uma proposta para o ensino de função afim utilizando aplicativos de
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ
COLEGIADO DE MATEMÁTICA
CURSO DE LICECIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
ROBERTO DE JESUS VEGA SACASA
EDNALVA ALVES BANDEIRA
TECNOLOGIA À SERVIÇO DA EDUCAÇÃO:
UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE FUNÇÃO AFIM UTILIZANDO
APLICATIVOS DE DISPOSITIVOS MÓVEIS (apps)
MACAPÁ
2015
ROBERTO DE JESUS VEGA SACASA
EDNALVA ALVES BANDEIRA
TECNOLOGIA À SERVIÇO DA EDUCAÇÃO:
UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE FUNÇÃO AFIM UTILIZANDO
APLICATIVOS DE DISPOSITIVOS MÓVEIS (apps)
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
ao Colegiado de Matemática como requisito
para obtenção do título de Licenciatura Plena
em Matemática, sob a orientação da Professora
Dra. Simone de Almeida Delphim.
MACAPÁ
2015
ROBERTO DE JESUS VEGA SACASA
EDNALVA ALVES BANDEIRA
TECNOLOGIA À SERVIÇO DA EDUCAÇÃO:
UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE FUNÇÃO AFIM UTILIZANDO
APLICATIVOS DE DISPOSITIVOS MÓVEIS (apps)
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do Título
de Licenciatura Plena em Matemática, pela Universidade Federal do Amapá, Campus Marco
Zero, aprovado pela Comissão de professores:
Profa. Dra. Simone de Almeida Delphim (Orientadora)
Colegiado de Matemática, UNIFAP
Profº. Steve Araújo
Colegiado de Matemática, UNIFAP
Profº. Sergio Miranda
Colegiado de Matemática, UNIFAP
Avaliado em:___ /___ /___
Nota: ______
MACAPÁ
2015
AGRADECIMENTOS
Os mais sinceros agradecimentos (em ordem decrescente): A Deus, em primeiro lugar,
por todas as boas energias emanadas para a finalização deste projeto, as nossas famílias,
seguidamente aos professores do curso de matemática – EAD da Universidade Federal do
Amapá (UNIFAP), principalmente à coordenadora do curso Profa. Dra. Simone Delphim, pelo
apoio, orientação e paciência em diversos momentos desta caminhada, à coordenadora de
tutoria Profa. Esp. Cláudia Dias, e, ainda a Profª Priscila Silva por todas as demonstrações de
compreensão, simpatia e dedicação na resolução de diferentes situações problemas que
apareceram no percurso. Também merece um reconhecimento de destaque o Prof. Adilson
Souza, tutor presencial permanente de muitas disciplinas, sempre pronto para ajudar e
contribuir com a formação e capacitação da turma.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Domínio e Imagem de uma função........................................................................ 7 Figura 2. Exemplificação da definição de função ................................................................ 7
Figura 3. Gráfico de uma função com o aplicativo GRAPH ............................................... 9
Figura 4. Gráfico da função afim, com o aplicativo GRAPH .............................................. 12
Figura 5. Gráfico da função afim baxxf )( para diferentes valores de a usando o
aplicativo GRAPHER ..........................................................................................................
12
Figura 6. Representação geométrica do coeficiente angular e linear de uma reta ............... 13
Figura 7. Tela de apresentação do aplicativo função de gráfico plotter. (a) janela
principal de menu com todas as opções; (b) detalhe da tela para inserir o tipo de função ...
17
Figura 8. Continuação dos recursos de apresentação do aplicativo do aplicativo função de
gráfico plotter. (a) detalhe da janela de menu de plotagem; (b) família de gráficos gerado
pelo aplicativo ......................................................................................................................
18
Figura 9. Tela de apresentação do MathAlly. (a) janela inicial para inserir os dados das
funções; (b) janela de saída gráfica ......................................................................................
19
Figura 10. Telas de apresentação do Grapher. (a) janela do editor de equações; (b) janela
do (s) gráfico(s) ....................................................................................................................
20
Figura 11. Telas de apresentação do Quick graph: (a) janela de edição de equações e (b)
Tabela de valores de funções ...............................................................................................
21
Figura 12. Telas de apresentação do Quick graph com: (a) janela de saídas gráficas em
2D e (b) em 3D .....................................................................................................................
22 Figura 13. Telas de apresentação do aplicativo Free Graphing Calculator. (a) janela
destinada aos cálculos e teclas de comandos; (b) janela dos gráficos .................................
23
Figura 14. Telas da calculadora gráfica Desmos. (a) janela apresentando o gráfico de
funções com o controle dos coeficientes; (b) Situação análoga à anterior usando o recurso
de imagen (foto) para modelagem ........................................................................................
24
Figura 15. Apresentação do Grapher.(a) janela de cálculo;(b) janela gráfica; (c) janela de
edição e resultados ...............................................................................................................
25
Figura 16. Telas de apresentação do Graph Touch. (a) janela de entrada de cálculo; (b)
janela gráfica; (c) janela de edição das equações das funções ............................................
26
Figura 17. Telas de apresentação do Calculadora Grapher. (a) janela de entrada de
cálculo; (b) janela gráfica .....................................................................................................
27
LISTA DE TABELAS
Tabela 1. Relação dos aplicativos da plataforma Android .......................................................29
Tabela 1. Relação dos aplicativos da plataforma iOS ..............................................................30
Tabela 1. Relação dos aplicativos da plataforma Windows Phone ..........................................31
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO............................................................................................................... 1 2 REVISÃO DA LITERATURA...................................................................................... 5
2.1 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO MATEMÁTICA ............................ 5 2.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO ......................................................................................... 6 2.3 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ................................................................................... 8 2.4 FUNÇÃO AFIM ........................................................................................................... 9 2.4.1 Casos particulares de função Afim ......................................................................... 10
2.4.2 Crescimento e decrescimento da função Afim ....................................................... 10
2.4.3 Gráfico da função Afim............................................................................................ 11
2.4.4 Equação da Reta ....................................................................................................... 13 3 ANÁLISE DOS APLICATIVOS (apps)....................................................................... 15 3.1 SISTEMA OPERACIONAL ANDROID ..................................................................... 16 3.1.1 Aplicativos da plataforma Android......................................................................... 16 3.1.1.1 Função de gráfico Plotter ....................................................................................... 17
3.1.1.2 Calculadora gráfica MathAlly ................................................................................ 18 3.1.1.3 Calculadora gráfica Grapher ................................................................................. 19 3.2 SISTEMA OPERACIONAL IOS ................................................................................. 20 3.2.1 Aplicativos da plataforma iOS................................................................................. 21
3.2.1.1 Quick Graph ............................................................................................................ 21
3.2.1.2 Free Graphing Calculator ...................................................................................... 22 3.2.1.3 Calculadora gráfica Desmos .................................................................................. 23 3.3 SISTEMA OPERACIONAL WINDOWS PHONE ..................................................... 24
3.3.1 Aplicativos da plataforma Windows Phone ........................................................... 25 3.3.1.1 Grapher ................................................................................................................... 25
3.3.1.2 Graph Touch .......................................................................................................... 26 3.3.1.3 Calculadora Grapher .............................................................................................. 27 4 COMPARAÇÃO DE INFORMAÇÕES BÁSICAS DOS APLICATIVOS............... 28
5 ENSINO DA FUNÇÃO AFIM COM APLICATIVOS DE DISPOSITIVOS
MÓVEIS.............................................................................................................................
32 5.1 INOVAÇÕES TECNOLÓGICAS EM DIDÁTICA PARA O ENSINO DA
MATEMÁTICA ..................................................................................................................
