UMA TRAJETÓRIA DE ENSINO E APRENDIZAGEM EM AULAS DE MATEMÁTICA DO 6º ANO1 DO ENSINO FUNDAMENTAL

Autora: Katia Nascimento de Jesus2

Orientadora: Profª. Drª. Regina Luzia Corio de Buriasco3

Resumo

Este artigo apresenta o relato da aplicação de uma proposta de ensino e aprendizagem utilizando como abordagem metodológica a Resolução de Problemas. A proposta foi realizada com base em uma Trajetória de Ensino e Aprendizagem na Perspectiva da Educação Matemática Realística, em uma turma do 6º ano do Ensino Fundamental da Rede Pública. Na Trajetória de Ensino e Aprendizagem foram detalhados os objetivos da tarefa, as possibilidades de resoluções dos alunos, o plano de aula do professor, bem como as estratégias e atitudes do professor para atingir os objetivos da proposta.

Palavras-chave: Educação Matemática; Educação Matemática Realística; Resolução de Problemas; Trajetória de Ensino e Aprendizagem.

1 INTRODUÇÃO

Por vários anos trabalhando com quintas séries do Ensino Fundamental

observei que muitos dos os alunos apresentam certa dificuldade na disciplina de

matemática. As notas do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (IDEB)

apresentadas pelo Ministério da Educação e Cultura (MEC) mostram um pequeno

avanço na média nacional na disciplina de matemática no ensino básico, embora

ainda não satisfatoriamente significativo, o que motiva a busca por formas

alternativas de intervenções na escola para uma possível “melhoria” do ensino.

A complexidade da sociedade contemporânea impõe à escola desafios,

entre eles, a formação de indivíduos críticos, capazes de exercer sua cidadania e de

apropriar-se com qualidade de conhecimentos matemáticos que sejam úteis em

suas vidas. Cabe ao professor proporcionar ao aluno estratégias de ensino que vão

1 Antiga 5ª série.

2 Docente da Rede Estadual de Educação do Paraná.

3 Docente da Universidade Estadual de Londrina – Paraná.

2

ao encontro de suas necessidades.

Neste sentido, pretende-se com esta proposta trabalhar conceitos de

matemática por meio da Resolução de Problemas, de modo a proporcionar que os

alunos trabalhem de forma mais significativa com o conteúdo nas aulas de

matemática.

Apresentaremos neste artigo o relato da aplicação de uma Trajetória

Hipotética da Aprendizagem - THA (SIMON,1995), na perspectiva da Educação

Matemática Realística, por meio da qual os conhecimentos podem ser

“reinventados”, sob a orientação do professor.

2 Alguns Pressupostos

2.1 Educação Matemática Realística

Teve início no final dos anos 60 e começo dos anos 70, no século XX, nos

países baixos, com a iniciativa de professores e pesquisadores que propunham uma

reforma do currículo inspirada principalmente pelas ideias e contribuições de Hans

Freudenthal4. Ele afirmava que a matemática deve ser conectada com a realidade,

estar perto dos alunos, ser relevante para a sociedade, a fim de ser de valor humano

(VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, 1996). Argumentava também, que se os alunos

aprendem matemática de uma forma isolada, divorciada de suas experiências, ela

será rapidamente esquecida e eles não serão capazes de aplicá-la.

Freudenthal (1973) argumentava que os alunos conseguem “reinventar” a Matemática por meio da matematização, embora ele também reconhecesse que os alunos não conseguem simplesmente “reinventar” a Matemática que levou milhões de anos a matemáticos brilhantes a inventarem. Por isso, ele propõe a reinvenção guiada. Os professores têm de ajudar os alunos no processo, enquanto tentam garantir que os alunos experienciem a aprendizagem da Matemática como processo de invenção por eles próprios

4 Hans Freudenthal (1905-1990), um matemático e educador de origem alemã, desenvolveu sua

carreira acadêmica e sua filosofia de ensino para as Matemáticas, preconizou a Educação Matemática Realística (RME), uma teoria de ensino e aprendizagem iniciada por educadores holandeses, juntamente com Freudenthal.

3

(FREUDENTHAL, 1973 apud GRAVEMEIJER, 2005, p. 10, tradução nossa).

