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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

TRABALHO DE GRADUAÇO

MÉTODOS DE GALERKIN PARA

A EQUAÇO DE BURGERS

Juliana da Silva Buzzi

JOINVILLE, 2014

JULIANA DA SILVA BUZZI

MÉTODOS DE GALERKIN PARA A EQUAÇO

DE BURGERS

Trabalho de Graduação apresentado ao

Curso de Li en iatura em Matemáti a

do Centro de Ciên ias Te nológi as,

da Universidade do Estado de Santa

Catarina, omo requisito par ial para

a obtenção do grau de Li en iatura em

Matemáti a.

Orientador: Prof. Dr. Fernando

Deeke Sasse

JOINVILLE, SC

2014

JULIANA DA SILVA BUZZI

MÉTODOS DE GALERKIN PARA A EQUAÇO

DE BURGERS

Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de Li en iatura emMate-

máti a do Centro de Ciên ias Te nológi as, da Universidade do Estado

de Santa Catarina, omo requisito par ial para a obtenção do grau de

Li en iatura em Matemáti a.

Ban a Examinadora

Orientador:

Prof. Dr. Fernando Deeke Sasse

Universidade do Estado de Santa Catarina

Membro:

Prof

a

. Ms. Eliane Bihuna de Azevedo


Membro:

Prof. Ms. Rodrigo de Lima


Joinville, 24/06/2014.

À Deus e a minha família.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus que me deu a vida, a apa idade, as oportu-

nidades, as ondições físi as e psi ológi as que permitiram a on lusão

desse trabalho.

Aos meus pais, que durante esses anos foram dedi ados, om-

preensivos, ompanheiros e sempre estiveram ao meu lado me apoiando

em todos os momentos difí ieis que superamos juntos.

Ao que foi meu namorado, noivo e hoje meu esposo Renato,

que pode viven iar ada momento de alegria e de angustia pelo qual

passei. Ele que sempre deu sua palavra de apoio e motivação. Obrigada

amor por sempre estar omigo sem vo ê não teria onseguido!

Aos meus olegas e amigos de urso que zeram parte de todo

esse pro esso.

Aos meus professores por todo o aprendizado.

E ao meu orientador Fernando, por toda sua dedi ação e ajuda

para elaboração deste trabalho.

O meu muito obrigada à todos vo ês!

Wir müssen wissen. Wir werden

wissen.

Nós pre isamos saber, e nós iremos

saber.

(David Hilbert)

RESUMO

BUZZI, Juliana da Silva. Métodos de Galerkin para a equação de

Burgers. 2014. 98 p.. Trabalho de Con lusão de Curso (Graduação

em Li en iatura em Matemáti a) - Universidade do Estado de Santa

Catarina, Joinville, 2014.

Neste trabalho o método de Galerkin tradi ional é apli ado para obten-

ção de uma solução aproximada da equação de Burgers. Tal equação

diferen ial par ial não-linear é uma aproximação da equação de Navier-

Stokes e é extensamente usada omo equação de teste de desempenho

para métodos de aproximação e métodos numéri os, pois sua solução é

onhe ida. A ênfase deste trabalho onsiste na apli ação da omputa-

ção algébri a para a onstrução de soluções aproximadas.

Palavras- have: Método de Galerkin tradi ional. Equações diferen-

iais. Computação algébri a.

ABSTRACT

BUZZI, Juliana da Silva. Método de Galerkin to the equation de

Burgers. 2014. 98 p.. Work of Course Con lusion (Graduate Degree

in Mathemati s) - Santa Catarina State University, 2014.

In this work the traditional Galerkin method is applied to obtain an

approximate solution of the Burgers equation. This nonlinear partial

dierential equation is an approximation of the Navier-Stokes equa-

tion and is widely used as a performan e for approximation methods

and numeri al methods test equation, be ause its solution is known.

The emphasis of this work is the appli ation of omputer algebra to

onstru t approximate solutions.

Key-words: Traditional Galerkin method. Dierential equations. Al-

gebrai omputation.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

2.1 Solução exata e aproximação. . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


2.4 Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


2.6 Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


2.8 Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9 Solução exata e aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.10 Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


2.12 Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.13 Aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


2.15 Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


2.17 Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1 Solução para N=3 e Re=10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 57




3.5 Análise dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.6 Solução para N=3 e Re=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.7 Solução para N=9 e Re=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63



3.10 Análise dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

EDO Equação diferen ial ordinária

EDP Equação diferen ial par ial

MGT Método de Galerkin tradi ional

MRP Método de resíduo ponderado

PVC Problema de valor de ontorno

PVI Problema de valor ini ial

MGEF Método de elementos nitos

RK Runge-Kutta

LISTA DE SÍMBOLOS

L2(Ω) Conjunto das funções de quadrado integravel

〈a, b〉 Produto interno entre a e b

N Conjunto dos números naturais

Z Conjunto dos números inteiros

Q Conjunto dos números ra ionais

R Conjunto dos números reais

mkj Elemento da linha k e oluna j de uma matriz M qualquer

‖u‖ Norma de u

∇2Operador lapla iano

y′(x) Derivada primeira da função y em relação a variável x

y′′(x) Derivada segunda da função y em relação a variável x

11

SUMÁRIO

INTRODUÇO 14

1 INTRODUÇO 14

2 O MÉTODO DE GALERKIN TRADICIONAL 18

2.1 DESCRIÇO DO MÉTODO . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 APLICAÇÕES ELEMENTARES . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 PVI de 1

o

ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 PVI de 2

o

ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.3 PVC de 2

o

ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.4 PVC de 2

o

ordem sem solução exata . . . . . . . 38

2.2.5 PVC de 2

o

ordem om oe ientes variáveis . . . 41

2.3 O MÉTODO DE GALERKIN COMO UM CASO ES-

PECIAL DO MÉTODO DE RESÍDUOS PONDERADOS 46

2.3.1 MGT Como Método de Resíduos Ponderados . . 47

3 EQUAÇO DE BURGERS 49

CONCLUSO 67

REFERÊNCIAS 68

Capítulo 1

INTRODUÇO

Um dos maiores desaos no ampo dos sistemas omplexos é

entendimento do fenmeno de turbulên ia. Simulações numéri as di-

retas têm ontribuído substan ialmente para o entendimento dos fen-

menos de es oamento desordenados que o orrem quando o número de

Reynolds é muito alto.