32 5.2 PROPOSTA DE SEQUÊNCIA DIDÁTICA: ENSINO MÉDIO.................................. 33
CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................................ 44 REFERÊNCIAS................................................................................................................. 45
RESUMO
Este trabalho tem por objetivo analisar aplicativos (apps) das diversas plataformas de
dispositivos móveis: Android, IOS, e Windows Phone, com fins didáticos matemáticos e com
ênfase em transmitir a importância do uso das novas mídias e tecnologias em sala de aula. O
conteúdo abordado é sobre o ensino de funções afins com os aplicativos. Os aplicativos dos
celulares podem vir a ser utilizados nas atividades escolares como recurso pedagógico e
facilitar o aprendizado dos alunos, haja vista, que mesmo estes aparelhos tem se tornado um
transtorno para a explanação das aulas, poderiam ser incorporados também como aliados na
transmissão e formação de conhecimento. O uso destes dispositivos móveis do tipo
smartphones ou similares aumenta os desafios do ambiente escolar, por isso é que os
educadores precisam se adequar a esta nova realidade desenhada pelos mesmos. Portanto, em
paralelo a esta situação contemporânea, este trabalho traz uma proposta de ensino que é uma
alternativa desafiadora para aproveitar a tecnologia a serviço da educação visando
complementar e fortalecer a formação dos principais atores da escola.
Palavras-Chave: tecnologia móvel , aplicativos matemáticos digitais , funções afins.
1
1
INTRODUÇÃO
O mundo atual vem sofrendo modificações proporcionadas pelos avanços
tecnológicos, provocando uma revolução de informações seja no seu processo de criação e
elaboração como na socialização e transmissão de saberes. A tecnologia móvel no universo
das comunicações está mais acessível à população, pois celulares, tablets, computadores, e
televisões interativas, por exemplo, não são mais artigos de luxo. Este progresso também pode
ser notado na educação, pois nas escolas podemos ter projetores de multimídia, lousa
interativa e laboratórios de informática, recursos os quais tem que servir de ferramentas
didático-pedagógicas para auxiliar na transmissão de conhecimento.
Por outro lado, os avanços tecnológicos do mundo moderno caminham em progressão
geométrica e a escola está, infelizmente, caminhando em progressão aritmética.
Em paralelo com esta situação contemporânea, o uso das Tecnologias da Informação e
Comunicação Móveis e sem Fio (TIMS) aumentam os desafios da realidade escolar.
Educadores e alunos precisam se adequar a realidade desenhada pelas TIMS vislumbrando
uma possível convergência com o estabelecimento de regras e limites. Entre as TIMS, será
destacado o celular, um aparelho popular, com aplicativos que podem vir a ser utilizados em
sala de aula como recurso pedagógico. Com isto, pode-se fortalecer o processo de
disseminação das informações e conhecimentos científicos e tecnológicos básicos, bem como
desenvolver as atitudes, habilidades e valores necessários à educação científica e tecnológica
dos estudantes do ensino médio [2].
Desse modo, um dos objetivos deste trabalho é o de pesquisar e analisar aplicativos
móveis com fins didáticos matemáticos nas plataformas: Androide, IOS, Windows Phone
como alternativa para o ensino de funções com ênfase em verificar e constatar a importância
do uso das novas mídias e tecnologias na sala de aula nas escolas da cidade de Macapá,
Amapá.
Conforme a LDB/96, a Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter
formativo ou instrumental, mas também deve ser vista como ciência, com suas características
estruturais específicas. É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e
encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a
partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. Cabe à
Matemática nesta etapa da vida escolar apresentar ao aluno o conhecimento de novas
informações e instrumentos necessários para que seja possível a ele continuar aprendendo.
2
2
Saber aprender é a condição básica para prosseguir aperfeiçoando-se ao longo da vida. Sem
dúvida, cabe a todas as áreas do Ensino Médio auxiliar no desenvolvimento da autonomia e
da capacidade de pesquisa, para que cada aluno possa confiar em seu próprio conhecimento
[4].
Os Parâmetros Curriculares Nacionais [3] propõem um conjunto de temas que
possibilitam o desenvolvimento de competências, com relevância científica e cultural e com
uma articulação lógica das ideias e conteúdos matemáticos a serem desenvolvidos nas três
séries do Ensino Médio. Para isto, sugerem uma divisão dos conteúdos matemáticos em três
grupos: 1) Álgebra: números e funções; 2) Geometria e medidas; 3) Análise de dados. A
primeira contempla o conceito de funções e sugere o vínculo deste com a álgebra, alertando,
porém, que a ênfase deve estar no conceito, suas propriedades, interpretação gráfica e
aplicações, ao invés, do enfoque tradicional que privilegia as manipulações algébricas e uma
linguagem excessivamente formal.
O estudo das funções é relevante, mas devido à abrangência do conceito, envolve um
sem número de dificuldades. O conceito de função envolve concepções diversas e múltiplas
representações, fazendo-se necessário, compreender o sentido que este conceito pode assumir
em diferentes contextos, quais significados o aluno pode produzir e de que formas isto se
desenvolve no ambiente escolar.
Em concordância com o acima exposto tem que ser considerado a influenza da nova
tecnologia vigente, a dos dispositivos portáteis: celulares e tablets principalmente, que num
determinado momento tem que ser inseridos como aliados no processo de ensino
aprendizagem, para abordar diversos tópicos da matemática. Isto significa um grande desafio
a inserção destes recursos tecnológicos à educação porque na atual situação local, nacional,
internacional ou global onde proliferam massivamente estes dispositivos existe por um lado
uma rejeição por motivos óbvios do uso de aparelhos no ambiente escolar, especificamente
em sala de aula, e do outro lado seria interessante aproveitar toda essa energia e habilidades
com essas mídias que os jovens têm para dentro da escola na questão do ensino.
Assim, as funções da Matemática descritas anteriormente e a presença da tecnologia
permitem afirmar que aprender Matemática no Ensino Médio deve ser mais do que memorizar
resultados dessa ciência e que a aquisição do conhecimento matemático deve estar vinculada
ao domínio de um saber fazer Matemática e de um saber pensar matemático [4].
3
3
2 REVISÃO DA LITERATURA
2.1 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO MATEMÁTICA
O conceito de função matemática está presente nos mais diferentes ramos do
conhecimento humano e teve sua origem, provavelmente, na antiguidade quando cientistas,
filósofos e demais estudiosos de diferentes ramos das ciências buscavam compreender e
encontrar formas que permitissem descrever os fenômenos naturais que tanto os intrigavam.
Aristóteles bem como outros estudiosos de seu tempo já questionavam a leis físicas e
tentavam explicar o fenômeno dos corpos em queda livre. Newton, o grande cientista que foi,
entendeu a natureza da luz de forma singular. Suas obras mais importantes, as leis de
movimento e a teoria da gravitação universal, tiveram que ser modificadas por Einsten,
.porém, um novo saber não anula o anterior, ao contrário, cria novos pontos de interação e
indagação [10].
Sabemos que o estudo do conceito de função matemática perpassa o tempo e, junto
com ele, esses conceitos desenvolveram-se de diferentes maneiras nos diferentes momentos
da História da Humanidade. Como todo pensamento matemático, o conceito de Função surge
dos conflitos, das buscas e inquietações do Homem frente aos novos desafios. Em particular
existe um número significativo de artigos, dissertações e teses que sinalizam a relevância do
estudo das funções matemáticas [16].
De forma intuitiva o conceito de função está, há milênios internalizados na mente
humana, mas foi a partir do século XVIII, que os filósofos medievais – que seguiam a escola
de Aristóteles – discutiam a qualificação de formas variáveis. Entre tais formas, eles
estudavam a velocidade de objetos móveis e a variação da temperatura de ponto para ponto de
um sólido aquecido. Ao transpor o ensino superior, já nos primeiros contatos com o estudo do
Cálculo percebe-se uma dificuldade profunda da por parte dos alunos em entender suas bases
teóricas, seus conceitos iniciais, suas propriedades elementares e seus teoremas, motivo: os
alunos não entendem o conceito de função matemática [10].
