universidade bandeirante de sÃo paulo · 6.2.3 seção iii. a árvore de possibilidades ......
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO ROBSON DOS SANTOS FERREIRA
ENSINO DE PROBABILIDADE COM O USO DO PROGRAMA
ESTATÍSTICO R NUMA PERSPECTIVA CONSTRUCIONISTA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
SÃO PAULO 2011
ROBSON DOS SANTOS FERREIRA MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÀTICA
ENSINO DE PROBABILIDADE COM O USO DO PROGRAMA ESTATÍSTICO R NUMA PERSPECTIVA CONSTRUCIONISTA
Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da professora doutora Verônica Yumi Kataoka e co-orientação da professora doutora Mônica Karrer.
SÃO PAULO
2011
Ferreira, Robson dos Santos Ensino de probabilidade com o uso do programa
estatístico R numa perspectiva construcionista/Robson dos Santos Ferreira. São Paulo: [s.n],2011.
155f ; Il. ; 30cm.
Dissertação (Mestrado Acadêmico) – Universidade Bandeirante de São Paulo, Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática.
Orientadora: Profa.Dra.Verônica Yumi Kataoka.
1. Ensino de Probabilidade 2. Construcionismo 3. Design Experiment 4. Letramento Probabilístico 5. Software R I. Título.
ROBSON DOS SANTOS FERREIRA
ENSINO DE PROBABILIDADE COM O USO DO PROGRAMA ESTATÍSTICO R NUMA PERSPECTIVA CONSTRUCIONISTA
DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDEIRANTE
DE SÃO PAULO COMO EXIGENCIA DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Presidente e Orientadora
Nome: Profª Drª Verônica Yumi Kataoka
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN
Assinatura: ________________________________________________
2ª Examinador
Nome: Profª Drª Lisbeth Kaiserlian Cordani
Assinatura: ________________________________________________
3ª Examinador
Nome: Profª Drª Mônica Karrer
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN
Assinatura: ________________________________________________
4ª Examinador
Nome: Profª Drª Siobhan Victoria Healy
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN
Biblioteca
Bibliotecário: _______________________________________________
Assinatura:____________________________Data____/_____/_______
São Paulo, 19 de agosto de 2011.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por ter proporcionado tamanha oportunidade de crescimento
pessoal e profissional.
À minha família, namorada e amigos, pela força e compreensão nos momentos em
que a dedicação à vida acadêmica esteve acima dos demais compromissos sociais.
À Professora Marinêz, diretora da escola onde trabalhei, por todo apoio que recebi
durante o curso, e por reconhecer a importância da formação do professor para a
melhoria da qualidade de ensino de matemática.
À Direção, professores e alunos da escola estadual Dona Olímpia Falci pelo apoio
oferecido durante a aplicação do experimento de ensino.
Agradeço aos professores do programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática da UNIBAN, por oferecerem um curso de qualidade reconhecida
nacional e internacionalmente.
Às minhas orientadoras, Professora Drª Verônica Yumi Kataoka e Professora Drª
Mônica Karrer, pela paciência, amor e dedicação durante todo o período de
orientação.
Muito obrigado a todos.
Um bom homem é sempre um iniciante.
Marcial.
RESUMO
FERREIRA, R. S. Ensino de probabilidade com o uso do programa estatístico R numa perspectiva construcionista. 2011. 155f. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 20111.
Esta pesquisa tem como objetivo investigar a aprendizagem de conceitos
probabilísticos de alunos do 3º ano do ensino médio por meio da aplicação do
experimento de ensino “Passeios Aleatórios da Carlinha” nos ambientes papel &
lápis e computacional, software R; sob a perspectiva do letramento probabilístico de
Gal e do construcionismo de Papert. O estudo foi desenvolvida de acordo com a
metodologia de Design Experiment de Cobb et al. em duas fases, quais sejam, uma
atividade de familiarização ao software R e o experimento de ensino, que foram
aplicadas a sete alunos do terceiro ano do ensino médio de uma escola estadual da
cidade de Ibiúna do estado de São Paulo. Nos dois casos, foram feitas uma análise
preliminar e uma posterior. A análise preliminar foi realizada tanto com base na
fundamentação teórica deste estudo como por meio dos resultados obtidos em uma
aplicação prévia, a qual objetivou avaliar a necessidade de alterações nas tarefas
propostas nas duas fases da pesquisa. Esta primeira aplicação foi realizada com
quatro alunos do segundo ano do ensino médio da mesma escola. A análise
posterior teve como objetivo avaliar quais eram os indícios das contribuições das
duas fases para o desenvolvimento do conceito de probabilidade, evidenciando as
evoluções ocorridas durante o processo. Os resultados apontam avanços tanto no
que se refere ao conceito de Probabilidade como no nível de autonomia dos alunos
na construção do conhecimento. O recurso computacional utilizado proporcionou
reflexões diferentes das usualmente desenvolvidas no ambiente Papel & Lápis, uma
vez que possibilitou o trabalho com um número maior de simulações, bem como a
discussão do conceito de não equiprobabilidade. Apesar das dificuldades pontuais
apresentadas durante o experimento, a possibilidade de confronto entre a
probabilidade frequentista e a teórica, potencializada pelo experimento, bem como
pelo uso do software R, proporcionou aos alunos novas reflexões em torno dos
conceitos probabilísticos. Esses resultados parecem indicar que a utilização desse
1 Comitê de Orientação: Orientadora: Profº Dra Verônica Yumi Kataoka
Co-orientadora: Profª Dra Monica Karrer
tipo de experimento pode se constituir em um importante recurso pedagógico para
os professores trabalharem conceitos probabilísticos na educação básica, e, por
conseguinte, possam contribuir para o letramento probabilístico dos alunos.
Palavras-chave: Ensino de Probabilidade; Construcionismo; Design Experiment; Letramento Probabilístico; Software R.
ABSTRACT
FERREIRA, R. S. Teaching probability using the statistical program R from a constructionist perspective. 2011. 155f. Dissertation – Master in Mathematics Education, Bandeirante University of São Paulo, São Paulo, 2011.2
The goal of this research was to investigate third grade high school students’ learning
of probabilistic concepts through the learning experiment application “Passeios
Aleatórios da Carlinha” in paper & pencil and computer environments, using R
software, from the perspectives of the probabilistic literacy of Gal and constructionism
of Papert. The research was developed according to the design-experiment
methodology in two phases: an activity for familiarization with the software R and the
teaching experiment. Seven third grade students from one state high school in Ibiuna
City, São Paulo State, participated in both phases. Preliminary and subsequent
analyses were done in the two cases. The preliminary analysis was based as much
on the theoretical foundation of this study as on the results obtained in a previous
application of the experiment. This previous application aimed to evaluate the need
for changes to the proposal tasks during the two research phases. Four students
from the second grade of the same high school participated in the first application of
the experiment. The subsequent analysis aimed to evaluate the indicators of a
contribution by the two phases to the development of the probability concept by
showing the evolutions that occurred during the process. The results indicate
advances in the students’ understanding of the probability concept as well as in their
level of autonomy in knowledge construction. The computational resource used
provided different reflections from those usually developed in the paper and pencil
environment. This resource allowed work on a larger number of simulations as well
as discussion of the concept of unequal probability. In spite of the difficulties shown
during the experiment it was possible to draw comparisons between the frequentist
probability and the theoretical on the basis of the experiment and use of the software
R. This possibility of comparison provided the students new reflections about
probabilistic concepts. These results seem to indicate that the use of this kind of
experiment can constitute an important educational resource for teachers. The
2 Guidance Committee: Advisor: Profa Dra Verônica Yumi Kataoka
Co-advisor: Profa Dra Monica Karrer
teachers will integrate probabilistic concepts into basic education and thus they will
contribute to the probabilistic literacy of the students.
Key Words: Teaching Probability; Constructionism; Design Experiment; Probabilistic Literacy; Software R.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Janela Console do R...................................................................... 42
Figura 2 - Ferramentas de trabalho no R......................................................... 43
Figura 3 - Janelas Script e Console................................................................. 44
Figura 4 - Visualização Vertical....................................................................... 44
Figura 5 - Janela Console limpa...................................................................... 45
Figura 6 - Operações básicas.......................................................................... 45
Figura 7- Operações entre objetos................................................................. 46
Figura 8 - Opção aprox.................................................................................... 47
Figura 9 - Vetores no R.................................................................................... 48
Figura 10 - Matriz de vendas............................................................................. 53
Figura 11 - Gráfico de vendas........................................................................... 54
Figura 12 - Resultados da simulação no R.1..................................................... 58
Figura 13 - Resultados da simulação no R.2..................................................... 59
Figura 14 - Resultados da simulação no R.3..................................................... 60
Figura 15 - Resultados da simulação no R.4..................................................... 62
Figura 16 - Resultados da simulação no R.5..................................................... 63
Figura 17 - Resultados das operações básicas................................................. 68
Figura 18 - Vetores de D2. 1.............................................................................. 70
Figura 19 - Vetores de D2. 2.............................................................................. 71
Figura 20 - Resultados das operações com vetores de D3............................... 74
Figura 21 - Formatação de legenda de D2........................................................ 75
Figura 22 - Gráfico 1 de D1............................................................................... 78
Figura 23 - Resultados da tarefa 21.................................................................. 81
Figura 24 - Resultados da tarefa 22.................................................................. 83
Figura 25 - Ilustração dos caminhos.................................................................. 88
Figura 26 - Simulação de D3............................................................................. 90
Figura 27 - Resposta de D1-Questão 4............................................................. 106
Figura 28 - Exemplo utilizado para realização da tarefa 1................................. 107
Figura 29 - Resultados de D2 na tarefa 1.......................................................... 112
Figura 30 - Gráficos comparativos de D1 e D3.................................................. 113
Figura 31 - Script de D3 para a tarefa 1............................................................ 121
Figura 32 - Script do R do grupo D3 para a tarefa 31........................................ 125
Figura 33 - Script do R do grupo D1 para a tarefa 31........................................ 128
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Descrição dos objetivos específicos das tarefas e a relação com o
experimento de ensino.....................................................................
41
Quadro 2 - Descrição dos resultados alcançados com as atividades de
familiarização ao R...........................................................................
84
Quadro 3 - Síntese dos resultados esperados e observados para as tarefas
da seção 1........................................................................................
105
Quadro 4 - Síntese dos resultados esperados e observados para as tarefas
da seção 2........................................................................................
111
Quadro 5 - Síntese dos resultados esperados e observados para as tarefas
da seção 3........................................................................................
118
Quadro 6 - Síntese dos resultados esperados e observados para as tarefas
da seção 4........................................................................................
124
Quadro 7 - Síntese dos resultados esperados e observados para as tarefas
da seção 5........................................................................................
130
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Justificativas das duplas para a pergunta central: Todos os amigos
têm a mesma chance de serem visitados?.......................................
108
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO.......................................................................................... 16
2 REFERENCIAL TEÓRICO........................................................................ 22
2.1 ENSINO DE PROBABILIDADE................................................................. 22
2.1.1 Letramento Probabilístico de Gal (2005)................................................... 24
2.1.2 Orientações Curriculares........................................................................... 26
2.1.3 O Recurso Computacional......................................................................... 27
2.2 CONSTRUCIONISMO............................................................................... 29
3 MÉTODO................................................................................................... 32
3.1 SUJEITOS DO ESTUDO........................................................................... 33
3.2 INSTRUMENTOS...................................................................................... 34
3.3 PROCEDIMENTOS DE COLETA E ANÁLISE DOS DADOS.................... 35
4 RESULTADOS DO QUESTIONÁRIO DE PERFIL.................................. 38
5 ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO.......................................................... 40
5.1 ANÁLISE PRELIMINAR............................................................................. 42
5.1.1 Etapa 1 – Apresentação do R.................................................................... 42
5.1.2 Etapa 2 – Operações básicas no R........................................................... 45
5.1.3 Etapa 3 – Criação de vetores ................................................................... 47
5.1.4 Etapa 4 – Operações básicas.................................................................... 48
5.1.5 Etapa 5 – Construção de matrizes e gráficos de barra.............................. 51
5.1.6 Etapa 6 – Formatação de gráfico............................................................... 54
5.1.7 Etapa 7 – Atividade de simulação I............................................................ 57
5.1.8 Etapa 8 – Atividade de simulação II........................................................... 63
5.2 ANÁLISE POSTERIOR.............................................................................. 65
6 EXPERIMENTO DE ENSINO: PASSEIOS ALEATÓRIOS DA
CARLINHA – PAC.....................................................................................
85
6.1 DESCRIÇÃO GERAL DA ATIVIDADE...................................................... 88
6.2 DESCRIÇÃO DAS SEÇÕES DA ATIVIDADE........................................... 90
6.2.1 Seção I. A estória (o contexto) .................................................................. 90
6.2.2 Seção II. A simulação................................................................................ 93
6.2.3 Seção III. A árvore de possibilidades......................................................... 96
6.2.4 Seção IV. A decisão................................................................................... 98
6.2.5 Seção V. A outras explorações.................................................................. 100
6.3 ANÁLISE POSTERIOR.............................................................................. 102
6.3.1 Seção I. A estória (o contexto) .................................................................. 102
6.3.2 Seção II. A simulação................................................................................ 106
6.3.3 Seção III. A árvore de possibilidades......................................................... 112
6.3.4 Seção IV. A decisão................................................................................... 119
6.3.5 Seção V. A outras explorações.................................................................. 125
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS...................................................................... 131
REFERÊNCIAS..................................................................................................... 136
APÊNDICES......................................................................................................... 140
16
1 INTRODUÇÃO
Nos últimos vinte anos, tenho percebido pela minha experiência, tanto
enquanto aluno como professor, o pequeno espaço nas aulas reservado para o
ensino de Probabilidade.
Como aluno, pude vivenciar tal realidade quando este tema quase passou
despercebido no ensino fundamental, salvo raras exceções; e, no ensino médio, foi
trabalhado apenas em algumas aulas do segundo ano, mesmo assim, os desafios
eram decorar uma série de fórmulas e posteriormente identificar quais seriam
necessárias para resolver uma lista de exercícios. Já durante a graduação, a
realidade não foi muito diferente, apesar de existirem duas disciplinas denominadas
Estatística I e Estatística II na grade curricular, foram explorados apenas os
conteúdos estatísticos, do mesmo modo que no ensino médio. Desta forma, o pouco
contato que tive com a Probabilidade foi através de algumas atividades de outras
matérias, como, por exemplo, geometria ou didática da matemática, nas quais eram
necessários conceitos probabilísticos, o que nos forçava a pesquisar e estudar o
assunto.
No início de minha carreira profissional como professor de Matemática do
ensino fundamental e médio, encontrei muita dificuldade para mudar esta postura de
ensino, pois as minhas atitudes ainda eram fortemente marcadas pela minha
formação. Então, devo reconhecer que a primeira turma na qual lecionei este
conteúdo, na ocasião um segundo ano do ensino médio de uma escola estadual,
vivenciou o ensino de Probabilidade da mesma forma como vivenciei no passado.
Mas, nesta mesma escola, no ano seguinte, tive a oportunidade de substituir uma
professora que se afastou para ocupar um cargo de direção e, ao assumir a turma, o
assunto em questão era Probabilidade. Para minha surpresa, quando fui analisar o
caderno de alguns alunos, deparei-me com uma metodologia de ensino totalmente
diferente da que estava acostumado: a professora desenvolvia todos os conceitos
sem a utilização de fórmulas. Aquela forma de abordagem, num primeiro momento,
assustou-me, foi uma sensação como ver meu pai, totalmente tradicional, tocando
em uma banda de rock.
Ao término desta aula, fui imediatamente conversar com a professora. Com
muita tranquilidade, explicou que acreditava que, desta forma, os alunos deixariam
17
de perder tempo decorando fórmulas e teriam a oportunidade de compreenderem e
construírem os conceitos probabilísticos. Segundo esta professora, o desempenho
dos alunos melhorou muito desde que assumiu esta postura. Não posso deixar de
registrar que não foi fácil dar continuidade a este trabalho, pois foi necessário muito
tempo e dedicação, porém foi a oportunidade que tive de aprender um pouco de
Probabilidade e de rever as dinâmicas das minhas aulas.
Além destes fatos acima relacionados, posso dizer que nunca tive contato
com um computador na educação básica, o primeiro contato deu-se quando já
estava no ensino médio; mesmo assim, não na escola, aconteceu no trabalho, afinal
nesta época, eu já trabalhava como aprendiz no comércio. A escola, na qual cursei o
ensino médio, tinha um laboratório de informática, mas os professores relatavam que
não havia a possibilidade de usá-lo, pois, a orientação que tinham era de que se
alguma coisa acontecesse ao material do laboratório, teriam de arcar com os
prejuízos.
Na graduação, a realidade foi um pouco diferente. Tivemos várias aulas
desenvolvidas no laboratório de informática, mas os conteúdos abordados eram
quase sempre sobre geometria e, em alguns momentos, o estudo de funções. No
primeiro, o foco era as visualizações em três dimensões, sendo pouco abordado o
desenvolvimento de outros conceitos; já no trabalho com funções, os conceitos eram
melhor trabalhados. Desta forma, saí da graduação convencido de que o
computador pouco contribuía para o processo de ensino-aprendizagem e que
dificilmente iria utilizá-lo na minha atuação como professor, e foi o que aconteceu
nos meus primeiros anos de profissão. Posso afirmar que, os quatro anos em que
atuei como professor na educação básica, nunca desenvolvi uma aula no laboratório
de informática. Esta visão foi modificada somente como aluno do programa de
mestrado em Educação Matemática, ao cursar uma disciplina de tópicos de
Estatística e Probabilidade, na qual pude vivenciar, na prática, tanto o
desenvolvimento dos conceitos probabilísticos, como o uso significativo do
computador no processo de ensino e aprendizagem.
Hoje entendo que devemos considerar que o conhecimento básico de
probabilidade é importante na formação de um cidadão, pois proporciona a
compreensão de grande parte dos acontecimentos de natureza aleatória do seu
cotidiano, além de ser fundamental no contexto inferencial de Estatística para a
tomada de decisões.
18
Vários conceitos probabilísticos têm sido utilizados pela mídia para transmitir
informações, como, por exemplo, notícias sobre previsões meteorológicas, cálculos
dos riscos de incidência de doenças, aplicações de mercado, entre outras. De
acordo com Gal (2005), a busca pela formação do aluno/leitor mais crítico desses
tipos de informações, constitui o que se denomina de letramento probabilístico.
Para Gal (2005), o individuo “letrado” em probabilidade é capaz de ler e
interpretar informações probabilísticas presentes no seu cotidiano, tendo um
conjunto mínimo de habilidades básicas formais ou informais (crenças, atitudes na
perspectiva crítica). Esse conjunto de habilidades pode possibilitar aos letrados em
Probabilidade lidar com uma série de situações reais que envolvam interpretação ou
geração de mensagens probabilísticas, bem como tomar decisões.
No Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) recomendam que o
Ensino de Probabilidade seja oferecido já nas séries escolares iniciais e retomado a
cada ciclo seguinte de forma progressiva. Por exemplo, para o Ensino Fundamental,
o ensino de Probabilidade tem como meta “oferecer condições para que o aluno
compreenda que muitos acontecimentos de seu cotidiano são de natureza aleatória
e que é possível identificar possíveis resultados desses acontecimentos e até
estimar o grau de possibilidades acerca dos resultados de um deles” (BRASIL, 1998,
p.52).
Segundo Wodewotzki & Jacobini (2004), até a década de 90, os conteúdos
estatísticos, incluindo os de Probabilidade, eram raramente abordados no Ensino
Fundamental e Médio, mas, com o passar dos anos, vem, gradualmente, se
tornando objeto de estudo.
Contudo, nem todos os conceitos probabilísticos são simples de serem
compreendidos num primeiro momento, pois, muitos deles são abstratos (KATAOKA
et al, 2008). Como cita Damasceno (1995), o professor que ensina Matemática, ao
trabalhar com Probabilidade e Estatística, estimula o aluno a apreciar não apenas a
Matemática “do certo e do errado”, mas também, a Matemática do “talvez”.
Nesse sentido, de acordo com vários pesquisadores, como, por exemplo,
Coutinho (2001), Batanero & Godino (2002), Lopes (2003), Kataoka, Rodrigues &
Oliveira (2007), durante o processo de ensino e aprendizagem de conceitos
probabilísticos, para apresentar intuitivamente a noção de acaso e de incerteza, é
recomendável que o professor trabalhe com atividades que proporcionem aos
alunos a realização de experimentos e a observação de eventos.
19
Segundo Batanero (2001), o professor deve usar a experimentação aleatória
com cautela, para que não ocorra a extensão indevida da “Lei dos grandes
números”, acreditando-se na existência de uma “Lei de pequenos números”. O que
pode levar o aluno a falsas interpretações sobre a replicabilidade dos experimentos
aleatórios, devido à sensibilidade do tamanho da amostra. Além disso, como ressalta
Fischbein (1987), a experiência humana é essencialmente limitada no tempo, no
espaço e no conjunto de possibilidades.
Em relação a esta limitação do tempo necessário para a realização da
experimentação aleatória, em sala de aula, pode ser contornada por meio da
utilização da simulação computacional. De acordo com Mills (2002), diversos
pesquisadores têm sugerido o uso de computadores por acreditarem que os alunos
podem aumentar sua capacidade de entendimento dos conceitos abstratos ou
difíceis. Além disso, Chance & Rossman (2006) apontam para a possibilidade de
repetir tais processos aleatórios um grande número de vezes, permitindo a
observação do fenômeno de convergência, no caso da Probabilidade, de forma
eficiente.
A utilização adequada de recursos tecnológicos para o ensino de
Probabilidade despertou o meu interesse em pesquisar e analisar uma ferramenta
que atendesse às necessidades do desenvolvimento intelectual do aluno, não
apresentando barreiras que limitem suas ações, atendendo aos seus anseios na
investigação e na compreensão dos conceitos envolvidos.
E, nessa mesma perspectiva, o interesse de se trabalhar em consonância
com o conceito de construcionismo, o qual, segundo Papert (1980), caracteriza-se
pela busca da liberdade de iniciativa do aprendiz e pelo seu controle do ambiente
computacional. No construcionismo, o aprendizado é entendido como construção
pessoal do conhecimento.
Partindo dessa concepção, será proposto, aos sujeitos de pesquisa, o
experimento de ensino denominado “Passeios Aleatórios da Carlinha”, desenvolvido
no ambiente computacional, software R. Este experimento foi elaborado de forma a
permitir ao estudante trabalhar diversos conceitos probabilísticos, como, por
exemplo, espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos simples; discutir as
diferenças entre um experimento determinístico e um aleatório; estimar
probabilidades por meio da frequência relativa; calcular a probabilidade teórica a
partir da árvore de possibilidades; analisar padrões observados e esperados; além
20
de construção de tabelas simples e gráficos de barras (CAZORLA, KATAOKA,
MAGANIME, 2010).
O software estatístico R© (R, 2010) foi selecionado por ser um ambiente
computacional integrado para manipulação, análise, e representação gráfica de
dados baseado em linguagem de programação orientada por objetos e que
disponibiliza uma grande variedade de métodos estatísticos. Essas características
do R permitirão ao aluno o envolvimento num processo de construção de linhas de
comando para resolver, com certa independência, as tarefas que serão propostas
nesse trabalho.
Um dos atrativos desse software é estar disponível sob os termos da GNU
General Public License da Free Software Foundation, na forma de código aberto
(open source), podendo ser compilado e rodado em um grande número de
plataformas UNIX e similar (incluindo FreeBSD e Linux), além do Windows
9x/NT/2000 e MacOS. Outra característica importante do R, a destacar, é a
possibilidade de utilização em computadores com configurações simples, uma vez
que, escolas públicas que não tenham sala de informática, podem conseguir, por
meio de doações, computadores com capacidade similar.
Nesse contexto, a finalidade desta pesquisa é investigar a aprendizagem de
conceitos probabilísticos por meio da aplicação do experimento de ensino “Passeios
Aleatórios da Carlinha” nos ambientes papel & lápis e computacional, software R;
sob a perspectiva do letramento probabilístico de Gal (2005) e do construcionismo
na concepção de Papert (1980), com alunos do terceiro ano do ensino médio de
uma escola estadual de Ibiúna.
A expectativa gerada na realização desta pesquisa conduziu-nos ao seguinte
questionamento:
Quais aspectos podem ser observados quando se integra no processo de
aprendizagem dos alunos o ambiente computacional, software R, para se trabalhar
os conceitos probabilísticos, na perspectiva do modelo de letramento probabilístico
proposto por Gal (2005) e do construcionismo de Papert (1980)?
Destaca-se que a pesquisa envolve duas fases: uma atividade de
familiarização ao software R e o experimento de ensino, que foram avaliados
previamente, tanto do ponto de vista teórico como por meio dos resultados de uma
aplicação preliminar. O estudo preliminar visou avaliar a necessidade de alterações
21
nas tarefas propostas nas duas fases da pesquisa e aplicadas a quatro alunos do
segundo ano do ensino médio de uma escola estadual da cidade de Ibiúna.
Esse trabalho está organizado em oito capítulos. O capítulo 1 trata da
problemática, objetivo e as questões de pesquisa. No capítulo 2, são abordados os
aspectos relevantes sobre o ensino de Probabilidade, bem como as características
do conceito de construcionismo, segundo Papert. No capítulo 3, é apresentada a
metodologia do Design Experiment e os procedimentos metodológicos para o
desenvolvimento da pesquisa tanto do estudo preliminar como do principal. No
capítulo 4, são apresentados os resultados do questionário de perfil. Nos capítulos 5
e 6, são feitas uma descrição e uma análise preliminar da atividade de familiarização
ao software R e do experimento de ensino denominado “Passeios aleatórios da
Carlinha”, respectivamente. O capítulo 7 refere-se às considerações finais e o
apontamento de estudos posteriores.
22
2 REFERENCIAL TEÓRICO
Nesse estudo, utilizamos como principal referencial teórico o trabalho de Gal
(2005), no qual o autor ressalta a importância do letramento probabilístico, focando
principalmente a necessidade do indivíduo em sua vivência e atuação em um mundo
globalizado. Para as considerações sobre o uso do computador, bem como a
interação do aluno com este ambiente, Papert (1980) foi a referência,
fundamentando a ideia do construcionismo que se caracteriza pela busca da
liberdade de iniciativa do aprendiz e pelo seu controle do ambiente computacional.
Além dessas duas referências, outros trabalhos foram utilizados como apresentamos
a seguir.
2.1 ENSINO DE PROBABILIDADE
Para Batanero (2007), até a década de 70, prevalecia sobre o ensino de
Probabilidade uma visão clássica baseada fortemente no cálculo combinatório, e,
para muitos professores, este conteúdo era visto como uma parte secundária da
matemática, porque o trabalho estava muito centrado na ideia de jogo e não eram
valorizadas as suas aplicações nas diferentes ciências. O raciocínio combinatório
era trabalhado de uma maneira muito complexa, levando muitos alunos a acharem
difícil a sua abordagem.
De acordo com essa mesma autora, nesta década, foram observados
avanços com o surgimento da teoria dos conjuntos que reservava um maior
interesse pela probabilidade matemática e possibilitando assim mostrar a sua
aplicabilidade tanto pela sua simplicidade como pela sua ligação com a realidade. A
abordagem axiomática, iniciada a partir desta década, contribuiu para um melhor
entendimento dos alunos do ensino médio, uma vez que possibilitaram mais
informações sobre a formalização da ideia de probabilidade, o estudo matemático de
suas propriedades e em sua aplicabilidade em questões do cotidiano dos estudantes
(Batanero, 2007).
23
De acordo com Borovcnik & Kapadia (2009), a Probabilidade e Estatística são
tópicos relativamente novos da Matemática e que vêm para complementar os temas
tradicionais como álgebra, aritmética e geometria. Ainda segundo esses mesmos
autores, os dois tópicos apresentam uma história recente nos currículos escolares
de praticamente todos os países, e que o lugar da Probabilidade ainda se mostra
menos favorecido, uma vez que a sua redução ao conceito clássico, baseado
principalmente na análise combinatória, serviu, muitas vezes, como argumento para
abandoná-la em favor de um maior espaço para a Estatística, cuja aplicabilidade é
incontestável.
Borovcnik & Kapadia (2009) afirmam que erros conceituais em Probabilidade
podem afetar decisões pessoais em situações importantes, como, por exemplo, o
veredicto de um juri ou um investimento no mercado financeiro; e que a
Probabilidade é essencial para o entendimento de qualquer procedimento inferencial
da Estatística. Esses autores relatam, ainda, que os conceitos de riscos (não
somente em mercados financeiros) e confiabilidade estão intimamente relacionados
e dependentes da Probabilidade. Desta maneira, o desafio é ensinar Probabilidade
com o objetivo de capacitar os alunos a compreendê-la e aplicá-la.
Coutinho (2001) e Batanero & Godino (2002) ressaltam que a construção dos
conceitos probabilísticos deve ser feita a partir da compreensão de suas três noções
básicas: percepção do acaso; ideia de experiência aleatória e noção de
probabilidade.
Batanero & Godino (2002) destacam que, no contexto do ensino de
Probabilidade, o aluno deve observar o caráter imprevisível de cada resultado
isoladamente, percebendo a variabilidade das pequenas amostras a partir da
comparação dos resultados de cada aluno ou partes; bem como estar atento ao
fenômeno da convergência, olhando para a acumulação dos resultados de toda a
turma, e, posteriormente, comparando a confiabilidade de pequenas e grandes
amostras.
Em consonância com essas ideias, Gal (2005) propõe um modelo de
letramento probabilístico que será descrito a seguir.
24
2.1.1 Letramento Probabilístico de Gal (2005)
O modelo probabilístico de Gal (2005) é composto por cinco elementos:
Abordagem de grandes tópicos, como, por exemplo, variação, aleatoriedade,
independência, previsão/incerteza. A familiaridade com esses tópicos pode
possibilitar aos alunos um entendimento da representação, da interpretação e
das implicações de afirmações probabilísticas. Apesar de alguns aspectos
desses tópicos poderem ser representados por símbolos matemáticos ou
termos estatísticos, as suas nuanças não podem ser completamente
explicitadas por notações técnicas, assim, os alunos devem também
compreender intuitivamente a natureza abstrata contida nesses tópicos.
