texto abaixo:
Dona Bete é uma boleira de mão cheia. Recebeu uma encomenda de bolo de chocolate para uma reunião em que se espera 20 pessoas. Ela escolheu uma receita que se usa os seguintes ingredientes, e que rende 12 pedaços:
74
Bolo de chocolate Ingredientes:
4 ovos
1 xícara (chá) de leite morno
4 colheres (sopa) de margarina derretida
1 xícara (chá) de açúcar
1 xícara (chá) de farinha de trigo
1 colher (sopa) de fermento em pó
Dona Bete foi verificar se dispunha de todos os ingredientes e
viu que precisava comprar ovos e leite.
Agora invente uma pergunta para que este texto se torne um problema possível de ser resolvido pelos seus colegas.
II - Invente problemas
Invente e escreva um problema que pode ser resolvido pela operação 23 x 4. Não se esqueça que é preciso pensar em uma pergunta para o problema se
torne possível de ser resolvido.
Aplicação da atividade: resolução de duas situações problema do campo
aditivo e duas do multiplicativo.
1º momento: Resolução individual das situações-problema.
2º momento: Socialização das resoluções (coletivamente).
Tempo de aplicação: 90 minutos.
Oitavo dia:
Atividades para o dia 16/08/2011
Resolvendo problemas 1 – Em um grande supermercado há três andares de estacionamento, e em cada andar trabalham 3 funcionários. No primeiro andar estão estacionados 52 carros e no segundo andar, 48 carros. Quantos funcionários trabalham nesse estacionamento? 2 - Um time de futebol dispõe de 3 modelos de camisetas, 4 cores de calções. De quantas formas diferentes este time pode se apresentar nos jogos? 3 – Renato e João são atletas. Em uma prova, Renato correu 4800 metros e João
75
3550 metros. Quantos metros Renato correu a mais que João? 4– Sílvia precisa empacotar 156 bolinhas de gude, devendo colocar 12 bolinhas em cada pacote. Quantos pacotes serão necessários para que ela empacote todas as bolinhas?
Aplicação da atividade: Com base em alguns dados apresentados em um
enunciado, a elaboração de uma pergunta tornando-o um problema possível
de ser resolvido.
Elaboração de um texto de situação-problema a partir de uma operação com
o objetivo de verificar se os alunos conseguem explicitar os elementos
necessários (exemplo: informar dados necessários e propor questões
coerentes com esses dados) para a produção desse tipo de texto.
1º momento: Realização individual
2º momento: Socialização das perguntas e dos enunciados.
Tempo de aplicação: 90 minutos
Terceira etapa
Entrevista com 3 duplas, em dois dias, de 90 minutos cada.
Nessa etapa, foi entregue uma folha de atividades para cada dupla (Apêndice
C), em que um dos componentes, inicialmente, realizou a leitura em voz alta,
seguida de discussão do enunciado e a resolução do problema.
Atividades para as duplas – 19/10/2011
Que conta resolve o problema?
Leia e analise cada uma das situações abaixo. Em seguida assinale qual é a operação que resolve cada problema. 1. Em um grande campeonato de futebol foram organizados 32 equipes. Cada
equipe tem 8 jogadores reserva. Quantos são os jogadores reserva? a) 32 + 8 b) 32 x 8 c) 32 : 8 d) 32 – 8
2. Cada equipe tem 11 titulares e 8 reservas. Em 2 equipes, quantos
jogadores há entre titulares e reservas?
76
a) 11 + 8 + 2 b) 19 x 2 c) 11 + 8 x 2 d) 19 + 2
3. Em um hotel estão hospedados 240 pessoas. Elas serão transportadas
para o ginásio de esportes em ônibus que tem 21 poltronas. Todas as poltronas serão ocupadas e nenhuma pessoa viajará em pé. Quantos ônibus serão necessários para levar essas pessoas ao ginásio de esportes? a) 240 + 21 b) 240 – 21 c) 240 x 21 d) 240 : 21
4. Sandra empacotou 148 lembrancinhas para serem divididas para as crianças na festa da creche. Ela precisará empacotar ainda 18 lembrancinhas. Quantas lembrancinhas serão distribuídas nessa festa? a) 148 – 18 b) 148 x 18 c) 148 + 18 d) 148 : 18
5. João tem uma coleção de 10 adesivos de personagens. Ele quer colá-los em um álbum que tem 25 páginas, sendo que em cada uma há espaço para colar 18 adesivos. Quando esse álbum ficar completo quantos adesivos terão sido colados? a) 10 + 25 b) 25 + 18 c) 25 x 18 d) 10 + 25 + 18
Invente um problema que pode ser resolvido pela operação 390 x 15.
As atividades consistiam em ler o enunciado e selecionar entre as
alternativas, qual operação que pode resolver o problema.
Tempo aproximado de aplicação: 60 minutos para cada dupla.
Os encaminhamentos, bem como a intervenção nas atividades foram por nós
realizados e durante todo o processo de coleta foram registradas (por escrito e
alguns em vídeos) as principais discussões ocorridas entre os alunos e entre a
pesquisadora e os alunos que foram de grande valia também para as nossas
análises. Os registros em vídeo foram devidamente autorizados pelos responsáveis
dos alunos, bem como da professora regente da turma, através do Termo de
Consentimento Livre e Esclarecido – TCLE (Anexo C e D).
77
4.5 PROCEDIMENTOS DE ANÁLISE
Para a análise dos dados coletados nesta pesquisa, apoiamo-nos na técnica de
Análise de Conteúdo, conforme propõe Bardin (1977), pois acreditamos que os
princípios da referida técnica serão fundamentais para subsidiar a busca das
respostas às questões colocadas nesta pesquisa.
Segundo essa autora, a Análise de Conteúdo é uma ferramenta que permite
diversas formas, sendo adaptável a um amplo campo de aplicação que é o da
comunicação. E, então, como esta pesquisa objetiva analisar e entender os fatores
que podem incidir nas formas de resolução de problemas matemáticos implica,
portanto, analisar e compreender: as produções escritas dos alunos (os modos de
resolução dos problemas), as justificativas das escolhas feitas por eles, bem como a
comunicação que ocorreu nas interações (pesquisadora/aluno e aluno/aluno).
Contemplam-se, assim, os domínios possíveis da aplicação da análise de
conteúdo (BARDIN, 1977), pois analisaremos dentro do código linguístico, o escrito
e oral, e ainda no código icônico as diferentes estratégias de resolução, seja por
símbolos matemáticos como por representações figurativas. A unidade, portanto,
que sintetizará a análise, será a expressão linguística e icônica da resolução de
problemas matemáticos.
Inicialmente, apresentaremos análise geral de todas as atividades propostas e
uma análise geral do desempenho dos alunos e a seguir, analisaremos com maior
detalhe tais desempenhos, pois eles serão examinados tendo como norteadores os
fatores que interferiram na resolução dos problemas, quais sejam:
O domínio dos conceitos matemáticos que influíram no desempenho dos
alunos para a resolução dos problemas das estruturas aditiva e multiplicativa
e, dentro desse contexto, a análise foi feita com base os seguintes eixos:
I) A identificação ou não da operação pertinente à resolução da
situação-problema.
II) Em relação á identificação da operação pertinente, os acertos ou
não na sua realização , isto é, acerto ou não no resultado.
78
III)Estratégias de resolução
(i) contagem
(ii) cálculo
IV)Dos tipos de cálculo:
(i) mental (aproximado/exato)
(ii) algoritmo convencional
Aspectos da linguagem que influenciaram nos modos de resolver os
problemas. E aqui, foram analisados com base nos seguintes eixos:
I) Como as estratégias de leitura mobilizadas puderam influenciar
o entendimento da situação-problema para o acionamento dos
esquemas relativos às operações das estruturas aditiva e
multiplicativa.
II) o papel da interação (pesquisadora/aluno e aluno/aluno), para
o favorecimento da criação da Zona de Desenvolvimento
Proximal - ZDP. Nesse sentido, analisamos como as
explicitações do pensamento, quer seja para justificar seu
procedimento de resolução ao outro, quer seja refutando o ponto
de vista do colega, podem se constituir em um andaime para
que os alunos possam progressivamente avançar na
aprendizagem matemática.
Considera-se a relação dialética entre tais eixos; não se trata, portanto, de
fragmentar, mas ter um entendimento pormenorizado de modo a evidenciar qual
desses aspectos teve maior relevo no processo de resolução de problema dos
alunos, sujeitos desta pesquisa.
Certamente, pudemos observar que em alguns casos todos os fatores acima
discriminados convergem para explicar certos modos de resolução pelos alunos.
Essa foi a perspectiva de análise adotada. Porém, não desconsideramos as
possibilidades que outros enfoques possam privilegiar essa análise.
79
5 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS
A seguir, serão apresentadas as análises dos dados coletados, iniciando
com um panorama geral do desempenho dos alunos na realização de todas as
atividades. Em seguida, as reflexões seguirão, considerando o domínio dos
conceitos matemáticos que implicaram o desempenho dos alunos na resolução dos
problemas e, finalmente, as análises estarão voltadas para os aspectos da
linguagem que influenciaram nos modos de resolver os problemas.
5.1 DESEMPENHO DOS ALUNOS – UM PANORAMA INICIAL
O primeiro bloco de atividades proposto aos alunos foi o de resolução de
problemas, sendo um total de 14 situações entre estruturas aditivas e multiplicativas,
distribuídas em quatro aulas, não consecutivas.
Na tabela 1, apresentamos a classificação (proposta nos PCN) das 14
situações, entre as estruturas aditiva e multiplicativa:
Tabela 1: Classificação das situações-problema
ESTRUTURAS
Aditiva Multiplicativa
Composição Transformação Comparação Proporc. Conf. Retang. Combinatória
P 1 P2 P3 P5 P8 P12
P 7 P4 P13 P6
P 10 P9
P 11 P 14
A seguir, as informações da tabela 2 mostram a distribuição dos problemas, o
número de alunos participantes e o seu desempenho na resolução dessas 14
situações-problema.
Nessa tabela, podemos observar duas categorias de acerto: A - para os
acertos referentes à identificação da operação que resolve o problema, quer seja
pelo algoritmo convencional, por meio de cálculo mental com registro ou não, e
ainda pela contagem, apoiando-se nas representações figurativas. Porém, a seleção
correta da operação não garante o acerto na resposta: em alguns casos os alunos
identificam corretamente a operação, mas podem cometer erros na contagem e nos
80
procedimentos de cálculo quer algorítmico, mental ou estimativo, o que leva ao erro
na resposta. Tal erro foi observado também em casos de alunos que utilizaram a
contagem. Diante desse fato, houve a necessidade de considerar mais essa
categoria: o acerto na resposta - R.
Tabela 2 : Desempenho dos alunos na resolução de problemas
Data/nº de alunos
Campo Aditivo
Campo Multiplicativo
Transformação Composição Comparação Proporcionalid Conf. Retang.
Combinatória
24 maio 26
P2 A:15 – 57,7% R:15 – 57,7%
P1 A:21 – 80,8% R:18 – 69,2%
06 junho 26
P4 A:18 – 69,2% R:16 - 61,5%
P3 A:24 – 92,3% R:23 – 88,5%
P5 A:17 – 65,4% R:16 – 61,5%
P6 A:13 – 50% R:13 – 50%
27 junho 17
P7 A:16 – 94,1% R:12 – 70,6%
P10 A:14 – 82,3% R:14 – 82,3%
P9 A:12 – 70,6% R:12 – 70,6%
P8 A:14 – 82,3% R:10 – 58,8%
16 agosto 23
P13 A:20 – 86,9% R:16 – 69,5%
P11 A:20 – 86,9% R:19 – 82,6%
P14 A:15 – 65,2% R:13 – 56,5%
P12 A:20 – 86,9% R:18 – 78,3%
Legenda:
A: Acerto na identificação da operação que resolve o problema. R: Acerto na resolução da resposta.
Na primeira análise que se faz, ao observar o desempenho da turma, com
base nos dados numéricos apresentados na tabela 1, a grande maioria dos alunos
consegue identificar as ideias das estruturas aditivas e multiplicativas envolvidas nos
enunciados das situações-problema. Para muitos alunos, as palavras-chave
contidas em alguns enunciados não foram os indutores para selecionar as
operações, como é o caso de “a mais” no P1 (06/06) ou ainda “sobraram” e “ficaram”
no P4 de 27/07. De fato, alguns dos alunos já estão atentos quanto ao uso desse
recurso para resolver os problemas.
No entanto, o método utilizado para coletar os dados não se baseou apenas
no que os alunos apresentaram (ou não apresentaram) nas resoluções. As
intervenções junto aos alunos buscaram, também, a compreensão dos recursos
mobilizados, principalmente pelos alunos que apresentaram dificuldades na
realização da tarefa, tanto no que se refere ao modo de interpretar o enunciado,
81
quanto nos procedimentos de resolução. E, sendo assim, essas intervenções
serviram como uma “lente de aumento” para identificar melhor o que estava em jogo
nos erros observados no decorrer da coleta, e também quando se observava que
alguns alunos não conseguiam acionar nenhum conhecimento para iniciar a tarefa
de resolver os problemas.
Segue a análise das situações-problema propostas e do desempenho dos
alunos. No primeiro bloco (P1 ao P14), o nosso objetivo foi verificar se os alunos
conseguem identificar a operação pertinente à resolução de cada problema e ainda,
observar os procedimentos que utilizam.
Quadro 3 – Análise de desempenho da situação P1
P1. Em uma sala de aula há algumas meninas e 21 meninos. No total são 45 alunos. Qual é a quantidade de meninas nessa sala de aula?
Característica do enunciado
Estrutura aditiva tendo subjacente a ideia da composição. Essa classe de problemas, segundo Magina et al (2008) são as que a criança domina pois é um tipo de situação relacionada às “primeiras experiências da criança com a operação de adição, as quais acontecem dentro do seu cotidiano e bem antes de ela iniciar a 1ª. série do Ensino Fundamental”. Trata-se de situação em que as crianças utilizam um conhecimento intuitivo. No entanto, nessa situação proposta aos alunos, apresenta-se uma das partes e o todo, solicitando-se que encontre a outra parte. É um problema que canonicamente poderia ser resolvido subtraindo do todo a parte conhecida.
Porcentagem de Acerto na identificação da operação
80,8%
Observação:
Os alunos que não identificaram a operação adequada realizaram a operação de adição tomando os dois dados numéricos presentes no texto.
Porcentagem de Acerto na operação realizada
69,2%
Procedimento de resolução: Cálculo com algoritmo convencional
82
Quadro 4 - Análise de desempenho da situação P2
P2.Uma perua escolar fez várias paradas:
a. Na primeira, subiram 17 crianças. b. Na segunda, desceram 3 crianças.
c. Na terceira, desceram 5 crianças.
Quantas crianças permaneceram na perua após a terceira parada?
Característica do enunciado
Estrutura aditiva, da classe de problemas referente à transformação, sendo que estão presentes três transformações sucessivas, podendo requerer mais que uma operação.
Porcentagem de Acerto na identificação da operação
57,7%
Observação:
As palavras “subiram” e “desceram” podem ter configurado uma pista para a identificação das operações.
Os alunos que erraram tomaram todos os números do texto e fizeram a adição, utilizando o algoritmo convencional.
Dos que identificaram corretamente a operação, dois alunos erraram na resposta devido ao cálculo equivocado.
Porcentagem de Acerto na operação realizada
57.7%
Procedimento de resolução: Uma aluna apoiou-se na contagem das
representações figurativas para resolvê-lo. Os demais utilizaram o algoritmo
convencional ou resolveram mentalmente, porém sem registrar o modo como
chegaram ao resultado.
Quadro 5 - Análise de desempenho da situação P3
P3 – No final de uma partida de “bafo”, João e Pedro foram conferir com quantas figurinhas cada um ficou. João contou as suas e disse que tem 47. Pedro disse que ficou com 19 a mais que seu amigo. Com quantas figurinhas Pedro terminou essa partida?
Característica do enunciado Problema do campo aditivo, do grupo que envolve a comparação. No caso será preciso fazer uma comparação com a quantidade de figurinhas do referente (João), apresentando-se a relação (19) e será necessário encontrar a quantidade de figurinhas do referido (Rafael). Aqui a palavra “mais” pode induzir à utilização da adição.
Porcentagem de Acerto na 92,3%
83
identificação da operação
Observação:
Nesse enunciado há uma congruência semântica entre a palavra “a mais” e a operação que resolve a situação, o que pode ter influenciado no alto índice de acerto.
Um aluno que identificou a operação, utilizando o algoritmo convencional da adição, porém errou no procedimento de cálculo, ocasionando erro no resultado.
Porcentagem de Acerto na operação realizada
88,5%
Procedimento de resolução: Houve a predominância de cálculo pelo algoritmo
convencional da adição.
Dois alunos podem ter resolvido por cálculo mental. Por não registrarem nenhum
procedimento, não se pôde verificar como realizaram o cálculo.
Quadro 6 - Análise de desempenho da situação P4
P4 – Em uma sala de leitura havia no total 1238 livros. Após receber uma doação de 236 livros, com quantos livros ficou essa sala de leitura?
Característica do enunciado
Problema do campo aditivo em que ocorre uma transformação positiva, e o que se busca é o estado final. O que pode tornar a resolução deste problema mais complexa é realizar a operação com números cuja grandeza é maior, exigindo o emprego do recurso à ordem superior para se efetuar a adição.
Porcentagem de Acerto na identificação da operação
69,23%
Porcentagem de Acerto na operação realizada
61,5%
Procedimento de resolução: Houve predominância do uso do algoritmo
convencional, sendo que dois alunos aparentemente resolveram pelo cálculo mental,
não registrando no papel nenhum procedimento, mas obtendo uma resposta correta.
Quadro 7 - Análise de desempenho da situação P5
P5 – De uma vara de madeira de 64 cm, quantos pedaços de 8 cm se pode obter?
Característica do enunciado
Uma situação da estrutura multiplicativa, relacionada à ideia de proporcionalidade, este problema pode ser resolvido pela divisão.
84
Porcentagem de acerto na identificação da operação
65,4%
Observação:
Oito alunos encontraram muita dificuldade até mesmo para iniciar a resolução, necessitando de muita intervenção da pesquisadora, e muitos desses alunos não conseguiam atribuir significado aos números presentes no enunciado, aplicando qualquer algoritmo, aleatoriamente, o que os impedia de justificar a operação utilizada.
Porcentagem de acerto na operação realizada
61,5%
Procedimento de resolução: Predominância do uso do algoritmo convencional.
Um aluno justificou a escolha da divisão para resolver o problema. O
argumento apresentado foi de que “não poderia ser de vezes porque se
multiplicasse o resultado seria muito grande, o pedaço seria muito grande. E
também tem a palavra “pedaço” (justificando a utilização desse algoritmo).
Três alunos resolveram mentalmente, porém dois alunos não realizaram
nenhum registro do procedimento no papel.
Uma aluna realizou pela soma reiterada do 8, como podemos observar na
figura 4, abaixo.
Fig. 4 – Procedimento de cálculo da aluna G.