Este trabalho parte do pressuposto de que as novas tecnologias podem nos ajudar a
entender de forma intuitiva a ideia de função e como consequência a sua presença no
cotidiano dos professores e alunos bem como a sua interação com as demais áreas do
conhecimento humano. Completamos que muitas são as indagações a respeito do processo de
ensino e aprendizagem do conceito de função matemática. A partir daí observamos uma
4
4
quantidade significativa de artigos, resenhas e teses de pesquisas sobre o estudo das funções.
Embasado em tais observações, pretendemos avaliar as formas com que as novas tecnologias,
em particular os aplicativos, podem contribuir para minimizar as dificuldades encontradas por
professores e alunos no ensinar e no aprender o conceito de função matemática.
Conforme [1] e [15], as funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois
elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento
x (variável independente) um único valor da função f(x) (variável dependente). Isto pode ser
feito através de uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois
conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência. Cada par de elementos
relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da
imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente
x.
2.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Dados dois conjuntos X e Y não vazios, uma função f de X em Y é uma relação que
associa a cada elemento x∈X, um único elemento y∈Y. Assim, uma função liga um elemento
do domínio (conjunto X de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio
(conjunto Y de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado
exatamente a um, e somente um, elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do
contradomínio (Figura 1) que são relacionados pela f a algum x do domínio é o conjunto
imagem, denotado por Im(f) [14]. Ainda explicitando o processo da relação funcional, a
imagem f(x) de um elemento genérico x do domínio, é:
)(
:
xfx
YXf
Ou seja, f é a função de X em Y que a cada x∈X associa f(x)∈Y.
Levando em consideração as colocações anteriores, costuma-se dizer que y é função de
x. Onde y é a variável dependente e x é a variável independente, pois o valor (ou estado) de
y∈Y é obtido mediante a correspondência dada pela função f a partir do elemento escolhido
x∈X [5].
5
5
Figura 1. Domínio e Imagem de uma função [14].
Ilustrando a situação com um exemplo, na figura 2 tem-se, YXf : , isto é, a função f de X
em Y relaciona cada elemento x em X, um único elemento y = f (x) em Y [15].
Figura 2. Exemplificação da definição de função.
Esta relação entre os conjuntos X e Y representa uma função que pode ser definida
explicitamente pela expressão:
3,
2,
1,
)(
xsed
xsec
xsea
xf
Onde, 3,2,1X é o domínio (D); edcbaY ,,,, é o contradomínio (CD) e
dcaf ,,)Im( a imagem.
A relação entre as variáveis x e y tem uma representação, de grande apelo visual, que
evidencia propriedades da função. Evidencia, por exemplo, se as variáveis estão em relação
crescente (isto é, aumento em x corresponde a aumento em y) ou se a variação de y é maior ou
menor que a variação de x, e assim sucessivamente [15]. Assim o conceito de função, junto
6
6
com sua representação gráfica, é certamente um dos mais importantes em Matemática e é
ferramenta poderosa na modelagem de problemas. Na busca de entendimento de fenômenos
os mais variados, este conceito se faz presente. Isto ratifica que cada função é definida por leis
generalizadas e propriedades específicas.
2.3 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Se X e Af : é uma função real de variável real, então o gráfico de f é o
subconjunto do plano formado por todos os pares ordenados da forma ( x , f (x)), onde x∈X
[5]. Isto é:
)(:)(,)( fDxxfxxGraf
Onde os termos deste par ordenado são chamados de abcissa e ordenada,
respectivamente.
Ao considerar no plano, com sistema de coordenadas cartesianas, o conjunto de pontos
5,4,3,2,1 PPPPPP este é denominado gráfico da função f como ilustrado na figura 3.
Figura 3. Gráfico de uma função usando o aplicativo GRAPH [6].
2.4 A FUNÇÃO AFIM
Uma função :f chama-se afim quando existem constantes a,b tais que
7
7
baxxf )( para todo x .
Considerando o caso de obter b como o valor que a função dada assume quando x=0,
ou seja, quando o número )0(fb (valor inicial da função f), o coeficiente a pode ser
determinado a partir do conhecimento dos valores )( 1xf e )( 2xf que a função f assume em
dois pontos distintos (arbitrários) 1x e 2x . Com efeito, conhecidos,
baxxf 11)(
,)( 22 baxxf
Pode ser obter
bbaxaxxfxf 1212 )()(
)()()( 1212 xxaxfxf
Portanto
12
12 )()(
xx
xfxfa
(1)
Dados x, x+h , com h 0, o número hxfhxfa /)()( chama-se taxa de
variação da função no intervalo de extremos x, x+h [8].
Então, a representa um número real que pode ser definido como taxa de variação de
uma função, porque não há na maioria dos casos, ângulo algum no problema estudado. E por
outro lado, mesmo considerando o gráfico de f, o ângulo que ele faz com o eixo horizontal
depende das unidades escolhidas para medir as grandezas x e f(x). Isto é, tem-se taxa de
variação de uma função e coeficiente angular de uma reta. Agora b é também um número real,
o qual é denominado de coeficiente linear no gráfico de uma função afim [8].
2.4.1 Casos particulares de funções afins
A função linear é um caso particular da função afim, esta ocorre quando
o coeficiente linear é igual a zero (b = 0), ou seja, axxf )( .
Função Identidade: :f definida por xxf )( para todo x . Neste caso ob e
8
8
1a .
Função Constante: :f definida por bxf )( para todo x . Neste caso oa
(a função afim não é crescente nem decrescente).
Translação: :f definida por bxxf )( para todo x e b0. Neste caso 1a .
2.4.2 Crescimento e decrescimento da função afim
Uma função em é crescente se, para quaisquer valores de x1 e x2 em com 21 xx
tem-se que )()( 21 xfxf .
Na função afim baxxf )( , se 0a e 21 xx , então 21 axax e
baxbax 21 ,
ou seja, )()( 21 xfxf . Portanto se 0a a função afim é crescente.
Exemplo 1: Seja a função :f definida por 28)( xxf . Como 0a , a
função é crescente. Para os valores: 11 x e 22 x , obtemos 10)( 1 xf e 18)( 2 xf . Isto é
21 xx e )()( 21 xfxf .
Uma função em é decrescente se, para quaisquer valores de x1 e x2 em com
21 xx tem-se que )()( 21 xfxf .
Na função afim baxxf )( , se 0a e 21 xx , então 21 axax e
baxbax 21 ,
ou seja, )()( 21 xfxf . Portanto se 0a a função afim é decrescente.
Exemplo 2: Seja a função :f definida por 28)( xxf . Como 0a , a
função é decrescente. Para os valores: 11 x e 22 x , obtemos 6)( 1 xf e 14)( 2 xf .
Isto é 21 xx e )()( 21 xfxf .
9
9
2.4.3 Gráfico da função afim
O gráfico da função afim é uma reta não vertical, isto é, não paralela ao eixo OY. Para
mostrar que essa afirmação é verdadeira adotemos o gráfico G de uma função afim
baxxf : [8]. Para ver isto basta mostrar que três pontos quaisquer
,,
,
,,
333
222
111
baxxp
baxxp
baxxp
e
desse gráfico são colineares.
Para que isto ocorra, é necessário e suficiente que o maior dos três números ,, 21 PPd
32 , PPd e 31, PPd seja igual à soma dos outros dois.
Pode-se supor sempre que as abcissas x1, x2 e x3 foram numeradas de modo que 321 xxx .
Então, a fórmula da distância entre dois pontos dá:
212
22
1221, xxaxxPPd (2.1)
,1 2
12 axx
223
22
2332 , xxaxxPPd (2.2)
,1 2
23 axx
213
22
1331, xxaxxPPd (2.3)
,1 2
13 axx
Daí se segue imediatamente que
322131 ,,, PPdPPdPPd (3)
Do ponto de vista geométrico, b é a ordenada do ponto onde a reta, que é o gráfico da
função baxxf : , intersecta o eixo OY (Figura 4).