Cálculos probabilísticos: formas de encontrar ou estimar a probabilidade de
eventos. Os alunos devem se familiarizar com os diferentes caminhos para o
cálculo de probabilidade dos eventos, para que, desta maneira, possam
entender as afirmações probabilísticas feitas por outras pessoas, gerar
estimativas sobre a possibilidade dos eventos e ter condições de se
comunicar. Neste momento, as três visões de probabilidade, clássica,
frequentista e subjetiva tornam-se úteis. Apesar de a visão clássica ainda
prevalecer nos textos escolares, com a justificativa de que esse tipo de
probabilidade seria a base para aprender tópicos mais avançados, tais com
distribuição de amostragem, ou comportamento de sistemas físicos ou
químicos.
Linguagem: os termos e os métodos utilizados para comunicar resultados
probabilísticos. O domínio de probabilidade requer familiaridade com vários
conceitos complexos, especialmente variabilidade, aleatoriedade,
independência, previsibilidade e certeza, e também chance, possibilidade ou
risco, mas estes termos abstratos na maioria das vezes não têm definições
triviais que possam ser explicadas em linguagem simples ou por meio de
referências a objetos reais. Por essa razão, os seus significados muitas vezes
só podem ser entendidos depois de um processo acumulativo. Além disso, os
termos usados nas aulas de Matemática podem não necessariamente possuir
a semântica implicada ao discurso do dia a dia. Essa situação pode afetar a
compreensão dos alunos e aumentar as chances para conflitos ou
25
ambiguidades nas conversas em sala de aula. Portanto, os professores
deveriam trabalhar os conceitos abstratos em uma linguagem formal, porém
sem se esquecer das habilidades dos estudantes no entendimento sobre e
como os termos são utilizados em seu dia a dia.
Contexto: compreensão do papel e dos significados de mensagens
probabilísticas em diferentes contextos. Ser “letrado” em probabilidade requer
que sejam desenvolvidos conhecimentos que não se limitem a grandes ideias
métodos para se descobrir probabilidades e entender a linguagem da chance,
mas também que seja valorizado o papel dos processos probabilísticos e a
sua comunicação no mundo. O contexto, nesta perspectiva, leva em
consideração, além do conhecimento necessário na área, a sua relação com
o denominado “mundo de conhecimento”. Assim, o contexto é um importante
elemento do ponto de vista educacional, uma vez que ajuda a explicar a
necessidade de se aprender probabilidade ou incerteza em diferentes
circunstâncias da vida.
Perguntas críticas: reflexão sobre assuntos no contexto de Probabilidade.
Este último elemento tem como propósito possibilitar ao aluno refletir e
questionar criticamente uma estimativa ou uma declaração probabilística. Os
alunos devem estar atentos a erros e conceitos falsos, mesmo que seus
mecanismos não sejam sempre entendidos, pois algumas pessoas, incluindo
aquelas com habilidades em Estatística, tendem a estimar probabilidades
utilizando-se de certos métodos, sem necessariamente pensar sobre
aleatoriedade, variedade, independência ou dos riscos que podem surgir ao
utilizar caminhos diferentes daqueles provenientes de aspectos formais.
Em nosso experimento de ensino, pretendemos que as atividades propostas
estejam em consonância com os cinco elementos deste modelo proposto por Gal,
tanto no ambiente papel & lápis, como computacional, sendo que, neste último, com
o enfoque no uso da simulação.
No Brasil, tal modelo de letramento probabilístico está em consonância com
os objetivos propostos pelos PCN como o apresentado a seguir.
26
2.1.2 Orientações Curriculares
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio -
PCN++ (BRASIL, 2002), o ensino de Probabilidade deve levar o aluno a desenvolver
as seguintes habilidades:
Reconhecer o caráter aleatório de fenômenos e eventos naturais, científico-tecnológicos ou sociais, compreendendo o significado e a importância da probabilidade como meio de prever resultados. Quantificar e fazer previsões em situações aplicadas a diferentes áreas do conhecimento e da vida cotidiana que envolvam o pensamento probabilístico. Identificar em diferentes áreas científicas e outras atividades práticas modelos e problemas que fazem uso de estatísticas e probabilidades (BRASIL, 2002, p.127).
De fato, para alcançar esses objetivos no ensino médio, os Parâmetros
Curriculares Nacionais para o ensino fundamental destacam que, ao final dessa
etapa escolar, os alunos devem ter uma noção de probabilidade desenvolvida,
mesmo ainda de maneira informal, por meio de investigações que os levem a fazer
algumas previsões a respeito do sucesso de um evento. Nesta fase, é importante
que os alunos tenham uma boa compreensão do significado do espaço amostral e a
sua construção, considerando a contagem de casos possíveis, utilizando-se do
princípio multiplicativo e de representações como o de um diagrama de árvore
(BRASIL, 1998).
Além dos PCN, alguns estados brasileiros recomendam também o ensino de
Probabilidade nos seus currículos de Matemática. No caso do estado de São Paulo,
está previsto o trabalho com este tópico para o 9º ano do fundamental e 2º ano do
médio, mais especificamente no caderno do 4º e 3º bimestres, respectivamente
(SÃO PAULO, 2010).
Para o 9º ano do ensino fundamental, é recomendado que o professor
trabalhe problemas de contagem e a introdução ao conceito de probabilidade, mas
como isso ocorre apenas no último bimestre, pode comprometer o processo de
aprendizagem com uma abordagem superficial ou incompleta ou a não abordagem,
por conta da limitação do tempo.
Para o 2º ano do ensino médio, o caderno faz tanto a abordagem da
Probabilidade clássica como a frequentista, recomenda-se que este trabalho seja
desenvolvido no terceiro bimestre, devendo ser abordado os seguintes tópicos:
27
Probabilidade simples, Casos de agrupamentos (arranjos, combinações e
permutações), Probabilidade da união e/ou da intersecção de eventos, Probabilidade
condicional, Distribuição binomial de probabilidades (triângulo de Pascal e o Binômio
de Newton).
De acordo com os PCN (2002), o computador é um importante instrumento
para trabalhar esses tópicos, uma vez que permite uma abordagem mais
contextualizada, além de oferecer a oportunidade para que o aluno se familiarize
com as máquinas e os softwares.
2.1.3 O Recurso Computacional
Segundo Borba & Penteado ( 2010), são muitos os debates sobre o espaço
da informática dentro da Educação nas últimas duas décadas. Dentre essas
discussões, duas ganham destaque: o medo da inserção dos computadores no
ambiente escolar, caracterizando-se como um substituto do raciocínio humano e a
inviabilidade de sua inserção, considerando o alto custo a ser empregado. Porém,
frisam que o trabalho com o computador, nos dias atuais, além de se caracterizar
como um direito dos estudantes deve ser visto como parte de um projeto coletivo,
cujo objetivo maior é promover o acesso a essa tecnologia que foi produzida por
esta mesma sociedade, ou seja, além das questões ligadas ao ensino, devem ser
consideradas as questões sociais.
Sendo assim, é visível a importância do professor nesse processo de
democratização do uso do recurso computacional, vale ressaltar que, quando o
professor opta por trabalhar com esse recurso com seus alunos, deve estar
preparado para enfrentar todos os problemas ainda existentes no trabalho com a
tecnologia dentro da escola. Além destas dificuldades, segundo Akazawa & Utsumi
(2011), o professor deve estar ciente de que, nas primeiras experiências com os
alunos, muita coisa do planejado pode dar errado, uma vez que os alunos podem,
em um primeiro momento, enxergar o computador como um objeto de
entretenimento e lazer, sendo que a empolgação e entusiasmo podem prejudicar os
objetivos planejados pelo docente. Essas autoras destacam também que, ao se
inserir tecnologias na sala de aula, provocam-se modificações imediatas na mesma,
28
uma vez que, além de torná-la mais dinâmica, permite novas reflexões no processo
de construção do conhecimento matemático, além de proporcionar uma maior
autonomia do raciocínio do aluno.
De acordo com os PCN,
É esperado que, nas aulas de Matemática, se possa oferecer uma educação tecnológica, que não signifique apenas uma formação especializada, mas, antes, uma sensibilização para o conhecimento dos recursos da tecnologia, pela aprendizagem de alguns conteúdos sobre sua estrutura, funcionamento e linguagem e pelo reconhecimento das diferentes aplicações da informática, em particular nas situações de aprendizagem, e valorização da forma como ela vem sendo incorporada nas práticas sociais. (BRASIL, 1998, p.46)
No caso do ensino de Probabilidade, Batanero (2007) ressalta que, com a
inserção de computadores na escola, foi possível realizar simulações, que podem
auxiliar os alunos a resolver problemas simples, já que apenas a abordagem
experimental não é suficiente para o ensino de Probabilidade. Segundo essa mesma
autora, a simulação está diretamente relacionada a pressupostos de um fenômeno
representado por um modelo teórico implementado no computador.
Segundo Lane & Peres (2006), as pesquisas mostram que, por meio da
experimentação aleatória e de simulações computacionais, obtém-se um maior
benefício para o desenvolvimento de uma aprendizagem ativa, permitindo aos
alunos a construção do conhecimento.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) apontam que as habilidades
para elaboração de experimentos e simulações, que estimem probabilidades e
verifiquem probabilidades previstas, devem ser iniciadas já a partir do ensino
fundamental. Para Borovcnik & Kapadia (2009), a simulação é uma ótima estratégia
e, quando atrelada ao uso da tecnologia, ajuda a reduzir cálculos técnicos e
possibilita ao aluno um melhor foco nos conceitos abordados.
Pratt & Kapadia (2010) apontam que pesquisadores de cognição
probabilística, em geral, concordam que devem ser oferecidos aos estudantes
oportunidades de se trabalhar com geradores aleatórios bem como com simuladores
computacionais, acreditando que esses objetos matemáticos levam os alunos a
explorar dois tipos complementares de atividades matemáticas classificadas como
“teóricas” e “empíricas”. As atividades teóricas incluem a análise combinatória
classicista, resultantes do produto de experiências com geradores aleatórios
29
enquanto as atividades empíricas incluem uma experimentação “frequentista”, seja
ela manual ou gerada por computadores.
Contudo, para Lane & Peres (2006), apenas o uso de simulação não
assegura uma aprendizagem ativa, pois os alunos podem ser colocados na posição
de observadores passivos, tendo, assim, como consequência uma baixa assimilação
dos conceitos. DelMas, Garfield & Chance (1999) observaram que os alunos
apresentam melhor rendimento quando, juntamente com a simulação computacional,
foi aplicado um teste escrito dos conceitos trabalhados; e apontam como uma
provável razão para o sucesso desta técnica o fato de que os alunos foram levados
a confrontar as discrepâncias entre o resultado esperado e o ocorrido. Esse
confronto entre tais discrepâncias apresenta-se como uma ferramenta poderosa
para mudanças conceituais (POSNER, et al, 1982).
Dessa forma, pensamos que o experimento a ser desenvolvido no ambiente
computacional, acompanhado de questionamentos escritos no decorrer de seu
desenvolvimento, proporcionará a discussão entre os resultados simulados e
teóricos, a observação do fenômeno da convergência, dentre outros aspectos,
permitindo ao aluno uma participação mais ativa nesse processo, e, por conseguinte,
propiciando um ambiente de aprendizagem na perspectiva construcionista.
2.2 CONSTRUCIONISMO
Quando nos referimos à palavra construcionismo, logo vem a ideia de
construtivismo (PIAGET, 1996), palavra esta muito frequente tanto em estudos na
área da Educação como no cotidiano escolar. Para Papert (1980), o ensino
construtivista ainda está muito ligado à arte de organizar situações nas quais o
aprendiz “construirá conhecimento”, porém poucos estudos apontam para o que
realmente se considera como construir o conhecimento, pois a visão ainda está
muito centrada no professor como elemento principal para que essa construção
aconteça. Para esse autor, o papel do professor não deixa de existir e ter a sua
importância, mas o aluno deve ser colocado como elemento principal neste processo
de construção.
30
Papert (1980), considerado o “pai” do construcionismo, não vem para
desconsiderar o trabalho de Piaget, muito pelo contrário: em seus estudos, Piaget
aparece como uma das principais referências. Papert (1980) relata que o
construcionismo é a sua reconstrução pessoal do construtivismo, uma vez que
estudou com Jean Piaget na década de 60, no Centro de Epistemologia Genética,
destacando-se pela sua preocupação com os processos de aprendizagem. Para ele,
o construcionismo caracteriza-se pelo especial papel das construções no mundo,
como apoio para os processos mentais, distanciando-se assim de uma doutrina
puramente mentalista como o proposto por Piaget.
Para Valente (1994), o construcionismo destaca-se por proporcionar uma
construção do conhecimento, baseada na realização concreta de uma ação que
produz como resultado um produto “palpável”, que passa a ser de interesse pessoal
de quem o produz. Nesse ambiente, segundo esse mesmo autor, as construções
mentais, que devem estar apoiadas por construções concretas, favorecem o
desenvolvimento de abstrações, e, a partir delas, ocorre um movimento dialético
entre o concreto e o abstrato.
Nessa perspectiva, o controle do aluno sobre o processo favorece o seu
aprendizado, devendo o professor propor novos desafios que o estimule,
respeitando os seus níveis cognitivos de desenvolvimento. Vale salientar que a
ênfase não está no produto que o aluno apresenta, mas sim, no processo pelo qual
ele passa a atingir seus objetivos.
Papert (1980) relata que pensar no construcionismo é como pensar no
famoso provérbio africano: se um homem tem fome, você pode dar-lhe um peixe,
mas é melhor dar-lhe uma vara e ensiná-lo a pescar, além disso, para se obter uma
boa pescaria é necessário além do conhecimento mínimo sobre o assunto, ter boas
varas. Isto é, para atingir essa maior aprendizagem, o computador apresenta-se
como uma ferramenta com grande potencial e teremos que nos cercar de atividades
matematicamente férteis.
Maltempi (2004) afirma que o construcionismo tem sido muito utilizado em
pesquisas envolvendo o uso do computador na educação matemática, salientando
que atualmente a tecnologia é um dos focos do construcionismo. Porém, para se
constituir um ambiente educacional efetivo é exigido muito mais do que um aprendiz
e um computador, é necessário um ambiente que propicie a motivação do aprendiz
a continuar aprendendo, que incentive a discussão e a descoberta e, além disso,
31
respeite as características específicas de cada um. Nesse contexto, o professor
assume a difícil tarefa de fazer com que tudo isso aconteça de forma harmônica.
De acordo com esse mesmo autor, estudos realizados nos últimos vinte anos
levaram a constituição de cinco importantes dimensões a serem consideradas para
se elaborar ambientes de aprendizagem baseados no construcionismo:
Dimensão pragmática: referindo-se à sensação imediata daquele que
aprende algo que pode ser utilizado de imediato, no qual o domínio dos
conceitos proporciona uma sensação de praticidade e poder, incentivando
assim a busca pelo saber.
Dimensão sintônica: a escolha do tema do projeto deve ser pensada
coletivamente de modo que este seja relevante para os participantes.
Dimensão sintática: a facilidade de acesso aos elementos básicos que
compõem o ambiente de aprendizagem e condições para que progrida
nesta manipulação devem ser oferecidas ao aprendiz de acordo com a
sua necessidade e desenvolvimento cognitivo.
Dimensão semântica: refere-se à importância da manipulação, por parte
do aprendiz, de elementos carregados de significados e que façam
sentido.
Dimensão social: deve-se valorizar a interação da atividade com as
relações pessoais e com a cultura do ambiente no qual ele se encontra.
Neste sentido, utilizar o computador como o principal material para o
desenvolvimento dos ambientes de aprendizagem se mostra uma
importante estratégia, frente à atual valorização social dada ao
computador.
32
3 MÉTODO
Nessa pesquisa, utilizamos a metodologia do Design Experiment de Cobb et
al. (2003), tendo em vista que representa um modelo para pesquisa em Educação
Matemática, cujo objetivo é analisar os significados construídos pelos estudantes
quando inseridos em ambientes de comunicação matemática.
Segundo Cobb et al. (2003), a pesquisa baseada em design deve apresentar
as seguintes características:
Desenvolvimento e pesquisa devem ocorrer por meio de ciclos contínuos
de design, de interação, de análise e de redesign;
A pesquisa não deve registrar somente os sucessos ou as falhas, mas
focalizá-los nas interações que contribuam para nossa compreensão dos
fatores de aprendizagem envolvidos;
A pesquisa deve envolver o desenvolvimento de relatos fidedignos sobre
métodos que possam documentar e conectar processos de interações aos
resultados de interesse.
Para Cobb et al (2003), um aspecto determinante, em qualquer experimento de
design, é que o pesquisador tenha a perícia de realizar as funções associadas,
como desenvolver um design inicial, conduzir a experiência e extrair uma análise
retrospectiva e sistemática. Salienta-se que o experimento é adaptável à produção
dos alunos, ou seja, pode ser remodelado durante o processo.
Assim, essa metodologia mostra-se coerente aos objetivos do presente estudo,
pois o professor-pesquisador pode dizer sobre possibilitar, sustentar e modificar os
esquemas matemáticos dos alunos. Ressalta-se que uma das características do
Design Experiment consiste no fato de que estudantes, professores e pesquisadores
são vistos como colaboradores do processo, compartilhando, desta forma, com os
mesmos objetivos do desenvolvimento do trabalho. O professor também pode
assumir o papel de pesquisador, sendo esta a opção realizada neste estudo.
A pesquisa baseada no design pode ocorrer de vários modos dependendo
dos objetivos pensados. Cobb et al. (2003) destacam as seguintes modalidades:
experimentos de ensino aplicados a um pequeno grupo de estudantes, para que
seja possível a elaboração de análises com mais profundidade e com riqueza de
detalhes; experimentos voltados a salas de aula, em que uma equipe de
33
investigadores auxilia o professor (que também pode ser um membro desta equipe
de investigação); estudos voltados a professores em formação; estudos voltados a
professores atuantes para o desenvolvimento de uma comunidade profissional e
modelos que objetivam grandes reestruturações, envolvendo equipes de
pesquisadores, professores, gestores escolares e outras partes interessadas em
auxiliar na organização.
Ressalta-se que todas as modalidades do design, segundo Cobb et al.
(2003), possuem cinco pontos convergentes:
O desenvolvimento de uma classe de teoria, que, no caso do design em
pequena escala, representa a descrição de um modelo do entendimento dos
estudantes em relação a um conceito matemático em particular;
A natureza intervencionista, uma vez que a meta do Design Experiment é
propor novas formas de aprendizagem;
Os aspectos prospectivo, relativo à implementação de uma hipótese, e
reflexivo, com destaque às conjecturas elaboradas durante a condução do
experimento;
O caráter cíclico, aliado a uma construção iterativa e
O caráter pragmático, inerente a essa metodologia.
Em nossa pesquisa, levando em consideração que temos como objetivo
analisar vários aspectos em relação à construção do conceito de probabilidade no
decorrer do experimento de ensino, optamos por trabalhar com a versão em
pequena escala. Neste caso, o professor-pesquisador conduziu uma série de
sessões de ensino com um pequeno grupo de estudantes, evidenciando, com
profundidade, as construções e evoluções apresentadas por estes sujeitos.
3.1 SUJEITOS DO ESTUDO
Foram selecionados para o estudo preliminar quatro alunos matriculados no
quarto bimestre de 2010 do segundo ano do ensino médio e, para o estudo principal,
foram selecionados dez alunos matriculados no primeiro bimestre de 2011 do
34
terceiro ano do ensino médio. A seleção foi feita através de um convite aberto para a
sala toda, sendo que, para aqueles que mostraram interesse, foram agendadas as
datas em que as atividades seriam desenvolvidas e, a partir desses critérios, ficaram
todos os alunos que tinham disponibilidade. Nos dois estudos, as atividades foram
realizadas em uma escola Estadual da cidade de Ibiúna, SP.
Optamos por trabalhar com alunos do segundo ano para o estudo piloto
porque a aplicação ocorreu no final do ano, último semestre, período em que alunos
de terceiro ano estavam envolvidos com provas de ENEM, Vestibulares, SARESP e
provavelmente não teriam disponibilidade de tempo. Salienta-se que, para o
desenvolvimento do experimento de ensino, o “pré-requisito” era o aluno ter
vivenciado os tópicos de Matrizes e Probabilidade, abordados no caso do segundo
ano no segundo e terceiro bimestres, respectivamente; o que seria então um
impedimento para a realização do estudo principal também com alunos do segundo
ano.
3.2 INSTRUMENTOS
Para o estudo preliminar, foram utilizados a atividade de familiarização ao
software R (Anexo A) e o experimento de ensino denominado “Passeios aleatórios
da Carlinha” (Anexo B).
Para o desenvolvimento do estudo principal, foram utilizados os mesmos
instrumentos do estudo preliminar, nos quais foram feitas algumas alterações tanto
nas atividades de familiarização, como no experimento de ensino, a saber:
Tanto nas atividades de familiarização, como no experimento de ensino, os
comandos do R, que no estudo piloto eram apresentados em seu formato
original (em inglês), foram reprogramados para o português (Anexo C);
Para a realização das tarefas 16,17 e 18 das atividades de familiarização, foi
apresentado aos alunos um programa denominado “Ligando a lâmpada”, que
tinha como objetivo facilitar a simulação do lançamento de quatro moedas,
pensando que esta ferramenta seria necessária para o desenvolvimento do
experimento de ensino. Essas tarefas foram substituídas pela tarefa
denominada “Nota de ciências”, que também trabalhou com a simulação do
35
lançamento de moedas, porém utilizando os comandos do R. Estas
modificações foram pensadas a partir das sugestões recebidas durante o
exame de qualificação.
Além destas modificações descritas, uma nova seção denominada “Outras
explorações” foi acrescentada ao experimento de ensino do estudo principal, a fim
de propiciar aos alunos a possibilidade de se trabalhar com a probabilidade de
sorteio de uma face de uma moeda, no contexto de probabilidades, diferente de 0,5
e quais os impactos em suas conclusões no desenvolvimento do experimento de
ensino. Foi aplicado também um questionário de perfil dos alunos (Anexo D).
3.3 PROCEDIMENTOS DE COLETA E ANÁLISE DOS DADOS
Para coletar os dados da pesquisa, num primeiro momento, início do quarto
bimestre do ano letivo de 2010, o pesquisador fez o convite de participação à
direção da escola tanto para o estudo preliminar, como para o principal, o que foi
aceito prontamente, por meio da assinatura do termo de responsabilidade da
instituição (Anexo E).
No segundo momento, ainda no quarto bimestre de 2010, o professor-
pesquisador convidou os alunos para participarem do estudo preliminar, após a
aceitação e seleção como o descrito anteriormente, a experimentação foi iniciada. A
cada encontro, foi realizada a coleta dos dados para análise das seguintes formas:
captura das telas geradas no R e audio-gravação das falas dos sujeitos, por meio do
software Free Camtasia, além da produção escrita dos alunos.
No terceiro momento, foi feita uma análise do estudo preliminar, a fim de
identificar a necessidade de possíveis adaptações para a realização do estudo
principal.
No quarto momento, que ocorreu no primeiro bimestre de 2011, foram
selecionados dez alunos do terceiro ano do ensino médio desta mesma escola para
participar do estudo principal e, após a aceitação, a assinatura do Termo de
Consentimento Livre e Esclarecido - TCLE (Anexo F) e o termo de direito de uso de
Imagem (Anexo G) foram solicitados aos seus responsáveis. Ressalta-se que o
convite para a participação na pesquisa foi aberto a todos da turma, e inicialmente,
36
dez alunos demonstraram interesse, sendo que, destes, três desistiram ao longo do
desenvolvimento da atividade, terminando assim o estudo com sete alunos.
Alguns dias depois, o pesquisador retornou à sala de aula e solicitou que os
alunos respondessem o questionário de perfil. As respostas dos questionários de
perfil foram analisadas de maneira qualitativa, e especificamente no que se refere ao
sentimento e a primeira ideia que o aluno tem ao ouvir a palavra Probabilidade, as
respostas foram categorizadas em consonância com as informações apresentadas.
A partir deste momento, todos os encontros posteriores aconteceriam no
laboratório de informática. No momento em que seria desenvolvido o estudo
principal, não foi possível utilizar o laboratório de informática, uma vez que o mesmo
estava funcionando com um sistema onde todas as informações obtidas eram
apagadas ao desligar os computadores, inclusive os softwares instalados
inviabilizando assim o seu uso. Frente a essa realidade, optamos por desenvolver a
atividade na sala da coordenação, utilizando dois computadores que existiam e mais
alguns notebooks.
No quinto momento, foi trabalhada a familiarização dos alunos com o software
R. Inicialmente, foi apresentada pelo professor-pesquisador a sua interface, as
funções para a realização de operações simples e para a criação e operação de
vetores, criação de matrizes e a sua transposta, elaboração de gráficos de barras, e
a simulação no ambiente computacional. Para esta etapa, estavam previstos três
encontros de 100 minutos cada, sendo que as atividades foram desenvolvidas em
três encontros de 100 minutos e mais um quarto encontro de 50 minutos. Este tempo
extra se deu em função de algumas tarefas que foram acrescidas ao estudo
principal, depois de algumas dificuldades observadas no estudo preliminar e
sugestões da banca de qualificação.
Em seguida, foi aplicado o experimento de ensino Passeios Aleatórios da
Carlinha (CAZORLA, KATAOKA, MAGANIME, 2010) nos ambientes papel & lápis e
computacional, software R. Para esta etapa, estavam previstos três encontros de
100 minutos cada, tempo que se mostrou suficiente para o desenvolvimento desta
etapa.
A cada encontro, tanto na familiarização como na experimentação, foi
realizada a coleta dos dados para análise das seguintes formas: captura das telas
geradas no R e audiogravação das falas dos sujeitos, por meio do software Free
Screen Recorder, além da produção escrita dos alunos.
37
Todo o trabalho foi acompanhado pelo próprio pesquisador, realizado no
contra turno do período escolar dos alunos e desenvolvido em algumas etapas pelo
pesquisador, especialmente na familiarização, e em outras somente pelos alunos.
Para o desenvolvimento tanto da atividade de familiarização como do
experimento de ensino, o professor-pesquisador assumiu uma postura como o
previsto pelo design. Nesta metodologia, segundo Karrer (2006), o professor-
pesquisador deve ter como objetivo principal propiciar condições para criar meios de
interação que possam encorajar os estudantes a modificar seus pensamentos
atuais. Em particular, no nosso estudo, esperava-se que essas condições ajudassem
tanto no desenvolvimento de uma maior autonomia dos alunos no decorrer das
tarefas, bem como no desenvolvimento do conceito de probabilidade.
Todas as atividades propostas passaram por duas análises, uma preliminar e
a outra posterior à aplicação. Essas análises foram realizadas pelo pesquisador,
como parte dos procedimentos da metodologia utilizada no desenvolvimento da
pesquisa.
38
4 RESULTADOS DO QUESTIONÁRIO DE PERFIL
Dos sete alunos, seis eram do sexo feminino e um do sexo masculino, três
alunos tinham dezesseis anos; três dezessete anos e um, dezoito anos. Quando
questionados se, durante as outras séries escolares, eles tinham estudado algum
conceito de probabilidade, três responderam que sim, três responderam que não e
um deixou a resposta em branco.
Quando questionados sobre os termos apresentados, quais eles conheciam e
julgavam ser capazes de interpretar, destacaram os termos: Porcentagem (3) e
chance (3). Uma possível explicação para a incidência de alunos que conheciam
estes termos, no caso da porcentagem, provavelmente pela sua abordagem também
em outros tópicos de Matemática e em outras disciplinas desde o ensino
fundamental; no caso do termo chance, provavelmente por ser um termo presente
no cotidiano, como, por exemplo, quando se discute quais são as chances de se
ganhar um jogo, arrumar um emprego ou ser aprovado em alguma disciplina
escolar. Em segundo lugar, apareceram frequência (2), Incerteza (2), simulação (2) e
experimentação (2); e, em terceiro lugar, apareceram aleatoriedade (1), evento (1) e
equiprovável (1). Ressalta-se que, dos sete participantes, um deixou a questão em
branco.
Quanto à importância do termo probabilidade em seu cotidiano, todos
classificaram como importante.
No item (a) da última questão, quando questionados sobre qual seria o
primeiro sentimento que tinham quando ouviam a palavra probabilidade, as
respostas foram categorizadas em sentimento positivo: 2 alunos (“Aprendizagem”,
“Esperança, futuro, carreira”); sentimento negativo: 3 alunos (“Complexo, difícil e
complicado”; “Incerteza, dificuldade” , “Algo que pode acontecer, angústia”);
respostas não relacionadas com sentimento: 2 alunos (“Possibilidade de algo
acontecer no futuro”, “Necessidade, pois eu irei precisar no futuro”).
No item (b), quando solicitado que explicitasse qual era a primeira ideia que
passava em sua “mente”, quando ouvia a palavra probabilidade, as respostas foram
categorizadas da seguinte forma: ideia de cálculo: 1 aluno (“Que se usa
matemática”); ideia de valor: 3 alunos (“Futuro, pois eu tenho consciência que irei
utilizar no meu cotidiano”, “Trabalho, alcançar objetivos, conhecimento”, “Vou
39
aprender mais”); ideia de conceito: 3 alunos (“Algo que poderá acontecer”, “Não é
exato, mas tem algumas chances de ser uma determinada coisa”); ideia evasiva
(“Algo provável, mas com dificuldade”).
Este questionário de perfil mostra que, apesar de serem alunos do último ano
do ensino médio e os termos probabilísticos não serem totalmente desconhecidos,
estes ainda estão fortemente relacionados a crenças pessoais e emotivas, sendo
pouco relacionados com um conceito matemático.
40
5 ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO
A atividade de familiarização será desenvolvida num laboratório de
informática com oito alunos do terceiro ano do ensino médio de uma escola estadual
da cidade de Ibiúna-SP. Cada aluno utilizará um computador e o professor
pesquisador, um computador e um projetor de slides. A aplicação dessa atividade
terá como objetivo apresentar aos alunos o software R, e as ferramentas que os
auxiliarão, posteriormente, no desenvolvimento de uma ou mais etapas do
experimento de ensino “Passeios Aleatórios da Carlinha”.
Três encontros de 100 minutos cada estão previstos para o desenvolvimento
dessa atividade, dividida em oito etapas, composta de diversas tarefas. Algumas
tarefas serão conduzidas pelo professor-pesquisador e caberá aos alunos replicá-las
simultaneamente em seus computadores; e outras serão desenvolvidas pelos
alunos, a princípio, sem interferência do professor-pesquisador, com o objetivo de
verificar a aquisição e compreensão das funções apresentadas pelo professor
pesquisador.
