UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAFaculdade de Ciências e Tecnologia de Presidente PrudentePrograma de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e ComputacionalEstudo de Sistemas Lineares por Partes comTrês Zonas e Aplicação na Análise de umCircuito Elétrico Envolvendo um Memristor

Marluce da Cruz ScarabelloOrientador: Prof. Dr. Marcelo Messias

Presidente Prudente, Março de 2012

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAFaculdade de Ciências e Tecnologia de Presidente PrudentePrograma de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e ComputacionalEstudo de Sistemas Lineares por Partes comTrês Zonas e Aplicação na Análise de umCircuito Elétrico Envolvendo um Memristor

Marluce da Cruz ScarabelloOrientador: Prof. Dr. Marcelo MessiasDissertação apresentada ao Programa dePós-Graduação em Matemática Aplicada eComputacional da Faculdade de Ciências eTecnologia da UNESP para obtenção do tí-tulo de Mestre em Matemática Aplicada eComputacional.

Presidente Prudente, Março de 2012

FICHA CATALOGRÁFICA

Scarabello, Marluce da Cruz.

S296e Estudo de Sistemas Lineares por Partes com três Zonas e Aplicação na Análise de um Circuito Elétrico Envolvendo um Memristor / Marluce da Cruz Scarabello. - Presidente Prudente : [s.n], 2012

105 f. : il. Orientador: Marcelo Messias Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de

Ciências e Tecnologia Inclui bibliografia 1. Sistemas Lineares por Partes. 2. Memristor. I. Messias, Marcelo. II.

Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências e Tecnologia. III. Título.

Aos meus pais,Cida e Rubens.

AgradecimentosInicialmente gostaria de agradecer ao Professor Dr. Marcelo Messias pela orientação,paciência, dedicação e incentivo.Aos meus pais e à minha irmã, por compreenderem os momentos de ausência e pelaconstante conança de que eu conseguiria alcançar meu objetivo.Ao Rafael, meu namorado e amigo, por todo companheirismo, compreensão, amor eincentivo.As minhas amigas da república, Jéssica e Patrícia, pelos momentos de descontração.Agradeço a todos os professores do DMEC e do PosMAC, especialmente ao Prof. Dr.Suetônio A. Meira, que foi minha primeira inspiração nesta vida acadêmica, e ao Prof. Dr.José Roberto Nogueira, pela amizade construída e pelo exemplo de prossional dedicado.A todos os alunos do PosMAC, especialmente aos amados que formaram comigo aprimeira turma do mestrado: Cláudio, Danilo (in memorian), Diego, Marilaine, Marluci,Tamiris e Vanderléa. Obrigada por todo companherismo e amizade.Aos funcionários da Seção de Pós-Graduação que foram sempre prestativos e pacientes.A todos que direta ou indiretamente me ajudaram na elaboração deste trabalho.À FAPESP, pelo apoio nanceiro.Finalmente, e acima de tudo, a Deus pela minha vida.

ResumoEm um artigo publicado em maio de 2008 na revista Nature [18], um grupo de pes-quisadores da Hewllet-Packard Company (HP) anunciou a fabricação de um componenteeletrônico chamado memristor, uma contração para memory resistor. A existência teó-rica dos memristores havia sido prevista em 1971, pelo Engenheiro da Universidade daCalifórnia em Berkeley, Leon Chua, com base em propriedades de simetria de certos cir-cuitos elétricos, porém até 2008 sua existência física não havia sido comprovada. Talcomponente é considerado o quarto componente eletrônico fundamental, ao lado do resis-tor, do capacitor e do indutor, pois possui propriedades que não podem ser duplicadas pornenhuma combinação desses três outros componentes. A construção física do memristoratraiu grande interesse no mundo todo, devido ao grande potencial de aplicações destecomponente.No presente trabalho fazemos um estudo das bifurcações que ocorrem em um sistemade equações diferenciais ordinárias, que serve como modelo matemático de um circuitoelétrico formado pelos quatro elementos fundamentais: um memristor, um capacitor, umindutor e um resistor. O circuito estudado foi proposto por Itoh e Chua em [9] e foiconstruído tendo como base os conhecidos circuitos de Chua.O modelo estudado é dado por um sistema linear por partes, descontínuo, denido emtrês zonas no R3, determinadas pelas seguintes inequações: |z| < 1 (aqui denominada zonacentral) e |z| > 1 (denominadas zonas externas). O sistema tem o eixoz composto porpontos de equilíbrio. Estudamos a estabilidade local normal destes equilíbrios em cadazona. Mostramos que, devido à existência da linha de equilíbrios, o R

3 ca folheado porplanos invariantes, transversais ao eixoz e paralelos entre si em cada zona. As soluçõesdo sistema cam contidas em uma combinação de três destes planos invariantes: um nazona central e dois nas zonas externas. Mostramos ainda que o sistema pode apresentaroscilações não-lineares devido à existência de órbitas periódicas, passando por duas dastrês zonas ou passando pelas três zonas. A análise desenvolvida aqui é composta de umaparte analítica e uma parte numérica, sendo que a parte analítica tem como base o estudode sistemas lineares por partes com três zonas no plano, desenvolvido por Freire et al.[5]. Os resultados analíticos e numéricos obtidos completam o estudo desenvolvido parao mesmo sistema por Messias et al. em [12].Palavras-chave: Sistemas Lineares por Partes; Memristor.

AbstractStudy of Piecewise Linear Systems with Three Zones and Application inthe Analysis of an Electric Circuit with a MemristorIn the present work we make a bifurcation analysis of a system of ordinary dierentialequations, which serves as a mathematical model of an electric circuit formed by the fourfundamental elements: one memristor, one capacitor, one inductor and one resistor. Thestudied circuit was proposed by Itoh and Chua in [9] and was constructed based on thewell-known Chua's oscillators.The studied model is given by a discontinuous piecewise-linear system, dened onthree zones in R

3, determined by the following inequalities: |z| < 1 (called central zone)and |z| > 1 (called external zones). The zaxis is composed by equilibrium points ofthe system. The local normal stability of these equilibira in each zone is analyzed. Weshow that, due to the existence of this line of equilibria, the phase space R3 is foliated byinvariant planes transversal to the zaxis and parallel to each other, in each zone. Thesolutions of the system are contained in a combination of three of these invariant planes:one of them in the central zone and the other two in the external zones. We also showthat the system may present nonlinear oscillations due to the existence of periodic orbitspassing through two of the three zones or passing by three zones. The analysis developedhere has analytical and numerical parts. The analytical part was developed based on thestudy of planar piecewise-linear systems with three zones presented by Freire et al. in[5]. The analytical and numerical results obtained complete the study of the same systemdeveloped by Messias et al. in [12].Keywords: Piecewise Linear Systems; Memristor.

Lista de Figuras1.1 Ilustração dos quatro elementos fundamentais de um circuito: resistor, capacitor,indutor e memristor. Fonte: referência [18]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Estrutura de um memristor, visualizada em uma imagem de microscópio. Fonte:referência [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Circuito elétrico envolvendo os quatro elementos fundamentais: um memristor,um capacitor, um indutor e um resistor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1 Retratos de fase representando conjuntos invariantes de uxos suaves: (a) Equi-líbrio. (b) Órbita periódica. (c) Órbita homoclínica. (d) Órbita heteroclínica. . 182.2 Regiões de Costura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Região de escape. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Região de deslize. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Campo de Filippov em p. Fonte: referência [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Π-dobra externa. Fonte: referência [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7 Π-dobra interna. Fonte: referência [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8 Politrajetória. Fonte: referência [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.9 (a) Órbita homoclínica. (b) Dupla ligação heteroclínica. . . . . . . . . . . . . . 222.10 Politrajetória do tipo I. Fonte: referência [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.11 Politrajetória do tipo II. Fonte: referência [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.12 Politrajetória do tipo III. Fonte: referência [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.13 Politrajetória fechada. Fonte: referência [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1 Esboço dos retratos de fase: (a) A origem é um foco englobado por um ciclolimite estável, armação (a1) da Proposição 6. (b) A origem é um centro englo-bada por um continuum de órbitas periódicas na zona central, armação (a2) daProposição 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Esboço dos retratos de fase : (a) A origem é um foco, não há curva invariantefechada, armação (a3) da Proposição 6. (b) A origem é um nó, não há curvainvariante fechada, armação (a3) da Proposição 6. (c) A origem é uma sela, osistema não tem curvas invariantes fechadas, armação (b) da Proposição 6. . . 36

3.3 Retrato de fase do sistema (3.10). (a) A origem é um foco instável, e o ciclo limiteenglobando a origem é estável. O tempo de integraçao é [-8,16]. (b) No tempode integração [11,14] observa-se a existência de uma órbita periódica estável. . . 383.4 Retrato de fase do sistema (3.10). Tempo de integração: [-8,14]. . . . . . . . . 393.5 Retrato de fase do sistema (3.11). Tempo de integração: [-20,20]. A origem éum centro e existe um continuum de órbitas periódicas englogando a origem. . . 393.6 Retrato de fase do sistema (3.12). Tempo de integração: [−10, 5]. A origem éuma foco globalmente repulsor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.7 Retrato de fase do sistema (3.13). Tempo de integração: [−20, 5]. A origem éum ponto de sela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.8 Retrato de fase do sistema (3.14). A origem é um nó estável. . . . . . . . . . . 413.9 As transformações de retorno PE, QC , PE e QC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.10 A função ϕγ(τ) para γ > 0. Fonte: referência [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . 433.11 (a) A função ψγ(τ) para γ > 1. (b) A função ψγ(τ) para 0 < γ < 10. Fonte:referência [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.12 Esboço do retrato de fase do sistema (3.8). (a) Existem dois ciclos limites ins-táveis, mutuamente simétricos, armação (a1) do Teorema 2. (b) Existem duasórbitas homoclínicas, mutuamente simétricas, armação (a2) do Teorema 2. . . . 453.13 Esboço do retrato de fase do sistema (3.8). (a) Não existem nem ciclos limitesnem órbitas homoclínicas, armação (a3) do Teorema 2. (b) Existem um ciclolimite estável englobando a origem e dois ciclos limites instáveis que englobamcada ponto de equilíbrio na zona externa, armação (b1) do Teorema 2 . . . . . 453.14 Esboço do retrato de fase do sistema (3.8). (a) Existe um ciclo limite estávelenglobando a origem e os duas órbitas homoclínicas que englobam cada ponto deequilíbrio na zona externa, armação (b2) do Teorema 2. (b) Existe dois cicloslimites cercando os três pontos de equilíbrio, o externo é estável e o interno éinstável, armação (b3) do Teorema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.15 Esboço do retrato de fase do sistema (3.8). (a) Existe um único ciclo limitesemiestável, armação (b4) do Teorema 2. (b) Não existem ciclos limites nemórbitas homoclínicas, armação (b5) do Teorema 2. . . . . . . . . . . . . . . . 463.16 Retrato de fase do sistema (3.8) com µE = −1, µC = 5 e β = 14 que representao caso (b4) do Teorema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.17 Retrato de fase do sistema (3.8) com os parâmetros µE = −1, µC = 3 e β = 0.9.A origem é um ponto de sela e os pontos de equilíbrio nas zonas externas sãofocos estáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.18 Retrato de fase do sistema (3.8) com os seguintes parâmetros µE = 1

2 , µC = 3 eβ = 1

2 . Cada ponto de equilíbrio na zona externa é englobado por um continuumde órbitas periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.19 Retrato de fase do sistema (3.8) com os seguintes parâmetros µE = 0.1, µC = −2e β = −0.8, que representa o caso (d) do Teorema 2. . . . . . . . . . . . . . . . 533.20 Esboço do retrato de fase do sistema (3.8). (a) Existe um ciclo limite instávelenglobando o ponto de equilíbrio na origem, armação (a1) da Proposição 10.(b) Existe um loop heteroclínico, armação (a2) da Proposição 10. . . . . . . . 553.21 Esboço do retrato de fase do sistema (3.8), não existem ciclos limites e nemórbitas heteroclínicas, armação (a3) da Proposição 10. . . . . . . . . . . . . . 563.22 Retrato de fase de antissela-sela-antissela (a) y > y− (b) y < y−. . . . . . . . . 563.23 Retrato de fase do sistema (3.8) com os seguintes parâmetros µE = 3, µC = −1,e β = 12 , existe um ciclo limite instável englobando a origem e os pontos deequilíbrio nas zonas externas são pontos de sela. . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.24 Retrato de fase do sistema (3.8) com µE = 3, µC = 1

2 , e β = 12 . O ponto deequilíbrio na origem englobado por um continuum de órbitas periódicas que camna zona central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.25 Retrato de fase do sistema (3.8) com µE = 3, µC = 1, e β = 1

2 . . . . . . . . . . 633.26 Retrato de fase do sistema (3.8) com µE = −4, µC = 2, e β = 12 . Tempo deintegração: [-5,15]. Existe uma innidade de órbitas heteroclínicas. . . . . . . . 663.27 Retrato de fase do sistema (3.8) com µE = 2, µC = 2, e β = 12 . Tempo deintegração: [-5,12]. Existe um ciclo limite estável englobando todos os pontos deequilíbrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.28 Retrato de fase do sistema (3.8) com µE = 1, µC = 2, e β = 12 . Tempo deintegração: [-5,15]. Não existem curvas invariantes fechadas. . . . . . . . . . . . 673.29 Retrato de fase do sistema (3.8) com os seguintes parâmetros µC =

1

2, β = 2 e

µE = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1 (a) Memristor de carga controlada. (b) Memristor de uxo controlado. Fonte:referência [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2 Relação constitutiva de um memristor monotonamente crescente e linear porpartes. (a) Memristor de carga controlada. (b) Memristor de uxo controlado. . 714.3 (a) Oscilador canônico de Chua. (b) Oscilador canônico com um memristor deuxo controlado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4 (a) Oscilador de terceira ordem com um memristor de uxo controlado. (b) Osci-lador de terceira ordem com um memristor de uxo controlado. Fonte: referência[9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5 Representação dos planos π1 e π2. Os planos da zona central intersectam osplanos das zonas externas sobre os planos Π1 e Π2 em retas paralelas. . . . . . 784.6 Inclinação do plano quando o ângulo entre o vetor normal e (0, 0, 1) é agudo. . . 794.7 Inclinação do plano quando o ângulo entre o vetor normal e (0, 0, 1) é obtuso. . . 80

4.8 Combinação da inclinação dos planos. (a) O ângulo entre o vetor normal aosplanos das zonas externas e o vetor (0, 0, 1) é agudo. Entre o vetor normal dazona central e o vetor (0, 0, 1) é obtuso. (b) O ângulo entre o vetor normal detodos os planos e o vetor (0, 0, 1) é agudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.9 Combinação da inclinação dos planos. (a) O ângulo entre o vetor normal aosplanos das zonas externas e o vetor (0, 0, 1) é obtuso. Entre o vetor normal, dazona central, e o vetor (0, 0, 1) é agudo. (b) O ângulo entre o vetor normal detodos os planos e o vetor (0, 0, 1) é obtuso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.10 Representação das possíveis posições relativas dos planos invariantes π1 e π2. . . 824.11 Esboço da solução do caso (q). (a) A solução tende para innito quando t→ ∞.(b) Quando ocorre uma órbita periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.12 Retrato de fase do sistema (4.6) (a) com α = 0.17, a = 1, b = 12, ξ = 50 e β = 2(b) e com α = 0.5, a = 1, b = 12, ξ = 50 e β = 2, indicando a existência de umaórbita periódica estável englobando o eixo-z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.13 (a,b) Retrato de fase do sistema (4.6) com α = 0.5, a = 1, b = 12, ξ = 50 eβ = 2 indicando a existência de órbitas periódicas estáveis englobando o eixo-z,que corresponde aos equilíbrios (0, 0, z) com |z| < 1. . . . . . . . . . . . . . . . 884.14 Esboço da solução do caso (w). (a) Considerando que não há nem órbita periódicae nem ciclo heteroclínico. (b) Considerando que a solução tende a um cicloheteroclínico. (c) Considerando que existe um ciclo limite estável. . . . . . . . . 884.15 Solução numérica do caso (w) com os parâmetros (a) α = 0.32, a = 0.02, b = 2,ξ = 0.2 e β = 0.2 e tempo [−20, 180], onde supostamente não há nem órbitaperiódica e nem órbita heteroclínica (b) α = 0.35, a = 0.02, b = 2, ξ = 0.2 eβ = 0.2 e tempo [−20, 180], onde a solução indica a existência de uma duplaórbita heteroclínica. (c) α = 0.38, a = 0.02, b = 2, ξ = 0.2 e β = 0.2 e tempo[−20, 180], onde há evidências numéricas de que existe um ciclo limite estável. . 894.16 (a,b) Solução numérica do sistema (4.6) com os parâmetros α = 0.38, a = 0.02,b = 2, ξ = 0.2 e β = 0.2 e tempo [40, 80]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.17 Solução numérica do sistema (4.6) com os parâmetros α = 0.8, a = 0.02, b = 2,ξ = 0.2 e β = 0.2 e tempo [40, 80]. Indicando a existência de órbitas periódicasassociadas aos equilíbrios (0, 0, z) com |z| < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.18 Esboço da solução do caso (x). (a) Visão de como é o nó estável. (b) Esboço dasolução com uma órbita periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.19 Solução numérica do caso (x) com os parâmetros α = 2.3, a = 1, b = 2, β = 3 eξ = 6.1. (a) Indica a existência de uma órbita periódica. (b) Indica a existênciade órbitas periódicas associadas aos equilíbrios da zona central. . . . . . . . . . 914.20 Esboço do caso (u). (a) Existem duas órbitas heteroclínicas e não há órbitasperiódicas. (b) Existem duas órbitas homoclínicas, formando a gura oito. (c)Existem duas órbitas periódicas simétricas com relação à origem. . . . . . . . . 92

4.21 Solução numérica do caso (u) com os parâmetros (a) α = 1.8, a = 5, b = 2 ξ = 25e β = 6 e tempo [−20, 20]. (b) α = 2.08, a = 5, b = 2 ξ = 25 e β = 6 e tempo[0, 30]. (c) α = 3.1, a = 5, b = 2, ξ = 25 e β = 6 e tempo [−10, 20]. . . . . . . . 934.22 (a) Solução numérica do caso (u) com parâmetros α = 2, a = 5, b = 2, ξ = 25e β = 6 e tempo [−40, 30], que indica a existência de uma órbita periódica. (b)Gráco z(t) × t da solução de (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.23 Solução numérica do caso (u) com os parâmetros α = 2.2, a = 5, b = 2, ξ = 25 eβ = 6 e tempo [−20, 20] que indica a existência de dois ciclos limites simétricoscom relação à origem e uma órbita periódica englobando os dois ciclos limites. . 954.24 Solução numérica do caso (u). (a) No tempo [−25,−20], que indica a existênciada órbita periódica com partes nas três zonas. (b) No tempo [20, 30] indicandoa existência de dois ciclos limites simétricos com relação à origem. . . . . . . . . 954.25 Esboço da solução do caso (v). (a) Quando não existe órbita periódica. (b)Quando existe uma órbita periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.26 Solução numérica do caso (v) com os parâmetros (a) α = 2.9, a = 5, b = 2,ξ = 31 e β = 6 e tempo [−8, 5]. (b) α = 2, a = 5, b = 2, ξ = 31 e β = 6 e tempo[−8, 4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.27 Solução numérica do caso (v) com os parâmetros (a) α = 2, a = 5, b = 2, ξ = 31e β = 6 e tempo [−18,−16]. (b) α = 2, a = 5, b = 2, ξ = 31 e β = 6 e tempot = −8.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.1 Plano com trajetória Γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Lista de Tabelas4.1 Estabilidade normal local dos pontos de equilíbrio (0, 0, z). . . . . . . . . . . . 834.2 Estabilidade local dos pontos de equilíbrio (0, 0, z), complemento da Tabela 4.1. . 84

Sumário1 Introdução 132 Denições e resultados preliminares 173 Sistema linear por partes no plano com três zonas 243.1 Formas canônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Soluções do sistema (3.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Sistema linear por partes no plano com três zonas e um ponto de equilíbrio 353.4 Sistema linear por partes no plano com três zonas e um ponto de equilíbrioem cada zona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5 Sistema linear por partes no plano com três zonas e um segmento de pontosde equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 Estudo de um circuito elétrico envolvendo um memristor 694.1 Circuito com memristor obtido do oscilador canônico de Chua . . . . . . . 724.2 Convenções de Filippov aplicadas no estudo do sistema (4.6) . . . . . . . . 744.3 Posição relativa dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4 Estudo local dos equilíbrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5 Estudo numérico de casos que levam a oscilações periódicas . . . . . . . . . 854.5.1 Foco Estável - Foco Instável - Foco Estável . . . . . . . . . . . . . . 854.5.2 Sela - Foco Instável - Sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.5.3 Nó Estável - Foco Instável - Nó Estável . . . . . . . . . . . . . . . . 904.5.4 Foco Instável - Sela - Foco Instável . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5.5 Foco Instável - Nó Estável - Foco Instável . . . . . . . . . . . . . . 955 Considerações Finais 98Referências 99A Teorema de Liénard 102

Capítulo1IntroduçãoPor 150 anos, os conhecidos elementos fundamentais de um circuito elétrico foramo capacitor, o resistor e o indutor, descobertos em 1745, 1827 e 1831, respectivamente.Aparentemente, estes três elementos eram teoricamente sucientes. No entanto, em 1971,Leon Chua, professor da Universidade da Califórnia em Berkeley, previu a existência deum quarto elemento eletrônico fundamental.Esta descoberta teórica aconteceu quando Leon Chua examinou as relações entre qua-tro variáveis fundamentais de um circuito: corrente i, voltagem v, carga q e uxo mag-nético ϕ. Existem cinco relações entre estas variáveis que são amplamente conhecidas.Duas delas são dadas pela denição de corrente elétrica e pela Lei de Faraday, ou seja,

i =dq

dte v(t) =

dϕ

dt.As outras três são equações básicas do circuito:

R =dv

di, L =

dϕ

die C =

dq

dv,onde R, L e C são resistência, indutância e capacitância, respectivamente. Chua observouque havia uma relação que estava indenida, a que existe entre ϕ e i. A partir de argu-mentos de simetria, Chua [3] postulou a existência de um quarto elemento fundamentaldo circuito (ver Figura 1.1), que chamou de memristor (abreviação de memory resistor)denido por

dϕ

dq=M,onde M denota a memristência (ou memresistência), propriedade do memristor, assimcomo a resistência é uma propriedade do resistor.No caso de elementos lineares, em que M é uma constante, a memristência é idênticaa resistência. Entretanto, quando M é uma função de q, gerando um elemento não linear13

14

Figura 1.1: Ilustração dos quatro elementos fundamentais de um circuito: resistor, capacitor,indutor e memristor. Fonte: referência [18].no circuito, então nenhuma combinação dos elementos do circuito - capacitor, indutor eresistor - pode duplicar as propriedades do memristor.Quase 40 anos depois do artigo [3] ser publicado, um grupo de cientistas da Hewllet-Packard Company (HP), liderado por R. Stanley Williams, anunciou em um artigo pu-blicado na revista Nature [18] a construção do novo componente eletrônico fundamentalteorizado por Chua, ver Figura 1.2. Este grupo havia sido criado em 1995, com o propósitode trabalhar com eletrônica molecular.

