5

6

Unidade I - Gravitação

fig. I.1. A figura mostra a interação gravitacional entre a Lua e a Terra.

1. Situando a Temática

O propósito desta unidade temática é o de introduzir a lei da gravitação Newtoniana. Estudaremos a lei da gravitação universal formulada por Newton, a constante gravitacional G e sua medida, a aceleração da gravidade g de corpos caindo próximos à Terra, as órbitas dos planetas, a energia potencial gravitacional, a velocidade de escape, a ação gravitacional de uma massa esférica, a massa inercial e massa gravitacional com o princípio de equivalência. A fig. I.1 mostra a Lua em seu movimento orbital em volta da Terra e através da formulação Newtoniana da gravitação universal, a Lua e a Terra estão ligadas por uma força. 2. Problematizando a Temática

A alta precisão da mecânica celeste é legendária. Cálculos usando as leis de Newton do movimento e a lei de Newton da gravitação permitiu predições para o movimento de planetas, satélites e cometas. Essa abordagem teórica concorda muito precisamente com as observações astronômicas. Por exemplo, predições de posições angulares planetárias concordam com as observações com uma precisão de poucos segundos de arco, mesmo depois de um período de dez anos. A teoria da gravitação Newtoniana provou ser eficiente quando astrônomos notaram um movimento anômalo de Urano. Eles previram que esse movimento anômalo estaria sendo provocado por uma força gravitacional vinda de uma massa nas

2Gm ML TF

r

12

R Rg T

r

7

vizinhanças daquele planeta. Um novo planeta foi encontrado, Netuno. A força gravitacional é uma das quatro forças da natureza. Apesar de permear todo o nosso espaço físico, agindo sobre massas, é uma força de muito pouca intensidade quando comparada às forças fraca, forte e eletromagnética. Quando calculamos essa força entre dois prótons separados por uma distância de 15102 m obtemos um valor de 3410 N, enquanto obtemos 100 N para força eletromagnética. A principal aplicação da gravitação é na astronomia, viagens espaciais de satélites, na medicina, etc. Apesar da gravitação de Newton ser uma teoria de alta precisão, algumas observações, como o desvio do periélio de Mercúrio, não coincidem com os cálculos previstos por essa teoria. Ao contrário da gravitação formulada pela Relatividade Geral, os dados observacionais do desvio do periélio de Mercúrio vêm a ser confirmados por essa outra teoria. Atualmente, problemas fundamentais da física continuam a existir, por exemplo, como explicar a expansão acelerada do universo. Algumas tentativas estão sendo feitas, agora formulando a gravitação com teorias mais gerais do que a Relatividade Geral. 3. A Lei de Newton da Gravitação Universal

Foi Newton quem descobriu que a força interplanetária que mantém os corpos celestes em suas órbitas é a força gravitacional. A lei da gravitação universal formulada por Newton estabelece que: Uma partícula atrai uma outra com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A intensidade da força gravitacional entre duas massas 1m M e

2m m separadas por uma distância r é

2rGMmF eq. I.1

fig. I-2. Interação gravitacional entre duas massa. onde G é a constante universal. Seu valor em unidades internacionais ou métrica é

2211 /1067,6 kgNmG A fig. I-2 mostra a direção da força atrativa sobre cada partícula. Note que as duas forças são de igual intensidade e direções opostas, elas formam um par ação e reação. Por outro lado, a ação da força é a distância,

8

não requerendo contado entre as partículas e a atração gravitacional entre duas partículas é completamente independente da presença de outras partículas. Segue que a força gravitacional obedece ao princípio da superposição linear, isto é, a força gravitacional líquida entre dois corpos (por exemplo, Terra e Lua) é o vetor soma das forças individuais entre todas as partículas que compõem os corpos. Podemos assim usar este fato para aproximarmos os corpos celestes como partículas pontuais. 4. Força Gravitacional Exercida pela Terra sobre uma Partícula