Todas as tarefas realizadas pelos alunos serão salvas, ou para serem
consultadas posteriormente pelos alunos ou para auxiliar na análise final desse
estudo. Além disso, as telas serão capturadas e a fala de cada dupla gravada
utilizando o software Free Screen Recorder (NBXSOFT, 2010), que poderão
auxiliar também na análise final.
Os objetivos específicos de cada etapa, bem como em quais seções do
experimento esse conhecimento será necessário, podem ser observados no Quadro
1. Inicialmente, espera-se que os alunos apresentem um pouco de dificuldade no
trabalho com o R, pois provavelmente ainda não tiveram contato com um software
em que seja necessário utilizar uma linguagem de programação. Esta dificuldade
tende a ser minimizada ao passo que o aluno for desenvolvendo as tarefas, pois
elas serão sempre precedidas de exemplos trabalhados de forma detalhada pelo
professor-pesquisador.
Nesta atividade, não teremos como objetivo propor grandes desafios aos
alunos com relação à utilização do software R, e sim, como já dito, que eles
conheçam e consigam trabalhar com algumas funções básicas do programa para
que, posteriormente, tenham condições de desenvolver o experimento de ensino.
41
Etapa Tarefas Realizado por Objetivos específicos do estudo
Aplicação no Experimento
de Ensino
1 1 a 3 Professor pesquisador
Apresentar as telas iniciais do R, e a visualização do console e do script
2 4 Professor pesquisador
Desenvolver algumas operações básicas
Seções 3 e 4
3 5 Professor pesquisador
Apresentar as funções para a criação de vetores
Seção 2
4 6 a 10 Alunos Observar se os alunos conseguem realizar as operações básicas, bem como criar vetores
Seções 2,3 e 4
5 11 e 12 Professor pesquisador
Apresentar as funções para construir uma matriz e a sua transposta, bem como gráficos de barras
Seções 2 e 3
6 13 e 14 Alunos Fazer com que os alunos identifiquem as funções responsáveis pela formatação de um gráfico de barras
6 15 Alunos Verificar se os alunos conseguem construir uma matriz, a sua transposta e um gráfico de barras a partir do trabalho desenvolvido na seção 5
7 16 a 22 Professor pesquisador
Apresentar os 3 Esquemas do programa “Ligando a Lâmpada” e as ferramentas no R para a realização de uma simulação, que represente os Esquemas 1 e 2
Seção 2
8 23 a 25 Alunos Verificar se os alunos conseguem aplicar as funções utilizadas nas tarefas anteriores
Seções 2 e 4
Quadro 1- Descrição dos objetivos específicos das tarefas e a relação com o experimento do ensino.
42
5.1 ANÁLISE PRELIMINAR
5.1.1 Etapa 1- Apresentação do R
Nesta etapa, o professor-pesquisador apresentará aos alunos o ambiente em
que o trabalho será desenvolvido, as janelas do Console e do Script e explicação
da função de cada uma delas.
Tarefa 1- Janela Console
Ao abrir o R, a janela que aparecerá é denominada de Console. Nesta janela,
o aluno poderá escrever as linhas de comando e obter os resultados (Figura 1). Esta
janela traz também algumas informações sobre o software e apresenta algumas
funções que poderão ser desenvolvidas neste ambiente, como, por exemplo, demo
e help.
Figura 1 – Janela Console do R
Tarefa 2- Janela Script
Como visto na tarefa anterior, podemos escrever no console as linhas de
comando e obter os resultados. Contudo, essa forma de uso do software não será
prática, caso seja necessário repetir a tarefa, pois os comandos, mesmo salvos ao
43
final do trabalho, teriam que ser separados dos resultados para serem executados
novamente.
Para facilitar esse manuseio, podemos abrir a janela do script (menu
arquivo – novo script), digitar apenas as linhas de comando e apertar as teclas Ctrl
e R simultaneamente para que os resultados apareçam na janela console (Figura
2). Desta maneira, trabalhando com duas janelas (script e console), é possível
separar os comandos dos resultados, salvando apenas o script (menu arquivo –
salvar) no final.
Figura 2 – Ferramentas de trabalho no R
44
Tarefa 3- Opção Título
No menu janela, vamos escolher a opção Título para uma melhor
visualização conjunta das janelas Console e Script. (Figura 3).
Figura 3 – Janelas Script e Console
Esta opção apresenta as janelas script e console, uma do lado da outra, de
maneira vertical como podemos observar na Figura 4. O que facilita a visualização
dos comandos que serão desenvolvidos no decorrer da atividade.
Figura 4 – Visualização vertical
Caso haja interesse em limpar a janela do console, é possível utilizar a opção
limpar console no menu editar (Figura 5).
45
Figura 5 - Janela Console limpa
5.1.2 Etapa 2 - Operações Básicas no R – Criando Objetos
Nesta etapa, o professor pesquisador, por meio de alguns exemplos,
apresentará o potencial do software para o desenvolvimento de operações simples.
Tarefa 4- Exemplos de Operações
Vejamos um exemplo:
2+3 #Operações básicas
Observe que, neste caso, foi acrescentado um comentário na operação
“#Operações básicas”, que sempre deve ser precedido do símbolo # (Figura 6).
Figura 6 – Operações básicas
É possível criar objetos para serem utilizados posteriormente em outras
operações. Para tal, basta nomear (com uma letra ou um nome) as operações, como
no exemplo a seguir:
46
a=5*(2+(3*8)) #Operações básicas b=2^3 #Potenciação a+b
Vale ressaltar que, quando o objeto está nomeado, o resultado não aparece
de imediato no Console, sendo necessário digitar o nome do objeto e apertar as
teclas Ctrl e R simultaneamente (Figura 7).
Figura 7- Operações entre objetos
Vejamos mais alguns exemplos de operações básicas:
log(100)#Logaritmo de 100 na base neperiana
log10(100) #Logaritmo de 100 na base 10
exp(10)#potência de base neperiana elevado a 10.
sqrt(9) #raiz quadrada de 9
27^(1/3)#raiz cúbica de 27
sin(pi/2) #seno de pi/2
cos(pi)#cosseno de pi
tan(pi/3)#tangente de pi/3
O software também oferece a função aprox para arredondar valores, por
exemplo, se fizermos a operação 1 dividido por 3 e desejarmos determinar o
resultado com aproximação de 3 casas decimais, podemos utilizar a seguinte linha
de comando aprox(1/3, 3) (Figura 8).
47
Figura 8- Opção aprox
5.1.3 Etapa 3 - Criação de Vetores
Nesta etapa, o professor pesquisador apresentará aos alunos os comandos
básicos para a criação de vetores, uma vez que, para o desenvolvimento de nosso
experimento de ensino, já a partir da seção 2 (simulação), essas funções serão
necessárias. Por exemplo, para armazenar a probabilidade de visita de cada amigo,
considerando a sequência (Luiz, Felipe, Fernanda, Alex e Paula), terá que ser criado
o vetor utilizando a função vetor, neste caso, vetor (1/16, 1/4, 6/16, 1/4, 1/16).
Tarefa 5- Exemplos
Vejamos alguns exemplos de vetores e como criá-los utilizando as funções
existentes no R (Figura 9):
c=vetor(155, 165, 175, 185, 163, 142) #criar um vetor numérico – Atenção colocar o
comando vetor antes do parênteses. (Figura 09.)
d=sequência(1,12) # criar uma sequência de números de 1 em 1(default by=1), de 1
a 12
e=vetor("Laranja”, "Água”, "Queijo”, "Presunto") #vetor não numérico que armazena
o nome de três produtos.
Figura 9- Vetores no R
48
Para criar uma sequência aritmética de razão igual a 1, não há necessidade
de declarar o argumento by, conforme pode ser observado no exemplo anterior. Já
para o desenvolvimento de sequência com razões diferentes de 1, como no exemplo
a seguir, esse argumento deverá ser declarado.
f=sequência(1,27,by=3) #criar uma sequência de números de 3 em 3, de 1 a 27-
função sequência( ) tem como argumentos o início, fim e a razão da sequência.
g=rep(1,20) # repetir 20 vezes o número um.
h=rep(c(1,2,3),5)#repetir 5 vezes a sequência de números de 1 a 3 - Para criar um
vetor a partir de seus argumentos.
5.1.4 Etapa 4 - Operações Básicas
Espera-se que, nesta etapa, os alunos não apresentem dificuldades na
realização das tarefas, pois aplicarão apenas as funções já apresentadas pelo
professor-pesquisador, no que se refere ao desenvolvimento de operações simples
e criação de vetores.
Em nosso experimento de ensino, já a partir da seção 2, os alunos terão que
utilizar o conceito de vetores e, a partir da seção 3, as operações básicas.
Tarefa 6 - Operações I
Efetuar as seguintes operações:
6.1) (12+9)+15.
6.2) 48 dividido por 6.
6.3) 13 dividido por 4 (apresentar o resultado com duas casas decimais).
6.4) 6 vezes 8.
6.5) 2 elevado à quarta potência.
6.6) Raiz quadrada de 64.
6.7) Raiz cúbica de 8.
49
Tarefa 7 - Operações II
Considerando a tarefa anterior, nomear cada uma das operações com as
respectivas letras a,b,c,d,e,f e posteriormente efetuar as seguintes operações:
7.1) a somado com b.
7.2) c multiplicado por d e o resultado dividido por 2.
7.3) f elevado a terceira potência e o resultado somado a e.
Tarefa 8- Operações III
Gerar os vetores que armazenem:
8.1) A sequência dos dez primeiros múltiplos de três.
8.2) A sequência dos dez primeiros números naturais.
8.3) A repetição doze vezes do número quatro.
8.4) A repetição nove vezes da sequência numérica de 5 a 7.
8.5) O seu nome e de mais dois colegas.
Tarefa 9- Operações IV
Considerando as sequências geradas na atividade anterior, nomear as duas
primeiras operações da Tarefa 8, respectivamente com as letras g e h, e, em
seguida, efetuar as operações:
9.1) Sequência g + Sequência h.
9.2) Sequência h multiplicada por 5.
Nesta tarefa, a intervenção do professor-pesquisador poderá ser necessária
em relação ao entendimento dos resultados obtidos, pois, corre-se o risco de não
ficar claro para os alunos o significado dos vetores resultantes das operações
solicitadas.
Tarefa 10-Operações V
Gere a seguinte sequência utilizando as ferramentas do R:
10.1) 20, 16, 12, 8, 4, 0.
50
Nesta tarefa, espera-se que os alunos não apresentem dificuldades para
identificar o conceito de sequência decrescente, uma vez que, estando no terceiro
ano do ensino médio, já terão visto o conceito de sequências crescentes e
decrescentes no contexto da progressão aritmética. Eles deverão observar que,
neste caso, basta utilizar a razão -4 na função de criação de sequências
previamente apresentadas pelo professor pesquisador.
Apesar de não ser utilizado o conceito de sequência decrescente no
experimento de ensino, esta tarefa é importante para verificar se os alunos
realmente compreenderam a lógica dos comandos para a criação de sequências, ou
se o desenvolvimento das mesmas foi feito apenas de maneira automática, a partir
dos exemplos trabalhados pelo professor-pesquisador.
Caso ocorram dificuldades, será necessária a intervenção do professor-
pesquisador. Pretende-se, neste caso, relembrar o conceito de sequências
crescentes e decrescentes, ressaltando o fato de que, em uma progressão
aritmética decrescente, a razão é negativa. Dessa forma, na função sequência, será
utilizado o argumento by= -4. Além disso, se houver dúvidas nas operações, poderá
projetar as tarefas e promover uma discussão coletiva, a fim de se identificar as
funções necessárias para a realização das operações solicitadas e, havendo
necessidade, serão propostas as seguintes tarefas extras a seguir.
Tarefas extras.
E1) Efetuar as seguintes operações:
E.1.1) 12+13 E.1.2) 69 dividido por 4 (apresentar o resultado com duas casas decimais) E.1.3) 7 vezes 9 E.1.4) 3 elevado ao quadrado E.1.5) Raiz cúbica de 27
E2) Considerando a tarefa anterior, nomear cada uma das operações com as
respectivas letras j, k, l, m, n, e posteriormente efetuar as seguintes operações:
E2.1) j somado com k
E2.2) l multiplicado por m e o resultado dividido por 2
E2.3) n elevado a quarta potência .
51
E3) Gerar os seguintes vetores que armazenem:
E3.1) A sequência dos dez primeiros múltiplos de quatro
E3.2) A sequência dos vinte primeiros números naturais
E3.3) A repetição de dezessete vezes o número cinco
E3.4) A repetição de oito vezes a sequência numérica de 3 a 7.
E3.4) O nome dos seus dois(as) últimos professores(as) de matemática
5.1.5 Etapa 5 - Construção de Matrizes e Gráficos de Barra
Nesta etapa, o professor-pesquisador apresentará aos alunos as funções
básicas para a criação de uma matriz, a sua transposta e a construção de um gráfico
de barras. Essas funções serão necessárias para o desenvolvimento da seção 2 do
experimento de ensino, uma vez que os alunos apresentarão no software as
possibilidades de combinação de quatro lançamentos de uma moeda, convertidos
na linguagem de zeros e uns (Cara = 0 e Coroa = 1) e a associação de cada
combinação com o amigo a ser visitado, que deverá ser apresentado com uma
linguagem matricial.
Em nosso experimento de ensino, na tarefa 6 da seção 2, será solicitado que
cada dupla construa dois gráficos, um para comparar os resultados da
experimentação aleatória de cada dupla com outra dupla escolhida, e outro que irá
comparar os resultados de cada dupla com as probabilidades.
Tarefa 11- Construção de Matrizes
Nesta tarefa, o professor-pesquisador apresentará as funções necessárias
para a construção de uma matriz a partir de determinada tabela de valores
apresentada no ambiente papel & lápis. Espera-se que os alunos compreendam o
funcionamento dessas operações no software, tendo, assim, condições de construir
a matriz necessária para a elaboração do gráfico de barras solicitado na tarefa 15.
52
Para apresentar a construção de uma matriz, será utilizado o seguinte
exemplo:
A tabela, a seguir, apresenta a venda de 4 modelos de carros, em três agências de
automóveis, que representaremos respectivamente por A, B e C durante o primeiro
semestre.
Modelos A B C
Vectra 20 18 25 Uno 12 10 15 Gol 15 9 20 Fiesta 18 15 21
Vamos construir, utilizando as ferramentas do R, uma matriz 4X3 (quatro por três),
isto é uma matriz formada por 4 linhas e três colunas que represente as vendas dos
quatro modelos nas três agências.
Inicialmente devemos criar 3 vetores que armazenarão as vendas efetuadas nas três
agências:
A=vetor(20,12,15,18)
B=vetor(18,10,9,15)
C=vetor(25,15,20,21)
Em seguida, criaremos uma tabela que armazenará as vendas das três agências
que denominaremos agenciacombinado, para isto utilizaremos a função
colunacombinada:
agenciacombinado=colunacombinada(A,B,C)
Agora criaremos dois vetores, um que armazenará o nome de cada modelo vendido
e outro para armazenar o nome de cada agência:
modelos=vetor("Vectra","Uno","Gol","Fiesta")
agências=vetor("A","B","C")
E, por fim, vamos construir a matriz que denominaremos de matriz n, que representa
a venda dos 4 modelos nas três agências (Figura 11):
n=matriz1(agenciacombinado,4,3,modelos,agências)
53
Observe que, para compor a matriz, utilizamos a tabela agenciacombinado, que já
contém o número de vendas dos 4 modelos nas três agências. Nesse caso,
utilizaremos os vetores modelos e agências já definidos anteriormente.
Figura 10 - Matriz de vendas
Tarefa 12- Construção do Gráfico de Barras da Venda dos Automóveis
Com a matriz de vendas, vamos construir um gráfico que represente as vendas de
cada modelo nas três agências.
I. Inicialmente, devemos construir a matriz transposta da matriz n (função t) que
denominaremos de t1, pois é solicitado que o gráfico compare os quatro modelos
nas três agências: t1=t(n). Desta forma, construindo a matriz transposta o número de
vendas das agências será apresentado na horizontal e o número de vendas de cada
modelo será apresentado na vertical.
II. Posteriormente, utilizaremos a função gbarra:
Para a construção do gráfico de barras, primeiramente devemos criar um vetor que
armazene as cores que serão necessárias para a construção do gráfico. Para isto,
criaremos o vetor cor.
#Grafico de Barras da venda de automóveis
Cor=vetor(“blue”,”red”,“green”)
gbarra(t1,cor)
vertical(0)
legenda(7,23,agências,cor)
54
A função gbarra tem como argumentos o nome da matriz dos dados e o vetor que
armazena as cores em inglês. Deve-se acrescentar, também, a função vertical para
ser construída uma reta horizontal no valor de x = 0. A função legenda é
responsável pela construção da legenda representada no gráfico, nela são
declarados, inicialmente, o par ordenado (x, y) que determina a localização da
mesma, o vetor contendo os nomes e o vetor que armazena as cores (Figura 11).
Figura 11-Gráfico de vendas
5.1.6 Etapa 6 - Formatação de Gráfico
O desenvolvimento das tarefas 13 e 14 terá como objetivo fazer com que os
alunos identifiquem as funções responsáveis pela formatação do gráfico. No
experimento de ensino, na seção 3, será solicitado aos alunos que construam dois
gráficos de barras e, nesse momento, será importante que saibam formatá-los, pois
55
dependendo das informações contidas no gráfico, serão necessárias alterações para
uma boa visualização e entendimento do mesmo.
A tarefa 15 terá como objetivo verificar se, dadas as atividades anteriores de
familiarização ao software R, os alunos conseguem construir uma matriz e a
representação gráfica da situação a seguir. Espera-se um grau maior de dificuldade
do que nas tarefas anteriores, pois, para o seu desenvolvimento, os alunos terão de
resgatar todos os conceitos trabalhados na etapa 5 e na tarefa “15” da etapa 6,
necessitando, assim, de uma dedicação maior para a sua realização.
Tarefa 13- Função legenda
Na última função:
legenda(7,25,agências,cor)
13.1) Troque o número 7 pelo número 10, aperte Ctrl R e verifique o que acontece
na legenda do seu gráfico.
13.2) Agora substitua o número 7 pelo número -1, aperte Ctrl R e verifique o que
acontece com a legenda do seu gráfico. Acrescente um comentário no seu script
relatando as conclusões que você chegou.
13.3) Faça o mesmo com o número 25, primeiramente o substitua pelo número 20 e
veja o que acontece e posteriormente o substitua pelo número -2. Acrescente um
comentário no seu script relatando as suas conclusões.
13.4) Por fim, troque as cores armazenadas no vetor col= c("blue","red",“green”),
tanto na função legenda, como na função gbarra, por outras cores (em inglês) de
sua preferência e observe o que acontece na legenda de seu gráfico. Acrescente
um comentário no seu script relatando a que conclusões você chegou.
Tarefa 14- Função vertical
Tente descobrir quais são as características da função vertical(0). 14.1) Inicialmente, tente construir o gráfico no software R, sem utilizar esse
comando.
14.2) Agora tente construir o gráfico colocando outros valores para vertical(0).
14.3) Acrescente um comentário no seu script, relatando a que conclusões você
chegou com relação as características da função vertical.
56
Tarefa 15 – Construção do Gráfico de Barras
Nas lojas A, B, C e D de uma rede de livrarias, o estoque de seus livros didáticos de
matemática M1, M2 e M3 é o seguinte:
Livraria M1 M2 M3
A 10 120 80 B 20 15 48 C 5 40 30 D 15 10 54
Com base nesses dados, construa um gráfico de barras utilizando as ferramentas do
R e comparando a quantidade dos três tipos de livros nas livrarias A, B, C e D.
No exemplo trabalhado anteriormente, as funções foram desenvolvidas
separadamente, ou seja, primeiro foram criados os vetores, em seguida, a tabela
que armazenava os valores, depois a matriz de valores, a sua transposta e, por fim,
o gráfico de barras. Nesta tarefa, é solicitada apenas a construção do gráfico,
podendo, assim, haver dificuldades na compreensão de toda a construção
necessária para se chegar ao gráfico. Caso ocorra alguma dificuldade, ao final desta
seção, será proposta uma discussão entre todas as duplas, a fim de favorecer o
debate sobre os resultados e sobre as impressões que tiveram com o software até o
momento. Com base nesta discussão, o professor-pesquisador observará a
necessidade de aplicar uma atividade extra, a qual já está planejada e é
apresentada a seguir.
Tarefa extra
E4) O proprietário de três cantinas escolares registrou a venda dos três tipos de
salgados oferecidos pelas cantinas no período de uma semana, os dados estão
representados na tabela a seguir:
57
Salgados Cantina 1 Cantina 2 Cantina 3
Coxinha 35 29 17 Quibe 27 32 37 Enroladinho 41 18 28
Com base nesses dados, construa:
E4.1) Um vetor que armazene o número de coxinhas vendidas nas três cantinas;
E4.2) Um vetor que armazene o número de quibes vendidos nas três cantinas;
E4.3) Um vetor que armazene o número de enroladinhos vendidos nas três cantinas;
E4.4) Um vetor que armazene o nome das três cantinas;
E4.5) Uma tabela que represente a venda dos três tipos de salgados vendidos;
E4.6) Uma matriz que represente a venda dos três tipos de salgados vendidos;
E4.7) A matriz transposta da matriz construída anteriormente;
E4.8) Um vetor que armazene três cores de sua preferência(em inglês) para a
construção do gráfico de barras;
E4.9) Um gráfico de barras, comparando a quantidade de salgados vendidos nas
três cantinas.
5.1.7 Etapa 7 - Atividade de Simulação
Nessa etapa, o professor-pesquisador apresentará inicialmente aos alunos as
funções para simulação no R. No primeiro momento com a simulação do lançamento
de uma moeda, depois de quatro moedas, em seguida associando os resultados
“cara” e “coroa” com “0” e “1” respectivamente, o resultado da soma do lançamento
dos resultados de quatro moedas até a tabulação da soma desses resultados.
No experimento de ensino, o aluno simulará o lançamento de quatro moedas,
e os resultados podem também ser representados por “0” ou “1” e, em seguida,
somará esses resultados para verificar o amigo visitado pela Carlinha.
Tarefa 16 – Nota de Ciências
Considere a seguinte situação:
Um professor de Ciências passou um trabalho para uma turma e as notas serão
atribuídas considerando os seguintes critérios: estrutura, consistência teórica
58
apresentação e participação na apresentação do restante da turma. Para cada
quesito será atribuída a nota 0 ou 1, que serão somadas resultando numa nota final,
gerando assim, notas que irão variar de 0 a 4. Essas notas, quando convertidas
para conceitos, corresponderão a: insuficiente, ruim, regular, bom e muito bom,
respectivamente.
Vamos simular a nota de um aluno utilizando as ferramentas do R. Para fazer esta
simulação, estamos pensando que, ao analisar cada quesito do trabalho, só temos
duas possibilidades: ou a sua nota é zero ou é um. Para fazer esta simulação,
adotaremos a probabilidade de tirar zero ou um são iguais, ou seja, 50%. Desta
forma, poderemos utilizar a ideia de simulação do lançamento de uma moeda
honesta.
Nessa tarefa, a função simula será apresentada para o aluno, que permite
realizar a simulação do lançamento de uma moeda no R. Primeiro, será executada
só uma simulação, ou seja, a simulação da nota de quesito e, em seguida, realizar
simultaneamente os quatro lançamentos que correspondem às notas dos quatro
quesitos que compõem o trabalho (Figura 12).
r1= simula( 1,1,0.5) #nota de um quesito r2=simula(4,1,0.5) #nota dos quatro quesitos
Figura 12 – Resultados da simulação no R.1.
O professor-pesquisador deverá chamar atenção para o qual o primeiro valor
representa o número de repetições na função simula; o segundo valor, o número de
tentativas e o terceiro valor, a probabilidade de sucesso (p). Por exemplo, no
comando simula (4,1,0.5), o quatro representa o número de vezes que o lançamento
de uma moeda será repetido, considerando a probabilidade de sair cara igual a 0,5.
59
Tarefa 17 – Obtenção das notas
Nessa tarefa, será apresentado ao aluno como somar os resultados de uma
simulação do lançamento de quatro moedas para que desta forma possa obter a
nota final do trabalho considerando as notas de todos os quesitos (Figura 13).
Assim, será utilizada a função matriz2, cuja função permite a construção de uma
matriz sem ser necessário declarar nomes específicos para as linhas e as colunas.
#Simulação simul=matriz2(simula(4,1,0.5),1,4) simul soma=simul[,1]+simul[,2]+simul[,3]+simul[,4] soma
Figura 13 – Resultados da simulação no R.2.
Tarefa 18 – Notas da turma
Nessa tarefa, será apresentado para o aluno como somar os resultados de
uma simulação do lançamento de quatro moedas, que será repetida vinte vezes,
neste momento estamos pensando fazer a simulação das notas de uma turma de
vinte alunos (Figura 14).
#Simulação simul=matriz2(simula(80,1,0.5),20,4) simul # Criar uma matriz com zeros para armazenar a soma soma=matriz2(0,20,1) soma[,1]=simul[,1]+simul[,2]+simul[,3]+simul[,4] tb=tabela(soma) tb
60
Figura 14 – Resultados da simulação no R.3.
O professor-pesquisador deverá chamar atenção para os seguintes detalhes:
para reproduzir vinte vezes o lançamento de quatro moedas, devem ser gerados
oitenta valores (zeros ou uns), a matriz deve ter vinte linhas para receber os
resultados de cada bloco de quatro simulações (simul), criar uma matriz de zeros
com vinte linhas e uma coluna para armazenar o resultado da soma de cada quatro
simulações (soma) e usar a função tabela para ver a frequência absoluta de cada
um dos resultados da soma.
Tarefa 19 – Obtenção dos conceitos
Nessa tarefa, será apresentado para o aluno como associar o resultado da
soma de uma simulação do lançamento de quatro moedas, que foi repetida vinte
vezes, com os conceitos insuficiente, ruim, regular, bom e muito bom e a construção
de um gráfico de barras que representem esses resultados (Figura 15).
#Simulação simul=matriz2(simula(80,1,0.5),20,4) # Criar uma matriz com zeros para armazenar a soma soma=matriz2(0,20,1) soma[,1]=simul[,1]+simul[,2]+simul[,3]+simul[,4] tb=tabela(soma) tb Comando=vetor("Insuficiente","Ruim","Regular","Bom", "Muito bom") tabg=matriz1(0,5,1,Comando,"Freqüência”)
61
tabg[1,1]=(tb[1]) tabg[2,1]=(tb[2]) tabg[3,1]=(tb[3]) tabg[4,1]=(tb[4]) tabg[5,1]=(tb[5]) tabg cor=vetor(“blue”,”red”,”green”,”orange”,“black”) gbarra(t(tabg),cor) vertical(0)
O professor-pesquisador deverá chamar atenção para os seguintes detalhes:
criar um vetor que indica os conceitos, mas já associado ao resultado da soma
(Comando), ou seja, deve aparecer insuficiente, ruim, regular, bom e muito bom;
criar uma matriz (tabg) com 5 linhas para armazenar as frequências absolutas
(obtidas pelo uso da função tabela) relacionadas com cada resultado da soma e
com o comando gbarra e construir um gráfico de barras com a transposta da matriz
tabg.
62
Figura 15 – Resultados da simulação no R.4.
Tarefa 20 – Frequência Relativa
O propósito dessa tarefa é apenas apresentar para o aluno que o gráfico de
barras pode ser construído utilizando também a frequência relativa, que será
necessária no experimento de ensino (Figura 16).
#Simulação simul=matriz2(simula(80,1,0.5),20,4) # Criar uma matriz com zeros para armazenar a soma soma=matriz2(0,20,1) soma[,1]=simul[,1]+simul[,2]+simul[,3]+simul[,4] tb=tabela(soma) tb Comando=vetor("Insuficiente","Ruim","Regular","Bom", "Muito bom") tabg=matriz1(0,5,1,Comando,"Frequência”) tabg[1,1]=(tb[1]) tabg[2,1]=(tb[2]) tabg[3,1]=(tb[3]) tabg[4,1]=(tb[4]) tabg[5,1]=(tb[5]) tabg tabgr=tabg/20 tabgr cor=vetor("blue","red","green","orange","black") gbarra(t(tabgr),cor) vertical(0)
63
Figura 16 – Resultados da simulação no R.5.
5.1.8 Etapa 8 - Atividade de Simulação II
Essa etapa será realizada pelo aluno com acompanhamento do professor-
pesquisador, tendo como objetivo verificar a compreensão das tarefas da etapa 7,
bem como a interpretação dos resultados obtidos. É esperado que a interferência do
professor-pesquisador seja mais intensa e que demande mais tempo, uma vez que
será proposta uma situação problema na qual os alunos terão que utilizar vários
conceitos desenvolvidos anteriormente.
64
Tarefa 21 – Repetição da Tarefa 21
Espera-se, com essa tarefa, que os alunos identifiquem que se podem obter
resultados diferentes por se tratar de uma simulação, a cada execução.
Repita, pelo menos 2 vezes, a tarefa 19 e observe os resultados da tabela das
frequências absolutas (tabg).
A quais conclusões você pode chegar? ____________________________________
Tarefa 22 – Gratificação Anual – Parte I
Espera-se que nesta tarefa os alunos consigam relacionar e utilizar as
ferramentas do R para simulação, nomeação e organização das sequências
simuladas.
Considere a seguinte situação:
Para fazer a avaliação anual de desempenho dos funcionários de uma empresa será
utilizado o seguinte critério: cada funcionário será avaliado em quatro itens, sendo,
assiduidade, produção, participação em reuniões e trabalho em equipe. Para cada
item o funcionário receberá a nota zero ou um. Ao final da avaliação cada
funcionário terá como resultado a nota resultante das notas dos quatro itens, ou
seja, uma nota que poderá variar de 0 a 4, sendo que serão convertidas nos
seguintes pareceres: insatisfatório, regular, satisfatório, bom e ótimo,
respectivamente.
Simule as notas de um grupo com 30 funcionários e faça um gráfico de barras para
representar o número de funcionários (freqüência absoluta) em relação aos
pareceres atribuídos na avaliação de acordo com a nota global.
Tarefa 23 – Gratificação Anual – Parte II
Espera-se que com esta tarefa os alunos percebam que apesar das
diferenças existentes na simulação de cada grupo a ordem das visitas se mantém.
65
Compare graficamente e por escrito os seus resultados da tarefa 22 com de outro
aluno.