Figura 1.2: Estrutura de um memristor, visualizada em uma imagem de microscópio. Fonte:referência [21].Durante a pesquisa, os cientistas observaram comportamentos inesperados apresenta-dos pelos dispositivos nos quais estavam trabalhando, que não conseguiam explicar. Foiquando Greg Singer, um colaborador da equipe, trouxe o artigo em que Chua teorizavaa existência do memristor. Nesta época, o artigo [3] já havia sido publicado há 30 anos etinha poucas citações. A partir disto, foram vários anos lendo e relendo o artigo de Chua,até perceberem que os dispositivos moleculares em que eles trabalhavam eram realmentememristores.

15O motivo do memristor ser tão diferente dos outros elementos fundamentais é que, aocontrário deles, o memristor carrega a memória do seu passado.A analogia clássica para um resistor é um tubo por meio do qual a água (eletricidade)atravessa. O diâmetro do tubo é análogo à resistência do uxo da corrente - quanto maisestreito o tubo, maior a resistência. Resistores normais têm um diâmetro xo. SegundoR. Stanley Willians, o memristor é um tubo cujo diâmetro muda conforme a quantidade edireção da água que ui através dele. Se a água ui através deste tubo em uma direção, omesmo se expande (tornando-se menos resistivo). Mas se a água ui na direção oposta, otubo encolhe (tornando-se mais resistivo). Além disso, o memristor lembra o diâmetro daúltima vez que a água atravessou por ele. Ou seja, quando o uxo é desligado, o diâmetrodo tubo congela até que o uxo seja ligado novamente.Segundo Willians, esta propriedade de congelamento dos memristores se adapta bri-lhantemente, por exemplo, para a memória do notebook. A capacidade de armazenarindenidamente valores de resistência signica que um memristor pode ser usado comouma memória não-volátil. Atualmente, ao retirar a bateria do notebook sem salvar nada,certamente tudo será perdido. Mas se o notebook for construído usando uma memóriacom base no memristor, quando coloca-se a bateria novamente, a tela retornará com tudoexatamente como foi deixado [21].Mas o potencial do memristor vai além do desligamento instântaneo de notebooks,pode também ajudar em um dos grandes desaos da tecnologia: imitar as funções deum cérebro. Em [21] Williams arma que os memristores podem permitir a reprodução,ao invés da simples simulação, de redes de neurônios e sinapses1. Ao usar o memristorseremos capazes de construir circuitos eletrônicos analógicos que podem funcionar deacordo com os mesmos princípios físicos de um cérebro. Um circuito híbrido - contendomuitos memristores conectados e transistores - poderia levar máquinas a reconhecerempadrões que os seres humanos reconhecem, como por exemplo, escolher uma face particularem umamultidão, mesmo que tenha mudado signicativamente desde a última recordação.Os memristores podem ser considerados como componentes de um circuito elétrico,combinados com resistores, capacitores e indutores. Tais circuitos podem ser modela-dos matematicamente por sistemas de equações diferenciais ordinárias não-lineares, cujacomplexidade aumenta com o número e o tipo de componentes do circuito.Propriedades dinâmicas destes circuitos podem ser estudadas analisando-se o retratode fase destes sistemas, obtendo-se por exemplo estados de equilíbrio, oscilações não-lineares, e até mesmo comportamento caótico das soluções [9]. Vários modelos matemáti-cos de circuitos envolvendo memristores surgiram na literatura, desde o seu descobrimento[6, 7, 8, 10, 15, 16, 22].Neste trabalho é apresentado o estudo de um circuito elétrico envolvendo os quatroelementos fundamentais: um memristor, um capacitor, um indutor e um resistor. Tal cir-1Pontos de contato entre duas células nervosas.

16cuito foi proposto em [9], sendo que os componentes estão conectados conforme mostradona Figura 1.3.Figura 1.3: Circuito elétrico envolvendo os quatro elementos fundamentais: um memristor, umcapacitor, um indutor e um resistor.O memristor considerado na Figura 1.3 é caracterizado por uma função linear porpartes. O circuito é modelado matematicamente pelo seguinte sistema de equações dife-renciais ordinárias (conforme [9])

x = α(y −W (z)x),

y = −ξx+ βy,

z = x,

(1.1)onde x, y e z são as variáveis e α, β e ξ são os parâmetros, que serão consideradospositivos e estão relacionados com características físicas do sistema (voltagem, corrente,capacitância, resistência e indutância). No sistema (1.1),W (z) =

a, |z| < 1,

b, |z| > 1,é a função linear por partes que caracteriza o memristor envolvido (chamada de mem-dutância). Observe que o sistema (1.1) é um sistema linear por partes, denido em trêszonas do espaço R3, |z| < 1 e |z| > 1. O sistema não está denido nos planos |z| = 1.Com o objetivo de apresentar um estudo do sistema (1.1), este trabalho está organizadoda seguinte forma. No Capítulo 2 apresentamos as denições básicas sobre os sistemassuaves por partes, para um melhor entendimento do que será estudado nos capítulosseguintes. No Capítulo 3 apresentamos o estudo de sistemas lineares por partes no plano,com três zonas, desenvolvido em [4]. No Capítulo 4, combinando as técnicas apresentadasno Capítulo 3 com simulações numéricas, estudamos o circuito elétrico envolvendo ummemristor, modelado pelo sistema (1.1). Tal modelo foi proposto em [9] e estudadoanalítica e numericamente em [12]. A análise aqui desenvolvida complementa os resultadosde [12]. No Capítulo 5 apresentamos algumas conclusões e considerações nais.

Capítulo2Denições e resultados preliminaresEste capítulo traz algumas denições e resultados preliminares para auxiliar na leiturado restante do trabalho. Os resultados aqui apresentados têm como base os trabalhos[1, 11, 19].Um campo vetorial suave de classe Cr, r ≥ 1, denido num aberto U ⊂ R

n, é umaaplicaçãoX : U → Rn de classe Cr. Ao campo vetorialX associamos a equação diferencial

x = X(x), (2.1)onde x ∈ U ⊂ Rn. As soluções desta equação são aplicações diferenciáveis ϕ : I ⊂ R → Uque satisfazem

dϕ

dt(t) = X(ϕ(t)),para todo t ∈ I, I é um intervalo aberto, e são chamadas de trajetórias do campo vetorial

X , ou da equação (2.1). Um ponto x∗ ∈ U é dito ponto de equilíbrio de X se X(x∗) = 0e ponto regular de X se X(x∗) 6= 0.Um conjunto invariante de X é um subconjunto Λ ⊂ X tal que p ∈ Λ implica queϕ(p) ∈ Λ, para todo t ∈ I.A seguir exibiremos alguns tipos de conjuntos invariantes (ver Figura 2.1):a) Equilíbrios. A forma mais simples de um conjunto invariante de um campo vetorialé uma solução de equilíbrio x∗ que satisfaz X(x∗) = 0. Também pode ser chamadode ponto estacionário do uxo, pois ϕ(x∗, t) = ϕ(x∗, 0) para todo t.b) Órbitas periódicas. Outro tipo de conjunto invariante são as órbitas periódicas,determinadas por uma condição inicial xp e um período τ . Aqui τ é denido comoo menor tempo τ > 0 tal que ϕ(xp, τ) = xp. Órbitas periódicas formam curvasfechadas no retrato de fase. Uma órbita periódica isolada é chamada de ciclo limite.17

18c) Órbitas homoclínicas e heteroclínicas. Outra importante classe de conjuntosinvariantes são as órbitas conectadas, que são soluções que tendem para conjuntosinvariantes quando o tempo tende para +∞ e para −∞. Uma órbita homoclínicaé uma trajetória x(t) que se conecta a um equilíbrio x∗, ou seja, x(t) → x∗ quandot → ±∞. Uma órbita heteroclínica conecta dois diferentes equilíbrios x∗1 e x∗2;x(t) → x∗1 quando t→ −∞ e x(t) → x∗2 quando t→ +∞.

(a) (b)(c) (d)Figura 2.1: Retratos de fase representando conjuntos invariantes de uxos suaves: (a) Equilíbrio.(b) Órbita periódica. (c) Órbita homoclínica. (d) Órbita heteroclínica.Um campo vetorial suave por partes denido em um conjunto compacto e conexo Mdo plano é determinado por dois campos vetoriais e uma aplicação real suave que dene

M .Denição 1 Sejam X, Y ∈ Xr, onde X

r é o conjunto dos campos vetoriais Cr sobre M ,e F :M → R uma aplicação real suave tal que 0 é seu valor regular. Assumiremos que oconjunto Π = F−1(0) é compacto e conexo tal que M\Π tem duas componentes conexasque são denotadas por S = F−1(−∞, 0] e N = F−1[0,∞). Assim o campo vetorial suavepor partes Z = (X, Y ) denido em M é dado porZ(q) =

X(q), se F (q) ≥ 0

Y (q), se F (q) ≤ 0.Denotamos por Ωr(M) o conjunto dos campos vetoriais suave por partes denidos em Me o conjunto Π será chamado de conjunto de descontinuidade.Sobre Π as soluções de q = Z(q) obdece à formulação de Filippov. Ele deniu trêsregras para a transição de órbitas de um campo vetorial suave por partes entre as duasregiões, cruzando ou atigindo o conjunto Π. Estas regras são denominadas de convençõesde Filippov.

19Como Maciel em [11], para denir as convenções de Filippov usaremos a seguintenotação: XF (p) signica a derivada de F na direção X . Escrevendo localmente X(p) =

(a(p), b(p)), para um ponto qualquer p ∈M , temos queX F (p) =

⟨(a(p), b(p)),

(∂F

∂x(p),

∂F

∂y(p)

)⟩= a(p)

∂F

∂x(p) + b(p)

∂F

∂y(p),onde <,> é o produto interno usual do R

2.Denição 2 Considerando o campo vetorial Z = (X, Y ).a) A região de costura de Z é denida como o conjunto CZ = q ∈ Π : XF (q) Y F (q) >

0.PSfrag replacementsΠ ΠFigura 2.2: Regiões de Costura.b) A região de escape de Z é denida como o conjunto EZ = q ∈ Π : XF (q) <

0, Y F (q) > 0.PSfrag replacements ΠFigura 2.3: Região de escape.c) A região de deslize de Z é denida como o conjunto DZ = q ∈ Π : XF (q) >

0, XF (q) < 0.PSfrag replacementsΠFigura 2.4: Região de deslize.Para as regiões de deslize ou de escape é denido um campo vetorial auxiliar, o campode Filippov.

20Denição 3 Sejam Z = (X, Y ) ∈ Ωr(M), Π o conjunto de descontinuidade e p ∈ Π umponto de escape ou de deslize. O campo de Filippov no ponto p, denotado por FZ(p), é oúnico vetor tangente a Π em p contido no cone gerado por X(q) e Y (q).A Figura 2.5 apresenta um exemplo de campo de Filippov.Figura 2.5: Campo de Filippov em p. Fonte: referência [11].Para descrever um modo de calcularmos o campo de Filippov em um ponto, Macielescreve localmente X(p) por (a(p), b(p)) e Y (p) por (c(p), d(p)). Então, o campo deFilippov no ponto p tem a expressão

FZ(p) =

(a(p)d(p)− b(p)c(p)

d(p)− b(p), 0

). (2.2)Usando a notação (2.2) são denidos os equilíbrios do campo de Filippov.Denição 4 Um ponto p ∈ Π é um equilíbrio do campo de Filippov se for um ponto deescape ou de deslize e satiszer a equação a(p)d(p)− b(p)c(p) = 0.A seguir deniremos os casos em que p não é um equilíbrio do campo de Filippov.Denição 5 Um ponto p ∈ Π é dito Π-regular de Z se satisfaz uma das seguintes condi-çõesa) p é ponto de costura,b) p é um ponto de deslize ou de escape e não é uma singularidade do campo de Filippov,ou seja, a(p)d(p)− b(p)c(p) 6= 0.Denição 6 Um ponto p ∈ Π é dito uma Π-dobra de Z se for um ponto de tangênciaquadrática do campo X com Π, ou do campo Y com Π. Dizemos que uma Π-dobra de Zéa) externa se Y F (p) 6= 0, XF (p) = 0 e X2F (p) < 0, isto é, quando p é um ponto detangência quadrática externa do campo X com Π. De forma similar é denida uma

Π-dobra de Z externa que seja tangência do campo Y ao conjunto Π.

21Figura 2.6: Π-dobra externa. Fonte: referência [11].b) interna se se Y F (p) 6= 0, XF (p) = 0 e X2F (p) > 0, isto é, quando p é um ponto detangência quadrática interna do campo X com Π. Uma Π-dobra de Z interna queseja tangência do campo Y ao conjunto Π é denida analogamente.Figura 2.7: Π-dobra interna. Fonte: referência [11].Denição 7 Seja γ uma curva em M composta por arcos regulares de trajetórias de Xem N , e/ou de trajetórias de Y em S, e/ou de trajetórias de FZ em Π. Nestas condições,

γ é uma politrajetória de Z se satiszeri) γ contém arcos de trajetória de pelo menos dois entre os campos vetoriais X, Y e FZ ,ou é formado por um arco de FZ ;ii) a transição de arcos de trajetória de X para arcos de trajetória de Y é feito em pontosde costura;iii) a transição de arcos de trajetória de X, ou de Y , para arcos de trajetória de FZ é feitaatravés de Π-dobras, ou de pontos regulares do arco de escape, ou do arco deslizante,respeitando-se o sentido dos arcos de trajetória.Na Figura 2.8 é apresentado um exemplo de uma politrajetória.Figura 2.8: Politrajetória. Fonte: referência [11].

22Denição 8 Seja γ uma politrajetória de Z.a) Seja q∗ um equilíbrio de X (ou Y ). Uma órbita homoclínica é uma trajetória que seconecta ao equilíbrio q∗, isto é, γ(t) → q∗.b) Seja q∗1 e q∗2 equilíbrios de X e Y , respectivamente. Uma órbita heteroclínica conectaq∗1 e q∗2, isto é, γ(t) → q∗1 quando t→ −∞ e γ(t) → q∗2 quando t→ +∞.

PSfrag replacementsNNΠΠ

SS

q∗

γ

(a)

PSfrag replacementsNNΠΠ

SS

q∗1

q∗2

γ

(b)Figura 2.9: (a) Órbita homoclínica. (b) Dupla ligação heteroclínica.A seguir apresentamos como em [11] uma caracterização de órbitas fechadas, ou seja,de politrajetórias fechadas de Z.Denição 9 Seja γ uma politrajetória fechada de Z. Dizemos quea) γ é uma trajetória fechada do tipo I se γ encontra Π apenas em pontos de costura.Figura 2.10: Politrajetória do tipo I. Fonte: referência [11].b) γ é uma trajetória fechada do tipo II se γ = Π.

23

Figura 2.11: Politrajetória do tipo II. Fonte: referência [11].c) γ é uma trajetória fechada do tipo III se γ contém, pelo menos, uma Π-dobra de Z.Figura 2.12: Politrajetória do tipo III. Fonte: referência [11].Denição 10 Dada uma politrajetória fechada γ do tipo I, com γ = γ0 ∪ γ1 ∪ · · · ∪ γnonde γ2j são arcos de trajetória de X em N e γ2j+1 são arcos de trajetória de Y em S,para j = 0, 1, . . . ,n− 1

2. Para cada j = 0, 1, . . . , n seja γj∩Π = pj, pj+1 com p0 = pn+1.Para cada j = 0, 1, . . . , n denimos um germe em pj de uma transformação de Poincaré

πj : (Π, pj) → (Π, pj+1) tal que a aplicação de primeiro retorno associada à órbita γ édada porπ = πn πn−1 · · · π0com π(p0) = p0.A Figura 2.13 mostra a divisão de uma politrajetória fechada de acordo com a deniçãoanterior.

Figura 2.13: Politrajetória fechada. Fonte: referência [11].

Capítulo3Sistema linear por partes no planocom três zonasNeste capítulo é apresentado o estudo de sistemas lineares por partes, contínuos, de-nidos no plano, simétricos e com três zonas, conforme estudado em [5].3.1 Formas canônicasNesta seção estudaremos as formas canônicas para sistemas lineares por partes, con-tínuos, denidos no plano, simétricos e com três zonas como uma etapa para facilitar suaanálise. Apresentamos procedimentos para determinar sistemas equivalentes ao inicial(obtidos por mudanças lineares) com menor número de parâmetros e que, portanto, sãomais simples e tem o mesmo comportamento dinâmico do sistema inicial.Como o sistema tem três zonas existem duas retas paralelas dividindo o plano. Oscampos de vetores de cada zona devem ser sistemas lineares não-homogêneos com coeci-entes constantes que são colados de forma contínua nas duas retas paralelas. Como em[5], o campo de vetores é considerado simétrico em relação à origem.Sem perda de generalidade, toma-se as duas retas paralelas x1 = −1 e x1 = 1dividindo o plano em três zonas. Supondo que

x = F (x) =

ALx+ cL, se x1 ≤ −1,

ACx+ cC , se − 1 ≤ x1 ≤ 1,

ARx+ cR, se x1 ≥ 1,

(3.1)com AL, AC e AR ∈ M(R)2x2 e cL, cC e cR ∈ R2.É necessário que AL = AC = AE , cL = −cR = c e cC = 0, pois o campo de vetores ésimétrico em relação à origem. O índice E indica as zonas externas.24

25A continuidade nas fronteiras das zonas, ou seja, nas retas x1 = ±1, exige queAE =

(e1 a1

e2 a2

), AC =

(c1 a1

c2 a2

) e c =

(e1 − c1

e2 − c2

). (3.2)As equações correspondentes ao sistema (3.1)-(3.2) podem ser escritas da forma

x1 = ϕ1(x1) + a1x2,

x2 = ϕ2(x1) + a2x2,(3.3)com

ϕi(x1) =

eix1 + (ei − ci), se x1 ≤ −1,

cix1, se − 1 < x1 < 1,

eix1 − (ei − ci), se 1 ≤ x1,

i = 1, 2.O sistema (3.3) tem pelo menos um ponto de equilíbrio na origem, e pode ter outrosdois (um em cada zona externa) ou um segmento de pontos de equilíbrio.Assumindo que o sistema (3.3) tem uma curva invariante fechada Γ, nota-se quequando Γ ocupa apenas duas das três zonas, então (devido a simetria) o sistema temuma outra curva invariante fechada simétrica a Γ com relação à origem, e nenhuma des-tas curvas inclui a origem. Por outro lado, quando Γ passa pelas três zonas, então Γ ésimétrica com relação à origem e a origem ou é englobada por Γ ou pertence a Γ.Valem os seguintes resultados apresentados em [5].Proposição 1 (Freire et al., 2002) Se o sistema (3.3) tem uma única curva invariantefechada Γ, então∫ ∫

intC(Γ)

TC dx1dx2 +

∫ ∫

intE(Γ)

TE dx1dx2 = TC SC + TE SE = 0,onde Γ é uma curva de Jordan, intC(Γ) = |x1| < 1 ∩ int(Γ), intE(Γ) = 1 ≤ |x1| ∩ int(Γ),TC = Traço(AC), TE = Traço(AE), SC = Área(intC(Γ)) e SE = Área(intE(Γ)).Proposição 2 (Freire et al., 2002) Se Γ é um ciclo limite, uma órbita homoclínica ouuma dupla ligação heteroclínica do sistema (3.3), então Γ existe, pelo menos, em duaszonas e a condição inicial a1 6= 0 e TETC < 0 ou TETC = 0 é válida. Além disso quandoΓ é um ciclo limite, então TETC < 0.Demonstração. Dentro de cada zona o sistema (3.3) é linear e sistemas lineares nãopodem ter ciclos limites, órbitas homoclínicas e nem órbitas heteroclínicas, portanto Γestá em pelo menos duas zonas. Entretanto, para que Γ seja um ciclo limite, uma órbitahomoclínica ou uma dupla ligação heteroclínica, a curva deve cruzar alguma fronteira, ou

26as duas, duas vezes e em sentido oposto. Supondo que a1 = 0, o sistema (3.3) mostra quex1|x1=−1 = −c1 e x1|x1=1 = c1 .Se c1 6= 0 então o uxo em todos os pontos da fronteira é direcionado para dentro oupara fora da zona central, pois a primeira coordenada do campo é constante em cadafronteira. Se c1 = 0 então as fronteiras são invariantes com relação ao uxo do sistema.Em qualquer um dos casos é impossível cruzar uma fronteira em ambos os sentidos, logo

Γ não é um ciclo limite, uma órbita homoclínica e nem uma dupla ligação heteroclínica eassim chega-se a uma contradição. Portanto, a1 6= 0.Se TCTE > 0, então TC , TE > 0 ou TC , TE < 0 e assim TCSC + TESE 6= 0 . Logo, pelaProposição 1, o sistema (3.3) não pode ter qualquer órbita periódica, órbita homoclínicaou ligações duplas heteroclínicas. Então TCTE ≤ 0.Se Γ é um ciclo limite que está em duas ou três zonas com TCTE = 0, pela Proposição1, TC e TE serão nulos o que resulta em um sistema conservativo. Como em sistemasconservativos não existem ciclos limites chega-se a uma contradição. Desta forma, Γ é umciclo limite quando TETC < 0.Para obter a forma canônica do sistema (3.3) as variáveis serão alteradas preservandoos limites verticais. Em [5] os autores fazem as seguintes mudanças de variáveisx = x1 ,

y = ε1x1 + ε2x2 , ε2 6= 0.(3.4)Com isto, obtem-se

x = ϕ1(x)−ε1a1x

ε2+a1y

ε2ey = ε1x1 + ε2x2

= ε1

(ϕ1(x)−

ε1xa1ε2

+ya1ε2

)+ ε2

(ϕ2(x) + a2

(y

ε2− ε1x

ε2

))

= ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x)− ε1

(ε1a1ε2

+ a2

)x+ y

(ε1a1ε2

+ a2

)

= ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x)− ε1ε3x+ yε3,onde ε3 = ε1a1ε2

+ a2 e ε1 , ε2 serão adequadamente selecionados. O sistema com as novasvariáveis é dado por

x = ϕ1(x)−ε1xa1ε2

+ya1ε2,

y = ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x)− ε1ε3x+ yε3.(3.5)Para simplicar (3.5) podemos analisar o termo linear por partes ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2 em cadauma das três zonas, com o que obtemos.

