Unidade I

Professora: Ana Cristina G. e Silva

Natal-RN

Introdução à Matemática Computacional

Vetores no R2, R3, Rn

Espaço Vetorial

Combinação linear

Vetores LI e LD

Base

Resolução de sistemas lineares

Determinação da Inversa de uma matriz

Índice

Vetores no R2

(2, 1)

x

0

y

),( bav Representação:

Vetores no R3

(2, 4, 3)

x

y

z

),,( cbav Representação:

Vetores no Rn

1 2 3( , , ,..., ),nv x x x x

Adição:

Multiplicação por escalar:

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

( , , ,..., ) ( , , ,..., )

( , , ,..., )n n

n n

v u x x x x y y y y

x y x y x y x y

1 2 3

1 2 3

( , , ,..., )

( , , ,..., )n

n

ku k x x x x

kx kx kx kx

1 2 3( , , ,..., ) nnu y y y y R k Re

Operações

1 2 3( , , ,..., )nv x x x xRepresentação:

Definição:Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão definidas duas

operações

Espaço Vetorial

Soma:

Mult. por escalar:

E devem satisfazer, para quaisquer Vwvu ,,, Rba ,e

As seguintes propriedades:

VvuVvu ,

VkvRkVv ,

Existe tal que

Existe tal que

uvvu

)()( wvuwvu

V0 uu 0

Vu 0)( uu

1)

2)

3)

4)

avauvua )(

bvavvba )(

)()( bvavab uu 1

5)

6)

7)

8)

Combinação Linear

e Vvvv n ,,, 21

Definição:

naaa ,,, 21 reais (ou complexos). Então,

nnvavavav 2211

é um elemento de V ao que chamamos de combinação linear de Vvvv n ,,, 21

Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo),

Ex:

kjiv 342 v

ij

k

R³

Dependência e Independência LinearDefinição:

Sejam V um espaço vetorial e Vvvv n ,,, 21 . Dizemos que o conjunto

é Linearmente Independente (L.I.), ou que os vetores são L.I, },,,{ 21 nvvv

se a equação

02211 nnvavava

Implica que 021 naaa . Caso exista algum 0ia

é Linearmente dependente (L.D.), ou que os vetores são L.D. },,,{ 21 nvvv

dizemos que

Exemplo

é LD ou LI ? )}1,1(),0,1(),1,1{( O conjunto

)0,0()1,1()0,1()1,1( cba

Solução:

)0,0(),()0,(),( ccbaa

)0,0(),( cacba

0

0

ca

cba

)(

)(

II

I O sistema admite infinitas soluções. Façamos c a variável livre.

De ( II ) vem queca

Substituindo o valor de a em ( I ) ficamos com

cb 2

Fazendo, por exemplo, 2c obtemos 2a e 4b

Encontramos a seguinte combinação linear)0,0()1,1(2)0,1(4)1,1(2

Logo, o conjunto é LD.)}1,1(),0,1(),1,1{(

é LD ou LI ? )}1,1(),0,1(),1,1{(

BaseDefinição:

será uma base de V (um espaço vetorial qualquer), se:

( i ) },,,{ 21 nvvv é LI, e

( ii ) Vvvv n ],,,[ 21

)0,0(),0(),( baa

)0,0(),( baa

Temos que verificar se

)}1,0(),1,1{( é LI, e2)]1,0(),1,1[( R

( i )

( ii )

Solução:Exemplo: )}1,0(),1,1{( é uma base de ?2R

)0,0()1,0()1,1( ba

( i )Substituindo ( I ) em ( II ) encontramos

0b)(

)(

II

I

0

0

ba

a

Logo, )}1,0(),1,1{( é LI

},,,{ 21 nvvv

Exemplo:

)1,0()1,1(),( bayx

),0(),(),( baayx

),(),( baayx

bay

ax

xa

ayb xyb

)1,0)(()1,1(),( xyxyx

Portanto, 2)]1,0(),1,1[( R

Logo, )}1,0(),1,1{( é uma base de .2R

)4,0()3,3()1,3(

)1,0)(4()1,1(3)1,3(

²)1,3( R

Base

Resolução de sistemas lineares

523

4452

134

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Seqüência deoperações elementares