Tarefa extra
Caso sejam apresentadas muitas dificuldades na tarefa 22, ou ocorrer muitas
interferências do professor- pesquisador prejudicando o desenvolvimento da mesma
será proposta esta tarefa, a fim de que os alunos a desenvolva de forma mais
autônoma.
Para avaliar a qualidade de um produto, ele passa por quatro testes de resistência
em uma esteira mecânica sendo: o primeiro referente à embalagem, o segundo a
temperatura, o terceiro a umidade e o quarto a luminosidade. Em cada teste o
produto é avaliado e recebe uma nota que pode ser zero ou um, que significa
reprovado ou aprovado, respectivamente. Ao Final da esteira cada produto recebe
uma nota global que é resultante da soma das notas dos quatro testes, sendo que
ao receber a soma zero o produto é classificado como reprovado e é descartado,
nota um reprovado momentaneamente e deve passar pela esteira de testes
novamente, soma dois, produto é aprovado parcialmente e vendido como sendo de
segunda linha, soma três, o produto é aprovado e vendido como sendo de primeira
linha, soma quatro, produto especial e será vendido em uma linha especial.
Simule a classificação de 25 produtos desta linha de testes e faça um gráfico de
barras para representar o número de produtos (freqüência absoluta) em relação às
classificações atribuídas de acordo com a nota global.
5.2 ANÁLISE POSTERIOR
Neste capítulo, será apresentada a análise posterior das atividades de
familiarização aplicadas a sete alunos do terceiro ano de uma escola estadual do
estado de São Paulo. O objetivo desta atividade foi apresentar aos alunos o software
R, e algumas ferramentas necessárias tanto para o desenvolvimento de operações
básicas, construção de matrizes e gráficos de barras além do seu potencial para
desenvolver simulações. Essa etapa foi fundamental para o desenvolvimento do
experimento de ensino “passeios aleatórios da Carlinha”, uma vez que o nosso
66
estudo foi desenvolvido numa perspectiva construcionista, que deve, assim,
propiciar condições para que os alunos construam o seu conhecimento ao longo das
atividades. Esta construção deve ser visível por meio do ambiente informatizado,
justificando necessidade do conhecimento prévio do trabalho com o software e o
bom entendimento de suas ferramentas.
Breve descrição das duplas de trabalho
Inicialmente, o professor-pesquisador, acompanhado pelo professor de
matemática da turma, fez um convite de participação aberta para todos os alunos,
informando os dias e horários da realização da atividade. Após este convite, 10
alunos mostraram interesse em participar. No primeiro encontro, que ocorreu no dia
seguinte, contamos com a presença dos 10 alunos, que seriam distribuídos em 5
duplas e, para isto, seriam utilizados 5 computadores; porém, como a sala utilizada
para a realização da atividade dispunha de apenas 4 computadores, os mesmos
foram organizados da seguinte maneira: duas duplas e três trios que foram
denominados de grupos D1, D2, D3 e D4 respectivamente.
No primeiro encontro, o grupo D4 desistiu da participação, restando apenas
D1, D2, e D3. O grupo D1 permaneceu até o final sem sofrer nenhuma alteração e
um dos participantes do D3 em alguns encontros foi deslocado para o grupo D2, nos
dias que houve falta de um dos participantes do D2.
Uma possível explicação para a desistência do D4 pode ter advindo da
dificuldade encontrada pelos alunos para se adaptarem a uma situação em que o
laboratório de informática não estava sendo utilizada apenas para contexto de
pesquisa na internet, prática comum da maioria dos professores e dos próprios
alunos que o utilizam no contra turno para este tipo de pesquisa. Ainda existe muita
dificuldade por parte destes alunos em atribuir importância para o desenvolvimento
de conceitos matemáticos através de uma aula que faça uso do computador, a ideia
de aula ainda está fortemente ligada à lousa. Dessa forma, logo no primeiro contato,
o grupo D4 percebeu que não faríamos nenhuma atividade livre, nem pesquisas na
internet, sendo nítida a decepção dos mesmos com a forma que o computador seria
utilizado e o tipo de comprometimento que eles deveriam ter com a atividade.
No bloco de tarefas de 1 a 5, tínhamos como objetivo apresentar o software
R, bem como suas principais ferramentas para o desenvolvimento de operações
67
básicas e a criação de vetores. Para o seu desenvolvimento, não foram identificadas
dificuldades de manipulação por parte de nenhum grupo, uma vez que, neste caso,
o trabalho dos alunos foi apenas operacional.
Após a apresentação do software e de suas ferramentas básicas, foi proposto
este conjunto de tarefas (de 6 a 10) a fim de identificar se os alunos assimilariam os
conceitos apresentados pelo professor-pesquisador nas tarefas anteriores. A
hipótese inicial seria que as duplas não teriam muitas dificuldades no
desenvolvimento desse conjunto de tarefas, uma vez que eram apenas aplicações
das ferramentas apresentadas pelo professor-pesquisador como nas tarefas
anteriores.
Tarefa 6 - Operações I
Efetuar as seguintes operações:
6.1) (12+9)+15
6.2) 48 dividido por 6
6.3) 13 dividido por 4 (apresentar o resultado com duas casas decimais)
6.4) 6 vezes 8
6.5) 2 elevado a quarta potência
6.6) Raiz quadrada de 64
6.7) Raiz cúbica de 8.
Tarefa 7 - Operações II
Considerando a tarefa anterior, nomear cada uma das operações com as
respectivas letras a,b,c,d,e,f e posteriormente efetuar as seguintes operações:
7.1) a somado com b
7.2) c multiplicado por d e o resultado dividido por 2
7.3) f elevado a terceira potência e o resultado somado a e.
Tarefa 8- Operações III
Gerar os vetores que armazenem:
8.1) A sequência dos dez primeiros múltiplos de três
8.2) A sequência dos dez primeiros números naturais
8.3) A repetição doze vezes do número quatro
8.4) A repetição nove vezes da sequência numérica de 5 a 7.
8.5) O seu nome e de mais dois colegas
68
Tarefa 9- Operações IV
Considerando as sequências geradas na atividade anterior, nomear as duas
primeiras operações da Tarefa 8, respectivamente com as letras g e h, e, em
seguida, efetuar as operações:
9.1) Sequencia g + Sequencia h
9.2) Sequencia h multiplicada por 5.
Tarefa 10-Operações V
Gere a seguinte sequência utilizando as ferramentas do R:
10.1) 20, 16, 12, 8, 4, 0
Na tarefa 6 dos três grupos, somente D1 a desenvolveu sem apresentar
nenhuma dificuldade. No caso dos alunos do grupo D2, na realização da tarefa 6.3,
não lembraram inicialmente de usar a função “aprox”, sendo que os mesmos
relataram essa dificuldade no próprio script (Figura 17). Após escrever o relato, eles
solicitaram o auxílio do professor-pesquisador para a realização da tarefa, e, nesse
momento, o professor-pesquisador lembrou a dupla que uma tarefa semelhante foi
desenvolvida por ele e sugeriu que a dupla olhasse o script da aula anterior. Dessa
forma, o grupo retomou a tarefa e conseguiu executá-la.
Figura 17 – Resultados das operações básicas
69
A mesma orientação foi dada ao grupo D3 que apresentou a mesma
dificuldade e que, também após consultar o script da aula anterior, conseguiu
executar a tarefa.
Já neste primeiro bloco de tarefas, o professor-pesquisador observou a
dificuldade dos grupos, principalmente D2 e D3, em realizar um trabalho mais
independente do professor, sendo que, antes de iniciar as tarefas, o professor-
pesquisador já tinha orientado que os scripts utilizados nos encontros anteriores
deveriam ser salvos nas pastas dos respectivos grupos para poderem ser
consultados posteriormente. Esta dificuldade inicial em desenvolver um trabalho
mais independente já era prevista, uma vez que ainda não estavam habituados a
trabalhar com atividades que dependam de uma maior autonomia, porém é
esperado que, desde que o professor assumisse uma postura que propiciasse tal
forma de trabalho, esta poderia ser desenvolvida ao longo da execução das
atividades.
Na tarefa 7, os grupos D1 e D2 não apresentaram nenhuma dificuldade, já
os alunos do grupo D3 tiveram dificuldade em entender o enunciado da tarefa, para
eles não ficou claro que bastaria nomear as tarefas anteriores. Após interferência do
professor pesquisador que realizou uma leitura conjunta esclarecendo os objetivos
da tarefa a dupla conseguiu concluir a mesma.
No desenvolvimento da tarefa 8, os grupos D1 e D2 não apresentaram
dificuldades. D1 terminou a tarefa rapidamente; D2 conseguiu terminar a tarefa sem
a necessidade da interferência do professor-pesquisador, após cometer alguns erros
na tentativa de criar o vetor que armazenaria o nome do grupo, a partir das
observações dos próprios erros e no diálogo entre a dupla, como mostra o script da
Figura 18.
70
Figura 18 – vetores de D2
D3 desenvolveu esta tarefa também sem muitas dificuldades. Inicialmente,
foram observados alguns erros que logo foram corrigidos por meio da observação e
diálogo entre a dupla. Em uma análise posterior realizada pelo professor-
pesquisador, percebeu-se que a dupla não executou a tarefa corretamente como
demonstrado no script da Figura 19 Houve uma confusão, provavelmente
influenciada pela ordem como os dados apareciam no enunciado da tarefa, quando
solicitado que gerassem a sequência dos dez primeiros múltiplos de 10, a dupla
digitou sequência (1,10,3) demonstrando não ter entendido que deveria ter digitado
o primeiro e o décimo múltiplo de três e, por fim, a razão do intervalo. Quando
solicitado que fosse apresentada a repetição de 12 vezes o número quatro na tarefa
8.3, a dupla digitou rep (12,4), gerando a sequência de quatro vezes o número doze,
este erro persistiu em todas as outras sequências geradas pelo grupo. No entanto,
não foi percebido neste momento, desta forma a dupla considerou a tarefa como
realizada corretamente. Outra observação feita, neste grupo, está relacionada à
criação do vetor que deveria armazenar o nome da pessoa e de mais dois colegas.
A dupla, após algumas tentativas, chegou à conclusão que os nomes poderiam ser
armazenados após #, e ao apertar as teclas ctrl+r, esses nomes apareciam no
console, também consideraram a tarefa como executada e correta.
71
Figura 19 – vetores de D2
Na tarefa 9, não foram identificadas dificuldades de nenhuma dupla, exceto o
erro de D3 ainda da tarefa anterior, pois uma vez que as sequências foram geradas
erroneamente, obtiveram resultados diferentes do restante dos grupos, porém não
apresentaram dificuldades em atingir o objetivo específico desta tarefa que era de
nomear as anteriores e efetuar operações a partir destas nomeações. Neste
momento, o professor pesquisador deveria ter solicitado aos alunos que
comparassem os seus resultados com os outros grupos, isto faria com que os
alunos percebessem o seu erro.
Na tarefa 10, dos três grupos, somente D1 não apresentou dificuldade na
execução da atividade, identificando de imediato, após diálogo entre a dupla, que
deveriam utilizar a razão -4, uma vez que a sequência era decrescente. D2 e D3 não
conseguiram executar a tarefa de imediato, sendo necessária a interferência do
professor-pesquisador que questionou as duplas sobre o comportamento da
sequência e qual seria o significado da razão. Este questionamento foi suficiente,
para que as duas duplas sugerissem que a razão deveria ser -4, então foram
orientados a testar e, após a execução, observaram que a ideia estava correta,
finalizando assim a tarefa proposta.
72
Considerações deste bloco de tarefas
Observou-se que o desafio maior não estava relacionado à execução e
entendimento das tarefas em si, mas, como já relatado anteriormente, em propiciar
uma maior autonomia aos alunos na realização das tarefas. Pôde-se notar que este
grupo de alunos ainda estava muito habituado a um relacionamento de muita
dependência do professor, e, por meio dos questionamentos e posturas assumidos
no decorrer da realização das tarefas, foi possível notar que há uma relação do bom
professor como sendo aquele que mais os auxilia, entendendo este auxilio como
uma obrigação do professor de responder todas as suas perguntas, mesmo que as
respostas estejam nítidas na escrita de uma determinada tarefa. Esta suposição vem
do fato que a maioria das dúvidas levantadas pelos alunos foram sanadas com as
necessárias interferências do professor-pesquisador que estimulou os educandos a
refletir um pouco mais sobre tarefas anteriormente realizadas ou até mesmo a se
limitarem à leitura do enunciado da tarefa. Esta dificuldade constatada confirma o
que já tinha sido apresentado no estudo preliminar e que inclusive nos fez repensar
o nível de independência que desejávamos alcançar no decorrer do estudo.
Levando em consideração que algumas questões ficaram ainda confusas e
que, em alguns momentos, houve a necessidade de interferências do professor-
pesquisador, foi aplicado um novo conjunto de tarefas denominado de Tarefas
Extras, a fim de identificar se os alunos seriam capazes de desenvolvê-las agora de
uma maneira mais autônoma.
Tarefas extras.
E1) Efetuar as seguintes operações:
E.1.1) 12+13 E.1.2) 69 dividido por 4 (apresentar o resultado com duas casas decimais) E.1.3) 7 vezes 9 E.1.4) 3 elevado ao quadrado E.1.5) Raiz cúbica de 27
E2) Considerando a tarefa anterior, nomear cada uma das operações com as
respectivas letras j, k, l, m, n, e posteriormente efetuar as seguintes operações:
E2.1) j somado com k
E2.2) l multiplicado por m e o resultado dividido por 2
E2.3) n elevado a quarta potência .
73
E3) Gerar os seguintes vetores que armazenem:
E3.1) A sequência dos dez primeiros múltiplos de quatro
E3.2) A sequência dos vinte primeiros números naturais
E3.3) A repetição de dezessete vezes o número cinco
E3.4) A repetição de oito vezes a sequência numérica de 3 a 7.
E3.4) O nome dos seus dois(as) últimos professores(as) de matemática
As tarefas E1 e E2 foram realizadas por todos os grupos sem nenhuma
dificuldade.
A tarefa E3 foi realizada pelo grupo D1 sem nenhuma dificuldade. D2
apresentou uma pequena dificuldade na tarefa E.3.3, na qual deveria ser
apresentada a repetição de dezessete vezes o número cinco; inicialmente, a dupla
realizou o contrário: apresentou a repetição de cinco vezes o número dezessete.
Mas, logo em seguida, percebeu que não era isto que tinha sido solicitado e
rapidamente corrigiu o erro. D3 permaneceu com as mesmas dificuldades relatadas
anteriormente para gerar sequências, quando solicitado, por exemplo, que
repetissem dezessete vezes o número cinco, a dupla apresentou a repetição de
cinco vezes o número dezessete e, sem perceber que a tarefa estava errada, deu a
mesma por realizada como mostra o script da Figura 20.
Tendo em vista que esta dúvida permanecia apenas para D3, ao final desta
tarefa, o professor-pesquisador orientou a dupla a ler novamente o que estava
sendo pedido na tarefa e se concordavam com a resposta apresentada, fazendo
assim com que a dupla percebesse o erro cometido. Por uma questão de
cronograma e a indisponibilidade da dupla em vir a um encontro extra, não foi
solicitado que a dupla fizesse novamente esta tarefa.
74
Figura 20 – Resultados das operações com vetores de D3
As tarefas 11 e 12 tinham como objetivo a apresentação das ferramentas
para a construção de matrizes e gráficos de barras, por parte do professor-
pesquisador, e não foram identificadas dificuldades na realização da mesma.
Na tarefa 13, tínhamos como objetivo fazer com que os alunos observassem
e compreendessem o funcionamento e a utilidade das ferramentas de formatação de
legenda disponibilizadas pelo software.
Tarefa 13- Função legenda
Na última função:
legenda(7,25,agências,cor)
13.1) Troque o número 7 pelo número 10, aperte Ctrl R e verifique o que acontece
na legenda do seu gráfico.
13.2) Agora substitua o número 7 pelo número -1, aperte Ctrl R e verifique o que
acontece com a legenda do seu gráfico. Acrescente um comentário no seu script
relatando as conclusões que você chegou.
13.3) Faça o mesmo com o número 25, primeiramente o substitua pelo número 20 e
veja o que acontece e posteriormente o substitua pelo número -2. Acrescente um
comentário no seu script relatando as suas conclusões.
75
13.4) Por fim, troque as cores armazenadas no vetor col= c("blue","red",“green”),
tanto na função legenda, como na função gbarra, por outras cores (em inglês) de
sua preferência e observe o que acontece na legenda de seu gráfico. Acrescente
um comentário no seu script relatando a que conclusões você chegou.
Os grupos D1e D3 realizaram a tarefa sem apresentar nenhuma dificuldade,
D2, apesar de ter um pouco de dificuldade para interpretar a atribuição de valores a
x e y quando esses eram negativos, conseguiu identificar o que acontece com a
legenda quando alterado os valores de x e y, como mostra os comentários do script
(Figura 21).
Figura 21 – Formatação de legenda de D2
Na tarefa 14, era esperado que os alunos observassem a função do comando
vertical. Todos os grupos executaram a tarefa sem apresentar problemas.
.
Tarefa 14- Função vertical
Tente descobrir quais são as características da função vertical(0). 14.1) Inicialmente, tente construir o gráfico no software R, sem utilizar esse
comando.
14.2) Agora tente construir o gráfico colocando outros valores para vertical(0).
14.3) Acrescente um comentário no seu script, relatando a que conclusões você
chegou com relação as características da função vertical.
76
O objetivo da tarefa 15 era observar se os alunos seriam capazes de aplicar
as ideias desenvolvidas nas tarefas 11 e 12.
Tarefa 15 – Construção do Gráfico de Barras
Nas lojas A, B, C e D de uma rede de livrarias, o estoque de seus livros didáticos de
matemática M1, M2 e M3 é o seguinte:
Livraria M1 M2 M3
A 10 120 80 B 20 15 48 C 5 40 30 D 15 10 54
Com base nesses dados, construa um gráfico de barras utilizando as ferramentas do
R comparando a quantidade dos três tipos de livros nas livrarias A, B, C e D.
Nesta tarefa, o único grupo que apresentou dificuldades foi D3. A dupla
inicialmente digitou o comando “agenciacombinado4,3”, esquecendo de acrescentar
uma vírgula entre o comando e o número 4. A dupla fez várias tentativas de
alteração e não conseguiu identificar este erro. Após algumas tentativas, a dupla
optou por começar a tarefa novamente, neste momento, o professor-pesquisador
interferiu para orientar a dupla a consultar o script da aula anterior, procedimento
que já tinha sido dado em outros momentos da aplicação. Assim, a dupla seguiu as
orientações e conseguiu executar a tarefa.
Tendo em vista que foram identificadas algumas dificuldades na execução
desta tarefa, com a necessidade da interferência do professor-pesquisador em
alguns momentos, foi aplicada posteriormente uma tarefa semelhante denominada
tarefa extra.
Neste bloco de tarefas extras, tínhamos como objetivo proporcionar aos
alunos condições de realizar uma tarefa semelhante à anterior com uma maior
independência e com menos dificuldades. O seu objetivo geral é o mesmo proposto
na tarefa 15, ou seja, a construção de um gráfico de barras a partir dos dados
dispostos em uma tabela; porém, nesta tarefa, a sequência de perguntas foi prevista
de forma mais detalhada, levando-se em conta as dificuldades apresentadas no
desenvolvimento da tarefa 15.
77
Tarefa extra
E4) O proprietário de três cantinas escolares registrou a venda dos três tipos de
salgados oferecidos pelas cantinas no período de uma semana, os dados estão
representados na tabela a seguir:
Salgados Cantina 1 Cantina 2 Cantina 3
Coxinha 35 29 17 Quibe 27 32 37 Enroladinho 41 18 28
Com base nesses dados, construa:
E4.1) Um vetor que armazene o número de coxinhas vendidas nas três cantinas
E4.2) Um vetor que armazene o número de quibes vendidos nas três cantinas
E4.3) Um vetor que armazene o número de enroladinhos vendidos nas três cantinas
E4.4) Um vetor que armazene o nome das três cantinas
E4.5) Uma tabela que represente a venda dos três tipos de salgados vendidos
E4.6) Uma matriz que represente a venda dos três tipos de salgados vendidos
E4.7) A matriz transposta da matriz construída anteriormente
E4.8) Um vetor que armazene três cores de sua preferência(em inglês) para a
construção do gráfico de barras.
E4.9) Um gráfico de barras, comparando a quantidade de salgados vendidos nas
três cantinas.
Surpreendentemente para a execução da tarefa extra, as duplas
apresentaram mais dificuldades do que na tarefa 15, talvez este resultado esteja
atrelado ao fato de que nesta , foi solicitado apenas para que o grupo construísse o
gráfico e, na outra tarefa, pedimos que os passos para a construção do gráfico
como, por exemplo, a construção dos vetores da matriz da tabela, fosse
apresentada separadamente. Isto foi pensado com o intuito de facilitar a construção
final do gráfico, porém como para esta construção os alunos se basearam nos
scripts das tarefas anteriores, acabaram tendo mais dificuldade em realizar a tarefa.
Nota-se, no script apresentado na Figura 22, que o grupo D1 ainda executou a tarefa
mantendo nomes de tarefas anteriores, como foi o caso do vetor que denominam de
agenciacombinado, nomeação dada para a realização da tarefa 11. D1 terminou a
tarefa rapidamente, porém comparou as 3 cantinas para cada tipo de salgado e não
como o proposto que era comparar a venda dos salgados em cada cantina como
mostra o script da Figura a seguir .
78
Figura 22 – Gráfico 1 de D1
D2 conseguiu executar a tarefa, porém também com muita dificuldade na
composição dos vetores e da matriz, mas, apesar das dificuldades, concluiu a tarefa
de forma satisfatória, não trazendo conseqüências para o desenvolvimento do
experimento.
Os alunos de D3, após algumas tentativas frustradas, se mostram
desanimados para a realização da tarefa e recorrem à ajuda de um aluno de D1 que
interferiu dando algumas orientações, mas sem disponibilizar a solução. Foi
necessária também a interferência do professor-pesquisador para que a tarefa fosse
concluída.
As tarefas de 16 a 20 foram realizadas por todas as duplas sem nenhuma
dificuldade, uma vez que o professor pesquisador apresentou as ferramentas do R
para a realização de uma simulação neste bloco de tarefas, os alunos apenas as
reproduziram em suas máquinas.
O objetivo deste bloco das tarefas 21 a 23 foi verificar se os alunos eram
capazes de aplicar os conceitos desenvolvidos no bloco de tarefas anterior.
79
Tarefa 21-Repita pelo menos 2 vezes a tarefa 19 e observe os resultados da tabela
das frequências absolutas (tabg). A que conclusões você pode chegar?
Tarefa 22 – Gratificação Anual – Parte I
Considere a seguinte situação:
Para fazer a avaliação anual de desempenho dos funcionários de uma empresa,
será utilizado o seguinte critério: cada funcionário será avaliado em quatro itens,
sendo, assiduidade, produção, participação em reuniões e trabalho em equipe. Para
cada item, o funcionário receberá a nota zero ou um. Ao final da avaliação, cada
funcionário terá como resultado a nota resultante das notas dos quatro itens, ou
seja, uma nota que poderá variar de 0 a 4, sendo que serão convertidas nos
seguintes pareceres: insatisfatório, regular, satisfatório, bom e ótimo,
respectivamente.
Simule as notas de um grupo com 30 funcionários e faça um gráfico de barras para
representar o número de funcionários (freqüência absoluta) em relação aos
pareceres atribuídos na avaliação de acordo com a nota global.
Tarefa 23 – Gratificação Anual – Parte II- Compare seus resultados da tarefa 22
com de outro aluno, graficamente e por escrito.
Na tarefa 21, nenhum grupo apresentou dificuldades em relação às
observações feitas como mostra os registros expostos na figura 23. Notamos que os
três grupos conseguiram identificar a especificidade da tarefa que era perceber a
possibilidade de resultados diferentes (Figura 23) a cada nova execução porque se
tratava de uma simulação.
80
Resultados de D1
Resultados de D2
81
Resultados de D3
Figura 23 – Resultados da tarefa 21
82
A tarefa 22 foi desenvolvida por todos os grupos sem nenhuma dificuldade.
Na tarefa 23, nenhuma dupla atingiu o objetivo inicialmente pensado, que era
notar que, apesar das diferenças entre os gráficos, a ordem do número de visitas
não era alterada, ou seja, o amigo mais visitado ou o menos visitado, por exemplo,
se confirmava em todos os gráficos. Percebeu-se que a análise ficou muito restrita
aos dados específicos, não sendo observado pelas duplas o comportamento do
gráfico de um modo geral, sendo possível notar que para além do comportamento
das frequências específicas da tarefa, as duplas apresentam ainda uma grande
defasagem na leitura e interpretação de dados expressos graficamente. Desta forma
ao final da tarefa, foi necessária a interferência do professor-pesquisador que
questionou os grupos se, olhando os gráficos de forma global, enxergavam alguma
semelhança, e, após este questionamento, relataram que as barras tinham alturas
semelhantes (Figura 24).
Resultados de D1
Resultados de D2
83
Resultados de D3
Figura 24 – Resultados da tarefa 22
Com esta tarefa, finalizamos as atividades de familiarização como software R,
tendo assim as ferramentas necessárias para o desenvolvimento do experimento de
ensino “Passeios aleatórios da Carlinha” que será apresentado no próximo capítulo.
84
Etapa Tarefa Realizado por
Objetivos específicos do estudo
Resultados observados
1 1 a 3 Professor- pesquisador
Apresentar as telas iniciais do R, e a visualização do console e do script
Objetivos alcançados sem nenhuma dificuldade
2 4 Professor- pesquisador
Desenvolver algumas operações básicas
Objetivos alcançados sem nenhuma dificuldade
3 5 Professor- pesquisador
Apresentar as funções para a criação de vetores
Objetivos alcançados sem nenhuma dificuldade
4 6 a 10 Alunos Observar se os alunos conseguem realizar as operações básicas, bem como criar vetores
Não foram identificadas dificuldades no uso das ferramentas do R, porém os alunos apresentam dificuldades para desenvolver as tarefas de forma mais autônoma.
5 11 e 12 Professor- pesquisador
Apresentar as funções para construir uma matriz e a sua transposta, bem como gráficos de barras
Objetivos alcançados sem nenhuma dificuldade
6 13 e 14 Alunos Fazer com que os alunos identifiquem as funções responsáveis pela formatação de um gráfico de barras
D1 e D3 executaram a tarefa sem dificuldades, D2 apresentou dificuldade na atribuição de valores negativos para x e y
6 15 Alunos Verificar se os alunos conseguem construir uma matriz, a sua transposta e um gráfico de barras a partir do trabalho desenvolvido na seção 5
O grupo D3, em função de ter se esquecido de colocar uma vírgula na composição do comando agenciacombinado, foi o único grupo que apresentou um pouco de dificuldade na execução da tarefa
7 16 a 20 Professor- pesquisador
Apresentar as ferramentas no R para a realização de uma simulação bem como a organização e nomeação das sequências obtidas.
Os objetivos foram alcançados de forma satisfatória
8 21 Alunos Perceber que, por se tratar de uma simulação, a cada nova execução, era possível obter resultados diferentes
Os três grupos conseguiram sem dificuldades perceber a especificidade da tarefa
8 22 Alunos Verificar se os alunos conseguem aplicar as funções utilizadas nas tarefas anteriores
Objetivos alcançados sem dificuldades
8 23 Alunos Perceber que, apesar das diferenças entre os gráficos, a ordem do número de visitas não era alterada
A análise concentrou-se nos dados específicos, não sendo observado, pelos alunos, o comportamento geral do gráfico.
Quadro 2- Descrição dos resultados alcançados com as atividades de familiarização ao R.
85
6 EXPERIMENTO DE ENSINO: PASSEIOS ALEATÓRIOS DA CARLINHA – PAC
Para o desenvolvimento do experimento de ensino proposto nesta pesquisa,
será utilizada a atividade didática “Passeios aleatórios da Carlinha”, proposta por
Cazorla, Kataoka & Nagamine (2010), que é uma versão adaptada da atividade
“Passeios Aleatórios da Mônica” (CAZORLA E SANTANA, 2006), por utilizar os
personagens da turma da Carlinha3 ao invés da Turma da Mônica, do Maurício de
Souza, além de algumas atividades que foram incorporadas.
De fato, a atividade “Passeios Aleatórios da Mônica” foi adaptada por Cazorla
e Santana (ibid) para o seu ensino na escola básica, a partir do trabalho de
Fernandez & Fernandez (1999), que o propuseram para ensinar a distribuição
Binomial para alunos do Ensino Superior, e que foi aplicado, no ambiente papel &
lápis, a um grupo de 150 professores, tanto do ensino infantil, como para as
primeiras séries do ensino fundamental que cursavam o 4º ano de licenciatura em
pedagogia.
Vale destacar que na versão apresentada por Cazorla, Kataoka & Nagamine
(2010), a forma de aplicação dessa atividade com os alunos se ajusta às
características das situações adidáticas e didáticas da Teoria das Situações
Didáticas de Brousseau (1996), uma vez que, inicialmente os alunos respondem
toda a atividade sem interferência do professor de forma autônoma, permitindo que
os mesmos adquiram novos conhecimentos a partir da própria lógica interna da
atividade (situações adidáticas), e só no final são feitas discussões entre os alunos e
o professor dos resultados obtidos, bem com a institucionalização dos conceitos
(situações didáticas).
De acordo com Maia (2007), as situações adidáticas permitem aos alunos
construir conhecimentos sem ter como recursos razões didáticas. Ainda segundo
essa mesma autora, “a situação didática se caracteriza como um jogo de interações
entre o professor e o problema proposto, cujo objetivo é aprender, pois o professor
faz a devolução ao aluno de uma situação adidática”.
3 Para respeitar os direitos autorais da Mauricio de Souza Produções, foi feita uma analogia da turma da Mônica para a turma da Carlinha em que: Mônica é a Carlinha; Horácio - Luiz; Cebolinha – Felipe; Magali – Fernanda; Cascão – Alex e Bidu – Paula.
86
Alguns pesquisadores já analisaram esta atividade, ainda como “Passeios
aleatórios da Mônica”, sob várias óticas e somente no ambiente papel & lápis. Por
exemplo, Gusmão & Cazorla (2009) aplicaram a atividade com 29 professores de
Matemática com a utilização da teoria Ontossemiotica (GODINO, 2002). Concluíram
que a sequência era viável para ensinar conceitos básicos de probabilidade, mas
apontaram a presença de diversos conflitos semióticos devido, principalmente, ao
precário conhecimento prévio dos professores que vivenciavam pela primeira vez
alguns desses conceitos. Já Nagamine; Henriques & Cazorla (2010) avaliaram a
atividade utilizando a teoria da Antropológica Didática (CHEVALLARD, 1992), mas
especificamente a vertente praxeológica e concluíram que explicitando a técnica e a
tecnologia, foi possível identificar conflitos na solicitação de algumas tarefas,
permitindo um aperfeiçoamento da atividade.