27• Para x ≤ −1

ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x) = ε1(e1x+ e1 − c1) + ε2(e2x+ e2 − c2)

= ε1e1x+ ε1e1 − ε1c1 + ε2e2x+ ε2e2 − ε2c2

= (ε1e1 + ε2e2)x+ (ε1e1 + ε2e2)− (ε1c1 + ε2c2) .

• Para −1 < x < 1

ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x) = ε1(c1x) + ε2(c2x)

= (ε1c1 + ε2c2)x .

• Para x ≥ 1

ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x) = ε1(e1x− e1 + c1) + ε2(e2x− e2 + c2)

= ε1e1x− ε1e1 + ε1c1 + ε2e2x− ε2e2 + ε2c2

= (ε1e1 + ε2e2)x− (ε1e1 + ε2e2) + (ε1c1 + ε2c2) .Ou seja,ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x) =

(ε1e1 + ε2e2)x+ (ε1e1 + ε2e2)− (ε1c1 + ε2c2), se x ≤ −1,

(ε1e1 + ε2e2)x, se |x| < 1,

(ε1e1 + ε2e2)x− (ε1e1 + ε2e2) + (ε1c1 + ε2c2), se 1 ≤ x.Se ε1e1 + ε2e2 = ε1c1 + ε2c2 ou equivalentementeε2(e2 − c2) = ε1(e1 − c1)

= ε1(e1 + a1 − a1 − c1)

= ε1(TE − TC),então a segunda equação de (3.5) torna-se linear.Proposição 3 (Freire et al., 2002) Se a1 6= 0 existe uma mudança de variáveis quereduz o sistema (3.3) para a seguinte forma canônica (Forma de Liénard)x = F (x)− y,

y = g(x),(3.6)onde

F (x) =

TEx+ (TE − TC), se x ≤ −1,

TCx, se − 1 < x < 1,

TEx− (TE − TC), se x ≥ 1

28eg(x) =

DEx+ (DE −DC), se x ≤ −1,

DCx, se − 1 < x < 1,

DEx− (DE −DC), se x ≥ 1.Demonstração. Na mudança de variável (3.4) tomando ε1 = a2 e ε2 = −a1, obtemos• Para x ≤ −1

x = ϕ1(x)−ε1a2x

ε2+a1x

ε2= e1x+ (e1 − c1)−

a1a2x

−a1+a1y

−a1= e1x+ (e1 − c1) + a2x− y

= (e1 + a2)x+ (e1 − c1)− y

= TEx+ (TE − TC)− y .

y = ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x)− ε1ε3x+ ε3y

= a2(e1x+ (e1 − c1)) + (−a1)(e2x+ (e2 − c2))− a2(a1a2 + (−a1)a2)x

−a1+(a1a2 + (−a1)a2)y= a2e1x+ a2(e1 − c1)− a1e2x− a1(e2 − c2)

= (a2e1 − a1e2)x+ a2e1 − a2c1 − a1e2 + a1c2

= DEx+ (DE −DC) .

• Para −1 < x < 1

x = ϕ1(x)−ε1a2x

ε2+a1x

ε2= c1x−

a1a2x

−a1y

= c1x+ a2x− y

= TCx− y .

y = ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x)− ε1ε3x+ ε3y

= a2c1x+−a1c2x= DCx .

• Para x ≥ 1

x = ϕ1(x)−ε1a2x

ε2+a1x

ε2= e1x− (e1 − c1)−

a1a2x

−a1+a1y

−a1= e1x− (e1 − c1) + a2x− y

= (e1 + a2)x− (e1 − c1)− y

= TEx− (TE − TC)− y .

29y = ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x)− ε1ε3x+ ε3y

= a2(e1x− (e1 − c1)) + (−a1)(e2x− (e2 − c2))− a2(a1a2 + (−a1)a2)x

−a1+(a1a2 + (−a1)a2)y= a2e1x− a2(e1 − c1)− a1e2x+ a1(e2 − c2)

= (a2e1 − a1e2)x− a2e1 + a2c1 + a1e2 − a1c2

= DEx− (DE −DC) .Proposição 4 (Freire et al., 2002) Se TE 6= TC e a1 6= 0, existe uma mudança devariáveis que reduz o sistema (3.3) para a seguinte forma canônica ( forma de Van derPol) x = f(x)− y,

y = ρx− by,(3.7)onde

f(x) =

mEx+ (mE −mC), se x ≤ −1,

mCx, se − 1 < x < 1,

mEx− (mE −mC), se x ≥ 1,

b = −DC −DE

TC − TE, mE = TE + b, mC = TC + b e ρ =

mC −mE

2b+

DC +DE

2.Demonstração. Se na mudança de variáveis (3.4) for assumido

ε1 = −a1(c2 − e2)

TE − TCe ε2 = −a1,tem-se que

• Se x ≤ −1

x = e1x+ (e1 − c1)−a1(c2 − e2)

TE − TCx− y

=

(e1 −

a1(c2 − e2)

TE − TC

)x− y + (e1 − c1)

=

(e1 + a2 − a2 −

a1(c2 − e2)

TE − TC

)x− y + (e1 − c1)

=

(e1 + a2 −

a2(TE − TC) + a1(c2 − e2)

TE − TC

)x− y + (e1 − c1)

= (e1 + a2)x−(a2e1 − a2c1 + a1c2 − a1e2

TE − TC

)x− y + (e1 − c1)

= (e1 + a2)x−(DC −DE

TE − TC

)x− y + (e1 − c1)

=

(e1 + a2 −

DC −DE

TE − TC

)x− y + (e1 − c1)

= (TE + b)x− y + (TE + b− b− TC)

= mEx+ (mE −mC)− y .

30y = ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x)− ε1ε3x+ ε3y

=

(−a1(c2 − e2)

TE − TC

)(e1x+ (e1 − c1)) + (−a1)(e2x+ (e2 − c2))

−((

−a1(c2 − e2)

TE − TC

)(a2 +

a1(c2 − e2)

TE − TC

))x+

(a2 +

a1(c2 − e2)

TE − TC

)y

= −a1(c2 − e2)

TE − TCe1x−

a1(c2 − e2)(e1 − c1)

e1 − c1− a1e2x+ a1(c2 − e2)+

+a1a2(c2 − e2)

TE − TCx+

(−a1(c2 − e2)

TE − TC

)2

x− by

= (b+ a2)e1x− a1e2x− a2bx− a22x+ b2x+ 2ba2x+ a22x− by

= be1x+ a2e1x− a1e2x+ a2bxb2x− by

= [(e1 + a2)b+ b2 + (a2e1 − a1e2)]x− by

= (TEb+ b2 +DE)x− by

= (TE + b)x+DEx− by.

• Se −1 < x < 1

x = c1x+

(−DC −DE

TC − TE+ a2

)x− y

=

(c1 + a2 −

DC −DE

TC − TE

)x− y

= (TC + b)x− y

= mCx− y .

y = ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x)− ε1ε3x+ ε3y

=

(−a1(c2 − e2)

TE − TC

)c1x+ (−a1)c2x−

((−a1(c2 − e2)

TE − TC

)(a2 +

a1(c2 − e2)

TE − TC

))x

+

(a2 +

a1(c2 − e2)

TE − TC

)y

= (b+ a2)c1x− a1c2x− a2(b+ a2)x+ (b+ a2)2x− by

= bc1x+ a2c1x− a1c2x− a2bx− a22x+ b2x+ 2ba2x+ a22x− by

= bc1x+ a2c1x− a1c2x+ ba2x− by

= (c1 + a2)bx+ (a2c1 − a1c2)x− by

= TCx+DCx− by.

• Se x ≥ 1

x = e1x+

(−DC −DE

TC − TE+ a2

)x− (e1 − c1)− y

=

(e1 + a2 −

DC −DE

TC − TE

)x− (e1 − c1)− y

= (TE + b)x− (TE + b− b− TC)− y

= mEx− (mE −mC)− y.

31y = ε1ϕ1(x) + ε2ϕ2(x)− ε1ε3x+ ε3y

=

(−a1(c2 − e2)

TE − TC

)(e1x− (e1 − c1)) + (−a1)(e2x− (e2 − c2))+

−((

−a1(c2 − e2)

TE − TC

)(a2 +

a1(c2 − e2)

TE − TC

))x+

(a2 +

a1(c2 − e2)

TE − TC

)y

= −a1(c2 − e2)

TE − TCe1x+

a1(c2 − e2)(e1 − c1)

e1 − c1− a1e2x+ a1(c2 − e2)+

+a1a2(c2 − e2)

TE − TCx+

(−a1(c2 − e2)

TE − TC

)2

x− by

= (b+ a2)e1x− a1e2x− a2b+ x− a22x+ b2x+ 2ba2x+ a22x− by

= be1x+ a2e1x− a1e2x+ a2bx+ b2x− by

= [(e1 + a2)b+ b2 + (a2e1 − a1e2)]x− by

= (TEb+ b2 +DE)x− by

= (TE + b)x+DEx− by.Teorema 1 (Freire et al., 2002) Se um sistema linear por partes (3.1)-(3.2) tem umciclo limite, então se verica TETC < 0 e o sistema pode ser transformado por umamudança de variáveis mais um reescalonamento no tempo na forma canônicax = φ(x)− y,

y = x− βy,(3.8)onde

φ(x) =

µEx+ (µE − µC), se x ≤ −1,

µCx, se − 1 < x < 1,

µEx− (µE − µC), se x ≥ 1e β, µE e µC são parâmetros reais.Demonstração. Primeiro será mostrado que se o sistema linear por partes (3.1)-(3.2)tem um ciclo limite, então o sistema pode ser transformado na forma canônica (3.7) comρ > 0. Pela Proposição 2, se o sistema (3.1)-(3.2) tem um ciclo limite, então a1 6= 0 eTCTE < 0, ou seja, TE 6= TC . Assim, aplicando a Proposição 4, tem-se a forma canônicado sistema (3.1)-(3.2)

x = f(x)− y,

y = ρx− by.Assumindo que o ciclo limite Γ está em duas zonas, é claro que existe outro ciclolimite simétrico a Γ. Logo Γ não envolve a origem, pois caso contrário as duas curvas secruzariam. Sabe-se que uma órbita periódica de um campo vetorial contínuo no plano

32deve conter no mínino um ponto de equilíbrio em seu interior [17]. Portanto, Γ deveenglobar o ponto de equilíbrio x que está localizado em uma das zonas externas.Se ρ ≤ 0, x é sela ou é nó. De fato, os autovalores de (3.7) nas zonas externas sãoλ1,2 =

mE − b±√

(mE + b)2 − 4ρ

2e assim(m+ b)2 − 4ρ ≥ 0 ⇔ ρ ≤ 0.Portanto, x é sela ou é nó quando ρ ≤ 0 e assim existem retas invariantes associadas aeste ponto, o que exclui a existência de órbitas periódicas situadas em duas zonas. Agora,supondo que Γ esteja nas três zonas, ρ ≤ 0 e observando o uxo nas fronteiras x = −1e x = 1, tem-se que Γ deve englobar a origem. Além disso, a órbita Γ atravessa os doissemieixos positivos nos primeiros quadrantes.Se ρ = 0, a reta y = 0 é uma trajetória que cortaria Γ, o que é impossível. Se ρ < 0,uma análise do uxo nas fronteiras do primeiro quadrante mostra que as órbitas que saemde tal quadrante nunca mais voltam a ele. Conclui-se que ρ > 0 e então tomando em(3.7) a mudança de variáveis

x 7→ x e y 7→ √ρy,e o reescalonamento no tempo t 7→ t√

ρ, tem-se

dx

dt/√ρ=

√ρdx

dt=

√ρ (f(x)− y(

√ρ) ⇒ dx

dt=f(x)√ρ

− y,

f(x)√ρ

=

µE√ρx+

(µE − µC)√ρ

, se x ≤ −1,

µC√ρx, se − 1 < x < 1,

µE√ρx− (µE − µC)√

ρ, se x ≥ 1,

dy√ρ

dt/√ρ= (

√ρ)2

dy

dt= ρx− by

√ρ ⇒ dy

dt= x− b√

ρy .Considerando então as mudanças de parâmetros

β =b√ρ, µC =

mC√ρ

e µE =mE√ρo sistema (3.8) é obtido, o que prova o teorema.

333.2 Soluções do sistema (3.8)Como as formas explícitas das soluções de (3.8) são necessárias para o estudo dossistemas lineares por partes com três zonas, façamos um estudo detalhado das mesmas.Isto é possível devido ao fato dos sistemas serem lineares em cada zona. Primeiramenteassumamos, seguindo o que é feito em [5], que D 6= 0, onde D é DC ou DE , A denota AEou AC e T = traço(A).As soluções no interior de cada zona (para ser estendida continuamente para a fronteiracomum) tem a forma:

x(t)∓ β(µC − µ)

D

y(t)∓ µC − µ

D

= eAt

x(0)∓ β(µC − µ)

D

y(0)∓ µC − µ

D

, (3.9)onde eAt = e

T2tC(t), µ é µE ou µC e o sinal de menos (resp. mais) deve ser escolhido paraa zona direita (resp. esquerda) (na zona central o termo correspondente desaparece). Amatriz C(t) depende do sinal de

∆ = (µ− β)2 − 4(−µβ + 1)

= (µ+ β)2 − 4

=

∆E , se |x| ≥ 1,

∆C , se |x| < 1,pois o comportamento dinâmico do sistema é determinado pelos autovalores de cada zona.Quando D > 0 e ∆ < 0, as órbitas lineares correspondem a um foco ou a um centroe em ambas as situações será usado a expressão zona de foco. Quando D > 0 e ∆ ≥ 0 azona será chamada de zona de sela. Escrevendoω =

√|∆|2

=

ωE, se |x| ≥ 1,

ωC , se |x| < 1e usando ∆ para ∆E ou ∆C , e ω para ωE ou ωC, são obtidas as seguintes expressões paraa matriz C(t).Se ∆ < 0 (caso zona de foco), entãoC(t) =

cos(ωt) +(β + µ)sen(ωt)

2ω−sen(ωt)

ωsen(ωt)

ωcos(ωt)− (β + µ)sen(ωt)

2ω

.

34Se ∆ > 0 (casos zonas de sela ou de nó próprio), entãoC(t) =

cosh(ωt) +(β + µ)senh(ωt)

2ω−senh(ωt)

ωsenh(ωt)

ωcosh(ωt)− (β + µ)senh(ωt)

2ω

.Quando ∆ = 0 (caso zona de nó impróprio), então

C(t) =

(1 + t(µ− T/2) −t

t 1− t(µ− T/2)

).Considerando D = 1− µβ = 0 é possível deduzir que β 6= 0 e µ = 1/β . Quando D = 0 e

T 6= 0, isto é µ = 1/β e 0 6= |β| 6= 1, a expressão (3.9) não é mais válida. Assim usaremos(x(t)

y(t)

)=

1

T

1

βeTt − β 1− eTt

eTt − 11

β− βeTt

(x(0)

y(0)

)∓DCt

β +1

βeTt

1 + eTt

,onde T = (1− β2)/β, e o sinal de menos (mais) corresponde à zona direita (esquerda).Mais um caso degenerado surge quando µ = β = ±1, então D = T = 0. Neste caso,as soluções são da forma(x(t)

y(t)

)=

(1 + βt −tt 1− βt

)(x(0)

y(0)

)∓ TCt

(1

β

).Por m, Freire et al. [5] introduzem dois parâmetros que são cruciais na análise docaso em que ∆ 6= 0,

γE =µE − β

2ωE

=TE2ωE

, γC =µC − β

2ωC

=TC2ωCpara o qual uma observação elementar é dada.Observação 1 Para ∆ > 0 e D 6= 0, tem-se γ2 − 1 = D/ω2, e então |γ| < 1 para umazona de sela e |γ| > 1 para uma zona de nó, onde γ = γC ou γ = γE de acordo com aescolha de ω = ωC ou ω = ωE.O seguinte resultado é imediato, analisando-se os casos para se ter x = y em (3.8).Proposição 5 (Freire et al., 2002) Para o sistema (3.8) a origem é sempre um pontode equilíbrio e as seguintes condições ocorrem.(a) Se DEDC ≥ 0 e DC 6= 0, então a origem é o único ponto de equilíbrio.(b) Se DEDC < 0, então β 6= 0 e o sistema tem três pontos de equilíbrio, um em cadazona.

35(c) Se DE 6= 0 e DC = 0, então β 6= 0 e o sistema tem uma innidade de pontos deequilíbrio que compõem o segmento dado por y = x/β com |x| ≤ 1.(d) Se DE = DC = 0, então β 6= 0 e o sistema tem uma innidade de equilíbrios quecompõem a linha dada pela equação y = x/β.3.3 Sistema linear por partes no plano com três zonase um ponto de equilíbrioNesta seção será estudado o caso (a) da Proposição 5, isto é, o sistema linear porpartes no plano com três zonas e um ponto de equilíbrio. Neste caso, exclui-se TE = TC(que implica µE = µC), pois esta condição resulta em um sistema linear e não em umsistema linear por partes.Proposição 6 (Freire et al., 2002) Considere o sistema (3.8) com DEDC ≥ 0 e DC 6=0. Então a origem é o único ponto de equilíbrio e as seguintes condições acontecem.(a) Se DC > 0, a origem é uma antissela (nó, foco ou centro) e surgem os seguintescasos:(a1) Se TCTE < 0, então a origem é englobada por um único ciclo limite, que éestável se TC > 0 e instável se TC < 0 (ver Figura 3.1(a)).(a2) Se TC = 0 e TE 6= 0, então a origem é englobada por um continuum de órbitasperiódicas contidas na zona central (ver Figura 3.1(b)).(a3) Se TCTE ≥ 0, com TC 6= 0, então não existe uma curva invariante fechada(ver Figuras 3.2(a) e 3.2(b)).(b) Se DC < 0, o ponto de equilíbrio é uma sela e o sistema não tem curvas invariantesfechadas (ver Figura 3.2(c)).Demonstração. Pela armação (a) da Proposição 5 segue que a origem é o único pontode equilíbrio do sistema (3.8).(a) Como DC > 0, a origem é uma antissela.(a1) Considerando que TC > 0, como o sistema (3.8) pode ser transformado, atravésde uma mudança de variáveis, no sistema (3.6), que está escrito na forma deLiénard, as seguintes propriedades podem ser deduzidas.(i) F (x) = −F (−x), g(x) = −g(−x).(ii) xg(x) > 0 quando x 6= 0.(iii) F (0) = 0, F ′(0) > 0.

36

(a) (b)Figura 3.1: Esboço dos retratos de fase: (a) A origem é um foco englobado por um ciclo limiteestável, armação (a1) da Proposição 6. (b) A origem é um centro englobada por um continuumde órbitas periódicas na zona central, armação (a2) da Proposição 6.

(a) (b) (c)Figura 3.2: Esboço dos retratos de fase : (a) A origem é um foco, não há curva invariantefechada, armação (a3) da Proposição 6. (b) A origem é um nó, não há curva invariante fechada,armação (a3) da Proposição 6. (c) A origem é uma sela, o sistema não tem curvas invariantesfechadas, armação (b) da Proposição 6.(iv) Quando x > 0, a equação F (x) = 0 tem uma única raiz x0 = 1 −(TC/TE) > 1.(v) Para x ≥ x0, quando x → ∞ F decresce monotonamente para menosinnito.(vi) As funções F e g têm derivadas contínuas para todo x, com exceção dospontos x = ±1 onde as duas funções tem derivadas laterais diferentes.O Teorema de Liénard, demonstrado no Apêndice A, garante que as condiçõesacima são sucientes para provar a existência de um ciclo limite estável. Para

TC < 0, basta fazer uma análise semelhante invertendo o tempo.(a2) A matriz Jacobiana na zona central do sistema (3.8) é dada por(µC −1

1 −β

).

37Os autovalores da matriz Jacobiana são dados por λ1,2 = ±√−1 + µCβ. Aigualdade TC = 0 junto com DC > 0 implica que os autovalores são imagináriospuros. Logo, a origem é um centro e portanto existe um continuum de órbitasperiódicas englobando este ponto. Da Proposição 1 conclui-se que TESE = 0,o que é possível somente se SE = 0 (pois por hipótese TE 6= 0), ou seja, a áreadas órbitas periódicas nas zonas externas é nula e portanto, não existe órbitasperiódicas com partes nas zonas externas. Então as órbitas periódicas estãorestritas à zona central.(a3) Se TCTE ≥ 0 e TC 6= 0, então existem as seguintes possibilidades :

• TE = 0 e assim pela Proposição 1, tem-se TCSC = 0 que é possível somentese SC = 0, logo não existem órbitas periódicas envolvendo a zona central.Portanto, não existem órbitas periódicas no sistema.• TC , TE > 0 ou TC , TE < 0 e assim

TCSC + TESE 6= 0 .Logo, pela Proposição 1, o sistema não pode ter qualquer órbita periódica.(b) ComoDC < 0, o ponto de equilíbrio é uma sela. Então não existem órbitas periódicasque estão apenas na zona central, e uma possível órbita invariante fechada pode teralgumas partes nas zonas externas. Mas isto é impossível neste caso, pois quandouma órbita periódica entra em uma das zonas externas, nunca retorna para a zonacentral.Exemplo 1 Tomando-se µC = 2, µE = −1 e β = −14, o sistema (3.8) toma a forma

x = φ(x)− y,

y = x+ 14y,

(3.10)ondeφ(x) =

−x− 3, se x ≤ −1,

2x, se − 1 < x < 1,

−x+ 3, se x ≥ 1.Como DC = 1.5 > 0 e TCTE = −1.7 < 0 temos que o caso (a1) da Proposição 6 severica. O retrato de fase é mostrado nas Figuras 3.3 e 3.4.Exemplo 2 Tomando-se µC =1

2, µE = 1 e β =

1

2, tem-se

x = φ(x)− y,

y = x− 12y,

(3.11)

38comφ(x) =

x+ 12, se x ≤ −1,

12x, se − 1 < x < 1,

x− 12, se x ≥ 1.Como TC = 0 e TE = 1

2, caso (a2) da Proposição 6, então a origem é englobada por umcontinuum de órbitas periódicas que cam na zona central, como podemos observar naFigura 3.5.Exemplo 3 Considerando o sistema com os valores de parâmetros µC =

1

2, µE = 3 e

β = −1

2, temos o seguinte sistema

x = φ(x)− y,

y = x+ 12y,

(3.12)ondeφ(x) =

3x+ 52, se x ≤ −1,

12x, se − 1 < x < 1,

3x− 52, se x ≥ 1.Note que DC = 1.25 e TCTE = 3.5 > 0 com TC = 1, portanto, segundo a Proposição 6não existe uma curva invariante fechada neste caso. Ver Figura 3.6.