Quadro 8 - Análise de desempenho da situação P6
P6 – Um carro percorre 240 quilômetros em 4 horas. Quantos quilômetros esse carro percorre em duas horas, se andou sempre na mesma velocidade?
Característica do enunciado
Uma situação da estrutura multiplicativa da classe de problemas caracterizado como de
proporcionalidade.
Porcentagem de acerto na identificação da operação
50%
Porcentagem de acerto na operação realizada
50%
85
Procedimento de resolução: Dos alunos que acertaram, a metade utilizou o
algoritmo convencional.
A outra metade não registrou nenhum procedimento no papel. Mas alguns
desses alunos explicitaram que dividiram por 2 porque é metade de 4, isto é, se em
4 horas percorreram-se 240 km, em duas horas, percorre-se a metade.
Quadro 9 - Análise de desempenho da situação P7
P7 – Carina saiu de casa com uma quantia em dinheiro. Foi ao supermercado e gastou 35 reais e na padaria 18 reais. Quando chegou em casa verificou que ainda lhe haviam sobrado 7 reais. Quantos reais Carina tinha ao sair de casa?
Característica do enunciado Problema do campo aditivo com a ideia de transformação, sendo que se apresentam as transformações ocorridas e o estado final. O que se pede é o estado inicial. Pode implicar na realização de mais de uma operação.
Porcentagem de acerto na identificação da operação
94,1%
Porcentagem de acerto na operação realizada
70,6%
Procedimento de resolução: Todos os alunos resolveram o problema utilizando a
técnica operatória convencional da adição. Alguns alunos fizeram duas operações,
35 + 18 = 53 e 53 + 7 = 60, e outros tomaram os 3 dados numéricos e efetuaram
única soma. Quatro alunos erraram na resposta, pois se equivocaram na realização
das operações.
A palavra “gastou” não foi um fator que influenciou no emprego da operação
de subtração, em nenhum caso.
Quadro 10 - Análise de desempenho da situação P8
P8 – Em uma sala de cinema há 32 fileiras com 12 cadeiras em cada fileira. Qual é o total de cadeiras dessa sala de cinema?
Característica do enunciado Problema de estrutura multiplicativa, com a ideia de produtos de medida.
Porcentagem de acerto na identificação da operação
82,3%
Porcentagem de acerto na operação realizada
58,8%
86
Procedimento de resolução: A maioria dos alunos solucionou a situação
empregando o algoritmo 32 x 12 e desses, quatro erraram no procedimento do
cálculo o que levou ao erro na resposta. Exemplos de alguns erros cometidos na
efetuação do algoritmo serão apresentados posteriormente.
Apenas dois alunos resolveram o problema efetuando a subtração 32 – 12.
Quadro 11 - Análise de desempenho da situação P9
P9 - Em uma visita ao Museu do Ipiranga irão 58 pessoas entre alunos e professores. Se em uma perua escolar podem ser transportados 9 passageiros, quantas peruas serão precisas para transportar todas as pessoas que irão ao museu?
Característica do enunciado
Uma situação da estrutura multiplicativa. Para resolver este problema pelo algoritmo convencional da divisão, o resto (4) precisa ser considerado, pois esse número implica pessoas que precisam também ser transportadas, necessitando, então, de mais um veículo.
Porcentagem de acerto na identificação da operação
70,6%
Porcentagem de acerto na operação realizada
70,6%
Procedimento de resolução: O uso do algoritmo convencional foi unânime, nesse
caso.
Os alunos que identificaram a operação não ignoraram o resto e responderam
corretamente a pergunta. Um fato observado é que alguns desses mesmos alunos
ao constatar que havia o resto 4 (pessoas que precisariam ser transportadas),
registraram 7 como quociente.
Dos que não identificaram a divisão, efetuaram as seguintes operações: 58 –
9 = 49 e 58 x 9 = 454. Ao que parece esses alunos empregaram as operações sem
refletir em seu sentido.
Quadro 12 - Análise de desempenho da situação P10
P10 – Uma padaria produz pãezinhos de manhã e de tarde. Em um certo dia, dos pães que assou de manhã sobraram 26 pãezinhos, e das que assou à tarde ficaram 18. Quantos pãezinhos sobraram nesse dia?
Característica do enunciado Situação relacionada à estrutura aditiva da classe de problemas denominada composição. Nesse enunciado, havia uma variável que poderia influenciar na resolução: as palavras
87
“sobraram” e “ficaram”, uma vez que alguns alunos poderiam tomá-las como pistas para empregar a subtração.
Porcentagem de acerto na identificação da operação
82,3%
Porcentagem de acerto na operação realizada
82,3%
Procedimento de resolução: Todos os alunos utilizaram o algoritmo convencional.
A maioria dos alunos não se baseou nas palavras “sobraram” e “ficaram”
para selecionar a operação da subtração, isto é, a maioria dos alunos selecionou a
operação adequada à resolução deste problema.
Houve uma discussão entre duas alunas que resolveram pela operação 26 –
18 = 8. Inicialmente uma aluna (T.) afirmava que “precisava somar e não subtrair”,
porém não conseguia apresentar justificativas. Outra aluna (A.R.), no entanto,
argumentava veementemente que era a subtração que resolveria o problema pela
presença da palavra “sobraram”, o que levou a aluna T. a sucumbir à posição da
colega.
Também no caso das alunas M. e J., a intervenção foi bastante diretiva, e
para que pudessem, ao menos, se aproximar da situação, foi preciso uma
intervenção intensiva da pesquisadora para realizarem a tarefa.
Quadro 13 - Análise de desempenho da situação P11
P11 – Em um grande supermercado há três andares de estacionamento, e em cada andar trabalham 3 funcionários. No primeiro andar estão estacionados 52 carros e no segundo andar, 48 carros. Quantos funcionários trabalham nesse estacionamento?
Característica do enunciado Trata-se de um problema de estrutura multiplicativa que pode ser resolvida pela multiplicação 3x3. O enunciado apresenta mais dados que necessários para resolução, o que poderia ser um fator que influenciaria no desempenho dos alunos.
Porcentagem de acerto na identificação da operação
86,9%
Porcentagem de acerto na operação realizada
82,6%
88
Procedimento de resolução O problema foi resolvido pelo algoritmo convencional
da multiplicação ou pela adição reiterada do 3.
Um aluno recorreu da representação figurativa para a resolução, como se
pode observar na figura 5.
Fig. 5 – Procedimento de resolução do aluno G.J.
Uma aluna identificou a operação, mas errou na resposta porque considerou
dois andares fazendo 3 x 2 = 6. O fato de ter informação do número de carros em
apenas dois andares pode ter ocasionado tal equívoco.
Duas alunas realizaram a adição utilizando os três dados numéricos
apresentados no enunciado: 52 + 48 + 3 = 103.
O fato de mais de 80% dos alunos ter acertado na resolução desse problema,
pode ser decorrente de que em uma atividade - realizada no encontro anterior - os
alunos tiveram que analisar um enunciado de problema da mesma natureza no qual
havia mais dados que necessários para resolvê-lo. Acreditamos que trazer esse fato
para a discussão no coletivo, foi importante para que se colocasse em “xeque” a
crença de que sempre é preciso usar todos os dados numéricos para resolver um
problema.
Mas é preciso destacar aqui um caso em que a aluna, ainda com a (falsa)
ideia arraigada de que sempre é preciso utilizar todos os dados numéricos de um
problema, produziu as seguintes operações (e depois justificando cada uma delas).
52 + 48 = 100 “para saber o total de carros”.
3 + 3 + 3 = 9 “ é o total de funcionários”
100 : 9 = 11 “para saber quantos carros cada funcionário tinha que cuidar”.
89
Note-se que a primeira e a segunda resposta não foram solicitadas, porém
utilizou as operações e os números atribuindo sentido em cada caso.
Vale, dessa forma, ressaltar a importância de incluir no planejamento do
ensino, com certa frequência, tais atividades em que se analisa a pertinência ou não
de usar todos os dados que constam no texto de situação-problema para que se
constitua um hábito, para os alunos, a ação de ler e analisar o texto a fim de traçar
um plano de ação para resolver o problema.
Quadro 14 - Análise de desempenho da situação P12
P12 - Um time de futebol dispõe de 3 modelos de camisetas, 4 cores de calções. De quantas formas diferentes este time pode se apresentar nos jogos?
Característica do enunciado Problema da estrutura multiplicativa em que se pede o produto da combinação de 2 coleções finitas.
Porcentagem de acerto na identificação da operação
86,9%
Porcentagem de acerto na operação realizada
78,3%
Procedimento de resolução: Os alunos realizaram o problema identificando o
sentido da combinação.
A grande maioria dos alunos produziu representação esquemática da
combinação de 3 camisetas com os 4 calções, e em seguida contaram o número de
combinações possíveis.
Houve casos em que os alunos não fizeram todas as combinações possíveis,
e isso ocasionou erro na resposta, pois encontraram apenas 9 combinações.
Três alunos não precisaram se apoiar na representação e utilizaram a
multiplicação (3x4) para resolver o problema.
Quadro 15 - Análise de desempenho da situação P13
P13 – Renato e João são atletas. Em uma prova, Renato correu 4 800 metros e João 3 550 metros. Quantos metros Renato correu a mais que João?
Característica do enunciado Problema de estrutura aditiva, da classe de
problemas denominada comparação. A palavra
“mais” poderia influenciar no desempenho dos alunos.
Porcentagem de acerto na 86,9%
90
identificação da operação
Porcentagem de acerto na operação realizada
69,5%
Procedimento de resolução: Todos utilizaram algoritmo convencional.
Vinte alunos identificaram a operação da subtração. No entanto, 16 acertaram
a resposta, o que significa que 4 alunos erraram na realização do procedimento de
cálculo, no caso algoritmo convencional.
Apenas 2 alunos fizeram a adição (4 800 + 3 550), talvez influenciados pela
palavra “mais” no texto do enunciado.
Quadro 16 - Análise de desempenho da situação P14
P14– Sílvia precisa empacotar 156 bolinhas de gude, devendo colocar 12 bolinhas em cada pacote. Quantos pacotes serão necessários para que ela empacote todas as bolinhas?
Característica do enunciado Situação cuja estrutura é multiplicativa, implicando no raciocínio de proporcionalidade.
Porcentagem de acerto na identificação da operação
65,2 %
Porcentagem de acerto na operação realizada
56,5%
Procedimento de resolução Aproximadamente 47% dos alunos que identificaram a
operação adequada realizaram o algoritmo convencional da divisão, com o acerto
inclusive na resposta.
Um aluno realizou a soma reiterada dos 12, até obter 156, também acertando
na resposta. Outro, apoiou-se na contagem das representações figurativas que fez,
mas apresentou erro na resposta porque se equivocou no processo de contagem.
(Esse procedimento será analisado posteriormente).
Destacamos o procedimento de um aluno que realizou cálculos proporcionais
(como é possível observar na fig.6), acertando também na resposta. (Também será
objeto de análise detalhada, posteriormente).
91
Fig. 6 – Procedimento de resolução do aluno V.F.
Seis alunos somaram ou subtraíram tomando os dois dados numéricos do
enunciado.
As análises do desempenho dos alunos na resolução desses problemas
revelam que:
1. A maioria desses alunos não foi atraída pelas “palavras-chave” para
selecionar a operação que resolve o problema. Talvez aqui se confirme o que foi
observado por Mendonça et al. (2007), quando afirmam que à medida que os alunos
avançam na escolaridade – ressaltando assim a importância do ensino –, os
resultados melhoram na resolução desse tipo de problema em que há uma
incongruência semântica entre a palavra e a operação que resolve o problema.
Mas, por outro lado, não se pode ignorar a presença dos alunos que ainda recorrem
a esse expediente, apesar de realizarem leitura com fluência.
Algumas razões para que esses alunos deixem de vincular essas palavras à
operação para solucionar os problemas podem ser atribuídas ao impacto da
escolaridade, ou seja, são alunos que já estão submetidos ao ensino formal, no
mínimo há quatro anos, e, certamente, se depararam inúmeras vezes com tais
situações e puderam refletir sobre esse tipo de erro.
Há uma outra evidência que não pode deixar de ser considerada para
explicar tal fenômeno, que pode estar relacionado às ações promovidas pela
Secretaria Municipal da Educação desde o ano de 2006, junto aos professores
dessa rede, no que se refere ao ensino da Matemática nas séries iniciais do ensino
fundamental.
Estão incluídas nessas ações, a produção de materiais que fornecem
referências aos professores para o trabalho com as operações, já fundamentada nos
estudos da Teoria dos Campos Conceituais, e que o debate sobre essa teoria se
92
realiza com base nas análises das atividades propostas nos materiais e das
produções dos próprios alunos da rede. Vale lembrar que as discussões vêm sendo
realizadas em espaços de formações (em serviço) dos professores, o que pode ter
colaborado para disseminar as reflexões que se realizam sobre esse tema, o que,
por sua vez, incide nas intervenções didáticas desses docentes.
2. Os problemas cujas estruturas são multiplicativas, mais especificamente,
quando a ideia subjacente era a de proporcionalidade, foram as que menos acertos
apresentaram. Esse fato pode indicar que o campo conceitual – o multiplicativo –
não está consolidado, uma vez que o que foi observado por meio de
entrevistas/intervenções durante a realização das atividades com alguns alunos
mostram que, apesar de conseguirem selecionar a operação adequada para
resolver um problema, muitas vezes não atribuem sentido aos números com os
quais estiveram operando. Esse fato vem ao encontro do que afirma Vergnaud
(1996) de que o domínio de um campo conceitual requer um longo tempo, por meio
de experiência e da aprendizagem, fato também constatado na pesquisa de Silva
(2010).
3. Sobre a realização dos algoritmos também é preciso fazer um destaque.
Embora alguns alunos tenham recorrido ao procedimento de contagem ou utilizado
um procedimento de cálculo diferente da técnica operatória convencional, aqueles
alunos que utilizaram esses algoritmos fizeram-no simplesmente em um ritual
sintático, não relacionando com o sentido dos resultados que vão obtendo,
principalmente na divisão e na multiplicação.
Em relação às duas últimas constatações do desempenho desses alunos,
uma possível justificativa pode ser o modelo de ensino ao qual foram submetidos ao
longo de quatro anos do ensino fundamental: a priorização os aspectos sintáticos do
ensino da Matemática. A respeito desse fato, Gómez-Granell (1995) afirma que
houve período na história do ensino da Matemática em que esses aspectos tiveram
grande influência das concepções formalistas, isto é, o ensino era apoiado mais em
manipulações sintáticas de símbolos e regras do que no significado do mesmo. A
autora argumenta ainda:
93
Partindo, por exemplo, de uma perspectiva puramente sintática, o algoritmo, para encontrar o tanto por cento de uma quantidade, apoia-se na lei dos “produtos cruzados” para demonstrar a equivalência das duas razões: Se (a.d) = b.c Em muitas ocasiões comprovamos que nenhum aluno/a, e nem a maioria dos professores, compreende a lógica de tal algoritmo e muito menos a da regra dos “produtos cruzados”. Poderíamos dizer o mesmo de muitas outras regras, como somar ou subtrair com reserva, somar ou multiplicar frações com diferentes denominadores, simplificar frações, dividir por um número decimal, eliminar parênteses, etc., que o professor ensina com frases como estas: “quando são dezenas, vai um; quando são centenas, vão dois; cruza e multiplica; muda a vírgula de lugar; se multiplicar em cima multiplica também embaixo; etc.”. (GÓMEZ-GRANELL, 1995, p.265).
As análises a seguir estão mais voltadas para o processo dos alunos em
examinar os enunciados de problemas. Foi solicitado que lessem os enunciados e
verificassem quais enunciados poderiam ser problemas a serem resolvidos e quais
não teriam condições de ser resolvidos, e nesse caso, solicitou-se uma justificativa
para sua resposta.
Não foi possível quantificar o desempenho dos alunos (como foi feito no
bloco de atividades anterior), pois as discussões foram encaminhadas de uma forma
coletiva. Inicialmente, as folhas de atividades foram distribuídas uma para cada
dupla, as quais tiveram alguns minutos para ler os enunciados e assinalar aqueles
que consideraram ser problemas matemáticos.
E1. Duda tem uma coleção de carrinhos e guarda em 5 caixas. Cada caixa tem 8 carrinhos. Quantas horas ele brincou com os amigos?
A pergunta do problema rompe com a expectativa do acontecimento que vem
sendo descrito no enunciado. Não há relação entre a situação e a solução que se
pede.
Esse fato foi bastante visível para os alunos e um argumento apresentado
para justificar que não poderia ser, foi de que “a pergunta não tem nenhuma lógica”.
E2. Bernardo coleciona figurinhas de jogadores de futebol. Hoje ele comprou 5 envelopes com 3 figurinhas em cada envelope. O álbum completo tem 110 figurinhas.
94
Esse enunciado apenas descreve uma situação, não apresentando nenhum
problema que necessite ser resolvido. Os alunos perceberam rapidamente que não
havia nenhuma pergunta formulada.
E3. Júlia e Renata têm juntas R$42,00. Quanto dinheiro tem Renata?
Trata-se de um problema que admite múltiplas soluções.
Inicialmente, muitos alunos consideraram que não poderia ser resolvido e um
argumento foi de que não tinha as informações necessárias, como explicita uma
aluna.
N.: Não tá falando se é triplo, dobro!
Logo em seguida, o aluno F. começou a levantar uma possibilidade:
F.: Renata tem 21 reais porque dividiu 42 por 2.
Essa observação desencadeou manifestações de outros alunos que
colocavam outras alternativas como:
V.: Pode ser 20 reais e 22 reais.
Ou ainda:
N.: Também pode ser 1 e 41.
A partir desse momento, começamos a registrar na lousa essas diferentes
possibilidades e o fato de se apresentar diferentes respostas para o mesmo
problema não era concebível para muitos, o que fez a aluna N. concluir:
N. Tem diversas possibilidades! (Demonstrando certa indignação)
P. E, por isso esse problema não pode ser resolvido?
N. Desse jeito, então, pode ser resolvido!
O fato acima descrito parece confirmar algumas ideias que os alunos
constroem sobre o significado de resolver problemas matemáticos. Segundo
Schoenfeld, 1992 (apud ECHEVERRÍA, 1994, p.46-47), alguns estudantes
explicitam mitos sobre a natureza da resolução de problemas. Um deles refere-se à
ideia de que os problemas matemáticos têm uma e somente uma resposta correta.
No entanto, quando socialmente nos deparamos com um problema prático, muitas
vezes podemos encontrar mais que uma forma de solucioná-lo.
95
Sem dúvida, tal concepção construída por esses alunos está intimamente
relacionada com as práticas escolares “com as suas experiências em sala de aula e
refletem mais as ideias de seus professores sobre como devem ensinar Matemática
do que as ideias sobre como a disciplina está constituída.” (ECHEVERRÍA, 1994, p.
47).
E 4. Carina saiu de casa com uma quantia em dinheiro. Foi ao supermercado e gastou 35 reais e na padaria, 18 reais e ainda lhe sobraram 7 reais. Quantos reais Carina tinha ao sair de casa?
Aqui foi consenso de que o texto constitui um problema possível de ser
resolvido, e por isso não gerou nenhuma discussão.