Hernandez, Kataoka & Oliveira (2010) aplicaram a atividade a um grupo de 91
alunos do terceiro ano do ensino médio do Colégio de Ciências e Humanidades
(CCH), México, que ainda não tinham vivenciado o tópico de Probabilidade nesse
ano escolar. Numa análise qualitativa das respostas, esses autores concluíram que,
no geral, os alunos compreenderam as diferenças entre experimento determinístico
e aleatório, bem como a probabilidade teórica e frequentista, e que a atividade era
viável para abordar tópicos de Probabilidade a alunos desse ano escolar.
O objetivo geral desta atividade é apresentar noções elementares da teoria de
Probabilidade: espaço amostral4, eventos5, probabilidade de eventos simples;
construir tabelas simples e gráficos de barras; discutir as diferenças entre um
experimento determinístico6 e um aleatório7; estimar probabilidades por meio da
4 Espaço amostral associado a um experimento aleatório e o conjunto de todos os seus possíveis
resultados.O espaço amostral do experimento aleatório “jogar uma moeda” é formado pelos eventos Cara (C) e Coroa (X), e sua notação matemática é:Ω=C,X 5 Evento é definido como todo resultado ou subconjunto do espaço amostral (Ω).
6 Experimentos determinísticos são aqueles que, ao serem repetidos nas mesmas condições,
conduzem ao mesmo resultado. De fato nesse estudo estamos usando o termo experimento determinnístico como sinônimo de situação determinística, uma vez que no contexto da estória dos Passeios Aleatórios da Carlinha, a forma de visita aos amigos estabelecida pela Carlinha não se constituiu um experimento. 7 De acordo com Cazorla e Oliveira (2010), fenômeno “é a definição de qualquer evento observável’;
já um experimento ”é um ensaio centífico destinado à verificação de um fenônomeno, realizado sob condições controladas, frequentemente fundamentado em hipóteses” (p. 118). Segundo esses mesmos autores, um fenômeno aleatório “é aquele que não sabemos, com certeza, a priori qual resultado ou observação vai ocorrer, por exemplo, a queda de uma avião” (p. 118); e experimentos aleatórios são aqueles realizados para verificar um fenômeno aleatório, e que, repetidos nas mesmas condições, não produzem os mesmos resultados.
87
frequência relativa; calcular a probabilidade teórica8 a partir da árvore de
possibilidades9 e analisar padrões observados e esperados.
Neste experimento de ensino, pretende-se que os objetivos da atividade
sejam alcançados a partir de um olhar construcionista, que ao ser desenvolvido no
ambiente computacional, software R, proporcionará o confronto entre a
probabilidade clássica e a frequentista10, por meio de formas diferenciadas de
compreensão do objeto matemático “probabilidade”.
Para que o experimento seja desenvolvido, os participantes precisam das
ferramentas básicas para interagir com o software R, pois, na perspectiva
construcionista, de acordo com Papert (1980), deve-se buscar a liberdade de
iniciativa, bem como o seu controle do ambiente computacional. E para que isto seja
possível, o conhecimento das ferramentas básicas do software se faz necessário,
justificando-se assim a aplicação da atividade preliminar de familiarização ao
software R.
Durante o desenvolvimento do experimento de ensino, a princípio, não haverá
interferência do professor-pesquisador no momento de aplicação, uma vez que
temos por hipótese que, neste momento, os alunos já terão todas as ferramentas
necessárias para a sua realização, além deste fato, as tarefas estão organizadas de
modo a oferecer aos alunos condições de construir o seu conhecimento a partir de
sua interação com o próprio experimento de ensino.
8 Nesse estudo estamos usando o termo probabilidade teórica para representar a probabilidade
clássica. A probabilidade clássica é aquela obtida através do quociente entre o número de casos favoravéis e o número de caso possíveis. Ressalta-se que, todos os eventos devem ser equiprováveis (ter a mesma probabilidade de ocorrência) e o espaço amostral deve ser finito. 9 A árvore de possiblidades é um tipo de representação gráfica que mostra todos os eventos
possíveis de um fenômeno aleatório. No caso do nosso experimento, lançamento de uma moeda 4 vezes, o primeiro ramo representa o primeiro lançamento, com os dois possíveis eventos cara (C) ou coroa (X), o segundo ramo a união dos eventos do primeiro com os do segundo lançamento, é assim sucessivamente. No final teremos representado os 16 eventos possíveis. 10
Probabilidade frequentista é aquela em que o valor é obtido pelo número de ocorrências de um evento, observadas nas diversas repetições de um experimento aleatório, sendo que a frequência relativa é considerada uma estimativa da probabilidade.
88
6.1 DESCRIÇÃO GERAL DA ATIVIDADE
A atividade está dividida em quatro seções com 23 questões. Em cada seção,
as questões devem ser respondidas baseadas numa ação solicitada. Na primeira, os
alunos devem ler a seguinte estória:
A Carlinha costumava visitar seus amigos durante os dias da semana em uma
ordem pré-estabelecida: segunda-feira, Luiz; terça-feira, Felipe; quarta-feira,
Fernanda; quinta-feira, Alex; e sexta-feira, Paula. Para tornar mais emocionantes os
encontros, a turma combinou que o acaso escolhesse o amigo a ser visitado pela
Carlinha. Para isso, na saída de sua casa e a cada cruzamento, Carlinha deve jogar
uma moeda; se sair cara (C), andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (X),
um quarteirão para o Leste. Cada jogada representa um quarteirão de percurso.
Carlinha deve jogar a moeda quatro vezes para poder chegar à casa dos amigos
(Figura 25).
Figura 25 - Il ustração dos caminhos
Após ler a estória, ainda sem realizar qualquer simulação, os alunos devem
responder às perguntas solicitadas nessa seção. Na segunda seção, os alunos farão
PAULA
ALEX
FERNANDA
FELIPE
CARLINHA LUIZ
89
uma simulação11 de 30 lançamentos no ambiente computacional, software R, que
estimarão probabilidades, utilizando a frequência relativa, e também construirão um
gráfico de barras e deverão comparar os seus resultados com os resultados de outra
dupla. Na terceira seção, eles construirão a árvore de possibilidades e calcularão as
probabilidades teóricas. Na quarta seção, compararão as estimativas com as
probabilidades teóricas, e entre os experimentos aleatórios e determinísticos, nesta
seção, farão também a representação gráfica e deverão comparar os resultados de
cada dupla com a probabilidade teórica.
Posteriormente, espera-se que os alunos simulem um experimento aleatório,
replicando-o 12.000 vezes para a observação do fenômeno de convergência.
Vale ressaltar que, nessa atividade, existe uma pergunta chave: “Todos os
amigos têm a mesma chance de serem visitados?”. Ela é repetida em quatro
momentos, antes da experimentação aleatória e da sistematização dos resultados
do experimento na Tabela de Distribuição de Frequência12 (TDF), depois da TDF ,
depois da árvore de possibilidades. O objetivo dessa pergunta aparecer em
diferentes momentos da aplicação é verificar se o aluno precisa da experimentação
ou da árvore para perceber que as probabilidades de visita dos amigos não são as
mesmas.
Uma breve descrição de cada seção e o ambiente em que será desenvolvida
podem ser observados na Figura 26.
11
A simulação é a realização de um fenômeno aleatório baseado em um modelo matemático pré estabelecido no ambiente computacional. 12
De acordo com Cazorla e Oliveira (2010), tabelas de distribuição de freqüências é uma “tabela que
sistematiza a ocorrência de uma variável, seja segundo suas categorias (qualitativa nominal e ordinal), valores (quantitativa discreta) ou faixas (quantitativa contínua).” (p. 127). O número de casos que ocorre pode ser expresso em termos absolutos, relativos e em porcentagem.
90
Organização da atividade “Os passeios aleatórios da Carlinha”
Sessão I:
A estória (Contexto)
Sessão II:
A simulação
Sessão III:
A árvore de possibilidades
Sessão IV:
A decisão
História e concepções prévias de probabilidade
Papel & Lápis
II.1 Simulação
Computacional
II.2 Organização dos resultados e a probabilidade frequentista
Papel & Lápis e Computacional
III.Construção da árvore de possibilidades
Papel & Lápis
III.2 Organização dos resultados e a probabilidade teórica ou lapaciana
Papel & Lápis e Computacional
IV.1 Comparação entre as diversas formas de atribuir probabilidade. Reflexões
Papel & Lápis
IV.2 Simulação
Computacional
Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?
Figura 26 - Esquema da atividade “Os passeios aleatórios da Carlinha”.
Fonte: Adaptada de Cazorla, Gusmão, Kataoka (2011).
6.2 ANÁLISE PRELIMINAR
6.2.1 Seção I. A estória (o contexto)
Nesta seção, todas as cinco tarefas serão realizadas no ambiente papel &
lápis.
Lendo apenas a estória, sem fazer a simulação, responda:
1)Qual é a diferença entre a forma antiga da Carlinha visitar seus amigos e a nova
forma?______________________________________________________________
2)Quais são os possíveis resultados ao lançar uma moeda:
___________________________________________________________________
3)Qual é a chance de sair cara? __________ E de sair coroa? _________________
Por que vocês acham isso? _____________________________________________
91
4) Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?
( ) Não. Quais são as chances? _________________________________________
( ) Sim. Qual é a chance? ______________________________________________
Por que vocês acham isso? _____________________________________________
5)Imagine que vocês jogaram 4 vezes a moeda, como vocês anotariam esse
resultado imaginário?__________________________________________________
Esta seção terá como objetivo investigar as concepções intuitivas de
probabilidade dos alunos, bem como as diferenças entre um experimento
determinístico e um aleatório.
Espera-se que os conceitos probabilísticos não sejam desconhecidos dos
alunos, uma vez que o trabalho será realizado com estudantes do terceiro ano do
ensino médio de uma escola da rede estadual de São Paulo, e, de acordo com o
Currículo Oficial do Estado de São Paulo (São Paulo, 2009), este conteúdo está
previsto para ser abordado no segundo bimestre do segundo ano; logo, temos por
hipótese que estes alunos já tenham tal conhecimento adquirido. Além deste fato,
devemos levar em consideração que, independentemente do ambiente escolar, o
termo chance é muito utilizado no cotidiano das pessoas.
Na tarefa 1, é esperado que haja discussão entre a dupla a fim de identificar
as diferenças entre um experimento determinístico e aleatório. Nas respostas, é
provável que as duplas utilizem termos como na primeira forma, as visitas eram pré-
determinadas, pré-estabelecidas, tinha uma ordem; e na segunda forma, que o
aleatório, a sorte13 é que vai estabelecer o amigo a ser visitado.
A tarefa 2 tem como objetivo verificar que, no caso do lançamento de uma
moeda, só há dois resultados prováveis: Cara (0) ou Coroa (1). Mesmo que não seja
formalizado o conceito de espaço amostral, espera-se que as duplas percebam que
este é o conjunto formado por todos os resultados possíveis.
Na tarefa 3, espera-se que os alunos demonstrem qual é a sua concepção
sobre o conceito de probabilidade e que discutam que a probabilidade de sair cara
13
Sorte é um termo que deve ser discutido pelo professor com os alunos para esclarecer que a sorte não faz parte do conceito de alta probabilidade, bem como o termo azar não faz parte do conceito de baixa probabilidade, é necessário desmistificar essa crença no contexto da probabilidade.
92
ou coroa ao lançamento de uma moeda honesta é a mesma, porque os eventos são
equiprováveis. É provável que, na justificativa, eles utilizem expressões como
“porque tem 1 resultado em 2”, “1 chance em 2”, dentre outras.
Na tarefa 4, os estudos de Gusmão e Cazorla (2009), Hernandez, Kataoka e
Oliveira (2010) apontam que podem aparecer respostas muito variadas. Quando os
alunos dizem que os amigos não têm a mesma chance, as respostas estão
baseadas no conceito formal de probabilidade ou não, como, por exemplo, acreditar
em uma sorte divina, o amigo a ser visitado é aquele com mais afinidade a Carlinha
ou são os amigos Paula e Luiz por estarem numa linha reta. Em relação à resposta
de quais são as chances, se forem baseadas no conceito formal, espera-se que
respondam 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16; caso contrário, não é possível saber
antecipadamente.
Quando respondem que tem a mesma chance, as respostas podem ser: cada
amigo está distante quatro quarteirões (chance igual a 1/5), porque sair Cara ou
Coroa é a mesma chance (chance igual a 1/16 = ½.½.½..½.), ou porque os
lançamentos da moeda são aleatórios e independentes.
Como esta tarefa será repetida em outros três momentos durante a realização
da atividade, a dupla terá oportunidade de rever as suas respostas iniciais.
Na tarefa 5, são esperadas respostas do tipo XXCC, (X, X, C, C), esses
registros demonstram uma compreensão do enunciado por parte dos alunos,
segundo Nagamine, Henriques & Carzola (2010).
De acordo com Hernandez, Kataoka & Oliveira (2010), as respostas
apresentadas nesta tarefa podem influenciar as respostas das tarefas 2 e 3, uma
vez que solicitam que eles imaginem o resultado do lançamento de uma moeda 4
vezes. Quando da aplicação do experimento por estes autores, os mesmos puderam
constatar respostas do tipo quatro ao quadrado na tarefa 2 e 2/4 na tarefa 3, que,
apesar de determinar probabilidade ½, demonstra que o resultado sofreu
interferências da tarefa 5. Essas estratégias também são esperadas em nosso
experimento.
93
6.2.2 Seção II. A simulação
Nesta seção, três tarefas (1, 5 e 7) serão realizadas diretamente no software,
e outras quatro (2, 3, 4 e 6), no papel & lápis, mas, com o apoio dos resultados
obtidos no R. Ressaltando que o aluno não lançará a moeda, e sim irá simular.
1) Para Carlinha visitar um amigo, vocês (cada dupla de participantes) terão que
simular o lançamento da moeda quatro vezes, que denominamos de experimento.
Se sair cara (0), Carlinha andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (1), um
quarteirão para o Leste, para a realização desta simulação no software R
utilizáramos a seguinte linguagem: para representar a face cara utilizaremos o
algarismo 0 e para representar a face coroa o algarismo 1 . Vocês devem simular
esse experimento 30 vezes. Por exemplo, se sair a sequência: cara, cara, coroa,
cara, ou seja (0,0,1,0); deve-se atribuir Alex para o amigo visitado. Preenchendo a
tabela 1.
Tabela 1. Resultados da simulação.
Experimento Seqüência Amigo visitado
Experimento Seqüência Amigo visitado 1. 16.
2. 17. 3. 18. 4. 19. 5. 20. 6. 21. 7. 22. 8. 23. 9. 24. 10. 25. 11. 26. 12. 27. 13. 28. 14. 29. 15. 30.
Fonte: Acervo Pessoal
Após a simulação e os resultados obtidos no R, será solicitado aos alunos
que respondam as seguintes perguntas:
94
2) Quem tem mais chance de ser visitado (a) Paula ou Fernanda?_______________
Por quê?____________________________________________________________
3) Existe a chance da Carlinha não visitar algum amigo? ( ) Não ( ) Sim
Por quê?____________________________________________________________
4) Depois de ter realizado a simulação, vocês mudariam de opinião na seguinte
questão: “Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?” Pense na
sua resposta considerando a questão 4 da seção I.
( ) Não ( ) Sim.
Por quê?____________________________________________________________
5) Sistematizem os resultados obtidos no R na seção II em uma tabela que
represente os dados descritos abaixo, esta tabela é chamada de Tabela de
Distribuição de Freqüência – TDF (Tabela 2).
6) Depois que vocês organizaram os resultados na TDF, vocês mudariam de opinião
na seguinte questão: “Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?”
Pense na sua resposta considerando a questão 3 dessa seção II.
( ) Não ( ) Sim. Por quê? _____________________________________________
7) Escolham uma dupla qualquer e construam um gráfico, que compare os seus
resultados . Eles são iguais? ( ) Sim ( ) Não.
O que vocês acham disso?______________________________________________
Nesta seção, é esperado que os alunos utilizem as funções de simulação
apresentadas na atividade preliminar nas etapas 7 e 8, permitindo à dupla a sua
autonomia e controle do ambiente computacional como previsto por Papert (1980)
em sua visão construcionista. Pretende-se ainda, que os alunos reflitam as
respostas apresentadas na seção I em consonância com os resultados obtidos na
95
experimentação, uma vez que, por meio da interação dos alunos com o experimento
de ensino, é esperado que, a cada tarefa, os alunos possam construir o seu
conhecimento sobre probabilidade e que esse avanço possa ser observado nos
resultados obtidos no decorrer do desenvolvimento do experimento de ensino.
Assim, nas reflexões propostas nesta seção, o objetivo será que os próprios alunos
analisem se realmente os conceitos de probabilidade que tinham ao iniciar o
experimento, se confirmam ou não após a simulação, principalmente no que se
refere à pergunta chave: “Todos os amigos têm a mesma chance de serem
visitados?”.
Na tarefa 2, espera-se que os alunos observem que Fernanda será mais
visitada do que Paula, inclusive esta última amiga poderá nem ser visitada. Tanto
nessa tarefa, como na tarefa 3, o aluno tenderá a formar uma opinião baseada nos
resultados da simulação, como encontrados na pesquisa de Hernandez, Kataoka &
Oliveira (2010), em que, na tarefa 3, 45,2% dos grupos de alunos tiveram respostas
baseadas nos resultados da experimentação aleatória. Na tarefa 4, o aluno poderá
comparar as concepções de probabilidade apresentadas na tarefa 4 da seção I, com
a formada após a simulação. Na tarefa 5, é esperado que os alunos utilizem as
funções do R para operações básicas apresentadas na atividade preliminar na etapa
2, para calcular e apresentar a porcentagem de visita de cada amigo. Espera-se
que, com os dados organizados na TDF, os alunos tenham uma melhor visualização
dos resultados em relação ao todo (percepção de padrões), podendo assim, refletir
melhor para responder a tarefa 6, que retoma o questionamento, se todos os amigos
têm a mesma chance de serem visitados, colocado nas tarefas 4 das seções I e II.
Na tarefa 7, espera-se que os alunos utilizem as funções para construção de
gráficos e matrizes, apresentadas na atividade preliminar nas etapas 5 e 6, e que
observem, que os resultados são diferentes na comparação entre os gráficos das
duplas. Mas, espera-se que os alunos observem também os padrões subjacentes
aos gráficos, isto é, que, mesmo com resultados de simulação diferentes, os três
amigos do meio (Alex, Fernanda e Felipe) serão mais visitados que os amigos das
extremidades (Luiz e Paula).
96
6.2.3 Seção III. A árvore de possibilidades
Nesta seção, a tarefa 5 poderá ser feita no software, e as outras quatro, no
ambiente papel & lápis.
1)Completem a árvore de possibilidades, indicando a sequência sorteada, o número de
caras e o amigo visitado (Quadro 1). Observe que cada ramo se desdobra em dois novos
ramos (um para cara e outro para coroa) a cada sorteio:
Ponto de
partida
Primeiro
sorteio
Segundo
sorteio
Terceiro
sorteio
Quarto
sorteio
Seqüência
sorteada
Nº de
caras
Amigo
visitado
C CCCC 4 Paula
C X
C
X
C
X
Carlinha
C
X
X
1) Quantos caminhos existem ao todo? ________________________________________
2)E agora, quantos caminhos existem ao todo?____________________________________
3)Descubram, se existe, uma relação comum a todos os caminhos que levam a cada um dos amigos: a. Paula__________________________________________________________________ b. Alex___________________________________________________________________ c. Fernanda ______________________________________________________________ d. Felipe_________________________________________________________________ e. Luiz___________________________________________________________________
4) Depois que vocês analisaram quantos caminhos levam à Carlinha para a casa de cada
amigo, vocês mudariam de opinião na seguinte questão: “Todos os amigos têm a mesma
chance de serem visitados?” Pense na sua resposta considerando a questão 5 da seção II.
( ) Não ( ) Sim. Por quê? __________________________________________________
5) Analisando e sistematizando os resultados da árvore de possibilidades, preencham a
Tabela 3:
97
Tabela 3. Distribuição de probabilidade da visita da Carlinha a seus amigos
Amigo Nº de caminhos Nº de caminhos/total
de caminhos (fração)
Probabilidade (p)*
Luiz
Felipe
Fernanda
Alex
Paula
Total
(*) efetuar a divisão para expressar na forma decimal.
A tarefa 1 tem por finalidade possibilitar ao aluno, por meio da árvore de
possibilidades, a visualização de dezesseis caminhos (tarefa 2), que são
mutuamente excludentes, o que significa que a Carlinha não pode percorrer
simultaneamente dois ou mais caminhos. Logo, o espaço amostral associado ao
experimento aleatório "Lançar uma moeda 4 vezes” é formado por Ω=0000, 0001,
0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110,
1111; que são os dezesseis caminhos possíveis, e a probabilidade para cada
caminho é de 1/16, desde que os lançamentos da moeda sejam independentes;
logo, o resultado pode ser obtido pela multiplicação das probabilidades de cada
lançamento (1/2. 1/2. 1/2. 1/2 = 1/16).
Pretende-se que os alunos percebam que a probabilidade de cada caminho
ser de 1/16 não implica que cada amigo tenha de ser visitado pela Carlinha. Como
cada caminho tem tal probabilidade de ser escolhido, então é esperado que os
alunos identifiquem que só existe um caminho que leva à Paula (0000)14, sendo
assim a sua probabilidade de visita (de 1/16) é a mesma para Luiz (1111). No caso
de Alex, existem quatro possibilidades (0001, 0010, 0100, 1000), sendo então 4/16 a
sua probabilidade de visita. O que também acontece com a probabilidade de visita
de Felipe (1110, 1101, 1011, 0111); e, neste contexto, Fernanda é a colega que tem
a maior probabilidade de visita, ou seja, 6/16 (0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100).
Espera-se também que os alunos percebam que a visita de cada amigo pode
ser determinada pelo número de vezes que aparece a face cara, associando este
fato à soma obtida em cada combinação, ou seja, no caso da soma ser 0 − quatro
14
Vale ressaltar que, na seção II, foi associado ao valor zero sair face cara, que seria caminhar para o norte; como consequência, a sequência (0,0,0,0) corresponde a quatro faces cara. Contudo, se o experimento for aplicado novamente, é importante que seja mudada a atribuição de cara 0 para 1, uma vez que é mais intuitivo e padrão que o evento sucesso numa situação dicotômica seja associado ao valor 1.
98
faces cara − Paula será a amiga visitada; Alex será visitado, no caso de soma igual
a 1 − três faces cara; se a soma for 2 − duas faces caras - Fernanda será visitada;
para o caso de soma 3 − uma face cara− a visita será a Felipe; e se ocorrer
nenhuma face cara, ou seja, para soma igual a 4, Luiz será o amigo visitado. No
estudo de Hernandez, Kataoka & Oliveira (2010), nessa tarefa, 61,3% dos grupos de
alunos identificaram corretamente os caminhos para chegar a cada amigo dependia
do número de caras.
Na tarefa 4, espera-se que, se algum aluno ainda não percebeu que nem
todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados, possa mudar de opinião
a partir dos resultados da árvore de possibilidades.
Na tarefa 5, espera-se que todos os alunos cheguem ao mesmo resultado, a
não ser que tenham errado a montagem da árvore de possibilidades ou o cálculo.
6.2.4 Seção IV. A decisão
Nesta seção, as tarefas 4 e 7 deverão ser feitas no software, e as outras cinco
tarefas no ambiente papel & lápis.
1) Preencham a Tabela 4 com os resultados da Tabela 2 e 3:
Tabela 4. Quadro comparativo da atribuição de probabilidades
Amigo Freqüência relativa (hi) Probabilidade (pi)
Luiz
Felipe
Fernanda
Alex
Paula
TOTAL
2) Qual é a diferença entre essas duas formas de atribuir probabilidades?_________
3) Analisando os resultados, para vocês, qual dessas duas maneiras de atribuir
probabilidades é mais adequada? Por quê?______________________________
4) Construa um gráfico de barras que compare os resultados obtidos na
experimentação com a probabilidade teórica. Esses são iguais? ( )Sim ( )Não.
O que vocês podem concluir?____________________________________________
99
5) Vocês acham justa a NOVA distribuição de probabilidades da visita da Carlinha
entre os amigos? ( ) Sim ( ) Não. Por quê?_______________________________
6) Caso vocês achem injusta essa distribuição, vocês poderiam indicar outra forma
de sortear o amigo a ser visitado pela Carlinha? ____________________________
Na tarefa 1, espera-se que os alunos não apresentem dificuldade para
preencher a tabela 4, já que é necessário transcrever apenas os resultados das
tabelas 2 e 3. Na tarefa 2, espera-se que os alunos percebam que o valor da
frequência relativa é uma estimativa da probabilidade teórica, e que varia de amostra
para amostra, já a probabilidade envolve todo o espaço amostral.
Na tarefa 3, espera-se que os alunos percebam que, se optarem pela
frequência relativa, dependerão dos resultados da amostra, e que seria mais
adequado optar pela probabilidade teórica que modela essa situação de forma
adequada. Na tarefa 4, espera-se que os alunos observem que, diferentemente da
tarefa 7 da seção II, os gráficos de barras entre as duplas são os mesmos e que
apresentam justificativas baseadas na árvore de possibilidades.
Estudos anteriores, como Hernandez, Kataoka & Oliveira (2010) e Gusmão &
Cazorla (2009), mostram que os alunos podem pensar que a nova forma de visita de
Carlinha é injusta na tarefa 5, uma vez que os amigos que moram mais distantes do
ponto central ficam em desvantagem em relação aos que moram mais próximos.
Quando questionados sobre qual seria a melhor forma de visita, tarefa 6, é esperado
que alguns alunos apontem para a forma inicial de visita, a determinística. Outra
forma esperada é a ideia de distribuição uniforme, em que todos teriam a mesma
probabilidade de visita, ou seja, ao invés de sortear o caminho a ser percorrido,
sorteia-se diretamente o amigo a ser visitado, desta maneira cada um tem a mesma
probabilidade de ser visitado que é igual a 1/5 ou 20% das vezes. Outra proposta
que pode surgir é a realização de um sorteio sem reposição.
100
6.2.5 Seção V. Outras explorações
Seção .V.1.
1) Realize uma simulação com 12.000 experimentos. O que você observa quando
compara os resultados desta simulação
a) Com a simulação de 30 experimentos?__________________________________
b) Com a probabilidade teórica?__________________________________________
2) Usando o mesmo critério do lançamento da moeda, o que você faria para que a
Fernanda deixasse de ser a única amiga mais visitada? ______________________
___________________________________________________________________
Seção .V.2.
3) Se utilizássemos uma moeda com uma probabilidade de 0,6 para sair a face cara,
Quem seria(ão) o(s) amigo(s) mais visitado(s)?______________________________
___________________________________________________________________
4) E se a probabilidade de sair cara fosse de 0,8. Quem seria(ão) o(s) amigo(s) mais
visitado(s) ?__________________________________________________________
5) E se a probabilidade de sair cara fosse de 0,1, quem seria(ão) o(s) amigo(s) mais
visitado(s) ?__________________________________________________________
Seção .V.3.
6) Considerando que estamos simulando o lançamento de uma moeda, como você
classificaria as moedas pensadas nas tarefas de 3 a 5? E a moeda pensada nas
tarefas anteriores cuja probabilidade de sucesso era de 0,5?___________________
___________________________________________________________________
101
7) Experimente agora trocar a probabilidade de sucesso para 0,8. Quais são as suas
conclusões?_________________________________________________________
8) Considerando a simulação de 12.000 experimentos realizada na tarefa 1, troque,
na função simula, a probabilidade de sucesso para 0,6.O que você observa? Neste
caso, quem será(ão) o(os) amigo(s) mais visitado(s)?_________________________
___________________________________________________________________
Na tarefa 1, espera-se que os alunos utilizem as funções de simulação
apresentadas na atividade preliminar nas etapas 7 e 8, e percebam que mais se
aproxima do resultado teórico quanto maior for o número de simulações, o que se
denomina de fenômeno da convergência. Nesta tarefa, estaremos explorando
conceitos de probabilidade por meio da simulação computacional que, de acordo
com Batanero (2007), Lane & Peres (2006), DelMas, Garfield & Chance (1999),
desde que utilizada de forma adequada, traz importantes contribuições para o
desenvolvimento deste conceito. Além desses autores, os Parâmetros Curriculares
Nacionais (1998) destacam também a importância do uso da simulação para o
desenvolvimento de habilidades que proporcionem aos alunos as probabilidades
previstas. Esse documento ainda frisa que, ao se valorizar os recursos tecnológicos,
como instrumento para o auxílio na realização de alguns trabalhos, contribui para o
bom entendimento dos objetivos propostos. Desta forma, esperamos oferecer as
condições necessárias para o desenvolvimento do conceito de probabilidade a partir
do trabalho no software R.
Na tarefa 3, quando questionados sobre qual (quais) seria(m) o(os)
amigo(os) mais visitado(s), quando usada uma probabilidade de 0,6, é esperado que
aponte para Fernanda e Alex como os mais visitados, ainda de maneira intuitiva,
pois as respostas baseiam-se no fato de que esses dois amigos são os que
necessitam de um número “médio”, ou seja, Fernanda necessita de 2 caras (50%),
Alex necessita de três caras(75%) e estamos trabalhando com uma probabilidade de
0,6 (60%) de caras para serem visitados. Nesta tarefa, não é esperado que os
alunos usem o conceito de distribuição binomial para o cálculo dos amigos mais
visitados, mas acreditamos que a tarefa proporcionará reflexões iniciais importantes
para que seja formalizado o conceito da distribuição binomial futuramente.
102
Na tarefa 4, quando é feito o mesmo questionamento, porém agora para uma
probabilidade de 0,8 para sair a face cara, é esperado que os alunos apontem para
Alex e Paula como os amigos mais visitados; esperamos que esta conclusão esteja
pautada no fato de que esses amigos são os que necessitam de um número maior
de caras para serem visitados.