(a) (b)Figura 3.3: Retrato de fase do sistema (3.10). (a) A origem é um foco instável, e o ciclo limiteenglobando a origem é estável. O tempo de integraçao é [-8,16]. (b) No tempo de integração[11,14] observa-se a existência de uma órbita periódica estável.

39

Figura 3.4: Retrato de fase do sistema (3.10). Tempo de integração: [-8,14].

(a) (b)Figura 3.5: Retrato de fase do sistema (3.11). Tempo de integração: [-20,20]. A origem é umcentro e existe um continuum de órbitas periódicas englogando a origem.Exemplo 4 Tomando-se µC = 5, µE = 3 e β = 12, temos o seguinte sistema:

x = φ(x)− y,

y = x− 12y,

(3.13)ondeφ(x) =

3x− 2, se x ≤ −1,

5x, se − 1 < x < 1,

3x+ 2, se x ≥ 1.Como TC = 4.5, TE = 2.5, DE = −0.5 e DC = −1.5, temos o caso (b) da Proposição 6.O retrato de fase do sistema (3.13) é mostrado na Figura 3.7.

40

Figura 3.6: Retrato de fase do sistema (3.12). Tempo de integração: [−10, 5]. A origem é umafoco globalmente repulsor.

Figura 3.7: Retrato de fase do sistema (3.13). Tempo de integração: [−20, 5]. A origem é umponto de sela.Proposição 7 (Freire et al., 2002) Se o sistema (3.8) tem somente um ponto de equi-líbrio e |β| ≥ 1, então o sistema não pode ter curvas invariantes fechadas.Demonstração. Em virtude da simetria, serão considerados apenas o caso β ≥ 1. Comoo sistema tem apenas um ponto de equilíbrio, pela Proposição 5 temos que DCDE ≥ 0 eDC 6= 0. Quando DC > 0 e DE ≥ 0, tem-se µC < 1/β < β e µE ≤ 1/β ≤ β e então

TCTE = (µC − β)(µE − β)

= µC µE − βµC − βµE + β2 ≥ 0.Assim, da armação (a3) da Proposição 6, não existe uma curva invariante fechada. SeDC < 0, não há curvas invariantes fechadas devido a armação (b) da Proposição 6.

41Exemplo 5 Tomando-se µC = −1, µE = −3 e β = 5 em (3.8) obtemos o sistema:x = φ(x)− y,

y = x− 5y,(3.14)onde

φ(x) =

−3x− 2, se x ≤ −1,

−x, se − 1 < x < 1,

−3x+ 2, se x ≥ 1.Como tomamos β > 1, pela Proposição 7 temos que o sistema não pode ter curvas inva-riantes fechadas como podemos observar na Figura 3.8.

Figura 3.8: Retrato de fase do sistema (3.14). A origem é um nó estável.3.4 Sistema linear por partes no plano com três zonase um ponto de equilíbrio em cada zonaNesta seção estudaremos o sistema linear por partes no plano com três zonas com umponto de equilíbrio em cada zona (caso (b) da Proposição 5). Desta forma, no sistema(3.8) verica-se DEDC < 0 o que implica que apenas um determinante é negativo, ou seja,DE < 0 ou DC < 0. Logo o ponto de sela está ou na zona central ou nas zonas externas.Lembrando que β 6= 0 em todos os casos.O sistema não é diferenciável nas linhas x = ±1, então não é possível usar teoremassobre sistemas diferenciáveis. Portanto, integrando o sistema em cada zona, uma trans-formação de retorno de Poincaré pode ser denida, o que é uma etapa importante paraos resultados desta seção.

42Nas órbitas na zona externa x ≤ −1, pontos de S+ = x = −1, y ≥ −µC podem sertransformados em pontos de S− = x = −1, y ≤ −µC. Usando a notação (−1, p − µC)com p ≥ 0 para representar pontos de S+ e (−1,−q − µC) com q ≥ 0 para representarpontos de S− é possível denir uma transformação de retorno PE (quando existir) demodo que q = PE(p), esta igualdade denota a existência de uma órbita na zona externax ≤ −1 do ponto (−1, p− µC) para o ponto (−1,−q − µC).Com relação a zona central, existem órbitas que transformam os pontos de S− empontos de Σ− = x = 1, y ≥ µC. É denida uma transformação de retorno QC ,se existe, descrita por s = QC(q). Esta função transforma o ponto (−1,−q − µC)no ponto (−1,−s + µC). Também existem órbitas que transformam pontos de Σ− emΣ+ = x = 1, y ≥ µC e pontos de Σ+ em pontos de S+, respectivamente. Estas trans-formações de retorno são denidas (se existirem) por PE(s) = u, que transforma o ponto(−1,−s− µC) no ponto (−1, u+ µC), e QC(u) = r, que transforma o ponto (−1, u− µC)no ponto (−1, r − µC), respectivamente, onde u, s, r ≥ 0 (ver Figura 3.9).PSfrag replacements

PE PE

µC

−µC

−q − µC−s+ µC

u+ µCp− µC

r − µC

QC

QC

S−

S+

Σ−

Σ+

1−1 0

Figura 3.9: As transformações de retorno PE , QC , PE e QC .A composição PT = QC PE QC PE, quando existe, constitui uma transformaçãode Poincaré relacionada com a seção de Poincaré x = −1. As quatro transformações sãocrescentes, e então suas derivadas são não-negativas. Portanto, a composição PT serácrescente.Trabalhar com a transformação PT é muito difícil. Logo usando a simetria do sis-tema, em [5] os autores consideram a transformação P = QC PE que tem propriedadessemelhantes à transformação PT como mostra a seguinte proposição.Proposição 8 (Freire et al., 2002) As transformações PT = QC PE QC PE eP = QC PE, onde ambas são denidas, possuem as seguintes propriedades.(a) PT = P P .

43(b) P e PT têm os mesmos pontos xos com as mesmas propriedades de estabilidade.Demonstração. Ver [5].Da relação entre PT e P , a partir de agora usaremos P ao invés de PT . Para este m,são introduzidas as funções auxiliaresϕγ(τ) = 1− eγτ (cos τ − γ sen τ)eψγ(τ) = 1− eγτ (cosh τ − γ senh τ)com as propriedades de simetria

ϕ−γ(−τ) = ϕγ(τ), ϕ−γ(τ) = ϕγ(−τ)eψ−γ(−τ) = ψγ(τ), ψ−γ(τ) = ψγ(−τ),para γ, τ ∈ R e os grácos estão nas Figuras 3.10 e 3.11.

Figura 3.10: A função ϕγ(τ) para γ > 0. Fonte: referência [5].

(a) (b)Figura 3.11: (a) A função ψγ(τ) para γ > 1. (b) A função ψγ(τ) para 0 < γ < 10. Fonte:referência [5].

44O primeiro caso considerado será o foco-sela-foco.Teorema 2 (Freire et al., 2002) (Foco-sela-foco com 0 < |β| < 1) Consideramos osistema (3.8) com DC < 0, DE > 0 e ∆E < 0. Então o sistema tem um ponto de equilíbrioem cada zona. O ponto de equilíbrio na origem é um ponto de sela e os equilíbrios naszonas externas são focos. Além disso, se |β| < 1 então TC 6= 0 e as seguintes armaçõesse vericam.(a) (Curvas fechadas em duas zonas) Se TCTE < 0, então um e somente um dos seguintescasos ocorrem:(a1) Existem dois ciclos limites instáveis, mutuamente simétricos, englobando cadaponto de equilíbrio nas zonas externas e não há órbitas homoclínicas (ver Figura3.12(a)).(a2) Existem duas órbitas homoclínicas, mutuamente simétricas, englobando cadaponto de equilíbrio nas zonas externas (ver Figura 3.12(b)).(a3) Não existem nem ciclos limites nem órbitas homoclínicas (ver Figura 3.13(a)).(b) (Curvas fechadas em três zonas) Se TCTE < 0, então um e somente um dos seguintescasos ocorrem:(b1) Existem dois ciclos limites instáveis mutuamente simétricos englobando cadaponto de equilíbrio nas zonas externas, e um terceiro ciclo limite estável englo-bando o terceiro ponto de equilíbrio e os dois outros ciclos limites (ver Figura3.13(b)).(b2) Existem duas órbitas homoclínicas mutuamente simétricas englobando cadaponto de equilíbrio nas zonas externas, e um ciclo limite estável englobando oterceiro ponto de equilíbrio e os duas órbitas homoclínicas (ver Figura 3.14(a)).(b3) Existem dois ciclos limites englobando os três equilíbrios. O externo é estávele o interno é instável e não existem órbitas homoclínicas (ver Figura 3.14(b)).(b4) Existe um único ciclo limite semiestável e não existem órbitas homoclínicas(ver Figura 3.15(a)).(b5) Não existem ciclos limites nem órbitas homoclínicas (ver Figura 3.15(b)).(c) Se TE = 0, então cada ponto de equilíbrio na zona externa é englobado por umcontinuum de órbitas periódicas que se encontram nestas zonas, e não existem cicloslimites nem órbitas homoclínicas.(d) Se TE > 0 não existem ciclos limites nem órbitas homoclínicas.

45(a) (b)Figura 3.12: Esboço do retrato de fase do sistema (3.8). (a) Existem dois ciclos limites instáveis,mutuamente simétricos, armação (a1) do Teorema 2. (b) Existem duas órbitas homoclínicas,mutuamente simétricas, armação (a2) do Teorema 2.(a) (b)Figura 3.13: Esboço do retrato de fase do sistema (3.8). (a) Não existem nem ciclos limitesnem órbitas homoclínicas, armação (a3) do Teorema 2. (b) Existem um ciclo limite estávelenglobando a origem e dois ciclos limites instáveis que englobam cada ponto de equilíbrio nazona externa, armação (b1) do Teorema 2 .

(a) (b)Figura 3.14: Esboço do retrato de fase do sistema (3.8). (a) Existe um ciclo limite estávelenglobando a origem e os duas órbitas homoclínicas que englobam cada ponto de equilíbrio nazona externa, armação (b2) do Teorema 2. (b) Existe dois ciclos limites cercando os três pontosde equilíbrio, o externo é estável e o interno é instável, armação (b3) do Teorema 2.Demonstração. O sistema (3.8) tem um ponto de equilíbrio em cada zona, na zonacentral a origem é uma sela, DC < 0, nas zonas externas os equilíbrios são focos oucentros, ∆E < 0. Se |β| < 1, supondo que TC = µC − β = 0 temos que DC = 1− β2 > 0,o que contradiz a hipótese de DC < 0. Portanto TC 6= 0.

46(a) (b)Figura 3.15: Esboço do retrato de fase do sistema (3.8). (a) Existe um único ciclo limite semi-estável, armação (b4) do Teorema 2. (b) Não existem ciclos limites nem órbitas homoclínicas,armação (b5) do Teorema 2.A simetria do sistema (3.8) permite considerar apenas o caso 0 < β < 1. Assim, de

DC = 1− µCβ < 0, pode-se concluir que µC > 1/β > 1 > β, e assim TC = µC − β > 0.(a) A prova deste item segue da Proposição 20 de [4], neste artigo o estudo é feito paraduas zonas.(a1) O item (b2) da Proposição 20 de [4] arma que não existem órbitas homoclínicas eque existe um ciclo limite na zona de foco. Logo, neste caso, haverá um ciclo limite emcada zona de foco (zonas externas) que são mutuamente simétricos (por causa da simetriado sistema) e não existem órbitas homoclínicas.(a2) A armação (b3) da Proposição 20 de [4], garante que em duas zonas, com um pontode sela em uma zona e um foco na outra zona, existe uma órbita homoclínica englobandoo foco e não existem órbitas periódicas. Portanto, para o caso foco-sela-foco, existem duasórbitas homoclínicas englobando os pontos nas zonas externas. Além disso, na Proposição27 de [4], os autores deduzem que a situação (a2) aparece exatamente quando µE = h(µC),onde a função

h :

(1

β,∞)

→ (−2− β, µ∗),que corresponde a uma dupla órbita homoclínica, é denida implicitamente pela equaçãoπ + cot−14− (µC + β)(µE + β)

4ωCωE+ωE

TElog

(2ωCβ − ωCβ + 2− β2

µC − β − 2ωC

)2e µ∗ ∈ (−2 − β, β) .(a3) A sentença (b1) da Proposição 20 de [4] arma que não há nem órbita homoclínicae nem ciclos limites no caso foco-sela, assim no caso foco-sela-foco também não há.(b) Por hipótese, tem-se que TCTE < 0, então TE < 0, pois TC > 0. De ∆E < 0 e TE < 0,é preciso considerar apenas os valores de µE tal que −2− β < µE < β.Como os pontos de equilíbrio nas zonas externas são focos, toma-se como valoresiniciais (x(0), y(0)) = (−1, p− µC) com p ≥ 0 (Figura 3.9) na fronteira x = −1, a órbitaque envolve a zona da esquerda chega a mesma fronteira no ponto (−1,−q − µC) depois

47do tempo t. Das soluções (3.9), temos(

−1 +β(µC − µE )

DE

−q − µC +µC − µE

DE

)= e

TE2

t(

cos(ωEt) +(β + µE)sen(ωE t)

2ωE

−sen(ωE t)

sen(ωE t)

ωE

cos(ωEt) −

(β + µE )sen(ωE t)

2ωE

)(−1 +

β(µC − µE )

DE

p − µC +µC − µE

DE

)ou equivalentemente(

−DC

DE

−q −DCµE

DE

)= e

TE2

t

(cos(ωEt) +

(β + µE)sen(ωEt)

2ωE

−sen(ωEt)

sen(ωEt)

ωE

cos(ωEt)−(β + µE)sen(ωEt)

2ωE

)(−DC

DE

p −DCµE

DE

)

que permite escrever p e q da formap(τE) =

ωEDCe−γEτEϕγE(τE)

DEsen(τE), q(τE) =

ωEDCeγEτEϕ−γE(τE)

DEsen(τE),com γE =

TE2ωE

< 0 e τE = ωEt ∈ (0, π), onde t é o tempo de passagem das órbitas nazona x ≤ −1.De PE(p) = q tem-se que P−1E (q) = p e sua derivada é dada por

(P−1E )′(q) =

dp/dτEdq/dτE

=ωEDCϕ−γE(τE)

DEsen2(τE)

DEsen2(τE)

ωEDCϕγE(τE)

=ϕ−γE(τE)

ϕγE(τE)

=q

pe−2γEτE ,donde obtemos

limq→+∞

(P−1E )′(q) = e−γEπ > 1, (P−1

E )′′(q) > 0.Consequentemente P ′′E(p) < 0, porque P ′

E(p) > 0.Da mesma forma, toma-se (x(0), y(0)) = (−1,−q−µC) como valores iniciais, que pelouxo na zona central é levado no ponto (1,−s+µC). Agora, usando (3.9), a transformaçãode retorno s = QC(q) é denida pelas equações paramétricasq(τC) =

ωCe−γCτC (2− ψγC (τC))

senh(τC), s(τC) =

ωCeγCτC (2− ψ−γC (τC))

senh(τC), (3.15)com γC =

TC2ωC

> 0 e τC = ωCt, onde t é o tempo da trajetória na zona central.

48Por outro lado, o sistema tem duas retas invariantes associadas ao ponto sela que cortaa fronteira x = −1 nos pontosy+ = λ+ − µC e y− = λ− − µC (3.16)onde λ± são autovalores da matriz AC . Nesta proposição será utilizada a notação p = λ+e q = λ−.Está claro que para analisar ciclos limites em três zonas, deve-se considerar apenas assituações em que q > q.De (3.15) e (3.16), tem-se

limτC→+∞

q(τC) = q e limτC→0

q(τC) = +∞.Depois de alguns cálculos, tem-seQ′

C(q) =2− ψγC (τC)

2− ψ−γC (τC),com

limq→q

Q′C(q) = +∞ e lim

q→+∞Q′

C(q) = 1.A segunda derivada de QC(q) é dada pela expressãoQ′′

C(q) =2(γ2C − 1)senh3(τC)[senh(γCτC) + γCsenh(τC)]

ωC [2− ψ−γC (τC)]3

.Como DC < 0 e TC > 0 tem-se 0 < γC < 1 e das propriedades da função ψγ, tem-seψ−γ(τ) < 0 e então Q′′

C(q) < 0.Agora, serão consideradas as funções z(p) = P (p)− p para p ∈ (P−1E (q),+∞). Assim

z′(p) = P ′(p)− 1

= Q′C(PE(p))P

′E(p)− 1

= Q′C(q)

1(P−1

E(q))′

− 1,e então, tem-selim

p→P−1E

z′(p) = +∞ e limp→+∞

z′(p) =1

e−γEπ− 1 < 0,o que indica que existe pelo menos um ponto crítico p ∈ (P−1

E ,+∞).A segunda derivada de z(p) éz′′(p) = P ′′(p)

= Q′′C(q)(P

′E(p))

2 +Q′C(q)P

′′E(p) < 0,

49pois Q′′c (q) < 0, Q′

C(q) > 0 e P ′′E(p) < 0. Então, o ponto crítico é único e z(p) ≤ z(p) paratodo p ≥ P−1

E (q). Tem-se então os seguintes casos a considerar.(b1) Se µE ∈ (h(µC), β). A inequação µE > h(µC) implica que P−1E (q) < p. Portanto,

limp→P−1

E(q)(P (p)− p) = p− P−1

E (q) > 0isto é, z(p) = P (p) − p > 0 quando p está próximo de P−1E (q). Logo, o valor máximode z(p) é positivo. Então, no intervalo [P−1

E (q), p), a função z(p) é positiva, enquanto ointervalo (p,∞) é estritamente decrescente. Além disso,lim

p→+∞z(p) = lim

p→+∞p

(P (p)

p− 1

)

= limp→+∞

p(P ′(p)− 1) = −∞, (3.17)então, existe um único p∗ ∈ (p,∞) tal que z(p∗) = 0. Portanto, o sistema tem um únicociclo limite estável com partes nas três zonas.(b2) Como neste caso, existem duas órbitas homoclínicas mutuamente simétricas englo-bando os pontos de equilíbrio nas zonas externas, pela Proposição 20 de [4], tem-se queh(µC) = µE e portanto P−1

E (q) = p. Então, z(p) = P (p)− p = 0, e o valor máximo de z(p)é positivo. Logo, no intervalo (P−1E (q), p), a função z(p) é positiva, enquanto o intervalo

(p,∞) é estritamente decrescente. Além disso,lim

p→+∞z(p) = lim

p→+∞p

(P (p)

p− 1

)

= limp→+∞

p(P ′(p)− 1) = −∞,então, existe um único p∗ ∈ (p,∞) tal que z(p∗) = 0. Portanto, o sistema tem um únicociclo limite estável com partes nas três zonas.Nos casos (b3) e (b4), tem-se que µE < h(µC) o que implica que P−1E (q) > p. E então

limp→P−1

E(q)(P (p)− p) = p− P−1

E (q) < 0isto é, z(p) = P (p)− p < 0 quando p está próximo de P−1E (q).(b3) Neste caso, considera-se que −2 − β < µE < h(µC), com µE sucientemente pertode h(µC). Pela continuidade, o valor máximo z(p) ainda é positivo. Como a função

z(p) é monotonamente crescente no intervalo [P−1E (q), p] existe um único ponto p∗1 nesteintervalo, tal que z(p∗1) = 0. Como (3.17) também é válida para este caso, temos que existe

p∗2 ∈ (p,∞) com z(p∗2) = 0. Portanto, como z(p) tem duas raízes, existe um ciclo limiteinstável correspondente a p∗1 englobando os três equilíbrios e outro ciclo limite estávelcorrespondente a p∗2 englobando o primeiro ciclo limite.

50(b4) Consideremos −2−β < µE < h(µC), com µE sucientemente perto de −2−β. Comoé mostrado em [5] a transformação QC tem uma assíntota. De fato,lim

q→+∞

QC(q)

q= lim

τC→0

s(τC)

q(τC)

= limτC→0

e2γCτC (2− ψ−γC (τC))

2− ψγC (τC)= 1,e

limq→+∞

(QC(q)− q) = limτC→0

(s(τC)− q(τC))

= limτC→0

ωC

senh(τC)(eγCτC (2− ψ−γC (τC))− e−γCτC (2− ψγC (τC)))

= limτC→0

ωC

senh(τC)(eγCτC − e−γCτC + 2γCsenh(τC))

= limτC→0

ωC

(2senh(γCτC)

senh(τC)+ 2γC

)

= limτC→0

TC

(senh(γCτC)

γCsenh(τC)+ 1

)

= 2TC .Portanto, a reta sa = q + 2TC é uma assíntota para QC . Além disso, como Q′′C(q) < 0,tem-se QC(q) < sa, para todo q > q. Agora, analisaremos o sinal da função

z(p) = P (p)− p = QC(PE(p))− P−1E (q) = QC(q)− P−1

E (q). (3.18)Considerando a inequaçãoQC(q)− P−1

E (q) < q + 2TC − P−1E (q)

= 2TC +DCωE

DEsen(τE)(eγEτE − e−γEτE − 2γEsen(τE))

= 2TC +DCωE

DE

(eγEτE − e−γEτE

sen(τE)− 2γE

)

= 2TC +DCωEγEDE

(2(eγEτE − e−γEτE)

2γEsen(τE)− 2

)

= 2TC +DCTE2DE

(−2)

(1− senh(γEτE)

γEsen(τE)

)

= 2TC − TEDC

DE

(1− senh(γEτE)

γEsen(τE)

),onde π < τE < 2π, como τE ∈ (π, 2π) a seguinte inequação é válida

1− senh(γEτE)

γEsen(τE)> 1 +

senh(γEπ

γE.