10
10
Figura 4. Gráfico da função afim, (usando o aplicativo GRAPH [6]).
O número a chama-se a inclinação, ou coeficiente angular, dessa reta (em relação ao
eixo horizontal OX). Quanto maior o valor de a mais a reta se afasta da posição horizontal [8].
Quando 0a , o gráfico de f é uma reta ascendente e quando 0a , a reta é descendente
como mostrado na figura 5.
Figura 5. Gráfico da função afim baxxf )( para diferentes valores de a usando o
aplicativo GRAPH [6].
2.4.4 Equação da Reta
Toda reta não-vertical r é o gráfico de uma função afim. Para provar esta afirmação,
são considerados dois pontos distintos ),( 11 yxA e ),( 21 yxB na reta r (Figura 6). Como r
não é vertical, necessariamente ,21 xx logo existe uma função afim :f tal que
11)( yxf e 22 )( yxf . O gráfico de f é uma reta que passa pelos pontos A e B logo essa
reta coincide com r. Se baxxf )( diz-se que baxy é a equação da reta r. Se a reta r é
o gráfico da função afim f, dada por baxxf )( , o coeficiente
11
11
,12
12
xx
yya
(4)
onde ),( 11 yx e ),( 22 yx são dois pontos distintos quaisquer de r, tem claramente o significado
de taxa de crescimento de f. A esse número é dado também o nome de inclinação ou
coeficiente angular da reta r, pois ele é a tangente trigonométrica do ângulo ( ) do eixo OX
com a reta r [8].
Figura 6. Representação geométrica do coeficiente angular e linear de uma reta [14].
Estas interpretações levam a concluir imediatamente que a equação da reta que passa
pelos pontos ),( 11 yx e ),( 22 yx , não situados na mesma vertical é
)( 1
12
121 xx
xx
yyyy
(5)
ou
).( 2
12
122 xx
xx
yyyy
(6)
A equação (5) diz que, se for começar no ponto ),( 11 yx e se avança sobre a reta,
fazendo x variar, a ordenada y começa com o valor y1 e sofre um incremento igual ao
incremento x-x1 dado a x vezes a taxa de variação a=y/x=(y2-y1)/(x2-x1). A situação na
equação (6) também é semelhante à (5), só que partindo do ponto ),( 22 yx . De modo análogo
a equação da reta que passa pelo ponto ),( 00 yx e tem inclinação a é
)( 00 xxayy . (7)
12
12
3 ANÁLISE DOS APLICATIVOS (apps)
Hoje as apresentações multimídia são espetáculos de luz e som cada vez mais
sofisticados, aos quais podem ser incorporados elementos de síntese. Amanhã, a
realidade virtual permitirá a um aluno munido de capacete adequado explorar a
época pré-histórica, viajar ao centro da Terra ou ir à Lua ( [12] p. 137 apud [11]).
Os aplicativos, conhecidos genericamente como apps, são softwares que carregam nos
aparelhos eletrônicos funcionalidades específicas para facilitar certas aplicações existentes ou
novas atribuídas como por exemplo, a de um aparelho celular que além das funções originais
de fazer e receber chamadas também exibe vídeos e serve como leitor de livros.
Constata-se que o mercado cresce em direção aos dispositivos móveis, como tablets,
PDAs e smartphones. Isso pode ser explicado pelo atributo da portabilidade, ou seja, com a
necessidade crescente de se estar permanentemente conectado, disponível e informado, os
mobiles sevem para garantir esse estado de conexão sem barreiras de tempo e lugar, por serem
facilmente portáveis.
No caso da educação a realidade é a mesma. Transpondo diferentes níveis de
dificuldades, os aplicativos levarão os usuários até o cotidiano do mundo moderno. No caso
do ensino da matemática, aplicativos para dispositivos móveis podem levar os usuários à
culminância da interatividade ao chegarem ao conceito abstrato de função matemática [11].
A pesquisa dos aplicativos ou apps levou em consideração os três sistemas
operacionais disponíveis no mercado: Android, iOS e Windows Phone. Foram selecionados
três apps de cada sistema. Maior destaque merecem os da plataforma Android a qual tem uma
percentagem maior de softwares free com este sistema.
3.1 SISTEMA OPERACIONAL ANDROID
Android é um sistema operacional (SO) baseado no núcleo linux e atualmente
desenvolvido pela empresa de tecnologia Google. Com uma interface de usuário baseada na
manipulação direta. O Android é projetado principalmente para dispositivos móveis com tela
sensível ao toque como smartphones e tablets. O sistema operacional utiliza-se da tela
sensível ao toque para que o usuário possa manipular objetos virtuais e também de um teclado
virtual. Apesar de ser principalmente utilizado em dispositivos com tela sensível ao toque,
também é utilizado em consoles de videogames, câmeras digitais, computadores e outros
dispositivos eletrônicos.
13
13
O Android é muito popular entre empresas de tecnologia que buscam um software
pronto, de baixo custo e personalizável para dispositivos de alta tecnologia. A natureza do
software de código aberto do sistema operacional tem encorajado uma grande comunidade de
programadores e entusiastas a colocar uma fundação para o desenvolvimento de projetos
feitos pela própria comunidade que adicionam recursos para usuários mais avançados, ou
trazem o Android para dispositivos que inicialmente não foram lançados com a plataforma.
Este sistema operacional é considerado hoje a plataforma móvel mais utilizada no mundo, em
especial pela sua capacidade de funcionar em diferentes dispositivos [17].
3.1.1 Aplicativos da plataforma Android
Foram avaliados três aplicativos operando com esta plataforma, levando em
consideração a gratuidade dos mesmos (free software) para não ter restrições e limitações de
uso como por exemplo, necessidade de ter conexão com internet ou cobrança de taxa, ou por
período de avaliação (trial software). Então basta apenas instalar no dispositivo (celular ou
tablet) e pronto para usar. Um detalhe importante de operacionalidade mostrou que o
primeiro aplicativo (função de gráfico plotter) é o mais simples, eficiente e fácil de trabalhar
o tema de funções afins. A continuação, as características dos aplicativos.
3.1.1.1 Função de gráfico Plotter
Este aplicativo funciona como uma calculadora gráfica. A versão disponível é gratuita
e somente têm no idioma inglês. A principal característica é a de desenhar vários tipos de
gráficos de funções, além de calcular os valores da função e as respectivas tabelas de dados.
Outra alternativa de cálculo é a de computar os valores extremos (mínimos e máximos) de
uma função. Assim como também é possível fazer uma integração numérica.
As funções matemáticas disponíveis que podem ser avaliadas são: polinomiais,
racionais, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas, logarítmicas, exponencial e
todas as possíveis combinações das mesmas. Nas figuras 7 e 8 são apresentadas as
características de funcionamento do aplicativo em questão.
14
14
(a) (b)
Figura 7. Tela de apresentação do aplicativo função de gráfico plotter. (a) janela principal de
menu com todas as opções; (b) detalhe da tela para inserir o tipo de função [20].
(a) (b)
Figura 8. Continuação dos recursos de apresentação do aplicativo. (a) detalhe da janela de
menu de plotagem; (b) família de gráficos gerado pelo aplicativo [20].
15
15
3.1.1.2 Calculadora gráfica MathAlly
A Calculadora Gráfica MathAlly está se tornando rapidamente a mais completa
Calculadora Gráfica, Simbólica e Científica gratuita para Android. As funcionalidades variam
de básicas que geralmente todo aplicativo possui. Além disso, tem a alternativa de cálculo
simbólico a qual permite a resolução de equações, sistemas de equações por exemplo. Na
opção de gráficos é possível plotar vários até no máximo três na mesma tela, onde é possível
plotar também cônicas (elipses, hipérboles e parábolas), funções hiperbólicas, números
complexos, matrizes entre outros. Outros recursos complementares à imagem gerada são
possíveis de se obter para motivos de verificação ou de informação complementar.