Agora, na tarefa 5, quando são questionados para o caso de probabilidade
0,1 para cara, é esperado que os alunos identifiquem Luiz como o amigo mais
visitado, uma vez que é o único amigo que não necessita de nenhuma face cara
para ser visitado.
Espera-se, na tarefa 6, que os alunos classifiquem a moeda como honesta
no caso de probabilidade 0,5 para a face cara, e para probabilidades diferentes de
0,5 como sendo viciada.
Na tarefa 7, é esperado que os alunos identifiquem Alex e Paula como sendo
os amigos mais visitados; já na tarefa 8, espera-se que os alunos percebam que
probabilidade 0,6 para face cara, Fernanda compartilhará o posto de amigo mais
visitado com Alex.
6.3 ANÁLISE POSTERIOR
6.3.1 Seção I. A estória (o contexto)
O objetivo desta seção foi despertar as concepções intuitivas dos alunos em
relação à ideia de experimento aleatório e determinístico sem maiores interferências
do professor-pesquisador. Em detrimento deste objetivo, foram mínimas as
interferências do professor-pesquisador no desenvolvimento das tarefas propostas
e, quando solicitado para esclarecer alguma dúvida, assumiu a postura de orientá-
los a ler a questão novamente e discutir com os colegas a resposta a ser
apresentada.
Na tarefa 1, as três duplas responderam à questão atingindo plenamente os
objetivos propostos , ou seja, destacaram o fato de que, no primeiro modo de visita,
existia uma ordem pré-estabelecida e, no segundo modo, as visitas se deram a partir
103
dos resultados apresentados no lançamento das moedas, sendo que D1 ainda frisou
que, nesta nova forma de visita, alguns amigos poderiam ser mais visitados .
Na tarefa 2, D1 e D3 conseguiram identificar que, no caso do lançamento de
uma moeda honesta, há apenas duas possibilidades: cara ou coroa. Já a dupla D2
apresentou a seguinte resposta: “Que visitaria Paula se todas as faces fossem
coroa; Luiz, se todas fossem cara; Felipe, se uma fosse coroa e o resto; Fernanda,
no caso de duas caras e uma coroa; e Alex, no caso de três coroas e uma cara”. O
que nos leva a observar que o grupo fez uma relação com quem seria visitado
dependendo do resultado da moeda, não respondendo assim o proposto pela
pergunta.
Na tarefa 3, todos os grupos justificaram que, uma vez que a moeda tem
apenas duas faces, a chance de sair uma delas é de 50%.
Na tarefa 4, todos os grupos visualizaram que os amigos não tinham a
mesma chance de serem visitados, e, em suas justificativas, nota-se que nenhum
grupo usou-as baseadas no conceito formal e nem aquelas baseadas em crenças.
D1 e D3 justificaram que um amigo pode ser visitado mais de uma vez na semana
dependendo da face da moeda que sair; D2 relatou que, se no primeiro sorteio sair a
face cara, Paula não poderá ser visitada.
As justificativas apresentadas nesta tarefa confirmam o que os estudos de
Gusmão e Cazorla (2009); Hernandez, Kataoka e Oliveira (2010) sinalizam: as
justificativas dos alunos podem se basear na probabilidade teórica ou em crenças,
mas que, neste momento do experimento, ainda são imprevisíveis.
Percebe-se, na tarefa 5, que nenhum grupo utilizou esquemas mais
elaborados para imaginar os resultados no lançamento de moedas. D1 respondeu
que poderia sair: coroa, coroa, cara, coroa e, portanto, Alex seria o amigo visitado.
D2 imaginou três coroas e uma cara, sendo assim Alex o amigo visitado; e D3
respondeu cara, coroa, coroa, coroa e, com esse resultado, Felipe seria o amigo
visitado. De acordo com Nagamine; Henriques & Carzola (2010), as respostas
apresentadas por D1 e D3 são registros aceitáveis, porém evidenciam uma
incompreensão do enunciado, já a resposta apresentada por D2 demonstra um
registro que não explicita a ordem da ocorrência dos eventos.
104
Considerações deste bloco de tarefas
Como o exposto anteriormente, este bloco de tarefas tinha como objetivo
central investigar as concepções intuitivas de probabilidade dos alunos, bem como
as diferenças entre um experimento determinístico e um aleatório. Observamos que,
de modo geral, os objetivos foram alcançados. Notamos que, mesmo ainda de
maneira informal, os alunos conseguiram identificar as diferenças entre um
experimento determinístico e um aleatório e, além de reconhecer o termo
probabilidade, atribuíram sentido correto ao mesmo. Estas evidências confirmam as
nossas hipóteses iniciais de que sendo o trabalho realizado no último ano do ensino
médio, os alunos já teriam tido contato com esse tópico em anos anteriores. Essas
observações estão em consonância com os objetivos dos PCNs para o
desenvolvimento deste conceito que recomendam que os alunos, ao trabalharem
com probabilidade, devam reconhecer a sua importância como meio de prever
resultados (BRASIL, 2002).
Vale ressaltar também que, neste primeiro bloco de tarefas, foi possível notar
que o experimento, como foi pensado e desenvolvido, propiciou uma discussão
entre os integrantes de cada grupo e, em alguns momentos entre os grupos.
Outro importante aspecto a ser destacado é que, ao final deste bloco de
tarefas, foi possível observar um nível maior de autonomia dos alunos em relação ao
professor-pesquisador quando comparado com as atividades de familiarização ao
software R. Em síntese, a sequência de tarefas colocou os participantes em uma
posição de sujeitos ativos do processo de discussão dos resultados e, além disso,
como parte do processo de busca de um melhor resultado. Esta ação fez com que
os alunos tivessem a real percepção de não estarem participando de uma tarefa de
resposta fechada e indiscutível em que bastaria procurar e escrever a resposta que
seria considerada certa ou errada. Isso nos leva a pensar que, já nesta primeira
seção, é possível observar uma importante característica prevista no
construcionismo: a integração do participante na tarefa proposta e a necessidade
deste se sentir parte do processo da construção do seu próprio conhecimento.
105
Seção/objetivos Resultados esperados Resultados observados
Esta seção 1 tinha
como objetivo
Investigar as
concepções
intuitivas de
probabilidade, bem
como as
diferenças entre
um experimento
determinístico e
um aleatório
Tarefa 1- Identificar as diferenças entre um experimento aleatório e um determinístico.
Tarefa 1- Resultados esperados atingidos plenamente pelos três grupos.
Tarefa 2- Verificar que no caso do lançamento de uma moeda há apenas dois resultados possíveis: Cara ou Coroa.
Tarefa 2- Apenas D2 demonstrou não ter entendido o enunciado da tarefa não respondendo assim de forma satisfatória.
Tarefa 3- Perceber qual é a concepção dos alunos sobre o conceito de probabilidade, no que se refere a equiprobabilidade dos eventos.
Tarefa 3- Todos os grupos justificaram que no lançamento de uma moeda honesta a chance de sair uma das faces é de 50%;
Tarefa 4- Identificar que os amigos não têm as mesmas chances de serem visitados.
Tarefa 4- Todos os grupos relataram que os amigos não tinham as mesmas chances de serem visitados;
Tarefa 5- Apresentar respostas do tipo XXCC, (X, X, C, C).
Tarefa 5- As respostas apresentadas por D1 e D3 eram registros aceitáveis, porém evidenciavam uma incompreensão do enunciado, já a resposta apresentada por D2 demonstrou um registro que não explicitou a ordem de ocorrência dos eventos.
Quadro 3 – Síntese dos resultados esperados e observados para as tarefas da seção 1.
106
6.3.2 Seção II. A simulação
Para o desenvolvimento desta seção, o professor-pesquisador manteve a sua
postura apenas de orientação destacada na seção anterior, sendo que no trabalho
com o software R, quando necessária a sua interferência, usou o mesmo padrão de
orientação para todos os grupos: pesquisar os scripts das aulas anteriores,
pensando que, desta forma, poderiam esclarecer as suas dúvidas. Essa postura foi
assumida, levando em consideração que os alunos já tinham todas as ferramentas
necessárias para a execução das tarefas solicitadas neste momento; logo, com esta
atitude, estaríamos contribuindo para o alcance de uma maior autonomia dos alunos
na realização das tarefas.
A tarefa 1 foi executada por todos os grupos de maneira satisfatória, tanto no
sentido de obter as trinta simulações corretamente, como na discussão e busca das
ferramentas necessárias para a utilização do software R. (Figura 27 )
Figura 27 - Simulação de D3
Na tarefa 2, todos os grupos identificaram que Fernanda seria a amiga mais
visitada como o previsto na análise preliminar . As justificativas utilizadas, apontadas
por Hernandez, Kataoka & Oliveira (2010), estão baseadas nos resultados da
simulação, tendo como destaque o fato que, para Paula ser visitada, teria de sair
quatro faces iguais e isso fez com que ela seja menos visitada do que Fernanda.
107
Na tarefa 3, D2 e D3 identificaram que há a possibilidade de algum amigo não
ser visitado: D2 usa como exemplo Paula, “que no caso de sair apenas faces coroa
não será visitada”; D3 relata que apesar de não ter acontecido em sua simulação de
algum amigo não ser visitado, esse é um resultado possível. Já o grupo D1 parece
que não respondeu com base nos possíveis resultados de uma simulação, mas sim
pensando na probabilidade teórica, uma vez que, na sua justificativa, alegam que
qualquer sequência vai levar à casa de um amigo (Figura 28).
Figura 28- Resposta de D1- Questão 4.
Na tarefa 4, os grupos D2 e D3 declararam mudar de opinião quando
questionados se “Todos os amigos tem a mesma chance de serem visitados?”, em
relação ao que foi respondido na tarefa 4 da seção I; apenas o grupo D1 manteve a
sua resposta. O mesmo ocorreu na tarefa 6, na qual a pergunta foi repetida
novamente, e os alunos dos grupos D2 e D3, mais uma vez, disseram que mudaram
de opinião, só que agora em relação à resposta dada na tarefa 4. Já o grupo D1 não
mudou de opinião, mas alterou a sua justificativa (Tabela 1).
108
Tabela 1 – Justificativas das duplas para a pergunta central: Todos os amigos têm a mesma
chance de serem visitados?
Grupo Tarefa Justificativa
D1
4 – Seção I Nem todos os amigos têm a mesma chance de ser visitada, porque “ela pode visitar um amigo duas vezes na semana, dependendo do lado que cair a moeda”.
4 – Seção II Não mudaria de opinião, porque “dependendo da sequência que cair algumas sempre caem no mesmo amigo”.
6 – Seção II Não mudaria de opinião, pois tem amigos que foram visitados 12 vezes e outro apenas uma.
D2
4 – Seção I Nem todos os amigos têm a mesma chance de ser visitada, porque “se ela tirar uma cara já não poderá visitar Paula”.
4 – Seção II Sim mudaria de opinião, porque “dependendo do valor da moeda alguém não poderá ser visitado”.
6 – Seção II Sim mudaria de opinião, “pois até Paula que tinham poucas chances foi visitada”.
D3
4 – Seção I Nem todos os amigos têm a mesma chance de ser visitada, porque “ao jogar a moeda, ela pode repetir o mesmo amigo de Carlinha”.
4 – Seção II Sim mudaria de opinião, “porque é aleatoriamente, isso quem vai decidir é a moeda, por mais difícil que for tudo pode acontecer, quando está sendo sorteada algo assim”.
6 – Seção II Sim mudaria de opinião, “porque é aleatoriamente, e a moeda pode cair tanto para o leste como para o norte”.
Analisando as justificativas apresentadas na tabela 1, verifica-se que, apesar
de D1 declarar não mudar de opinião, a justificativa apresentada na tarefa 6 indica
influências da tabela organizada na tarefa 6, permitindo ao grupo perceber que
alguns amigos foram mais visitados após os resultados obtidos pela simulação.
Na tarefa 4, o grupo D2 indica uma mudança de opinião, isso, de fato, não
ocorreu, já que eles reconheciam que algum amigo poderia não ser visitado
dependendo da face da moeda, ou seja, mudaram apenas a justificativa, deixando-a
um pouco mais elaborada do que a apresentada na tarefa 4 da seção I.
Apesar de D3 declarar mudar de opinião na tarefa 4, essas mudanças não
são observadas na justificativa apresentada quando comparadas com a resposta da
seção um, nota-se que, em ambas, o grupo relata não ser possível afirmar se todos
têm ou não a mesma chance de visita, uma vez que as visitas dependerão da face
que aparecerá de maneira aleatória. O mesmo ocorre na tarefa 6, que afirma mudar
de novo de opinião, mas a justificativa apresentada é similar à da tarefa 4.
Escutando o diálogo que o grupo teve no momento da tarefa 6, percebe-se que,
apesar de não terem avançado na ideia que gira em torno desta questão, a dupla
abriu espaço para discussão sendo que um elemento do grupo falou “temos que
pegar a folha da tarefa 4 para olharmos o que respondemos”, e, de fato, eles
109
observam a resposta da tarefa 4, porém chegam à conclusão de que a justificativa
utilizada deve permanecer a mesma.
Na tarefa 5, nenhum grupo apresentou dificuldades uma vez que bastaria
organizar os resultados obtidos na tarefa 1 desta mesma seção. Para obter os
resultados em porcentagem, utilizaram as ferramentas do R que já tinham sidos
trabalhadas sem dificuldade na tarefa 6 das atividades de familiarização.
Na tarefa 815, todos os grupos relataram que os gráficos não eram iguais uma
vez que as sequências obtidas pelas simulações eram diferentes para cada grupo.
D2 destacou que, apesar das diferenças, a Fernanda era sempre a amiga mais
visitada, e o amigo menos visitado, em um dos gráficos, era Paula e, no outro, era
Luiz. D3 destacou que, apesar das diferenças, Fernanda e Alex mantiveram maiores
chances de visita.
De modo geral, observamos que as respostas apresentadas pelos alunos
atendem aos objetivos propostos para esta tarefa: perceberem que, apesar das
diferentes simulações, os gráficos apresentavam semelhanças na ordem das visitas.
Esta observação nos trará ganhos significativos para o estudo de probabilidade, uma
vez que, ainda de forma intuitiva, os alunos perceberam, apesar dos lançamentos
das moedas serem aleatórios, que a posição de cada amigo no roteiro de visita
influencia a probabilidade de visita.
Estas observações confirmam os apontamentos feitos pelo estudo de
Cazorla, Gusmão e Kataoka (2011), que a comparação dos gráficos, através da
probabilidade frequentista, fez com que os sujeitos percebessem que nenhuma
dupla apresentou resultados iguais neste caso, contudo havia uma tendência: a
personagem que ocupava a posição central, em geral, recebia a maior quantidade
de visitas; os meninos “Alex” e “Felipe”, menos, e os personagens das pontas,
“Paula” e “Luiz”, quase não foram visitados.
Considerações deste bloco de tarefas
Um dos objetivos pensado para este bloco de tarefas foi atingido, ou seja, os
alunos perceberam que poderiam utilizar as ferramentas do R apresentadas
anteriormente para o desenvolvimento das tarefas solicitadas, o que se relaciona
15
Vale salientar que, no documento original aplicado aos alunos (Anexo B), essa tarefa 8 foi impressa como tarefa 7, isto é, a designação tarefa 7 apareceu duas vezes.
110
com uma importante característica do construcionismo: a necessidade de os alunos
possuírem as ferramentas necessárias e as reconhecerem como úteis para a
resolução da tarefa proposta.
Nota-se também que a simulação propicia novas reflexões com relação aos
resultados obtidos na seção 1, demonstrando, assim, avanços significativos na
construção do conceito de probabilidade nesta segunda seção. Essas evidências
aparecem já a partir da tarefa 2, ao observarem o resultado da simulação,
começaram a perceber que alguns amigos eram mais visitados do que outros,
desconstruindo assim, mesmo ainda que de maneira intuitiva, a ideia de que as
visitas eram totalmente aleatórias, não sendo possível afirmar se algum amigo teria
maiores chances de visita. Esta ideia é aperfeiçoada na tarefa 8, quando os alunos
identificaram que determinados amigos têm vantagens de visita e isto se confirma
com os resultados dos colegas quando são postos a compararem os seus gráficos.
Outra importante observação foi verificar um maior nível de independência na
realização das tarefas do grupo D2 e, principalmente do grupo D3, uma vez que
desenvolveram esta seção sem a necessidade de muitas interferências do
professor-pesquisador, D1, desde o início das atividades, já apresentava maior
autonomia. Esta independência será importante para a construção dos conceitos a
partir da interação do próprio grupo de trabalho, interação entre eles, entre eles e a
atividade e entre eles e as ferramentas existentes para a realização das tarefas.
Esta maior autonomia pode ter sido construída uma vez que, desde as atividades de
familiarização ao software R, o professor pesquisador assumiu uma postura de que,
sempre solicitado a esclarecer alguma dúvida, nunca oferecer as respostas e sim
propiciar novas reflexões sobre a tarefa proposta, fazendo com que os integrantes
procurassem um maior entendimento da questão posta.
111
Seção/
objetivos Resultados esperados Resultados observados
Esta seção 2
teve como
objetivo fazer
com que os
alunos
analisem se
realmente os
conceitos de
probabilidade
que tinham na
seção I se
confirmam ou
não após a
simulação.
Tarefa 1- Simular trinta experimentos (lançamento de uma moeda 4 vezes) utilizando as ferramentas do R.
Tarefa 1- Tarefa executada por todos os grupos sem dificuldades.
Tarefa 2- Observar através da simulação que Fernanda será mais visitada do que Paula.
Tarefa 2- Todos os grupos identificaram Fernanda como sendo a amiga mais visitada.
Tarefa 3- Perceber que todos os amigos têm probabilidade de serem visitados, mesmo que não ocorra alguma visita nos resultados da simulação.
Tarefa 3- D2 e D3 identificaram que há a possibilidade de algum amigo não ser visitado, sendo que as respostas estão baseadas nos resultados da simulação, já o grupo D3 apresentou uma resposta mais próxima da probabilidade teórica.
Tarefa 4- Espera-se, após a realização da simulação, que as justificativas sejam mais fundamentadas do que as apresentadas na tarefa 4 da seção I.
Tarefa 4-Todos os grupos declaram mudar de opinião, porém apenas D1 alterou as suas justificativas, indicando influência dos resultados obtidos na simulação.
Tarefa 5- Por meio dos resultados organizados em uma TDF, verificar se os alunos visualizam melhor os resultados em relação ao todo.
Tarefa 5- Nenhum grupo apresentou dificuldades.
Tarefa 6- A partir da TDF composta na tarefa anterior, espera-se que as justificativas sejam mais fundamentadas, mesmo que ainda não sejam diretamente relacionadas a probabilidade teórica
Tarefa 6- Nenhum grupo mudou de opinião, uma vez que, desde a seção I, declararam que os amigos não tinham a mesma chance de serem visitados. Contudo D1 e D2 mudaram as justificativas influenciadas pela simulação; já D3 não apresentou avanços em suas justificativas estando pautadas apenas no aleatório.
Tarefa 7- Observar na comparação dos gráficos, que existe um padrão subjacente apesar dos resultados serem diferentes.
Tarefa 7- Todos os grupos relataram
que os gráficos eram diferentes, D2 e
D3 identificaram que, apesar das
diferenças, era comum os amigos com
maiores chances de serem visitados.
Quadro 4 – Síntese dos resultados esperados e observados para as tarefas da seção 2.
112
6.3.3 Seção III. Árvore de possibilidades
Para o desenvolvimento desta seção, foram necessárias algumas
interferências pontuais do professor-pesquisador a fim de atingir os objetivos
propostos. A seguir, juntamente com a análise de cada tarefa, destacaremos quais
foram essas interferências, bem como o seu impacto no desenvolvimento do
experimento de ensino.
Na tarefa 1, que consistia na construção da árvore de possibilidades,
inicialmente D1 conseguiu montar a árvore, mas apresentou dificuldade na hora de
contar os amigos visitados. O professor-pesquisador interferiu ajudando o grupo a
montar um exemplo de sequência e mostrando no esquema de caminhos qual era o
amigo visitado (Figura 29), isto foi o suficiente para que o grupo conseguisse
terminar a tarefa.
Figura 29- Exemplo utilizado para realização da tarefa 1.
113
D2 executou a tarefa, mas cometeu um erro ao atribuir cinco visitas a Felipe e
cinco para Fernanda, na realidade seriam quatro para Felipe e seis para Fernanda.
Observa-se, como o destacado na Figura 29, que o erro ocorreu no momento em
que o grupo deveria ter registrado a seguência XCXC, que indicaria Fernanda como
sendo a amiga a ser visitada e registrou a sequência XCXX, apontando assim Felipe
como sendo o amigo a ser visitado. Neste momento, não houve nenhuma
interferência do professor-pesquisador, uma vez que, no momento da execução da
tarefa, o erro não foi percebido nem pelo grupo nem pelo professor-pesquisador.
Apesar deste erro, o grupo não apresentou dificuldade na composição da árvore,
tendo em vista que não apresentaram dificuldades em fazer a relação entre as
sequências e os amigos a serem visitados, solicitado na tarefa 3.
Figura 30 - Resultados de D2 na tarefa 1
D3 apresentou muita dificuldade na execução da tarefa: inicialmente, os
alunos não entenderam como completar a árvore, sendo necessária a interferência
do professor-pesquisador que realizou um exemplo para o grupo, o mesmo
apresentada para o grupo D1. Posteriormente, a dupla também apresentou
dificuldades para a composição das sequências, sendo novamente necessária a
interferência do professor-pesquisador que mostrou, no exemplo executado
anteriormente, qual era a sequência gerada e como ela era composta a partir da
114
árvore. Após esta nova interferência, ainda com um pouco de dificuldade, o grupo
conseguiu compor a árvore.
Vale ressaltar que questões sobre a árvore de possibilidades são trabalhadas
no caderno 3 da 2ª série do ensino médio (São Paulo, 2010), mais especificamente
na situação de aprendizagem 2, indicando que é provável que os alunos já
conhecessem esse tipo de representação. Dessa forma, o que pode ter ocorrido
para justificar as dificuldades apresentadas pelos alunos, neste caso do experimento
de ensino, os alunos além de determinar as sequências, ainda tinham que relacionar
os resultados com o número de caras e o nome do amigo a ser visitado.
Na tarefa 2, todos os grupos identificaram e responderam que existiam 16
caminhos ao todo.
Na tarefa 3, D1 e D2 conseguiram fazer uma relação de visitas relacionadas
com o número de caras como o previsto nos objetivos da tarefa. Esta relação foi
feita a partir da observação da coluna contida na árvore, onde era anotado o número
de caras e, logo após o amigo visitado, D3, como o relatado na atividade anterior,
apresentou muita dificuldade no preenchimento da árvore, que prejudicou o
entendimento da mesma, uma vez que os esforços ficaram concentrados no
preenchimento, fazendo com que o grupo não atentasse à coluna das caras para
responder a esta questão. O grupo analisou apenas a coluna das sequências,
percebendo que era possível fazer uma relação com o número de caras no caso de
Paula e Luiz, uma vez que, para esses dois, era nítido na árvore.Eles dependiam
das quatro faces iguais para serem visitados, já para os demais, o grupo não
conseguiu fazer esta relação, apresentando respostas mais vagas. Relatando, por
exemplo, que Alex tem menos chance de visitas, uma vez que poucas combinações
levam a seu nome e que Fernanda é a que tem mais chances, porque existem
várias combinações que levam a seu nome.
Na tarefa 4, aparentemente, D3 vinha apresentando mais dificuldades, foi o
único grupo que começou a perceber que, a partir da árvore, é necessário alterar as
suas justificativas em relação à pergunta “Todos os amigos têm a mesma chance de
serem visitados?” Notamos isso ao analisar a justificativa apresentada pelo grupo: “A
possibilidade de sorteio é maior da Fernanda por ter mais caminhos a serem
saídos”. Essa resposta demonstra um avanço do grupo na construção do conceito
de probabilidade uma vez que, por meio da árvore, desconstruíram a justificativa de
que as visitas dependiam apenas do aleatório. Este avanço nas observações de D3
115
leva-nos a reforçar a necessidade da análise da construção do conhecimento ao
longo de todo o desenvolvimento do experimento. Notamos assim que, apesar das
maiores dificuldades apresentadas por D3 até o momento, isso não prejudicou o
avanço do grupo no decorrer da sequência de tarefas e no repensar a sua resposta
a cada novo questionamento. Os outros grupos D1 e D2 não mudaram de opinião e,
em suas justificativas, acreditavam que a árvore não traz nada de novo e as visitas
ainda estavam condicionadas apenas à aleatoriedade dos sorteios das moedas.
Tínhamos como objetivo inicial para esta tarefa que o grupo pudesse mudar
de opinião a partir dos resultados da árvore de possibilidades, mesmo que algum
grupo até este momento ainda não tivesse visualizado que nem todos os amigos
tinham as mesmas chances de serem visitados,. Observamos que, desde a primeira
seção, os alunos já declaram perceber que os amigos não têm as mesmas chances
de visita, porém, inicialmente, com justificativas mal estruturadas, sendo esperado
que os alunos apresentassem justificativas mais próximas da probabilidade teórica
nesta questão. Porém, pôde-se notar que os alunos tinham pouca familiaridade com
as associações necessárias após a estruturação da árvore de possibilidades, o que
pode ter desviado a atenção deles apenas para o entendimento da dinâmica da
construção da árvore em detrimento da compreensão do conceito probabilístico
envolvido. Notamos que, somente a partir das discussões propostas na seção
posterior, é que ficou mais clara a ideia de probabilidade teórica.
A tarefa 5 é respondida por todos os grupos sem dificuldades, apenas D2
ainda carregou o erro cometido na tarefa 1. Neste momento, o professor interferiu
questionando o grupo sobre a quantidade de visitas de cada amigo e solicitou que o
grupo olhasse novamente para a tarefa 1. Após esta orientação, o grupo se mostrou
confiante na resposta da tarefa 1 e manteve a resposta apresentada inicialmente.
Sendo assim, o professor-pesquisador optou por não apontar o erro, dando
continuidade às tarefas e deixando para que, posteriormente em uma possível
comparação com os colegas dos outros grupos, esse erro pudesse ser percebido
pelo próprio grupo.
Considerações deste bloco de tarefas
O primeiro objetivo pensado para esta seção foi atingido, ou seja, todos os
grupos perceberam que havia apenas dezesseis sequências diferentes e que cada
116
sequência determinava a visita de um amigo, percebeu-se que nenhum grupo
classificou de imediato este fato como sendo um tipo de probabilidade teórica e
muito menos do que exatamente isto significava em termos de amigo a ser visitado.
Porém, deu início a uma nova reflexão, as duplas notaram que, a partir dos
dezesseis caminhos existentes alguns amigos eram privilegiados em relação a
outros, como no caso de Paula e Luiz, que existia apenas uma sequência favorável,
enquanto para Fernanda existiam seis.
Tínhamos também como objetivo que os alunos percebessem que a visita de
cada amigo poderia ser determinada pelo número de vezes que aparecesse a face
cara e, além disso, atentassem para o fato que esta relação poderia ser determinada
pela soma da sequência, uma vez que a face cara era representada pelo número
zero e coroa, pelo o número um. Esses resultados são similares aos encontrados
nos estudos de Hernandez, Kataoka & Oliveira (2010), que constataram que, para
esta tarefa, 61,3% dos grupos de alunos identificaram corretamente os caminhos
para chegar a cada amigo que dependiam do número de caras.
Por fim, esperava-se que os alunos, após o trabalho com a árvore de
possibilidades, mudassem de opinião em relação à chance de visita de cada amigo.
Notamos que, nas respostas apresentadas dos três grupos, apenas um mudou de
opinião, provavelmente esse resultado está atrelado ao fato das duplas terem
apresentado muita dificuldade no trabalho através da representação na forma de
árvore e essa dificuldade acabou prejudicando o entendimento do conceito, uma vez
que os esforços se concentraram no entendimento da representação.
Nesta fase do experimento, já foi possível notar que os participantes se
mostram totalmente envolvidos com a problemática posta, já conseguiam encarar
cada nova tarefa como um importante passo para a resolução do problema ao qual
já se colocavam na posição de integrantes. Isto nos fez identificar uma importante
característica do construcionismo uma vez que, segundo Maltempi (2004), o
aprendizado deve ocorrer por meio de um processo ativo, em que os aprendizes
sejam parte do desenvolvimento das tarefas, e não devem ser colocados na posição
de meros espectadores da fala do professor. É possível notar que, como o previsto
no construcionismo, este bloco de tarefas contribuiu para proporcionar aos
aprendizes uma posição de controle sobre as suas próprias construções.
Acreditamos que estamos contribuindo para o desenvolvimento do que Gal
(2005) denomina de letramento probabilístico por meio destas novas reflexões
117
propostas neste bloco de tarefas. Pensamos que serão reforçados os cinco
elementos (Abordagem de grandes tópicos, Cálculos probabilísticos, Linguagem,
Contexto e Perguntas críticas) destacados por Gal (2005), ao longo das outras
seções, para que uma pessoa seja considerada letrada em probabilidade. Assim, a
árvore de possibilidades faz com que os alunos reflitam, mesmo que de maneira
informal, elementos como aleatoriedade, previsão, incerteza; contemplando assim
pontos da abordagem de grandes tópicos, são também colocados a pensar sobre
cálculos probabilísticos em visões diferenciadas. Outra importante característica a
ser destacada é que os alunos já atribuem sentido mais contextualizado ao termo
probabilidade, ou seja, este termo deixa de ser um termo de caráter específico
escolar e passa a ser um termo pensado e estudado em uma situação mais
cotidiana. Isso se deve tanto ao fato do termo estar sendo trabalhado através de
uma situação que pode ser considerada como “menos formal” para os alunos
quando relacionada à forma como este assunto é normalmente tratado no decorrer
das aulas de matemática, como ao fato de que, neste momento, os alunos já se
sentem parte da problemática posta.
E, finalmente, destaca-se a característica que acreditamos ser a mais
contemplada com a inserção deste bloco de tarefas que se refere às perguntas
críticas, nota-se que os alunos fazem afirmações do tipo “não é possível determinar
se há ou não na prática privilégios na ordem de visitas”, em todos os momentos. E
logo após se questionam sobre a afirmação feita, uma vez que os resultados da
árvore de possibilidades apontam para certos privilégios. Essas perguntas críticas
que estão aparecendo desde a primeira seção e foram reforçadas com a inserção da
seção II, mostram-se fundamentais para a condução do experimento na perspectiva
construcionista, pois, de fato demonstram a interação dos participantes com a tarefa
proposta.