Aproximando a Terra e um corpo próximo a ela por um ponto, a força gravitacional exercida pela Terra sobre este corpo (partícula) é

2rmGM

F T ou rr

rmGMF T

2 eq. I.2

onde r é a distância medida do centro da Terra à partícula fora da Terra. Se a partícula está dentro da Terra a força é menor. Se a partícula está na superfície da Terra em TRr , então a eq. I.2

2T

T

RmGMF eq. I.3

A corresponde aceleração da massa m é

gR

GMmFa

T

T 2 eq. I.4

Mas essa aceleração é exatamente aquela que chamamos aceleração da gravidade g. Em geral teremos a aceleração para uma distância r

grR

rGMa TT

2

2

2 eq. I.5

fig. I.4. Gráfico da aceleração em m/s 2 da gravidade versus distância radial r em metros.

TR 2 TR 3 TR

4,9

9,8

a

r

fig. I.3. Força gravitacional

entre duas partículas.

9

fig. I.5. Experimento de Cavendish.

5. A Medida da Constante Gravitacional

A constante G é muito difícil de ser medida com precisão. Isto ocorre devido às forças gravitacionais entres massas no laboratório serem pequenas e portanto os instrumentos para detectar estas forças serem extremamente sofisticados. As medidas de G são feitas com uma balança de torsão de Cavendish. O valor da constante G é determinado através da aproximação das pequenas massas das massas grandes e a comparação dos torques surgidos no cabo central de sustentação. 6. Órbitas dos Planetas

É razoável considerarmos o Sol fixo e imóvel estudando apenas o

movimento dos planetas. Se supusermos as órbitas dos planetas aproximadamente circulares

de raio r, a força gravitacional age como uma força centrípeta, tendo o Sol como o corpo central. Se a velocidade do planeta é v, a equação de movimento

22

2 vr

GMr

mvFr

mGMF s

cs eq. I.6

Temos que 2r

vT

, onde T é chamado o período da órbita. Assim o

período para órbita circular é dado por

32

2 4 rGM

Ts

eq. I.7

Mesmo as órbitas dos planetas em torno do Sol sendo aproximadamente circulares nenhuma dessas órbitas é circular. Foi Kepler que mostrou através das observações este fato. Isso é a primeira lei de Kepler:

‘As órbitas dos planetas são elipses com o Sol em um dos focos’

fig. I.6. Uma órbita elíptica de um planeta, com o Sol em um dos focos.

A segunda lei de Kepler expressa essencialmente a conservação do momentum angular do planeta em torno do Sol, já que a força gravitacional

10

fig. I.7. Lei de Kepler das áreas

é uma força central. Ela é chamada lei das áreas.

‘O segmento de reta que une o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais’

A terceira lei de Kepler relaciona o período da órbita ao tamanho dela. Uma generalização da equação eq. I..7:

‘O quadrado do período é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita do planeta’

As três leis de Kepler são também aplicadas a satélites e a cometas. Também são aplicadas a órbitas de estrelas, como em

sistemas binários de estrelas. Por outro lado, são aplicadas a movimento de projéteis próximos da Terra.

Notamos que na nossa descrição matemática do movimento planetário não contemplamos as forças dos outros planetas muito menores do que a do Sol. Porém, num tratamento mais preciso, essas forças devem ser levadas em conta. A força líquida sobre qualquer um dos planetas é então uma função da posição de todos os outros planetas. A solução da equação do movimento envolve o problema de muitos corpos. No cálculo do movimento de um planeta é incluído o cálculo do movimento dos outros planetas. Não temos uma solução exata desse problema, apenas cálculos envolvendo análise numérica. Dessa forma as leis de Kepler descrevem uma primeira aproximação do movimento planetário. Isto resulta no desvio do periélio de alguns planetas. 7. Energia Gravitacional

Sabemos do estudo da mecânica que a força gravitacional é uma

força conservativa, isto é, o trabalho realizado por esta força para deslocar uma partícula de um ponto a outro somente depende da localização destes pontos e não do caminho entre eles. Assim podemos definir a energia potencial gravitacional