Na perspectiva da Educação Matemática Realística os educadores buscam

traçar um caminho de forma que os alunos desenvolvam seus próprios métodos, de

acordo com os conhecimentos que possuem.

Segundo Freudenthal (1971, p. 413-414 apud GRAVEMEIJER; TERWEL,

2000, p. 781) a matemática é vista como atividade humana,

uma atividade de resolução de problemas, de procura por problemas, mas é também uma atividade de organização de um assunto. Pode ser um assunto da realidade o qual tem que ser organizado de acordo com modelos matemáticos se os problemas da realidade têm que ser resolvidos. Também pode ser um assunto matemático, resultados novos ou antigos, de seus próprios ou de outros, que tem que ser organizados de acordo com novas ideias, para ser mais bem entendido, em um contexto mais amplo, ou por uma abordagem axiomática (FREUDENTHAL, 1971, p 413-414 apud GRAVEMEIJER; TERWEL, 2000, p. 781, tradução nossa).

Freudenthal considerava a matemática não como o corpo do conhecimento

matemático, mas como uma atividade de organizar “matematicamente” a “realidade”,

o que chamou de “matematização” (VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, 2005). Na

matematização, na visão de Freudenthal (1991), o estudante não tem escolha a não

ser “reinventar” matemática sob orientação apropriada, pode começar como “uma

criança”, iniciar suas estratégias da experiência mais elementar e administrar mais e

mais estruturas complexas com o “crescer” de suas habilidades.

A Matematização pode ser tomada como o fazer matemática, que pode ser

entendido como a utilização das capacidades de natureza prática de contar, medir,

comparar e outras, por meio das quais o aluno encara as necessidades que surgem

no seu dia-a-dia, ações que lhes permite utilizar e selecionar informações, tomar

decisões, relacionar o conhecimento já consolidado com os novos.

2.2 A respeito da Trajetória Hipotética de Aprendizagem

O professor, na perspectiva da Educação Matemática Realística, exerce o

papel de um guia, ao conduzir o aluno em suas tentativas de resolução. Para que

isto ocorra, o professor terá que levantar várias hipóteses a respeito das estratégias

didáticas que serão desenvolvidas e praticadas.

Simon (1995 apud PIRES, 2009) defende a ideia de que os objetivos da

4

aprendizagem, as atividades de aprendizagem e o conhecimento dos estudantes

que estarão envolvidos no processo de aprendizagem são elementos importantes na

construção de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem – parte-chave do que ele

denomina Ciclo de Ensino de Matemática.

Simon (1995 apud PIRES, 2009) enfatiza que o conhecimento do professor

serve como um mapa que traduz como ele se empenha na construção da

compreensão dos alunos e identifica o potencial de aprendizagem. Simon (1995,

apud PIRES, 2009) ainda refere-se às hipóteses sobre o conhecimento dos alunos

para enfatizar que não temos acesso direto ao conhecimento deles

[...] minha concepção do conhecimento matemático dos alunos está estrutura pelo meu conhecimento da Matemática em questão. Convenientemente, o que observei no gosto pelo pensamento matemático dos alunos e meu entendimento das idéias matemáticas envolveram interconexões. Estes dois fatos são interessantes na esfera do ensino do professor (SIMON, 1995, apud PIRES, 2009, p. 155).

A figura a seguir, mostra um esquema a respeito de como ocorre uma

Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA) que consiste de objetivos para a

aprendizagem dos alunos, de tarefas matemáticas que serão usadas para promover

a aprendizagem dos alunos e, do levantamento de hipóteses sobre o processo de

aprendizagem dos alunos, segundo Simon (1995 apud PIRES 2009, p. 156).

Figura 1 – Ciclo de ensino de matemática abreviado (SIMON, 1995 apud PIRES 2009, p. 156).

Fonte: Pires (2009, p. 156)

O diagrama da Figura-1 mostra que a THA sugere uma aprendizagem que

5

pode ser reconstruída no transcorrer das aulas conforme o desenvolvimento da

intervenção.