As características de operacionalidade do aplicativo (figura 9) mostram a simplicidade
de uso, tendo em vista que o visor principal na hora de carregar o software aparece no formato
de calculadora, então basta digitar a função ou várias funções e posteriormente obter a saída
ou resultado dos gráficos [21].
(a) (b)
Figura 9. Tela de apresentação do MathAlly. (a) janela inicial para inserir os dados das
funções; (b) janela de saída gráfica [21].
16
16
3.1.1.3 Calculadora gráfica Grapher
Esta é uma calculadora gráfica simples, com capacidades gráficas semelhantes às de
alguns modelos de calculadoras científicas gráficas da Texas Instruments (TI-83 ou TI-89).
Os recursos disponíveis são apresentados na figura 10.
Basicamente tem as mesmas características das outras calculadoras gráficas digitais.
Talvez com menos resolução na apresentação das janelas, concentrando-se apenas na
apresentação dos resultados sem caprichas muito na saída dos gráficos. Aparentemente menos
elaborado, porém eficiente para motivos didáticos [22].
(a) (b)
Figura 10 Telas de apresentação do Grapher. (a) janela do editor de equações; (b) janela do (s)
gráfico (s) [22].
3.2 SISTEMA OPERACIONAL IOS
O iOS (antes chamado de iPhone OS) é um sistema operacional móvel da Apple Inc.
desenvolvido originalmente para o iPhone, também é usado em iPod touch, iPad e Apple TV.
A Apple não permite que o iOS seja executado em hardware de terceiros.
17
17
A interface do usuário do iOS é baseado no conceito de manipulação direta, utilizando multi-
toque. Acelerômetros internos são usados por alguns aplicativos para responder à agitação do
aparelho (resultando comumente no comando desfazer) ou rotação do mesmo (resultando
comumente na mudança do modo retrato para modo paisagem). O iOS consiste em quatro
camadas de abstração: a camada Core OS, a camada Core Services, a camada mídia, e a
camada Cocoa Touch [18].
3.2.1 Aplicativos da plataforma iOS
Foram avaliados três aplicativos operando com esta plataforma. Geralmente todos os
apps da Apple são pagos.
Figura 11. Telas de apresentação do Quick graph com: (a) janela de edição de equações e (b)
Tabela de valores de funções [23].
3.2.1.1 Quick Graph
Este aplicativo está estruturado como calculadora gráfica robusta que funciona
exclusivamente nos hardwares da Apple. A composição e estrutura destes apps é mais robusta
se comparado com os da plataforma anterior. A quantidade de opções para realizar diferentes
18
18
tipos de cálculos e saídas gráficas demonstram a diversidade mais apurada nas telas de menus.
A exemplo das figuras 11 e 12.
(a) (b)
Figura 12. Telas de apresentação do Quick graph com: (a) janela de saídas gráficas em 2D e
(b) em 3D [23].
É uma ferramenta poderosa, de alta qualidade, funciona como calculadora gráfica que
tira proveito da tela (multitoque) multitouch e as importantes capacidades gráficas do iPad e
do iPhone, tanto em 2D e 3D. Uma interface simples e intuitiva que torna mais fácil a entrada
ou editação de equações e visualizá-los em notação matemática. É capaz de exibir equações
explícitas e implícitas, bem como as desigualdades, tanto em 2D e 3D, em todo o padrão
sistemas de coordenadas: cartesianas, polares, esféricas e cilíndricas, tudo com uma
velocidade incrível e belos resultados, que pode ser copiado, enviados por email ou salvos na
biblioteca de fotos entre os tantos atributos [23].
3.2.1.2 Free Graphing Calculator
Este apps do iOS é uma calculadora gráfica com muitos recursos. A funcionalidade
dele inclui todos tipos de funções disponíveis, com grande capacidade gráfica, podendo
mostrar até quatro equações juntas na tela, detalhe que a maioria destes aplicativos mostra até
19
19
três equações para graficar. Possui outras características especificas sobre interfases gráficas
em diferentes sistemas de coordenadas. Também sistema de conversões de unidades permite
aumentar as qualidades do aplicativo. Na figura 13, um esboço do menu de opções do apps.
(a) (b)
Figura 13. Telas de apresentação do aplicativo Free Graphing Calculator. (a) janela destinada
aos cálculos e teclas de comandos; (b) janela dos gráficos [24].
3.2.1.3 Calculadora gráfica Desmos
Este é um dos mais sofisticados e robustos aplicativos de calculadora gráfica. Possui
funções de plotagem, cria tabelas, adiciona controles deslizantes, anima os gráficos, e muito
mais. No Desmos, a matemática é acessível e agradável para todos os alunos.
Estes recursos fazem parte de uma nova geração de calculadoras gráficas para dispositivos
móveis da Apple. A calculadora pode traçar instantaneamente qualquer equação. Possui
diferentes interfases gráficas. Não há limite para o número de expressões que você pode
representar graficamente ao mesmo tempo. Podem ser feitos ajustaes dos valores de forma
interativa para construir por intuição, ou animar qualquer parâmetro e visualizar seu efeito no
20
20
gráfico. É aplicativo mais robusto dos três apresentados na familia do iOS. Na figura 14
algumas telas de apresentação [25].
(a) (b)
Figura 14. Telas da calculadora gráfica Desmos. (a) janela apresentando o gráfico de funções
com o controle dos coeficientes; (b) Situação análoga à anterior usando o recurso de imagen
(foto) para modelagem [25].
3.3 SISTEMA OPERACIONAL WINDOWS PHONE
Windows Phone é um sistema operacional para smatphones, desenvolvido pela
Microsoft, atualmente na sua versão 8.1, focado principalmente no mercado consumidor. O
sistema tem sido constantemente atualizado. Foi primeiramente lançado na Europa, Austrália
e Singapura, EUA e Canadá e México em 2010. Hoje as principais aplicações do mercado já
estão disponíveis na loja de aplicativos, além de alguns aplicativos e jogos exclusivos.
O sistema ainda conta com ferramentas como a Cortana, assistente de voz pessoal, a
integração nativa com o Office e a sincronização com o Windows 8 em computadores [19].
21
21
3.3.1 Aplicativos da plataforma Windows Phone
Foram avaliados três aplicativos operando com esta plataforma, somente os dois
primeiros apps estão disponíveis gratuitamente (free), o terceiro é cobrada uma taxa.
3.3.1.1 Grapher
Math é o aplicativo muito simples com poucos recursos, apenas o básico para
caracterizar o gráfico da função com três janelas de operação como mostrado na figura 15.
Assim o usuário pode editar funções matemáticas e verificar os resultados de cálculo [26].
(a) (b) (c)
Figura 15. Apresentação do Grapher.(a) janela de cálculo;(b) janela gráfica; (c) janela de
edição e resultados [26].
3.3.1.2 Graph Touch
Graph Touch é uma calculadora científica com um dispositivo de resolução numérica
e plotter gráfico (Figura 16). O solver numérico pode ser usado para calcular soluções
numéricas de equações, bem como a obtenção de máximos, mínimos e raizes da função. É
rápido para usar, apenas um mínimo de entradas manuais são necessárias para resolver
qualquer equação [27].
22
22
(a) (b) (c)
Figura 16. Telas de apresentação do Graph Touch. (a) janela de entrada de cálculo; (b) janela
gráfica; (c) janela de edição das equações das funções [27].
2.3.1.3 Calculadora Grapher
Atualmente é a melhor opção do Windows Phone como alternativa confiável de
calculadora científica e gráfica segundo a quantidade de qualificadores que emitiram a
opinião com respeito a desempenho do aplicativo. A quantidade de recursos disponíveis
satisfazem usuários dos mais diversos níveis desde o ensino médio até o superior. Na figura
17 são ilustradas as janelas de funcionamento do aplicativo [28].