)()( 0PUrdFrUr

eq. I.7

Tomamos aqui um ponto numa distância infinita da massa central M e colocamos 0)( 0 PU . Note que esta integral pode ser calculada para

qualquer caminho, em particular numa linha reta. Então,

rGMmdxiixGMmPUrdFrU

rr

)/(0)()( 20 q.I.8

Veja que a energia potencial gravitacional cresce com a distância, de

um valor negativo para zero. Isto decorre naturalmente pelo fato da força ser atrativa. Por outro lado essa energia é mútua, de M e m, mas por exemplo se M >> m podemos dizer que a energia é apenas de m, já que praticamente M

11

não se move. Algumas vezes é desejável calcular a força da energia potencial.

Suponha que dois pontos P e Q são separados apenas por um deslocamento

infinitesimal

rd , então U(P) será diferente de U(Q) somente por uma quantidade infinitesimal,

dzFdyFdxFrdFQUPUdU zyx

)()( , assim

)(),,(

rUzU

yU

xUF .

Neste caso dizemos que

F provém de um potencial. Podemos rever este resultado em um curso básico de cálculo.

A energia total é igual a U+K, mas se M é estática, então a energia cinética K é devida apenas ao movimento de m, assim pela conservação de energia,

.21 2 const

rGMmmvKUE eq. I.9

Da eq. I.6 e eq. I.9 podemos calcular facilmente a energia para uma órbita circular:

rmGM

rmGM

rmGM

KUE sss

21

21

eq. I.10

A energia negativa E é exatamente a metade da energia potencial. Para uma órbita elíptica a energia total é também negativa. Pode-se mostrar que E é escrito como na eq. I.10, substituindo r pelo semi-eixo maior da elipse. A energia total não depende do formato da elipse e sim do seu tamanho global. Se a energia é próxima de zero, então o tamanho da órbita é muito grande. O que caracteriza as órbitas de cometas, indo além do limite do sistema solar. Se a energia é exatamente zero, então a elipse torna-se uma parábola, para distâncias infinitas e velocidade zero. Se a energia é positiva, então a órbita é uma hipérbole, o astro alcança distâncias infinitas com velocidades diferentes de zero e continua movendo-se em linha reta. Para um detalhamento sobre as órbitas dos planetas podemos estudar as curvas de potencial através da eq. I.9, calculando-se a expressão da velocidade para determinar qualitativamente: pontos de retorno e equilíbrio, níveis de energia, órbitas ligadas e não ligadas. Ou, de forma mais precisa, muito mais difícil, resolver uma equação diferencial definida pela eq. I.9 para a posição da partícula. Um objeto de massa m na superfície de um astro de massa M está sujeito a uma força da gravidade exercida por tal astro. Qual deve ser a velocidade inicial mínima aproximada que deverá ser lançado o objeto, da superfície do astro, para que ele não retorne mais? Como tal objeto escapará do astro? A velocidade correspondente é chamada velocidade de escape. No infinito a velocidade do objeto é zero e a energia potencial também. Dessa

12

forma E = 0, como a única força que realiza trabalho é a gravitacional, que é conservativa, então na superfície,

T

T

RmGMmvUKE 2

210

T

T

RGMv 2

eq. I.11

Note que estamos considerando um corpo lançado em pontos acima da superfície da Terra onde, aproximadamente, o atrito com o ar é zero e a força do Sol sobre ele tem um pequeno efeito. 8. O Campo Gravitacional Uma abordagem para descrever interações entre objetos na Terra que não estão em contato, veio com o conceito de um campo gravitacional o qual permeia nosso espaço físico. O campo gravitacional é definido como