No entanto ainda não existe uma teoria de su esso de turbu-

lên ia que permitiria a des rição de fenmenos si amente importantes

tais omo mistura turbulenta, onve ção turbulenta e ombustão tur-

bulenta, baseada nas equações fundamentais da dinâmi a de uidos.

Isso se deve ao fato de que mesmo no aso de uidos mais sim-

ples possível, que são os hamados uidos newtonianos in ompressíveis,

é ne essário levar em onta tanto propriedades não-lineares quanto não-

lo ais, através da equação de Navier-Stokes:

ρ

(

∂u(x, t)

∂t+ u(x, t) · ∇u(x, t)

)

= ∇p(x, t) + µ∇2u(x, t), (1.0.1)

sendo ρ a densidade do uido, u(x, t) o ampo de velo idades do uido,

p a pressão e µ a vis osidade. Com a hipótese de in ompressibilidade

14

a equação de ontinuidade impli a que

∇ · u(x, t) = 0. (1.0.2)

A não-linearidade é oriunda do termo onve tivo e do termo de

pressão, enquanto que a não-lo alidade é devida ao termo de pressão.

Em 1939 o físi o holandês J.M. Burgers (Burgers,1948) simpli ou a

equação de Navier-Stokes (1.0.1),desprezando o termo de pressão. Ao

ontrário da (1.0.1), a equação de Burgers resultante agora pode ser

estudada em uma dimensão espa ial:

∂u(x, t)

∂t+ u(x, t)

∂u(x, t)

∂x=

µ

ρ

∂2u(x, t)

∂x2. (1.0.3)

Esta equação é não-linear e a prin ípio, é esperado que ela apre-

sente omportamento similar ao turbulento. No entanto, foi mostrado

por Hopf (Hopf,1950) e Cole (Cole,1951) que a equação de Burgers a-

re e da mais importante propriedade atribuída à turbulên ia, ou seja,

as soluções não exibem ara terísti as aóti as, tais omo a sensibili-

dade relativa às ondições ini iais.

Isto pode ser mostrado expli itamente através da transforma-

ção de Hopf-Cole, que transforma a equação de Burgers em uma equa-

ção linear parabóli a. Do ponto de vista omputa ional a importân ia

de tal fato reside no fato de ser possível a omparação das soluções

obtidas numéri amente om a exata.

Tal omparação é importante para investigar a qualidade o

método numéri o ou assintóti o utilizado. Além disso, a equação por

si só tem apli ações interessantes em físi a. É interessante notar ainda

que a transformação de Hopf-Cole pode ser generalizada para diversas

outras equações não-lineares interessantes (Miskinis, 2013).

Neste trabalho serão usados métodos de Galerkin para estudar

a equação de Burgers (1.0.3), em parti ular o Método de Galerkin Tra-

di ional. Será apresentada a seguir uma breve des rição deste método.

OMétodo de Galerkin Tradi ional (MGT) é um aso parti ular

15

entre os diversos métodos de resíduos ponderados (Boyd, 2001). Neste

aso, as seguintes ondições devem ser satisfeitas:

1. As funções de teste (peso) wk são es olhidas a partir da mesma

família das funções tentativa φj .

2. As funções teste e tentativa são linearmente independentes.

3. As funções teste e tentativa devem ser os primeiros N membros

de um onjunto ompleto de funções.

4. As funções de teste devem satisfazer as ondições de ontorno (ou

ini iais) exatamente.

A ondição 1 dene o método de Galerkin e a ondição 2 é

ne essária para garantir que há equações independentes para obter os

oe iente des onhe idos aj. As ondições 3 e 4 estão rela ionadas à

e iên ia do método. A violação destas ondições reduz a e iên ia

omputa ional.

Como o MGT foi originalmente riado e usado omo um mé-

todo manual ou no máximo omo um método para al uladoras, sua

e iên ia era normalmente medida em termos da a urá ia da solução

por unidade de esforço manual. Isso laramente enfatiza o uso do menor

número possível de oe ientes aj , obtendo uma ainda uma a urá ia

a eitável.

Supondo que as ondiçes 1 a 4 são satisfeitas, o úni o aminho

restante para a melhoria da a urá ia da solução envolve a onveniente

es olha das funções-tentativa. É um fato onhe ido que o uso de po-

linmios puramente lo ais, lineares, omo funções-tentativa e funções

de teste, produzem resultados de menor a urá ia, em geral, do que

aquele obtido usando polinmios não-lo ais de grau superior (Flet her,

1984).

Para ilustrar e omparar o método de Galerkin tradi ional a

equação de Burgers (1.0.1) será estudada. Uma omparação do método

poderá ser observada omparando as soluções aproximadas om a so-

16

lução exata desta equação.

17

Capítulo 2

O MÉTODO DE

GALERKIN

TRADICIONAL

Neste apítulo o Método de Galerkin Tradi ional (MGT) é des-

rito e apli ado a problemas de valor in ial e de ontorno asso iado e

equações diferen iais ordinárias. Será mostrado além disso que o MTG

é um aso espe ial do método dos resíduos ponderados.