2.3 A respeito de Resolução de Problemas e Investigação Matemática

A Resolução de Problemas, há décadas é indicada como uma estratégia

metodológica que pode contribuir para o ensino e a aprendizagem, pois pode

proporcionar um ambiente favorável ao aluno para que se envolva com a situação e

estabeleça relações, organize estratégias que possam levá-lo a desenvolver um

pensamento matemático, produzir conhecimento. Segundo os Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN) (BRASIL, 1998, p. 40) a Resolução de Problemas

“possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para

gerenciar as informações que estão ao seu alcance”.

A Resolução de Problemas e a Investigação Matemática se apresentam

como estratégias metodológicas que podem contribuir na elaboração e aplicação de

conceitos matemáticos em situações do cotidiano do aluno.

Para Allevato e Onuchic (2008, p. 3) um dos desafios do Ensino da

Matemática é a Resolução de Problemas. Educadores (POLYA, 1994; ALLEVATO;

ONUCHIC, 2008) enfatizam a importância desta estratégia como ponto de partida da

atividade matemática. O conhecimento matemático torna-se significativo, quando os

alunos são colocados em situações desafiadoras, nas quais possam desenvolver a

capacidade de interpretar informações, utilizá-las na resolução de problemas e

ampliar seus conhecimentos relativos aos procedimentos matemáticos

desenvolvidos.

As práticas metodológicas para a resolução de problemas

[...] torna as aulas mais dinâmicas e não restringe o ensino de Matemática a modelos clássicos. A resolução de problemas possibilita compreender os argumentos matemáticos e ajuda a vê-los como um conhecimento passível de ser apreendido pelos sujeitos do processo de ensino e aprendizagem (PARANÁ, 2008, p. 63).

Compete ao professor oportunizar ao aluno um espaço em que possa

pensar e discutir a respeito de variadas formas de resolver o problema proposto e

das possíveis soluções. Ao aluno compete: compreender o problema; identificar

6

informações; levantar hipóteses; elaborar uma estratégia; executar os procedimentos

relacionados à estratégia escolhida; registrar a solução encontrada; conferir

resultados; estabelecer nova estratégia, se necessário, até chegar a uma solução

aceitável.

A partir das soluções apresentadas e estratégias desenvolvidas o professor

pode traçar caminhos para chegar ao que planejou.

A Resolução de Problemas na aprendizagem de Matemática também se

apoia nos estudos desenvolvidos pelo NCTM (National Council of Teachers of

Mathematics), que culminaram com a publicação dos Standards 2000 - Princípios e

Padrões para a Matemática Escolar (NCTM, 2000). A Resolução de Problemas é

destacada como um dos padrões de processo para o ensino de Matemática, e o

ensino por meio da Resolução de Problemas é fortemente recomendado

(ONUCHIC; ALLEVATO, 2005).

Muitas diferenças podem ser percebidas entre uma aula tradicional e uma

aula na perspectiva da Resolução de Problemas. A seguir apresentamos um

esquema comparando características das duas, segundo (BURIASCO, 1995, p. 1).

Esquema de aula na Tendência Tradicional

Esquema de aula na Tendência da Resolução de Problemas

1) O professor explica a matéria (teoria). 1) O professor apresenta um problema – escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).

2) O professor mostra exemplos. 2) Os alunos tentam resolver o problema com o conhecimento que têm.

3) O professor propõe “exercícios” semelhantes aos exemplos dados para que os alunos os resolvam.

3) O professor propõe “exercícios” semelhantes aos exemplos dados para que os alunos os resolvam.

4) O professor (ou um aluno) resolve no quadro de giz os exercícios.

4) Resolvido o problema, os alunos discutem sua solução, se necessário, com a ajuda do professor. Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do problema, inclusive os do conteúdo necessário.

5) O professor propõe aos alunos outros “exercícios” já não tão semelhantes aos exemplos que ele resolveu.

5) O professor apresenta outro problema – escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).

6) O professor (ou um aluno) resolve os exercícios no quadro.

7) O professor propõe “problemas”, se for o caso, ou mais “exercícios”.

8) Correção dos “problemas” ou e dos “exercícios”.

9) O professor começa outro assunto. Quadro 1 – Esquema de Aula na Tendência Tradicional e na Tendência da Resolução de Problemas.