E5. Como posso dividir igualmente 8 lápis para 10 crianças?
Trata-se de um problema em que o enunciado apresenta uma restrição:
dividir equitativamente e a quantidade de objeto a ser dividido (o dividendo) é menor
do que as partes a serem divididas (o divisor).
Alguns dos alunos fizeram de pronto essa análise o que foi explicitado pelo
aluno
F.:Não dá pra ser resolvido porque 8 é menor que 10.
P.: Mas e se fossem 8 chocolates para 10 crianças, poderia ser resolvido?
F.: Se fosse chocolate sim.
Esta pergunta tinha como objetivo fazer os alunos observarem que se um
problema requer uma divisão, mesmo com o dividendo menor que o divisor, é
possível de ser resolvido, dependendo da natureza do objeto a ser dividido.
E6. Na geladeira da minha casa tenho 12 laranjas, 4 maçãs, 8 cenouras 2 pés de alface e 6 peras. Quantas frutas tenho na geladeira?
Nesse enunciado, há mais dados do que necessário.
Embora todos tenham afirmado que pode ser resolvido, ao serem
questionados sobre qual seria a resposta do problema, os alunos (mesmo aqueles
que costumam apresentar bom desempenho na resolução de problemas)
96
responderam 32, pois realizaram a adição de todos os números que o problema
apresentava.
Para essa turma de alunos, a realização da atividade como a analisada
acima, foi experiência inédita e tinha o objetivo de propor reflexão que contribuísse
para que os alunos tomassem consciência dos aspectos que precisam ser
considerados nas futuras resoluções de problemas matemáticos. Os alunos
puderam chegar a algumas conclusões (ainda que provisórias) que se explicitam
nas seguintes falas:
“A pergunta do problema precisa ter uma lógica com o que vem antes.”
“Nem sempre precisa usar todos os números que estão no problema,
precisa prestar atenção.”
“Os números precisam dar para fazer o cálculo” (referindo-se ao
problema da divisão de 8 lápis para 10 crianças).
“Um problema pode ter mais que uma resposta certa.”
A realização desse bloco de atividades e as reflexões que a discussão em
aula proporcionou, parecem ter mobilizado nos alunos a construção de outros
esquemas diferentes daqueles construídos pela prática escolar a que estiveram
submetidos. O que nos leva a tal afirmação é o fato observado em sessões
posteriores em que resolveram problemas e estiveram mais atentos em ler e analisar
os enunciados antes de pensar em um plano de resolução. Foi o que ocorreu, por
exemplo, quando se depararam novamente com enunciado em que havia mais
dados do que o necessário, como será analisado posteriormente.
Há que se concordar, portanto, com o que se explicita no documento
Orientações Curriculares da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo de que
propor problemas com essas diferentes características – com mais de uma solução,
sem solução, com mais dados que necessários e outros – colaboram para que se
desenvolva no aluno a capacidade crítica de analisar, de levantar hipóteses e
duvidar, rompendo com algumas crenças e que os alunos percebam que:
nem sempre os problemas tem uma única solução;
97
nem sempre será preciso utilizar todos os dados do enunciado para resolver
um problema, mesmo porque Esse tipo de problema aproxima-se de situações
cotidianas, que, na maioria das vezes, apresentam informações supérfluas que
devem ser identificadas e descartadas”; resolver problemas é um processo de
investigação do qual participa como produtor de seu próprio conhecimento.
(Orientações Curriculares: Proposição de Expectativas de Aprendizagem –
Ensino Fundamental II – Matemática/SME SP/DOT, 2007).
Será analisado, a seguir, o desempenho dos alunos em resolução de
problema em que há três tarefas propostas. A primeira é ler o problema - em que no
enunciado se apresenta uma grande quantidade de informações e dados – e
responder cinco perguntas. Para algumas respostas, basta localizar a informação no
texto e, para outras, será necessário realizar um cálculo ou comparação dos dados.
Em seguida, são apresentadas perguntas às quais os alunos deveriam dizer
exatamente quais das questões anteriores precisaram efetuar cálculo ou fazer
comparação, e quais responderiam apenas buscando os dados no texto. A terceira
proposta é elaborar uma pergunta (do mesmo texto) que possa ser respondida
apenas localizando informações no enunciado e outra que para respondê-la seria
necessário realizar um cálculo ou comparação.6
E7. I - Leia o texto abaixo:
Os alunos do 4º ano A e do 4º ano B foram fazer pic-nic. Do 4º A foram 24 alunos e do 4º B foram 26. Acompanharam esse passeio, 3 professores, 4 mães e 2 serventes.
Levaram 15 caixas de suco e 15 garrafas de água mineral. Foram em dois ônibus em que cada um poderia transportar sentadas 40 pessoas.
f) Quantos adultos acompanharam o passeio? g) Quantos alunos do 4º B foram? h) Quantas garrafas de bebidas levaram? i) Quantas pessoas poderiam ser transportadas em cada ônibus? j) De qual turma foram mais alunos?
II – Responda: e) Quais das perguntas acima puderam se respondidas apenas
localizando informações no texto?
f) Para quais das perguntas acima precisaram fazer um cálculo ou
6 Atividade adaptada do livro Enseñar aritmética a los más chicos – De La exploración al domínio de Cecilia
Parra e Irma Saiz – pp.37
98
uma comparação uma vez que a resposta não estava no texto.
III – Agora vocês é que inventarão e escreverão uma pergunta que: a) Pode ser respondida diretamente localizando as informações
que estão no texto. b) Será respondida após a realização de um cálculo ou uma
comparação.
No que se refere ao item a da questão I – em que, para responder, era
necessária a realização de um cálculo - a maioria respondeu corretamente que eram
9 os adultos.
A aluna T. somou 26 + 3 + 4 + 2, obtendo como resultado 35. Ao ser
questionada, voltou ao texto e logo verificou seu equívoco explicitado na justificativa
abaixo:
Deve dar um espaço para essas explicações. Vi isso em outras dissertações, para deixar claro o trabalho
T.: Tinha entendido que foram 26 acompanhantes.
O que se observa é que T. fez uma antecipação da palavra “acompanharam”,
interpretando como “acompanhantes”.
No item b, não era necessário fazer nenhum cálculo, pois a informação está
no texto, todos responderam corretamente.
O item c, que buscava fazer o aluno calcular as unidades de embalagens de
bebidas – suco e água - gerou uma ambiguidade no entendimento uma vez que no
texto se lê 15 caixas de suco e 15 garrafas de água, alguns alunos entenderam que
o que se perguntava era apenas a quantidade de garrafas e responderam 15. No
entanto, alguns alunos responderam 30, por considerar a categoria bebida, não
levando em conta a palavra garrafa.
Sobre esse fato é preciso lembrar a relevância de como se formula um
enunciado de problema matemático, pois, a depender da linguagem utilizada, pode
levar o aluno a um entendimento não o esperado pelo professor.
Em relação ao item d, cuja resposta era possível localizar no texto, a maioria
respondeu corretamente, porém um aluno calculou o total de pessoas que
participariam do passeio e os distribuiu nos dois ônibus, respondendo que em um
ônibus poderiam ser transportadas 29 pessoas e no outro, 30.
99
No item e, em que era necessário fazer comparação entre números de alunos
do 4º ano A e 4º ano B, todos os alunos responderam corretamente.
Quanto à segunda parte da atividade: II – Responda: g) Quais das perguntas acima puderam se respondidas apenas
localizando informações no texto?
h) Para quais das perguntas acima precisaram fazer um cálculo ou uma
comparação uma vez que a resposta não estava no texto.
Essas questões foram discutidas coletivamente e o aspecto mais relevante
constatado é de que no item e da questão I, o bloco anterior em que para respondê-
la é necessária a realização de uma comparação, essa ação não foi percebida no
primeiro momento pelos alunos, embora muitos tenham respondido corretamente.
Tomaram consciência do fato após a intervenção como se observa na transcrição
abaixo:
P.: Vocês têm certeza de que para responder essa pergunta foi só olhar no
texto?
Alunos: Sim.
P.: O que vocês precisaram fazer para responder: só olhou o número 26?
Depois de alguns segundos a resposta da aluna B.
B.: Teve que ver a diferença: de 24 para 26.
P.: Ver a diferença é fazer o quê?
B.: Nós comparamos.
P.: Então foi preciso comparar e não só buscar a informação no texto.
Em relação à terceira parte da atividade:
III – Agora vocês é que inventarão e escreverão uma pergunta que: c) Pode ser respondida diretamente localizando as informações que
estão no texto. d) Será respondida após a realização de um cálculo ou uma
comparação. Nessas duas questões – c e d - foi preciso explicar o enunciado a todos, mas
apenas os alunos H., V., B., G. e M.B. entenderam e realizaram corretamente as
duas perguntas, o que evidencia a complexidade da tarefa para a maioria.
100
A seguinte atividade tinha o objetivo de verificar se os alunos conseguiram
atribuir sentido aos números e às operações necessárias para resolver o problema.
E.8. Qual é a operação?
3 Leia o texto abaixo:
Nove amigos combinaram de passar um domingo no Parque do Ibirapuera. Para isso decidiram que levarão 3 sanduíches para cada um e uma garrafa de refrigerante de 2L para cada 3 pessoas. Quantas garrafas de refrigerante precisarão levar?
4 Assinale com um X quais contas resolvem este problema:
( ) 1 + 1 + 1
( ) 3 x 9
( ) 9 : 3
O objetivo aqui era discutir, posteriormente à resolução, qual é a diferença de
cada operação. A intenção era de afastar, o quanto se pode, a possibilidade de os
alunos responderem mecanicamente, levando-os a refletir sobre a operação
adequada. Porém, parece que muitos alunos analisaram a operação, independente
do texto, verificando que as opções 1 e 3 dariam o mesmo resultado, assinalando-os
então. Posteriormente, ao serem questionados se era esse o resultado do problema,
tiveram dúvidas, parecendo, então, que não haviam atribuído um sentido à
operação.
Em relação à operação 9 : 3, questionamos junto à turma o que significavam
o 9 e o 3. Uma pergunta difícil de ser respondida: ora diziam que eram 9 pessoas e
3 garrafas, ora diziam que eram 9 garrafas e 3 pessoas. Tivemos que esclarecer o
que significa cada número: São 9 pessoas divididas por grupo de 3 pessoas,
buscando referência no desenho que B. havia feito anteriormente.
Vale ressaltar que, nesse dia, a frequência dos alunos estava extremamente
baixa – apenas estavam presentes 9 alunos - em virtude da aproximação do recesso
escolar. Por esse motivo, no retorno dos alunos propusemos o mesmo tipo de
atividade, que está apresentada a seguir.
101
E.9. A família Silva vai às compras 1 – Leia o texto abaixo:
Aos domingos dona Marisa vai à feira. Essa semana ela foi acompanhada de
seus dois filhos Miguel e Taís e a vizinha dona Neide. Dona Marisa comprou uma dúzia de laranja pêra, meia dúzia de laranja lima,
6 maçãs, 18 bananas, 1 quilo de batata, dois pés de alface, 1 quilo e meio de tomate e gastou ainda 16 reais por 2 quilos de frango.
Ao chegar em casa fez as contas e verificou que o total de gasto nessas compras tinha sido de 48 reais e que ainda havia sobrado 8 reais.
a) Quantas frutas dona Marisa comprou na feira? b) O que ela comprou mais: laranjas ou bananas? c) Quanto ela gastou com as compras que fez na feira? d) Quantos reais ela levou à feira?
2 – Responda: a) Quais das perguntas acima puderam ser respondidas apenas
localizando informações no texto? b) Para quais das perguntas acima você precisou fazer um cálculo
ou uma comparação uma vez que a resposta não estava no texto? 3 – Agora você vai inventar uma pergunta para a situação acima que:
a) Possa ser respondida diretamente localizando as informações
que estão no texto.
b) Será respondida após a realização de um cálculo ou uma
comparação.
Vejamos na tabela abaixo o índice de acertos das questões referentes a esse
problema:
Tabela 3: Porcentagem de acerto na situação E9
Questões Acerto %
A 50
B 29
C 75
D 71
No item a da questão I, embora 50% dos alunos tenham identificado
corretamente os números referentes às frutas para realizar uma adição, 3 alunos
erraram na operação, apresentando uma resposta incorreta. A dúvida levantada por
alguns alunos para resolver este problema foi em relação ao conceito de fruta: pelos
estudos que realizaram em aulas de Ciências, sabiam que tomate também é fruta e
esse fato ocasionava perguntas do tipo: Quanto é 1 quilo e meio de tomate?,
tentando, com isso, converter em quantidades discretas para somar com a
102
quantidade de frutas e assim resolver o problema. Precisamos nesse momento,
então, fazer uma diferenciação e esclarecer que o conceito de fruta a que se referia
o problema, tratava-se do que as pessoas no cotidiano sabem, ou seja, as frutas que
têm um sabor específico, seja ele para doce ou para cítrico como a da laranja, por
exemplo. Após esse esclarecimento os alunos realizaram, com êxito, a resolução do
problema.
No item b, o baixo índice de acertos (29%) pode ser atribuído ao conceito de
dúzia e meia dúzia, o que levou muitos alunos a responderem que a quantidade de
bananas era maior do que a de laranjas, quando o correto seria que quantidade de
laranjas e bananas compradas era igual.
No item c, bastava buscar a informação explícita no texto, portanto uma
porcentagem maior de acerto (75%).
No item d, 71% dos alunos resolveram e responderam corretamente.
Em relação à segunda questão da atividade: Questão 2
Responda: a) Quais das perguntas acima puderam ser respondidas apenas localizando
informações no texto? b) Para quais das perguntas acima você precisou fazer um cálculo ou uma
comparação uma vez que a resposta não estava no texto?
É interessante destacar que muitos alunos alegaram que no item b (O que ela
comprou mais: laranjas ou bananas?), a resposta estava no texto. Esse fato será
discutido com maior detalhe posteriormente.
Quanto à questão 3:
3 – Agora você vai inventar uma pergunta para a situação acima que:
a) Possa ser respondida diretamente localizando as informações que estão
no texto.
b) Será respondida após a realização de um cálculo ou uma comparação.
De 24 alunos:
14 fizeram o item a, sendo que:
Seis elaboraram perguntas adequadamente, como se pedia.
103
1 elaborou a pergunta adequadamente, mas com ajuda da colega.
3 fizeram a mesma pergunta que já havia sido feita na atividade 1.
2 elaboraram perguntas não relacionados com os dados do problema.
1 elaborou pergunta impossível de ser respondida pelos dados
apresentados no enunciado.
1 elaborou uma pergunta que não envolvia operação matemática.
11 realizaram o item b, sendo que:
7 elaboraram perguntas adequadamente como se pedia.
1 fez a pergunta já proposta na atividade 1.
3 elaboraram pergunta aparentemente inadequada.
Como se pode observar, o desempenho dessa atividade de elaborar as
perguntas foi baixo, igualmente quando foi proposta pela primeira vez, poucos
alunos conseguiram realizá-la.
Também propostas de elaborar perguntas com base em um enunciado, bem
como elaborar um enunciado de problemas vinculado uma dada operação não foram
tarefas fáceis para esses alunos.
E.10. I - Qual é a pergunta?
Leia o texto abaixo:
Dona Bete é uma boleira de mão cheia. Recebeu uma encomenda
de bolo de chocolate para uma reunião em que se espera 20 pessoas.
Ela escolheu uma receita que se usa os seguintes ingredientes, e que
rende 12 pedaços:
Bolo de chocolate Ingredientes:
4 ovos
1 xícara (chá) de leite morno
4 colheres (sopa) de margarina derretida
1 xícara (chá) de açúcar
1 xícara (chá) de farinha de trigo
1 colher (sopa) de fermento em pó
Dona Bete foi verificar se dispunha de todos os ingredientes e
viu que precisava comprar ovos e leite.
Agora invente uma pergunta para que este texto se torne um problema possível de ser resolvido pelos seus colegas.
104
II - Invente problemas
Invente e escreva um problema que pode ser resolvido pela
operação 23 x 4.
Não se esqueça que é preciso pensar em uma pergunta para o
problema se torne possível de ser resolvido.
Dos 22 alunos presentes:
10 alunos elaboraram perguntas adequadas que, para respondê-las, era
necessário selecionar os dados apresentados no texto e realizar alguma
operação matemática.
5 alunos elaboraram perguntas de localização de informação no texto.
Os demais alunos elaboraram perguntas sem nenhuma relação com o texto
apresentado.
Duas perguntas elaboradas por dois alunos merecem destaque:
a) Sendo que uma xícara de chá tem 250 mL quantos mililitros no total ela
usa para fazer essa receita?
b) Dona Bete foi ao mercado e comprou 400 gramas de ovos e 700 gramas
de leite em pó. Quantos gramas ela comprou no total?
Nos dois casos há envolvido o conceito de grandezas. Na pergunta a, o
aluno certamente faz uma estimativa de quantos mililitros de líquido cabem em uma
xícara de chá, e solicita que somem todos os ingredientes medidos em mililitros. No
entanto, não leva em consideração a natureza do ingrediente a ser medido. No
segundo enunciado, o aluno parece que ter usado a unidade de medida – grama –
aleatoriamente, pois também não levou em conta a natureza do ingrediente, no caso
ovos.
O fato de mais de 50% dos alunos não terem conseguido realizar essa tarefa
com sucesso, pode ser atribuído à grande quantidade de informações que o texto
apresenta. Além disso, é complexa a articulação que precisa ser feita entre o
contexto apresentado no enunciado e um outro gênero textual – uma lista de
ingredientes de uma receita. É preciso relacionar os dados apresentados
inicialmente com os dados da lista e, em seguida, pensar em uma questão que
precisa ser resolvida matematicamente, buscando um sentido para a operação.
105
Essa tarefa é de muita complexidade visto que esses alunos talvez nunca tivessem
se deparado com essa situação.
Em relação à segunda parte da atividade:
II - Invente problemas
Invente e escreva um problema que pode ser resolvido pela operação 23 x 4.
Não se esqueça de que é preciso pensar em uma pergunta para o que o
problema se torne possível de ser resolvido.
Sete alunos não conseguiram elaborar um enunciado escrito. Este fato será
analisado a seguir, do ponto de vista do domínio conceitual matemático.
5.2 IMPLICAÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS NO DESEMPENHO DOS
ALUNOS
De um modo geral, a maioria dos alunos não revelou dificuldades em
selecionar a operação adequada para solucionar os problemas propostos. Contudo,
entender o modo de resolução desses aprendizes, também implica analisar
produções que, à primeira vista, parecem incompreensíveis, bem como as
dificuldades e os erros que os alunos apresentaram nas suas resoluções.
Os esquemas evocados pela maioria dos alunos para resolver os problemas
foram os algoritmos convencionais das operações que, em muitos casos, eram os
pertinentes para a resolução daquela proposta.
Para Vergnaud (1996), os algoritmos são esquemas, e a garantia da sua
eficácia para quem os emprega, baseia-se no conhecimento – explícito ou implícito –
que esse sujeito tem sobre as relações entre o algoritmo e as características do
problema que precisa resolver.