51LogoQC − P−1

E (q) < 2TC − TEDC

DE

(1 +

senh(γEπ

γE

),que juntamente com

limµE→−(2−β)

(1 +

senh(γEπ

γE

)= +∞permite concluir que para µE sucientemente perto de −2 − β tem-se z(p) < 0. Oque exclui a existência de um ponto xo de P . Na armação (b3) foi mostrado que se

µE < h(µC) e µE está sucientemente perto de h(µC), o valor máximo de z(p) ainda épositivo. Agora foi mostrado que para µE < h(µC) e µE sucientemente perto de −2−β,o valor máximo da função z(p) é negativo. Então, por causa da continuidade, deve existirum valor de µE ∈ (−2− β, h(µC)) tal que o valor máximo z(p) = 0, o que corresponde aexistência de pelo menos um ciclo limite semiestável.(a5) Assumindo que µE > −2−β com µE sucientemente perto de −2−β. Foi mostradona última armação que o valor máximo de z é negativo e então a equação z(p) = 0não tem raiz. Portanto, não existe uma órbita invariante fechada. Os casos (b) e (c) sãosemelhantes aos casos (a2) e (a3) da Proposição 6.Exemplo 6 A seguir ilustraremos alguns dos casos do Teorema 2, assumindo valores deβ, µE e µC para o sistema (3.8) que satisfaçam as hipóteses da proposição.Caso b4: µE = −1, µC = 5 e β = 1

4.Como TCTE < 0 temos que ou acontece o caso (a) ou o caso (b). No entanto, aoanalisarmos o retrato de fase mostrado na Figura 3.16, observamos que existe umúnico ciclo limite semiestável e não há órbitas homoclínicas, ou seja, temos o caso(b4).Caso b5: µE = −1, µC = 3 e β = 0.9 .Temos que TE = −1.9, portanto temos que este sistema não se encaixa nos casos(c) e (d). Analisando o retrato de fase, obtido com o método de Runge-Kutta dequarta ordem e passo 0.01, temos que o sistema (3.8), com µE = −1, µC = 3 e

β = 0.9, não tem ciclos limites nem órbitas homoclínicas. Logo, temos o caso (b5).Ver Figura 3.17.Caso c: µE = 12, µC = 3 e β = 1

2.Podemos observar na Figura 3.18 que cada ponto de equilíbrio na zona externaé englobado por um continuum de órbitas periódicas. Logo, o sistema (3.8) com

µE = 12, µC = 3 e β = 1

2, representa o caso (c) do Teorema 2.Caso d: µE = 0.1, µC = −2 e β = −0.8 .Com estes valores de parâmetros, temos que TE > 0 e portanto ocorre o caso (d) doTeorema 2, como podemos observar no retrato de fase mostrado na Figura 3.19.

52

(a) (b)Figura 3.16: Retrato de fase do sistema (3.8) com µE = −1, µC = 5 e β = 14 que representa ocaso (b4) do Teorema 2.

(a) (b)Figura 3.17: Retrato de fase do sistema (3.8) com os parâmetros µE = −1, µC = 3 e β = 0.9.A origem é um ponto de sela e os pontos de equilíbrio nas zonas externas são focos estáveis.Proposição 9 (Freire et al., 2002) (Caso foco-sela-foco com |β| ≥ 1). O sistema (3.8)com DC < 0, DE > 0, ∆E < 0 e |β| ≥ 1, não pode ter curvas invariantes fechadas.Demonstração. Consideramos apenas o caso β ≥ 1. Neste caso o Teorema 2 de [5] excluia ideia de que pode haver curvas invariantes fechadas em apenas duas zonas. Provemosque o sistema não tem órbitas invariantes fechadas que estejam nas três zonas. Para isto,consideramos as ideias usadas para provar a armação (a4) do Teorema 2. Mais uma vez

53

(a) (b)Figura 3.18: Retrato de fase do sistema (3.8) com os seguintes parâmetros µE = 12 , µC = 3e β = 1

2 . Cada ponto de equilíbrio na zona externa é englobado por um continuum de órbitasperiódicas.

(a) (b)Figura 3.19: Retrato de fase do sistema (3.8) com os seguintes parâmetros µE = 0.1, µC = −2e β = −0.8, que representa o caso (d) do Teorema 2.será analisado o sinal da função (3.18). Notemos que:1 +

sinh(γEπ)

γE> 1 + π, para todo γE ∈ R,

54e assim, é possível escreverz(p) < 2TC − TE

DC

DE(1 + π)

= 2TC(1 + π)

(1 + π)− TE

DC

DE(1 + π)

= 2TC(1 + π)

(2

(1 + π)− TEDC

DETC

), ∀ p > P−1

E (q).Como DE > 0, então µE < 1/β e assim, TE = 1− β2 ≤ 0 já que β ≥ 1. Logo, tem-se que(TE/DE) < 0, e esta razão é decrescente com µE . De −2− β < µE < 2− β temos que

µE − β

β + 1<

−2

β + 1e também que1

−µEβ<

1

β + 1e portanto,TEDE

=µE − β

−µEβ + 1≤ −2

β + 1para − 2− β < µE < 2− β.Por outro lado, a razão (DC/TC) < 0, pois DC > 0 e TC < 0, e é crescente com µC. De

DC < 0 e µC > 1/β tem-se1

µC − β<

−β1− β2e de TC < 0 e µC > β encontra-se

1− µCβ < 1− β2 .As duas últimas desigualdades permitem concluir queDC

TC=

1− µCβ

µC − β≤ −β para β < µC.Então,

z(p) < TC(1 + π)

(2

1 + π− 2β

β + 1

)< 0, ∀ β ≥ 1,e assim P (p) < p para todo p > P−1

E (q), o que impossibilita a existência de curvasinvariantes fechadas.Lema 1 Se 0 < |β| < 1, então existe um certo valor µCa < β e µEa > 1/β junto com afunção het : (−∞, µCa) → R, tal que o sistema (3.8) tem uma órbita heteroclínica se e so-mente se os parâmetros µE e µC verica a igualdade µE = het(µC). Além disso, a funçãohet tem como assíntota a reta µE = µEa quando µC → −∞, e limµC→µ−

Cahet(µC) = +∞.

55Observação 2 Como visto em [4] quando het(µC) = µE a função het : (−∞, µCa) → Ré dada implicitamente porcoth−1

(4− (µE + β)(µC + β)

4ωCωE

)− ωC

µC − βlog

(β2 + 1)(µE + β)− 4β + 2ωE(β2 − 1)

(β2 + 1)(µE + β)− 4β − 2ωE(β2 − 1)= 0.Lema 2 Se |β| ≥ 1, então o sistema (3.8) não pode ter órbitas heteroclínicas.Proposição 10 (Freire et al., 2002) (O caso sela-antissela-sela com 0 < |β| < 1).Consideremos o sistema (3.8) com DC > 0 e DE < 0. Então o sistema tem um pontode equilíbrio em cada zona. O ponto de equilíbrio na origem é uma antissela (nó, foco oucentro) e os equilíbrios nas zonas externas são pontos de sela. Além disso, se |β| < 1,então TE 6= 0 e as seguintes condições ocorrem.(a) Se TCTE < 0, um e somente um dos seguintes casos acontecem:(a1) Existe um único ciclo limite instável englobando o ponto de equilíbrio na ori-gem e não há órbitas heteroclínicas (ver Figura 3.20(a)).(a2) Existe um único loop heteroclínico e não há ciclos limite (ver Figura 3.20(b)).(a3) Não há ciclos limites nem órbitas heteroclínicas (ver Figura 3.21).(b) Se TC = 0, o ponto de equilíbrio na origem é englobado por um continuum de órbitasperiódicas que ca na zona central.(c) Se TCTE > 0, não há nem ciclos limites nem órbitas heteroclínicas.

(a) (b)Figura 3.20: Esboço do retrato de fase do sistema (3.8). (a) Existe um ciclo limite instávelenglobando o ponto de equilíbrio na origem, armação (a1) da Proposição 10. (b) Existe umloop heteroclínico, armação (a2) da Proposição 10.Demonstração. Da Proposição 5, o sistema tem um ponto de equilíbrio em cada zona.Como DE < 0 os pontos de equilíbrio nas zonas externas são pontos de sela, enquanto quena zona central o equilíbrio é uma antissela, pois DC > 0. Novamente, será considerado ocaso 0 < β < 1, devido à simetria. Assim, DE = −µEβ +1 < 0 o que implica em TE > 0.

56Figura 3.21: Esboço do retrato de fase do sistema (3.8), não existem ciclos limites e nem órbitasheteroclínicas, armação (a3) da Proposição 10.As duas semirretas invariantes do ponto de sela na zona externa da esquerda, cortam afronteira x = −1 nos pontos

y+ =DC

DEλ− − µC = p− µC ,

y− =DC

DEλ+ − µC = −q − µC,onde λ± são os autovalores da matriz AE .PSfrag replacements

y

y−

y+

−µC

µC

y(0) = p− µC

−s + µC

−q − µC

−1 0 1

(a)

PSfrag replacements

yy−

−µC

µC

−1 0 1

(b)Figura 3.22: Retrato de fase de antissela-sela-antissela (a) y > y− (b) y < y−.Tomando (x(0), y(0)) = (−1, p − µC) como valores iniciais da órbita, com −µC ≤y(0) ≤ y+, (veja Figura 3.22(a)) a órbita evolui na zona externa voltando à mesma fron-teira no ponto (−1,−q−µC). Deste modo, usando (3.9) obtemos as equações paramétricasda transformação de retorno PE:

p(τE) =ωEDCe

−γEτEψγE (τE)

DEsenh(τE),

q(τE) =ωEDCe

γEτEψ−γE(τE)

DEsenh(τE),

57e ca claro que PE é denido para 0 < p < p.Das relações,lim

τE→+∞p(τE) = p, lim

τE→0+p(τE) = 0 e P ′

E(p) =ψγE(τE)

ψ−γE (τE)tem-selimp→0

P ′E(p) = lim

τE→0

ψγE(τE)

ψ−γE (τE)= 1e

limp→p

P ′E(p) = lim

τE→∞

ψγE (τE)

ψ−γE(τE)= ∞.A segunda derivada P ′′

E(p) é dada porP ′′E(p) =

DE

DC

2(γ2E − 1)senh3(τE)(senh(γEτE)− γEsenh(τE))

ωE(ψ−γE(τE))3> 0.Além disso, P ′

E é uma função crescente de p, com1 < P ′

E(p) para todo p ∈ (0, p). (3.19)A órbita que passa pelo ponto (1, µC) é tangente à fronteira x = 1 e começa no ponto(−1, y) (veja as Figuras 3.22(a) e 3.22(b)). Agora, surgem dois casos, que dependem dosinal de y − y−.Quando y ≤ y−, as possíveis órbitas que poderiam estar em duas zonas englobam aorigem, o que não é permitido (pois devido a simetria, estas curvas se cruzariam). Entãoo sistema não pode ter uma órbita periódica apenas em duas zonas.Por outro lado, é claro que uma órbita começando do ponto (−1, y) com y < y chegaà linha x = 1 e não pode retornar ao ponto inicial. Então, se y < y, o ponto (−1, y) nãopode pertencer a uma órbita periódica que ocupa as três zonas. Além disso, é claro queo sistema não tem órbitas heteroclínicas para y ≤ y− (ver Figura 3.22(b)).Como o sistema tem órbitas heteroclínicas para certos parâmetros (veja Lema 1) e istoé incompatível com a condição y ≤ y−, então a condição y > y− deve valer para aquelesvalores de parâmetros. Desta forma, a desigualdade y > y− será assumida. Então,através da transformação de retorno P = QC PE pode-se ver que o sistema tem curvasinvariantes fechadas. Primeiramente, considera-se o ponto de equilíbrio na origem comoum nó próprio. O ponto (−1,−q − µC) com y− < y(0) ≤ −µC é o ponto inicial da órbitaque atravessa a zona central até a fronteira x = 1 depois de um tempo τC , tocando o ponto(1,−s + µC), então usando (3.9) é possível obter as seguintes equações paramétricas da

58transformação de retorno QC

q(τC) =ωCe

−γCτC (2− ψγC(τ))

senh(τC),

s(τC) =ωCe

γCτC (2− ψ−γC(τ))

senh(τC).

(3.20)Denotando q = −y − µC , é claro que para analisar os ciclos limites com partes nas trêszonas é preciso considerar q > q. De (3.20) retira-selim

τC→0+q(τC) = +∞ e q(τC0) = q ,onde τC0 é a única raiz positiva da equação s(τC) = 0, ou seja, 2− ψ−γC (τC) = 0.Se o ponto na origem for um nó próprio estável, tem-se −γC > 1, e então TC0 corres-ponde a τ0 na Figura 27(a). Além disso, a primeira derivada de Q′

C é dada porQ′

C =2− ψγC (τC)

2− ψ−γC(τC),com limq→qQ

′C(q) = ∞ e limq→∞Q′

C(q) = 1.Depois de alguns cálculos em [5] os autores mostraram que considerando γC < 0, tem-seQ′′

c (Q) =2(γ2C − 1)senh3(τC)(senh(γCτC) + γCsenh(τ))

ωC(2− ψ−γC (τC))3

> 0.Então, Q′C é uma função decrescente de q com

1 < Q′C(q) para todo q > q. (3.21)Quando o ponto de equilíbrio na origem é um nó impróprio, de modo análogo pode-seobter as seguintes equações paramétricas da transformação QC ,

q(tC) =e−

TC2

t(2− σTC/2(tC))

tC,

s(tC) =e

TC2

t(2− σ−TC/2(tC))

tC,onde a função σT é denida por σT (t) = 1− eTt(1− T t). Finalmente, quando o ponto deequilíbrio na origem é um foco, as equações paramétricas da transformação QC são

q(τC) =ωCe

−γCτC (2− ϕγC (τC))

sen(τC),

s(τC) =ωCe

γCτC (2− ϕ−γC (τC))

sen(τC).

59Nos dois últimos casos, a transformação QC vericalimq→q

Q′C(q) = ∞, lim

q→∞Q′

C(q) = 1e1 < Q′

C(q) para todo q > q.Agora, considerando a transformação de Poincaré P : [P−1E (q)] → [0, QC(q)] com

P (P−1E (q)) = 0 e lim

p→pP (p) = QC(q).Para analisar a existência de órbitas periódicas, considera-se novamente a função

z(p) = P (p)− p para p ∈ [P−1E (Q), p)com

z′(p) = Q′C(PE(p))P

′E(p)− 1.Levando em consideração (3.19) e (3.20), tem-se

z(P−1E (q)) = −P−1

E (q) < 0,

limp→p z(p) = QC(q)− p, z′(p) > 0.

(3.22)Desta forma, dependo do sinal de QC(q)− p, as seguintes situações acontecem.(i) Quando QC(q)− p < 0, então z(p) < 0 para todo p ∈ [P−1E (q), p) e o sistema não temnenhuma órbita heteroclínica nem ciclos limites.(ii) Quando QC(q) − p = 0, considerando a simetria deduz-se que o sistema tem umaórbita heteroclínica.(iii) Quando QC(q)− p > 0, z tem apenas uma raiz e o sistema tem um único ciclo limite.A seguir é estabelecido que os três casos mencionados acima aparecem. Para isto,calculamos

d

dµE(QC(q)− p) =

(Q′

C(q)dq

dp− 1

)dp

dµE. (3.23)Logo, para análise de z será estudado o sinal de ambos os fatores. Começando com

dp

dµE

= − DC

2DEωE

(1− β2

λ+− β

).

60De DE = 1− µEβ < 0, desde que 0 < β < 1, temosµE − β >

1− β2

βe √

(µE + β)2 − 4 >1− β2

β.Portanto,

λ+ =µE − β

2+

√(µE + β)2 − 4

2>

1− β2

β(3.24)e consequentemente

dp

dµE< 0 para 0 < β < 1. (3.25)Por outro lado, de p = (DC/DE)λ− e q = −(DC/DE)λ+, tem-seq =

DC(βp+DC)

(β2 − 1)p+ βDCedq

dp=

D2C

((β2 − 1)p+ βDC)2.Agora, analisaremos o sinal de

dq

dp− 1 = (β2 − 1)

(p− (DC + βp))(p+ (DC + βp))

((β2 − 1)p+ βDC)2. (3.26)O único fator que o sinal é desconhecido em (3.26) é p − (DC + βp). Usando (3.24) épossível escrever

p− (DC + βp) = p(1− β)−DC

= DC

(1−βλ+

− 1)< 0,e então

dq

dp> 1 para 0 < β < 1. (3.27)Usando (3.21), (3.25) e (3.27) é possível vericar que a expressão (3.23) é negativa, então

QC(q)− p é uma função decrescente de µE quando 0 < β < 1. Nesta parte, Freire et al.[5] dividem o intervalo −∞ < µC < β em duas partes, −∞ < µC < µCa e µCa ≤ µC < β,onde µCa é denido no Lema 1.Começando com o intervalo −∞ < µC < µCa, será considerada a função het de-nida no Lema 1. Usando a transformação de retorno QC , a igualdade µE = het(µC) éequivalente a QC(q) = p. E como QC(q)− p é uma função decrescente de µE, a inequaçãoµE < het(µC) implica que QC(q) > p, enquanto que a desigualdade µE > het(µC) implicaque QC(q) < p.

61Considerando agora o outro intervalo, µCa ≤ µC < β, onde het não é denida. Porisso, QC(q)− p nunca desaparece. Para fazer a análise do seu sinal, o limite é calculadolim

µE→+∞(QC(q − p) = QC

(DC

β

)> 0,e lembrando que (3.23) é negativo obtemos que QC(q)− p > 0, sempre. Com essas ideias,conclui-se(a1) Se µE < het(µC) com −∞ < µC < µCa ou µCa ≤ µC < β tem-se QC(q) − p > 0.Então, de (3.19) e (3.21), a transformação de Poincaré P tem um único ponto xo

p com P ′(p) > 1. Então o sistema (3.8) tem ciclo limite instável e não tem órbitasheteroclínicas.(a2) Se µE = het(µC), então QC(q) − p = 0 e assim, o sistema (3.8) tem uma órbitaheteroclínica e não tem ciclos limites.(a3) Se µE > het(µC), entãoQC(q)−p < 0, e a transformação de Poincaré não tem pontosxos, isto é, o sistema (3.8) não tem ciclos limites nem órbitas heteroclínicas.(b) Esta armação pode ser provada pelo mesmo caminho da armação (a2) da Propo-sição 6.(c) Se TCTE > 0, a Proposição 2 exclui a existência de órbitas periódicas isoladas.Exemplo 7 Neste exemplo, escolheremos os parâmetros µE, µC e β no sistema (3.8)para que satisfaçam as hipóteses da Proposição 10.Caso a1: µE = 3, µC = −1, e β = 12.Como TCTE = −3.75 < 0, então ocorre o caso (a). Observando a solução encontradapelo método Runge-Kutta de quarta ordem na Figura 3.23, notamos que existe umúnico ciclo limite instável englobando a origem e não há órbitas homoclínicas.Caso b: µE = 3, µC = 1

2, e β = 1

2.Neste caso, temos TC = 0 e portanto, ocorre o caso (b) da Proposição 10, isto é, oponto de equilíbrio na origem está englobado por um continuum de órbitas periódicasque cam na zona central como podemos notar na Figura 3.24.Caso c: µE = 3, µC = 1, e β = 1

2.Como TETC > 0, neste caso não há ciclos limites nem órbitas heteroclínicas (verFigura 3.25).

62

Figura 3.23: Retrato de fase do sistema (3.8) com os seguintes parâmetros µE = 3, µC = −1,e β = 12 , existe um ciclo limite instável englobando a origem e os pontos de equilíbrio nas zonasexternas são pontos de sela.

Figura 3.24: Retrato de fase do sistema (3.8) com µE = 3, µC = 12 , e β = 1

2 . O pontode equilíbrio na origem englobado por um continuum de órbitas periódicas que cam na zonacentral.Proposição 11 (Freire et al., 2002) (O caso sela-antissela-sela com |β| ≥ 1). Consi-dere o sistema (3.8) com DC > 0, DE < 0 e |β| ≥ 1, então o sistema não pode ter curvasinvariantes fechadas.Demonstração. Da Proposição 5, o sistema tem um ponto de equilíbrio em cada zona.Os equilíbrios nas zonas externas são pontos de sela enquanto que o ponto de equilíbriona zona central é um ponto de antissela estável. Do Lema 2, temos que o sistema nãopode ter órbitas heteroclínicas. Por outro lado, o ponto de equilíbrio na origem não é umcentro, porque TC = 0, DC > 0 e |β| ≥ 1 são condições incompatíveis com um centro.

63

Figura 3.25: Retrato de fase do sistema (3.8) com µE = 3, µC = 1, e β = 12 .Então, curvas invariantes fechadas englobando a origem só são possíveis se forem cicloslimites, assim sua existência será analisada usando a transformação de Poincaré.No entanto, QC(q)− p < 0, o que implica de acordo com (3.22) que o sistema não temciclos limites. De fato, seja o ponto de equilíbrio na origem um nó próprio estável. Entãousando a equação implícita denindo QC (ver (3.20)), tem-se

s(τC)− q(τC) = TC

(1 +

senh(γCτC)

γCsenh(τC)

)< TC < 0,que para q(τC) = q, tem QC(q)− q < TC .Por outro lado, de (3.4) tem-se que p− q = (DC/DE)TE , e então

QC(q)− p = (QC(q − q)− (p− q)

< TC − DC

DETE

=(1− β2)(TC − TE)

DE< 0.Os outros casos (quando o ponto de equilíbrio na origem são nó impróprio ou foco) podemser provados de forma similar.3.5 Sistema linear por partes no plano com três zonase um segmento de pontos de equilíbrioNesta seção estudaremos o sistema linear por partes com três zonas e um segmento depontos de equilíbrio. De acordo com as armações (c) e (d) da Proposição 5, isto ocorrequando DC = 1− µCβ = 0, e então β 6= 0.