118
Seção/
Objetivos Resultados esperados Resultados observados
Esta seção III
tinha como
objetivo
proporcionar
reflexões
sobre as
diferenças
entre a
probabilidade
frequentista e
a teórica.
Tarefa 1- Preencher a árvore de possibilidades obtendo os 16 caminhos possíveis;
Tarefa 1- Foram detectadas dificuldades dos três grupos no preenchimento da árvore de possibilidades, mas, após algumas interferências do professor-pesquisador, os grupos conseguiram compor os caminhos;
Tarefa 2- Baseado na tarefa 1, perceber que só existem 16 caminhos;
Tarefa 2- Todos os grupos identificaram os 16 caminhos;
Tarefa 3- Verificar que a visita de cada amigo pode ser determinada pelo número de vezes que aparece a face cara, associando este fato à soma obtida em cada combinação;
Tarefa 3- D1 e D2 executaram a tarefa sem apresentar dificuldades; já D3 apresentou respostas vagas que não atenderam aos objetivos esperados para a tarefa;
Tarefa 4- Observar que nem todos os amigos têm a mesma chance de ser visitado, mas apresentando justificativas baseadas na probabilidade teórica;
Tarefa 4- D3 foi o único grupo que percebeu que era necessário mudar as suas justificativas apresentadas na pergunta central a partir do trabalho com a árvore de possibilidades. D1 e D2 não mudaram suas justificativas;
Tarefa 5- Apresentar os
resultados da árvore de
possibilidade de forma
sistematizada numa TDF.
Tarefa 5- Tarefa executada por todos
os grupos sem dificuldades
Quadro 5 – Síntese dos resultados esperados e observados para as tarefas da seção 3
119
6.3.4 Seção IV. A decisão
A tarefa 1 foi realizada por todos os grupos sem nenhuma dificuldade uma
vez que consistia apenas em preencher a tabela 4 com os resultados obtidos
anteriormente nas tabelas 2 e 3 .
Na tarefa 2, encontramos as seguintes respostas: D1 “Na primeira nos
fizemos uma simulação, a segunda a gente atribui que ia ser cara ou coroa”,
notamos que a resposta apresentada pelo grupo demonstra o entendimento que no
primeiro modo os resultados estavam relacionados à experimentação e no segundo
modo quando declaram que neste a atribuição das faces se dá independente da
experimentação. D2 respondeu que “uma é probabilidade feita do experimento e a
outra da teórica”, nota-se que usam o termo “feito” referindo-se à experimentação.
D3 relatou “Que a prática é a que tem resultado exato, a teórico, cálculo”, neste
caso, obtinha-se exatamente o resultado a partir da experimentação, porém não
estava se referindo ao resultado da probabilidade de visita de modo geral e sim ao
resultado obtido naquela experimentação em particular. Por outro lado, os alunos
entenderam que a teórica oferecia um resultado que nunca será exato por não
depender da experimentação, referindo-se que não poderiam garantir, por exemplo,
que um determinado amigo seria mais visitado do que os demais por ter uma
probabilidade maior de visita na prática. Ao final desta tarefa, o professor
pesquisador promoveu uma discussão com os grupos a fim de denominar a segunda
forma de atribuir probabilidade. Os grupos colocaram que seria uma forma de se
atribuir probabilidade sem jogar a moeda, apenas D3 denominou-a como
probabilidade teórica e, neste momento, o professor-pesquisador disse que esse tipo
de probabilidade era denominada probabilidade teórica.
Um dos objetivos desta tarefa era que os alunos percebessem que o valor da
frequência relativa era uma estimativa da probabilidade teórica variando de amostra
para amostra, enquanto a probabilidade envolve todo o espaço amostral. Notamos
que os grupos perceberam esta relação ao preencher a tabela quatro da tarefa 1, na
qual esta ideia é aperfeiçoada na tarefa 4 quando fizeram a comparação gráfica da
experimentação com a probabilidade teórica.
O objetivo da tarefa 3 era que os alunos percebessem que dependeriam dos
resultados da amostra se optassem pela frequência relativa, e que seria mais
120
adequado optar pela probabilidade teórica, porém, notamos que apenas um dos três
grupos optou pela probabilidade teórica.Os grupos D2 e D3 relataram que a primeira
forma de atribuir probabilidade era melhor. D2 afirmou que a probabilidade a partir
do experimento era melhor, uma vez que estava baseada em algo concreto e a
teórica não; D3 colocou que era possível obter um número exato em “prova viva” a
partir da probabilidade que denominou de “prática”; sendo que apenas D1 colocou
que a melhor maneira seria a teórica, uma vez que a partir dela seria possível ter
uma base na atribuição de caras ou coroas.
Tal resultado parece indicar que alunos do ensino médio ainda apresentam
dificuldades em fazer relações entre a teoria e a prática; os resultados obtidos a
partir de uma atividade “prática” são vistos como algo mais próximo da realidade,
enquanto os resultados teóricos como verdades válidas apenas no “papel”, sendo
difícil fazer uma relação direta com acontecimentos do cotidiano”. Outro indicativo
provável é que ainda haja uma defasagem por parte desses alunos em relação aos
objetivos indicados pelos PCN, que recomendam que cada área do conhecimento os
alunos deveriam envolver, de forma combinada, o desenvolvimento de
conhecimentos práticos e contextualizados, que respondam às necessidades da
vida contemporânea ao longo do Ensino Médio. Porém, em igual importância,
desenvolvessem conhecimentos mais amplos e abstratos que proporcionassem
uma visão mais ampla de mundo (BRASIL,2002).
Na tarefa 4, observamos que os alunos perceberam que o padrão dos
gráficos resultantes da experimentação tinha a mesma tendência do gráfico da
probabilidade teórica. Esse resultado está em consonância com o constatado nos
estudos de Cazorla, Gusmão & Kataoka (2011), que nos leva a pensar que esta
tarefa se constitui em uma importante ferramenta para observação posterior do
fenômeno de convergência com o aumento do número de simulações. Notamos
estas evidências quando observamos, por exemplo, a resposta apresentada por D1
que relata “Nós podemos concluir que o gráfico da probabilidade teórica é diferente
da simulação, mas não alterou muito o gráfico”.
121
Figura 31 - Gráficos comparativos de D1 e D3.
Na tarefa 5, todos os grupos respondem que a nova forma de visitas não é
justa, uma vez que alguns amigos podem ser mais visitados do que outros.
Como o relatado na análise preliminar desta tarefa, estudos anteriores como
Hernandez, Kataoka & Oliveira (2010) e Gusmão & Cazorla (2009) já apontavam
que os alunos geralmente respondem que a nova forma de visita de Carlinha é
injusta, uma vez que os amigos que moram mais distantes do ponto central ficam
em desvantagem em relação aos que moram mais próximos.
122
Na tarefa 6, D1 respondeu que a melhor forma de visita seria a feita no início:
um amigo era visitado a cada dia da semana. D2 propôs que os nomes dos amigos
fossem anotados em um papel e os sorteios realizados de modo que os amigos já
visitados fossem excluídos de novo sorteio. Apenas D3 não sugeriu nenhuma outra
forma de visita.
Considerações deste bloco de tarefas
Destacamos, nesta seção, alguns pontos importantes no que se refere ao
construcionismo, é possível notar avanços significativos uma vez que ficam mais
claras as evidências das cinco dimensões: Pragmática, Sintônica, Sintática,
Semântica e Social, que formam a base do construcionismo segundo Maltempi
(2004).
A dimensão Pragmática, segundo Maltempi (2004), está ligada à sensação
que o aprendiz tem de estar aprendendo algo de utilização imediata. Notamos que
os alunos já estão totalmente integrados ao esquema da sequência de tarefas pelas
respostas apresentadas nesta seção, e já tem a compreensão para responder a um
novo questionamento. Este deve refletir um pouco sobre os questionamentos
anteriores, sendo assim, consideramos que a dimensão pragmática está
contemplada, não apenas nesta seção, pois o resultado desta está diretamente
relacionado às anteriores, mas, nesta seção, as respostas dos alunos são mais
claras. Como previsto anteriormente, podemos perceber que os alunos já haviam
tido contato com o conceito probabilidade em outros momentos de sua vida escolar,
porém, ainda não tinham sido postos a refletir de maneira efetiva sobre o seu
verdadeiro significado em situações mais visíveis. Segundo Maltempi (2004), ao se
trabalhar na perspectiva construcionista, devemos estabelecer espaço à dimensão
sintônica. De acordo com esse autor, em salas de aula tradicionais, pratica-se um
aprendizado dissociado e reforça a necessidade da construção de projetos mais
contextualizados e que estejam em sintonia com situações que os alunos visualizem
como importantes. Notamos que os questionamentos despertaram um maior
interesse por parte dos alunos, do modo como foram feitos e no contexto como
foram apresentados, uma vez que não estávamos apenas discutindo as diferenças
entre uma experimentação e a probabilidade teórica, mas sim propiciando uma
123
reflexão em torno do conceito de probabilidade através de uma situação cujo
contexto estava ao alcance dos alunos.
Outro ponto importante a ser destacado refere-se à dimensão sintática, nela,
segundo Maltempi (2004), os aprendizes devem acessar facilmente os elementos
básicos que compõem o ambiente de aprendizagem e progredir na manipulação
destes de acordo com a necessidade e desenvolvimento cognitivo. Nesta seção,
notamos que os alunos já manipulavam as ferramentas do R com muita facilidade,
tínhamos por hipótese inicial que, a partir do desenvolvimento das atividades de
familiarização ao R, desenvolvidas antes do experimento de ensino, estas seriam
utilizadas pelos alunos quando necessárias para o desenvolvimento das tarefas do
experimento de ensino a fim de atingir os objetivos pensados para cada tarefa.
Porém notamos que os alunos apresentaram certa dificuldade no acesso e uso
destas informações nas primeiras seções. Já a partir desta seção, é notória a
familiarização dos alunos com as ferramentas anteriormente apresentadas,
facilitando assim a execução e entendimento das tarefas propostas.
No mesmo sentido das discussões feitas anteriormente, notamos que todas
as tarefas realizadas anteriormente, tanto quanto o uso do software R na realização
das tarefas, mostram-se como elementos carregados de significados no contexto da
atividade. Cada vez que é solicitado que os alunos olhem para as tarefas anteriores
ou respondam novamente a questionamentos já respondidos, é possível observar
que este novo olhar já está impregnado de novos sentidos. Isto nos leva a pensar
que está sendo contemplada também a dimensão semântica que deve proporcionar
ao aprendiz condições de manipular elementos que carregam significados e fazem
sentido para ele, segundo Maltempi (2004).
Notamos que os questionamentos postos nesta seção fazem com que os
alunos reflitam sobre o sentido da probabilidade em situações de seu dia a dia além
de pensar sobre a “justiça” que se faz ou não em determinadas situações que estão
à mercê da probabilidade de seu acontecimento. Desta maneira, pensamos que está
sendo iniciada uma reflexão no âmbito social, sinalizando para esta que também é
uma dimensão a ser considerada. De acordo com Maltempi (2004), deve haver uma
integração da atividade com as relações pessoais e com a cultura do ambiente na
qual ela se encontra, sendo o computador uma forte ferramenta de cunho social
para contribuir para o alcance desta integração.
124
Seção/ objetivos
Resultados esperados Resultados observados
Esta seção IV
teve como
objetivo
proporcionar o
confronto entre
as
probabilidades
teórica e
frequentista
Tarefa 1- Comparar os resultados das probabilidades teórica e frequentista utilizando uma tabela.
Tarefa 1- Tarefa executada por todos os grupos sem dificuldades.
Tarefa 2- Perceber que a freqüência relativa é uma estimativa da probabilidade teórica e que seus resultados vão variar de um experimento para outro.
Tarefa 2- Todos os grupos identificaram que apesar das semelhanças nos resultados obtidos (frequentista,teórica) a probabilidade teórica independe da experimentação.
Tarefa 3- Optar pela probabilidade teórica em detrimento da frequência relativa, levando em consideração que a probabilidade teórica modela esta situação de forma adequada.
Tarefa 3-Dos três grupos apenas D1 optou pela probabilidade teórica.
Tarefa 4- Observar que podem haver diferenças entre os resultados da experimentação com o teórico, mas que os gráficos apresentam formatos semelhantes.
Tarefa 4- Os alunos perceberam que o padrão dos gráficos resultantes da experimentação apresentava a mesma tendência do gráfico da probabilidade teórica.
Tarefa 5- Percepção de que os amigos que moram mais distantes do ponto central ficam em desvantagem, podendo classificar ou não a nova forma de visita como injusta.
Tarefa 5- Todos os grupos responderam que a nova forma de visita não é justa.
Tarefa 6- No caso em que a nova forma de visita foi considerada injusta na tarefa anterior, pode aparecer a indicação da forma inicial de visita, ou seja, a determinística, ou a ideia de distribuição uniforme.
Tarefa 6- D1 propôs que a melhor maneira de visita seria a feita inicialmente; D2 que fosse feito um sorteio em que os amigos já sorteados fossem excluídos dos novos sorteios; e D3 não sugeriu nenhuma outra forma de visita.
Quadro 6 – Síntese dos resultados esperados e observados para as tarefas da seção 4.
125
6.3.5 Seção V. Outras explorações
Seção.V.1- Todos os grupos conseguiram realizar a simulação dos doze mil
experimentos no software R, como, por exemplo, o resultado apresentado na Figura
30. Quando compararam o resultado com a simulação de trinta experimentos, todos
os grupos relataram que não observaram grandes diferenças e que não havia
alterações na ordem de visitas. Quando compararam com a probabilidade teórica,
D1 e D3 acrescentaram que era possível ter a certeza da probabilidade de visitas a
cada amigo.
.
Figura 32 - Script de D3 para a tarefa 1.
Na segunda questão, quando questionados a traçar uma estratégia para
que Fernanda deixasse de ser a amiga mais visitada, D1 e D3 sugeriram que fosse
trocada a ordem dos nomes no tabuleiro de visitas; D2 sugeriu que fosse feito o
lançamento das moedas e se saísse a sequência que leva à Fernanda, fosse
descartada e lançada a moeda novamente. Pelos resultados pode-se inferir que os
alunos não perceberam, nessa fase, que uma mudança no valor da probabilidade
poderia resultar na solução desejada, tal fato pode nos levar a pensar que os alunos
tinham em mente apenas a ideia de moedas cujos resultados de cara e coroa são
equiprováveis. Já na tarefa 3 da seção I, foi possível evidenciar a concepção de
126
equiprobabilidade por parte dos alunos, uma vez que todos os grupos afirmaram que
a probabilidade de sair cara era igual à probabilidade de sair coroa, portanto 50%.
Essas evidências também foram constatadas nos estudos de Carzola; Gusmão &
Kataoka (2011).
Seção.V.2- Na terceira questão, era esperado que os alunos percebessem que
Fernanda e Alex seriam os amigos mais visitados uma vez que esta observação se
daria através da simulação. Os três grupos identificaram que Alex seria um dos
amigos mais visitados em relação à Fernanda; apenas uma dupla D2 a identificou
como sendo um dos amigos mais visitados; os outros dois grupos relataram que
Paula seria a outra amiga mais visitada. O não apontamento de Fernanda como
sendo uma das amigas mais visitadas pode estar atrelado ao fato de que ela
necessitava de 50% de faces cara para ser visitada. E como foi utilizada uma
probabilidade de 0,6 (60%) neste caso, provavelmente os grupos pensaram apenas
em Alex como sendo o amigo mais visitado, uma vez que tinha probabilidade de
cara maior do que 50%.
Na quarta questão, era esperado que os alunos identificassem que Alex e
Paula seriam os amigos mais visitados por se tratar da probabilidade de 0,8 para
cara, e, por conseguinte necessitarem de uma maior quantidade de faces cara para
que fossem visitados; os grupos D1 e D3 identificaram Alex e Paula como sendo os
mais visitados; D2 indicou apenas Paula como sendo a amiga mais visitada.
Na quinta questão, todos os grupos apontaram Felipe como sendo o amigo
mais visitado, contrariando totalmente a resposta esperada para esta questão, que
era o apontamento de Luiz como sendo o mais visitado, uma vez que era o único
amigo que não necessitava de nenhuma face cara para ser visitado. Nesta questão,
as respostas foram provavelmente influenciadas pela pouca compreensão da
probabilidade ser 0,1, ou seja, os alunos conseguiram identificar que Fernanda
deixava de ser a amiga mais visitada com uma probabilidade menor, porém
interpretaram que como Felipe necessitava de uma face cara, este estaria
diretamente relacionado com a probabilidade 0,1, o foco da análise se concentrou no
algarismo1.
Ao analisar esta subseção, notamos que houve uma falha em não ter
solicitado que os alunos justificassem as suas respostas, o que prejudicou a análise
dos motivos que os levaram a chegar a tais conclusões. Esta falha deve-se às
127
seções I a IV que já estavam estruturadas por outros pesquisadores, sendo que
fizemos apenas algumas alterações ao integrar a utilização do software R. A seção
V foi elaborada especialmente para este estudo, mas não houve tempo para o
amadurecimento destas questões em outras aplicações-testes. Mesmo sem termos
solicitado as justificativas, percebeu-se que os alunos justificam também algumas
questões desta seção porque já estavam habituados a justificar as suas respostas.
Por exemplo, na questão 5, D2 respondeu: “Felipe, pois ele é o único que necessita
de apenas uma cara”. Outro detalhe é que não foi possível perceber nas gravações
estas discussões.
Seção.V.3- Na tarefa 6, todos os grupos classificaram facilmente as moedas como
honestas e viciadas, porque estes termos são muito utilizados em situações de jogos
independentes do ambiente escolar.
Na tarefa 7, observamos que foi cometido um equívoco, esta questão era
para ser posta depois da tarefa oito, para que alterassem apenas a probabilidade de
0,6 para 0,8, executassem a simulação novamente e tirassem as conclusões a partir
desta observação. O fato de esta questão ter aparecido antes da tarefa oito e logo
após a tarefa seis, que discutia a classificação da moeda dada uma probabilidade
diferente de 0,5, fez com que as respostas apresentadas pelos alunos demonstrem
que os mesmos entenderam que a pergunta se referia a como deveria ser
classificada a moeda se a probabilidade fosse 0,8. Assim, todos relataram que, ao
trocar a probabilidade de sucesso para 0,8, estaríamos trabalhando com uma moeda
viciada.
Na tarefa 8, D2 reconheceu que Fernanda continuava sendo a amiga mais
visitada, D1 e D3 declararam que os amigos mais visitados seriam Paula e Alex,
provavelmente no momento de transpor as respostas, as duplas devem ter feito
alguma confusão entre os nomes de Fernanda e Paula, uma vez que, como
demonstrado no script da Figura 33, realizaram a simulação de forma correta.
128
Figura 33 - Script do R do grupo D1 para a Tarefa 31
Considerações deste bloco de tarefas
Nesta seção, observamos que o uso do computador por meio do software R,
se constituiu em uma importante ferramenta. Inicialmente potencializou a
visualização dos alunos através do experimento com 12.000 lançamentos, o que
proporcionou de forma significativa a observação do fenômeno de convergência,
reflexão esta que já vinha sendo construída no decorrer do desenvolvimento do
experimento e agora pôde ser concluída com um experimento com maior número de
lançamentos. A tarefa 1 apresentou um papel importante, uma vez que colaborou
para que os alunos tivessem um olhar mais apurado em relação à convergência ao
retomar esta questão agora com uma experimentação bem maior, reforçando o
apontado por Batanero (2001), em relação ao cuidado que se deve ter ao se
trabalhar com a experimentação aleatória, para que não ocorra a extensão indevida
da “Lei de grandes números”, acreditando-se na existência de uma “lei de pequenos
números”.
Consideramos que esta seção levou os alunos a uma reflexão diferente das
que estavam habituados em relação à probabilidade de se sair uma face da moeda,
considerando que ela seja viciada, ao oferecer o acesso às ferramentas do software
que possibilitaram alterar a probabilidade de sair a face cara. Refletir sobre os
129
possíveis resultados de uma moeda viciada é feito em sala de aula, porém essas
reflexões provavelmente são feitas de maneira muito abstrata e os alunos
normalmente não têm contato com algo mais concreto, ou seja, uma moeda viciada
ou um software de simulação que ofereça esta possibilidade. Neste contexto,
consideramos que esta tarefa possibilitou tal reflexão através de uma realização
concreta no contexto da atividade realizada, o que, mais uma vez, reforçou as
características do construcionismo.
130
Seção/
objetivos Resultados esperados Resultados observados
Esta seção V teve como objetivo proporcionar reflexões sobre o conceito de não equiprobabilidade.
Tarefa 1- Perceber o fenômeno de convergência.
Tarefa 1- Todos os grupos realizaram a simulação dos doze mil experimentos no software R e perceberam o fenômeno de convergência.
Tarefa 2- Observar que mudar a probabilidade de sair a face cara é uma estratégia suficiente para que Fernanda deixe de ser a amiga mais visitada.
Tarefa 2- Nenhum grupo identificou que bastaria mudar a probabilidade de sucesso para a face cara.
Tarefa 3 - Verificar que a mudança da probabilidade de sair face cara de 0,5 para 0,6, implicaria que Fernanda deixasse de ser a única amiga mais visitada. Para esse valor de probabilidade Fernanda e Alex seriam os amigos mais visitados.
Tarefa 3 - Alex foi identificado como o amigo mais visitado pelos três grupos, sendo que Fernanda foi identificada como sendo uma das amigas mais visitadas apenas por D2.
Tarefa 4 - Avaliar que os amigos mais visitados seriam Alex e Paula para a probabilidade de 0,8
Tarefa 4 - D1e D3 identificaram Alex e Paula como os amigos mais visitados, D2 apontou apenas Paula como a amiga mais visitada.
Tarefa 5 - Identificar que Luiz seria o amigo mais visitado para a probabilidade de 0,1.
Tarefa 5 - Todos os grupos apontaram Felipe como o amigo mais visitado, contrariando totalmente os resultados esperados.
Tarefa 6 - Classificar a moeda com probabilidade 0,5 para face cara como honesta e as moedas com probabilidades diferentes de 0,5 para cara como viciadas.
Tarefa 6 - Tarefa executada por todos os grupos sem dificuldades.
Tarefa 7-Identificar Alex e Paula como os amigos mais visitados.
Tarefa 7- Como esta tarefa foi apresentada em uma ordem errada (após a tarefa 8), as respostas foram influenciadas pela tarefa 8, e desta maneira, os alunos em suas respostas classificaram a moeda como sendo viciada.
Tarefa 8- Perceber que Fernanda compartilha o posto de amigo mais visitado com Alex.
Tarefa 8 - D3 respondeu apenas que Fernanda continuava sendo a amiga mais visitada; D1 e D2 apontaram Paula e Alex como os amigos mais visitados, porém, em seus scripts, aparecem Fernanda e Alex.
Quadro 7 – Síntese dos resultados esperados e observados para as tarefas da seção 5.
131
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A busca por atividades didáticas, que proporcionassem um aprendizado mais
significativo de Probabilidade nas últimas séries da educação básica, foi o que
motivou o desenvolvimento desse estudo. No início de nossas reflexões, já
reconhecíamos que existem ainda muitos desafios relacionados ao processo de
ensino e aprendizagem deste conceito na educação básica, seja ela pública ou
privada. Este reconhecimento foi fruto da leitura de trabalhos anteriores, de nossa
experiência como professor e dos diálogos com profissionais da área.
De fato, como relatado na introdução, tínhamos duas inquietações em relação
ao ensino de Probabilidade, quais sejam o uso significativo do computador para o
desenvolvimento dos conceitos probabilísticos e uma maior autonomia dos alunos
na construção de seu conhecimento. Essas inquietações fizeram-nos optar pela
proposição de um experimento de ensino para trabalhar o conceito de Probabilidade
com o uso do software R na perspectiva do construcionismo de Papert (1980) e
como parâmentro para sua realização os procedimentos referenciados pela
metodologia do Design Experiments de Cobb et al. (2003).
Desta forma, descreveremos a seguir os principais aspectos observados na
análise dos dados, com vistas a responder a questão de pesquisa desse estudo:
quais aspectos podem ser observados, quando se integra, no processo de
aprendizagem dos alunos, o ambiente computacional, software R, para se trabalhar
os conceitos probabilísticos, na perspectiva do modelo de letramento probabilístico
proposto por Gal (2005) e do construcionismo de Papert (1980)?
Notamos que o trabalho com uma maior autonomia dos alunos na construção
de seu conhecimento, atrelado ao uso do recurso computacional, constituiu-se em
uma importante ferramenta para a construção do conhecimento probabilístico. Uma
vez que, ao final do desenvolvimento do experimento, foi possível notar que o
trabalho propiciou importantes discussões referentes à comparação entre os
resultados simulados e teóricos, a observação do fenômeno da convergência, dentre
outras, como proposto nos objetivos descritos inicialmente. Além disso, o
desenvolvimento desse trabalho fazendo uso da metodologia do Design Experiment
permitiu ao aluno uma participação mais ativa no processo, e, por conseguinte, um
ambiente de aprendizagem na perspectiva construcionista.
132
Devemos considerar que ainda há muitos desafios a serem superados para
se desenvolver trabalhos deste tipo no ambiente escolar, quer seja pelo caráter de
seu objetivo, que tem como proposta trabalhar, ao mesmo tempo, com o uso
significativo do computador e a construção de forma autônoma do conhecimento
probabilístico. O ensino deste conceito ainda é pouco trabalhado na educação
básica, bem como as barreiras impostas pela dinâmica de funcionamento da escola.
Consideramos que a escolha em trabalhar com o experimento de ensino
“Passeios Aleatórios da Carlinha” foi fundamental para o alcance dos objetivos
inicialmente pensados. O fato de ser um experimento já explorado por outros
pesquisadores, em perspectivas diferentes e com públicos diferentes, foi uma das
vantagens, uma vez que assim já tínhamos bases sólidas para termos feito as
adaptações necessárias. Nas análises posteriores, claramente notamos a incidência
de erros na sua construção e/ou falta de entendimento dos enunciados pelos alunos
foi baixa nessas atividades já existentes.
Outro ponto importante a ser destacado é que acreditamos que o trabalho,
com um experimento que já foi explorado em perspectivas diferentes, oferece novas
contribuições para que o professor, independente do nível em que atua, tenha a
percepção que este experimento pode ser adaptado e aplicado à realidade na qual
se encontra, o que representou uma das nossas preocupações desde o início do
trabalho.
O uso do software R correspondeu às expectativas postas; primeiramente,
destacamos a sua importância no que se refere a sua viabilidade de uso em uma
escola da rede pública de ensino, uma vez que é um software free de código aberto
e exige baixa configuração do computador. E, por outro lado, consideramos que os
apontamentos anteriores que sinalizavam para o fato de que, ao se trabalhar com
linguagem de programação, o trabalho poderia ser prejudicado, levando em
consideração a pouca familiaridade dos alunos com este tipo de linguagem, foi
possível observar que esta dificuldade se deu apenas nos primeiros encontros, não
prejudicando o trabalho posterior. É possível notar que o trabalho com a linguagem
de programação acabou contribuindo para a integração dos alunos no ambiente
computacional, uma vez que propiciou um sentimento de controle dos alunos sobre
o computador, ou seja, o sentimento de poder manipular os comandos e não só
trabalhar com comandos prontos como o que já estão habituados.
133
Ao analisar os resultados e, principalmente quando consideramos a questão
“Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?”, observa-se que teve
um importante destaque, uma vez que foi repetida em várias seções do
experimento. Por isso notamos um amadurecimento significativo nas justificativas
apresentadas, demonstrando, assim, um maior entendimento do conceito de
probabilidade. Nota-se também que o trabalho com a árvore de possibilidades
ocupou um papel de destaque nesse amadurecimento, uma vez que proporcionou
aos alunos importantes reflexões no âmbito da probabilidade teórica, afastando-os
um pouco do raciocínio até então apenas frequentista.
Destacamos que, ao longo do desenvolvimento do experimento, há de se
ressaltar outros dois pontos fundamentais para a construção do conceito de
Probabilidade que foram propiciados pelo software R. Primeiramente, quando foi
feita a simulação dos 12.000 experimentos , potencializando assim a visualização do
fenômeno de convergência. E, posteriormente, quando ofereceu a possibilidade dos
alunos trabalharem com uma probabilidade diferente de 0,5 da ocorrência da face
cara de uma moeda, proporcionaram, assim, a oportunidade de reflexões que foram
além da ideia de equiprobabilidade que, logo no início, já se mostrou bastante
comum aos alunos.
Acreditamos que todos os pontos destacados anteriormente contribuíram para
o desenvolvimento do letramento probabilístico, uma vez que, em alguns momentos,
mesmo que ainda de maneira informal, foram trabalhados ou abordados os cinco
elementos do modelo proposto por Gal (2005) Abordagem de grandes tópicos,
Cálculos probabilísticos, Linguagem, Contexto e Perguntas críticas necessários
para que uma pessoa seja considerada letrada em probabilidade.
Apesar de todas as dificuldades detectadas, tanto no que se refere ao
entendimento do conceito probabilístico, o nível de autonomia dos alunos e
considerando que este tipo de trabalho ainda não é comum no cotidiano escolar,
além da necessidade de estudos posteriores que serão apontados a seguir,
acreditamos que, ao final do trabalho, proporcionamos aos alunos reflexões mais
abrangentes em relação ao conceito de probabilidade através de uma visão
diferenciada do uso do computador por meio do software R para o desenvolvimento
deste conceito.
Esses resultados parecem indicar que a utilização desse tipo de experimento
pode se constituir em um importante recurso pedagógico para os professores
134
trabalharem conceitos probabilísticos na educação básica, e, por conseguinte,
possam contribuir para o letramento probabilístico dos alunos.
PERSPECTIVAS FUTURAS
Acreditamos que as reflexões propostas por esta pesquisa apontam para a
necessidade de estudos posteriores, destacando-se alguns pontos importantes.
Primeiramente consideramos que a inserção da seção denominada “Outras
explorações” abre a possibilidade para a releitura dos estudos já realizados em
outras perspectivas com este experimento de ensino. Sendo assim, pensamos que
várias considerações já existentes em relação ao experimento podem ser
implementadas a partir da inserção desta nova seção.
Ressaltamos também a necessidade de novas investigações no que se refere
ao papel do professor no processo de ensino e aprendizagem de probabilidade,
além da necessidade de repensar o uso do recurso computacional no
desenvolvimento desse conceito.