Fonte: BURIASCO (1995)

7

De acordo com Butts (1997, p. 48) “estudar matemática é resolver

problemas. Consequentemente, cabe aos professores de matemática em todos os

níveis, ensinar a arte de resolver problemas. O primeiro passo é formular o problema

adequadamente”. O problema pode ser o ponto de partida para verificar os

conteúdos já trabalhados e criar um ambiente adequado e motivador para a

aprendizagem do aluno.

Segundo Van de Walle (2001 apud ALLEVATO; ONUCHIC 2008, p. 6),

professores de matemática devem envolver, em seu trabalho, quatro componentes

básicos:

1.a valorização da disciplina Matemática em si mesma – o que significa ‘fazer matemática’; 2.a compreensão de como os estudantes aprende e constrói idéias; 3.a habilidade em planejar e selecionar tarefas de modo que os estudantes aprendam matemática num ambiente de resolução de problemas; 4.a habilidade em integrar a avaliação ao processo para aumentar a aprendizagem e aprimorar, no dia-a-dia, o ensino.

No que diz respeito aos contextos dos problemas, segundo Van Den Heuvel-

Panhuizen (2005), podem referir-se à vida do dia-a-dia, a situações fantasiosas e ao

próprio contexto matemático, para que o conteúdo torne-se significativos para o

aluno e seja possível a matematização. Segundo a autora há três tipos de contextos

que podem oferecer oportunidades de matematização:

primeira ordem que envolve a tradução do problema;

segunda ordem requer dos estudantes manejarem diferentes

representações de acordo com a situação específica;

terceira ordem envolvam contextos que permitam aos alunos

descobrirem novos conceitos matemáticos.

Com a Resolução de Problemas acreditamos que o conhecimento

matemático pode tornar-se significativo se os alunos forem colocados em situações

desafiadoras, que possibilitem gerar estratégias próprias de resolução, envolver

conhecimentos que já possuem e desenvolver capacidade de retirar ou criar

informações para utilizá-la, aumentar seus conceitos relativos aos procedimentos

matemáticos.

Segundo Fonseca, Brunheira e Ponte (1999, p. 4) uma investigação

matemática “é uma viagem ao desconhecido” em que o objetivo é explorar todos os

caminhos interessantes que surgem a partir de uma dada situação. A Investigação

Matemática pode ser utilizada como abordagem que pode permitir um trabalho na

perspectiva da Educação Matemática Realística (EMR). Estudos confirmam que o

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envolvimento do aluno é favorável à sua aprendizagem quando ele é o protagonista

nessa construção. Faz-se necessário proporcionar ambiente colaborativo que

possibilite atingir os objetivos propostos pelo professor.

Ainda segundo as DCE (PARANÁ, 2008, p. 67) uma investigação é:

um problema em aberto e, por isso, as coisas acontecem de forma diferente do que na resolução de problema e exercícios. O objeto a ser investigado não é explicitado pelo professor, porém o método de investigação deverá ser indicado através, por exemplo, de uma introdução oral de maneira que o aluno compreenda o significado de investigar. Assim uma mesma situação apresentada poderá ter objetos de investigação distintos por diferentes grupos de alunos. E mais, se os grupos partirem de pontos de investigação diferentes, com certeza obterão resultados também diferentes (PARANÁ, 2008, p. 67).

Trabalhando-se com alunos em aulas na perspectiva de investigação cabe

ao professor questionar-se a respeito de sua prática, e da maneira por meio da qual

deseja formar seus alunos. De acordo com Allevato e Onuchic (2008, p. 10) o

professor pode perceber o crescimento matemático dos alunos se puder “avaliar a

compreensão dos alunos e saber se eles se apossaram dos conceitos importantes

envolvidos no problema por meio de questionamentos levantados”.

As aulas de investigação apresentam-se como estratégias metodológicas

para promoção da aprendizagem, procurando valorizar e compreender as

resoluções apresentadas pelos alunos. De acordo com D’Ambrosio (1993, p. 38),

nas tarefas de investigação

[...] o professor terá que ter uma flexibilidade ao determinar o conteúdo a ser tratado. Em vez de resolver muitos problemas, os alunos investigarão a fundo poucos problemas e passaram bastante tempo analisando um único problema [...] o ambiente deve incentivar o uso de recursos como livros, material manipulativo, calculador a se investigação do problema.