Fm

g 1 eq. I.12

O campo gravitacional em um ponto do espaço é igual à força experimentada por uma partícula teste colocada no ponto multiplicada escalarmente pelo inverso da massa da partícula. Note que a presença da partícula teste não é necessária para o campo existir. A Terra cria o campo. Como exemplo, considere um objeto de massa m próximo a superfície da Terra. O campo gravitacional a uma distância r do centro da Terra é

rr

rmGM

mF

mg T

2

11

rr

GMg T2 eq. I.13

onde

rrr1

é o vetor unitário apontando radialmente em direção à Terra e

o sinal menos indica que o campo está na direção do centro da Terra. 9. Interação Gravitacional entre uma Partícula e um Objeto Extenso Notemos que até agora a interação gravitacional que estamos considerando é entre partículas. Porém agora temos interesse em saber como tratamos o caso de interação gravitacional entre objetos extensos. Se uma partícula de massa m interage gravitacionalmente com um objeto extenso de massa M, a força gravitacional total exercida pelo objeto sobre a partícula pode ser obtida dividindo o objeto em vários elementos de

13

massa iM para tomar o vetor soma sobre todas as forças exercidas por

todos os elementos. A energia potencial para qualquer um desses elementos é dada por ii rMGmU / , como podemos ver na fig. I.8. A energia potencial total do sistema de partículas de massa M é obtida, quando tomamos 0 iM ,

dMU Gm

r eq. I.14

Agora calculamos a força gravitacional através de drdU / para obter

rr

dMGmF 3 eq. I.15

onde

rrr

é o vetor unitário dirigido do elemento dM em direção a

partícula e o sinal menos indica que a direção da força é oposta a de

r . 10. Teorema de Newton da Interação Gravitacional entre Distribuições Esféricas de Massa

Vamos mostrar um teorema muito importante que trata da interação entre corpos extensos com simetria esférica. Os planetas, bem como outros corpos, podem ser considerados com esta simetria. Teorema: A interação gravitacional entre dois corpos que possuem distribuições de massa com simetria esférica, para pontos externos das esferas, é igual à interação gravitacional entre duas partículas localizadas nos centros dessas esferas. Prova: Podemos começar calculando a energia potencial total entre uma casca esférica, dividindo a casca em elementos de massa iM , e uma

partícula m no seu exterior,

)(

i

i

rMGmU eq. I.15

onde ir é a distância entre iM e m.

Tome um anel da casca como na fig. I.9

Tome um anel de uma casca esférica, obviamente a reunião de desses anéis nos dá a casca inteira. O anel está a uma distância Lri da partícula

m. O anel tem uma largura Rd , um raio Rsenθ e uma circunferência

m

fig. I.8. Interação entre uma partícula e um objeto extenso

de massa M.

fig. I. 9. Interação gravitacional entre duas massas esféricas.

14

Rsen2 e assim à área da superfície do anel é dsenR22 . A massa do anel é proporcional a área dessa superfície. Como a massa total M é uniformemente distribuída sobre a área total 24R da casca, podemos escrever

dMsenR

dsenRMM i 21

42

2

2

para massa do anel.

No limite 0 iM e encontramos da eq. I.15

LdGmMsenU

2 eq. I.16

Aplicando a lei dos cossenos, cos2222 rRrRL e calculando ddL / , onde r e R são constantes, RrL como maior valor de L e

RrL como menor valor de L, teremos

)2(2

][22

RrR

GmMLrR

GmMdLrR

GmMU RrRr

Rr

Rr

rGmMU eq.I.17

Esse resultado mostra que a energia potencial é calculada como se toda a massa estivesse em seu centro. Então a força, drdU / , entre a casca e a partícula é exatamente calculada como se toda a massa estivesse no centro. A distribuição de massa esférica é uma coleção de cascas esféricas. Assim a força gravitacional entre a distribuição de massa esférica e a massa m será calculada como se toda a massa da esfera estivesse no seu centro, quando aplicado o princípio da superposição de forças. Note que este resultado permanece para uma densidade de massa não uniforme. Pela terceira lei de Newton, a distribuição de massa sente igual força. Agora se substituímos a partícula de massa m por uma distribuição de massa esférica, e indagamos sobre a força de atração gravitacional entre as distribuições de massa esférica, pelos argumentos acima é fácil ver que a força gravitacional é calculada como se as massas estivessem concentradas em um ponto. Terminando assim a prova do teorema. Se agora a partícula está dentro da distribuição esférica o cálculo procede de forma análoga, isto é, apenas os limites da última integral são trocados para rRL e rRL , para obtermos,