2.1 DESCRIÇO DO MÉTODO

A ideia de Galerkin pode ser des rita através de um problema

bidimensional onde por exemplo ela é governada por uma equação di-

feren ial linear:

B(s) = 0, em γ, (2.1.1)

s = 0, em ∂γ,

18

sendo γ ⊂ R2um domínio limitado, ∂γ a fronteira de γ e s : γ → R é

uma função a ser en ontrada, então assume-se u ∈ L2(γ), sendo L2(γ)

um espaço vetorial de funções denidas em γ, e que B é um operador

diferen ial linear denido em L2(γ). As ondições de ontorno para

este problema são

s|∂γ = 0. (2.1.2)

No Método de Galerkin Tradi ional é suposto que s pode ser

representado por uma solução aproximada s, des rita assim

s(x, y) = s0(x, y) +N∑

j=1

ajφj(x, y), (2.1.3)

sendo s0(x, y) uma função denida de modo a satisfazer as ondições de

ontorno, os aj são oe ientes a determinar, e os φj(x, y) são funções

analíti as onhe idas hamadas funções de base ou funções de teste

que devem satisfazer essas ondições: ser linearmente independentes;

satisfazer as ondições de ontorno homogêneas do problema B(s) = 0

e todas as soluções verdadeiras são limite de alguma sequên ia formada

por funções de base, ou seja, uma sequên ia de funções de base tende

para a solução verdadeira no espaço que ontêm as soluções verdadeiras.

Se houver falha em qualquer destas ondições reduz a e iên ia

do método. Substituindo a solução aproximada na equação obtém-se o

resíduo, R, dado por

R(a0, a1, . . . , aN , x, y) = B(s) (2.1.4)

= B(s0) +

N∑

j=1

ajB(φj). (2.1.5)

Denindo o produto interno 〈f, g〉 em L2(γ) da seguinte ma-

neira

〈f, g〉 =∫∫

γ

fg dxdy. (2.1.6)

Os oe ientes aj na equação (2.1.5) são obtidos resolvendo o

19

sistema de equações

〈R, φk〉 = 0, k = 1, 2, . . . , N. (2.1.7)

Aqui, os φk, são as mesmas funções analíti as que apare em na

equação, mas neste aso são hamadas de funções de peso ou funções de

ponderação (quando as funções de base e de peso são diferentes tem-se

outros métodos para tratar equações diferen iais. A última igualdade é

hamada de ondição de Galerkin e equivale a dizer que R deve ser orto-

gonal às funções de base φ1, φ2, . . . , φN usadas na aproximação s(x, y).

Como B é um operador diferen ial linear, a equação pode ser

es rita na forma

N∑

j=1

aj〈B(φj), φk〉 = −〈B(s0), φk〉. (2.1.8)

Os oe ientes aj são os autovalores desta equação. Uma vez

determinados estes oe ientes, a equação forne e a solução aproximada

s(x, y) que também pode ser hamada de solução teste ou função ten-

tativa.

2.2 APLICAÇÕES ELEMENTARES

Para um maior entendimento sobre os on eitos estabele idos,

esta seção apresenta alguns exemplos, ujas soluções exatas são onhe-

idas.

2.2.1 PVI de 1

o

ordem

O objetivo neste exemplo é testar a a urá ia do MGT apli ado

a um PVI de primeira ordem de uma EDO que é regido pela seguinte

equação:

dy(x)

dx− 2xy(x)− x = 0, (2.2.9)

20

sujeita à ondição ini ial y(0) = 0. A solução exata é dada por:

y(x) = −1

2+

1

2exp(x2). (2.2.10)

Vamos agora propor uma solução tentativa de funções de base

monomiais:

U =

N∑

i=1

cixi. (2.2.11)

Onde a parte dada pelo somatório deve satisfazer ondições de

ontorno homogêneas. Substituindo a solução tentativa (2.2.11) na eq.

(2.2.9), tem-se o resíduo

R =

(

d

dx

N∑

i=1

cixi

)

−(

2x

N∑

i=1

cixi

)

− x

=

(

N∑

i=1

ciixi−1

)

−(

2x

N∑

i=1

cixi

)

− x. (2.2.12)

O produto interno entre R e φk, que determina os oe ientes

cj é dado por

〈R, xk〉 =

⟨

N∑

i=1

ciixi−1 − 2x

N∑

i=1

cixi − x, xk

⟩

=

∫ 1

0

(

N∑

i=1

ciixi−1(xk)− 2x

N∑

i=1

cixi(xk)− x(xk)

)

dx

=

∫ 1

0

N∑

i=1

ciixi−1(xk)dx −

∫ 1

0

2x

N∑

i=1

cixi(xk)dx

−∫ 1

0

x(xk)dx. (2.2.13)

21

Resolvendo as integrais obtém-se

〈R, xk〉 =N∑

i=1

ciixi+k

i+ k

∣

∣

∣

∣

1

0

−N∑

i=1

ci2xi+k+2

i+ k + 2

∣

∣

∣

∣

1

0

− xk+2

k + 2

∣

∣

∣

∣

1

0

=

N∑

i=1

ci

(

i

i+ k− 2

i+ k + 2

)

− 1

k + 2. (2.2.14)

Usando a ondição de Galerkin (2.1.7)

N∑

i=1

ci

(

i

i+ k− 2

i+ k + 2

)

− 1

k + 2= 0, (2.2.15)

de modo que

N∑

i=1

ci

(

i

i+ k− 2

i+ k + 2

)

=1

k + 2. (2.2.16)

Esta equação pode ser representada na forma matri ial

Mc = T, (2.2.17)

sendo os elementos de M e T des ritos respe tivamente por

mki =i

i+ k− 2

i+ k + 2, (2.2.18)

tk =1

k + 2, (2.2.19)

e c o vetor dos oe ientes ci. De maneira explí ita:

m11 . . . m1N

.

.

.

.

.

.

.

.

.

mN1 · · · mNN

c1.

.

.

cN

=

1.

.

.

1

N

. (2.2.20)

A seguir, en ontra-se os oe ientes ci para diferentes valores de N .

22

N = 1

Para este valor de N , a eq. (2.2.20) torna-se uma representação

de matrizes unitárias da forma

[

m11

] [

c1

]

=[

1

3

]

. (2.2.21)

Mas, omo denido na eq. (2.2.18), sabe-se que

m11 =1

1 + 1− 2

1 + 1 + 2= 0, (2.2.22)

e imediatamente, obtém-se c1 = 0. Desta forma, a primeira aproxima-

ção é

y1(x) = 0. (2.2.23)

N = 2

Agora, a eq. (2.2.20) torna-se

[

m11 m12

m21 m22

][

c1

c2

]

=

[

1

3

1

4

]

. (2.2.24)

Cal ulando os elementos da matriz M onforme a eq. (2.2.22), obtém-

se

[

0 4

15

− 1

15

1

6

][

c1

c2

]

=

[

1

3

1

4

]

, (2.2.25)

de modo que

c1 =5

4e c2 =

19

10. (2.2.26)

Assim, a solução aproximada para este aso

y2(x) =5

4x+

19

10x2. (2.2.27)

N = 3

23

Neste aso, a onguração matri ial Mc = T

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

c1

c2

c3

=

1

3

1

4

1

5

. (2.2.28)

Até este momento, fez-se os ál ulos dos elementos da matriz

M manualmente utilizando a eq. (2.2.20). Agora, será utilizada a om-

putação algébri a om o objetivo de fali itar este pro esso. A seguir,

está exposto o pro edimento iterativo para a obtenção dos elementos

matri iais pro urados.

Abaixo, é denida uma iteração para k e i:

>for k from 1 to 3 do

for i from 1 to 3 do

print(m[k,i=(i/(i+k))-(2/(k+i+2)));

od;

od;

As saídasmki, forne em todos os elementos da matrizM , que ompleta

a eq. (2.2.28), tornando-a

M =

0 4

15

5

12

− 1

15

1

6

11

35

− 1

12

4

35

1

4

, (2.2.29)

t =

1

3

1

4

1

5

. (2.2.30)

Resolvendo os oe ientes obtemos:

c1 =144

385, c2 = −15

22, c3 =

68

55. (2.2.31)

24

Portanto, a aproximação é dada por:

y3(x) =144

385x− 15

22x2 +

68

55x3. (2.2.32)

Comparemos esta aproximação om a solução exata:

Figura 2.1: Solução exata e aproximação.

Fonte: Produção do próprio autor

Visualmente as duas soluções são distinguíveis, porém om ur-

vatura idênti a e quase sobrepostas. Façamos o grá o do erro:

25

Figura 2.2: Erro


Vemos que mesmo as urvas sendo próximas há um erro on-

siderável. Agora faremos uma aproximação para N=10, omparando

esta aproximação om a solução exata obtivemos:

26



Visualmente as duas soluções são indistinguíveis, pois agora

obtivemos uma melhor aproximação da equação polinomial. Façamos

então o grá o do erro:

27

Figura 2.4: Erro


A a urá ia do método é notável. No entanto, tal a urá ia on-

tinua a melhorar quando N res e ilimitadamente.

2.2.2 PVI de 2

o

ordem

O objetivo neste exemplo é testar a a urá ia do MGT apli ado

a um PVI de segunda ordem de uma EDO denido por:

d2y(x)

dx2+ x

dy(x)

dx+ y(x) = 0, y(0) = 1 e y′(0) = 2. (2.2.33)

A solução exata é dada por:

y(x) =−i

√π√2erf

(

1/2 i√2x)

exp(1/2 x2)+

1

exp(1/2 x2). (2.2.34)

28

Vamos agora propor uma solução tentativa de funções de base mono-

miais:

U = 1 + 2x+

N∑

i=2

cixi. (2.2.35)

Onde a parte dada pelo somatório deve satisfazer ondições de on-

torno homogêneas. Substituindo a solução tentativa (2.2.35) na equa-

ção (2.2.33), tem-se o resíduo

R =

(

d2

dx2

)

(

1 + 2x+

N∑

i=2

cixi

)

+ x

(

d

dx

)

(

1 + 2x+

(

N∑

i=2

cixi

))

+1+ 2x+

(

N∑

i=2

cixi

)

=

(

N∑

i=2

icixi−2(i− 1)

)

+ 4x+ x

(

N∑

i=2

icixi−1

)

+ 1 +

N∑

i=2

cixi.

(2.2.36)

O método de Galerkin exige que o produto interno entre o

resíduo e as funções de base seja zero, ou seja, usando o produto interno

onforme em (2.1.6) e en ontrando os respe tivos valores de ci onforme

(2.1.7), vamos utilizar os mesmos pro edimentos anteriores e supor que

N=3, então para este valor de N en ontramos uma representação de

matrizes da seguinte forma:

M =

[

0 33 108

0 279

4

1242

5

]

, (2.2.37)

t =

[

−21

− 81

2

]

. (2.2.38)

Resolvendo os oe ientes obtemos:

c2 = −52

41, c3 =

95

492. (2.2.39)

29

Portanto, a aproximação é dada por:

y1(x) = 1 + 2x− 52

41x2 +

95

492x3. (2.2.40)

Comparemos esta aproximação om a solução exata:



Visualmente as duas soluções são distinguíveis. Façamos o grá-

o do erro:

30

Figura 2.6: Erro


Para este valor de N o erro já pode ser onsiderado muito pe-

queno. Agora faremos uma aproximação para N=10, omparando esta

aproximação om a solução exata temos:

31



Visualmente as duas soluções estão sobrepostas. Façamos o

grá o do erro:

32

Figura 2.8: Erro


Para este valor de N nossa aproximação é satisfatória.

2.2.3 PVC de 2

o

ordem

Resolvamos agora o problema de valor de ontorno de segunda

ordem

d2y(x)

dx2− 2y(x)− 1 = 0, (2.2.41)

sujeita à ondição de ontorno y(0) = 0, y(1) = 0. A solução exata é

dada por

y(x) =1

2

e√2x

e√2 + 1

+1

2

e−√2xe

√2

e√2 + 1

− 1

2. (2.2.42)

Vamos agora propor uma solução tentativa usando N funções

de base monomiais que se ajuste às ondições ini iais:

U =

N∑

k=1

ck(xk − xk+1). (2.2.43)

33

O resíduo é dado por substituição da solução tentativa (2.2.43)

na equação (2.2.41), tem-se o resíduo

R =

(

d2

dx2

N∑

k=1

ck(xk − xk+1)

)

− 2

(

N∑

k=1

ck(xk − xk+1)

)

− 1

=

(

N∑

k=1

ckk(xk−2k − xk−2 − xk−1k − xk−1)

)

−2

(

N∑

k=1

ck(xk − xk+1)

)

− 1. (2.2.44)


resíduo e as funções de base seja zero, ou seja,usando o produto interno


(2.1.7), vamos utilizar os mesmos pro edimentos anteriores.

N = 3

Colo ando em forma matri ial:

M =

− 2

5− 1

5− 5

42

− 1

5− 16

105− 47

420

− 5

42− 47

420− 59

630

, (2.2.45)

t =

1

6

1

12

1

20

. (2.2.46)

Resolvendo para os oe ientes obtemos:

c1 = −133

309, c2 =

7

103, c3 = − 7

103. (2.2.47)

Portanto, a aproximação é dada por

y1(x) = −133

309x+

154

309x2 − 14

103x3 +

7

103x4. (2.2.48)

Comparemos esta aproximação om a solução exata.

34

Figura 2.9: Solução exata e aproximação


Visualmente as duas soluções são indistinguíveis, iremos au-

mentar a a urá ia da nossa função aproximada. Façamos o grá o do

erro:

35

Figura 2.10: Erro


Veri amos que o erro é da ordem 10−6. Então para N=10

teremos a seguinte aproximação, visualizando no grá o omparamos

esta aproximação om a solução exata:

36



Visualmente as duas soluções ontinuam indistinguíveis, pois

onseguimos om N=10 a a urá ia ainda maior. Façamos o grá o do

erro:

37

Figura 2.12: Erro


Aqui obtemos um erro de 10−15. Vemos que quanto maior o

N, mais pre isa a nossa aproximação.

2.2.4 PVC de 2

o

ordem sem solução exata


ordem sem solução exata:

d2y(x)

dx2+ x

dy(x)

dx+ (x− 2)y(x)− sin(x)

x− 2= 0, (2.2.49)

A ondição de ontorno é

y(0) = 0, y(1) = 0. (2.2.50)

Determinaremos uma solução numéri a para equação om o omando

do Maple:

38

sol_num:=dsolve(eq, on,y(x),numeri ).


de base monomiais que se ajuste às ondições ini iais:

U =

N∑

k=1

ck(xk − xk+1). (2.2.51)

O resíduo é dado pela substituição da equação tentativa (2.2.51)

na equação dada (2.2.49), assim:

R =d2

dx2

N∑

k=1

ck(xk − xk+1) + x

d

dx

N∑

k=1

ck(xk − xk+1)

+(x− 2)

N∑

k=1

ck(xk − xk+1)− sin(x)

x− 2. (2.2.52)





N=3, então a aproximação é dada por

y1(x) = 0.0914 x+ 0.0055 x2 − 0.0835 x3 − 0.0134 x4. (2.2.53)

Comparemos esta aproximação om a solução numéri a:

39

Figura 2.13: Aproximação


Visualmente as soluções são indistinguíveis. Determinaremos

uma estimativa para o máximo valor da diferença no intervalo para isso

deniremos um pro edimento:

maximo:=pro (U,sol_num)

lo al t,k,d,d1;

d1:=0;

for k from 10 to 1 by -1 do

t:=evalf(0+1/k);

d:=abs(evalf(subs(x=t,U)-op(2,op(2,sol_num(t)))));

if d > d1 then

d1:=d:

fi;

od:

return(d1);

end:

40

No presente aso o erro é: 0.0000230535, ou seja, da ordem 10−5.

2.2.5 PVC de 2

o

ordem om oe ientes variáveis


ordem om oe ientes variáveis:

d2y(x)

dx2+ x

dy(x)

dx+ y(x)− sin(x) = 0, (2.2.54)

sujeita à ondição de ontorno

y(0) = 0, y(1) = 0. (2.2.55)

A solução exata é dada por

y(x) = (−1.027609688 i)e−0.5x2

erf(√

2 ix)

+1.0332 i(

erf(√

2 ix−√2)

+ erf(√

2 ix+√2))

e−0.5x2

. (2.2.56)


de base monomiais que se ajuste às ondições de ontorno:

U =

N∑

k=1

ck(xk − xk+1). (2.2.57)

O resíduo é dado por substituição da equação (2.2.57) na equa-

41

ção (2.2.54), então

R =d2

dx2

N∑

k=1

ck(xk − xk+1) + x

d

dx

N∑

k=1

ck(xk − xk+1) +

N∑

k=1

ck(xk − xk+1)− sin(x)

= −N∑

k=1

ckk(

−xk−2k + xk−2 + xk−1k + xk−1)

+

x

N∑

k=1

ck(

xk−1k − xkk − xk)

+

N∑

k=1

ck(

xk − xk+1)

− sin (x) . (2.2.58)





N=3, então para este valor de N en ontramos uma representação de

matrizes da seguinte forma:

M =

− 19

60− 3

20− 3

35

− 1

6− 9

70− 79

840

− 11

105− 1

10− 211

2520

, (2.2.59)

t =

2− 2 cos(1)− sin(1)

−2 + 5 sin(1)− 4 cos(1)

−24 + 17 sin(1) + 18 cos(1)

. (2.2.60)

Resolvendo para os oe ientes obtemos a aproximação

y1(x) = −0.1784x− 0.0188x2 + 0.2923x3 − 0.0951x4. (2.2.61)

Comparemos om a solução exata.