Segundo as DCE (Diretrizes Curriculares Estaduais) (PARANA, p. 67) “[...] a

prática pedagógica de investigação matemática tem sido recomendada por diversos

estudiosos como forma de contribuir para uma melhor compreensão da disciplina”.

Por meio desta prática, pode-se propiciar aos alunos um envolvimento nas

atividades matemática, nas quais eles podem assumir um papel participativo,

desenvolvendo a capacidade de comunicação e reflexão.

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p. 10) “as investigações

matemáticas envolvem, naturalmente, conceitos, procedimentos e representações

matemáticas, mas o que mais fortemente as caracteriza é este estilo de conjectura-

teste-demonstração”. Por se tratar de uma situação aberta, o aluno poderá ter

oportunidade de definir objetivos, direcionar experiências que poderá desencadear o

9

desenvolvimento de várias estratégias, testagem e, por meio disso, chegar a

conclusões significativas e próprias. Além disso, nesse tipo de situação é

recomendável o compartilhamento das soluções obtidas com os colegas.

3 A respeito do trabalho

O presente artigo integra a conclusão do estudo do PDE/2010 (Programa de

Desenvolvimento Educacional) apresentando o relato de uma proposta de

intervenção no trabalho pedagógico realizado por meio de uma Trajetória Hipotética

da Aprendizagem com tarefas propostas para um 6º ano (antiga 5ª série) do Ensino

Fundamental. A proposta dessa intervenção teve como objetivos o desenvolvimento

da autonomia na resolução de problemas, a produção de conhecimento, a interação

com os colegas no intuito de discutir as estratégias elaboradas para a resolução das

tarefas.

4 Relato da Implementação na Escola

Conforme relato no plano de ação a implementação foi preparada para ser

realizada na um 6º ano (antiga 5ª série) do Ensino Fundamental. Comecei o trabalho

com os alunos esclarecendo a respeito da minha participação no PDE e a

importância dos resultados que seriam apresentados por eles para o estudo que

estava sendo realizado em parceria com a Universidade Estadual de Londrina, que o

resultado das aulas seria de primordial importância para a melhoria do ensino e

aprendizagem.

Iniciei discutindo o Contrato de Trabalho e argumentando que as regras a

serem seguidas pela turma e pela professora seriam discutidas naquele momento.

Os alunos opinaram, foi o momento mais tumultuado, algumas sugestões não foram

aceitas por todos, mas conseguimos chegar a um acordo. Ficou definido que a forma

de avaliação seria por meio de relatório. Ficou definido também que o trabalho seria

realizado na sexta-feira pois era o dia em que tínhamos aulas geminadas, o que

facilita a forma de trabalhar pelo fato de ter mais tempo para discutir as ideias

apresentadas pelos alunos.

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A implementação foi dividida em três etapas que serão descritas conforme a ordem

cronológica de desenvolvimento.

1ª Etapa

No primeiro dia formamos as duplas. Antes de entregar a tarefa para motivar

os alunos fomos para sala de informática para pesquisar sobre como fazer um o

relatório que será apresentado pelas duplas no final do trabalho. A tarefa consistiu

em responder no caderno as seguintes perguntas:

- O que é um relatório?

- Como descrever um relato de um trabalho?

Terminada a pesquisa, foi entregue uma folha contendo impressa a tarefa a ser

realizada pelas duplas.

Tarefa:

Observe as informações:

Quanto custa a camiseta? Justifique sua resposta. Quanto custa o copo de suco? Justifique sua resposta.

Após a leitura, uma dupla perguntou:

Aluno: o que significa a palavra justificar?

Pedi para quem tivesse um dicionário na bolsa pesquisasse a palavra.

Professora: já encontraram?

Aluno: sim.

Professora: quem gostaria de ler?

Um aluno se prontificou a ler para sala.

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Aluno: justificar, provar em juízo; demonstrar; legitimar; tornar justo; provar;

fundamentar; dar razão a.

Professora: o que isso quer dizer para nossa resolução do problema?

Aluno: provar que a resposta encontrada responde o que se pede.

Esclarecida as dúvidas voltamos ao problema.

Algumas duplas questionaram a professora de como iriam fazer essa tarefa,

pelo fato de que estão acostumados com problemas tradicionais em que se define

rápido que tipo de cálculo utilizar.