64Se DC = DE = 0, mostra-se que todas as trajetórias são linhas retas, e o sistema nãotem uma curva invariante fechada.Agora, analisaremos o caso DE 6= 0 com DC = 0.Proposição 12 (Freire et al., 2002) Considerando o sistema (3.8) comDE 6= 0, DC =

0 e 0 < |β| < 1. Então o sistema tem uma innidade de pontos de equilíbrio que compõemo segmento dado pela equação y = µCx com |x| ≤ 1 e as seguintes condições ocorrem.(a) Se µE ≤ −1− β, existe uma innidade de órbitas heteroclínicas.(b) Se −2− β < µE < β existe um único ciclo limite estável englobando todos os pontosde equilíbrio.(c) Se µE > β, curvas fechadas invariantes não existem.Demonstração. De acordo com a Proposição 5, o sistema tem innitos pontos deequilíbrio, que são da forma y = µCx, com |x| ≤ 1 e sem mais pontos de equilíbrio. Seráconsiderado apenas o caso 0 < β < 1. A solução na zona central é dada por(x(t)

y(t)

)=

1

TC

(1βeTC t − β 1− eT

tC

eTCt − 1 1β− βeTCt

)(x(0)

y(0)

).Ou seja,

x(t) =

(1

TC

1

βeTC t − 1

TCβ

)x(0) +

(1

TC− 1

TCeT

tC

)y(0), (3.28)

y(t) =

(1

TC

1

βeTCt − 1

TC

)x(0) +

(1

TC

1

β− 1

TCβeT

tC

)y(0). (3.29)Fazendo (3.29)−β(3.28), obtemos

y(t)− βx(t) =

(β2 − 1

TC

)x(0) +

(1− β2

βTC

)y(0),ou equivalentemente

y(t)− βx(t)− (y(0)− βx(0)) = 0. (3.30)A equação (3.30) é a equação para as órbitas, observe que é uma reta.Como DC = 0, tem-se que µC = 1/β e portanto TC = µ − β = 1/β − β > 0. Comisto, os pontos de equilíbrio no interior da zona central são instáveis e as retas vão desdeo equilíbrio até a fronteira.(a) A condição µE ≤ −2 − β implica que DE > 0, assim as zonas externas são zonas denó com TE < 0. Portanto, todas as órbitas que estão entrando nas zonas externas caemem um dos pontos de equilíbrio que estão na fronteira x = ±1. Logo, há uma innidade

65de órbitas heteroclínicas conectando os pontos de equilíbrio na zona central com um dosequilíbrios nas fronteiras.(b) Se −2 − β < µE < β, então as zonas externas são zonas de foco com TE < 0.Construindo uma transformação de Poincaré e provando que tem um único ponto xo,conclui-se que o sistema tem um único ciclo limite. O ponto (−1, p− µC) é transformadopelo uxo no ponto (−1,−q − µC). Usando (13) é possível encontrarq = PE(p) = peγEπ .Agora, o ponto (−1,−q − µC) é transformado pelo uxo no ponto (1,−s + µC). Usando(3.30) tem-se

s = q + 2(µC − β) = QC(q).Finalmente, temos a transformação de Poincarés = P (p)

= QC(PE(p))

= peγEπ + 2(µC − β), p > 0.Esta função tem um único ponto xo p∗, de fatop∗ = P (p∗) ⇒ p∗ = p∗eγEπ + 2(µC − β) ⇒ p∗ =

2(µC − β)

1− eγEπcom P ′(p) = eγEπ < 1, desde que TE < 0. Então o sistema tem um único ciclo limite.(c) As condições µE > β e DC = 0 implicam que TE > 0 e TC > 0. Pela Proposição 2, osistema não tem uma curva invariante fechada isolada.Exemplo 8 A seguir ilustraremos alguns dos casos da Proposição 12, assumindo valoresde β, µE e µC para o sistema (3.8) que satisfaçam as hipóteses da proposição.Caso a: µC = 2, β = 12, µE = −4.Tomamos µE ≤ −1− β, logo o sistema (3.8) tem uma innidade de órbitas hetero-clínicas, como podemos observar na Figura 3.26.Caso b: µC = 2, β = 12, µE = −1. Neste caso tomamos −2 − β < µE < β, o que nosgarante o caso (b) da Proposição 12. Na Figura 3.27 podemos notar que existe umciclo limite estável englobando todos os pontos de equilíbrio.Caso c: µC = 2, β = 1

2, µE = 1 Como µE > β, temos o caso (c) da Proposição 12. NaFigura 3.28 é possível observar que não existem curvas invariantes fechadas.Proposição 13 (Freire et al., 2002) Considerando o sistema (3.8) comDE 6= 0, DC =

0 e |β| ≥ 1. Então o sistema tem uma innidade de pontos de equilíbrio que compõem osegmento dado pela equação y = µCx com |x| ≤ 1 e não há curvas invariantes fechadas.

66

Figura 3.26: Retrato de fase do sistema (3.8) com µE = −4, µC = 2, e β = 12 . Tempo deintegração: [-5,15]. Existe uma innidade de órbitas heteroclínicas.

Figura 3.27: Retrato de fase do sistema (3.8) com µE = 2, µC = 2, e β = 12 . Tempo deintegração: [-5,12]. Existe um ciclo limite estável englobando todos os pontos de equilíbrio.Demonstração. Considerando apenas o caso β ≥ 1, de DC = 0 tem-se que TC =

µC − β = 1/β − β < 0. Pela Proposição 2, para que exista alguma curva invariantefechada é preciso que TETC < 0 e portanto, TE > 0. Se TE > 0, entãoµE > β ≥ 1 e ∆E = (µE + β)2 − 4 > 0.Então, as zonas externas são zonas de nó próprio ou zonas de sela com retas invariantesassociadas aos equilíbrios nas fronteiras x = ±1, o que impede a existência de curvasinvariantes fechadas.Exemplo 9 Tomando µC =

1

2, β = 2, µE = 1 em (3.8) obtemos o sistema

67

Figura 3.28: Retrato de fase do sistema (3.8) com µE = 1, µC = 2, e β = 12 . Tempo deintegração: [-5,15]. Não existem curvas invariantes fechadas.

x = φ(x)− y,

y = x− 2y,(3.31)onde

φ(x) =

x− 1

2, se x ≤ −1,

1

2x, se − 1 < x < 1,

x+1

2, se x ≥ 1.Como β > 1 temos que o sistema (3.31) tem uma innidade de pontos de equilíbrio e nãopossui curvas invariantes fechadas, como podemos notar na Figura 3.29.

Figura 3.29: Retrato de fase do sistema (3.8) com os seguintes parâmetros µC =1

2, β = 2 e

µE = 1.

68Observação 3 Sistemas lineares por partes, contínuos, simétricos e com três zonas, sobrecertas condições podem apresentar órbitas periódicas no innito e um ciclo limite bifurcaa partir desta órbita periódica no innito, para mais detalhes ver [13].

Capítulo4Estudo de um circuito elétricoenvolvendo um memristorConforme visto na Introdução, por 150 anos, os conhecidos elementos fundamentaisde um circuito elétrico foram o capacitor, o resistor e o indutor, descobertos em 1745, 1827e 1831, respectivamente. Porém, no início da década de setenta, Leon Chua, engenheiroelétrico da Universidade da Califórnia em Berkeley, observou que existem seis diferentesrelações matemáticas que conectam pares de quatro variáveis fundamentais de um circuito:corrente i, voltagem v, carga q e uxo magnético ϕ. Cinco dessas relações são amplamenteconhecidas. Duas são dadas pela denição de corrente elétrica e pela lei de Faraday, ouseja,

i =dq

dte v(t) =

dϕ

dt.As outras três são equações básicas do circuito

R =dv

di, C =

dq

dve L =

dϕ

di,onde R, C e L representam a resistência, a capacitância e a indutância, respectivamente.Chua observou que parecia faltar uma relação, a que existe entre ϕ e i.Assim, o pesquisador percebeu que poderia existir um quarto elemento básico para umcircuito, o qual denominoumemristor, abreviação de memory resistor. Chua demonstroumatematicamente que esse dispositivo hipotético poderia estabelecer uma relação funcio-nal entre uxo e carga, semelhante a que um resistor não-linear forneceria entre voltageme corrente. Isto equivale a dizer que a resistência do dispositivo poderia variar de acordocom a quantidade de carga que passa através dele e o dispositivo poderia armazenar ovalor da resistência, mesmo depois da corrente ser desligada. Em 1971, Chua provouem [3] que as propriedades do memristor não poderiam ser reproduzidas por qualquer69

70combinação dos outros três elementos, por isso o memristor é considerado um elementoeletrônico fundamental, o quarto elemento.Apesar de ter sido teorizado por Leon Chua em 1971, foi somente em 2008 que ci-entistas da Hewllet-Packard Company anunciaram em [18] a construção física de ummemristor. O grupo de pesquisadores da HP conseguiu desenvolver um protótipo em na-noescala, cujas propriedades comprovam ser as do memristor teorizado em [3]. A demorana construção do memristor se deve à dimensão em que os dispositivos eletrônicos foramconstruídos. Williams arma em [21] que a memristência - propriedade do memristor - éimportante em escala nanométrica e em escala micrométrica, não podendo ser observadaem escalas milimétricas e maiores.Segundo [9] o memristor mostrado na Figura 4.1 é um dispositivo eletrônico passivo,de dois terminais, caracterizado por uma relação funcional não-linear entre a voltagemv e a corrente i. É dito ser de carga controlada (uxo controlado) se a relação pode serexpressa como único valor da função q (do uxo associado ϕ).

(a) V =M(q)i (b) i =W (ϕ)VFigura 4.1: (a) Memristor de carga controlada. (b) Memristor de uxo controlado. Fonte:referência [9].A voltagem que atravessa um memristor de carga controlada é dada porv(t) =M(q)i(t),ondeM(q) =

dϕ(q)

dq. (4.1)Da mesma forma, a corrente que atravessa um memristor de uxo controlado é dadopor

i(t) =W (ϕ)v(t),comW (ϕ) =

dq(ϕ)

dϕ. (4.2)

71A quantidade M(q) em (4.1) tem a unidade de medida da resistência, e é chamada dememristência, enquanto que W (ϕ) em (4.2) tem a unidade de medida da condutância, eé chamada de memdutância, sendo queq ,

∫ t

−∞

i(t)dt e ϕ ,

∫ t

−∞

v(t)dt.De acordo com [3], o memristor caracterizado por um curva diferenciável q(ϕ) (resp.ϕ(q)) é passivo se, e somente se, M(q) (resp. W (ϕ)) é não-negativa, isto é

M(q) =dϕ(q)

dq≥ 0 (resp. W (ϕ) =

dq(ϕ)

dϕ≥ 0).Em [9], Itoh e Chua assumem que o memristor é caracterizado por uma função monó-tona crescente e linear por partes, mostrada na Figura 4.2, da forma

ϕ(q) = bq + 0.5(a− b)(|q + 1| − |q − 1|),ouq(ϕ) = dϕ+ 0.5(c− d)(|ϕ+ 1| − |ϕ− 1|),onde a, b, c, d > 0.

PSfrag replacements inclinação binclinação a q

ϕ

−1 0 1

(a)

PSfrag replacementsinclinaçãoinclinaçãoinclinação dinclinação c

q

ϕ−1 0 1

(b)Figura 4.2: Relação constitutiva de um memristor monotonamente crescente e linear por partes.(a) Memristor de carga controlada. (b) Memristor de uxo controlado.Consequentemente, a memristência M(q) e a memdutância W (ϕ) de um memristordeterminado por estas funções não-lineares são denidas porM(q) =

dϕ(q)

dq=

a, |q| < 1,

b, |q| > 1,

72eW (ϕ) =

dq(ϕ)

dϕ=

c, |ϕ| < 1,

d, |ϕ| > 1,respectivamente.A potência instantânea dissipada pelo memristor tomado por Itoh e Chua, em [9] édada porp(t) = v(t)i(t) =M(q(t))i(t)2 ≥ 0,ep(t) = v(t)i(t) = W (ϕ(t))v(t)2 ≥ 0,sendo que o uxo de energia no memristor de t0 a t satisfaz

∫ t

t0

p(τ)dτ ≥ 0,para todo t ≥ t0. Portanto, o memristor constituído pelas relações mostradas na Figura4.2 é do tipo passivo.4.1 Circuito com memristor obtido do oscilador canô-nico de ChuaConsidere o oscilador canônico de Chua mostrado na Figura 4.3 (a). Substituindo nestecircuito o diodo de Chua por um memristor de uxo controlado, Itoh e Chua obtiveramo circuito apresentado na Figura 4.3 (b). Removendo um capacitor do circuito da Figura4.3 (b), encontraram o oscilador de terceira ordem mostrado na Figura 4.4 (a).(a) (b)Figura 4.3: (a) Oscilador canônico de Chua. (b) Oscilador canônico com um memristor de uxocontrolado.Aplicando as leis de Kirchho no nó A e no loop C do circuito mostrado na Figura4.4 (b), obtém-se o sistema

i1 = i3 − i,

v3 = v4 − v1.(4.3)

73(a) (b)Figura 4.4: (a) Oscilador de terceira ordem com ummemristor de uxo controlado. (b) Osciladorde terceira ordem com um memristor de uxo controlado. Fonte: referência [9].Integrando (4.3) com relação ao tempo t, Itoh e Chua em [9] obtiveram o sistema deequações que dene a relação entre a carga e o uxo, dado por

q1 = q3 − q(ϕ),

ϕ3 = ϕ4 − ϕ1,(4.4)onde

q1 ,∫ t

−∞i1(t)dt, q3 ,

∫ t

−∞i3(t)dt, q ,

∫ t

−∞i(t)dt,

ϕ1 ,∫ t

−∞v1(t)dt, ϕ3 ,

∫ t

−∞v3(t)dt, ϕ4 ,

∫ t

−∞v4(t)dt, ϕ ,

∫ t

−∞v(t)dt = ϕ1.Os símbolos q1, q3 e q denotam a carga no capacitor C1, no indutor L e no memristor,respectivamente, e os símbolos ϕ1, ϕ3, ϕ4 e ϕ denotam o uxo no capacitor C1, no indutor

L, na resistência −R e no memristor, respectivamente. Considerando a seguinte curvacaracterística para o memristor (ver Figura 4.2)q(ϕ) = bϕ + 0.5(a− b)(|ϕ+ 1| − |ϕ− 1|)e resolvendo (4.4) para q3 e ϕ4, encontramos

q3 = q1 + q(ϕ),

ϕ4 = ϕ3 + ϕ.Então, q1, ϕ e ϕ3 podem ser escolhidas como variáveis independentes, ou seja, de-terminamos expressões para a carga no capacitor C1, o uxo no indutor L, e o uxo nomemristor, respectivamente. Diferenciando (4.4) com relação ao tempo t, é possível obtero sistema de três equações diferenciais de primeira ordem, que dene a relação entre as

74três variáveis v1, i3, ϕ

C1dv1dt

= i3 −W (ϕ)v1,

Ldi3dt

= Ri3 − v1,

dϕ

dt= v1,

(4.5)ondedq1dt

= i1 = C1dv1dt,

dq3dt

= i3,dϕ1

dt= v1,

dϕ3

dt= v3 = L

di3dt,

dϕ4

dt= v3 = Ri3, W (ϕ) =

dq(ϕ)

dϕ.Em [12] os autores estudam o comportamento deste circuito. O sistema (4.5) pode sertransformado em um sistema adimensional da forma

dxdt

= α(y −W (z)x),dydt

= −ξx+ βy,dzdt

= x,

(4.6)por meio da mudança de variáveis e parâmetros x = v1, y = i3, z = ϕ, α = 1/C1, ξ = 1/Le β = R/L, e considerando-se as funções lineares por partes q(z) e W (z) dadas porq(z) = bz + 0.5(a− b)(|z + 1| − |z − 1|) e W (z) =

a, se |z| < 1,

b, se |z| > 1,com α, β, ξ, a, b > 0.É importante observar que o sistema (4.6) não está denido nos planos z = ±1. Defato, o sistema ca denido em três zonas no R3, determinadas pelas inequações |z| < 1e |z| > 1, tendo como fronteira os planos z = ±1.4.2 Convenções de Filippov aplicadas no estudo do sis-tema (4.6)Consideremos os planos Π1 = F−1

1 (0) e Π2 = F−12 (0) onde F1, F2 : R

3 → R sãodadas por F1(x, y, z) = z − 1 e F2(x, y, z) = z + 1, respectivamente. Então o conjuntoM = Π1 ∪ Π2 corresponde à fronteira das regiões

M+ = (x, y, z) ∈ R3 | z ≥ 1,

MC = (x, y, z) ∈ R3 | − 1 ≤ z ≤ 1

75eM− = (x, y, z) ∈ R

3 | z ≤ −1.Denição 11 Seja Ωr(R3) o conjunto dos campos vetoriais X em R3 tais que

X(q) =

X+(q), se q ∈M+,

XC(q), se q ∈MC ,

X−(q), se q ∈M−,onde X+, XC e X− ∈ Cr(R3), e Cr(R3) denota o conjunto dos campos vetoriais de classeCr, denidos no R

3, com r ≥ 1. Denotamos por X = (X+, XC , X−) os elementos deΩr(M,R3).Proposição 14 Seja X = (X+, XC , X−) ∈ Ωr(R3) o campo vetorial suave por partesassociado ao sistema (4.6), dado por

X(q) =

X+(q) = (αy − αbx,−ξx+ βy, x), se q ∈ M+,

XC(q) = (αy − αax,−ξx+ βy, x), se q ∈MC ,

X−(q) = (αy − αbx,−ξx+ βy, x), se q ∈ M−,

(4.7)onde q = (x, y, z) ∈ R3, M+, MC e M− e M = Π1 ∪ Π2 são denidos como acima. Asseguintes propriedades são válidas.a) Todos os pontos de M são pontos de costura de X, exceto os pontos das linhasL1 = (0, y, 1); y ∈ R, L2 = (0, y,−1); y ∈ R.b) Se α 6= 0 então todos os pontos em L1∪L2 são pontos de dobra de X, exceto (0, 0,±1),que são pontos mais degenerados.Demonstração. Das denições das funções F1 e F2, temos

∇F1 = ∇F2 = (0, 0, 1)e entãoX+F1 = XCF1 = x, XCF2 = X−F2 = x.Então os pontos em Π1 ∪ Π2 são pontos de costura de X se, e somente se, x 6= 0. Alémdisso X2

+F1 = X2CF1 = X2

CF2 = X2−F2 = αy em L1 ∪ L2. O resultado segue então dadenição de ponto de dobra e de costura.Teorema 3 a) O campo vetorial (4.7) tem os planos

π1 =

(x, y, z) ∈ R

3 | z = β

α(ξ − aβ)x− 1

(ξ − aβ)y + k1, k1 ∈ R, 1; |z| < 1

76eπ2 =

(x, y, z) ∈ R

3 | z = β

α(ξ − bβ)x− 1

(ξ − bβ)y + k2, k2 ∈ R, 1; |z| > 1

como planos invariantes, onde π1 ⊂ MC, π2 ⊂M− se z < −1 e π2 ⊂ M+ se z > 1.b) Os planos π1 e π2 intersectam os planos z = ±1 nas retas paralelasy =

β

αx+ (k1 ∓ 1)(ξ − aβ)e

y =β

αx+ (k2 ∓ 1)(ξ − bβ),respectivamente. Além disso, estas retas coincidem se para π2 ⊂M+ tivermos

k2 = 1 + (k1 − 1)(ξ − aβ)

(ξ − bβ)e para π2 ⊂M− tivermosk2 = −1 + (k1 + 1)

(ξ − aβ)

(ξ − bβ),ou seja, dado k1 ∈ R, sempre existe k2 tal que os planos invariantes intersectam-sena mesma reta, sobre os planos z = ±1.Demonstração. Temos que o plano a1x+ a2y + a3z + a4 = 0 é um plano invariante docampo vetorial (4.7), com |z| < 1, se e somente se

〈(α(y − ax),−ξx+ βy, x), (a1, a2, a3)〉 = 0,ou seja (a3 − αaa1 − ξa2)x = 0,

(αa1 + βa2)y = 0.Resolvendo o sistema acima, temos quea1 = − βa3

α(ξ − aβ), a2 =

a3ξ − aβ

e a3 ∈ R, a3 6= 0.Logo o plano invariante é dado porz =

β

α(ξ − aβ)x− 1

ξ − aβy + k1, com k1 ∈ R.

77Da mesma forma, temos que o plano b1x+ b2y + b3z + b4 = 0 é invariante para o campovetorial (4.7) com |z| ≥ 1 se, e somente se,b1 = − βb3

α(ξ − bβ), b2 =

b3ξ − bβ

e b3 ∈ R, b3 6= 0,donde obtemosz =

β

α(ξ − bβ)x− 1

ξ − bβy + k2, com k2 ∈ R.Fica assim provada a parte (a) do teorema.Para provar a parte (b), observemos que π1 ∩ z = 1 é a reta

y =β

αx+ (k1 − 1)(ξ − aβ)e que π1 ∩ z = −1 é a reta

y =β

αx+ (k1 + 1)(ξ − aβ),o que mostra que o plano π1 intersecta os planos z = ±1 nas retas paralelas

y =β

αx+ (k1 − 1)(ξ − βa) e y =

β

αx+ (k1 + 1)(ξ − aβ).De maneira análoga, temos que o plano π2 ⊂M+ intersecta o plano z = 1 na reta

y =β

αx+ (k2 − 1)(ξ − bβ)e π2 ⊂M− intersecta o plano z = −1 na reta

y =β

αx+ (k2 + 1)(ξ − bβ).Logo, dado k1, os planos π1 ⊂ MC e π2 ⊂ M+ se intersectam no plano z = 1 se esomente se

k2 = 1 + (k1 − 1)ξ − aβ

ξ − bβ.Por outro lado, os planos π1 ⊂ MC e π2 ⊂ M− também se intersectam em uma reta noplano z = −1 se, dado k1, tomarmos

k2 = −1 + (k1 + 1)ξ − aβ

ξ − bβ.Observação 4 Pode-se mostrar facilmente que estes planos são gerados por autovetoresassociados aos autovalores não nulos dos equilíbrios (0, 0, z), z ∈ R.

78Da Proposição 14 e do Teorema 3 acima, segue o seguinte resultado.Teorema 4 a) Em cada uma das zonasM− e M+ (externas) eMC (central), as soluçõesdo campo vetorial (4.7) cam contidas em planos invariantes, paralelos entre sie transversais ao eixo-z, gerados pelos autovetores associados aos autovalores nãonulos dos equilíbrios (0, 0, z), z ∈ R.b) A posição relativa destes planos depende dos parâmetros do sistema, sendo que osplanos localizados nas zonas externas, M− e M+, são também paralelos entre si.c) Os planos da zona central intersectam os planos das zonas externas sobre os planosΠ1 e Π2 em retas paralelas em cada um destes planos e paralelas entre si.Para uma visualização geométrica deste resultado, ver Figura 4.5.

PSfrag replacements

z

y

x

π1

π2

π2

Π1

Π2

Figura 4.5: Representação dos planos π1 e π2. Os planos da zona central intersectam os planosdas zonas externas sobre os planos Π1 e Π2 em retas paralelas.Um fato importante que segue do Teorema 4 é que, para cada condição inicial (x0, y0, z0)dada, existe uma combinação de três planos invariantes (um na zonaMC e outros dois naszonas M− e M+) que contém a solução do campo vetorial (4.7) que passa por (x0, y0, z0).