RGmMU eq. I.18

Note que U é constante, dessa forma quando m se move no interior da esfera nenhum trabalho é realizado sobre ela, como consequência a força gravitacional é igual a zero em qualquer ponto no interior da casca esférica. Para uma distribuição de massa esférica consideremos uma partícula dentro dessa distribuição. A força líquida que temos é devido à massa

15

contida em um raio menor do que o raio onde a partícula está, como se a massa dessa parte da esfera estivesse concentrada em seu centro. Assim, de

uma forma geral, teremos para intensidade de

F

2

)(r

rGmMF eq. I.19

onde M(r) é a quantidade de massa contida dentro da massa esférica, cujo o raio é r, calculado a partir da localização da massa m. Esta é a força gravitacional sobre uma partícula localizada dentro de uma massa esférica. 11. Massa Gravitacional, Massa Inercial e o Princípio de Equivalência Quando a massa de um corpo é medida de acordo com sua inércia, dizemos que essa massa é inercial. Isto é, quando queremos medir a massa de um corpo, comparamos a massa desconhecida com uma massa padrão, fazendo-se exercer forças uma sobre a outra e calculando as razões das acelerações obtendo a razão inversa dessas massas. De acordo com essa definição, massa é a medida de sua inércia, ou seja, a medida da oposição que o corpo oferece a qualquer mudança de seu estado de movimento. Por outro lado, quando medimos massa através de um peso padrão através de uma balança comparamos a força gravitacional que a Terra exerce sobre as massas. A massa medida dessa forma é chamada massa gravitacional. Seria razoável que a massa de um corpo tivesse a mesma medida por ambos os métodos. Sejam 1P e 2P os pesos de dois corpos, se 21 PP , teremos

2121 mmgmgm . Isto é, as massas inerciais são iguais. A igualdade dessas massas inerciais se mantém devido ao fato delas poderem cair livremente com a mesma aceleração. Por outro lado, podemos de um sistema referência acelerado simular os efeitos da gravidade. A similaridade entre os dois efeitos é chamada de princípio de equivalência. Por exemplo, se estamos num elevador fechado, em queda livre, não saberemos se estamos em um sistema acelerado ou se sujeitos a um campo gravitacional. Exercícios Resolvidos

Exemplo I. 1 Qual é a força gravitacional entre um homem de 70 kg e uma mulher de 70 kg quando estão separados por uma distância de 10m? Trate as massas como particulas.

Solução:

Nm

kgkgkgmNr

mGMF T 92

2211

2 103,3)10(

7070/.1067,6

.

Exemplo I. 2

16

As órbitas do planeta Vênus e da Terra são aproximadamente circulares quando giram em torno do Sol. O período de Venus é 0,615 anos e o da Terra é 1 ano. Mostre que os raios das órbitas são tais que .38,1 VT rr

Solução:

De fato, usamos 32

2 4 rGM

Ts

para ambos os planetas para chegarmos a

relação,

38,1)615,0(

)1(5,1

5,1

5,1

5,1

ano

anoTT

rr

V

T

V

T .

Exemplo I. 3

Sabendo-se que o raio médio orbital da Terra é m1110496,1 , calcule a massa do

Sol. Solução:

Usamos kgGT

rMrGM

T ss

302

323

22 10989,144

, onde

T= s710156,3 .

Exemplo I. 4 Um astronauta está em uma espaçonave com uma órbita circular de raio

km3106,9 ao redor da Terra. Em um ponto da órbita ele faz a nave impulsionar para frente e reduz sua velocidade. Isto coloca a nave em uma nova órbita elíptica com apogeu igual ao raio da órbita velha, mas com perigeu menor. Suponha que o perigeu da nova órbita é km3100,7 . Compare os períodos da nova e velha órbita.