Aluno: professora como vou resolver, que conta devo fazer?

Para esclarecer melhor li com os alunos, e expliquei que o problema

apresenta duas situações e que o resultado terá que satisfazer as duas situações.

Aluno: professora mais como vou fazer não tenho ideia do que devo fazer?

Pensei muito no que responder, e então, resolvi fazer uma comparação um

pouco estranha, mas arrisquei.

Professora: quando uma criança começa a andar ela vai tentando um dia ela

levanta e cai no outro ela tenta novamente da dois a três passos e cai novamente

até que um dia ela sai andando e até corre. Não quero que responda em voz alta só

pense. Como vou resolver este problema?

Continuei a andar na sala e observei que algumas duplas entenderam a

mensagem e foram resolvendo por tentativa.

Algumas perguntas foram feitas:

Aluno: os valores são diferentes para cada situação?

Professora: isso é muito interessante, pois tenho que achar um valor que sirva para

as duas questões.

Professora: Pense na seguinte situação em que você é que tem de comprar o suco

e a camiseta como resolveria a questão?

Em alguns momentos tive que incentivar os alunos a contribuírem e que não

tivessem vergonha de expor as suas ideias e que toda contribuição, estando certa

ou errada, ajudaria a resolvermos as questões.

Depois de certo tempo, fiquei muito surpresa, pois algumas duplas

apresentaram as primeiras respostas, que por tentativa, a maioria respondeu certo.

Pedi para deixarem registrados os cálculos, mas algumas duplas já haviam

apagado, deixando assim a resposta que achavam que estava correta.

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Após todas as duplas terminarem, pedi que apresentassem os cálculos no

quadro.

A primeira dupla:

Dupla A:

A dupla relatou que seu cálculo foi feito por tentativa e que com o valor de

cinco reais cada copo, subtraíram dez reais de quarenta (pois era o valor de dois

copos), teve como resultado trinta reais, como eram duas camisetas só restava

dividir por dois.

Dupla B:

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Essa dupla foi ao quadro e apresentou a resposta, mas após recolher o

trabalho escrito verifiquei que os mesmos chegaram ao resultado com um

procedimento totalmente diferente. Perguntei qual foi o raciocínio.

Aluno: primeiro fiz uma conta de dividir, mas é claro que a camiseta é mais

cara que o suco, depois dividi trinta por quatro o que deu o resultado “sete e

cinquenta” ai o meu colega falou que podia somar “sete e cinquenta” mais “sete e

cinquenta” que deu “quinze” ai resolvi colocar “quinze”, o valor da camiseta, ai deu

certo para as duas perguntas e ficou fácil descobrir o valor do suco que é cinco.

Professora: onde está esse cálculo na folha?

Aluno: Fizemos de cabeça.

Dupla C

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As outras resoluções apresentavam os mesmos raciocínios.

Terminei essa primeira etapa utilizando quatros aulas.

2ª Etapa

Após duas semanas, avisei com antecedência que na sexta-feira seguinte

retornaríamos com o nosso trabalho.

Ao chegar na sala os alunos já estavam sentados em duplas, entreguei outra

folha com a situação problema logo um aluno perguntou.

Aluno: está em branco onde está a folha da última aula.

Professora: não se preocupem, está guardada, pois agora vamos resolver de

maneira diferente. Vamos ler a situação problema para relembrarmos.

Um aluno pediu para ler, aos colegas e expliquei;

Professora: cada dupla vai escolher um símbolo para representar a camiseta e

outra para representar o suco.

Aluno: pode ser qualquer símbolo.

Professora: sim pode ser letras desenhos, não pode ser números porque na hora

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do cálculo pode causar certa confusão.

Aluno: vai dar o mesmo resultado professora?

Professora: vamos fazer para verificar? Será que usar símbolos vai mudar o

resultado?

Andei pela sala para observar como estava sendo resolvido o problema.

Observei que em uma dupla, um dos alunos não queria participar e perguntei.

Professora: o que aconteceu? Não está entendendo?

Aluno: Eu já reprovei para que responder?

Professora: só quando o resultado final sair é que terá certeza que

reprovou. Vamos ajude seu colega a resolver.

Algumas duplas apresentaram sua resolução no quadro.