79Desta forma as soluções do sistema cam sempre contidas em uma combinação de trêsplanos invariantes, obtidos dentre aqueles dados no Teorema 3 (ver Figura 4.5).Na próxima seção estudaremos a posição relativa destes planos, com o objetivo dedeterminar como o R3 é folheado por esses planos invariantes, contendo as soluções docampo vetorial (4.7), lembrando que o eixoz é composto por pontos de equilíbrio dosistema.4.3 Posição relativa dos planosComo vimos nas seções anteriores, as soluções do campo vetorial (4.7) cam contidasem planos invariantes paralelos, em cada zona. Da demonstração do Teorema 3 temosque os vetores normais dos planos π1 e π2 são dado por

~n =

(−βα, 1, (ξ − βW (z))

),onde

W (z) =

a, se |z| < 1,

b, se |z| > 1.Para estudar a posição relativa destes planos, usando o fato deles serem transversaisao eixoz, determinamos o ângulo entre um vetor normal ao plano e o vetor (0, 0, 1).Calculando o produto escalar entre estes vetores obtemos< n, (0, 0, 1) >= (ξ − βW (z)) ,que substituído na expressão que fornece o ângulo entre estes vetores, nos dá

cos θ =< ~n, (0, 0, 1) >

|~n| =(ξ − βW (z))

|~n| .Assim, o ângulo entre ~n e (0, 0, 1) é agudo se (ξ− βW (z)) > 0 e a inclinação do planoé a mostrada na Figura 4.6; se (ξ − βW (z)) < 0 o ângulo entre os dois vetores é obtuso ea inclinação do plano é a mostrada na Figura 4.7.PSfrag replacements θ

Figura 4.6: Inclinação do plano quando o ângulo entre o vetor normal e (0, 0, 1) é agudo.

80PSfrag replacements θ

Figura 4.7: Inclinação do plano quando o ângulo entre o vetor normal e (0, 0, 1) é obtuso.As Figuras 4.8 (a), (b) e 4.9 (a), (b) representam as possíveis combinações das posiçõesrelativas dos planos π1 na zona central e π2 nas zonas externas. Utilizaremos estas guraspara representar as soluções do sistema (4.6), nas próximas seções.

(a) (b)Figura 4.8: Combinação da inclinação dos planos. (a) O ângulo entre o vetor normal aos planosdas zonas externas e o vetor (0, 0, 1) é agudo. Entre o vetor normal da zona central e o vetor(0, 0, 1) é obtuso. (b) O ângulo entre o vetor normal de todos os planos e o vetor (0, 0, 1) é agudo.Na Figura 4.10 são representados os planos π1 e π2. Tomamos o ângulo entre o vetornormal do plano π1 e o vetor (0, 0, 1) como agudo e mostrados as posições relativas entre π1e π2. Quando o ângulo entre o vetor normal de π2 e o vetor (0, 0, 1) é agudo, representamoso plano pela cor verde. Note que nesta combinação dos planos, haverá apenas um ponto deequilíbrio na zona central. Quando o ângulo é obtuso, plano representado na cor vermelha,haverá três pontos de equilíbrio na combinação destes planos, um em cada zona. O planorepresentado pela cor azul, representa a situação em que os planos π2, nas zonas externas,são paralelos ao eixoz.

81

(a) (b)Figura 4.9: Combinação da inclinação dos planos. (a) O ângulo entre o vetor normal aos planosdas zonas externas e o vetor (0, 0, 1) é obtuso. Entre o vetor normal, da zona central, e o vetor(0, 0, 1) é agudo. (b) O ângulo entre o vetor normal de todos os planos e o vetor (0, 0, 1) é obtuso.4.4 Estudo local dos equilíbriosOs pontos de equilíbrio do sistema (4.6) são dados pelo conjunto

A = (x, y, z) ∈ R3 | x = y = 0 e z ∈ R,portanto o sistema tem uma linha de pontos de equilíbrio contida no eixo-z. Estudandoa estabilidade local dos equilíbrios nesta linha, os autores de [12] obtiveram o seguinteresultado:Teorema 5 (Messias et al.,2010) A estabilidade local normal dos equilíbrios (0, 0, z)do sistema (4.6) com 0 < a < b é descrita na Tabela 4.1, para valores positivos dos parâ-metros α, β, ξ, a, b.Demonstração. A matriz Jacobiana J do sistema (4.6) aplicada no ponto de equilíbrio

(0, 0, z) é dada porJ =

−αW (z) α 0

−ξ β 0

1 0 0

que tem como autovalores

λ1 = 0 e λ2,3 =τ ±

√∆

2, (4.8)

82

PSfrag replacements

z

y

x

π1

π2

π2

Π1

Π2

Figura 4.10: Representação das possíveis posições relativas dos planos invariantes π1 e π2.onde τ = β−αW (z), ∆ = τ 2−4D e D = α(ξ−βW (z)). Os autovetores correspondentessão v1 = (0, 0, 1),v2 =

(τ −

√∆

2,−(β + αW (z)−

√∆)(−τ +

√∆)

4α, 1

) (4.9)ev3 =

(τ +

√∆

2,−(β + αW (z) +

√∆)(−τ −

√∆)

4α, 1

). (4.10)Analisando as diferentes possibilidades para os autovalores (4.8), em função das relaçõesentre τ, ∆ e D, que dependem dos parâmetros α, β, ξ, a, b, obtemos os casos descritosna Tabela 4.1 para a estabilidade local (normal) dos equilíbrios (0, 0, z), com |z| 6= 1.Para vericar a hiperbolicidade normal dos equilíbrios (0, 0, z), é suciente calcular aequação do plano π gerado pelos autovetores (4.9) e (4.10). Se os autovalores λ1 e λ2 sãoreais, então tal plano π terá

n = v2 ∧ v3 =(−βα, 1 , ξ − βW (z)

)

83Condições Condições Estabilidade Local de (0, 0, z) Casosem τ em ∆ |z| < 1 |z| > 1

τ < 0 ∆ < 0 Foco estável Foco Estável (a)(β

α< W (z)

)∆ = 0 Nó impróprio estável Nó impróprio estável (b)

∆ > 0 e D > 0 Nó estável Nó estável (c)∆ > 0 e D < 0 Sela Sela (d)

∆ > 0 e D < 0 se |z| < 1 Sela Foco Estável (e)∆ < 0 se |z| > 1

∆ > 0 e D > 0 se |z| < 1 Nó estável Foco Estável (f)∆ < 0 se |z| > 1∆ < 0 se|z| < 1 Foco Estável Sela (g)

∆ > 0 e D < 0 se |z| > 1∆ < 0 se|z| < 1 Foco Estável Nó Estável (h)

∆ > 0 e D > 0 se |z| > 1τ > 0 ∆ < 0 Foco Instável Foco Instável (i)(

β

α> W (z)

)∆ = 0 Nó Impróprio Instável Nó Impróprio Instável (j)

∆ > 0 e D > 0 Nó Instável Nó Instável (k)∆ > 0 e D < 0 Sela Sela (l)

∆ > 0 e D < 0 se |z| < 1 Sela Foco Instável (m)∆ < 0 se |z| > 1

∆ > 0 e D > 0 se |z| < 1 Nó Instável Foco Instável (n)∆ < 0 se |z| > 1∆ < 0se |z| < 1 Foco Instável Sela (o)

∆ > 0 e D < 0 se |z| > 1∆ < 0se |z| < 1 Foco Instável Nó Instável (p)

∆ > 0 e D > 0 se |z| > 1τ muda de ∆ < 0 Foco Instável Foco Estável (q)sinal de acordo ∆ = 0 Nó impróprio Instável Nó impróprio estável (r)com z ∆ > 0 e D > 0 Nó Instável Nó Estável (s)(a <

β

α< b

)∆ > 0 e D < 0 Sela Sela (t)

∆ > 0 e D < 0 se |z| < 1 Sela Foco Estável (u)∆ < 0 se |z| > 1

∆ > 0 e D > 0 se |z| < 1 Nó Instável Foco Estável (v)∆ < 0 se |z| > 1∆ < 0 se |z| < 1 Foco Instável Sela (w)

∆ > 0 e D < 0 se |z| > 1∆ < 0 se |z| < 1 Foco Instável Nó Estável (x)

∆ > 0 e D > 0 se |z| > 1Tabela 4.1: Estabilidade normal local dos pontos de equilíbrio (0, 0, z).como vetor normal. Calculando o produdo escalar de n com o vetor (0, 0, 1) tem-se< n, (0, 0, 1) >= (ξ − βW (z)) ,o que implica que o plano π é transversal ao eixo-z. Pelo Teorema da Variedade Estável,as variedades invariantes do equilíbrio (0, 0, z) com |z| 6= 1 são tangentes ao plano π,sendo assim, essas variedades são tranversais ao eixo-z. Portanto, as singularidades sãonormalmente hiperbólicas, com exceção do caso em que ∆ = 0. No caso de autovalorescomplexos, tem-se o mesmo tipo de resultado, considerando o plano gerado pelas partesreal e imaginária de v2.No entanto, nos casos em que os autores de [12] consideraram ∆ > 0 se |z| < 1 e ∆ < 0se |z| > 1 (casos (e), (f), (m), (n), (u) e (v) da Tabela 4.1), as hipóteses são impossíveisde serem vericadas. Tais casos são possíveis somente se considerarmos 0 < b < a em vezde 0 < a < b, como será mostrado a seguir.

84Visando completar o estudo apresentado em [12], zemos uma análise da estabilidadelocal dos equilíbrios (0, 0, z) no caso 0 < b < a. Os resultados obtidos estão descritos naTabela 4.2. Indicamos cada caso com a mesma letra usada na Tabela 4.1 para facilitar acomparação.Teorema 6 A estabilidade local normal dos equilíbrios (0, 0, z) do sistema (4.6) com0 < b < a é descrita na Tabela 4.2, para valores positivos dos parâmetros α, β, ξ, a, b.Condições Condições Estabilidade Local de (0, 0, z) Casosem τ em ∆ |z| < 1 |z| > 1

τ < 0 ∆ > 0 e D < 0 se |z| < 1 Sela Foco Estável (e)(β

α< W (z)

)∆ < 0 se |z| > 1

∆ > 0 e D > 0 se |z| < 1 Nó estável Foco Estável (f)∆ < 0 se |z| > 1

τ > 0 ∆ > 0 e D < 0 se |z| < 1 Sela Foco Instável (m)(β

α> W (z)

)∆ < 0 se |z| > 1

∆ > 0 e D > 0 se |z| < 1 Nó Instável Foco Instável (n)∆ < 0 se |z| > 1

τ muda de ∆ > 0 e D < 0 se |z| < 1 Sela Foco Instável (u)sinal de acordo ∆ < 0 se |z| > 1com z ∆ > 0 e D > 0 se |z| < 1 Nó Estável Foco Instável (v)(b <

β

α< a

)∆ < 0 se |z| > 1Tabela 4.2: Estabilidade local dos pontos de equilíbrio (0, 0, z), complemento da Tabela 4.1.Demonstração. A matriz Jacobiana J do sistema (4.6) aplicada no ponto de equilíbrio

(0, 0, z) é dada porJ =

−αW (z) α 0

−ξ β 0

1 0 0

que tem como autovalores

λ1 = 0 e λ2,3 =τ ±

√∆

2, (4.11)onde τ = β−αW (z), ∆ = τ 2−4D e D = α(ξ−βW (z)). Os autovetores correspondentessão v1 = (0, 0, 1),

v2 =

(τ −

√∆

2,−(β + αW (z)−

√∆)(−τ +

√∆)

4α, 1

) (4.12)ev3 =

(τ +

√∆

2,−(β + αW (z) +

√∆)(−τ −

√∆)

4α, 1

). (4.13)Analisando as diferentes possibilidades para os autovalores (4.11), em função das relaçõesentre τ, ∆ e D, que dependem dos parâmetros α, β, ξ, a, b, encontramos os casos

85descritos na Tabela 4.2 para a estabilidade local (normal) dos equilíbrios (0, 0, z), com|z| 6= 1.Os casos em que ∆ > 0 se |z| < 1 e ∆ < 0 se |z| > 1, são possíveis somente se0 < b < a. De fato, para |z| < 1 temos

∆ = (β + αa)2 − 4ξα > 0 =⇒ (β + αa)2 > 4ξα, (4.14)e para |z| > 1 temos∆ = (β + αb)2 − 4ξα < 0 =⇒ (β + αb)2 < 4ξα. (4.15)De (4.14) e (4.15) segue que (β+αb)2 < 4ξα < (β+αa)2, donde obtemos, necessariamente,que b < a.Para vericar a hiperbolicidade normal dos equilíbrios (0, 0, z) o procedimento é aná-logo ao descrito na prova do Teorema 5.4.5 Estudo numérico de casos que levam a oscilaçõesperiódicasO fato das soluções do sistema (4.6) carem contidas na combinação de três planosinvariantes no R

3 nos leva a fazer um paralelo entre o estudo desenvolvido por Freite etal. em [5], apresentado no Capítulo 3, e as possíveis situações que podem ocorrer com assoluções de (4.6).Assim, tendo como base o estudo analítico desenvolvido até aqui e os resultados deFreire et al. [5], nesta seção faremos um estudo numérico dos casos (q), (w) e (x) doTeorema 5 e dos casos (u) e (v) do Teorema 6. A escolha destes casos se deve ao fato deapresentarem as soluções mais interessantes do ponto de vista dos circuitos elétricos, quesão as oscilações periódicas (não-lineares).4.5.1 Foco Estável - Foco Instável - Foco EstávelCaso (q). Foco Estável - Foco Instável - Foco Estável. No caso (q), apresentado naTabela 4.1 do Teorema 5, o equilíbrio (0, 0, z) do sistema (4.6) tem autovalores complexosconjugados com parte real positiva na zona central e com parte real negativa nas zonasexternas, levando a mudanças de estabilidade dos equilíbrios quando z cruza os planosz = ±1. Considerando uma órbita que tem como conjunto α-limite um dos equilíbriosna zona central, |z| < 1, temos que o conjunto ω-limite pode ser vazio (a solução tendepara innito) ou uma órbita periódica, como podemos observar no esboço da solução naFigura 4.11. Veremos a seguir que, ao resolver numericamente o sistema (4.6) pelo método

86de Runge-Kutta de quarta ordem e tomando valores dos parâmetros que satisfazem ascondições do caso (q), isto é, a < β/α < b e ∆ < 0 para |z| < 1 e |z| > 1, obtivemosevidências numéricas de que, para certos valores dos parâmetros, ocorrem as situaçõesmostradas na Figura 4.11. Observamos que, no conjunto de planos em que a solução érepresentada nesta gura, temos apenas um equilíbrio na zona central. Este caso podeser comparado ao caso (a1) da Proposição 6 do Capítulo 3, estudado em [5] (ver Figuras3.1 (a) e 3.2 (a) no Capítulo 3). Observamos que o caso de o equilíbrio na zona centralser um centro (caso (a2) da mesma Proposição 6 do Capítulo 3) não ocorre no estudo dosistema (4.6), pois para isso teríamos que ter a = b neste sistema, o que o tornaria umsistema linear trivial no R3. De fato, estamos considerando somente os casos 0 < a < b e

0 < b < a.

(a) (b)Figura 4.11: Esboço da solução do caso (q). (a) A solução tende para innito quando t → ∞.(b) Quando ocorre uma órbita periódica.Considerando os valores α = 0.17, a = 1, b = 12, ξ = 50 e β = 2, resolvemos o sistema(4.6) numericamente e obtivemos as soluções mostradas na Figura 4.12 (a), que indica queo conjunto ω-limite é vazio, isto é, a solução tende para innito. Ao alterarmos o valor doparâmetro α para 0.5, obtivemos a solução mostrada na Figura 4.12 (b), que sugere queo conjunto ω-limite da solução é uma órbita periódica estável.

87

(a) (b)Figura 4.12: Retrato de fase do sistema (4.6) (a) com α = 0.17, a = 1, b = 12, ξ = 50 e β = 2(b) e com α = 0.5, a = 1, b = 12, ξ = 50 e β = 2, indicando a existência de uma órbita periódicaestável englobando o eixo-z.Em Messias et al. [12] os autores também estudaram este caso e armam que háevidências numéricas de que existe uma órbita periódica relacionada com cada ponto deequilíbrio instável (0, 0, z) para |z| < 1 no seguinte sentido: para cada −1 < z < 1existe uma solução correspondente que tem (0, 0, z) como conjunto α-limite e uma órbitaperiódica como conjunto ω-limite. Como é possível ver na Figura 4.13 (a), que mostraapenas as órbitas periódicas, quanto mais próximo a variável z está de z = ±1, menor é aamplitude das órbitas periódicas relacionadas a (0, 0, z). Além disso, as órbitas periódicassão simétricas com relação a origem e a de maior amplitude está relacionada a z = 0, istoé, ao ponto de equilíbrio (0, 0, 0). A Figura 4.13 (b) mostra esta propriedade claramente,também pode ser observado o efeito da descontinuidade do sistema (4.6) nos planos z = ±1e o conjunto de planos invariantes que contém as soluções (conforme o Teorema 3).4.5.2 Sela - Foco Instável - SelaCaso (w). Sela - Foco Instável - Sela. No caso (w) do Teorema 5, onde a < β/α < be ∆ < 0 para |z| < 1 e ∆ > 0 e D < 0 para |z| > 1, os autovalores são reais ecom sinais opostos para |z| > 1 e complexos conjugados com parte real positiva para|z| < 1. Cada ponto de equilíbrio (0, 0, z) com |z| < 1 é o conjunto α-limite de umasolução correspondente que pode ter como conjunto ω-limite uma órbita periódica, umciclo heteroclínico ou pode tender ao innito, como podemos observar na Figura 4.14.Na Figura 4.14 (a), consideramos o conjunto ω-limite da solução descrita acima vazio, asolução tende para innito. Neste caso não existe órbita heteroclínica e nem ciclo limite,pois a solução que começa sobre a variedade instável da sela em z > 1, depois de atravessaro zona central, entrar na zona externa z < −1 e contornar a sela, tende ao innito.

88

(a) (b)Figura 4.13: (a,b) Retrato de fase do sistema (4.6) com α = 0.5, a = 1, b = 12, ξ = 50 e β = 2indicando a existência de órbitas periódicas estáveis englobando o eixo-z, que corresponde aosequilíbrios (0, 0, z) com |z| < 1.Na Figura 4.14 (b) consideramos que o conjunto ω-limite da solução correspondenteao equilíbrio (0, 0, z) com |z| < 1 é um ciclo heteroclínico, enquanto na Figura 4.14 (c)a solução considerada tende a uma órbita periódica. Este caso pode ser comparado aoresultado da Proposição 10 do Capítulo 3 (ver Figuras 3.20 e 3.21), estudado em [5] parasistemas lineares por partes no plano, com três zonas.

(a) (b) (c)Figura 4.14: Esboço da solução do caso (w). (a) Considerando que não há nem órbita periódicae nem ciclo heteroclínico. (b) Considerando que a solução tende a um ciclo heteroclínico. (c)Considerando que existe um ciclo limite estável.Resolvendo o sistema numericamente, podemos observar na Figura 4.15 que as soluçõesencontradas numericamente indicam que ocorre o que se esperava, com base nos estudosanalíticos. Com os valores dos parâmetros α = 0.32, a = 0.02, b = 2, ξ = 0.2 e β = 0.2

89obtivemos a solução mostrada na Figura 4.17 (a), onde supostamente não há ciclos limitese nem órbitas heteroclínicas. Quando α = 0.35 a solução encontrada indica o surgimentode um ciclo heteroclínico e a solução que tem como conjunto α-limite o equilíbrio da zonacentral tende a este ciclo heteroclínico. Esta solução é similar a descrita na armação(a2) da Proposição 10. Por causa da continuidade, ao alterarmos o parâmetro α para 0.38surge uma órbita periódica com parte nas três zonas, o que é semelhante ao caso (a1) daProposição 10 (Ver Figura 3.20).É importante dizer que as variedades estável e instável associadas aos pontos de sela(nas zonas externas) estão exatamente na direção dos autovetores associados a cada pontode equilíbrio. No entanto, devido as aproximações que são feitas no cálculo numérico dasórbitas, as variedades não vão direto para o ponto de equilíbrio. É por isso que nasolução mostrada na Figura 4.15 (b) a variedade estável se afasta do ponto de equilíbrioe acompanha a variedade instável.

(a) (b) (c)Figura 4.15: Solução numérica do caso (w) com os parâmetros (a) α = 0.32, a = 0.02, b = 2,ξ = 0.2 e β = 0.2 e tempo [−20, 180], onde supostamente não há nem órbita periódica e nemórbita heteroclínica (b) α = 0.35, a = 0.02, b = 2, ξ = 0.2 e β = 0.2 e tempo [−20, 180], ondea solução indica a existência de uma dupla órbita heteroclínica. (c) α = 0.38, a = 0.02, b = 2,ξ = 0.2 e β = 0.2 e tempo [−20, 180], onde há evidências numéricas de que existe um ciclo limiteestável.Na Figura 4.16 pode-se ver apenas a órbita periódica da solução mostrada na Figura4.15 (c). Na Figura 4.16 (b) mostramos o gráco da coordenada z(t) da solução periódicacontra o tempo t. No passado a solução tende ao equilíbrio e, no futuro, tende para aórbita periódica, o que ca claro nesta gura.Da mesma forma que no caso (q), há evidências numéricas de que existe uma órbitaperiódica relacionada com cada ponto de equilíbrio instável (0, 0, z) para |z| < 1, comopodemos vericar na Figura 4.17. De fato, em cada uma das combinações de três planosparalelos invariantes que contém a solução do sistema (4.6), há indícios de que existe umaórbita periódica. Devido à posição dos planos paralelos nas três zonas, a amplitude destasórbitas é diferente. Ver Figura 4.17

90

(a) (b)Figura 4.16: (a,b) Solução numérica do sistema (4.6) com os parâmetros α = 0.38, a = 0.02,b = 2, ξ = 0.2 e β = 0.2 e tempo [40, 80].