(a) (b)
Figura 17. Telas de apresentação do Calculadora Grapher. (a) janela de entrada de cálculo;
(b) janela gráfica [28].
23
23
4 COMPARAÇÃO DE INFORMAÇÕES BÁSICAS DOS APLICATIVOS (APPS)
A relação das informações básicas de todos os nove aplicativos analisados estão
resumidas nas tabelas 1, 2 e 3 respectivamente. Além das características individuais de cada
apps foram pesquisadas as avaliações dos usuários que examinaram os softwares para ter uma
ideia do desempenho e utilidade dos mesmos (indicador de satisfação).
Os únicos aplicativos que foram testados com dispositivos smartphone e tablets foram
os de plataforma Android, e, portanto, os que estiveram considerados na sequencia didática do
capitulo 5. Analisando cada um deles, o primeiro (função gráfico plotter) e o terceiro
(Calculadora gráfica Grapher) mostram as orientações em inglês. Porém não é um
impedimento para trabalhar o conteúdo sobre funções afim. A diferença entre ambos é que o
primeiro é mais simples, mas, não tem a opção de zoom para visualizar com mais detalhes a
reta como o segundo possui. Mesmo assim este último apps é mais trabalhoso na hora de
inserir os dados da função e obter o gráfico. Cabe destacar que as opções destes aplicativos
são as mais diversas, basta inserir na janela de entrada os respectivos dados e podem se obter
os resultados desejados com ilustrações gráficas. No caso do segundo software (Calculadora
gráficaMathAlly), é o único em português e o mais robusto e com mais opções de todos os
avaliados, porém é difícil de utilizar principalmente pela quantidade de recursos que possui.
Nos gráficos de avaliação é o que tem melhor nota (4,2)
Na tabela 1, estão bem detalhadas as informações com respeito aos três softwares. A
vantagem é que são gratuitos (free), não é preciso estar conectado na internet para poder usar
os aplicativos ou pagar alguma taxa. Basta estar instalado no dispositivo para trabalhar
qualquer tópico sobre funções. O indicador de satisfação mencionado anteriormente, é
importante porque orienta na hora de fazer a escolha do apps já que fornece informações a
priori.
Tabela 1. Relação dos aplicativos da plataforma Android
No Título do
apps
Tamanho Versão
do apps
Versão
Android
Desenvolvedor/Site/e-mail Tipo do
apps
1 Função de
gráfico
Plotter
73 KB 3.6 1.6 ou
superior
GK Apps, [20]
Livre
2
Calculadora
gráfica
4,4 MB 2.8.1 2.1 ou
superior
Math Ally, [21]
Livre
24
24
MathAlly
3
Calculadora
gráfica
Grapher
701 KB 1.0.1 2.1 ou
superior
Opticron, [22]
Livre
Avaliação de usuários até 11/08/2015, segundo [20], [21] e [22]:
Função Gráfico Plotter
Calculadora gráfica MathAlly
Calculadora gráfica Grapher
No que diz respeito aos apps do sistema operacional da Apple (iOS), todos eles são
pagos. Mesmo que as taxas de pagamentos não são tão altas, geralmente a maioria de usuários
preferem os gratuitos. Da amostra selecionada (3 apps) todos eles são bem mais robustos e
sofisticados que os do sistema Android. As descrições mostradas no capitulo anterior deste
trabalho, indicam esta situação resumido na tabela 2. O indicador de satisfação é equivalente
para todos.
Tabela 2. Relação dos aplicativos da plataforma iOS
No Título do
apps Tamanho
Versão
do apps
Versão
iOS Desenvolvedor/Site/e-mail
Tipo do
apps
1 Quick
graph 10.1 MB 2.6.1
iOS 7.0
ou
posterior
https://itunes.apple.com/br/app/quic
k-graph
Pago
25
25
2
Free
Graphing
Calculator
6.8 MB 7.6
iOS 6.0
ou
posterior
https://itunes.apple.com/us/app/free
-graphing-calculator
Pago
3
Calculador
gráfica
Desmos
1.1 MB 1.3.4
iOS 7.0
ou
posterior
https://itunes.apple.com/br/app/grap
hing-calculator-by-desmos/
Pago
Avaliação de usuários até 11/08/2015, , segundo [23], [24] e [25]:
Quick graph: Classificação + 4L
Free Graphing Calculator:Classificação +4L
Calculador gráfica Desmos: Classificação +4L
No último grupo usando o Window phone como sistema operacional, com o mesmo
tamanho da amostra (3 apps), tem-se uma situação semelhante à do primeiro caso do sistema
Android, com respeito ao número de janelas e as finalidades de cada uma delas (edição,
cálculo e parte gráfica). O resumo das informações importantes sobre estes apps está
abreviado na tabela 3, e com mais detalhes no capitulo 3. O indicador de satisfação mostra
maior aceitação do aplicativo pago (Calculadora Grapher), até apresentar mais recursos que
os semelhantes (Grapher e Graph Touch).
Tabela 3. Relação dos aplicativos da plataforma Windows Phone
No
Título do
apps Tamanho
Versão do
apps
Versão
Window
s Phone
Desenvolvedor/Site/e-
Tipo
do
apps
http://appcrawlr.com/win
26
26
1 Grapher
- - WP 8 dows/grapher-2 Livre
2
Graph Touch -
-
WP 8
http://appcrawlr.com/win
dows/graph-touch
Livre
3
Calculadora
Grapher
-
1.61
WP 8
https://www.microsoft.co
m/en-
us/store/apps/grapher-
calculator
Pago
Avaliação de usuários até 11/08/2015, , segundo [26], [27] e [28]:
Grapher
Graph Touch
Calculadora Grapher
Praticamente todos estes recursos digitais funcionam como calculadoras gráficas
variando apenas a quantidade de opções em cada aplicativo. Qualquer plataforma que seja
utilizada terá suficientes opções para trabalhar diferentes tópicos matemáticos com a
facilidade de gerar os gráficos de muitos tipos de funções, entre elas a afim, motivo de este
trabalho. De tal maneira que dependendo do aparelho e da plataforma se obterão resultados
satisfatórios. Destaque especial merece o sistema operacional Androide tendo em vista que é
mais popular, mais simples e mais acessível para as maiorias.
27
27
5 ENSINO DA FUNÇÃO AFIM COM APLICATIVOS DE DISPOSITIVOS MÓVEIS
5.1 INOVAÇÕES TECNOLÓGICAS EM DIDÁTICA PARA O ENSINO DA
MATEMÁTICA
Muito se tem dito sobre o impacto das novas tecnologias da informação e
comunicação – TIC - no processo de ensino e aprendizagem. Entretanto, as investigações
recentes revelam um crescente desprestígio da didática nos cursos de formação de professores
e indicam a necessidade de superação do quadro atual [11]. Perguntamos então: qual seria o
papel das TIC na re-significação do papel das “Didáticas Específicas” na formação docente?
Preocupa o distanciamento do professor, sobretudo na educação básica, do uso das
tecnologias em seu processo de trabalho. Em pesquisa encomendada pela UNESCO 2010
apud [11], identificou-se o descompasso entre o nível de equipagem tecnológica das escolas e
o conteúdo curricular dos cursos de formação que habilitam os docentes a trabalharem com as
TIC. Apesar de 10% a 30% das escolas públicas de educação básica poderem contar
respectivamente com laboratórios de informática e ciências, o nível de preparação tecnológica
dos prfessores não chegaria a 2%.
Por exemplo, [13] identifica entre outros fatores o grande contingente de “migrantes
digitais” entre os docentes em exercício, ou seja, um conjunto de pessoas que ainda se
encontram no processo de incorporação das tecnologias ao seu cotidiano, o que demanda
tempo e esforço de formação continuada para o desenvolvimento de novas competências,
neste caso, as do uso eficiente das TIC em seu repertório profissional.