2100

2010

3001

Forma escada reduzida por linha

)}2,2,3{( SPortanto, o sistema é possível e determinado com solução única

5231

4452

1341

Matriz ampliada do sistema

2

2

3

3

2

1

x

x

x

Ex.:

Resolução de sistemas lineares

Seqüência deoperações elementares

5231

4452

1341

Matriz ampliada do sistema

Ex.:

402000

3570

0121

4020

357

12

3

32

321

x

xx

xxx

534

12

023

321

321

321

xxx

xxx

xxx

1

22

0

tz

tzy

tzyx Neste caso, o número de variáveis é maior que o número de equações. O sistema é possível e indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. Isso significa que uma das variáveis , a variável livre, receberá um valor arbitrário.

22

32

423

z

zy

zyx Como o número de variáveis é igual ao número de equações. O sistema é possível e determinado, ou seja, tem solução única.

Soluções do sistema (método do escalonamento)

Ex.:

Neste caso a última equação do sistema é sempre falsa, então o sistema é impossível e S =.

240

1724

63

z

zy

zyx

Determinação da Inversa de uma matriz

3001

1110

1101

0012

A

Exemplo: Encontrar a inversa da matriz A.

1000

0100

0010

0001

3001

1110

1101

0012

1000

0100

0001

0010

3001

1110

0012

1101

21 LL

 

122 2LLL 144 LLL

1010

0100

0021

0010

4100

1110

2210

1101

00012210

00002202:2

00010012:

1

2

L

L

10102200

00101201:

10003001:

1

4

L

L

A I

1010

0100

0021

0010

4100

1110

2210

1101

33 LL

1010

0121

0021

0010

4100

3100

2210

1101

1010

0121

0021

0010

4100

3100

2210

1101

233 LLL

1111

0121

0221

0111

1000

3100

4010

2001

311 LLL 322 2LLL

344 LLL

411 2LLL

1111

3454

4265

2333

1000

0100

0010

0001

422 4LLL 433 3LLL

1111

0121

0221

0111

1000

3100

4010

2001

I A-1

1111

3454

4265

2333

1A

Portanto,

Quando A não admite inversa.

020

121

101

A

100

010

001

020

121

101

A I

111

0

001

000

010

101

21

21

Como a forma escada não é a identidade, a matriz A não tem inversa.

I

Exemplo:

- BOLDRINE, José L. – Álgebra linear – 3º edição Harbra LTDA

Bibliografia

Operações elementares

2)

3)

1) ji LL (permutar duas linhas)

Ex.:32 LL

43

14

01

14

43

01

ii kLL Rk ( )0ke

Ex.:

22 3LL

43

14

01

43

312

01

Ex.:

133 2LLL

43

14

01

41

312

01

jii kLLL

41

02:2

43:

1

3

L

L

voltar

0100

0110

0001

000

301

120

21000

00000

10310

00000

21000

20310

  (1) V   (1) F   (1) F   (1) V

Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se

(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.

(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.

(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.

(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante.

Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?

0100

0110

0001

000

301

120

21000

00000

10310

00000

21000

20310

  (1) V   (1) F   (1) F   (1) V

  (2) F  (2) V

Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se

(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.

(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.

(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.

(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante.

Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?

0100

0110

0001

000

301

120

21000

00000

10310

00000

21000

20310

  (1) V   (1) F   (1) F   (1) V

  (2) F  (2) V

  (3) V

Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se

(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.

(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.

(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.

(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante.

Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?

0100

0110

0001

000

301

120

21000

00000

10310

00000

21000

20310

  (1) V   (1) F   (1) F   (1) V

  (2) F  (2) V

  (3) V

  (4) V

Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se

(1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.

(2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.

(3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.

(4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante.

Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?