(a) (b)Figura 4.17: Solução numérica do sistema (4.6) com os parâmetros α = 0.8, a = 0.02, b = 2,ξ = 0.2 e β = 0.2 e tempo [40, 80]. Indicando a existência de órbitas periódicas associadas aosequilíbrios (0, 0, z) com |z| < 1.4.5.3 Nó Estável - Foco Instável - Nó EstávelCaso (x) Nó Estável - Foco Instável - Nó Estável. No caso (x) do Teorema 5 temosa < β/α < b e ∆ < 0 para |z| < 1 e ∆ > 0 e D > 0 para |z| > 1. Neste caso, a combinaçãodos planos é da forma da Figura 4.8 (b), ou seja, o ângulo entre os vetores normais decada um dos planos e o (0, 0, 1) é agudo. Assim, como os equilíbrios na zona externa sãonós estáveis e devido a inclinação dos planos, ocorre o que é esboçado na Figura 4.18.Note que o nó estável da zona externa apresentado esboçado tem os dois autovetores bempróximos e logo, as curvas próximas aos autovetores tem a forma mostrada Figura 4.18.Logo, a solução que entra nesta zona acompanha a direção destas curvas e retorna a zonacentral, sendo que o mesmo ocorre na zona externa com z < −1. Assim, é provável quesempre exista uma órbita periódica, como mostrado na Figura 4.18(b).

91

(a) (b)Figura 4.18: Esboço da solução do caso (x). (a) Visão de como é o nó estável. (b) Esboço dasolução com uma órbita periódica.Resolvendo numericamente o sistema (4.6) tomando-se os valores dos parâmetros comosendo α = 2.3, a = 1, b = 2, β = 3 e ξ = 6.1 comprovamos que ocorre o exposto acima,como podemos ver na Figura 4.19 (a). Fizemos uma escolha particular dos parâmetrospara a resolução numérica, mas é interessante observar que para quaisquer valores dosparâmetros satisfazendo as condições a < β/α < b e ∆ < 0 para |z| < 1 e ∆ > 0 eD > 0 para |z| > 1, surge uma órbita periódica. Da mesma forma que no caso (q) e (w),neste também podemos observar que existe uma órbita periódica relacionada com cadaequilíbrio na zona central, ver Figura 4.19 (b). De fato, cada uma delas ca contida numdos conjuntos de planos que contém as soluções.

(a) (b)Figura 4.19: Solução numérica do caso (x) com os parâmetros α = 2.3, a = 1, b = 2, β = 3e ξ = 6.1. (a) Indica a existência de uma órbita periódica. (b) Indica a existência de órbitasperiódicas associadas aos equilíbrios da zona central.

92A seguir são apresentados os estudos dos casos (u) e (v) do Teorema 6.4.5.4 Foco Instável - Sela - Foco InstávelCaso (u) Foco Instável - Sela - Foco Instável. Neste caso temos a < β/α < b e∆ > 0 e D < 0 para |z| < 1 e ∆ < 0 para |z| > 1. Como os equilíbrios nas zonas externassão focos instáveis, quando a solução entra na zona central existem é possível que: asolução se une ou ca a esquerda da variedade estável da sela. Quando ocorre a uniãoda solução que tem como conjunto α-limite o equilíbrio da zona externa com a variedadeestável da sela, a solução da variedade instável da sela, ao entrar nas zonas externas,contorna os focos instáveis (ver Figura 4.20 (a)). Ao variarmos algum dos parâmetros, asolução que sai da zona externa ao entrar na zona central ca a esquerda da variedadeestável da sela, logo quando a solução entra na zona central contorna as variedades dasela e retorna a zona externa. Neste caso, a variedade instável da sela, ao entrar nazona externa pode contornar a solução formada pelo foco instável e se unir a variedadeestável da sela, quando entrar na zona central novamente. Assim, surgem duas órbitashomoclínicas, formando a gura oito como esboçamos na Figura 4.20 (b). Quando estaúltima solução não se une a variedade estável da sela, ela acompanha a solução formadapelo foco instável, envolvendo-a, formando duas (por causa da simetria do sistema) órbitasperiódicas, Figura 4.20 (c)

(a) (b) (c)Figura 4.20: Esboço do caso (u). (a) Existem duas órbitas heteroclínicas e não há órbitasperiódicas. (b) Existem duas órbitas homoclínicas, formando a gura oito. (c) Existem duasórbitas periódicas simétricas com relação à origem.Tomando-se os valores dos parâmetros como sendo α = 1.8, a = 5, b = 2, ξ = 25 eβ = 6 e integrando o sistema numericamente, obtivemos a solução mostrada na Figura4.21 (a) que indica o seguinte: a solução que começa próxima do ponto de equilíbrio

93na origem, através das variedades instáveis, contorna os pontos de equilíbrio nas zonasexternas e tendem ao innito. A solução que supostamente tem como conjunto α-limiteo equilíbrio na zona externa se une a variedade estável da sela na zona central. O quesugere que existe duas órbitas heteroclínicas, ligando os focos na zona externa à sela nazona central. Ao alterarmos o valor do parâmetro α para 2.08, a solução, citada acima,que antes se unia a variedade estável da sela, agora ca a sua esquerda. É a solução quecomeça no equilíbrio da zona central e contorna os equilíbrios nas zonas externas que seune as variedades estáveis da sela. Logo, esta mudança no valor do parâmetro α indicao surgimento de duas órbitas homoclínicas, formando a gura de um oito, mostrada naFigura 4.21 (b).Quando aumentamos novamente o parâmetro α para 3.1 surge outra situação. Agoraa solução numérica encontrada sugere que temos duas órbitas periódicas simétricas comrelação à origem que cam em duas zonas, veja Figura 4.21 (c). Assim, encontramosnumericamente a solução semelhante ao esboço mostrado na Figura 4.20 (c).

(a) (b) (c)Figura 4.21: Solução numérica do caso (u) com os parâmetros (a) α = 1.8, a = 5, b = 2 ξ = 25e β = 6 e tempo [−20, 20]. (b) α = 2.08, a = 5, b = 2 ξ = 25 e β = 6 e tempo [0, 30]. (c) α = 3.1,a = 5, b = 2, ξ = 25 e β = 6 e tempo [−10, 20].Neste caso, podemos observar que os resultados são similares aos de Freire et al. [5],apresentados no Capítulo 3, quando os autores trabalham com sistemas lineares por partesno plano com três zonas e três pontos de equilíbrio. Os autores estudaram o caso foco-sela-foco, mesma conguração que temos no caso (u). Observando a solução apresentadana Figura 4.21 (a), indica que não existem nem ciclos limites e nem órbitas homoclínicas,como no caso (a3) da Proposição 2; na solução da Figura 4.21 (b) é semelhante a soluçãoda armação (a2) da Proposição 2 do Capítulo 3. E como na armação (a1) do mesmoresultado, temos a solução mostrada na Figura 4.21 (c).Acima notamos que ao alterar o parâmetro α, mudamos a posição (em relação asvariedades estáveis da sela) em que as órbitas que supostamente tem como conjuntoα-limite o equilíbrio nas zonas externas entram na zona central. Agora veremos que

94mudando o mesmo parâmetro há indícios de que surgem órbitas periódicas que englobamos três equilíbrios.No caso em que a solução sugere a existência de duas órbitas heteroclínicas, isto é,órbitas que ligam pontos nas zonas externas ao equilíbrio na zona central, como mos-trado na Figura 4.21 (a), ao alterarmos o parâmetro α de 1.8 para 2 a solução numéricaencontrada indica o surgimento uma órbita periódica que engloba os focos e o ponto desela, como mostrado na Figura 4.22 (a). A Figura 4.22 (b), que apresenta o gráco dacoordenada z(t) contra o tempo t, indica a existência da órbita periódica. Observe que asolução que tem como conjunto α-limite o equilíbrio na zona externa, no futuro, tende auma órbita periódica. Este caso é semelhante ao da armação (b4) da Proposição 2 doCapítulo 3.

(a) (b)Figura 4.22: (a) Solução numérica do caso (u) com parâmetros α = 2, a = 5, b = 2, ξ = 25 eβ = 6 e tempo [−40, 30], que indica a existência de uma órbita periódica. (b) Gráco z(t) × tda solução de (a).Numericamente detectamos também o surgimento de uma órbita periódica, no casoem que existem duas órbitas periódicas simétricas com relação à origem, isto é, o casomostrado na Figura 4.21 (c). Quando tomamos o valor de α igual à 2.2 observamosque a solução numérica, mostrada na Figura 4.23 (a), sugere a existência de duas órbitasperiódicas simétricas em relação à origem e a solução que se afasta dos equilíbrios tendendoa uma órbita periódica. Esta última órbita engloba as duas órbitas periódicas simétricas.Assim, no passado, temos uma órbita periódica com partes nas três zonas, e no futurotemos duas órbitas periódicas simétricas com relação à origem com partes em duas zonas.Este caso é semelhante ao descrito na armação (b1) da Proposição 2 do Capítulo 3.Na Figura 4.23 (b) podemos observar evidências da existência de duas órbitas perió-dicas simétricas com relação à origem com partes em duas zonas e da órbita que englobaestas órbitas menores e o equilíbrio na zona central. As soluções que tendem a órbitaperiódica no passado (azul e vermelha), tendem no futuro para as duas órbitas periódicas

95menores. Enquanto que a solução que tem como conjunto α-limite o equilíbrio na zonaexterna tende a uma órbita periódica.

(a) (b)Figura 4.23: Solução numérica do caso (u) com os parâmetros α = 2.2, a = 5, b = 2, ξ = 25 eβ = 6 e tempo [−20, 20] que indica a existência de dois ciclos limites simétricos com relação àorigem e uma órbita periódica englobando os dois ciclos limites.A Figura 4.24 mostra as órbitas periódicas deste caso separadamente. Na Figura4.24 (a) no tempo [−25,−20] e na Figura 4.24 (b) no tempo [20, 30] (nesta gura mudamosum pouco a escala para melhor visualizar as órbitas periódicas).

(a) (b)Figura 4.24: Solução numérica do caso (u). (a) No tempo [−25,−20], que indica a existênciada órbita periódica com partes nas três zonas. (b) No tempo [20, 30] indicando a existência dedois ciclos limites simétricos com relação à origem.4.5.5 Foco Instável - Nó Estável - Foco InstávelCaso (v) Foco Instável - Nó Estável - Foco Instável . No caso (v) do Teorema 6,temos a < β/α < b e ∆ > 0 e D > 0 para |z| < 1 e ∆ < 0 para |z| > 1. Os equilíbrios são

96nós estáveis para |z| < 1 e focos instáveis para |z| > 1. A solução que tem como conjuntoα-limite os equilíbrios da zona central, podem ter como conjunto ω-limite uma órbitaperiódica ou tender ao innito. Na Figura 4.25 (a) quando a solução tende ao innito ena Figura 4.25 (b) podemos ver o esboço da solução quando temos uma órbita periódica.

(a) (b)Figura 4.25: Esboço da solução do caso (v). (a) Quando não existe órbita periódica. (b) Quandoexiste uma órbita periódica.Tomando valores especícos dos parâmetros para satisfazer as condições necessáriaspara este caso, a resolução numérica é mostrada na Figura 4.26. As condições iniciaisutilizadas foram pontos pertencentes às retas geradas pelos autovetores v2 e v3 associadosaos equilíbrios não nulos em |z| < 1. Na Figura 4.26 (a) foram utilizados os parâmetrosα = 2.9, a = 5, b = 2, ξ = 31 e β = 6; podemos notar que a solução numérica tende aoinnito. Quando alteramos o valor do parâmetro α para 2 a solução encontrada sugere aexistência de uma órbita periódica, que é o conjunto ω-limite da solução, como podemosobservar na Figura 4.26 (b).Na Figura 4.27 (a) temos os mesmos valores de parâmetros da Figura 4.26 (b) como tempo [−18,−16], mostrando apenas a solução que indica a existência de uma órbitaperiódica. Podemos observar que ocorre mudança de estabilidade local do ponto de equilí-brio quando z atravessa os pontos de descontinuidade do sistema (4.6), ou seja, os planosz = ±1. Essa mudança na estabilidade dos pontos gera as oscilações periódicas (ins-táveis). Na Figura 4.27 (b) tomamos condições iniciais com |z| > 1, isto é, quando osequilíbrios são focos instáveis. Note que com os mesmo valores de parâmetros e com otempo [−8, 4] indicam o surgimento órbitas periódicas.

97

(a) (b)Figura 4.26: Solução numérica do caso (v) com os parâmetros (a) α = 2.9, a = 5, b = 2, ξ = 31e β = 6 e tempo [−8, 5]. (b) α = 2, a = 5, b = 2, ξ = 31 e β = 6 e tempo [−8, 4].

(a) (b)Figura 4.27: Solução numérica do caso (v) com os parâmetros (a) α = 2, a = 5, b = 2, ξ = 31e β = 6 e tempo [−18,−16]. (b) α = 2, a = 5, b = 2, ξ = 31 e β = 6 e tempo t = −8.4.

Capítulo5Considerações FinaisNeste trabalho apresentamos o estudo de sistemas lineares por partes no plano comtrês zonas, desenvolvido em [5]. Utilizamos as ideias deste trabalho no estudo analíticoe numérico de um modelo matemático de um circuito elétrico envolvendo um memristor,um resistor, um capacitor e um indutor, os quatro elementos eletrônicos fundamentais.O memristor envolvido no circuito é caracterizado por uma função linear por partes,o que implica em que o modelado matemático associado seja dado pelo sistema (4.6),que é um sistema linear por partes, denido em três zonas no R

3. O circuito e seumodelo matemático foram propostos por Itoh e Chua em [9] e uma primeira análiseteórico computacional do mesmo foi elaborada por Messias et al. em [12].A partir dos estudos desenvolvidos em [5, 9, 12], obtivemos alguns resultados analíticose numéricos que complementam aqueles obtidos em [12]. A dinâmica do modelo se mostroubastante rica, com várias possibilidades para as soluções. Dentre estes, analisamos os casosque consideramos mais relevantes, do ponto de vista do estudo dos circuitos elétricos, ouseja, aqueles em que é possível a ocorrência de oscilações não-lineares para as soluçõesdo sistema. Em [9] foi provado que o sistema não apresenta comportamento caótico,pois é equivalente a um sistema plano. Deste modo, os tipos de oscilações aqui descritosrepresentam os comportamentos dinâmicos mais interessantes para o sistema analisado.Apesar de o sistema estudado ser formado por funções lineares em cada zona, surgemgrandes diculdades ao se tentar provar analiticamente a existência de soluções periódicas,obtidas numericamente neste trabalho. A diculdade maior ocorre ao se tentar determinaranaliticamente o ponto exato em que as soluções atingem os pontos de descontinuidade,nos planos |z| = 1. Tais pontos são importantes na denição de uma forma analíticapara a transformação de Poincaré associada ao sistema e no cálculo dos pontos xosdesta transformação, que determinariam as órbitas periódicas. Assim, depois de muitoesforço na tentativa de provar analiticamente a existência de tais órbitas, porém sem êxito,98

99optamos por apresentar os resultados numéricos obtidos, descrevendo-os e justicando-oscom base no estudo analítico apresentado em [5].O estudo aqui apresentado ainda não é exaustivo, dada a riqueza de possibilidadesdinâmicas para as soluções do sistema analisado. Restam, por exemplo, o estudo doscasos em que as soluções cam contidas numa combinação de três planos invariantes, comequilíbrios somente em uma das zonas externas. Estes casos são deixados para trabalhosfuturos, a serem desenvolvidos por nós ou outros interessados.

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ApêndiceATeorema de LiénardA prova deste teorema foi baseada em [2] e em [14].Teorema 7 (Liénard) Considere o seguinte sistema de Liénard

x = F (x)− y,

y = g(x),(A.1)onde

F (x) =

TEx+ (TE − TC), se x ≤ −1,

TCx, se − 1 < x < 1,

TEx− (TE − TC), se x ≥ 1eg(x) =

DEx+ (DE −DC), se x ≤ −1,

DCx, se − 1 < x < 1,

DEx− (DE −DC), se x ≥ 1.Suponhamos que as funções F (x) e g(x) no sistema (A.1) satisfaçam as seguintes condi-ções:• F (x) = −F (−x), g(x) = −g(−x);• xg(x) > 0 para x 6= 0;• F (0) = 0, F ′(0) > 0;• Quando x > 0, a equação F (x) = 0 tem uma única raiz x0 = 1− (TC/TE) > 1;• Para x ≥ x0 quando x→ ∞ F decresce monotonamente para menos innito;• As funções F e g têm derivadas contínuas para todo x, com exceção dos pontos x±1onde as duas funções têm derivadas laterais diferentes. Considere TC > 0, então osistema (A.1) tem uma única solução periódica não constante que é estável.102

103PSfrag replacements

x

y

α

P2P1

P3

1

P0

P4

y = F (x)

Γ

Figura A.1: Plano com trajetória Γ.Na prova do Teorema 7 usaremos o diagrama apresentado na Figura A.1 onde ospontos Pj tem coordenadas (xi, yi) para i = 0, 1, . . . , 4 e Γ é a trajetória do sistema deLiénard (A.1). A função F (x) que é mostrada na gura é uma típica função que satisfazas hipóteses do teorema.Demonstração. As funções F (x) e g(x) são de classe C0 em R2 e de classe C1 em cadauma das zonas. No entanto, elas satisfazem a condição de Lipschitz em todo o R

2. Logo,é possível aplicar o Teorema de Existência e Unicidade ao sistema (A.1). Assim, existeuma única solução que passa por cada ponto (x(t), y(t)) do plano.Como por hipótese as funções F e g são ímpares, é fácil vericar que o campoX(x, y) =

(F (x)− y, g(x)) é simétrico com relação à origem, isto é, X(−x,−y) = −X(x, y). Entãose Γ(x, z) é uma trajetória do sistema (A.1) então Γ(−x,−z) também será, isto quer dizerque se Γ é uma trajetória fechada do sistema (isto é, periódica) então deve ser simétricacom relação à origem.Do sistema (A.1) vemos que toda solução (x(t), y(t)) é tal que x(t) é crescente ondey(t) < F (x(t)) e decrescente onde y(t) > F (x(t)). Também y(t) é decrescente se x(t) < 0e crescente se x(t) > 0. Além disso o campo de vetores (F (x) − y, g(x)) é horizontal noeixo y e vertical na curva y = F (x). Assim, qualquer trajetória Γ começando de um pontoP0 sobre o eixo negativo y, deve cruzar verticalmente a curva y = F (x) no ponto P2 eentão cruzar horizontalmente o eixo positivo y no ponto P4 [14]. Pela simetria, se Γ éuma trajetória fechada do sistema (A.1) se e somente se y4 = −y0; e para

u(x, y) =z2

2+G(x),

104isto é equivalente a u(0, y4) = u(0, y0), onde G(x) = ∫ x

0g(s)ds.Seja A o arco que vai de P0 até P4 sobre a trajetória Γ e considere a função denidapela seguinte integral de linha,

φ (α) =

∫

A

du = u(0, y4)− u(0, y0),onde α é a abscissa do ponto P2, isto é, α = x2. Segue que Γ é uma trajetória fechada dosistema (A.1) se e somente se φ(α) = 0, para isto, mostraremos que a função φ(α) temexatamente uma raiz α = α0 para α0 > x0. Notemos que sobre Γ

du = g(x)dx+ ydy = F (x)dy.Se α ≤ x0 então F (x) > 0 e dy = g(x)dt > 0. Então du > 0, ou seja, que φ(α) > 0, logou(0, y4) > u(0, y0). Assim, qualquer trajetória Γ que cruza a curva z = F (x) no ponto P2com 0 < x2 = α ≤ x0 não é fechada.Agora vejamos que para todo α ≥ x0, a função φ(α) é monótona crescente e crescedesde o valor negativo φ(x0) até +∞ quando α cresce no intervalo [x0,∞).Para α ≥ x0, como na Figura A.1, vamos decompor o arco A em três partes: A1 quevai de P0 até P1, A2 que vai de P1 até P3 e A3 que vai de P3 até P4 e denir as funções:

φ1(α) =

∫

A1

du, φ2(α) =

∫

A2

du, e φ3(α) =

∫

A3

du.Portanto φ(α) = φ1(α) + φ2(α) + φ3(α). Ao longo de Γ se tem quedu = F (x)dy =

(y +

dx

dt

)dy

dxdx

= ydy

dxdx+

dy

dx

dx

dtdx

= ydy

dxdx+

dy

dtdx

=

(ydy

dx+dy

dt

)dx

=

(g(x) + y

g(x)

F (x)− y

)dx

=

(−yg (x) + F (x) g (x) + yg (x)

F (x)− y

)dx

=

(F (x) g (x)

F (x)− y

)dx.Ao longo de A1 temos

φ1(α) =

∫ x0

0

g(x)F (x)

F (x)− ydx,

105que F (x) > 0, g(x) > 0 e dx

F (x)− y= dt < 0. Portanto, φ1(α) < 0. Para cada x xadoem [0, x0], quando aumentamos α o arco A1 abaixa, decrescendo y, e assim F (x) − ydecresce. Logo o integrando g(x)F (x)

F (x)− yaumenta. Portanto φ1(α) cresce quando α cresce.Sobre A3 temos

φ3(α) =

∫ 0

x0

g(x)F (x)

F (x)− ydx = −

∫ x0

0

g(x)F (x)

F (x)− ydx =

∫ x0

0

g(x)F (x)

−(F (x)− y)dx,que F (x) > 0, g(x) > 0 e dx

F (x)− y= dt > 0. Logo, φ3(α) < 0. Para cada x xadoem [0, x0], quando aumentamos α o arco A3 sobe, o que faz com que y cresça, e portanto

F (x)− y também cresça. Assim −(F (x)− y) decresce e φ3(α) cresce quando α cresce.Sobre A2, a integral está denida para y1 ≤ y ≤ y3 e x ≥ x0. Para cada x xado em[y1, y3], aumentando x, diminui-se F (x) e como

φ2(x) =

∫ y1

y3

F (x)dy = F (x)(y3 − y1),isto mostra que φ2(α) é crescente. Portanto, para α ≥ x0, φ é uma função monotónacrescente de α.Comolimα→∞

φ2(α) = ∞,então φ (α) → +∞ quando α → ∞.Finalmente, como φ (x0) é uma função contínua que cresce monotonamente desde ovalor negativo φ (x0) até ∞ quando α cresce em [x0,∞), segue que existe um α0 ∈ (x0,∞)tal que φ (α0) = 0. Assim, o sistema (A.1) tem exatamente uma trajetória fechada Γ quepassa pelo ponto (α0, F (α0)).Além disso, desde que φ(α) > 0 para α > α0, segue da simetria do sistema (A.1) quepara α 6= α0, pontos sucessivos da intersecção da trajetória Γ através do ponto (α, F (α))com o eixo z aproximam-se de Γ0, isto é, Γ0 um ciclo limite estável.