Esses dados evidenciam a necessidade de repensar a formação do professor por meio
de uma transformação profissional, o que passa necessariamente pelo aprimoramento da
competência docente no campo teórico e de sua habilidade didática no uso das novas
tecnologias. É necessário promover a formação inicial e continuada para que ele tenha
condições de ser protagonista das inovações sendo capaz de pensar criticamente sobre os
impactos das tecnologias no processo de ensino e aprendizagem, seus efeitos e, sobretudo,
potencialidades sobre o fazer das didáticas específica, em especial da matemática, tendo em
vista a urgente necessidade de se elevar os indicadores de desempenho da aprendizagem dessa
matéria em nosso país.
28
28
O presente trabalho considerou o conceito de didáticas específicas conforme [7], para
identificar as funcionalidades necessárias na perspectiva de (re)significar a prática de ensino
em matemática tendo como ponto focal o conceito de função matemática afim.
5.2 PROPOSTA DE SEQUÊNCIA DIDÁTICA: ENSINO MÉDIO
Conforme observamos ao longo da nossa trajetória acadêmica, especificamente nas
disciplinas de Estágios supervisionados I, II, III, IV e V e Praticas Pedagógicas I e II, um
grande entrave na explanação de conteúdos, foi o uso de aparelho celular por parte dos alunos,
mediante tais ressalvas um dos objetivos deste trabalho foi o de pesquisar e analisar
aplicativos móveis com fins didáticos matemáticos nas plataformas: Androide, IOS, Windows
Phone como alternativa para o ensino de funções com ênfase em verificar e constatar a
importância do uso das novas mídias e tecnologias em sala de aula.
Neste item, são apresentadas as atividades que compõem a sequência didática de
ensino para introdução do estudo de função afim com alunos de 1º ano do Ensino Médio
usando o aplicativo de celular: Função de gráfico plotter da plataforma Android segundo
[20].
Objetivos:
Manipular e identificar a função afim em diferentes contextos;
Pré-requisitos:
Definição de função afim;
Identificação dos coeficientes;
Construção de gráfico;
Elaboração de situações problemas.
O professor deverá avisar previamente sobre a aula (em sala de aula, whatapps,
facebook) e informando sobre o uso do aplicativo;
1ª etapa
O professor (a) iniciará dando as seguintes questões para todos os grupos:
Considere a função :f definida por .35)( xxf
a) O gráfico da função;
29
29
b) Verifique se a função é crescente ou decrescente;
1º passo:
Os alunos deverão usar o aplicativo clicando na tela (display) do aparelho.
2ª passo
Ao abrir o programa, o usuário encontrará a tela principal que disponibiliza na parte superior
o Menu com opções : Function Graph (gráfico da função), Function Value (valor da função
calculado individualmente), Value Table (tabela de valores) , Numerical Integration
(integração numérica), Extreme Values (valores extremos), Help/About (ajuda), Exit (sair).
O professor escolhe uma das opções para os alunos seguirem os passos, nesse caso usaremos
a seguinte:
Função de Gráfico Plotter
30
30
Ao clicar na opção function graph (gráfico da função) aparecerá a tela seguinte no
qual o aluno deve inserir a função afim e clicar na opção plot. Caso seja necessário fazer
alguma mudança nos intervalos dos eixos das abcissas (x) e ordenadas (y) é possível
determinar com outros valores. Se desejar retornar à tela anterior é só ativar a tecle voltar
(Back).
Então, como resposta se obtém o gráfico plotado da função .35)( xxf
31
31
Logo o aluno verificará que Como a = 5 > 0, a função é crescente, o coeficiente linear b é
facilmente visualizado na reta como sendo b = -3.
3ª passo
O professor deverá então explorar todas as outras opções possíveis (exceto a seleção
integração numérica) do aplicativo por motivos óbvios.
Mostrando o resultado para qualquer valor de x arbitrário calculado individualmente:
Na construção da tabela considerando o intervalo de x de [-5 a 4] com x = 1:
32
32
Ilustrando três funções afins plotadas na mesma janela:
Como pode ser apreciado, em todas as janelas de apresentação sejam para cálculos dos
valores da função como a do gráfico da função existe a possibilidade de retornar ou voltar à
tela anterior para fazer alguma alteração ou complementação.
2ª etapa
Exercícios de aplicação e avaliação final
Desenhar os gráficos das seguintes funções, identificar os coeficientes a e b, verificar
e confirmar (marcar com ) o comportamento da função se é crescente (a>0), decrescente
(a<0) ou constante (a = 0). Plotar apenas três funções juntas (o permitido pelo aplicativo) com
as seguintes opções: 2 funções decrescentes e uma crescente ou 2 funções crescentes e uma
33
33
decrescente e no caso de ser constante a função, desenhar três na mesma tela. Apresentar duas
tabelas de cada função selecionando os intervalos da variável independente x de [-3 a 3] com
x =0,5. Registrar fotograficamente todos os resultados gráficos do display do aparelho, e
apresentar na forma de relatório simples todas as atividades, com uma introdução sobre o
tema abordado (função Afim e casos particulares), metodologia utilizada (aplicativo de
celular) e conclusões (o que o aluno achou sobre esta alternativa de ensino). A atividade tem
que ser realizada em grupos de no máximo três estudantes.
Atividades:
1. Função Afim baxxf )( onde ba,
1.1 57)( xxf a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
1.2 46)( xxf a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
1. 3 23)( xxf a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ;Constante
1.4 32)( xxf a: ____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
Observações:__________________________________________________________
_
_____________________________________________________________________
_
2. Casos particulares da função afim:
2.1 Função linear axxf )( , b = 0
2.1.1 xxf 2)( a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
2.1.2 xxf 4)( a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
2.1.3 xxf8
1)( a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
2.1.4 xxf4
3)( a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
Observações:__________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2.2 Função constante :f definida por bxf )( x , a = 0 .
2.2.1 3)( xf a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
34
34
2.2.2 2)( xf a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
2.2.3 8)( xf a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
2.2.4 2
1)( xf a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
Observações:__________________________________________________________
_
_____________________________________________________________________
_
2.3 Função identidade :f definida por xxf )( x , b =0 e a = 1
2.3.1 xxf )( a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
2.3.2 xxf )( a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
2.3.3 xxf3
3)( a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
2.3.4 xxf5
5)( a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
2.4 Translação :f definida por bxxf )( x , b 0 e a = 1
2.4.1 2)( xxf a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
2.4.2 3)( xxf a:____; b:____ Crescente ; Decrescente ; Constante
2.4.3 2
1
4
4)( xxf a:____; b:___ Crescente ; Decrescente ; Constante
2.4.4 5
1
5
5)( xxf a:____; b:___Crescente ; Decrescente ; Constante
Observações:__________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Recursos:
Quadro branco;
Pincel atômico para quadro branco;
35
35
Papel;
Caneta/Lápis.
Aparelho celular
Datashow
Acessórios necessários para ligar o aparelho celular ao Datashow.
Avaliação:
A avaliação pelo professor se dará simultaneamente a aplicação da atividade, em que o
professor irá acompanhar o desenvolvimento da mesma, bem como o empenho e dedicação
dos alunos; A cada rodada, o professor irá verificar o que foi produzido por cada grupo e
conferir se está tudo correto, orientando seus alunos a fim de evitar erros de origem
matemática ou lógica, além de procurar nivelar o grau de dificuldade entre todos os grupos,
uma vez que cada um desenvolverá conforme o grau de conhecimento. Para finalizar, solicitar
a entrega dos exercícios de aplicação e avaliação (segunda etapa da sequencia didática) na
forma de relatório.
Para melhor elucidação do objeto proposto neste trabalho foi elaborado um
questionário modelo, (aberto a alterações e complementações) para que possa ser aplicado a
professores de matemática buscando informações sobre sua percepção quanto ao uso desse
aplicativo em sala de aula. Posteriormente pode ser feita uma análise estatística descritiva
levando em consideração os dados coletados do questionário e dos relatórios das atividades
entregues pelos alunos.