Não podemos deixar de destacar que o professor, ao aplicar este
experimento, pode distribuir o desenvolvimento das atividades ao longo de um
período maior. Sugerimos, por exemplo, que as atividades de familiarização ao
software R sejam realizadas ao longo do primeiro semestre do ano letivo, até porque
a familiaridade com esse software trará contribuições não só para esta sequência de
ensino, mas também para o desenvolvimento de aulas de outros tópicos da
Matemática como, por exemplo, matrizes, trigonometria, dentre outros. Sendo assim,
no momento em que o professor for trabalhar com este experimento, o uso do R já
será familiar.
Já em nossas análises posteriores, identificamos a necessidade de algumas
alterações nas questões propostas na última seção, como, por exemplo, a
reestruturação das perguntas de modo a perceber quais são as justificativas dos
alunos. Uma vez que notamos que as justificativas apresentadas contribuíram mais
do que a resposta principal, em algumas perguntas, indicando, assim, a necessidade
de outros estudos que abordem tanto a complementação desta seção bem como o
seu impacto no conceito da não equiprobabilidade.
Além das dificuldades apontadas nas considerações finais, temos que levar
em consideração o fato do experimento ser desenvolvido no ambiente
135
computacional que nos remete a uma dificuldade: são poucos professores que
desenvolvem parte de suas aulas no laboratório de informática. Provavelmente isto
se deve a vários fatores: a inexistência de laboratórios de informática em algumas
escolas, principalmente aquelas que se encontram em regiões rurais; as inúmeras
recomendações e responsabilidades passadas aos professores ao utilizar o
laboratório; o número insuficiente de máquinas e a falta de familiaridade do
professor com o computador.
Tendo consciência de todas estas dificuldades, apontamos também a
necessidade do desenvolvimento de um estudo posterior com a finalidade de
explorar as potencialidades do experimento por meio de uma formação continuada
com professores da educação básica.
.
136
REFERÊNCIAS
AKAZAWA, F; UTSUMI, M. Integrando a tecnologia à aula de matemática por meio do conhecimento tecnológico e pedagógico do conteúdo. Anais do
Seminário Internacional de Educação Matemática. São Paulo, SP : UNIBAN, 2011.
BATANERO, C; GODINO, J. Stochastics and its didactics for teachers: Edumat-Teachers project. Granada, Universidad de Granada, 2002. Disponível em: <http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/welcome.html>. Acesso em: 01 dez. 2009. BATANERO, C. Didáctica de la Estadística. Universidad de Granada.
Departamento de Didáctica de la Matemática.2001. Disponível em: <http://www.ugr.es/~batanero>. Acesso em: 01 dez 2009. BATANERO, C. Didáctica de la Probabilidad. Universidad de Granada.
Departamento de Didáctica de la Matemática.2001. Disponível em: <http://www.ugr.es/~batanero>. Acesso em: 30 jul. 2010. BATANERO, C; DIAZ, C. Probabilidad, Grado de Creencia y Proceso de Aprendizaje. XIII Jornadas Nacionales de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas. Granada, Julio, 2007. BORBA, M; PENTEADO, M.. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte:
Autêntica, 2010. BOROVCNIK, M; KAPADIA, R. Research and Developments in Probability Education. International Electronic Journal of Mathematics. V. 4, Number 3, October 2009 . Disponível em: <http://www.iejme.com>. Acesso em: 20 set. 2010.
BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: Ministério da Educação/Secretaria de Educação Fundamental, 1998. BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN Ensino Médio: Orientações Educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação/ Secretaria de Educação Média e Tecnológica, 2002. BROUSSEAU, G. Fundamentos e Métodos da Didáctica da Matemática. In: Brun, Jaean (Org.). Didáctica das matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. CAZORLA, I. M.; SANTANA, E. R. dos S. Tratamento da Informação para o Ensino Fundamental e Médio (1ed.). Itabuna, Bahia, Brasil: Via Litterarum, 2006.
137
CAZORLA. I; KATAOKA, V, Y.; NAGAMINE, C.M.L. Os passeios aleatórios da Carlinha. Tutorial do AVALE. Disponível em: < http://avale.uesc.br>. Acesso em: 30 jun. 2010. CAZORLA, I.; GUSMÃO, T. , KATAOKA, V. Y. Validação de uma sequência didática de Probabilidade a partir da análise da prática de professores, sob a ótica do Enfoque Ontossemiótico. Revista Bolema, 39, p. 537 – 560, 2011.
CHANCE, B, ROSSMAN, A. Using simulation to teach and learn Statistics. In A.
ROSSMAN & B. CHANCE (Eds.), Proceedings of the Seventh International Conference on Teaching Statistics. CD ROM. Salvador (Brazil): International Association for Statistical Education. 2006. Disponível em: <http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/publications>.Acesso em: 02 dez .2009. CHEVALLARD, Y.Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 12 (1), 73-112, 1992.
COBB, P et al. Design experiments in education research. Educational
Researcher, Washington, v.32, n.1, p. 9-13, 2003. COUTINHO, C. Introduction aux Situations Aléatoires dès le Collège: de la modélisation à la simulation d’expériences de Bernoulli dans l’environnement informatique Cabri-géomètre II. 2001. Tese ( Doutorado). Univ. J. Fourier, Grenoble, France, 2001. São Paulo, Currículo Oficial do Estado de São Paulo: Matemática (Coord.Maria Inês
Fini). São Paulo:SEE, 2009. DAMASCENO, J. A. E. Estudo exploratório das concepções probabilísticas correspondentes aos níveis de Green. Revista Bolema, Rio Claro, 10, p.43-
61.1995. DELMAS, R; GARFIELDE J; CHANCE, B. A model of classroom research in action: Developing simulation activities to improve students’ statistical reasoning.
Journal of Statistics Education, 7(3), 1999. Disponível em <http://www.amstat.org/publications/jse/secure/v7n3/delmas.cfm>.Acesso em: 02 dez 2009. FERNANDEZ, D. e FERNANDEZ, D. X. O prazer de aprender probabilidade através de jogos: descobrindo a distribuição Binomial. Anais da Conferencia
Internacional “Experiências e Expectativas do Ensino de Estatística – Desafios para o Século XXI”. Florianópolis, SC : UFSC, 1999. FISCHBEIN, E. Intuition in science and mathematics. Dordrecht: D.Reidel
Publishing Company, 1987. GAL, I. Exploring probability in school: Challeges for teachingand learning. 39-63p. 2005.
138
GODINO, J.D. Qué aportan los ordenadores a la enseñanza y aprendizaje de la estatística?. UNO, 5, 45-56, 1995. GUSMÃO, T. e CAZORLA, I. Uma análise semiótica dos passeios aleatórios da Mônica: atividade para ensinar conceitos básicos de probabilidade. Anais do IV Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. SBEM: Taguatinga-DF, 2009. HERNANDEZ T., H.M.; KATAOKA, V. Y, OLIVEIRA, M. S. de. Random walks in teaching probability at the high school. In: 8th Conference International on Teaching Statistics - ICOTS8, 2010, Ljubljana. Proceedings 8th Conference International on Teaching Statistics, 2010. .KARRER, M. Articulação entre álgebra linear e geometria um estudo sobre as transformações lineares na perspectiva dos registros de representação semiótica. 2006. 344 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2006. KATAOKA, V. Y. RODRIGUES, A.; OLIVEIRA, M. S. Utilização do conceito de probabilidade Geométrica com recurso didático no ensino de Estatística. Anais: IX Encontro Nacional de Educação Matemática, Belo Horizonte, Minas Gerais, Brasil, 2007. KATAOKA, V. Y.; SOUZA, A. A.; OLIVEIRA, A. C. S.; PARANAIBA, P. F ; FERNANDES, F. de M. O.; OLIVEIRA, M. S. de. Probability Teaching in Basic Education in Brazil: Assesment and Intervention. In: ICME11, 2008, Monterrey, México. Proceddings11th International Congress on Mathematical Education, 2008 LANE, D. M.; PERES, S. C. Interactive simulations in the teaching of statistics:
promise and pitfalls. In A. ROSSMA, & B. CHANCE (Eds.), Proceedings of the Seventh International Conference on Teaching Statistics. CD ROM. Salvador (Brazil): International Association for Statistical Education. 2006. On line: <http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/publications>.Acesso em 02 dez 2009. LOPES, C. O Conhecimento Profissional dos professores e suas relações com Estatística e Probabilidade na Educação Infantil. 2003. Tese (Doutorado): Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2003.
MAIA, D. Função quadrática: um estudo didático em uma abordagem
computacional. 2007. 141. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática).
Pontifícia Universidade Católica – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
São Paulo, 2007. NAGAMINE, C. L; HENRIQUES, A; CAZORLA, I. Análise Apriori dos Passeios Aleatórios da Mônica. Anais: X Encontro Nacional de Educação Matemática,
Salvador, Bahia, Brasil, 2010. MALTEMPI, M. In: BICUDO, M.A. V e BORBA, M.C. Educação matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004, p. 264-282.
139
MILLS, J. Using computer simulation methods to teach statistics: A review of the literature. Journal of Statistics Education, v.10, n.1, 2002. PAPERT, S. Midstorms: Children, computers and powerful ideas. Basic Books, New York. Trad. Como Logo: Computadores e Educação. 2. Ed. São Paulo: Editora
Brasiliense, 1980. 253 p. ______.A máquina das crianças: Repensando a escola na Era da Informática. Trad. Costa, S. Porto Alegre: Artes Gráficas, 1994. PIAGET, J. Fazer e Compreender (Tradução: Leite, C,L.P.). São Paulo:
Melhoramentos, 1996. POSNER, G. J., STRIKE, K. A, HEWSON, P. W.; GERTZOG, W. A. Accommodation of scientific conception: Toward a theory of conceptual change. Science Education..
v. 66, 211-227, 1982. PRATT, D; KAPADIA, R. Shaping the Experience of Young and Naïve Probabilists. International electronic journal of mathematics. v. 4, n. 3, 2010. Disponível em: <http://www.iejme.com>. Acesso em: 20 set. 2010. R Development Core Team. R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, versão 0.02,
2010. VALENTE, J. A. Porque o computador na educação? In: VALENTE J.A. (Org.) Computadores e Conhecimento: Repensando a Educação. Campinas: Gráfica da
UNICAMP, 1994, p. 24-44. WODEWOTZKI, M. L. JACOBINI, O.R. In: BICUDO, M.A. V e BORBA, M.C. Educação matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004, p. 77-
91.
140
APÊNDICE A – Atividade de Familiarização ao Software R
1) Efetuar as seguintes operações:
1.1) (12+9)+15
1.2) 48 dividido por 6
1.3) 13 dividido por 4 (apresentar o resultado com duas casas decimais)
1.4) 6 vezes 8
1.4) 2 elevado a quarta potência
1.6) Raiz quadrada de 64
1.7) Raiz cúbica de 8.
2) Considerando a tarefa anterior, nomear cada uma das operações com as
respectivas letras a,b,c,d,e,f,g e posteriormente efetuar as seguintes operações:
2.1) a somado com b
2.2) c multiplicado por d e o resultado dividido por 2
2.3) f elevado a terceira potência e o resultado somado a e.
3) Gerar os vetores que armazenem:
3.1) A sequência dos dez primeiros múltiplos de três
3.2) A sequência dos dês primeiros números naturais
3.3) A repetição doze vezes do número quatro
3.4) A repetição nove vezes da sequência numérica de 5 a 7.
3.5) O seu nome e de mais dois colegas.
4) Considerando as sequencias geradas na atividade anterior nomear as duas
primeiras operações da Tarefa 8, respectivamente com as letras h e i, e em seguida
efetuar as operações:
4.1) Sequencia h + Sequencia i
4.2) Sequencia i multiplicada por 5.
5) Gere a seguinte sequência utilizando as ferramentas do R:
5.1) 20, 16, 12, 8, 4, 0
6) Na última função: legend(7,25,agências,bty="n",pch=c(15,15,15,15),col=c("blue","red","green"))
6.1) Troque o número 7 pelo número 10, aperte Ctrl R e verifique o que acontece na
legenda do seu gráfico.
141
6.2) Agora substitua o número 7 pelo número -1, aperte Ctrl R e verifique o que
acontece com a legenda do seu gráfico. Acrescente um comentário no seu script
relatando as conclusões que você chegou.
6.3) Faça o mesmo com o número 25, primeiramente o substitua pelo número 20 e
veja o que acontece e posteriormente o substitua pelo número -2. Acrescente um
comentário no seu script relatando as suas conclusões.
6.4) Experimente trocar o número 15 por outros valores de sua preferência e
observe o que acontece com a sua legenda. Acrescente um comentário no seu
script relatando a que conclusões você chegou.
6.5) Por fim, troque as cores armazenadas no vetor col=
c("blue","red",“green”), tanto na função legend, como na função barplot, por outras
cores (em inglês) de sua preferência e observe o que acontece na legenda de seu
gráfico. Acrescente um comentário no seu script relatando a que conclusões você
chegou.
7) Tente descobrir quais são as características da função abline(h=0).
7.1) Inicialmente, tente construir o gráfico no software R, sem utilizar esse comando.
7.2) Agora tente construir o gráfico colocando outros valores para h=0.
7.3) Acrescente um comentário no seu script, relatando a que conclusões você
chegou com relação as características da função abline.
8) Nas lojas A, B, C e D de uma rede de livrarias o estoque de seus livros didáticos
de matemática M1, M2 e M3 é o seguinte:
Livraria M1 M2 M3
A 10 120 80 B 20 15 48 C 5 40 30 D 15 10 54
Com base nesses dados, construa um gráfico de barras utilizando as ferramentas do
R comparando a quantidade dos três tipos de livros nas livrarias A, B, C e D.
142
9) epita pelo menos 2 vezes a tarefa 21 e observe os resultados da tabela das
freqüências absolutas (tabg).
Que conclusões você pode chegar? ______________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
10) Considere a seguinte situação:
Um professor de Ciências passou um trabalho para uma turma e disse que atribuirá
notas de 0 a 4, sendo que essas notas se fossem convertidas para conceitos
corresponderiam a: insuficiente, ruim, regular, bom e muito bom, respectivamente.
Simule as notas de uma turma com 30 alunos e faça um gráfico de barras para
representar o número de alunos (freqüência absoluta) em relação aos conceitos
atribuídos no trabalho.
11) Compare graficamente e por escrito os seus resultados da tarefa 24 com de
outro aluno.
143
APÊNDICE B – Experimento de Ensino
Seção I. A estória (o contexto)
A Carlinha costumava visitar seus amigos durante os dias da semana em uma
ordem pré-estabelecida: segunda-feira, Luiz; terça-feira, Felipe; quarta-feira,
Fernanda; quinta-feira, Alex e sexta-feira, Paula. Para tornar mais emocionantes os
encontros, a turma combinou que o acaso escolhesse o amigo a ser visitado pela
Carlinha. Para isso, na saída de sua casa e a cada cruzamento, Carlinha deve jogar
uma moeda; se sair cara (C), andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (X),
um quarteirão para o Leste. Cada jogada representa um quarteirão de percurso.
Carlinha deve jogar a moeda quatro vezes para poder chegar à casa dos amigos.
Lendo apenas a estória, sem fazer a simulação, responda:
1)Qual é a diferença entre a forma antiga da Carlinha visitar seus amigos e a nova
forma?______________________________________________________________
2)Quais são os possíveis resultados ao lançar uma moeda: ____________________
___________________________________________________________________
PAULA
ALEX
FERNANDA
FELIPE
CARLINHA LUIZ
144
3)Qual é a chance de sair cara: __________ e de sair coroa: __________________
Por que vocês acham isso: _____________________________________________
4) Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?
( ) Não. Quais são as chances: _________________________________________
( ) Sim. Qual é a chance: ______________________________________________
Por que vocês acham isso: _____________________________________________
5)Imagine que vocês jogaram 4 vezes a moeda, como vocês anotariam esse
resultado imaginário?__________________________________________________
Seção II. A simulação
7) Para Carlinha visitar um amigo, vocês (cada dupla de participantes) terão que
simular o lançamento da moeda quatro vezes, que denominamos de experimento.
Se sair cara (0), Carlinha andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (1), um
quarteirão para o Leste, para a realização desta simulação no software R
utilizáramos a seguinte linguagem: para representar a face cara utilizaremos o
algarismo 0 e para representar a face coroa o algarismo 1 . Vocês devem simular
esse experimento 30 vezes. Por exemplo, se sair a seqüência: cara, cara, coroa,
cara, ou seja (0,0,1,0): deve-se atribuir Alex para o amigo visitado. Preenchendo a
tabela 1.
Tabela 1. Resultados da simulação.
Experimento Seqüência Amigo visitado
Experimento Seqüência Amigo visitado 1. 16.
2. 17. 3. 18. 4. 19. 5. 20. 6. 21. 7. 22. 8. 23. 9. 24. 10. 25. 11. 26. 12. 27. 13. 28. 14. 29. 15. 30.
Fonte: Acervo Pessoal
145
8) Quem tem mais chance de ser visitado (a) Paula ou Fernanda?_______________
Por quê?____________________________________________________________
9) Existe a chance da Carlinha não visitar algum amigo? ( ) Não ( ) Sim
Por quê?____________________________________________________________
10) Depois de ter realizado a simulação, vocês mudariam de opinião na seguinte
questão: “Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?” Pense na
sua resposta considerando a questão 4 da seção I.
( ) Não ( ) Sim.
Por quê?____________________________________________________________
11) Sistematizem os resultados obtidos no R na seção II em uma tabela que
represente os dados descritos abaixo, esta tabela é chamada de Tabela de
Distribuição de Freqüência – TDF (Tabela 2).
12) Depois que vocês organizaram os resultados na TDF, vocês mudariam de
opinião na seguinte questão: “Todos os amigos têm a mesma chance de serem
visitados?” Pense na sua resposta considerando a questão 3 dessa seção II.
( ) Não ( ) Sim. Por quê? _____________________________________________
7) Escolham uma dupla qualquer e construam 1 gráfico, que compare os seus
resultados . Eles são iguais? ( ) Sim ( ) Não.
O que vocês acham disso?______________________________________________
Seção III. A árvore de possibilidades
1)Completem a árvore de possibilidades, indicando a seqüência sorteada, o número
de caras e o amigo visitado (Quadro 1). Observe que cada ramo se desdobra em
dois novos ramos (um para cara e outro para coroa) a cada sorteio:
146
Ponto de
partida
Primeiro
sorteio
Segundo
sorteio
Terceiro
sorteio
Quarto
sorteio
Seqüência
sorteada
Nº de
caras
Amigo
visitado
C CCCC 4 Paula
C X
C
X
C
X
Carlinha
C
X
X
1) Quantos caminhos existem ao todo? ________________________________________
2)E agora, quantos caminhos existem ao todo?______________________________
3)Descubram, se existe, uma relação comum a todos os caminhos que levam a cada um dos amigos: f. Paula____________________________________________________________ g. Alex_____________________________________________________________ h. Fernanda ________________________________________________________ i. Felipe___________________________________________________________ j. Luiz______________________________________________________________ 4) Depois que vocês analisaram quantos caminhos leva a Carlinha para a casa de
cada amigo, vocês mudariam de opinião na seguinte questão: “Todos os amigos têm
a mesma chance de serem visitados?” Pense na sua resposta considerando a
questão 5 da seção II.
( ) Não ( ) Sim. Por quê? ____________________________________________
5) Analisando e sistematizando os resultados da árvore de possibilidades,
preencham a Tabela 3:
Tabela 3. Distribuição de probabilidade da visita da Carlinha a seus amigos
Amigo Nº de caminhos Nº de caminhos/total
de caminhos (fração)
Probabilidade (p)*
Luiz
Felipe
Fernanda
Alex
Paula
Total
(*) efetuar a divisão para expressar na forma decimal.
147
Seção IV. A decisão
1) Preencham a Tabela 4 com os resultados da Tabela 2 e 3:
Tabela 4. Quadro comparativo da atribuição de probabilidades
Amigo Freqüência relativa (hi) Probabilidade (pi)
Luiz
Felipe
Fernanda
Alex
Paula
TOTAL
7) Qual é a diferença entre essas duas formas de atribuir probabilidades:_________
8) Analisando os resultados, para vocês, qual dessas duas maneiras de atribuir
probabilidades é mais adequada? Por quê?______________________________
9) Construa um gráfico de barras que compare os resultados obtidos na
experimentação com a probabilidade teórica. Esses são iguais? ( )Sim ( )Não.
O que vocês podem concluir?____________________________________________
10) Vocês acham justa a NOVA distribuição de probabilidades da visita da Carlinha
entre os amigos? ( ) Sim ( ) Não. Por quê?_______________________________
Caso vocês achem injusta essa distribuição? Vocês poderiam indicar outra forma de sortear o amigo a ser visitados pela Carlinha? ______________________________ Seção V. Outras explorações
Seção .V.1.
1) Realize uma simulação com 12.000 experimentos. O que você observa quando
compara os resultados desta simulação:
c) Com a simulação de 30 experimentos:___________________________________
d) Com a probabilidade teórica:__________________________________________
2) Usando o mesmo critério do lançamento da moeda o que você faria para que a
Fernanda deixasse de ser a única amiga mais visitada? _______________________
___________________________________________________________________
148
Seção .V.2.
3) Se utilizássemos uma moeda com uma probabilidade de 0,6 para sair a face cara.
Quem seria(ão) o(s) amigo(s) mais visitado(s)?______________________________
4) E se a probabilidade de sair cara fosse de 0,8. Quem seria(ão) o(s) amigo(s) mais
visitado(s) ?
___________________________________________________________________
5) E se a probabilidade de sair cara fosse de 0,1. Quem seria(ão) o(s) amigo(s) mais
visitado(s) ?
___________________________________________________________________
Seção .V.3.
6) Considerando que estamos simulando o lançamento de uma moeda, como você
classificaria as moedas pensadas nas tarefas de 3 a 5? E a moeda pensada nas
tarefas anteriores cuja probabilidade de sucesso era de 0,5?___________________
7) Experimente agora trocar a probabilidade de sucesso para 0,8? Quais são as
suas conclusões?_____________________________________________________
8) Considerando a simulação de 12.000 experimentos realizada na tarefa 1 troque
na função simula a probabilidade de sucesso para 0,6.O que você observa? Neste
caso quem será(ão) o(os) amigo(s) mais visitado(s)?_________________________
149
APÊNDICE C – Reprogramação dos comandos do R
1. Função para a criação da coluna combinada
colunacombinada=function(a,b,c) cbind(a,b,c)
2. Função para a construção do gráfico de barras
gbarra=function(tran,cor) barplot(tran,beside=TRUE,col=(cor))
3. Função para a construção da legenda
legenda=function(a,b,c,d) legend(a,b,c,bty="n",pch=15,col=d)
4. Função composição de matriz nomeada
matriz1=function(a,b,c,d,e) matrix(a,b,c,dimnames=list(d,e))
5. Função composição de matriz não nomeada
matriz2=function(a,b,c) matrix(a,b,c)
6. Função para a construção de sequências
sequência=function(a,b,c) seq(a,b,c)
7. Função para simulação
simula=function(r,n,p) rbinom(r,n,p)
150
8. Função para a composição de tabela
tabela=function(a) table(a)
9. Função para a criação de linha vertical
vertical=function(v) abline(h=v)
10. Função para a composição de vetores
vetor=function(...) c(...)
151
APÊNCICE D – Questionário de Perfil
1) Sexo: Masculino Feminino
2) Idade:_______ (anos completos)
3) Durante as outras séries escolares, você já tinha estudado algum conceito de
Probabilidade? sim não
4) Dos termos abaixo, utilizados em Probabilidade, quais você conhece e julga-
se capaz de interpretar (marque com X)
( ) Evento ( ) Freqüência
( ) Espaço amostral ( ) Porcentagem
( ) Aleatoriedade ( ) Equiprovável
( ) Incerteza ( ) Probabilidade Clássica
( ) Chance ( ) Probabilidade Frequentista
( ) Simulação ( ) Experimentação
( ) Outros___________________________________________________________
5) Como você classifica a Probabilidade para seu cotidiano?
nada importante pouco importante importante muito importante
6) Responda sucintamente os itens abaixo (use no máximo 3 palavras):
a) Qual o primeiro sentimento que você tem, quando ouve a palavra
Probabilidade?_______________________________________________________
___________________________________________________________________
b) Qual a primeira idéia que passa pela sua "mente", quando você ouve a palavra
Probabilidade?_______________________________________________________
___________________________________________________________________
152
APÊNDICE E – Termo De Responsabilidade da Instituição
TERMO DE RESPONSABILIDADE DA INSTITUIÇÃO
Eu, Prof.(a) ____________________________________________________,
diretor(a) da Escola ____________________________________________________,
declaro ter conhecimento da pesquisa: Ensino de Probabilidade com uso do programa
estatístico R numa perspectiva construcionista, de responsabilidade da professora Dra.
Verônica Yumi Kataoka e do mestrando Robson dos Santos Ferreira da Universidade
Bandeirante de São Paulo – Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, e
autorizo sua realização com alunos do 3º ano do ensino médio, no ano de 2011.
Assinando esta autorização, estou ciente de que os alunos estarão respondendo os
seguintes instrumentos: um questionário de perfil, a atividade preliminar de familiarização do
software e o experimento de ensino “Passeios Aleatórios da Carlinha”.
Fui informado que esta pesquisa está sendo desenvolvida pelo mestrando
supracitado, sob a orientação da Profa Dra Verônica Yumi Kataoka
_____________________________________________
Assinatura do Diretor
153
APÊNDICE F – TCLE Menor
TCLE Menor
Carta de esclarecimento sobre o Projeto e a Pesquisa
Pesquisa: Ensino de Probabilidade com uso do programa estatístico R numa
perspectiva construcionista.
Pesquisadores responsáveis: Robson dos Santos Ferreira RG 42985571-0 e Verônica Yumi Kataoka RG 4.209.917
Informações sobre a pesquisa:
Esta pesquisa está sendo desenvolvida no Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática, tendo como objetivo principal investigar a aprendizagem da
probabilidade clássica e da frequentista com alunos do 3º ano do Ensino Médio, sob a
perspectiva do letramento probabilístico de Gal, por meio do experimento de ensino
Passeios Aleatórios da Carlinha no ambiente computacional, software R; culminando com os
estudos de construcionismo na concepção de Papert. A pesquisa será realizada em três
momentos, em que o aluno responderá os seguintes instrumentos: Questionário de perfil do
aluno, Atividade Preliminar de Familiarização ao Software R e o Experimento de Ensino
Passeios Aleatórios da Carlinha.
Ao preencher estes instrumentos de pesquisa, você estará consentindo que estes
dados sejam utilizados apenas para os fins desta pesquisa. Ressaltamos que não há
interesse de identificá-lo.
Desde já agradecemos sua contribuição, porque ela será de extrema importância
para que os objetivos deste trabalho sejam atingidos.
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Eu, _________________________________________________________________,
portador (a) do RG ____________________ responsável pelo aluno
________________________________________________________, residente na
_________________________________________________________, com número de
telefone ____________________ e e-mail _____________________________, abaixo
assinado, dou meu consentimento livre e esclarecido para a participação do aluno acima
referenciado como voluntário(a) da pesquisa supra citada, sob a responsabilidade dos
pesquisadores Robson dos Santos Ferreira e Verônica Yumi Kataoka.
Assinando este Termo de Consentimento, estou ciente de que:
154
1) O objetivo principal dessa pesquisa é investigar a aprendizagem da probabilidade clássica e da frequentista com alunos do 3º ano do Ensino Médio, sob a perspectiva do letramento probabilístico de Gal, por meio do experimento de ensino Passeios Aleatórios da Carlinha no ambiente computacional, software
R; culminando com os estudos de construcionismo na concepção de Papert.
2) Durante o estudo, o aluno sob minha responsabilidade estará preenchendo os seguintes instrumentos: Questionário de perfil do aluno, Atividade Preliminar de Familiarização ao Software R e o Experimento de Ensino Passeios Aleatórios da Carlinha. Assim que for terminada a pesquisa, o aluno sob minha responsabilidade terá acesso aos resultados globais do estudo;
3) O aluno sob minha responsabilidade está livre para interromper, a qualquer momento, sua participação nesta pesquisa;
4) A participação nesta pesquisa é voluntária, sendo que estou ciente que o aluno sob minha responsabilidade não receberá qualquer forma de remuneração;
5) O risco desta pesquisa é mínimo e restringe-se ao constrangimento de não saber responder os problemas propostos ou a lembrança de algum evento desagradável durante sua experiência escolar com a própria Probabilidade ou disciplinas afins como a Matemática.
6) Os dados pessoais do aluno sob minha responsabilidade serão mantidos em sigilo e os resultados obtidos com a pesquisa serão utilizados apenas para alcançar os objetivos do trabalho, incluindo a publicação na literatura científica especializada;
7) Sempre que julgar necessário poderei entrar em contato com pesquisador Robson dos Santos Ferreira, no telefone 9739-2773 ou pelo e-mail:[email protected] e a pesquisadora a pesquisadora Verônica Yumi Kataoka, no telefone 2972-9008 ou pelo e-mail: [email protected].
8) Obtive todas as informações necessárias para poder decidir conscientemente sobre a participação do aluno sob minha responsabilidade na referida pesquisa;
9) Este Termo de Consentimento é feito em duas vias, de maneira que uma permanecerá em meu poder e a outra com os pesquisadores responsáveis.
_____________________, ______de ____________________ de 2011.
Assinatura do Responsável pelo aluno:_________________________________________
Assinatura do Pesquisador Responsável pelo estudo: ___________________________
155
APÊNDICE G – Termo de direito do uso de imagem
Eu, ______________________________________________________________,
portador(a) de cédula de identidade nº ______________________, autorizo a Professora
Doutora Verônica Yumi Kataoka e o mestrando Robson dos Santos Ferreira do Programa de
Pós-Graduação em Educação Matemática da UNIBAN, gravar em vídeo as imagens, tirar
fotos e depoimentos do menor sob minha responsabilidade durante os encontros, na Escola
Estadual Dona Olimpia Falci, referentes ao desenvolvimento do Projeto de Pesquisa “Ensino
de Probabilidade com o uso do programa estatístico R numa perspectiva construcionista” e
veicular em qualquer meio de comunicação para fins didáticos, de pesquisa e divulgação de
conhecimento científico sem quaisquer ônus e restrições.
Fica ainda autorizada, de livre e espontânea vontade, para os mesmos fins, a cessão de
direitos da veiculação, não recebendo para tanto qualquer tipo de remuneração.
São Paulo, _____ de __________________ de 2011
Ass.___________________________________
RG: