Universidade Federal Fluminense

Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: Sistemas Estruturais 2

Professora: Eliane Maria Lopes Carvalho

Esta é a convenção de sinais que devemos utilizar para elaborar os diagramas de esforços solicitantes. Ela é referente ao sinal positivo, ou seja, se analisarmos a estrutura em questão vindo pela esquerda, olharemos na convenção o sentido da seta que vier em primeiro plano, se ela estiver no mesmo sentido que a reação apresentada na questão, será positiva. Caso contrário, será negativa. Ex.: Ao olharmos num diagrama pela esquerda uma força cortante à barra vertical de uma estrutura em pórtico que está com seu sentido para a esquerda, esta força será considerada positiva.

Tipos de Elementos Estruturais

a) Barra : possui duas dimensões reduzidas em relação à terceira.

Ex.: Vigas, pilares, barras de treliça, etc...

Eixo da Viga

Obs.: Eixo da Viga: lugar geométrico das centróides de suas seções transversais.

Pilares

Viga

Seção Transversal do Pilar

Seção Transversal da Viga

b) Placa : possui uma dimensão reduzida em relação às outras duas.

Ex.: Lajes e cascas, sendo as lajes retas e as cascas curvas.

Laje

Vigas

c) Blocos : possui as três dimensões consideráveis.

Ex.: Blocos de fundações, barragens, etc.

Barragem

Bloco de Fundação

Estacas

Pilar

Tipos de Carregamentos Externos

a) Carga concentrada

Ex.: Reação de uma viga apoiada em outra.

Representação esquemática:

A

B

P

A B

b) Carga uniformemente distribuída :

Ex.: Peso próprio, peso de alvenaria apoiada em uma viga, reação de laje, etc.

R= q x L

Representação esquemática:

q

R

L

alvenaria

laje

viga

alvenaria

c) Carga triangular ou linearmente distribuída :

Ex.: Pressão hidrostática atuante nas paredes de uma piscina.

R= ½ x Q x L

L

R

ApoiosFunção dos apoios : restringir graus de liberdade das estruturas, despertando com isso reações nas direções dos movimentos impedidos.

Tipos de Apoiosa) Apoio de 10 gênero : impede apenas uma translação,

permitindo translação na outra direção, bem como a rotação em torno dele.

Exemplos:

Pino

Rolo

Representação esquemática:

V

ou

V

b) Apoio do 20 gênero, articulação ou rótula : impede as duas translações, deixando livre a rotação.

Exemplos :

H

V

H

V

pino

Representação esquemática :

H

V

c) Apoio do 30 gênero ou engaste : impede as duas translações e a rotação.

Exemplos :

Obs.: Neste caso a estrutura de apoio tem uma rigidez infinitamente maior.

H

Vestruturaengaste

estrutura

engaste

Representação esquemática:

V

H m

V

H m

Aqui apresentamos uma estrutura bi apoiada, sendo o apoio da esquerda de 20 gênero e o da direita de 10. Colocamos ainda uma força pontual de 50kN atuando no ponto médio desta estrutura, que aqui possui 4,0m de extensão.

Como podemos ver, a força pontual provocou reações no eixo Y nos dois apoios da barra, sendo o somatório destas reações exatamente igual ao valor da carga em questão.

Neste caso não existem reações no eixo X, já que não há carga horizontal atuando na barra ou mesmo carga inclinada com componente horizontal. Portanto, deduzimos que neste exemplo também não há diagrama de esforço normal.

Aqui demonstramos como seria o diagrama de esforço cortante do exemplo que demos baseado nas reações do eixo Y. De acordo com a convenção, se analisarmos o diagrama a partir do lado esquerdo, a força cortante será positiva e no sentido da própria reação de 25kN à carga, tornando-se negativa após ser somada à carga pontual de 50kN e passando a ser zero quando somada novamente à reação de 25kN.

Agora apresentamos o diagrama de momento fletor resultante do cálculo das áreas do diagrama de esforço cortante anteriormente demonstrado. Partindo do lado esquerdo do diagrama anterior, podemos calcular a área como sendo: 25kNx2,0m , o que nos dá um resultado de 50kNm como valor máximo de momento nesta questão. Este valor passa a ser zero quando é somado à segunda área do diagrama de esforço cortante: -25kNx2,0m=-50kNm. Assim, passamos a ter +50kNm+(-50kNm)= 0.

Agora sugerimos uma estrutura em pórtico com a atuação de duas cargas pontuais, sendo uma na horizontal e outra na vertical, como se pode observar.