Porém, foram observados casos em que alguns alunos empregaram essas
técnicas operatórias que não poderiam resolver as situações-problema, isto é, casos
em que esses alunos não identificaram a operação adequada para a situação.
Nesse sentido, vale lembrar o que explica Vergnaud (1996): os esquemas são
frequentemente eficazes, mas nem sempre efectivos.(p.159). Além disso, o
106
pesquisador afirma que, quando um esquema não se apresenta eficaz, a tendência
é de se alterar esse esquema.
Mas, ao que parece, esses alunos não conseguiram mudar o esquema inicial,
simplesmente porque, possivelmente, não podiam acessar um repertório de
esquemas. O ensino precoce dos algoritmos convencionais, aliado a uma “falta” de
significação desses algoritmos podem explicar essa aparente falta de flexibilidade
em ajustar o esquema. E sobre esse fato Saiz (1996) afirma que:
O algoritmo ensinado aparece como um puro trabalho sobre os números, independente dos dados da situação enunciada. [...] As crianças carecem de recursos para reconhecer se sua solução é errada ou não. Na realidade, não chegam a analisar se o número obtido é o resultado do problema. [...] Tudo isso é provocado por um ensino de resolução de problemas reduzido a “adivinhar” qual é a operação adequada e a aplicar o algoritmo correspondente. (p. 170)
Os estudantes, sujeitos desta pesquisa, ao serem questionados em
abordagem individual, não conseguiram explicitar os argumentos que justificariam a
escolha de determinadas operações. Esse fato é compreensível – segundo as ideias
de Vergnaud – em relação àqueles alunos, cujos conhecimentos contidos no
esquema não podem ser explicitados por eles naquele determinado momento.
No entanto, outros alunos conseguiram claramente identificar, explicitar e
justificar as escolhas das operações que resolviam os problemas, bem como as
dificuldades com que se depararam e, assim, fornecer algumas pistas para
podermos realizar as análises. Desse modo, além das produções escritas, as
explicitações nas entrevistas individuais ou coletivas foram fontes importantes para
as reflexões feitas neste trabalho de pesquisa.
É importante ressaltar que, nesse processo de pensar um esquema para
resolver as situações, muitos alunos observavam os números apresentados no
enunciado e tentaram ajustar entre as operações de adição, subtração, multiplicação
e divisão, qual seria a mais adequada, segundo a situação. Assim, por exemplo, na
resolução de P.5., o aluno D. justificou a escolha da operação de divisão da seguinte
forma:
107
D.: Não poderia ser de vezes porque se multiplicasse o resultado seria
muito grande, o pedaço seria muito grande. E também tem a palavra
“pedaço”.
O que se observa na fala desse aluno, suscita algumas reflexões: a sua
justificativa para descartar a operação de multiplicação se baseia num conhecimento
provisório (pois é válido apenas no caso dos números naturais) de que o resultado
da multiplicação aumenta, mas também vinculou a consequência desse resultado,
buscando um sentido que a própria situação apresentava. Assim, se o resultado
fosse maior do que os números selecionados para multiplicar, implicaria considerar
que a quantidade de pedaços da vara de 8 cm cada, seria muito maior do que a
medida total da vara. D. também buscou no significado da palavra “pedaço” para
identificar a operação.
O fato mencionado relaciona-se ao que Moreira (2002) destaca a respeito de
duas ideias de Vergnaud sobre o sentido da situação: variedade e história. Afirma
que os alunos constroem seus conhecimentos pelas situações que encontram e que
dominam progressivamente. Assim, a experiência com variedade de situações
relacionadas a um campo conceitual favorece o avanço no conhecimento. E muitas
concepções são frutos das primeiras situações que o sujeito foi capaz de dominar ou
da experiência tentando modificá-las.
Passemos para a análise da discussão ocorrida após a resolução do P.1. de
estrutura aditiva na classe de problemas denominada de composição. A tarefa era
encontrar uma das partes (o total de meninas), um problema que pode ser resolvido
pela subtração. Discutimos 3 diferentes resoluções, apresentadas a seguir:
21
+ 45
45
-21
23
+ 21
66 24 44
O aluno E. que havia resolvido corretamente o problema argumentou que:
E: A primeira resolução estaria correta se pedisse o total de alunos, e
só „tá‟ pedindo quantas meninas.
P.: E o terceiro, por que você não concorda?
E: Como pode o número de meninas ser maior que o total de alunos?
108
O que podemos observar é que esse aluno conseguiu atribuir um sentido à
operação, pertinente á situação.
Entendendo os procedimentos de resolução dos alunos
Passemos, agora, a analisar procedimentos do algoritmo convencional que
não estão relacionados. Em casos em que ocorreu alguma intervenção para superar
certa “paralisia” para dar início à resolução, houve a utilização de contagem das
representações figurativas, como foi o caso da aluna J., L., G., B. e também do
aluno W. , sendo que este último utilizou espontaneamente, como podemos
observar na figura 7.
Fig. 7 – Procedimento de resolução utilizado pelo aluno W.
E, ainda, na resolução do aluno GJ, que recorreu também à representação
figurativa como apoio para resolver o problema (fig.8):
Fig. 8 – Procedimento de resolução do aluno GJ
109
GJ representou a situação colocada no enunciado. Esse aluno, ao deparar-se
com o desafio, mobilizou a imaginação buscando ações para poder resolver o
problema. Evidencia-se aqui o que Parra e Saiz (2007) afirmam: que é preciso que o
aluno se envolva na situação proposta, representando-a mentalmente e colocando a
si mesmo questões como: O que a situação pede? Que conhecimentos é preciso
acionar?
E para corroborar essa reflexão, sobre o uso dos procedimentos intuitivos ou
não-formais, Gómez-Granell (1996) ressalta a sua importância:
As crianças ao recorrerem aos desenhos, procedimentos figurativos, à linguagem natural, aos procedimentos intuitivos em geral, resgatam a semântica da operação e assim construir uma representação interna da mesma. (1996, p.276)
Também nos problemas que envolviam a ideia da combinatória, a grande
maioria dos alunos recorreu ao uso de representações esquemáticas, como pode
ser observado nas resoluções de dois alunos, nas figuras 9 e 10.
Fig. 9– Procedimento de resolução de um problema de combinatória
Observando a figura 6, nota-se que o aluno se apoiou na contagem das
combinações, e o erro cometido foi devido ao fato de não ter realizado todas as
combinações possíveis entre as três camisetas e os quatro calções, o que pode
110
indicar que o aluno não teria consolidado ainda esse sentido (combinatório) da
estrutura multiplicativa.
Fig. 10 – Procedimento de resolução para um problema de combinatória.
Esse aluno também recorreu à representação esquemática realizando todas
as combinações possíveis, confirmando o resultado pelo cálculo algorítmico, ainda
apoiado na soma reiterada. Não se pode afirmar, nesse caso, que esse aluno
tivesse a clareza de que o resultado de uma situação que envolve a combinatória
pode também ser obtido pela multiplicação. Mas o que se evidencia aqui é que,
apesar de realizar o desenho, houve a preocupação em utilizar os símbolos
matemáticos para resolver essa classe de problemas da estrutura multiplicativa.
E, sobre isso, Vergnaud (1996) afirma que o uso dos símbolos matemáticos
são ferramentas que ajudam na resolução de problema, quando os dados são
muitos e exigem a realização de várias etapas para resolvê-lo. Assim, seria
necessário um confronto de diferentes procedimentos para que esse aluno pudesse
se aproximar cada vez mais do uso desses símbolos matemáticos, por serem um
meio para a transformação das categorias matemáticas em objetos matemáticos.
Nas resoluções de problemas de estruturas multiplicativas, as dificuldades
foram observadas em situações, cuja ideia da divisão se referia à divisão por
cotação (por exemplo nos P.5 e P14).
Vale destacar o caso em que, embora o aluno VF não tenha utilizado o
algoritmo convencional da divisão na resolução do P14, ele acionou a ideia de
proporcionalidade que é fundamental para a formação conceito da multiplicação.
Assim, vejamos:
111
Fig. 11 – Resolução do aluno VF
Ao que parece, trata-se de uma forma abreviada da seguinte tabela de
proporcionalidade:
Bolinhas Pacote
12 1
24 2
48 4
96 8
E, assim, somando as parcelas da primeira coluna, o resultado é 180, e
somando as da segunda coluna, o total é 15.
Então, a quantidade de bolinhas ultrapassa 24, o que corresponde a dois
pacotes, e dessa forma, será necessário subtrair dois pacotes, o que resulta em 13,
que é a resposta correta do problema.
O aluno, nesse caso, ao se deparar com números que talvez não
conseguisse operar com o algoritmo convencional da divisão, recorreu a esse
invariante operatório – teorema em ação – fortemente considerável para resolver a
situação.
112
Análise dos procedimentos de cálculo
Como já foi dito anteriormente, muitos alunos identificaram a operação que
resolvia os problemas, e utilizando-se do algoritmo convencional, algumas vezes
produziram uma resposta incorreta. Isso ocorreu, provavelmente, pelo equívoco na
realização do procedimento desses algoritmos como se pode observar nos
seguintes casos:
Fig. 12 - Algoritmo da adição com erro no procedimento.
Fig. 13 – Algoritmo da subtração com erro no procedimento
Em ambas as ocorrências, parece não ter havido o entendimento do processo
de realização dessa técnica operatória. No primeiro caso (fig. 12), o aluno não
posicionou adequadamente os números de cada parcela, e no segundo (fig.13),
houve uma dificuldade na subtração com recurso à ordem superior (empréstimo). Há
uma questão fundamental nesses dois casos, que se refere ao não domínio pleno do
sistema de numeração decimal e, sobre isso, Vergnaud (1996) afirma que:
Sem a numeração de posição e a conceptualização que lhe está associada (decomposição polinomial dos números), o esquema-algoritmo não pode funcionar: podemos vê-lo claramente nos alunos que não conseguem compor umas com as outras informações dadas em termos de dezenas, de centenas e de milhares. Um esquema assenta sempre numa conceptualização implícita. (p. 159)
No algoritmo da multiplicação, também alguns alunos cometeram erros que
podem ser observados nas figuras 14 e 15, a seguir:
113
Fig. 14 - Algoritmo da multiplicação efetuada por T.
Figura 15 – Algoritmo da multiplicação efetuada pela aluna M.B.
Nesses dois casos, percebe-se que os alunos empregaram o esquema
algoritmo que, de fato, resolve o problema, mas erraram na resposta, pois no
primeiro caso T. não multiplicou 10 por 30 e no segundo caso M.B. não posicionou
os números corretamente o que ocasionou o resultado indevido.
No que se refere à realização do cálculo algorítmico convencional da divisão,
também foi possível observar a seguinte resolução da aluna Y.
Fig. 16 – Algoritmo produzido pela aluna Y.
114
Solicitamos que explicasse como chegou ao resultado 12.
Transcrevemos abaixo sua explicação:
Y: A professora falou que quando tem o zero, a gente pode cortar,
então cortei o zero e depois fui fazendo a conta.
O que Y. ainda não havia compreendido era que para que tal regra
funcionasse, seria preciso que ocorresse o zero na posição da unidade, tanto no
dividendo como no divisor. Nesse momento, relembramos essa regra com a aluna.
Mais uma vez, parece ser um caso em que não se atribui um sentido, uma
semântica à própria estrutura da divisão, e a nossa intervenção foi para que
retomasse o enunciado do problema e confrontasse o resultado de sua divisão,
observando a sua pertinência, em relação à metade de 240.
Na análise do desempenho geral da turma, é possível inferir que, talvez, o
ensino da operação, a que esses alunos foram expostos nesse período de
escolaridade tenha privilegiado a formalização das operações nos seus aspectos
sintáticos, antes que os alunos fossem colocados em variadas situações, cujas
operações assumissem diferentes sentidos. Certamente, com o ensino precoce do
algoritmo convencional, não puderam ter a oportunidade de operar com os números
de modo a refletir sobre as diferentes relações entre eles, nem tampouco relacionar
esse procedimento de cálculo com as propriedades do sistema de numeração
decimal e com as propriedades das operações.
Concordamos então com o que argumenta Saiz (1996), quando afirma que,
no caso de fracasso na utilização do algoritmo convencional, muitos alunos não
podem recorrer a outros recursos mais primitivos, porque se produziu um “curto-
circuito” entre suas próprias representações e procedimentos desse algoritmo
convencional. E, ainda, segundo a autora, isso se deve ao fato de o ensino não ter
favorecido um processo de evolução de procedimentos de resolução, priorizando
então o ensino dessas técnicas operatórias convencionais desprovidas de sentido.
Em relação a esse processo de evolução de procedimentos de resolução, é
preciso fazer um destaque. Os recursos primitivos citados pela autora estão
relacionados com o esquema de enumeração que, segundo Vergnaud (1996),
envolve duas ideias matemáticas:
115
[...]a cardinalização que é conceitualizar a última palavra-número pronunciada como o resultado da medida de todo o conjunto e a bijeção que demanda a coordenação dos movimentos dos olhos e dos gestos do dedo e da mão relativos à posição dos objetos. (1996, p.160).
A estratégia de resolução utilizada pelo aluno W. (fig. 5), que se apoiou na
representação figurativa, indica que acionou o esquema de enumeração, que é de
grande valor para os alunos que ainda não dominam algum procedimento de
cálculo. Embora o aluno não tenha obtido uma resposta correta, não deixou de
atribuir um sentido à operação identificada para resolver o problema. O mesmo fato
foi observado, quando os alunos resolveram o problema da estrutura multiplicativa,
classificado como combinatória, recorrendo às representações esquemáticas.
No entanto, retomando a ideia de Vergnaud sobre a importância dos símbolos
matemáticos, o ensino não pode prescindir de favorecer a evolução do procedimento
e dos meios de representação e comunicação e, para isso, deverá prever situações
em sala de aula que promovam a evolução da contagem para o cálculo, levando,
consequentemente, os alunos a se apropriarem do uso dos símbolos matemáticos.
Faz parte desse processo de apropriação o sentido que os alunos devem ir
construindo sobre os algoritmos convencionais (que está a serviço de cálculos com
números de grandezas maiores, e, portanto, tem a vantagem de conferir maior
agilidade na realização do cálculo). Essa ideia está fundamentada na seguinte
afirmação de Vergnaud (2009):
O símbolo é a parte diretamente visível do iceberg conceitual: a sintaxe de um sistema simbólico é apenas a parte diretamente comunicável do campo de conhecimento que ele representa. Essa sintaxe não seria nada sem a semântica que a produziu, isto é, sem a atividade prática e conceitual do sujeito no mundo real. (p. 19)
Tal consideração se faz necessária, pois um fato marcante foi observado
nesta investigação. O procedimento de W. e de mais alguns alunos que se apoiaram
na representação figurativa para solucionar o problema, representou casos raros,
sendo que a maioria resolveu os problemas utilizando o algoritmo convencional.
Porém, ao que parece, não dispunham de resultados de cálculos básicos, de
repertórios memorizados, para resolver os cálculos mais complexos, por exemplo,
para resolver cálculos do tipo 12 x 2 ou 8 x 20. E, mesmo na realização do cálculo
116
da metade de 240, para resolver o P.6, a grande maioria armou o algoritmo
convencional para encontrar o resultado, o que causou um trabalho moroso, para o
qual foi preciso muito esforço para não se perder de vista a resolução planejada.
Esse caso observado vai ao encontro do que expressa Parra (1996):
Por exemplo, se um aluno tem que resolver:
348
+ 274
há uma tarefa de maior complexidade que inclui três vezes a soma de dígitos. Se cada uma destas somas é muito difícil para um aluno, é altamente provável que cometa erros e que perca o controle sobre a tarefa maior (p. 200).
O que se pretende destacar nessa discussão é a importância do trabalho
com cálculo mental que, segundo Parra (1996), é uma forma de os alunos
dominarem uma ferramenta para controlar e avaliar os resultados, além de se
constituir uma via de acesso ao algoritmo.
No caso dos erros produzidos na operação efetuada por T. (fig. 7), M.B.(fig.8)
e Y. (fig.9), o que fica explícito é o não domínio dessa ferramenta de controle e
avaliação dos resultados. Logo, podemos inferir que, na prática pedagógica à qual
esses alunos foram submetidos durante, pelo menos 4 anos de escolaridade no
ensino fundamental, não houve investimento no ensino do cálculo mental. Tudo
indica, portanto, que esses alunos e, mais precisamente, aqueles que apresentaram
mais dificuldades nessa turma, tenham tido experiência com esse tipo de prática
pedagógica que privilegiou o ensino do algoritmo padronizado, fato que pode ter
constituído um obstáculo na formação dos conceitos das estruturas aditivas e
multiplicativas.
Há que se destacar, então, a importância de os alunos terem domínio cada
vez maior dos diferentes recursos de cálculo para possibilitar a ampliação da
capacidade de resolver problemas. E, dentre esses recursos de cálculo, é de grande
importância o domínio do cálculo mental – que inclui a estimativa – pelos alunos.
A concepção de cálculo mental a que nos referimos se baseia nas ideias de
Parra (2011):
Entendemos por cálculo mental o conjunto de procedimentos em que, uma vez analisados os dados a serem tratados, estes se articulam, sem recorrer a um algoritmo pré-estabelecido para obter resultados exatos ou aproximados. (p. 189)
117
Trata-se de um procedimento de cálculo em que, para realizá-lo, os alunos
precisam refletir sobre as diferentes relações entre os números, pois essa
modalidade se apoia nas propriedades do sistema de numeração decimal e nas
propriedades das operações. E, ainda, como esclarece a autora, é um cálculo que
pode ser realizado com lápis e papel para registro de cálculos intermediários, para o
que a rapidez não é uma característica ou um valor. O que, de fato, caracteriza o
cálculo mental nessa perspectiva, é tratar-se de um cálculo refletido em que cada
operação, é um problema a resolver.
Parra (2011) aponta algumas justificativas para o ensino de cálculo mental
muito antes do ensino do algoritmo convencional. Além do fato de se constituir um
instrumento de controle e avaliação dos resultados, as aprendizagens do cálculo
mental aumentam a capacidade de resolver problemas, por possibilitar a ampliação
do conhecimento do campo numérico pelas crianças. Há ainda a justificativa de o
cálculo mental ser um acesso à aprendizagem do cálculo algorítmico.
É preciso lembrar que a cada situação, no contexto social, não requer sempre
um mesmo procedimento de cálculo. Em algumas ocasiões, basta fazer
aproximações, em outras será necessário um resultado exato e, para isso, pode-se
recorrer tanto ao lápis e papel e também ao uso da calculadora quando os dados
são muitos. Sobre isso, o esquema a seguir proposto pelo National Council of
Teachers of Mathematics (1989), indica essas possibilidades:
Fig. 17 – Esquema de diferentes procedimentos de cálculo proposto por NCTM
Fonte:NCTM 1989
Ou seja, é preciso que o aluno possa dispor de diferentes recursos de cálculo
para resolver problemas, pois, dessa forma, poderá selecionar aquele que for mais
118
conveniente para a situação: um cálculo aproximado ou exato, mental, algoritmo
convencional, ou mesmo o uso da calculadora.
Finalmente, consideramos importante fazer uma referência ao desempenho
dos alunos na atividade em que deveriam, com base em uma dada operação,
elaborar um enunciado que se constituísse uma situação--problema.
Sete alunos não conseguiram elaborar o texto, o que permite levantar
algumas hipóteses: atividades como essas requerem um movimento inverso do que
tradicionalmente ocorre na atividade de resolução de problemas matemáticos; é
preciso pensar em um sentido para a operação, compreendê-la conceitualmente
para constituir um texto – objeto linguístico – em que o cálculo seja a questão
central; outra hipótese é a de que esse tipo de atividade, certamente, não é familiar
a eles. Embora tenham tido contato com esse tipo de texto nos quatro anos de
escolaridade, esses estudantes são, usualmente, colocados no papel de
“resolvedores” de problemas e nunca como “produtores” de problemas.
5.3 UTILIZAÇÃO DA LINGUAGEM NA RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS: MODOS
DE PROCESSAMENTO DA LEITURA E A CIRCULAÇÃO DO SABER
A análise a seguir terá como foco algumas problemáticas relativas ao uso da
linguagem, tanto no que se refere à leitura de textos escritos – os enunciados das
situações-problema – quanto ao uso da linguagem oral para explicitar e justificar os
procedimentos de resolução utilizados pelos alunos em situação de interação com
os demais colegas, o que favorece a criação da Zona de Desenvolvimento Proximal
– ZDP.
O processamento de leitura e a evocação dos esquemas para a resolução das situações-problema
Assim como foi constatado na pesquisa realizada por Mendonça et al.(2007),
em nossa investigação também foram observados casos em que o insucesso de
alguns alunos na resolução de problemas foi ocasionado por fatores linguísticos
relacionados à questão da “incongruência semântica” entre a palavra e a operação
necessária para se chegar à resposta da questão. São alunos que ainda buscam
pistas no texto do enunciado do problema para selecionar as operações para
119
solucioná-lo – as palavras-chave, o que pode ser observado no registro referente às
alunas T. e A.R. Essas alunas discutiam sobre a resolução do P.10, um problema da
estrutura aditiva em que, dadas duas partes, solicitava-se o todo e em que havia,
duas vezes, a presença da palavra sobraram. Esse problema poderia ser resolvido
diretamente pela adição dessas duas partes. .
A.R. armava a subtração 26 – 18.
T.: “É para somar e não subtrair.”
L.: Por que, T., você acha que é para somar?
T.: ... (sem saber dar uma justificativa).
A.R.: Não, é de menos mesmo!
L.: Por que, A.R.?
A.R.: É de menos, olha aqui tá escrito Quantos pãezinhos sobraram
nesse dia?
Em outra situação (P.13), também em um problema da estrutura aditiva que
envolvia comparação de duas medidas, duas alunas também se apoiaram na
presença da palavra “a mais” para resolver o problema, utilizando adição, quando o
correto seria a subtração.
Esse tipo de leitura pode demonstrar a dificuldade do aluno em articular o
texto do problema como um todo, ficando preso a alguma palavra-chave que, em
uma leitura isolada, pode levar ao equívoco no seu entendimento.
Há outra classe de erros observada nesta investigação que envolveu o
aspecto linguístico, mais precisamente o processamento da leitura, e a explicitação
oral de alguns alunos, como já foi dito, foi fonte de grande importância para o
entendimento de como ocorreu a leitura que levou ao equívoco na resolução.
Destaca-se o caso do aluno E. que, ao resolver o problema P.4 – uma
situação de estrutura aditiva em que se solicitava o estado final de uma
transformação e que canonicamente se resolve pela adição – inicialmente realizara
a subtração 1238 – 236, mas, quando foi questionado quanto à razão pela qual
havia usado essa operação, releu o texto e de imediato percebeu que havia
cometido um equívoco. Então explicou:
120
E.: Eu tinha entendido que a sala de leitura fez uma doação de 236
livros, mas não é. A sala de leitura recebeu livros, então é mais.
Outra situação observada na discussão do E.7, em que a aluna T. acionou o
esquema do algoritmo da adição, inclusive apontando um sentido adequado a essa
operação, mas foi “traída” pela estratégia de antecipação (GOODMAN, 1989), lendo
“acompanhantes” na palavra ”acompanharam”.
Para melhor entender o que aconteceu durante a leitura desses alunos e o
que os levou ao insucesso na resolução de problemas, remetemo-nos às ideias de
McGinitie et al.(1989), para quem o problema na compreensão de texto pode ser o
resultado de um uso inadequado de estratégias. Esses autores utilizam o conceito
de estratégia não acomodativa, que são situações em que o aluno apresenta
dependência excessiva no processo descendente de interpretação de texto, ou seja,
são crianças que, para construírem sentido ao texto, buscam exclusivamente
referências em seus conhecimentos prévios, utilizando poucas palavras do texto
para evocar conhecimentos relacionados obtidos de suas experiências.
Leem como se no texto simplesmente dissesse o que já sabem. Essas crianças “assimilam” o texto de acordo com seus esquemas. Quando a fonte de informação é o texto escrito, essas crianças não podem usar os dados para modificar os seus esquemas. (McGINITIE et al., 1989, p. 26)
Provavelmente, há uma relação entre esses argumentos para explicar os
erros que alguns alunos cometem na resolução de problemas ao se apoiarem na
palavra-chave para resolvê-los. E também no caso da aluna T. que ao antecipar a
leitura da palavra “acompanharam” só pôde lançar mão do recurso da estratégia de
verificação de sua leitura depois da nossa intervenção.
É de extrema importância ressaltar dois pontos colocados por esses autores.
O primeiro se refere à diferença entre a leitura realizada por um leitor
proficiente e aquela realizada por alunos que, em algum momento, utilizam
estratégias inadequadas para a compreensão do texto. O primeiro ajusta suas
estratégias para adequá-las a tarefas particulares de leitura (FREDERICKSEN, 1975
apud McGINITIE et al, 1989, p. 25), enquanto que o segundo, aparentemente, não
conta com essa flexibilidade ou possibilidade de ajuste, mas pode utilizar apenas
uma estratégia particular, seja ou não adequada à tarefa que realizam.(McGINITIE
et al, 1989, p. 25).
121
Outro aspecto extremamente importante, para o qual os autores chamam a
atenção, diz respeito aos alunos que dependem da estratégia não acomodativa –
aqueles casos que, aparentemente, apresentam dificuldades de aprendizagem. Os
autores afirmam que esses alunos aprendem muito mais na situação de
comunicação oral, o que evidencia que possuem uma inteligência normal. Um bom
planejamento de ensino deve prever momentos de interação e trabalhos em
parceria, de extrema importância para que esses alunos também avancem na sua
competência leitora, e assim, na sua aprendizagem. Sobre a importância do trabalho
em parceria, voltaremos a tratá-lo no item seguinte.
Também é preciso destacar aqui, o fato observado na atividade E9, em que
os alunos deveriam identificar perguntas que, para respondê-las, havia a
necessidade de realizar algum cálculo ou comparação ou que bastava localizar a
informação explicitada no texto. O que chamou atenção na discussão dessas duas
questões foi o fato de alguns alunos alegarem que a resposta de que necessitavam
estava no texto, sem perceber que haviam realizado alguma comparação – isso
equivale a dizer que mobilizaram a estratégia de inferência na leitura. Ou seja, os
índices apresentados no texto levaram os alunos a realizarem uma operação
mentalmente – o que talvez não percebessem, fazendo-os chegar à conclusão de
que a informação estava explícita no texto. Nesse momento, a intervenção que
realizamos contribuiu para que eles tomassem consciência da comparação que
haviam feito:
L.: Mas o que vocês precisaram fazer para responder esta pergunta: ao
olharem no texto o número 26?
B.: Teve que calcular a diferença, do 24 para 26.
L.: Então o que foi feito para calcular a diferença?
B.: Comparar...
L.: Então vocês fizeram uma comparação, não foi?
Uma das dificuldades observadas durante a investigação está relacionada à
compreensão de alguns termos ou expressões, como mostrou a aluna M.B. que, ao
acabar de ler o enunciado do problema, mostrou um grande esforço para entender a
expressão: uma garrafa de refrigerante de 2 l para cada três pessoas.
122
Nesse caso, podemos considerar que a linguagem utilizada requeria uma
relação não biunívoca, o que a aluna não entendia, pois se apoiava no conceito de
relação biunívoca – uma garrafa para cada criança, o que pode ilustrar a figura 18.
Fig. 18 – Representação da resolução de M.B.
Desfazer esse entendimento para buscar uma outra relação foi objeto de
uma ampla discussão com seus pares, como descreveremos no item a seguir.
Antes, porém, faremos breve consideração sobre os fatores relacionados ao
processamento de leitura que interferiram na resolução de algumas situações-
problema. Foi possível analisar ocasião em que não havia um entendimento correto
do termo um a cada três pessoas, bem como episódios em que o uso inadequado
de algumas estratégias de leitura (antecipações e inferências) levou certos alunos a
evocarem esquemas (teoremas-em-ação) inválidos o que acarretou, por sua vez,
respostas incorretas.
Como foi possível que os alunos tomassem consciência desses aspectos (da
leitura) que implicaram encontrar uma resposta não correta?
A opção de fazer as intervenções durante a realização da atividade com
perguntas, cujas respostas foram esclarecedoras para a pesquisa, parece ter
colaborado para que os alunos tomassem consciência de seus próprios processos
de leitura, de seus processos mentais, pois estiveram envolvidos em situações que
precisaram rever suas ações (tanto na leitura, quanto na resolução) de forma
refletida. Essa ponderação, que ora colocamos aqui, vem ao encontro do que
sugere Block e Pressley (2007), em relação à ajuda que se pode oferecer aos
alunos na compreensão de textos:
... as perguntas feitas pelo professor (e que constituem sua forma de intervenção pedagógica, seja explorando o conteúdo, seja explorando estratégias) devem ser feitas durante a leitura do texto e
123
não, como estamos mais habituados, após a leitura, como ocorre nas propostas de “estudo de texto” de livros didáticos. Quer dizer, a intervenção do professor deve ocorrer no tempo real da leitura do aluno e, portanto, enquanto o aluno lê o texto para, de fato, permitir o desenvolvimento da compreensão. (BLOCK e PRESSLEY, 2007, p. 235 apud BATISTA, 2011, p.29)
É preciso, ainda, destacar a importância da atividade realizada nesta
pesquisa, que tinha como objeto de análise os enunciados de situações-problema
(E1 ao E6), ou seja, o foco estava no texto. Sendo assim, foi possível discutir, entre
outros aspectos, quais elementos são imprescindíveis para que o enunciado
constitua um texto de problema matemático, ou ainda, a necessidade de analisar
alguns termos linguísticos que possibilitem selecionar os dados necessários para a
resolução (como no E3 que admitia diferentes soluções e o E 6 que trazia mais
dados do que o necessário para buscar a resposta). Buscou-se mostrar aos alunos –
leitores em formação –, estratégias que podem ser usadas para a construção dos
significados, das ideias, dos processos e dos conceitos, por meio de uma discussão
coletiva em que houve reflexão e crítica. (BATISTA, 2011, p. 24).
Passemos agora a analisar como os modos de interação estiveram a favor da
criação da Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) na resolução dos problemas.
O uso da linguagem na interação criando a Zona de Desenvolvimento Proximal
na resolução de problemas matemáticos.
As análises apresentadas a seguir confirmam a importância da interação para
criar ZDP – um conceito que, segundo Palangana (2001), compreende os aspectos
centrais dos estudos de Vigotski no que diz respeito ao ensino. E ainda, segundo
essa autora, a apropriação do conhecimento pelo sujeito, na ZDP, ocorre
essencialmente pela mediação da linguagem no percurso das relações reais,
efetivas, do sujeito com o mundo.
Examinaremos essas situações mediadas pela linguagem, ocorridas entre a
pesquisadora e os alunos, e entre os próprios alunos, nos momentos em que
apresentaram suas resoluções e suas dúvidas.
Onrubia (1997) destaca vários aspectos que o ensino pode propiciar para a
criação da ZDP. A interação professor/aluno é um deles. O autor enfatiza que esse
tipo de interação é fonte básica para a criação de ZDP por ser próprio do caráter do
124
ensino escolar, que tem o propósito de favorecer o processo de aprendizagem dos
saberes socialmente acumulados, por meio da ajuda sistemática e planejada. O
professor, como participante mais competente, é quem define um contexto global
para conferir significados às participações dos alunos – principalmente daquele
menos competente, sobretudo quando esse aluno apresenta ações muito parciais de
um núcleo básico desse contexto.
Segundo Onrubia (2004, p.145), o contraste entre pontos de vista
moderadamente divergentes a propósito de uma tarefa ou conteúdo de resolução
conjunta é constitutivo da ZDP, pois, ao ter que considerar o ponto de vista dos
pares, podem surgir desafios para cada participante e, assim, colaborar para a
reconstrução dos próprios esquemas de conhecimento, como uma forma de superar
esse contraste moderado.
Vale ressaltar que, para os alunos envolvidos nesta pesquisa, a prática de
justificar seus modos de resolução ou qualquer atividade matemática não lhes era
familiar. Dois indicadores talvez nos legitimem a fazer tal afirmação. O primeiro
refere-se às informações consolidadas da entrevista individual (Apêndice D -Tabela
5) sobre a forma de participação nas aulas de matemática em que se pode constatar
que 85% dos alunos afirmaram participar prestando atenção às explicações da
professora e apenas 27% declararam que prestam ajuda aos colegas, dando dicas
de como resolver os problemas. E, ainda, na informação dada pela professora na
entrevista (Apêndice E), constata-se que, com pouca frequência, organiza
agrupamentos para realizar a tarefa.
O segundo indicador da ausência da prática de discussão nas aulas de
matemática é o fato de que, quando iniciamos a nossa pesquisa, já na primeira
sessão, os alunos foram convidados a explicar sua resolução, justificando as suas
escolhas e, quando foi o caso, refutando a resolução do colega. Inicialmente, dois ou
três participaram timidamente, mas apresentando argumentos bastante pertinentes.
Nos dias subsequentes, quando não houve a nossa presença muitos alunos da
turma demonstraram o desejo de se apresentar aos colegas para explicar os
procedimentos das atividades matemáticas que realizaram, causando certo
desconforto para a professora, fato relatado por ela mesma.
Feitas essas considerações, retomemos, pois, à passagem da discussão
sobre o enunciado do E3, uma situação em que se admitem diversas respostas; a
125
pauta era analisar se os enunciados constituíam verdadeiramente uma situação-
problema.
Como foi dito anteriormente, muitos alunos consideraram que (o problema)
não poderia ser resolvido, alegando que o enunciado não apresentava informações
necessárias, como afirma N.
N.: Não tá falando se é triplo, dobro!
F.: Renata tem 21 reais porque dividiu 42 por 2.
Essa observação desencadeou manifestações de outros alunos que
colocavam outras alternativas como:
V.: Pode ser 20 reais e 22 reais. Ou ainda:
N.: Também pode ser 1 e 41.
À medida que os alunos levantavam essas possibilidades, fazíamos o
registro na lousa. A ideia de que pode haver diferentes respostas para o mesmo
problema era uma situação nova para esses alunos, o que fez a aluna N. concluir:
N.: Tem diversas possibilidades! (Demonstrando certa indignação).
P.: E, por isso, esse problema não pode ser resolvido?
N.: Desse jeito, então, pode ser resolvido!
Destacamos aqui, a grande contribuição de N. ao ter mencionado a
inexistência de uma comparação de quantidades empregando as palavras dobro,
triplo, pois foi desencadeadora para F. mobilizar uma invariante operatória
(empregando aqui o conceito de Vergnaud), referente à metade de uma quantidade,
o que por sua vez gerou uma reflexão de V. e N. sobre as diferentes decomposições
do número 42. Ao entrarem em contato com o modo de pensar dos colegas, esses
alunos puderam romper com a ideia de que os problemas admitem apenas uma
resposta correta.
Destacamos, ainda, outro momento de grande reflexão, proporcionado pela
troca de ideias na explicitação da dúvida de M.B. ao buscar uma operação que
resolvesse o problema E.8. Observamos que essa aluna examinava o enunciado já
há alguns minutos e decidimos questioná-la sobre quais dúvidas teria. Logo o aluno
126
B. (que já tinha realizado a tarefa) veio participar da conversa, ocorrendo uma
discussão bastante interessante entre esses dois alunos.
M.B. havia entendido que era uma garrafa de refrigerante para cada um. Ela
lia: “Uma garrafa de 2 litros para cada 3 pessoas”, escandindo bem a palavra “cada”,
ao mesmo tempo em que fazia gestos com a mão cortando o ar 3 vezes, o que
provavelmente confirmasse sua compreensão de uma garrafa para cada pessoa.
Nesse momento, fizemos a seguinte intervenção:
P.: Qual é a diferença entre para cada pessoa e para cada três pessoas? MB:...
P: Faz o desenho aqui em baixo.
Assim M.B. desenhou três pessoas, cada uma com uma garrafa,
apresentando uma expressão de que não estava entendendo.
Observamos, então, que o aluno B. havia tido um entendimento correto, o que
pudemos confirmar com o desenho que realizou, na figura 19.
Fig. 19 – Representação da resolução por B.
Desenhou nove risquinhos e separou de três em três, atribuindo uma garrafa
para cada grupo de três palitos (como se pode observar na fig.17). Propusemos, a
partir dessa amostra, a socialização desses dois procedimentos, convidando os dois
alunos (M.B. e B.) a mostrar na lousa como fizeram.
Perguntamos à turma se os dois procedimentos representavam a mesma
situação. Muitos afirmaram que eram situações diferentes, mas M.B. parecia ainda
não estar convencida, explicitando que era uma garrafa para cada pessoa.
127
Nesse momento, o aluno – V.F. - fez a seguinte intervenção, dirigindo-se à
M.B.:
V.: Você acha que cada um ia beber 2 litros de refrigerante? Ia
explodir! É um para cada trio!
V. buscara uma justificativa em sua vivência, o que permitiu que a sua colega
M.B. refletisse sobre a improbabilidade de sua hipótese: uma só pessoa consumir
em pouco tempo 2 litros de refrigerante pareceu pouco provável à aluna. Essa
informação foi suficiente para que M.B. compreendesse o enunciado uma garrafa de
2 litros para cada três pessoas – parecia bem provável.
Ao analisarmos essas situações descritas anteriormente, referendamos a
ideia de que:
Interagindo com as pessoas que integram seu meio ambiente, a criança apreende seus significados linguísticos e, com eles, o conhecimento de sua cultura. O funcionamento mental mais complexo das crianças emerge graças às regulações verbais realizadas por outras pessoas, as quais vão sendo substituídas gradativamente por auto-regulações, à medida que a fala vai sendo
internalizada. (PALANGANA, 2001, p. 131).
Vale ressaltar ainda as ideias de Onrubia (2004) nessa mesma direção, de
que a fala ocupa um lugar central na criação e na intervenção nas ZDP, por ser um
instrumento que favorece aos participantes comparar e modificar seus esquemas de
conhecimentos sobre o que se pretende que aprendam. Em segundo lugar, para
esse autor, a linguagem ajuda os alunos a reorganizarem suas experiências e
conhecimentos, aproximando-os cada vez mais dos significados culturais
compartilhados socialmente.
A situação descrita a seguir, será analisada, à luz das reflexões de Onrubia
(2004). Segundo esse autor, um dos fatores que favorecem um avanço na ZDP, é a
coordenação de intercâmbio de papéis durante o processo de interação entre
alunos, recebendo e oferecendo ajuda continuamente. E a potencialidade desse
processo relaciona-se com a capacidade do uso da linguagem que reorganiza os
processos cognitivos. Dessa forma, essa capacidade está em utilizar a linguagem
dos colegas como guia e regulador das próprias ações, e também utilizar a própria
linguagem para guiar e regular as suas ações e as dos colegas.
128
M.B. e D. tinham a tarefa de analisar os 5 problemas e identificar que
operações resolveriam cada uma das situações. Já haviam resolvido dois problemas
e um terceiro que se referia à estrutura multiplicativa, no qual poderia ser utilizada
uma divisão que, no entanto, não era exata e o resto precisava ser considerado para
produzir uma resposta correta.
D. leu o enunciado em voz alta.
M.B.: Eu não entendi.
D.: Já desconfiei que é de dividir.
P.: D., por que você falou que batendo o olho já sabia que era de
dividir?
D.: (preocupado em efetuar a divisão). Sobra 9.
P.: Quantos ônibus precisam então? Qual é a resposta?
D.: É 11.
P.: É 11?
D.: (Olha novamente para a operação que efetuou) Não, é 12 porque
se não os outros vão ficar esperando na calçada.
M.B.: 12? Mas aqui não deu 11? (olhando para o algoritmo)
D.: Mas é que... e o resto? Vai ficar lá?
L.: Que resto?
M.B.: O 9.
D.: O resto que sobrou, os 9.
M.B.: Não entendi.
P.: Ao todo são 240 pessoas.
D.: É, e todos precisam ir.
P.: Por que você dividiu por 21?
D.: No ônibus tem 21 poltronas.
P.: Este 9 é o quê?
M.B.: Pessoas.
P.: E este 11?
M.B.: Ônibus. Agora eu entendi por que vão ficar 9.
D.: E essas 9 também precisam ir.
M.B.: Aí são 12 ônibus para estas 9 pessoas irem também.
D.: Vai ficar 12 ônibus.
129
Nessa ocorrência, mesmo que tenha havido a nossa participação, ao aluno D.
foi tacitamente atribuído o papel do parceiro mais avançado, o que o deixou na
posição de explicitar seu ponto de vista para que a colega pudesse entender a
situação colocada, o que conseguiu com bastante competência.
Mas, mesmo com o aluno D. estando na posição de parceiro mais avançado,
na resolução do problema seguinte quem conseguiu primeiro encontrar a resolução
correta foi a M.B.
M.B. leu em voz alta o enunciado e falou. Eu acho que é a C (a
alternativa correta 148 + 18).
D.: Meu Deus! (a alternativa correta para ele era a D: 148 : 18).
P.: Por que é a C?
M.B.: Ela já empacotou 148 e precisa empacotar ainda 18
lembrancinhas. Eu acho que é a C.
D.: É, tá certo!
L. Mas o que você tinha pensado, D.?
D.: Eu tinha pensado que ela ia dividir por 18 crianças. Aí eu falei, aí
meu Deus! ... Como é bom pensar junto!
M.B.: É de mais porque ela já empacotou 148 e ela precisa empacotar
ainda 18, e 148 + 18 dá o resultado.
D.: Eu achei que era 18 crianças (onde se lia 18 lembrancinhas).
M.B.: Quando pensei 148 + 18, eu pensei que era eu, que minha conta
tava errada.
M.B. é considerada pela professora uma aluna com fraco desempenho,
segundo informações fornecidas pela própria docente em algumas ocasiões. Não
compartilhamos dessa avaliação, pois como foi observado nas suas atuações em
outros fragmentos de interação, apresentados anteriormente, é uma aluna que tem a
exata noção do que não entendeu e consegue explicitar claramente. Consegue
colocar em palavras o seu pensamento, e isso favorece o avanço da ZDP porque a
linguagem regula a ação e reorganiza os processos cognitivos. É bem verdade que
M.B. não consegue, atualmente, realizar algumas atividades sem ajuda, mas a
ocorrência de momentos de interação, de fato, em que possa confrontar seu próprio
130
pensamento com o do outro, pode colaborar para que, no futuro, esse
conhecimento, se constitua um desenvolvimento real.
Portanto, concordamos com as concepções de aprendizagem de ERMEL
(1995), ao afirmar a importância das interações sociais para a construção do
conhecimento. Entre outros aspectos, a interação com pares permite ao aluno
apropriar-se das instruções de uma situação que não havia entendido, baseado na
reformulação feita por um colega; confrontar a sua resposta com os demais,
compreendendo as diferenças e procurando chegar a um consenso, quando for o
caso; apresentar a defesa de seu método de resolução contra diferentes propostas
manifestadas e compreender o modo de realização da tarefa do colega, imitando o
que considerou que ele fez de melhor.
Também é importante ressaltar que a apropriação do conhecimento não
ocorre no mesmo momento para cada aluno.
Pode ocorrer de encontrar “imitadores” ocasionais que, graças à ajuda dos seus colegas, terão conseguido realizar determinada tarefa particular sem poder reinvestir o processo utilizado nesse dia numa outra situação. Para esses, o trabalho de grupo talvez apenas tenha permitido evitar um fracasso total e tenha permitido a compreensão, mesmo parcial, da tarefa a executar, excepto do meio de o conseguir (ERMEL, 1995, p.41).
Nesse sentido, pudemos observar em nossa pesquisa, alguns alunos que, ao
realizar a atividade em parceria, assumiam o papel de expectador, concordando com
todo o processo de resolução do colega e demonstrando até uma satisfação ao
término da atividade, por tê-la concluído.
Reiteramos, então, que a função da interação (professor-aluno, aluno-aluno) é
fator de significativa importância na criação e intervenção na ZDP, mas para isso é
preciso planejar as intervenções ajustadas, um ensino que invista para além do que
aluno já domina, ou seja, no desenvolvimento potencial. Assim sendo, é preciso
investigar a produção dos alunos, procurando entender o que está por trás da
linguagem tanto oral quanto escrita, por eles explicitada. Sem esse entendimento,
não será possível ao professor prever boas situações de ensino, isto é, propor
desafios que tenham o propósito de mobilizar os esquemas construídos pelos alunos
para favorecer a construção de novos esquemas, porque, como afirma Vigotski, o
131
ensino deve impulsionar o desenvolvimento, fazendo com que ocorra uma boa
aprendizagem, que é aquela que adianta o desenvolvimento mental dos alunos.
132
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
“O senhor… mire, veja: o mais importante e bonito, do mundo, é isto: que as pessoas não estão sempre iguais, ainda não
foram terminadas - mas que elas vão sempre mudando. Afinam ou desafinam, verdade maior. É o que a vida me ensinou. Isso
que me alegra montão.“
João Guimarães Rosa
Encerramos este trabalho, tecendo algumas considerações, fruto das
reflexões que a presente pesquisa nos proporcionou.
Inicialmente, apontamos os motivos que nos levaram a pesquisar fatores que
podem estar relacionados às dificuldades na resolução de problemas das estruturas
aditiva e multiplicativa de alunos das séries iniciais do ensino fundamental, isto é,
relacionados à qualidade do desempenho nessa tarefa. O discurso recorrente dos
professores que atuam nos anos iniciais do Ensino Fundamental aponta como uma
das causas o não domínio da compreensão da leitura pelos alunos.
Para realizar esta investigação, selecionamos uma turma de 26 alunos do 4º
ano do Ensino Fundamental da Rede Municipal de São Paulo, pois são alunos que
já dominam o sistema de escrita alfabética e realizam a leitura com certa autonomia.
A questão que balizou as análises esteve relacionada às possibilidades e
dificuldades de um grupo de estudantes do 4º ano do Ensino Fundamental ao
resolver os problemas, considerando: os fatores relacionados à competência leitora
e ao uso das estratégias de leitura; características na resolução de problemas em
relação ao domínio do campo conceitual das estruturas aditiva e multiplicativa;
processos de interação no contexto de aprendizagem em sala de aula.
Organizamos as reflexões em dois grandes eixos: domínio conceitual das
estruturas aditivas e multiplicativas e, para isso, examinamos os esquemas utilizados
pelos alunos para buscar a solução das situações-problema; características do uso
da linguagem – na leitura, nas justificativas explicitadas oralmente em situações de
interação – que estiveram implicados na resolução das situações-problema.
As teorias e os estudos de pesquisadores como Vergnaud, Vigotski,
Kleiman, McGinitie et al., Parra e Saiz, Gómez-Granell, Mendonça et al., foram,
certamente, de grande valor para entender diferentes ocorrências observadas.
Examinar o conjunto de dados observados nesta pesquisa, à luz desses referenciais
133
teóricos, foi uma etapa imprescindível que favoreceu a realização de análises e
reflexões mais integradas dos dois eixos acima.
Antes, porém, faz-se necessário tecer algumas observações sobre a turma
do 4º ano pesquisada. São alunos que mostraram bastante receptividade às
propostas deste trabalho de pesquisa, envolvendo-se nas atividades, desde a sua
apresentação e explicação, até na realização individual e nas discussões coletivas.
Entretanto, analisando mais de perto esses alunos, a heterogeneidade se
apresentou: alguns estudantes tiveram participação brilhante, enquanto outros foram
mais expectadores, embora atentos, e outros ainda tiveram necessidade de muita
ajuda para iniciar a atividade.
Como já foi dito, não se constataram grandes dificuldades na identificação da
operação que resolvia os problemas, embora não se possa garantir que o campo
conceitual multiplicativo esteja consolidado para esses alunos, visto terem sido os
problemas com menor índice de acerto em relação aos problemas do campo aditivo.
Diante dessa diversidade de saberes, foi possível fazer uma primeira aproximação
sobre que aspectos que estariam envolvidos na facilidade ou na dificuldade desses
alunos, e no sucesso ou não na resolução da situação-problema.
Faremos referência, inicialmente, às questões vinculadas ao entendimento
do texto de enunciado de situações-problema. Há que se admitir ser um fator
determinante para o sucesso ou não dos acertos na resolução. As tradicionais
recomendações dos professores de que os alunos releiam o texto diversas vezes,
com atenção, verificando qual é a pergunta do problema, ou ainda a prática do
professor, de ler em voz alta, direcionando uma interpretação, parecem não ter
contribuído para que os alunos avançassem na capacidade de resolver os
problemas.
A nosso ver, essa forma de ajuda é bastante generalizada, e concordamos
que é preciso um trabalho mais refinado para a análise desse tipo de texto. Nesse
sentido, tomamos a hipótese de que é preciso organizar situações em que os alunos
possam examinar e discutir os enunciados, inclusive elaborando-os, discutir quais
operações podem resolver determinados problemas, com referência a algumas
atividades propostas em uma das etapas desta pesquisa.
As ações de ordem didática podem promover reflexões que contribuam para
que o problema se constitua um desafio e mobilize os alunos no sentido de agir,
imaginar e buscar ações que permitirão resolvê-lo.
134
A análise realizada nos faz pensar, também, como a falha no processamento
de leitura pode fazer com que os alunos evoquem esquemas – os teoremas-em-
ação, que não são adequados à resolução de determinados problemas. Isso
ocorreu, tanto nos casos em que os alunos apelaram para o uso da palavra-chave,
quanto no uso de estratégias não acomodativas. Esse aspecto evidenciado na
pesquisa mostra a necessidade de tornar os equívocos cometidos observáveis aos
alunos para que possam superá-los; caso contrário, esses alunos poderão carregar
as dificuldades durante o seu percurso escolar levando-o à acumulação de
fracassos que serão empecilhos para avançar na aprendizagem matemática.
Concordamos que a construção de um campo conceitual não se dá
meramente resolvendo problemas, sempre com a mesma classe de situação, mas é
preciso organizar propostas de ensino em que os alunos possam resolver situações
de diferentes classes das estruturas aditivas e multiplicativas. É preciso, ainda, que
se criem condições para que os alunos construam um repertório de esquemas para
que, a depender da situação, possam selecionar aquele que seja mais adequado.
Nesse sentido, o ensino das operações que privilegia – desde o começo – o
algoritmo convencional, ao que parece, não tem sido um caminho que ajuda o
aprendiz a construir esse repertório. Isso foi possível constatar neste nosso estudo.
Pensamos que essa prática parece negar o conhecimento do aprendiz, muitas vezes
construídos à margem do ensino formal. Acreditamos, portanto, no ensino das
operações em que o aluno, inicialmente, coloque em jogo seus conceitos
construídos no cotidiano para resolver um problema, ascendendo posteriormente
para a construção do conceito científico, aí sim com a formalização das operações.
Embora os alunos estudados tenham identificado corretamente as operações
que resolviam os problemas, observou-se que aproximadamente 10% desses alunos
não chegaram ao resultado correto. O que ficou bastante evidenciado é que em
cerca de 80% das situações-problema, houve o uso predominante de uma
modalidade de cálculo para resolver os problemas: o algoritmo convencional das
operações.
Pudemos observar o caráter mecânico com que muitos utilizaram tais
algoritmos, não atribuindo significado para os números que selecionam para realizar
a operação. Essa modalidade de cálculo foi utilizada mesmo em situações mais
simples, próprias do cálculo mental, o que pode indicar que o processo de ensino
135
escolar a que esse grupo de aluno foi submetido nesses quatro anos de
escolaridade atribuiu pouca relevância ao ensino de cálculo mental e estimativo.
Não se deve negar a importância de os alunos disporem dessas diferentes
modalidades de cálculo em que estão em jogo as relações numéricas, as
propriedades dos números e das operações, o que influencia na capacidade de
resolver problemas, e ainda, sendo também uma forma de ter acesso ao algoritmo
convencional. Entendendo essas relações e propriedades, podem ter melhor
condição para compreender o funcionamento dessas técnicas operatórias
convencionais e ainda de estimar, controlando assim os resultados.
Ao que parece, esses alunos, durante a sua escolaridade, não foram
incentivados a empregar seus próprios recursos de contagem que se aprende
informalmente e, tampouco puderam colocar em jogo os conhecimentos implícitos
sobre as propriedades dos números e das operações, que também são possíveis de
serem construídos com a experiência que vivenciam no cotidiano das relações
sociais, quando têm verdadeiros problemas a resolver.
Portanto, como nos referimos anteriormente, a ascensão do conceito
cotidiano para o conceito científico tem um grande impacto no desenvolvimento
mental do aluno. Os resultados desta pesquisa deixam evidente que essa ascensão
se dá no processo de ensino e aprendizagem, o que evidenciou a importância da
mediação do professor.
É ingênuo, no entanto, pensar que, apenas colocando seus conhecimentos
construídos no cotidiano, bastaria para que o estudante ampliasse seu repertório de
esquemas. Em nossos estudos, pudemos confirmar a importância de se promover a
interação entre alunos e professor para que ocorresse a circulação desses
diferentes saberes. Ao favorecer situações em que os alunos tiveram que explicitar
seus procedimentos de resolução, justificando-os ou refutando os argumentos dos
colegas, foi possível colocá-los como protagonistas, de fato, do processo de
aprendizagem. É bem provável que todos os alunos possam ter acessado os
diferentes pensamentos explicitados pelos seus colegas nos procedimentos de
resolver os problemas e puderam confrontá-los com os seus próprios. E, ainda,
aqueles que ainda não conseguem evocar algum esquema de resolução,
provavelmente, podem ter começado a pensar nessas diferentes possibilidades e,
assim, aproximarem-se de algum modelo que lhes seja mais accessível.
136
Esse processo de revelar o pensamento por meio da linguagem mostrou-nos
que é um passo inicial para que os alunos – que ainda não conseguem explicitar seu
teorema-em-ação – possam fazê-lo, à medida que tenham a oportunidade de uma
interlocução com o professor e seus pares, mesmo que ainda seja de uma forma
incipiente.
Certamente, as discussões nesses momentos de interação podem ter gerado
novas questões para alguns alunos, o que pode ter sido elemento para estabelecer
relações com seus esquemas construídos e que possibilitaram a criação de Zona de
Desenvolvimento Proximal.
Embora este trabalho visasse a um entendimento maior sobre aspectos que
interferem ou não no sucesso para a solução dos problemas, com foco no processo
do pensamento do aluno na resolução de problemas, ficou evidente o vínculo com o
ensino, visto que, apesar de serem processos diferentes – o ensino e a
aprendizagem – há uma relação indissociável e eles se completam na mediação
própria da ZDP.
Enfim, com esta pesquisa, foi possível concluir que a capacidade de resolver
problemas matemáticos está relacionada ao percurso da construção do campo
conceitual, ou seja, a forma como se trabalha matemática em sala de aula, mas
também relacionada ao trabalho para desenvolver a competência leitora, no caso,
especificamente em textos de enunciado de problemas matemáticos.
Mas, sobretudo, salientamos que os momentos de discussão em que os
alunos tiveram a oportunidade de explicitar a forma como entenderam o texto ou,
ainda, seus procedimentos de resolução, ao mesmo tempo em que se depararam
com outras possibilidades colocadas pelos colegas confirmaram que foram ocasiões
de intercâmbio valiosos, porque possibilitou que cada um pudesse reorganizar seus
pensamentos. E, ainda, as intervenções em tempo real, tal qual realizamos, quando
notamos equívocos e/ou acertos na leitura, no procedimento de resolução, ou com a
intenção de que determinadas descobertas fossem socializadas com a turma,
também são ações didáticas importantes para a constituição da ZDP.
137
Nossas últimas reflexões, mas não menos importante e nem definitivas
Assim, encerramos este trabalho tendo a plena consciência de que muito há
que se pesquisar sobre o ensino e aprendizagem na resolução de problemas
matemáticos, nas séries iniciais do ensino fundamental. Embora o fato de esta
pesquisa ter possibilitado construir algumas certezas, reconhecemos serem elas
provisórias, devendo ser debatidas para ampliá-las e aperfeiçoá-las à medida que
novos estudos e pesquisas sobre o tema se realizem. Portanto, sentimo-nos à
vontade para fazer uma releitura da epígrafe que iniciou essas considerações finais:
o bonito no mundo é que o conhecimento não está terminado, vão mudando, e isso
me alegra montão... Porque os esforços do pesquisador na educação, no final,
precisam estar a serviço da melhoria da aprendizagem de todos os alunos,
indistintamente.