Solução:

O período da órbita velha, que é circular, srGM

TT

velha33

2

104,94

,

enquanto de acordo com a terceira lei de Kepler o período da nova, que é elíptica,

saGM

TT

nova33

2

105,74

, onde

2/)100,7106,9( 33 kmkma , a sendo o semi-eixo maior. Então o período da nova órbita é aproximadamente 20% menor do que o da velha. Mesmo o astronauta diminuindo sua velocidade no apogeu, ele leva menos tempo para completar a órbita. A razão disso vem do fato que o piloto cresceu sua velocidade no perigeu e encurtou a distância em torno da órbita.

Exemplo I. 5

Sabendo-se que o periélio de Mercúrio é m9109,45 e o afélio m9108,69 encontre a velocidade de Mercúrio no periélio e no afélio.

Solução:

17

Note que no afélio e periélio as velocidades são perpendiculares ao raio assim a norma do momentum angular de cada ponto é dado por pPrmv e aa rmv . Usando a conservação de momentum angular

aapP rmvrmv

Por conservação de energia mecânica

a

Sa

p

Sp r

mGMmvr

mGMmv 22

21

21

.

Substituindo a equação anterior nesta última, obtemos facilmente,

smv p /1091,5 4 e smva /1088,3 4 .

Exemplo I. 6 Um ‘meteoróide’ está inicialmente em repouso no espaço interplanetário a uma grande distância do Sol. Devido a influência da gravidade, ele começa a cair em direção ao Sol ao longo de uma linha radial. Com qual velocidade ele colide com o Sol?

Solução: A energia do ‘meteoróide’ é

.21 2 const

rmGMmvE S

Inicialmente U = 0 e K = 0, já que v = 0 e r . Assim em qualquer tempo depois

021 2

rmGMmvE S ou

rGMv S2

, no momento do impacto,

SRr , onde mRS81096,6 . Logo smv /1018,6 5 . Essa quantidade

é chamada velocidade de escape, caso o corpo estivesse sendo lançado do Sol.

Exemplo I. 7 Qual a energia potencial gravitacional de uma partícula na vizinhança da Terra?

Solução:

Sabemos que, r

mGMrU T)(

A mudança de energia potencial entre o ponto r e o ponto sobre a superfície da Terra é então

T

TTT R

mGMr

mGMRUrUU )()(

Se TRr e zRr T é a altura acima da superfície da Terra da partícula m

gmzzR

mGMUT

T 2 .

Essa é nossa velha expressão da energia potencial gravitacional de uma partícula de massa m a uma altura z da superfície da Terra. Note que esta aproximação que fizemos vale para TT RzRr .

Exemplo I. 8

18

Uma esfera tem massa M e raio R. Encontre a força gravitacional sobre uma partícula de massa m em um raio Rr .

Solução:

A massa contida na esfera de raio r é diretamente proporcional ao volume 3/4 3r . A massa total M é distribuída sobre o volume 3/4 3R . Assim

3

3

3

3

3/43/4)(

RMr

RrMrM

e rR

GmMr

rGmMF 32

)(

Note que a força cresce diretamente proporcional ao raio r, quando r = R a força para de crescer e começa a decrescer com 2/1 r .

Exercícios Propostos

Exercício I. 1 Um satélite de comunicações tem uma órbita circular equatorial ao redor da Terra. O período da órbita é exatamente um dia, pois o satélite sempre permanece numa posição fixa relativa a rotação da Terra. Qual deve ser o raio de tal órbita geoestacionária?

Resposta: mr 71023,4 Exercício I. 2

A massa 1m de uma das esferas pequenas da balança de Cavendish é igual a 0,0100

kg, a massa 2m de uma das esferas grandes é igual a 0,500 kg, e a distância entre o centro de massa da esfera pequena e o centro de massa da esfera grande é igual a 5 cm. Calcule a força gravitacional F sobre cada esfera produzida pela esfera mais próxima.