42



Visualmente as duas soluções são indistinguíveis. Façamos o

grá o do erro:

43

Figura 2.15: Erro


O erro aqui é da ordem de 10−5. Então para N=7 estaremos

aumentando a a urá ia da nossa função aproximada, veriquemos:

y2(x) = −0.2x+ 0.2x2 + 100x5 − 100x6. (2.2.62)

No grá o observamos uma melhor aproximação das funções:

44



Visualmente elas são indistinguíveis, pois onseguimos om N=7

uma a urá ia signi ativa. Façamos o grá o do erro:

45

Figura 2.17: Erro


Aqui o erro atinge a ordem de 10−7.

2.3 O MÉTODO DE GALERKIN COMO

UM CASO ESPECIAL DO MÉTODO

DE RESÍDUOS PONDERADOS

Estudou-se até aqui aspe tos do MGT, porém, esta represen-

tação pode ser lassi ada omo um dos tratamentos dos métodos de

resíduos ponderados (MRPs). Neste apítulo, apresenta-se o método

de Galerkin omo um aso espe ial do método de resíduos ponderados

(MRP).

46

2.3.1 MGT Como Método de Resíduos Ponderados

As funções de ponderação são es olhidas a partir da mesma

família, omo as funções de teste então se as funções formarem um

onjunto ompleto, indi a que o resíduo deve ser ortogonal a todos os

membros do onjunto ompleto. Assim, para problemas não lineares,

onde um pro esso iterativo é ne essário o monitoramento vai indi ar o

progresso no sentido da onvergên ia e das regiões do domínio onde a

onvergên ia é pior.

Os vários métodos de resíduos ponderados foram omparados

por Flet her (1983). Além disso, Flet her faz a seguinte observação,

"O método de Galerkin produz resultados onsistentemente de alta

pre isão e tem uma amplitude de apli ação tão vasta omo qualquer

método de ponderação de resíduos ".

O MRP ini ialmente foi onsiderado omo uma ideia seme-

lhante ao prin ípio da distribuição de erro. Somente algum tempo de-

pois os MRPs puderam ser onsiderados omo uma lasse de métodos

numéri os. Para a sua des rição onsidera-se uma equação diferen ial

, om as ondições ini iais e as ondições de ontorno denidas.

Pode-se dizer então, que os MRPs onduzem a um sistema

de equações algébri as, desta forma a utilização da metodologia de

apli ação do MRP pode ser dividida em três etapas:

1. a es olha da função teste que é de grande importân ia para a e-

á ia dos MRPs, uma vez que tal es olha en ontra-se diretamente

rela ionada à pre isão e à velo idade om que a solução numéri a

é obtida;

2. es olha de um ritério de ponderação, pois através dela muitos

métodos que pare em independentes am orrela ionados;

3. obtenção da solução aproximada.

Para en ontrar a melhor aproximação possível, devemos es o-

lher os oe ientes de modo que o resíduo seja minimizado. Os diferen-

47

tes métodos espe trais e pseudo-espe trais diferem essen ialmente em

suas estratégias de minimização.

48

Capítulo 3

EQUAÇO DE

BURGERS

A apli ação do método tradi ional Galerkin para a equação

Burgers é mais ompli ada do que para a equação diferen ial ordinária

onsiderada nas outras seções. Em primeiro lugar a equação de Burgers

é uma equação diferen ial par ial de modo que a apli ação do método

tradi ional de Galerkin produz um sistema de equações diferen iais

ordinárias que têm que ser integrados no tempo.

Em prin ípio, seria possível introduzir uma função de teste

que era uma função de duas variáveis independentes e por onseguinte,

obter um sistema de equações algébri as. No entanto, dependendo do

ál ulo, isso exigiria um esforço maior para resolver.

A segunda ompli ação é que a equação de Burgers é não linear

e a di uldade está em reduzir a equação diferen ial par ial a um sis-

tema de equações algébri as. Em seguida, um método iterativo, omo

o método de Newton, será ne essária. Considere a equação Burgers na

forma

∂u

∂t+ u

∂u

∂x− 1

Re

∂2u

∂x2= 0. (3.0.1)

Aqui u é a velo idade e Re o número de Reynolds. Esta equação

49

é um bom modelo para as equações de Navier-Stokes.

Apesar da não-linearidade, esta equação possui uma solução

exata para muitas ombinações de ondições ini iais e ondições de

ontorno. Por esta razão a equação de Burgers é frequentemente usada

omo teste de efetividade. Por simpli idade serão usadas as ondições

de ontorno

u(−1, t) = 1, u(1, t) = 0, (3.0.2)

e as ondições ini iais:

u(x, 0) =

1, −1 ≤ x ≤ 0,

0, 0 < x ≤ 1.(3.0.3)

As equações (3.0.1) a (3.0.3) governam uma situação físi a,na

qual onda de hoque ini ialmente des ontínua se propaga para a direita.

Apesar de que seria possível introduzir uma solução de aproximação,

é preferível desenvolver a solução teste omo uma série as endente de

polinmios de Chebyshev.