Neste caso temos reação horizontal no apoio de 20 gênero igual à força de 7kN e no sentido contrário à ela. As reações verticais somam o valor da carga pontual relativa ao eixo Y, de 10kN.

Aqui também demonstramos o diagrama de esforço normal. Podemos observar que a reação de 0,4kN é normal à barra vertical e, como está comprimindo a mesma, possui sinal negativo. Continuando a observar a estrutura, somando-se essa reação de 0,4kN à força pontual de 10kN, temos um resultado de 9,6kN no sentido de compressão da barra vertical à direita, sendo, portanto, também negativa.

Obs.: Não há esforço normal na barra horizontal porque a soma da força pontual de 7kN com sua reação é igual à zero.

Partindo-se agora para o diagrama de esforço cortante observamos que a reação de 7kN horizontal é perpendicular, ou seja, cortante, à barra vertical da esquerda. Iniciamos o diagrama, então, no sentido desta força, que se mantém com valor constante até encontrarmos a própria carga de 7kN, quando este valor zera. A partir daí notamos que a reação vertical de 0,4kN é cortante à barra horizontal da estrutura, valor que se mantém até ser somado à força de 10kN no sentido oposto, o que resulta num valor negativo de 9,6kN. Este valor será zerado ao ser somado à reação também de 9,6kN do apoio de 10 gênero.

Partindo do mesmo princípio do exemplo anterior, elaboramos o diagrama de momento fletor a partir das áreas do diagrama de esforço cortante, já que M=F x d, sendo M= momento; F= força; d= distância.

Temos, então, a primeira área do diagrama de 7,0kNx2,0m=14kNm, resultado positivo e que se mantém constante até o fim da barra vertical, já que não há nenhuma outra força que altere este resultado. Ao olharmos agora para a barra horizontal temos como momento inicial o valor de 14kNm, que será logo após somado à área de 0,4kNx1,0m= 0,4kNm, passando a ser 14,4kNm. Esse valor será zerado ao ser somado à área de -9,6kNx1,5m= -14,4kNm.

Apresentamos agora uma situação em que há carga distribuída e carga pontual na estrutura, estando ambas as extremidades em balanço.

Já se pode observar que não haverá diagrama de esforço normal nesta estrutura, pois não existe força no eixo x, ou seja, na horizontal.

Na figura a seguir apresentamos as reações às cargas nos apoios da estrutura, sendo o somatório das duas igual ao somatório das cargas pontuais e das cargas distribuídas.

Deve-se observar neste diagrama de esforço cortante que quando se tem uma carga distribuída a reta aparece inclinada e a diferença entre seus pontos é o valor da resultante da seção.

No trecho de 3,0m, por exemplo, temos a diferença de 14,8-2,8=12,0, exatamente igual ao valor da carga distribuída (4,0kN/m) multiplicado pela distância (3,0m).

Nesta figura demonstramos o diagrama de momento fletor, e uma questão importante a ser observada é o fato de as áreas onde há carga distribuída sua representação é de uma parábola, e quando não há carga distribuída torna-se uma reta. Os pontos extremos desta parábola podem ser calculados a partir das áreas do diagrama de esforço cortante, como já foi feito anteriormente, porém deve-se perceber que agora se trata de um trapézio, cuja área é: (B+b)x h/2.

O próximo exercício nos traz novamente a estrutura em pórtico, porém neste caso passamos a ter também a influência das cargas distribuídas, agora em relação ao eixo x.

No diagrama de esforço normal temos, partindo-se da esquerda, a reação no apoio de 2º gênero normal à barra vertical e de valor igual a 36,3kN e de sinal positivo. Em relação à barra horizontal temos a diferença entre a reação horizontal do apoio e a resultante da carga distribuída de 5,0kN/m [37,0kN – (5,0 kN/m x 4,0m)]= -3,0kN.Na barra vertical da direita temos o somatório da reação de 36,3kN à força pontual de 14kN, já que estão no mesmo sentido.

Agora, no diagrama de esforço cortante, a reação horizontal do apoio passa a ser cortante em relação à barra vertical e este valor é diminuído linearmente de acordo com a resultante da carga distribuída. Na barra horizontal devemos perceber que a força cortante em relação à ela é a reação vertical do apoio da esquerda.

Agora apresentamos o diagrama de momento fletor da estrutura, devendo-se dar atenção à construção de parábola quando se trata de atuação de carga distribuída e reta quando a carga é pontual.