138
REFERÊNCIAS
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139
__________ Oficina de leitura – teoria e prática – Campinas:Pontes, 1993 LÜDKE, M. e ANDRÉ, M. E.D.A. – Pesquisa em Educação: Abordagens Qualitativas. São Paulo: EPU, 1986 MACEDO, L. (2002). Situação-problema: forma e recurso de avaliação, desenvolvimento de competências e aprendizagem escolar. In P. PERRENOUD & cols. (Orgs.) As competências para ensinar no século XXI. (pp. 113-135). Porto Alegre: Artmed. MAGINA, S., CAMPOS, T.M.M., NUNES, T., GITIRANA, V. – Repensando adição e subtração – Contribuições da Teoria dos Campos Conceituais, São Paulo: PROEM Editora Ltda, 2008 McGINITIE, W., MARIA, K., KIMMEL S. – O papel das estratégias cognitivas não acomodativas em certas dificuldades e compreensão de leitura. In: FERREIRO, E. e PALACIO, M.G. (org.) Os processos de leitura e escrita – Novas perspectivas, Porto Alegre: Artes Médicas,1989. pp. 23-38 MENDONÇA, T.M., PINTO, S.M., CAZORLA, I. M., RIBEIRO, E. – As estruturas aditivas nas séries iniciais do ensino fundamental: um estudo diagnóstico em contextos diferentes. In: Revista Lationamericana de Investigación em Matemática Educativa, 2007 10 (2):219-239 MOREIRA, M. A. – A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. In: Investigações em Ensino de Ciências – V7(1), pp. 7-29, 2002 ONRUBIA, J. - Ensinar: criar zonas de desenvolvimento proximal e nelas intervir. In: COLL, C. et al. Construtivismo na sala de aula. São Paulo: Editora Ática, 2004 ONUCHIC, L.R. – Ensino-aprendizagem de matemática através de resolução de problemas. In: BICUDO, M.A.V.(org.) - Pesquisa em Educação matemática: concepções e perspectivas – São Paulo: Editora Unesp, 1999- pp.199-218. PALANGANA, I.C – Desenvolvimento e Aprendizagem em Piaget e Vygotsky – São Paulo, Summus, 2001 PARRA, C. – Cálculo mental na escola primária. In PARRA, C e SAIZ I. (org.) Didática da Matemática – Reflexões Psicopedagógicas, Porto Alegre: Artmed, 2001. pp. 186 - 235 PARRA, C e SAIZ,I – Enseñar aritmética a los más chicos: de la exploración al domínio – Cap. 1. pp. 17-50 – Rosario: Homo Sapiens Ediciones, 2007 PIETROPAOLO, R.C. – Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática: um estudo dos pareceres – Tese de mestrado – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 1999.
140
SÃO PAULO, Secretaria Municipal de Educação – Orientações curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem para o Ensino Fundamental: Ciclo II: Matemática/ SME-DOT, 2007 pp.66-67 SOLÉ, I. – Estratégias de leitura –Porto Alegre: Artmed, 1998. Cap.1 – pp. 21-37 SMOLE, K.S. e DINIZ, M.I. - Aprender a ler problemas em matemática – Mathema – Formação e Pesquisa, São Paulo – disponível em <http://www.mathema.com.br/default.asp?url=http://www.mathema.com.br/reflexoes/ap_ler_prob.html> Acesso em 24 nov. 2011
VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, J. Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996 – pp.155-191 ____________ O que é aprender? In: BITTAR, M e MUNIZ, C. A. (orgs.) – A Aprendizagem matemática na perspectiva da Teoria dos Campos Conceituais – Editora CRV – Curitiba, 2009 – pp.13 – 35 ____________ A criança, a matemática e a realidade – São Paulo: Editora UFPR – Curitiba, 2009 VIGOTSKI, L.S. A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos psicológicos superiores – São Paulo: Martins Fontes, 2010. ______ Pensamento e Linguagem – São Paulo: Martins Fontes, 2005 ZUFFI, E.M. e ONUCHIC, L.R. – O ensino-aprendizagem de matemática através de resolução de problemas e os processos cognitivos superiores. In: Revista Iberoamericana de educación matemática, 2007 09 (11):79-97.
141
APÊNDICES
APÊNDICE A – Modelo de questionário aplicado aos alunos
Caro (a) aluno (a),
As informações das respostas deste questionário ajudarão a pesquisa realizada pela
professora Leika Watabe para o curso de Mestrado que realiza na Universidade Bandeirante
de São Paulo.
Essa pesquisa tem como objetivo entender melhor como os alunos resolvem os
problemas matemáticos, que problemas fazem com maior facilidade ou com alguma
dificuldade. O resultado dessa pesquisa poderá contribuir também para a qualidade do
trabalho dos professores.
Idade:__________________________ Sexo: ( ) masculino ( ) feminino
Escola:_________________________________________________________________
1 - Você frequenta escola desde:
( ) a educação infantil
( ) primeiro ano
( ) depois do primeiro ano
2 – Você estudou sempre nesta escola, desde o primeiro ano?
( ) Sim
( ) Não. Já estudei na escola________________________________________________
3 – Você já foi reprovado?
( ) Não
( ) Sim. Uma vez.
( ) Sim. Duas ou mais vezes
4 – Você trabalha fora de casa?
( ) Sim ( ) Nâo
5 – Seus pais (ou responsável) vão à reunião de pais?
( ) Sempre ou quase sempre
( ) Nunca ou quase nunca
6 – Seus pais (ou responsável) conversam com você sobre o que acontece na escola?
( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes
7 – Que tipos de leitura, além dos livros escolares você costuma fazer?
( ) gibis e histórias em quadrinhos
( ) romances , aventuras, ficção científica
( ) jornais e revistas
( ) livros de curiosidades científicas
( ) notícias e textos da internet
( ) outros _________________________________________________
( ) Nenhum.
8 –Quantos livros você tem em casa, fora os livros escolares?
( ) Nenhum
142
( ) de 1 a 10 livros
( ) de 11 a 20 livros
( ) de 21 a 100 livros
( ) mais de 100 livros
9 – Qual das matérias abaixo você tem mais facilidade de aprender?
( ) Língua Portuguesa
( ) Matemática
( ) Ciências
( ) História
( ) Geografia
( ) Mais de uma: __________________________________________________
10 – Você gosta de estudar Matemática? ( ) Sim ( ) Não
Por quê?_________________________________________________________
________________________________________________________________
11 – Que atividades de Matemática você acha mais difícil?
( ) Contas de adição
( ) Contas de multiplicação
( ) Contas de divisão
( ) Contas de subtração
( ) Resolver os problemas
( ) Entender as frações e decimais
( ) Outros______________________________________________________________
( ) Nenhuma
12 – Como você participa das aulas de matemática?
(Assinale mais de uma alternativa, se for o caso.)
( ) Prestando atenção às explicações da professora.
( ) Fazendo perguntas quando não entendo alguma coisa.
( ) Presto ajuda aos colegas que estão com dificuldades, dando dicas de como resolver
os exercícios.
( ) Fazendo todas as tarefas propostas.
( ) Outras formas:________________________________
13 – Você faz as lições de casa de Matemática?
( ) Sempre ou quase sempre
( ) De vez em quando
( ) Nunca ou quase nunca
14 – Você utiliza o que aprendeu em Matemática nas situações fora da escola?
( ) Sim ( ) Não ( ) Não sei
Se respondeu Sim, o que do conteúdo matemático ajuda a resolver as situações fora da
escola?___________________________________________________________
143
APÊNDICE B – Modelo de questionário aplicado à professora
Prezada Professora
Este questionário faz parte do projeto de pesquisa Resolução de Problemas dos Campos Aditivo e Multiplicativo dos alunos do 4º ano de uma escola municipal de ensino fundamental I desenvolvido pela mestranda Leika Watabe do Programa de Mestrado em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo.
O objetivo do projeto é investigar o papel da linguagem na resolução de problemas e, nesta etapa, estamos coletando informações sobre o ensino e aprendizagem da resolução de problemas dos campos aditivo e multiplicativo. O questionário consta de algumas perguntas o que vai requerer apenas alguns minutos para serem respondidas. Agradecemos sua colaboração e informamos que suas respostas serão consideradas para a análise dos dados que serão coletados e o seu questionário não será identificado individualmente.
Atenciosamente,
Profa. Dra. Maria Helena Palma
Informações pessoais
Idade: ________ Sexo: _____
Indique abaixo a(s) turmas em que atua bem como o nome das escolas. Escola Turma (ano do ciclo)
Se desejar receber o resultado dessa pesquisa escreva abaixo o seu e-mail: ___________________________________________________________
Formação
1. Tem formação de nível superior? SIM NÃO
Curso:______________________________________________________________
Instituição:__________________________________________________________
Ano de Conclusão :__________
2. Você já participou de cursos de formação continuada na área de Matemática? _______ Se sim, em que ano foi a sua participação?____________
e por qual instituição?__________________________________________
3. Atualmente, você participa de algum curso de formação na área de Matemática?_________ Se sim, por qual instituição?________________________________________
144
4. Os cursos de formação que participa ou participou foram produtivos para o contexto da
sala de aula? _______________ Por quê?________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ROTINA DE TRABALHO
a) Quantas aulas de matemática são previstas na sua rotina semanal?_____
b) Qual (is) bloco (s) de conteúdos matemáticos tem sido possível trabalhar em sala de
aula?_________________________________________________________
c) Se houver bloco de conteúdos matemáticos que não têm sido possíveis de trabalhar, qual o
motivo?___________________________________________________
_________________________________________________________________
d) Assinale no quadro abaixo, como você organiza os alunos nas aulas de matemática? Com que
frequência?
Diariamente 1 vez por sem. 2 vezes por sem. + 2 vezes p/sem.
individual Em duplas Em pequenos grupos
e) Como você, na maior parte das vezes, faz a devolutiva das tarefas realizadas na sala de aula?
Se precisar, assinale mais de uma alternativa.
( ) individualmente no próprio trabalho, logo em sequência em que foi proposta a atividade.
( ) realiza, você mesma, uma correção coletiva no quadro.
( ) convida alguns alunos para que mostrem como resolveu.
( )Outras formas:_____________________________________________
f) Com que frequência trabalha o conteúdo Operações durante a semana?
( ) de uma a duas vezes por semana
( ) de duas a três vezes por semana
( ) de três a quatro vezes por semana
( ) todos os dias
g)Quais atividades deste bloco você propõe aos alunos com maior frequência? ( ) Resolução de problemas ( ) Técnica operatória convencional das operações ( ) Outras modalidades de cálculo (cálculo mental, estimativa, uso da calculadora)
Organização Frequência
145
h)Que tipo de dificuldades você observa em relação à resolução de problemas? Se precisar, assinale mais de uma alternativa.
Número de ocorrências
Dificuldades na leitura
Alunos que não realizam leitura com autonomia. ( )
Alunos que realizam a leitura, mas apenas decodificam. ( )
Alunos que atribuem algum sentido ao texto, sabem o que precisam
resolver, mas não demonstram a competência de organizar um plano de
ação para resolver o problema. ( )
Outras dificuldades: ( ) Descreva:
Número de ocorrências
Dificuldades nos conteúdos matemáticos
Na realização do cálculo ( )
Em identificar que operação resolve o problema ( )
Na realização da operação ( )
Outras dificuldades ( ) Descreva:
i) Descreva as intervenções que realiza, com frequência, junto aos alunos que apresentam cada dificuldade.
146
APÊNDICE C - Modelo de atividades propostas aos alunos
Atividades propostas na segunda etapa
P1.Em uma sala de aula há algumas meninas e 21 meninos. No total são 45 alunos. Qual é a quantidade de meninas nessa sala de aula? P2.Uma perua escolar fez várias paradas:
d. Na primeira, subiram 17 crianças. e. Na segunda, desceram 3 crianças.
f. Na terceira, desceram 5 crianças. Quantas crianças permaneceram na perua após a terceira parada?
P3 – No final de uma partida de “bafo”, João e Rafael foram conferir com quantas figurinhas cada um ficou. João contou as suas e disse que tem 47. Pedro disse que ficou com 19 a mais que seu amigo. Com quantas figurinhas Pedro terminou essa partida? P4 – Em uma sala de leitura havia no total 1238 livros. Após receber uma doação de 236 livros, com quantos livros ficou essa sala de leitura? P5 – De uma vara de madeira de 64 cm, quantos pedaços de 8 cm se pode obter? P6 – Um carro percorre 240 quilômetros em 4 horas. Quantos quilômetros esse carro percorre em duas horas, se andou sempre na mesma velocidade? P7 – Carina saiu de casa com uma quantia em dinheiro. Foi ao supermercado e gastou 35 reais e na padaria 18 reais. Quando chegou em casa verificou que ainda lhe haviam sobrado 7 reais. Quantos reais Carina tinha ao sair de casa? P8 – Em uma sala de cinema há 32 fileiras com 12 cadeiras em cada fileira. Qual é o total de cadeiras dessa sala de cinema? P9 - Em uma visita ao Museu do Ipiranga irão 58 pessoas entre alunos e professores. Se em uma perua escolar podem ser transportados 9 passageiros, quantas peruas serão precisos para transportar todas as pessoas que irão ao museu? P10 – Uma padaria produz pãezinhos de manhã e de tarde. Em um certo dia, dos pães que assou de manhã sobraram 26 pãezinhos, e das que assou à tarde ficaram 18. Quantos pãezinhos sobraram nesse dia?
P11 – Em um grande supermercado há três andares de estacionamento, e em cada andar trabalham 3 funcionários. No primeiro andar estão estacionados 52 carros e no segundo andar, 48 carros. Quantos funcionários trabalham nesse estacionamento? P12 - Um time de futebol dispõe de 3 modelos de camisetas, 4 cores de calções. De quantas formas diferentes este time pode se apresentar nos jogos? P13 – Renato e João são atletas. Em uma prova, Renato correu 4 800 metros e João 3 550 metros. Quantos metros Renato correu a mais que João? P14– Sílvia precisa empacotar 156 bolinhas de gude, devendo colocar 12 bolinhas em cada pacote. Quantos pacotes serão necessários para que ela empacote todas as bolinhas?
147
E1. Duda tem uma coleção de carrinhos e guarda em 5 caixas. Cada caixa tem 8 carrinhos. Quantas horas ele brincou com os amigos? E3. Júlia e Renata têm juntas R$42,00. Quanto dinheiro tem Renata?
E 4. Carina saiu de casa com uma quantia em dinheiro. Foi ao supermercado e gastou 35 reais e na padaria, 18 reais e ainda lhe sobraram 7 reais. Quantos reais Carina tinha ao sair de casa? E5. Como posso dividir igualmente 8 lápis para 10 crianças?
E6. Na geladeira da minha casa tenho 12 laranjas, 4 maçãs, 8 cenouras 2 pés de alface e 6 peras. Quantas frutas tenho na geladeira?
E7. I - Leia o texto abaixo:
Os alunos do 4º ano A e do 4º ano B foram fazer pic-nic. Do 4º A foram 24 alunos e do 4º B foram 26. Acompanharam esse passeio, 3 professores, 4 mães e 2 serventes.
Levaram 15 caixas de suco e 15 garrafas de água mineral. Foram em dois ônibus em que cada um poderia transportar sentadas 40 pessoas.
Quantos adultos acompanharam o passeio?
Quantos alunos do 4º B foram?
Quantas garrafas de bebidas levaram?
Quantas pessoas poderiam ser transportadas em cada ônibus?
De qual turma foram mais alunos?
II – Responda: i) Quais das perguntas acima puderam se respondidas apenas localizando
informações no texto?
j) Para quais das perguntas acima precisaram fazer um cálculo ou uma
comparação uma vez que a resposta não estava no texto.
E.8. Qual é a pergunta?
5 -Leia o texto abaixo:
Nove amigos combinaram de passar um domingo no Parque do Ibirapuera. Para isso decidiram que levarão 3 sanduíches para cada um e uma garrafa de refrigerante de 2L para cada 3 pessoas. Quantas garrafas de refrigerante precisarão levar?
6 - Assinale com um X quais contas resolvem este problema:
( ) 1 + 1 + 1
( ) 3 x 9
( ) 9 : 3
E.9. A família Silva vai às compras
1 – Leia o texto abaixo:
Aos domingos dona Marisa vai à feira. Essa semana ela foi acompanhada de seus dois filhos Miguel e Taís e a vizinha dona Neide.
Dona Marisa comprou uma dúzia de laranja pêra, meia dúzia de laranja lima, 6 maçãs, 18 bananas, 1 quilo de batata, dois pés de alface, 1 quilo e meio de tomate e gastou ainda 16 reais por 2 quilos de frango.
148
Ao chegar em casa fez as contas e verificou que o total de gasto nessas compras tinha sido de 48 reais e que ainda havia sobrado 8 reais.
a) Quantas frutas dona Marisa comprou na feira? b) O que ela comprou mais: laranjas ou bananas? c) Quanto ela gastou com as compras que fez na feira? d) Quantos reais ela levou à feira?
2 – Responda: c) Quais das perguntas acima puderam ser respondidas apenas localizando
informações no texto? d) Para quais das perguntas acima você precisou fazer um cálculo ou uma
comparação uma vez que a resposta não estava no texto?
3 – Agora você vai inventar uma pergunta para a situação acima que:
a)Possa ser respondida diretamente localizando as informações que estão no
texto.
b)Será respondida após a realização de um cálculo ou uma comparação.
E.10. I - Qual é a pergunta?
Leia o texto abaixo:
Dona Bete é uma boleira de mão cheia. Recebeu uma encomenda de bolo de chocolate para uma reunião em que se espera 20 pessoas. Ela escolheu uma receita que se usa os seguintes ingredientes, e que rende 12 pedaços:
Bolo de chocolate Ingredientes:
4 ovos
1 xícara (chá) de leite morno
4 colheres (sopa) de margarina derretida
1 xícara (chá) de açúcar
1 xícara (chá) de farinha de trigo
1 colher (sopa) de fermento em pó Dona Bete foi verificar se dispunha de todos os ingredientes e viu que
precisava comprar ovos e leite.
Agora invente uma pergunta para que este texto se torne um problema possível de ser resolvido pelos seus colegas.
II - Invente problemas
Invente e escreva um problema que pode ser resolvido pela operação 23 x 4.
Não se esqueça que é preciso pensar em uma pergunta para o problema se
torne possível de ser resolvido.