Dupla D

A dupla utilizou o desenho e letras para resolver, não apresentou o cálculo.

Dupla E

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Essa dupla também resolveu com letras e desenhos. A ausência de cálculos

foi porque já sabiam a resposta.

Dupla F

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A dupla resolveu por tentativa até que encontrou o número que satisfez as

duas situações e a conta de “quarenta menos quinze” e “trinta menos quinze” era

para confirmar o valor da camiseta.

Dupla G

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Podemos observar que a dupla também substituiu o cálculo anterior por

letra.

Professora: vamos resolver juntos e escolher uma letra para representar camisa e

outra para representar o suco. Foram escolhidas as seguintes letras.

Ca para camisa e Su para suco.

Professora: vamos substituir na primeira sentença as letras:

Ca + Ca + Su + Su = 40

E na segunda sentença também substituir as letras.

Ca + Su + Su + Su = 30

Professora: Podemos somar as duas letras iguais?

Aluno: mas como professora?

Professora: somando o que é igual, vamos armar a conta:

Ca+Ca+Su+Su =40

+

Ca+Su+Su+Su=30

Professora: quantos Ca temos na adição e Su ?

Alunos: 3 Ca e 5Su.

Professora: qual é a soma de quarenta mais trinta?

Alunos: setenta professora.

Professora: como fica o resultado.

Alunos:

3Ca + 5Su = 70

19

Professora: vamos escolher um valor para a camiseta, não vale o que sabemos que

é certo.

Aluno: a camiseta custa 12 reais.

Professora: vamos substituir o valor no Ca.

3(12) + 5Su= 70

Professora: quanto é três vezes doze.

Alunos: trinta e seis.

Professora: para sabermos se realmente o valor de doze serve teremos que obter

uma igualdade, ou seja;

70 =70,

vamos pensar que número multiplicado por 5 e somado com 36 resulta setenta,

pense!

Aluno: não tenho ideia.

Professora: podemos descobrir a resposta realizando uma subtração

70 – 36 = 34, quer dizer que faltam trinta e quatro números para chegarmos ao

setenta. E que número multiplicado por cinco dá trinta e quatro?

Aluno: na tabuada do cinco não tem trinta e quatro.

Professora: alguém pode responder?

Aluno: porque só tem números com finais cinco e zero.

Professora: isso mesmo, então vamos ver quais números são múltiplos de cinco.

Alunos: {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}

Professora: então formamos o conjunto dos múltiplos de cinco. Então o trinta e

quatro serve?

Alunos: não, professora vamos tentar o 15 que é a resposta que encontramos.

Fizemos o cálculo:

3Ca + Su = 70

3(15) +5Su = 70

45 +5Su =70

Professora: como fizemos na outra conta, vamos subtrair;

70 – 45 = 25

Podemos observar que “vinte cinco” faz parte do conjunto dos múltiplos de cinco.

E que número multiplicado por cinco tem como resultado vinte cinco?

Alunos: é o cinco

Professora: vamos fazer

20

45 + 5(5) =70

45 + 25 =70

70 = 70

Agora vamos substituir;

Na primeira informação;

Ca +Ca +Su + Su=40

15 +15+5 +5= 40

40 =40 ( na primeira informação se confirmou).

Na segunda informação;

Ca + Su +Su +Su = 30

15 + 5+ 5+ 5=30

30 = 30 ( na segunda a informação se confirmou).

Como fica a resposta?

R- A camiseta custa 15 reais e o suco 5 reais.

Professora: Houve alguma diferença no resultado na troca por letras.

Alunos: não continuou a mesma, mas a forma de as contas que é diferente.

3ª Etapa

Como a segunda etapa foi mais demorada, pois houve várias indagações

dos alunos a respeito do porque usar letra, muitos sentiram dificuldades em aceitar

essa nova proposta, outros o porquê trabalhar com letras. Diante disso resolvi iniciar

essa etapa falando sobre.

Cheguei na sala, as duplas estavam formadas, pedi que pesquisassem no

dicionário o significa a palavra algébrico. Logo um achou e leu.

Aluno: algébrico, relativo à álgebra, que se resolve por álgebra.

Professora: alguém pode explicar o que ele leu.

Houve um silêncio, pois não sabiam o que é álgebra.