Resposta: use a expressão da força para achar duas forças de mesmo valor e de intensidade muito pequena.

Exercício I. 3 Suponha que uma esfera pequena e uma esfera grande sejam destacadas do dispositivo da balança de Cavendish, descrita no exercício acima, e colocadas a uma distância de 5 cm entre os centros das esferas, em um local do espaço muito afastado de outros corpos. Qual é a intensidade da aceleração de cada esfera em um referencial inercial?

Resposta: 28 /1033,1 sm e 101066,2

Exercício I. 4

r

F

R

19

Uma nave está sendo projetada para levar material até Marte que tem mRM

61040,3 e massa kgmM231042,6 . O veículo explorador que

deve pousar em Marte possui peso na Terra igual a N39200 . Calcule o peso e a aceleração desse veículo em Marte. (a) a uma altura de m6106 acima da superficie de Marte. (b) e sobre a superfície de Marte. Despreze os efeitos gravitacionais das Luas de Marte que são muito pequenas.

Resposta: (a) 1940 N e 0,48 2/ sm ; (b) 15000 N e 3,7 2/ sm

Exercício I. 5 (a) Um corpo de massa m é lançado verticalmente da Terra. Qual a velocidade

mínima necessária para atingir uma altura igual ao raio da Terra?

(b) Qual a velocidade de escape desse corpo?

Despreze a resistência do ar, a rotação da Terra e a atração da Lua.

mRT61038,6 e kgM T

241097,5 . Resposta: (a) hkm /28400 e (b) hkm /40200

Exercício I. 6 Três esferas estão localizadas nos vértices de um triângulo retângulo de 045 . Determine a norma e a direção da força gravitacional resultante sobre a esfera menor exercida pela ação das duas esferas maiores. Resposta: Força de 111017,1 N e 06,14 em relação ao eixo x.

Exercício I. 7 Pesquise para encontrar uma relação entre o peso aparente e o peso real de um corpo localizado na Terra.

Exercício I. 8 Pesquise para descrever a ideia fundamental do conceito de buraco negro com base nos princípios da mecânica de Newton.

Exercício I. 9 Pesquise e responda: Quando o centro de gravidade de um sistema de partículas coincide com seu centro de massa?

Exercício I. 10 Uma barra homogênea de comprimento L e massa M, fina (sem espessura), está a uma distância h de uma partícula de massa m, ambas as massas localizadas na horizontal. Calcule a força gravitacional exercida pela barra sobre a partícula.

Resposta:

i

LhhGMmF

)(.

Exercício I. 11

20

Duas partículas cada uma de massa M estão fixadas sobre o eixo y, em y = b e y = -b. Encontre o campo gravitacional em um ponto p sobre o eixo x, a uma distância x a direita de x = 0.

Resposta:

i

bx

GMxg2

322 )(

2.

Exercício I. 12 Um projétil é lançado verticalmente para cima da superfície da Terra com uma velocidade inicial de 15 km/s. Encontre a velocidade do projétil quando ele estiver ‘muito longe da Terra’, desprezando os efeitos do ar. Se ele tivesse inicialmente uma velocidade de 8 km/s, qual a atura máxima que ele atinge? Despreze novamente os efeitos do ar. Resposta: 10 km/s e 1,05 TR .

Exercício I. 13 Uma esfera sólida de raio R e massa M é simetricamente esférica, mas não uniforme. Sua densidade ρ é proporcional à distância do centro da esfera, para

Rr . Isto é, Cr para Rr e ρ = 0 para Rr , onde C é uma constante. (a) Encontre C. (b) Encontre o campo gravitacional para Rr . (c) Encontre o campo gravitacional em r = R/2. Resposta: (a) 4/ RMC , (b) 2/ rGMg , (c) 24/ RGM .

Exercício I. 14 Pesquise sobre o fenômeno das marés em gravitação.