149
Atividades propostas na terceira etapa
Que conta resolve o problema? Leia e analise cada uma das situações abaixo. Em seguida assinale qual é a operação que resolve cada problema. 4. Em um grande campeonato de futebol foram organizados 32 equipes. Cada equipe tem
8 jogadores reserva. Quantos são os jogadores reserva? e) 32 + 8 f) 32 x 8 g) 32 : 8 h) 32 – 8
5. Cada equipe tem 11 titulares e 8 reservas. Em 2 equipes, quantos jogadores há entre
titulares e reservas? e) 11 + 8 + 2 f) 19 x 2 g) 11 + 8 x 2 h) 19 + 2
6. Em um hotel estão hospedados 240 pessoas. Elas serão transportadas para o ginásio
de esportes em ônibus que tem 21 poltronas. Todas as poltronas serão ocupadas e nenhuma pessoa viajará em pé. Quantos ônibus serão necessários para levar essas pessoas ao ginásio de esportes? e) 240 + 21 f) 240 – 21 g) 240 x 21 h) 240 : 21
4. Sandra empacotou 148 lembrancinhas para serem divididas para as crianças na festa da creche. Ela precisará empacotar ainda 18 lembrancinhas. Quantas lembrancinhas serão distribuídas nessa festa? a) 148 – 18 b) 148 x 18 c) 148 + 18 d) 148 : 18 5. João tem uma coleção de 10 adesivos de personagens. Ele quer colá-los em um álbum que tem 25 páginas, sendo que em cada uma há espaço para colar 18 adesivos. Quando esse álbum ficar completo quantos adesivos terão sido colados? a) 10 + 25 b) 25 + 18 c) 25 x 18 d) 10 + 25 + 18
150
APÊNDICE D – Tabulação dos dados coletados das entrevistas com os alunos
TABULAÇÃO DA PRIMEIRA ENTREVISTA COM OS ALUNOS DO 4º ANO - 2011
Sempre estudou na Já foi reprovado Frequ.Pais/Resp.
atual escola em reuniões Gibis/HQ Romanc. jornais e livros de Nenhum 1 a 20 21 a 100 mais 100
Alunos Ed.Inf. 1º ano EF Sim Não Sim Não S/QS* N/QN* avent/fic revistas cur.cien
AR 1 1 1 1 1 1
BA 1 1 1x 1 1 1
BR 1 1 1x 1 1 1
DE 1 1 1 1 1 1 1
DI 1 1 1 1 1 1 1
E 1 1 1 1 1 1
F 1 1 1 1 1 1 1
GV 1 1 1 1 1 1 1
GR 1 1 1 1 1 1
GJ 1 1 1 1 1 1
GR 1 1 1 1 1 1 1 1
H 1 1 1 1 1 1
J 1 1 2x 1 1 1 1
L 1 1 1 1 1 1
MB 1 1 1 1 1 1
MI 1 1 1 1 1 1 1
MR 1 1 1 1 1 1 1
N 1 1 1x 1 1 1 1
T 1 1 1 1 1 1
TH 1 1 1 1 1 1 1
VA 1 1 1 1 1 1
VS 1 1 1 1 1 1
VF 1 1 1 1 1 1 1
WY 1 1 1 1 1 1
WI 1 1 1 1 1 1
Y 1 1 1x 1 1 1 1
26 23 3 15 11 4 21 23 3 24 7 6 2 1 14 7 4
88% 12% 58% 42% 15% 81% 88% 12% 92% 27% 23% 8% 4% 54% 27% 15%
(*)
S/QS Sempre ou Quase sempre
N/QN Nunca ou Quase nunca
desde
Quantidade de livros em casaTipos de leitura além dos livros escolares
TABELA 2 - HÁBITOS DE LEITURATABELA 1 - EXPERIÊNCIA ESCOLAR/PARTICIPAÇÃO DOS PAIS
Frequenta escola
151
Gosta de estudar
matemática
Alunos L.P MatemáticaCiências História Geografia sim não
AR 1 1 1 Em subtração sou ruim.
BA 1 1 Porque é difícil.
BR 1 1 1 Porque a gente aprende fazer contas e os números.
DE 1 1 1 Porque é muito diferente do que língua portuguesa, geografia, história e ciências.
DI 1 1 1 Se eu não gostasse, não ia saber como fazer a divisão de balas com meu amigo.
E 1 1 Porque é a matéria mais fácil para aprender.
F 1 1 1 Porque é fácil para aprender.
GV 1 1 1 Eu tenho mais facilidade de aprender.
GR 1 1 Gosto mais, eu não sei.
GJ 1 1 Porque a matemática sempre tem lógica.
GR 1 1 1 1 1
H 1 1 Porque eu gosto e gosto muito de aprender.
J 1 1
L 1 1
MB 1 1
MI 1 1 1 1 1
MR 1 1
N 1 1
T 1 1
TH 1 1 1
VA 1 1
VS 1 1 1
VF 1 1 1
WY 1 1
WI 1 1
Y 1 1 1
26 12 17 5 6 1 21 5
46% 65% 19% 23% 4% 81% 19%
Matérias que tem mais facilidade de aprender
TABULAÇÃO DA PRIMEIRA ENTREVISTA COM OS ALUNOS DO 4º ANO - 2011
TAB. 3 - RELAÇÃO COM AS DISCIPLINAS ESCOLARES
Por quê?
Porque eu posso aprender mais calcular e muito mais quando crescer.
Porque eu tenho dificuldade, então fica difícil de aprender.
É mais fácil.
Porque faz aprender mais e é divertido. Eu adoro.
Eu gosto de matemática.
Porque eu aprendo mais.
Porque eu tenho muita dificuldade.
Porque é difícil para mim.
A professora explica o que eu não entendo às vezes.
Porque é uma coisa que se usa todos os dias e é um pouco difícl.
Porque é muito mais fácil de aprender contas de multiplicação.
É fácil e a gente usa bastante matemática.
Porque é legal de resolver as questões.
Porque é difícil e quando eu crescer eu quero saber.
Porque matemática tem coisas difíceis e para mim coisas difíceis são melhores.
152
Faz as lições de casa de
Que atividades de Matemática você acha mais difícil?
contas de contas de contas de contas resolver frações e outros nenhum Sempre/ De vez emNunca/
Alunos adição multiplicação divisão subtração problemas decimais A B C D quase semquando quase nun
AR 1 1 1 1 1
BA 1 1 1
BR 1 1 1 1 1
DE 1 1 1 1 1
DI 1 1 1 1 1
E 1 1 1 1
F 1 1 1 1 1 1
GV 1 1 1 1 1 1
GR 1 1 1 1 1
GJ 1 1 1
GR 1 1 1 1 1
H 1 1 1
J 1 1 1
L 1 1 1 1 1 1 1
MB 1 1 1 1 1 1
MI 1 1 1 1 1
MR 1 1 1 1 1 1 1
N 1 1 1 1
T 1 1 1
TH 1 1 1
VA 1 1 1 1 1
VS 1 1 1
VF 1 1 1 1 1 1
WY 1 1 1
WI 1 1 1
Y 1 1 1
26 1 4 15 4 7 5 1 3 22 16 7 5 17 9 0
4% 15% 58% 15% 27% 19% 4% 12% 85% 62% 27% 19% 65% 35% 0%
Legenda
A Prestando atenção às explicações da professora.
B Fazendo perguntas quando não entende alguma coisa.
C Presta ajuda aos colegas que estão com dificuldades, dando
dicas de como resolver os exercícios
D Fazendo todas as tarefas propostas.
TABULAÇÃO DA PRIMEIRA ENTREVISTA COM OS ALUNOS DO 4º ANO - 2011
Como você participa das aulas de matemática
TAB.4 - RELAÇÃO COM A MATEMÁTICA TAB. 5 - PARTICIPAÇÃO NAS AULAS DE MATEMÁTICA
Forma de participação nas aulas de
matemática matemática
153
APÊNDICE E – Entrevista inicial com a professora
Informações pessoais
Idade: 62 Sexo: fem
Formação
1. Tem formação de nível superior? SIM
Curso: Pedagogia
Instituição: Universidade Federal de Juiz de Fora
Ano de Conclusão : 1971
2.Você já participou de cursos de formação continuada na área de Matemática? Se sim, em que ano foi a sua participação? Já há algum tempo
e por qual instituição? Secretaria Municipal de Educação de São Paulo
3.Atualmente, você participa de algum curso de formação na área de Matemática? Não
4.Os cursos de formação que participa ou participou foram produtivos para o contexto da sala de aula? Sim, pois no curso do PROFA* sobre alfabetização, me ajudou a aprender sobre produção de texto.
* Programa de Formação de Professores Alfabetizadores - MEC ROTINA DE TRABALHO
1.Quantas aulas de matemática são previstas na sua rotina semanal? Duas aulas seguidas,
diariamente.
2.Qual (is) bloco (s) de conteúdos matemáticos tem sido possível trabalhar em sala de
aula? Priorizo o cálculo das quatro operações, resolução de problemas, tabelas, gráficos
Se houver bloco de conteúdos matemáticos que não têm sido possíveis de trabalhar, qual
o motivo? Não tenho dado muita ênfase à Geometria porque não conto com os sólidos
geométricos.
3.Assinale no quadro abaixo, como você organiza os alunos nas aulas de matemática?
Com que frequência?
Diariamente 1 vez por sem. 2 vezes por sem. + 2 vezes p/sem.
individual x Em duplas x
Em pequenos grupos
Organização Frequência
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4.Como você, na maior parte das vezes, faz a devolutiva das tarefas realizadas na sala de
aula? Se precisar, assinale mais de uma alternativa.
( x ) individualmente no próprio trabalho, logo em sequência em que foi proposta a
atividade.
( x ) realiza, você mesma, uma correção coletiva no quadro.
( ) convida alguns alunos para que mostrem como resolveu.
( )Outras formas: Os alunos corrigem um do outro
5.Com que frequência trabalha o conteúdo Operações durante a semana?
( ) de uma a duas vezes por semana
( ) de duas a três vezes por semana
( ) de três a quatro vezes por semana
(x ) todos os dias
6.Quais atividades deste bloco você propõe aos alunos com maior frequência? ( ) Resolução de problemas ( x ) Técnica operatória convencional das operações ( ) Outras modalidades de cálculo (cálculo mental, estimativa, uso da calculadora) Justificativa: Porque para os alunos é mais fácil. 7.Que tipo de dificuldades você observa em relação à resolução de problemas? Se precisar, assinale mais de uma alternativa.
Número de ocorrências
Dificuldades na leitura
Aluna L. Alunos que não realizam leitura com autonomia. ( x )
Alunas: J.,
M., B., G., W.
Alunos que realizam a leitura, mas apenas decodificam. ( x )
Cerca de
30%
Alunos que atribuem algum sentido ao texto, sabem o que precisam
resolver, mas não demonstram a competência de organizar um plano
de ação para resolver o problema. ( x )
Outras dificuldades: ( ) Descreva:
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Número de ocorrências
Dificuldades nos conteúdos matemáticos
Alunos: M.B. e V.
Na realização do cálculo ( x )
Cerca de 4 alunos
Em identificar que operação resolve o problema ( x )
Na realização da operação ( )
Outras dificuldades ( ) Descreva:
i) Descreva as intervenções que realiza, com frequência, junto aos alunos que apresentam cada dificuldade.
Tento levar o conteúdo para o dia a dia, que fique mais próximo dos alunos, então elaboro problemas com o nome deles, por exemplo, sobre um passeio que fizeram, sobre uma situação que viveram.
Os alunos têm muita dificuldade na resolução de problemas, não tem iniciativa para resolver. Eu ofereço problemas similares, mas mesmo assim, têm dificuldades. Os alunos não conseguem pensar. Usam a calculadora para resolver as contas.
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ANEXOS
ANEXO A – Modelo de autorização à Diretoria Regional da Educação
São Paulo,
Ilmo. Diretor Regional da Educação
Prof.
Prezado senhor,
Venho por meio desta, solicitar a sua autorização para que a aluna Leika
Watabe, mestranda do Programa de Mestrado em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante de São Paulo, realizar coleta de dados na EMEF
___________________________, em uma turma de 4º ano do Ensino Fundamental.
Contando com sua compreensão no oferecimento das condições para a
realização dessa coleta, esclarecemos que essa participação não deverá causar alteração
na rotina escolar, e colocamo-nos à disposição para um diálogo constante, bem como
disponibilizar o resultado dessa pesquisa
Manifestando nosso vivo interesse pela melhoria da qualidade do ensino na
escola pública apresentamos nossas cordiais saudações,
Atenciosamente,
Profa. Dra. Maria Helena Palma de Oliveira
Orientadora
Programa de Mestrado Educação Matemática
Universidade Bandeirante de São Paulo
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ANEXO B – Modelo de termo de responsabilidade da escola
Eu, Prof.(a)
________________________________________________________, diretor da Escola
___________________________________________________________, declaro ter
conhecimento da pesquisa ______________________________ sob a responsabilidade
da Prof_________________________ e autorizo sua realização com alunos do
__________________________, das __________________________séries, no ano de
20____.
Assinando esta autorização, estou ciente de que os alunos estarão respondendo:
um questionário para coletar informações sobre seus hábitos de leitura e a participação
nas aulas de matemática, além das atividades de resolução de problemas .
Fui informado que esta pesquisa está sendo desenvolvida por Leika Watabe
aluna do mestrado acadêmico em Educação Matemática da Universidade Bandeirante
de São Paulo, sob a orientação da Profa. Dra. Maria Helena Palma de Oliveira.
___________________________________
Nome e assinatura
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ANEXO C – Modelo de termo de consentimento livre e esclarecido - Professor
Título da Pesquisa: Análise das dificuldades de resolução de problemas do campo
aditivo e multiplicativo de alunos de uma turma do 4º ano do Ensino Fundamental do
Município de São Paulo
Nome da Pesquisadora: Leika Watabe
Nome da Orientadora: Professora Dra. Maria Helena Palma de Oliveira
A senhora está sendo convidada a participar desta pesquisa que tem como
finalidade investigar as dificuldades que os alunos da turma de 4º ano apresentam ao
resolver problemas dos campos aditivo e multiplicativo.
Ao participar deste estudo a senhora permitirá que a pesquisadora realize
intervenção junto aos seus alunos, porém terá a liberdade de se recusar a participar e
ainda se recusar a continuar participando em qualquer fase da pesquisa, sem qualquer
prejuízo. Sempre que quiser poderá pedir mais informações sobre a pesquisa através do
telefone da pesquisadora do projeto e, se necessário através do telefone do Comitê de
Ética em Pesquisa.
Sobre as entrevistas: Será realizada uma entrevista em que a senhora indicará as
dificuldades que os seus alunos apresentam em relação à resolução de problemas
matemáticos bem como conhecer o seu planejamento semanal em relação aos conteúdos
matemáticos.
Riscos e desconforto: a participação nesta pesquisa não traz complicações
legais. A fim de auxiliar na coleta de dados, algumas aulas poderão ser documentadas
em vídeo de uso exclusivo para esta pesquisa, e todas as recomendações legais serão
obedecidas para que se utilize essa forma de registro. Os procedimentos adotados
nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética em Pesquisa com Seres Humanos
conforme Resolução no. 196/96 do Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos
procedimentos usados oferece riscos à sua dignidade.
Confidencialidade: todas as informações coletadas neste estudo são estritamente
confidenciais. Somente a pesquisadora e a orientadora terão conhecimento dos dados.
Benefícios: ao participar desta pesquisa senhora não terá nenhum benefício
direto. Entretanto, esperamos que este estudo traga informações importantes sobre
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intervenções pedagógicas que contribuem para o avanço dos alunos na resolução de
problemas matemáticos, de forma que o conhecimento que será construído a partir desta
pesquisa possa trazer maiores subsídios para planejar o seu trabalho nesse conteúdo,
pois a pesquisadora se compromete a divulgar os resultados obtidos.
Pagamento: a senhora não terá nenhum tipo de despesa para participar desta
pesquisa, bem como nada será pago por sua participação.
Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma livre para
participar desta pesquisa. Portanto preencha, por favor, os itens que seguem.
Confiro que recebi cópia deste termo de consentimento, e autorizo a execução
do trabalho de pesquisa e a divulgação dos dados obtidos neste estudo.
Obs: Não assine esse termo se ainda tiver dúvida a respeito.
Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e esclarecida,
manifesto meu consentimento em participar da pesquisa
______________________________
Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa
__________________________________
LEIKA WATABE
Pesquisadora
___________________________________
MARIA HELENA PALMA DE OLIVEIRA
Orientadora
Pesquisadora: Leika Watabe – RG 9958 681 – fone: (11)98220484
Orientadora: Professora Dra. Maria Helena Palma de Oliveira
Telefone da Comissão de Ética: (11) 2972-9000
E-mail: [email protected]
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ANEXO D – Modelo de termo de consentimento livre e esclarecido - menor
Título da Pesquisa: Análise das dificuldades de resolução de problemas do campo
aditivo e multiplicativo de alunos de uma turma do 4º ano do Ensino Fundamental do
Município de São Paulo
Nome do (a) Pesquisadora: Leika Watabe
Nome do (a) Orientadora: Professora Dra. Maria Helena Palma de Oliveira
O menor ________________________________________ está sendo
convidado a participar desta pesquisa como finalidade investigar as dificuldades que os
alunos da turma de 4º ano apresentam ao resolver problemas dos campos aditivo e
multiplicativo.
Ao participar deste estudo a sra (sr) permitirá que a pesquisadora Leika Watabe
realize algumas atividades para verificar que dificuldades podem surgir durante a
resolução de problemas matemáticos. A sra. (sr.) tem liberdade de se recusar que
seu(sua) filho(a) participe e ainda recusar a continuar participando em qualquer fase da
pesquisa, sem qualquer prejuízo para a sra. (sr.) ou o(a) seu(sua) filho(a) Sempre que
quiser poderá pedir mais informações sobre a pesquisa através do telefone da
pesquisadora do projeto e, se necessário através do telefone do Comitê de Ética em
Pesquisa.
Sobre o questionário: Além das atividades de resolução de problemas o (a)
aluno(a) responderá um questionário para coletar informações sobre seus hábitos de
leitura e a participação nas aulas de matemática.
Riscos e desconforto: a participação nesta pesquisa não traz complicações
legais. É possível que o (a) aluno(a) não realize as atividades, porém esse fato não
causará nenhum constrangimento e nem prejuízo ao(a) aluno(a). A fim de auxiliar na
coleta de dados, algumas aulas poderão ser documentadas em vídeo de uso exclusivo
para esta pesquisa, e todas as recomendações legais serão obedecidas para que se utilize
essa forma de registro. Os procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos
Critérios da Ética em Pesquisa com Seres Humanos conforme Resolução no. 196/96 do
Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos procedimentos usados oferece riscos à sua
dignidade.
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Confidencialidade: todas as informações coletadas neste estudo são estritamente
confidenciais. Somente a pesquisadora e a orientadora terão conhecimento dos dados.
Benefícios: ao participar desta pesquisa a sra. (sr.) não terá nenhum benefício
direto. Entretanto, esperamos que este estudo traga informações importantes sobre a
aprendizagem dos alunos em relação a resolução de problemas de forma que o
conhecimento que será construído com base nesta pesquisa possa contribuir para a
prática pedagógica da professora, pois a pesquisadora se compromete a divulgar os
resultados obtidos.
Pagamento: a sra (sr.) não terá nenhum tipo de despesa para participar desta
pesquisa, bem como nada será pago por sua participação.
Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma livre para
participar desta pesquisa. Portanto preencha, por favor, os itens que se seguem.
Confirmo que recebi cópia deste termo de consentimento, e autorizo a execução
do trabalho de pesquisa e a divulgação dos dados obtidos neste estudo.
Obs: Não assine esse termo se ainda tiver dúvida a respeito.
Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e esclarecida,
manifesto meu consentimento em participar da pesquisa.
______________________________
Nome e Assinatura do responsável do Participante da Pesquisa
__________________________________
LEIKA WATABE
Pesquisadora
___________________________________
MARIA HELENA PALMA DE OLIVEIRA
Orientadora
Pesquisadora: Leika Watabe – RG 9958 681 – fone: (11)98220484
Orientadora: Professora Dra. Maria Helena Palma de Oliveira
Telefone da Comissão de Ética: (11) 2972-9000
E-mail: [email protected]