Questionário
1 - Você já usou aplicativo de celular dentro da sala de aula para o aprendizado dos
alunos? ( ) sim ( ) não
2 – Como você analisa a familiaridade dos alunos com as novas tecnologias oferecidas
pelo aparelho celular? ( ) muito bom ( ) bom ( ) regular ( ) ruim
3 – Você acha que o uso do aparelho celular com novas tecnologias de aprendizado vai
facilitar ou piorar o crescimento de déficit de atenção dos alunos? ( ) facilita ( ) piora
4 – Você acha que precisa receber algum tipo de capacitação especifico para o uso desses
aplicativos? ( ) sim ( ) não
5 – Na sua visão os alunos receberiam essa inovação de didática?
( ) positiva ( ) negativa.
6 – Você aceitaria dar uma aula sobre função afim ou sobre outros tópicos da matemática
36
36
ALGUNS MITOS E CUIDADOS
Antes de propor usos pedagógicos para o telefone móvel celular atual é preciso
desfazer alguns mitos sobre a presença do celular na escola e o principal deles é o que diz que
o telefone celular é desnecessário na escola e, além disso, atrapalha o andamento das aulas.
Alguns professores se queixam que os telefones celulares distraem os alunos. É
verdade. Mas antes dos telefones celulares eles também se distraiam. A única diferença é que
se distraiam com outras coisas; como aliás, continuam fazendo nas escolas onde os telefones
celulares foram proibidos. O que causa a distração nos alunos é o desinteresse pela aula e não
a existência pura e simples de um telefone celular. Exemplo claro disso é que em muitas
escolas e em muitas aulas os alunos não se distraem com seus celulares, apesar de estarem
com eles em suas mochilas, nos bolsos ou mesmo sobre as carteiras [9].
Há uma infinidade de possibilidades de uso pedagógico dos telefones celulares
modernos em sala de aula e fora dela. Quais lhe interessam? Isso certamente depende da
forma como o professor, usa a tecnologia para si mesmo, em suas aulas e com os seus alunos.
Quem não vê nenhum uso pedagógico para o rádio, a televisão, a máquina fotográfica, a
filmadora, o gravador, a calculadora, a agenda, etc., então também não verá nenhuma
utilidade para o celular, pois é isso que ele representa hoje em dia: não é mais um simples
telefone, o celular é uma central de multimídia computadorizada.
À propósito, sempre foi muito comum a falta de recursos tecnológicos nas escolas,
principalmente nas escolas públicas. Com o telefone celular passamos a ter muitos desses
recursos disponíveis não apenas pela escola, mas também pelos alunos! Isso deveria ser
comemorado, mesmo que não concordemos que os alunos prefiram ganhar celulares dos seus
pais do que enciclopédias, pois com os celulares eles também ganham diversas possibilidades
de aprendizagem que antes não tinham porque a própria escola não dispunha desses recursos
[29].
Antes de reformular todas as suas práticas e instituindo a obrigatoriedade do uso do
telefone celular na escola, há que ter em mente que ainda existem muitos alunos que não têm
telefone celular ou que têm telefones celulares que não dispõem de todos os recursos
mencionados aqui. Além disso, em alguns estados e municípios (e há uma lei tramitando com
validade para o país todo) o celular é proibido na escola [29].
Portanto, é preciso sempre:
37
37
Propor atividades que envolvam o uso de celulares para grupos de alunos em que pelo
menos um aluno do grupo disponha do celular com o recurso que será utilizado;
Permitir que os alunos aprendam a usar o recurso antes de propô-lo como parte de uma
atividade. Geralmente os alunos dominam os celulares melhor do que seus professores
e aprendem rápido a usá-lo, por isso é uma boa ideia “deixar que eles mesmos
ensinem e aprendam a usar o recurso entre eles mesmos” (e aproveite para aprender
também!);
Discutir as questões éticas e morais envolvidas no uso de imagens e registros, bem
como o uso indevido dos celulares e de outros equipamentos de mídia;
Estabelecer claramente no planejamento da sua atividade, e descrever em detalhes no
seu planejamento de aula, os objetivos do uso do celular nas atividades propostas.
e, por último, estabelecer claramente as regras de uso dos celulares na escola de
maneira geral e, em particular, durante as aulas em que não estarão usando o celular
“como parte da aula”, da mesma forma como estabelecemos as regras para o uso do
baralho, dos jogos de tabuleiro, dos aviõezinhos de papel e de todo o resto.
Não é difícil negociar o que pode e o que não pode, quando se deve e quando não se
deve usar o celular. Fazemos isso da mesma forma como estabelecemos outras regras de
convivência na escola. Os conflitos mais comuns que surgem nas salas de aula devem-se
justamente à falta de uma definição clara desses acordos e da crença em pressupostos
perigosos, como o de que o aluno “deve saber naturalmente o que é certo e o que é errado”.
Também é importante discutir com os alunos os limites éticos e morais do uso do celular, e de
outros instrumentos tecnológicos modernos, fora da escola. O celular é parte do cotidiano
deles e ensiná-los a usá-lo com sabedoria é também parte da nossa tarefa como educadores. E
esta é mais uma boa razão para usar os celulares na escola como ferramentas pedagógicas,
pois com isso somos naturalmente levados ao contexto do seu uso responsável e podemos
desempenhar nosso papel de educadores de forma natural [29].
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
As instituições de ensino e seus principais atores precisam encontrar novos caminhos
e, de forma urgente, apropriarem-se das novas tecnologias como meios para se alcançar um
aprendizado centrado no aluno. Conteúdos recebidos antecipadamente e convenientemente
desenvolvidos para dispositivos eletrônicos móveis como os Celulares ou Tablets podem
ajudar aos alunos a se sentirem envolvidos e estimulados durante o processo de ensino e
aprendizagem, aproveitando o seu dinamismo, interface amigável e potencial interativo.
Consideramos elementos como a contextualização e o sentido de desafio para identificar
atributos motivadores da aprendizagem visando uma concepção técnico-pedagógica para o
desenvolvimento e uso de aplicativos no ensino da matemática.
A discussão sobre o uso das tecnologias para auxiliar no processo ensino e
aprendizagem está presente em vários encontros científicos que buscam entender os novos
caminhos educacionais, inclusive para a Educação Matemática no século XXI. Está também
nos jornais, revistas, periódicos, na Internet, nos blogs e nas redes sociais. É evidente que têm
que ser feitas algumas mudanças pra valer na questão do ensino-aprendizagem na escola
atual. Há uma necessidade urgente de conciliar no planejamento escolar uma correspondência
de “mão dupla” com as novas tecnologias e o ensino. Todo o pensamento matemático está
plenamente à disposição através de ferramentas diversas podendo ser utilizado a vontade,
porém existe muita informação disponível hoje em dia que distorce, distrai e entorpece
professores e estudantes principalmente. Então, estamos falando dos efeitos colaterais da
internet e todo o conjunto de mídias digitais existentes, não há limites para os usuários que
nem percebem o tanto que estão “contagiados”. Por outro lado, tendo em vista que não pode
ser ignorada esta situação tecnológica atual, há que buscar maneiras de encaixar com maior
intensidade todos estes recursos inovadores digitais para auxiliar na árdua tarefa de ensinar.
Espera-se que a contribuição deste trabalho, possa encorajar outras propostas no
presente e num futuro próximo que venham a somar e divulgar esta nova etapa ou tendência
mundial tecnológica que atinge fortemente a todos. Principalmente aos jovens na idade
escolar, personagens principais nesta era digital. Enfatizando a tecnologia a serviço da
educação, com propostas alternativas para o ensino de matemática utilizando os recursos dos
aplicativos funcionais dos dispositivos móveis, ainda um desafio, porém tudo indica e leva
nessa direção.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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