A razão para isso é que ao interpolar a função om maior a u-

rá ia, parti ularmente próximo das fronteiras x = ±1 as equações re-

sultantes são mais bem ondi ionadas do que as funções de teste poli-

nomiais. Ao interpolar valores de funções, os problemas asso iados às

variações do polinmio podem ser amenizados se es olhermos os pontos

de interpolação.

Se, ao ontrário de es olhermos pontos igualmente distan ia-

dos, es olhermos pontos mais a umulados nas extremidades do inter-

valo, podemos en ontrar melhores resultados. Uma es olha usual são

os zeros dos polinmios de Chebyshev, dados no intervalo [-1, 1 pela

relação de re orrên ia:

T0(x) = 1, (3.0.4)

T1(x) = x, (3.0.5)

Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x). (3.0.6)

50

Outra razão para a es olha dos polinmios de Chebys hev omo

funções tentativa, é que eles são ortogonais no intervalo [-1, 1, om

relação ao peso, se

w =1√

1− x2, (3.0.7)

ou seja,

(f, g) =

∫ 1

−1

f(x)g(x)1√

1− x2dx, (3.0.8)

nessas ondições

Ti, Tj =

0, i 6= jπ2, i = j 6= 0

π, i = j = 0

(3.0.9)

Pode ser visto, a partir da natureza da função peso, que o uso de

polinmios de Chebyshev dá mais importân ia aos pontos adja entes

x = ±1.A importân ia de onsiderar as funções tentativa é que os

valores ini iais dos oe ientes aj da expansão

ua(x, t) =N∑

j=0

aj(t)Tj(x), (3.0.10)

são es olhidos apli ando o método de Galerkin nos dados ini iais e seus

resultados à solução exata:

(ua − u0, Tk) = 0, k = 0, ..., N. (3.0.11)

Substituindo a solução tentativa (3.0.10) na equação de Burgers

(3.0.1), obtemos o resíduo:

R =∑

j

dajdt

Tj +∑

j

aj∑

i

aiTj

dTi

dx− 1

Re

∑

j

ajd2Tj

dx2. (3.0.12)

51

Apli ando o método de Galerkin temos

∫ 1

−1

R Tk(x)dx = 0, k = 0, ..., N. (3.0.13)

Assim que apenas os primeiros derivados de Tj apare em torna-

se ne essário apli ar o teorema de Green para o termo vis oso. O

resultado global é:

M(Adot) + (B + C)A = 0, (3.0.14)

sendo A o vetor ujas omponentes são aj(t) e

d

dtaj(t), (3.0.15)

a matriz M é dada por

mk,j =

∫ 1

−1

Tj(x)Tk(x)dx, (3.0.16)

B é a matriz de omponentes

bk,j =∑

i

ai

∫ 1

−1

dTi(x)

dxTj(x)Tk(x)dx, (3.0.17)

e C é a matriz de omponentes

ck,j =1

Re

∫ 1

−1

dTj(x)

dx

dTk(x)

dxdx. (3.0.18)

O perl ini ial (3.0.3) forne e os valores ini iais para aj depois

de resolver o sistema de equações algébri as

MA = D, (3.0.19)

om

dk,j =

∫ 0

−1

Tk(x)dx. (3.0.20)

52

Vamos analisar esta apli ação num exemplo om estes polin-

mios ini iais:

T0(x) = 1, (3.0.21)

T1(x) = x. (3.0.22)

Os polinmios seguintes são gerados om o Maple:

for j to 4 do

T[j+1:=expand((2xT[j-T[j-1));

od;

T2 = 2x2 − 1; (3.0.23)

T3 = 4x3 − 3x; (3.0.24)

T4 = 8x4 − 8x2 + 1; (3.0.25)

T5 = 16x5 − 20x3 + 5x. (3.0.26)

Estes polinmios satisfazem as relações de produto interno:

∫ 1

−1

T0T0√1− x2

= π, (3.0.27)

∫ 1

−1

T1T1√1− x2

=π

2, (3.0.28)

∫ 1

−1

T2T2√1− x2

=π

2. (3.0.29)

Fazendo N = 1 e Re = 10 na função tentativa (3.0.10) torna-se

u1 = a0(t) + a1(t)x. (3.0.30)

A matriz M é gerada através do omando em Maple:

for i to N+1 do

for j to N+1 do

53

m[i,j:=int(T[i-1T[j-1, x=-1..1)

od;

od;

M =

2 0

0 2

3

(3.0.31)

Similarmente para a matriz B:

for k to N+1 do

for j to N+1 do

b[k,j:= add(a[i-1(t)*(int((diff(T[i-1,x))*T[j-1

*T[k-1,x=-1..1)),i=1..N+1)

end do

end

do;

B =

2 a1 (t) 0

0 2

3a1 (t)

. (3.0.32)

A matriz C é obtida do seguinte modo:

for m to N+1 do

for n to N+1 do

[m,n:=(1/RE)*int(diff(T[n-1,x)

*diff(T[m-1,x), x=-1..1);

od;

od;

C =

0 0

0 1

5

(3.0.33)

temos agora

A =

[

a0(t)

a1(t)

]

, (3.0.34)

e

Adot =

[

ddta0(t)

ddta1(t)

]

. (3.0.35)

54

Apli ando as ondições ini iais temos

for j from 0 to N do

d[j+1:=int(T[j,x=-1..0);

od;

d1 = 1, d2 = −1

2. (3.0.36)

ou seja,

DD =

[

1

− 1

2

]

. (3.0.37)

Portanto (3.0.19) torna-se:

2 0

0 2

3

·A =

1

− 1

2

. (3.0.38)

A matriz é então dada por

A =

[

1

2

− 3

4

]