Professora: Vamos pesquisar a palavra álgebra.

Aluno: parte da matemática que generaliza os problemas aritméticos, analisando de

um ponto de vista geral as soluções possíveis.

Assim fomos pesquisando as palavras desconhecidas como generaliza que

foi substituído por generalizar, aritmética e outras, em certo momento um aluno

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comentou.

Aluno: nunca usamos dicionário na aula de matemática.

Professora: erro meu e de muitos colegas que não trabalham dessa forma porque

matemática envolve interpretar as situações problema e não só “continha” como

vocês falam. Álgebra envolve operações com letras, que usamos para representar

valores desconhecidos.

Aluno: foi o que fizemos no trabalho da aula passada.

Professora: isso mesmo, mas agora vamos relembrar que faltou fazer um relatório

sobre o trabalho que fizemos. No primeiro dia fomos ao laboratório de informática e

pesquisamos o que é um relatório e as partes que compõem o mesmo. Vou entregar

uma folha e vocês vão relatar o que fizemos no trabalho.

Andei pela sala observei as dificuldades que os alunos têm em escrever ou seja

relatar sobre o trabalho desenvolvido. A todo momento falavam:

Aluno: sei lá como consegui fazer isso?

Professora: Lembre-se que foi dividido em três etapas, que lemos juntos e que

temos que encontrar o valor da camisa e do suco é só descrever o que se passou.

Parei de falar, pois já estava induzindo os alunos praticamente.

Os relatórios não saíram do modo como eu esperava, mas foi válido pois foi

uma forma de começar incentivar o aluno a se expressar por meio da escrita, que

muitas vezes é deixada de lado principalmente pela matemática.

Dupla A

22

Dupla B

Dupla C

23

Observei que as duplas apresentavam grande dificuldade de escrever, mas

como esse é apenas o primeiro trabalho realizado os deixei mais livres.

Considerações Finais

A reflexão a respeito das dificuldades que, nós educadores, nos deparamos

a cada ano que passa relativos às dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos

nossos alunos, faz com que procuremos metodologias alternativas que amenizem

essas dificuldades.

Sabemos que os desafios são muitos, mas com o intuito de aprender a partir

das falhas e buscar formas de superá-las é que este trabalho de implementação foi

realizado com uma turma de 6º ano (5ª série) do Ensino Fundamental, por meio de

uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA) na perspectiva da Educação

Realística. O envolvimento dos alunos em princípio não foi na sua totalidade, pois

mostraram-se inseguros para resolver as tarefas sem o auxílio da professora, mas

com o transcorrer do processo os alunos foram adquirindo confiança em expor suas

ideias e aceitar que o erro não é uma sentença final e pode fazer parte da

construção do conhecimento.

A Trajetória Hipotética da Aprendizagem (THA) realizada nos mostrou que é

possível mudar a prática tradicional que utilizamos, com a qual, com frequência,

subestimamos a capacidade dos alunos, ao simplesmente explicarmos o conteúdo a

ser trabalhado, conduzindo os alunos a resolverem mecanicamente uma sequência

de exercícios semelhantes e apenas tiramos algumas das dúvidas que podem surgir.

Concluímos que em um trabalho com THA o professor tem que ter um

planejamento flexível, terá que planejar várias situações nas quais o aluno possa se

envolver para resolver a tarefa proposta, sendo o professor um mediador que

direciona o aluno nas suas tentativas de chegar a um resultado, com perguntas que

façam o aluno estimular seu raciocínio de modo que adquira confiança. Ficou

evidente que ao analisarmos os procedimentos utilizados pelos alunos tornou-se

mais fácil detectar algumas lacunas de aprendizagem. Dessa maneira, o professor

tem subsídios para traçar novas formas de ensinar e explorar conteúdos que no

momento se faz necessário para a aprendizagem.

Após a aplicação dessa proposta os alunos de uma maneira geral tornaram-

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se mais questionadores e passaram a expressar publicamente suas conclusões e

observações sem constrangimentos. O universo de exemplos pôde ser ampliado e

testado pelos próprios alunos. Esta experiência proporcionou-me trabalhar de forma

mais significativa sempre a partir das respostas fornecidas pelos alunos.

REFERÊNCIAS

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