, (3.0.39)

ou seja:

a0(0) = 0.5000,

a1(0) = −0.7500. (3.0.40)

Resolvendo o sistema de EDOs sujeita às ondições ini iais,

lembrando que o sistema de equações é integrado usando um esquema

de quarta ordem de Runge-Kutta, este sistema utiliza um tamanho

de passo variável no tempo, que é ajustado a ser tão grande quanto

possível sem ausar instabilidade. Assim, obtemos:

U = a0 (t) + a1 (t)x). (3.0.41)

Depois de um tempo xo, tipi amente t = 0, 92, a solução é

55

omparada om a solução exata.

a0 (t) = 1.25934348979188072,

a1 (t) = −1.43340914081269277. (3.0.42)

em Maple:

for j from 1 to N+1 do

A[j:=rhs(op(j+1,L1));

od;

A1 = 1.25934348979188072,

A2 = −1.43340914081269277. (3.0.43)

A solução é

U = 1.259343490− 1.43340914081269277x. (3.0.44)

Agora iremos testar para N = 3 e Re = 10. Apli ando os

mesmos ál ulos e omandos obtemos os seguintes valores:

56

Figura 3.1: Solução para N=3 e Re=10


Agora para N = 7 e Re = 10, ou seja, vamos tornar nosso

Re=10 xo e variar o N. Apli ando os mesmos ál ulos e omandos

obtemos os seguintes valores:

U = 0.9390663811− 0.3096459438x− 1.222160170x2 −1.268983885x3 + 1.144408403x4 + 1.947701432x5 −0.3493896858x6 − 0.8252900461x7. (3.0.45)

Plotando o grá o obtemos:

57



Conseguimos veri ar neste grá o que aumentando um pou o

o nosso N, já obtivemos menos os ilações que no primeiro grá o.

Agora analisaremos para N = 9 e Re = 10. Seguindo os mesmos

pro edimentos anteriores:

U = 0.9596117535− 0.3099882950x− 1.139706928x2 −1.800664497x3 + 0.7421560738x4+ 3.877555429x5 +

0.2679518703x6 − 3.274624275x7 − 0.3002931048x8 +

1.033784270x9. (3.0.46)

O grá o será:

58



Continuamos a observar que as os ilações diminuiram. Agora

analisaremos para N = 11 e Re = 10. Seguindo os mesmos pro edi-

mentos anteriores temos:

U = 0.9520252292− 0.3076676006x− 1.002233449x2 −1.808715857x3 − 0.2749997391x4 + 4.083311918x5 +

3.018842484x6 − 3.987106747x7 − 3.352419824x8 +

1.902192358x9 + 1.186329585x10 −0.3539449106x11. (3.0.47)

O grá o obtido:

59



Analisando de uma forma geral:

60

Figura 3.5: Análise dos resultados


Visivelmente vemos que na Figura (3.5) indi a que o aumento

da pre isão na ordem res ente é essen ial.

Apartir de agora iremos testar para N = 3 e Re = 1, ou seja,

vamos tornar nosso N xo e variar o Re. Apli ando os mesmos ál ulos

e omandos obtemos os seguintes valores:

U = 0.5625138640− 0.5843957011x− 0.02935145568x2+

0.2109413555x3. (3.0.48)

Então:

61



Para N = 9 e Re = 1, temos:

U = 0.5725763463− 0.6093575482x− 0.09167327643x2 +

0.3056011727x3+ 0.07280089544x4 − 0.09215602234x5−0.02489437250x6+ 0.02847815116x7+ 0.005210382083x8−0.005121514076x9. (3.0.49)

Sendo assim:

62



As guras (3.6) e (3.7) apresentam a mesma semelhança. Então

faremos os ál ulos para N=9 e Re=10.

U = 0.9596117535+ 0.2679518703x6− 1.800664498x3

+0.7421560738x4+ 3.877555429x5 − 3.274624275x7

−0.3002931048x8+ 1.033784270x9 − 1.139706928x2

−0.3099882950x. (3.0.50)

Temos então:

63



Cada solução foi obtida a um tempo diferente e o número de

Reynolds é para aumentar a nitidez de hoque, e isto pode ser visto,

mais fa ilmente, por meio da omparação das soluções. Isso demonstra

a sua in apa idade para a ompanhar o perl exato através do desen-

volvimento de os ilações onsideráveis no espaço adja ente ao lo al do

hoque.

Faremos para N=9 e Re=30.

U = 3.342721532− 2.150646994x− 18.48302069x2 −3.46928390x3 + 59.06216767x4 + 17.39155035x5 −86.06742486x6 − 11.8945881x7 + 45.77826833x8 −3.340036296x9. (3.0.51)

Visualizando:

64



Comparado os resultados gra amente:

65

Figura 3.10: Análise dos resultados


Tais resultados estão de a ordo om Flet her (Flet her, 1984).

66

CONCLUSO

Neste trabalho foi feita uma revisão do método de Galerkin

Tradi ional, de a ordo om Flet her (Flet her, 1984), usando o sis-

tema de omputação algébri a Maple. Estendendo o trabalho de Costa

(Costa, 2013) o método foi apli ado à equação de Burgers, que é uma

equação diferen ial par ial não-linear extensamente usada para teste de

métodos numéri os e de aproximação.

Um dos prin ipais objetivos deste trabalho foi mostrar omo

a omputação algébri a pode ser útil em métodos de aproximações

analíti as. Mesmo problemas asso iados ao mal- ondi ionamento de

sistemas asso iados à determinação dos oe ientes de expansão da

aproximação, quando as funções de base não são ortogonais, podem ser

evitados usando aritméti a ra ional.

Uma extensão natural deste trabalho onsiste na onstrução

em Maple do método de Galerkin de elementos nitos para apli ação à

equação de Burgers e outros problemas não-lineares.

67

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